【高考三模】云南省昆明市2015届高三复习适应性检测(三)数学文试卷 扫描版含答案

2015届云南省昆明市高三5月适应性模拟检测数学理试题第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}0)1lg(|{≤-=x x A ，}31|{≤≤-=x x B ,则B A = A ．]3,1[-B ．]2,1[-C ．)3,1[D ．]2,1(2．设复数Z 满足i z i -=+3)1(，则=zA ．i -1B ．i +1C ．-1D ．i +-13．已知圆○：222=+y x 经过双曲线C ：y x -22C 的实轴长为A ．1B ．2C ．2D ．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1CM面积等于A ．217cm πB ．220cm πC ．221cm πD ．222cm π5．已知n S 是公差不为0的等差数列}{n a 的前项n 和，且421,,S S S 则48S S 等于 A ．16 B ．8 C ．4 D ．26.某批产品共100件，其中70件为一等品，20件为二等品，其余为三等品，规定一、二等品为合格品，现从该批产品中任取一件，已知取到的产品为合格品，则该产品为一等品的概率为A ．97 B ．92 C ．109 D ．107 7．若,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≥+2,210282y x y x y x ，则目标函数y x z 34+=的最小值为A ．14B ．17C ．22D ． 26 8.记数列1，1，2，3，5，8， ……为}{n a ，执行如图所示的程序框图， 则输出的结果为 A ．21 B ．61 C ．21- D ．61- y 的关系表，（记该港口 24:00 则)(t f y =的表达式为A ．)43sin(8.1ππ+=t y B ．)46sin(8.1ππ-=t yC ．)23sin(8.1ππ+=t y D ．)26sin(8.1ππ+=t y10.已知三棱锥D-ABC 四个顶点均在半径为R 的球面上，且AB=BC=3,AC=3,若该三棱锥体积的最大值为433，则R= 否是结束输出A -Mk=k+1k=1开始M =M +ak2S=S+a k输入a kA =Skk ≥4S=a 1,M =a 1输入a 1A ．1B ．2C ．3D ．32 )()2()(,)(x mf x f x g e e x f x x +=+=-，对任意0)(,>∈x g R x ，则m 的取值范围是 A ．),4[+∞- B ．),1[+∞- C ．),0[+∞ D ．),2[+∞12.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a bx a y 的两个焦点分别为21,F F ，M 为C 上位于第一象限的点，且y MF ⊥1轴，2MF 与椭圆C 交于一点N,若N F MF 222=，则直线MN 的斜率为A ．25 B ．552 C ．25- D ．5 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.}{n a中，1,111+=-=+n a a a a nn n,则7a =_________33,1(=a ，则b 在a 方向上的投影为_______15.5名同学分配到3个不同宣传站做宣传活动，每站至少一人，其中甲、乙两名同学必须在同一个宣传站，则不同的分配方法的种数是_________（用数字作答）x ax x x x f +-=2ln )(在定义域内存在两个极点21,x x ，则实数a 的取值范围为____________三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 中，AB=3,BC=22,AC=5,∠ADC=3∠ABC 。

云南省师大附中2015届高考数学适应性月考卷文（扫描版）2015届高考适应性月考卷（四）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案BCADBBCAADCA【解析】1．因为{41}M =-，，所以M N =I {1}，故选B ．2．221i 1iz =-+=-+-，故选C ．3．lg lg 010101010lg lg a b a b a b a b a b a b >>>>>>>当时，，则；当时，，无法得出，故选A ． 4．(1)(24)x =-∵，，，，且，a =b a b P 420x --=∴，2x =-，(12)10-⋅∴，，a =a b =，故选D ． 5．因为23112a a a ，，成等差数列，所以1233122a a a a +=⨯=，即2111a a q a q +=，所以210q q --=，解得152q +=或1502q -=<（舍去），故选B ． 6．150=0+2=2=21+2=4i S i =>⨯不成立，，；45022424412i S i =>=+==⨯+=不成立，，；1250426212630i S i =>=+==⨯+=不成立，，；3050628230868i S i =>=+==⨯+=不成立，，； 68508i S =>=成立，，故选B ．7．作出不等式组表示的区域如图1阴影部分所示， 由图可知，(00)z ax by a b =+>>，过点(11)A ，时 取最大值，所以4a b +=，故选C ．8．∵△OFM 的外接圆与抛物线C 的准线相切，∴△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径，∵圆面积为9π，∴圆的半径为3，322aa a +==∴，∴，故选A ．9．由三视图还原出几何图形如图2所示，其中正视图由SBC 面看入，SD ABCD AB ⊥平面，与DC 平行，2433AB DC AD SD ====，，，， 11(24)33932V =⨯⨯+⨯⨯=，故选A ．10．如图3所示，把三棱柱补形为四棱柱1111ABDC A B D C -，连接1BD ，则11BD AC ∥，则11A BD ∠就是异面直线1A B 与1AC 所成的角，设AB a =，在11A BD △中，1A B a =，13BD a =，112A D a =，116sin 3A BD ∠=∴，故选D ．11．2()323f x x tx '=-+∵，由于()f x 在区间[14]，上单调递减，则有()0f x '≤在[14]，上恒成立，即23230x tx -+≤，也即312t x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥在[14]，上恒成立，因为312y x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[14]，上单调递增，所以31514248t ⎛⎫+= ⎪⎝⎭≥，故选C ．12．由题意1()()0(1)a f ax af x ax ax x ax x+=-+-<≥，即222210a x a ax --<，易知0a <，222210a x a -->，22112a a +<，1a <-∴，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号 13 14 15 16 答案19- 11241289【解析】图3图2图113．21cos(π2)cos2(12sin )9ααα-=-=--=-．14．先后抛掷两次骰子，共有36个基本事件，其中点数之和为4的事件有(13)(22)(31)，，，，，共3个，所以出现向上的点数之和为4的概率是313612=．15．∵函数(1)y f x =-的图象关于点(10)，对称，()f x ∴是R 上的奇函数，(2)()f x f x +=-，(4)(2)()f x f x f x +=-+=∴，故()f x 的周期为4，(2013)(50341)(1)4f f f =⨯+==∴，(2012)(2014)(2012)(20122)f f f f +=++∴(2012)(2012)0f f =-=， (2012)(2013)(2014)4f f f ++=∴． 16．由12a =，21n n a a =+，21n n a n a +=-，得2211n n a a n ++=+，123459899()()()223501276a a a a a a a +++++++=++++=L L ∴，10050251263111(1)2(12)14(1)13(1)12(1)13a a a a a a a =+=++=+-=-+=-+=--=∵， 121001276131289a a a +++=+=L ∴．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由正弦定理，得sin sin 3sin cos C A A C ，因为sin 0A ≠，解得tan 303C C C π∈π=，又(，)，∴．…………………………（5分）（Ⅱ）由sin sin()3sin 2C B A A +-=，得sin()sin()3sin 2B A B A A ++-=， 整理，得sin cos 3sin cos B A A A =．因为2A π≠，cos 0A ≠，则sin 3sin B A =，3b a =． …………………………（8分）由余弦定理，得2222cos c a b ab C =+-， 解得13a b ==，．133sin 2ABC S ab C ==△． 所以，ABC △33． …………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题条件知，PQ AD BQ AD PQ BQ Q ⊥⊥=I ，，，所以AD PQB ⊥平面，AD PAD PQB PAD ⊂⊥∵平面，∴平面平面． …………………………………（4分） （Ⅱ）解：如图4所示，PA PD Q AD PQ AD =⊥∵，为中点，∴．