27.2.3 相似三角形的性质(4)--

相似三角形的性质一、引言相似三角形是几何学中的重要概念，广泛运用于日常生活和科学技术领域。

相似三角形的性质揭示了三角形之间的一种特殊关系，即它们的形状相同但大小不同。

本文将对相似三角形的性质进行详细阐述，以便更好地理解这一几何概念。

二、相似三角形的定义1.∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F（对应角相等）2.AB/DE=BC/EF=AC/DF（对应边成比例）那么，三角形ABC与三角形DEF是相似的，记作△ABC≌△DEF。

三、相似三角形的性质1.对应角相等相似三角形的一个基本性质是对应角相等。

这意味着如果两个三角形相似，那么它们的每个角都对应相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有∠A=∠D，∠B=∠E，∠C=∠F。

2.对应边成比例相似三角形的另一个基本性质是对应边成比例。

这意味着相似三角形的每条边都与另一三角形的对应边成相同的比例。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

3.对应高的比相等相似三角形的对应高（从顶点到对边的垂线）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有h₁/h₂=k，其中h₁和h₂分别是△ABC和△DEF的对应高，k是相似比。

4.对应中线的比相等相似三角形的对应中线（连接顶点和对边中点的线段）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有m₁/m₂=k，其中m₁和m₂分别是△ABC和△DEF的对应中线，k是相似比。

5.对应角平分线的比相等相似三角形的对应角平分线（将顶点角平分的线段）的比相等。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有s₁/s₂=k，其中s₁和s₂分别是△ABC和△DEF的对应角平分线，k是相似比。

6.面积比等于相似比的平方相似三角形的面积比等于相似比的平方。

例如，在△ABC与△DEF相似的情况下，有S₁/S₂=k²，其中S₁和S₂分别是△ABC和△DEF的面积，k是相似比。

四、相似三角形的判定方法1.AA（角角）相似判定法如果两个三角形有两个角分别相等，那么这两个三角形相似。

27.2.3《相似三角形的周长与面积》说课稿一、说教材教材的地位与作用:《相似三角形的周长与面积》是义务教育课程标准实验教科书九年级数学下册第27章第二节的第3小节。

这节课是论证几何中“相似形”的重点内容之一，是在学会相似三角形的定义及判定的基础上，进一步研究相似三角形的性质，以完成对相似三角形的全面研究。

它是全等三角形的拓展，也是解决有关实际问题的重要工具，因此，这节课无论在知识上，还是对学生能力的培养上，都起着十分重要的作用。

二、说学情1、九年级学生对身边的事物已有较多的观察和体验，对相似的对应边和对应角的性质已经学习，所以对周长的比等于相似比比较容易想到，可以引导学生思考，由于学生没有学习等比定理，所以在推倒周长比等于相似比时引入了相似比K。

2、九年级的学生在猜想，类比、证明等教学活动还是有一定难度的，所以在探究面积比等于相似比的性质时，老师通过复习三角形面积公式，启发学生先表示出两个三角形的面积，再作比从而观察结果与相似比进行对比后得出结论。

从而渗透类比和转化的数学思想方法。

三、说教学目标1、知识与技能：初步掌握相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系以及关于它们之间关系的两条定理的证明方法，并会运用定理进行有关简单的计算。

