6-5 驻波

⼤学物理实验教案6驻波法测振动频率⼤学物理实验教案实验名称：驻波法测振动频率实验⽬的：1、求出弦线线密度；2、观察弦线上的驻波；3、绘出弦线上横波波长与张⼒的关系；4、测出弦振动的频率。

实验仪器：电振⾳叉（频率约为Hz 100）弦线滑轮砝码托砝码（5个）钢卷尺螺丝⼑电⼦天平实验原理：1、弦线上横波传播速度（⼀）如图1所⽰，将细弦线的⼀端固定在电振⾳叉的⼀个叉⼦顶端上，另⼀端绕过滑轮挂上砝码。

闭合电源K 后，调节⾳叉断续器的接触点螺丝k '，使⾳叉维持稳定的振动，并将其振动沿弦线向滑轮⼀端传播，形成横波。

当横波到达B 点后产⽣反射，由于前进波与反射波能够满⾜相⼲条件，在弦线上形成驻波，⽽任意两个相邻的波节（或波腹）间的距离都为波长的⼀半。

适当调节砝码重量或弦长（⾳叉端到滑轮轴间的线长），在弦上将出现稳定的图1 强烈的振动，即弦与⾳叉共振（弦振动频率应当和⾳叉的频率f 相等）。

弦共振时，驻波的振幅最⼤，⾳叉端为稍许振动的节点（⾮共振时，⾳叉端不是驻波的节点），若此时弦上有n 个半波区，则n l 2=λ，弦上的波速v 则为：f v λ= （1）即：f nlv 2= （1’）2、弦线上横波传播速度（⼆）若横波在张紧的弦线上沿x 轴正⽅向传播，我们取ds AB =的微元段加以讨论（图2）。

设弦线的线密度（即单位长质量）为ρ，则此微元段弦线ds 的质量为ds ρ。

在A 、B 处受到左右邻段的张⼒分别为1T F 、2T F，xy图2其⽅向为沿弦线的切线⽅向与x 轴交成1α、2α⾓。

由于弦线上传播的横波在x ⽅向⽆振动，所以作⽤在微元段ds 上的张⼒的x 分量应该为零，即：0cos cos 1122=-ααT T F F （2）⼜根据⽜顿第⼆定律，在y ⽅向微元段的运动⽅程为：221122sin sin dtyd ds F F T T ραα=- （3）对于⼩的振动，可取dx ds ≈，⽽1α、2α都很⼩，所以1cos 1≈α，1cos 2≈α，11sin ααtg ≈，22sin ααtg ≈。

