数列-2021年新高考数学名校地市必刷题(新高考专用)(含解析)

专题07 数列（1）多项选择题1．（2019秋•泉州期末）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a1+3a5＝S7，则以下结论一定正确的是（）A．a4＝0B．S n的最大值为S3C．S1＝S6D．|a3|＜|a5|【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即看到此得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，则a1+3（a1+4d）＝7a1+21d，解得a1＝﹣3d，所以a n＝a1+（n﹣1）d＝（n﹣4）d，所以a4＝0，故A正确；因为S6﹣S1＝5a4＝0，所以S1＝S6，故C正确；由于d的正负不清楚，故S3可能为最大值或最小值，故B不正确；因为a3+a5＝2a4＝0，所以a3＝﹣a5，即|a3|＝|a5|，故D错误．故选：AC．2．（2019秋•济宁期末）设等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1＞1，＜0，下列结论正确的是（）a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1A．S2019＜S2020B．S2019S2021﹣1＜0C．T2019是数列{T n}中的最大值D．数列{T n}无最大值【分析】本题由题意根据题干可得a2019＞1，a2020＜1，从而有a1＞1，0＜q＜1，则等比数列{a n}为正项的递减数列．再结合等比数列的性质逐一核对四个命题得答案即可得到正确选项．【解答】解：等比数列{a n}的公比为q，其前n项和为S n，前n项积为T n，并满足条件a1＞1，＜0，∴a2019＞1，0＜a2020＜1，∴0＜q＜1．a2019a2020＞1，a2019−1a2020−1根据a1＞1，0＜q＜1，可知等比数列{a n}为正项的递减数列．即a1＞a2＞...＞a2019＞1＞a2020＞ 0∵S2020﹣S2019＝a2020＞0，∴S2019＜S2020，故选项A正确；∵S2019＝a1+a2+…+a2019＞1，∴S 2019•S 2021＝S 2019•（S 2019+a 2020+a 2021）=S 20192+S 2019•（a 2020+a 2021） ＞S 20192＞1．即S 2019•S 2021﹣1＞0．故选项B 错误；根据a 1＞a 2＞…＞a 2019＞1＞a 2020＞…＞0．可知T 2019是数列{T n }中的最大项，故选项C 正确、选项D 错误． 故选：AC ．3．（2019秋•菏泽期末）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样一列数：1，1，2，3，5，…．，其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，后来人们把这样的一列数组成的数列{a n }称为“斐波那契数列”，记S n 为数列{a n }的前n 项和，则下列结论正确的是（ ） A ．a 6＝8 B ．S 7＝33C ．a 1+a 3+a 5+…+a 2019＝a 2020D ．a 12+a 22+⋯+a 20192a 2019=a 2020【分析】根据数列的特点，求出其递推关系式；再对每一个选项逐个检验即可 【解答】解：A ．由a 1＝a 2，a 3＝a 4﹣a 2，a 5＝a 6﹣a 4，可得a 6＝8成立； B ．由a 1＝a 2，a 3＝a 4﹣a 2，a 5＝a 6﹣a 4，可得a 6＝8，a 7＝13； ∴s 7＝1+1+2+3+5+8+13＝33成立；C ．由a 1＝a 2，a 3＝a 4﹣a 2，a 5＝a 6﹣a 4，……，a 2019＝a 2020﹣a 2018，可得：a 1+a 3+a 5+…+a 2019＝a 2020． 故a 1+a 3+a 5+…+a 2019是斐波那契数列中的第2020项．即答案C 成立；D ．斐波那契数列总有a n +2＝a n +1+a n ，则a 12=a 2a 1，a 22=a 2(a 3−a 1)=a 2a 3−a 2a 1，a 32=a 3(a 4−a 2)=a 3a 4−a 2a 3，……， a 20182=a 2018(a 2019−a 2017)=a 2018a 2019−a 2017a 2018， a 20192=a 2019a 2020−a 2019a 2018；∴a 12+a 22+a 32+⋯+a 20192=a 2019a 2020；即答案D 成立故选：ABCD ．4．（2019秋•济宁期末）若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝2a n +1，（n ∈N *），则下列说法正确的是（ ） A ．a 5＝﹣16B ．S 5＝﹣63C ．数列{a n }是等比数列D ．数列{S n +1}是等比数列【分析】先利用已知条件得到数列{a n}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，即可判断各个选项的正误．【解答】解：∵S n＝2a n+1，（n∈N*），∴①当n＝1时，a1＝S1＝2a1+1，∴a1＝﹣1，=2，②当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝2a n+1﹣2a n﹣1﹣1，∴2a n﹣1＝a n，∴a na n−1∴数列{a n}是首项为﹣1，公比为2的等比数列，故选项C正确，=1−2n∴a n=−2n−1，S n=−(1−2n)1−2=−31，故选项A正确，选项B错误，∴a5=−24=−16，S5=−(1−25)1−2又∵S n+1=2−2n，∴数列{S n+1}不是等比数列，故选项D错误，故选：AC．5．（2019秋•淄博期末）在递增的等比数列{a n}中，S n是数列{a n}的前n项和，若a1a4＝32，a2+a3＝12，则下列说法正确的是（）A．q＝1B．数列{S n+2}是等比数列C．S8＝510D．数列{lga n}是公差为2的等差数列【分析】本题先根据题干条件判断并计算得到q和a1的值，则即可得到等比数列{a n}的通项公式和前n 项和公式，则对选项进行逐个判断即可得到正确选项．【解答】解：由题意，根据等比中项的性质，可得a2a3＝a1a4＝32＞0，a2+a3＝12＞0，故a2＞0，a3＞0．根据根与系数的关系，可知a2，a3是一元二次方程x2﹣12x+32＝0的两个根．解得a2＝4，a3＝8，或a2＝8，a3＝4．故必有公比q＞0，＞0．∴a1=a2q∵等比数列{a n}是递增数列，∴q＞1．∴a2＝4，a3＝8满足题意．∴q＝2，a1=a2q=2．故选项A不正确．a n＝a1•q n﹣1＝2n．∵S n=2(1−2n)1−2=2n+1﹣2．∴S n+2＝2n+1＝4•2n﹣1．∴数列{S n+2}是以4为首项，2为公比的等比数列．故选项B正确．S8＝28+1﹣2＝512﹣2＝510．故选项C正确．∵lga n＝lg2n＝n．∴数列{lga n}是公差为1的等差数列．故选项D不正确．故选：BC．6．（2019秋•聊城期末）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1=a n2+3a n(n∈N∗)，则下列结论正确的有（）A．{1a n+3}为等比数列B．{a n}的通项公式为a n=12n+1−3C．{a n}为递增数列D．{1a n}的前n项和T n=2n+2−3n−4【分析】首先利用定义求出数列的通项公式，进一步求出数列的和．【解答】解：数列{a n}满足a1＝1，a n+1=a n2+3a n(n∈N∗)，整理得：2a n+1+3a n a n+1＝a n，转换为1a n+1+3=2(1a n+3)，故：1a n+1+31 a n +3=2(常数)，所以{1a n+3}是以1a1+3=4为首项，2为公比的等比数列．故：1a n +3=4⋅2n−1=2n+1，整理得a n=12n+1−3．则：{a n}为递减数列．进一步整理得：1a n=2n+1−3，所以{1a n }的前n项和：T n=4(2n−1)2−1−3n=2n+2−3n−4，故选：ABD．7．（2019秋•泰安期末）设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n，若a3＝12，S12＞0，S13＜0，则下列结论正确的是（）A ．数列{a n }是递增数列B ．S 5＝60C ．−247＜d ＜−3D ．S 1，S 2，…，S 12中最大的是S 6【分析】利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论． 【解答】解：依题意，有S 12＝12a 1+12×112•d ＞0，S 13＝13a 1+13×122•d ＜0，化为：2a 1+11d ＞0，a 1+6d ＜0，即a 6+a 7＞0，a 7＜0， ∴a 6＞0．由a 3＝12，得a 1＝12﹣2d ，联立解得−247＜d ＜﹣3．等差数列{a n }是单调递减的．S 1，S 2，…，S 12中最大的是S 6． S 5=5(a 1+a 5)2=5a 3＝60．综上可得：BCD 正确． 故选：BCD ．8．（2019秋•葫芦岛期末）已知数列{a n }中，a 1＝1，a n +1−1n =(1+1n )a n ，n ∈N *．若对于任意的t ∈[1，2]，不等式a n n＜−2t 2−(a +1)t +a 2−a +2恒成立，则实数a 可能为（ ）A ．﹣4B ．﹣2C ．0D ．2【分析】由已知数列递推式可得an+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n −1n+1，进一步得到ann ＜2，则原不等式可转化为2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ≤0在t ∈[1，2]上恒成立，构造函数f （t ）＝2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ，t ∈[1，2]，可得{f(1)≤0f(2)≤0，求解不等式组得答案．【解答】解：由a n +1−1n =(1+1n )a n ，得a n +1−1n =n+1na n ，∴a n+1n+1−a n n=1n(n+1)=1n −1n+1，∴an n =(an n −a n−1n−1)+(an−1n−1−a n−2n−2)+⋯+⋯+（a 2﹣a 1）+a 1，＝（1n−1−1n ）+（1n−2−1n−1）+…+（1−12）+1＝2−1n ＜2，∵不等式a n n＜−2t 2−(a +1)t +a 2−a +2恒成立，∴2≤﹣2t 2﹣（a +1）t +a 2﹣a +2，∴2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ≤0，在t ∈[1，2]上恒成立， 设f （t ）＝2t 2+（a +1）t ﹣a 2+a ，t ∈[1，2]，∴{f(1)=2+a +1−a 2+a ≤0f(2)=8+2(a +1)−a 2+a ≤0，解得a ≤﹣2或a ≥5， ∴实数a 可能为﹣4，﹣2． 故选：AB ．9．（2019秋•潍坊期末）设数列{a n }是等差数列，S n 是其前n 项和，a 1＞0且S 6＝S 9，则（ ） A ．d ＞0B ．a 8＝0C ．S 7或S 8为S n 的最大值D ．S 5＞S 6【分析】由a 1＞0且S 6＝S 9，利用求和公式可得：a 8＝0，d ＜0．即可判断出结论． 【解答】解：a 1＞0且S 6＝S 9，∴6a 1+6×52d ＝9a 1+9×82d ，化为：a 1+7d ＝0，可得a 8＝0，d ＜0．S 7或S 8为S n 的最大值，S 5＜S 6． 故选：BC ．10．（2019秋•润州区校级期末）对于数列{a n }，若存在正整数k （k ≥2），使得a k ＜a k ﹣1，a k ＜a k +1，则称a k是数列{a n }的“谷值”，k 是数列{a n }的“谷值点”，在数列{a n }中，若a n =|n +9n −8|，下列数不能作为数列{a n }的“谷值点”的是（ ） A ．3B ．2C ．7D ．5【分析】根据数列的通项公式，求得a 1到a 8，利用定义即可判断． 【解答】解：由a n =|n +9n −8|，则a 1＝2，a 2=32，a 3＝2，a 4=74，a 5=65，a 6=12，a 7=27，a 8=98， 所以n ＝2，7是数列{a n }的“谷值点” 当n ＝3，5不是数列{a n }的“谷值点”， 故选：AD ．11．（2019秋•淮安期末）已知数列{a n }是等比数列，那么下列数列一定是等比数列的是（ ） A ．{1a n}B ．{log 2a n }C ．{a n •a n +1}D ．{a n +a n +1+a n +2}【分析】本题先根据题意设等比数列{a n }的公比为q （q ≠0），则a n ＝a 1•q n ﹣1．然后对AB 选项先求出通项然后进行观察即可判断，对CD两个选项可根据等比数列的定义法进行判断．【解答】解：由题意，可设等比数列{a n}的公比为q（q≠0），则a n＝a1•q n﹣1．对于A：1a n =1a1q n−1=1a1•（1q）n﹣1．∴数列{1a n }是一个以1a1为首项，1q为公比的等比数列；对于B：log2a n＝log2（a1•q n﹣1）＝log2a1+（n﹣1）log2q．∴数列{log2a n}是一个以log2a1为首项，log2q为公差的等差数列；对于C：∵a n+1⋅a n+2a n⋅a n+1=a n+2a n=a1⋅q n+1a1⋅q n−1=q2，∴数列{a n•a n+1}是一个以q2为公比的等比数列；对于D：∵a n+1+a n+2+a n+3a n+a n+1+a n+2=q(a n+a n+1+a n+2)a n+a n+1+a n+2=q，∴数列{a n+a n+1+a n+2}是一个以q为公比的等比数列．故选：ACD．12．（2019秋•南通期末）设等差数列{a n}的前n项和为S n，公差为d．已知a3＝12，S12＞0，a7＜0，则（）A．a6＞0B．−247＜d＜−3C．S n＜0时，n的最小值为13D．数列{S na n}中最小项为第7项【分析】S12＞0，a7＜0，利用等差数列的求和公式及其性质可得：a6+a7＞0，a6＞0．再利用a3＝a1+2d＝12，可得−247＜d＜﹣3．a1＞0．利用S13＝13a7＜0．可得S n＜0时，n的最小值为13．数列{S na n}中，n≤6时，S na n ＞0.7≤n≤12时，S na n＜0．n≥13时，S na n＞0．进而判断出D是否正确．【解答】解：∵S12＞0，a7＜0，∴12(a6+a7)2＞0，a1+6d＜0．∴a6+a7＞0，a6＞0．∴2a1+11d＞0，a1+5d＞0，又∵a3＝a1+2d＝12，∴−247＜d＜﹣3．a1＞0．S13=13(a1+a13)2=13a7＜0．∴S n＜0时，n的最小值为13．数列{S na n }中，n≤6时，S na n＞0，7≤n≤12时，S na n＜0，n≥13时，S na n＞0．对于：7≤n≤12时，S na n＜0．S n＞0，但是随着n的增大而减小；a n＜0，但是随着n的增大而减小，可得：S na n＜0，但是随着n的增大而增大．∴n＝7时，S na n取得最小值．综上可得：ABCD都正确．故选：ABCD．13．（2019秋•苏州期末）已知数列{a n}的前n项和为S n，且S n＝2（a n﹣a）（其中a为常数），则下列说法正确的是（）A．数列{a n}一定是等比数列B．数列{a n}可能是等差数列C．数列{S n}可能是等比数列D．数列{S n}可能是等差数列【分析】结合已知可得a n＝2a n﹣1，n＞1，然后结合a是否为0可进行判定是否满足等差或等比．【解答】解：S n＝2（a n﹣a），当n＞1时可得，S n﹣1＝2（a n﹣1﹣a），两式相减可得，a n＝2a n﹣1，n＞1，又n＝1时，S1＝2（a1﹣a）可得，a1＝2a，若a＝0时，数列{a n}不是等比数列，而是等差数列，其各项都为0，和也为等差数列当a≠0时，数列{a n}是等比数列，不是等差数列，而非常数性等比数列的前n项和不是等比，故选：BD．14．（2019秋•徐州期末）等差数列{a n}的前n项和为S n，若a1＞0，公差d≠0，则下列命题正确的是（）A．若S5＝S9，则必有S14＝0B．若S5＝S9，则必有S7是S n中最大的项C．若S6＞S7，则必有S7＞S8D．若S6＞S7，则必有S5＞S6【分析】根据题意，结合等差数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若S 5＝S 9，必有S 9﹣S 5＝a 6+a 7+a 8+a 9＝2（a 7+a 8）＝0，则a 7+a 8＝0，S 14=14×(a 1+a 14)2=14×(a 7+a 8)2=0，A 正确；对于B ，若S 5＝S 9，必有S 9﹣S 5＝a 6+a 7+a 8+a 9＝2（a 7+a 8）＝0，又由a 1＞0，则必有S 7是S n 中最大的项，B 正确；对于C ，若S 6＞S 7，则a 7＝S 7﹣S 6＜0，又由a 1＞0，必有d ＜0，则a 8＝S 8﹣S 7＜0，必有S 7＞S 8，C 正确； 对于D ，若S 6＞S 7，则a 7＝S 7﹣S 6＜0，而a 6的符号无法确定，故S 5＞S 6不一定正确，D 错误； 故选：ABC ．15．（2019秋•连云港期末）已知等比数列{a n }中，满足a 1＝1，公比q ＝﹣2，则（ ） A ．数列{2a n +a n +1}是等比数列 B ．数列{a n +1﹣a n }是等比数列C ．数列{a n a n +1}是等比数列D ．数列{log 2|a n |}是递减数列【分析】由题意利用查等比数列的定义、通项公式、性质，判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【解答】解：∵等比数列{a n }中，满足a 1＝1，公比q ＝﹣2， ∴a n ＝1×（﹣2）n ﹣1＝（﹣2）n ﹣1．由此可得 2a n +a n +1＝2•（﹣2）n ﹣1+（﹣2）n ＝0，故A 错误；a n +1﹣a n ＝（﹣2）n ﹣（﹣2）n ﹣1＝﹣3•（﹣2）n ﹣1，故数列{a n +1﹣a n }是等比数列，故B 正确； a n a n +1＝（﹣2）n ﹣1 （﹣2）n ＝（﹣2）2n ﹣1，故数列{a n a n +1}是等比数列，故C 正确； log 2|a n |＝log 22n ﹣1＝n ﹣1，故数列{log 2|a n |}是递增数，故D 错误， 故选：BC ．16．（2019秋•潍坊期末）已知等比数列{a n }的公比q =−23，等差数列{b n }的首项b 1＝12，若a 9＞b 9且a 10＞b 10，则以下结论正确的有（ ） A ．a 9•a 10＜0B ．a 9＞a 10C ．b 10＞0D ．b 9＞b 10【分析】设等差数列的公差为d ，运用等差数列和等比数列的通项公式分析A 正确，B 与C 不正确，结合条件判断等差数列为递减数列，即可得到D 正确．【解答】解：数列{a n }是公比q 为−23的等比数列，{b n }是首项为12，公差设为d 的等差数列， 则a 9=a 1(−23)8，a 10=a 1(−23)9，∴a 9•a 10=a 12(−23)17＜0，故A 正确；∵a 1正负不确定，故B 错误；∵a 10正负不确定，∴由a 10＞b 10，不能求得b 10的符号，故C 错误； 由a 9＞b 9且a 10＞b 10，则a 1（−23）8＞12+8d ，a 1（−23）9＞12+9d ，可得等差数列{b n }一定是递减数列，即d ＜0， 即有a 9＞b 9＞b 10，故D 正确． 故选：AD ．17．（2020•山东学业考试）已知数列{a n }为等差数列，首项为1，公差为2，数列{b n }为等比数列，首项为1，公比为2，设c n =a b n ，T n 为数列{c n }的前n 项和，则当T n ＜2019时，n 的取值可以是下面选项中的（ ） A ．8B ．9C ．10D ．11【分析】由已知分别写出等差数列与等比数列的通项公式，求得数列{c n }的通项公式，利用数列的分组求和可得数列{c n }的前n 项和T n ，验证得答案．【解答】解：由题意，a n ＝1+2（n ﹣1）＝2n ﹣1，b n =2n−1， c n =a b n =2•2n ﹣1﹣1＝2n ﹣1，则数列{c n }为递增数列， 其前n 项和T n ＝（21﹣1）+（22﹣1）+（23﹣1）+…+（2n ﹣1）＝（21+22+…+2n ）﹣n =2(1−2n )1−2−n =2n +1﹣2﹣n ．当n ＝9时，T n ＝1013＜2019； 当n ＝10时，T n ＝2036＞2019． ∴n 的取值可以是8，9． 故选：AB ．18．（2019秋•滕州市校级月考）设等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的和为s n ，前n 项的积为T n ，并满足条件a 1＞1，a 2019a 2020＞1，a 2019−1a 2020−1＜0，下列结论错误的是（ ）A ．S 2019＞S 2020B ．a 2019．a 2021﹣1＞0C ．T 2020是数列{T n }中的最大值D ．数列{T n }无最小值【分析】推导出a 2019＞1，0＜a 2020＜1，0＜q ＜1，由此能求出结果．【解答】解：∵等比数列{a n }的公比为q ，其前n 项的和为s n ，前n 项的积为T n ，并满足条件a 1＞1，a 2019a 2020＞1，a 2019−1a 2020−1＜0， ∴a 2019＞1，0＜a 2020＜1，∴0＜q ＜1，在A 中，∵a 2020＞0，∴S 2019＜S 2020，故A 错误；在B 中，a 2019＞1，a 2021﹣1＜0，∴a 2019．a 2021﹣1＜0，故B 错误； ∴T 2019是数列{T n }中的最大项，故C 错误；在D 中，数列{T n }无最小值，故D 正确．故选：ABC ．19．（2019秋•常熟市校级月考）等差数列{a n }中，若S 6＜S 7且S 7＞S 8，则下面结论正确的是（ ）A ．a 1＞0B ．S 9＜S 6C ．a 7最大D ．（S n ）max ＝S 7【分析】根据题意，分析可得a 7＝S 7﹣S 6＞0，a 8＝S 8﹣S 7＜0，且d ＝a 8﹣a 7＜0，精粹结合等差数列的性质分析选项，即可得答案．【解答】解：根据题意，等差数列{a n }中，若S 6＜S 7且S 7＞S 8，则a 7＝S 7﹣S 6＞0，a 8＝S 8﹣S 7＜0，则有d ＝a 8﹣a 7＜0，对于A ，必有a 1＝a 8﹣7d ＞0，A 正确；对于B ，S 9﹣S 6＝a 7+a 8+a 9＝3a 8＜0，必有S 9＜S 6，B 正确；对于C ，等差数列{a n }中，d ＜0，数列{a n }为递减数列，故a 1最大，C 错误； 对于D ，数列{a n }为递减等差数列，a 7＞0，a 8＜0，故必有（S n ）max ＝S 7，D 正确； 故选：ABD ．20．（2019秋•海淀区校级期中）已知数列{a n }，{b n }均为递增数列，{a n }的前n 项和为S n ，{b n }的前n 项和为T n ．且满足a n +a n +1＝2n ，b n •b n +1＝2n （n ∈N *），则下列说法正确的有（ ）A ．0＜a 1＜1B ．1＜b 1＜√2C ．S 2n ＜T 2nD ．S 2n ≥T 2n【分析】利用代入法求出前几项的关系即可判断出a 1，b 1的取值范围，在求出其前2n 项和的表达式即可判断大小；【解答】解：∵数列{a n }为递增数列；∴a 1＜a 2＜a 3；∵a n +a n +1＝2n ，∴{a 1+a 2=2a 2+a 3=4；∴{a 1+a 2＞2a 1a 2+a 3＞2a 2=4−4a 1∴0＜a 1＜1；故A 正确． ∴S 2n ＝（a 1+a 2）+（a 3+a 4）+…+（a 2n ﹣1+a 2n ）＝2+6+10+…+2（2n ﹣1）＝2n 2； ∵数列{b n }为递增数列； ∴b 1＜b 2＜b 3；∵b n •b n +1＝2n∴{b1b 2=2b 2b 3=4； ∴{b 2＞b 1b 3＞b 2；∴1＜b 1＜√2，故B 正确． ∵T 2n ＝b 1+b 2+…+b 2n＝（b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1）+（b 2+b 4+…+b 2n ） =b 1⋅(1−2n )2+b 2(1−2n )2=(b 1+b 2)(2n −1)≥2√b 1b 2(2n −1)=2√2(2n −1)； ∴对于任意的n ∈N *，S 2n ＜T 2n ；故C 正确，D 错误． 故选：ABC ．。

