一类具有函数垂直比例因子的分形插值曲面

分形插值函数及其维数马林涛;陈德勇;张琰【摘要】主要从分形插值函数的理论出发，利用Matlab软件绘制分形插值函数的图像，绘出确定的垂直压缩因子与随机垂直压缩因子的函数图像，定性地分析垂直压缩因子的变化所引起的分形插值函数图像的变化．最后，通过计算得到分形插值函数的图像的盒维数随着垂直压缩因子的变大而变大．%Based on the theories of fractal interpolation functions, by using Matlab software, we draw the images of fractal interpolation functions for the determined vertical compression factors and random vertical compression factors. Quantitatively analyze the change of the images of the fractal interpolation functions caused by the vertical compression factors. Finally, we calculate Box dimension of the fractal interpolation function. Therefore, the relationships between the vertical compression factors and Box dimensions of fractal interpolation functions are obtained.【期刊名称】《广西民族大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(018)003【总页数】5页(P34-38)【关键词】分形插值函数;垂直压缩因子;Matlab程序;盒维数【作者】马林涛;陈德勇;张琰【作者单位】广西师范大学数学科学学院,广西桂林541004;桂林市计量测试研究所,广西桂林541004;广西师范大学数学科学学院,广西桂林541004【正文语种】中文【中图分类】O241.3;O2440 引言分形插值函数[1]是由迭代函数系[2]产生的. 迭代函数系中一个重要参数——垂直压缩因子[3]是影响分形插值函数的形态和特征的主要因素之一. 因此,研究垂直压缩因子的变化对分形插值函数所产生的影响是非常重要的.利用Matlab软件,可以实现分形插值函数的运算及其图像绘制，进而观察、分析、研究图像的性质.1 预备知识设x0<x1<…<xN-1<xN是区间I=[x0,xN]的一个划分，设迭代函数系{ω1,ω2,…,ωn} 中的每一个映射ωi都具有以下形式：(1)并且满足在(1)中0<|ai|<1,|di|<1,自由变量di,通常被称为垂直压缩因子.对于平面上一组插值节点{(xi,yi),取不同的垂直压缩因子{di},可得到不同的分形插值曲线[4].2 分形插值函数的构造现在根据分形插值函数的定义,用迭代关系构造一类分形插值函数.例1：令I=[0,1],取N=3，垂直压缩因子为d1=d2=d3=2/3.(x0,y0)=(0,0),(x1,y1)=(1/4,1/2),(x2,y2)=(3/4,1/2),(x3,y3)=(1,1 ).由已知条件,有F1(0)=0,F1(1)=1,将(0,0),(1,1)连接,得到初始元. 又因为F1(0)=0,F1(1/4)=1/2,F1(3/4)=1/2,F1(1)=1.将点(0,0),(1/4,1/2),(3/4,1/2),(1,1)用线段连接,得生成元.则初始元变为生成元的变换为:其中，0≤x≤1,0≤y≤1由(1)式,即可得第一次迭代函数:由于ω1,ω2,ω3的压缩因子均为2/3,故{R2;ω1,ω2,ω3}是垂直压缩因子不大于2/3的迭代函数系统(IFS).用Matlab绘出例1中的第1次迭代、第2次迭代、第3次迭代，以及前3次迭代变化过程的函数图像(见图1～4).图1 第1次迭代函数图像Fig.1 The first iteration function image图2 第2次迭代函数图像Fig.2 The second iteration function image图3 第3次迭代函数图像Fig.3 The third iteration function image图4 3次迭代变化过程的函数图像Fig.4 3 iterations of the change process function images3 垂直压缩因子对分形插值函数的影响对于平面上同一组插值节点{(xi,yi),取不同垂直压缩因子{di},可得到不同分形插值曲线.例2：令I=[0,1],取N=3,d=1/3和d=2/3，(x0,y0)=(0,0),(x2,y2)=(3/4,1/2),(x3,y3)=(3/4,1/2),(x4,y4)=(1,0).图5、图6分别是垂直压缩因子d=1/3和d=2/3的图像. 从这两张图像观察出,垂直压缩因子的取值不同,分形插值曲线有明显的变化,而且,垂直压缩因子较大者的图像波动性更大,更陡峭.为此得到如下性质:性质1 在自仿射分形插值函数中, 随着垂直压缩因子的增大, 分形插值函数的图像的波动幅度越大.图5 垂直压缩因子d=1/3Fig.5 Vertical compression factor of d=1/3图6 垂直压缩因子d=2/3Fig.6 Vertical compression factor of d=2/3为了对比观察的方便, 分别取d=1/3,d=1/4,d=1/5来观察曲线波动的程度.