《运用平方差公式因式分解》教案、导学案、同步练习

第1课时 利用平方差公式进行因式分解1．理解平方差公式，弄清平方差公式的形式和特点；(重点)2．掌握运用平方差公式分解因式的方法，能正确运用平方差公式把多项式分解因式．(难点)一、情境导入1．同学们，你能很快知道992－1是100的倍数吗？你是怎么想出来的？请与大家交流．2．你能将a 2－b 2分解因式吗？你是如何思考的？二、合作探究探究点一：用平方差公式因式分解 【类型一】 判定能否利用平方差公式分解因式下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A ．a 2＋(－b )2B ．5m 2－20mnC ．－x 2－y 2D ．－x 2＋9解析：A 中a 2＋(－b )2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；B 中5m 2－20mn 两项都不是平方项，不能用平方差公式分解因式，错误；C 中－x 2－y 2符号相同，不能用平方差公式分解因式，错误；D 中－x 2＋9＝－x 2＋32，两项符号相反，能用平方差公式分解因式，正确．故选D.方法总结：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．【类型二】 利用平方差公式分解因式分解因式：(1)a 4－116b 4；(2)x 3y 2－xy 4. 解析：(1)a 4－116b 4可以写成(a 2)2－(14b 2)2的形式，这样可以用平方差公式分解因式，而其中有一个因式a 2－14b 2仍可以继续用平方差公式分解因式；(2)x 3y 2－xy 4有公因式xy 2，应先提公因式再进一步分解因式．解：(1)原式＝(a 2＋14b 2)(a 2－14b 2)＝(a 2＋14b 2)(a －12b )(a ＋12b )； (2)原式＝xy 2(x 2－y 2)＝xy 2(x ＋y )(x －y )．方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止． 【类型三】 利用因式分解整体代换求值 已知x 2－y 2＝－1，x ＋y ＝12，求x －y 的值． 解析：已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将x ＋y 的值代入计算即可求出x －y 的值．解：∵x 2－y 2＝(x ＋y )(x －y )＝－1，x ＋y ＝12，∴x －y ＝－2. 方法总结：有时给出的条件不是字母的具体值，就需要先进行化简，求出字母的值，但有时很难或者根本就求不出字母的值，根据题目特点，将一个代数式的值整体代入可使运算简便．探究点二：用平方差公式因式分解的应用【类型一】 利用因式分解解决整除问题248－1可以被60和70之间某两个自然数整除，求这两个数．解析：先利用平方差公式分解因式，再找出范围内的解即可．解：248－1＝(224＋1)(224－1)＝(224＋1)(212＋1)(212－1)＝(224＋1)(212＋1)(26＋1)(26－1)．∵26＝64，∴26－1＝63，26＋1＝65，∴这两个数是65和63.方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析被哪些数或式子整除．【类型二】 利用平方差公式进行简便运算利用因式分解计算：(1)1012－992；(2)5722×14－4282×14. 解析：(1)根据平方差公式进行计算即可；(2)先提取公因式，再根据平方差公式进行计算即可． 解：(1)1012－992＝(101＋99)(101－99)＝400；(2)5722×14－4282×14＝(5722－4282)×14＝(572＋428)(572－428)×14＝1000×144×14＝36000. 方法总结：一些比较复杂的计算，如果通过变形可转化为平方差公式的形式，则可以使运算简便．【类型三】 因式分解的实际应用如图，100个正方形由小到大套在一起，从外向里相间画上阴影，最里面一个小正方形没有画阴影，最外面一层画阴影，最外面的正方形的边长为100cm ，向里依次为99cm ，98cm ，…，1cm ，那么在这个图形中，所有画阴影部分的面积和是多少？解析：相邻两正方形面积的差表示一块阴影部分的面积，而正方形的面积是边长的平方，所以能用平方差公式进行因式分解．解：每一块阴影的面积可以表示成相邻正方形的面积的差，而正方形的面积是其边长的平方，这样就可以逆用平方差公式计算了．则S阴影＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋42－32＋22－12＝100＋99＋98＋97＋…＋2＋1＝5050(cm2)．答：所有阴影部分的面积和是5050cm2.方法总结：首先应找出图形中哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的，通过分析找到各部分的变化规律后直接利用规律求解．探寻规律要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题．三、板书设计1．平方差公式：a2－b2＝(a＋b)(a－b)；2．平方差公式的特点：能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反．运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简；二是分解因式时，每个因式都要分解彻底。

课题: 用公式法平方差公式因式分解 课 型：新授 课时:第1课时【学习目标】1. 使学生进一步理解因式分解的意义，掌握用平方差公式因式分解的方法。

.2. 掌握提公因式法、平方差公式法因式分解的综合运用。

【学习重点】：用平方差公式法进行因式分解.【学习难点】：把多项式进行必要变形，灵活运用平方差公式因式分解 【学习过程】（一）复习引入（约5分钟，独立完成）1、运用平方差公式计算：(a+b)(a-b) =1) .（a+2)(a-2)= ；2). (-4s+t)(t+4s)= 3) .( 2n+ m)(2n- m)= ； 4). (x+2y) (x-2y) = 2、快速热身1）.236()= 2）. 224()m = 3）.2225()n = 4）.229()16c = 5）.22264()x y = 6）.442100()p q =（二）引导自学 初步达标 (约15分钟，独立完成)自学课本116页思考下面问题： 读书思考：1.因式分解中的平方差公式与乘法公式中的平方差公式有什么区别和联系？2.你能用平方差公式把多项式362-x 因式分解吗?尝试用你的发现把下面多项式因式分解。

