江西省南昌大学附属中学高中数学 第二章 平面向量第七节 向量应用举例(2)学案 必修4

2.7.2 向量的应用举例整体设计教学分析向量与物理学天然相联.向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰.并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题的认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.用向量研究物理问题的相关知识.(1)力、速度、加速度、位移等既然都是向量,那么它们的合成与分解就是向量的加、减法,运动的叠加亦用到向量的合成;(2)动量是数乘向量;(3)功即是力与所产生位移的数量积.用向量知识研究物理问题的基本思路和方法.①通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题;②认真分析物理现象,深刻把握物理量之间的相互关系;③利用向量知识解决这个向量问题,并获得这个向量的解;④利用这个结果,对原物理现象作出合理解释,即用向量知识圆满解决物理问题.教学中要善于引导学生通过对现实原型的观察、分析和比较,得出抽象的数学模型.例如,物理中力的合成与分解是向量的加法运算与向量分解的原型.同时,注重向量模型的运用,引导解决现实中的一些物理和几何问题.这样可以充分发挥现实原型对抽象的数学概念的支撑作用.三维目标1.通过力的合成与分解的物理模型,速度的合成与分解的物理模型,掌握利用向量方法研究物理中相关问题的步骤,明了向量在物理中应用的基本题型,进一步加深对所学向量的概念和向量运算的认识.2.通过对具体问题的探究解决,进一步培养学生的数学应用意识,提高应用数学的能力.体会数学在现实生活中的重要作用.养成善于发现生活中的数学,善于发现物理及其他科目中的数学及思考领悟各学科之间的内在联系的良好习惯.重点难点教学重点:1.运用向量的有关知识对物理中力的作用、速度的分解进行相关分析和计算.2.归纳利用向量方法解决物理问题的基本方法.教学难点:将物理中有关矢量的问题转化为数学中向量的问题.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.(情境导入)生活中,道路、路标体现了向量与位移、速度、力等物理量之间的密切联系.说明了向量的研究对象及研究方法.那么向量究竟是怎样应用于物理的呢？它就像高速公路一样,是一条解决物理问题的高速公路.在学生渴望了解的企盼中,教师展示物理模型,由此展开新课.思路2.(问题导入)你能举出物理中的哪些向量?比如力、位移、速度、加速度等,既有大小又有方向,都是向量,学生很容易就举出来.进一步,你能举出应用向量来分析和解决物理问题的例子吗?你是怎样解决的？教师由此引导:向量是有广泛应用的数学工具,对向量在物理中的研究,有助于进一步加深对这方面问题的认识.我们可以通过对下面若干问题的研究,体会向量在物理中的重要作用.由此自然地引入新课.推进新课应用示例例 1 在日常生活中,你是否有这样的经验:两个人共提一个旅行包,夹角越大越费力;在单杠上做引体向上运动,两臂的夹角越小越省力.你能从数学的角度解释这种现象吗?图1活动:这个日常生活问题可以抽象为如图1所示的数学模型,引导学生由向量的平行四边形法则,力的平衡及解直角三角形等知识来思考探究这个数学问题.这样物理中用力的现象就转化为数学中的向量问题.只要分析清楚F 、G 、θ三者之间的关系(其中,F 为F 1、F 2的合力),就得到了问题的数学解释.在教学中要尽可能地采用多媒体,在信息技术的帮助下让学生来动态地观察|F |、|G |、θ之间在变化过程中所产生的相互影响.由学生独立完成本例后,与学生共同探究归纳出向量在物理中的应用的解题步骤,也可以由学生自己完成,还可以用信息技术来验证.用向量解决物理问题的一般步骤是:①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.解:不妨设|F 1|=|F 2|,由向量的平行四边形法则、力的平衡以及直角三角形的知识,可以知道 cos 2cos 2||||||||21211θθG F F G =⇒=. 通过上面的式子,我们发现:当θ由0°到180°逐渐变大时,2θ由0°到90°逐渐变大,cos 2θ的值由大逐渐变小,因此|F 1|由小逐渐变大,即F 1,F 2之间的夹角越大越费力,夹角越小越省力.点评:本例是日常生活中经常遇到的问题,学生也会有两人共提一个旅行包以及在单杠上做引体向上运动的经验.本例的关键是作出简单的受力分析图,启发学生将物理现象转化成模型,从数学角度进行解释,这就是本例活动中所完成的事情.教学中要充分利用好这个模型,为解决其他物理问题打下基础.