2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编（二）一．选择题（共17小题）1．（2020秋•建瓯市校级月考）已知数列{}n a 的各项均为正数，且满足12a =，2222114(1)2(1)0n n n n n a n a n a na ++-+-++=，设n S 为数列{}n a 的前n 项和，则2019(S = )A ．2020201922⨯+B ．2020201922⨯-C ．2020201822⨯+D ．2020201822⨯-【解析】解：因为2222114(1)2(1)0n n n n n a n a n a na ++-+-++=，所以11[2(1)][2(1)][2(1)]0n n n n n n na n a na n a na n a ++++-++-+=， 所以11[2(1)1][2(1)]0n n n n na n a na n a +++++-+=，因为数列{}n a 的各项均为正数，所以12(1)0n n na n a +-+=，即121n n a an n+=+， 又因为12a =，所以数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以121a =为首项，以2为公比的等比数列，所以2n n an=，即2n n a n =，故1212222n n S n =++⋯+①，231212222n n S n +=++⋯+②，①-②得：1211112222222(1)22n n n n n n S n n n ++++-=++⋯+-=--=--， 所以1(1)22n n S n +=-+， 所以20202019201822S =+． 故选：C ．2．（2020•西安三模）若定义在R 上的函数()f x 满足(2)()f x f x +=且[1x ∈-，1]时，()||f x x =，则方程3()log ||f x x =的根的个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7【解析】解：根据题意，函数()f x 满足(2)()f x f x +=，则()f x 是周期为2的周期函数，又由[1x ∈-，1]时，()||f x x =，则()f x 的图象如图，再作出3log ||y x =的图象，分析可得两个函数的图象有4个交点， 则方程3()log ||f x x =有4个根， 故选：A ．3．（2020秋•香坊区校级期末）已知定义在R 上的函数(1)3y f x =+-是奇函数，当(1,)x ∈+∞时，1()31f x x x '+--，则不等式[()3](1)0f x ln x -+>的解集为( ) A ．(1,)+∞B ．(1-，0)(e ⋃，)+∞C ．(0，1)(e ⋃，)+∞D ．(1-，0)(1⋃，)+∞ 【解析】解：因为(1,)x ∈+∞时，1()31f x x x '+--， 则可令11x x =+，此时10x >， 所以当1(0,)x ∈+∞时，1111(1)2f x x x '++-， 即对(0,)x ∀∈+∞，均有(1)0f x '+， 因为(1)3y f x =+-，所以(1)y f x '='+， 所以(1)3y f x =+-在(0,)+∞上单调递增， 由函数(1)3y f x =+-是奇函数，所以函数(1)3y f x =+-在R上单调递增， 故可大致画出函数(1)3y f x =+-的图象，对于()3f x -只需要将(1)3y f x =+-向右平移1个单位即可得到， 当0x >时，(1)0ln x +>，此时只需要()3f x >即可， 由图象可知，此时(1,)x ∈+∞，当10x -<<时，(1)0ln x +<，此时只需要()3f x <即可， 由图象可知，此时(1,0)x ∈-．综上，不等式的解集为(1-，0)(1⋃，)+∞． 故选：D ．4．（2020秋•湖北月考）蹴鞠，又名蹴球，蹴圆，筑球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外包皮革、内实米糠的球．因而蹴鞠就是指古人以脚蹴，蹋、踢皮球的活动，类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.3D 打印属于快速成形技术的一种，它是一种以数字模型文件为基础，运用粉末状金属或塑料等可粘合材料，通过逐层堆叠累积的方式来构造物体的技术（即“积层造型法” )．过去常在模具制造、工业设计等领域被用于制造模型，现正用于一些产品的直接制造，特别是一些高价值应用（比如髋关节、牙齿或一些飞机零部件等）．已知某鞠的表面上有四个点A 、B 、C 、D ，满足任意两点间的直线距离为，现在利用3D 打印技术制作模型，该模型是由鞠的内部挖去由ABCD 组成的几何体后剩余的部分，打印所用原料密度为31/g cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量约为( )（参考数据：取 3.14π= 1.41 1.73=，精确到0.1) A ．113.0gB ．267.9gC ．99.2gD ．13.8g【解析】解：由题意，以A ，B ，C ，D 为顶点构成正四面体，设正四面体的棱长为a ，则3D 打印的体积为3233411)332V a ππ=⋅-⋅=，a =∴3a =，36113.0413.8499.2V π∴=--=．又打印所用原料密度为31/g cm ，∴制作该模型所需原料的质量约为99.2g ． 故选：C ．5．（2020秋•湖南月考）函数1()2cos()12f x x x π=+-在区间[2-，4]上的所有零点的和为( ) A ．4B ．6C ．4πD ．6π【解析】解：令()0f x =，得12cos 12x x π=--， 函数()f x 的零点就是函数11y x =-与函数2cos 2y x π=-图象交点的横坐标．又函数11y x =-的图象关于点(1,0)对称， 函数2cos2y x π=-的周期为4，其图象也关于点(1,0)对称，画出两函数图象如图：共有4个交点，这4个点两两关于点(1,0)对称，故其横坐标的和为4． 故选：A ．6．（2020秋•内蒙古月考）某流行病调查中心的疾控人员针对该地区某类只在人与人之间相互传染的疾病，通过现场调查与传染源传播途径有关的蛛丝马迹，根据传播链及相关数据，建立了与传染源相关确诊病例人数()H t 与传染源感染后至隔离前时长t （单位：天）的模型：().kt H t e λ+=已知甲传染源感染后至隔离前时长为5天，与之相关确诊病例人数为8；乙传染源感染后至隔离前时长为8天，与之相关确诊病例人数为20．打某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为( ) A ．44B ．48C ．80D ．125【解析】解：依题意得，H （5）58k e λ+==，H （8）820k e λ+==， 835(8)205(5)82k k k H e e H e λλ++====， 1453335(14)()8()1252k k k H e e e λλ++∴===⨯=．故某传染源感染后至隔离前时长为两周，则与之相关确诊病例人数约为125人． 故选：D ．7．（2020秋•北海月考）2020年3月9日，我国在西昌卫星发射中心用长征三号运载火箭，成功发射北斗系统第54颗导航卫星．第54颗导航卫星的运行轨道是以地心为一个焦点的椭圆．设地球半径为R ，若其近地点、远地点离地面的距离大约分别是115R ，13R ，则第54颗导航卫星运行轨道（椭圆）的离心率是( ) A ．25B ．15C ．23 D ．19【解析】解：以运行轨道的中心为原点，长轴所在的直线为x 轴建立平面直角坐标系， 令地心2F 为椭圆的右焦点，则轨道方程是焦点在x 轴上的椭圆，设标准方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则地心2F 的坐标为(,0)c ，其中222a b c =+， 由题意可得：115a c R R -=+，13a c R R +=+， 解得65a R =，215c R =， 所以离心率为19c e a ==， 故选：D ．8．（2020秋•沙坪坝区校级月考）实数x ，y 满足424(2)xye x y e -=+，则22x yx y x++的最小值为( )A ．2B C ．7 D ．4【解析】解：424(2)x y e x y e -=+，424(2)y x e x y e +∴=+，x y xe =在(0,)+∞上单调递增， 故24x y +=，∴22(2)44x y x x y y x y x y x y x y x+++=+=+，当且仅当1x =，2y =时取得最小值． 故选：D ．9．（2020秋•高新区校级月考）已知函数()x f x e =，函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，令(),0,()|()|,0,f x x h xg x x ⎧=⎨>⎩则方程22()eh x x e =+解的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：因为函数()g x 与()f x 的图象关于直线y x =对称，()x f x e =， 所以()g x lnx =，,0,()||,0,x e x h x lnx x ⎧=⎨>⎩所以()h x 的图象如图所示．方程22()e h x x e =+可化为2()1xh x e=+，即求函数()y h x =与21x y e =+的图象的交点个数． 当0x 时，21xy e =+的图象恒过点(0,1)，此时有两个交点； 当01x <<时，21xy e=+与()y h x =的图象有一个交点； 当1x >时，设斜率为21e 的直线与y lnx =的切点为0(x ，0)lnx ， 由斜率2011k e x ==，所以20x e =，所以切点为2(e ，2)， 此时直线方程为2212()y x e e-=-，即21x y e =+， 所以直线21xy e =+与z x y =+恰好相切，有一个交点．综上，此方程有4个解． 故选：D ．10．（2020秋•陕西月考）已知双曲线C 的方程为2214x y m m+=+，给出下列四个结论：①m 的取值范围是(4,0)-； ②C 的焦距与m 的取值无关；③当C 的离心率不小于2时，m 的最小值为3-； ④存在实数m ，使得点2(m ，)m 在C 上． 其中结论正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解析】解：对于①：由题意得(4)0m m +<，则40m -<<，故①正确． 对于②：因为40m -<<，所以24a m =+，2b m =-，2224c a b =+=， 则2c =，从而C 的焦距为4，与m 的取值无关，故②正确． 对于③：若C 的离心率不小于2，则2e ==．解得3m -，故③不正确． 对于④：假设存在实数m ，使得点2(m ，)m 在C 上，则4214m m m m+=+，则42340m m m ++-=． 设函数42()34f m m m m =++-， 因为(2)100f -=>，(1)50f -=-<，从而存在(2,1)m ∈--，使得()0f m =，故④正确． 故选：C ．11．（2020秋•南京期中）设()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．若函数()g x 满足下列条件： ①()g x 是偶函数；②()g x 在区间[0，)+∞上是增函数； ③()g x 有一个零点为2．则不等式(1)()0x f x +>的解集是( ) A ．(3,)+∞B ．(1,)+∞C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(-∞，1)(3-⋃，)+∞【解析】解：已知()g x 是偶函数，在区间[0，)+∞上是增函数，且g （2）0=， 可得()g x 在(,0)-∞上是减函数，且(2)0g -=， 因为()f x 是定义在R 上的函数，()(1)g x f x =+．所以()f x 是函数()g x 的图象向右平移1个单位长度得到的函数， 所以()f x 关于1x =对称，在[1，)+∞上是增函数，在(,1)-∞上是减函数， 且f （3）(1)0f =-=，所以当1x <-或3x >时，()0f x >，当13x -<<时，()0f x <， 则不等式(1)()0x f x +>可转化为10()0x f x +>⎧⎨>⎩或10()0x f x +<⎧⎨<⎩，即1013x x x +>⎧⎨-⎩或或1013x x +<⎧⎨-<<⎩，解得3x >，即不等式的解集为(3,)+∞． 故选：A ．12．（2020•宜宾模拟）设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若110,2n a a >=，2n S <，则{}n a 的公比的取值范围是( ) A ．3(0,]4B ．2(0,]3C ．3(0,)4D ．2(0,)3【解析】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，则1q ≠．110,2n a a >=，2n S <， ∴1102n q -⨯>，1(1)221n q q-<-， 10q ∴>>． 144q ∴-，解得34q．综上可得：{}n a 的公比的取值范围是：3(0,]4．故选：A ．13．（2020秋•山东月考）已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为2，以A 为球心，1111A B C D 的交线长为( )A ．2πB ．2C D ．π【解析】解：由题意知11AB AD ==，如图，在平面1111A B C D 内任取一点P ，使12A P =，则AP ==故以A 为球心，1111A B C D 的交线是以1A 为圆心，以2为半径的圆弧11B PD ， 故该交线长为22ππ⨯=．故选：D ．14．（2020秋•东安区校级期末）已知圆221:(3)(1C x y -+-=和焦点为F 的抛物线22:8C y x =，N 是1C 上一点，M 在2C 上，当点M 在1M 时，||||MF MN +取得最小值，当点M 在2M 时，||||MF MN -取得最大值，则12||(M M = )A ．B ．C ．D【解析】解：圆221:(3)(1C x y -+-=的圆心1(3C ，，半径为1r =， 抛物线22:8C y x =的焦点为(2,0)F ，由1C 向准线2x =-作垂线，交抛物线于1(1M ，； 可得11||||M F M N +取得最小值3(2)14---=， 连接1FC ，并延长交抛物线于2M ，可得22||||M F M N '-取得最大值1||114FC +=，由直线1C F 的方程2)y x =-，联立抛物线22:8C y x =，可得2540x x -+=，解得4(1x =舍去），即有2(4M ，，可得12||M M ， 故选：D ．15．（2020秋•浙江月考）已知函数2221,0,(),0,x ax x x f x e ax e x ⎧-+<=⎨-+-⎩有两个零点，则实数a 的取值范围是( ) A ．(,)e +∞ B ．2(e ，)+∞ C ．2(0,)eD ．(0,)e【解析】解：当0x =时，2(0)1f e =--，则0不是函数()f x 的零点； 当0x <时，由()0f x =，得221x a x -=， 设221()x h x x -=，32(1)()0x h x x-'=<，则()h x 在(,0)-∞上单调递减，且()0h x <； 当0x >时，()0f x =等价于2x e e a x+=，令2()x e e g x x +=，则22()x x xe e e g x x --'=，得()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，则2()(2)min g x g e ==， 故2()g x e ．()f x 有两个零点，则2a e >．∴实数a 的取值范围是2(e ，)+∞．故选：B ．16．（2020秋•浙江月考）在正四面体ABCD 中，M ，N 分别为AD ，BC 的中点，P 为线段MB 上的动点（包括端点），记PN 与CD 所成角的最小值为α，PN 与平面BCD 所成角的最大值为β，则( ) A ．αβ=B ．αβ>C ．αβ<D ．2παβ+=【解析】解：根据最小角定理得：PN 与CD 所成最小角为CD 与平面BCM 所成角，即DCM ∠，由最大角定理得：PN 与平面BCD 所成最大角为二面角M BC D --，记PN 与CD 所成角的最小值为α，PN 与平面BCD 所成角的最大值为β， 如图，DCM α=∠，DNM β=∠，则在正四面体中，tan tan DCM α=∠tan tan DNM β=∠ αβ∴<．故选：C ．17．（2020•吉林模拟）2019年末，武汉出现新型冠状病毒肺炎(19)COVID -疫情，并快速席卷我国其他地区，传播速度很快，因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株，所以目前没有特异治疗方法，防控难度很大，武汉市出现疫情最早，感染人员最多，防控压力最大，武汉市从2月7日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员，强化网格化管理，不落一户、不漏一人．在排查期间，一户6口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”，这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测，若出现阳性，则该家庭为“感染高危户”．设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为(01)p p <<且相互独立，该家庭至少检测了5个人才能确定为“感染高危户”的概率为()f p ，当0p p =时，()f p 最大，则0(p =)A ．1BC ．12D ．1 【解析】解：设事件A 为：检测了5个人确定为“感染高危户”； 设事件B 为：检测了6个人确定为“感染高危户”；P ∴（A ）4(1)p p =-，P （B ）5(1)p p =-，即454()(1)(1)(2)(1)f p p p p p p p p =-+-=--，设10x p =->，则424()()(1)(1)(1)g x f p x x x x x ==-+=-，22224222311(22)4()(1)[(22)][]22327x x x g x x x x x x -++∴=-=⨯-⨯=．当且仅当2222x x -=，即x =时取等号．即01p p == 故选：A ．二．多选题（共12小题）18．（2020秋•建瓯市校级月考）下列说法中正确的是( )A ．0AB BA +=B ．若||||a b =且//a b ，则a b =C ．若a 、b 非零向量且||||a b a b +=-，则a b ⊥D ．若//a b ，则有且只有一个实数λ，使得b a λ=【解析】解：由AB ，BA 互为相反向量，则0AB BA +=，故A 正确； 由||||a b =且//a b ，可得a b =或a b =-，故B 错误；由a 、b 非零向量且||||a b a b +=-，两边平方可得222222a a b b a a b b ++=-+，即0a b =，所以a b ⊥，故C 正确；若//a b 且0a ≠，则有且只有一个实数λ，使得b a λ=，故D 错误． 故选：AC ．19．（2020秋•湖北月考）已知函数2()(x f x e ax a =-为常数），则下列结论正确的有( )A ．若()f x 有3个零点，则a 的范围为2(,)4e +∞B ．2ea = 时，1x =是()f x 的极值点C ．12a =时，()f x 的零点0x ，且0112x -<<- D ．1a =时，()0f x 恒成立【解析】解：若2()xf x e ax =-有3个零解，即y a =与2()xe g x x=有三个交点，若2()x e g x x =，则2442(2)()x x x e x e x xe x g x x x --'==， 则()g x 在(,0)-∞上单调递增，在区间内的值域为(0,)+∞，()g x 在(0,2)上单调递减，在(2,)+∞上单调递增，在此区间内的值域为2[4e ，)+∞，故y a =与2()x e g x x =有三个交点，则24e a ，故A 正确，若2e a =时，则2()2x ef x e x =-，()x f x e ex '=-， ()x f x e e ''=-，则()f x '在(,1)-∞上单调递减，在(1,)+∞上单调递增， 则()min f x f '='（1）0=，故函数()f x 在R 上单调递增，故B 错误， 若12a =时，则21()2x f x e x =-， 此时()f x 仅有个零点0x ，且00x <， 又1212(1)(1)022e f e e---=--=<，122111()()0222f e --=--=>，则0112x -<<-，故C 正确，若1a =时，则2()x f x e x =-， 当1x =-时，121(1)(1)0ef e e---=--=<，故D 错误． 故选：AC ．20．（2020秋•湖南月考）如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，11AD DD ==，AB =，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、11C D 的中点，则下列说法正确的是( )A ．11BCDE ⊥ B ．1//D C 平面GEFC ．若点P 在平面ABCD 内，且1//D P 平面GEF ，则线段1D PD ．若点Q 在平面ABCD 内，且11D Q B C ⊥，则线段1D Q 【解析】解：连结AC ，1D A ，1BC ，因为11B C BC ⊥，1B C AB ⊥， 所以1B C ⊥平面11ABC D ， 又因为1D E ⊂平面11ABC D ， 所以1B C DE ⊥，故选项A 正确； 又因为//EF AC ，1//AD GE ， 所以面1//AD C 面GEF ，又因为1D C ⊂面1AD C ，所以1//D C 面GEF ，故选项B 正确； 若点P 在平面ABCD 内，且1//D P 面GEF ，则点P 的轨迹是直线AC ，此时1D P 的最小值为1D P AC ⊥时，在△1D AC 中，112,2AD D C AC ===， 因为1D P AC ⊥，所以111sin D P AD D AC =⋅∠==，故选项C 错误； 因为1B C ⊥面11ABC D ，且11D Q B C ⊥， 所以点Q 的轨迹是直线AB ，所以1D Q 的最小值是1D Q AB ⊥时，即Q 与A 重合，此时1D A =，故选项D 正确． 故选：ABD ．21．（2020秋•重庆月考）经研究发现：任意一个三次多项式函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠的图象都只有一个对称中心点0(x ，0())f x ，其中0x 是()0f x ''=的根，()f x '是()f x 的导数，()f x ''是()f x '的导数，若函数32()f x x ax x b =+++图象的对称点为(1,2)-，且不等式32(1)[()3]x e e e mx lnx f x x x e x -+--+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则( )A ．3a =B ．1b =C ．m 的值可能是e -D ．m 的值可能是1e-【解析】解：由题意得(1)112f a b -=-+-+=，2()321f x x ax '=++，()62f x x a ''∴=+，(1)620f a ''∴-=-+=，解得3a =，1b =，故A ，B 正确；此时32()31f x x x x =+++，1x >，32(1)[()3]xeee mx lnxf x x x e x ∴-+--+，等价于(1)1e x x e x e mlnx --+++， 当0x >时，1x e x >+，则1ee x lnx xx e e elnx x --+=-++（当且仅当x e =时，等号成立），从而(1)11e x x e x e elnx ee lnx lnx --++--=-++，故m e -，故C 正确，D 错误．故选：ABC ．22．（2020秋•辽宁月考）若存在m ，使得()f x m 对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有下界，其中m 为函数()f x 的一个下界；若存在M ，使得()f x M 对任意x D ∈恒成立，则函数()f x 在D 上有上界，其中M 为函数()f x 的一个上界．如果一个函数既有上界又有下界，那么称该函数有界．下列说法正确的是()A ．1不是函数1()(0)f x x x x=+>的一个下界B ．函数()f x xlnx =有下界，无上界C ．函数2()xe f x x =有上界，无下界D ．函数2sin ()1xf x x =+【解析】解：对于A ：当0x >时，1()21f x x x =+>，所以1是函数数1()(0)f x x x x=+>的一个下界，故A 错误；对于B ：函数()f x xlnx =，所以()1f x lnx '=+，当1x e =为函数的零点，所以1(0,)e单调递减，1(,)e +∞单调递增，所以函数1()f e为函数的最小值点，故函数有下界，无上界，故B 正确；对于C ：函数2()0xe f x x =>无上界，有下界，故C 错误；对于222sin sin 1:()||1111x x D f x x x x =+++，所以|()|1f x ，即1()1f x -，所以函数()f x 有界，故D 正确．故选：BD ．23．（2020秋•湖南月考）设m R ∈，过定点M 的直线1:310l mx y m --+=与过定点N 的直线2:310l x my m +--=相交于点P ，线段AB 是圆22:(1)(1)4C x y +++=的一条动弦，且||AB =则下列结论中正确的是( ) A ．1l 一定垂直2lB ．||||PM PN +的最大值为C ．点P 的轨迹方程为22(2)(2)2x y -+-=D ．||PA PB +的最小值为【解析】解：直线1:310l mx y m --+=与2:310l x my m +--=垂直，所以A 正确； 1l 过定点(3,1)M ，2l 过定点(1,3)N ，在MNP ∆中，设PMN θ∠=，则||||4sin()44PM PN πθθθ+=+=+，所以B 不正确；由0PM PN ⋅=，可得点P 轨迹方程为22(2)(2)2(3)x y x -+-=≠．所以C 不正确； 作CD AB ⊥，则CD =∴点D 轨迹方程为22(1)(1)2x y +++=．||2||PA PB PD +=，||PD，∴||PA PB +的最小值为故选：AD ．24．（2020秋•沙坪坝区校级月考）已知函数2(1),0()(1),0x xx e x f x x x e ⎧+<⎪=⎨+⎪⎩，下列选项正确的是( )A ．函数()f x 在(2,1)-上单调递增B ．函数()f x 的值域为21[,)e -+∞ C ．若关于x 的方程2[()]|()|0f x a f x -=有3个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是214(,)e eD ．不等式()0f x ax a -->在(1,)-+∞恰有两个整数解，由实数a 的取值范围是232[,)e e【解析】解：函数2(1),0()(1),0x xx e x f x x x e ⎧+<⎪=⎨+⎪⎩，所以函数(2)&(0)()(1)(1)&(0)x x x e x f x x x x e ⎧+⋅<⎪'=⎨+--⎪⎩，故函数()y f x =如图所示：易知：选项A 正确，选项B 错误；对于C ：如图：函数|()|y f x =的图象，2[()]|()|0()0f x a f x f x -=⇔=或|()|0f x =，由于方程[()]|()|0f x a f x -=有3个不相等的实数根，所以只需|()|f x a =有两个不等实根，故214(,)a e e∈，故C 正确； 对于D ：不等式()(1)f x a x >+，在(1,)-+∞恰有两个整数解，必为0x =，1x =， 故(1)(11)&(2)(21)&f a f a >+⎧⎨+⎩，解得232(,)a e e ∈，故D 正确．．故选：ACD ．25．（2020秋•南京期中）设常数a R ∈，*n N ∈，对于二项式(1n +的展开式，下列结论中，正确的是()A ．若1a n<，则各项系数随着项数增加而减小B ．若各项系数随着项数增加而增大，则a n >C ．若2a =-，10n =，则第7项的系数最大D ．若a =7n =，则所有奇数项系数和为239【解析】解：二项式(1n+的展开式的通项为21r rrr nT a C x +=， 对于A ：若0a <，则各项系数一正一负交替出现，故A 不对，对于11:r r r r nn B C a c a ++<对于任意的0r =，1，2，⋯，1n -，都成立， 所以0a >，且1r a n r+>-对任意的r 都成立， a n ∴>，故B 正确；当2a =-，10n =，则展开式中奇数项的系数为正值，偶数项的系数为负值，所以，只需比较0010(2)C -，2210(2)C -，⋯，6610(2)C -，8810(2)C -，101010(2)C -即可， 可得，6610(2)C -最大，即展开式中第7项的系数最大，故C 正确；当a =7n =，则奇数项系数和为：002244667777((((239C C C C +++=，故D 正确； 故选：BCD ．26．（2020秋•苏州期中）函数()1x lnx kf x e x+=--在(0,)+∞上有唯一零点0x ，则( ) A ．001x x e =B ．0112x << C ．1k = D ．1k >【解析】解函数()1x lnx kf x e x+=--在(0,)+∞上有唯一零点0x ， ()0x e x lnx k x ∴-+-=， ()0x x xe k ln xe ∴--=，令x t xe =，(0)t >，则()g t t k lnt =--，(0)t >此函数只有一个零点，∴1()1g t t'=-，可知()g t 在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增；g ∴（1）0=，1k ∴=，此时001xx e =⇒000001(,1)2x x x e k x e e x ==<<⇒∈． 故选：ABC ．27．（2020秋•湖北月考）函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递增，则( ) A ．函数()()cos g x f x x =为奇函数B ．函数()[()h x x f x f =-（2）]有且只有3个零点C ．不等式[()x f x f -（2）]0的解集为(-∞，2][0-⋃，2]D ．()f x 的解析式可能为2()x x f x e e x -=+- 【解析】解：根据题意，依次分析选项：对于A ，若()()cos g x f x x =，则()()cos()()cos ()g x f x x f x x g x -=--==，则()()cos g x f x x =为偶函数，A 错误；对于B ，设函数()()F x f x f =-（2），F （2）f =（2）f -（2）0=，(2)(2)F f f -=--（2）f =（2）f -（2）0=，则()F x 在R 上有且只有2个零点，所以h （2）(2)(0)0h h =-==，()h x 在R 上有且只有3个零点，B 正确； 对于C ，因为[()x f x f -（2）]0，所以当0x <时，()f x f -（2）0，即()(2)f x f -，可得2x -， 当0x 时，()f x f -（2）0，即()f x f （2），可得02x ， 故[()x f x f -（2）]0的解集为(-∞，2][0-⋃，2]，C 正确； 对于D ，若2()x x f x e e x =+-，易得()f x 为偶函数，其导数()2x x f x e e x -'=--，则有()2220x x f x e e -''=+--=． 则()f x '为R 上的增函数， 在[0，)+∞上，()(0)0f x f ''=，所以此函数还满足在[0，)+∞上单调递增，D 正确． 故选：BCD ．28．（2020秋•广东月考）已知()f x 是定义域为R 的函数，满足(1)(3)f x f x +=-，(1)(3)f x f x +=-，当02x 时，2()f x x x =-，则下列说法正确的是( )A ．函数()f x 的周期为4B ．函数()f x 的图象关于直线2x =对称C ．当04x 时，()f x 的最大值为2D ．当68x 时，()f x 的最小值为12-【解析】解：(1)(3)f x f x +=-，(4)[(3)1][(3)3]()f x f x f x f x ∴+=++=+-=，函数()f x 是周期函数，周期为4，故A 正确；由(1)(3)f x f x +=-，可得(2)(2)f x f x +=-，∴函数()f x 的图象关于2x =对称轴，故B 正确； 作出函数()f x 在[0，8]上的大致图象，如图所示，由图可知当04x 时，()f x 的最大值为f （2）2=，故C 正确； 当68x 时，()f x 的最小值为1511()()224f f ==-，故D 错误．故选：ABC ．29．（2020秋•城厢区校级期中）已知1F 、2F 分别为双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左、右焦点，且2122||b F F a=，点P 为双曲线右支一点，I 为△12PF F 的内心，若1212IPF IPF IF F S SSλ=+成立，则下列结论正确的有( )A ．当2PF x ⊥轴时，1230PF F ∠=︒B ．离心率e =C ．λ=D ．点I 的横坐标为定值a【解析】解：当2PF x ⊥轴时，22121||||2b PFc F F a ===，此时121tan 2PF F ∠=，所以A 错误；2122||b F F a =，∴2222222b c a c a a-==， 整理得210(e e e --=为双曲线的离心率），1e >，∴e =，所以B 正确． 设△12PF F 的内切圆半径为r ，由双曲线的定义得12||||2PF PF a -=，12||2F F c =，111||2IPF S PF r =，221||2PF S PF r =，12122F F S cr cr ==，1212IPF IPF IF F SSSλ=+，∴1211||||22PF r PF r cr λ=+，故12||||2PF PF ac cλ-====C正确．设内切圆与1PF、2PF、12F F的切点分别为M、N、T，可得11||||||||PM PN F M FT==，22||||F N F T=．由121212||||||||||||2PF PF F M F N FT F T a-=-=-=，1212||||||2F F FT F T c=+=，可得2||F T c a=-，可得T的坐标为(,0)a，即Ⅰ的横坐标为a，故D正确；故选：BCD．三．填空题（共20小题）30．（2020秋•建瓯市校级月考）已知等差数列{}na的前n项和为nS，且56a=，3914a a+=，数列{}nb满足1nnbS n=-，记{}nb的前n项和为nT，nT的最小值为t，若(,0)x y t x y+=>，则14x y+最小值为9．【解析】解：由等差数列中项公式知，396142a a a+==，67a∴=，56a =，∴公差1d=，∴数列{}na的通项公式为5(5)1na a n d n=+-=+，12a∴=，1()(3)22nnn a a n nS++==，12112()(1)1nnbS n n n n n∴===--++，121111122[(1)()()]222311n nT b b bn n n∴=++⋯+=-+-+⋯+-=-++，是单调递增数列，故nT的最小值为11t T==，1x y∴+=，∴141444()()5()529y x y x x y x y x y x y x y +=++=+++=，当且仅当4y x x y =，即13x =，23y =时，等号成立， ∴14x y+的最小值为9． 故答案为：9．31．（2020•鄂州期末）对于函数22,0()12,02x x e x f x x x x ⎧⋅⎪=⎨-+>⎪⎩有下列命题： ①在该函数图象上一点(2-，(2))f -处的切线的斜率为22e -； ②函数()f x 的最小值为2e-；③该函数图象与x 轴有4个交点；④函数()f x 在(-∞，1]-上为减函数，在(0，1]上也为减函数． 其中正确命题的序号是 ①②④ ．【解析】解：0x 时，()2x f x xe =，()2(1)x f x x e '=+，故22(2)f e '-=-，①正确； 且()f x 在(,1)-∞-上单调递减，在(1,0)-上单调递增，故0x 时，()f x 有最小值2(1)f e-=-，0x >时，21()22f x x x =-+在(0,1)上单调递减，在(1,)+∞上单调递增，故0x >时，()f x 有最小值f （1）122e=->-故()f x 有最小值2e-，②④正确；因为0x <时，()f x 恒小于0，且()0f x =，故该函数图象与x 轴有3个交点，③错误； 故答案为：①②④32．（2020•厦门模拟）双曲线2222:1(0,0)x y a b a bΓ-=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，过1F 的直线与Γ的左、右两支分别交于A ，B两点，点M 在x 轴上，213F A MB =，2BF 平分1F BM ∠，则Γ【解析】解：根据题意，作出如下所示的图形，由题可知，122F F c =，213F A MB =，∴△12F AF ∽△1F BM ，24F M c ∴=，设2AF m =，则3BM m =， 由角分线定理可知，2BF 平分1F BM ∠，∴11222142BF F F c BM F M c ===，132m BF ∴=，11132mAF BF ==，123AB BF m ==， 由双曲线的定义知，212AF AF a -=，22mm a ∴-=，即4m a =①， 122BF BF a -=，2322mBF a m ∴=-=，22BF AB AF m ∴===，即2ABF ∆是等边三角形，2260F BM ABF ∴∠=∠=︒，在△2F BM 中，由余弦定理知，2222222cos 2BF BM F M F BM BF BM +-∠=⋅⋅，即2221916223m m c m m +-=⋅⋅，化简得，22716m c =②，由①②可得，227c a =，∴离心率ce a==．33．（2020秋•湖北月考）已知1F ，2F 分别为双曲线2222:1x y C a b-=的左、右焦点，C 的离心率2e =，过2F 的直线与双曲线C 的右支交于A 、B 两点（其中A 点在第一象限），设点M 、N 分别为△12AF F 、△12BF F 的内心，则||MN 的范围是 [2a，) .（用只含有a 的式子表示） 【解析】解：记边1AF 、2AF 、12F F 上的切点分别为R 、S 、T ， 有M 、T 横坐标相等，则||||AR AS =，11|||F MR FT =，22||||F S F T =，由12||||2AF AF a -=，即12||||(||||)2AR RF AS SF a +-+=，得12||||2RF SF a -=， 即12||||2FT F T a -=，记M 的横坐标为0x ，则0(T x ，0)， 于是00()2x c c x a +--=，得0x a =，同样内心N 的横坐标也为a ，则有MN x ⊥轴， 设直线AB 的倾斜角为θ，则22OF N θ∠=，2902MF O θ∠=︒-，在△2MF N 中，sincos22||()[tantan(90)]()()22cos sin 22MN c a c a θθθθθθ=-+︒-=-+ 22222()()sin sin cos 22sin cos c a c a θθθθθ+=-⋅=-⋅，由双曲线的离心率为2．即2c a =， 可得2||sin a MN θ=， 由于直线AB为右支上一点，且一条渐近线的斜率为ba=60︒， 可得6090θ︒<︒sin 1θ<， 可得||MN 的范围是[2a)． 故答案为：[2a)．34．（2020秋•湖南月考）“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等物理声学作用，激起水波，形成涌泉．声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强m 与标准声调00(m m 约为1210-，单位：2/)W m 之比的常用对数称作声强的声强级，记作L（贝尔），即0mL lgm =，取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝．已知某处“喊泉”的声音响度y （分贝）与喷出的泉水高度x （米)满足关系式2y x =，现知A 同学大喝一声激起的涌泉最高高度为50米，若A 同学大喝一声的声强大约相当于10个B 同学同时大喝一声的声强，则B 同学大喝一声激起的涌泉最高高度约为 45 米．【解析】解：设B 同学的声强为m ，喷出泉水高度为x 米，则A 同学的声强为10m ，喷出泉水高度为50米， 由题意可得：0010********m lg x m m lg m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⨯⎪⎩，得000.2110lgm lgm x lgm lgm -=⎧⎨+-=⎩，两式相减得1100.2x =-，解得45x =米． 故答案为：45．35．（2020秋•河南月考）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c，a =34A π=，若b c λ+有最大值，则实数λ的取值范围是．【解析】解：由正弦定理得：2sin sin sin b c aB CA====，所以2(sin sin )2sin 2sin()2sin )(24b c B C B B B B B B B πλλλλλ+=+=+-=+=，当20λ=，即λ=时，b c B λ+=，没有最大值， 所以λ≠，则sin()b c B λϕ+=+，其中tan ϕ=， 要使b c λ+有最大值，则22B πϕπ+=+，可得22B πϕπ=+-，由于04B π<<，所以422B πππ<-<，所以tan tan()12B πϕ=->1>，解得2λ<<λ的取值范围是(2．故答案为：． 36．（2020秋•重庆月考）已知双曲线22:188x y C -=的左焦点为F ，点M 在双曲线C 的右支上，(0,4)A ，当MAF ∆的周长最小时，MAF ∆的面积为 12 ．【解析】解：由双曲线22:188x y C -=，得a =，4c =．设右焦点坐标为1(4,0)F ，周长11||||||||(2||)||||L AF MA MF MA a MF MA MF =++=+++=++，11||||||MA MF AF +，M ∴，A ，1F 三点共线时，1||||MA MF +有最小值1||AF =此时1AF 所在直线方程为4x y +=，联立224188x y x y +=⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得(3,1)M ，即当(3,1)M 时，MAF ∆的周长最小，此时18(41)122MAF S ∆=⨯-=．故答案为：12．37．（2020秋•辽宁月考）已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左焦点为F ，过F 且与C 的一条渐近线垂直的直线l 与C 的右支交于点P ，若A 为PF 的中点，且3||(2bOA a O =-为坐标原点），则C 的离心率为． 【解析】解：设C 的右焦点为1F ，不妨设直线l 与渐近线by x a=-交于点B ，在直角三角形BOF 中，由双曲线的性质可得||BF b =，||OB a =， 3||2bOA a =-，1||2||PF OA =， 1||||2PF PF a -=，所以，13||||22()232bPF PF a a a b =+=-+=， 可得||3FP b =， 从而3||2b AF =，||||||2b AB AF BF =-=， 在直角三角形ABO 中，2223()()22b ba a -=+， 化简可得32b a =，所以e ===．38．（2020秋•湖南月考）边长为ABCD 的顶点均在表面积为28π的球O 的球面上，1O 为正方形ABCD 的中心，△1O AB 绕AB 旋转，其顶点1O 接触到球面时设为E ，则二面角E AB D --的大小为 120︒或60︒ ．【解析】解：如图，取AB 中点H ，连接1O H ，EH ，OH ，则1O HE ∠即为二面角E AB D --的平面角．由已知得R =，BD =1O B =11OO =，1O H =2OH =， 130O HO ∴∠=︒．1O H EH =OE =，OH EH ∴⊥，1120O HE ∠=︒，同理当E 在下方时160O HE ∠=︒．故答案为：120︒或60︒．39．（2020秋•沙坪坝区校级月考）已知数列{}n a 满足：152a =，2112(*)2n n n a a a n N +=-+∈，若上取整函数[]x 表示不小于x 的最小整数（例如：[1.2]2=，[3]3)=，则122020111[]a a a ++⋯+= 2 ．【解析】解：数列{}n a 满足：152a =，21122n n n a a a +=-+，整理得111122n n na a a +=---，所以111122n n n a a a +=---． 所以1220201202120211111112222a a a a a a ++⋯+=-=----， 由于221112(2)022n n n n a a a a +-=+-->，所以数列{}n a 单调递增， 由于152a =，2218a =，3 2.82a ≈，4 3.16a ≈，故当4n 时，3n a >， 所以20213a >， 12202011112a a a <++⋯+<， 整理得122020111[]2a a a ++⋯+=．故答案为：2．40．（2020秋•沙坪坝区校级月考）已知平面向量a ，b ，c 满足||1a =，||2a b -=，()()0a c b c -⋅-=，则||c 的最大值为 3 ．【解析】解：如图：设OA a =，OB b =，OC c =，||1a =，||2BA =，所以B 在以A 为圆心半径为2的圆上，又()()0a c b c -⋅-=，即0CA CB ⋅=，所以点C 在以AB 为直径的圆M 上， 则||||||1||3c OC MO OD =+=．（此时，C 与D 重合，||2AD =，||1)OA =．所以||c 的最大值为3． 故答案为：3．41．（2020秋•12月份月考）函数()f x 为定义在R 上的偶函数，且在[0，)+∞上单调递增，现有下列四个命题：①函数()()cos g x f x x =为奇函数；②函数()[()h x x f x f =-（2）]有且只有3个零点；③不等式[()x f x f -（2）]0的解集为(-∞，2][0-⋃，2]； ④()f x 的解析式可能为2()x x f x e e x -=+-． 其中所有真命题的序号是 ②③④ ．【解析】解：若()()cos y x f x x =，则()()cos()()cos ()g x f x x f x x g x -=--==， 则()()cos g x f x x =为偶函数，①是假命题．设函数()()F x f x f =-（2），F （2）f =（2）f -（2）0=，(2)0F -=，()F x 在R 上有且只有2个零点， 所以h （2）(2)(0)0h h =-==，()h x 在R 上有且只有3个零点，②是真命题． 因为[()x f x f -（2）]0，所以当0x <时，()f x f -（2）0，即()(2)f x f -，可得2x -， 当0x 时，()f x f -（2）0，即()f x f （2），可得02x ， 故[()x f x f -（2）]0的解集为(-∞，2][0-⋃，2]，③是真命题． 若2()x x f x e e x -+-，则此函数满足()f x 为偶函数，()2x x f x e e x -'---， 设()()p x f x '=，()2220x x p x e e -'=+--=． 则()p x 为R 上的增函数， 在[0，)+∞上，()(0)0f x f ''=，所以此函数还满足在[0，)+∞上单调递增，④是真命题． 故答案为：②③④．42．（2020秋•南京期中）如图所示，多面体ABCDEFGH 中对角面CDEF 是边长为6的正方形，//AB CD =，//HG DE =，且AB ，GH 到平面CDEF 的距离都是3，则该多面体的体积为 108 ．【解析】解：//AB CD ，AB CD =，∴四边形ABCD 为平行四边形，则//AD BC ， AD ⊂/平面BCF ，BC ⊂平面BCF ，//AD ∴平面BCF ， 又四边形CDEF 为平行四边形，DE ⊂/平面BCF ，CF ⊂平面BCF ，//DE ∴平面BCF ， 又AD DE D =，∴平面//ADE 平面BCF ，再由////AB CD EF ，可得ADE CBF -为三棱柱；同理可证DCH EFG -为三棱柱．在三棱柱ADE CBF -中，连接CE ，BE ，DB ， AB 到平面CDEF 的距离都是3，B ∴到平面CEF 的距离为3，又CDEF 是边长为6的正方形，∴116631832B CEF V -=⨯⨯⨯⨯=， 18B CDE B CEF E BCD E ABD V V V V ----====，则31854DAE CBF V -=⨯=；同理可得54DCH EFG V -=．∴该多面体的体积为5454108+=．故答案为：108．43．（2020秋•苏州期中）已知定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，其导函数为()f x '，当0x 时，()1()xf x f x '>-．若对任意x R ∈，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，则正整数a 的最大值为 2【解析】解：根据题意构造()()F x xf x x =-，由定义在R 上的函数()f x 关于y 轴对称，可得()f x 为偶函数， 又()()()()F x xf x x xf x x F x -=--+=-+=-，所以()F x 为奇函数， 当0x 时，()1()xf x f x '>-，即()()1xf x f x '+>，即()()()10F x f x xf x '=+'->，所以()F x 在[0，)+∞递增，所以()F x 为R 上的奇函数且单调递增，因为对任意x R ∈，不等式()()0x x x e f e e ax axf ax -+->恒成立，即()()0x F e F ax ->，即()()x F e F ax >，可得x e ax >对任意x R ∈恒成立．又x y e ax =-的导数为x y e a '=-，当0a 时，0x e a ->，函数x y e ax =-为增函数，x e ax >对任意x R ∈不恒成立； 当0a >时，x lna >时，0y '>，函数y 递增；x lna <时，0y '<，函数y 递减． 可得x lna =时，函数y 取得最小值，且为a alna -，则0a alna ->，解得0a e <<，故正整数a 的最大值为2．故答案为：2．44．（2020秋•湖北月考）已知底面为矩形的四棱锥P ABCD -的每个顶点都在球O 的球面上，PA AD ⊥，PA AB =，PB =，且BC =若球O 的体积为323π，则棱PB 的中点到平面PCD 的距离为 ．【解析】解：PA AB =，PB ，PA AB ∴⊥，又PA AD ⊥，AD AB A =，PA ∴⊥平面ABCD ．底面ABCD 为矩形，∴侧棱PC 为球O 的直径，设球O 的半径为R ，则343233R ππ=，得2R =，又R =2AB ∴=． 过A 作AG PD ⊥于G ，取棱PA 的中点F ，连接EF ．可得CD ⊥平面APD ，则CD AG ⊥，从而AG ⊥平面PCD ．由等面积法可得AG ==，则F 到平面PCD 的距离为12AG = ////EF AB CD ，//EF CD ∴，则E 到平面PCD 的距离等于F 到平面PCD 的距离，故棱PB 的中点到平面PCD45．（2020秋•浦东新区校级期中）已知函数3(0)()(0)x x f x x x ⎧=⎨-<⎩，若函数2()()|2|()g x f x kx x k R =--∈恰有4个不同的零点，则k 的取值范围是 (-∞，0)⋃) ．【解析】解：若函数2()()|2|()g x f x kx x k R =--∈恰有4个零点， 则2()|2|f x kx x =-有四个根，即()y f x =与2()|2|y h x kx x ==-有四个交点，当0k =时，()y f x =与|2|2||y x x =-=图象如下：两图象只有两个交点，不符合题意；当0k <时，2|2|y kx x =-与x 轴交于两点10x =，2212()x x x k=<， 图象如图所示：当1x k =时，函数2|2|y kx x =-的函数值为1k -，函数y x =-的函数值为1k -，∴两图象有4个交点，符合题意；当0k >时，2|2|y kx x =-与x 轴交于两点10x =，2212()x x x k =>，在[0，2)k内两函数图象有两个交点， 则若有四个交点，只需3y x =与22y kx x =-在2(k，)+∞内有两个交点即可， 即322x kx x =-在2(k ，)+∞还有两个根，也就是2k x x =+在2(k，)+∞内有两个根，函数222y x x =+，（当且仅当x =时，取等号）， 20k∴<<k >k >综上所述，k 的取值范围为(-∞，0)⋃)+∞．故答案为：(-∞，0)⋃)+∞．46．（2020秋•山东月考）已知函数2()|1|f x x x =--，若关于x 的方程()|1|f x a x =+恰有两个实数根，则实数a 的取值范围是 (1,5){0} ．【解析】解：由题意可知2|1||1|x x a x --=+，显然1x =-不是方程的实数根，则2|1|1|(1)3||1|1x x a x x x --==++-++， 故关于x 的方程()|1|f x a x =+恰有两个实数根， 等价于y a =与1|(1)3|1y x x =++-+的图象恰有两个不同的交点， 画出1|(1)3|1y x x =++-+的大致图象，如图所示， 由图象可得实数a 的取值范围(1,5){0}．。