2、过程与方法：在动手参与解决身边实际问题的过程中，增强主动探索、发现数学知识的意识，提高观察、归纳能力，应用数学知识解决生活中实际问题的能力。

3、情感态度与价值观：在学习过程中，培养学生独立思考、合作学习、自主评价的能力，渗透数学当中的建模思想、转化思想。

四、说教学重、难点：因为相似三角形的周长比、面积比与相似比得关系式解决与相似三角形有关问题的重要依据，也是研究相似多边形性质的基础，因此，它是本节教材的重点。

学生应用数学知识解决实际问题，需要具备一定的综合能力，这对大部分学生有一定难度，因此，将相似三角形的周长比、面积比与相似比的关系的应用确定为本节课的难点。

通过学生动手操作及合作交流，进行探究相关问题来突出重点，突破难点。

27.2.3相似三角形的周长与面积（一）基本内容：1. 相似三角形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等.（2）周长比等于相似比.（3）面积比等于相似比的平方.2. 相似多边形的性质：（1）对应角相等，对应边的比相等.（2）周长比等于相似比.（3）面积比等于相似比的平方.（二）例题分析：例 1. （易）已知：如图，△ABC ∽△A 1B 1C 1，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B 1C 1＝24 cm ，求BC 、AC 、A 1B 1、A 1C 1.解析：根据相似三角形周长的比等于相似比可以解决.解：∵△ABC ∽△A 1B 1C 1， ∴111C B A ABC 1111C C C B BC B A AB ∆∆==. 又∵AB ＝15 cm ，B 1C 1＝24 cm ，C △ABC =60 cm ，C △A1B1C1=72 cm ， ∴726024BC B A 1511==. ∴A 1B 1＝18 cm ，BC ＝20cm .∴AC=60-15-20=25 cm ，A 1C 1=72-18-24=30 cm .总结：相似三角形周长的比等于相似比，实际上一般都转化成相似三角形周长的比等于对应边的比来计算，另外要注意有些边长可以直接利用三边和等于周长来解决.例 2 . （中）有同一三角形地块的甲、乙两地图，比例尺分别为1∶200和1∶500，求：甲地图与乙地图的相似比和面积比.解析：要理解实际地块与两个图都是相似图形，利用比例尺求出相似比，利用相似三角形面积比等于相似比的平方求出面积比.解：设原地块为△ABC ，地块在甲图上为△A 1B 1C 1，在乙图上为△A 2B 2C 2.∴ △ABC ∽△A 1B 1C 1∽△A 2B 2C 2，且200111=AB B A ，500122=AB B A . ∴252005002211==B A B A . ∴425)25(2222111==∆∆C B A C B A S S . 答：甲地图与乙地图的相似比为25，面积比为425. A B C B 1 C 1 A 1总结：（1）要清楚比例尺=图距：实距，是指对应线段长度之间的比，不等于面积比；（2）相似的传递性可以直接应用；（3）相似三角形面积比等于相似比的平方在具体应用时一般都转化为相似三角形面积比等于对应边比的平方.例3．（难）如图，三角形ABC 是一块锐角三角形余料，边BC ＝120mm,高AD ＝80mm,要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，这个正方形零件的边长是多少？解析：把所需正方形按题中所述要求画出，发现利用相似三角形对应高的比等于相似比能较快地解决问题.解：设正方形PQMN 为加工成的正方形零件. 边QM 在BC 上，顶点P 、N 分别在AB 、AC 上. △ABC 的高AD 与边PN 相交于点E. 设正方形的边长为x 毫米.∵四边形PQMN 是正方形，∴PN ∥BC .∴△APN ∽△ABC ，△APE ∽△ABD . ∴BC PN AB AP =,ADAE AB AP = ∴BCPN AD AE =. ∴1208080x x =-. 解得：48=x （毫米）. 答：加工成的正方形零件的边长为48毫米.思考：若把例3中的三角形余料，加工成矩形，且PN=2PQ 时，PN 是多少？提示：设PQ=x ，则PN=2x . 由BC PN AD AE =可得12028080x x =- 解得：7480=x ∴PN=7480（毫米） （三）思考与提高： （难）如右上示意图，小华家（点A 处）和公路（l ）之间竖立着一块35m 长且平行于公路的巨型广告牌（DE ）．广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点A 的盲区，并将盲区内的那段公路计为BC ．一辆以60km/h 匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s ，已知广告牌和公路的距离是40m ，求小华家到公路的距离（精确到1m ）．A B C D。

