3-曲线曲面的计算机数学处理

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曲线曲面原理的应用实例

曲线曲面原理的应用实例引言曲线曲面原理是数学中的一个重要概念，其应用涉及到多个领域，如计算机图形学、物理学、工程学等。

本文将介绍几个曲线曲面原理的应用实例，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。

应用实例一：计算机图形学在计算机图形学中，曲线曲面原理被广泛用于三维模型的创建和渲染。

通过将曲线和曲面定义为数学方程，可以方便地生成各种复杂的形状。

曲线生成利用曲线原理，我们可以生成直线、贝塞尔曲线、B样条曲线等等。

这些曲线可以用于描述物体的轮廓、路径等。

例如，在游戏开发中，我们可以使用贝塞尔曲线来创建角色的运动路径，使其动态而平滑。

以下是生成B样条曲线的示例代码：import numpy as npimport matplotlib.pyplot as pltdef de_boor_control_points(control_points, t, p):n = len(control_points) -1d = []for i in range(n - p):if t >= i and t < i +1:d.append(control_points[i])if len(d) ==0:return de_boor_control_points(control_points, t, p -1) else:return ddef de_boor_algorithm(control_points, t, p):d = de_boor_control_points(control_points, t, p)if len(d) ==1:return d[0]else:return (1- t) * de_boor_algorithm(d[:-1], t, p -1) + t * de_b oor_algorithm(d[1:], t, p -1)# Example usagecontrol_points = [(0, 0), (1, 1), (2, -1), (3, 0)]p =3# Degree of the B-spline curvet =2.5# Parameter between 0 and 3result = de_boor_algorithm(control_points, t, p)print(result)曲面生成类似于曲线生成，曲面生成也是基于曲线原理的扩展。

计算机科学技术：计算机图形学题库三

计算机科学技术：计算机图形学题库三1、名词解释扫描转换答案：在矢量图形中，多边形用顶点序列来表示，为了在光栅显示器或打印机等设备上显示多边形，必须把它转换为点阵表示。

这种转换称为扫描转换。

2、单选下面对光栅扫描图形显示器描述正确的是（）A.荧光粉涂层均匀离散分布；B.是一种点画设备；C.电子束从顶到底扫描；D.通过控制电子束的强弱实现色彩的强弱；答案：A3、填空题计算机图形系统由（）系统和软件系统组成。

答案：硬件4、填空题在处理图形时常常涉及的坐标系有模型坐标系（），世界坐标系，观察坐标系，设备坐标系。

答案：局部坐标系5、单选计算机图形学与计算机图象学的关系是（）。

A.计算机图形学是基础，计算机图象学是其发展B.不同的学科，研究对象和数学基础都不同，但它们之间也有可转换部分C.同一学科在不同场合的不同称呼而已D.完全不同的学科，两者毫不相干答案：B6、问答题简述中点分割法进行裁剪的过程？答案：中点分割剪取法，主要是对线段不断地进行对分，并排除在区域外的部分，找出线段落在窗口内的部分。

其方法主要是通过求出离线段的一个端点最近并且在区域内的点的方法，来确定线段落在窗口内的端点。

7、问答题局部光照模型和全局光照模型的不同之处是什么？答案：局部光照模型主要是考虑光源发出的光对物体的直接影响。

另外，全局光照模型除了处理光源发出的光之外，还考虑其他辅助光的影响，如光线穿过透明或半透明物体，以及光线从一个物体表面反射到另一个表面等。

8、判断题彩色阴极射线管主要是由红绿蓝三个彩色电子束的亮度不同，进而组合形成各种色彩的。

答案：错9、问答题什么叫做走样？什么叫做反走样？反走样技术包括那些？答案：走样指的是用离散量表示连续量引起的失真。

为了提高图形的显示质量。

需要减少或消除因走样带来的阶梯形或闪烁效果，用于减少或消除这种效果的方法称为反走样。

其方法是①前滤波，以较高的分辨率显示对象；②后滤波，即加权区域取样，在高于显示分辨率的较高分辨率下用点取样方法计算，然后对几个像素的属性进行平均得到较低分辨率下的像素属性。

