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叙述压缩映射原理压缩映射原理是数学中的一个重要概念，它在不同领域都有着广泛的应用，特别是在动力系统、概率论、几何等领域中。
本文将详细介绍压缩映射原理的概念、性质和应用。
一、概念压缩映射是指在度量空间中，存在一个映射f，使得对于任意两个点x和y，它们之间的距离d(f(x),f(y))都小于它们之间的距离d(x,y)。
也就是说，压缩映射可以将原来相距较远的点映射成相距较近的点。
具体来说，若存在一个常数0< k <1，使得对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)，则称f为一个k-压缩映射。
二、性质1. 压缩映射是连续的。
这是因为对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)，因此当x趋近于y时，f(x)也趋近于f(y)。
2. 压缩映射是唯一的。
若存在两个不同的压缩映射f和g，使得它们都满足上述条件，则对于任意两个点x和y，有d(f(x),f(y))≤k d(x,y)和d(g(x),g(y))≤k d(x,y)，因此d(f(x),g(x))≤(k/(1-k)) d(f(x),f(y))，这说明f和g之间的距离也可以被压缩，因此f和g必须相等。
3. 压缩映射是有界的。
这是因为对于任意一个点x，它的像f(x)一定在以x为中心、半径为d(x,0)/(1-k)的球内。
三、应用1. 压缩映射定理。
压缩映射定理是数学分析中的一个重要结果，它说明了对于任意一个k-压缩映射f，它都有唯一的不动点x0，即f(x0)=x0。
并且，从任意一个起始点x开始，通过不断迭代f，可以得到收敛于x0的数列。
这个定理在动力系统和概率论等领域中有着广泛的应用。
2. 度量空间的完备性。
一个度量空间是完备的，当且仅当它是一个压缩映射的不动点。
这个定理在数学分析和拓扑学中有着广泛的应用。
3. 分形几何。
分形几何是一种研究自相似性的几何学，而压缩映射是分形几何中的一个重要工具。
通过对一个图形进行一系列压缩映射，可以得到一个自相似的分形。
压缩映射原理的性质及应用1. 什么是压缩映射原理？压缩映射原理是一种通过对数据进行映射和压缩来降低存储和传输成本的技术。
它的基本原理是将原始数据映射到更小空间和较少数量的数据中，从而实现对数据的压缩。
2. 压缩映射原理的性质压缩映射原理具有以下几个主要的性质：2.1 数据压缩压缩映射原理可以将原始数据通过映射转化为更小空间和较少数量的数据，从而实现对数据的压缩。
这种压缩可以大大减小数据的存储空间和传输成本。
2.2 数据还原压缩映射原理不仅可以将原始数据压缩，还可以通过相应的还原算法将压缩后的数据重新还原为原始数据。
这种还原算法可以保证数据的完整性和准确性。
2.3 数据损失由于压缩映射原理是通过将原始数据映射到较小空间进行压缩，因此在压缩的过程中会产生一定的数据损失。
这种损失通常是不可逆的，即无法完全还原原始数据。
2.4 压缩比率压缩映射原理的性质之一是压缩比率。
压缩比率是指压缩后的数据相对于原始数据的大小比例。
压缩比率越高，说明压缩效果越好。
3. 压缩映射原理的应用压缩映射原理在各个领域都有着广泛的应用。
下面列举了一些常见的应用场景：3.1 图片压缩压缩映射原理在图像处理中的应用非常广泛。
通过将图像像素进行映射和编码压缩，可以有效地减小图像的文件大小。
图像压缩既可以减小存储空间，也可以提高图像的传输速度。
3.2 音频压缩压缩映射原理在音频领域也有着重要的应用。
音频压缩可以将音频信号进行编码和压缩，从而减少音频文件的大小。
这种压缩常用于音乐、语音等领域，可以提高音频的传输效率和存储空间利用率。
3.3 视频压缩视频压缩是压缩映射原理在多媒体领域的重要应用。
通过对视频序列进行映射、编码和压缩，可以实现对视频数据的高效存储和传输。
视频压缩通常用于视频会议、视频监控、网络视频等领域。
