人教A版高中数学必修二新课标优秀教案示范教案两条平行直线间的距离
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2.3.4两平行直线间的距离公式(人教A版普通高中教科书数学选择性必修第一册第二章)一、教学目标1.理解两平行线间距离的定义2.会求两平行线间的距离,及应用公式求距离3.培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力二、教学重难点1.理解和掌握两条平行线间的距离公式2.应用距离公式解决综合问题三、教学过程1.概念的形成1.1创设情境,引发思考【实际情境】前面我们已经得到了两点间的距离公式,点到直线的距离公式,关于平面上的距离问题,两条直线间的距离也是值得研究的。
问题1:立定跳远测量的什么距离?A.两平行线的距离B.点到直线的距离C.点到点的距离【预设的答案】A【设计意图】通过生活中跳远的问题情境,引出在坐标系下探究两平行线间距离公式的问题,用跳远这一实例,让学生感受“距离”这样的问题是客观存在的,是源于实际生活的.问题2:已知两条平行直线l1,l2的方程,如何求l1与l2间的距离?根据两条平行直线间距离的含义,在直线l1上取任一点P(x0,y0),,点P(x0,y0)到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离,这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。
【活动预设】引导学生归纳概括出平行线间的距离定义1. 图示:2. 定义:夹在两平行线间的__________的长.公垂线段3. 求法:两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.1.2探究典例,形成概念活动:已知两条平行直线12:2780,:62110l x y l x y --=--=,求12l l 与间的距离. 【活动预设】感受如何计算两条平行线间的距离? 【设计意图】为引入两条平行直线间的距离作准备. 问题3:如何取点,可使计算简单?解:在直线2x - 7y -8=0上任取一点,如P(4,0) 则两平行线的距离就是点P(4,0)到直线6x-21y-1=0的距离. 因此,d =√62+(−21)2=【设计意图】从引例中的具体问题入手,根据平行线间的距离的定义,由点到直线的距离公式求出两平行线间的距离.问题4:两条平行线10Ax By C ++=与20Ax ByC ++=间的距离为________d =【活动预设】(1)分析两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离;(2)如何取直线上一般的点?如何由点到直线的距离化简得到两平行线间的距离? 教师讲授:在直线10Ax By C ++=上任取一点()00,P x y ,点()00,P x y 到直线20AxBy C ++=的距离就是这两条平行直线间的距离,即d =.因为点()00,P x y 在直线10Ax By C ++=上,所以0010Ax By C ++=,即001Ax By C+=-,因此d ===【设计意图】理解由特殊到一般推导出两条平行直线间的距离公式.验证:已知两条平行直线l 1:2x −7y −8=0,l 2:6x −21y −1=0, 求l 1与l 2间的距离. 【设计意图】直接使用平行线间的距离公式问题5:两条平行直线间的距离公式写成时d =对两条直线应有什么要求?【活动预设】(1)把直线方程化为直线的一般式方程;(2)两条直线方程中x,y 的系数必须分别相等; 【设计意图】平行线间距离公式使用的注意事项. 1.3具体感知,理性分析 活动:自主举例的接龙活动. 【活动要求】第一组用一般式写出两条平行直线并求出两平行直线间的距离; 第二组用斜截式写出两条平行直线并求出两平行直线间的距离; 【活动预设】引导学生合理构造平行直线,并用公式求距离。