图7 三个不同垂直压缩因子的分形插值曲线Fig.7 The fractal interpolation curves of three different vertical compression factors(其中最上面的函数图像是垂直压缩因子d=1/3,中间的函数图像是垂直压缩因子d=1/4. 下方的函数图像是垂直压缩因子d=1/5)可知,随着垂直压缩因子的一步步增大,曲线的波动程度也逐步的增大,垂直压缩因子大的曲线的最高点也高于其小的垂直压缩因子的曲线的图像,为此总结出性质2.性质2 在自仿射分形插值函数中,对于函数的垂直压缩因子发生小的扰动,函数图像也相对产生小的波动.4 随机垂直压缩因子的实现当我们实际测量出初始点后,为了寻找更加符合实际的垂直压缩因子,在拟合中采取随机的提取垂直压缩因子d=rand(1,N)进行拟合.例3：令I=[0,1],取N=4,d=rand(1,N).(x0,y0)=(0,0),(x1,y1)=(1/4,1/3),(x2,y2)=(1/2,1),(x3,y3)=(3/4,1/3),(x4,y4)=(1,0), 在Matlab运行后,得到第1次迭代和第2次迭代的随机垂直压缩因子,分别见表1，表2：表1 第1次迭代的随机垂直压缩因子Tab.1 The first iteration of the randomvertical compression factord1d2d3d4d50.9570.9360.4580.2410.764表2 第2次迭代的随机垂直压缩因子Tab.2 The second iteration of the random vertical compressionfactord1d2d3d4d5d6d7d8d9d100.2760.6800.6550.1630.1190.4980.9600.34 00.5850.224d11d12d13d14d15d16d17d18d19d200.7530.2550.5060.6990.8 910.9590.5470.1390.1490.258在随机的取垂直压缩因子时,得到自仿射分形插值函数的第1次迭代、第2次迭代、第3次迭代以及迭代变化过程的函数图像(图8～11).图8 第1次迭代的函数图像Fig.8 The first iteration function image图9 第2次迭代的函数图像Fig.9 The second iteration function image图10 第3次迭代的函数图像Fig.10 The third iteration function image图11 3次迭代变化过程函数图像Fig.11 3 iterations of the change process function images5 分形维数计算图像F的盒维数有如下定义[2](2)取一个序列δk作为δ-网立方体的网格边长,利用定义(2),分析logNδk(F)和δk的关系,试图找出这两组数据与图像F的盒维数的关系.考虑到图像像素问题,采取序列{δk}={2,3,…,25}(单位:像素).实际的1单位为1=Cδk,C为任意常数,C的任何变形仍然记为C,于是定义(2)又有如下等价形式(3)下面利用盒维数的定义，在例1和例2的给定条件下, 分别取垂直压缩因子为d=1/3,d=1/4,d=1/5，计算相应函数图形的盒维数,所得结果如下:表3 例1不同垂直压缩因子的分形插值函数图像的维数Tab.3 Case 1 the dimension of the different vertical compression factors of fractal interpolation function images例1维数双曲拟合线性拟合d=1/31.51691.5965d=1/41.46121.5623d=1/51.38551.5349表4 例2不同垂直压缩因子的分形插值函数图像的维数Tab.4 Case 2 the dimension of the different vertical compression factors of fractal interpolation function images例2维数双曲拟合线性拟合d=1/31.52871.6091d=1/41.50081.5665d=1/51.49241.5465通过以上计算，对比后发现,在自仿射分形插值函数中,取定的垂直压缩因子的值越大,对应的分形插值函数的盒维数就越大,分形插值函数的图像波动幅度更大,更陡峭.这与第3部分所得性质1、性质2相符合.在对数据进行线性拟合后,得出了随机垂直压缩因子的分形插值函数的维数.表5 随机垂直压缩因子的分形插值函数维数Tab.5 The dimension of the random vertical compression factors of fractal interpolation function images图形维数双曲拟合线性拟合图111.53811.64786 总结至此, 笔者得到了一种由迭代构造分形曲线的一般方法.总结出分形曲线关于垂直压缩因子的一般性质.最后,通过随机提取垂直压缩因子,而画出了随机的分形曲线.进一步,计算出了分形插值函数在确定垂直压缩因子和随机垂直压缩因子两种情况之下的分形维数,并通过计算验证了分形插值函数的图像的盒维数随着垂直压缩因子的变大而变大.[参考文献]【相关文献】[1]Barnsley, M. F..Fractal Everywhere[M].New York.Academic Press, Orlandoo. FL, 1988.[2]曾文曲, 刘世耀, 戴连贵, 等,译.分形几何—数学基础及其应用[M].沈阳: 东北大学出版社，1991.[3]陈咸存,阮火军,郭秋丽.仿射分形插值函数与纵向尺度因子[J]. 高校应用数学学报A辑.2007，22(2):205-209.[4]沙震,阮火军.分形与拟合[M].杭州:浙江大学出版社,2005.。