27.2.3 相似三角形的周长与面积（1）相似三角形的性质：①对应角相等，对应边成比例；②相似三角形周长的比等于相似比；③面积的比等于相似比的平方．（还可以补充④相似三角形对应高的比等于相似比）（2）应用相似三角形的性质，其前提条件是两个三角形相似，不满足前提条件，不能应用相应的性质．如：两个三角形周长比是32，它们的面积之比不一定是94 （3）在应用性质2“相似三角形面积的比等于相似比的平方”时，要注意有相似比求面积比要平方，反过来，由面积比求相似比要开方，如：如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．1．复习提问：已知： ∆ABC ∽∆A’B’C’，根据相似的定义，我们有哪些结论？（从对应边上看； 从对应角上看：）问：两个三角形相似，除了对应边成比例、对应角相等之外，我们还可以得到哪些结论？2．思考：（1）如果两个三角形相似，它们的周长之间有什么关系？（2）如果两个三角形相似，它们的面积之间有什么关系？（3）两个相似多边形的周长和面积分别有什么关系？3.结论——相似三角形的性质：性质1 相似三角形周长的比等于相似比．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么 k AC C B B A CA BC AB =''+''+''++． 性质2 相似三角形面积的比等于相似比的平方．即：如果 △ABC ∽△A ′B ′C ′，且相似比为k ，那么22)(k B A AB S S C B A ABC =''='''∆∆．一、例题讲解例 1（补充） 已知：如图：△ABC ∽△A ′B ′C ′，它们的周长分别是 60 cm 和72 cm ，且AB ＝15 cm ，B ′C ′＝24 cm ，求BC 、AB 、A ′B ′、A ′C ′的长．例2（教材P53例6）二、课堂练习1．教材P54．1．2．填空：（1）如果两个相似三角形对应边的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为_____，面积的比为_____．（2）如果两个相似三角形面积的比为3∶5 ，那么它们的相似比为________，周长的比为________．（3）连结三角形两边中点的线段把三角形截成的一个小三角形与原三角形的周长比等于______，面积比等于_______．（4）两个相似三角形对应的中线长分别是6 cm 和18 cm ，若较大三角形的周长是42 cm ，面积是12 cm 2，则较小三角形的周长为________cm ，面积为_______cm 2．3．如图,在正方形网格上有△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2，这两个三角形相似吗？如果相似，求出△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2的面积比．三、课后练习1．教材P54．3、4．2．如图，点D 、E 分别是△ABC 边AB 、AC 上的点，且DE ∥BC ，BD ＝2AD ，那么△ADE 的周长︰△ABC 的周长＝ ．3．已知：如图，△ABC 中，DE ∥BC ，（1）若32EC AE =，① 求ACAE 的值； ② 求ABC ADE S S ∆∆的值； ③ 若5S ABC =∆，求△ADE 的面积；（2）若S S A B C =∆，32EC AE =，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积；（3）若k EC AE =， 5S ABC =∆，过点E 作EF ∥AB 交BC 于F ，求□BFED 的面积．(第3题)。