3.3.4 两条平行直线间的距离整体设计教学分析点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容,它是解决点线、线线间的距离的基础,也是研究直线与圆的位置关系的主要工具.点到直线的距离公式的推导方法很多,可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方法外,还有应用三角函数、应用向量等方法.因此“课程标准”对本节教学内容的要求是:“探索并掌握点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学,能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法,学会利用数形结合思想,化归思想和分类方法,由浅入深,由特殊到一般地研究数学问题,培养学生的发散思维.根据本节课的内容特点,学习方法为接受学习与发现学习相结合.学生的探究并不是漫无边际的探究,而是在教师引导之下的探究;教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程,使学生在教师和其他同学的帮助下,充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣.三维目标1.让学生掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离.2.引导学生构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作.重点难点教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.课时安排1课时教学过程导入新课思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少?更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.思路2.我们已学习了两点间的距离公式,本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性,我们假设A、B≠0).图1推进新课新知探究提出问题①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的,若A、B中有一个为零,公式是否仍然成立?③回顾前面证法一的证明过程,同学们还有什么发现吗?(如何求两条平行线间的距离) 活动:①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x 0=0,y 0=0时,d=22||BA C +;(ⅱ)x 0≠0,y 0=0时,d=220||BA C Ax ++;(ⅲ)x 0=0,y 0≠0时,d=220||BA C By ++.观察、类比上面三个公式,能否猜想:对任意的点P(x 0,y 0),d=? 学生应能得到猜想:d=2200||BA C By Ax +++.启发诱导:当点P 不在特殊位置时,能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置,从而可利用前面的公式?(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质,作平行线,把一般情形转化为特殊情形来处理)证明:设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax+By+C 1=0,令y=0,得P′(AC 1-,0). ∴P′N=221221|||)(|B A C C B A C A C A +-=++-∙.(*)∵P 在直线l 1:Ax+By+C 1=0上, ∴Ax 0+By 0+C 1=0.∴C 1=-Ax 0-By 0. 代入(*)得|P′N|=2200||BA By Ax C +++即d=2200||BA C By Ax +++,.②可以验证,当A=0或B=0时,上述公式也成立.③引导学生得到两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0与l 2:Ax+By+C 2=0的距离d=2221||BA C C +-.证明:设P 0(x 0,y 0)是直线Ax+By+C 2=0上任一点,则点P 0到直线Ax+By+C 1=0的距离为d=2200||BA C By Ax +++.又Ax 0+By 0+C 2=0,即Ax 0+By 0=-C 2,∴d=2221||BA C C +-.讨论结果:①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P 到直线l 的距离公式为d=2200||BA C By Ax +++.②当A=0或B=0时,上述公式也成立.③两条平行线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离公式为d=2221||BA C C +-.应用示例思路1例1 求点P 0(-1,2)到下列直线的距离: (1)2x+y-10=0;(2)3x=2.解:(1)根据点到直线的距离公式得d=5251012|102)1(2|22==+-+-⨯.(2)因为直线3x=2平行于y 轴,所以d=|32-(-1)|=35. 