分形曲线曲面的分形插值法及其与随机生成法比较
分形曲线曲面的分形插值法是指根据已知数据点，通过一系列分形算法生成新的数据点，从而得到一条分形曲线或曲面的方法。

该方法的优点在于可以通过简单的算法生成复杂的几何形状，而且具有自相似性和尺度不变性等特性，可以用来模拟自然界中的诸多现象。

与之相比，随机生成法是另一种常用的生成分形曲线或曲面的方法。

它也是通过一定的算法和随机性来模拟复杂的几何形状，但与分形插值法不同的是，它并不考虑自相似性和尺度不变性等特性，而是通过随机性来模拟自然界中的随机性现象。

在实际应用中，分形插值法和随机生成法各有优缺点。

如果要模拟的几何形状具有一定的自相似性和尺度不变性，使用分形插值法更加合适；如果要模拟的几何形状具有随机性，并不要求精确的自相似性和尺度不变性，使用随机生成法更加合适。

不过，这两种方法也可以结合使用，通过分形插值法和随机生成法相结合，来生成更加逼真的几何形状。

分形插值及分形维数的图解法陈慧琴【摘要】自然界中存在的许多现象具有分形特征,传统的Euclid空间对具有分形特征的自然界形态模拟具有一定的困难,对此可以用分形插值来拟合自然界形态.基于迭代函数系统(IFS),通过离散的数据点构成分形插值函数,可以证明分形插值函数是这个IFS唯一的吸引子.分形插值曲线的分形维数直接用数学公式求解比较困难,借助于MATLAB矩阵运算与图形绘制功能,采用图解方法求取,精度可以达到0.01~0.001,从而实现离散数据点的分形插值拟合及其分形维数的求解.试验结果表明,该算法具有简捷直观的特点.【期刊名称】《江西科学》【年(卷),期】2010(028)002【总页数】4页(P167-169,185)【关键词】分形插值;迭代函数系统;分形维数;图解法【作者】陈慧琴【作者单位】江西蓝天学院机电系,江西,南昌,330098【正文语种】中文【中图分类】O174.42分形几何是由Mandelbrot(1983)发展起来的一门新的数学分支,用来描述自然界不规则以及杂乱无章的现象和行为。

自然界中存在的许多现象具有分形特征,如大脑皮层的褶皱、闪电的痕迹、雪花的形状、山峰的形状、植物的形状、晶体的结构等,这些分形现象的特点是局部与整体具有自相似的性质,或是近似的,用传统 Euclid 几何进行描述与恢复重现比较困难[1～3]。

于是人们想到了用插值的方法拟合这些不规则的自然景观,由于它插值的对象是分形,故这种插值称作分形插值。

分形插值函数与初等函数一样也具有其本身的几何特征,它也能用数学公式来表示,能快速地被计算出来,它们之间的主要差别在于分形插值函数的分形特征,如它有非整的维数。

利用MATLAB极强的矩阵运算、图形绘制、数据处理功能,可以实现离散数据点的分形插值拟合与分形维数的计算。

分形插值函数是由一类特殊的迭代函数系统(Iterated Function System,简称 IFS)产生的,基于迭代函数系统的分形插值是利用数据点构成分形插值函数,把要生成的图形作为压缩映射的不变。

PSO和GA的混合算法解分形插值反演问题
聂笃宪;袁利国;夏英俊
【期刊名称】《东莞理工学院学报》
【年(卷),期】2009(016)001
【摘要】在分形插值拟合反演问题中,垂直比例因子的选取将影响到插值拟合的精度,提出了一种整合粒子群优化算法和遗传算法选择和交叉操作的混合算法(HPSOCS)来求分形插值的逆问题最优解,通过混合算法对weierstrass函数进行实验仿真并与粒子群优化算法比较,结果表明混合算法具有更好的优化性能,实现了分形插值函数与实际函数的更好拟合.
【总页数】5页(P82-86)
【作者】聂笃宪;袁利国;夏英俊
【作者单位】华南农业大学,理学院,广州,510642;华南农业大学,理学院,广
州,510642;华南农业大学,理学院,广州,510642
【正文语种】中文
【中图分类】TP301.6;TP391.41
【相关文献】
1.基于GA-PSO混合算法的压力机构多目标优化与动力学仿真 [J], 王新;李海越
2.基于PSO-GA混合算法的移动采集节点路径优化研究 [J], 徐丽萍
3.钢铁合同计划及其PSO-GA混合算法的研究 [J], 杨乐;蒋国璋;刘清雄
4.基于PSO-GA混合算法的末端防御兵力优化部署方法 [J], 温包谦; 王涛; 成坤;
张济众
5.基于PSO-GA混合算法的转向架混流装配车间生产调度研究 [J], 雷斌;刘同朝因版权原因，仅展示原文概要，查看原文内容请购买。