计算机图形学第五章曲线与曲面

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第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
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第五章：曲线与曲面
双三次参数曲面的代数形式
双三次参数曲面片: 由两个三次参数变量(u, w)定义的曲面片，最常用。
其代数形式、矩阵表示分别是:
最简单的参数曲线，P(t)=P1+(P2-P1)t t∈[0, 1]; 端点为P1、P2
圆
第一象限内的单位圆弧的非参数方程表示为：
y 1 x2
其参数形式可表示为：
0 x 1
1 t2 x (t ) , 2 1 t
y (t )
2t 1 t 2
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推导略
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第五章：曲线与曲面

参数曲面的定义
一张矩形域上的参数曲面片
一张矩形域上由曲线边界包围具有一定连续性的点集面片，用双参数的
单值函数表示式为：x=x(u, w), y=y(u, w), z=z(u, w) u,w€[0,1] u,w为参数。并可记为：p(u, w)=[x(u, w), y(u, w), z(u, w)]
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第五章：曲线与曲面

位置矢量、切矢量、法矢量、曲率和挠率
参数表示的三维曲线
有界点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数x=x(t)，
y=y(t)，z=z(t)，0≤t≤1
位置矢量
图5.1.1所示，曲线上任一点的位置矢量可表示为P(t)=[x(t), y(t), z(t)]；其

曲线曲面的计算机数学处理

(x2 x0 )(x2 x1)
(x2 x0 )(x2 x1)
f (x0 , x2 ) f (x0 , x1) x2 x1
上式含义为一阶均差的均差，称为函数f(x)的二阶均差，记为f(x0,x1,x2)
依次类推，可得
p (x) 2
f
(x0 )
f
(x0 , x1)( x x0 )
之，三次样条函数就是全部通过型值点，二阶连续可导的分段三次多项式函数。
3、三次样条函数插值解
1)利用公式
M M 2
0
0
1
0
(1
)
1
M
0
2M
1
1
M
2
1
(1
)
2
M
1
2M
2
2
M
3
2
M 2M M (1 )
n1
n2
n1
n1
n
n1
M M
(1 )
2
n
n1
n
n
2
1 1
f
(x0 , x1, x2 )( x x0 )( x x2 )
经直接计算可得
y
y
y
f
(x0 ,
x1,
x2)
( x0
0
x1)(x0
x2)
( x1
1
x0)(x1
x2)
( x2
2
x0)(x2
x1)
由上式可以推知，二阶均差也与点的排序无关，也具有对称性。由此可以归纳出高阶均差的定义：k-1 阶均差的均差称为k阶均差，即
2、插值的基本思路
插值的基本思路是先设法对列表函数f(x)构造一个简单函数y=p(x)作为近似表达式，然后再计算p(x)的值来得到f(x)的近似值。

计算机图形学曲线和曲面

曲线构造方法
判断哪些是插值、哪些是逼近
曲线构造方法
插值法
线性插值：假设给定函数f(x)在两个不同点x1和x2的值，用线形函数：y=ax+b，近似代替f(x)，称为的线性插值函数。
插值法
抛物线插值(二次插值):
已知在三个互异点x1,x2,x3的函数值为y1,y2,y3，要求构造函数￠ (x)=ax2+bx+c,使得￠(x)在xi处与f(x)在xi处的值相等。
曲线曲面概述
自由曲线和曲面发展过程
自由曲线曲面的最早是出现在工作车间，为了获得特殊的曲线，人们用一根富有弹性的细木条或塑料条（叫做样条），用压铁在几个特殊的点（控制点）压住样条，样条通过这几个点并且承受压力后就变形为一条曲线。人们调整不断调整控制点，使样条达到符合设计要求的形状，则沿样条绘制曲线。
5.1.2 参数样条曲线和曲面的常用术语
在工程设计中，一般多采用低次的参数样条曲线。这是因为高次参数样条曲线计算费时，其数学模型难于建立且性能不稳定，即任何一点的几何信息的变化都有可能引起曲线形状复杂的变化。
因此，实际工作中常采用二次或三次参数样条曲线，如：二次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 三次参数样条曲线： P (t) = A0 + A1t + A2t2 + A3t3
a3
1 0] a2 a1 a0
三次参数样条曲线
P(k) a3 0 a2 0 a1 0 a0 P(k 1) a3 1 a2 1 a1 1 a0 P '(k) 3a3t2 2a2t a1 a1 P '(k 1) 3a3 2a2 a1
P0 0 0 0 1 a3