点评:例1(1)直接应用了点到直线的距离公式,要求学生熟练掌握;(2)体现了求点到直线距离的灵活性,并没有局限于公式. 变式训练点A(a ,6)到直线3x -4y=2的距离等于4,求a 的值. 解:2243|2643|+-⨯-a =4⇒|3a-6|=20⇒a=20或a=346. 例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC 的面积. 解:设AB 边上的高为h ,则S △ABC =21|AB|·h. |AB|=22)31()13(22=-+-,AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在的直线方程为131313--=--x y ,即x+y-4=0. 点C 到x+y-4=0的距离为h=2511|401|22=+-+-,因此,S △ABC =21×2522⨯=5. 点评:通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练求过点A(-1,2),且与原点的距离等于22的直线方程.解:已知直线上一点,故可设点斜式方程,再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为x +y -1=0或7x +y +5=0.例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=5353145314)7(2|80732|22==-++⨯-⨯. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离. 答案:1332. 知能训练课本本节练习. 拓展提升问题:已知直线l:2x-y+1=0和点O(0,0)、M(0,3),试在l 上找一点P ,使得||PO|-|PM||的值最大,并求出这个最大值.解:点O(0,0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-54,52), 则直线MO′的方程为y-3=413x. 直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(511,158--)即为所求, 相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=5185. 课堂小结通过本节学习,要求大家:1.掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离.2.构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作.3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离,后者实际上可作为前者的变式应用. 作业课本习题3.3 A 组9、10;B 组2、4.。
《3.3.2两点间的距离公式》教学设计【教学目标】1.知识与技能:(1)通过推导,了解两点间的距离的求法;(2)理解两点间距离的几何意义;(3)利用两点间的距离公式解决实际问题.法:通过实例初步了解概念,通过探究深入理解概念的实质,关键是要培养学生分析问题、解决问题和转化问题的能力.3.情感态度价值观:(1)本节核心问题是让学生学会转化思想,灵活应用所学知识,加强与实际生活的联系,以科学的态度评价身边的一些现象;(2)用有现实意义的实例,激发学生的学习兴趣,培养学生勇于探索,善于发现的创新思想。
培养学生掌握“理论来源于实践,并把理论应用于实践”的辨证思想【重点难点】1.教学重点:通过逐步诱导推导出两点间距离公式2.教学难点:灵活应用距离公式解决实际问题.【教学策略与方法】1.教学方法:启发讲授式与问题探究式.2.教具准备:多媒体【教学过程】教学流程教师活动学生活动设计意图环节一:引入如何判定两条直线平行?垂直?1.在平面直角坐标系中,根据直线的方程可以确定两直线平行、垂直等位置关系,以及求两相交直线的交点坐标,我们同样可以根据点的坐标确定点与点之间的相对位置关系.2.平面上点与点之间的相对位置关系一般通过什么数量关系来反映?结合问题情境展开思考利用问题引入,激发学生学习兴趣环节二:思考1 在x轴上,已知点P1(x1,0)和P2(x2,0),那么点P1和P2的距离为多少?学生思考作答通过思考引出本节所学新知。