(1)()()()()_________36222-+=-=-x .(2)_________________________162==-a3.归纳:我们把整式乘法的平方差公式:(a+b)(a-b)=反过来就得到因式分解的平方差公式:________________22=-b a用文字描述为: . 4.下列多项式能用平方差公式分解因式的是①22y x + ②24a -+ ③22x y - ④222y xy x -+ ⑤2249m n - 5.运用新知解决问题 [例3]分解因式（1）942-x （2）()()22x q x p +-+变式练习把下列多项式分解因式.（1）2916x - （2） ()()2222a a +--[例4]因式分解：（1）44y x - （2）3a b ab -变式练习把下列多项式分解因式.（1）44a b - （2） 3³12 3x y xy -（三）合作探究 达成目标 (约8分钟，独立完成) 1.因式分解的平方差公式:_________________________22=-b a2.学习小结:公式法因式分解的基本步骤: 294x -(1)找平方 ：()()22- (2)看符号：（ ）（ ） 两个数的平方差 (3)代公式：()()22a b a b a b -=+- ()()()()22294________x -=-=+-(4)查正负、审系数4.利用上述归纳的特征对下列各式因式分解：（1）2425x -= （2）22216a b c -=(3)21p -+=____________ (4) 2()4a b +-=______________(5)328xx -=________ (6) y y x 442-=____________（四）课堂小结(约2分钟，独立完成)⑴对自己说我的收获 。

14.3.2 公式法第1课时运用平方差公式因式分解教学内容第1课时运用平方差公式因式分解课时1核心素养目标1.会用数学的眼光观察现实世界：学生能够抽象实际生活的问题中的数量关系，概括提公式法（运用平方差公式因式分解）的实际意义，并运用平方差公式因式分解解决现实中的应用问题.2.会用数学的思维思考现实世界：在对平方差公式因式分解的探究中，了解平方差公式的几何意义，以及在实际生活中的应用.3.会用数学的语言表示现实世界：通过对运用平方差公式进行因式分解的探究学习，在经历猜想、验证、归纳的学习过程中，体会归纳的数学思想方法，逐步养成用数学语言表达与交流的习惯，感悟数据的意义与价值.知识目标1.理解并掌握平方差公式的特征和使用平方差公式因式分解的条件.2.能正确使用平方差公式进行因式分解.教学重点理解并掌握平方差公式的特征和使用平方差公式因式分解的条件教学难点正确使用平方差公式进行因式分解.教学准备课件教学过程主要师生活动设计意图一、情境导入二、探究新知一、创设情境，导入新知从前，有一位张大爷像地主租了一块“十字形”土地(如图).为了便于种植，张大爷提出换一块同等面积的长方形土地耕种.师生活动：学生在教师的引导下列出算式：由题意可得：十字形土地面积＝a2－4b2，长方形土地：长×宽＝a2－4b2教师追问：你能算出长方形土地的长和宽吗？预测学生发现不能用已有知识解决问题，引发思考.二、小组合作，探究概念和性质知识点：用平方差公式因式分解探究1：导入的问题，可以转化“如何将多项式a2- 4b2分解因式”，则a2- 4b2有什么特点？思考一：形如两数的平方差的多项式，可以分解因式吗？师生活动：学生独立思考并回答问题，教师顺势引出本课知识点的探究.设计意图：让学生借助已有的几何知识抽象问题中的数量关系，回归前面学习的整式的乘法性质，学生发现已有知识不能解决问题，从而激发对本节知识的学习兴趣.设计意图：培养学生的观察总结的能力.探究2：如图所示，阴影部分是一个边长为a的大正方形的右下角截去了一个边长为b的小正方形. 截完后阴影部分的面积是多少？师生活动：教师追问：问题1：你能用含a、b的式子表示变形前后阴影部分的面积吗？你发现了什么规律？学生独立思考，小组讨论进行计算.预设1：学生采用割补法计算，得出阴影部分面积为：a2-b2.预设2：部分学生联想（教师可引导学生）到把阴影部分变形进行计算.得到的面积为：(a + b)(a-b).教师提问是否还有其他计算方法.教师引导学生总结答案：a2-b2 = (a + b)(a-b).学生思考口述结论，教师板书总结.辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？师生活动：学生独立思考并作答，教师放映正确答案并引导学生总结：符合平方差的形式的多项式才能用平方差公式进行因式分解，即能写成( )2- ( )2的形式.想一想：张大爷这块“十字形”土地（如图）.换成同等面积的长方形土地. 那么这块长方形土地的长和宽可以是多少？设计意图：用面积变形的方法证明公式法，让学生更直观的感受运用平方差公式进行因式分解的几何含义，培养学生抽象概括能力.设计意图：让学生通过对图形的各种变形，得出统一结论，感受数学的严谨性，培养学生的发散性思维.设计意图：加深学生对运用平方差公式公式进行因式分解的条件的理解.设计意图：与导入前后呼应，让学生感悟因式分解在数学计算中的作用.三、当堂练习，巩固所学师生活动：学生独立思考并作答，教师整理为板书：典例精析例1 分解因式：(1) 4x2－9；(2) (x＋p)2－(x＋q)2.师生活动：学生独立思考，教师解析例题(1).学生独立完成例题(2)的计算.例2 分解因式：(1) x4-y4；(2) a3b-ab.师生活动：学生独立完成计算，学生代表发言.教师适时提示学生：检查是否还有能继续分解的因式，若有，继续分解. 先提公因式，再套用公式分解.师生共同完成板书并总结：三、当堂练习，巩固所学1. 下列多项式中能用平方差公式分解因式的是()A．a2 + (-b)2B．5m2- 20mnC．-x2-y2D．-x2 + 9设计意图：让学生在做题的过程中，学习如何正确变形多项式，运用平方差公式的条件进行因式分解.设计意图：锻炼运用平方差公式进行因式分解的能力，规范学生的解题步骤.设计意图：考查学生对运用平方差公式进行因式分解的条件的掌握.2. 分解因式(2x + 3)2-x2的结果是()A．3(x2 + 4x + 3) B．3(x2 + 2x + 3) C．(3x + 3)(x + 3) D．3(x + 1)(x + 3)3. 把下列各式分解因式：(1) 16a2- 9b2 = _________________；(2) (a + b)2- (a-b)2 = _______；(3) 9xy3- 36x3y =_________________；(4) -a4 + 16 =__________________.4. 若将(2x)n- 81分解成(4x2 + 9)(2x + 3)(2x- 3)，则n的值是______.设计意图：考查学生对提公因式法的理解和运用提公因式法因式分解多项式的能力.设计意图：考查学生运用提公因式法因式分解的能力.让学生感悟因式分解在数学计算中的作用.板书设计第1课时运用平方差公式因式分解运算法则：a2-b2 = (a + b)(a − b)文字说明：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.课后小结教师与学生一起回顾本节课所学的主要内容，梳理并完善知识思维导图.教学反思探索分解因式的方法，实际上是对整式乘法的再认识，因此要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生创设一个新的、具有启发性的情境，激励学生通过独立思考与讨论交流发现问题情境中的变形关系，并运用数学符号进行表示，然后再运用所学的知识去解决相关的问题.同时在这一对比整式的乘法而探索分解因式方法的相关活动过程中，力图渗透类比思想，让学生体会、理解、认识分解因式的意义，感受因式分解与整式乘法之间的联系，让学生不仅能够理解，归纳分解因式变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性，为后面学习公式法2和十字相乘法打下良好的基础——加深整式乘法与因式分解的互逆关系的认识、培养自主学习探究学习的习惯.。