2021年新高考数学名校地市必刷题（新高考专用）专项题02 真假命题判断与应用姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________一、选选题（共10小题）1.（2020•天津一模）已知a∈R，则“﹣1＜a＜0”是“ax2+2ax﹣1＜0对∀x∈R恒成立”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：a＝0时，不等式化为﹣1＜0，满足条件．a＜0时，ax2+2ax﹣1＜0对∀x∈R恒成立，△＝4a2+4a＜0，解得﹣1＜a＜0，∴“﹣1＜a＜0”是“ax2+2ax﹣1＜0对∀x∈R恒成立”的充分不必要条件．故选：A．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件2.（2019•思明区校级二模）已知函数f（x）＝e x﹣ax有两个零点x1，x2，则下列判断：①a＜e；②x1+x2＜2；③x1•x2＞1；④有极小值点x0，且x1+x2＜2x0．则正确判断的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解答】解：对于①，∵f（x）＝e x﹣ax，∴f′（x）＝e x﹣a，令f′（x）＝e x﹣a＞0，当a≤0时，f′（x）＝e x﹣a＞0在x∈R上恒成立，∴f（x）在R上单调递增．当a＞0时，∵f′（x）＝e x﹣a＞0，∴e x﹣a＞0，解得x＞lna，∴f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增．∵函数f（x）＝e x﹣ax有两个零点x1、x2，∴f（lna）＜0，a＞0，∴e lna﹣alna＜0，∴a＞e，所以①错误；对于②，x1+x2＝ln（a2x1x2）＝2lna+ln（x1x2）＞2+ln（x1x2），取a＝，f（2）＝e2﹣2a＝0，∴x2＝2，f（0）＝1＞0，∴0＜x1＜1，∴x1+x2＞2，所以②错误；对于③，f（0）＝1＞0，∴0＜x1＜1，x1x2＞1不一定，∴③错误；对于④，f（x）在（﹣∞，lna）单调递减，在（lna，+∞）单调递增，∴有极小值点x0＝lna，且x1+x2＜2x0＝2lna，所以④正确．综上，正确的命题序号是故选：D．【知识点】命题的真假判断与应用3.（2019•汉阳区校级模拟）下列命题为真命题的个数是（）①ln3＜；②lnπ＜；③＜15；④3eln2＜4A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：构造函数f（x）＝，导数为f′（x）＝，当0＜x＜e时，f′（x）＞0，f（x）递增，x＞e时，f′（x）＜0，f（x）递减，可得x＝e处f（x）取得最大值，ln3＜⇔2ln＜ln2⇔＜，由＜2＜e可得f（）＜f（2），故①正确；lnπ＜⇔＜，由＜＜e，可得f（）＜f（），故②错误；＜15⇔＜，由e﹣2＜﹣2，可得f（2）＜f（），故③正确；3eln2＜4⇔＜＜，由f（x）的最大值为，故④正确．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用4.（2019•佛山一模）设a为常数，函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，给出以下结论：①若a＞1，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点；②若0＜a＜1，则存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0：③若a＜0，则当x＜0时，f（x）＜0其中正确结论的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【解答】解：函数f（x）＝e x（x﹣a）+a，可得f（0）＝0，f（x）恒过原点，①，若a＞1，由f（x）的导数为f′（x）＝e x（x﹣a+1），即有x＞a﹣1时，f（x）递增；x＜a﹣1时，f（x）递减，可得x＝a﹣1处取得最小值，且f（a﹣1）＝a﹣e a﹣1，由e x≥x+1，可得a﹣e a﹣1＜0，则f（x）在区间（a﹣1，a）上有唯一零点，故正确；②，若0＜a＜1，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→+∞时，f（x）→+∞，可得存在实数x0，当x＜x0时，f（x）＞0，故正确；③，若a＜0，由①可得f（x）的最小值为f（a﹣1）＜0，且x→﹣∞时，f（x）→﹣∞，当x＜0时，f（x）＜0，故正确．故选：D．【知识点】命题的真假判断与应用5.（2019•海淀区二模）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是对角线AC1上的动点（点P与A，C1不重合）．则下面结论中错误的是（）A．存在点P，使得平面A1DP∥平面B1CD1B．存在点P，使得AC1⊥平面A1DPC．S1，S2分别是△A1DP在平面A1B1C1D1，平面BB1C1C上的正投影图形的面积，对任意点P，S1≠S2 D．对任意点P，△A1DP的面积都不等于【解答】解：对于A选项，当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时，因为BD∥B1D1，BD⊄平面B1CD1，B1D1⊂平面B1CD1，所以BD∥平面B1CD1，同理A1B∥平面B1CD1，又因为BD∩A1B＝B，BD⊂平面A1DP，A1B⊂平面A1DP，所以平面A1DP∥平面B1CD1；对于B选项，当当点P为平面A1BD与直线AC1的交点时，连接AD1，则A1D⊥AD1，又因为C1D1⊥平面ADD1A1，A1D⊂平面ADD1A1，所以A1D⊥C1D1，又C1D1∩AD1＝D1，所以A1D⊥平面AC1D1，所以AC1⊥A1D，同理AC1⊥A1B，又因为A1D∩A1B＝A1，A1D⊂平面A1DP，A1B⊂平面A1DP，AC1⊥平面A1DP；对于选项C，在点P从AC1的中点向着点A运动的过程中，S1从减小的趋向于0，S2从接近0增大到趋向于，在此过程中，必有某个点P使得S1＝S2；对于选项D，∵△A1AP≌△DAP，∴DP＝A1P，即三角形A1PD是等腰三角形，所以当P到A1D的距离最小时，三角形A1DP的面积最小，又因为P在AC1上，A1D和AC1异面，所以当P∈平面A1BD时，P与A1D中点E的连线是两异面直线的共垂线段，P到A1D的距离最短，为，而A1D＝，所以，△A1DP的面积的最小值为S min＝＝，所以对任意点P，△A1DP的面积都不等于．故选：C．【知识点】命题的真假判断与应用6.（2020•宝鸡二模）已知α，β是两平面，l，m，n是三条不同的直线，则不正确命题是（）A．若m⊥α，n∥α，则m⊥nB．若m∥α，n∥α，则m∥nC．若l⊥α，l∥β，则α⊥βD．若α∥β，l⊄β，且l∥α，则1∥β【解答】解：对于A，若m⊥α，n∥α，则m⊥n，故正确；对于B，若m∥α，n∥α，则m与n位置关系不定，故错；对于C，利用面面垂直的判定，可得若l⊥α，l∥B，则α⊥β，故正确对于D，利用线面平行的判定，可得若α∥β，l⊄β，且l∥α，则1∥β，故正确；故选：B．【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系、命题的真假判断与应用、空间中直线与平面之间的位置关系7.（2020•咸阳二模）关于函数f（x）＝+cos2x，下列说法正确的是（）A．函数f（x）的定义域为RB．函数f（x）一个递增区间为[﹣，]C．函数f（x）的图象关于直线x＝对称D．将函数y＝sin2x图象向左平移个单位可得函数y＝f（x）的图象【解答】解：f（x）＝+cos2x＝＝，对于A，tan x有意义，则，所以函数的定义域为，即A错误；对于B，令，则，当k＝0时，x∈[﹣，]，即B正确；对于C，函数f（x）的定义域不关于直线x＝对称，即C错误；对于D，y＝sin2x图象向左平移个单位得到的函数为＝f（x），但两个函数的定义域不同，即D错误．故选：B．【知识点】命题的真假判断与应用8.（2020•潍坊二模）在单位圆O：x2+y2＝1上任取一点P（x，y），圆O与x轴正向的交点是A，设将OA绕原点O旋转到OP所成的角为θ，记x，y关于θ的表达式分别为x＝f（θ），y＝g（θ），则下列说法正确的是（）A．x＝f（θ）是偶函数，y＝g（θ）是奇函数B．x＝f（θ）在为增函数，y＝g（θ）在为减函数C．f（θ）+g（θ）≥1对于恒成立D．函数t＝2f（θ）+g（2θ）的最大值为【解答】解：由题可知，x＝f（θ）＝cosθ，y＝g（θ）＝sinθ，即A正确；x＝f（θ）＝cosθ在上为增函数，在上为减函数；y＝g（θ）＝sinθ在上为增函数，即B错误；f（θ）+g（θ）＝cosθ+sinθ＝，∵，∴，，即C正确；函数t＝2f（θ）+g（2θ）＝2cosθ+sin2θ，θ∈[0，2π]，则t'＝﹣2sinθ+2cos2θ＝﹣2sinθ+2（1﹣2sin2θ）＝﹣2（2sinθ﹣1）（sinθ+1），令t'＞0，则；令t'＜0，则，∴函数t在上单调递增，在上单调递减，当sinθ＝，时，函数t取得最大值，为，即D错误．故选：AC．【知识点】命题的真假判断与应用、函数的最值及其几何意义、函数奇偶性的性质与判断9.（2020•烟台一模）如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P，M分别为棱CD，CC1的中点，Q为面对角线A1B上任一点，则下列说法正确的是（）A．平面APM内存在直线与A1D1平行9B．平面APM截正方体ABCD﹣A1B1C1D1所得截面面积为C．直线AP和DQ所成角可能为60°D．直线AP和DQ所成角可能为30°【解答】解：A选项：直线A1D1∥平面ABCD，平面ABCD∩平面APM＝直线AP，直线AP与直线A1D1不平行，于是A错；B选项：平面APM截正方体为平面APMB1，该四边形为等腰梯形，，于是B正确；C，D选项：当点Q在A1时两直线的夹角最小，当Q在B处时两直线的夹角最大，，所以可得θ＞30°，θ＞60°，于是C正确，D错误．故选：BC．【知识点】命题的真假判断与应用10.（2020•潍坊一模）如图，点O是正四面体P﹣ABC底面ABC的中心，过点O的直线交AC，BC于点M，N，S是棱PC上的点，平面SMN与棱P A的延长线相交于点Q，与棱PB的延长线相交于点R，则（）A．若MN∥平面P AB，则AB∥RQB．存在点S与直线MN，使PC⊥平面SRQC．存在点S与直线MN，使D．是常数【解答】解：A选项：因为MN∥平面P AB，面ABC∩面P AB＝AB，所以MN∥AB；又面SQR∩面P AB＝QR，所以MN∥QR；所以AB∥QR；B选项取PC中点G，连接AG，BG，则AG⊥PC，BG⊥PC，所以PC⊥面ABG，过AC上一点M，作MS∥AG，SN∥BG，则面ABG∥面SMN，所以存在点S与直线MN满足条件；C选项由最小角定理知，PC与面P AB所成角的最小角为∠CPD，PD为∠APB的角平分线，最大角为∠CPD＝60°，不可能为直角，所以C不成立；D选项═，，，设，所以，因为O，Q，R，S四点共面，所以，所以，所以，得证．故选：ABD．【知识点】空间中直线与直线之间的位置关系、命题的真假判断与应用二、填空题（共8小题）11.（2020•衡阳二模）《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵（qiandu）；阳马指底面为矩形，一侧棱垂直于底面的四棱锥，鳖膈（bienao）指四个面均为直角三角形的四面体．如图在堑堵ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，C1C＝BC＝2．给出下列四个结论：①四棱锥B﹣ACC1A1为阳马；②直线BC1与平面ACC1A1所成角为45°；③当AB＝1时，异面直线BC与AC1所成的角的余弦值为；④当三棱锥C1﹣ABC体积最大时，四棱锥B﹣A1ACC1的外接球的表面积为8π．其中，所有正确结论的序号是．【解答】解：对于①，∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵AA1⊥平面ABC，∴AA1⊥AB，又AB⊥AC，且AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面ACC1A1，即四棱锥B﹣ACC1A1为阳马，故①正确；对于②，由①可知AB⊥平面ACC1A1，∴∠AC1B为直线BC1与平面ACC1A1所成角，假如∠AC1B＝45°，则Rt△AC1B为等腰直角三角形，∴，这与在Rt△ABC中AB＜BC＝2矛盾，故②不正确；对于③，当AB＝1时，，，，B 1C1＝2，∵B1C1∥BC，∴∠AC1B1为异面直线BC与AC1所成的角（或补角），在△AC1B1中，，∴异面直线BC与AC1所成的角的余弦值为，故③正确；对于④，三棱锥C1﹣ABC体积为：，当且仅当时，取“＝”，现将三棱柱ABC﹣A1B1C1补成长方体ABDC﹣A1B1D1C1，则长方体ABDC﹣A1B1D1C1的外接球与四棱锥B﹣A1ACC1的外接球为同一个球，∴球的直径，∴，故④正确．∴所有正确结论的序号是①③④．故答案为：①③④．【知识点】命题的真假判断与应用12.（2019•海淀区二模）已知集合A0＝{x|0＜x＜1}．给定一个函数y＝f（x），定义集合A n＝{y|y＝f（x），x∈A n}若A n∩A n﹣1＝∅对任意的n∈N*成立，则称该函数y＝f（x）具有性质“g”．﹣1（I）具有性质“g”的一个一次函数的解析式可以是；（Ⅱ）给出下列函数：①；②y＝x2+1；③，其中具有性质“9”的函数的序号是．（写出所有正确答案的序号）【解答】解：（I）可取y＝x+1，由A0＝{x|0＜x＜1}，A n＝{y|y＝f（x），x∈A n﹣1}，可得A1＝{y|1＜y＜2}，A2＝{y|2＜y＜3}，…，A n﹣1＝{y|n﹣1＜y＜n}，A n＝{y|n＜y＜n+1}，满足A n∩A n﹣1＝∅对任意的n∈N*成立；（Ⅱ）①，由A0＝{x|0＜x＜1}，A n＝{y|y＝f（x），x∈A n﹣1}，可得A1＝{y|y＞1}，A2＝{y|0＜y＜1}，A3＝{y|y＞1}，A4＝{y|0＜y＜1}，…，满足A n∩A n﹣1＝∅对任意的n∈N*成立，故①具有性质“g”；②y＝x2+1，由A0＝{x|0＜x＜1}，A n＝{y|y＝f（x），x∈A n﹣1}，可得A1＝{y|1＜y＜2}，A2＝{y|2＜y＜5}，A3＝{y|5＜y＜26}，…，满足A n∩A n﹣1＝∅对任意的n∈N*成立，故②具有性质“g”；③，由A0＝{x|0＜x＜1}，A n＝{y|y＝f（x），x∈A n﹣1}，可得A1＝{y|2＜y＜3}，A2＝{y|1＜y＜2}，A3＝{y|1＜y＜2}，…，不满足A n∩A n﹣1＝∅对任意的n∈N*成立，故③不具有性质“g”．故答案为：y＝x+1，①②．【知识点】命题的真假判断与应用13.（2019•咸阳一模）无论x，y，z同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，给出下列四个命题：①诺x∥y，x∥z，则y∥z；②若x⊥y，x⊥z，则y⊥z；③若x⊥y，y∥z，则x⊥z；④若x与y无公共点，y与z无公共点，则x与z无公共点；其中正确命题序号为．【解答】解：无论x，y，z同为三条不同的直线还是同为三个不同的平面，由平行于同一直线的两直线平行，平行于同一平面的两平面平行，可得①正确；由垂直于同一直线的两直线平行、相交或异面；垂直于同一平面的两平面相交或平行，可得②错误；由垂直于两平行直线中的一条，也垂直于另一条；垂直于两平行平面中的一个，也称终于另一个，可得③正确；若一条直线与另两条直线无公共点，可得另两条直线可以相交；若一个平面与另两个平面无公共点，可得另两个平面无公共点；可得④错误．故答案为：①③．【知识点】命题的真假判断与应用14.（2019•河南模拟）若x2﹣3x+2＜0是（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0的充分不必要条件，则实数m的取值范围是．【解答】解：由x2﹣3x+2＜0，得1＜x＜2．若m＞﹣1，则m＜2m+1，由（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0，得m＜x＜2m+1，∵若x2﹣3x+2＜0是（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0的充分不必要条件，∴，解得≤m≤1；若m＝﹣1，（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0的解集为∅，不合题意；若m＜﹣1，则2m+1＜m，由（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0，得2m+1＜x＜m，∵若x2﹣3x+2＜0是（x﹣m）（x﹣2m﹣1）＜0的充分不必要条件，∴，解得m∈∅．综上，实数m的取值范围是[]．故答案为：[]．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件15.（2019•十堰模拟）如图放置的边长为1的正方形P ABC沿x轴滚动，点B恰好经过原点．设顶点P（x，y）的轨迹方程是y＝f（x），则对函数y＝f（x）有下列判断：①函数y＝f（x）是偶函数；②对任意的x∈R，都有f（x+2）＝（x﹣2）③函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递减；④函数y＝f（x）的值域是[0，1]；⑤f（x）dx＝．其中判断正确的序号是．【解答】解：当﹣2≤x≤﹣1，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，当﹣1≤x≤1时，P的轨迹是以B为圆心，半径为的圆，当1≤x≤2时，P的轨迹是以C为圆心，半径为1的圆，当3≤x≤4时，P的轨迹是以A为圆心，半径为1的圆，∴函数的周期是4．因此最终构成图象如下：①，根据图象的对称性可知函数y＝f（x）是偶函数，故①正确；②，由图象即分析可知函数的周期是4．即f（x+4）＝f（x），即f（x+2）＝f（x﹣2），故②正确；③，函数y＝f（x）在区间[2，3]上单调递增，故③错误；④，由图象可得f（x）的值域为[0，]，故④错误；⑤，根据积分的几何意义可知f（x）dx＝π•（）2+×1×1+π×12＝+，故⑤正确．故答案为：①②⑤．【知识点】命题的真假判断与应用16.（2018•新余二模）对于函数f（x）＝，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y＝f（x）在区间[4，5]上单调递增；③f（x）＝2kf（x+2k）（k∈N+），对一切x∈[0，+∞）恒成立；④函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）＝m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2＝3．则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号）【解答】解：f（x）＝的图象如图所示：①∵f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故①正确；②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y＝f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；③f（）＝2f（+2）＝4f（+4）＝6f（+6）≠8f（+8），故不正确；故③错误，④如图所示，函数y＝f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故④正确，⑤当1≤x≤2时，函数f（x）关于x＝对称，若关于x的方程f（x）＝m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则＝，则x1+x2＝3成立，故⑤正确，故答案为：①④⑤．【知识点】分段函数的应用、命题的真假判断与应用17.（2018•潍坊一模）正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，底面边长为2，侧棱AA1＝1，P为上底面A1B1C1D1上的动点，给出下列四个结论：①若PD＝3，则满足条件的P点有且只有一个；②若，则点P的轨迹是一段圆弧；③若PD∥平面ACB1，则PD与平面ACC1A1所成角的正切的最大值为；④若PD∥平面ACB1，则平面BDP截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球所得图形面积最大值为．其中所有正确结论的序号为．【解答】解：如图，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为2，∴，又侧棱AA 1＝1，∴，则P与B1重合时PD＝3，此时P点唯一，故①正确；∵∈（1，3），DD 1＝1，则，即点P的轨迹是一段圆弧，故②正确；连接DA1，DC1，可得平面A1DC1∥平面ACB1，则当P为A1C1中点时，PD与平面ACC1A1所成角的正切的最大值为，故③正确；由③知，平面BDP即为平面BDD1B1，平面BDP截正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的外接球所得平面图形为外接球的大圆，其半径为，面积为，故④错误．∴正确结论的序号是①②．故答案为：①②③．【知识点】命题的真假判断与应用18.（2018•烟台一模）对于函数y＝e x f（x）（其中e是自然对数的底数），若存在实数T使得e x f（x）≥T在（0，+∞）上恒成立，则称函数f（x）具有性质“”．给出下列函数：①f（x）＝2e﹣2x+1②f（x）＝x2﹣2x；③f（x）＝sin x；④f（x）＝．其中具有性质“”的所有函数的序号为．【解答】解：①f（x）＝2e﹣2x+1，y＝e x f（x）＝2e﹣x+e x≥2＝2，当且仅当x＝ln时，取得等号，即满足题意；②f（x）＝x2﹣2x，y＝e x f（x）＝（x2﹣2x）e x导数为y′＝（x2﹣2）e x，当x＞时，导数y′＞0，函数y递增；当0＜x＜时，导数y′＜0，函数y递减；函数y取得最小值，满足题意；③f（x）＝sin x，y＝e x f（x）＝e x sin x的导数为y′＝e x（sin x+cos x），由sin x+cos x＝0，可得tan x＝﹣1，即x＝kπ﹣，k∈N*，则函数y无最小值，不满足题意；④f（x）＝，y＝e x f（x）＝的导数为y′＝，当x＞1时，导数y′＞0，函数y递增；当0＜x＜1时，导数y′＜0，函数y递减；函数y取得最小值，满足题意．故答案为：①②④．【知识点】命题的真假判断与应用三、解答题（共6小题）19.（2020•烟台一模）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，{b n}是各项均为正数的等比数列，a1＝b4，，b2＝8，b1﹣3b3＝4，是否存在正整数k，使得数列的前k项和•若存在，求出k的最小值；若不存在，说明理由．从①S4＝20，②S3＝2a3，③3a3﹣a4＝b2这三个条件中任选一个，补充到上面问题中并作答．注：如果选择多个条件分别解答，按一个解答计分【解答】解：设等比数列，b3＝8q，于是，，若选①，则，解得d＝2，，于是＝．k的最小值为16．若选②：，则a1＝d＝2．下同①．若选③：则a1＝b1＝2，3（a1+2d）﹣（a1+3d）＝8，解得，，，于是+＝＝．令．注意到k为正整数，解得k≥7，所以k的最小值为7．【知识点】命题的真假判断与应用、等差数列与等比数列的综合20.（2020•济南一模）在平面直角坐标系xOy中，①已知点A（，0），直线l：x＝，动点P满足到点A的距离与到直线l的距离之比为；②已知圆C的方程为x2+y2＝4，直线l为圆C的切线，记点A（，0），（﹣，0）到直线l的距离分别为d1，d2，动点P满足|P A|＝d1，|PB|＝d2；③点S，T分别在x轴，y轴上运动，且|ST|＝3，动点P满足＝+；（1）在①，②，③这三个条件中任选一个，求动点P的轨迹方程；（2）记（1）中的轨迹为E，经过点D（1，0）的直线l'交E于M，N两点，若线段MN的垂直平分线与y轴相交于点Q，求点Q纵坐标的取值范围．【解答】解：（1）若选①，设p（x，y），根据题意，，整理得，所以所求的轨迹方程为＝1．若选②，设P（x，y），直线l与圆相切于点H，则|P A|+|PB|＝d1+d2＝2|OH|＝4＞2＝|AB|，由椭圆定义知点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，所以2a＝4，2c＝|AB|＝2，故a＝2，c＝，b＝1，所以所求轨迹方程为．若选③，设P（x，y），S（x′，0），T（0，y′）则＝3（*）．因为＝+，所以，整理得，代入（*）得，所以所求轨迹方程为．（2）方法一：设Q（0，y0），当l′斜率不存在时，y0＝0，当l′斜率存在时，设直线l′的方程为y＝k（x﹣1）（k≠0），M（x1，y1），N（x2，y2），由，消去y整理得（1+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣1）＝0△＞0恒成立，x1+x2＝，设线段MN中点（x3，y3），则x3＝＝，y3＝k（x3﹣1）＝﹣，设线段MN的垂直平分线的方程为y+＝﹣（x﹣），令x＝0得y0＝＝当k＜0时，≤﹣4，当且仅当k＝﹣取等号，所以﹣≤y0＜0，当k＞0时，≥4，当且仅当k＝取等号，所以0＜y0≤，综上Q的纵坐标的取值范围是[﹣，]．方法二：设Q（0，y0），根据题意直线l′斜率不为0，设直线l′方程为x＝my+1，若m＝0，则y0＝0，当m≠0时，设M（x1，y1），N（x2，y2），，消去x整理得（m2+4）y2+2my﹣3＝0，△＞0恒成立，y1+y2＝﹣，设线段MN中点G（x3，y3），则y3＝＝﹣，x3＝my3+1＝，所以线段MN的垂直平分线方程为：y+＝﹣m（x﹣），令x＝0得y0＝＝，当m＜0时，m+≤﹣4，当且仅当m＝﹣2时，取等号，所以﹣≤y0＜0，当m＞0时，m+≥4，当且仅当m＝2时，取等号，所以0＜y0≤，综上点Q的纵坐标的取值范围是[﹣，]．【知识点】轨迹方程、命题的真假判断与应用21.（2019•西湖区校级模拟）已知命题p：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0表示圆；命题q：方程+＝1表示焦点在y轴上的椭圆．（I）若命题p为真命题时．求实数m的取值范围；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．【解答】解：命题P：方程x2+y2﹣4x+2my+2m2﹣m+2＝0即（x﹣2）2+（y+m）2＝﹣m2+m+2表示圆，∴﹣m2+m+2＞0，解得﹣1＜m＜2，命题q：方程+＝1表示焦点在y轴上的椭圆．∴5﹣a＞m﹣1＞0，解得1＜m＜6﹣a，（a＜5）．（Ⅰ）若命题p为真命题时．则实数m的取值范围是﹣1＜m＜2；（Ⅱ）若p是q的必要不充分条件，则q⇒p，∴1＜6﹣a≤2，解得4≤a＜5．∴实数a的取值范围是4≤a＜5．【知识点】充分条件、必要条件、充要条件22.（2019•武进区一模）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为ϕ，命题q：函数f（x）＝lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题p和q中有且仅有一个正确，求a的取值范围．【解答】解：①若p正确，则由题意可得≤1 恒成立，即的最大值为1，可得a＞1．（4分）②若q正确，则解集为R，（6分）当a＝0时，的解集不是R，不合题意，舍去；当a≠0时，则由解得．（10分）③∵p和q中有且仅有一个正确，∴，或，∴a≥8，或．故a的取值范围为[8，+∞）∪（，1]．（14分）【知识点】指数函数的单调性与特殊点、对数函数的单调性与特殊点、复合命题及其真假23.（2019•宿豫区校级模拟）设a为实数，给出命题p：关于x的不等式的解集为∅，命题q：函数f（x）＝lg[ax2+（a﹣2）x+]的定义域为R，若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，求实数a的取值范围．【解答】解：命题p：|x﹣1|≥0，∴，∴a＞1；命题q：不等式的解集为R，∴，解得；若命题“p∨q”为真，“p∧q”为假，则p，q一真一假；p真q假时，，解得a≥8；p假q真时，，解得；∴实数a的取值范围为：．【知识点】复合命题及其真假24.（2019•广东模拟）设有两个命题p，q，其中p：关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＞0的解集是R；q：f（x）＝log（2a2+a+1）x是减函数，且p∨q为真命题，求实数a的取值范围．【解答】解：若p真，则关于x的不等式x2+（a﹣1）x+a2＞0的解集是R，即△＜0即满足（a﹣1）2﹣4a2＜0解得a＜﹣1或a＞．若q真，即f（x）＝log（2a2+a+1）x是减函数满足0＜2a2+a+1＜1．解得＜a＜0；若满足p∨q为真命题，即满足或或；p真q真时，无解；即有：或即为；【知识点】一元二次不等式及其应用、四种命题的真假关系、对数函数的单调性与特殊点。