新课讲解|P 1P 2|=|x 1-x 2|思考2 在y 轴上,已知点P 1(0,y 1)和P 2(0,y 2),那么点P 1和P 2的距离为多少? |P 1P 2|=|y 1-y 2| 思考3 已知x 轴上一点P 1(x 0,0)和y 轴上一点P 2(0,y 0),那么点P 1和P 2的距离为多少?221200||PP x y =+思考4 在平面直角坐标系中,已知点P 1(2,-1)和P 2(-3,2),如何计算点P 1和P 2的距离?22221212||5334PP PM P M =+=+=思考 5 一般地,已知平面上两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2),利用上述方法求点P 1和P 2的距离可得什么结论?22122121||()()PP x x y y =-+-思考6 当直线P 1P 2与坐标轴垂直时,上述结论是否成立?思考7 特别地,点P(x ,y)与坐标原点的距离是什么? 22||OP x y =+知识探究(二):距离公式的变式探究思考1 已知平面上两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2),直线P 1P 2的斜率为k ,则y 2-y 1可怎样表示?从而点P 1和P 2的距离公式可作怎样的变形?21221||||1PP x x k=-⋅+思考 2 已知平面上两点P 1(x 1,y 1)和P 2(x 2,y 2),直线P 1P 2的斜率为k ,则x 2-x 1可怎样表示?从而点P 1和P 2的距离公式又可作怎样的变形?122121||||1PP y y k =-⋅+21221212||||11||1PP x x ky y k =-⋅+=-⋅+思考3 上述两个结论是两点间距离公式的两种变形,其使用条件分别是什么? 思考4 若已知12x x + 和12x x ⋅,如何求21||x x -?2211212||()4x x x x x x -=+-例1 已知点(1,2)A - 和(2,7)B , 在x 轴上求一点P ,使|P A |=|PB |,并求|P A |的值.例2 已知△ABC 的三个顶点是A(-1,0),B(1,0),C(1/2,3/2),试判断三角学生思考作答。
《3.3.4两条平行直线间的距离》教学设计教学目标:(一)知识目标让学生理解两条平行直线间的距离公式的推导过程 ,掌握两条平行直线间的距离公式及其简单应用.(二)能力目标通过推导公式方法的发现,培养学生观察发现、分析归纳、抽象概括、数学表达 等基本数学思维能力.(三)情感目标引导学生用联系与转化的观点看问题,体验在探索问题的过程中的受挫感和成功感,培养合作意识和创新精神;同时感受数学的形式美与简洁美,从而激发学习兴趣. 教学重难点:教学重点:两条平行直线间的距离公式的推导.教学难点:两条平行直线间的距离公式的应用.教学方法:探究研讨法,讲练结合法等.教学准备(教具):直尺,彩色粉笔,小黑板.课型:新授课.教学过程(一)复习回顾点到直线间的距离(通过抽问回答补充的方式)已知点00(,)A x y ,直线:0l Ax By C ++=.d =.(二)探究新知 过A 点作一条直线l1且平行直线l ,如下图所示两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长.思考:可以将两条平行直线间的距离转化为点到直线来求解.不妨假设在直线l 1任取一点11(,)p x y ,则有0010Ax By C ++=,点p 到直线 l 的距离d ==(注意:两条直线方程x 、y 前面的系数对应相等.)(三)例题讲解例1 已知直线l l: 2780x y --=,直线l 2:62110x y --=,判断直线l 1与l 2是否 平行?若平行求它们之间的距离.分析:根据两条直线平行判定可得只需求得它们斜率相等即可判断两条直线是否平行.要求它们之间的距离,将两条直线方程x 、y 前面的系数化成相等.解:l 1的斜率k 1= 27,l 2的斜率k 2= 27. 因为k 1= k 2,所以l 1平行l 2. 将直线l 2化为12703x y --=,由两条平行直线间的距离公式可得()123|8|d ---=== (四)巩固练习求下面两条平行线间的距离:(1)2380x y +-=, 23180x y ++=;(2)3410x y +=, 340x y +=.解:由两条平行直线间的距离公式可得(1)|188|d --=== (2)1025d ===. (五)课时小结知识:(1)学习了两条平行直线间的距离的定义.a .两条平直线间的距离的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度.b .两条平行直线间的距离处处相等.(2)学习了两条平行直线间的距离公式的推导及其应用.思想:在推导两条平行直线间的距离的距离公式过程中运用的转化的思想.即将几何问题转化为代数问题.(六)课后作业(1)复习今天所学知识.(2)课本上P 109-P 110必做题 A 组第5、10题,选做题B 组第1题.(3)思考:若两直线方程x 、y 前面系数对应不相等我们如何求解它们之间的距离.(4)预习下节课要学习的圆的方程.板书设计。