曲面与曲线知识点总结

曲面与曲线知识点总结一、曲线与曲面的基本概念曲线是在平面上的点按照特定的规则所组成的图形，而曲面则是在三维空间内的点按照特定的规则所组成的图形。

在数学上，我们可以用函数来描述曲线和曲面，从而研究它们的性质和特点。

1.1 曲线的性质曲线可以是直线、圆、椭圆、抛物线、双曲线等不同类型的图形。

我们可以通过曲线的方程以及参数方程来描述它的形状和位置。

曲线的长短、曲率、切线、法线等性质对于描述曲线的形态和特点至关重要。

1.2 曲面的性质曲面可以是球面、圆柱面、圆锥面、双曲面、抛物面等不同类型的图形。

我们可以用二元函数或者参数方程来描述曲面的形状和位置。

曲面的曲率、切线、法线等性质是研究曲面形态的重要工具。

1.3 直角坐标系和参数方程在研究曲线和曲面的性质时，我们可以使用直角坐标系、参数方程和极坐标系等不同的数学工具来描述它们的形态和位置关系。

不同的描述方法可以帮助我们更好地理解曲线和曲面的性质。

二、曲线的方程与性质曲线方程是研究曲线性质的重要工具，通过曲线方程我们可以得到曲线的形状、位置、长度、曲率等重要信息。

2.1 一元曲线的方程一元曲线的方程可以用直角坐标系的方程或者参数方程来表示。

常见的一元曲线包括直线、圆和椭圆、抛物线、双曲线等。

这些曲线都有各自的特点和性质，通过曲线方程我们可以了解它们的形状和位置关系。

2.2 二元曲线的方程二元曲线的方程可以用参数方程或者隐式方程来表示。

常见的二元曲线包括螺线、双曲线、阿基米德螺线等。

通过曲线方程我们可以了解二元曲线的性质和特点。

2.3 曲线的性质曲线的性质包括长度、曲率、切线、法线等重要内容。

通过曲线方程和导数的求解，我们可以求得曲线的长度、曲率和切线、法线等相关信息，从而了解曲线的形态和特点。

三、曲面的方程与性质曲面方程是研究曲面性质的重要工具，通过曲面方程我们可以得到曲面的形状、位置、曲率等重要信息。

3.1 一元曲面的方程一元曲面的方程可以用隐式方程或者参数方程来表示。

曲面测量技术的原理与数据处理

曲面测量技术的原理与数据处理曲面测量技术在工业制造、医学、地质勘探等领域具有重要的应用价值。

它可以用来测量物体的形状和表面特征，从而帮助人们更好地理解和掌握物体的性质。

本文将介绍曲面测量技术的原理和数据处理方法，以期为读者提供对该技术的深入了解。

一、曲面测量技术的原理曲面测量技术的原理主要基于光学、机械和电子等原理。

其中，光学原理是最常用的方法之一。

通过利用光的反射、折射、干涉等现象，可以测量物体的曲面形状和表面质量。

例如，干涉仪是一种常用的曲面测量设备，它利用光的干涉现象来测量物体的曲率和波高。

此外，还有像相位测量法、投影法等方法也可以用来测量曲面的形状。

另外，机械原理也是曲面测量技术的重要基础。

机械触针测量法是一种常见的曲面测量方法，它通过一根触针来测量物体表面的形状。

触针受到物体表面的轮廓曲线影响，通过记录触针运动的轨迹来得到物体曲面的形状信息。

此外，还有像曲面干涉仪、位移传感器等机械测量设备也可以被利用来测量曲面。

最后，电子原理也在曲面测量技术中发挥了重要作用。

数字图像处理技术可以被用来测量物体的曲面形状。

通过拍摄物体表面的数字图像，可以利用计算机图像处理的方法来分析并测量物体的曲面形状。

此外，还有像激光测距仪、扫描仪等电子设备也可以用来进行曲面测量。

二、曲面测量技术的数据处理曲面测量技术获取到的数据通常是海量的原始数据。

为了能够更好地理解和应用这些数据，必须对其进行处理和分析。

首先，对获得的曲面数据进行滤波处理是非常重要的。

由于传感器误差、环境干扰等原因，测量数据中通常会存在一些噪声。

通过滤波处理，可以去除这些噪声，提取出有效的曲面信息。

滤波处理方法有很多种，如中值滤波、高斯滤波等，可以根据具体情况选择适合的方法。

其次，可以利用曲面拟合方法对曲面数据进行拟合分析。

曲面拟合是一种基于数学模型的方法，通过将测量数据拟合到数学模型上，可以更好地描述和理解曲面的形状。

常见的曲面拟合方法有最小二乘法、Bezier曲线拟合法等。

计算机图形学的曲面参数化表示

计算机图形学的曲面参数化表示计算机图形学是研究如何利用计算机生成、显示和处理图像的学科。

曲面参数化表示是计算机图形学中的重要概念之一，其通过数学函数来描述曲面的形状和特性。

一、曲面参数化的概念及意义曲面参数化是指将曲面上的点表示为参数的函数形式。

通过参数化可以将三维曲面的问题转化为二维平面上的问题，方便进行计算和处理。

曲面参数化在计算机图形学中具有重要意义，可以用于建模、渲染和动画等方面。

二、曲面参数化的数学描述对于一个曲面S，其参数化表示可以用一个或多个参数来表示。

设参数为(u,v)，则曲面上的每个点可以表示为(x(u,v),y(u,v),z(u,v))，其中x(u,v)，y(u,v)，z(u,v)是关于参数(u,v)的连续函数。