3.4 数据传输压缩映射原理可以应用于数据传输中，特别是在网络传输中。
通过将数据进行映射和压缩，可以减小数据的传输时间和传输成本，提高数据传输的效率。
压缩映射原理及其应用
1 压缩映射原理
压缩映射原理是一种著名的算法，它使用一组非负整数实现从源
集合到长度更短的目标集合的映射。
它基于一个分段数学原理，也称
为累加比总和，被广泛用于图像处理和黑白分割、遥感图像研究中。
它可以将灰度图像或数字序列按照预定义的百分比比例压缩，比如20%、30%或50%等。
2 压缩映射的基本原理
压缩映射的基本原理是从图像源的最大灰度值开始，依次减去一
定的百分比值，比如15%，25%，50% ......等来进行层次分割，并只
保存最大层次分割灰度值，然后将所有灰度值都映射到对应的最大层
次分割灰度值上，以便减少灰度级数，从而减少图像像素的量化。
3 压缩映射的应用
压缩映射的应用非常广泛，它不仅可以用于图像压缩，还可以用
于数字图像处理，如图像滤波、图像锐化、图像去噪等。
另外，压缩
映射原理也可以用于遥感图像的分割，对遥感图像中的地物进行CT值
定位，减少分类误差，提高分类精度，进而提高遥感图像处理的应用
效果。
4 结论
压缩映射是一种有效的数字图像处理算法，主要用于图像压缩、图像滤波、图像锐化以及遥感图像分割等。
它可以有效地减少灰度级别，降低图像质量，提高处理速度，增强遥感图像处理的应用效果。
压缩映射原理
压缩映射原理，也被称为Banach压缩映射原理或Contraction Mapping Principle，是实分析中的一个重要定理。
它提供了解
决完备度公理的一种方法，可以证明某个映射存在唯一的不动点，并且这个不动点可以通过迭代方法逼近。
压缩映射原理的内容可概括为：如果在完备度量空间（如实数空间或某个完备的欧几里得空间）中有一映射，它将该空间中的元素映射为自身，且满足一定的收缩性质，即映射的Lipschitz常数小于1，那么这个映射存在唯一的不动点，即存
在一个元素被映射为自身。
具体来说，设X是一个完备度量空间，也就是有一个距离函
数d(x,y)满足完备性公理，而f是X上的一个压缩映射。
即存
在一个常数L（0<L<1），使得对于空间X中的任意x和y，
都有d(f(x),f(y))≤Ld(x,y)。
那么根据压缩映射原理，f在X中存在唯一的不动点，即存在一个x0使得f(x0)=x0。
更进一步地，对于给定的初始猜测值x1，可以通过迭代的方
式逼近x0。
即依次计算x2=f(x1),x3=f(x2),...，则序列{xk}收敛
于x0，且收敛速度很快。
这是因为L<1，每次迭代xk+1和xk 之间的距离都会缩小L倍，使得误差快速收敛。
压缩映射原理在数值计算和实际应用中有着广泛的应用。
例如，在非线性方程求解、微分方程数值解法、优化等问题中，可以利用压缩映射原理结合迭代方法，找到问题的解。
该原理也被应用于非线性动力系统的稳定性分析，通过分析压缩映射的性
质，可以判断系统是否收敛于特定的不动点。
因此，压缩映射原理在数学和工程领域中有着重要的作用。
压缩映射原理的内容包括压缩映射原理（也被称为Banach定理或完备映射原理）是数学分析中的一个重要定理，它是泛函分析中一类非常有用的映射性质的基础。
本文将从基本概念开始，详细介绍压缩映射原理的内容。
1. 压缩映射概念在介绍压缩映射原理之前，首先需要了解压缩映射的概念。
给定一个完备度量空间（例如实数轴上的空间），假设有一个自映射T：X→X，其中X是这个度量空间。
如果存在一个常数0≤k≤1，使得对于任意x、y∈X，满足d(Tx, Ty)≤kd(x, y)，那么T被称为一个压缩映射，常数k称为压缩映射的收缩因子。
2. 完备度量空间压缩映射原理是建立在完备度量空间上的。
一个度量空间X被称为“完备的”，如果其中每一个Cauchy序列都是收敛的。
一个序列{xn}是Cauchy序列，如果对于任意的ε>0，存在正整数N，使得对于任意的n、m>N，有d(xn, xm)<ε。