2021年高考数学的数列多选题含解析一、数列多选题1．已知数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， n S 是数列1 n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和，则下列结论中正确的是（ ） A ．()21121n nS n a -=-⋅ B ．212n n S S =C ．2311222n n n S S ≥-+ D ．212n n S S ≥+【答案】CD【分析】根据数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，得到1223+++=+n n a a n ，两式相减得：22n n a a +-=，然后利用等差数列的定义求得数列{} n a 的通项公式，再逐项判断.【详解】因为数列{} n a 满足11a =，121++=+n n a a n ，*n N ∈， 所以1223+++=+n n a a n ， 两式相减得：22n n a a +-=，所以奇数项为1，3，5，7，….的等差数列； 偶数项为2，4，6，8，10，….的等差数列； 所以数列{} n a 的通项公式是n a n =， A. 令2n =时， 311111236S =++=，而 ()1322122⨯-⋅=，故错误； B. 令1n =时， 213122S =+=，而 11122S =，故错误；C. 当1n =时， 213122S =+=，而 31132222-+=，成立，当2n ≥时，211111...23521n n S S n =++++--，因为221n n >-，所以11212n n >-，所以111111311...1 (352148222)n n n ++++>++++=--，故正确； D. 因为21111...1232n n S S n n n n-=+++++++，令()1111...1232f n n n n n=+++++++，因为()111111()021*******f n f n n n n n n +-=+-=->+++++，所以()f n 得到递增，所以()()112f n f ≥=，故正确； 故选：CD 【点睛】本题主要考查等差数列的定义，等比数列的前n 项和公式以及数列的单调性和放缩法的应用，还考查了转化求解问题的能力，属于较难题.2．意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一列数：1，1，2，3，5，8，…，该数列的特点是：前两个数均为1，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列{}n f 称为斐波那契数列. 并将数列{}n f 中的各项除以4所得余数按原顺序构成的数列记为{}n g ，则下列结论正确的是( ) A ．20192g = B ．()()()()222123222022210f f f f f f -+-=C ．12320192688g g g g ++++=D ．22221232019201820202f f f f f f ++++=【答案】AB 【分析】由+2+1+n n n f f f =可得()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-，可判断B 、D 选项；先计算数列{}n g 前几项可发现规律,使用归纳法得出结论：数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，可判断A 、C 选项. 【详解】 对于A 选项：12345678910111211,2,3,1,0,1,12310g g g g g g g g g g g g ============，，，，，，，所以数列{}n g 是以6为最小正周期的数列，又20196336+3=⨯，所以20192g =，故A 选项正确；对于C 选项：()()12320193361+1+2+3+1+0+1+1+22692g g g g ++++=⨯=，故C 选项错误；对于B 选项：斐波那契数列总有：+2+1+n n n f f f =，所以()()22222232122232221f f f f f f f f =-=-，()()22121222021222120f f f f f f f f =-=-， 所以()()()()222123222022210f f f f f f -+-=，故B 正确； 对于D 选项：()212+2+1112+n n n f f f f f f f f ==∴=，，，()222312321f f f f f f f f =-=-， ()233423432f f f f f f f f =-=-，，()2+112121n n n n n n n n f f f f f f f f +++++=-=-。

