超定方程组的最小二乘解 mathematica

Mathematica最小二乘法处理数据
在实际的数据分析中，我们经常会遇到需要对一组数据进行拟合的情况。

最小二乘法是一种常见的数据拟合方法，其原理是找到一条直线，使这条直线上所有数据点到直线的距离的平方和最小。

Mathematica是一种功能强大的数学计算软件，它提供了许多内置的函数，可以轻松地进行最小二乘法的计算。

本文将介绍如何使用Mathematica进行最小二乘法处理数据。

步骤一：导入数据
首先，我们需要将需要进行拟合的数据导入到Mathematica中。

假设我们已经有一组数据，保存在一个名为“data.csv”的文件中。

可以通过以下命令将数据导入到Mathematica中：
```mathematica data = Import[。

超定⽅程组最优解（最⼩⼆乘解）推导⼀、超定⽅程组##超定⽅程组即为有效⽅程个数⼤于未知数个数的⽅程组。

（这⾥只讨论多元⼀次的情况）超定⽅程组可以写成矩阵的形式：Ax=b其中A为m×n的矩阵，其与b组成的增⼴矩阵[A|b]的秩⼤于n。

x为n维列向量未知数。

⼆、超定⽅程组的最⼩⼆乘解##超定⽅程组是⽆解的，但是我们可以求得其最⼩⼆乘解，就是将等式左右两端乘上A的转置。

\begin{equation}\begin{split}A TAx=A Tb\end{split}\end{equation}该⽅程有增⼴矩阵[A T A|A T b]的秩等于n，即该⽅程的未知数的个数等于有效⽅程的个数，所以该⽅程有唯⼀解且为原⽅程的最⼩⼆乘解。

平时记住结论直接⽤就好三、推导过程##（记录，⼤家不要看：其实⼩⽣也是只知道结论不知道结论是怎么来的，不过有⼀天看斯坦福⼤学的机器学习公开课的第⼆节，看到了推导过程。

）1.前置结论###1. trAB=trBA2. trABC=trBCA=trCAB3. ∇A trAB=B T4. trA=trA T5. tra=a6)∇A trABA T C=CAB+C T AB Ttr代表矩阵的迹，⼤写字母为矩阵⼩写字母表⽰实数，∇表⽰求导。

2.公式推导###作差[]Ax−b=a T1x−b1⋮a T m−b m构建最⼩⼆乘\begin{equation}\begin{split}\frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \frac{1}{2}\sum_{i=1}m(a_i Tx-b_i)^2\end{split}\end{equation}对x求导\begin{equation}\begin{split}\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_x tr(x TA TAx-x TA Tb-b TAx+b Tb)\end{split}\end{equation}利⽤前置结论2)4)5)\begin{equation}\begin{split}\nabla_x \frac{1}{2}(Ax-b)^T(Ax-b) = \nabla_xtr[xx TA TA-\nabla_xb TAx-\nabla_xb TAx]\end{split}\end{equation}其中利⽤前置结论6)注：⼤括号下的A为前置结论中的A，⼤括号上的A为矩阵A。

超定方程组，又称为过定方程组，是线性代数中的一个概念。

当方程组的未知数数量少于方程数量时，该方程组就被称为超定方程组。

由于超定方程组通常没有精确解，我们常常会寻求一个近似解，使得所有方程的残差平方和最小。

这就是最小二乘解的原理。

一、最小二乘解的基本概念最小二乘法是一种数学优化技术，它通过最小化误差的平方和来寻找数据的最佳函数匹配。

利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和最小。

最小二乘法还可用于曲线拟合，其他一些优化问题也可通过最小化能量或最大化熵用最小二乘法来表达。

二、超定方程组的性质对于超定方程组，由于方程数量多于未知数数量，因此通常不存在一个解能够使得所有方程同时成立。

这种情况下，我们需要寻找一个近似解，即一个解，使得所有方程的残差（即方程的实际值与解代入方程后得到的计算值之间的差）的平方和最小。

三、最小二乘解的原理最小二乘解的原理就是基于上述思想，通过最小化残差平方和来寻找超定方程组的近似解。

具体步骤如下：构建残差平方和函数：首先，我们需要构建一个表示残差平方和的函数。

假设超定方程组有(m) 个方程，(n) 个未知数（(m > n)），未知数的向量记作(\mathbf{x} = (x_1, x_2, \ldots, x_n)^T)，方程组的系数矩阵记作(\mathbf{A} = (a_{ij})_{m \times n})，常数项向量记作(\mathbf{b} = (b_1, b_2, \ldots, b_m)^T)。

那么，残差向量可以表示为(\mathbf{r} = \mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})，残差平方和函数可以写为(S(\mathbf{x}) = \mathbf{r}^T\mathbf{r} = (\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b})^T(\mathbf{A}\mathbf{x} - \mathbf{b}))。

独立方程个数大于独立的未知参数的个数的方程，称为超定方程，在matlab里面有三种方法求解，一是用伪逆法求解，x=pinv(A)*b,二是用左除法求解，x=A\b,三是用最小二乘法求解,x=lsqnonneg(A,b)(3)矩阵求逆行数和列数相等的矩阵称为方阵，只有方阵有逆矩阵。

方阵的求逆函数为：B=inv(A) 该函数返回方阵A的逆阵。

如果A不是方阵或接近奇异的，则会给出警告信息。

在实际应用中，很少显式的使用矩阵的逆。

在MATLAB中不是使用逆阵x=inv(A)*B来求线性方程组Ax=B的解，而是使用矩阵除法运算x=A\B来求解。

因为MATLAB设计求逆函数inv时，采用的是高斯消去法，而设计除法解线性方程组时，并不求逆，而是直接采用高斯消去法求解，有效的减小了残差，并提高了求解的速度。

因此，MATLAB推荐尽量使用除法运算，少用求逆运算。

(4)除法运算在线性代数中，只有矩阵的逆的定义，而没有矩阵除法的运算。

而在MA TLAB中，定义了矩阵的除法运算。

矩阵除法的运算在MA TLAB中是一个十分有用的运算。

根据实际问题的需要，定义了两种除法命令：左除和右除。

矩阵左除：C=A\B或C=mldivide(A,B) 矩阵右除；C=A/B或C=mrdivide(A,B) 通常矩阵左除不等于右除，如果A是方阵，A\B等效于A的逆阵左乘矩阵B。