实验6 弦线上的驻波[实验目的]1．了解弦线上的驻波。

2．通过弦线振动测定弦振动的频率。

3．测量弦线上横波的传播速度。

[实验仪器]XZDY-B型固定均匀弦振动仪、砝码等。

[仪器介绍]XZDY-B型固定均匀弦振动仪是一种自带数字显示频率的高精确度仪器。

调节面板上的频率旋钮，移动支撑弦线的劈尖的位置，能明显观察到驻波。

实验装置如图象1所示。

其中①、⑥香蕉插头座(接弦线)，②频率显示，③电源开关，④频率调节旋钮，⑤磁钢，⑦砝码盘，⑧米尺，⑨弦线，⑩滑轮及托架，A、B两劈尖(滑块)。

图1 XZDY-B型固定均匀弦振动仪示意图将电源接通。

这样，在磁场的作用下，通有正弦交变电流的弦线就会振动。

根据需要，可以调节频率调节旋钮，从显示器上读出所需频率。

移动磁铁的位置，使弦振动调整到最佳状态(使弦振动的振动面与磁场方向完全垂直)。

移动劈尖的位置，可以改变弦线的长度。

注意：⑴、改变挂在弦线一端的砝码后，要使砝码稳定后再测量。

⑵、在移动劈尖调节驻波时用力要轻，磁铁应在两劈尖之间，且不能处于波节位置，不要将磁铁在槽外移动。

[实验原理]设一均匀弦线，一端由劈尖A支住，另一端由劈尖B支撑。

对均匀弦线扰动，引起弦线上质点的振动，于是波动就由A端朝B端方向传播，称为入射波，再由B端反射沿弦线朝A端传播，称为反射波。

入射波与反射波在同一条弦线上沿相反方向传播时将相互干涉，移动劈尖B到适合位置，弦线上将形成驻波。

这时，弦线上的波被分成几段且每段波两端的点始终静止不动，而中间的点振幅最大。

这些始终静止的点称为波节，振幅最大的点称为波腹。

驻波的形成如图2所示。

下面用筒谐表达式对驻波进行定量描述。

设有两列筒谐波沿X 轴方向传播，它们的振幅相等，传播方向相反。

其中沿X 轴正方向传播的波为入射波，沿X 轴负方向传播的为反射波，取它们振动位相始终相同的点作坐标原点，且在X=0处，振动质点向上达最大位移时开始计时，则它们的振动方程为：)(2cos 1λπx ft A y -=（1）)(2cos 2λπx ft A y +=（2）式中A 为筒谐波的振幅，f 为频率，λ为波长，x 为弦线上质点的坐标位置。

第六章 海洋中的波动现象海洋中的波动是海水的重要运动形式之一。

从海面到海洋内部处处都可能出现波动。

波 动的基本特点是， 在外力的作用下， 水质点离开其平衡位置作周期性或准周期性的运动。

由于流体的连续性， 必然带动其邻近质点， 导致其运动状态在空间的传播， 因此运动随时间与 空间的周期性变化为波动的主要特征。

实际海洋中的波动是一种十分复杂的现象， 严格说， 是，作为最低近似可以把实际的海洋波动看作是简单波动研究简单波动入手来研究海洋中的波动是一种可行的方法。

接应用于解释海洋波动的性质[1 3]§ 6.1 概述6.1.1 波浪要素一个简单波动的剖面可用一条正弦曲线加以描述。

如图 6-1 所示， 曲线的最高点称为波峰，曲线的最低点称为波谷，相邻两波峰（或波谷）之间的水平距离称为波长（ ）相邻两波峰 （或者波谷） 通过某固定点所经历的时间称为周期 （ T ） 。

显然， 波形传播的速度 c /T 。

从波峰到波谷之间的铅直距离潮位波高 （ H ） ， 波高的一半 a= H/ 2称为振幅， 是指水质点 离开其平衡位置的向上 （或向下） 的最大铅直距离。

波高与波长之比称为波陡， 以 （H / ）表示。

在直角坐标系中取海面为 x y 平面，设波动沿 x 方向传播，波峰在 y 方向将形成一条线，该线称为波峰线，与波峰线垂直指向波浪传播方向的线称为波向线。

图 6-1 波浪要素它们都不是真正的周期性变化。

但海海6.1.2 海洋中的波浪海洋中的波浪有很多种类，引起的原因也各不相同。

例如海面上的风应力，海底及海岸附近的火山、地震，大气压力的变化，日、月引潮力等。

被激发的各种波动的周期可从零点几秒到数小时以上，波高从几毫米到几十米，波长可以从几毫米到几千千米。

海洋中波动的周期和相对能量的关系如图6-2 所示。

由风引起的周期从1~30s 的波浪所占能量最大；周期从30s 至5min ，为长周期重力波，多以长涌或先行涌的形式存在；一般是由风暴系统引起的。

第四章习题参考答案带状线为双导体结构，中间填充均匀介质，所以能传输TEM 导波，且为带状线的工作模式。

4.1可由P.107:4.1-7式计算特性阻抗0Z 由介质r ε，导体带厚度与接地板高度的比bt ，以及导体带宽度与接地板高度的比bW确定。

Ω=45.690Z4.5可由P.107:4.1-6式计算⎪⎩⎪⎨⎧>--<=1206.085.012000Z x Z x b W r r εε 其中： 441.0300-=Z x r επ已知：1202.74502.20<=⨯=Z r ε 83.0441.02.7430441.0300=-=-=πεπZ x r 所以： )(66.283.02.3mm bx W =⨯==衰减常数P.109:4.1-10：d c ααα+=c α是中心导体带和接地板导体的衰减常数，d α为介质的衰减常数。

