2020-2021学年吉林省辽源市田家炳高级中学友好学校高一（下）期末数学试卷一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.复数2−i在复平面内对应的点位于()1−iA. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2.高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，求这7人的第60百分位数为()A. 168B. 175C. 172D. 1763.已知向量a⃗=(2,1),b⃗ =(m,−1)，且a⃗⊥(a⃗−b⃗ )，则m的值为()A. 1B. 3C. 1或3D. 44.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a=1，A=30°，b=2，则角C的度数为()A. 30°B. 60°C. 30°或60°D. 90°5.已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题中正确的是()A. 若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥βB. 若m//n，n⊂β，则m//βC. 若m⊥α，m//n，n//β，则α⊥βD. 若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α//β6.某商场一年中各月份的收入、支出(单位：万元)情况的统计如折线图所示，则下列说法正确的是()A. 1至2月份的收入的变化率与10至11月份的收入的变化率相同B. 支出最高值与支出最低值的比是5：1C. 第三季度平均收入为50万元D. 利润最高的月份是2月份7.如图所示，在正方形ABCD中，E为AB的中点，F为CE的中点，则AF⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +14AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗B. 14AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗C. 12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗8.在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且b2+c2=a2+bc.若sinB×sinC=sin2A，则△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等边三角形D. 等腰直角三角形9.为了调查学生的复习情况，高三某班的全体学生参加了一次在线测试；成绩的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100].若成绩在[60,80)的人数是16，则低于60分的人数是()A. 6B. 12C. 15D. 1810.一个三位自然数百位，十位，个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当a>b，b<c时称为“凹数”(如213，312等)，若a，b，c∈{1,2，3，4}且a，b，c互不相同，则这个三位数是“凹数”的概率是()A. 16B. 524C. 13D. 72411.如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()A. √105B. 2√65C. √155D. √6312.海伦公式是利用三角形的三条边的边长a，b，c直接求三角形面积S的公式，表达式为：S=√p(p−a)(p−b)(p−c)，p=a+b+c2；它的特点是形式漂亮，便于记忆．中国宋代的数学家秦九韶在1247年独立提出了“三斜求积术”，虽然它与海伦公式形式上有所不同，但它与海伦公式完全等价，因此海伦公式又译作海伦−秦九韶公式．现在有周长为10+2√7的△ABC满足sin A：sin B：sinC=2：3：√7，则用以上给出的公式求得△ABC的面积为()A. 8√7B. 4√7C. 6√3D. 12二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 的夹角为30°，|a⃗|=2，|b⃗ |=√3，则|a⃗+2b⃗ |=______．14.若一组样本数据2，3，7，8，a的平均数为5，则该组数据的方差s2=_____．15.若复数z满足|z−3−4i|=1，则|z|的最小值为______．16.已知直三棱柱ABC−A1B1C1的高为2√3，BC=√3，∠BAC=120°，则该三棱柱外接球的表面积为______；三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.设m∈R，复数(m2−5m+6)+(m2−3m)i是纯虚数．(1)求m的值；(2)若−2+mi是方程x2+px+q=0的一个根，求实数p，q的值．18.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且ba =√3cosBsinA．(Ⅰ)求角B的大小；(Ⅱ)若b=2√3，△ABC的面积为2√3，求△ABC的周长．19.如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．