也就是inv(A)*B。

如果A是一个n*n矩阵，B是一个n维列向量，或是有若干这样的列的矩阵，则A\B就是采用高斯消去法求得的方程AX=B的解。

如果A接近奇异的，MA TLAB 将会给出警告信息。

如果A是一个m*n矩阵，其中m不等于n，B是一个m维列向量，或是由若干这样的列的矩阵，则X=A\B是不定或超定方程组AX=B的最小二乘解。

通过QR分解确定矩阵A的秩k，方程组的解X每一列最多只有k个非零元素。

如果k<n，方程的解是不唯一的，用矩阵除法求得的最小二乘解是这种类型解中范数最小的。

超定方程的最小二乘解超定方程的最小二乘解，听起来像个高大上的数学概念，但其实说白了，就是把一堆数据弄得更好看、更合理。

想象一下，你在菜市场买水果，看到一堆苹果，价格差不多，但总觉得有点贵。

你想啊，要是能找到个便宜又好吃的苹果就好了。

这时候，你就得动脑筋了，超定方程就像是你寻找便宜苹果的工具。

先说说这个超定方程，它的意思就是你的方程数比未知数多，听起来有点复杂，其实就像你找了一堆好吃的食材，但还是希望能做出更好吃的菜。

说到这，大家是不是觉得数学和生活真是密不可分呢？回到我们的苹果，假设你想要找到每个苹果的最佳价格，结果却发现，有的价格偏高，有的又偏低，这时候就得用最小二乘法来调整一下，让整体看起来更加合理。

最小二乘法其实就是个很聪明的办法，简单来说就是把每个苹果的价格都看成一个方程，算一算，把那些偏差大的都给调回去。

就像你一开始看那些价格，可能心里有点嘀咕，最后通过计算发现其实也没那么贵。

这种方法可以让我们找到一个“最佳”的解决方案，虽然不一定是完美的，但已经足够靠谱。

再来聊聊这个“最小”的意思。

这里的最小可不是说只便宜一点，而是指那些误差最小的意思。

就像你在超市里碰到的打折商品，可能有的打折力度大，但质量却差；有的虽然只便宜一点，但质量超好，最后还是得选个性价比最高的。

这就是最小二乘法的真谛：在一堆数据中，找到那个让大家都满意的解决方案。

这种方法具体怎么运作呢？想象一下，你把所有数据都放进一个大锅里，慢慢煮熟，最后捞出来的就是你想要的结果。

这个过程中，最小二乘法就像是个厨师，不断调整火候，直到拿到完美的汤底。

每次调味的时候，厨师都会尝一尝，看看是不是合适，其实就是在不断优化那些数据，让它们更贴近真实的情况。

生活中，我们常常面对各种各样的选择。

比如说，你想买车，预算有限，又希望车好又省油。

这个时候，最小二乘法也能给你一些启示。

你可能会列出不同车型的数据，把每个车的油耗、价格、性能一一列出，然后用最小二乘法的思路，找到那个最符合你需求的车，避免了“看上去不错，实际上不合适”的陷阱。

mathematica解方程
Mathematica是一款强大的数学软件，可以使用其内置的求解方程的功能来解决方程问题。

下面是使用Mathematica求解方程的一般步骤：
1. 输入方程：在Mathematica的Notebook界面中，输入要解决的方程，使用等号“=”表示方程的左右两侧。

2. 使用Solve函数求解：使用Solve函数，输入方程，指定要解的变量，运行程序即可求解方程。

例如：
Solve[x^2 - 2x + 1 == 0, x]
这个命令可以求解方程x^2 - 2x + 1 = 0，并返回方程的解。

3. 使用Reduce函数求解：如果方程的解比较复杂或者有多个解，可以使用Reduce函数。

Reduce函数可以找到方程的所有解，并给出条件。

例如：
Reduce[x^3 + 3x^2 + 3x + 1 == 0, x]
这个命令可以求解方程x^3 + 3x^2 + 3x + 1 = 0，并返回方程的所有解。

4. 使用NSolve函数求解数值解：如果方程无法用解析式表示，或者需要求解数值解，可以使用NSolve函数。

例如：
NSolve[x^2 - 2x + 1 == 0, x]
这个命令可以求解方程x^2 - 2x + 1 = 0 的数值解。

超定线性方程组的最小二乘法超定线性方程组11112211211222221122n n n n m m mn n ma x a x a xb a x a x a x b a x a x a x b +++=⎧⎪+++=⎪⎨⎪⎪+++=⎩ 11121112122212......,,...............n nn m m m mn a a a x b a a a x b a a a R R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎣≠⎦⎦A A,b x A b （），（）(1)式无解，即为不存在解的矛盾方程组----超定线性方程组其中(1)Ax =b实例美国地质调查局（NGS）1974年准备更新北美地质资料（NAD），这是一个包含268000个节点（地点）的网络，它覆盖整个北美大陆，包括巴拿马地峡、格陵兰岛、夏威夷、波多黎哥等其他加勒比海诸岛。

地质资料中记录的经度和纬度必须经精确到几厘米，其原因是它构成了诸如测量、地图、法定边界、国家和区域土地使用计划，像高速路和公共使用线路等项目设计标准。

覆盖长达140年的数据资料包括180万个观测值，考虑其相对精度，必须转化为适合计算机运算的格式，其数学模型为包含928735个方程、928735个变量的线性方程组，但这个方程组无解！无解的线性方程组也成为不相容的，实际应用中常出现这类不相容问题。

即任意都不可能使()211221mi i in n i i a x a x a x b =+++-=∑ 等于零。

(2)12,,,n x x x 如果有向量使得达到最小，称为超定线性方程组（1）的最小二乘解211221()mi i in n i i a x a b a x b =+++-∑ n x x x 000T12(,,,) 000T 12(,,,)n x x x 当方程组的解不存在但又需要求解时，最好的方法就是寻找，使得尽可能的接近xAx b勒让德（法国数学家，1752--1833）椭圆积分理论奠基人之一、数论、初等几何与天体力学，取得了重要理论成果，如在欧拉提出椭圆积分加法定理后的40年中，他是仅有的在这一领域提供重大新结果的数学家。

超定方程组最小二乘解最小二乘法广泛地应用于工程计算中,用最小二乘法消除（平滑）误差，用最小二乘法从有噪声的数据中提取信号，从海量数据中找出数据变化的趋势，……。

甚至利用简单函数计算复杂函数的近似值，我们并不期望它的近似值多么精确（事实上很多时候也不用很精确），尽管如此还是希望计算出的近似数据与原始数据之间有相似之处.如果从线性代数角度来理解最小二乘法,实际上是将一个高维空间的向量投影到低维子空间所涉及的工作.一、 超定方程组的最小二乘解当方程组GX=b 的方程数多于未知数个数时,对应的系数矩阵G 的行数大于列数，此时方程组被称为是超定方程组。

