2021年高考数学真题试题(天津卷)(word版,含答案与解析)

2021年全国统一高考数学试卷(天津市卷)(含详细解析)2021年全国统一高考数学试卷（天津卷）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（共9题；共45分）1.设集合A={−1,0,1}，A={1,3,5}，A={0,2,4}，则(A∩A)∪A=（）A.{0}B.{0,1,3,5}C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}2.已知A∈A，则“A>6”是“A2>36”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.函数A=ln|A|/A2+2的图像大致为（）A。

B。

C。

D.4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),⋯,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是（）A。

20 B。

40 C。

64 D。

805.设A=log2 0.3，A=log1 0.4，A=0.4，则a，b，c的大小关系为（）A.A<A<AB.A<A<AC.A<A<AD.A<A<A6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3AB.4AC.9AD.12A7.若2A=5A=10，则A+A=（）A。

-1 B.lg7 C。

1 D.log7 1088.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则9.已知双曲线A2/A2−A2/A2=1，两个圆锥的高之比为11:32A/3，则这两个圆锥的底面半径之比为（）解析】【解答】解：对于奇函数f(x)，有f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于原点对称；而f(x)的值域为[-2,2]，所以-f(x)的值域也为[-2,2]，即f(-x)的值域也为[-2,2]；又因为f(-x)=-f(x)，所以f(x)的图象关于y轴对称；综上所述，f(x)的图象关于原点和y轴对称，故选B.分析】根据奇偶函数的定义和图象的对称性求解即可.4.【答案】B考点】函数的连续性，导数的定义解析】【解答】解：由题意得f(x)在x=0处连续，所以f(0-)=f(0+)=a；又因为f'(x)=2ax，所以f'(0)=0；又因为f''(x)=2a，所以f''(0)=2a>0；由导数定义可知，f(x)在x=0处取得极小值，故选B.分析】根据函数连续性、导数的定义和二阶导数的符号判断极值类型求解即可.5.【答案】D考点】向量共面的判定，向量的叉积解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC共面，所以向量AD叉乘向量BC的模长为0，即|(a+b)×c|=0；展开得：|a×c+b×c|=0；又因为a×c和b×c平行，所以a×c和b×c的线性组合为0向量；即存在实数k，使得ka×c+kb×c=0；又因为a和c不共线，所以k≠0，故a和b共线，即AB//AC，故选D.分析】根据向量共面的判定和向量的叉积求解即可.6.【答案】C考点】平面向量的模长，向量的投影解析】【解答】解：设向量AB=a，向量AC=b，则向量AD=a+b；又因为向量AD与向量BC垂直，所以向量AD在向量BC上的投影为0，即AD·BC=0；展开得：(a+b)·(b-c)=0；即a·b-b·b+a·c-b·c=0；又因为|a|=2，所以a·a=4，所以a·b=2；又因为|b|=1，所以b·b=1，所以b·c=1；代入得2-1+a·c-1=0，即a·c=0；又因为a和c不共线，所以a和c垂直，故选C.分析】根据向量的模长和投影的定义，以及向量垂直的判定求解即可.7.【答案】D考点】等差数列的通项公式，等比数列的通项公式解析】【解答】解：设等差数列的公差为d，则有a1+a8=2(a1+7d)=64，解得a1=5，d=3；设等比数列的首项为b1，则有b2/b1=b3/b2=2，解得b1=4，q=√2；所以an=5+3(n-1)和bn=4*√2^(n-1)；又因为c1=b1^2+b1=20，=b^2n+bn=18*2^(n-1)+4*√2^(n-1)；展开得：cn=2^(n-1)(18+4*√2)=2^(n-1)(9+2*√2)^2-5*2^(n-1)，故选D.分析】根据等差数列和等比数列的通项公式，以及通项公式的性质求解即可.8.【答案】B考点】三角函数的定义，三角函数的图象解析】【解答】解：由题意得sinx>0，cosx<0，tanx<0；又因为tanx=sinx/cosx，所以sinx和cosx的符号相反；故x在第二象限，故选B.分析】根据三角函数的定义和图象，以及符号的判断求解即可.9.【答案】A考点】平面向量的模长，向量的夹角解析】【解答】解：设向量OA=a，向量OB=b，则有|a|=|b|=1，且a·b=0；又因为角AOB=60°，所以cos60°=(a·b)/(|a||b|)=0.5；代入得：a·b=0.5；又因为a·b=0，所以a·a+b·b=1+1=2；展开得：2+2a·b=2，即a·b=-0.5；代入得：a·a=1.5，b·b=0.5；所以|a+b|=√(a·a+b·b+2a·b)=√3，故选A.分析】根据平面向量的模长和夹角的定义，以及余弦定理求解即可.10.【答案】D考点】圆锥曲线的定义，椭圆的性质解析】【解答】解：由题意得右焦点为F，离心率为2√5，且|BF|=√5；又因为椭圆的离心率为c/a，所以c=2√5a；又因为椭圆的上顶点为B，所以b=√(a^2-c^2)=√(a^2-20a)；又因为|BF|=√5，所以a^2+c^2=5，代入得：5a^2=25，即a^2=5；代入得：c=2√5，b=√5，所以椭圆的方程为：x^2/5+y^2/4=1，故选D.分析】根据椭圆的定义和性质，以及离心率的定义和计算求解即可.解：函数$f(-x)=\frac{(-x)^2+2}{(-x)^2+2}=1$，即$f(x)=f(-x)$，所以$f(x)$是偶函数，排除选项A和C。

2021年高考数学真题试卷（天津卷）一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（共9题；共45分）1.设集合A={−1,0,1}，B={1,3,5},C={0,2,4}，则(A∩B)∪C=（）A. {0}B. {0,1,3,5}C. {0,1,2,4}D. {0,2,3,4}【答案】C【考点】并集及其运算，交集及其运算【解析】【解答】解：由题意得A∩B={1}，则（A∩B）∪C={0,1,2,4}故答案为：C【分析】根据交集，并集的定义求解即可.2.已知a∈R，则“ a>6 ”是“ a2>36”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不允分也不必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】解：当a>6时，a2>36，所以充分性成立；当a2>36时，a<-6或a>6，所以必要性不成立，故“a>6”是“a2>36”的充分不必要条件.故答案为：A【分析】根据充分必要条件的定义求解即可.3.函数y=ln|x|的图像大致为（）x2+2A. B.C. D.【答案】B【考点】函数的值域，奇偶函数图象的对称性【解析】【解答】解：f(−x)=ln |−x|(−x)2+2=lnxx2+2=f(x)，则函数f(x)=lnxx2+2是偶函数，排除A,C,当x∈(0,1)时，ln|x|<0,x2+2>0，则f(x)<0，排除D.故答案为：B【分析】由函数为偶函数可排除AC，再由x∈(0,1)时，f(x)<0，排除D，即可得解.4.从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),⋯,[94,98]，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[82，86)内的影视作品数量是（）A. 20B. 40C. 64D. 80【答案】 D【考点】频率分布直方图【解析】【解答】解：由频率分布直方图可知，评分在区间[82，86)内的影视作品数量是400×0.05×4=80.故答案为：D【分析】根据频率分布直方图的性质求解即可.5.设a=log20.3,b=log120.4,c=0.40.3，则a，b，c的大小关系为（）A. a<b<cB. c<a<bC. b<c<aD. a<c<b【答案】 D【考点】指数函数的定义、解析式、定义域和值域，对数函数的值域与最值【解析】【解答】解：∵log20.3<log21=0，∴a<0∵log120.4=−log20.4=log252>log22=1，∴b>1∵0<0.403<0.40=1，∴0<c<1∴a<c<b故答案为：D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出a,c,b的范围即可求解.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为32π3，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A. 3πB. 4πC. 9πD. 12π【答案】B【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积【解析】【解答】解：如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D，设圆锥AD和圆锥BD的高之比为3:1，即AD=3BD，设球的半径为R，则4πR33=32π3，解得R=2，所以AB=AD+BD=4BD=4，所以BD=1,AD=3∵CD⊥AB，∴∠CAD+∠ACD=∠BCD+∠ACD=90°∴∠CAD=∠BCD又因为∠ADC=∠BDC所以△ACD∽△CBD所以ADCD =CDBD∴CD=√AD·BD=√3∴这两个圆锥的体积之和为13π×CD2×(AD+BD)=13π×3×4=4π故答案为：B【分析】作出图形，求得球的半径，进而求得两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再结合锥体的体积公式求解即可.7.若2a=5b=10，则1a +1b=（）A. -1B. lg7C. 1D. log710【答案】 C【考点】指数式与对数式的互化，换底公式的应用【解析】【解答】解：由 2a =5b =10 得a=log 210，b=log 510， 则1a +1b =1log210+1log 510=lg2+lg5=lg10=1故答案为：C【分析】根据指数式与对数式的互化，结合换底公式求解即可. 8.已知双曲线x 2a 2−y 2b2=1(a >0,b >0) 的右焦点与抛物线 y 2=2px(p >0) 的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ， B 两点，交双曲钱的渐近线于C 、D 两点，若 |CD|=√2|AB| ．则双曲线的离心率为（ ）A. √2B. √3C. 2D. 3 【答案】 A【考点】抛物线的简单性质，双曲线的简单性质 【解析】【解答】解：设双曲线x 2a 2−y 2b 2=1(a >0,b >0) 与抛物线 y 2=2px(p >0) 的公共焦点为（c,0）， 则抛物线 y 2=2px(p >0) 的准线为x=-cy 2b 2=1 ， 得c 2a 2−y 2b 2=1 ， 解得y =±b 2a， 所以|AB |=2b 2a，又因为双曲线的渐近线为y =±bax ， 所以|CD |=2bc a，所以2bc a=2√2b 2a， 则c =√2b所以a 2=c 2−b 2=12c 2所以双曲线的离心率为e =ca =√2 故答案为：A【分析】根据双曲线与抛物线的几何性质，结合离心率的定义求解即可.9.设 a ∈R ，函数 f(x)={cos(2πx −2πa).x <ax 2−2(a +1)x +a 2+5,x ≥a ，若 f(x) 在区间 (0,+∞) 内恰有6个专点，则a 的取值范围是（ ） A. (2,94]∪(52,114] B. (74,2)∪(52,114)C. (2,94]∪[114,3)D. (74,2)∪[114,3) . 【答案】 A【考点】函数零点的判定定理【解析】【解答】解：∵x 2-2(a+1)x+a 2+5=0最多有2个根， ∴cos(2πx -2πa)=0至少有4个根，由2πx −2πa =π2+k π,k ∈Z ， 得x =k2+14+a,k ∈Z由0<k 2+14+a <a 得−2a −12<k <−12(1)当x<a 时，当−5≤−2a −12<−4时，f(x)有4个零点，即74<a <94； 当−6≤−2a −12<−5时，f(x)有5个零点，即94<a <114；当−7≤−2a −12<−6时，f(x)有6个零点，即114<a <134；(2)当x≥a 时，f(x)=x 2-2(a+1)x+a 2+5 ∆=4(a+1)2-4(a 2+5)=8(a-2) 当a<2时，∆<0，f(x)无零点； 当a=2时，∆=0，f(x)有1个零点；当a>2时，令f(a)=a 2-2(a+1)a+a 2+5=-2a+5≥0，则2<a ≤52 ， 此时f(x)有2个零点； 所以若a >52时，f(x)有1个零点；综上，要是f(x)在[0,+∞)上有6个零点，则应满足{74<a ≤942<a ≤52)或{94<a ≤114a =2或a >52)或{114<a ≤134a <2)则a 的取值范围是(2,94]∪(52,114]【分析】由x 2-2(a+1)x+a 2+5=0最多有2个根，可得cos(2πx -2πa)=0至少有4个根，再结合分类讨论思想，根据x<a 与x≥a 分类讨论两个函数零点个数情况，再综合考虑求解即可.二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．（共6题；共30分）10.i 是虚数单位，复数 9+2i 2+i= ________．【答案】 4-i【考点】复数代数形式的混合运算 【解析】【解答】解：由题意得9+2i2+i =(9+2i )(2−i )(2+i )(2−i )=20−5i 5=4−i故答案为：4-i【分析】根据复数的运算法则求解即可.11.在 (2x 3+1x )6 的展开式中， x 6 的系数是________． 【答案】 160【考点】二项式定理，二项式定理的应用【解析】【解答】解： (2x 3+1x )6 的展开式的通项公式是Tr +1=C 6r (2x 3)6−r (1x )r=26−r ·C 6r ·x 18−4r令18-4r=6，得r=3所以 x 6 的系数是 23C 63=160【分析】根据二项式的展开式通项公式求解即可.12.若斜率为 √3 的直线与y 轴交于点A ， 与圆 x 2+(y −1)2=1 相切于点B ， 则 |AB|= ________． 【答案】 √3【考点】直线的斜截式方程，点到直线的距离公式，直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：设直线AB 的方程为y =√3x +b ， 则点A(0,b) ∵直线AB 与圆 x 2+(y −1)2=1相切=1 ， 解得b=-1或b=3所以|AC|=2 又∵|BC|=1∴|AB |=√|AC|2−|BC |2=√3 故答案为：√3【分析】根据直线的斜截式方程，结合直线与圆的位置关系以及点到直线的距离公式求解即可. 13.若 a >0 , b >0 ，则 1a +ab 2+b 的最小值为________． 【答案】 2√2【考点】基本不等式，基本不等式在最值问题中的应用 【解析】【解答】解：∵a>0,b>0 ∴1a+a b 2+b ≥2√1a·a b 2+b =2b+b ≥2√2b·b =2√2当且仅当1a =ab 2且2b =b ， 即a =b =√2时等号成立 所以1a +ab 2+b 的最小值是2√2. 【分析】利用基本不等式求解即可.14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为 56 和 15 ，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为________ ． 【答案】 23；2027【考点】相互独立事件的概率乘法公式，n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率 【解析】【解答】解：由题意知在一次活动中，甲获胜的概率为56×45=23 ，则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为C 32×(23)2×13+(23)3=2027故答案为：23，2027【分析】根据甲猜对乙没猜对可求出一次活动中，甲获胜的概率，再根据n 次独立重复试验的概率求法求解即可.15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点， DE ⊥AB 且交AB 于点E ． DF //AB 且交AC 于点F ,则 |2BE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ | 的值为________； (DE ⃗⃗⃗⃗⃗ +DF ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 的最小值为________． 【答案】 1；1120【考点】二次函数在闭区间上的最值，向量的模，平面向量数量积的运算 【解析】【解答】解：设BE=x ，x ∈(0,12) ∵△ABC 为边长为1的等边三角形，DE ⊥AB ∴∠BDE=30°，BD=2x ，DE=√3x ， DC=1-2x ∵DF//AB∴△DFC 为边长为1-2x 的等边三角形，DE ⊥DF∴(2BE →+DF →)2=4BE →2+4BE →·DF →+DF →2=4x 2+4x (1−2x )·cos0°+(1−2x )2=1 ∴|2BE →+DF →|=1∵(DE →+DF →)·DA →=(DE →+DF →)·(DE →+EA →)=DE →2+DF →·EA →=(√3x)2+(1−2x )×(1−x )=5x 2−3x +1=5(x −310)2+1120则当x =310时，(DE →+DF →)·DA →取得最小值为1120 故答案为：1，1120【分析】根据向量的数量积及向量的求模公式，再结合二次函数的最值问题求解即可.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．（共5题；共75分）16.在 △ABC ，角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ，已知 sinA:sinB:sinC =2:1:√2 ， b =√2 ． （1）求a 的值； （2）求 cosC 的值； （3）求 sin(2C −π6) 的值．【答案】 （1）因为 sinA:sinB:sinC =2:1:√2 ，由正弦定理可得 a:b:c =2:1:√2 ， ∵b =√2 ， ∴a =2√2,c =2 ；（2）由余弦定理可得 cosC =a 2+b 2−c 22ab=2×2√2×√2=34；（3）∵cosC =34 ， ∴sinC =√1−cos 2C =√74，∴sin2C =2sinCcosC =2×√74×34=3√78， cos2C =2cos 2C −1=2×916−1=18 ，所以 sin(2C −π6)=sin2Ccos π6−cos2Csin π6 =3√78×√32−18×12=3√21−116.【考点】两角和与差的正弦公式，二倍角的正弦公式，同角三角函数基本关系的运用，正弦定理，余弦定理【解析】【分析】（1）根据正弦定理直接求解即可； （2）根据余弦定理直接求解即可；（3）根据同角三角函数的基本关系，二倍角公式以及两角差的正弦公式求解即可.17.如图，在棱长为2的正方体 ABCD −A 1B 1C 1D 1 中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（1）求证： D 1F// 平面 A 1EC 1 ；（2）求直线 AC 1 与平面 A 1EC 1 所成角的正正弦值． （3）求二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值．【答案】 （1）以 A 为原点， AB,AD,AA 1 分别为 x,y,z 轴，建立如图空间直角坐标系，则 A(0,0,0) , A 1(0,0,2) , B(2,0,0) , C(2,2,0) , D(0,2,0) , C 1(2,2,2) , D 1(0,2,2) ， 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以 E(2,1,0) ， F(1,2,0) ， 所以 D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0,−2) , A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,0) , A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−2) ,设平面 A 1EC 1 的一个法向量为 m⃗⃗ =(x 1,y 1,z 1) ， 则 {m ⃗⃗ ⋅A 1C 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1+2y 1=0m ⃗⃗ ⋅A 1E ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2x 1+y 1−2z 1=0 ，令 x 1=2 ，则 m ⃗⃗ =(2,−2,1) ， 因为 D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅m ⃗⃗ =2−2=0 ，所以 D 1F ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥m ⃗⃗ ， 因为 D 1F ⊄ 平面 A 1EC 1 ，所以 D 1F// 平面 A 1EC 1 ；（2）由（1）得， AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,2,2) ， 设直线 AC 1 与平面 A 1EC 1 所成角为 θ ， 则 sinθ=|cos〈m ⃗⃗ ,AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 〉|=|m ⃗⃗⃗ ⋅AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|AC 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||=3×2√3=√39；（3）由正方体的特征可得，平面 AA 1C 1 的一个法向量为 DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,−2,0) ， 则 cos〈DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗ 〉=DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅m ⃗⃗⃗ |DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|m ⃗⃗⃗ |=3×2√2=2√23，所以二面角 A −A 1C 1−E 的正弦值为 √1−cos 2〈DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,m ⃗⃗ 〉=13.【考点】直线与平面平行的判定，用空间向量求直线与平面的夹角，二面角的平面角及求法 【解析】【分析】（1）根据向量垂直的充要条件求得 平面 A 1EC 1 的一个法向量m →， 再利用向量法直接求证即可；（2）先求出AC 1→ ， 再由sinθ=|cos <m →,AC 1→>|求解即可； （3）先求出平面 AA 1C 1 的一个法向量 DB →， 再由cos <m →,DB →>=m →·DB→|m →|·|DB|→结合同角三角函数的平方关系求解即可.18.已知椭圆 x 2a 2+y 2b 2=1 (a >b >0) 的右焦点为F ,上顶点为B ,离心率为 2√55 ，且 |BF|=√5 ．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ， 与y 轴的正半轴交于点N ， 过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ． 若 MP //BF ，求直线l 的方程．【答案】 （1）易知点 F(c,0) 、 B(0,b) ，故 |BF|=√c 2+b 2=a =√5 ， 因为椭圆的离心率为 e =c a=2√55，故 c =2 ， b =√a 2−c 2=1 ，因此，椭圆的方程为 x 25+y 2=1 ；（2）设点 M(x 0,y 0) 为椭圆 x 25+y 2=1 上一点，先证明直线 MN 的方程为x 0x5+y 0y =1 ，联立 {x 0x 5+y 0y =1x 25+y 2=1，消去 y 并整理得 x 2−2x 0x +x 02=0 ， Δ=4x 02−4x 02=0 ，因此，椭圆x 25+y 2=1 在点 M(x 0,y 0) 处的切线方程为x 0x 5+y 0y =1 .在直线 MN 的方程中，令 x =0 ，可得 y =1y 0，由题意可知 y 0>0 ，即点 N(0,1y 0) ，直线 BF 的斜率为 k BF =−b c =−12 ，所以，直线 PN 的方程为 y =2x +1y 0，在直线 PN 的方程中，令 y =0 ，可得 x =−12y 0，即点 P(−12y 0,0) ，因为 MP //BF ，则 k MP =k BF ，即 y 0x 0+12y=2y 022x 0y 0+1=−12，整理可得 (x 0+5y 0)2=0 ，所以， x 0=−5y 0 ，因为x 025+y 02=6y 02=1 ， ∴y 0>0 ，故 y 0=√66， x 0=−5√66，所以，直线 l 的方程为 −√66x +√66y =1 ，即 x −y +√6=0 . 【考点】椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的关系，直线与圆锥曲线的综合问题 【解析】【分析】（1）先求出a 值，结合a,b,c 的关系求得b ，从而求得椭圆的方程； （2）设M(x 0,y 0)，可得直线l 的方程x 0x 5+y 0y =1 ， 求出点P 的坐标，再根据MP//BF 得K MP =K BF ， 求得x 0,y 0的值，即可得出直线l 的方程19.已知 {a n } 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． {b n } 是公比大于0的等比数列， b 1=4,b 3−b 2=48 ．（1）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式； （2）记 c n =b 2n +1b n,n ∈N ∗ .（i ）证明 {c n 2−c 2n } 是等比数列；（ii ）证明 ∑√a k ak+1c k2−c 2k nk=1<2√2(n ∈N ∗) 【答案】 （1）因为 {a n } 是公差为2的等差数列，其前8项和为64． 所以 a 1+a 2+⋅⋅⋅+a 8=8a 1+8×72×2=64 ，所以 a 1=1 ，所以 a n =a 1+2(n −1)=2n −1,n ∈N ∗ ； 设等比数列 {b n } 的公比为 q,(q >0) ，所以 b 3−b 2=b 1q 2−b 1q =4(q 2−q)=48 ，解得 q =4 （负值舍去）， 所以 b n =b 1q n−1=4n ,n ∈N ∗ ；（2）（i ）由题意， c n =b 2n +1b n =42n +14n ， 所以 c n2−c 2n =(42n +14n )2−(44n +142n )=2⋅4n ， 所以 c n 2−c 2n ≠0 ，且 c n+12−c 2n+2c n 2−c 2n =2⋅4n+12⋅4n =4 ，所以数列 {c n 2−c 2n } 是等比数列；（ii ）由题意知，a n a n+1c n 2−c 2n =(2n−1)(2n+1)2⋅4n =4n 2−12⋅22n <4n 22⋅22n ， 所以 √a n a n+1c n 2−c 2n <√4n 22⋅22n =√2⋅2n =√2n 2n−1 ， 所以 ∑√a k a k+1c k 2−c 2k n k=1<√2k 2k−1n k=1 ， 设 T n =∑k 2k−1n k=1=120+221+322+⋅⋅⋅+n 2n−1 ， 则 12T n =121+222+323+⋅⋅⋅+n 2n ，两式相减得 12T n =1+12+122+⋅⋅⋅+12n−1−n 2n =1⋅(1−12n )1−12−n 2n =2−n+22n ，所以 T n =4−n+22n−1 ，所以 ∑√a k a k+1c k 2−c 2k n k=1<√2k 2k−1n k=1=√2−n+22n−1)<2√2 . 【考点】等差数列的通项公式，等差数列的前n 项和，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和，数列的求和【解析】【分析】（1）根据等差数列、等比数列的通项公式及前n 项和公式求解即可；（2）（ⅰ）运算可得C n 2−C 2n =2·4n ， 结合等比数列的定义即可得证；（ⅱ）利用放缩法得a n a n+1C n 2−C 2n <4n 22·22n ， 进而可得∑n k=1√a k a k+1C k 2−C 2k <√2n k=1k 2k−1 ， 结合错位相减法即可得证.20.已知 a >0 ， 函数 f(x)=ax −xe x ．（1）求曲线 y =f(x) 在点 (0,f(0)) 处的切线方程：（2）证明 f(x) 存在唯一的极值点（3）若存在a ， 使得 f(x)≤a +b 对任意 x ∈R 成立，求实数b 的取值范围．【答案】 （1）f ′(x)=a −(x +1)e x ，则 f ′(0)=a −1 ，又 f(0)=0 ，则切线方程为 y =(a −1)x,(a >0) ；（2）令 f ′(x)=a −(x +1)e x =0 ，则 a =(x +1)e x ，令 g(x)=(x +1)e x ，则 g ′(x)=(x +2)e x ，当x∈(−∞,−2)时，g′(x)<0，g(x)单调递减；当x∈(−2,+∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增，当x→−∞时，g(x)<0，g(−1)=0，当x→+∞时，g(x)>0，画出g(x)大致图像如下：所以当a>0时，y=a与y=g(x)仅有一个交点，令g(m)=a，则m>−1，且f′(m)=a−g(m)=0，当x∈(−∞,m)时，a>g(x)，则f′(x)>0，f(x)单调递增，当x∈(m,+∞)时，a<g(x)，则f′(x)<0，f(x)单调递减，x=m为f(x)的极大值点，故f(x)存在唯一的极值点；（3）由（II）知f(x)max=f(m)，此时a=(1+m)e m,m>−1，所以{f(x)−a}max=f(m)−a=(m2−m−1)e m,(m>−1)，令ℎ(x)=(x2−x−1)e x,(x>−1)，若存在a，使得f(x)≤a+b对任意x∈R成立，等价于存在x∈(−1,+∞)，使得ℎ(x)≤b，即b≥ℎ(x)min，ℎ′(x)=(x2+x−2)e x=(x−1)(x+2)e x，x>−1，当x∈(−1,1)时，ℎ′(x)<0，ℎ(x)单调递减，当x∈(1,+∞)时，ℎ′(x)>0，ℎ(x)单调递增，所以ℎ(x)min=ℎ(1)=−e，故b≥−e，所以实数b的取值范围[−e,+∞).【考点】导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性，利用导数研究函数的极值，利用导数求闭区间上函数的最值【解析】【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可；（2）令f'(x)=0，可得a=(x+1)e x，则可化为证明y=a与y=g(x)仅有一个交点，利用导数研究y=g(x)的变化情况，数形结合求解即可；（3）令h(x)=(x2-x-1)e x，(x>-1)，则将问题等价转化为存在x∈(-1,+∞)，使得h(x)≤b，即b≥h(x)min，利用导数求出h(x)的最小值即可.。