(I)求证：BM//平面ADEF；(II)求证：平面BDE⊥平面BEC．20.一机构随机调查了某小区100人的月收入情况，将所得数据按[1000,2000)，[2000,3000)，[3000,4000)，[4000,5000)，[5000,6000)，[6000,7000](单位：元)分成六组，并且作出如图所示的频率分布直方图．(1)根据频率分布直方图求数据在[2000,3000)内的频率并估计样本数据的中位数；(2)根据题目分组情况，按分层抽样的方法在[1000,2000)，[5000,6000)，[6000,7000]三组中抽取6人，再从这6人中抽取2人，求至少有一人收入在[5000,6000)的概率．21. 如图，在四棱锥P −ABCD 中，底面ABCD 是平行四边形，∠ADC =60°，AB =12AD ，PA ⊥面ABCD ，E 为PD 的中点．(Ⅰ)求证：AB ⊥PC;(Ⅱ)若PA =AB =12AD =2，求三棱锥P −AEC 的体积．22. 为普及抗疫知识、弘扬抗疫精神，某学校组织防疫知识竞赛.比赛共分为两轮，每位参赛选手均须参加两轮比赛，若其在两轮比赛中均胜出，则视为赢得比赛.已知在第一轮比赛中，选手甲、乙胜出的概率分别为35，34；在第二轮比赛中，甲、乙胜出的概率分别为23，25；甲、乙两人在每轮比赛中是否胜出互不影响．(1)从甲、乙两人中选取1人参加比赛，派谁参赛赢得比赛的概率更大？(2)若甲、乙两人均参加比赛，求两人中至少有一人赢得比赛的概率．答案和解析1.【答案】A【解析】解：∵2−i1−i =(2−i)(1+i)(1−i)(1+i)=32+i2，∴复数2−i1−i 在复平面内对应的点的坐标为(32,12)，位于第一象限．故选：A．利用复数代数形式的乘除运算化简，求出所对应点的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．2.【答案】B【解析】解：高二(1)班7人宿舍中每个同学的身高分别为170，168，172，172，175，176，180，把这7人的身高从小到大排列为：168，170，172，172，175，176，180，7×60%=4.2，∴第5个数据为这7人的第60百分位数，即这7人的第60百分位数为175．故选：B．把这7人的身高从小到大排列，由7×60%=4.2，得到第5个数据为这7人的第60百分位数．本题考查7人的第60百分数的求法，考查一组数据的第p百分位的求法，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】B【解析】解：∵向量a⃗=(2,1)，b⃗ =(m,−1)，且a−⊥(a−−b−)，∴a⃗−b⃗ =(2−m,2)，∴a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=2(2−m)+2=0，解得m=3．故选：B．推导出a⃗−b⃗ =(2−m,2)，再由a⃗⋅(a⃗−b⃗ )=2(2−m)+2=0，能求出m的值．本题考查实数值的求法，考查平面向量坐标运算法则、向量垂直的性质等基础知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．4.【答案】B【解析】解：由正弦定理asinA =bsinB，即1sin30∘=2sinB，所以sinB=1.故B=90°．故C=180°−90°−30°=60°．故选：B．由已知结合正弦定理即可求解B，然后结合三角形的内角和可求．本题主要考查了正弦定理在求解三角形中的应用，属于基础试题．5.【答案】C【解析】解：已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，对于A，若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α、β的关系是垂直、相交或平行，则A错误；对于B，若m//n，n⊂β，则m、β的关系是平行或m在平面β内，则B错误；对于C，若m⊥α，m//n，n//β，则m//β或m在β平面内，因为m⊥α，所以α、β的关系是垂直，则C正确；对于D，若m⊂α，n⊂α，m//β，n//β，则α、β的关系是垂直、相交或平行，则D 错误．故选：C．利用空间直线和平面的位置关系，即线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，线面平行和线线平行的判断和性质对每一选项进行判断即可．本题考查空间直线和平面的位置关系，考查线面垂直和面面垂直的判定和性质定理，注意定理的条件是解题的关键，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：A选项，1至2月份的收入增长30万元，10至11月份的收入增长20万元，变化率不同，说法错误．B选项，支出最高值为60，支出最低值为10，比例是6：1，说法错误．C选项，7，8，9月的收入分别为40，50，60，故第三季度平均收入为50万元，说法正确．D 选项，10月份的利润为30万元，大于2月份的利润20万元，说法错误．故选：C ．利用统计图表读出各月份的收入，支出，再进行判断．本题考查统计图图表的理解，属于基础题．7.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了平面向量的基本定理的简单应用，属于基础题．根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )，结合向量加法的四边形法则及平面向量的基本定理可求．