设G=(g iu ）m ×n ，当m>n 时即所谓的高矩阵,绝大多数情况下,超定方程组没有古典意义下的解。

超定方程组的最小二乘解是一种广义解，是指使残差r = b – GX 的2—范数达取极小值的解，即22*||||min ||||GX b GX b m RX -=-∈ 该问题是一个优化问题。

命题1：如果X *是正规方程组G T GX=G T b 的解，则X ＊是超定方程组GX=b 的最小二乘解 证 由题设可得，G T （b – GX ＊）=0。

对任意n 维向量Y ，显然有 （X ＊ – Y )T G T (b – GX *)=0考虑残差2—范数平方，由22**22||)()(||||||Y X G GX b GY b -+-=-上式右端利用内积，得22*22*22*22||||||)(||||||||||GX b Y X G GX b GY b -≥-+-=-从而有｜| b – GY ｜|2 ≥ ｜｜ b – GX *｜|2等式仅当Y =X *时成立。

所以X *是超定方程组GX=b 的最小二乘解。

命题2：如果X ＊是超定方程组GX=b 的最小二乘解,则X ＊满足正规方程组G T GX=G T b 证 由题设，22*||||min ||||GX b GX b m RX -=-∈,利用2—范数与内积关系，知X ＊是下面二次函数的极小值点ϕ（X ） = (GX ，GX ) – 2(GX ，b ) + (b ，b ）取任意n 维向量v ，对任意实数t ,构造一元函数g （t ) = ϕ（X * + t v ）显然, g (t ) 是关于变量t 的二次函数g （t ) = (G (X ＊ + t v )，G （X ＊ + t v )) – 2(G （X ＊ + t v ),b ) + (b ，b )= g （0) + 2t [（GX ＊,Gv ） – (Gv ，b ）]+ t 2 (Gv ，Gv )由题设t =0是g (t )的极小值点。

Mathematica偏导数最⼩⼆乘法（线性回归）a = 2/123a //输出的还是2/123N[a] //输出的就是⼩数点N[a,2] //保留三位⼩数点Clear[a]Solve[2== x^2-7 , x] //结果-3 和 3Plot[Sin[x], {x, 0, pi}]Integrate[1/(1 - x^3), x]Log[1] = 0积分中的积分d ⼀定适⽤esc dd 打出来的或者\[DifferentialD].求导：f = 1/(1+x)D[f,x] 也就是f'(x)D[f, {x, 2}] ⼆阶导ScientificForm[0.0000125] = 1.25 * (10^-5) //这种是科学计数微分:DSolve[{y'[x] - 2*y[x] == 0}, y[x], x] //不带初值DSolve[{y'[x] - 2*y[x] == 0, y[0] == 1}, y[x], x] //初值微分⽅程y'-2y=0 y[0]=1绘图:1,one dim⼀元函数2,画带有积分的⼀元函数要注意:参数⽅程:x=(sin t) ^3y=(cos t) ^3同时绘制2个参数图:参数图并且求导：三维参数图:r(t ) = (cos t)i + (sin t)j + (sin2t)kz = x^2 + y^2ContourPlot3D[x^2 + y^2 == z, {x, -3, 3}, {y, -3, 3}, {z, -18, 18}, PlotLabel -> "x^2+y^2=z"]2,:z^2 + x^2 -y^2=13 ⼆元函数:⼆元函数的图形是三维坐标空间的⼀个点集. 所以⼆元函数形式为f(x,y) ,f(x,y)= c ,就是等位线（等⾼线）⽅程。

画 (a)⼆元函数给定的曲⾯，(b)并且画等⾼线(等位线),(c)并且画f 给定点的等⾼线(等位线)4,三元函数:三元函数的的图形是四维空间的⼀个点集. 所以画三元函数的⼀些等⾼线便于理解三元函数.例如:f(x,y,z) = 4Ln(x^2 + y^2 + z^2)可以画f(x,y,z) = 0 ,f(x,y,z)=1 .... 三维等位⾯图形。

方程（组）与级数的Mathematica 求解[学习目标]1. 能用Mathematica 求各种方程（组）的数值解和近似解；2. 能对常见函数进行幂级数的展开。

一、 求解简单方程（组）数学里的方程是带有变量的等式。

一般地说，一个或一组方程总是对于方程中出现的变量的可能取值范围增加了一些限制。

所谓求解方程就是设法把方程对于变量取值的限制弄清楚，最好的结果是用不含变量的表达式把变量的值表示出来。

在这个系统里，方程也用含有变量的等式表示，要注意的是在这里等号用连续的两个等号(==)表示。

方程的两端可以是任何数学表达式。

用户可以自己操作Mathematica 系统去求解方程，例如使用移项一类的等价变换规则对方程加以变形、对方程的两端进行整理、把函数作用于方程的两端等等。

系统也提供了一些用于求解方程的函数。

1、 求方程的代数解最基本的方程求解函数是Solve ，它可以用于 求解方程(主要是多项式方程)或方程组。

Solve 有两个参数，第一个参数是一个方程，或者是由若干个方程组的表(表示一个方程组);第二个参数是要求解的变量或变量表。

例如，下面的式子对于变量X 求解方程016x x x 234=+--：In[1]:=Solve[x^4-x^3-6x^2+1==0,x]输入了这个表达式，系统立刻就能计算出方程的四个根，求出的解都是精确解(代数根)。

对于一般的多项式，这样得出的解常常是用根式描述的复数。

方程的解被表示成一个表，表中是几个子表，每一个子表的形式都是{x->...}，箭头后面是方程的一个解。

Solve 也可以求解多变量的方程或者方程组:In[2]:=Solve[{x-2y==0,x^2-y==1},{x,y}]这个表达式求解方程组: x y x y -=-=⎧⎨⎩2012.有时求解方程会得到非常复杂的解。

例如将上面的第一个方程稍加变形，所得到的解的表达式就会变得很长:In[3]:=Solve[x^4-x^3-6x^2=2==0,x]这个表达式求出的解的表达式非常长，以至一个计算机屏幕显示不下。

Mathematica函数及使用方法(来源：北峰数模)--------------------------------------------------------------------- 注：为了对Mathematica有一定了解的同学系统掌握Mathematica的强大功能，我们把它的一些资料性的东西整理了一下，希望能对大家有所帮助。