14.3.2 公式法第1课时 运用平方差公式因式分解学习目标：1．经历用平方差公式法分解因式的探索过程，理解公式中字母的意义。

2．会用平方差公式法对多项式进行因式分解。

3．体会从正、逆两个方面认识和研究事物的方法。

学习重、难点：学习重点：应用平方差公式分解因式；学习难点：正确运用平方差公式进行因式分解.学习过程：一、复习与交流(a+2)(a-2)= (-x+3)(-x-3)= (3a+2b)(3a-2b)=二、创设情境、引入课题自学课本P119-120,完成下列问题。

1．公式法分解因式在此公式是指什么公式？2．什么条件下可以用平方差公式进行因式分解？3．如何将多项式x 2-1和9x 2-4分解因式？三、一起探究，解决问题你能像分解x 2-1和9x 2-4一样将下面的多项式分解因式吗？⑴p 2-16= ; ⑵y 2-4= ;⑶ x 2-91= ; ⑷a 2-b 2= . 实际上，把平方差公式 (a +b )(a -b )= a 2-b 2逆过来，就得到 a 2-b 2=(a +b )(a -b )。

那么，一个整式只要表示成两个整式的平方差的形式，就可以用平方差公式分解因式，这种分解因式的方法叫做 。

例1 把下列各式分解因式：⑴36－a2；⑵4x2-9y2.解：例2 把下列各式分解因式：⑴a3-16a；⑵2ab3-2ab.解：四、随堂练习1．下列多项式，能用平分差公式分解的是（）A．－x2－4y2B．9 x2+4y2C．－x2+4y2D．x2+（－2y）22.分解因式：25－(m+2p)2 =3．分解因式：2ax2－2ay2=4．分解因式：x5－x3= .5. 分解因式：a2-(a+b)2= .6. 分解因式：9(m+n)2-16(m-n)2五、拓展练习小明说：对于任意的整数n，多项式（4n2+5）2－9都能被8整除．他的说法正确吗？说明你的理由．非常感谢！您浏览到此文档。

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2024北师大版数学八年级下册4.3.1《用平方差公式进行因式分解》教学设计一. 教材分析《2024北师大版数学八年级下册4.3.1《用平方差公式进行因式分解》》这一节内容是在学生学习了平方差公式的基础上进行的一个实践活动。

平方差公式是初中数学中的一个重要公式，它不仅可以简化计算，还可以用来解决一些因式分解的问题。

本节课通过实例讲解，让学生掌握平方差公式的应用，提高他们的数学解题能力。

二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经学习了平方差公式，对公式有一定的理解。

但是，如何将平方差公式应用到实际的因式分解中，可能还存在一定的困难。

因此，在教学过程中，需要引导学生将理论知识与实际问题相结合，提高他们的解题技巧。

三. 教学目标1.理解平方差公式的含义，掌握平方差公式的结构。

2.能够将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式，并进行解答。

3.培养学生的逻辑思维能力，提高他们的数学解题能力。

四. 教学重难点1.掌握平方差公式的结构。

2.如何将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式。

五. 教学方法采用讲解法、实践法、讨论法等教学方法，引导学生通过自主学习、合作交流，掌握平方差公式的应用。

六. 教学准备1.准备相关平方差公式的课件和教学素材。

2.准备一些实际的因式分解问题，用于课堂练习。

七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际的因式分解问题，引导学生回顾平方差公式。

例如：已知多项式x^2 - 4，请将其因式分解。

让学生尝试解答，然后给出解答过程和答案。

2.呈现（10分钟）讲解平方差公式的含义和结构，让学生理解平方差公式的推导过程。

通过示例，讲解如何将实际的因式分解问题转化为平方差公式的形式。

3.操练（10分钟）让学生分组合作，解决一些实际的因式分解问题。

教师巡回指导，解答学生的问题，并给予反馈。

4.巩固（10分钟）让学生自主选择一些练习题进行巩固练习，教师个别辅导，解答学生的问题。

5.拓展（10分钟）引导学生思考如何将平方差公式应用到更复杂的问题中，例如多项式的乘法、求解方程等。

运用平方差公式进行因式分解的导学案一、教学目标：（1）知识目标：使学生理解平方差公式的特点，灵活运用平方差公式分解因式；（2）能力目标：通过对平方差公式的辨析，培养学生观察能力；通过公式分解因式进一步培养学生的观察、归纳、逆向思维能力；（3）德育目标：通过本节的教学过程使学生掌握特殊的多项式可利用特殊的公式来分解因式，具体问题应具体分析的辨证唯物主义思想。