考点31 数列的综合问题1．若干个连续奇数的和（） A ．B ．C ．D ．【答案】D2．已知数列{}n a 满足11a =，()()11112n n n a a n n ++-=-+，则数列(){}1nn a -的前40项的和为（）A ．1920 B ．325462 C ．4184 D ．2041【答案】D【解析】由已知条件得到()()11112n n n a a n n ++-=-+，4039111141*3939412a a ⎛⎫-==- ⎪⎝⎭，3837111.......37392a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭2111132a a ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，左右两侧累加得到40393837363521111111.........12394137393a a a a a a a a ⎛⎫-+-+-++-=-+-+- ⎪⎝⎭正好是数列(){}1n n a -的前40项的和，消去一些项，计算得到2041。

故答案为D 。

3．吴敬《九章算法比类大全》中描述：远望魏巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？（）A ．5B ．4C ．3D ．2 【答案】C【解析】设塔顶1a 盏灯，则()712138121a -=-，解得13a=．故选C ．4．已知数列{}n a 满足111,2n n n a a a +==+，则10a =（） A ． 1024 B ． 1023 C ． 2048 D ． 2047 【答案】B5．已知数列{an}满足a 1a 2a 3…a n =22n （n ∈N*），且对任意n ∈N*都有12111nt a a a +++<则t 的取值X 围为（ ） A ．（13，+∞） B ． [13，+∞） C ．（23，+∞） D ． [23，+∞） 【答案】D【解析】∵数列{a n }满足a 1a 2a 3…a n =22n （n ∈N*），∴n =1时，a 1=2；n ≥2时，a 1a 2a 3…a n -1=2(1)2n -，可得a n =22n -1．∴1n a =2112n -，数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等比数列，首项为12，公比为14．∴11a +21a + (1)a =11124114n ⎛⎫-⎪⎝⎭-=2121343n⎛⎫-⎪⎝⎭＜． ∵对任意n ∈N*都有11a +21a +…+1n a ＜t ，则t 的取值X 围为23⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，． 故选：D ．6．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且15a =，()11622n n a a n -=-+≥，若对任意的*n N ∈，()143n p S n ≤-≤恒成立，则实数p 的取值X 围为（）A ．(]2,3B ．[]2,3C ．(]2,4D ．[]2,4 【答案】B7．已知数列{}n a 满足1362,4a a a ==，n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，则数列(){}1n n a -的前10项的和10S =（） A ． 220 B ． 110 C ． 99 D ． 55 【答案】B【解析】设等差数列n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为d ，则66315,3663a a a a d d =+=+，将已知值和等量关系代入，计算得2d =，所以()2112,2nn a a n d n a n n=+-==，所以()10123410=21210110S a a a a a -+-+++=+++=，选B.8．已知数列满足，，是数列的前项的和.（1）求数列的通项公式；（2）若，，成等差数列，，18，成等比数列，求正整数的值；（3）是否存在，使得为数列中的项？若存在，求出所有满足条件的的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）.（2），.（3）或14.9．设数列的前项和为，且满足（）.（1）求数列的通项公式；（2）是否存在实数,使得数列为等差数列？若存在，求出的值,若不存在,请说明理由. 【答案】(1)；(2)答案见解析.【解析】（1）由（），可知当时，.10．已知数列{}n a 的各项为正数，其前n 项和n S 满足212n n a S +⎛⎫= ⎪⎝⎭. （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设()()1111n n n b a a +=++，求数列{}n b 的前n 项的和n T ；（Ⅲ）在（Ⅱ）条件下，若245n m mT -<<对一切*n N ∈恒成立，某某数m 的取值X 围. 【答案】(1) 21n a n =-;(2) n T =()41n n +；（3）5542m ≤<.只需145{2148m m ≤-<解之得5542m ≤<. 11．已知数列{}n a 的首项为2，前n 项的和为n S ，且111241n n n a a S +-=-（*n N ∈）． （1）求2a 的值； （2）设1nn n na b a a +=-，求数列{}n b 的通项公式；（3）是否存在正整数n ，使得3n na a +为整数，若存在求出n ，若不存在说明理由. 【答案】（1）2143a =；（2）14n b n =-；（3）1n =12．已知数列{}n a 、{}n b ，其中，112a =，数列{}n a 满足()()111n n n a n a -+=-,()*2,n n N ≥∈，数列{}nb 满足112,2n n b b b +==．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式；（2）是否存在自然数m ，使得对于任意*,2,n N n ∈≥有12111814n m b b b -++++<恒成立？若存在,求出m 的最小值；（3）若数列{}n c 满足1,{ ,n n n n na c b n =为奇数为偶数，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 【答案】（1）2n n b =；（2）存在，16m =；（3）()()21243421,43{ 2421,43n n nn n n T n n n -+++-=++-为奇数为偶数． 【解析】（1）由()()111n n n a n a -+=-，即111n n a n a n --=+．()()2413111131n n n T b b b a a n a -⎡⎤=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+⎢⎥-⎢⎥⎣⎦()()2424222nn =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+241422214nn n ⎛⎫- ⎪+⎝⎭=⋅+-()2242143n n n +=+-.因此()()21243421,43{ 2421,43n n nn n n T n n n -+++-=++-为奇数为偶数．13．已知数列满足，.(1)求数列的通项公式；(2)证明：.【答案】（1）；(2)证明过程见解析14．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足()*111n n n N S a λ++=∈，λ为常数． （1）是否存在数列{}n a ，使得0λ=？若存在，写出一个满足要求的数列；若不存在，说明理由． （2）当1λ=时，求证：1111n n a a ++≥． （3）当12λ=时，求证：当3n ≥时，803n a <≤． 【答案】（1）不存在，理由见解析（2）证明见解析（3）证明见解析 【解析】（1）若0λ=，则1110n n S a ++=，即1n n S a +=-，即10n S +=，()112211112112111112222222222422n n n n n n n n n n n n n n n n a a S a a S a a a S S a a a a a ---------------⎛⎫+ ⎪+-⎝⎭====-+--++--，下同证1. 15．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，点(),n n S 在抛物线23122y x x =+上，各项都为正数的等比数列{}n b满足2411,416b b ==． （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）记n n n a a C a b =+,求数列{}n C 的前n 项和n T ．【答案】（1）31,n a n =-12nn b ⎛⎫= ⎪⎝⎭（2）()91227827n nn n T +=-++⋅16．在数列{}n a 中，223a =. （1）若数列{}n a 满足120n n a a +-=，求n a ； （2）若447a =，且数列(){}211n n a -+是等差数列.求数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 【答案】(1) 123n n a -=;(2) 2n T n =.【解析】试题分析：（1）由223a =，120n n a a +-=求出数列{a n }的首项，并得到数列{a n }是以13为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列的通项公式得答案；（2）由已知结合数列{（2n-1）a n +1}是等差数列求其公差，进一步得到数列{（2n-1）a n +1}的通项公式，代入n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭，再由等差数列的前n 项和得答案． 试题解析：（1）∵120n n a a +-=，223a =，∴0n a ≠，且12n na a +=，即数列{}n a 是公比为2的等比数列.∴1222•233n n n a --==.（2）设()211n n c n a =-+，则数列{}n c 是等差数列，∵223a =，447a =，∴23c =，45c =，∴数列{}n c 的公差为1，()321n c n n =+-=+，∵()2111n n n a c n -+==+，∴21n n a n =-，∴21nnn a =-，即数列n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为1，公差为2的等差数列，∴()21212nn n T n +-==. 17．在数列{}n a 中，10a ≠，12n n a a +=，n S 为{}n a 的前n 项和，记2161n nn n S S R a +-=，则数列{}n R 的最大项为第__________项. 【答案】618．函数()()()*112321,11,,1x n x e n f x g x f x a g g g g n N e n n n n --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+=++++∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则数列{}n a 的通项公式为__________． 【答案】21n a n =-19．已知数列，满足，若，则的前项的积为__________．【答案】2【解析】∵,，∴,同理可得：,可得，.则的前2017项的积为.20．已知数列的首项，且，如果是单调递增数列，则实数的取值X围是__________．【答案】(，)【解析】因为，所以，两式作差得，数列中，奇数项和偶数项分别为公差等于2的等差数列，又由条件可得，，若数列为递增数列，则只需，解得.故填(，).点睛：本题也可利用数列的通项公式求解，由题的解法可知数列和数列分别为等差数列，可分别求出其通项公式，然后根据求解，注意分类讨论，即当n 为奇（偶）数时，为偶（奇）数.21．已知数列是单调递增数列，则实数m 的取值X 围是_____________。

戊所得为ci + 2d = 1 —=—钱.3 3故选：D.2. （2021•山东高三专题练习）随着我国新冠疫情防控形势的逐渐好转，某企业开始复工复产.经统计，2020年7月份到12月份的月产量（单位：吨）逐月增加，且各月的产量成等差数列，其中7月份的产量为10吨,12月份的产量为20吨，则8月到11月这四个月的产量之和为（【答案】C 【解析】 利用等差数列下标和的性质可求得结果. 设2020年n （l<n<12,neN^）的产量为弓，由题意可知，数列｛%｝是等差数列，则。

7=10，知=20,贝！18月到11月这四个月的产量之和为纬+%+%0+% =2（%+鬼）=60吨. 故选：C.2021届新高考高三数学试卷专项练习07：数列【含解析】 一、单选题 1.（2021-聊城市•山东聊城一中高三一模）《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五 人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何？ ”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得之和与丙、丁、戊三人所得之和相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次为等差数列.问五人各得多少 钱？ ”（“钱”是古代一种重量单位）.这个问题中戊所得为（ c.；钱 A.:钱 B.—钱 4【答案】D【解析】由题意，设丙所得为。

钱，公差为d,结合等差数列的性质，有〈 c c, c C ,求。

,』，进而求戊所得. 2a-3d = 3a-}- 3d 【详解】由甲、乙、丙、丁、戊所得依次为等差数列，设丙所得为。

钱，公差为d,贝上甲、乙、丁、戊分别的 a 一 2d, a-d,a + d,a + 2d , 5a = 52a-3d = 3a + 3d ，得'A. 48 吨B. 54吨C. 60 吨D. 66 吨3.（2021-辽宁高三一模（理））某口罩厂的三个车间在一个小时内共生产3600个口罩，在出厂前要检查这批口罩的质量，决定采用分层抽样的方法进行抽取，若从一、二、三车间抽取的口罩数分别为a、b、c且a、b、c构成等差数列，则第二车间生产的口罩数为（）个.A. 800B. 100C. 1200D. 1500【答案】C【解析】根据等差数列的性质求得a,b,c的关系，结合分层抽样的定义，建立比例关系，即可求解.【详解】由题意，从一、二、三车间抽取的口罩数分别为a、b、c且a、b、c构成等差数列，可得a + c = 2Z?,b b则第二车间生产的口罩数为一-—x3600 = —x3600 = 1200个.a +b +c 3b故选：C.4.（2021-湖南岳阳市•高三一模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到2021这2021个数中，能被3除余2且被5整除余2的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列｛%｝,则此数列所有项中，中间项的值为（）A. 992B. 1022C. 1007D. 1037【答案】C【解析】由题可得a n =15n-13,可判断｛%｝共有135项，且中间项为第68项，即可求出.【详解】解：由题意可知，a n-2既是3的倍数，又是5的倍数，所以是15的倍数，即％—2 = 15（〃—1）,所以a n =15/1-13,当〃=135时，％35 =15x135 —13 = 2012v2021,当n = 136 时，％36 =15x136 — 13 = 2027 > 2021,故〃=1,2,3,・・・,135,数列｛%｝共有135项，因此数列中间项为第68项，且％=15x68 — 13 = 1007 .故中间项的值为1007.故选：C.5.（2021•山东青岛市•高三一模）在抛物线x2 =|y第一象限内一点（％,乂）处的切线与x轴交点横坐标记为a,』，其中neN* >已知缶=32, S“为｛%｝的前〃项和，若m > S n恒成立，则m的最小值为（）A. 16 B. 32 C. 64 D. 128【答案】D【解析】根据导数的几何意义求出切线方程，即可得到«…+1与a n的关系，从而判断出｛%｝是以!为公比的等比数列, 再根据等比数列前〃项和公式求出S,,得到S n的范围，即可求出.【详解】因为,=2必，y'=4x, k = 4a〃,所以切线：y— 2就=4。