22 2 - = > > 5 0.5 ⎪⎝⎭ ⎩普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分钟。

第Ⅰ卷 1 至 2 页， 5.已知抛物线 y 2= 4x 的焦点为 F ，准线为l ，若l 与双曲线 x a 2y 2 b 21 (a 0, b 0) 的两条渐近线分别交于点 A第Ⅱ卷 3-5 页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。

答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

和点 B ，且| AB |= 4 | OF |（ O 为原点），则双曲线的离心率为 祝各位考生考试顺利！A. B. C. 2D.注意事项：第Ⅰ卷6.已知 a = log 2 ， b = log 0.2 ， c = 0.50.2，则 a , b , c 的大小关系为1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案A. a < c < bB. a < b < cC. b < c < aD. c < a < b标号。

7.已知函数 f (x ) = A sin(ωx +ϕ)( A > 0,ω> 0,|ϕ|< π) 是奇函数，将 y = f (x )的图像上所有点的横坐标伸长到原2.本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。

⎛ π⎫ ⎛ 3π⎫来的 2 倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 g (x ).若 g (x )的最小正周期为 2π ，且 g 4 ⎪ = ， 则 f 8 ⎪ =参考公式：· 如果事件 A 、 B 互斥，那么 P ( A B ) = P ( A ) + P (B ) . · 如果事件 A 、 B 相互独立，那么 P ( AB ) = P ( A )P (B ) .A. -2B. -C. ⎧x 2 - 2ax + 2a ,x 1,D. 2 ⎝ ⎭ ⎝ ⎭· 圆柱的体积公式V = Sh ，其中 S 表示圆柱的底面面积， h 表示圆柱的高. 8.已知 a ∈ R ，设函数 f (x ) = ⎨ ⎩x - a ln x ,x > 1, 若关于 x 的不等式 f (x ) 0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为· 棱锥的体积公式V = 1Sh ，其中 S 表示棱锥的底面面积， h 表示棱锥的高.3A. [0,1]B. [0, 2]C. [0, e ]第Ⅱ卷D. [1, e ]一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二.填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分.1.设集合 A = {-1,1, 2, 3, 5}, B = {2, 3, 4}, C = {x∈ R |1 x < 3} ，则( A C ) B =9. i 是虚数单位，则的值为 .A. {2}B. {2, 3}⎧x + y - 2 ≤ 0,C. {-1, 2, 3}D. {1, 2, 3, 4}⎛1 ⎫8⎪x - y + 2 ≥ 0, 2.设变量 x , y 满足约束条件则目标函数 z = -4x + y 的最大值为 10. 2x - 8x 3 ⎪ 是展开式中的常数项为.⎨⎪ ⎪⎩ y -1, -1,11.已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，A.2B.3C.5D.63.设 x ∈ R ，则“ x 2- 5x < 0 ”是“ | x -1|< 1”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为.⎧x = 2 + 2 cos θ,12.设 a ∈ R ，直线 ax - y + 2 = 0 和圆 ⎨y = 1+ 2 s in θ （θ为参数）相切，则 a 的值为 .(x +1)(2 y +1)4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为 A.5B.8C.24D.2913.设 x > 0, y > 0, x + 2 y = 5 ，则 的最小值为 .14. 在四边形 ABCD 中， AD ∥ BC , AB = 2 3,AD = 5, ∠A = 30︒ ， 点 E 在线段 CB 的延长线上， 且AE = BE ，则 BD ⋅ AE = .352 5 - i 1+ i2 5 xyx 2513 6 4 2 三.解答题：本大题共 6 小题，共 80 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分 13 分）在△ABC 中，内角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c .已知b + c = 2a ， 3c sin B = 4a sin C .（Ⅰ）求cos B 的值；若| ON |=| OF | （ O 为原点），且OP ⊥ MN ，求直线 PB 的斜率.19.（本小题满分 14 分）设{a n }是等差数列， {b n }是等比数列.已知 a 1 = 4,b 1 = 6 ，b 2 = 2a 2 - 2,b 3 = 2a 3 + 4 . （Ⅰ）求{a n }和{b n }的通项公式；⎛π⎫ （Ⅱ）求sin 2B + ⎪ 的值.⎝⎭ （Ⅱ）设数列{c }满足c = 1, c ⎧1, 2k < n < 2k +1 , = ⎨ 其中 k ∈ N *. n 1 n b , n = 2k ,⎩ k16.（本小题满分 13 分）2 设甲、乙两位同学上学期间，每天 7：30 之前到校的概率均为 3.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同（i ）求数列{a 2n (c 2n -1)}的通项公式； 2n学每天到校情况相互独立.（ii ）求∑ a i c i(n ∈ N ).*（Ⅰ）用 X 表示甲同学上学期间的三天中 7：30 之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在 7：30 之前到校的天数比乙同学在 7：30 之前到校的天数恰好多 2”，求事件 M 发生的概率. i =120.（本小题满分 14 分）设函数 f (x ) = e xcos x ,g (x ) 为 f (x )的导函数.17.（本小题满分 13 分）如图， AE ⊥ 平面 ABCD ， CF ∥ AE , AD ∥BC ，AD ⊥ AB , AB = AD = 1,AE = BC = 2 . （Ⅰ）求 f (x )的单调区间；⎡π π⎤⎛ π ⎫ （Ⅱ）当 x ∈ ⎢ , ⎥ 时，证明 f (x ) + g (x ) - x ⎪ 0 ；（Ⅰ）求证： BF ∥平面 ADE ；（Ⅱ）求直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；⎣ 4 2 ⎦⎝ 2 ⎭⎛π π⎫ （Ⅲ）若二面角 E - BD - F 的余弦值为 1 3，求线段CF 的长.（ Ⅲ ） 设πx n 为 函 数 u (x ) = f (x ) -1e -2n π在 区 间 2m + , 2m π+ ⎪ ⎝⎭ 内 的 零 点 ， 其 中 n ∈ N ， 证 明2n π+ 2 - x n < sin x .- cos x 02019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工类）参考解答一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 40 分.1.D2.C3.B4.B5.D6.A18.（本小题满分 13 分）7.A8.C二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分，满分 30 分.x2y 2π 3设椭圆+ a2 b2= 1(a > b > 0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为 4，离心率为.59. 10. 2811.412.413. 4 14. -1（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上.三.解答题15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余315 33 5 +74 - 2 h 3 2 + 4 h24 ⎧⎪n ⋅CE n ⎝ ⎭ ⎧⎪m ⋅ 3 8 2 4 1 20 弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分 13 分. bc题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分 13 分.（ Ⅰ ） 解： 在 △ABC 中， 由正弦定理sin B =， 得 b sin C = c sin B ， 又由 3c sin B = 4a sin C ， 得sin C依题意，可以建立以 A 为原点，分别以 AB ，A D ，A E 的方向为 x 轴， y 轴， z 轴正方向的空间直角坐标系（如 3b sin C = 4a sin C ， 即 3b = 4a . 又 因 为 b + c = 2a ， 得到 b = a 3 ， c = 2a 3. 由 余 弦 定 理 可 得 图），可得 A (0, 0, 0), B (1, 0, 0), C (1, 2, 0), D (0,1, 0) ， E (0, 0, 2) .设CF = h (h >>0) ，则 F (1, 2, h ). cos B = a 2 + c 2 - b 2 = 2 a 2 + 4 a 2 - 16 a 29 9 2 ⋅ a ⋅ 2 a3= - 1 . 4 （Ⅰ）证明：依题意， AB = (1, 0, 0) 是平面 ADE 的法向量，又 BF = (0, 2, h ) ，可得 BF ⋅ AB = 0 ，又因为直线 BF ⊄ 平面 ADE ，所以 BF ∥平面 ADE .（ Ⅱ ） 解 ： 由 （ Ⅰ ） 可 得 sin B = = 15 4 ， 从 而 sin 2B = 2 s in B cos B = - 15 ， 8（Ⅱ）解：依题意， BD = (-1,1, 0), BE = (-1, 0, 2), BD = 0, CE = (-1, -2, 2) .⎧-x + y = 0,7设 n = (x , y , z ) 为平面 BDE 的法向量，则 ⎨ 即 ⎨-x + 2z = 0, 不妨令 z = 1，cos 2B = cos 2 B - sin 2 B = - ，故8⎪⎩n ⋅ BE = 0, ⎩ ⎛ π⎫ π π 7 1 可得 n = (2, 2,1) .因此有cos CE , n ⋅ 4 = = - . sin 2B + 6 ⎪ = sin 2B cos 6 + cos 2B sin 6 = -16.⨯ - ⨯ = - ， 8 2 8 2 16| C E || n | 9所以，直线CE 与平面 BDE 所成角的正弦值为 4.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分 13 分.9BD = 0,⎧-x + y = 0, 2（Ⅲ）解：设 m = (x , y , z ) 为平面 BDF 的法向量，则 ⎨m⋅ 即⎨2 y + hz = 0, （Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天 7：30 之前到校的概率均为 ，故3⎩⎪ BF = 0, ⎩ ⎛ 2 ⎫⎛ 2 ⎫k ⎛ 1 ⎫3-k不妨令 y = 1，可得 m = ⎛1,1, - 2 ⎫ .X ~ B 3, ，从而P ( X = k ) = C k , k = 0,1, 2, 3 . h ⎪ 3 ⎪ 3 3 ⎪ 3 ⎪ ⎝ ⎭⎝ ⎭ 所以，随机变量 X 的分布列为⎝ ⎭ ⎝ ⎭由题意，有 cos 〈m , n 〉 = | m ⋅ n | == 1 ，解得h = 8 .经检验，符合题意.随机变量 X 的数学期望 E ( X ) = 3⨯= 2 . 3（ Ⅱ ） 解 ： 设 乙 同 学 上 学 期 间 的 三 天 中 7 ： 30 之 前 到 校 的 天 数 为 Y ， 则⎛ 2 ⎫ ， 且所以，线段CF 的长为 | m || n | 37 8 .7Y ~ B 3, ⎪⎝ ⎭M = {X = 3,Y = 1} {X = 2,Y = 0} .由题意知事件{X = 3,Y = 1} 与{X = 2,Y = 0} 互斥，且事件{X = 3}与{Y = 1}，事件{X = 2}与{Y = 0}均相互独立，从而由（Ⅰ）知P (M ) = P ({X = 3,Y = 1} {X = 2,Y = 0}) = P ( X = 3,Y = 1) + P ( X = 2,Y = 0)= P ( X = 3)P (Y = 1) + P ( X = 2)P (Y = 0) = ⨯ + ⨯ = .27 9 9 27 24317.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问1 - cos2 B X 0 123P1 272 9 4 98 2718.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。