3.3 两条平行直线间的距离-人教A版必修二教案一、教学目标1.了解平行线的概念及性质,掌握两条平行线间的距离计算方法;2.能够运用两条平行线间的距离计算方法解决实际问题;3.培养学生逻辑思维能力,提高思维清晰度和解决问题的能力。
二、教学重难点1.平行线的性质及两条平行线间的距离计算方法;2.实际问题的转化和解决。
三、教学过程1. 导入新知识•老师将两条平行线在黑板上画出,引出平行线的概念,并让学生复习重点。
2. 概念讲解•老师引导学生用自己的语言解释什么是平行线,然后讲解其性质,如平行线的任意两条同位角相等、内角和等于180度等。
3. 两条平行线间的距离计算•老师可以借助平行线的性质,让学生通过观察图形,自行推导出两条平行线间的距离计算公式。
•老师还可以通过教学视频等形式,向学生展示两条平行线间的距离计算方法,并让学生熟悉其使用方式。
4. 练习与实际问题解决•老师提供一些练习题让学生自己尝试解答,并及时纠正错误,让学生更好地掌握两条平行线间的距离计算方法。
•老师还可以提供一些实际问题,如建筑设计中的尺寸测量问题等,让学生将所学知识运用到实际中。
5. 总结和扩展•老师针对学生的表现进行总结和点评,梳理所学知识,让学生更好地理解和记忆所学内容。
•老师还可以提供一些拓展内容,如欧几里得几何等,让学生扩宽知识面,进一步提高数学水平。
四、教学方法1.课堂讲解法;2.图像展示法;3.练习与实际问题解决;4.思维导向教学法。
五、教学工具和教材1.教学视频、PPT等多媒体教学工具;2.人教A版必修二教材及配套教辅。
六、教学评价1.学生的参与度、掌握程度和应用能力;2.学生的测试成绩和作业完成情况;3.学生在实际问题解决中的表现。
七、教学反思1.平行线的性质讲解要简明扼要,不能太枯燥;2.需要加强课堂练习环节,让学生更好地理解和掌握知识点;3.能够更好地与实际问题结合,使学生更好地理解知识点。
凡事豫(预)则立,不豫(预)则废。
备课资料备用习题1.求直线2x +11y +16=0关于点P(0,1)对称的直线方程.分析:中心对称的两条直线是互相平行的,并且这两条直线与对称中心的距离相等. 解:设所求直线方程为2x +11y +C=0,则2222112|110|112|16110|+++=+++C ⇒C=16(已知直线)或C=-38.∴所求直线为2x +11y -38=0.2.已知正方形ABCD 的相对顶点A(0,-1)和C(2,5),求顶点B 和D 的坐标.答案:B(4,1),D(-2,3).3.(2006上海模拟)已知直线l 过两条直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点,且与A(2,3),B(-4,5)两点的距离相等,求直线l 的方程.解:直线3x+4y-5=0,2x-3y+8=0的交点为(-1,2),若直线l 平行于直线AB ,易求得直线l 的方程为x+3y-5=0.若直线l 通过线段AB 的中点,易求得直线l 的方程为x=-1.所以直线l 的方程为x=-1或x+3y-5=0.4.直线y=2x 是△ABC 中∠C 的平分线所在直线,若A 、B 的坐标分别为A(-4,2)、B(3,1),求点C 的坐标,并判断△ABC 的形状.解:由平面几何知识,得点A 关于直线y=2x 的对称点A 1必在直线BC 上.设A 1(a ,b),则有⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-∙=+-=+-242222142a b a b ⇒a=4,b=-2.故A 1的坐标为(4,-2),由两点式得直线BC 的方程为3x+y-10=0.解方程组⎩⎨⎧==-+,2,0103x y y x 得点C 的坐标为(2,4). 又AB 2=50,AC 2=40,BC 2=10,得△ABC 为直角三角形.(设计者:高建勇、狄秋香)。
教学设计§3、3、4 两条平行直线间的距离教学目标:(1)知识与技能:使学生掌握点到直线的距离公式,并能熟练准确的应用这一公式求两条平行直线间的距离,达到理解掌握知识的目的。
(2)能力和方法:会用点到直线的距离求两条平行直线间的距离,并能用距离公式求解出两平行线的距离。
(3)情感和价值:认识事物在一定条件下的转化,用联系的观点看问题。
教学重点:理解和掌握点到直线的距离公式,熟练的应用公式求两平行直线的距离。
教学难点:两平行直线间距离公式的应用。