二、教学重点平方差公式三、教学难点正确熟练运用公式分解因式四、教学过程（一）复习旧识引入新知填空：（x + y) (x – y ) =(2x+ 3) (2x- 3) =(4m+n) (4m-n) =观察、讨论：上面等式的左边与右边有何特点？我们能用什么样的式子把上面的运算表示出来？学生总结得：平方差公式：a2-b2=(a+b) (a-b)理解公式类比运用新知9m2= ( ) 24n2= ( ) 29m2- 4n2= ( ) 2- ( ) 29m2- 4n 2= ( ) 2- ( ) 2= ( + ) ( - )考考你：同桌同学相互出有关平方差公式分解因式的题考考对方。

（二）巩固知识增强信心例1 把下列各式分解因式：(1) 1 – 25b2; (2) x2y 2– z2;4m2 x – 0.01n2 x(3)9（三）加强训练扩展思维分组讨论下列多项式可否用平方差公式？如果可以应分解成什么样子？如果不可以，说明理由。

(1) x2+y2; (2) x2– y2; (3) 3x2–4y2;(4) –x2+ y2; (5) –x2– y2; (6)0.9x2– y2;（四）巩固提高分解因式：1、(x+1) 2– 4y22、(ab – 3) 2– (c + d) 2.五、教学反思：本节课的内容是用平方差公式因式分解。

因式分解是本章的重点，也是难点。

虽然知识点只有一个公式：a2-b2=(a+b) (a-b)。

但题型的变化较多，易错点较多。

学生容易发生两种常见错误：一个是没有意识到应先提公因式，再就是分解不彻底。

4.3用平方差公式分解因式一、学习目标1．使学生掌握用平方差公式分解因式，体会转化思想．2．使学生了解，提公因式法是分解因式的首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解因式.3．通过对平方差公式特点的辨析，培养学生的观察能力，训练学生对平方差公式的运用能力.4.在引导学生逆用乘法公式的过程中，培养学生逆向思维和推理能力.二、学习重点与难点重点：让学生掌握运用平方差公式分解因式.难点：将某些单项式化为平方形式，再用平方差公式分解因式；培养学生多步骤分解因式的能力.三、学习过程（一）分享学习目标，达成互启共识1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．（重点）2.能会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．（难点）复习，引入微视频复习线段的比较方法.（二）创设旧知情境，导入新课课题出示问题和图片：如图，在边长为a米的正方形上剪掉一个边长为b米的小正方形，将剩余部分拼成一个长方形，根据此图形变换，你能得到什么公式？a2－b2=（a+b）（a－b）（三）观察特征，探索新知想一想：多项式a2－b2 有什么特点？你能将它分解因式吗？［生］是一个二项式，每项都可以化成整式的平方，整体来看是两个整式的平方差.［师］如果一个二项式，它能够化成两个整式的平方差，就可以用平方差公式分解因式，分解成两个整式的和与差的积.乘法公式：（a+b）（a－b）=a2－b2左边是整式乘法，右边是一个多项式，把这个等式反过来就是a2－b2=（a+b）（a－b）左边是一个多项式，右边是整式的乘积.大家判断一下，第二个式子从左边到右边是否是因式分解？［生］符合因式分解的定义，因此是因式分解.归纳：用平方差公式进行因式分解：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的乘积.辨一辨：下列多项式能否用平方差公式来分解因式，为什么？（1）x2+y2；（2）x2-y2；（3）-x2-y2；（4）-x2+y2；（5）x2-25y2；（6）m2-1（四）典例精析，巩固新知例1 分解因式：（1）4x2－9；（2）（x+p）2－（x+q）2;解：（1）4x2－9=（2x）2－32=（2x+3）（2x-3）;（2）（x+p）2－（x+q）2=[(x+p)+（x+q）][(x+p)-（x+q）]=（2x+p+q）（p-q）方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.针对训练1:分解因式：(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.注意：若用平方差公式分解后的结果中有公因式，一定要再用提公因式法继续分解.例2 把下列各式分解因式:（1）x4－y4; （2）a3 b－ab.解：（1）x4－y4=（x2+y2）（x2－y2）=（x2+y2）（x+y）（x-y）.(2)原式＝ab(a2-1)＝ab(a+1)(a-1).方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式．注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．针对训练2:分解因式：(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.例3 计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.解：（1）原式=（101+99）（101-99）=400(2)原式＝4(53.52-46.52）＝4（53.5+46.5）（53.5-46.5）＝4×100×7＝2800方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.例4 求证：当n为整数时，多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．证明：原式=(2n+1+2n-1)(2n+1-2n+1)=4n•2=8n，∵n为整数，∴8n被8整除，即多项式(2n+1)2-(2n-1)2一定能被8整除．方法总结：解决整除的基本思路就是将代数式化为整式乘积的形式，然后分析能被哪些数或式子整除．(五）课堂收获，感悟新知你还有疑问吗？____________________________________从本节课主要知识、易错点、数学思想方法三方面进行复盘总结。

课题：运用平方差公式因式分解
组内编号： 姓名：
一、学习目标：1、会用公式法进行因式分解。

2、了解因式分解的步骤。

二、学习重点：学会用平方差公式进行因式分解。

三、学习难点：熟练运用平方差公式进行因式分解。

四、学习过程：
（一）提出问题，创设情境
探讨新知：1、填空：9y 2 =（ ）2； x 2 =( )2; 49t 2 =( )2; 81x 4
=( )2
2、()()a b a b +-=
把这个公式反过来，就得到：
（1）
（2） 把它们当做公式，就可以把某些多项式进行因式分解，这种因式分解的方法叫做公式法。