PAD ABCD PAD ABCD AD ⊥=I ∵平面平面，平面平面， PQ ABCD ⊥∴平面． …………………………（7分）设PA =PD =AD =2a ，则3PQ a =，23BCQ S a =△，23123223333M BCQ a V a a -===， 1a =∴，Q PAB P QAB V V --=，设点Q 到平面PAB 的距离为h ， 26PA AB PB ===∵， 165111333232h =⨯⨯∴ 15h =∴，即点Q 到平面PAB 15． …………………………………（12分） 19．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）8585x x ==乙甲∵，，2231.650s s ==乙甲，，22s s <乙甲，所以选甲合适．………（5分） （Ⅱ）①因为基本事件的总数25n =个，而满足条件3x y -≤的事件有(8280)，，(8285)，，(8280)，，(8285)，，(7980)，，(9595)，，(8790)，，(8785)，共8个，8()25P A =∴． ……………………………………………………………………（8分） 图4②考试有5次，任取2次，基本事件共10个：(8295)，和(8275)，，(8295)，和(7980)，，(8295)，和(9590)，，(8295)，和(8785)，，(8275)，和(7980)，，(8275)，和(9590)，，(8275)，和(8785)，，(7980)，和(9590)，，(7980)，和(8785)，，(9590)，和(8785)，，其中符合条件的事件共有6个，则5次考试，任取2次，恰有一次考试两人“水平相当”的概率63105P ==．…（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设椭圆的焦距为2c ，，234c a ⎛⎫= ⎪⎝⎭∴，所以2234a c =，又点0)是抛物线的焦点，23c =∴．所以椭圆C 的方程为2214x y +=． ……………………………………………（4分）（Ⅱ）因为ON OA OB =+u u u r u u u r u u u r，所以四边形OANB 为平行四边形， 当直线l 的斜率不存在时，显然不符合题意；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为3y kx =+，l 与椭圆交于11()A x y ，，22()B x y ，两点，由22223(14)2432014y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒+++=⎨+=⎪⎩，． 由222(24)128(14)02k k k ∆=-+>⇒>．12122224321414k x x x x k k +=-=++，． ……………………………………………（7分） 12121322OAB S OD x x x x =-=-△∵，1223||OANB OABS S x x ==-=Y △∴== …………………………………………（9分）令22k t -=，则22k t =+(0)t >由上式知，2OANB S ===Y ∴，当且仅当9t =，即2174k =时取等号，k =∴当时，平行四边形OANB 的面积最大值为2． 此时直线l 的方程为3y =+． ……………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）因为1ln ()x f x x +=，则2ln ()(0)xf x x x'=->， …………………（1分）当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<． 所以()f x 在(01)，上单调递增，在(1)+∞，上单调递减．所以()f x 在1x =处取得极大值． …………………………………………………（3分）因为()f x 在区间13a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，（其中0a >）上存在极值，所以1,11,3a a <⎧⎪⎨+>⎪⎩解得213a <<． …………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）不等式3+()1k k f x x +≥，即3(1)(1ln )x x k k x+++≥．设(1)(1ln )()x x g x x ++=，则2ln ()x xg x x-'=． 令()ln h x x x =-，则1()1h x x'=-．因为1x ≥，所以()0h x '≥，则()h x 在[1)+∞，上单调递增． …………………（9分） 所以()h x 的最小值为(1)10h =>，从而()0g x '>，故()g x 在[1)+∞，上单调递增，所以()g x 的最小值为(1)2g =，所以32k k +≤，2(1)(2)0k k k -++≤．解得1k ≤． ………………………………………………………………………（12分） 22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】 证明：（Ⅰ）如图5，连接BE ，则BE EC ⊥，又D 是BC 的中点，所以DE BD =．又OE OB OD OD ==，，所以ODE ODB △≌△， 所以90OBD OED ∠=∠=︒． 故D E O B ，，，四点共圆． …………………………………………………………（5分） （Ⅱ）如图5，延长DO 交圆于点H ，2()DE DM DH DM DO OH DM DO =⋅=⋅+=⋅+∵DM OH ⋅， 21122DE DM AC DM AB ⎛⎫⎛⎫=⋅+⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，即22DE DM AC DM AB =⋅+⋅，,2BCDE DC ==∵ ∴22DC DM AC DM AB =⋅+⋅． ……………………………（10分）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）半圆C 的普通方程为22(1)1x y -+=(01)y ≤≤，又cos sin x y ρθρθ==，，所以半圆C 的极坐标方程是2cos 02ρθθπ⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦，，． …………………………（5分）（Ⅱ）设11()ρθ，为点P 的极坐标，则有1112cos ,,3ρθθ=⎧⎪⎨π=⎪⎩ 解得111,,3ρθ=⎧⎪π⎨=⎪⎩ 设22()ρθ，为点Q 的极坐标，则有2222(sin 3)53,,3ρθθθ⎧+=⎪⎨π=⎪⎩解得225,,3ρθ=⎧⎪π⎨=⎪⎩ 由于12θθ=，所以124PQ ρρ=-=，所以PQ 的长为4． …………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】证明：（Ⅰ）因为a b c ，，为正实数，由均值不等式可得33333331111113a b c a b c ++⋅⋅≥3331113a b c abc++≥，所以3331113abc abc a b ++++≥，而33223abc abc abc abc +⋅≥， 所以33311123abc a b c+++≥当且仅当63a b c ===时，取等号． ……………………………………………（5分）（Ⅱ）3311113A B C ABCABC++≥39π3A B C =++≥，πππ9A B C++∴≥， 图5当且仅当π3A B C ===时，取等号． ………………………………………………（10分）。

云南师大附中2015届高考适应性月考卷（三）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）【解析】1．分别取1212x y ==，，，，计算可得{101}Q =-，，，故选B.2．由题知2230m m +-=且10m -≠，所以3m =-，故选B.3．A 中否命题应为“若21x ≠，则1x ≠”；B 中否定应为“210x x x ∀∈+-，≥R ”；C 中原命题为真命题，故逆否命题为真命题；易知D 正确，故选D ．4．(10)(12)(12)(34)b a c +=+=+=，，，，，λλλλ，又()b a c +⊥λ，()0b a c ∴+⋅=λ，即(12)(34)3380+⋅=++=，，λλλλ，解得311=-λ，故选A. 5．πππ()sin 2sin 2cos21232g x x x x ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=++=+= ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，故选A. 6．由题意可知输出结果为1234105S =-+-+-⋅⋅⋅+=，故选C.7．由题意可得121212()3m n mx n y x y z x x x y y y m n m n ++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+==++，故221n m ==，故选C.8．该几何体下方是一个长方体，上方是一个圆柱被切掉一部分，体积为442π3V =⨯⨯+⨯ 1π2324π2+⨯⨯=+，故选D. 9． 123221213112132a a a ==-=-=-=--+，，，452121*********a a =-==-=+-，， 推理得{}n a 是周期为4的数列，2015312a a ∴==-，故选B ．12．2222222()log 2log ()log log ()log ()x f x x x c x x c x c =-+=-+=+，由()1f x ≤，得22log ()x x c + 1≤，即22()x x c +≤，所以222(41)20x c x c +-+≥在(0)x ∈+∞，上恒成立.设22()2(41)2g x x c x c =+-+，因为2(0)20g c =>，所以若对称轴41022c x -=-⨯≤，则此时满足条件，解得14c ≥．若对称轴41022c x -=->⨯，即14c <，则此时应满足条件22(41)4220c c ∆=--⨯⨯≤，解得18c ≥，所以1184c <≤．