3. 压缩映射原理的陈述压缩映射原理的一个基本陈述如下：若X是一个非空的完备度量空间，且T：X→X是一个压缩映射，那么T在X上存在唯一的不动点，即存在一个x∈X，使得Tx=x。
4. 证明压缩映射原理的关键步骤要证明压缩映射原理，通常需要以下几个关键步骤：（1）证明不动点的存在性：通过构造一个适当的函数序列，可以得到一个收敛的函数序列，从而证明了不动点的存在。
（2）证明唯一性：假设存在两个不同的不动点x1和x2，利用压缩映射的性质推导出矛盾，从而证明唯一性。
（3）确定收敛性：通过构造一个适当的递归序列，证明这个序列是一个Cauchy序列，从而证明其收敛。
5. 压缩映射原理的应用压缩映射原理在数学分析领域具有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：（1）常微分方程的存在唯一性：通过将常微分方程转化为一个适当的积分方程形式，利用压缩映射原理可以证明其存在唯一解。
（2）泰勒级数法求近似解：在实际计算中，往往通过不断迭代求解来逼近一个方程的解。
叙述并证明压缩映射原理压缩映射原理，也被称为Banach原则或固定点定理，是函数分析中的一个重要定理。
该原理在数学领域中有广泛的应用，尤其在拓扑学、微积分学和动力系统领域中。
压缩映射原理简要地说，对于一个完备度量空间上的收缩映射，其将这个度量空间中的每一个元素映射到自身的一个更接近的点。
具体地说，设(X, d)是一个完备度量空间，f:X-->X是一个映射，如果存在一个常数k(0<k<1)，使得对于任意的x, y∈X，都有d(f(x), f(y))≤kd(x, y)，那么f称为一个压缩映射。
压缩映射原理指出，对于这样的压缩映射f，存在唯一的X中的点x_0，使得f(x_0)=x_0。
为了证明压缩映射原理，我们首先需要证明收缩映射的连续性。
对于任意的x_1和x_2∈X，我们有：d(f(x_1), f(x_2))≤kd(x_1, x_2)另一方面，由于度量空间X是完备的，所以对于一个Cauchy序列{x_n}在X中收敛于x，即lim_{n→∞d(x_n,x)}=0。
我们可以通过数学归纳法证明{x_n}是一个Cauchy序列。
首先，由于k<1，我们有：d(x_{n+1},x_n)≤kd(x_n,x_{n-1})≤k^2d(x_{n-1},x_{n-2})≤...≤k^n(x_1,x_0)由于k<1，所以k^n趋近于0，所以d(x_{n+1},x_n)也趋近于0。
因此，{x_n}是一个Cauchy序列，且由完备性可知其收敛于一些x∈X。
现在，我们定义一个函数序列{f_n}，其中f_1=f，f_2=f∘f，...，f_{n+1}=f∘f_n，...。
由于f是一个压缩映射，所以有：d(f_{n+1}(x),f_n(x))=d(f(f_n(x)),f_n(x))≤kd(f_n(x),x)≤k^n d(f(x),x)由此可得：d(f_{n+1}(x),f_n(x))≤k^nd(f(x),x)因此，我们得到了函数序列{f_n(x)}的一致收敛性。
一．压缩映射原理的证明定义1 设X 是度量空间，T 是X 到X 中的映射，如果存在一个数α，10<<α，使得对所有的X y x ∈,，成立),(),(y x d Ty Tx d α≤ （1）则称T 是压缩映射。
压缩映射在几何上的意思是说点x 和y 经T 映射后，它们像的距离缩短了，不超过),(y x d 的α倍)1(<α。
压缩映射是连续的，这是因为),(),(x x d Tx Tx d n n α≤若)0),((→→x x d x x n n ，显然有)0),((→→Tx Tx d Tx Tx n n ，故T 是连续映射。
定理1（压缩映射原理）设X 是完备的度量空间，T 是X 上的压缩映射，那么T 有且只有一个不动点（就是说，方程x Tx =，有且只有一个解）。
证明 设0x 是x 中任意一点，令,,021201x T Tx x Tx x ===…，01x T Tx x n n n ==-，…。