数列1．（2021•浙江）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（n∈N*）．记数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．＜S100＜3B．3＜S100＜4C．4＜S100＜D．＜S100＜52．（2021•甲卷）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝（）A．7B．8C．9D．1016．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为；如果对折n次，那么S k＝dm2．17．（2021•上海）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝．33．（2021•浙江）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣，且4S n+1＝3S n﹣9（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足3b n+（n﹣4）a n＝0（n∈N*），记{b n}的前n项和为T n，若T n≤λb n对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．34．（2021•甲卷）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{a n}是等差数列．35．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知+＝2．（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式．36．（2021•甲卷）已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．37．（2021•乙卷）设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n＜．38．（2021•新高考Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（1）记b n＝a2n，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；（2）求{a n}的前20项和．39．（2021•上海）已知数列{a n}满足a n≥0，对任意n≥2，a n和a n+1中存在一项使其为另一项与a n﹣1的等差中项．（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即a r＝a s＝a t＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求a r+1+a s+1+a t+1的最大值．答案解析1．（2021•浙江）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（n∈N*）．记数列{a n}的前n项和为S n，则（）A．＜S100＜3B．3＜S100＜4C．4＜S100＜D．＜S100＜5【解答】解：因为，所以，所以，，∴，故，由累加法可得当n≥2 时，，又因为当n＝1 时，也成立，所以，所以，∴，故，由累乘法可得当n≥ 2 时，，所以．故选：A．2．（2021•甲卷）记S n为等比数列{a n}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝（）A．7B．8C．9D．10【解答】解：∵S n为等比数列{a n}的前n项和，S2＝4，S4＝6，由等比数列的性质，可知S2，S4﹣S2，S6﹣S4成等比数列，∴4，2，S6﹣6成等比数列，∴22＝4（S6﹣6），解得S6＝7．故选：A．16．（2021•新高考Ⅰ）某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规格为20dm×12dm的长方形纸，对折1次共可以得到10dm×12dm，20dm×6dm两种规格的图形，它们的面积之和S1＝240dm2，对折2次共可以得到5dm×12dm，10dm×6dm，20dm×3dm三种规格的图形，它们的面积之和S2＝180dm2，以此类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5；如果对折n次，那么S k＝dm2．【解答】解：易知有，，共5种规格；由题可知，对折k次共有k+1种规格，且面积为，故，则，记，则，∴＝，∴，∴．故答案为：5；．17．（2021•上海）已知等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝21．【解答】解：因为等差数列{a n}的首项为3，公差为2，则a10＝a1+9d＝3+9×2＝21．故答案为：21．18．（2021•甲卷）已知一个圆锥的底面半径为6，其体积为30π，则该圆锥的侧面积为39π．【解答】解：由圆锥的底面半径为6，其体积为30π，设圆锥的高为h，则，解得，所以圆锥的母线长，所以圆锥的侧面积．故答案为：39π．33．（2021•浙江）已知数列{a n}的前n项和为S n，a1＝﹣，且4S n+1＝3S n﹣9（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；（Ⅱ）设数列{b n}满足3b n+（n﹣4）a n＝0（n∈N*），记{b n}的前n项和为T n，若T n≤λb n对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由4S n+1＝3S n−9 可得4S n＝3S n−1−9（n≥2），两式作差，可得：4a n+1＝3a n，∴，很明显，，所以数列{a n} 是以为首项，为公比的等比数列，其通项公式为：．（Ⅱ）由3b n+（n−4）a n＝0，得，，，两式作差可得：＝＝，则．据此可得恒成立，即λ（n−4）+3n≥0 恒成立．n＝4时不等式成立；n＜4时，，由于n＝1时，故λ≤1；n＞4时，，而，故：λ≥−3；综上可得，{λ|−3≤λ≤1}．34．（2021•甲卷）记S n为数列{a n}的前n项和，已知a n＞0，a2＝3a1，且数列{}是等差数列，证明：{a n}是等差数列．【解答】证明：设等差数列{}的公差为d，由题意得＝；＝＝＝2，则d＝﹣＝2﹣＝，所以＝+（n﹣1）＝n，所以S n＝n2a1①；当n≥2时，有S n﹣1＝（n﹣1）2a1②．由①②，得a n＝S n﹣S n﹣1＝n2a1﹣（n﹣1）2a1＝（2n﹣1）a1③，经检验，当n＝1时也满足③．所以a n＝（2n﹣1）a1，n∈N+，当n≥2时，a n﹣a n﹣1＝（2n﹣1）a1﹣（2n﹣3）a1＝2a1，所以数列{a n}是等差数列．35．（2021•乙卷）记S n为数列{a n}的前n项和，b n为数列{S n}的前n项积，已知+＝2．（1）证明：数列{b n}是等差数列；（2）求{a n}的通项公式．【解答】解：（1）证明：当n＝1时，b1＝S1，由+＝2，解得b1＝，当n≥2时，＝S n，代入+＝2，消去S n，可得+＝2，所以b n﹣b n﹣1＝，所以{b n}是以为首项，为公差的等差数列．（2）由题意，得a1＝S1＝b1＝，由（1），可得b n＝+（n﹣1）×＝，由+＝2，可得S n＝，当n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝﹣＝﹣，显然a1不满足该式，所以a n＝．36．（2021•甲卷）已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．①数列{a n}是等差数列；②数列{}是等差数列；③a2＝3a1．注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．【解答】解：选择①③为条件，②结论．证明过程如下：由题意可得：a2＝a1+d＝3a1，∴d＝2a1，数列的前n项和：，故（n≥2），据此可得数列是等差数列．选择①②为条件，③结论：设数列{a n}的公差为d，则：，数列为等差数列，则：，即：，整理可得：d＝2a1，∴a2＝a1+d＝3a1．选择③②为条件，①结论：由题意可得：S2＝a1+a2＝4a1，∴，则数列的公差为，通项公式为：，据此可得，当n≥2时，，当n＝1时上式也成立，故数列的通项公式为：a n＝（2n−1）a1，由a n+1−a n＝[2（n+1）−1]a1−（2n−1）a1＝2a1，可知数列{a n}是等差数列．37．（2021•乙卷）设{a n}是首项为1的等比数列，数列{b n}满足b n＝，已知a1，3a2，9a3成等差数列．（1）求{a n}和{b n}的通项公式；（2）记S n和T n分别为{a n}和{b n}的前n项和．证明：T n＜．【解答】解：（1）∵a1，3a2，9a3成等差数列，∴6a2＝a1+9a3，∵{a n}是首项为1的等比数列，设其公比为q，则6q＝1+9q2，∴q＝，∴a n＝a1q n﹣1＝，∴b n＝＝n•．（2）证明：由（1）知a n＝，b n＝n•，∴＝，，①∴，②①﹣②得，，∴，∴T n﹣＝﹣＜0，∴T n＜．38．（2021•新高考Ⅰ）已知数列{a n}满足a1＝1，a n+1＝（1）记b n＝a2n，写出b1，b2，并求数列{b n}的通项公式；（2）求{a n}的前20项和．【解答】解：（1）因为a1＝1，a n+1＝，所以a2＝a1+1＝2，a3＝a2+2＝4，a4＝a3+1＝5，所以b1＝a2＝2，b2＝a4＝5，b n﹣b n﹣1＝a2n﹣a2n﹣2＝a2n﹣a2n﹣1+a2n﹣1﹣a2n﹣2＝1+2＝3，n≥2，所以数列{b n}是以b1＝2为首项，以3为公差的等差数列，所以b n＝2+3（n﹣1）＝3n﹣1．（2）由（1）可得a2n＝3n﹣1，n∈N*，则a2n﹣1＝a2n﹣2+2＝3（n﹣1）﹣1+2＝3n﹣2，n≥2，当n＝1时，a1＝1也适合上式，所以a2n﹣1＝3n﹣2，n∈N*，所以数列{a n}的奇数项和偶数项分别为等差数列，则{a n}的前20项和为a1+a2+...+a20＝（a1+a3+…+a19）+（a2+a4+…+a20）＝10+×3+10×2+×3＝300．39．（2021•上海）已知数列{a n}满足a n≥0，对任意n≥2，a n和a n+1中存在一项使其为另一项与a n﹣1的等差中项．（1）已知a1＝5，a2＝3，a4＝2，求a3的所有可能取值；（2）已知a1＝a4＝a7＝0，a2、a5、a8为正数，求证：a2、a5、a8成等比数列，并求出公比q；（3）已知数列中恰有3项为0，即a r＝a s＝a t＝0，2＜r＜s＜t，且a1＝1，a2＝2，求a r+1+a s+1+a t+1的最大值．【解答】解：（1）由题意，2a n＝a n+1+a n﹣1或2a n+1＝a n+a n﹣1，∴2a2＝a3+a1解得a3＝1，2a3＝a2+a1解得a3＝4，经检验，a3＝1，（2）证明：∵a1＝a4＝a7＝0，∴a3＝2a2，或，经检验，；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；∴，或（舍），∴；综上，a2、a5、a8成等比数列，公比为；（3）由2a n＝a n+1+a n﹣1或2a n+1＝a n+a n﹣1，可知或，由第（2）问可知，a r＝0，则a r﹣2＝2a r﹣1，即a r﹣1﹣a r﹣2＝﹣a r﹣1，∴a r＝0，则＝＝＝，∴，同理，＝，∴，同理，，∴a r+1+a s+1+a t+1的最大值．。

2021年高考数学 必过关题5 数列2一、填空题【考点一】等差数列的和1.设等差数列的公差不为,其前项和是.若,,则____ __.【答案】 5[解析] 由知，，所以，所以5.2.等差数列前n 项和为，已知，,则_______．【答案】10[解析]由得或，，.3. 设是等差数列的前项和，已知则=__________.【答案】18[解析] ，612345n n n n n n n n S S a a a a a a -------=+++++，，∴.4.在等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_________．【答案】[解析] 因为，当且仅当时取最大值，可知且同时满足，所以，易得.5.若等差数列满足，则当 时，的前项和最大.【答案】[解析] 由等差数列的性质，，，又因为，所以，所以，所以，，故数列的前8项最大.6.已知两个等差数列和的前n 项和分别为和，且，则使得为整数的正整数的个数是________．【答案】5个[解析] 由等差数列的前n 项和及等差中项， 可得()()121121************()21()719122271111()21()22n n n n n n n n a a n a a a A n b B n n b b n b b ------+-++=====++++-+，故，为整数． 7.等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式 的解集为[0,22]，则使数列{a n }的前n 项和S n 最大的正整数n 的值是 ．【答案】11[解析] 由已知得d <0，c ＝0，a 1＝－212d ，令通项a n ＝2n －232d >0，得n <11.5，于是数列的前11项为正数，故所求最大的正整数n 的值是11.【考点二】等比数列的和8. 已知为等比数列，S n 是它的前n 项和.若， 且与2的等差中项为，则=________.【答案】31[解析] 由知，即，所以=，所以，所以=31. 9. 已知{a n }是等比数列，a 2＝2，a 5＝14，则a 1a 2＋a 2a 3＋…＋a n a n ＋1(n ∈N *)的取值范围是 . 【答案】[8，323)10.正项数列满足,又数列是以为公比的等比数列,则使得不等式成立的最大整数为 .【答案】9 [解析] 由数列是以为公比的等比数列知，，即，所以数列中奇数项及偶数项分别成等比数列.因此数列中奇数项及偶数项也分别成等比数列.所以 ()11122111211112322128012122n nn n a a a +++--+++=+=-<--，解得最大整数为9. 【考点三】等差、等比数列的综合应用11. 设等差数列的前项和为，若，则的最大值为_________．【答案】[解析] ∵等差数列的前项和为，且，∴ 而，∴，∴故的最大值为.12.设数列{}是等差数列,数列{}是等比数列,记数列{},{}的前n 项和分别为,.若a 5=b 5,a 6=b 6,且,则=____________.【答案】[解析] 因为，所以，所以，所以.13.已知数列的前项和,若对任意正整数,恒成立,则实数的取值范围是______.【答案】 [解析] 当n =1时，a 1=S 1=－1；当n ≥2时，a n =S n －S n －1=（－1）n n －（－1）n -1（n －1）=（－1）n （2n －1）．∵对任意正整数n ，（a n +1－p ）（a n －p ）＜0恒成立，∴[（－1）n +1（2n +1）－p ][（－1）n （2n －1）－p ]＜0，①当n 是奇数时，化为[p －（2n +1）][p ＋（2n －1）]＜0，解得1－2n ＜p ＜2n ＋1，∵对任意正奇数n 都成立，取n =1时，可得-1＜p ＜3．②当n 是正偶数时，化为[p －（2n -1）][p ＋（1+2n ）]＜0，解得－1－2n ＜p ＜2n －1，∵对任意正偶数n 都成立，取n =2时，可得-5＜p ＜3．联立，解得-1＜p ＜3．∴实数p 的取值范围是（-1，3）．14.对于各项都是正数的数列{},定义=为{}的“靶”值,现知某数列的“靶”值为=,则数列{}的前n 项和的取值范围是___________. 【答案】[,5)[解析] 由题意得==，变形得，所以()()1121132222n n n n n n a a a a -+++++++=，所以，即，所以，利用错位相减法求得.15. 已知数列的通项公式，前n 项和为，若，则的最大值是 .【答案】 10[解析] ，当各项均为非负数时有最大值10.16. 等差数列的前项和为,已知,则的最小值为________.【答案】 [解析] 由得，令f （n ）=nS n ，则f (n )＝，，令f ′（n ）=0，得n =0或n ＝.当n ＞时，时，f ′（n ）＞0，0＜n ＜时，f ′（n ）＜0，∴当n ＝时，f （n ）取最小值，而n ∈N *，又f （6）=－48，f （7）=－49，∴当n =7时，f （n ）取最小值-49．【考点四】递推数列17. 数列{a n }中，a 1＝6，且a n －a n －1＝a n －1n＋n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，则这个数列的通项a n ＝________. 【答案】(n ＋1)(n ＋2)[解析] 由已知等式得na n ＝(n ＋1)a n －1＋n (n ＋1)(n ∈N *，n ≥2)，则a n n ＋1－a n －1n ＝1，所以数列{a n n ＋1}是以a 12＝3为首项，1为公差的等差数列，即a n n ＋1＝n ＋2，则a n ＝(n ＋1)(n ＋2)．n ＝1时，此式也成立．18.已知是定义在R 上不恒为零的函数，对于任意的x ，y ∈R ，都有f (x ·y )＝成立．数列{a n }满足a n ＝f (2n )(n ∈N *)，且a 1＝2.则数列的通项公式a n ＝________.【答案】[解析] 由a n ＋1＝f (2n ＋1)＝2f (2n )＋2n f (2)＝2a n ＋2n ＋1，得a n ＋12n ＋1＝a n 2n ＋1，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n 2n 是首项为1，公差为1的等差数列，所以a n 2n ＝n ，a n ＝n ·2n .二、解答题19.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ≠0，a n a n ＋1＝λS n －1，其中λ为常数．⑴证明：a n ＋2－a n ＝λ.⑵是否存在λ，使得{a n }为等差数列？并说明理由．[解析] ⑴证明：由题设，a n a n ＋1＝λS n －1，a n ＋1a n ＋2＝λS n ＋1－1，两式相减得a n ＋1(a n ＋2－a n )＝λa n ＋1.因为a n ＋1≠0，所以a n ＋2－a n ＝λ.⑵由题设，a 1＝1，a 1a 2＝λS 1－1，可得 a 2＝λ－1，由⑴知，a 3＝λ＋1.若{a n }为等差数列，则2a 2＝a 1＋a 3，解得λ＝4，故a n ＋2－a n ＝4.由此可得{a 2n －1}是首项为1，公差为4的等差数列，a 2n －1＝4n －3；{a 2n }是首项为3，公差为4的等差数列，a 2n ＝4n －1.所以a n ＝2n －1，a n ＋1－a n ＝2.因此存在λ＝4，使得数列{a n }为等差数列．20.若正项数列的前项和为,首项,点在曲线上.⑴求；⑵求数列的通项公式；⑶设,表示数列的前n 项和,若恒成立,求及实数的取值范围.[解析] ⑴因为点在曲线上,所以.分别取和,得到,由解得,.⑵由得.所以数列是以为首项,1为公差的等差数列，所以, 即 ，由公式,得 ，所以.(3)因为,所以,11111111=++++233523212121n n n n -------+(1) ， 显然是关于的增函数, 所以有最小值,由于恒成立,所以, 于是的取值范围为 .21.已知数列的前项和为，且 12323(1)2(n n a a a na n S n n +++⋅⋅⋅+=-+∈N .⑴求数列的通项公式；⑵若是三个互不相等的正整数，且成等差数列，试判断是否成等比数列？并说明理由.[解析] ⑴，∴ 当时，有 解得 .由, ①得1231123(1)2(1)n n n a a a na n a nS n ++++++++=++, ②② - ①得: . ③由③式得：()111(1)(1)22n n n n n n n a nS n S n S S S ++++=--+=-++，得. ④当时,, ⑤⑤-④得：.由，得，∴.∴数列是以为首项，2为公比的等比数列. ∴.⑵∵成等差数列， ∴.假设成等比数列，则，即，化简得：. （*）∵，∴，这与（*）式矛盾，故假设不成立.∴不是等比数列.22.对于项数为n 的有穷数列，如果满足，，其中，则称为的“生成数列”.⑴若数列的“生成数列”为：5，－2,7,2，求；⑵若为偶数，且的“生成数列”是，证明：的“生成数列”是；⑶若为奇数，且的“生成数列”是，且的“生成数列”是，…依次将数列，，，…的第项取出构成数列.证明：是等差数列.[解析] ⑴由题意得： ，，∴，∵，∴，∵，∴，∴数列.⑵证明：因为 ， ， ，…… ，由于为偶数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++--+=-+++--+即，.由于，，根据“生成数列”的定义知，数列是的“生成数列”.⑶证明：因为 ，所以 .所以欲证成等差数列，只需证明成等差数列即可.对于数列及其“生成数列”，因为 ，，，…… ，由于为奇数，将上述个等式中的第这个式子都乘以，相加得11223112231()()()()()()n n n n n b b b b b b b a a a a a a a ---+++-++=-+++-++， 即.设数列的“生成数列”为，因为 ，，所以 ， 即成等差数列.同理可证，也成等差数列. 即是等差数列.所以, 成等差数列.23.对于数列,定义数列为的“差数列”.⑴若,、为非零常数,求证:数列 的“差数列”是等差数列并求出其公差；⑵若的“差数列”的通项为,求数列的通项公式以及前n 项和；⑶对于⑵中的数列,若数列满足且,求数列(为偶数)的通项公式.[解析] ⑴()221(1)2n n a a A n B An B An A +-=+---=+令的“差数列”为,则,，所以数列 的“差数列”是等差数列,其公差为；⑵依题意所以11223211()()()()n n n n n n n a a a a a a a a a a -----=-+-+-++-+而 从而是公比数为2的等比数列, 所以⑶由,得到两式相除得所以数列是公比为的等比数列，由,所以数列的通项为,其中为偶数.24.已知各项均为正数的两个无穷数列、满足．⑴当数列是常数列（各项都相等的数列），且时，求数列的通项公式；⑵设、都是公差不为0的等差数列，求证：数列有无穷多个，而数列惟一确定；⑶设，，求证：．[解析] ⑴∵数列是常数列，且，∴， ①∴ ②①－②得 ，∴数列中序号为奇数的项及序号为偶数的项均按原来顺序构成公差为2的等差数列，又，，∴，∴，，∴.⑵设、的公差分别为，将其通项代入得 ()()()()()1112111212112d n a d d n b d n a d n b d n d n a ⎡+-⎤+++⎡+-⎤=+⎣⎦⎣⎦，因为它是关于的恒等式，∴，∴， ∴，由于可以取无穷多个正实数，所以数列有无穷多个，而数列惟一确定.⑶∵，及，∴，即，∴，得，∴()()()()2212342121213212n n i n n i S b b b b b b b n n -===++++++>⎡+++-⎤=⎣⎦∑，又由得，∴，∴，∴.三．课本改编题：1．原题[xx年第4版·必修5教材42页练习4]在等差数列中，已知,试求.【答案】876[解析]由成等差数列，易得.变式1：各项均为正数的等比数列的前项和为，若，，则________.【答案】30[解析] 设，，则由题意，得2，，，成等比数列．于是由及，得，所以.变式2：[xx·辽宁卷]设等比数列{a n}的前n项和为，若，则=__________.【答案】[解析]设公比为q,则＝1＋q3＝3 q3＝2,于是变式3：设等差数列的前项和为，则，，，成等差数列．类比以上结论有：设等比数列的前项积为，则，，，成等比数列．【答案】[解析]对于等比数列，通过类比，有等比数列的前项积为，则，,成等比数列．[说明]通过知识的迁移，理解等差、等比数列的一些共性.2．原题[xx 年第4版·必修5教材59页习题8]设是等比数列的前项和，成等差数列，求证：成等差数列.[解析] ∵成等差数列，,即，∴，∴q 3＝－12，∴，， ∴∴成等差数列.变式1：[xx ·江西一模]已知等比数列{a n }的公比为q （q 为实数），前n 项和为S n ，且S 3、S 9、S 6成等差数列，则q 3等于________．【答案】－12[解析] ∵成等差数列，,即，∴，∴q 3＝－12. 变式2：设数列{a n }是公差不为零的等差数列，它的前n 项和为S n ，且S 1、S 2、S 4成等比数列，则等于________．【答案】 [解析] ∵S 2＝2a 1+d ，S 4＝4a 1＋4×32×d ＝4a 1+6d ，S 1，S 2，S 4成等比数列， ∴(2a 1+d )2＝a 1(4a 1+6d )，解得d =2a 1,∴a 4= a 1+3d =7 a 1.变式3：[xx·天津卷]设{a n }是首项为a 1，公差为－1的等差数列，S n 为其前n 项和．若S 1，S 2，S 4成等比数列，则a 1的值为________．【答案】－12[解析] ∵S 2＝2a 1－1，S 4＝4a 1＋4×32×(－1)＝4a 1－6，S 1，S 2，S 4成等比数列， ∴(2a 1－1)2＝a 1(4a 1－6)，解得a 1＝－12. [说明]通过变式理解等差、等比内在联系.*ct39734 9B36 鬶5U37332 91D4 釔xrW<k39287 9977 饷[。