综上，满足条件的c 的取值范围是18c ≥，即18⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，，故选D.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13 14 15 16 答案15 36 203⎛⎫ ⎪⎝⎭， 248 【解析】13．设A ={3人中至少有1名女生}，B ={3人都是男生}，则A B 、为对立事件，1()1()5P B P A ∴=-=. 14．由4652a a a ⋅=，得2552a a =，即52a =，所以54b =，19959()9362b b S b +===. 15．()f x 的图象关于直线1x =对称，所以1,()21,x x f x x x ⎧=⎨-<⎩，≥，12,2(2)122,2x x f x x x ⎧⎪⎪=⎨⎪-<⎪⎩，≥，如右图可知不等式(2)()f x f x <的解集为203x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 16．因为AD AB =且O 为BD 中点，所以AO BD ⊥，因为平面ABD ⊥平面BCD ，由面面垂直的性质定理可得AO ⊥平面BCD ，即PO ⊥平面COQ ．因为BC DC ==2BD =，所以BCD △为直角三角形，则111222BOC BCD S S ==⨯△△12=，令(01)AP CQ x x ==<<，则11(1)33P OQC QOC BOC V S PO AP -⎫=⋅=-⎪⎭△△21(1)2x x x +-⎫=⋅-=⎪⎭，当且仅当1x x =-，即12x =时取“=”. 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.（本小题满分12分）【注：本题题干第一行中“且sin 2m n C ⋅=-”改为“且sin 2m n C ⋅=”，改后答案如下：】 解：（Ⅰ）sin()2cos sin sin cos cos sin sin()m n A B A B A B A B A B ⋅=-+=+=+，…………………………………………………………………………………（2分）在ABC △中，π0πA B C C +=-<<，，所以sin()sin A B C +=，……………………（4分）又sin 2m n C ⋅=，所以sin sin 22sin cos C C C C ==，所以1cos 2C =，即π3C =． ……………………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）sin sin 2sin A B C +=，由正弦定理得2c a b =+，………………………………（7分）1sin 2ABC S ab C =△，得4ab =，……………………………………………（9分）由余弦定理得22222222cos ()3412c a b ab C a b ab a b ab c =+-=+-=+-=-，得2c =．………………………………………………………………………………（12分）18.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）当7x =时，由茎叶图可知，乙组同学去图书馆学习的次数是7,8,9,12, 所以平均数为7891294x +++==. ……………………………………………………（3分）方差为2222217[(79)(89)(99)(129)]42s =-+-+-+-=．………………………………（6分）19.（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：BEC △为正三角形，F 为BC 的中点，EF BC ∴⊥. //EF AB ，AB BC ∴⊥. 又AB BD AB ⊥∴⊥，平面BCD ，………………………………………………………（3分）AB CD ∴⊥，又AD CD AB AD A ⊥=，，CD ∴⊥平面ABD . ………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）解：设点C 到平面DEF 的距离为h ，105253AC BE BC AB EF =∴==∴==，，在Rt BDC △中，F 为BC 的中点，1522DF BC ∴==，12EFD S DF EF ∴=⋅=△，……………………………………………………………（8分）13C EFD EFD V S h -∴=⋅=△，在Rt BCD △中，35CD BC ==，， 4BD ∴=， 132DFC DBC S S ∴==△△，13E DFC DFC V S EF -∴=⋅△，………………………………（10分）125E DFC C EFD V V h --=∴=，，∴点C 到平面DEF 的距离为125.………………………（12分）20.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）设双曲线G 的渐近线方程为y kx == 所以12k =±，即双曲线G 的渐近线方程为12y x =±. 设双曲线G 的方程为224x y m -=，(,),(,)A A B B A x y B x y . 由221(4),44,y x x y m ⎧=+⎪⎨⎪-=⎩得2381640x x m ---=， 则816433A B A B m x x x x ++==-，.(*) ……………………………………………………（3分） 因为2PA PB PC ⋅=，P A B C ，，，共线且P 在线段AB 上， 所以2()()()P A B P P C x x x x x x --=-，整理得：4()320A B A B x x x x +++=，将(*)代入上式可解得：28m =. 所以双曲线G 的方程为221287x y -=．……………………………………………………（6分）（Ⅱ）由题可设椭圆S的方程为：2221(28x y a a+=>，弦的两个端点分别为11()M x y ，，22()N x y ，，MN 的中点为00()Q x y ，， 由22112222221,281,28x y a x y a ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩得121212122()()()()028x x x x y y y y a -+-++=，……………………………（8分） 因为1212012012422y y x x x y y y x x -=-+=+=-，，，所以0024028x y a-=，…………………（9分）所以S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹为直线24028x y a -=截在椭圆S 内的部分. 又这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以211122a =，所以256a =， 椭圆S 的方程为2212856x y +=．…………………………………………………………（12分）21.（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()32f x x ax b '=++，于是，根据题设有2(1)320,(1)110,f a b f a b a '=++=⎧⎨=+++=⎩解得4,11a b =⎧⎨=-⎩或3,3.a b =-⎧⎨=⎩…………………………………………………………………（2分）当4,11a b =⎧⎨=-⎩时，2()3811f x x x '=+-，641320∆=+>，所以函数有极值点； 当3,3a b =-⎧⎨=⎩时，2()3(1)0f x x '=-≥，所以函数无极值点. ……………………………（5分）所以11b =-. ……………………………………………………………………………（6分）（Ⅱ）由题意知，2()320f x x ax b '=++≥对任意的[4)a ∈-+∞，， [02]x ∈，都成立，所以2()230F a xa x b =++≥对任意的[4)a ∈-+∞，，[02]x ∈，都成立.因为0x ≥，所以()F a 在[4)a ∈-+∞，上为单调递增函数或为常数函数，①当()F a 为常数函数时，()0F a b =≥；②当()F a 为单调递增函数时，2min ()(4)830F a F x x b =-=-++≥，即2max (38)b x x -+≥对任意[02]x ∈，都成立，………………………………………（10分） 又2241616383333x x x ⎛⎫-+=--+ ⎪⎝⎭≤，所以当43x =时，2max 16(38)3x x -+=，所以163b ≥. 所以b 的最小值为163. …………………………………………………………………（12分） 22.（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=∠，4101210480.AD AE AB AC ∴⋅=⋅==……………………………………………（10分）23.（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）点D 的直角坐标为(23)--，，由题意可设A 的坐标为(2cos sin )，αα，则AD 的中点M的坐标为11cos sin 2⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，αα， 所以M 的轨迹E的参数方程为1cos ,1sin ,2x y =-+⎧⎪⎨=⎪⎩αα（为参数）， 消去可得E的普通方程为22(1)4(1x y ++=.…………………………………（4分）（Ⅱ）椭圆C 的普通方程为2214x y +=，化为极坐标方程得2223sin 4+=ρρθ，变形得ρ．由OA OB ⊥可设12π()2A B ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，，，ρθρθ， 所以2211OA OB +222212π13sin 1113sin 244⎛⎫++ ⎪+⎝⎭=+=+θθρρ 2223sin 3cos 544++==θθ（定值）． ……………………………………………………（7分）1212AOB S ===△ρρ， 易知当sin 20=θ时，max ()1AOB S =△.……………………………………………………（10分）24.（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）因为4(4)()4x x a x x a a -+----=-≥，因为4a <，所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立， 故431a a -=∴=，．……………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）当1a =时，若1()()g x f x m=+的定义域为R ， 则()0f x m +≠恒成立，即()0f x m +=在R 上无解， 又()441(4)(1)3f x x x a x x x x =-+-=-+----=≥，当且仅当14x ≤≤时，取等号．∴>-．………………………………………………………………………………（10 m3分）。