教学方法:学导式教学过程:一、知识回顾:1、两点间的距离公式:平面上两点P 1 (x 1,y 1),P 2 (x 2,y 2)间的距离公式2.点到直线距离公式:点),(00y x P 到直线0:CByAx l 的距离为:22BACBy Ax d二、创设问题情境导入新课实例:1、铁轨之间的距离22122121||()()PP x x y y2、山坡上两颗树之间的距离三、引入课题:师:同学们,通过刚才的读题和理解已经知道,这实际上是求两条平行直线的距离的问题,也即我们这节课所要研究讨论的问题。
1.解决问题情境:师:下面,请同学们应用已学过的知识,自己想一个办法来解决此问题,甚至不一定要求结果,只要得出一个思路即可。
让同学思考、讨论,然后让学生自己回答,老师点评。
2、两平行线间的距离就是夹在两平行直线间公垂线段的长度提出问题一:如何利用点到直线的距离公式求两平行直线间的距离?例1、求平行线2x–7y+8=0 和2x–7y–6=0 距离解:在直线2x–7y–6=0 上任取一点,如P(3,0) ,则两条平行线的距离就是点P (3,0) 到直线2x –7y +8=0的距离.因此探究:两条平行线间的距离公式(特殊到一般)问题二:两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长度,如果我们知道两条平行线直线和的一般式方程为:,:如何把两平行直线间距离转化为点到直线的距离?设计意图:暗示公式的存在,激发同学们探究的兴趣,增强同学们探究成功的信心。
第(1)课时课题:书法---写字基本知识课型:新授课教学目标:1、初步掌握书写的姿势,了解钢笔书写的特点。
2、了解我国书法发展的历史。
3、掌握基本笔画的书写特点。
重点:基本笔画的书写。
难点:运笔的技法。
教学过程:一、了解书法的发展史及字体的分类:1、介绍我国书法的发展的历史。
2、介绍基本书体:颜、柳、赵、欧体,分类出示范本,边欣赏边讲解。
二、讲解书写的基本知识和要求:1、书写姿势:做到“三个一”:一拳、一尺、一寸(师及时指正)2、了解钢笔的性能:笔头富有弹性;选择出水顺畅的钢笔;及时地清洗钢笔;选择易溶解的钢笔墨水,一般要固定使用,不能参合使用。
换用墨水时,要清洗干净;不能将钢笔摔到地上,以免笔头折断。
三、基本笔画书写1、基本笔画包括:横、撇、竖、捺、点等。
2、教师边书写边讲解。
3、学生练习,教师指导。
(姿势正确)4、运笔的技法:起笔按,后稍提笔,在运笔的过程中要求做到平稳、流畅,末尾处回锋收笔或轻轻提笔,一个笔画的书写要求一气呵成。
在运笔中靠指力的轻重达到笔画粗细变化的效果,以求字的美观、大气。
5、学生练习,教师指导。
(发现问题及时指正)四、作业:完成一张基本笔画的练习。
板书设计:写字基本知识、一拳、一尺、一寸我的思考:通过导入让学生了解我国悠久的历史文化,激发学生学习兴趣。
这是书写的起步,让学生了解书写工具及保养的基本常识。
基本笔画书写是整个字书写的基础,必须认真书写。
课后反思:学生书写的姿势还有待进一步提高,要加强训练,基本笔画也要加强训练。
总第(2)课时课题:书写练习1课型:新授课教学目标:1、教会学生正确书写“杏花春雨江南”6个字。
2、使学生理解“杏花春雨江南”的意思,并用钢笔写出符合要求的的字。
重点:正确书写6个字。
难点:注意字的结构和笔画的书写。
教学过程:一、小结课堂内容,评价上次作业。
二、讲解新课:1、检查学生书写姿势和执笔动作(要求做到“三个一”)。
2、书写方法是:写一个字看一眼黑板。
3.3.3 点到直线的距离
3.3.4 两条平行直线间的距离
整体设计
教学分析
点到直线的距离是“直线与方程”这一节的重点内容,它是解决点线、线线间的距离的基础,也是研究直线与圆的位置关系的主要工具.
点到直线的距离公式的推导方法很多,可探究的题材非常丰富.除了本节课可能探究到的方法外,还有应用三角函数、应用向量等方法.因此“课程标准”对本节教学内容的要求是:“探索并掌握点到直线的距离公式,会求两条平行线间的距离.”希望通过本节课的教学,能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法,学会利用数形结合思想,化归思想和分类方法,由浅入深,由特殊到一般地研究数学问题,培养学生的发散思维.根据本节课的内容特点,学习方法为接受学习与发现学习相结合.学生的探究并不是漫无边际的探究,而是在教师引导之下的探究;教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程,使学生在教师和其他同学的帮助下,充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣.