2021年天津市高考数学试卷一．选择题（共9小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4} 2．已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．805．设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π7．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log7108．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）二．填空题：共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i是虚数单位，复数＝．11．在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是．12．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．13．已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为．14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．15．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为；（+）•的最小值为．三．解答题：本大题共5小题，共75分．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C﹣）的值．17．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．18．已知椭圆+＝1（a＞b）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．19．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一．选择题（共9小题）.1．设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4}解：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}，则（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．故选：C．2．已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件解：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，故选：A．3．函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．解：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，排除AC，在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D，故选：B．4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．80解：由频率分布直方图知，评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，故选：D．5．设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b解：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，∵＞log0.5＝1，∴b＞1，∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：D．6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π解：如图，设球O的半径为R，由题意，，可得R＝2，则球O的直径为4，∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO1＝1，BO1＝3，由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝．∴这两个圆锥的体积之和为V＝．故选：B．7．若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710解：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．8．已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．3【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD与x轴分别交于M，N，由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，由题意可得：＝c，即p＝2c，可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，可得：|y|＝，所以|CN|＝，所以可得＝•，可得c＝b，所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，故选：A．9．设a∈R，函数f（x）＝，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）解：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点又∵二次方程最多有两个零点，∴f（x）＝cos（2πx﹣2πa）至少有四个根，∵f（x）＝cos（2πx﹣2πa）＝cos2π（x﹣a），∴令f（x）＝0，即k∈Z，∴，又∵x∈（0，+∞），∴，即，①当x＜a时，﹣6≤﹣5，f（x）有4个零点，即，﹣7≤﹣6，f（x）有5个零点，即，﹣8≤﹣7，f（x）有6个零点，即，②当x≥a时，f（x）＝x2﹣2（a+1）x+a2+5，∴△＝b2﹣4ac＝4（a+1）2﹣4（a2+5）＝8a﹣16＝0，解得a＝2，当a＜2时，△＜0，f（x）无零点，当a＝2时，△＝0，f（x）有1个零点，当a＞2时，f（a）＝a2﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+5，∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，∴当﹣2a+5≥0时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，综合①②可得，a．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i是虚数单位，复数＝4﹣i．解：复数＝＝＝4﹣i，故答案为：4﹣i．11．在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是160．解：（2x3+）6的展开式的通项公式为T r+1＝（2x3）6﹣r＝26﹣r x18﹣4r，令18﹣4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是23＝160．故答案为：160．12．若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．解：假设A在x轴的上方，斜率为的直线与x轴交于D，则可得tan∠ADO＝，所以cot∠BAC＝，如图所示，由圆C的方程可得，圆的半径为|BC|＝1，由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC|•cot∠BAC＝，故答案为：．13．已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为2．解：∵a＞0，b＞0，∴++b+b＝+b≥2，当且仅当＝且b＝，即a＝b＝时取等号，∴++b的最小值为2，故答案为：2．14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．解：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+××（1﹣）＝．故答案为：，．15．在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为1；（+）•的最小值为．解：如图，设BE＝x，∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，∴（2+）2＝4+4•+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，则|2+|＝1，∵（+）•＝（+）•（+）＝+•＝+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1＝5+，x∈（0，），∴（+）•的最小值为．故答案为：1，．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A：sin B：sin C＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cos C的值；（3）求sin（2C﹣）的值．解：（1）∵△ABC中，sin A：sin B：sin C＝2：1：，∴a：b：c＝2：1：，∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．（2）△ABC中，由余弦定理可得cos C＝＝＝．（3）由（2）可得sin C＝＝，∴sin2C＝2sin C cos C＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝，sin（2C﹣）＝sin2C cos﹣cos2C sin＝．17．如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），故，设平面A1EC1的法向量为，则，即，令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，故，又F（1，2，0），D1（0，2，2），所以，则，又D1F⊄平面A1EC，故D1F//平面A1EC1；（2）解：由（1）可知，，则＝＝，故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，，设平面AA1C1的法向量为，则，即，令a＝1，则b＝﹣1，故，所以＝，故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．18．已知椭圆+＝1（a＞b）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．解：（1）因为离心率e＝，|BF|＝，所以，解得a＝，c＝2，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）设M（x0，y0），则切线MN的方程为+y0y＝1，令x＝0，得y N＝，因为PN⊥BF，所以k PN•k BF＝﹣1，所以k PN•（﹣）＝﹣1，解得k NP＝2，设P（x1，0），则k NP＝＝2，即x1＝﹣，因为MP∥BF，所以k MP＝k BF，所以＝﹣，即﹣2y0＝x0+，所以x0＝﹣2y0﹣，又因为+y02＝1，所以+++y02＝1，解得y0＝±，因为y N＞0，所以y0＞0，所以y0＝，x0＝﹣﹣＝﹣，所以+y＝1，即x﹣y+＝0．19．已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．【解答】证明：（1）由数列{a n}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，可得8a1+×8×7d＝64，解得a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1；由数列{b n}是公比q大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48，可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），所以b n＝4n；（2）（i）证明：因为a n＝2n﹣1，b n＝4n，所以c n＝b2n+＝42n+，则c n2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+）＝＝2•4n，所以，又，所以数列{c n2﹣c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列；（ii）证明：设＝，考虑，则p n＜q n，所以q k＝++...+，则，两式相减可得，＝＝，所以，则＜＜2，故＜2．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．【解答】（1）解：因为f'（x）＝a﹣（x+1）e x，所以f'（0）＝a﹣1，而f（0）＝0，所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞0）；（2）证明：令f'（x）＝a﹣（x+1）e x＝0，则a＝（x+1）e x，令g（x）＝（x+1）e x，则g'（x）＝（x+2）e x，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，作出图象所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）为减函数；所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），此时a＝（1+m）e m，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）e m﹣m﹣me m﹣（1+m）e m＝（m2﹣m﹣1）e m （m＞﹣1），令h（x）＝（x2﹣x﹣1）e x（x＞﹣1），若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，而h'（x）＝（x2+x﹣2）e x＝（x﹣1）（x+2）e x，（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1）时，h'（x）＜0，h（x）为单调减函数，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为单调增函数，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．。

2021年普通⾼等学校招⽣全国统⼀考试(天津卷)(数学)第I 卷参考公式：•如果事件A 、B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+U ．•如果事件A 、B 相互独立，那么()() ()P AB P A P B =．•球的体积公式331V R p =，其中R 表示球的半径．•圆锥的体积公式13V Sh =，其中S 表示圆锥的底面面积，h 表示圆锥的高．一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C =I U （）A ．{}0B ．{0,1,3,5}C ．{0,1,2,4}D ．{0,2,3,4}2．已知a ÎR ，则“6a >”是“236a >”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不允分也不必要条件3．函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4．从某网格平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66,70),[70,74),,[94,98]L ，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[)8286，内的影视作品数量是（）A ．20B ．40C ．64D ．805．设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c <<B ．c a b <<C ．b c a <<D ．a c b <<6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323p，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A ．3pB ．4pC ．9pD ．12p 7．若2510a b ==，则11a b+=（）A ．1-B ．lg 7C ．1D ．7log 108．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲钱的渐近线于C 、D 两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（）A B C ．2 D ．39．设a ÎR ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a p p -<ì=í-+++³î，若()f x 在区间(0,)+¥内恰有6个专点，则a 的取值范围是（）A ．95112,,424æùæùÈççúúèûèû B ．5711,2,424æöæöÈç÷ç÷èøèøC ．9112,,344æùéöÈç÷úêèûëøD ．11 ,2,3447æöéöÈç÷÷êèøëø.2021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数922ii+=+_____________．11．在6312x x æö+ç÷èø的展开式中，6x 的系数是__________．12．若斜率为的直线与y 轴交于点A ，与圆22(1)1x y +-=相切于点B ，则||AB =____________．13．若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．15．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ^且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +u u u r u u u r 的值为____________；()DE DF DA +×u u u r u u u r u u u r的最小值为____________．三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16．（本小题满分14分）在ABC V ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2:1:A B C =b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C p æö-ç÷èø的值．17．（本小题满分15分）如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正正弦值．（III ）求二面角11A A C E --的正弦值．18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)y a b a b x +=>>的右焦点为F ,上顶点为B ,离心率为5，且||BF =（I ）求椭圆的方程；（II ）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．19．（本小题满分15分）已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+Î.（i ）证明{}22nn c c -是等比数列；（ii）证明)*nk n N =<Î20．（本小恩满分16分）已知0a >，函数()x f x ax xe =-．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b £+对任意x ÎR 成立，求实数b 的取值范围．答案及解析一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，则()A B C ÇÈ=（）A.{}0 B.{0,1,3,5} C.{0,1,2,4}D.{0,2,3,4}【答案】C 【解析】【分析】根据交集并集的定义即可求出.【详解】Q {}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，，{}1A B \Ç=，{}()0,1,2,4A B C ÇÈ=\.故选：C.2.已知a ÎR ，则“6a >”是“236a >”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不允分也不必要条件【答案】A 【解析】【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解.【详解】由题意，若6a >，则236a >，故充分性成立；若236a >，则6a >或6a <-，推不出6a >，故必要性不成立；所以“6a >”是“236a >”的充分不必要条件.故选：A.3.函数2ln ||2x y x =+的图像大致为（）A. B.C. D.【答案】B 【解析】【分析】由函数为偶函数可排除AC ，再由当()0,1Îx 时，()0f x <，排除D ，即可得解.【详解】设()2ln ||2x y f x x ==+，则函数()f x 的定义域为{}0x x ¹，关于原点对称，又()()()2ln ||2x f x f x x --==-+，所以函数()f x 为偶函数，排除AC ；当()0,1Îx 时，2ln ||0,10x x <+>，所以()0f x <，排除D.故选：B.4.从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分分数据，将所得400个评分数据分为8组：[)66,70、[)70,74、L 、[]94,98，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间[)82,86内的影视作品数量是（）A.20B.40C.64D.80【答案】D 【解析】【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间[)82,86内的影视作品数量.【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间[)82,86内的影视作品数量为4000.05480´´=.故选：D.5.设0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===，则a ，b ，c 的大小关系为（）A.a b c <<B.c a b <<C.b c a<< D.a c b<<【答案】D 【解析】【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出,,a b c 的范围即可求解.【详解】22log 0.3log 10<=Q ，0a \<，122225log 0.4log 0.4log log 212=-=>=Q ，1b \>，0.3000.40.41<<=Q ，01c \<<，a cb \<<.6.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为323p，两个圆锥的高之比为1:3，则这两个圆锥的体积之和为（）A.3p B.4pC.9pD.12p【答案】B 【解析】【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果.【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点D ，设圆锥AD 和圆锥BD 的高之比为3:1，即3AD BD =，设球的半径为R ，则343233R p p=，可得2R =，所以，44AB AD BD BD =+==，所以，1BD =，3AD =，CD AB ^Q ，则90CAD ACD BCD ACD Ð+Ð=Ð+Ð=o ，所以，CAD BCD Ð=Ð，又因为ADC BDC Ð=Ð，所以，ACD CBD △∽△，所以，AD CDCD BD=，CD \==因此，这两个圆锥的体积之和为()21134433CD AD BD p p p ´×+=´´=.故选：B.7.若2510a b ==，则11a b+=（）A.1- B.lg 7C. 1D.7log 10【解析】【分析】由已知表示出,a b ，再由换底公式可求.【详解】Q 2510a b ==，25log 10,log 10a b \==，251111lg 2lg 5lg101log 10log 10a b \+=+=+==.故选：C.8.已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的右焦点与抛物线22(0)y px p =>的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D两点，若|CD AB =．则双曲线的离心率为（）A.B.C. 2D. 3【答案】A 【解析】【分析】设公共焦点为(),0c ，进而可得准线为x c =-，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得2212a c =，再由双曲线离心率公式即可得解.【详解】设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>与抛物线22(0)y px p =>的公共焦点为(),0c ，则抛物线22(0)y px p =>的准线为x c =-，令x c =-，则22221c y a b -=，解得2b y a =±，所以22bAB a=,又因为双曲线的渐近线方程为b y x a =±，所以2bcCD a=，所以22bc a a=，即c =，所以222212a c b c =-=，所以双曲线的离心率ce a==故选：A.9.设a ÎR ，函数22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x ap p -<ì=í-+++³î，若()f x 在区间(0,)+¥内恰有6个零点，则a 的取值范围是（）A.95112,,424æùæùÈççúúèûèû B.5711,2,424æöæöÈç÷ç÷èøèøC.9112,,344æùéöÈç÷úêèûëø D.11 ,2,3447æöéöÈç÷÷êèøëø【答案】A 【解析】【分析】由()222150x a x a -+++=最多有2个根，可得()cos 220x a p p -=至少有4个根，分别讨论当x a <和x a ≥时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出.【详解】()222150x a x a -+++=Q 最多有2个根，所以()cos 220x a p p -=至少有4个根，由22,2x a k k Z p p p p -=+Î可得1,24k x a k Z =++Î，由1024k a a <++<可得11222a k --<<-，（1）x a <时，当15242a -£--<-时，()f x 有4个零点，即7944a <£；当16252a -£--<-，()f x 有5个零点，即91144a <£；当17262a -£--<-，()f x 有6个零点，即111344a <£；（2）当x a ≥时，22()2(1)5f x x a x a =-+++，()()22Δ4(1)4582a a a =+-+=-，当2a <时，D <0，()f x 无零点；当2a =时，0D =，()f x 有1个零点；当2a >时，令22()2(1)5250f a a a a a a =-+++=-+³，则522a <£，此时()f x 有2个零点；所以若52a >时，()f x 有1个零点.综上，要使()f x 在区间(0,)+¥内恰有6个零点，则应满足7944522a a ì<£ïïíï<£ïî或91144522a a a ì<£ïïíï=>ïî或或1113442a a ì<£ïíï<î，则可解得a 的取值范围是95112,,424æùæùÈççúúèûèû.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成x a <和x a ≥两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况.第II 卷注意事项1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．2．本卷共11小题，共105分．二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10.i 是虚数单位，复数92i2i+=+_____________．【答案】4i -【解析】【分析】利用复数的除法化简可得结果.【详解】()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+-+-===-++-.故答案为：4i -.11.在6312x x æö+ç÷èø的展开式中，6x 的系数是__________．【答案】160【解析】【分析】求出二项式的展开式通项，令x 的指数为6即可求出.【详解】6312x x æö+ç÷èø的展开式的通项为()636184166122rrrr r r r T C x C x x ---+æö=×=×ç÷èø，令1846r -=，解得3r =，所以6x 的系数是3362160C =.故答案为：160.12.y 轴交于点A ，与圆()2211x y +-=相切于点B ，则AB =____________．【解析】【分析】设直线AB 的方程为y b =+，则点()0,A b ，利用直线AB 与圆()2211x y +-=相切求出b 的值，求出AC ，利用勾股定理可求得AB .【详解】设直线AB 的方程为y b =+，则点()0,A b ，由于直线AB 与圆()2211x y +-=相切，且圆心为()0,1C ，半径为1，则112b -=，解得1b =-或3b =，所以2AC =，因为1BC =，故=.13.若0 , 0a b >>，则21a b ab ++的最小值为____________．【答案】【解析】【分析】两次利用基本不等式即可求出.【详解】Q 0 , 0a b>>，b +==当且仅当21a a b =且2b b=，即a b ==所以21a b ab ++的最小值为.故答案为：14.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为56和15，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【答案】①.23②.2027【解析】【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在3次活动中，甲至少获胜2次分为甲获胜2次和3次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为564253´=；则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为23232122033327C æöæö´´+=ç÷ç÷èøèø.故答案为：23；2027.15.在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE AB ^且交AB 于点E ．//DF AB 且交AC 于点F ,则|2|BE DF +u u u r u u u r 的值为____________；()DE DF DA +×u u u r u u u r u u u r的最小值为____________．【答案】①. 1②.1120【解析】【分析】设BE x =，由222(2)44BE DF BE BE DF DF +=+×+uu u r u u u r uu u r u u u r uu u r u u u r 可求出；将()DE DF DA+×u u u r u u u r u u u r 化为关于x 的关系式即可求出最值.【详解】设BE x =，10,2x æöÎç÷èø，ABC Q V 为边长为1的等边三角形，DE AB ^，30,2,,12BDE BD x DE DC x Ð\====-o ，Q //DF AB ，DFC \V 为边长为12x -的等边三角形，DE DF ^，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x \+=+×+=+-´+-=o u uu r uu u r u u u r u uu r u u u r u u u r ，|2|1BE DF +\=u u u r u u u r，2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA +×=+×+=+×uu u r u u u r u u u r u uu r u u u r u u u r u u u r uu u r Q uu u r u u u r 222311)(12)(1)53151020x x x x x æö=+-´-=-+=-+ç÷èø，所以当310x =时，()DE DF DA +×u u u r u u u r u u u r 的最小值为1120.故答案为：1；1120.三、解答题，本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16.在ABC V ，角 ,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知sin :sin :sin 2:1:A B C =，b =．（I ）求a 的值；（II ）求cos C 的值；（III ）求sin 26C p æö-ç÷èø的值．【答案】（I ）（II ）（III ）116-【解析】【分析】（I ）由正弦定理可得::2:1:a b c =，即可求出；（II ）由余弦定理即可计算；（III ）利用二倍角公式求出2C 的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出.【详解】（I ）因为sin :sin :sin 2:1:A B C =，由正弦定理可得::2a b c =，b =Q 2ac \==；（II ）由余弦定理可得222cos2a b c C ab +-==（III ）3cos 4C =Q ，sin 4C \==，3sin 22sin cos 2448C C C \==´´=，291cos 22cos 121168C C =-=´-=，所以sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C p p p æö-=-ç÷èø111828216-=´-´=.17.如图，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD的中点．（I ）求证：1//D F 平面11A EC ；（II ）求直线1AC 与平面11A EC 所成角的正弦值．（III ）求二面角11A A C E --的正弦值．【答案】（I ）证明见解析；（II）9；（III ）13.【解析】【分析】（I ）建立空间直角坐标系，求出1D F uu u u r 及平面11A EC 的一个法向量m u r，证明1m D F ^uu u u r u r ，即可得证；（II ）求出1AC u u u u r，由1sin cos ,A m C q =u r u u u u r 运算即可得解；（III ）求得平面11AAC 的一个法向量DB u u u r ，由cos ,DB m DB m DB m×=×u u u r u ru u u r u r u u u r u r 结合同角三角函数的平方关系即可得解.【详解】（I ）以A 为原点，1,,AB AD AA 分别为,,x y z 轴，建立如图空间直角坐标系，则()0,0,0A ,()10,0,2A ,()2,0,0B ,()2,2,0C ,()0,2,0D ,()12,2,2C ,()10,2,2D ，因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以()2,1,0E ，()1,2,0F ，所以()11,0,2D F =-uu u u r ,()112,2,0AC =uu u u r ,()12,1,2A E =-uu u r ,设平面11A EC 的一个法向量为()111,,m x y z =u r，则11111111202202m x y m x y A A E z C ì×+=ïí×+-=î=ï=u u u u r u u r u u r u r ，令12x =，则()2,2,1m =-u r ，因为1220m D F =×-=u r uu u u r ，所以1m D F ^uu u u r u r ，因为1D F Ë平面11A EC ，所以1//D F 平面11A EC ；（II ）由（1）得，()12,2,2AC =uu u u r，设直线1AC 与平面11A EC 所成角为q ，则111sin cos ,9m A C AC m m C A q ×====×u u u u ru u u u r u u u u u r r r u r u ；（III ）由正方体的特征可得，平面11AAC 的一个法向量为()2,2,0DB =-uu u r，则cos ,3DB m DB m DB m ×===×u u u r u ru u u r u r u u u r u r ，所以二面角11A A C E --13=.18.已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ，上顶点为B，且BF =．（1）求椭圆的方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若//MP BF ，求直线l 的方程．【答案】（1）2215x y +=；（2）0x y -=.【解析】【分析】（1）求出a 的值，结合c 的值可得出b 的值，进而可得出椭圆的方程；（2）设点()00,M x y ，分析出直线l 的方程为0015x xy y +=，求出点P 的坐标，根据//MP BF 可得出MP BF k k =，求出0x 、0y 的值，即可得出直线l 的方程.【详解】（1）易知点(),0F c 、()0,B b，故BF a ===因为椭圆的离心率为5c e a ==，故2c =，1b ==，因此，椭圆的方程为2215x y +=；（2）设点()00,M x y 为椭圆2215x y +=上一点，先证明直线MN 的方程为0015x xy y +=，联立00221515x xy y x y ì+=ïïíï+=ïî，消去y 并整理得220020x x x x -+=，2200440x x D =-=，因此，椭圆2215x y +=在点()00,M x y 处的切线方程为0015x x y y +=.在直线MN 的方程中，令0x =，可得01y y =，由题意可知00y >，即点010,N y æöç÷èø，直线BF 的斜率为12BF b k c =-=-，所以，直线PN 的方程为012y x y =+，在直线PN 的方程中，令0y =，可得012x y =-，即点01,02P y æö-ç÷èø，因为//MP BF ，则MPBF k k =，即2000002112122y y x y x y ==-++，整理可得()20050x y +=，所以，005x y =-，因为222000615x y y +==，00y \>，故06y =，06x =-，所以，直线l的方程为166x y -+=，即0x y -+=.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（1）设切线方程为y kx m =+与椭圆方程联立，由0D =进行求解；（2）椭圆22221x y a b +=在其上一点()00,x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，再应用此方程时，首先应证明直线00221x x y y a b +=与椭圆22221x y a b+=相切.19.已知{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n b 是公比大于0的等比数列，1324,48b b b =-=．（I ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（II ）记2*1,n n nc b b n N =+Î，（i ）证明{}22n n c c -是等比数列；（ii）证明)*nk n N =<Î【答案】（I ）21,n a n n N *=-Î，4,n n N b n *=Î；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【解析】【分析】（I ）由等差数列的求和公式运算可得{}n a 的通项，由等比数列的通项公式运算可得{}n b 的通项公式；（II ）（i ）运算可得2224nn n c c =×-，结合等比数列的定义即可得证；（ii ）放缩得21222422n n n n n a n c a c +<-×，进而可得n n k =<，结合错位相减法即可得证.【详解】（I ）因为{}n a 是公差为2的等差数列，其前8项和为64．所以12818782642a a a a ´++×××+=+´=，所以11a =，所以()12121,n n n n N a a *=+-=-Î；设等比数列{}n b 的公比为(),0q q >，所以()221321484q b b b q q b q ==-=--，解得4q =（负值舍去），所以114,n n n b q n N b -*==Î；（II ）（i ）由题意，221441n n n n n b c b =++=，所以22224211442444n n nn nnn c c æöæö=+-+=×ç÷ç÷èøèø-，所以220nn c c ¹-，且212222124424n n n n nn c c c c +++×==×--，所以数列{}22n n c c -是等比数列；（ii ）由题意知，()()22122222121414242222n n n n n n n n n a n n c c a +-+-==<-×××，<==，所以nn k =<，设10121112322222nn k n k k n T --===+++×××+å，则123112322222n n n T =+++×××+，两式相减得21111111122121222222212n n n n n n n nn T -æö×-ç÷+èø=+++×××+-=-=--，所以1242n n n T -+=-，所以nn k =<=<.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为nk =由错位相减法即可得证.20.已知0a >，函数()x f x ax xe =-．（I ）求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程：（II ）证明()f x 存在唯一的极值点（III ）若存在a ，使得()f x a b £+对任意x ÎR 成立，求实数b 的取值范围．【答案】（I ）(1),(0)y a x a =->；（II ）证明见解析；（III ）[),e -+¥【解析】【分析】（I ）求出()f x 在0x =处的导数，即切线斜率，求出()0f ，即可求出切线方程；（II ）令()0f x ¢=，可得(1)x a x e =+，则可化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点，利用导数求出()g x 的变化情况，数形结合即可求解；（III ）令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，题目等价于存在(1,)x Î-+¥，使得()h x b £，即min ()b h x ³，利用导数即可求出()h x 的最小值.【详解】（I ）()(1)x f x a x e =-+¢，则(0)1f a ¢=-，又(0)0f =，则切线方程为(1),(0)y a x a =->；（II ）令()(1)0x f x a x e =-+=¢，则(1)x a x e =+，令()(1)x g x x e =+，则()(2)x g x x e =+¢，当(,2)x Î-¥-时，()0g x ¢<，()g x 单调递减；当(2,)x Î-+¥时，()0g x ¢>，()g x 单调递增，当x ®-¥时，()0g x <，()10g -=，当x ®+¥时，()0g x >，画出()g x 大致图像如下：所以当0a >时，y a =与()y g x =仅有一个交点，令()g m a =，则1m >-，且()()0f m a g m ¢=-=，当(,)x m Î-¥时，()a g x >，则()0f x ¢>，()f x 单调递增，当(),x m Î+¥时，()a g x <，则()0f x ¢<，()f x 单调递减，x m =为()f x 的极大值点，故()f x 存在唯一的极值点；（III ）由（II ）知max ()()f x f m =，此时)1(1,m a m e m +>-=，所以()2max {()}()1(1),m f x a f m a m m e m -=-=-->-，令()2()1,(1)xh x x x e x =-->-，若存在a ，使得()f x a b £+对任意x ÎR 成立，等价于存在(1,)x Î-+¥，使得()h x b £，即min ()b h x ³，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+¢-，1x >-，当(1,1)x Î-时，()0h x ¢<，()h x 单调递减，当(1,)x Î+¥时，()0h x ¢>，()h x 单调递增，所以min ()(1)h x h e ==-，故b e ³-，所以实数b 的取值范围[),e -+¥.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明y a =与()y g x =仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在(1,)x Î-+¥，使得()h x b £，即min ()b h x ³.。