第Ⅰ卷(共60分）一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．设集合，则（）A．B．C．D．2．设复数满足，则（)A．B．C．2 D．13．设命题,则为( ）A．B．C．D．4．从3名男生和2名女生中任意推选2名选手参加辩论赛，则推选的2名选手恰好是1男1女的概率是( ）A．B．C．D．5．下边程序框图的算法思路源于我国古代数学著作《数书九章》，称为“秦九韶算法”．执行该程序框图,若输入，则输出的（)A．26 B．48 C．57 D．646．一个圆柱挖去一部分后，剩余部分的三视图如图所示,则剩余部分的表面积等于（)A．B．C．D．7．已知满足约束条件则的最大值是( ）A．B．C．D．28．已知函数的图象与直线相交，其中一个交点的横坐标为4，若与相邻的两个交点的横坐标为2，8,则( ）A．在上是减函数B．在上是减函数C．在上是减函数D．在上是减函数9．设函数在上单调递增，则实数的取值范围为( ）A．B．C．D．10．正三棱柱的底面边长为,侧棱长为2，且三棱柱的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．11．已知定义在上的函数是奇函数，且在上是减函数，,则不等式的解集是( )A．B．C．D．12．已知抛物线的焦点为,点在上，且点是的重心，则为（)A．B．C．D．第Ⅱ卷（共90分)二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．若和是两个互相垂直的单位向量，则______．14．已知为锐角，，则______．15．在中，所对的边的长分别是，且，则的周长为______．16．已知圆,过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为,若为锐角,则的取值范围是______．三、解答题（本大题共6小题,共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）17．（本小题满分12分）设是数列的前项和，且．（Ⅰ）证明：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列的前项和．18．（本小题满分12分)在四棱锥中，底面是菱形,．（Ⅰ）证明:;（Ⅱ）若平面平面,且，求点到平面的距离．19．（本小题满分12分）PM2。

2024-2025学年云南省昆明市高三第三次联考数学检测试卷1. 本试卷共19题.全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.写在试卷、草稿纸和答题卡的非答题区域均无效.3.非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.4.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.下列说法错误的是（ ）A. 若随机变量()2,X N μσ~，则当σ较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X 的分布比较集中B. 在做回归分析时，可以用决定系数2R 刻画模型的回归效果，若2R 越大，则说明模型拟合的效果越好C. 在一元线性回归模型中，如果相关系数0.98r =，表明两个变量的相关程度很强D. 对于一组数据1x ，2x ，…，n x ，若所有数据均变成原来的2倍，则2s 变为原来的2倍【答案】D 【解析】【分析】根据正态分布曲线的性质，可得判定A 正确；根据决定系数和相关系数的性质，可得判定B 正确，C 正确；根据方差的性质，可判定D 错误.【详解】对于A 中，若随机变量()2~,X N μσ，则当σ较小时，对应的正态曲线“瘦高”，随机变量X 的分布比较集中，所以A 正确；对于B 中，在做回归分析时，可以用决定系数2R 刻画模型回归效果，2R 越大，说明模型拟合的效果越好，所以B 正确；对于C 中，一元线性回归模型中，相关系数的绝对值越接近1，表明两个变量的相关性越强，所以如果相关系数0.98r =，表明两个变量的相关程度很强，所以C 正确；对于D ，若所有数据均变成原来的2倍，则2s 变为原来的4倍，所以D 正确.故选：D ．2. 若1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第8项的系数相等，则展开式中系数最大的项为（ ）A. 第3项 B. 第4项C. 第5项D. 第6项【答案】C 【解析】【分析】由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和项的系数相等，因此由题意可得17C C n n =，求出8n =，即可求得展开式中系数最大的项.【详解】由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中第2项与第8项的系数相等，由1nx x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的二项式系数和项的系数相等，所以17C C n n =，所以8n =，则展开式中共有9项，系数最大的项为第5项，故选：C ．3. 函数()()e 1cos e 1xxx f x +=-的部分图象大致为（ ）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的定义域，特殊值，奇偶性，即可判断选项.【详解】()()e 1cos e 1xxx f x +=-的定义域为()(),00,-∞+∞ ，排除D ；因为()20f <，所以排除C ；因为()()()()()e 1cos 1+e cos e 1e1xxxxx x f x fx --+-=-=-=---，()f x 是奇函数，图象关于原点对称，排除B.故选:A4. 已知长方体1111ABCD A B C D -的体积为16，且12AA =，则长方体1111ABCD A B C D -外接球体积的最小值为（ ）A.25π6B.C.D. 125π【答案】C 【解析】【分析】设,AB x BC y ==，结合题意可得8xy =，进而结合长方体外接球半径及基本不等式求得min R ，再根据球的体积公式计算即可.【详解】在长方体1111ABCD A B C D -中，设,AB x BC y ==，因为长方体1111ABCD A B C D -的体积为16，12AA =，所以216xy =，即8xy =，所以2R =≥==当且仅当x y ==min R =所以长方体1111ABCD A B C D -外接球体积的最小值为34π3⨯=.故选：C.5. 在平面内，设n 是直线l 的法向量（直线的法向量：直线l 的方向向量为a ，若向量n a ⊥ ，则向量n叫做直线l 的法向量），,M N 是平面内的两个定点，M l ∈，N l ∉，若动点P 满足PM n PN n⋅=.则动点P 的轨迹为（ ）A. 圆 B. 椭圆C. 双曲线D. 抛物线【答案】D 【解析】【分析】由抛物线的定义求解．【详解】PM n n⋅ 表示动点P 到直线l 的距离，PN表示动点P 到定点N 的距离，因为PM n PN n⋅=，所以动点P 的轨迹为抛物线，故选：D ．6. 已知α，()0,πβ∈，tan α，tan β是方程240x -+=的两个根，则αβ+=（ ）A.π3B.2π3C.4π3D.π3或2π3【答案】B 【解析】【分析】借助韦达定理可得tan +tan αβ、tan tan αβ，再结合α、β所处象限即可得αβ+范围，再利用两角和的正切公式计算即可得解.【详解】因为tan α，tan β是方程240x -+=的两个根，所以tan +tan 0αβ=>，tan tan 40αβ=>，所以tan 0,tan 0αβ>>，因α，()0,πβ∈，所以ππ0,022αβ<<<<，0παβ<+<，因为()tan tan tan 1tan tan αβαβαβ++===-2π3αβ+=.故选：B.7. 已知曲线Γ的方程为()()222222220x y x yxy x y ++++--=，若经过点()4,2A --的直线l 与曲线Γ有四个交点，则直线l 的斜率的取值范围是（ ）A. 711,,12322⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ B. 177,,172323⎛⎫⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ C. 7,123⎛⎫⎪⎝⎭D. 1,17⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】【分析】易得曲线Γ表示以()1,1M --，()1,1N为半径的两个圆，计算可得两圆外切，设过点A 且与圆N 相切的直线方程并借助点到直线的距离公式计算，可得两切线斜率，再排除直线AO 的斜率即可得解.