（二）深入研究，合作创新
例1、因式分解：1、2425x - 2、 22(2)(2)x y x y +--
自主练习，小组交流：(1) 16a 2-9b 2 (2) 81x 4- 16y 4
（三）小组合作，新知应用
因式分解： 1、 2220.25a b c - 2、22(2)(2)x y x y +--
（四）课堂反馈，自我检测
1、因式分解：
（1）22(32)(23)a b a b +-+ （2）22222(1)4m n m n ++-
（五）课后反思：。

人教版八年级数学上册14.3.2.1《运用平方差公式因式分解》教学设计一. 教材分析1.内容概述：本节课的主要内容是运用平方差公式进行因式分解。

平方差公式是八年级数学中的一个重要知识点，掌握平方差公式对于学生后续学习代数和几何知识具有重要意义。

2.地位与作用：平方差公式是因式分解的一种基本方法，它可以帮助学生简化代数表达式，提高解题效率。

通过学习平方差公式，学生能够巩固和拓展之前学过的知识，为高中阶段的学习打下基础。

二. 学情分析1.学生特点：八年级的学生已经具备了一定的代数基础，对因式分解有一定的了解。

但部分学生在运用平方差公式进行因式分解时，容易出错。

因此，在教学过程中，需要关注学生的学习需求，针对性地进行讲解和辅导。

2.学习需求：学生需要掌握平方差公式的推导过程、记忆方法以及应用技巧。

同时，学生需要通过大量的练习，提高运用平方差公式进行因式分解的能力。

三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握平方差公式的推导过程、记忆方法及应用；提高学生运用平方差公式进行因式分解的能力。

2.过程与方法：通过观察、分析、归纳、推理等方法，引导学生自主探究平方差公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力。

3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的团队合作意识，使学生感受到数学的趣味性和实用性。

四. 教学重难点平方差公式的推导过程及应用。

平方差公式的灵活运用，特别是遇到复杂表达式时的因式分解。

五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入平方差公式，激发学生的学习兴趣。

2.启发式教学法：引导学生自主探究平方差公式的推导过程，培养学生的逻辑思维能力。

3.合作学习法：学生进行小组讨论，共同解决难题，提高学生的团队合作意识。

4.反馈评价法：及时给予学生反馈，鼓励学生积极参与课堂活动，提高教学效果。

六. 教学准备1.教学课件：制作精美的教学课件，突出平方差公式的推导过程和应用实例。

2.练习题：准备一定数量的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，以满足不同学生的学习需求。

14.3 因式分解（第二课时）运用平方差公式因式分解教学设计一、教材分析本节课是人教版八年级上册第十四章第三节因式分解的第二课时,分解因式是整式乘法的逆运用，与整式乘法运算有着密切的联系。

分解因式的变形不仅体现了一种“化归”的思想，也为学习分式，利用因式分解解一元二次方程奠定基础，对整个教科书也起到了承上启下的作用。

探索分解因式的方法，实际上是对整式乘法的再认识，因此要借助学生已有的整式乘法运算的基础，给学生创设一个新的、具有启发性的情境，激励学生通过独立思考与讨论交流发现问题情境中的变形关系，并运用数学符号进行表示，然后再运用所学的知识去解决相关的问题。

在教学中力图渗透类比思想，让学生体会、理解、认识分解因式的意义，感受其间的联系，学生不仅能够理解，归纳分解因式变形的特点，同时也可以充分感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。

二、学情分析学生基础知识一般，学生之间个体差异也很大，个别学生学习态度不端正意志力不强。

结合学生在已学习了平方差公式的基础上，本节课只是平方差公式的逆用，所以具备一定发现问题解决问题的能力，综合考虑所以采用创设情境自主探索交流、展示的方式让更多的学生主动参与到学习中来，培养他们观察探究的精神品质和良好的数学思维习惯。

三、教法与学法分析教法分析：学生是学习的主体，只有学生真正融入到课堂教学中，学生才会深切地感受到数学带给他们的乐趣。

结合本班学生的知识水平，本节课主要采用观察、分析、启发、诱导的方法，引导学生把握平方差公式分解因式的基本思路。

学法分析：（1）由于是运用平方差公式分解因式，因此指导学生学会运用比较、类比的学习方法记忆、理解知识。

（2）指导学生采用练习法以达到巩固、熟练知识的目的。

（3）对于换元法要求较灵活，应该指导学生注意运用观察、分析、类比的学习方法。

四、教学目标：（一）知识技能：（1）使学生进一步理解因式分解的意义。

（2）掌握用平方差公式分解因式的方法。

八年级上册数学教案：用“平方差公式”分解因式教学目标1.理解“平方差公式”的定义和用途；2.能够运用“平方差公式”分解因式；3.熟练掌握“平方差公式”的相关操作技巧。

教学准备1.教学用具：黑板、白板、彩笔等；2.教学资料：教科书、课本、参考书等；3.准备好相关练习题和课后作业，以检验学生掌握情况。

教学过程导入引入本课教学内容，向学生提出数学分解的问题：“在数学中，我们非常重视分解因式。

如果你的数学计算达到一定的深度，那么你需要学习更多分解技巧。

”讲解接下来，老师将介绍一种新的分解技巧：“平方差公式”。

老师先向学生讲述“平方差公式”的定义和用途。

然后通过一个例子来说明一下：(a+b)2=a2+2ab+b2这个公式就是“平方差公式”的表达式，它的定义是：一个二次方程的平方可以表示为2个一次方程的和。

老师还要介绍扩展公式：(a−b)2=a2−2ab+b2这个公式和前面的公式是一样的，只是a和b相减了。

实践接下来，为了让学生更好地了解“平方差公式”的分解方法，老师将用一些简单的例子进行实践：2x2+4x−6老师向学生解释说：“当你看到这样的式子时，你应该首先将其因式分解，这既可以避免猜测，还可以加快计算速度。