TEM 导波的介质损耗为：)/(2m Np ktg d δα=，其中εμω'=k 由惠勒增量电感法求得的导体衰减常数为)/(m Np ：P.111:4.1-11⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧Ω>Ω<-⨯=-12016.0120)(30107.200003Z B b Z R Z A t b Z R r s r r s c εεπεα 其中：⎪⎭⎫⎝⎛--++-+=t t b t b t b t b W A 2ln 121π ⎪⎭⎫⎝⎛++-++++=t W W t t b t b t W b B πππ4ln 21414.05.01)7.05.0(1)/(155.02001.0100.32.21010222289m Np tg c f ktg r d =⨯⨯===πδεπδα 铜的表面电阻在10GHz 下Ω==026.02σωμs R ，74.4=A m Np A t b Z R r s c /122.0)(30107.203=-⨯=-πεαm Np d c /277.0=+=αααdB e Np 686.8lg 1012==m dB m Np d c /41.2/277.0==+=ααα4.6可由P.107:4.1-6式计算⎪⎩⎪⎨⎧>--<=1206.085.012000Z x Z x b W r r εε 其中: 441.0300-=Z x r επ已知：1204.1481002.20>=⨯=Z r ε 194.0441.04.14830441.0300=-=-=πεπZ x r 所以： )(67.02128.016.3)6.085.0(mm x b W =⨯=--= 在10GHz ，带状线的波长为：cm fcr 02.210102.210398=⨯⨯⨯==ελ4.16可由P.130:4.3-27式计算已知Ω=700e Z ，Ω=300o Z ，mm b 4=，1.2=r ε3813.3300==re e Z A ε648.02212212143813.33813.3214=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=e e e e k e eA A e45.1300==ro o Z A ε99.022222=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=o o A A o e e k ππ68.02==o e k k arctg b W π015.0112=⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=oee o k k k k arctg b S π mm b 4=mm W 7.268.04=⨯= mm S 06.0015.04=⨯=廖承恩第6章习题6－5 求图6－1 所示的对称二端口网络的归一化ABCD 矩阵，并求不引起附加反射的条件。