【详解】如图，曲线Γ表示以()1,1M --，()1,1N为半径的两个圆，由MN =设过点A 且与圆N 相切的直线方程为()42y k x =+-，则点N到该直线的距离1d ，解得11k =，2723k =，即图中直线AC 的斜率为1，直线AD 的斜率为723，又直线AO 的斜率为12，所以直线l 斜率的取值范围为711,,12322⎛⎫⎛⎫⋃⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.为故选：A ．8. 将1，2，3，4，5，6，7这七个数随机地排成一个数列、记第i 项为()1,2,,7i a i =⋅⋅⋅，若123a a a <<，345a a a >>，567a a a <<，则这样的数列共有（ ）A. 70个B. 71个C. 80个D. 81个【答案】B 【解析】【分析】先分类，再分步，根据加法原理以及乘法原理、组合数即可求解.【详解】若51a =，则这样的数列有2263C C 45=个；若52a =，则这样的数列有2152C C 20=个；若53a =，则这样的数列有24C 6=个，所以满足条件的数列共有4520671++=个，故选：B ．二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9. 已知复数z 不为0，其共轭复数为z ，下列说法正确的是（ ）A. 22z z=B. 复平面内，z 与z 所对应的点关于实轴对称C. z z +，z z -与z z ⋅都是实数D. 若1z z=，则z 在复平面内所对应的点的轨迹为圆【答案】BD 【解析】【分析】根据复数的运算，几何意义，定义，即可判断选项.【详解】设()i R z a b a b =+∈，且,a b 不同时为0，则i z a b =-，由()2222i z a b ab =-+，222z a b =+，故A 错误；i z a b =+，对应的点为(),a b ，i z a b =-，对应的点为(),a b -，对应的点关于实轴对称，故B 正确；i z a b =+，i z a b =-，2z z a +=，为实数，2i z z b -=，只有当0b =的时候才是实数，22z z a b ⋅=+，为实数，故C 错误；若1z z=，即21zz z ==，即1z =，所以z 在复平面内所对应的点的轨迹为圆，故D 正确.故选：BD10. 已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，8b =，45C =︒.若三角形有两解，则边c 的取值可以是（ ）A. 5 B. 6 C. 7 D. 8【答案】BC 【解析】【分析】由余弦定理以及方程22640a c -+-=有两个正根1a ，2a ，从而列出关于c 的不等式即可求解.【详解】由余弦定理得222828cos 45c a a =+-⨯⨯⨯°，即22640a c -+-=.因为三角形有两解， 所以方程22640a c -+-=有两个正根1a ，2a ，由120a a +=>，212640a a c =->，Δ=(2−4(64−c 2)>0得8c <<，故选：BC.11. 已知双曲线2213y x -=，过原点的直线AC ，BD 分别交双曲线于A ，C 和B ，D 四点（A ，B ，C ，D四点逆时针排列），且两直线斜率之积为13-，则tan AOB ∠的可能值为（ ）A. B.C.D. 【答案】AC 【解析】【分析】分点A 位于第一象限时，点B 位于第二象限，和点A 位于第四象限，点B 位于第一象限两种情况结合双曲线的对称性和性质以及对勾函数的单调性求解即可.【详解】如图，当点A 位于第一象限时，点B 位于第二象限，设直线OA 的斜率为k ，则直线OB 的斜率为13k-，因为渐近线方程为y =，所以(k ∈，()13k-∈，所以k ∈，因为1313tan 12313kk AOB k k --⎛⎫∠==-+ ⎪⎛⎫⎝⎭+- ⎪⎝⎭，因为函数13y k k =+在上单调递减，在上单调递增，所以函数3123y k k ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭在上单调递增，在上单调递减，而k =时，y =；k =y =；k =y =，所以tan AOB ∠的取值范围为⎛ ⎝；当点A 位于第四象限，点B 位于第一象限，同理可得tan AOB ∠的取值范围为．综上所述，tan AOB ∠的取值范围为⎛ ⎝ .故选：AC.【点睛】关键点点睛：本题关键在于结合双曲线的对称性和性质得到(k ∈，()13k-∈，进而求得k 的取值范围，从而结合对勾函数的单调性确定tan AOB ∠的取值范围.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12. 已知数列{}()16,n a n n *≤≤∈N是公差不为0的等差数列，现从中随机删除两项，得到一个新的数列.这两组数据的极差相同的概率为______.【答案】25##0.4【解析】【分析】根据古典概型概率计算公式即可求解.【详解】不妨设0d >，则126a a a <<⋅⋅⋅<，其极差为61a a -．若随机删除两项后极差不变，则删除的两项必存在于第2项至第5项，则有24C 种删除方法，所以2426C 2C 5P ==．故答案为：25.13. 若函数()()2f x x x a =+在1x =-处有极小值，则a =______.【答案】3【解析】【分析】首先求函数的导数，根据()10f '-=，求a 的取值，再代入验证，即可求解.【详解】()2234f x x ax a =++'，因为()f x 在1x =-处有极小值，所以()10f '-=，即2430a a -+=，解得1a =或3a =；当1a =时，()()()2341131f x x x x x =++=++'，当1x <-或13x >-时，f ′(x )>0，当113x -<<-时，f ′(x )<0，函数()f x 在1x =-处取得极大值；故1a =不成立，当3a =时，()()()313f x x x +'=+，当3x <-或1x >-时，f ′(x )>0，当31x -<<-时，f ′(x )<0，函数()f x 在1x =-处取得极小值，所以3a =.故答案：314. 已知函数()()sin f x x ωϕ=+（0ω>，π2ϕ≤），π8x =-为()f x 的零点，π8x =为()f x 图象的为对称轴，且()f x 在ππ,186⎛⎫⎪⎝⎭上不单调，则ω的最小值为______.【答案】10【解析】【分析】首先根据对称轴和对称中心间的距离，得到关于ω的关系式，再根据单调区间与周期的关系，再得到ω的范围，再验证，即可求解.【详解】设函数()f x 的最小正周期为T ，因为π8x =-为()f x 的零点，π8x =为()f x 图象的对称轴，所以ππ8842T kT ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭，即()()21π212πZ 444k T k k ω++==⋅∈，所以()()22142Z k k k ω=+=+∈.因为()f x 在ππ186⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，所以ππ6182T ->，所以π12π92ω>⨯，解得9ω>.当10ω=时，由π8x =-为()f x 的零点可得π10π8k ϕ⎛⎫⨯-+= ⎪⎝⎭，()5ππ+Z 4k k ϕ=∈，因为π2ϕ≤，所以π4ϕ=.因为()πsin(104f x x =+在ππ186⎛⎫⎪⎝⎭，上不单调，所以ω的最小值为10.故答案为：10四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15. 体育运动是强身健体的重要途径，随着“中国儿童青少年体育健康促进行动方案（2020-2030）”的发布，体育运动受到各地中小学的高度重视，众多青少年的体质健康得到很大的改善.我们把每周体育锻炼时间超过8小时的学生称为“运动达人”，为了了解“运动达人”与性别是否有关系，我们对随机抽取的80名学生的性别进行了统计，其中女生与男生的人数之比为1:3，男生中“运动达人”占12，女生中“运动达人”占34.（1）根据所给数据完成下面的22⨯列联表，并判断能否有90％的把握认为“运动达人”与性别有关？女生男生合计运动达人非运动达人合计（2）现从抽取的“运动达人”中，按性别采用分层抽样抽取3人参加体育知识闯关比赛，已知其中男、女生独立闯关成功的概率分别为34与23，在恰有两人闯关成功的条件下，求有女生闯关成功的概率.附：()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()2P K k≥0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635【答案】（1）列联表见解析，有90％的把握认为“运动达人”和性别有关； （2）47.【解析】【分析】（1）完善22⨯列联表，计算2K 的观测值并作答.（2）利用独立重复试验的概率公式求出概率，再利用条件概率公式计算即得.【小问1详解】抽取80人中，女生与男生的人数比为1:3，则女生有20人，男生有60人，男生中“运动达人”占12，女生中“运动达人”占34，则得如下22⨯列联表：女生男生合计运动达人153045非运动达人53035合计206080显然2280(30)803.810 2.706155303520604521K ⨯-⨯⨯⨯>⨯==≈，的所以有90％的把握认为“运动达人”和性别有关.【小问2详解】由分层抽样，得抽取的男生人数为2，女生人数为1，记“恰有两人闯关成功”为事件A ，“有女生闯关成功”为事件B ，则232()()(1263327(1)434341P A =⨯-+⨯-⨯⨯=，3321(14434()2P AB ⨯-=⨯⨯=，于是()()()1447716P AB P B A P A ===，所以恰有两人闯关成功的条件下，有女生闯关成功的概率为47.16. 已知数列{}n a 满足12a =，()()12n n n a n a a n +⎧⎪=⎨+⎪⎩为奇数为偶数，数列{}n b 满足21n n b a -=.（1）求2b ，3b 的值；（2）证明：数列{}n b 是等差数列；（3）求数列{}n a 的前2n 项和2n S .