”接下来，老师演示了如何使用“平方差公式”将其因式分解，即：2x2+4x−6=2(x2+2x−3)=2(x+3)(x−1)通过这个例子，学生将更好地理解“平方差公式”的分解方法。

练习为了帮助学生进一步巩固所学知识，老师准备了几道练习题：1.9x2+30x+252.25x2−70x+493.6x2+11x−10老师要求学生用“平方差公式”将这些因式分解，并在课上讲解解题思路和方法。

课后作业为了帮助学生加深对“平方差公式”的掌握，老师布置了课后作业：1.16x2−40x+252.100x2−64y23.24x2−21x−5学生需要独立完成作业，并在下节课上提交作业。

总结通过本节课的学习，学生应该掌握“平方差公式”的定义和用途，并能够运用“平方差公式”分解因式。

运用平方差公式因式分解一、教学目标(一)知识与技能：会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力.(二)过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性.(三)情感态度与价值观：培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值.二、教学重点、难点重点：利用平方差公式分解因式.难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性.三、教学过程知识回顾平方差公式(α+b)(a-b)=a2-b2两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.填一填：(1)(x+5)(χ-5)=(2)(3x+y)(3x-y)=(3)(l+3a)(l-3a)=比一比，看谁算得快(1)982-22=(2)己知α+从4,a~b=2f则a2-l>2=你能说说算得快的原因吗？把整式乘法的平方差公式U+W(a-b)=a2-b2的等号两边互换位置，就得到运用平方差公式因式分解a2-b2=(a^b)(a~b)t两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积.辨一辨下列多项式能否用平方差公式来分解因式？为什么？⑴X2+/ ( ) (2)x2-y2( ) ；⑶-JC2+y2( ) (4)-χ2-y2( )例3分解因式：(1)4X2-9(2)(x+p)2-(X+q)2分析：在(1)中，4x2=(2x)2,9=32,4X2-9=(2X)2-32;在(2)中，把Cr+p)和(x+q)各看成一个整体，设x+片小，x+q=n,则原式化为序-〃2.解：⑴4Λ2-9=(2X)2-32=(2X+3)(2X-3)(2)(x+p)2-(χ+q)2=[(χ+p)+(χ+q)][(χ+p)-(x+q)]=(2x+p+g)(pp)例4分解因式：(1)√-/ (2)a3b-ab分析：对于(1),f-y4可以写成(f)2γy2)2的形式，这样就可以用平方差公式进行因式分解了；对于(2),苏6必有公因式应先提出公因式，再进一步分解.解：⑴产卢(x2+y2)Cr2-y2)=(f+y2)(x+y)(x~y)(2)a3b-ab=ab(a2-l)=ab(a+∖)(α-1)分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.练习2.分解因式：(1)cτ~—b2(2)9a2~4h2(3)x2∖'~4y(4)一/+1625解：(1)cr~—h2=(Λ+-h)(a--b)25 5 5(2)9a2~4b2=(3a+2b)(3a~2b)(3)√r4y=y(√-4)=j(x+2)(x-2)(4)-Λ4+16=16-a4=(4+α2)(4-<J2)=(4+α2)(2+«)(2-a)课堂小结1.本节课你有哪些收获？2.还有没解决的问题吗？四、教学反思运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征.分析多项式的次数和项数，然后再确定公式.如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底.最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底.。

《第1课时运用平方差公式因式分解》教学设计程设计教学过（4） x 2y 2－z 2 （5） (x+2)2－9 （6）(x+a)2－(y+b)2（7）25(a+b)2－4(a －b)23.在边长为16.4cm 的正方形纸片的四角各剪去一边长为1.8cm 的正方形，求余下的纸片的面积。

4.已知x 2－y 2=－1 ， x+y=21，求x －y 的值。

四、小结归纳1.明确分解因式的顺序是：先提公因式，再用公式法 分解因式必须到不能再分解为止．2.运用平方差公式分解因式的步骤： ①先写成平方的形式；②再写成和与差的积．五、作业设计 1计算： ① 22218b a - 学生通过练习巩固刚刚学习的新知识。