---------------------------------------------------------------------一、运算符及特殊符号Line1; 执行Line，不显示结果Line1,line2 顺次执行Line1，2，并显示结果name 关于系统变量name的信息name 关于系统变量name的全部信息!command 执行Dos命令n! N的阶乘!!filename 显示文件内容< Expr>> filename 打开文件写Expr>>>filename 打开文件从文件末写() 结合率[] 函数{} 一个表<*Math Fun*> 在c语言中使用math的函数(*Note*) 程序的注释#n 第n个参数## 所有参数rule& 把rule作用于后面的式子% 前一次的输出%% 倒数第二次的输出%n 第n个输出var::note 变量var的注释"Astring " 字符串Context ` 上下文a+b 加a-b 减a*b或a b 乘a/b 除a^b 乘方base^^num 以base为进位的数lhs&&rhs 且lhs||rhs 或!lha 非++,-- 自加1，自减1+=,-=,*=,/= 同C语言>,<,>=,<=,==,!= 逻辑判断（同c）lhs=rhs 立即赋值lhs:=rhs 建立动态赋值lhs:>rhs 建立替换规则lhs->rhs 建立替换规则exprule 将规则rule应用于exprexpr..的无限精度数值E ...的无限精度数值Catalan ..卡塔兰常数EulerGamma ....高斯常数GoldenRatio ...黄金分割数Degree Pi/180角度弧度换算I 复数单位Infinity 无穷大-Infinity 负无穷大ComplexInfinity 复无穷大Indeterminate 不定式—————————————————————————————————————三、代数计算Expand[expr] 展开表达式Factor[expr] 展开表达式Simplify[expr] 化简表达式FullSimplify[expr] 将特殊函数等也进行化简PowerExpand[expr] 展开所有的幂次形式ComplexExpand[expr,{x1,x2...}] 按复数实部虚部展开FunctionExpand[expr] 化简expr中的特殊函数Collect[expr, x] 合并同次项Collect[expr, {x1,x2,...}] 合并x1,x2,...的同次项Together[expr] 通分Apart[expr] 部分分式展开Apart[expr, var] 对var的部分分式展开Cancel[expr] 约分ExpandAll[expr] 展开表达式ExpandAll[expr, patt] 展开表达式FactorTerms[poly] 提出共有的数字因子FactorTerms[poly, x] 提出与x无关的数字因子FactorTerms[poly, {x1,x2...}] 提出与xi无关的数字因子Coefficient[expr, form] 多项式expr中form的系数Coefficient[expr, form, n] 多项式expr中form^n的系数Exponent[expr, form] 表达式expr中form的最高指数Numerator[expr] 表达式expr的分子Denominator[expr] 表达式expr的分母ExpandNumerator[expr] 展开expr的分子部分ExpandDenominator[expr] 展开expr的分母部分TrigExpand[expr] 展开表达式中的三角函数TrigFactor[expr] 给出表达式中的三角函数因子TrigFactorList[expr] 给出表达式中的三角函数因子的表TrigReduce[expr] 对表达式中的三角函数化简TrigToExp[expr] 三角到指数的转化ExpToTrig[expr] 指数到三角的转化RootReduce[expr]ToRadicals[expr]—————————————————————————————————————四、解方程Solve[eqns, vars] 从方程组eqns中解出varsSolve[eqns, vars, elims] 从方程组eqns中削去变量elims,解出varsDSolve[eqn, y, x] 解微分方程，其中y是x的函数DSolve[{eqn1,eqn2,...},{y1,y2...},x]解微分方程组，其中yi是x的函数DSolve[eqn, y, {x1,x2...}] 解偏微分方程Eliminate[eqns, vars] 把方程组eqns中变量vars约去SolveAlways[eqns, vars] 给出等式成立的所有参数满足的条件Reduce[eqns, vars] 化简并给出所有可能解的条件LogicalExpand[expr] 用&&和||将逻辑表达式展开InverseFunction[f] 求函数f的逆函数Root[f, k] 求多项式函数的第k个根Roots[lhs==rhs, var] 得到多项式方程的所有根—————————————————————————————————————五、微积分函数D[f, x] 求f[x]的微分D[f, {x, n}] 求f[x]的n阶微分D[f,x1,x2..] 求f[x]对x1,x2...偏微分Dt[f, x] 求f[x]的全微分df/dxDt[f] 求f[x]的全微分dfDt[f, {x, n}] n阶全微分df^n/dx^nDt[f,x1,x2..] 对x1,x2..的偏微分Integrate[f, x] f[x]对x在的不定积分Integrate[f, {x, xmin, xmax}] f[x]对x在区间(xmin,xmax)的定积分Integrate[f, {x, xmin, xmax}, {y, ymin, ymax}] f[x,y]的二重积分Limit[expr, x->x0] x趋近于x0时expr的极限Residue[expr, {x,x0}] expr在x0处的留数Series[f, {x, x0, n}] 给出f[x]在x0处的幂级数展开Series[f, {x, x0,nx}, {y, y0, ny}]先对y幂级数展开，再对xNormal[expr] 化简并给出最常见的表达式SeriesCoefficient[series, n] 给出级数中第n次项的系数SeriesCoefficient[series, {n1,n2...}]'或Derivative[n1,n2...][f] 一阶导数InverseSeries[s, x] 给出逆函数的级数ComposeSeries[serie1,serie2...] 给出两个基数的组合SeriesData[x,x0,{a0,a1,..