【答案】（1）24b =，36b =（2）证明见解析 （3）2222n S n n =+【解析】【分析】（1）根据1,n n b a +的定义即可计算求解；（2）根据等差数列的定义证明即可；（3）由分组求和法以及等差数列求和公式即可求解.小问1详解】由已知得：2321224b a a a ==+=+=，354321222246b a a a a a ==+=+=++=+=.【小问2详解】证明：因为2122n n a a +=+，221n n a a -=，所以()12121212112n n n n n n b b a a a a +-+-+--=-=-=，而112b a ==，所以{b n }是以2为首项，2为公差的等差数列.【小问3详解】21232n n S a a a a =++++ ，因为21a a =，43a a =，221n n a a -= ，由（2）得2n b n =，所以()()()2213211222222222n n n n n S a a a b b b n n -+=++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+=⋅=+.17. 如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，PAD △是等边三角形，四边形ABCD 是梯形，且//AB CD ，2AD BD ==，12DC AB ==G 是PAD △的重心，AC 与BD 交于点M .（1）证明：//GM 平面PCD ；（2）求平面PBC 与平面PAD 的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析 （2【解析】【分析】（1）连接AG 并延长，交PD 于点N ，首先根据题中的条件证明AG AMGN CM=，得到//GM NC ，再利用线面平行的判定定理即可证明；（2）以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线为x 轴， y 轴，过点D 且与PH 平行的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求面面角.【小问1详解】连接AG 并延长，交PD 于点N ，连接CN ，【因为点G 是PAD △的重心，所以N 是PD 的中点，且2AGGN= ，在梯形ABCD 中，因为//AB CD ，且12DC AB =，所以AMB ∽CMD △,则2AM ABCM CD==，所以AG AMGN CM=，所以//GM NC ，又因为NC ⊂平面PCD ，GM ⊄平面PCD ， 所以//GM 平面PCD ；【小问2详解】取AD 的中点H ，连接PH ，在PAD △中，2PA PD AD ===，所以PH AD ⊥且PH =，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ， 平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PH ⊂平面PAD ，所以PH ⊥平面ABCD ，在ABD △，2AD BD ==，AB =222AD BD AB +=，所以AD BD ⊥，则以D 为坐标原点，DA ，DB 所在直线为x 轴，y 轴，过点D 且与PH 平行的直线为z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，由题知()0,0,0D ，()2,0,0A ，()0,2,0B ，()1,1,0C -，(1,P ，所以(1,BP =- ，()1,1,0BC =--，设平面PBC 的法向量为(),,n x y z =r，则00n BP n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，所以200x y x y ⎧-+=⎪⎨--=⎪⎩，令1x =，则1y z =-⎧⎪⎨=⎪⎩，故(1,1,n =- ，又()0,2,0DB =为平面PAD 的一个法向量，设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，所以cos cos ,n DB n DB n DBθ⋅=〈===⋅〉所以平面PBC 与平面PAD18. 已知F 为抛物线()2:20C x py p =>的焦点，点M 在抛物线C 上，O 为坐标原点，OFM △的外接圆与抛物线C 的准线相切，且该圆面积为9π4.（1）求抛物线C 的方程；（2）设()2,1A ，B 是抛物线C 上异于A 的一点，直线AB 与直线2y x =-交于点P ，过点P 作x 轴的垂线交抛物线C 于点N ，求点F 到直线BN 的距离d 的取值范围.【答案】（1）24x y =（2）⎡⎣【解析】【分析】（1）由题意知圆心必在直线4py =上，由相切即可知34p r =，结合已知圆的面积即可求出2p =，进而可求出抛物线的方程.（2）设211,4x B x ⎛⎫⎪⎝⎭，写出直线AB 的方程与2y x =-联立，求出P 的横坐标，即可知N 的横坐标，进而可求出N 的坐标，由直线的点斜式可写出直线BN 的方程，从而可求出所过定点；则当直线BN 过点F 时，直线BN 与直线FQ 垂直时，d 分别求得最小值和最大值，即可求得点F 到直线BN 的距离d 的取值范围.【小问1详解】设OFM △外接圆的半径为r ，图象如图所示：由图象可知，圆心必在直线4py =上，故3=424p p p r =+，所以239π=π44p ⎛⎫⋅ ⎪⎝⎭，解得2p =，所以抛物线C 的方程为：24x y =.【小问2详解】由（1）知，抛物线C 的方程为：24x y =，则()0,1F ，设211,4x B x ⎛⎫ ⎪⎝⎭，又()2,1A ，则直线AB 的方程为：()21114122x y x x --=--，化简得：()1+2124x y x -=-，与2y x =-联立得：11282p x x x -=-，把()11242p x x x -=-代入2=4x y 得：21142N x y x ⎛⎫-= ⎪-⎝⎭，即()21111244,22x x N x x ⎛⎫-⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭，则直线BN 的方程：()()221121111114422442x x x x y x x x x x ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭-=----，化简得()111141+422x x x y x x x ⎛⎫-=- ⎪-⎝⎭，当2x =，2y =时恒成立，所以直线BN 恒过定点()2,2Q .当直线BN 过点F 时，点F 到直线BN 的距离d 取得最小值，即0d =；当直线BN 与直线FQ 垂直时，d FQ ===即点F 到直线BN 的距离d ，所以，点F 到直线BN 的距离d 的取值范围是⎡⎣.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是联立直线AB 和直线2y x =-求出P 的横坐标，写出N 的坐标后，写出直线BN 的方程，判断出直线BN 恒过定点.19. 已知函数()23ln f x x x a x =-+，a ∈R .（1）当1a =时，求函数()f x 在区间[]1,2x ∈上的最小值；（2）若函数()f x 在区间[]1,2上单调递减，求a 的取值范围；（3）若函数()g x 的图象上存在两点()11,A x y ，()22,B x y ，且12x x <，使得()()1212122g x g x x x g x x -+⎛⎫'=⎪-⎝⎭，则称()y g x =为“拉格朗日中值函数”，并称线段AB 的中点为函数的一个“拉格朗日平均值点”.试判断函数()f x 是否为“拉格朗日中值函数”，若是，判断函数()f x 的“拉格朗日平均值点”的个数；若不是，说明理由.【答案】（1）2 （2）2a ≤-（3）当0a =时，函数()f x 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()f x 不是“拉格朗日中值函数”；理由见解析.【解析】【分析】（1）利用导数得出函数的单调性，进而得函数的最小值；（2）利用导数的几何意义可得()2230x x af x x-+'=≤在[]12，上恒成立，参变分离可得()2min23a x x≤-+即可，求223y x x =-+在[]12，上的最小值即可得解；（3）假设函数()f x 是“拉格朗日中值函数”， 设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是()f x 上不同的两点，且120x x <<，代入()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫= ⎪'-⎝⎭，当0a ≠时，整理得21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，设21x t x =()1t >，上式化为4ln 21+=+t t ，然后构造函数()4ln 1h t t t =++，根据导数研究此方程是否成立，从而可确定假设是否成立.【小问1详解】由题意可知当1a =时，()23ln f x x x x =-+，f ′(x )≥0，且[]1,2x ∈所以f ′(x )≥0，()f x 在区间[]1,2x ∈上为增函数，所以函数()f x 的最小值为()12f =- ；【小问2详解】由题意可得()22323a x x af x x x x='-+=-+，若函数()f x 在区间[]12，上单调递减，则2230x x a -+≤在[]1,2x ∈恒成立，即223a x x ≤-+在[]1,2x ∈恒成立，只需()2min23a x x≤-+即可，又因为当[]1,2x ∈时[]2232,1y x x =-+∈-，所以2a ≤-.