习题66-5 在真空中，有两根互相平行的无限长直导线L 1和L 2，相距0.10 m ，通有方向相反的电流，120A I =，210A I =，如题6-5图所示.A ，B 两点与导线在同一平面内.这两点与导线L 2的距离均为5.0 cm.试求A ，B 两点处的磁感应强度，以及磁感应强度为零的点的位置.题6-5图解：如题6-5图所示,A B方向垂直纸面向里42010102.105.02)05.01.0(2-⨯=⨯+-=πμπμI I B A T(2)设0=B在2L 外侧距离2L 为r 处 则02)1.0(220=-+rI r Iπμπμ 解得 1.0=r m6-7 设题6-7图中两导线中的电流均为8 A ，对图示的三条闭合曲线a ，b ，c ，分别写出安培环路定理等式右边电流的代数和.并讨论：(1)在各条闭合曲线上，各点的磁感应强度B 的大小是否相等？ (2)在闭合曲线c 上各点的B 是否为零？为什么？题6-7图解： ⎰μ=⋅al B 08d⎰μ=⋅bal B 08d⎰=⋅cl B 0d(1)在各条闭合曲线上，各点B的大小不相等．(2)在闭合曲线C 上各点B 不为零．只是B 的环路积分为零而非每点0=B．题6-10图6-10 如题6-10图所示，在长直导线AB 内通以电流120A I =，在矩形线圈CDEF 中通有电流210A I =，AB 与线圈共面，且CD ，EF 都与AB 平行.已知a ＝9.0 cm ，b ＝20.0 cm ，d ＝1.0 cm ，求：(1)导线AB 的磁场对矩形线圈每边所作用的力； (2)矩形线圈所受合力和合力矩. 解：(1)CD F方向垂直CD 向左，大小4102100.82-⨯==dI bI F CD πμ N 同理FE F方向垂直FE 向右，大小5102100.8)(2-⨯=+=a d I bI F FE πμ NCF F方向垂直CF 向上，大小为⎰+-⨯=+πμ=πμ=a d dCF dad I I r r I I F 5210210102.9ln 2d 2 N ED F方向垂直ED 向下，大小为5102.9-⨯==CF ED F F N(2)合力ED CF FE CD F F F F F+++=方向向左，大小为4102.7-⨯=F N合力矩B P M m⨯=∵ 线圈与导线共面∴ B P m//0=M．题6-12图6-12 一长直导线通有电流120A I =，旁边放一导线ab ，其中通有电流210A I =，且两者共面，如题6-12图所示.求导线ab 所受作用力对O 点的力矩. 解：在ab 上取r d ，它受力ab F ⊥d 向上，大小为 rI rI F πμ2d d 102= F d 对O 点力矩F r M ⨯=d Md 方向垂直纸面向外，大小为r I I F r M d 2d d 210πμ== ⎰⎰-⨯===ba bar II M M 6210106.3d 2d πμ m N ⋅题6-13图6-13 电子在47010T B -=⨯的匀强磁场中作圆周运动，圆周半径r ＝3.0 cm.已知B 垂直于纸面向外，某时刻电子在A 点，速度v 向上，如题6-13图所示.(1)试画出这电子运动的轨道； (2)求这电子速度v 的大小； (3)求这电子的动能k E . 解：(1)轨迹如图题6-13图(2)∵ rv m evB 2=∴ 7107.3⨯==m eBrv 1s m -⋅ (3) 162K 102.621-⨯==mv E J习题77-1 一半径r ＝10 cm 的圆形回路放在B ＝0.8 T 的均匀磁场中，回路平面与B 垂直.当回路半径以恒定速率=80drdtcm/s 收缩时，求回路中感应电动势的大小. 解: 回路磁通 2πr B BS m ==Φ 感应电动势大小40.0d d π2)π(d d d d 2====trr B r B t t m Φε V题7-37-3 如题7-3图所示，在两平行载流的无限长直导线的平面内有一矩形线圈.两导线中的电流方向相反、大小相等，且电流以d Id t的变化率增大，求：(1)任一时刻线圈内所通过的磁通量； (2)线圈中的感应电动势. 解: 以向外磁通为正则(1) ]ln [lnπ2d π2d π2000dad b a b Ilr l r Ir l r Iab b ad d m +-+=-=⎰⎰++μμμΦ (2) tIb a b d a d l t d d ]ln [ln π2d d 0+-+=-=μΦε题7-47-4 如题7-4图所示，长直导线通以电流I ＝5 A ，在其右方放一长方形线圈，两者共面.线圈长b ＝0.06 m ，宽a ＝0.04 m ，线圈以速度v ＝0.03 m/s 垂直于直线平移远离.求：d ＝0.05 m 时线圈中感应电动势的大小和方向.解: AB 、CD 运动速度v方向与磁力线平行，不产生感应电动势． DA 产生电动势⎰==⋅⨯=AD I vb vBb l B v d2d )(01πμεBC 产生电动势)(π2d )(02d a Ivbl B v CB+-=⋅⨯=⎰με∴回路中总感应电动势8021106.1)11(π2-⨯=+-=+=ad d Ibv μεεε V 方向沿顺时针．习题88-1 质量为10×10－3 kg 的小球与轻弹簧组成的系统，按20.1cos(8)3x t ππ=+(SI)的规律做谐振动，求：(1)振动的周期、振幅、初位相及速度与加速度的最大值；(2)最大的回复力、振动能量、平均动能和平均势能，在哪些位置上动能与势能相等？ (3)t 2＝5 s 与t 1＝1 s 两个时刻的位相差. 解：(1)设谐振动的标准方程为)cos(0φω+=t A x ，则知：3/2,s 412,8,m 1.00πφωππω===∴==T A 又 πω8.0==A v m 1s m -⋅ 51.2=1s m -⋅2.632==A a m ω2s m -⋅(2) N 63.0==m m a FJ 1016.32122-⨯==m mv E J 1058.1212-⨯===E E E k p当p k E E =时，有p E E 2=， 即)21(212122kA kx ⋅= ∴ m 20222±=±=A x (3) ππωφ32)15(8)(12=-=-=∆t t8-2 一个沿x 轴做简谐振动的弹簧振子，振幅为A ，周期为T ，其振动方程用余弦函数表出.