相似三角形的性质相似三角形是指两个或更多个三角形的对应角相等，并且对应边的比值相等的情况。

在几何学中，相似三角形具有一些重要的性质和定理。

本文将介绍相似三角形的性质，并探讨与之相关的定理。

一、1. 对应角相等：当两个三角形的对应角分别相等时，它们是相似三角形。

对应角是指在两个三角形中，两个相对的角。

2. 对应边比值相等：相似三角形的边长之比等于它们的对应边长之比。

即若两个三角形ABC和DEF是相似三角形，那么有AB/DE=BC/EF=AC/DF。

3. 角相等：若两个三角形的一个角分别相等，并且两个边的比值相等，那么这两个三角形也是相似三角形。

4. 边长比值：在相似三角形中，对应边的比值等于任意两边的比值。

例如，在相似三角形ABC和DEF中，有AB/DE=BC/EF=AC/DF，同时也有AB/BC=DE/EF=AC/DF。

二、相似三角形的重要定理1. AA相似定理：如果两个三角形的两个角分别相等，那么这两个三角形是相似的。

具体而言，如果∠A=∠D，且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。

2. SAS相似定理：如果两个三角形的一对对边成比例，且这两条对边之间的夹角相等，则这两个三角形是相似的。

具体而言，如果AB/DE=BC/EF且∠B=∠E，则三角形ABC与三角形DEF是相似的。

3. SSS相似定理：如果两个三角形的对边比值相等，则这两个三角形是相似的。

具体而言，如果AB/DE=BC/EF=AC/DF，则三角形ABC 与三角形DEF是相似的。

三、使用相似三角形的方法和应用1. 比例求解：根据相似三角形的性质，我们可以利用已知条件和未知数来求解未知边的长度或者未知角的度数。

通过建立各边之间的比例关系，可以使用正比例求解法来解决各种几何问题。

2. 测量不可达距离：在实际应用中，有时我们无法直接测量两点之间的距离，但可以利用相似三角形的性质来间接求解。

通过测量一个已知距离和相关角度，可以建立相似三角形的比例关系，从而求解不可达距离。

相似三角形性质在我们的数学世界中，相似三角形是一个非常重要的概念。

它不仅在数学理论中有着关键的地位，还在实际生活中的各种领域有着广泛的应用。

相似三角形，简单来说，就是形状相同但大小不一定相同的三角形。

那相似三角形都有哪些性质呢？首先，相似三角形的对应角相等。

这是相似三角形最基本也是最明显的一个性质。

比如说，有两个相似三角形 ABC 和 A'B'C'，那么角 A就等于角 A'，角 B 等于角 B'，角 C 等于角 C'。

这个性质就好像是两个相似三角形之间的“身份证明”，只要知道它们是相似的，那么对应的角必然相等。

其次，相似三角形的对应边成比例。

假设三角形 ABC 和三角形A'B'C'相似，那么边 AB 与边 A'B'的比值，边 BC 与边 B'C'的比值，边AC 与边 A'C'的比值都是相等的。

这个比例关系可是解决很多数学问题的关键。

比如说，在实际测量中，如果我们无法直接测量一个物体的高度或者长度，就可以利用相似三角形的这个性质来解决。

比如要测量一棵大树的高度，我们可以在同一时间，同一地点，先测量出一个小木棍的长度以及它的影子长度，再测量出大树的影子长度。

因为此时太阳照射的角度是相同的，所以大树和它的影子，以及小木棍和它的影子分别构成了相似三角形。

通过小木棍及其影子长度的比例关系，就可以算出大树的高度。

再来看相似三角形的周长比等于相似比。

什么是相似比呢？就是对应边的比值。

如果两个相似三角形的相似比是 k，那么它们的周长比也是 k。

比如一个三角形的三边分别是 3、4、5，另一个与其相似的三角形对应边分别是 6、8、10，相似比就是 2，那么它们的周长比也是 2。

第一个三角形的周长是 3 ＋ 4 ＋ 5 ＝ 12，第二个三角形的周长是 6 ＋8 ＋ 10 ＝ 24，24 与 12 的比值正好是 2。

《相似三角形的性质》知识清单一、相似三角形的定义如果两个三角形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个三角形叫做相似三角形。

相似三角形对应边的比值叫做相似比。

二、相似三角形的性质1、对应角相等相似三角形的对应角相等，这是相似三角形的最基本性质之一。

也就是说，如果两个三角形相似，那么它们的三个角分别对应相等。

例如，若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，那么∠A ＝∠A'，∠B ＝∠B'，∠C ＝∠C'。

2、对应边成比例相似三角形的对应边成比例。

如果三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，且相似比为 k，那么：AB ／ A'B' ＝ BC ／ B'C' ＝ AC ／ A'C' ＝ k3、对应高的比等于相似比相似三角形对应高的比等于相似比。

从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高。

设三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AD 和 A'D'分别是它们的高，则：AD ／ A'D' ＝ k4、对应中线的比等于相似比中线是连接三角形顶点和它的对边中点的线段。

相似三角形对应中线的比等于相似比。

若三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AE 和 A'E'分别是它们的中线，则：AE ／ A'E' ＝ k5、对应角平分线的比等于相似比角平分线是将一个角平分为两个相等角的射线。

相似三角形对应角平分线的比等于相似比。

假如三角形 ABC 与三角形 A'B'C'相似，相似比为 k，AF 和 A'F'分别是它们的角平分线，则：AF ／ A'F' ＝ k6、周长的比等于相似比三角形的周长是三条边长度之和。