三维目标
1.让学生掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离.
2.引导学生构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作.
重点难点
教学重点:点到直线距离公式的推导和应用.
教学难点:对距离公式推导方法的感悟与数学模型的建立.
课时安排
1课时
教学过程
导入新课
思路1.点P(0,5)到直线y=2x的距离是多少?更进一步在平面直角坐标系中,如果已知某点P 的坐标为(x0,y0),直线l的方程是Ax+By+C=0,怎样由点的坐标和直线的方程直接求点P到直线l的距离呢?这节课我们就来专门研究这个问题.
思路2.我们已学习了两点间的距离公式,本节课我们来研究点到直线的距离.如图1,已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离(为使结论具有一般性,我们假设A、B≠0).
图1
推进新课
新知探究
提出问题
①已知点P(x0,y0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P到直线l的距离.你最容易想到的方法是什么?各种做法的优缺点是什么?
②前面我们是在A、B均不为零的假设下推导出公式的,若A、B中有一个为零,公式是否仍然成立?
③回顾前面证法一的证明过程,同学们还有什么发现吗?(如何求两条平行线间的距离) 活动:
①请学生观察上面三种特殊情形中的结论: (ⅰ)x 0=0,y 0=0时,d=
2
2
||B
A C +;(ⅱ)x 0≠0,y 0=0时,d=
2
2
0||B
A C Ax ++;
(ⅲ)x 0=0,y 0≠0时,d=
2
2
0||B
A C By ++.
观察、类比上面三个公式,能否猜想:对任意的点P(x 0,y 0),d=? 学生应能得到猜想:d=
2
2
00|
|B
A C By Ax +++.
启发诱导:当点P 不在特殊位置时,能否在距离不变的前提下适当移动点P 到特殊位置,从而可利用前面的公式?(引导学生利用两平行线间的距离处处相等的性质,作平行线,把一般情形转化为特殊情形来处理)
证明:设过点P 且与直线l 平行的直线l 1的方程为Ax+By+C 1=0,令y=0,得P′(A
C 1
-
,0). ∴P′N=
2
21221
|||
)(|B A C C B A C A C A +-=
++-
∙.
(*)
∵P 在直线l 1:Ax+By+C 1=0上, ∴Ax 0+By 0+C 1=0.∴C 1=-Ax 0-By 0. 代入(*)得|P′N|=
2
2
00|
|B
A By Ax C +++
即d=
2
2
00|
|B
A C By Ax +++,.
②可以验证,当A=0或B=0时,上述公式也成立.
③引导学生得到两条平行线l 1:Ax+By+C 1=0与l 2:Ax+By+C 2=0的距离d=
2
2
21||B
A C C +-.
证明:设P 0(x 0,y 0)是直线Ax+By+C 2=0上任一点,则点P 0到直线Ax+By+C 1=0的距离为d=
2
2
00|
|B
A C By Ax +++.
又Ax 0+By 0+C 2=0,即Ax 0+By 0=-C 2,∴d=
2
2
21||B
A C C +-.
讨论结果:①已知点P(x 0,y 0)和直线l:Ax+By+C=0,求点P 到直线l 的距离公式为
d=
2
2
00|
|B
A C By Ax +++.
②当A=0或B=0时,上述公式也成立.
③两条平行线Ax+By+C 1=0与Ax+By+C 2=0的距离公式为d=2
2
21||B
A C C +-.
应用示例
思路1
例1 求点P 0(-1,2)到下列直线的距离: (1)2x+y-10=0;(2)3x=2.
解:(1)根据点到直线的距离公式得d=
525
101
2|
102)1(2|2
2
==
+-+-⨯.
(2)因为直线3x=2平行于y 轴,所以d=|
3
2
-(-1)|=35.