三、曲面参数化表示的方法1. 二次参数化二次参数化是一种常用的曲面参数化方法。

它将曲面分成小的曲面片，并对每个曲面片进行参数化表示。

常见的二次参数化方法有Bezier曲面和B样条曲面等。

2. 隐式参数化隐式参数化是指将曲面的方程转化为参数方程的方法。

通过求解方程组，可以得到曲面的参数化表示。

常见的隐式参数化方法有方程拟合法和最小二乘法等。

3. 纹理映射纹理映射是一种常用的曲面参数化方法，它将一个二维纹理图像映射到曲面上。

通过将纹理坐标(u,v)映射到曲面坐标(x,y,z)，可以实现曲面的参数化表示。

四、曲面参数化在计算机图形学中的应用1. 建模曲面参数化可以用于三维模型的建模。

通过选择合适的参数化方法，可以将复杂的曲面模型分解为简单的参数片，方便进行建模。

2. 渲染曲面参数化可以用于实现光照和贴图效果。

通过将纹理映射到曲面上，可以实现绚丽的渲染效果。

3. 动画曲面参数化可以用于实现动画效果。

通过改变曲面参数的取值，可以实现曲面的形变和变换，从而实现动画效果。

总结：计算机图形学的曲面参数化表示是一种重要的方法，可以描述曲面的形状和特性。

曲面参数化可以用于建模、渲染和动画等方面，对于计算机图形学的研究和应用具有重要意义。

计算数学在计算机图形学与图像处理中应用

计算数学在计算机图形学与图像处理中应用计算数学是将数学应用于计算机科学领域的一门学科，它在计算机图形学与图像处理方面发挥着重要的作用。

计算机图形学与图像处理是一门研究如何使用计算机生成、处理、显示和理解图像的学科。

本文将重点讨论计算数学在计算机图形学与图像处理中的应用。

一、三维几何建模在三维图形学中，我们需要将物体的几何形状表示为计算机可识别的形式。

计算数学中的向量、矩阵和坐标变换等概念为三维几何建模提供了数学基础。

通过使用这些数学工具，我们可以对物体进行旋转、缩放、平移等变换操作，实现三维场景的建立和模拟。

二、曲线和曲面绘制在计算机图形学中，我们常常需要绘制各种各样的曲线和曲面，如贝塞尔曲线、B样条曲线等。

这些曲线和曲面的生成依赖于计算数学中的插值、样条和逼近等数学方法。

通过应用这些方法，我们可以根据给定的控制点生成需要的曲线和曲面，并进行进一步的编辑和调整。

三、光照和渲染在计算机图形学中，光照和渲染是模拟真实光照场景并生成逼真图像的关键步骤。

计算数学中的光线跟踪算法、阴影算法和反射模型等方法被广泛应用于光照和渲染的过程中。

这些方法可以精确计算出光线在物体表面的反射和折射等物理现象，使得渲染结果更加逼真。

四、图像处理与分析图像处理与分析是对图像进行增强、恢复和分析的过程，计算数学在其中扮演着重要角色。