},nmin,nmax,den]表示一个在x0处x的幂级数，其中ai为系数O[x]^n n阶小量x^nO[x, x0]^n n阶小量(x-x0)^n—————————————————————————————————————八、数值函数N[expr] 表达式的机器精度近似值N[expr, n] 表达式的n位近似值，n为任意正整数NSolve[lhs==rhs, var] 求方程数值解NSolve[eqn, var, n] 求方程数值解，结果精度到n位NDSolve[eqns, y, {x, xmin, xmax}]微分方程数值解NDSolve[eqns, {y1,y2,...}, {x, xmin, xmax}]微分方程组数值解FindRoot[lhs==rhs, {x,x0}] 以x0为初值，寻找方程数值解FindRoot[lhs==rhs, {x, xstart, xmin, xmax}]NSum[f, {i,imin,imax,di}] 数值求和，di为步长NSum[f, {i,imin,imax,di}, {j,..},..] 多维函数求和NProduct[f, {i, imin, imax, di}]函数求积NIntegrate[f, {x, xmin, xmax}] 函数数值积分优化函数：FindMinimum[f, {x,x0}] 以x0为初值，寻找函数最小值FindMinimum[f, {x, xstart, xmin, xmax}]ConstrainedMin[f,{inequ},{x,y,..}]inequ为线性不等式组，f为x,y..之线性函数，得到最小值及此时的x,y..取值ConstrainedMax[f, {inequ}, {x, y,..}]同上LinearProgramming[c,m,b] 解线性组合在>=b&&x>=0约束下的最小值，x,b,c为向量,m为矩阵LatticeReduce[{v1,v2...}] 向量组vi的极小无关组数据处理：Fit[data,funs,vars]用指定函数组对数据进行最小二乘拟和data可以为{{x1,y1,..f1},{x2,y2,..f2}..}多维的情况emp: Fit[{,12,,}, {1, x, x^2,Sin[x]}, x]Interpolation[data]对数据进行差值,data同上，另外还可以为{{x1,{f1,df11,df12}},{x2,{f2,.}..}指定各阶导数InterpolationOrder默认为3次，可修改ListInterpolation[array]对离散数据插值，array可为n维ListInterpolation[array,{{xmin,xmax},{ymin,ymax},..}] FunctionInterpolation[expr,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax},..]以对应expr[xi,yi]的为数据进行插值Fourier[list] 对复数数据进行付氏变换InverseFourier[list] 对复数数据进行付氏逆变换Min[{x1,x2...},{y1,y2,...}]得到每个表中的最小值Max[{x1,x2...},{y1,y2,...}]得到每个表中的最大值Select[list, crit] 将表中使得crit为True的元素选择出来Count[list, pattern] 将表中匹配模式pattern的元素的个数Sort[list] 将表中元素按升序排列Sort[list,p] 将表中元素按p[e1,e2]为True的顺序比较list的任两个元素e1,e2,实际上Sort[list]中默认p=Greater集合论：Union[list1,list2..] 表listi的并集并排序Intersection[list1,list2..] 表listi的交集并排序Complement[listall,list1,list2...]从全集listall中对listi的差集—————————————————————————————————————九、虚数函数Re[expr] 复数表达式的实部Im[expr] 复数表达式的虚部Abs[expr] 复数表达式的模Arg[expr] 复数表达式的辐角Conjugate[expr] 复数表达式的共轭—————————————————————————————————————十、数的头及模式及其他操作Integer _Integer 整数Real _Real 实数Complex _Complex 复数Rational_Rational 有理数(*注：模式用在函数参数传递中，如MyFun[Para1_Integer,Para2_Real]规定传入参数的类型，另外也可用来判断If[Head[a]==Real,...]*) IntegerDigits[n,b,len] 数字n以b近制的前len个码元RealDigits[x,b,len] 类上FromDigits[list] IntegerDigits的反函数Rationalize[x,dx] 把实数x有理化成有理数，误差小于dxChop[expr, delta] 将expr中小于delta的部分去掉,dx默认为10^-10 Accuracy[x] 给出x小数部分位数,对于Pi,E等为无限大Precision[x] 给出x有效数字位数,对于Pi,E等为无限大SetAccuracy[expr, n] 设置expr显示时的小数部分位数SetPrecision[expr, n] 设置expr显示时的有效数字位数—————————————————————————————————————十一、区间函数Interval[{min, max}] 区间[min, max](* Solve[3 x+2==Interval[{-2,5}],x]*) IntervalMemberQ[interval, x] x在区间内吗IntervalMemberQ[interval1,interval2] 区间2在区间1内吗IntervalUnion[intv1,intv2...] 区间的并IntervalIntersection[intv1,intv2...] 区间的交—————————————————————————————————————十二、矩阵操作或Dot[a, b, c] 矩阵、向量、张量的点积Inverse[m] 矩阵的逆Transpose[list] 矩阵的转置Transpose[list,{n1,n2..