如果t ＝0时质点的状态分别是：(1)x 0＝－A ；(2)过平衡位置向正向运动；(3)过2Ax =处向负向运动； (4)过x =处向正向运动.试求出相应的初位相，并写出振动方程.解：因为 ⎩⎨⎧-==000sin cos φωφA v A x将以上初值条件代入上式，使两式同时成立之值即为该条件下的初位相．故有)2cos(1πππφ+==t T A x )232cos(232πππφ+==t T A x)32cos(33πππφ+==t T A x)452cos(454πππφ+==t T A x8-3 一质量为10×10－3 kg 的物体做谐振动，振幅为24 cm ，周期为4.0 s ，当t ＝0时位移为＋24 cm.求：(1)t ＝0.5 s 时，物体所在的位置及此时所受力的大小和方向； (2)由起始位置运动到x ＝12 cm 处所需的最短时间； (3)在x ＝12 cm 处物体的总能量. 解：由题已知 s 0.4,m 10242=⨯=-T A ∴ 1s rad 5.02-⋅==ππωT又，0=t 时，0,00=∴+=φA x 故振动方程为m )5.0cos(10242t x π-⨯=(1)将s 5.0=t 代入得0.17m m )5.0cos(102425.0=⨯=-t x πN102.417.0)2(10103232--⨯-=⨯⨯⨯-=-=-=πωxm ma F方向指向坐标原点，即沿x 轴负向． (2)由题知，0=t 时，00=φ，t t =时 3,0,20πφ=<+=t v A x 故且 ∴ s 322/3==∆=ππωφt (3)由于谐振动中能量守恒，故在任一位置处或任一时刻的系统的总能量均为J101.7)24.0()2(10102121214223222--⨯=⨯⨯⨯===πωA m kA E8-5 题8-5图为两个谐振动的x －t 曲线，试分别写出其谐振动方程.题8-5图解：由题8-5图(a)，∵0=t 时，s 2,cm 10,,23,0,0000===∴>=T A v x 又πφ 即 1s rad 2-⋅==ππωT故 m )23cos(1.0ππ+=t x a 由题8-5图(b)∵0=t 时，35,0,2000πφ=∴>=v A x01=t 时，22,0,0111ππφ+=∴<=v x又 ππωφ253511=+⨯= ∴ πω65=故 m t x b )3565cos(1.0ππ+=习题99-4 已知波源在原点的一列平面简谐波，波动方程为y ＝A cos (Bt －Cx )，其中A ，B ，C 为正值恒量.求：(1)波的振幅、波速、频率、周期与波长；(2)写出传播方向上距离波源为l 处一点的振动方程；(3)任一时刻，在波的传播方向上相距为d 的两点的位相差. 解: (1)已知平面简谐波的波动方程)cos(Cx Bt A y -= (0≥x )将上式与波动方程的标准形式)22cos(λππυxt A y -=比较，可知： 波振幅为A ，频率πυ2B =， 波长C πλ2=，波速CB u ==λυ， 波动周期BT πυ21==．(2)将l x =代入波动方程即可得到该点的振动方程)cos(Cl Bt A y -=(3)因任一时刻t 同一波线上两点之间的位相差为 )(212x x -=∆λπφ将d x x =-12，及Cπλ2=代入上式，即得 Cd =∆φ．9-5 沿绳子传播的平面简谐波的波动方程为y ＝0.05cos(10πt －4πx )，式中x ，y 以m 计，t 以s 计.求：(1)波的波速、频率和波长；(2)绳子上各质点振动时的最大速度和最大加速度；(3)求x ＝0.2 m 处质点在t ＝1 s 时的位相，它是原点在哪一时刻的位相？这一位相所代表的运动状态在t ＝1.25 s 时刻到达哪一点？ 解: (1)将题给方程与标准式)22cos(x t A y λππυ-=相比，得振幅05.0=A m ，频率5=υ1-s ，波长5.0=λm ，波速5.2==λυu 1s m -⋅．(2)绳上各点的最大振速，最大加速度分别为ππω5.005.010max =⨯==A v 1s m -⋅222max 505.0)10(ππω=⨯==A a 2s m -⋅(3)2.0=x m 处的振动比原点落后的时间为08.05.22.0==u x s 故2.0=x m ,1=t s 时的位相就是原点(0=x )，在92.008.010=-=t s 时的位相， 即 2.9=φπ．设这一位相所代表的运动状态在25.1=t s 时刻到达x 点，则825.0)0.125.1(5.22.0)(11=-+=-+=t t u x x m9-7 如题9-7图所示，S 1和S 2为两相干波源，振幅均为A 1，相距λ4，S 1较S 2位相超前π2，求：题9-7图(1)S 1外侧各点的合振幅和强度；(2)S 2外侧各点的合振幅和强度.解：（1）在1S 外侧，距离1S 为1r 的点，1S 2S 传到该P 点引起的位相差为πλλππφ=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--=∆)4(2211r r 0,0211===-=A I A A A（2）在2S 外侧.距离2S 为1r 的点，1S 2S 传到该点引起的位相差.0)4(2222=-+-=∆r r λλππφ2121114,2A A I A A A A ===+=9-9 一驻波方程为y ＝0.02cos 20x cos 750t (SI)，求：(1)形成此驻波的两列行波的振幅和波速； (2)相邻两波节间距离. 解: (1)取驻波方程为t uxA y πυπυ2cos 2cos 2= 故知 01.0202.0==A m 7502=πυ，则πυ2750=，202=uπυ∴ 5.37202/7502202=⨯==πππυu 1s m -⋅ (2)∵314.01.020/2====πυπυυλu m 所以相邻两波节间距离 157.02==∆λx m。