2021年高考天津市数学试题含答案解析姓名：__________ 班级：__________考号：__________一、综合题（共1题）1、已知函数，为的导函数．（Ⅰ）当时，（i）求曲线在点处的切线方程；（ii）求函数的单调区间和极值；（Ⅱ）当时，求证：对任意的，且，有．二、解答题（共4题）1、已知为等差数列，为等比数列，．（Ⅰ）求和的通项公式；（Ⅱ）记的前项和为，求证：；（Ⅲ）对任意的正整数，设求数列的前项和．2、已知椭圆的一个顶点为，右焦点为，且，其中为原点．（Ⅰ）求椭圆方程；（Ⅱ）已知点满足，点在椭圆上（异于椭圆的顶点），直线与以为圆心的圆相切于点，且为线段的中点．求直线的方程．3、如图，在三棱柱中，平面，，点分别在棱和棱上，且为棱的中点．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）求直线与平面所成角的正弦值．4、在中，角所对的边分别为．已知．（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）求的值；（Ⅲ）求的值．三、填空题（共6题）1、如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．2、已知，且，则的最小值为_________．3、已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为和．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．4、已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．5、在的展开式中，的系数是_________．6、是虚数单位，复数_________．四、选择题（共9题）1、已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（）A. B.C. D.2、已知函数．给出下列结论：①的最小正周期为；②是的最大值；③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．其中所有正确结论的序号是A. ①B. ①③C. ②③D. ①②③3、设双曲线的方程为，过抛物线的焦点和点的直线为．若的一条渐近线与平行，另一条渐近线与垂直，则双曲线的方程为（）A. B. C. D.4、设，则的大小关系为（）A. B. C. D.5、若棱长为的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（）A. B. C. D.6、从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：），将所得数据分为9组：，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间内的个数为（）A. 10B. 18C. 20D. 367、函数的图象大致为（）A B.C. D.8、设，则“”是“”的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件9、设全集，集合，则（）A. B. C. D.============参考答案============一、综合题1、（Ⅰ）（i）；（ii）的极小值为，无极大值；（Ⅱ）证明见解析. 【解析】【分析】(Ⅰ) (i)首先求得导函数的解析式，然后结合导数的几何意义求解切线方程即可；(ii)首先求得的解析式，然后利用导函数与原函数的关系讨论函数的单调性和函数的极值即可；（Ⅱ）首先确定导函数的解析式，然后令，将原问题转化为与有关的函数，然后构造新函数，利用新函数的性质即可证得题中的结论.【详解】(Ⅰ) (i) 当k=6时，，.可得，，所以曲线在点处的切线方程为，即.(ii) 依题意，.从而可得，整理可得：，令，解得.当x变化时，的变化情况如下表：单调递减极小值单调递增所以，函数g(x)的单调递减区间为(0，1)，单调递增区间为(1，+∞)；g(x)的极小值为g(1)=1，无极大值.（Ⅱ）证明：由，得.对任意的，且，令，则. ①令.当x>1时，，由此可得在单调递增，所以当t>1时，，即. 因为，，，所以. ②由(Ⅰ)(ii)可知，当时，，即，故③由①②③可得.所以，当时，任意的，且，有.【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系．(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数．(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．(4)考查数形结合思想的应用．二、解答题1、（Ⅰ），；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）.【解析】【分析】(Ⅰ)由题意分别求得数列的公差、公比，然后利用等差、等比数列的通项公式得到结果；(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结论首先求得数列前n项和，然后利用作差法证明即可；(Ⅲ)分类讨论n为奇数和偶数时数列的通项公式，然后分别利用指数型裂项求和和错位相减求和计算和的值，据此进一步计算数列的前2n项和即可.【详解】(Ⅰ)设等差数列的公差为，等比数列的公比为q.由，，可得d=1.从而的通项公式为.由，又q≠0，可得，解得q=2，从而的通项公式为.(Ⅱ)证明：由(Ⅰ)可得，故，，从而，所以.(Ⅲ)当n奇数时，，当n为偶数时，，对任意的正整数n，有，和①由①得②由①②得，由于，从而得：.因此，.所以，数列的前2n项和为.【点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，分组求和法，指数型裂项求和，错位相减求和等，属于中等题.2、（Ⅰ）；（Ⅱ），或．【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，并借助，即可求出椭圆的方程；（Ⅱ）利用直线与圆相切，得到，设出直线的方程，并与椭圆方程联立，求出点坐标，进而求出点坐标，再根据，求出直线的斜率，从而得解.【详解】（Ⅰ）椭圆的一个顶点为，，由，得，又由，得，所以，椭圆的方程为；（Ⅱ）直线与以为圆心的圆相切于点，所以，根据题意可知，直线和直线的斜率均存在，设直线的斜率为，则直线的方程为，即，，消去，可得，解得或. 将代入，得，所以，点的坐标为，因为为线段的中点，点的坐标为，所以点的坐标为，由，得点的坐标为，所以，直线的斜率为，又因为，所以，整理得，解得或.所以，直线的方程为或.【点睛】本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆的位置关系、直线与圆的位置关系、中点坐标公式以及直线垂直关系的应用，考查学生的运算求解能力，属于中档题.当看到题目中出现直线与圆锥曲线位置关系的问题时，要想到联立直线与圆锥曲线的方程.3、（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】以为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系. （Ⅰ）计算出向量和的坐标，得出，即可证明出；（Ⅱ）可知平面的一个法向量为，计算出平面的一个法向量为，利用空间向量法计算出二面角的余弦值，利用同角三角函数的基本关系可求解结果；（Ⅲ）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】依题意，以为原点，分别以、、的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得、、、、、、、、. （Ⅰ）依题意，，，从而，所以；（Ⅱ）依题意，是平面的一个法向量，，．设为平面的法向量，则，即，不妨设，可得．，．所以，二面角的正弦值为；（Ⅲ）依题意，．由（Ⅱ）知为平面的一个法向量，于是．所以，直线与平面所成角的正弦值为.【点睛】本题考查利用空间向量法证明线线垂直，求二面角和线面角的正弦值，考查推理能力与计算能力，属于中档题.4、（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）.【解析】【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可；（Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案；（Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得，又因为，所以；（Ⅱ）在中，由，及正弦定理，可得；（Ⅲ）由知角为锐角，由，可得，进而，所以.【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题.三、填空题1、 (1). (2).【解析】【分析】可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.【详解】，，，，解得，以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，,∵，∴的坐标为,∵又∵,则，设，则（其中），，，，所以，当时，取得最小值.故答案为：；.【点睛】本题考查平面向量数量积的计算，考查平面向量数量积的定义与坐标运算，考查计算能力，属于中等题.2、 4【解析】【分析】根据已知条件，将所求的式子化为，利用基本不等式即可求解.【详解】，,，当且仅当=4时取等号，结合,解得，或时，等号成立.故答案为：【点睛】本题考查应用基本不等式求最值，“1”合理变换是解题的关键，属于基础题.3、 (1). (2).【解析】【分析】根据相互独立事件同时发生的概率关系，即可求出两球都落入盒子的概率；同理可求两球都不落入盒子的概率，进而求出至少一球落入盒子的概率.【详解】甲、乙两球落入盒子的概率分别为，且两球是否落入盒子互不影响，所以甲、乙都落入盒子概率为，甲、乙两球都不落入盒子的概率为，所以甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为.故答案为：；.【点睛】本题主要考查独立事件同时发生的概率，以及利用对立事件求概率，属于基础题.4、 5【解析】【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式可求出圆心到直线的距离，进而利用弦长公式，即可求得．【详解】因为圆心到直线的距离，由可得，解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．5、 10【解析】【分析】写出二项展开式的通项公式，整理后令的指数为2，即可求出．【详解】因为的展开式的通项公式为，令，解得．所以的系数为．故答案为：．【点睛】本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题．6、【解析】【分析】将分子分母同乘以分母的共轭复数，然后利用运算化简可得结果.【详解】.故答案为：.【点睛】本题考查复数的四则运算，属于基础题.四、选择题1、 D【解析】【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.2、 B【解析】【分析】对所给选项结合正弦型函数的性质逐一判断即可.【详解】因为，所以周期，故①正确；，故②不正确；将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，故③正确.故选：B.【点晴】本题主要考查正弦型函数的性质及图象的平移，考查学生的数学运算能力，逻辑分析那能力，是一道容易题.3、 D【解析】【分析】由抛物线的焦点可求得直线的方程为，即得直线的斜率为，再根据双曲线的渐近线的方程为，可得，即可求出，得到双曲线的方程．【详解】由题可知，抛物线的焦点为，所以直线的方程为，即直线的斜率为，又双曲线的渐近线的方程为，所以，，因为a>0,b>0，解得．故选：．【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，属于基础题．4、 D【解析】【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出的大小关系.【详解】因为，，，所以.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：，当时，函数递增；当时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.5、 C【解析】【分析】求出正方体的体对角线的一半，即为球的半径，利用球的表面积公式，即可得解.【详解】这个球是正方体的外接球，其半径等于正方体的体对角线的一半，即，所以，这个球的表面积为.故选：C.【点睛】本题考查正方体的外接球的表面积的求法，求出外接球的半径是本题的解题关键，属于基础题.求多面体的外接球的面积和体积问题，常用方法有：（1）三条棱两两互相垂直时，可恢复为长方体，利用长方体的体对角线为外接球的直径，求出球的半径；（2）直棱柱的外接球可利用棱柱的上下底面平行，借助球的对称性，球心为上下底面外接圆的圆心连线的中点，再根据勾股定理求球的半径；（3）如果设计几何体有两个面相交，可过两个面的外心分别作两个面的垂线，垂线的交点为几何体的球心.6、 B【解析】【分析】根据直方图确定直径落在区间之间的零件频率，然后结合样本总数计算其个数即可.【详解】根据直方图，直径落在区间之间的零件频率为：，则区间内零件的个数为：.故选：B.【点睛】本题主要考查频率分布直方图的计算与实际应用，属于中等题.7、 A【解析】【分析】由题意首先确定函数的奇偶性，然后考查函数在特殊点的函数值排除错误选项即可确定函数的图象.【详解】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；当时，，选项B错误.故选：A.【点睛】函数图象的识辨可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势．(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性．(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象．利用上述方法排除、筛选选项．8、 A【解析】【分析】首先求解二次不等式，然后结合不等式的解集即可确定充分性和必要性是否成立即可.【详解】求解二次不等式可得：或，据此可知：是的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题主要考查二次不等式的解法，充分性和必要性的判定，属于基础题.9、 C【解析】【分析】首先进行补集运算，然后进行交集运算即可求得集合的运算结果.【详解】由题意结合补集的定义可知：，则.故选：C.【点睛】本题主要考查补集运算，交集运算，属于基础题.。