}]将矩阵list 第k行与第nk列交换Det[m] 矩阵的行列式Eigenvalues[m] 特征值Eigenvectors[m] 特征向量Eigensystem[m] 特征系统，返回{eigvalues,eigvectors}LinearSolve[m, b] 解线性方程组==bNullSpace[m] 矩阵m的零空间，即[m]==零向量RowReduce[m] m化简为阶梯矩阵Minors[m, k] m的所有k*k阶子矩阵的行列式的值(伴随阵，好像是) MatrixPower[mat, n] 阵mat自乘n次Outer[f,list1,list2..] listi中各个元之间相互组合，并作为f的参数的到的矩阵Outer[Times,list1,list2]给出矩阵的外积SingularValues[m] m的奇异值，结果为{u,w,v},m=Conjugate[Transpose[u]].DiagonalMatrix[w].vPseudoInverse[m] m的广义逆QRDecomposition[m] QR分解SchurDecomposition[m] Schur分解LUDecomposition[m] LU分解—————————————————————————————————————十三、表函数(*“表”，我认为是Mathematica中最灵活的一种数据类型*)(*实际上表就是表达式，表达式也就是表，所以下面list==expr *)(*一个表中元素的位置可以用于一个表来表示*)表的生成{e1,e2,...} 一个表，元素可以为任意表达式，无穷嵌套Table[expr,{imax}] 生成一个表，共imax个元素Table[expr,{i, imax}] 生成一个表，共imax个元素expr[i] Table[expr,{i,imin,imax},{j,jmin,jmax},..] 多维表Range[imax] 简单数表{1,2,..,imax}Range[imin, imax, di] 以di为步长的数表Array[f, n] 一维表，元素为f[i] (i从1到n)Array[f,{n1,n2..}] 多维表，元素为f[i,j..] (各自从1到ni) IdentityMatrix[n] n阶单位阵DiagonalMatrix[list] 对角阵元素操作Part[expr, i]或expr[[i]]第i个元expr[[-i]] 倒数第i个元expr[[i,j,..]] 多维表的元expr[[{i1,i2,..}] 返回由第i(n)的元素组成的子表First[expr] 第一个元Last[expr] 最后一个元Head[expr] 函数头，等于expr[[0]]Extract[expr, list] 取出由表list制定位置上expr的元素值Take[list, n] 取出表list前n个元组成的表Take[list,{m,n}] 取出表list从m到n的元素组成的表Drop[list, n] 去掉表list前n个元剩下的表，其他参数同上Rest[expr] 去掉表list第一个元剩下的表Select[list, crit] 把crit作用到每一个list的元上，为True的所有元组成的表表的属性Length[expr] expr第一曾元素的个数Dimensions[expr] 表的维数返回{n1,n2..},expr为一个n1*n2...的阵TensorRank[expr] 秩Depth[expr] expr最大深度Level[expr,n] 给出expr中第n层子表达式的列表Count[list, pattern] 满足模式的list中元的个数MemberQ[list, form] list中是否有匹配form的元FreeQ[expr, form] MemberQ的反函数Position[expr, pattern] 表中匹配模式pattern的元素的位置列表Cases[{e1,e2...},pattern]匹配模式pattern的所有元素ei的表表的操作Append[expr, elem] 返回在表expr的最后追加elem元后的表Prepend[expr, elem] 返回在表expr的最前添加elem元后的表Insert[list, elem, n] 在第n元前插入elemInsert[expr,elem,{i,j,..}]在元素expr[[{i,j,..}]]前插入elemDelete[expr, {i, j,..}] 删除元素expr[[{i,j,..}]]后剩下的表DeleteCases[expr,pattern]删除匹配pattern的所有元后剩下的表ReplacePart[expr,new,n] 将expr的第n元替换为newSort[list] 返回list按顺序排列的表Reverse[expr] 把表expr倒过来RotateLeft[expr, n] 把表expr循环左移n次RotateRight[expr, n] 把表expr循环右移n次Partition[list, n] 把list按每n各元为一个子表分割后再组成的大表Flatten[list] 抹平所有子表后得到的一维大表Flatten[list,n] 抹平到第n层Split[list] 把相同的元组成一个子表，再合成的大表FlattenAt[list, n] 把list[[n]]处的子表抹平Permutations[list] 由list的元素组成的所有全排列的列表Order[expr1,expr2] 如果expr1在expr2之前返回1,如果expr1在expr2之后返回-1,如果expr1与expr2全等返回0Signature[list] 把list通过两两交换得到标准顺序所需的交换次数(排列数)以上函数均为仅返回所需表而不改变原表AppendTo[list,elem] 相当于list=Append[list,elem];PrependTo[list,elem] 相当于list=Prepend[list,elem];--—————————————————————————————————————十四、绘图函数二维作图Plot[f,{x,xmin,xmax}] 一维函数f[x]在区间[xmin,xmax]上的函数曲线Plot[{f1,f2..},{x,xmin,xmax}] 在一张图上画几条曲线ListPlot[{y1,y2,..}] 绘出由离散点对(n,yn)组成的图ListPlot[{{x1,y1},{x2,y2},..}] 绘出由离散点对(xn,yn)组成的图ParametricPlot[{fx,fy},{t,tmin,tmax}] 由参数方程在参数变化范围内的曲线ParametricPlot[{{fx,fy},{gx,gy},...},{t,tmin,tmax}]在一张图上画多条参数曲线选项：PlotRange->{0,1} 作图显示的值域范围AspectRatio->1/GoldenRatio生成图形的纵横比PlotLabel ->label 标题文字Axes ->{False,True} 分别制定是否画x,y轴AxesLabel->{xlabel,ylabel}x,y轴上的说明文字Ticks->None,Automatic,fun用什么方式画轴的刻度AxesOrigin ->{x,y} 坐标轴原点位置AxesStyle->{{xstyle}, {ystyle}}设置轴线的线性颜色等属性Frame ->True,False 是否画边框FrameLabel ->{xmlabel,ymlabel,xplabel,yplabel}边框四边上的文字FrameTicks同Ticks 边框上是否画刻度GridLines 同Ticks 图上是否画栅格线FrameStyle ->{{xmstyle},{ymstyle}设置边框线的线性颜色等属性ListPlot[data,PlotJoined->True] 把离散点按顺序连线PlotSytle->{{style1},{style2},..