高一数学必修4课件 ： 三角函数模型的简单应用(一)

y 2 sin(2 x )
3
随堂练习
例题2由 y Asin(x )
图象求解析式。
yA 3
10
解： (1) A 3
O
3
(2) T 10 4
23
3
2
T 4
4
x
又T 2
1
2
3
(3) y 3 sin(1 x )
2
A点的坐标为( 4 , 3)
3
3sin( 1 4 ) 3
新课学习
2、把正弦曲线上每个点的横坐标缩短到原来1/3倍
（纵坐标不变），然后向右平移 4
个单位长度
最后再把每个点的纵坐标缩短到原来的1/5倍（横坐
标不变），所得到的图象的函数是__y___15__si_n__3_x_-__4____。
新课学习
周期 : T 2
y Asin(x ) 频率 : f 1 T 2
2
2
2 x
随堂练习
由图象求振幅A：
y
y Asin x b
A 最 大 值 最 小 值 2
4 (2) 3 2
b 最 大 值 最 小 值 2
4 (2) 1 2
4
3
2
1
x
O
2
2
函数表达式为: y 3 sin x 1
随堂练习
例题1由 y Asin(x )
图象求解析式。
yA 2
23
2
sin(
) 1
3
2 2k , k Z
3
2
3
2k , k Z
当k
6
0时 ，
6
y 3 sin(1 x )
26
随堂练习

利用T2，求得
利 用 最 低 点 或 最 高 点 在 图 象 上 ,该 点 的 坐 标
满 足 函 数 解 析 式 可 求 得 ,注 意 通 常
练习1：
函数 yA sin(x),(A0,0,||)
2
的最小值是2，其图象相邻的最高点与最低点横坐标差
是3，且图象过点(0,1)，求函数解析式.
y 2sin(1x)
3.情感目标：让学生切身感受数学建模的过程，体验数学 在解决实际问题中的价值和作用，从而激发学生的学习兴 趣，培养锲而不舍的钻研精神；培养学生勇于探索、勤于 思考的精神.
根据图象建立三角函数关系： T/℃
30 例1 如图，某地一天从6～14时
20 的温度变化曲线近似满足函数:
10
yA sin(x)b
利用函数图象的直观性,通过观察图象而获得对函数 性质的认识,这是研究数学问题的常用方法.
作业
课本P65 A组 1.（1）（2）（3） 2.（1）（2）（4）
课堂探究3
将实际问题抽象为与三角函数有关的函数模型
例3 如图，设地球表面某地正午太阳高度角为，为此时
太阳直射纬度，为该地的纬度值，那么这三个量之间的
关系是 ＝90º－| － |.当地夏半年取正值，冬半年
取负值.
太阳光
太阳高度角的定义
如图，设地球表面某地 纬度值为 ，正午太阳
高度角为θ，此时太阳 直射纬度为δ ，那么
这三个量之间的关系 是 90|| 。当地
夏半年δ取正值，冬半 年δ取负值。
地心
北半球 南半球
太阳光
90||
太阳光直射南半球
4
24
= π .故选 C.
2
根据解析式模型建立图象模型

这时此人所转过的角度为
2π
300
t=
π
150
t,
故在 t s 时,此人相对于地面的高度为 h=10sin
(2)由 10sin
π
150
t+12≥17,得 sin
π
150
1
t≥ ,
2
那么25≤t≤125.
故此人有100 s相对于地面的高度不小于17 m.
π
150
t+12(t≥0).
到计算器或计算机.
(2)实际问题的背景往往比较复杂,而且需要综合应用多门学科的
知识才能完成,因此在应用数学知识解决实际问题时,不仅要注意
从复杂的实际背景中抽取根本的数学关系,而且还要调动相关学科
知识来解决问题.
1
2
(3)建立三角函数模型的步骤如下:
1
2
【做一做 2】电流强度 I(单位:安)随时间 t(单位:秒)变化的函数
π
π
π
- 2 =-10,
5
即 cos5 t=0.25,得 t≈2.1,
即你第1次距地面30.5 m时,用了约 min.
(4)你第4次距地面 m时,用了20-2.1=17.9(min).
反思对于实际问题,只需把问题中提供的条件逐条地翻译成数学
语言,就能建立数学模型.
题型一
题型二
题型三
【变式训练3】 如下图,一个摩天轮的半径为10 m,轮子的底部
π
A>0,ω>0,0<φ<2 ,则函数的解析式为
+ = 4,
解析:由题意可得
- + = 0,
= 2,
解得
= 2.