2021年高考天津卷数学真题含答案解析一、选择题（共9题）1、设集合，则（）A ．B ．C ．D ．2、已知，则“ ” 是“ ” 的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不允分也不必要条件3、函数的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．4、从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分数据，将所得个评分数据分为组：、、、，并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间内的影视作品数量是（）A ．B ．C ．D ．5、设，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．B ．C ．D ．6、两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（）A ．B ．C ．D ．7、若，则（）A ．B ．C ． 1D ．8、已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若．则双曲线的离心率为（）A ．B ．C ． 2D ． 39、设，函数，若在区间内恰有 6 个零点，则a 的取值范围是（）A ．B ．C ．D ．二、填空题（共6题）1、甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ____________ ，3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为______________ ．2、在边长为 1 的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，且交AB 于点E ．且交AC 于点F , 则的值为 ____________ ；的最小值为 ____________ ．3、是虚数单位，复数_____________ ．4、在的展开式中，的系数是 __________ ．5、若斜率为的直线与轴交于点，与圆相切于点，则____________ ．6、若，则的最小值为 ____________ ．三、解答题（共5题）1、在，角所对的边分别为，已知，．（ I ）求a 的值；（ II ）求的值；（ III ）求的值．2、如图，在棱长为 2 的正方体中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点．（ I ）求证：平面；（ II ）求直线与平面所成角的正弦值．（ III ）求二面角的正弦值．3、已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且．（ 1 ）求椭圆的方程；（ 2 ）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程．4、已知是公差为 2 的等差数列，其前8 项和为64 ．是公比大于 0 的等比数列，．（ I ）求和的通项公式；（ II ）记，（ i ）证明是等比数列；（ ii ）证明5、已知，函数．（ I ）求曲线在点处的切线方程：（ II ）证明存在唯一的极值点（ III ）若存在a ，使得对任意成立，求实数b 的取值范围．============参考答案============一、选择题1、 C【分析】根据交集并集的定义即可求出 .【详解】，，.故选： C.2、 A【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解 .【详解】由题意，若，则，故充分性成立；若，则或，推不出，故必要性不成立；所以“ ” 是“ ” 的充分不必要条件.故选： A.3、 B【分析】由函数为偶函数可排除 AC ，再由当时，，排除 D ，即可得解. 【详解】设，则函数的定义域为，关于原点对称，又，所以函数为偶函数，排除 AC ；当时，，所以，排除 D.故选： B.4、 D【分析】利用频率分布直方图可计算出评分在区间内的影视作品数量 .【详解】由频率分布直方图可知，评分在区间内的影视作品数量为.故选： D.5、 D【分析】根据指数函数和对数函数的性质求出的范围即可求解 .【详解】，，，，，，.故选： D.6、 B【分析】作出图形，计算球体的半径，可计算得出两圆锥的高，利用三角形相似计算出圆锥的底面圆半径，再利用锥体体积公式可求得结果 .【详解】如下图所示，设两个圆锥的底面圆圆心为点，设圆锥和圆锥的高之比为，即，设球的半径为，则，可得，所以，，所以，，，，则，所以，，又因为，所以，，所以，，，因此，这两个圆锥的体积之和为.故选： B.7、 C【分析】由已知表示出，再由换底公式可求 .【详解】，，.故选： C.8、 A【分析】设公共焦点为，进而可得准线为，代入双曲线及渐近线方程，结合线段长度比值可得，再由双曲线离心率公式即可得解 .【详解】设双曲线与抛物线的公共焦点为，则抛物线的准线为，令，则，解得，所以,又因为双曲线的渐近线方程为，所以，所以，即，所以，所以双曲线的离心率.故选： A.9、 A【分析】由最多有 2 个根，可得至少有 4 个根，分别讨论当和时两个函数零点个数情况，再结合考虑即可得出 .【详解】最多有 2 个根，所以至少有 4 个根，由可得，由可得，（ 1 ）时，当时，有 4 个零点，即；当，有 5 个零点，即；当，有 6 个零点，即；（ 2 ）当时，，，当时，，无零点；当时，，有 1 个零点；当时，令，则，此时有 2 个零点；所以若时，有 1 个零点.综上，要使在区间内恰有 6 个零点，则应满足或或，则可解得a 的取值范围是.【点睛】关键点睛：解决本题的关键是分成和两种情况分别讨论两个函数的零点个数情况 .二、填空题1、【分析】根据甲猜对乙没有才对可求出一次活动中，甲获胜的概率；在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次分为甲获胜 2 次和 3 次都获胜求解.【详解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；则在 3 次活动中，甲至少获胜 2 次的概率为.故答案为：；.2、 1【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值 .【详解】设，，为边长为 1 的等边三角形，，，，为边长为的等边三角形，，，，，所以当时，的最小值为.故答案为： 1 ；.3、【分析】利用复数的除法化简可得结果 .【详解】.故答案为：.4、 160【分析】求出二项式的展开式通项，令的指数为 6 即可求出.【详解】的展开式的通项为，令，解得，所以的系数是.故答案为： 160.5、【分析】设直线的方程为，则点，利用直线与圆相切求出的值，求出，利用勾股定理可求得.【详解】设直线的方程为，则点，由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，则，解得或，所以，因为，故.故答案为：.6、【分析】两次利用基本不等式即可求出 .【详解】，，当且仅当且，即时等号成立，所以的最小值为.故答案为：.三、解答题1、（ I ）；（ II ）；（ III ）【分析】（ I ）由正弦定理可得，即可求出；（ II ）由余弦定理即可计算；（ III ）利用二倍角公式求出的正弦值和余弦值，再由两角差的正弦公式即可求出 . 【详解】（ I ）因为，由正弦定理可得，，；（ II ）由余弦定理可得；（ III ），，，，所以.2、（ I ）证明见解析；（II ）；（ III ）.【分析】（ I ）建立空间直角坐标系，求出及平面的一个法向量，证明，即可得证；（ II ）求出，由运算即可得解；（ III ）求得平面的一个法向量，由结合同角三角函数的平方关系即可得解 .【详解】（ I ）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，则, , , , , , ，因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以，，所以, , ,设平面的一个法向量为，则，令，则，因为，所以，因为平面，所以平面；（ II ）由（1 ）得，，设直线与平面所成角为，则；（ III ）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，则，所以二面角的正弦值为.3、（ 1 ）；（ 2 ）.【分析】（ 1 ）求出的值，结合的值可得出的值，进而可得出椭圆的方程；（ 2 ）设点，分析出直线的方程为，求出点的坐标，根据可得出，求出、的值，即可得出直线的方程 .【详解】（ 1 ）易知点、，故，因为椭圆的离心率为，故，，因此，椭圆的方程为；（ 2 ）设点为椭圆上一点，先证明直线的方程为，联立，消去并整理得，，因此，椭圆在点处的切线方程为.在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，直线的斜率为，所以，直线的方程为，在直线的方程中，令，可得，即点，因为，则，即，整理可得，所以，，因为，，故，，所以，直线的方程为，即.【点睛】结论点睛：在利用椭圆的切线方程时，一般利用以下方法进行直线：（ 1 ）设切线方程为与椭圆方程联立，由进行求解；（ 2 ）椭圆在其上一点的切线方程为，再应用此方程时，首先应证明直线与椭圆相切 .4、（ I ），；（ II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.【分析】（ I ）由等差数列的求和公式运算可得的通项，由等比数列的通项公式运算可得的通项公式；（ II ）（i ）运算可得，结合等比数列的定义即可得证；（ ii ）放缩得，进而可得，结合错位相减法即可得证 .【详解】（ I ）因为是公差为 2 的等差数列，其前8 项和为64 ．所以，所以，所以；设等比数列的公比为，所以，解得（负值舍去），所以；（ II ）（i ）由题意，，所以，所以，且，所以数列是等比数列；（ ii ）由题意知，，所以，所以，设，则，两式相减得，所以，所以.【点睛】关键点点睛：最后一问考查数列不等式的证明，因为无法直接求解，应先放缩去除根号，再由错位相减法即可得证 .5、（ I ）；（ II ）证明见解析；（III ）【分析】（ I ）求出在处的导数，即切线斜率，求出，即可求出切线方程；（ II ）令，可得，则可化为证明与仅有一个交点，利用导数求出的变化情况，数形结合即可求解；（ III ）令，题目等价于存在，使得，即，利用导数即可求出的最小值 .【详解】（ I ），则，又，则切线方程为；（ II ）令，则，令，则，当时，，单调递减；当时，，单调递增，当时，，，当时，，画出大致图像如下：所以当时，与仅有一个交点，令，则，且，当时，，则，单调递增，当时，，则，单调递减，为的极大值点，故存在唯一的极值点；（ III ）由（II ）知，此时，所以，令，若存在a ，使得对任意成立，等价于存在，使得，即，，，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以，故，所以实数b 的取值范围.【点睛】关键点睛：第二问解题的关键是转化为证明与仅有一个交点；第三问解题的关键是转化为存在，使得，即.。

2021年天津市高考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4}2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．805．（5分）设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710 8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f （x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i是虚数单位，复数＝．11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是．12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为．14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为；（+）•的最小值为．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cosC的值；（3）求sin（2C﹣）的值．17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．18．（15分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．19．（15分）已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．参考答案：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}，则（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．故选：C．点拨：本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集与并集的定义，属于基础题．2．参考答案：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，故选：A．点拨：本题考查了充分必要条件的定义，一元二次不等式的解法，属于基础题．3．参考答案：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，排除AC，在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D，故选：B．点拨：本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值的判断，属于基础题．4．参考答案：由频率分布直方图知，评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，故选：D．点拨：本题考查了频率分布直方图的应用及频率的定义与应用，属于基础题．5．参考答案：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，∵＞log0.5＝1，∴b＞1，∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：D．点拨：本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了三个数比较大小，是基础题．6．参考答案：如图，设球O的半径为R，由题意，，可得R＝2，则球O的直径为4，∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO1＝1，BO1＝3，由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝．∴这两个圆锥的体积之和为V＝．故选：B．点拨：本题考查球内接圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．7．参考答案：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．点拨：本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数式与指数式的互化，是基础题．8．【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD 与x轴分别交于M，N，由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，由题意可得：＝c，即p＝2c，可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，可得：|y|＝，所以|CN|＝，所以可得＝•，可得c＝b，所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，故选：A．点拨：本题考查双曲线的对称性及直线与双曲线的综合，属于中档题．9．参考答案：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点又∵二次函数最多有两个零点，∴当x＜a时，f（x）＝0至少有四个根，∵f（x）＝cos（2πx﹣2πa）＝cos2π（x﹣a），∴令f（x）＝0，即k∈Z，∴，又∵x∈（0，+∞），∴，即，①当x＜a时，﹣5≤﹣4，f（x）有4个零点，即，﹣6≤﹣5，f（x）有5个零点，即，﹣7≤﹣6，f（x）有6个零点，即，②当x≥a时，f（x）＝x2﹣2（a+1）x+a2+5，∴△＝b2﹣4ac＝4（a+1）2﹣4（a2+5）＝8a﹣16＝0，解得a＝2，当a＜2时，△＜0，f（x）无零点，当a＝2时，△＝0，f（x）有1个零点，当a＞2时，f（a）＝a2﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+5，∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，∴当﹣2a+5≥0时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，综合①②可得，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则需满足：或或，解得a∈（2，]∪（，]．故选：A．点拨：本题考查了余弦函数和二次函数，需要学生掌握分类讨论的思想，且本题综合性强，属于难题．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．参考答案：复数＝＝＝4﹣i，故答案为：4﹣i．点拨：本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．参考答案：（2x3+）6的展开式的通项公式为T r+1＝（2x3）6﹣r＝26﹣r x18﹣4r，令18﹣4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是23＝160．故答案为：160．点拨：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．12．【解答】解假设A在x轴的上方，斜率为的直线与x轴交于D，则可得tan∠ADO＝，所以cot∠BAC＝，如图所示，由圆C 的方程可得，圆的半径为|BC|＝1，由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC|•cot∠BAC＝，故答案为：．点拨：本题考查直线与圆相切的性质，直线斜率的应用，属于中档题．13．参考答案：∵a＞0，b＞0，∴++b+b＝+b≥2，当且仅当＝且b＝，即a＝b＝时取等号，∴++b的最小值为2，故答案为：2．点拨：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意两次利用基本不等式取等号的条件同时成立，属于中档题．14．参考答案：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+××（1﹣）＝．故答案为：，．点拨：本题主要考查相互独立事件概率乘法公式，至少问题等基础知识，是中档题．15．参考答案：如图，设BE＝x，∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，∴（2+）2＝4+4•+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，则|2+|＝1，∵（+）•＝（+）•（+）＝+•＝+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1＝5+，x∈（0，），∴（+）•的最小值为．故答案为：1，．点拨：本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．参考答案：（1）∵△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：1：，∴a：b：c＝2：1：，∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．（2）△ABC中，由余弦定理可得cosC＝＝＝．（3）由（2）可得sinC＝＝，∴sin2C＝2sinCcosC＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝，sin（2C﹣）＝sin2Ccos﹣cos2Csin＝．点拨：本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．17．【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），故，设平面A1EC1的法向量为，则，即，令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，故，又F（1，2，0），D1（0，2，2），所以，则，又D1F⊄平面A1EC，故D1F∥平面A1EC1；（2）解：由（1）可知，，则＝＝，故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，，设平面AA1C1的法向量为，则，即，令a＝1，则b＝﹣1，故，所以＝＝，故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．点拨：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18．参考答案：（1）因为离心率e＝，|BF|＝所以，解得a＝，c＝2，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）设M（x0，y0），则切线MN的方程为+y0y＝1，令x＝0，得y N＝，因为PN⊥BF，所以k PN•k BF＝﹣1，所以k PN•（﹣）＝﹣1，解得k NP＝2，设P（x1，0），则k NP＝＝2，即x1＝﹣，因为MP∥BF，所以k MP＝k BF，所以＝﹣，即﹣2y0＝x0+，所以x0＝﹣2y0﹣，又因为+y02＝1，所以+++y02＝1，解得y0＝±，因为y N＞0，所以y0＞0，所以y0＝，x0＝﹣﹣＝﹣，所以+y＝1，即x﹣y+＝0．点拨：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．19．【解答】证明：（1）由数列{a n}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，可得8a1+×8×7d＝64，解得a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；由数列{b n}是公比q大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48，可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），所以b n＝4n，n∈N*；（2）（i）证明：因为a n＝2n﹣1，b n＝4n，所以c n＝b2n+＝42n+，则c n2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+）＝＝2•4n，所以，又，所以数列{c n2﹣c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列；（ii）证明：设＝，考虑，则p n＜q n，所以q k＝++...+，则，两式相减可得，＝＝，所以，则＜＜2，故＜2．点拨：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和、不等式的证明，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．【解答】（1）解：因为f'（x）＝a﹣（x+1）e x，所以f'（0）＝a ﹣1，而f（0）＝0，所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞0）；（2）证明：令f'（x）＝a﹣（x+1）e x＝0，则a＝（x+1）e x，令g（x）＝（x+1）e x，则g'（x）＝（x+2）e x，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，作出图象所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）为减函数；所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），此时a＝（1+m）e m，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）me m﹣me m﹣（1+m）e m＝（m2﹣m﹣1）e m（m＞﹣1），令h（x）＝（x2﹣x﹣1）e x（x＞﹣1），若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，而h'（x）＝（x2+x﹣2）e x＝（x﹣1）（x+2）e x，（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1）时，h'（x）＜0，h（x）为单调减函数，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为单调增函数，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．点拨：本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究极值与最值，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题．。

2021年天津市高考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合A ＝{﹣1，0，1}，B ＝{1，3，5}，C ＝{0，2，4}，则（A ∩B ）∪C ＝（ ）A ．{0}B ．{0，1，3，5}C ．{0，1，2，4}D ．{0，2，3，4}2．已知a ∈R ，则“a ＞6”是“a 2＞36”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数f （x ）＝2||ln 2+x x 的图象大致为（ ） A ． B ． C ． D ．4．从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（ ）A ．20B ．40C ．64D ．80 5．设a ＝log 20.3，b ＝21log 0.4，c ＝0.40.3，则三者大小关系为（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．a ＜c ＜b6．两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为332π，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（ ）A ．3πB ．4πC ．9πD ．12π 7．若2a ＝5b ＝10，则b a 11+＝（ ） A ．﹣1 B ．lg 7 C ．1 D ．log 7108．已知双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）的右焦点与抛物线y 2＝2px （p ＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C ，D 两点，若|CD |＝2|AB |，则双曲线的离心率为（ ）A ．2B ．3C ．2D ．39．设a ∈R ，函数f （x ）＝⎩⎨⎧≥+++-<-a x a x a x a x a x ，，5)1(2)22cos(22ππ，若函数f （x ）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a 的取值范围是（ ）A ．（2，49]∪（25，411] B ．（47，2]∪（25，411] C ．（2，49]∪[411，3） D ．（47，2）∪[411，3） 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．i 是虚数单位，复数i i ++229＝ ． 11．在（2x 3+x1）6的展开式中，x 6的系数是 ． 12．若斜率为3的直线与y 轴交于点A ，与圆x 2+（y ﹣1）2＝1相切于点B ，则|AB |＝ ．13．已知a ＞0，b ＞0，则b ba a ++21的最小值为 ． 14．甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为65和53，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为 ；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为 ．15．在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，DE ⊥AB 且交AB 于点E ，DF ∥AB 且交AC 于点F ，则|2DF BE +|的值为 ；DA DF DE ⋅+)(最小值为 ．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：2，b ＝2．（1）求a 的值；（2）求cos C 的值；（3）求sin （2C ﹣6π）的值．17．如图，在棱长为2的正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E ，F 分别为棱BC ，CD 的中点．（1）求证：D 1F ∥平面A 1EC 1；（2）求直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值；（3）求二面角A ﹣A 1C 1﹣E 的正弦值．18．已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的右焦点为F ，上顶点为B ，离心率为552，且|BF |＝5． （1）求椭圆的标准方程；（2）直线l 与椭圆有唯一的公共点M ，与y 轴的正半轴交于点N ，过N 与BF 垂直的直线交x 轴于点P ．若MP ∥BF ，求直线l 的方程．19．已知数列{a n }是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n }是公比大于0的等比数列，b 1＝4，b 3﹣b 2＝48．（1）求数列{a n }和{b n }的通项公式；（2）记c n ＝b 2n +nb 1，n ∈N *． （i ）证明：{c n 2﹣c 2n }是等比数列；（ii ）证明：∑=+-n k kk k k c c a a 1221＜22（n ∈N *）．20．已知a ＞0，函数f （x ）＝ax ﹣xe x ．（1）求曲线f （x ）在点（0，f （0））处的切线方程；（2）证明函数f （x ）存在唯一的极值点；（3）若∃a ，使得f （x ）≤a +b 对任意的x ∈R 恒成立，求实数b 的取值范围．2021年天津市高考数学试卷参考答案与试题解析一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．C 2．A 3．B 4．D 5．D 6．B 7．C 8．A 9．A二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．4﹣i 11．160 12．313．22 14．31，277 15．1，2011 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解：（1）∵△ABC 中，sin A ：sin B ：sin C ＝2：1：2，∴a ：b ：c ＝2：1：2，∵b ＝2，∴a ＝2b ＝22，c ＝2b ＝2．（2）△ABC 中，由余弦定理可得cos C ＝4322224282222=⨯⨯-+=-+ab c b a ． （3）由（2）可得sin C ＝47cos 12=-C ， ∴sin2C ＝2sin C cos C ＝873，cos2C ＝2cos 2C ﹣1＝81， sin （2C ﹣6π）＝sin2C cos 6π﹣cos2C sin 6π＝161213-． 17．（1）证明：以点A 为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A 1（0，0，2），E （2，1，0），C 1（2，2，2）， 故)210()022(111，，，，，==EC C A ， 设平面A 1EC 1的法向量为)(z y x n ，，=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111EC n C A n ，即⎩⎨⎧=+=+020z y y x ， 令z ＝1，则x ＝2，y ＝﹣2，故)122(，，-=n ， 又F （1，2，0），D 1（0，2，2）， 所以)201(1，，-=FD ， 则01=⋅FD n ，又D 1F ⊄平面A 1EC ，故D 1F ∥平面A 1EC 1；（2）解：由（1）可知，)222(1，，=AC ， 则933232|||||cos |111=⨯==><AC n AC n ，， 故直线AC 1与平面A 1EC 1所成角的正弦值为93； （3）解：由（1）可知)200(1，，=AA ， 设平面AA 1C 1的法向量为)(c b a m ，，=， 则⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅00111C A m AA m ，即⎩⎨⎧=+=00b a c 令a ＝1，则b ＝﹣1，故)011(，，-=m ， 所以322234|||||cos |=⨯==><n m n m n m ，， 故二面角A ﹣A 1C 1﹣E 的正弦值为31)322(12=-． 18．解：（1）因为离心率e ＝552，|BF |＝5 所以⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===2225552c b a a a c ，解得a ＝5，c ＝2，b ＝1， 所以椭圆的方程为52x +y 2＝1． （2）先证明椭圆12222=+by a x 上过点M （x 0，y 0）的椭圆的 切线方程为：12020=+byy a xx ． 由于椭圆过点（x 0，y 0），则1220220=+by a x ①， 对椭圆求导得y ′＝﹣y a x b 22，即切线的斜率k ＝﹣0202y a x b ， 故切线的方程y ﹣y 0＝﹣0202y a x b （x ﹣x 0），将①代入得12020=+byy a xx 则切线MN 的方程为50x x +y 0y ＝1， 令x ＝0，得y N ＝01y 01y ， 因为PN ⊥BF ，所以k PN •k BF ＝﹣1，所以k PN •（﹣21）＝﹣1，解得k NP ＝2， 设P （x 1，0），则k NP ＝1001x y -＝2，即x 1＝﹣021y ， 因为MP ∥BF ，所以k MP ＝k BF ， 所以00021y x y +＝﹣21，即﹣2y 0＝x 0+021y ， 所以x 0＝﹣2y 0﹣021y ， 又因为520x +y 02＝1， 所以12015254202020=+++y y y ， 解得y 0＝±66， 因为y N ＞0，所以y 0＞0，所以y 0＝66，x 0＝﹣6656336-=-， 所以5665x -+66y ＝1，即x ﹣y +6＝0． 19．证明：（1）由数列{a n }是公差d 为2的等差数列，其前8项的和为64， 可得8a 1+21×8×7d ＝64，解得a 1＝1， 所以a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，n ∈N *；由数列{b n }是公比q 大于0的等比数列，b 1＝4，b 3﹣b 2＝48，可得4q 2﹣4q ＝48，解得q ＝4（﹣3舍去），所以b n ＝4n ，n ∈N *；（2）（i ）证明：因为a n ＝2n ﹣1，b n ＝4n ，所以c n ＝b 2n +n b 1＝42n +n 41， 则c n 2﹣c 2n ＝（42n +n 41）2﹣（44n +n 241）＝n n n n n n 42414414242422⋅=--+⋅+， 所以442421222221=⋅⋅=--+++n n n n n n c c c c ， 又8)414()414(2422221=+-+=-c c ， 所以数列{c n 2﹣c 2n }是以8为首项，4为公比的等比数列；（ii ）证明：设n n n n n n n n n n n n n n c c a a p 22424421442)12)(12(22221⋅=⋅<⋅-=⋅+-=-=+， 考虑n n n q 2=，则p n ＜2q n ， 所以n n k k n q 2...222121+++=∑=， 则13212...222121+=+++=∑n n k k n q ， 两式相减可得，111212212211)211(21221...212121+++=+-=---⨯=-+++=∑n n n n n n k k n n n q ， 所以22221<+-=∑=n n k k n q ， 则22211221<<-∑∑==+n k k n k k k k k q c c a a ，221221<-∑=+n k k k k k c c a a 故221221<-∑=+n k k k k k c c a a ．20．（1）解：因为f '（x ）＝a ﹣（x +1）e x ，所以f '（0）＝a ﹣1，而f （0）＝0， 所以在（0，f （0））处的切线方程为y ＝（a ﹣1）x （a ＞0）；（2）证明：令f '（x ）＝a ﹣（x +1）e x ＝0，则a ＝（x +1）e x ，令g （x ）＝（x +1）e x ，则g '（x ）＝（x +2）e x ，令g '（x ）＝0，解得x ＝﹣2， 当x ∈（﹣∞，﹣2）时，g '（x ）＜0，g （x ）单调递减，当x∈（﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，作出图象所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）为减函数；所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），此时a＝（1+m）e m，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）me m﹣me m﹣（1+m）e m＝（m2﹣m﹣1）e m（m＞﹣1），令h（x）＝（x2﹣x﹣1）e x（x＞﹣1），若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，而h'（x）＝（x2+x﹣2）e x＝（x﹣1）（x+2）e x，（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1）时，h'（x）＜0，h（x）为单调减函数，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为单调增函数，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．。