【解答】解：根据题意得：AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +AE ⃗⃗⃗⃗⃗ )， 又AC⃗⃗⃗⃗⃗ =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ， 所以AF ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选D ．8.【答案】C【解析】【分析】直接利用余弦定理的应用求出A 的值，进一步利用正弦定理得到：b =c ，最后判断出三角形的形状．本题考查的知识要点：正弦定理和余弦定理及三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．【解答】解：在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且b 2+c 2=a 2+bc ．则：cosA =b 2+c 2−a 22bc =bc 2bc =12，由于：0<A<π，故：A=π3．由于：sinBsinC=sin2A，利用正弦定理得：bc=a2，所以：b2+c2−2bc=0，故：b=c，所以：△ABC为等边三角形．故选C．9.【答案】B【解析】解：有直方图得成绩在[60,80)的频率为1−(0.005+0.010+0.015)×20=0.4，又成绩在[60,80)的人数是16，∴总人数160.4=40，则低于60分的人数是40×0.015×20=12，故选：B．根据频率分布直方图，利用频率、频数与样本容量的关系即可解答．本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、频数与样本容量的应用问题，是基础题．10.【答案】C【解析】解：根据题意，要得到一个满足a≠c的三位“凹数”，在{1,2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数组成三位数，有C43×A33=24种取法，在{1,2，3，4}的4个整数中任取3个不同的数，将最小的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上，有C43×2=8种情况，则这个三位数是“凹数”的概率是824=13；故选：C．根据题意，分析“凹数”的定义，可得要得到一个满足a≠c的三位“凹数”，在{1,2，3，4}的4个整数中任取3个数字，组成三位数，再将最小的放在十位上，剩余的2个数字分别放在百、个位上即可，再利用古典概型概率计算公式即可得到所求概率．本题考查组合数公式的运用，关键在于根据题干中所给的“凹数”的定义，再利用古典概型概率计算公式即得答案．11.【答案】A【解析】解：连结A1C1交B1D1于点O，连结BO，因为在长方体ABCD−A1B1C1D1中，因为AB=BC=2，所以C1O⊥B1D1，又BB1⊥平面A1B1C1D1，且C1O⊂平面A1B1C1D1，所以C1O⊥BB1，又BB1∩B1D1，且BB1，B1D1⊂平面BDD1B1，所以C1O⊥平面BDD1B1，所以∠C1BO为BC1与平面BDD1B1所成的角，因为C1O=12A1C1=√2，BC1=√4+1=√5，所以sin∠C1BO=C1OBC1=√2√5=√105．故选：A．连结A1C1交B1D1于点O，连结BO，利用线面垂直的判定定理证明C1O⊥平面BDD1B1，结合线面角的定义得到∠C1BO为BC1与平面BDD1B1所成的角，然后在△C1BO中利用边角关系求解即可．本题考查了线面角的求解，在使用几何法求线面角时，可通过已知条件，在斜线上取一点作该平面的垂线，找出该斜线在平面内的射影，通过解直角三角形求得，属于中档题．12.【答案】C【解析】解：∵sinA：sin B：sinC=2：3：√7，∴a：b：c=2：3：√7，∵△ABC周长为10+2√7，即a+b+c=10+2√7，∴a=4，b=6，c=2√7，∴p=4+6+2√72=5+√7，∴△ABC的面积S=√(5+√7)(1+√7)(√7−1)(5−√7)=6√3．故选：C．由正弦定理得三角形三边之比，由周长求出三边，代入公式即可．本题考查了数学文化，考查了正弦定理、三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．13.【答案】2√7【解析】解：因为向量a⃗，b⃗ 的夹角为30°，|a⃗|=2，|b⃗ |=√3，所以(a⃗+2b⃗ )2=a⃗2+4a⃗⋅b⃗ +4b⃗ 2=22+4×2×√3×cos30°+4×(√3)2=28，所以|a⃗+2b⃗ |=2√7．故答案为：2√7．根据平面向量的数量积计算模长即可．本题考查了平面向量的数量积与模长应用问题，是基础题．14.【答案】265【解析】【试题解析】【分析】本题可运用平均数的公式：x=x1+x2+⋯+x nn解出a的值，再代入方差的公式中计算得出方差即可．本题主要考查的是平均数和方差的求法，解题的关键弄清计算公式，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．【解答】解：∵数据2，3，7，8，a的平均数为5，∴2+3+7+8+a=25，解得a=5，∴方差s2=15[(2−5)2+(3−5)2+(7−5)2+(8−5)2+(5−5)2]=265．故答案为265．15.【答案】4【解析】解：满足|z−3−4i|=1的复数z在复平面内对应的点在以C(3,4)为圆心，以1为半径的圆上，如图，则|z|的最小值为√32+42−1=4．故答案为：4．