我们证明点列{}n x 是X 中柯西点列，事实上，111(,)(,)(,)m m m m m m d x x d Tx Tx d x x α+--=≤21212(,)(,)m m m m d Tx Tx d x x αα----=≤10(,)m d x x α≤≤ （2）由三点不等式，当n m >时，1121(,)(,)(,)(,)m n m m m m n n d x x d x x d x x d x x +++-≤+++1101()(,)m m n d x x ααα+-≤+++011(,)1n mmd x x ααα--=- 因01α<<，所以11n mα--<，于是得到01(,)(,)1mm n d x x d x x αα≤- ()n m > （3）所以当,m n →∞→∞时，(,)0m n d x x →，即{}n x 是X 中的柯西点列，由X 的完备，存在X x ∈，使x x m →（m →∞），又由三点不等式和条件(1), 我们有()()(),,,m m d x Tx d x x d x Tx ≤+()()1,,m m d x x d x x α-≤+上面不等式右端当m →∞时趋向于0，所以(),0d x Tx =，即x Tx =下证唯一性。
压缩映射原理在计算机科学和工程领域中，压缩映射原理是一种重要的数据压缩技术，它通过将高维数据映射到低维空间来实现数据压缩和降维。
这种技术在数据处理、图像处理、模式识别等领域有着广泛的应用，能够有效地减少数据存储和传输的开销，提高数据处理和分析的效率。
本文将从压缩映射原理的基本概念、原理和应用进行介绍，希望能够为读者提供一些有益的信息。
压缩映射原理的基本概念。
压缩映射原理是指将高维数据映射到低维空间的过程，通过这种映射，可以将原始数据的维度降低，从而达到数据压缩和降维的目的。
在实际应用中，我们通常会遇到高维数据，这些数据可能包含大量的冗余信息，而且在高维空间中进行数据处理和分析也会面临很大的挑战。
因此，通过压缩映射原理，我们可以将高维数据映射到低维空间，去除冗余信息，减少数据的存储和传输开销，同时也可以简化数据处理和分析的复杂度。
压缩映射原理的原理。
压缩映射原理的核心在于寻找一个合适的映射函数，将高维数据映射到低维空间，并且尽可能地保持数据的特征和结构。
常见的压缩映射方法包括主成分分析（PCA）、线性判别分析（LDA）、t分布邻域嵌入（t-SNE）等。
这些方法都是基于不同的数学原理和算法，能够有效地实现数据的压缩和降维。
以PCA为例，它通过寻找数据的主成分，将高维数据映射到低维空间。
在这个过程中，PCA会计算数据的协方差矩阵，然后找到这个矩阵的特征向量，将数据投影到这些特征向量上，从而实现数据的压缩和降维。
而t-SNE则是一种非线性的降维方法，它能够更好地保持数据的局部结构，适用于可视化高维数据。
压缩映射原理的应用。
压缩映射原理在数据处理、图像处理、模式识别等领域有着广泛的应用。
在数据处理方面，通过压缩映射原理，我们可以减少数据的存储和传输开销，提高数据处理和分析的效率。
在图像处理方面，压缩映射原理可以实现图像的压缩和降维，减小图像文件的大小，提高图像处理和传输的速度。
在模式识别方面，压缩映射原理可以帮助我们发现数据的潜在结构和规律，提高模式识别的准确性和效率。
巴拿赫压缩映射原理一种数学方法的应用与拓展一、引言在数学领域，巴拿赫压缩映射原理（或称巴拿赫不动点定理）是一个具有重要意义的结果。
本文旨在介绍压缩映射的概念，证明巴拿赫压缩映射原理，并探讨其在不同领域中的应用，特别是动态规划问题和经济学领域。
通过实例分析，我们将了解到压缩映射原理在证明问题解的存在性、均衡的存在性以及可到达性等方面具有广泛的应用。
二、压缩映射与巴拿赫不动点定理1.压缩映射定义：映射映射是集合到集合的关系，微观上，它是两个元素之间的元素的关系。
定义：压缩映射压缩映射是指在度量空间中，映射后的两点间距离小于原两点间距离。
具体来说，对于度量空间(M,d)，如果存在一个映射T：M→M，使得对于所有的x，y∈M，有d(Tx,Ty)≤d(x,y)，则称T为压缩映射。