得到模型后就可以发现,这是一个很简单的向量问题,这也是向量工具优越性的具体体现.变式训练某人骑摩托车以20 km/h 的速度向西行驶,感到风从正南方向吹来,而当其速度变为40 km/h 时,他又感到风从西南方向吹来,求实际的风向和风速.图2解:如图2所示.设v 1表示20km/h 的速度,在无风时,此人感到的风速为-v 1,实际的风速为v,那么此人所感到的风速为v+(-v 1)=v-v 1. 令=-v 1,=-2v 1,实际风速为v . ∵DA +AB =DB , ∴=v -v 1,这就是骑车人感受到的从正南方向吹来的风的速度. ∵+AC =DC , ∴DC =v -2v 1,这就是当车的速度为40km/h 时,骑车人感受到的风速.由题意得∠DCA=45°,DB⊥AB,AB=BC,∴△DCA 为等腰三角形,DA=DC,∠DAC=∠DCA=45°. ∴DA=DC=2BC=202.∴|v |=202 km/h.答:实际的风速v 的大小是202km/h,方向是东南方向.例2 如图3所示,利用这个装置(冲击摆)可测定子弹的速度,设有一砂箱悬挂在两线下端,子弹击中砂箱后,陷入箱内,使砂箱摆至某一高度h.设子弹和砂箱的质量分别为m 和M,求子弹的速度v 的大小.图3解:设v 0为子弹和砂箱相对静止后开始一起运动的速度,由于水平方向上动量守恒,所以m|v |=(M+m)|v 0|.①由于机械能守恒,所以21(M+m)v 02=(M+m)gh.② 联立①②解得|v |=mmM gh 2. 又因为m 相对于M 很小, 所以|v|≈m Mgh 2, 即子弹的速度大小约为m M gh 2. 例3 一架飞机从A 地向北偏西60°的方向飞行1 000 km 到达B 地,然后向C 地飞行.设C 地恰好在A 地的南偏西60°,并且A,C 两地相距2 000 km,求飞机从B 地到C 地的位移.图4解:如图4,设A 在东西基线和南北基线的交点处.依题意,的方向是北偏西60°,｜｜=1 000 km;的方向是南偏西60°,｜｜=2 000 km,所以∠BAC=60°.过点B 作东西基线的垂线,交AC 于D,则△ABD 为正三角形.所以BD=CD=1 000 km, ∠CBD=∠BCD=21∠BDA=30°. 所以∠ABC=90°, BC=ACsin60°=2 000×23=1 0003(km), ｜｜=1 0003 km.答:飞机从B 地到C 地的位移大小是1 0003km,方向是南偏西30°.例4 已知力F 与水平方向的夹角为30°(斜向上),大小为50 N,一个质量为8 kg 的木块受力F 的作用在动摩擦因数μ=0.02的水平平面上运动了20 m.问力F 和摩擦力f 所做的功分别为多少?(g=10 m/s 2)图5解:如图5,设木块的位移为s,则F ·s =｜F ｜｜s ｜cos30°=50×20×23=5003(J). 将力F 分解,它在铅垂方向上的分力F 1的大小为 ｜F 1｜=｜F ｜sin30°=50×21=25(N), 所以,摩擦力f 的大小为｜f ｜=｜μ(G -F 1)｜=(80-25)×0.02=1.1(N).因此f ·s =｜f ｜｜s ｜cos180°=1.1×20×(-1)=-22(J).答:F 和f 所做的功分别是5003J 和-22 J.知能训练1.一艘船以4 km/h 的速度沿着与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过3小时,该船实际航程为( ) A.215 km B.6 km C.84km D.8 km2.如图6,已知两个力的大小和方向,则合力的大小为 N;若在图示坐标系中,用坐标表示合力F ,则F =____________.图63.一艘船以5 km/h 的速度向垂直于对岸的方向行驶,而该船实际航行的方向与水流方向成30°角,求水流速度与船的实际速度.解答:1.B点评:由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理,所以要通过作高来求. 2.41 (5,4)3.解:如图7所示,设表示水流速度,OB 表示船垂直于对岸的速度,OC 表示船的实际速度,∠AOC=30°,|OB |=5 km/h.图7因为四边形OACB 为矩形,所以|OA |=||·cot30°=||·cot30°=53≈8.66 km/h, |OC |=233530cos || OA =10 km/h. 答:水流速度为8.66 km/h,船的实际速度为10 km/h.点评:转化为数学模型,画出向量图,在直角三角形中解出.课堂小结1.与学生共同归纳总结利用向量解决物理问题的步骤.①问题的转化,即把物理问题转化为数学问题;②模型的建立,即建立以向量为主体的数学模型;③参数的获得,即求出数学模型的有关解——理论参数值;④问题的答案,即回到问题的初始状态,解释相关的物理现象.2.