点评:例1(1)直接应用了点到直线的距离公式,要求学生熟练掌握;(2)体现了求点到直线
距离的灵活性,并没有局限于公式. 变式训练
点A(a ,6)到直线3x -4y=2的距离等于4,求a 的值. 解:
2
243|
2643|+-⨯-a =4⇒|3a-6|=20⇒a=20或a=
3
46. 例2 已知点A(1,3),B(3,1),C(-1,0),求△ABC 的面积. 解:设AB 边上的高为h ,则S △ABC =
2
1
|AB|·h. |AB|=22)31()13(2
2
=-+-, AB 边上的高h 就是点C 到AB 的距离. AB 边所在的直线方程为
1
31
313--=
--x y ,即x+y-4=0. 点C 到x+y-4=0的距离为h=
2
51
1|401|2
2
=
+-+-,
因此,S △ABC =
21
×2
522⨯=5. 点评:通过这两道简单的例题,使学生能够进一步对点到直线的距离理解应用,能逐步体会
用代数运算解决几何问题的优越性. 变式训练
求过点A(-1,2),且与原点的距离等于
2
2
的直线方程. 解:已知直线上一点,故可设点斜式方程,再根据点到直线的距离公式,即可求出直线方程为
x +y -1=0或7x +y +5=0.
例3 求平行线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离.
解:在直线2x-7y-6=0上任取一点,例如取P(3,0),则点P(3,0)到直线2x-7y+8=0的距离就是两平行线间的距离.因此, d=
53
53
1453
14)7(2|
80732|2
2=
=
-++⨯-⨯. 点评:把求两平行线间的距离转化为点到直线的距离. 变式训练
求两平行线l 1:2x+3y-8=0,l 2:2x+3y-10=0的距离. 答案:
13
3
2. 知能训练
课本本节练习. 拓展提升
问题:已知直线l:2x-y+1=0和点O(0,0)、M(0,3),试在l 上找一点P ,使得||PO|-|PM||的值最大,并求出这个最大值.
解:点O(0,0)关于直线l:2x-y+1=0的对称点为O′(-54,5
2), 则直线MO′的方程为y-3=
4
13x. 直线MO′与直线l:2x-y+1=0的交点P(5
11
,158--
)即为所求, 相应的||PO|-|PM||的最大值为|MO′|=
5
185
. 课堂小结
通过本节学习,要求大家:
1.掌握点到直线的距离公式,并会求两条平行线间的距离.
2.构思距离公式的推导方案,培养学生观察、分析、转化、探索问题的能力,鼓励创新.培养学生勇于探索、善于研究的精神,学会合作.
3.本节课重点讨论了平面内点到直线的距离和两条平行线之间的距离,后者实际上可作为前者的变式应用. 作业
课本习题3.3 A 组9、10;B 组2、4.
设计感想
对本节课的教学内容的处理,各种版本的教材的手段不尽相同.“北师大版”给出的方法是先求两条互相垂直的直线的交点坐标再计算距离,并没有推导公式的过程,重在求解过程的“流程”,而不在意运算的繁琐,有让学生感性认识“算法”的味道;“人教版”和“苏教版”思路基本相同,都是先引导学生探索和“北师大版”中的方法一样的解法,但不展现其推导过程,然后采用作辅助线构造直角三角形以简化运算的方法进行公式推导.“苏教版”还用了从具体到抽象的方法以降低思维难度.但为什么会想到要构造直角三角形,这一最需要学生探索的过程无法展现.为解决这个问题,本节课拟吸收各版本的精华,采用探究式的教学方法,通过
设问、启发、铺垫,为学生搭建探究问题的平台,让学生在问题情境中,自己去观察、归纳、猜想并证明公式,经历数学建模的过程,在自主探究、合作交流中获得知识,在多角度、多方面的解决问题中,使不同层次的学生都能有所收获与发展.根据本节课的内容特点,学习方法为接受学习与发现学习相结合.学生的探究并不是漫无边际的探究,而是在教师引导之下的探究;教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程,使学生在教师和其他同学的帮助下,充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣.。