根据条件可知，满足|z−3−4i|=1的复数z在复平面内对应的点在以C(3,4)为圆心，以1为半径的圆上，然后求出|z|的最小值．本题考查复数模的求法，复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．16.【答案】16π【解析】解：设直三棱柱ABC−A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC的外接圆半径为r，直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，如图所示：，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的球心O为线段PM的中点，在△ABC中，BC=√3，∠BAC=120°，∴由正弦定理得：2r=BCsin1200=2，∴r=1，∴在Rt△OMC中，OC=R，OM=12×2√3=√3，MC=r=1，∴R2=12+(√3)2=4，∴直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的表面积为：4πR2=16π，故答案为：16π．设直三棱柱ABC−A1B1C1的上下底面的三角形的外接圆的圆心分别是点P，M，设△ABC 的外接圆半径为r，直三棱柱ABC−A1B1C1的外接球的半径为R，在△ABC中，由正弦定理得：2r=BCsin1200=2，所以r=1，在Rt△OMC中，OC=R，OM=12AA1=1，MC=r =1，所以R 2=4，从而求出直三棱柱ABC −A 1B 1C 1的外接球的表面积． 本题主要考查了三棱柱的外接球，是中档题．17.【答案】解：(1)∵复数(m 2−5m +6)+(m 2−3m)i 是纯虚数，所以∴{m 2−5m +6=0m 2−3m ≠0， 解得：{m =2或m =3m ≠0且m ≠3， ∴m =2；(2)∵−2+mi 是方程x 2+px +q =0的一个根，∴(−2+2i)2+p(−2+2i)+q =0，即(−2p +q)+(2p −8)i =0，∴{−2p +q =02p −8=0，解得：p =4，q =8．【解析】(1)根据纯虚数的定义求出m 的值即可；(2)将−2+mi 代入方程x 2+px +q =0，得到关于p ，q 的方程组，解出即可．本题考查了纯虚数的定义，考查复数的运算性质，是一道基础题．18.【答案】解：(1)由题意及正弦定理得sinB sinA =√3cosB sinA即sinB =√3cosB则tanB =√3∵0<B <π，∴B =π3(2)S △ABC =12acsinB =√34ac =2√3 ∴ac =8由余弦定理得b 2=a 2+c 2−2accosB∴12=a 2+c 2−ac =(a +c)2−3ac ，∴(a +c)2=36，a +c =6∴△ABC 的周长为6+2√3【解析】本题考查了正余弦定理和三角形面积公式的应用，考查了计算能力，属于中档题(1)由题意及正弦定理得sinBsinA =√3cosBsinA即sinB=√3cosB，tanB=√3即可得B．(2)S△ABC=12acsinB=√34ac=2√3，可得ac=8，由余弦定理得b2=a2+c2−2accosB，可得a+c即可得△ABC的周长．19.【答案】证明：(I)取DE中点N，连接MN，AN，在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，∴MN//CD，且MN=12CD，由已知中AB//CD，AB=AD=2，CD=4，∴MN//AB，且MN=AB，∴四边形ABMN为平行四边形，∴BM//AN，又∵AN⊂平面ADEF，BM⊄平面ADEF，∴BM//平面ADEF．(II)∵ADEF为正方形，∴ED⊥AD，又∵正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，平面ADEF∩平面ABCD=AD，且ED⊂平面ADEF，∴ED⊥平面ABCD，∵BC在平面ABCD内，∴ED⊥BC，在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=2√2，在△BCD中，BD=BC=2√2，CD=4，∴BC⊥BD，又∵ED与BD在平面BDE内相交于D点，∴BC⊥平面BDE，又∵BC⊂平面BEC，∴平面BDE⊥平面BEC．【解析】本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，熟练掌握空间中直线与平面平行和空间的判定、性质、定义是解答本题的关键．(I)取DE中点N，连接MN，AN，由三角形中位线定理易得，四边形ABMN为平行四边形，即BM//AN，再由线面平行的判定定理即可得到BM//平面ADEF；(II)由已知中正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB//CD，AB=AD=2，CD=4，我们易得到ED⊥BC，解三角形BCD，可得BC⊥BD，由线面垂直的判定定理，可得BC⊥平面BDE，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面BDE⊥平面BEC．20.【答案】解：(1)设数据在[2000,3000)内的频率为m，由频率分布直方图得：m=1−1000×(0.0001+0.00025+0.00025+0.00015+0.00005)=0.2，由题意知中位数在[3000,4000)，设中位数为x，则0.0001×1000+0.0002×1000+0.00025×(x−3000)=0.5，解得x=3800．