与学生共同归纳总结向量在物理中应用的基本题型.①力、速度、加速度、位移都是向量;②力、速度、加速度、位移的合成与分解对应相应向量的加减;③动量mv 是数乘向量,冲量Δt F 也是数乘向量;④功是力F 与位移s 的数量积,即W =F ·s .作业1.课本习题2—7 A 组4,B 组2.2.归纳总结物理学中哪些地方可用向量.设计感想1.本教案设计的指导思想是:由于本节重在解决两个问题,一是如何把物理问题转化成数学问题,也就是将物理量之间的关系抽象成数学模型;二是如何用建立起来的数学模型解释和回答相关的物理现象.因此本教案设计的重点也就放在怎样让学生探究解决这两个问题上.而把这个探究的重点又放在这两个中的第一个上,也就是引导学生认真分析物理现象、准确把握物理量之间的相互关系.通过抽象、概括,把物理现象转化为与之相关的向量问题,然后利用向量知识解决这个向量问题.2.经历是最好的老师.充分让学生经历分析、探究并解决实际问题的过程,这也是学习数学,领悟思想方法的最好载体.学生这种经历的实践活动越多,解决实际问题的方法就越恰当而简捷.教科书中对本节的两个例题的处理方法,都不是先给出解法,而是先进行分析,探索出解题思路,再给出解法,就足以说明这一点.3.突出数形结合的思想.教科书例题都是先画图进行分析的,本教案的设计中也突出了这一点.让学生在活动的时候就先想到画图,并在这个活动中,体会数形结合的应用,体会数学具有广泛的应用,体会向量这个工具的优越性.备课资料一、向量与重心问题假如有两个质点M 1,M 2,它们的质量分别是m 1,m 2,由物理学知识,这两个质点的重心M 在线段M 1M 2上,并且分此线段为与质量成反比例的两部分,即,1221m m MM M M =或m 1221MM m M = 现设点M 1、M 2、M,对应的向量分别是r 1、r 2、r ,则上式可以写成m 1(r -r 1)=m 2(r 2-r ).所以r =212211m m r m r m ++,点M 处的质量为m 1+m 2. 现求三个质点的重心问题.三个质点M 1、M 2、M 3的质量分别是m 1、m 2、m 3,所对应的向量分别是r 1、r 2、r 3,我们可设M 1,M 2的重心在点D 处,该处对应的向量为r D =212211m m r m r m ++,该点的质量为m 1+m 2,然后求点D 与点M 3的重心M 所对应的向量r,易得r =321332211m m m r m r m r m ++++. 二、备用习题1.作用于同一点的两个力F 1和F 2，|F 1|=5,|F 2|=3,夹角为60°，则F 1+F 2的大小为_________.2.一条渔船距对岸为4 km,现正以2 km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,到达对岸时,船的实际航程为8 km,求河水的流速.3.在半径为15 cm 的均匀铁板上,挖出一个圆洞,已知圆洞的圆心和铁板中心相距8 cm,圆洞的半径是5 cm,求挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.如图13所示,重力为G 的均匀小球放在倾角为α的斜面上,球被与斜面夹角为θ的木板挡住,球面、木板均光滑,若使球对木板的压力最小,求木板与斜面间夹角θ的大小.图13参考答案:1.72.如图14所示,设AB 表示船垂直于对岸的速度,则AB +=,图14 知就是渔船实际航行的速度.因为航行的时间为4÷2=2(h), 所以在Rt△ABC 中,||=2 km/h,||=8÷2=4 km/h,则|BC |=32km/h. 答:河水的流速为32km/h.3.如图15所示,建立平面直角坐标系,两圆的圆心分别为O 1(0,0),O 2(8,0),圆O 2是挖去的圆,不妨设铁板的密度为ρ=1,则小圆的质量m 1=25π,挖去圆洞后,铁板的质量为m 2=(225-25)π=200π,设所求的重心为O 3.图15根据物理学知识,知O 3在直线O 1O 2上,即可设O 3(x 3,0),且满足2113O O O O λ=,其中λ=812002521==m m .由定比分点坐标公式,知0=8118813+⨯+x ,解得x 3=-1,即O 3(-1,0)为挖去圆洞后所剩下铁板的重心.4.对小球的受力分析如图13所示,重力为G ,斜面弹力为N 2(垂直于斜面向上),木板弹力N 1(垂直于木板),其中N 1与N 2的合力的大小恒为|G ′|,方向向上,N 2的方向始终不变,随着木板的转动,N 1的方向始终垂直于木板,N 1的大小在变化,且满足θsin |'|sin ||1G a N =, 又|G ′|=|G |,∴|N 1|=θsin sin ||a G . ∴当sin θ取最大值1时,|N 1|min =|G |sin α,此时θ=2π.。