1
I
300 sin
100 t
3
2min 629
精品PPT
例 3 某港口水深 y(米)是时间 t (0≤t≤24，单位：小 时)的函数，下面是水深数据： t(小时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 10.0 13.0 9.9 7.0 10.0 13.0 10.1 7.0 10.0 据上述数据描成的曲线如图所 示，经拟合，该曲线可近似的 看成正弦函数模型 y＝Asin ωt ＋B 的图象． (1)试根据数据表和曲线，求出
6
10
14 x
t/ h
A 30 10 10, b 30 10 20,
2
2
1 2 14 6, .
2
8
将x=6,y=10代入上式,解得 3
综上,所求解析式为y 10精s品iPnPT(
x 43
) 20, x [6,14].
84
总结:
y Asin(x ) b A 0, 0
精品PPT
解 设出厂价波动函数为 y1＝6＋Asin(ω1x＋φ1)．由题意， 知 A＝2，T1＝8，ω1＝π4.当 x＝3 时，34π＋φ1＝π2，∴φ1＝－π4， ∴出厂价的函数关系为 y1＝6＋2sin(π4x－π4)．设销售价波动 函数为 y2＝8＋Bsin(ω2x＋φ2)．由题意，知 B＝2，T2＝8， ω2＝π4.当 x＝5 时，有54π＋φ2＝π2，∴φ2＝－34π，∴销售价的 函数关系为 y2＝8＋2sin(π4x－34π).
y＝Asin ωt＋B 的解析y式；3sin t 10 0 t 24
6 精品PPT
(2)一般情况下，船舶航行时船底与海底的距离不小于 4.5 米是安全的，如果某船的吃水度(船底与水面的距 离)为 7 米，那么该船在什么时间段能够安全进港？若 该船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能

4
(1)求小球开始振动的位置. (2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置. (3)经过多长时间小球往返振动一次？ (4)每秒内小球能往返振动多少次？
1 100
秒的时间内电
流I能同时取得最大值和最小值，那么正整数ω的最小值是多
少？
【解题探究】1.题1中，由图象如何确定A和B？
2.对于I=Asin(ωt+φ)能同时取得最大值和最小值的最小范
围是多少？
探究提示：
1.A ymax ymin , B ymax ymin .
2
2
2. T . 2
【解析】1.因为 T 4 ( 2) 2,
【变式训练】画出y=|cos x|+1的图象，观察其周期，写出单 调增区间. 【解析】把余弦曲线在x轴下方的部分翻折到x轴上方，x轴上 方的图象不动，然后再把整个图象向上平移1个单位得到 y=|cos x|+1的图象.如图：
观察知，周期为π；单调增区间为 [k ,k]k Z.
2
类型 二 用三角函数模型解决有关应用题
t 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1 0.5 0.99 1.5 经长期观测，y=f(t)的图象可近似地看成是函数
y=Acos ωt+b的图象.
(1)根据以上数据，求其最小正周期，振幅及函数解析式.
(2)根据规定，当海浪高度大于1米时才对冲浪爱好者开放，
26
(2)因为y>1时，才对冲浪爱好者开放，所以
y 1 cos t 1 1，cos t 0，
26
6
2k t 2k ，
26
2
即12k 3 t 12k 3k Z.