2021年新高考数学名校地市选填压轴题好题汇编〔二十一〕一．选择题〔共15小题〕1．〔2021•辽宁模拟〕函数31()||231x x f x x x -=+++，且()(23)4f a f a -+->，那么实数a 的取值范围是()A ．(1,)+∞B ．3(2，)+∞C ．(3,)+∞D ．(4,)+∞【解答】解：因为312()||23||3131x x x f x x x x x -=++=-+++，所以22()()3||3||3131x x f x f x x x x x --+=---+-+++，23261331x x x ⋅=--++ 624=-=，因为()(23)4f a f a f -+->=〔a 〕()f a +-， 所以(23)f a f ->〔a 〕，又312()||23||3131x x x f x x x x x -=++=-+++在R 上单调递增，所以23a a ->， 解得3a >． 应选：C ．2．〔2021•锦州一模〕实数a ，b ，c 满足a b ca lnb ce e e ==-且1a >，那么a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．a b c >>B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【解答】解：实数a ，b ，c 满足a b c a lnb c e e e==-， 0a ∴>，0b >，0c <，那么排除B ，D 选项，令()f x x lnx =-， 所以1()x f x x-'=， ()f x ∴在01x <<上单调递减，在1x <上单调递增， ()f x f ∴〔1〕1=，即lnx x <，∴b blnb be e <， ∴a b a b e e <，设()x x h x e=，1()0xxh x e -'=>，()h x 在1x >上单调递减，那么h 〔a 〕h <〔b 〕，a b ∴>，排除C 选项．应选：A ．3．〔2021•朝阳一模〕过长方体的一个顶点的平面与这个长方体的十二条棱所在的直线成的角都相等，这样的平面个数为( ) A ．4B ．1C ．0D ．无数多个【解答】解：由题意，题目中的长方体与正方体，所作的平面个数相同，所以一正方体代替长方体来求解． 法一：在正方体1111ABCD A B C D -中， 三棱锥1A A BD -是正三棱锥，直线AB 、AD 、1AA 与平面1A BD 所成角都相等， 过顶点A 作平面//α平面1A BD ，那么直线AB 、AD 、1AA 与平面α所成角都相等，同理，过顶点A 分别作平面α与平面1C BD 、平面1B AC ，平面1D AC 平行， 直线AB 、AD 、1AA 与平面α所成的角都相等，∴这样的平面α可以作4个．应选：A ．法二：只要与体对角线垂直的平面都和正方体的所有棱所成的角相等， 因为有四条体对角线，所以，可以做四个平面． 应选：A ．4．〔2021•湖南模拟〕当x R ∈时，不等式11xx ax e --恒成立，那么实数a 的取值范围为( )A ．2a =B ．a =C ．2aD ．12a e【解答】解：令1()xx f x e -=， 1x >时，()0f x >，0a ∴时不合条件；令1()1x x h x ax e -=-+，得2()xxx ae h x e --'=，令()2x g x x ae =--，知()g x 在R 上单调递减，(0)0h =，()h x ∴要在0x =处取得最大值，(0)20g a ∴=-=，即2a =．应选：A ．5．〔2021•湖南模拟〕定义函数()1,1,x D x x ⎧=⎨-⎩为有理数为无理数，那么以下命题中正确的选项是( )A ．()D x 不是周期函数B ．()y D x =的图象存在对称轴C ．()D x 是奇函数D ．()D x 是周期函数，且有最小正周期【解答】解：当m 为有理数时，()1,1,x D x m x ⎧+=⎨-⎩为有理数为无理数，()()D x m D x ∴+=，∴任何一个有理数m 都是()D x 的周期，()D x ∴是周期函数，且无最小正周期，∴选项A ，D 错误，假设x 为有理数，那么x -也为有理数， ()()D x D x ∴=-，假设x 为无理数，那么x -也为无理数， ()()D x D x ∴=-，综上，总有()()D x D x -=，∴函数()D x 为偶函数，图像关于y 轴对称， ∴选项C 错误，选项B 正确，应选：B ．6．〔2021•湖南三模〕在一次“概率〞相关的研究性活动中，老师在每个箱子中装了10个小球，其中9个是白球，1个是黑球，用两种方法让同学们来摸球．方法一：在20箱中各任意摸出一个小球；方法二：在10箱中各任意摸出两个小球．将方法一、二至少能摸出一个黑球的概率分别记为1p 和2p ，那么( ) A ．12p p < B ．12p p =C ．12p p >D ．以上三种情况都有可能【解答】解：根据题意，按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为110，那么没有抽到黑球的概率为1911010-=， 那么至少能摸出一个黑球的概率20191()10P =-， 按方法一抽取，每箱中黑球被抽取的概率为15，那么没有抽到黑球的概率为14155-=，那么至少能摸出一个黑球的概率10241()5P =-，那么有201010201010129449481[1()][1()]()()()()010********P P -=---=-=-<， 故12P P <， 应选：A ．7．〔2021•益阳模拟〕如下图，边长为2的正ABC ∆，以BC 的中点O 为圆心，BC 为直径在点A 的另一侧作半圆弧BC ，点P 在圆弧上运动，那么AB AP ⋅的取值范围为( )A ．[2，B ．[4，C ．[2，4]D ．[2，5]【解答】解：由题可知，当点P 在点C 处时，AB AP ⋅最小， 此时1||||||||cos22232AB AP AB AE AB AC π⋅===⨯⨯=， 过圆心O 作//OP AB 交圆弧于点P ，连接AP ，此时AB AP ⋅最大， 过O 作OG AB ⊥于G ，PF AB ⊥的延长线于F ， 那么||||||(||||)AB AP AB AF AB AG GF ⋅==+32(1)52=⨯+=，所以AB AP ⋅的取值范围为[2，5]．应选：D ．8．〔2021•益阳模拟〕定义在R 上的奇函数()f x ，其导函数为()f x '，当0x >时，()()0f x xf x +'>，且f 〔1〕0=，那么不等式2(2)()0x x f x -<的解集为( )A ．(-∞，1)(1-⋃，2)B ．(1,1)-C ．(-∞，1)(1-⋃，)+∞D ．(1-，0)(0⋃，1)【解答】解：因为2(2)()(2)()x x f x x x f x -=-， 所以记()()g x xf x =，因为()f x 是定义在R 上的奇函数， 所以()g x 为定义在R 上的偶函数， 又()()()g x f x xf x '=+'，因为当0x >时，()()0f x xf x +'>，所以当0x >时，()0g x '>，即()g x 在(0,)+∞上单调递增， 所以()g x 在(,0)-∞上单调递减，又f 〔1〕0=，得g 〔1〕0=，所以(1)0g -=， 不等式2(2)()0x x f x -<等价于(2)()0x g x -<， 所以20()0x g x -<⎧⎨>⎩或20()0x g x ->⎧⎨<⎩，即211x x x <⎧⎨-⎩或或21001x x x >⎧⎨-<<<<⎩或，解得1x <-或12x <<． 应选：A ．9．〔2021•湖南模拟〕1F ，2F 是双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左右焦点，过1F 的直线与圆222x y a +=相切，切点T ，且交双曲线右支于点P ，假设12FT TP =，那么双曲线C 的渐近线方程为( ) A ．0x y ±= B ．230x y ±= C ．320x y ±=D ．20x y ±=【解答】解：连2PF ，过2F 作2//F Q OT ，假设12FT TP =， 那么易知1||OF c =，||OT a =，1||||||TF TQ QP b ===， 2||2QF a =，21||||232PF PF a b a =-=-，所以在2Rt PQF ∆中，222(32)(2)b a a b -=+，整理得32b a =，所以渐近线方程为32y x =±，即320x y ±=，应选：C ．10．〔2021•南通模拟〕假设直线1(0,0)x y a b a b+=>>经过点(1,1)，那么圆22220x y ax by +--=面积的最小值是( ) A ．8πB ．4πC ．2πD ．无最小值【解答】解：由题意得111a b+=，即a b ab +=， 因为22220x y ax by +--=， 所以2222()()x a y b a b -+-=+，因为11()()2224b a a a b a b a b a b b +=++=+++⋅，当且仅当12a b ==时取等号， 故4a b +，22222()2()2()(1)18a b a b ab a b a b a b +=+-=+-+=+--，故圆的面积22()8a b ππ+． 应选：A ．11．〔2021•江苏模拟〕从2个小孩，2个中年人，2个老人组成的6人中随机抽取3人做一个游戏，那么这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人的概率为( ) A ．15B ．25C ．815 D ．35【解答】解：从2个小孩，2个中年人，2个老人组成的6人中随机抽取3人做一个游戏，根本领件总数3620n C ==， 这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人包含的根本领件个数：1112228m C C C ==，那么这3人恰好为1个小孩，1个中年人，1个老人的概率为： 82205m P n ===． 应选：B ．12．〔2021•南通模拟〕设()f x 为定义在R 上的函数，对任意的实数x 有()(1)(f x f x e e +=为自然对数的底数〕，当01x <时，()x f x e =，那么方程2()log f x x =的解有( ) A ．4个 B ．5个C ．6个D ．7个【解答】解：()f x 为定义在R 上的函数，对任意的实数x 有()(1)f x f x e +=，(1)(2)f x f x e ∴++=，故()(2)f x f x =+， 故函数周期是2，方程2()log f x x =的实数根的个数即两函数()y f x =与2log y x =的图象的交点个数， 如图，由图知，两函数有四个交点，即方程2()log f x x =的实数根的个数为4， 应选：A ．13．〔2021•南通模拟〕假设函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x 时，()22x f x =-，那么不等式(1)2()f x f x -的解集为( )A ．(-∞，0]B ．2(,log -∞C ．2[0,log D ．[0，1)【解答】解：因为函数()f x 为定义在R 上的偶函数，当0x 时，()22x f x =-单调递增， 所以||()22x f x =-， 因为(1)2()f x f x -，所以|1|||222(22)x x ---， 即|1|||12220x x -+-+，当0x 时，可化为20，成立，当01x <<时，112220x x -+-+，即2210x x --+， 令2x t =，那么12t <<， 所以110t t --，即210t t --， 解得1512t+<， 所以2102x log +< 当1x 时，112220x x -+-+， 即423x，显然成立，综上，(1)2()f x f x -的解集(-∞，2log ． 应选：B ．14．〔2021•湖北模拟〕实数a ，b ，c R ∈，满足,1a b c lna b cb e e e==->，那么a ，b ，c 大小关系为( ) A ．a b c >> B ．a c b >>C ．b c a >>D ．b a c >>【解答】解：因为,1a b clna b cb e e e ==->，那么0a >，0c <， 对于函数()f x x lnx =-，(0)x >， 1()1f x x'=-， 可得()f x 在(0,1)递减，在(1,)+∞递增， ()f x ∴〔1〕10=>，lna a ∴<，即a a lna ae e<， ∴a ba b e e >， 令函数()xx h x e =，1()x x h x e -'=， 可得()h x 的图像如下：a b ∴<，综上：a b c >>， 应选：D ．15．〔2021•福州一模〕函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<图象过(0,1)，在区间(,)123ππ上为单调函数，把()f x 的图象向右平移π个单位长度后与原来的图象重合．设1x ，25(,)26x ππ∈且12x x ≠，假设12()()f x f x =，那么12()f x x +的值为( ) A．B ．1-C ．1D【解答】解：函数()2sin()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<图象过(0,1)，故有2sin 1ϕ=，6πϕ∴=，()2sin()6f x x πω=+． ()f x 在区间(,)123ππ上为单调函数，122312πππω⋅-，4ω∴．把()f x 的图象向右平移π个单位长度后与原来的图象重合，∴2k ππω=⋅，k Z ∈，2ω∴= 或4ω=．当2ω=，()2sin(2)6f x x π=+，不满足在区间(,)123ππ上为单调函数．当4ω=，()2sin(4)6f x x π=+，满足在区间(,)123ππ上为单调函数．设1x ，25(,)26x ππ∈且12x x ≠，那么14(6x π+∈26ππ+，32)2ππ+，24(6x π+∈26ππ+，32)2ππ+，假设12()()f x f x =，那么124466222x x ππππ+++=+，1276x x π∴+=，那么12729()()2sin 166f x x f ππ+===．应选：C ．二．多项选择题〔共22小题〕16．〔2021•辽宁模拟〕双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左、右焦点分别为1F 、2F ，那么以下说法正确的选项是( )A ．假设a b =，1(6,0)F -，那么它的方程是2211818x y -=B ．假设3b =，一条渐近线方程为320x y -=，那么2(4,0)FC ．P 为双曲线右支上一点，2212||||18PF a PF a +=，那么离心率e 的取值范围为(1，3]D ．假设过2F 的直线l 与x 轴垂直且与渐近线交于A 、B 两点，13AFO π∠=，那么双曲线C 的渐近线方程为y =±【解答】解：假设a b =，(6,0)F -，可得6c ==，即有a b ==双曲线的方程为2211818x y -=，故A正确；一条渐近线方程为320x y -=，可得32b a =， 又3b =，那么2a =，c那么2F 0)，故B 错误；设1||PF m =，2||PF n =，由双曲线的定义可得2m n a -=，由2212||||18PF a PF a +=，可得2218m an a +=，即为22(2)18n a an a ++=， 解得2n a =，由n c a -，可得3c a ， 即有13ce a<=，故C 正确； 假设过2(,0)F c 的直线l 与x 轴垂直且与渐近线交于(,)ac A c b ，、(,)acB c b-两点， 由13AFO π∠=，可得12AF acb kc ==ab=， 那么双曲线C的渐近线方程为y x =，故D 错误． 应选：AC ．17．〔2021•锦州一模〕冬末春初，乍暖还寒，人们容易感冒发热．假设发生群体性发热，那么会影响到人们的身体健康，干扰正常工作生产．某大型公司规定：假设任意连续7天，每天不超过5人体温高于37.3C ︒，那么称没有发生群体性发热，以下连续7天体温高于37.3C ︒人数的统计特征数中，能判定该公司没有发生群体性发热的为( )A ．中位数为3，众数为2B ．均值小于1，中位数为1C ．均值为3，众数为4D ．均值为2【解答】解：由题意，设连续7天，每天的体温高于37.3C ︒的人数分别为a ，b ，c ，d ，e ，f ，g ，那么0a b c d e f g ，对于A ，取2，2，2，2，3，4，6，那么满足中位数为3，众数为2，但是第7天的人数为65>，应选项A 错误；对于B ，假设6g ，由中位数为1，可知均值为1()17a b c d e f g ⋅++++++，与均值小于1矛盾，应选项B 正确；对于C ，取0，1，2，4，4，4，6，那么满足均值为3，众数为4，但是第7天的人数为65>，应选项C 错误；对于D ，当均值为2，14a b c d e f g ++++++=，22(2)(2)14a g -+⋯+-=，假设6g ，那么22(2)(2)14a g -+⋯+->，且如1，1，1，1，2，3，5，符合题意，应选项D 正确． 应选：BD ．18．〔2021•锦州一模〕函数()|cos |sin ||f x x x =-，那么以下结论正确的选项是( ) A ．()f x 是偶函数 B ．()f x 是周期函数C ．()f x 在区间(2π，)π上单调递增D ．()f x 的最大值为1【解答】解：对于A ，()f x 的定义域为R ， 且()|cos()|sin |||cos |sin ||()f x x x x x f x -=---=-=， 所以()f x 为偶函数，故A 正确；对于B ，因为|cos |y x =是周期为π的周期函数，sin ||y x =关于y 轴对称，不是周期函数， 所以()|cos |sin ||f x x x =-不是周期函数，故B 错误；对于C ，当(2x π∈，)π时，()cos sin )4f x x x x π=--=+，3(44x ππ+∈，5)4π，()f x 单调递增，故C 正确；对于D ，当54x π=时，55()|cos |sin 144f x ππ=-==，故()f x 的最大值不为1，故D 错误． 应选：AC ．19．〔2021•朝阳一模〕关于函数2()xlnxf x x+=，以下说法正确的选项是( ) A ．函数()f x 的极小值为12ln + B ．函数2()y f x x =-有且只有1个零点C ．存在负实数a ，使得2()4410f x ax ax a +-+->恒成立D ．对任意两个正实数1x ，2x ，且12x x ≠，假设12()()f x f x =，那么124x x +> 【解答】解：对于A ：函数的定义域是(0,)+∞， 22212()x f x x x x-'=-+=， 令()0f x '>，解得：2x >，令()0f x '<，解得：2x <， 故()f x 在(0,2)递减，在(2,)+∞递增，()f x f ∴=极小值〔2〕12ln =+，故A 正确；对于B ：令222()()g x y f x x lnx x x==-=+-， 那么3222122()2x x g x x x x x -+'=-+-=-，令3()22h x x x =-+，那么2()61h x x '=-，令()0h x '>，解得：x >()0h x '<，解得：0x <<，故()h x 在递减，在，)+∞递增，故61()()2220(0)66h x h x =⨯+==>>， 故()0g x '<，故函数在(0,)+∞上单调递减， 又f 〔1〕110-=>，f 〔2〕2230ln -=-<， 故函数2()y f x x =-有且只有1个零点，故B 正确；对于C ：结合A 选项可知不存在负实数a ，使得2()(2)10f x a x +-->恒成立，故C 错误； 对于D ：设12x x >，12()()f x f x =，结合A 选项可知12x >，202x <<， 可证124x x +>，故D 正确； 应选：ABD ．20．〔2021•湖南模拟〕截角四面体是一种半正八面体，可由四面体经过适当的截角，即截去四面体的四个顶点所产生的多面体．如下图，将棱长为3a 的正四面体沿棱的三等分点作平行于底面的截面得到所有棱长均为a 的截角四面体，那么以下说法正确的选项是( )A ．该截角四面体的外表积为2B 3C ．该截角四面体的外接球外表积为2112a π D ．该截角四面体中，二面角A BC D --的余弦值为13【解答】解：题中截角四面体由4个边长为a 的正三角形，4个边长为a 的正六边形构成，故222446S =+⨯=，应选项A 正确；因为棱长为a 的正四面体的高h =，所以22311(3)(3)433V a a =-⋅=，应选项B 正确‘-=，，，即22222833a R a R a -=+-- 所以22118R a =， 故221142S R a ππ==，应选项C 正确； 二面角A BC D --的余弦值应该为负值，应选项D 错误． 应选：ABC ．21．〔2021•湖南模拟〕函数()2cos()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的图象上，对称中心与对称轴12x π=的最小距离为4π，那么以下结论正确的选项是( ) A ．函数()f x 的一个对称点为5(12π，0)B ．当[6x π∈，]2π时，函数()f x 的最小值为C ．假设444sin cos ((0,))52πααα-=-∈，那么()4f πα+D ．要得到函数()f x 的图象，只需要将()2cos 2g x x =的图象向右平移6π个单位【解答】解：函数()2cos()(0f x x ωϕω=+>，||)2πϕ<的图象上，对称中心与对称轴12x π=的最小距离为1244ππω⨯=，2ω∴=． 再根据212k πϕπ⨯+=，k Z ∈，可得6πϕ=-，故()2cos(2)6f x x π=-．令512x π=，可得()10f x =-≠，故A 错误；当[6x π∈，]2π时，2[66x ππ-∈，5]6π，故当5266x ππ-=时，函数()f x 的最小值为B 正确；假设44224sin cos sin cos cos2((0,))52παααααα-=-=-=-∈，4cos25α∴=，3sin 25α=，那么()2cos(2)2sin(2)2sin 2cos2cos 2sin426666f ππππππααααα+=+-=--=-+=C 正确； 将()2cos 2g x x =的图象向右平移6π个单位，可得2cos(2)3y x π=-的图象，故D 错误， 应选：BC ．22．〔2021•湖南模拟〕球O 的半径为2，球心O 在大小为60︒的二面角l αβ--内，二面角l αβ--的两个半平面分别截球面得两个圆1O ，2O ，假设两圆1O ，2O 的公共弦AB 的长为2，E 为AB 的中点，四面体12OAO O 的体积为V ，那么以下结论中正确的有( )A ．O ，E ，1O ，2O 四点共面B ．12O O =C ．1232O O =D ．V 【解答】解：因为公共弦AB 在棱l 上，连结OE ，1O E ，2O E ，12O O ，OA ，那么OE因为二面角l αβ--的两个半平面分别截球面得两个圆1O ，2O ，O 为球心， 所以1OO α⊥，2OO β⊥， 又1O E ⊂平面α，2O E ⊂平面β， 所以11OO O E ⊥，22OO O E ⊥，故O ，E ，1O ，2O 四点共圆，应选项A 正确； 因为E 为弦AB 的中点，故1O E AB ⊥，2O E AB ⊥，故12O EO ∠即为二面角l αβ--的平面角， 所以1260O EO ∠=︒， 故123sin 602O O OE =︒=，应选项B 错误，选项C 正确； 设11OO d =，22OO d =，在△12OO O 中，由余弦定理可得，22212121212934O O d d d d d d ==++， 所以1234d d ，故123316OO O S ， 所以1213316OO O V AE S=⋅⋅， 当且仅当12d d =时取等号，应选项D 正确． 应选：ACD ．23．〔2021•湖南三模〕函数2()2sin cos 2cos 1(0,0)f x a x x x a ωωωω=-+>>，假设()f x 的最小正周期为π，且对任意的x R ∈，0()()f x f x 恒成立，以下说法正确的有( ) A ．2ω=B ．假设06x π=-，那么a =C ．假设0()22f x π-=，那么aD ．假设()()2|()|g x f x f x =-在03(4x π-，0)x θ-上单调递减，那么324ππθ<【解答】解：2()2sin cos 2cos 1sin 2cos2)f x a x x x a x x x ωωωωωωϕ=-+=--， 因为()f x 的最小正周期为π，故1ω=，A 错误； 因为对任意的x R ∈，0()()f x f x 恒成立， 所以0()f x 为函数()f x 的最小值， 假设06x π=-，那么232k ππϕπ--=-+，k Z ∈，所以26k πϕπ=-，k Z ∈，所以cos ϕ==，解得a =B 正确；因为0()f x 为函数()f x 的最小值，所以0()2f x π-为函数()f x 2=，所以a =C 正确； 03(4x x π∈-，0)2x π-时，()0f x >，()()g x f x =-，因为()f x 在03(4x π-，0)2x π-上单调递增，所以()g x 在03(4x π-，0)2x π-上单调递减，当03(4x x π∈-，0)2x π-时，()0f x >，()()g x f x =-，0(2x x π∈-，0)4x π-时，()0f x >，()()g x f x =-，因为()f x 在0(2x π-，0)4x π-上单调递减，所以()g x 在0(2x π-，0)4x π-上单调递增， 所以000342x x x ππθ-<--， 所以324ππθ<，D 正确． 应选：BCD ．24．〔2021•益阳模拟〕抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 的直线l 交抛物线于1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y 两点，且A ，B 在其准线上的射影分别为1A ，1B ，那么以下结论正确的选项是( )A ．假设直线l x ⊥轴，那么||2AB = B ．1212x x ⋅=C ．124y y ⋅=-D ．112A FB π∠=【解答】解：选项A ，由题意知，(1,0)F ，直线l x ⊥轴，∴把1x =代入24y x =得，2y =±，||4AB ∴=，即选项A 错误； 选项B ，当直线l x ⊥轴时，121x x ==，121x x ∴⋅=，即选项B 错误； 选项C ，当直线l x ⊥轴时，124y y ⋅=-， 当直线l 与x 轴不垂直时，设直线:1l x my =+， 联立214x my y x=+⎧⎨=⎩，得2440y my --=，124y y ∴⋅=-，即选项C 正确；选项D ，由抛物线的定义知，1||||AF A F =，11AA F AFA ∴∠=∠， 又1//AA x 轴，11AA F A FO ∴∠=∠，1112AFA A FO AFO ∴∠=∠=∠，同理可得，1112BFB B FO BFO ∠=∠=∠，11111()22A FB A FO B FO AFO BFO π∴∠=∠+∠=∠+∠=，即选项D 正确．