分形插值曲面生成方法
孙洪泉;谢和平
【期刊名称】《阜新矿业学院学报》
【年(卷),期】1997(016)006
【摘要】叙述了分形插值曲面的原理及数学模型，给出了在屏幕上生成分形插值曲面的步骤和方法，并应用实际数据进行了分形插值曲面的实例研究。

【总页数】4页(P662-665)
【作者】孙洪泉;谢和平
【作者单位】中国矿业大学北京研究生部;中国矿业大学北京研究生部
【正文语种】中文
【中图分类】O189.12
【相关文献】
1.基于多项式的分形插值曲面构造方法 [J], 孙秀清;冯志刚;
2.一类分形插值曲面的构造方法 [J], 孙秀清
3.基于分形插值函数生成的分形插值曲面的中心变差 [J], 孙秀清
4.分形曲线曲面的分形插值法及其与随机生成法比较 [J], 张先波;杨文颖
5.基于分形插值曲面构建路面国际平度指数的可视化方法研究 [J], 乔正明
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一类分形插值函数的若干性质的开题报告题目：一类分形插值函数的若干性质导师：XXX一、研究背景及意义分形是一类几何对象，它具有自相似、非整数维等特征，因此在自然科学、工程技术等领域有着广泛的应用。

分形插值是指通过一种特定的算法，在给定的点集上构造出一条平滑的函数曲线。

这类算法包括Bezier曲线、B样条曲线、Lagrange插值法等。

分形插值是一种新兴的插值方法，在自然图像处理、计算机图形学和数字信号处理等领域都有广泛的应用。

而本文要研究的这类分形插值函数具有一些特殊的性质，如自相似、分段定义、分形维度等，这些性质在其应用过程中具有重要的意义。

二、研究内容本文主要研究一类分形插值函数的若干性质，具体包括：1. 描述该类函数的形式及其性质；2. 探究该类函数的自相似性质，并对其计算分形维度进行分析；3. 研究该类函数的分段定义以及分段函数之间的转换关系；4. 将该类函数应用于图像处理和曲线拟合中，并比较其与其他插值方法的优缺点。

三、研究方法本文将以实例和数学分析相结合的方式进行研究。

具体的方法包括：1. 选取具有代表性的数据集，使用该类函数进行插值，并比较其结果与其他插值方法的优缺点；2. 对该类型函数的自相似性质进行研究，计算其分形维度，并与其他分形曲线进行比较；3. 探究该类函数的分段定义及转换关系，通过实例来证明其正确性；4. 在图像处理和曲线拟合中应用该类函数，探究其实用性。

四、研究意义与难点意义：1. 探究该类函数的性质，对于理解分形插值方法、拓宽其应用范围具有重要的意义。

2. 探究该类函数的实用性与优缺点，对于在实际应用中选择合适的插值方法具有指导意义。

难点：1. 该类函数具有自相似性质，需要借助分形几何的知识进行分析。

2. 虽然该类函数的形式不复杂，但具有分段定义，需要通过比较不同段之间的关系，探究其整体性质。

五、论文结构安排本文将分为以下部分：1. 绪论：介绍研究背景、研究意义及难点，并概述本文的研究内容。

2021年4月图 学 学 报 April2021第42卷第2期JOURNAL OF GRAPHICS V ol.42No.2可变参数的有理分形插值曲线建模张欣悦1，雷一凡1，刘培培2，包芳勋1，张云峰2(1. 山东大学数学学院，山东济南 250100；2. 山东财经大学计算机科学与技术学院，山东济南 250014)摘要：为了有效地处理复杂真实现象中的不规则数据，提出一种利用有理分形插值进行分形曲线建模的方法。