第一章
1.6
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[解析]
(1)设种群数量y关于t的解析式为y＝Asin(ωx＋φ)
－A＋b＝700， A＋b＝900，
＋b(A>0，ω>0)，则
解得A＝100，b＝800，
又周期T＝2(6－0)＝12， 2π 2π π ∴ω＝ T ＝12＝6.
π 则有y＝100sin6t＋φ＋800.
kπ－φ ，0 ω
，对称轴与函数图象的交点的纵坐标是函数的
π kπ＋ －φ 2 最值，即对称轴是直线A版 · 必修4
(8)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象，相邻的两 个对称中心或两条对称轴相距半个周期；相邻的一个对称中
第一章 1.6
)
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
1 6．函数y＝ sin 2
π 2x－ 6
的振幅是________，周期是
________，初相为________，对称轴是直线________，对称 中心为________，单调增区间是________．
第一章
1.6
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
[答案] C
第一章
1.6
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
规律总结：由函数图象寻求函数解析式是近几年来的热 点试题，解答此类试题，一般是根据图象所反映出的函数性 质来解决，而函数的性质，如奇偶性、周期性、对称性、单 调性、值域，还有零点等等都可以作为判断的依据．
第一章
1.6
成才之路 ·数学 ·人教A版 · 必修4
π 3π 则sin8t＋ 4 ∈[－1,1]，可得ymin＝－10＋20＝10，

yAsin xb
A 最大值 最小值 2
4 3
4 (2) 3
2 1
2
b 最大值 最小值 2
O 2
4 (2) 1 2
y3sinx1
x 2
由图象求解析式
yA si nx ()
(1)A2
yA 2
(2)T
4 12 6 4
T
又T 2 2
(3)y2si2 n x ()
O6 12x NhomakorabeaA点的坐标为(,2)
周期:T 2
频率:f T12
由图象求振幅A
ysinx
y 1
O
2 x
1
A1
由图象求振幅A
y2sinx
y
2
O
2
A2
2 x
由图象求振幅A
y2sinx
5
向上平移3个单位长度
4 3
y2sin x3
2
yAsin xb
1
O
2
最 A
大 最值 小 51 值 2
2
2
2
最 b
大 最值 小 51 值 3
2
2
由图象求振幅A y
3
3sin(14)3
23
si n2( )1
232k,kZ
3
2
3
3
2k,kZ
6 当k0时
，
6
y3sin1(x)
26
例1 如图,某地一天从6～14时的温度变化曲线近
似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b
(1)求这一天的最大温差; (2)写出这段曲线的函数解析式.
y T/℃
30
20 10
O 6 10 14 t/xh

明目标、知重点
预习导学
跟踪演练2
弹簧挂着的小球做上下振动，它在时间t(s)内离
挑战自我，点点落实
开平衡位置(静止时的位置)的距离h(cm)由下面的函数关系式 π 表示：h＝3sin 2t＋ . 4 (1)求小球开始振动的位置；
π 3 2 解 令 t＝0，得 h＝3sin ＝ ， 4 2
3 2 所以开始振动的位置为0， . 2
明目标、知重点
(2)求小球第一次上升到最高点和下降到最低点时的位置；
解 π 由题意知，当 h＝3 时，t＝8，
预习导学
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
规律方法 翻折法作函数图象
(1)要得到 y ＝ |f(x)| 的图象，只需将y＝ f(x) 的图象在 x 轴下方的 部分沿x轴翻折到上方，即“下翻上”. (2)要得到 y ＝ f(|x|)的图象，只需将y＝ f(x) 的图象在 y 轴左边的 部分沿 y 轴翻折到右边，即 “ 左翻右 ” ，同时保留右边的 部分.
预习导学
挑战自我，点点落实
[预习导引] 1.三角函数的周期性
2π y＝Asin(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ ； |ω| y＝Acos(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ 2π ； |ω| π y＝Atan(ωx＋φ) (ω≠0)的周期是T＝ . |ω|
明目标、知重点
预习导学
挑战自我，点点落实
明目标、知重点
预习导学
跟踪演练1 作出函数y＝sin|x|的图象并判断其奇偶性. 解 ∵sin(－x)＝－sin x，
挑战自我，点点落实
sin x，x≥0， ∴y＝sin|x|＝ －sin x，x<0.