应选：CD ．25．〔2021•益阳模拟〕函数()|sin ||sin()|( 3.14159)2f x x x ππ=--=⋯⋯，那么以下说法中正确的选项是()A ．π是()f x 的周期B ．()f x的值域为[C ．()f x 在13(3π，5)π内单调递减D ．()f x 在[2021-，2021]中的零点个数不超过2574个 【解答】解：()|sin ||sin()||sin ||cos |2f x x x x x π=--=-，()|sin()||cos()||sin ||cos |()f x x x x x f x πππ∴+=+-+=-=．π∴是函数()f x 的最小正周期，A ∴正确；()|sin()||cos()||sin ||cos |()f x x x x x f x -=---=-=，∴函数()f x 是偶函数．当[0x ∈，]π时，sin cos ,[0,]),[0,]242()sin cos ,(,]),(,]242x x x x x f x x x x x x ππππππππ⎧-∈-∈⎪⎪==⎨⎪+∈+∈⎪⎩， 结合图象根据函数性质可知：当2x π=时，()f x 取最大值1，当0x =或π时，()f x 取最小值1-，∴函数值域为[1-，1]，B ∴错；结合图象由函数()f x 的性质可知：()f x 在[0，]2π上是增函数，在(2π，]π上是减函数，又函数()f x 的周期是π，∴函数()f x 在13(3π，5)π上的单调增区间是13(3π，9]2π，减区间是9(2π，5]π，C ∴错误；由函数()f x 性质可知在[0，]π上有2个零点，函数最小正周期是π的偶函数且20102010643.643.14π<<，∴函数()f x 在[2021-，2021]中的零点个数不超过6432222574⨯⨯+=个，D ∴正确；应选：AD ．26．〔2021•湖南模拟〕古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平面内到两个定点A 、B 的距离之比为定值(1)λλ≠的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy 中，(2,0)A -、(4,0)B ，点P 满足12PA PB =，设点P 所构成的曲线为C ，以下结论正确的选项是( ) A ．C 的方程为22(4)16x y ++=B ．在C 上存在点D ，使得D 到点(1,1)的距离为3 C ．在C 上存在点M ，使得||2||MO MA = D ．在C 上存在点N ，使得22||||4NO NA +=【解答】解：设点(,)P x y ，由||1||2PA PB =，12=，化简得2280x y x ++=，即22(4)16x y ++=， 应选A 项正确；对于B 选项，设0(D x ，0)y ，由D 到点(1,1)的距离为 3，3=，又2200(4)16x y ++=，联立方程可知有解， 应选B 项正确；对于C 选项，设0(M x ，0)y ，由||2||MO MA = 又2200(4)16x y ++=，联立方程消去0y 得02x =，解得0y 无解， 应选C 项错误；对于D 选项，设0(N x ，0)y ，由22||||4NO NA +=，得2222000(2)4x y x y ++++=， 又2200(4)16x y ++=，联立方程消去0y 得00x =，解得00y =，有解， 应选D 项正确． 应选：ABD ．27．〔2021•湖南模拟〕如图，直三棱柱111ABC A B C -，ABC ∆为等腰直角三角形，AB BC ⊥，且12AC AA ==，E ，F 分别是AC ，11AC 的中点，D ，M 分别是1AA ，1BB 上的两个动点，那么( )A ．FM 与BD 一定是异面直线B ．三棱锥D MEF -的体积为定值13C ．直线11B C 与BD 所成角为2π D ．假设D 为1AA 的中点，那么四棱锥1D BB FE -的外接球外表积为5π 【解答】解：对于A ，当M 与B 重合时，FM 与BD 是相交直线，故A 错误； 对于B ，由可得111B F AC ⊥，又平面ABC ⊥平面11CAAC，1B F ∴⊥平面11CAAC ，在矩形1AEFA 中，DEF ∆的面积11121122S EF A F =⨯⨯=⨯⨯=，又111112B F AC ==，∴111133D MEF M DEF V V --==⨯⨯=，故B 正确； 对于C ，由1AA ⊥平面111A B C ，得111AA B C ⊥， 又1111B C A B ⊥，1111A B AA A =，11B C ∴⊥平面11A B BA ，得直线11B C 与BD 所成角为2π，故C 正确； 对于D ，由题意可知，四边形1BB FE 为矩形，连接BF ，那么矩形1BB FE 的外接圆的圆心为BF 的中点1O ，且11O F O B ==， 过1O 作1O N EF ⊥，垂足为N ，连接DN ，1O D ，那么112O N =，1DN =，1O N DN ⊥，故1O D =1O ∴就是四棱锥1D BB FE -的外接球的球心，外接球的半径为R =，那么外接球的外表积为245S ππ=⨯=，故D 正确． 应选：BCD ．28．〔2021•南通模拟〕函数()f x 的定义域为R ，其导函数()f x '满足()10f x '+>，且(1)f x +为奇函数，那么以下结论中正确的有( )A ．函数()f x 的图象关于点(1,0)成中心对称B ．对于任意的12x x ≠，不等式1212()()1f x f x x x ->--恒成立C ．曲线()y f x =上存在一点，使得该点处切线的倾斜角是45︒D ．不等式()1f x x +>的解集是(1,)+∞ 【解答】解：(1)f x +是在R 上的奇函数，(1)f x ∴+的图象关于原点对称，又(1)f x +的图象向右平移1个单位得到函数()f x 图象，∴函数()f x 图象关于点(1,0)成中心对称，A ∴对；()10f x '+>，∴可取0()1f x '=成立，又tan 451︒=，∴此时曲线()y f x =在0x x =处的切线的倾斜角是45︒，C ∴对；令()()g x f x x =+，()()10g x f x '='+>，可知函数()g x 在R 上是增函数．不等式()1f x x +>得()f x x f +>〔1〕1+，即()g x g >〔1〕，又()g x 在R 上是增函数，1x ∴>，∴不等式()1f x x +>的解集是(1,)+∞，D ∴对；()()g x f x x =+是在R 上的增函数，∴对任意1x ，2x R ∈，12x x -与12()()g x g x -同号，∴1212()()0g x g x x x ->-，即112212()()0f x x f x x x x +-->-，得不等式1212()()1f x f x x x ->--恒成立，B ∴对；应选：ABCD ．29．〔2021•南通模拟〕如图，在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，E 是棱A 1B 1的中点，P 是线段A 1C 〔不含端点〕上的一个动点，那么在点P 的运动过程中，以下说法中正确的有〔 〕A ．存在某一位置，使得直线PE 和直线BB 1相交 B ．存在某一位置，使得BC ∥平面AEPC ．点A 1与点B 1到平面PBE 的距离总相等D ．三棱锥C 1﹣PBE 的体积不变【解答】解：选项A ：P 是线段A 1C 〔不含端点〕上的一个动点，PE ∩平面ABB 1A 1＝E ， 而E ∉BB 1，由异面直线的判定定理可知PE 与直线BB 1异面，所以不存在某一位置，使得直线PE 和直线BB 1相交，应选项A 不正确； 选项B ，连接ED 交A 1C 于点P '，面AP 'E 即为面ADE ，此时BC ∥AD ，而BC ⊄平面ADE ，AD ⊂面ADE ，所以BC ∥平面ADE ，即BC ∥平面AEP ，应选项B 正确； 选项C ：如图过点A 1与点B 1作平面PBE 的垂线，垂足分布为H ，H 1，有△B 1HE ≌△A 1H 1E ， 所以B 1H ＝A 1H 1，即点A 1与点B 1到平面PBE 的距离总相等，应选项C 正确； 选项D ：因为，为定值，连接B 1C 交BC 1于点F ，连接EF ，而A 1C ∥EF ，A 1C ⊄平面C 1BE ，EF ⊂平面C 1BE ，所以A 1C ∥平面C 1BE ，所以P 到平面C 1BE 的距离为定值， 所以三棱锥C 1﹣PBE 的体积不变，应选项D 正确． 应选：BCD ．30．〔2021•江苏模拟〕点F 为椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左焦点，过原点O 的直线l 交椭圆于P ，Q 两点，点M 是椭圆上异于P ，Q 的一点，直线MP ，MQ 分别为1k ，2k ，椭圆的离心率为e ，假设||3||PF QF =，23PFQ π∠=那么( ) A．e = B．e =C ．12916k k =-D ．12916k k =【解答】解：由椭圆的对称性，可得四边形PFQF '为平行四边形， 那么||||PF QF '=，180********FPF PFQ ∠'=︒-∠=︒-︒=︒， ||3||3||PF QF PF =='，而||||2PF PF a +'=， 所以||2a PF '=， 所以3||2a PF =， 在PFF ∆'中，222||||||cos 2||||PF PF FF FPF PF PF +'-'∠'='2222914581443332222a a c e a a +-==-=⨯⨯，解得e =， 设1(P x ，1)y ，1(Q x -，1)y -，0(M x ，0)y ， 所以2211221x y a b +=，2200221x y a b +=，两式相减得，22220101220x x y y a b --+=，所以2220122201y y b x x a-=--，所以2010120101()()()()y y y y b x x x x a+-=-+-， 即2122b k k a=-，所以2221229(1)16c a k k e a -=-=--=-， 应选：AD ．31．〔2021•江苏模拟〕[]x 表示不超过x 的最大整数，例如[1.8]1=，[2=-等，定义{}[]x x x =-，那么以下结论正确的有( ) A ．x R ∀∈，[]{}x xB ．不等式2[]4[]0x x -<的解集为(0,5)C ．(){}f x x =的值域为[0，1)D ．(){}f x x =是周期函数 【解答】解：定义{}[]x x x =-，对于:[5]5A -=-，{5}5[5]0-=---=，[5]{5}-<-，当1a x a <+时，{}x a =，故A 错误； 对于B ：不等式2[]4[]0x x -<整理得：0[]4x <<，故x 的解集为[1，4)，故B 错误； 对于C ：根据定义，(){}f x x =的值域为[0，1)，故C 正确； 对于:(){}D f x x =的周期为1，故该函数是周期函数，故D 正确． 应选：CD ．32．〔2021•南通模拟〕在数列{}n a 中，假设13n n n a a ++=，那么称{}n a 为“和等比数列“．设n S 为数列{}na的前n 项和，且11a =，那么以下对“和等比数列〞的判断中正确的有( ) A ．20202020314a -= B ．20212020314a -= C ．20222021318S -=D ．20232021318S -=【解答】解：根据题意，数列{}n a 中，假设13n n n a a ++=，① 那么有113n n n a a --+=，②， ①-②可得：11123n n n a a -+--=⋅， 又由123a a +=，且11a =，那么22a =，那么24223a a -=⨯，46423a a -=⨯，20182020201823a a ⋯⋯-=⨯， 那么20202020201820182016422()()()a a a a a a a a =-+-+⋯⋯+-+20202018201623123232324-=⨯+⨯+⋯⋯+⨯+=，A 正确，B 错误； 假设13n n n a a ++=，那么2233a a +=，4453a a +=，2020202020213a a ⋯⋯+=， 那么20211234520202021()()()S a a a a a a a =+++++⋯⋯++20222420203113338-=+++⋯⋯+=，C 正确，错误； 应选：AC ．33．〔2021•南通模拟〕集合M 在平面直角坐标系中表示线段的长度之和记为||M ．假设集合22{(,)|925}A x y x y =+，{(,)|}B x y y x m ==+，{(,)|2}C x y y kx k ==+-，那么以下说法中正确的有()A ．假设AB ≠∅，那么实数m 的取值范围为{|252}m m -B ．存在k R ∈，使AC ≠∅C ．无论k 取何值，都有A C ≠∅D ．||AC 的最大值为4【解答】解：集合A 表示以原点为圆心，以3与5为半径的圆围成的圆环． AB ≠∅，∴直线y x m =+与圆环有交点，圆心O 到直线y x m =+的距离5d =，解得：[m ∈-，，A ∴对；集合C 中直线2(1)2y kx k k x =+-=-+恒过点(1,2)在圆环内，∴圆环与直线2y kx k =+-一定有交点，∴可判断B 错C 对；集合C 中直线2y kx k =+-与圆环相交得线段长||2(25A C =-=当h 最大时||AC 最大，直线2y kx k =+-恒过点(1,2)，h ∴||AC ∴的最大值为44-，D ∴对．应选：ACD ．34．〔2021•南通模拟〕函数()2sin 2f x x =与()2cos 2g x x =-，那么以下结论中正确的有( ) A ．将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后可得到()y g x =的图象 B ．将()()y f x g x =+的图象向右平移4π个单位长度后可得到()()y f x g x =-的图象 C ．()y f x =的图象与()y g x =的图象关于直线8x π=对称D ．()()y f x g x =+的图象与()()y f x g x =-的图象关于直线4x π=对称【解答】解：函数()2sin 2f x x =，()2cos2sin(2)2g x x x π=-=-，故将()y f x =的图象向右平移4π个单位长度后可得到()y g x =的图象，故A 正确；由题意，()()2sin 2cos2)4y f x g x x x x π=+=-=-，()()2sin 2cos2)4y f x g x x x x π=-=+=+，故将()()y f x g x =+的图象向右平移4π个单位长度后可得到3)4y x π=- 的图象，故B 错误；由于()2)()44f x x g x ππ-=-+≠，故C 错误；当4x π=时，()())24y f x g x x π=+=-=，()()2y f x g x =-==， 故它们的关于直线4x π=对称，故D 正确，应选：AD ．35．〔2021•南通模拟〕假设非负实数a ，b ，c 满足1a b c ++=，那么以下说法中一定正确的有( ) A ．222a b c ++的最小值为13B ．()a b c +的最大值为29C ．ac bc ca ++的最大值为13D ．49【解答】解：因为222a b c ab ac bc ++++，当且仅当a b c ==时取等号， 所以222222222a b c ab ac bc ++++， 所以2222333()1a b c a b c ++++=， 故222a b c ++的最小值13，A 正确；因为211()(1)()24c c a b c c c -++=-==，当且仅当1c c -=，即12c =时取等号，即()a b c +的最大值14，B 正确； 同A ，21()333a b c ac bc ca =++++， 所以13ab ac bc++，当且仅当a b b ==时取等号，C 正确；x =y =，所以23222333(1(1)()44x x b c x y x y x x xy x y x x x x ----+=-+--+⋅=-，令33()4x f x x =-，01x ，那么29()14x f x '=-，易得，当203x <时，()0f x '>，函数单调递增，当213x 时，()0f x '<，函数单调递减，故24()()39f x f =，D 正确．应选：ACD ．36．〔2021•鼓楼区校级模拟〕嫦娥奔月是中华民族的千年梦想.2020年12月我国嫦娥五号“探月工程〞首次实现从月球无人采样返回．某校航天兴趣小组利用计算机模拟“探月工程〞，如图，飞行器在环月椭圆轨道近月点制动〔俗称“踩刹车〞 )后，以/vkm s 的速度进入距离月球外表nkm 的环月圆形轨道〔月球的球心为椭圆的一个焦点〕，环绕周期为ts ，远月点到月球外表的最近距离为mkm ，那么( )A ．圆形轨道的周长为(2)vt km πB ．月球半径为()2vtn km π- C ．近月点与远月点的距离为()tm n km νπ-+D ．椭圆轨道的离心率为m nm n-+ 【解答】解：由题，以/vkm s 的速度进入距离月球外表nkm 的环月圆形轨道，环绕周期为ts ， 那么可得环绕的圆形轨道周长为vtkm ，半径为2vtkm π，故A 错误； 那么月球半径为()2vtn km π-，故B 正确； 那么近月点与远月点的距离为()2vtm n km π+-，故C 正确； 设椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+=>>，那么m R a c +=+，n R a c +=-，解得22a m n R =++，2c m n =- 所以椭圆的离心率为222c c m ne a a m n R-===++，故D 错误， 应选：BC ．37．〔2021•鼓楼区校级模拟〕音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅里叶指出任何乐声都是形如sin()y A t ωϕ=+之各项之和，()0.03sin10000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++的图象就可以近似表示小提琴演奏的某音叉的声音图象，那么( )A ．1()()500f t f t =+B ．()f t 的图象关于点1(,0)1000对称C ．()f t 的图象关于直线12000t =对称 D ．()f t 在11[,]40004000-单调递增 【解答】解：()0.03sin10000.02sin 20000.01sin3000f t t t t πππ=++，设()0.03sin1000g t t π=，最小正周期为211000500T ππ==， ()0.02sin 2000h t t π=，最小正周期为2120001000T ππ==， ()0.01sin 3000k t t π=，最小正周期为2130001500T ππ==， 所以()f t 的最小正周期为上面所求的三个最小正周期的最小公倍数， 故函数()f t 的最小正周期为1500，故1()()500f t f t =+，故A 正确； 对于B ：当11000t =时，1()01000f =，故B 正确；对于1:()0.062000C f ≠，故C 错误； 对于D ：由于11[,]40004000t ∈-，函数()()f t f t -=-，故函数()f t 为奇函数，函数的图像关于原点对称． 当11[,]40004000t ∈-，11000[4t ∈-，1]4，()g t 单调递增； 当11[,]40004000t ∈-，12000[2t ∈-，1]2，()h t 单调递增； 当11[,]40004000t ∈-，33000[4t ∈-，3]4，()k t 单调递增； 故()()()()f t g t h t k t =++，当11[,]40004000t ∈-时，()f t 单调递增，故D 正确， 应选：ABD ．三．填空题〔共13小题〕38．〔2021•辽宁模拟〕函数()x x f x x e e =⋅-，假设()f x a <有且仅有两个不同的整数解，那么函数()f x 的最小值为 1- ；实数a 的取值范围是 ． 【解答】解：()x x f x x e e =⋅-，()(1)x x x f x x e e xe ∴'=+-=，当0x <时，()0f x '<，故()f x 在(,0)-∞上单调递减； 当0x >时，()0f x '>，故()f x 在(0,)+∞上单调递增；∴当0x =时，()f x 取到极小值(0)1f =-，也是最小值．又f 〔1〕0=，(0)1f =-，当x →-∞时，()0f x →，当x →∞时，()f x →+∞， ()f x a <有且仅有两个不同的整数解，∴这两个整数解只能是1-和0，(1)(2)f a f ∴-<-，即223a e e-<-，故答案为：1-；2(e -，23]e-．39．〔2021•锦州一模〕圆柱底面圆心分别为1O ，2O ，圆柱内有一个球，该球与圆柱的上下底面、圆柱侧面均相切，过直线12O O 的平面截圆柱得到四边形ABCD ，其面积为12，假设P 为圆柱底面圆弧CD 的中点，那么平面PAB 与球O 的交线长为． 【解答】解：由于球与圆柱的上下底面及母线均相切，∴四边形ABCD 为正方形，其面积为12，那么AB AC =平面APB 与球O 的交线为圆形，如图，1O E 即为截面圆的直径，由题意可得，1O P =12O O =Rt △12O O P Rt ∽△12O EO ，那么112121O E O O O O O P =，∴21211()O O O E O P ===故交线长为1O E π⋅=．． 40．〔2021•朝阳一模〕数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设11a =，0n a >，2118(2)nn n n S a S a ++=+，那么1010S a = 32． 【解答】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，假设11a =，0n a >，2118(2)nn n n S a S a ++=+， 整理得2211820n n n n S a S a ++-⋅-=， 故11(4)(2)0n n n n S a S a +++-=， 由于0n a >， 所以140n n S a ++>， 故112n n n n S a S S ++==-，①， 整理得13n n S S +=，故数列{}n S 是以1为首项，3为公比的等比数列， 故13n n S -=〔首项符合通项〕，所以：91010981010933332S S a S S ===--． 故答案为：32． 41．〔2021•湖南模拟〕在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且5c =，点O 为其外接圆的圆心，12BO AC ⋅=，那么当角C 取到最大值时ABC ∆1 ．【解答】解：如图，设AC 的中点为D ，那么11()()()()22BO AC BD DO AC BD AC BA BC AC BA BC BC BA ⋅=+⋅=⋅=+⋅=+⋅-2222111()12222BC BA a c =-=-=，又5c =， 所以7a =，由a c >知，C 为锐角，故22224925cos 214a b c b C ab b+-+-==1241()2241414b b =+⨯，当且仅当24b b=，即b = 由cos y x =在(0,)2π上的单调递减，此时C 最大，且有22249a bc ==+，即ABC ∆为直角三角形，所以内切圆半径11()(57)122r b ca =+-=+．1．42．〔2021•湖南模拟〕电子计算机是二十世纪最伟大的创造之一，当之无愧地被认为是迄今为止由科学和技术所创造的最具影响力的现代工具，被广泛地应用于人们的工作与生活之中，计算机在进行数的计算和处理加工时，内部使用的是二进制计数制，简称二进制．一个十进制数(*)n n N ∈可以表示成二进制数0122()k a a a a ⋯，即1210012122222k k k k k n a a a a a ---=⨯+⨯+⨯+⋯+⨯+⨯，其中01a =，{0i a ∈，1}，0i =，1，2，⋯，k ，k N ∈．用()f n 表示十进制数n 的二进制表示中1的个数，那么f 〔7〕= 3 ；对任意*r N ∈，12122r rn +-=∑()f n = ．【解答】解：因为2107121212=⨯+⨯+⨯，所以f 〔7〕3=， 设1100112222r r r r n a a a a --=⨯+⨯+⋯+⨯+⨯，()1f n t =+，那么使得()1f n t =+的n 有t r C 个，所以12122r rn +-=∑()1*0223()rf n t t r r t C r N +==⨯=⨯∈∑．故答案为：3，*23()r r N ⨯∈．43．〔2021•湖南三模〕数学中有许多形状优美、寓意独特的几何体，“等腰四面体〞就是其中之一，所谓等腰四面体，就是指三组对棱分别相等的四面体．关于“等腰四面体〞，以下结论正确的序号是 ①②③ ． ①“等腰四面体〞每个顶点出发的三条棱一定可以构成三角形； ②“等腰四面体〞的四个面均为全等的锐角三角形；③三组对棱长度分别为5，6，7的“等腰四面体〞的体积为④三组对棱长度分别为a ，b ，c【解答】解：将等腰四面体补成长方体，设等腰四面体的对棱棱长分别为a ，b ，c ，与之对应的长方体的长宽高分别为x ，y ，z ，那么222222222x y a y z b x z c ⎧+=⎪+=⎨⎪+=⎩，故22222a c b x +-=，22222a b c y +-=，22222b c a z +-=，结合图像易得①②正确；三组对棱长度分别为5a =，6b =，7c =，那么x =y =z = 因为等腰四面体的体积是对应长方体体积减去四个小三棱锥的体积，所以等腰四面体的体积11114323xyz xyz xyz -⨯⨯==③正确；三组对棱长度分别为a ，b ，c的“等腰四面体〞的外接球直径2R ≠④错误．故答案为：①②③．44．〔2021•益阳模拟〕在锐角三角形ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，假设22222cos b ab ab c a c ++=+，那么2cos cos 122B C+-的取值范围为， ． 【解答】解：因为22222cos b ab ab c a c ++=+， 整理可得2222(1cos )ab C a c b +=+-，所以由余弦定理可得2(1cos )2cos ab C ac B +=，所以(1cos )cos b C c B +=，可得sin sin cos sin cos B C B B C =-， 可得sin sin()B C B =-， 因为02B π<<，02C π<<，所以B C B =-，可得2C B =， 又因为ABC ∆为锐角三角形，所以02022032B C B A B ππππ⎧<<⎪⎪⎪<=<⎨⎪⎪<=-<⎪⎩，可得64B ππ<<，cos B <<， 又因为21cos 3cos 1cos cos 1cos 12222B C B B B +-+-=+-=，3cos 1B <-<3cos 12B -<<2cos cos 122B C+-的取值范围为．故答案为：．。