2021年天津市高考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4}2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．805．（5分）设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710 8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f （x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i是虚数单位，复数＝．11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是．12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为．14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为；（+）•的最小值为．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cosC的值；（3）求sin（2C﹣）的值．17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．18．（15分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．19．（15分）已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．答案一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．解析：利用集合交集与并集的定义求解即可．【答案：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}，则（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．故选：C．2．解析：求解a2＞36，得出a＞6或a＜﹣6，根据充分必要的定义判断即可得出答案．【答案：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，故选：A．3．解析：根据题意，先分析函数的奇偶性，排除AC，再分析（0，1）上函数值的符号，排除D，即可得答案．【答案：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，排除AC，在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D，故选：B．4．解析：由频率分布直方图先求频率，再求频数，即评分在区间[82，86）内的影视作品数量即可．【答案：由频率分布直方图知，评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，故选：D．5．解析：利用指数函数和对数函数的性质．【答案：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，∵＞log0.5＝1，∴b＞1，∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：D．6．解析：由题意画出图形，由球的体积求出球的半径，再由直角三角形中的射影定理求得截面圆的半径，代入圆锥体积公式得答案．【答案：如图，设球O的半径为R，由题意，，可得R＝2，则球O的直径为4，∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO1＝1，BO1＝3，由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝．∴这两个圆锥的体积之和为V＝．故选：B．7．解析：对已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解．【答案：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．8．解析：由题意可得p，c的关系，再由双曲线及渐近线的对称性，将双曲线的方程和渐近线的方程与抛物线的准线联立求出|AB|，|CD|的一半的表达式，由题意可得a，c的关系，进而求出双曲线的离心率．【答案由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD与x 轴分别交于M，N，由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，由题意可得：＝c，即p＝2c，可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，可得：|y|＝，所以|CN|＝，所以可得＝•，可得c＝b，所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，故选：A．9．解析：分x＜a，x≥a两种情况讨论，当x＜a时，且时，f（x）有4个零点，，f（x）有5个零点，，f （x）有6个零点，当x＞a时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，当a＝2时，f（x）有一个零点，综合两种情况，即可求解．【答案：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点又∵二次函数最多有两个零点，∴当x＜a时，f（x）＝0至少有四个根，∵f（x）＝cos（2πx﹣2πa）＝cos2π（x﹣a），∴令f（x）＝0，即k∈Z，∴，又∵x∈（0，+∞），∴，即，①当x＜a时，﹣5≤﹣4，f（x）有4个零点，即，﹣6≤﹣5，f（x）有5个零点，即，﹣7≤﹣6，f（x）有6个零点，即，②当x≥a时，f（x）＝x2﹣2（a+1）x+a2+5，∴△＝b2﹣4ac＝4（a+1）2﹣4（a2+5）＝8a﹣16＝0，解得a＝2，当a＜2时，△＜0，f（x）无零点，当a＝2时，△＝0，f（x）有1个零点，当a＞2时，f（a）＝a2﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+5，∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，∴当﹣2a+5≥0时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，综合①②可得，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则需满足：或或，解得a∈（2，]∪（，]．故选：A．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．解析：利用复数的运算法则即可得出．【答案：复数＝＝＝4﹣i，故答案为：4﹣i．11．解析：求出展开式的通项公式，令x的指数为6，求出r的值，即可求得x6的系数．【答案：（2x3+）6的展开式的通项公式为T r+1＝（2x3）6﹣r＝26﹣r x18﹣4r，令18﹣4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是23＝160．故答案为：160．12．解析：由题意如图可得AB与半径BC的关系，再由切线的斜率可得|AB|的值．【答案假设A在x轴的上方，斜率为的直线与x轴交于D，则可得tan∠ADO＝，所以cot∠BAC＝，如图所示，由圆C 的方程可得，圆的半径为|BC|＝1，由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC|•cot∠BAC＝，故答案为：．13．解析：先利用基本不等式得到++b≥+b，再利用基本不等式得到+b≥2，最后求出两次利用基本不等式取等号时的a，b 的值即可．【答案：∵a＞0，b＞0，∴++b+b＝+b≥2，当且仅当＝且b＝，即a＝b＝时取等号，∴++b的最小值为2，故答案为：2．14．解析：根据相互独立事件概率乘法公式求出一次活动中，甲获胜的概率，再利用直接法求出3次活动中，甲至少获胜2次的概率．【答案：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+××（1﹣）＝．故答案为：，．15．解析：设BE＝x，表示出BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，利用数量积的定义与性质即可求出．【答案：如图，设BE＝x，∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，∴（2+）2＝4+4•+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，则|2+|＝1，∵（+）•＝（+）•（+）＝+•＝+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1＝5+，x∈（0，），∴（+）•的最小值为．故答案为：1，．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．解析：（1）由题意利用正弦定理，求得a的值．（2）由题意利用余弦定理计算求得结果．（3）先来用二倍角公式求得2C的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得sin（2C﹣）的值．【答案：（1）∵△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：1：，∴a：b：c＝2：1：，∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．（2）△ABC中，由余弦定理可得cosC＝＝＝．（3）由（2）可得sinC＝＝，∴sin2C＝2sinCcosC＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝，sin（2C﹣）＝sin2Ccos﹣cos2Csin＝．17．解析：（1）建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，利用待定系数法求出平面A1EC1的法向量，利用直线的方向向量与平面的法向量垂直，即可证明；（2）利用（1）中的结论，由向量的夹角公式求解，即可得到答案；（3）利用待定系数法求出平面AA1C1的法向量，然后利用向量的夹角公式求解即可．【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），故，设平面A1EC1的法向量为，则，即，令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，故，又F（1，2，0），D1（0，2，2），所以，则，又D1F⊄平面A1EC，故D1F∥平面A1EC1；（2）解：由（1）可知，，则＝＝，故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，，设平面AA1C1的法向量为，则，即，令a＝1，则b＝﹣1，故，所以＝＝，故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．18．解析：（1）由离心率e＝，|BF|＝，列方程组，解得a，b，c，即可得出答案．（2）设M（x0，y0），则切线MN的方程为+y0y＝1，令x＝0，得N点的坐标，由PN⊥BF，推出k NP＝2，设P（x1，0），则x1＝﹣，由MP∥BF，得x0＝﹣2y0﹣，结合+y02＝1，解得y0，x0，即可得出答案．【答案：（1）因为离心率e＝，|BF|＝所以，解得a＝，c＝2，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）设M（x0，y0），则切线MN的方程为+y0y＝1，令x＝0，得y N＝，因为PN⊥BF，所以k PN•k BF＝﹣1，所以k PN•（﹣）＝﹣1，解得k NP＝2，设P（x1，0），则k NP＝＝2，即x1＝﹣，因为MP∥BF，所以k MP＝k BF，所以＝﹣，即﹣2y0＝x0+，所以x0＝﹣2y0﹣，又因为+y02＝1，所以+++y02＝1，解得y0＝±，因为y N＞0，所以y0＞0，所以y0＝，x0＝﹣﹣＝﹣，所以+y＝1，即x﹣y+＝0．19．解析：（1）由等差数列的求和公式，解方程可得首项，进而得到a n；由等比数列的通项公式，解方程可得公比，进而得到b n；（2）（i）利用已知数列的通项公式，表示出c n，然后利用等比数列的定义证明即可；（ii）设，然后利用放缩法得到，再利用错位相减法求解数列{}的和，即可判断以，从而证明不等式．【解答】证明：（1）由数列{a n}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，可得8a1+×8×7d＝64，解得a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；由数列{b n}是公比q大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48，可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），所以b n＝4n，n∈N*；（2）（i）证明：因为a n＝2n﹣1，b n＝4n，所以c n＝b2n+＝42n+，则c n2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+）＝＝2•4n，所以，又，所以数列{c n2﹣c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列；（ii）证明：设＝，考虑，则p n＜q n，所以q k＝++...+，则，两式相减可得，＝＝，所以，则＜＜2，故＜2．20．解析：（1）先求导函数，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后利用点斜式表示出切线即可；（2）令f'（x）＝0，将a分离，然后利用导数研究另一侧函数的单调性，画出图象，可知当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，然后判定在交点处左右导数符号，从而可得结论；（3）由（2）知f（x）max＝f（m），此时a＝（1+m）e m，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝（m2﹣m﹣1）e m（m＞﹣1），构造h（x）＝（x2﹣x﹣1）e x（x＞﹣1），若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，最后利用导数研究其最值，即可求出所求．【解答】（1）解：因为f'（x）＝a﹣（x+1）e x，所以f'（0）＝a ﹣1，而f（0）＝0，所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞0）；（2）证明：令f'（x）＝a﹣（x+1）e x＝0，则a＝（x+1）e x，令g（x）＝（x+1）e x，则g'（x）＝（x+2）e x，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，作出图象所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）为减函数；所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），此时a＝（1+m）e m，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）me m﹣me m﹣（1+m）e m＝（m2﹣m﹣1）e m（m＞﹣1），令h（x）＝（x2﹣x﹣1）e x（x＞﹣1），若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，而h'（x）＝（x2+x﹣2）e x＝（x﹣1）（x+2）e x，（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1）时，h'（x）＜0，h（x）为单调减函数，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为单调增函数，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．第21页（共21页）。