【必修4】第二章 平面向量第三节 从速度的倍数到数乘向量（2）学时: 1学时 【学习引导】 一、自主学习1. 阅读课本8384P P -． 2. 回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？ （2）层次间的联系是什么？（3）平面内向量如何用两个不共线的向量来表示？ （4）平面向量基本定理有什么具体的应用？ 3. 84P 练习 4. 小结. 二、方法指导1. 本节内容的重点是平面向量基本定理的判定及应用。

1. 平面向量基本定理是向量法的理论基础。

这个定理揭示了平面向量是由平面内两个不共线的向量“生成”的它不仅提供了向量的几何表示的方法，同时也为下一节的坐标学习打好基础，使得几何问题可以通过代数运算来解决。

【思考引导】 一．提问题1. 平面内任一向量是否可以用两个不共线的向量来表示？2. 什么是基底？任意的两个向量都能做基底？基底唯一吗？3. ABCD 的对角线AC 和BD 交于点M ，==,，试用基底a，表示MB ,。

二．变题目1. 在四边形ABCD 中，2AB a b =+ ，4BC a b =-- ，53CD a b =-- ，其中,a b不共线，则四边形ABCD 为 （ ）A ．平行四边形B ．矩形C ． 梯形D ．菱形2．已知OA a = ，OB b = ，AOB ∠的平分线OM 交AB 于点M ，则向量OM 可表示为 ( )A ．a b a b+ B ．(a ba b λ+ C ．a ba b ++D ． b a a b a b++3．如果12,e e是平面α内两个不共线的向量，有下列命题：（1）12e e λμ+(,)R λμ∈可以表示平面α内的所有向量；（2）对于平面α内任一向量a ，使a = 12e e λμ+的实数对(,)λμ有无穷多个；（3）若向量1112e e λμ+ 与2122e e λμ+共线，则有且只有一个实数λ ，使得1112e e λμ+=2122()e e λλμ+ ；（4）若实数,λμ使得120e e λμ+=，则0λμ==.其中不正确的命题的序号为 .4.若,a b 不共线，2c a b =- ，32d a b =- ，则,c d能作为基底吗？5. 已知三角形OAB 中，点C 和点B 关于A 对称，D 是OB 上靠近B 的三等分点，设,OA a OB b ==，用,a b 表示,OC DC .【总结引导】平面向量基本定理：【拓展引导】一、课外作业：85P 习题2-3 A 组 1，2，3，4 二、课外思考：已知AOB ∆，其中OA a = ，OB b =，M ，N 分别为边OA ，OB 上的点，且13OM a = ，12ON b = ，设AN 与BM 相交于点P ，用向量,a b表示OP .参 考 答 案【思考引导】 二．变题目1.C ；2.B ；3.（2）（3）；4.能5.解 11233OC OB BC a b OD OB b ∴=+=-==BA OA OB a b =-=- ，又222BC BA a==- 2OC OB BC a b ∴=+=-又 D 为OB 的三等分点1133OD OB b ==C523DC OC OD a b ∴=-=-【拓展引导】1.解： A,P,N 三点共线，AP AN λ= ，B,P,M 三点共线，BP BM μ=OP OA AP OA AN λ=+=+ ()OA ON OA λ=+-11(1)22a b a a b λλλ⎛⎫=+-=-+ ⎪⎝⎭又(OP OB BP OB BM OB μμ=+=+=+ 11()(1)33b a b a b μμμ=+-=+-由平面向量基本定理可知1(1)3μλ=- 1μ-计算得43,55λμ==1255OP a b =+B。