2.不动点定理定义：不动点不动点是指在映射作用下，某个点x不受改变，即Tx=x。
不动点定理：在完备的距离空间中，压缩映射具有唯一不动点。
证明：不动点证明过程主要依据距离性质、压缩映射性质和完备性。
首先，通过三角不等式和压缩映射性质，我们可以得到d(x,Tx)<d(x,x)。
然后，利用完备性，我们可以证明Tx会收敛到某个点x，即存在极限lim(Tnx)=x。
最后，通过反证法证明x唯一，假设存在另一个不动点y，则会导出d(x,y)=0，与距离性质矛盾。
三、压缩映射原理的应用1.动态规划问题压缩映射原理可以用来证明动态规划问题解的存在性。
在动态规划中，状态转移方程可以表示为T(x)=f(x)，其中f(x)是关于x的函数。
如果f(x)满足压缩映射条件，那么根据巴拿赫压缩映射原理，我们可以得知动态规划问题存在唯一解。
2.经济学领域在经济学中，压缩映射原理可以用来证明均衡的存在性以及可到达性。
例如，在微观经济学中，投入产出分配方程组可以表示为T(x)=x，其中x为投入产出向量。
通过证明T为压缩映射，我们可以得知投入产出分配方程组存在唯一解，从而证明市场均衡的存在性以及可到达性。
泛函分析题1_1压缩映射原理p9
1.1.1 证明完备度量空间的闭子集是完备的子空间，而任一度量空间中的完备子空间必是闭子集．
证明：(1) 设(X, ρ)是完备度量空间，A⊆X，A是X的闭子集．
若{x n}是A中的Cauchy列，则{x n}也是X中的Cauchy列．
因(X, ρ)完备，故{x n}收敛于X中某点x．
而A是X的闭子集，且{x n}是A中的点列，故其极限x也在A中．
因此，{x n}是子空间A中收敛列．
所以，子空间(A, ρ)是完备的．
(2) 设(X, ρ)是度量空间，B⊆X，B是X的完备子空间．
若{x n}是B中的点列，且在X中收敛于x∈X．
则{x n}是X中的Cauchy列，因此{x n}也是B中的Cauchy列．
由B是X的完备子空间，故{x n}也是B中的收敛列．
若{x n}在B中收敛于y∈B，则{x n}作为X中的点列也收敛于y．
由极限的唯一性，x∈y．故x∈B．
所以B是X中的闭子集．
1.1.2 (Newton法) 设f是定义在[a, b]上的二次连续可微的实值函数，z∈(a, b)使得
f (z) = 0，f’(z) ≠ 0．求证存在z的邻域U(z)，使得∀x0∈U(z)，迭代序列
x n +1 = x n-f (x n)/f’(x n)( n = 0, 1, 2, ...)
是收敛的，并且lim n→∞x n= z．
证明：首先，由f’(z) ≠ 0，存在z的邻域V⊆ (a, b)，使得f’在cl(V)上总不为0．设m = min {| f’(x) | x∈cl(V)}，M = max {| f’’(x) | x∈cl(V)}，则m > 0．
由f (z) = 0，存在z的邻域U= ( z -δ , z +δ ) ⊆V，使得
∀t∈cl(U)，| f (t) | ≤m2/( M + 1)．
设T : cl(U)→ ，T(x) = x-f (x)/f’(x)．则T在cl(U)上是连续可微的．
则∀x, y∈cl(U)，存在ξ∈U，使得T(x) -T(y) = T’(ξ)(x-y)．
故| T(x) -T(y) | = | T’(ξ) | · | x-y | = | f(ξ) f’’(ξ)/f’(ξ)2| · | x-y |
≤m2M/(( M + 1)m2) · | x-y | = (M/( M + 1)) · | x-y |．
特别地，∀x∈cl(U)，| T(x) -T(z) | ≤ (M/( M + 1)) · | x-z | ≤ | x-z | ≤δ．
而T(z) = z-f (z)/f’(z) = z，故| T(x) -z | ≤δ，即T(x)∈cl(U)．
所以，T是cl(U)上的压缩映射．
∀x0∈U，迭代序列x n +1 = x n-f (x n)/f’(x n)( n = 0, 1, 2, ...)