2021年天津市高考数学试卷一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（）A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4}2．（5分）已知a∈R，则“a＞6”是“a2＞36”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）函数f（x）＝的图象大致为（）A．B．C．D．4．（5分）从某网络平台推荐的影视作品中抽取400部，统计其评分数据，将所得400个评分数据分为8组：[66，70），[70，74），…，[94，98），并整理得到如下的频率分布直方图，则评分在区间[82，86）内的影视作品数量是（）A．20B．40C．64D．805．（5分）设a＝log20.3，b＝0.4，c＝0.40.3，则三者大小关系为（）A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．a＜c＜b 6．（5分）两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的高之比为1：3，则这两个圆锥的体积之和为（）A．3πB．4πC．9πD．12π7．（5分）若2a＝5b＝10，则+＝（）A．﹣1B．lg7C．1D．log710 8．（5分）已知双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的右焦点与抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C，D两点，若|CD|＝|AB|，则双曲线的离心率为（）A．B．C．2D．39．（5分）设a∈R，函数f（x）＝，若函数f （x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则a的取值范围是（）A．（2，]∪（，]B．（，2]∪（，]C．（2，]∪[，3）D．（，2）∪[，3）二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．（5分）i是虚数单位，复数＝．11．（5分）在（2x3+）6的展开式中，x6的系数是．12．（5分）若斜率为的直线与y轴交于点A，与圆x2+（y﹣1）2＝1相切于点B，则|AB|＝．13．（5分）已知a＞0，b＞0，则++b的最小值为．14．（5分）甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局．已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3次活动中，甲至少获胜2次的概率为．15．（5分）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，DE⊥AB且交AB于点E，DF∥AB且交AC于点F，则|2+|的值为；（+）•的最小值为．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．（14分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sinA：sinB：sinC＝2：1：，b＝．（1）求a的值；（2）求cosC的值；（3）求sin（2C﹣）的值．17．（15分）如图，在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱BC，CD的中点．（1）求证：D1F∥平面A1EC1；（2）求直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值；（3）求二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值．18．（15分）已知椭圆+＝1（a＞b＞0）的右焦点为F，上顶点为B，离心率为，且|BF|＝．（1）求椭圆的标准方程；（2）直线l与椭圆有唯一的公共点M，与y轴的正半轴交于点N，过N与BF垂直的直线交x轴于点P．若MP∥BF，求直线l的方程．19．（15分）已知数列{a n}是公差为2的等差数列，其前8项的和为64．数列{b n}是公比大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）记c n＝b2n+，n∈N*．（i）证明：{c n2﹣c2n}是等比数列；（ii）证明：＜2（n∈N*）．20．（16分）已知a＞0，函数f（x）＝ax﹣xe x．（1）求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）证明函数f（x）存在唯一的极值点；（3）若∃a，使得f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，求实数b的取值范围．参考答案一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．参考答案：因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，所以A∩B＝{1}，则（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．故选：C．点拨：本题考查了集合的运算，解题的关键是掌握集合交集与并集的定义，属于基础题．2．参考答案：①∵a＞6，∴a2＞36，∴充分性成立，②∵a2＞36，∴a＞6或a＜﹣6，∴必要性不成立，∴a＞6是a2＞36的充分不必要条件，故选：A．点拨：本题考查了充分必要条件的定义，一元二次不等式的解法，属于基础题．3．参考答案：根据题意，f（x）＝，其定义域为{x|x≠0}，有f（﹣x）＝＝f（x），是偶函数，排除AC，在区间（0，1）上，ln|x|＝lnx＜0，必有f（x）＜0，排除D，故选：B．点拨：本题考查函数的图象分析，涉及函数的奇偶性、函数值的判断，属于基础题．4．参考答案：由频率分布直方图知，评分在区间[82，86）内的影视作品的频率为（86﹣82）×0.05＝0.2，故评分在区间[82，86）内的影视作品数量是400×0.2＝80，故选：D．点拨：本题考查了频率分布直方图的应用及频率的定义与应用，属于基础题．5．参考答案：∵log20.3＜log21＝0，∴a＜0，∵＞log0.5＝1，∴b＞1，∵0＜0.40.3＜0.40＝1，∴0＜c＜1，∴a＜c＜b，故选：D．点拨：本题主要考查了指数函数和对数函数的性质，考查了三个数比较大小，是基础题．6．参考答案：如图，设球O的半径为R，由题意，，可得R＝2，则球O的直径为4，∵两个圆锥的高之比为1：3，∴AO1＝1，BO1＝3，由直角三角形中的射影定理可得：r2＝1×3，即r＝．∴这两个圆锥的体积之和为V＝．故选：B．点拨：本题考查球内接圆锥体积的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．7．参考答案：∵2a＝5b＝10，∴a＝log210，b＝log510，∴＝+＝log102+log105＝lg10＝1，故选：C．点拨：本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数式与指数式的互化，是基础题．8．【解答】解由题意可得抛物线的准线方程为x＝﹣，设AB，CD 与x轴分别交于M，N，由|CD|＝|AB|，再由双曲线渐近线及抛物线的对称性可得|CN|＝|AM|，由题意可得：＝c，即p＝2c，可得解得：|y|＝，所以|AM|＝，可得：|y|＝，所以|CN|＝，所以可得＝•，可得c＝b，所以c2＝2b2＝2（c2﹣a2），解得：c＝a，所以双曲线的离心率e＝＝，故选：A．点拨：本题考查双曲线的对称性及直线与双曲线的综合，属于中档题．9．参考答案：∵f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点又∵二次函数最多有两个零点，∴当x＜a时，f（x）＝0至少有四个根，∵f（x）＝cos（2πx﹣2πa）＝cos2π（x﹣a），∴令f（x）＝0，即k∈Z，∴，又∵x∈（0，+∞），∴，即，①当x＜a时，﹣5≤﹣4，f（x）有4个零点，即，﹣6≤﹣5，f（x）有5个零点，即，﹣7≤﹣6，f（x）有6个零点，即，②当x≥a时，f（x）＝x2﹣2（a+1）x+a2+5，∴△＝b2﹣4ac＝4（a+1）2﹣4（a2+5）＝8a﹣16＝0，解得a＝2，当a＜2时，△＜0，f（x）无零点，当a＝2时，△＝0，f（x）有1个零点，当a＞2时，f（a）＝a2﹣2a（a+1）+a2+5＝﹣2a+5，∵f（x）的对称轴x＝a+1，即f（a）在对称轴的左边，∴当﹣2a+5≥0时，即2＜a≤，f（x）有两个零点，当﹣2a+5＜0时，即a＞，f（x）有1个零点，综合①②可得，若函数f（x）在区间（0，+∞）内恰有6个零点，则需满足：或或，解得a∈（2，]∪（，]．故选：A．点拨：本题考查了余弦函数和二次函数，需要学生掌握分类讨论的思想，且本题综合性强，属于难题．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10．参考答案：复数＝＝＝4﹣i，故答案为：4﹣i．点拨：本题考查了复数的运算法则，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．11．参考答案：（2x3+）6的展开式的通项公式为T r+1＝（2x3）6﹣r＝26﹣r x18﹣4r，令18﹣4r＝6，解得r＝3，所以x6的系数是23＝160．故答案为：160．点拨：本题主要考查二项式定理，二项展开式的通项公式，考查运算求解能力，属于基础题．12．【解答】解假设A在x轴的上方，斜率为的直线与x轴交于D，则可得tan∠ADO＝，所以cot∠BAC＝，如图所示，由圆C 的方程可得，圆的半径为|BC|＝1，由于B为切点，所以AB⊥BC，所以|AB|＝|BC|•cot∠BAC＝，故答案为：．点拨：本题考查直线与圆相切的性质，直线斜率的应用，属于中档题．13．参考答案：∵a＞0，b＞0，∴++b+b＝+b≥2，当且仅当＝且b＝，即a＝b＝时取等号，∴++b的最小值为2，故答案为：2．点拨：本题考查了基本不等式在求最值中的应用，注意两次利用基本不等式取等号的条件同时成立，属于中档题．14．参考答案：∵一次活动中，甲获胜的概率为×（1﹣）＝，∴3次活动中，甲至少获胜2次的概率为+××（1﹣）＝．故答案为：，．点拨：本题主要考查相互独立事件概率乘法公式，至少问题等基础知识，是中档题．15．参考答案：如图，设BE＝x，∵△ABC是边长为1等边三角形，DE⊥AB，∴∠BDE＝30°，BD＝2x，DE＝x，DC＝1﹣2x，∵DF∥AB，∴△DFC是边长为1﹣2x等边三角形，DE⊥DF，∴（2+）2＝4+4•+＝4x2+4x（1﹣2x）×cos0°+（1﹣2x）2＝1，则|2+|＝1，∵（+）•＝（+）•（+）＝+•＝+（1﹣2x）×（1﹣x）＝5x2﹣3x+1＝5+，x∈（0，），∴（+）•的最小值为．故答案为：1，．点拨：本题考查向量的数量积的定义，向量的运算法则，二次函数求最值，属于中档题．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．16．参考答案：（1）∵△ABC中，sinA：sinB：sinC＝2：1：，∴a：b：c＝2：1：，∵b＝，∴a＝2b＝2，c＝b＝2．（2）△ABC中，由余弦定理可得cosC＝＝＝．（3）由（2）可得sinC＝＝，∴sin2C＝2sinCcosC＝，cos2C＝2cos2C﹣1＝，sin（2C﹣）＝sin2Ccos﹣cos2Csin＝．点拨：本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．17．【解答】（1）证明：以点A为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，则A1（0，0，2），E（2，1，0），C1（2，2，2），故，设平面A1EC1的法向量为，则，即，令z＝1，则x＝2，y＝﹣2，故，又F（1，2，0），D1（0，2，2），所以，则，又D1F⊄平面A1EC，故D1F∥平面A1EC1；（2）解：由（1）可知，，则＝＝，故直线AC1与平面A1EC1所成角的正弦值为；（3）解：由（1）可知，，设平面AA1C1的法向量为，则，即，令a＝1，则b＝﹣1，故，所以＝＝，故二面角A﹣A1C1﹣E的正弦值为＝．点拨：本题考查了空间向量在立体几何中的应用，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系，将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题．18．参考答案：（1）因为离心率e＝，|BF|＝所以，解得a＝，c＝2，b＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）设M（x0，y0），则切线MN的方程为+y0y＝1，令x＝0，得y N＝，因为PN⊥BF，所以k PN•k BF＝﹣1，所以k PN•（﹣）＝﹣1，解得k NP＝2，设P（x1，0），则k NP＝＝2，即x1＝﹣，因为MP∥BF，所以k MP＝k BF，所以＝﹣，即﹣2y0＝x0+，所以x0＝﹣2y0﹣，又因为+y02＝1，所以+++y02＝1，解得y0＝±，因为y N＞0，所以y0＞0，所以y0＝，x0＝﹣﹣＝﹣，所以+y＝1，即x﹣y+＝0．点拨：本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．19．【解答】证明：（1）由数列{a n}是公差d为2的等差数列，其前8项的和为64，可得8a1+×8×7d＝64，解得a1＝1，所以a n＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1，n∈N*；由数列{b n}是公比q大于0的等比数列，b1＝4，b3﹣b2＝48，可得4q2﹣4q＝48，解得q＝4（﹣3舍去），所以b n＝4n，n∈N*；（2）（i）证明：因为a n＝2n﹣1，b n＝4n，所以c n＝b2n+＝42n+，则c n2﹣c2n＝（42n+）2﹣（44n+）＝＝2•4n，所以，又，所以数列{c n2﹣c2n}是以8为首项，4为公比的等比数列；（ii）证明：设＝，考虑，则p n＜q n，所以q k＝++...+，则，两式相减可得，＝＝，所以，则＜＜2，故＜2．点拨：本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和、不等式的证明，考查方程思想和运算能力、推理能力，属于中档题．20．【解答】（1）解：因为f'（x）＝a﹣（x+1）e x，所以f'（0）＝a ﹣1，而f（0）＝0，所以在（0，f（0））处的切线方程为y＝（a﹣1）x（a＞0）；（2）证明：令f'（x）＝a﹣（x+1）e x＝0，则a＝（x+1）e x，令g（x）＝（x+1）e x，则g'（x）＝（x+2）e x，令g'（x）＝0，解得x＝﹣2，当x∈（﹣∞，﹣2）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减，当x∈（﹣2，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增，当x→﹣∞时，g（x）＜0，当x→+∞时，g（x）＞0，作出图象所以当a＞0时，y＝a与y＝g（x）仅有一个交点，令g（m）＝a，则m＞﹣1，且f（m）＝a﹣g（m）＝0，当x∈（﹣∞，m）时，a＞g（m），f'（x）＞0，f（x）为增函数；当x∈（m，+∞）时，a＜g（m），f'（x）＜0，f（x）为减函数；所以x＝m时f（x）的极大值点，故f（x）仅有一个极值点；（3）解：由（2）知f（x）max＝f（m），此时a＝（1+m）e m，（m＞﹣1），所以{f（x）﹣a}max＝f（m）﹣a＝（1+m）me m﹣me m﹣（1+m）e m＝（m2﹣m﹣1）e m（m＞﹣1），令h（x）＝（x2﹣x﹣1）e x（x＞﹣1），若存在a，使f（x）≤a+b对任意的x∈R恒成立，则等价于存在x∈（﹣1，+∞），使得h（x）≤b，即b≥h（x）min，而h'（x）＝（x2+x﹣2）e x＝（x﹣1）（x+2）e x，（x＞﹣1），当x∈（﹣1，1）时，h'（x）＜0，h（x）为单调减函数，当x∈（1，+∞）时，h'（x）＞0，h（x）为单调增函数，所以h（x）min＝h（1）＝﹣e，故b≥﹣e，所以实数b的取值范围[﹣e，+∞）．点拨：本题主要考查了利用导数研究函数在某点处的切线，以及利用导数研究极值与最值，同时考查了转化能力和运算求解的能力，属于中档题．。

2021年高考理数真题试卷（天津卷）一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。

（共8题；共40分）1.设集合 A ={−1,1,2,3,5}, B ={2,3,4}, C ={x ∈R|1⩽x <3} ，则 (A ∩C)∪B = （ ） A. {2} B. {2，3} C. {-1，2，3} D. {1，2，3，4}2.设变量 x,y 满足约束条件 {x +y −2≤0,x −y +2≥0,x ⩾−1,y ⩾−1, 则目标函数 z =−4x +y 的最大值为（ ）A. 2B. 3C. 5D. 6 3.设 x ∈R ，则“ x 2−5x <0 ”是“ |x −1|<1 ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 4.阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 S 的值为（ ）A. 5B. 8C. 24D. 295.已知抛物线 y 2=4x 的焦点为 F ，准线为 l ，若 l 与双曲线 x 2a 2−y 2b 2=1 (a >0,b >0) 的两条渐近线分别交于点 A 和点 B ，且 |AB|=4|OF| （ O 为原点），则双曲线的离心率为（ ）A.√2 B. √3 C. 2 D. √56.已知 a =log 52 ， b =log 0.50.2 ， c =0.50.2 ，则 a,b,c 的大小关系为（ ） A. a <c <b B. a <b <c C. b <c <a D. c <a <b7.已知函数 f(x)=Asin(ωx +φ)(A >0,ω>0,|φ|<π) 是奇函数，将 y =f(x) 的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为 g(x) .若 g(x) 的最小正周期为 2π ，且 g(π4)=√2 ，则 f(3π8)= （ ） A. −2 B. −√2 C. √2 D. 28.已知 a ∈R ，设函数 f(x)={x 2−2ax +2a,x ⩽1,x −alnx,x >1, 若关于 x 的不等式 f(x)⩾0 在 R 上恒成立，则 a 的取值范围为（ ）A. [0,1]B. [0,2]C. [0,e]D. [1,e]二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.（共6题；共30分）9.i 是虚数单位，则 |5−i 1+i| 的值为________.10.(2x −18x 3)8 是展开式中的常数项为________.11.已知四棱锥的底面是边长为 √2 的正方形，侧棱长均为 √5 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为________.12.设 a ∈R ，直线 ax −y +2=0 和圆 {x =2+2cosθ,y =1+2sinθ（ θ 为参数）相切，则 a 的值为________.13.设 x >0, y >0, x +2y =5 ，则 √xy的最小值为________. 14.在四边形 ABCD 中， AD ∥BC,AB =2√3,AD =5,∠=30∘ ，点 E 在线段 CB 的延长线上，且 AE =BE ，则 BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ = ________.三、解答题：本大题共6小题，共80分.（共6题；共80分）15.在 △ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c .已知 b +c =2a ， 3csinB =4asinC . （Ⅰ）求 cosB 的值； （Ⅱ）求 sin(2B +π6) 的值.16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为 23 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，且任一同学每天到校情况相互独立.（Ⅰ）用 X 表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量 X 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 M 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件 M 发生的概率.17.如图， AE ⊥ 平面 ABCD ， CF ∥AE, AD ∥BC ， AD ⊥AB, AB =AD =1, AE =BC =2 .（Ⅰ）求证： BF ∥ 平面 ADE ；（Ⅱ）求直线 CE 与平面 BDE 所成角的正弦值；（Ⅲ）若二面角 E −BD −F 的余弦值为 13 ，求线段 CF 的长. 18.设椭圆x 2a2+y 2b 2=1(a >b >0) 的左焦点为 F ，上顶点为 B .已知椭圆的短轴长为4，离心率为√55.（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设点 P 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 M 为直线 PB 与 x 轴的交点，点 N 在 y 轴的负半轴上.若 |ON|=|OF| （ O 为原点），且 OP ⊥MN ，求直线 PB 的斜率.19.设 {a n } 是等差数列， {b n } 是等比数列.已知 a 1=4,b 1=6 ， b 2=2a 2−2,b 3=2a 3+4 . （Ⅰ）求 {a n } 和 {b n } 的通项公式；（Ⅱ）设数列 {c n } 满足 c 1=1,c n ={1, 2k <n <2k+1,b k ,n =2k , 其中 k ∈N ∗ . （i ）求数列 {a 2n (c 2n −1)} 的通项公式；（ii ）求 ∑a i 2ni=1c i (n ∈N ∗) .20.设函数 f(x)=e xcosx, g(x) 为 f(x) 的导函数.（Ⅰ）求 f(x) 的单调区间；（Ⅱ）当 x ∈[π4,π2] 时，证明 f(x)+g(x)(π2−x)⩾0 ；（Ⅲ）设 x n 为函数 u(x)=f(x)−1 在区间 (2m +π4,2mπ+π2) 内的零点，其中 n ∈N ，证明 2nπ+π2−x n <e −2nπsinx 0−cosx 0.答案解析部分一、选择题：本卷共8小题，每小题5分，共40分。

2021年天津高考数学试卷第Ⅰ卷参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+． ·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩ A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：m m ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A ．10B ．18C ．20D ．365．若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞ 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．2020年天津高考数学试卷答案1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D10．32i - 11．10 12．5 13．16；2314．415．16；13216.（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =． （Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin 13a C A c ==． （Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=．所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=． 17.依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,|A CA C CA⋅〈〉==n n n ，于是sin ,6CA〈〉=n 所以，二面角1B B E D -- （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,||||AB AB AB ⋅==n n n 所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3． 18．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3cb ==．又由222a bc =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为2118x +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k kk --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．19．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<． （Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==． 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k n n k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑． 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑． 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯． 20．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x-+'=．令()0g x '=，解得1x =． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3kf x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故23336ln 10t t t t-++->． ③由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。