例1 如图，某地一天从6～14时的温度变化曲线近
似满足函数: y Asin(x ) b.
T/℃ 30
思考1：这一天6～14时的最大温差是多少？
20
30°-10°=20°
10
思考2：函数式中A、b的值分别是多少？
A=10, b=20.
o
6 10 14
t/h
思考3：如何确定函数式中 和 的值?
思考4：这段曲线对应的函数是什么？
B或D点所对就的时间 问题2：如何求出 A、B、C、D四点
所对应的时间？ 由Y≥5.5 得 2.5sin
x 5 5.5
sin
x 0.2
根令据或周sin期-66性xx可0.02得0.214(：已知xx三Dcx角A6函1122数0.值3xx8求BA4角6),1122用 xB 计50(..算6318器054.2可466014求 )11出672..6553x.68115460464.2014
问题2： 潮汐对轮船进出港口有什么影响？
轮船必须在安全水深内进出港口，否则会搁浅.
问题3：上述变化过程中，是哪些量发生变化？哪个量是自变量？ 哪个是因变量？
上述变化过程中，时间、水深都发生变化，是水深是随时间变化， 因此，时间是自变量，水深是因变量(函数) 问题4： 选择一个适当的函数来近似描述水深与时间的关系？
若所用点为五点法中的“第一点”，则令ωm＋φ＝0； 若所用点为五点法中的“第二点”，则令ωm＋φ＝ ；
2
若所用点为五点法中的“第三点”，则令ωm＋φ＝π； 若所用点为五点法中的“第四点”，则令ωm＋φ＝3 ；
2
若所用点为五点法中的“第五点”，则令ωm＋φ＝2π.
题类Ⅰ：根据正、余弦函数的Fra bibliotek段图象去求其解析式

[解析] (1)由表中数据，知周期 T＝12， ∴ω＝2Tπ＝6π. 由 t＝0，y＝1.5，得 A＋b＝1.5. 又由 t＝3，y＝1.0，得 b＝1.0， ∴A＝0.5，b＝1.0，即振幅为12. ∴y＝12cosπ6t＋1.
第一章 1.6
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
(2)由题意知，当 y>1 时才对冲浪者开放， ∴12cos6πt＋1>1，∴cos6πt>0， ∴2kπ－π2<π6t<2kπ＋2π， 即 12k－3<t<12k＋3. ∵0≤t≤24，∴令 k 分别为 0,1,2，得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24，
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
5．将函数y＝sinx的图象上每个点的纵坐标不变，横坐标
缩短为原来的12后，将图象沿y轴正方向平移2个单位，再沿x轴
正方向平移π6个单位，得到的函数是( )
A．y＝sin(2x－π3)＋2
B．y＝sin(2x＋3π)＋2
C．y＝sin2x＋2
D．y＝sin(2x－π6)＋2 [答案] A
第一章 1.6
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
课堂典例讲练
第一章 1.6
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
思路方法技巧 命题方向 1 求函数的解析式
已知函数 f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0≤φ≤π)为偶函数， 且其图象上相邻的一个最高点和最低点之间的距离为 4＋π2.
第一章 1.6
高中新课程 ·学习指导 ·人教A版 ·数学 ·必修4
已知函数 y＝f(x)的图象上的每一点的纵坐标扩大到原来 的 4 倍，横坐标扩大到原来的 2 倍，然后把所得的图象沿 x 轴向左平移π2，这样得到的曲线和 y＝2sinx 的图象相同，则函 数 y＝f(x)的解析式为________________．