就是cl(U)上的压缩映射T所产生迭代序列x n +1 = T(x n)( n = 0, 1, 2, ...)．
由压缩映射原理，{x n}是收敛的，并且lim n→∞x n= z．
1.1.3 设(X, ρ)是度量空间，映射T : X→X满足ρ(Tx, Ty) < ρ(x, y) (∀x ≠y)，并且已知T有不动点，求证此不动点是唯一的．
证明：若不然，设T有不同的不动点x, y∈X，则ρ(x, y) = ρ(Tx, Ty) < ρ(x, y)，矛盾．故T的不动点是唯一的．
1.1.4 设T是度量空间上的压缩映射，求证T是连续的．
证明：设(X, ρ)是度量空间，0 < α< 1，T : X→X是满足
ρ(Tx, Ty) ≤α·ρ(x, y)(∀x, y∈X )
的压缩映射．
若{x n}是X中收敛于x的点列，则ρ(x n, x)→ 0．
而ρ(Tx n, Tx) ≤α·ρ(x n, x)，故有ρ(Tx n, Tx) → 0．
因此T连续．
1.1.5 设T是压缩映射，求证T n (n∈ +)也是压缩映射，并说明逆命题不一定成
立．
证明：(1) 设(X, ρ)是度量空间，0 < α< 1，T : X→X是满足
ρ(Tx, Ty) ≤α·ρ(x, y)(∀x, y∈X )
的压缩映射．
∀n∈ +，若S = T n是压缩映射，则∀x, y∈X，有
ρ(T n+1x, T n+1y) = ρ(T n(Tx), T n(Ty)) = ρ(S(Tx), S(Ty)) ≤ρ(Tx, Ty) ≤α·ρ(x, y)．
所以T n+1也是压缩映射．
由数学归纳法原理，T n (n∈ +)都是压缩映射．
(2) 逆命题不成立的例子：
考虑T : [0, 2]→ [0, 2]，其中T定义如下：
当x∈[0, 1]时，T(x) = 0；当x∈(1, 2]时，T(x) = x - 1．
显然T不是压缩映射．
但∀x∈[0, 2]，T(T(x)) = 0．
因此，T2是压缩映射．
1.1.6 设M是( n, ρ)中的有界闭集，映射T : M→M满足：ρ(Tx, Ty) < ρ(x, y) (∀x, y∈M，x ≠y)．求证T在M中存在唯一的不动点．
证明：(反证法) 假若T在M中没有不动点．
显然，T在M上是连续的，故函数ρ(x, Tx)在M上连续且恒大于0．
因M是( n, ρ)中的有界闭集，故ρ(x, Tx)在M中某点x0处达到下确界．
0 < ρ(x0 , Tx0 ) ≤ρ(Tx0 , T2x0 ) < ρ(x0 , Tx0)，矛盾．
所以，T在M中存在不动点．
根据1.1.3，该不动点是唯一的．
1.1.7 对于积分方程x(t) -λ⎰[0, 1]e t–s x(s) ds = y(t)，其中y(t)∈C[0, 1]为一给定函数，λ为常数．| λ| < 1，求证存在唯一解x(t)∈C[0, 1]．
证明：首先积分方程等价于e–t x(t) -λ⎰[0, 1]e–s x(s) ds = e–t y(t)，
令z(t) = e–t x(t)，w(t) = e–t w(t)，则方程变为z(t) -λ⎰[0, 1]z(s) ds = w(t)．
因此只要证明上面的方程有唯一解z(t)∈C[0, 1]．
设T : C[0, 1] →C[0, 1]，(Tz)(t) = w(t) + λ⎰[0, 1]z(s) ds．
则∀z1, z2∈C[0, 1]，
| (Tz1)(t) - (Tz2)(t) | = | λ| · | ⎰[0, 1] (z1(s) -z2(s)) ds |
≤ | λ| ·⎰[0, 1] | z1(s) -z2(s) | ds ≤ | λ| · max t∈[0, 1] | z1(t) -z2(t) |；
故ρ(Tz1, Tz2) ≤ | λ| ·ρ(z1, z2)．
因此，T是C[0, 1]上的压缩映射．
故T在C[0, 1]上有唯一不动点．
即存在唯一的z(t)∈C[0, 1]，使得z(t) = w(t) + λ⎰[0, 1]z(s) ds．
[第1节完] ∀∃∅-⨯±≠≥·◦≤≡⊕⊗≅αβχδεφγηιϕκλμνοπθρστυϖωξψζ∞∙︒ℵℜ℘∇∏∑⎰ℓ⊥ √§
∈∉⊆⊂⊃⊇⊄⊄∠⇒♣♦♥♠§ #↔→←↑↓⌝∨∧⋃⋂⇔⇒⇐∆∑ΓΦΛΩψ∂。