在此基础上加深知识的应用. 学生做题，教师纠正讲解。

学生总结，教师强调。

识，分析各项与公式中字母的对应关系，在反复练习中掌握用平方差公式法进行分解因式．让学生正确运用平方差公式法进行分解因式，对所学知识心中有数。

② 362-m ③ 464981y x - ④125422-y x ⑤ 22)()(y x y x --+ ⑥ 22)(9)(16b a b a --+ 2．见课本习题板 书 设 计14.3.2 公式法《第1课时运用平方差公式因式分解》教案教学目标1．知识与技能会应用平方差公式进行因式分解，发展学生推理能力．2．过程与方法经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，感受数学知识的完整性．3．情感、态度与价值观培养学生良好的互动交流的习惯，体会数学在实际问题中的应用价值．重、难点与关键1．重点：利用平方差公式分解因式．2．难点：领会因式分解的解题步骤和分解因式的彻底性．3．关键：应用逆向思维的方向，演绎出平方差公式，•对公式的应用首先要注意其特征，其次要做好式的变形，把问题转化成能够应用公式的方面上来．教学方法采用“问题解决”的教学方法，让学生在问题的牵引下，推进自己的思维．教学过程一、观察探讨，体验新知【问题牵引】请同学们计算下列各式．（1）（a+5）（a－5）；（2）（4m+3n）（4m－3n）．【学生活动】动笔计算出上面的两道题，并踊跃上台板演．（1）（a+5）（a－5）=a2－52=a2－25；（2）（4m+3n）（4m－3n）=（4m）2－（3n）2=16m2－9n2．【教师活动】引导学生完成下面的两道题目，并运用数学“互逆”的思想，寻找因式分解的规律．1．分解因式：a2－25； 2．分解因式16m2－9n．【学生活动】从逆向思维入手，很快得到下面答案：（1）a2－25=a2－52=（a+5）（a－5）．（2）16m2－9n2=（4m）2－（3n）2=（4m+3n）（4m－3n）．【教师活动】引导学生完成a2－b2=（a+b）（a－b）的同时，导出课题：用平方差公式因式分解．平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）．评析：平方差公式中的字母a、b，教学中还要强调一下，可以表示数、含字母的代数式（单项式、多项式）．二、范例学习，应用所学【例1】把下列各式分解因式：（投影显示或板书）（1）x2－9y2；（2）16x4－y4；（3）12a2x2－27b2y2；（4）（x+2y）2－（x－3y）2；（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）．【思路点拨】在观察中发现1～5题均满足平方差公式的特征，可以使用平方差公式因式分解．【教师活动】启发学生从平方差公式的角度进行因式分解，请5位学生上讲台板演．【学生活动】分四人小组，合作探究．解：（1）x2－9y2=（x+3y）（x－3y）；（2）16x4－y4=（4x2+y2）（4x2－y2）=（4x2+y2）（2x+y）（2x－y）；（3）12a2x2－27b2y2=3（4a2x2－9b2y2）=3（2ax+3by）（2ax－3by）；（4）（x+2y）2－（x－3y）2=[（x+2y）+（x－3y）][（x+2y）－（x－3y）] =5y （2x－y）；（5）m2（16x－y）+n2（y－16x）=（16x－y）（m2－n2）=（16x－y）（m+n）（m－n）．三、随堂练习，巩固深化1．求证：当n是正整数时，n3－n的值一定是6的倍数．2．试证两个连续偶数的平方差能被一个奇数整除．连续偶数的平方差能被一个奇数整除．四、课堂总结，发展潜能运用平方差公式因式分解，首先应注意每个公式的特征．分析多项式的次数和项数，然后再确定公式．如果多项式是二项式，通常考虑应用平方差公式；如果多项式中有公因式可提，应先提取公因式，而且还要“提”得彻底，最后应注意两点：一是每个因式要化简，二是分解因式时，每个因式都要分解彻底．五、布置作业，专题突破课本习题．板书设计14.3.2 公式法《第1课时运用平方差公式因式分解》导学案学习目标：1.探索并运用平方差公式进行因式分解，体会转化思想．2.会综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解．重点：运用平方差公式进行因式分解.难点：综合运用提公因式法和平方差公式对多项式进行因式分解.一、知识链接1.什么叫多项式的因式分解?2.下列式子从左到右哪个是因式分解?哪个整式乘法？它们有什么关系？① a(x+y)=ax+ay；②ax+ay=a(x+y)3. 20162+2016 能否被2016整除？4.计算：（1）（a+5）（a－5）=___________；（2）（4m+3n）（4m－3n）=___________．二、新知预习试一试：观察以上计算结果，并根据因式分解与整式乘法是互逆运算，分解下列因式：（1）a2－25=___________；（2）16m2－9n=___________．做一做：分解因式a2－b2=____________.要点归纳：a2－b2=____________.即两个数的平方差，等于这两个数的_____与这两个数的______的________.三、自学自测填一填：(1)(a＋2)(a－2)＝_____________；a2－4=___________；(2)(5＋b)(5－b)＝______________;25－b2=___________；(3)(x＋4y)(x－4y)=______________;x2－16y2=___________.四、我的疑惑_____________________________________________________________________ _____________________________________________________________________ ____________一、要点探究探究点1：用平方差公式分解因式想一想：观察平方差公式a2－b2=（a+b）（a－b），它的项、指数、符号有什么特点？要点归纳：(1)左边是____次____项式，每项都是____的形式，两项的符号相反.(2)右边是两个多项式的____，一个因式是两数的____，另一个因式是这两个数的____．练一练：下列各式中，能用平方差公式分解因式的有( )①x2＋y2；②x2－y2；③－x2＋y2；④－x2－y2；⑤1－14a2b2；⑥x2－4.A．2个B．3个C．4个D．5个方法总结:能用平方差公式分解因式的多项式具有以下特征：两数是平方，减号在中央．例1：分解因式：(1)(a＋b)2－4a2； (2)9(m＋n)2－(m－n)2.方法总结：公式中的a、b无论表示数、单项式、还是多项式，只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解.例2：分解因式：(1)5m2a4－5m2b4； (2)a2－4b2－a－2b.方法总结：分解因式前应先分析多项式的特点，一般先提公因式，再套用公式.注意分解因式必须进行到每一个多项式都不能再分解因式为止．例3：已知x2－y2＝－2，x＋y＝1，求x-y，x，y的值．方法总结：在与x2－y2，x±y有关的求代数式或未知数的值的问题中，通常需先因式分解，然后整体代入或联立方程组求值.例4：计算下列各题：(1)1012－992； (2)53.52×4-46.52×4.方法总结：较为复杂的有理数运算，可以运用因式分解对其进行变形，使运算得以简化.1.下列因式分解正确的是( )A．a2＋b2＝(a＋b)(a＋b) B．a2－b2＝(a＋b)(a－b)C．－a2＋b2＝(－a＋b)(－a－b) D．－a2－b2＝－(a＋b)(a－b)2.因式分解：(1)a2－125b2； (2)x－xy2；(3)(2x＋3y)2－(3x－2y)2； (4)3xy3－3xy；3.用简便方法计算：8.192×7－1.812×7.1.下列多项式中能用平方差公式分解因式的是( )A．a2＋(－b)2 B．5m2－20mnC．－x2－y2 D．－x2＋92.分解因式(2x+3)2 -x2的结果是（）A．3(x2+4x+3) B．3(x2+2x+3)C．(3x+3)(x+3) D．3(x+1)(x+3)3.若a+b=3，a-b=7，则b2-a2的值为（）A．-21 B．21 C．-10 D．104.把下列各式分解因式：(1) 16a2-9b2=_________________;(2) (a+b)2-(a-b)2=_________________;(3) 9xy3-36x3y=_________________;(4) -a4+16=_________________.5.若将(2x)n-81分解成(4x2+9)(2x+3)(2x-3)，则n的值是_____________.6.已知4m+n=40，2m-3n=5．求(m+2n)2-(3m-n)2的值．7.如图，在边长为6.8 cm正方形钢板上，挖去4个边长为1.6 cm的小正方形，求剩余部分的面积．8. (1)992-1能否被100整除吗？(2)n为整数,(2n+1)2-25能否被4整除？14.3.2 公式法《第1课时运用平方差公式因式分解》导学案平方差公式：a 2-b 2=（a+b ）（a-b ）．两数的平方差，等于这两数的和与这两数差的积。