(2)收入在[1000,2000)，[5000,6000)，[6000,7000]这三组的人数分别为10，15，5，所以按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别2，3，1．记收入在[1000,2000)的2人分别为a1，a2，收入在[5000,6000)的3人分别为b1，b2，b3，收入在[6000,7000]的1人为c，通过列举法可得从这6人中抽取2人的取法有：(a1,a2)，(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a1,c)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(a2,c)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)，(b1,c)，(b2,c)，(b3,c)，共15种，其中至少有一人收入在[5000,6000)的取法有：(a1,b1)，(a1,b2)，(a1,b3)，(a2,b1)，(a2,b2)，(a2,b3)，(b1,b2)，(b1,b3)，(b2,b3)，(b1,c)，(b2,c)，(b3,c)，共12种，所以至少有一人收在[5000,6000)概率为P=1215=45．【解析】(1)由频率分布直方图求出m，推导出中位数在[3000,4000)，列出方程，能求出中位数．(2)收入在[1000,2000)，[5000,6000)，[6000,7000]这三组的人数分别为10，15，5，按分层抽样的方法在各组抽取的人数分别2，3，1.记收入在[1000,2000)的2人分别为a1，a2，收入在[5000,6000)的3人分别为b1，b2，b3，收入在[6000,7000]的1人为c，利用列举法能求出至少有一人收在[5000,6000)概率．本题考查中位数、概率的求法，考查频率分布直方图的性质、分层抽样等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题．21.【答案】证明：(Ⅰ)因为PA⊥面ABCD，又AB⊂平面ABCD，所以AB⊥PA，又因为∠ABC=∠ADC=60°，AB=12AD=12BC，在△ABC中，由余弦定理有：AC2=AB2+BC2−2AB⋅BC⋅cos60°=BC2−AB2所以AB2+AC2=BC2，即：AB⊥AC，又因为PA∩AC=A，又PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以AB⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以AB⊥PC．解：(Ⅱ)由已知有：PA=AB=12AD=2，所以PA=AB=2，AD=4，因为PA⊥面ABCD，且E为PD的中点，所以E点到平面ADC的距离为12PA=1，所以三棱锥P−AEC的体积：V P−AEC=V D−AEC=V E−ADC=13S△ADC·12PA=13×12×2×4×sin60°×1=2√33．【解析】本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．(Ⅰ)推导出AB⊥PA，AB⊥AC，从而AB⊥平面PAC，由此能证明AB⊥PC．(Ⅱ)根据PA⊥面ABCD，由V P−AEC=V D−AEC=V E−ADC，能求出三棱锥P−AEC的体积．22.【答案】解：(1)设事件A 1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A 2表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件B 1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B 2表示“乙在第二轮比赛中胜出”， 则A 1A 2表示“甲赢得比赛”，P(A 1A 2)=P(A 1)P(A 2)=35×23=25，B 1B 2表示“乙赢得比赛“，P(B 1B 2)=P(B 1)P(B 2)=34×25=310，∵25>310，∴派甲参赛赢得比赛的概率更大．(2)设C 表示“甲赢得比赛”，D 表示“乙赢得比赛”，由(1)知P(C −)=1−P(A 1A 2)=1−25=35， P(D −)=1−P(B 1B 2)=1−310=710，∴C ∪D 表示“两人中至少有一个赢得比赛”，∴P(C ∪D)=1−P(C −D −)=1−P(C −)P(D −)=1−35×710=2950．【解析】(1)设事件A 1表示“甲在第一轮比赛中胜出”，事件A 2表示“甲在第二轮比赛中胜出”，事件B 1表示“乙在第一轮比赛中胜出”，事件B 2表示“乙在第二轮比赛中胜出”，则A 1A 2表示“甲赢得比赛”，B 1B 2表示“乙赢得比赛“，利用相互独立事件概率乘法公式分别求出甲赢得比赛的概率和乙赢得比赛的概率，由此得到派甲参赛赢得比赛的概率更大．(2)设C 表示“甲赢得比赛”，D 表示“乙赢得比赛”，C ∪D 表示“两人中至少有一个赢得比赛”，P(C ∪D)=1−P(C −D −)=1−P(C −)P(D −)，由此能求出两人中至少有一人赢得比赛的概率．本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式、对立事件概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．。