首先，基于传统的具有形状参数的有理样条，构造了一类具有函数尺度因子的有理迭代函数系统，并定义了有理分形插值曲线。

然后，研究了有理分形曲线的一些重要性质，包括光滑性、稳定性以及收敛性。

最后，估计了有理分形曲线计盒维数的上下界。

提出的可变参数的有理分形插值推广了传统的单变量有理样条，适用于拟合不规则数据或逼近具有连续但不规则导数的函数，具有更好的灵活性和多样性。

数值实例和曲线建模表明，该方法不仅在视觉效果上明显优于Bézier插值，B样条插值以及基于多项式的分形插值方法，而且在均方根误差的数值对比中也具有显著优势。

关键词：有理分形插值；函数尺度因子；不规则数据；分析性质；曲线建模中图分类号：TP 391 DOI：10.11996/JG.j.2095-302X.2021020245文献标识码：A 文章编号：2095-302X(2021)02-0245-11Curve modeling using rational fractal interpolation with variable parametersZHANG Xin-yue1, LEI Yi-fan1, LIU Pei-pei2, BAO Fang-xun1, ZHANG Yun-feng2(1. School of Mathematics, Shandong University, Jinan Shandong 250100, China;2. School of Computer Science and Technology, Shandong University of Finance and Economics, Jinan Shandong 250014, China)Abstract: In order to deal with irregular data from complex real phenomena, a constructive approach to fractal curves was proposed using the rational fractal interpolation. First, based on the traditional rational spline with shape parameters, we constructed one class of rational Iterated Function Systems (IFS) with function vertical scaling factors. Rational IFSs were hyperbolic and rational fractal interpolation curves were defined. Then, some important properties of rational fractal curves were investigated, including smoothness, stability and convergence. Finally, lower and upper bounds in the box-counting dimension of rational fractal curves were estimated. The presented rational fractal interpolation with variable parameters generalized the traditional univariate rational spline, which is more suitable for fitting irregular data or approximating a function with continuous but irregular derivatives, and is more flexible and diversiform. Numerical examples and curve modeling show that this method can not only significantly outperform the Bézier interpolation, B-spline interpolation, and polynomial-based fractal interpolation methods in terms of visual effects, but also display prominent advantages in numerical comparison of root mean square errors.Keywords: rational fractal interpolation; function scaling factor; irregular data; analytical property; curve modeling收稿日期：2020-09-10；定稿日期：2020-10-23Received：10 September，2020；Finalized：23 October，2020基金项目：国家自然科学基金项目(61672018，61972227)；山东省自然科学基金项目(ZR2019MF051)；山东省重点研发计划(2018GGX101013) Foundation items：National Natural Science Foundation of China (61672018, 61972227); Natural Science Foundation of Shandong Province (ZR2019MF051); Key Research and Development Project of Shandong Province (2018GGX101013)第一作者：张欣悦(1996-)，女，河北唐山人，硕士研究生。

作者： 袁利国[1];余荣忠[2];凌和良[3];聂笃宪[1]
作者机构： [1]华南农业大学数学系,广东广州,510642;[2]九江学院理学院,江西九
江,332005;[3]南昌工程学院理学系,江西南昌,330099
出版物刊名： 九江学院学报(社会科学版)
页码： 58-61页
主题词： 分形插值;垂直比例因子;迭代函数系统
摘要：本文分析了整体线性分形插值原理,利用曲线上的有限个插值点,选取适当的垂直比例因子,可以近似地构造出原曲线,在此逼近计算的过程中,给出了一种易实现的分形插值误差计算方法,并基于MatLab说明了整体线性分形插值的实现过程.同时提出了粒子群优化算法寻最优垂直比例因子的可能性.最后讨论了分形插值中的一些问题及发展状况.。

一类分形插值函数的积分和分数阶积分的性质
沈金叶
【期刊名称】《淮北师范大学学报：自然科学版》
【年(卷),期】2016(037)002
【摘要】文章研究一类具有函数纵向尺度因子的分形插值函数的积分性质。

在一定条件下，证明了这类分形插值函数的积分仍是一类分形插值函数，同时，研究当纵向尺度因子发生扰动时，相应的分形插值函数及其分数阶积分的扰动误差估计问题。

结果表明，这类分形插值函数及其分数阶积分对函数参量的轻微扰动不敏感。

【总页数】5页(P12-16)
【作者】沈金叶
【作者单位】南京财经大学应用数学学院,江苏南京210023
【正文语种】中文
【中图分类】O174.4
【相关文献】
1.一类分形插值函数的积分和分数阶积分的性质
2.分形插值函数及其分数阶积分的扰动误差估计
3.一类分形插值函数的分数阶微积分
4.闭区间[0,1]上的分形插值函数的分数阶积分
5.一类带有p-Laplacian算子的分数阶积分边值问题的正解与逐次迭代方法
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