通过应用傅里叶变换、小波变换和图像滤波等计算数学方法，我们可以对图像进行降噪、增强、分割和特征提取。

这些方法可以帮助我们从图像中提取有用的信息，并为后续的图像识别和模式识别等任务提供支持。

五、虚拟现实与增强现实虚拟现实和增强现实是一种将计算机生成的虚拟对象与真实世界相结合的技术。

在虚拟现实与增强现实中，计算数学的计算几何和仿真等方法被广泛应用。

通过使用这些方法，我们可以模拟真实场景中的物体行为和交互，实现虚拟现实和增强现实应用的目标。

总结：计算数学在计算机图形学与图像处理中扮演着不可或缺的角色。

通过运用计算数学中的向量、线性代数、概率统计和数值计算等方法，我们可以实现三维几何建模、曲线曲面的绘制、光照渲染、图像处理与分析以及虚拟现实与增强现实等众多功能。

微分几何中的曲线与曲面理论

微分几何中的曲线与曲面理论微分几何是研究曲线与曲面的数学分支，它在物理学、工程学和计算机图形学等领域有着广泛的应用。

本文将介绍微分几何中的曲线与曲面理论，并讨论其基本概念、性质和应用。

一、曲线理论1. 曲线的定义在微分几何中，曲线是指由一组点按照一定的方式连接形成的线状对象。

曲线可以是直线、圆、椭圆等各种形状，其性质由曲线的参数化方程来描述。

2. 参数化方程参数化方程是描述曲线运动的一种方式，通过引入参数t，可以用函数形式表示曲线上的每一个点的坐标。

曲线的参数化方程可以表示为：x = x(t)y = y(t)z = z(t)3. 弧长和切向量在曲线理论中，弧长是曲线上两个点之间的距离。

切向量是描述曲线在某一点上的方向的矢量。

通过参数化方程，可以求得曲线上任意一点的切向量，并计算出曲线的曲率和挠率等性质。

二、曲面理论1. 曲面的定义曲面是三维空间中的一个二维对象，可以看作是曲线在平面上的推广。

曲面有着平面没有的曲率和法向量等性质。

2. 参数化曲面和曲线类似，曲面也可以通过参数化方程来描述。

参数化曲面是指通过引入两个参数u和v，可以用函数形式表示曲面上的每一个点的坐标。

曲面的参数化方程可以表示为：x = x(u, v)y = y(u, v)z = z(u, v)3. 第一基本形式和第二基本形式在曲面理论中，第一基本形式描述了曲面的度量性质，包括曲面的长度和角度等信息。

第二基本形式描述了曲面的曲率性质，包括法向量的旋转和曲面的高斯曲率等性质。

三、应用微分几何中的曲线与曲面理论在多个领域有着广泛的应用，下面以几个典型应用为例进行介绍：1. 物理学中的路径与表面积在物理学中，曲线与曲面理论可以描述粒子在空间中的路径和表面积。