}曲线的线性颜色等属性PlotPoints->15 曲线取样点，越大越细致三维作图Plot3D[f,{x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]二维函数f[x,y]的空间曲面Plot3D[{f,s}, {x,xmin,xmax}, {y,ymin,ymax}]同上，曲面的染色由s[x,y]值决定ListPlot3D[array] 二维数据阵array的立体高度图ListPlot3D[array,shades]同上，曲面的染色由shades[数据]值决定ParametricPlot3D[{fx,fy,fz},{t,tmin,tmax}]二元数方程在参数变化范围内的曲线ParametricPlot3D[{{fx,fy,fz},{gx,gy,gz},...},{t,tmin,tmax}]多条空间参数曲线选项：ViewPoint ->{x,y,z} 三维视点，默认为{,,2}Boxed -> True,False 是否画三维长方体边框BoxRatios->{sx,sy,sz} 三轴比例BoxStyle 三维长方体边框线性颜色等属性Lighting ->True 是否染色LightSources->{s1,s2..} si为某一个光源si={{dx,dy,dz},color} color为灯色，向dx,dy,dz方向照射AmbientLight->颜色函数慢散射光的光源Mesh->True,False 是否画曲面上与x,y轴平行的截面的截线MeshStyle 截线线性颜色等属性MeshRange->{{xmin,xmax}, {ymin,ymax}}网格范围ClipFill->Automatic,None,color,{bottom,top}指定图形顶部、底部超界后所画的颜色Shading ->False,True 是否染色HiddenSurface->True,False 略去被遮住不显示部分的信息等高线ContourPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]二维函数f[x,y]在指定区间上的等高线图ListContourPlot[array] 根据二维数组array数值画等高线选项：Contours->n 画n条等高线Contours->{z1,z2,..} 在zi处画等高线ContourShading -> False 是否用深浅染色ContourLines -> True 是否画等高线ContourStyle -> {{style1},{style2},..}等高线线性颜色等属性FrameTicks 同上密度图DensityPlot[f,{x,xmin,xmax},{y,ymin,ymax}]二维函数f[x,y]在指定区间上的密度图ListDensityPlot[array] 同上图形显示Show[graphics,options] 显示一组图形对象，options为选项设置Show[g1,g2...] 在一个图上叠加显示一组图形对象GraphicsArray[{g1,g2,...}]在一个图上分块显示一组图形对象SelectionAnimate[notebook,t]把选中的notebook中的图画循环放映选项：(此处选项适用于全部图形函数)Background->颜色函数指定绘图的背景颜色RotateLabel -> True 竖着写文字TextStyle 此后输出文字的字体，颜色大小等ColorFunction->Hue等把其作用于某点的函数值上决定某点的颜色RenderAll->False 是否对遮挡部分也染色MaxBend 曲线、曲面最大弯曲度绘图函数（续）图元函数Graphics[prim, options]prim为下面各种函数组成的表，表示一个二维图形对象Graphics3D[prim, options]prim为下面各种函数组成的表，表示一个三维图形对象SurfaceGraphics[array, shades]表示一个由array和shade决定的曲面对象ContourGraphics[array]表示一个由array决定的等高线图对象DensityGraphics[array]表示一个由array决定的密度图对象以上定义图形对象，可以进行对变量赋值，合并显示等操作，也可以存盘Point[p] p={x,y}或{x,y,z}，在指定位置画点Line[{p1,p2,..}]经由pi点连线Rectangle[{xmin, ymin}, {xmax, ymax}] 画矩形Cuboid[{xmin,ymin,zmin},{xmax,ymax,zmax}]由对角线指定的长方体Polygon[{p1,p2,..}] 封闭多边形Circle[{x,y},r] 画圆Circle[{x,y},{rx,ry}] 画椭圆，rx,ry为半长短轴Circle[{x,y},r,{a1,a2}] 从角度a1～a2的圆弧Disk[{x, y}, r] 填充的园、椭圆、圆弧等参数同上Raster[array,ColorFunction->f] 颜色栅格Text[expr,coords] 在坐标coords上输出表达式PostScript["string"] 直接用PostScript图元语言写Scaled[{x,y,..}] 返回点的坐标，且均大于0小于1颜色函数(指定其后绘图的颜色)GrayLevel[level] 灰度level为0~1间的实数RGBColor[red, green, blue] RGB颜色，均为0~1间的实数Hue[h, s, b] 亮度，饱和度等，均为0~1间的实数CMYKColor[cyan, magenta, yellow, black] CMYK颜色其他函数(指定其后绘图的方式)Thickness[r] 设置线宽为rPointSize[d] 设置绘点的大小Dashing[{r1,r2,..}] 虚线一个单元的间隔长度ImageSize->{x, y} 显示图形大小(像素为单位)ImageResolution->r 图形解析度r个dpiImageMargins->{{left,right},{bottom,top}}四边的空白ImageRotated->False 是否旋转90度显示—————————————————————————————————————十五、流程控制分支If[condition, t, f] 如果condition为True,执行t段，否则f段If[condition, t, f, u] 同上，即非True又非False，则执行u段Which[test1,block1,test2,block2..] 