【小问3详解】假设函数()f x 是“拉格朗日中值函数”，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)是()f x 上不同的两点，且120x x <<，由题意可得()211113ln f x x x a x =-+，()222223ln f x x x a x =-+，则()()()()()222121212121212121213ln ln ln ln 3AB f x f x x x x x a x x a x x k x x x x x x x x ----+--===+-+---，函数()f x 在拉格朗日平均值点处的切线斜率121212232x x a k f x x x x +⎛⎫==+-+⎪+⎝⎭'，由AB k k =整理可得()212112ln ln 2a x x ax x x x -=-+，当0a =时，()212112ln ln 2a x x ax x x x -=-+恒成立，则函数()f x 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()212112ln ln 2a x x a x x x x -=-+即21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，令21x t x =()1t >，上式化为()214ln 211t t t t -==-++，即4ln 21+=+t t ，令()4ln 1h t t t =++，则()()()()22211411t h t t t t t -=-=+'+，因为1t >，所以()0h t '>恒成立，所以()h t 在(1,+∞)上单调递增，()()12h t h >=恒成立，所以在(1,+∞)上不存在t 使得4ln 21+=+t t ，即不存在这样的,A B 两点使得()()1212122f x f x x x f x x -+⎛⎫= ⎪'-⎝⎭；综上所述，当0a =时，函数()f x 是 “拉格朗日中值函数”，且“拉格朗日平均值点”有无数个；当0a ≠时，()f x 不是“拉格朗日中值函数”.【点睛】关键点点睛：第三问的关键在于得到：当0a ≠时，21221121ln 1x x x x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭=+，设21x t x =()1t >，上式化为4ln 21+=+t t ，然后构造函数()4ln 1h t t t =++，利用导数研究方程的根，由此即可顺利得解.。

—2012学年高三复习适应性检测数学（文）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及科目，在规定的位置上贴好条形码。

2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。

在试题卷上答题无效。

第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．设集合{0,1,2,4,8},{1,2,8},{2,4,8},()U U A B C AB ===则= A ．{0，2} B ．{4，8}C ．{0，1，4}D ．{1，8}2．已知复数52,i z iz =-=则A ．2i -B ．2i +C ．12i +D ．12i -+3．“a b <”是“22ac bc -”的A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件4．右图是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是A ．12B ．23 C ．34 D ．45 5．设1cos(),sin 243πθθ-=则= A ．79 B ．79-C ．3D ．－36．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知3115,22,a S ==则数列{}n a 的公差d 为A ．—1B ．—13C ．13D ．17．若函数+b y ax y x ==∞与在（0，）上都是减当函数，则2(,0)y ax bx =+-∞在上是 A ．增函数 B ．减函数 C ．先增后减 D ．先减后增8．已知函数11301()12x x f x x x --⎧≤≤⎪=⎨<≤⎪⎩，对于[0,2]a ∀∈，下列不等式成立的是A ．1()03f a -≥B ． ()()0f x f a -≥C ．1()02f a -≥D ．()()0f a f x -≥9．已知抛物线C ：2y =4x ，过点（1，0C 于M 、N ，则|MN|=A ．143B ．5C ．163D ．610．下图是一个几何体三视图，根据图中数据，该几何体的体积等于A ．43π+B ．542π+C ．42π+D ．342π+ 11．已知函数122()3cos ,0,()()0,f x x x x x f x f x =+⋅>+=若且则12||x x +的最小值为A ．6πB ．3πC ．2πD ．23π 12．在边长为ABC 中，D 、E 、F 分别为各边的中点，G 、H 、I 、J 分别为AF 、AD 、BE 、DE 的中点，若△ABC 沿DE 、EF 、DF 折成三棱锥A —DEF 以后，以下命题错误的是A ．HG 与IJ 所成角为60°B ．HG ⊥AFC ．三棱锥A —DEF 的体积为13D ．三角形DEF第Ⅱ卷（非选择题，共90分）本卷包括必考题和选考题两部分。

鑫达捷C否是结束输出A -M k=k+1k=1开始M =M +a k2S=S+a k输入a kA =Skk ≥4S=a 1,M =a 1输入a 1昆明市2015届高三复习适应性检测理科数学第I 卷一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的． 1．设集合}0)1lg(|{≤-=x x A ，}31|{≤≤-=x x B ,则B A I = A ．]3,1[-B ．]2,1[-C ．)3,1[D ．]2,1(2．设复数Z 满足i z i -=+3)1(，则=zA ．i -1B ．i +1C ．-1D ．i +-13．已知圆○：222=+y x 经过双曲线C ：y x -22C 的实轴长为A ．1B ．2C ．2D ．4．如图，网格纸上小正方形的边长为1CMA ．217cm πB ．220cm πC ．221cm πD ．222cm π5．已知n S 是公差不为0的等差数列}{n a 的前项n 和，且421,,S S S 则48S S 等于 A ．16 B ．8 C ．4 D ．26.某批产品共100件，其中70件为一等品，20A ．97B ．92C ．109D ．1077．若,x y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+≥+2,210282y x y x y x ，则目标函数y x z 34+=的最小值为A ．14B ．17C ．22D ． 26 8.记数列1，1，2，3，5，8， ……为}{n a ，执行如图所示的程序框图， 则输出的结果为A ．21B ．61C ．21-D ．61-9.下面是某港口在某季节每天的时间t 与水面高度y 的关系表，（记该港口，则)(t f y =的表达式为A ．)43sin(8.1ππ+=t y B ．)46sin(8.1ππ-=t y C ．)23sin(8.1ππ+=t y D ．)26sin(8.1ππ+=t y10.已知三棱锥D-ABC 四个顶点均在半径为R 的球面上，且AB=BC=3,AC=3,若该三棱锥体积的最大值为433，则R= A ．1B ．2C ．3D ．32 11.函数)()2()(,)(x mf x f x g e e x f xx +=+=-，对任意0)(,>∈x g R x ，则m 的取值范围是 A ．),4[+∞- B ．),1[+∞- C ．),0[+∞ D ．),2[+∞12.已知椭圆C ：)0(12222>>=+b a bx a y 的两个焦点分别为21,F F ，M 为C 上位于第一象限的点，且yMF ⊥1轴，2MF 与椭圆C 交于一点N,若F MF 222=，则直线MN 的斜率为25 B ．552 C ．25- D ．5 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～题为选考题，考生根据要求做答．4小题，每小题5分，共20分. }{n a 中，1,111+=-=+n a a a a nn n,则7a =_________14.已知323,1(=+==，则在方向上的投影为_______15.5名同学分配到3个不同宣传站做宣传活动，每站至少一人，其中甲、乙两名同学必须在同一个宣传站，则不同的分配方法的种数是_________（用数字作答）16.已知函数x ax x x x f +-=2ln )(在定义域内存在两个极点21,x x ，则实数a 的取值范围为____________ 三、解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）如图，四边形ABCD 中，AB=3,BC=22,AC=5,∠ADC=3∠ABC 。