【必修4】第二章 平面向量第七节 向量应用举例（1） 学时1学时【学习引导】一、自主学习1. 阅读课本99100P P -例1止． 2. 回答问题（1）课本内容分成几个层次？每个层次的中心内容是什么？（2）层次间的联系是什么？（3）你所知道的实际生活中有哪些向量的应用？3. 完成100P 练习4. 小结.二、方法指导本节主要介绍了利用向量的方法解决某些简单的平面几何问题、力学问题与其他一些实际问题。

同学在学习本节内容时应学会如何用向量语言来描述和表示问题中的几何关系，实现向量知识与这些几何知识的整合，从而建立适当的数学模型来解决问题。

【思考引导】一．提问题1.什么是直线的法向量？直线的法向量唯一吗？直线的法向量与直线的方向向量存在什么关系？2.直线的点法式方程如何表示？3.如何利用直线的法向量判断直线的位置关系？4. 你能写出平面上定点00(,)M x y 到直线l ：0ax by c ++=的距离公式吗？ 试表达并证明此公式.5.已知直线1l ：10ax by c ++=，直线2l ：20ax by c ++=，若1l ∥2l如何求出这两条平行直线间的距离？你能发现其中的运算公式吗？二．变题目1.已知(1,2)A ，(2,3)B ，(2,5)C -，则ABC ∆为 （ ）A.直角三角形B.锐角三角形C.钝角三角形D.等边三角形2.已知直线l ：260mx y ++=，向量(1,1)m -与l 平行，则实数m 的值为（ ）A. -1B. 1C.2D. -1或23. 已知点(1,2),(3,1)A B ,则线段AB 的垂直平分线的方程是（ ）A. 425x y +=B. 425x y -=C. 25x y +=D. 25x y -=4.直线1l ：230x y -+=，那么直线1l 的方向向量1a 为________(注：只需写出一个正确答案即可)；直线2l 过点()1,1-，并且2l 的方向向量2a 与1a 满足120a a ⋅=，则2l 的方程 为__________________________.【总结引导】a) 点到直线的距离：b) 直线的法向量：【拓展引导】一、课外作业：102P 习题2-7 A 组 1，2，3，4二、课后思考：1.两个粒子,a b 从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分(4,3),(2,10)a b S S ==.（1）写出此时粒子b 相对粒子a 的位移S ；（2）计算S 在a S 方向上的射影.参 考 答 案【思考引导】一、提问题1. 如果向量n 与直线l 垂直，则称向量n 为直线l 的法向量； 直线的法向量有无数个；直线的法向量与直线的方向向量垂直.2. 若直线l 的法向量(,)n A B =，且过点000(,)P x y ，(,)P x y 为直线上任意一点，则直线的点法式方程为00()()0A x x B y y -+-=3. 若两条直线的法向量平行，则两直线平行或重合；若两条直线的法向量垂直，则两直线垂直；若两条直线的法向量的夹角为θ，则两直线的夹角为θ或πθ-4. d =利用直线的方向向量与法向量来证明5. d =二、变题目1. A2. D3. B4. 1(1,)2； 210x y +-= 【拓展引导】（1）(2,7)-（2）135。