《因式分解——平方差公式法》导学案(总4页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--因式分解（第二课时：平方差公式法）学习目标：1、能明确因式分解与整式乘法之间的关系，在探索中进行新知识的比较，理解因式分解的过程，发现其第二种基本方法；2、明白可以将因式分解的结果先乘出来就能检验因式分解的正确性。

重点：掌握平方差公式法，用公式法进行因式分解；难点：怎么样进行多项式的因式分解，如何能将多项式分解彻底；关键：灵活应用因式分解的常用方法，对于每个多项式分解因式分解彻底。

学习过程：一、知识回顾：1、口述多项式与多项式相乘法则；2、计算：①(3)(3)x x +- ②(31)(31)x x -+ ③(7)(7)x y x y -+ ④(23)(23)x y x y +-二、观察探究：1、小试身手：总结a 2－b 2 =（ ）（ ）2、观察变形：整式乘法：(a+b) (a －b)= a 2－b 2 因式分解：a 2－b 2=(a+b) (a －b)我们可以运用平方差公式来分解因式两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积。

3、庖丁解牛： a 2 － b 2 = ( a + b) ( a － b)16a 2－1 =(4a)2－12=(4a+ 1) ( 4a － 1)b4、试着讨论下列多项式能否用平方差公式分解因式说说你的理由①4x2+y2 ②4x2－(－y)2 ③－4x2－y2 ④－4x2+y2 ⑤ a2－4 ⑥a2+3总结：能用平方差公式分解因式的多项式的特征：①由两部分组成；②两部分符号相反；③每部分都能写成某个式子的平方。

小试牛刀运用a2－b2=(a+ b)(a－b)例1、把下列各式进行分解因式：①－m2n2+4p2②x2－y2③(x+z)2－(y+z)2注意：①公式中的a、b可以是单项式(数字、字母)、还可以是多项式。

②分解因式最后结果中如果有同类项，一定要合并同类项。

9.14 平方差公式法因式分解[教学目标]1 知识与技能：掌握使用平方差公式进行因式分解的方法，并能熟练使用平方差公式进行因式分解；2 过程与方法：通过知识的迁移经历运用平方差公式分解因式的过程；3 情感态度与价值观：在应用平方差公式分解因式的过程中让学生体验换元思想，同时增强学生的观察能力和归纳总结的能力。

[教学重点]掌握可用平方差公式分解因式的特点，并能使用平方差公式分解因式[教学难点]使学生能把多项式转换成符合平方差公式的形式进行因式分解。

[教学过程]1 复习：A 因式分解的概念是什么？B 平方差公式的内容用字母怎样表示？计算：（1）（a+3）(a-3)（2）(4x-3y)(4x+3y)2 导入新课：（a+3）(a-3)=a 2-9(4a —3y)(4x+3y)=16x 2-9y 2这是我们学习的整式的乘法运算。

如果上述等式左右两边互换位置，又是什么形式呢？a 2-9=（a+3）(a-3)16x 2-9y 2 =(4a —3y)(4x+3y)这是因式分解的形式。

你能对下列两个多项式因式分解吗？a 2-b 24x 2-9y 23 新课讲解：我们可以发现，刚才因式分解的过程中我们是逆用平方差公式的方法，像这样逆用乘法公式将一个多项式分解因式的过程叫做公式法分解因式。

今天我们主要学习使用平方差公式进行因式分解。

平方差公式反过来可得：a 2-b 2=(a+b)(a-b)这个公式叫做因式分解中的平方差公式。

学生思考：当一个多项式具有什么特点时可用平方差公式因式分解？两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积练习Ⅰ：1 填空：(1)a 6=( )2; (2) 9x 2=( )2; (3) m 8n 10=( )2; (4) 425x 4=( )2 (5) 0.25a 2n =( )2; (6) 4936x 4-0.81=( )2-( )22 下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？(1) a 2+4b 2; (2) 4a 2-b 2; (3) a 2-(-b)2; (4) –4+a 2;(5) –4-a 2; (6) x 2-41; (7) x 2n+2-x 2n 3 分解因式：(1) 1-25a 2; (2) -9x 2+y 2; (3) a 2b 2-c 2; (4)2516x 4-169y 2. 例题1 ：分解因式：(1) (a+b)2-(a-c)2;(2) x 4-16;(3) 3x 3-12x;(4) (9y 2-x ２)+(x+3y).练习Ⅱ:4 分解因式：(1) -a 4 + 16(2) b b a 5462(3) (x+y+z)2 - (x-y-z)2(4) (x-y)3+(y-x). *(5) x 2n+2-x 2n5 用简便方法计算：(1) 9992-10002;(2) (1-221)(1- 231)(1-241)……(1-2101)小结：1 本节课我们主要学习了运用平方差公式进行因式分解，利用平方差公式时主要先判断能否使用平方差公式进行因式分解，判断的依据：1) 是一个二项式（或可看成一个二项式）2)每项可写成平方的形式3)两项的符号相反２、在综合运用多种方法分解因式时，多项式中有公因式的先提取公因式，后再用平方差公式分解因式。