第5章 机械振动一、选择题5-1 一个质点作简谐振动，振幅为A ，在起始时刻质点的位移为2A-，且向x 轴的正方向运动，代表这个简谐振动的旋转矢量图为[ ]分析与解 图中旋转矢量投影点的运动方向指向Ox 轴正向，同时矢端在x 轴投影点的位移为2A-,满足题意,因而选(D)。

5-2 作简谐振动的物体，振幅为A ，由平衡位置向x 轴正方向运动，则物体由平衡位置运动到32Ax =处时，所需的最短时间为周期的几分之几[ ] (A) 1 /2 (B) 1/4 (C) 1/6 (D) 1/12分析与解 设1t 时刻物体由平衡位置向x 轴正方向运动，2t 时刻物体第一次运动到32A x =处，可通过旋转矢量图，如图5-2所示，并根据公式2t T ϕπ∆∆=得31226t T T T ϕπππ∆∆===，,因而选(C)。

5-3 两个同周期简谐振动曲线如图5-3(a)所示，1x 的相位比2x 的相位[ ] O O OO A Axxx(A) (B)(D)(C)A /2-A /2 A /2 -A /2A Aωωωωx习题5-1图习题5-2图(A) 落后2π (B) 超前2π(C) 落后π (D) 超前π分析与解 可通过振动曲线作出相应的旋转矢量图（b ），正确答案为（B ）。

5-4 一弹簧振子作简谐振动，总能量为E ，若振幅增加为原来的2倍，振子的质量增加为原来的4倍，则它的总能量为[ ](A) 2E (B) 4E (C) E (D) 16E 分析与解 因为简谐振动的总能量2p k 12E E E kA =+=，因而当振幅增加为原来的2倍时，能量变为原来的4倍，因而答案选(B)。

5-5 两个同振动方向、同频率、振幅均为A 的简谐振动合成后，振幅仍为A ，则这两个简谐振动的相位差为[ ](A) 60 (B) 90 (C) 120 (D) 180分析与解 答案（C ）。

由旋转矢量图可知两个简谐振动的相位差为120时,合成后的简谐运动的振幅仍为A 。