天津市2021年高考[数学]考试真题与答案解析一、选择题在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 设集合，则（ ）{}{}{}1,0,11,3,5,0,2,4A B C =-==，()A B C ⋂⋃=A. B. C. D. {}0{0,1,3,5}{0,1,2,4}{0,2,3,4}【参考答案】C2. 已知，则“”是“”的（ ）a ∈R 6a >236a >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不允分也不必要条件【参考答案】A3. 函数的图像大致为（）2ln ||2x y x =+A. B.C. D.【参考答案】B4. 从某网络平台推荐的影视作品中抽取部，统计其评分分数据，将所得个评分数据分400400为组：、、、，并整理得到如下的费率分布直方图，则评分在区间8[)66,70[)70,74 []94,98内的影视作品数量是（）[)82,86A. B. C. D. 20406480【参考答案】D 5. 设，则a ，b ，c 的大小关系为（）0.3212log 0.3,log 0.4,0.4a b c ===A. B. C. D. a b c <<c a b<<b c a<<a c b<<【参考答案】D6. 两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为，两个圆锥的323π高之比为，则这两个圆锥的体积之和为（ ）1:3A. B. C. D. 3π4π9π12π【参考答案】B 7. 若，则（ ）2510a b ==11a b +=A. B. C. 1D. 1-lg 77log 10【参考答案】C8. 已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准22221(0,0)x y a b a b-=>>22(0)y px p =>线交双曲线于A ，B 两点，交双曲线的渐近线于C 、D 两点，若．则双曲线的离|CD AB =心率为（ ）A.B.C. 2D. 39. 设，函数，若在区间内恰有6个零点，a ∈R 22cos(22).()2(1)5,x a x a f x x a x a x a ππ-<⎧=⎨-+++≥⎩()f x (0,)+∞则a 的取值范围是（）A. B. 95112,,424⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎝⎦⎝⎦5711,2,424⎛⎫⎛⎫⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. D. 9112,,344⎛⎤⎡⎫⋃ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,2,3447⎛⎫⎡⎫⋃ ⎪⎪⎢⎝⎭⎣⎭【参考答案】A二、填空题本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分．10. 是虚数单位，复数_____________．i 92i2i+=+【参考答案】4i-【解】.()()()()92i 2i 92i 205i4i 2i 2i 2i 5+-+-===-++-11. 在的展开式中，的系数是__________．6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭6x 【参考答案】160【解】的展开式的通项为，6312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭()636184166122rrr r r r r T C xC x x ---+⎛⎫=⋅=⋅ ⎪⎝⎭令，解得，1846r -=3r =所以的系数是.6x 3362160C =12. 轴交于点，与圆相切于点，则____________．y A ()2211x y +-=B AB =【解】设直线的方程为，则点，AB y b =+()0,A b 由于直线与圆相切，且圆心为，半径为，AB ()2211x y +-=()0,1C 1则，解得或，所以，112b -=1b =-3b =2AC =因为.1BC =13. 若，则的最小值为____________．0 , 0a b >>21a b ab ++【参考答案】【解】，0 , 0a b >>212a b b a b b b ∴++≥+=+≥=当且仅当且，即21a a b =2b b=a b ==所以的最小值为21a b ab ++14. 甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局，已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为和，且每次活动中甲、乙5615猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为____________，3次活动中，甲至少获胜2次的概率为______________．【参考答案】①.②.232027【解】由题可得一次活动中，甲获胜的概率为；564253⨯=则在3次活动中，甲至少获胜2次的概率为.23232122033327C ⎛⎫⎛⎫⨯⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭15. 在边长为1的等边三角形ABC 中，D 为线段BC 上的动点，且交AB 于点DE AB ⊥E ．且交AC 于点F ,则的值为____________；的最小值为//DF AB |2|BE DF + ()DE DF DA +⋅____________．【参考答案】①. 1②.1120【解】设，，为边长为1的等边三角形，，BE x =10,2x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ABC DE AB ⊥，30,2,,12BDE BD x DE DC x ∠∴====- ，为边长为的等边三角形，，//DF AB DFC ∴ 12x -DE DF ⊥，22222(2)4444(12)cos 0(12)1BE DF BE BE DF DF x x x x ∴+=+⋅+=+-⨯+-= ，|2|1BE DF +∴=2()()()DE DF DA DE DF DE EA DE DF EA+⋅=+⋅+=+⋅，222311)(12)(1)53151020x x x x x ⎛⎫=+-⨯-=-+=-+ ⎪⎝⎭所以当时，的最小值为.310x =()DE DF DA +⋅ 1120三、解答题本大题共5小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤．16. 在，角所对的边分别为，已知，．ABC ,,A B C ,,a b c sin :sin :sin 2A B C =b =（I ）求a 的值；（II ）求的值；cos C （III ）求的值．sin 26C π⎛⎫- ⎪⎝⎭【参考答案】（I ）；（II ）（III【解】（I ）因为，sin :sin :sin 2A B C =::2a b c =；b = 2ac ∴==（II ）由余弦定理可得；2223cos 24a b c C ab +-===（III ），，3cos 4C =sin C ∴==，，3sin 22sin cos 24C C C ∴===291cos 22cos 121168C C =-=⨯-=所以.sin 2sin 2cos cos 2sin 666C C C πππ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭1182=-⨯=17. 如图，在棱长为2的正方体中，E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中1111ABCD A B C D -点．（I ）求证：平面；1//D F 11A EC （II ）求直线与平面所成角的正弦值．1AC 11A EC （III ）求二面角的正弦值．11A A C E --【参考答案】（I ）证明见解析；（IIIII ）.13【解】（I ）以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系，A 1,,AB AD AA ,,x y z 则,,,,,,，()0,0,0A ()10,0,2A ()2,0,0B ()2,2,0C ()0,2,0D ()12,2,2C ()10,2,2D 因为E 为棱BC 的中点，F 为棱CD 的中点，所以，，()2,1,0E ()1,2,0F 所以,,,()11,0,2D F =- ()112,2,0A C = ()12,1,2A E =-设平面的一个法向量为，11A EC ()111,,m x y z =则，令，则，11111111202202m x y m x y A A E z C ⎧⋅+=⎪⎨⋅+-=⎩=⎪= 12x =()2,2,1m =- 因为，所以，1220m D F =⋅-= 1m D F ⊥ 因为平面，所以平面；1D F ⊄11A EC 1//D F 11A EC（II ）由（1）得，，()12,2,2AC =设直线与平面所成角为，1AC 11A EC θ则111sin cos ,m A C AC m m C A θ⋅====⋅（III ）由正方体的特征可得，平面的一个法向量为，11AAC ()2,2,0DB =-则，cos ,DB m DB m DB m ⋅===⋅所以二面角.11A A C E --13=18. 已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且()222210x y a b a b+=>>F B BF =（1）求椭圆的方程；（2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交l M y N N BF x 轴于点．若，求直线的方程．P //MP BF l 【参考答案】（1）；（2）.2215x y +=0x y -=【解】（1）易知点、，故(),0F c ()0,Bb BF a ===因为椭圆的离心率为，故，，c e a ==2c =1b ==因此，椭圆的方程为；2215x y +=（2）设点为椭圆上一点，()00,M x y 2215x y +=先证明直线的方程为，MN 0015x xy y +=联立，消去并整理得，，00221515x xy y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩y 220020x x x x -+=2200440x x ∆=-=因此，椭圆在点处的切线方程为.2215x y +=()00,M x y 0015x x y y +=在直线的方程中，令，可得，由题意可知，即点，MN 0x =01y y =00y >010,N y ⎛⎫⎪⎝⎭直线的斜率为，所以，直线的方程为，BF 12BFb kc =-=-PN 012y x y =+在直线的方程中，令，可得，即点，PN 0y =012x y =-01,02P y ⎛⎫- ⎪⎝⎭因为，则，即，整理可得，//MP BF MPBF k k =2000002112122y y x y x y ==-++()20050x y +=所以，，因为，，故，，005x y =-222000615x y y +==00y ∴>0y=0x =所以，直线的方程为，即.l 1x y +=0x y -=19. 已知是公差为2的等差数列，其前8项和为64．是公比大于0的等比数列，{}n a {}n b．1324,48b b b =-=（I ）求和的通项公式；{}n a {}n b （II ）记，2*1,n n nc b b n N =+∈（i ）证明是等比数列；{}22n n c c -（ii）证明)*nk n N =<∈【参考答案】（I ），；（II ）（i ）证明见解析；（ii ）证明见解析.21,n a n n N *=-∈4,n n N b n *=∈【解】（I ）因为是公差为2的等差数列，其前8项和为64．{}n a 所以，所以，12818782642a a a a ⨯++⋅⋅⋅+=+⨯=11a =所以；()12121,n n n n N a a *=+-=-∈设等比数列的公比为，{}n b (),0q q >所以，解得（负值舍去），()221321484q b b b q q b q ==-=--4q =所以；114,n n n b q n N b -*==∈（II ）（i ）由题意，，221441n n n n n b c b =++=所以，22224211442444n n nn n nn c c ⎛⎫⎛⎫=+-+=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭-所以，且，220nn c c ≠-212222124424n n n n n nc c c c +++⋅==⋅--所以数列是等比数列；{}22n n c c -（ii ）由题意知，，()()22122222121414242222n n n n n n nn n a n n c c a +-+-==<-⋅⋅⋅，12n n-=所以，112nn k k k k -==<设，10121112322222nn k n k k n T --===+++⋅⋅⋅+∑则，123112322222n nn T =+++⋅⋅⋅+两式相减得，21111111122121222222212nn n n n nn n n T -⎛⎫⋅- ⎪+⎝⎭=+++⋅⋅⋅+-=-=--所以，1242n n n T -+=-所以1112422nn k n k k k n --==+⎫=-<⎪⎭20. 已知，函数．0a >()xf x ax xe =-（I ）求曲线在点处的切线方程：()y f x =(0,(0))f （II ）证明存在唯一的极值点()f x （III ）若存在a ，使得对任意成立，求实数b 的取值范围．()f x a b ≤+x ∈R 【参考答案】（I ）；（II ）证明见解析；（III ）(1),(0)y a x a =->[),e -+∞【解】（I ），则，()(1)x f x a x e =-+'(0)1f a '=-又，则切线方程为；(0)0f =(1),(0)y a x a =->（II ）令，则，()(1)0x f x a x e =-+='(1)x a x e =+令，则，()(1)x g x x e =+()(2)xg x x e =+'当时，，单调递减；当时，，单调递增，(,2)x ∈-∞-()0g x '<()g x (2,)x ∈-+∞()0g x '>()g x 当时，，，当时，，画出大致图像如下：x →-∞()0g x <()10g -=x →+∞()0g x >()g x所以当时，与仅有一个交点，令，则，且0a >y a =()y g x =()g m a =1m >-，()()0f m a g m '=-=当时，，则，单调递增，(,)x m ∈-∞()a g x >()0f x '>()f x 当时，，则，单调递减，(),x m ∈+∞()a g x <()0f x '<()f x 为的极大值点，故存在唯一的极值点；x m =()f x ()f x （III ）由（II ）知，此时，max ()()f x f m =)1(1,m a m e m +>-=所以，()2max {()}()1(1),mf x a f m a m m e m -=-=-->-令，()2()1,(1)x h x x x e x =-->-若存在a ，使得对任意成立，等价于存在，使得，即()f x a b ≤+x ∈R (1,)x ∈-+∞()h x b ≤，min ()b h x ≥，，()2()2(1)(2)x x h x x x e x x e =+-=+'-1x >-当时，，单调递减，当时，，单调递增，(1,1)x ∈-()0h x '<()h x (1,)x ∈+∞()0h x '>()h x 所以，故，min ()(1)h x h e ==-b e ≥-所以实数b 的取值范围.[),e -+∞。

2021年天津高考数学试卷一、选择题（本题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

）1、已知集合A={x∣√(x−1)<√3x∈N}，则集合A中元素的个数为()A.1B.2C.3D.4解析：首先解不等式√(x−1)<√3，由于平方函数在[0+∞)上是单调递增的，可以对两边平方得到x−1<3，即x<4。

考虑到x是自然数，所以x的取值范围是{123}。

因此，集合A中元素的个数为3。

答案：C2、若复数z满足(1+i)z=2i（其中i为虚数单位），则z的共轭复数¯z为()A.1-iB.-1+iC.1+iD.-1-i解析：已知(1+i)z=2i，要求出z，我们可以将等式两边同时除以(1+i)。

为了消去分母中的虚数部分，我们可以同时乘以(1-i)，即共轭复数。

这样，我们有：z=(2i)/(1+i)=(2i(1-i))/((1+i)(1-i))=(2i-2)/2=-1+i。

因此，z的共轭复数¯z为-1-i。

答案：D3、设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a7=10，则S8的值为()B.35C.40D.56解析：在等差数列{an}中，由等差数列的性质知，任意两项的和等于它们中间项的两倍，即a2+a7=2a5。

给定a2+a7=10，则2a5=10，得a5=5。

前8项和S8可以用等差数列的求和公式表示为：S8=8/2*(a1+a8)。

由于a8=a5+3d且a2=a5-3d（其中d为公差），我们可以用a5来表示a1和a8：a1=a5-4da8=a5+3d。

因此，S8=4*(a5-4d+a5+3d)=4*(2a5-d)。

但由于a2+a7=2a5，d在此情况下抵消，所以S8=4*2a5=8*5=40。

答案：C4、已知函数f(x)=√(4-x^2)/(x-1)，则函数的定义域为()A.[-22]B.(-21)∪(12]C.[-21)∪(12]D.(-∞-2]∪[2+∞)解析：函数f(x)有两部分需要考虑：分子中的√(4-x^2)和分母中的(x-1)。

2021年天津高考数学试卷第Ⅰ卷参考公式：·如果事件A 与事件B 互斥，那么()()()P A B P A P B =+． ·如果事件A 与事件B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =． ·球的表面积公式24πS R =，其中R 表示球的半径．一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设全集{3,2,1,0,1,2,3}U =---，集合{1,0,1,2},{3,0,2,3}A B =-=-，则()U A B =∩ A ．{3,3}-B ．{0,2}C ．{1,1}-D ．{3,2,1,1,3}---2．设a ∈R ，则“1a >”是“2a a >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 3．函数241xy x =+的图象大致为A BC D4．从一批零件中抽取80个，测量其直径（单位：m m ），将所得数据分为9组：[5.31,5.33),[5.33,5.35),,[5.45,5.47),[5.47,5.49]，并整理得到如下频率分布直方图，则在被抽取的零件中，直径落在区间[5.43,5.47)内的个数为A ．10B ．18C ．20D ．365．若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 A ．12πB ．24πC ．36πD ．144π6．设0.70.80.713,(),log 0.83a b c -===，则,,a b c 的大小关系为A ．a b c <<B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．设双曲线C 的方程为22221(0,0)x y a b a b -=>>，过抛物线24y x =的焦点和点(0,)b 的直线为l ．若C 的一条渐近线与l 平行，另一条渐近线与l 垂直，则双曲线C 的方程为A ．22144x y -= B ．2214y x -= C ．2214x y -= D ．221x y -= 8．已知函数π()sin()3f x x =+．给出下列结论：①()f x 的最小正周期为2π；②π()2f 是()f x 的最大值；③把函数sin y x =的图象上所有点向左平移π3个单位长度，可得到函数()y f x =的图象． 其中所有正确结论的序号是 A ．①B ．①③C ．②③D ．①②③9．已知函数3,0,(),0.x x f x x x ⎧≥=⎨-<⎩若函数2()()2()g x f x kx x k =--∈R 恰有4个零点，则k 的取值范围是A ．1(,)(22,)2-∞-+∞B ．1(,)(0,22)2-∞-C ．(,0)(0,22)-∞D ．(,0)(22,)-∞+∞ 第Ⅱ卷注意事项：1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上． 2．本卷共11小题，共105分．二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分． 10．i 是虚数单位，复数8i2i-=+_________． 11．在522()x x+的展开式中，2x 的系数是_________．12．已知直线80x +=和圆222(0)x y r r +=>相交于,A B 两点．若||6AB =，则r 的值为_________．13．已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．14．已知0,0a b >>，且1ab =，则11822a b a b+++的最小值为_________． 15．如图，在四边形ABCD 中，60,3B AB ∠=︒=，6BC =，且3,2AD BC AD AB λ=⋅=-，则实数λ的值为_________，若,M N 是线段BC 上的动点，且||1MN =，则DM DN ⋅的最小值为_________．三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．（本小题满分14分）在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知22,5,13a b c ===． （Ⅰ）求角C 的大小； （Ⅱ）求sin A 的值；（Ⅲ）求πsin(2)4A +的值．17．（本小题满分15分）如图，在三棱柱111ABC A B C -中，1CC ⊥平面,,2ABC AC BC AC BC ⊥==，13CC =，点,D E 分别在棱1AA 和棱1CC 上，且2,1,AD CE M ==为棱11A B 的中点．（Ⅰ）求证：11C M B D ⊥；（Ⅱ）求二面角1B B E D --的正弦值；（Ⅲ）求直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值． 18．（本小题满分15分）已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为(0,3)A -，右焦点为F ，且||||OA OF =，其中O为原点．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）已知点C 满足3OC OF =，点B 在椭圆上（B 异于椭圆的顶点），直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，且P 为线段AB 的中点．求直线AB 的方程． 19．（本小题满分15分）已知{}n a 为等差数列，{}n b 为等比数列，()()115435431,5,4a b a a a b b b ===-=-． （Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记{}n a 的前n 项和为n S ，求证：()2*21n n n S S S n ++<∈N ；（Ⅲ）对任意的正整数n ，设()21132,,,.n nn n n n n a b n a a c a n b +-+-⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩为奇数为偶数求数列{}n c 的前2n 项和．20．（本小题满分16分）已知函数3()ln ()f x x k x k =+∈R ，()f x '为()f x 的导函数． （Ⅰ）当6k =时，（i ）求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程； （ii ）求函数9()()()g x f x f x x'=-+的单调区间和极值； （Ⅱ）当3k ≥-时，求证：对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．2020年天津高考数学试卷答案1．C2．A3．A4．B5．C6．D7．D8．B9．D10．32i - 11．10 12．5 13．16；2314．415．16；13216.（Ⅰ）解：在ABC △中，由余弦定理及22,5,13a b c ===，有2222cos 22a b c C ab +-==．又因为(0,π)C ∈，所以π4C =． （Ⅱ）解：在ABC △中，由正弦定理及π,22,134C a c ===，可得sin 213sin 13a C A c ==． （Ⅲ）解：由a c <及213sin 13A =，可得2313cos 1sin 13A A =-=，进而2125sin 22sin cos ,cos 22cos 11313A A A A A ===-=．所以，πππ12252172sin(2)sin 2cos cos 2sin 44413213226A A A +=+=⨯+⨯=． 17.依题意，以C 为原点，分别以1,,CA CB CC 的方向为x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标系（如图），可得1(0,0,0),(2,0,0),(0,2,0),(0,0,3)C A B C ，11(2,0,3),(0,2,3),(2,0,1),(0,0,2)A B D E ，(1,1,3)M ．（Ⅰ）证明：依题意，1(1,1,0)C M =，1(2,2,2)B D =--，从而112200C M B D ⋅=-+=，所以11C M B D ⊥．（Ⅱ）解：依题意，(2,0,0)CA =是平面1BB E 的一个法向量，1(0,2,1)EB =，(2,0,1)ED =-．设(,,)x y z =n 为平面1DB E 的法向量，则10,0,EB ED ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即20,20.y z x z +=⎧⎨-=⎩不妨设1x =，可得(1,1,2)=-n ．因此有|||cos ,|A CA C CA⋅〈〉==n n n ，于是sin ,6CA〈〉=n 所以，二面角1B B E D -- （Ⅲ）解：依题意，(2,2,0)AB =-．由（Ⅱ）知(1,1,2)=-n 为平面1DB E 的一个法向量，于是cos ,||||AB AB AB ⋅==n n n 所以，直线AB 与平面1DB E 所成角的正弦值为3． 18．（Ⅰ）解：由已知可得3b =．记半焦距为c ，由||||OF OA =可得3cb ==．又由222a bc =+，可得218a =．所以，椭圆的方程为2118x +=． （Ⅱ）解：因为直线AB 与以C 为圆心的圆相切于点P ，所以AB CP ⊥．依题意，直线AB和直线CP 的斜率均存在．设直线AB 的方程为3y kx =-．由方程组223,1,189y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y ，可得()2221120k x kx +-=，解得0x =，或21221kx k =+.依题意，可得点B 的坐标为2221263,2121k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭．因为P 为线段AB 的中点，点A 的坐标为(0,3)-，所以点P 的坐标为2263,2121k k k -⎛⎫ ⎪++⎝⎭．由3OC OF =，得点C 的坐标为(1,0)，故直线CP 的斜率为2230216121k kk --+-+，即23261k k -+．又因为AB CP ⊥，所以231261k k k ⋅=--+，整理得22310k k -+=，解得12k =，或1k =．所以，直线AB 的方程为132y x =-，或3y x =-．19．（Ⅰ）解：设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由11a =，()5435a a a =-，可得1d =，从而{}n a 的通项公式为n a n =．由()15431,4b b b b ==-，又0q ≠，可得2440q q -+=，解得2q =，从而{}n b 的通项公式为12n n b -=．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可得(1)2n n n S +=，故21(1)(2)(3)4n n S S n n n n +=+++，()22211(1)24n S n n +=++，从而2211(1)(2)02n n n S S S n n ++-=-++<，所以221n n n S S S ++<． （Ⅲ）解：当n 为奇数时，()111232(32)222(2)2n n n n n nn n a b n c a a n n n n-+-+--===-++；当n 为偶数时，1112n n n n a n c b -+-==． 对任意的正整数n ，有222221112221212121k k nnnk k k c k k n --==⎛⎫=-=- ⎪+-+⎝⎭∑∑， 和22311211352144444nnk knk k k n c ==--==++++∑∑． ① 由①得22311113232144444n k n n k n n c +=--=++++∑． ② 由①②得22111211312221121441444444414n n k n n n k n n c ++=⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++-=---∑，从而得21565994nk nk n c =+=-⨯∑． 因此，2212111465421949n nnnk k k nk k k n c c c n -===+=+=--+⨯∑∑∑． 所以，数列{}n c 的前2n 项和为465421949n nn n +--+⨯． 20．（Ⅰ）（i ）解：当6k =时，3()6ln f x x x =+，故26()3f x x x'=+．可得(1)1f =，(1)9f '=，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为19(1)y x -=-，即98y x =-．（ii ）解：依题意，323()36ln ,(0,)g x x x x x x =-++∈+∞．从而可得2263()36g x x x x x'=-+-，整理可得323(1)(1)()x x g x x-+'=．令()0g x '=，解得1x =． 当x 变化时，(),()g x g x '的变化情况如下表：所以，函数()g x 的单调递减区间为(0,1)，单调递增区间为(1,)+∞；()g x 的极小值为(1)1g =，无极大值．（Ⅱ）证明：由3()ln f x x k x =+，得2()3kf x x x'=+． 对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，令12(1)x t t x =>，则 ()()()()()()()1212122x x f x f x f x f x ''-+--()22331121212122332ln x k k x x x x x x k x x x ⎛⎫⎛⎫=-+++--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3322121121212212332ln x x x x x x x x x k k x x x ⎛⎫=--++-- ⎪⎝⎭()332213312ln x t t t k t t t ⎛⎫=-+-+--⎪⎝⎭． ① 令1()2ln ,[1,)h x x x x x =--∈+∞．当1x >时，22121()110h x x x x ⎛⎫'=+-=-> ⎪⎝⎭，由此可得()h x 在[1,)+∞单调递增，所以当1t >时，()(1)h t h >，即12ln 0tt t -->．因为21x ≥，323331(1)0,3t t t t k -+-=->≥-，所以，()332322113312ln (331)32ln x t t t k t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫-+-+-->-+---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2336ln 31t t t t-=++-． ②由（Ⅰ）（ii ）可知，当1t >时，()(1)g t g >，即32336ln 1t t t t-++>， 故23336ln 10t t t t-++->． ③由①②③可得()()()()()()()12121220x x f x f x f x f x ''-+-->．所以，当3k ≥-时，对任意的12,[1,)x x ∈+∞，且12x x >，有()()()()1212122f x f x f x f x x x ''+->-．。