这对于研究物体运动、力学和电磁学等领域具有重要意义。

2. 工程学中的曲线设计曲线与曲面理论在工程学中广泛用于曲线的设计和表达。

例如，在汽车造型设计中，可以利用曲线与曲面理论来构建具有流线型外观的车身曲线。

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2 0 2 1 1 1 1 2 2 2 1 n 1 2 1 n M 0 0 M 1 1 M 2 2 n1 M n1 n1 2 M n n
1 k 0 1 0 2 0 k 0 1 2 1 k k 0 k 1 k
k 1
)
由上述各阶均差的定义与记号，可以把满足N+1 个型值点插值条件的n次插值多项式表达为
p
n
( x) f ( x0) f ( x0 , x1)( x x0)
f ( x0 , x1 , x2)( x x0)( x x1) f ( x0 , x1 , x2 , x3)( x x0)( x x1)( x x2) f ( x0 , x1 ,, xn)( x x0)( x x1) ( x xn 1)
f ( x0 , x1 ,, xk )
0
f ( x1 , , xk ) f ( x0 , x1 , , xk 1)
x x
k 1
0
y y y ( x x )( x x ) ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x ) ( x x )( x x ) ( x x
y
y=L2(x) y0 O x0 y1 x1 x2 y1 y=f(x) x
L2 ( x) y0
( x x0 )( x x2 ) ( x x0 )( x x1 ) ( x x1 )( x x2 ) y1 y2 ( x0 x1 )( x0 x2 ) ( x1 x0 )( x1 x2 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
2、插值的基本思路插值的基本思路是先设法对列表函数f(x)构造一个简单函数y=p(x)作为近似表达式，然后再计算p(x)的值来得到f(x)的近似值。几种常见的插值方法有拉格朗日插值法、牛顿插值法和样条插值法等。
（二）拉格朗日插值法
当n=1时，要构造通过两点 (x0 , y0 )和 (x1, y1 )的不超过1次的多项式p1(x)(后面记作 L1(x) )，使得
y y = L1(x) x0 x1 x
（两点式）
x x0 0 x1 x L1 ( x) y0 y1 x1 x0 x1 x0
－－－称为线性（一次）插值
下面讨论n 2的情形。假定插值节点为x0 , x1 , x2 , 要求二次插值多项式L2 ( x), 它满足 L2 xi ) yi (i 0,1, 2), 几何上y L2 ( x)就是通过三点（（x0 , y0 ).( x1 , y1 ), ( x2 , y2 )的抛物线。为了求出L2 ( x)的表达式，可采用基函数方法.
其中系数为
i
h h
i
h
y
i 1 i 1
i 1

i
6
yy h h h h
i i i 1 i i i 1
y
i 1
(hi xi xi 1)
此方程组的系数矩阵是n+1阶方阵，并且是三对角线方程组，主对角线元素等于2，其行列式不等于零，因而方程组有唯一确定的解。
3、三次样条函数插值求解
1)利用公式
2 M 0 0 M 1 0 (1 1) M 0 2M 1 1 M 2 1 (1 2) M 1 2M 2 2 M 3 2 (1 ) M 2M M n2 n 1 n n 1 n 1 n 1 (1 n) M n 1 2 M n n
可得n次插值基函数为
( x x0 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn ) lk ( x ) ( xk x0 ) ( xk xk 1 )( xk xk 1 ) ( xk xn )
(k 0,1,, n).
于是可得插值多项式 Ln (x) 可表示为
L1 ( x0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
y L1 ( x)的几何意义就是通过两点（x0 , y0 )与（x1 , y1 )的直线，如图所示，L1 x）的表达式可由几何意义直接给出：（
（点斜式）
y1 y0 L1 ( x) y0 ( x x0 ) x1 x0
第四节曲线曲面的计算机数学处理
一、插值 1、插值的含义在许多场合下，产品或工件的轮廓形状往往很难找到一个具体的数学表达式把它们描述出来，通常只能通过实验或数学计算得到一系列互不相同的离散点xi（x=0,1，2…）上的函数值f(xi) = yi(i=0,1,2, …n)，即得到一张xi与yi对应的数据表。通常把这种用数据表格形式给出的函数y=f(x)称为列表函数。由于受某些条件的限制，实验观测得到的离散点常常满足不了实际加工的需要，这时就必须在所给函数表中再插入一些所需要的中间值，这就是通常所说的 “插值”。
y f ( x) 0 1 x m x j x
m j 0 m j
( m n)
为了确定m+1系数αj ，可将已知的型值点坐标代入上式，可得如下线性方程组
m 0 1 x1 m x1 y1 m 0 1 x2 m x2 y2 m 0 1 xn m xn yn
经直接计算可得
f ( x0 , x1 , x2)
y
0
( x0 x1)( x0 x2)