文科数学参考答案·第1页（共6页）云南民族中学2015届高考适应性月考卷（三）文科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）【解析】 1．由{2,4}U MN =ð可得集合N 中不含有元素2，4，集合M 中含有元素2，4，故{1,3,5}N =，故选B ．2．∵sin 20＞，cos30＜，tan 40＞，∴sin 2cos3tan 40＜，故选A ．3．经验证，当平行、异面或相交时，均有两条直线和一个平面相交成等角的情况出现，故选D ． 4．212520,(21)(2)0,22x x x x x -+->--<<<，222122x x x -=-+-21423x x =-+-=，故选C ．5．当02x ≤＜时，令3()0f x x x =-=，得01x x ==或．根据周期函数的性质，由()f x 的最小正周期为2，可知()y f x =在[0,6)上有6个零点，又(6)(32)(0)0f f f =⨯==，∴()f x 在[0,6]上与x 轴的交点个数为7，故选B ．6．472a a +=，56474784,2a a a a a a ==-⇒==-或472,4a a =-=，471101104,28,17a a a a a a ==-⇒=-=⇔+=-，471011102,48,17a a a a a a =-=⇒=-=⇔+=-，故选D ．7．在图1乙的右边放扇墙（心中有墙），可得答案A ，故选A ．文科数学参考答案·第2页（共6页）8．设C ：222(0)x y a a -=>交216y x =的准线l ：4x =-于(4,A -，(4,B --，得：222(4)4224a a a =--=⇔=⇔=，故选C ．9．方法一：先证充分性：因为()f x ，()g x 均为偶函数，所以()(),f x f x -=()()g x g x -=，有()()()()()()h x f x g x f x g x h x -=-+-=+=，所以()h x 为偶函数．反过来，若()h x 为偶函数，()f x ，()g x 不一定是偶函数．如2()h x x =，(),f x x =2()g x x x =-，故选B ．方法二：可以选取两个特殊函数进行验证．10．567891053125,515625,578125,5390625,51953125,59765625======∵，…，∴5n (n ∈Z ，且5n ≥)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n (n ∈Z ，且5n ≥)的末四位数字为()f n ，则(2011)(50147)(7)f f f =⨯+=，∴20115与75的末四位数字相同，均为8125，故选D ．11． ()22PA PB PC PO PC +==-，故选A ． 12．ABC △外接圆的半径r =，点O 到平面ABC的距离d ==， SC 为球O 的直径⇒点S 到平面ABC的距离为2d =此棱锥的体积为11233ABC V S d =⨯==△，故选A ．另：123ABC V S R <⨯=△，排除B ，C ，D ，故选A ．第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）文科数学参考答案·第3页（共6页）【解析】13．22210(2)1044cos 451032a b a b b b b -=⇔-=⇔+-︒=⇔=． 14．画出可行域，如图2阴影部分所示，将直线3y x z=-移至点(0,1)A处，直线在y 轴上截距最大， min 3011z =⨯-=-．15．()()()f n g n n ϕ===．16．由已知得899=a b a b ，∴3(6)λ=-， 解得2λ=-或255λ=． 三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）∵cos ,sin ,cos ,sin 2222A A A A m n ⎛⎫⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，且12m n =， 221cos sin 222A A -+=∴， ………………………………………………………（2分）即1cos 2A =-，又(0,π)A ∈，2π3A =∴．………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）112sin sin π=3223ABC S bc A bc ==△，4bc =∴，………………………………………………………………………（7分）又由余弦定理得：2222222cos π3a b c bc b c bc =+-=++，……………（10分）216()=b+c ∴，故4b +c =．………………………………………………（12分）18．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：由题设1431n n a a n +=-+，得1(1)4()n n a n an +-+=-，n ∈*N ．又111a -=，所以数列{}n a n -是首项为1，且公比为4的等比数列． …………（6分）图2文科数学参考答案·第4页（共6页）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知14n n a n --=，于是数列{}n a 的通项公式为14n n a n -=+，所以数列{}n a 的前n 项和41(1)32n n n n S -+=+． ………………………………（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）解：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，AB ⊂平面ABCD ， 故PA AB ⊥． 又AB AD ⊥，PAAD A =，从而AB ⊥平面PAD ．故PB 在平面PAD 内的射影为PA ，从而APB ∠为PB 和平面PAD 所成的角． 在Rt PAB △中，AB PA =，故45APB =︒∠． 所以PB 和平面PAD 所成角的大小为45︒． …………………………… （6分）（Ⅱ）证明：在四棱锥P ABCD -中，因PA ⊥底面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，故CD PA ⊥． 由条件CD AC ⊥，PAAC A =，CD ⊥∴平面PAC ．又AE ⊂平面PAC ，AE CD ⊥∴．由PA AB BC ==，60ABC =︒∠，可得AC PA =． ∵E 是PC 的中点， AE PC ⊥∴，PCCD C =∵．∴AE ⊥平面PCD ． ………………………………………………………（12分）20．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由AM BM =-知M 是AB 的中点， 设A 、B 两点的坐标分别为1122(,),(,)A x y B x y ， 由222210,1,x y x y ab +-=⎧⎪⎨+=⎪⎩ 得：2222222()20a b x a x a a b +-+-=． 212222a x x a b +=+，21212222()2b y y x x a b +=-++=+， ∴M 点的坐标为222222,a b a b a b ⎛⎫⎪++⎝⎭． …………………………………………（4分）文科数学参考答案·第5页（共6页）又M 点在直线L 上，22222220a b a b a b -=++∴，22222222(),2a b a c a c ==-=∴∴，c e a ==∴ …………………………………………………………………（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知b c =，不妨设椭圆的一个焦点坐标为(,0)F b ，设(,0)F b 关于直线L ：12y x =的对称点为00(,)x y ， 则有0000011,220,22y x b x b y -⎧=-⎪-⎪⎨+⎪-⨯=⎪⎩ 解得：003,54.5x b y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩……………………………（10分）由已知2201x y +=，2234155b b ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭∴，21b =∴．∴所求的椭圆方程为2212x y +=．…………………………………………（12分）21．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）2()3f x x a '=-，由0∆≤，即120a ≤，解得0a ≤， 因此当()f x 在(,)-∞+∞上单调递增时，a 的取值范围是(,0]-∞． …………（4分）（Ⅱ）若()f x 在(1,1)-上单调递减，则对于任意(1,1)x ∈-，不等式2()30f x x a '=-≤恒成立， 即23a x ≥，又(1,1)x ∈-，则233x ＜，因此3a ≥，函数()f x 在(1,1)-上单调递减，实数a 的取值范围是[3,)+∞．…………………………………………………………………………（12分）22．（本小题满分10分）【选修4−1：几何证明选讲】（Ⅰ）证明：由弦切角定理得PAB ACB ∠=∠，………………………………（2分）又因为BAC APB ∠=∠，所以PAB ACB △∽△，可得AB PBBC AB=． ……………（5分）（Ⅱ）解：将7PB =，5BC =代入得AB = …………………………（7分）可得所求面积为……………………………………………………（10分）文科数学参考答案·第6页（共6页）23．（本小题满分10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】解：（Ⅰ）点A ，B ，C ，D 的极坐标为π5π4π112,,2,,2,,2,3636π⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，…………………………………………………………………………（3分）点,,,A B C D的直角坐标为(1,(1),(1,1)--．…………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）设00(,)P x y ，则002cos ,()3sin ,x y ϕϕϕ=⎧⎨=⎩为参数，…………………………（7分）222223220sin [32,52]PA PB PC PD ϕ+++=+∈． ……………………（10分）24．（本小题满分10分）【选修4−5：不等式选讲】解：（Ⅰ）当3a =-时，()3323f x x x ⇔-+-≥≥…………………………（2分）2323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩≤，≥或23,323x x x <<⎧⇔⎨-+-⎩≥ 或3,323x x x ⎧⇔⎨-+-⎩≥≥1x ⇔≤或4x ≥． …………………………………………………………………………（5分）（Ⅱ）原命题()4f x x ⇔-≤在[1,2]上恒成立 ………………………………（6分） 24x a x x ⇔++--≤在[1,2]上恒成立……………………………………（8分）22x a x ⇔---≤≤在[1,2]上恒成立30a ⇔-≤≤．…………………………（10分）。