执行第一为True的testi对应的blocki Switch[expr,form1,block1,form2,block2..]执行第一个expr所匹配的formi所对应的blocki段循环Do[expr,{imax}] 重复执行expr imax次Do[expr,{i,imin,imax}, {j,jmin,jmax},...]多重循环While[test, body] 循环执行body直到test为FalseFor[start,test,incr,body]类似于C语言中的for，注意"，"与";"的用法相反examp: For[i=1;t =x,i^2<10,i++,t =t+i;Print[t]]异常控制Throw[value] 停止计算，把value返回给最近一个Catch处理Throw[value, tag] 同上，Catch[expr] 计算expr,遇到Throw返回的值则停止Catch[expr, form] 当Throw[value, tag]中Tag匹配form时停止其他控制Return[expr] 从函数返回，返回值为exprReturn[ ] 返回值NullBreak[ ] 结束最近的一重循环Continue[ ] 停止本次循环，进行下一次循环Goto[tag] 无条件转向Label[Tag]处Label[tag] 设置一个断点Check[expr,failexpr] 计算expr,如果有出错信息产生，则返回failexpr的值Check[expr,failexpr,s1::t1,s2::t2,...]当特定信息产生时则返回failexpr CheckAbort[expr,failexpr]当产生abort信息时放回failexprInterrupt[ ] 中断运行Abort[ ] 中断运行TimeConstrained[expr,t] 计算expr，当耗时超过t秒时终止MemoryConstrained[expr,b]计算expr，当耗用内存超过b字节时终止运算交互式控制Print[expr1,expr2,...] 顺次输出expri的值examp: Print[ "X=" , X.},body]多自变量纯函数#，#n 纯函数的第一、第n个自变量## 纯函数的所有自变量的序列examp: ^& [2,3] 返回第一个参数的第二个参数次方映射Map[f,expr]或f/@expr 将f分别作用到expr第一层的每一个元上得到的列表Map[f,expr,level] 将f分别作用到expr第level层的每一个元上Apply[f,expr]或f@@expr 将expr的“头”换为fApply[f,expr,level] 将expr第level层的“头”换为fMapAll[f,expr]或f.}] 把f作用到expr[[{i,j,...}]]元上MapIndexed[f,expr] 类似MapAll,但都附加其映射元素的位置列表Scan[f, expr] 按顺序分别将f作用于expr的每一个元Scan[f,expr,levelspec] 同上，仅作用第level层的元素复合映射Nest[f,expr,n] 返回n重复合函数f[f[...f[expr]...]]NestList[f,expr,n] 返回0重到n重复合函数的列表{expr,f[expr],f[f[expr]]..} FixedPoint[f, expr] 将f复合作用于expr直到结果不再改变,即找到其不定点FixedPoint[f, expr, n] 最多复合n次，如果不收敛则停止FixedPointList[f, expr] 返回各次复合的结果列表FoldList[f,x,{a,b,..}] 返回{x,f[x,a],f[f[x,a],b],..}Fold[f, x, list] 返回FoldList[f,x,{a,b,..}]的最后一个元ComposeList[{f1,f2,..},x]返回{x,f1[x],f2[f1[x]],..}的复合函数列表Distribute[f[x1,x2,..]] f对加法的分配率Distribute[expr, g] 对g的分配率Identity[expr] expr的全等变换Composition[f1,f2,..] 组成复合纯函数f1[f2[..fn[ ]..]Operate[p,f[x,y]] 返回p[f][x, y]Through[p[f1,f2][x]] 返回p[f1[x],f2[x]]Compile[{x1,x2,..},expr]编译一个函数，编译后运行速度可以大大加快Compile[{{x1,t1},{x2,t2}..},expr] 同上，可以制定函数参数类型—————————————————————————————————————十七、替换规则lhs->rhs 建立了一个规则，把lhs换为rhs,并求rhs的值lhs:>rhs 同上，只是不立即求rhs的值，知道使用该规则时才求值Replace[expr,rules] 把一组规则应用到expr上，只作用一次expr /. rules 同上expr .}]综合各个规则，产生一组优化的规则组><Mathematica的常见问题><===================================1).Mathematica 可以定义变量为实数么1. 在Simplify/FullSimplify可以使用\[Element]，如Simplify[Re[a+b*I],a\[Element]Reals]2. 可以使用ComplexExpand[]来展开表达式，默认：符号均为实数：Unprotect[Abs];Abs[x_] := Sqrt[Re[x]^2 + Im[x]^2];ComplexExpand[Abs[a + b*I], a]3. 使用/:，对符号关联相应的转换规则x /: Im[x] = 0;x /: Re[x] = x;y /: Im[y] = 0;y /: Re[y] = y;Re[x+y*I]===================================2).Mathematica中如何中断运算Alt+. 直接终止当前执行的运算Alt+, 询问是否终止或者继续如果不能终止，用菜单Kernel\Quit Kernal\Local来退出当前运算===================================3).请高手推荐Mathematica参考书我迄今为止看到的最好的一本就是Mathematica自己带的帮助里面的The Mathematica Book，内容全面，循序渐近，非常容易学习使用。