y
1
( x1 x0)( x1 x2)

y
( x2 x0)( x2 x1)
2
由上式可以推知，二阶均差也与点的排序无关，也具有对称性。由此可以归纳出高阶均差的定义：k-1 阶均差的均差称为k阶均差，即
拉格朗日插值多项式
将前面的方法推广到一般情形，讨论如何构造通过
n 1 个节点 x0 x1 xn 的 n 次插值多项式 Ln (x) .
根据插值的定义 Ln (x) 应满足
Ln ( x j ) y j ( j 0,1, , n).
为构造 Ln (x)，先定义 n 次插值基函数.
物理样条实际上是一种绘制模线的工具，一般采用一根富有弹性的木条或薄金属条、有机玻璃条来作为样条。人们在绘制船舶、汽车和飞机的外形放样条曲线时，用压铁压在一批点上，强迫样条通过这些离散的型值点，经过调整压铁，使样条作弹性变形，当认为形状合适后，使可沿样条画出所需要的曲线。由于物理样条得到了适当的利用，可获得令人满意的曲线，所以有理由对物理样条进行数学模拟，并用它来描述数控加工工件的外形轮廓曲线。

2、三次样条函数的定义
设在XOY平面上给定n+1个有序的型值点列 (x0,y0)， (x1,y1)，…， (xn,yn) 其中， x0 < x1 < … < xn。若有函数s (x) 适合下列条件 1) s (xi) = yi （i=0，1，2， … ，n）； 2) s (x) 在区间(x0,xn)上二阶连续可导； 3)在每一个子区间(xi-1,xi)上， s (x)是x的3次多项式。则称函数s (x)是关于型值点列的三次样条函数。简言之，三次样条函数就是全部通过型值点，二阶连续可导的分段三次多项式函数。
1 0 0 1 0
如果再增加一个新点（ x2,y2 ），其插值形)
( x2 x0 )( x2 x1 )
p ( x) ( x x )( x x ) y2 p ( x ) y y f ( x , x )( x
1 0 1
1 2

2
x0 ) ( x2 x0 )( x2 x1 )
由一阶方差的定义可知，一阶方差与点的排列次序无关，叫做一阶方差的对称性。如
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x1 ) f ( x0 , x1 ) f ( x1 , x0 ) x1 x0 x0 x1
线性插值可以表示成如下形式：
p ( x) f ( x ) f ( x , x )( x x )
Ln ( x )
y
k 0
n
k
lk ( x ).
（三）牛顿插值法牛顿插值也叫均差插值，也是利用多项式进行插值的方法。若对一元函数y=f(x),令yi=f(xi),
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x0 , x1 ) x1 x0
是在区间[x0,x1]上，函数的增量与自变量的比值，即函数在此区间上的平均变化率，称为函数f(x)的一阶方差。
第一个条件表明, 上式应以x0、x1…xk-1,xk+1...xn 为根，故应有下列形式
Lk ( x) ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn )
λ是常数，可由第二个条件得到
1 ( x x0 )( x x1 ) ( x xk 1 )( x xk 1 ) ( x xn )
0 0 1 2
f ( x0 , x2 ) f ( x0 , x1 ) x2 x1
上式含义为一阶均差的均差，称为函数f(x)的二阶均差，记为f(x0,x1,x2)
依次类推，可得
p
2
( x) f ( x0 ) f ( x0 , x1 )( x x0 ) f ( x0 , x1 , x2 )( x x0 )( x x2 )

上面提到的插值，拟合过程等，在数控加工的编程工作中，一般均被称为第一次逼近（或称第一次数学描述），由于受数控机床控制功能的限制，第一次逼近所取得的结果一般都不能直接用于编程，而必须取得逼近列表曲线的直线或圆弧数据，这一拟合过程在编程中被称为第二次逼近（或称为第二次数学描述）。