2017-2018年物理·必修2(粤教版)练习：第二章第二节向心力 Word版含解析

第二节向心力与向心加速度课后篇巩固提升合格考达标练1.下列关于向心力的说法正确的是( )A.物体由于做圆周运动而产生了一个向心力B.向心力只能改变做圆周运动的物体的速度的方向,不能够改变速度的大小C.做匀速圆周运动的物体其向心力指向圆心,所以是恒力D.做匀速圆周运动的物体其向心力可以改变线速度的大小,选项A错误;向心力方向始终与速度方向垂直,只改变速度的方向不改变速度的大小,选项B正确,D错误;向心力始终指向圆心,方向时刻改变,是变力,所以选项C错误.2.关于匀速圆周运动中向心加速度的物理意义,下列说法正确的是( )A.描述线速度变化的快慢B.描述线速度大小变化的快慢C.描述位移方向变化的快慢D.描述角速度变化的快慢,物体做匀速圆周运动,加速度指向圆心,此时的加速度叫作向心加速度,因此向心加速度描述线速度变化的快慢,选项A正确.3.(多选)关于地球上的物体随地球自转的向心加速度的大小,下列说法正确的是( )A.在赤道上向心加速度最大B.在两极处向心加速度最大C.在地球上各处,向心加速度一样大D.随着纬度的升高,向心加速度的大小逐渐减小,角速度相同,根据a=ω2r可得半径越大,向心加速度越大,随着纬度的升高,运动半径减小,向心加速度减小,选项A、D正确.4.(多选)一小球被细线系着做匀速圆周运动,其半径为R,向心加速度为a,则( )A.小球相对于圆心的位移不变B.小球的线速度大小为√RaC.小球在时间t内通过的路程s=√aRtD.小球做圆周运动的周期T=2π√Ra,各时刻相对圆心的位移大小不变,但方向时刻在变,选项A错误;由a=v 2R得v=√Ra,选项B正确;在时间t内通过的路程s=vt=t√Ra,选项C错误;做圆周运动的周期T=2πRv =√Ra=2π√Ra,选项D正确.5.(多选)如图所示为甲、乙两球在不同轨道上做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像,由图像可知( )A.甲球运动时,线速度大小保持不变B.甲球运动时,角速度大小保持不变C.乙球运动时,线速度大小保持不变D.乙球运动时,角速度大小保持不变a=v 2R知,v不变时,a与R成反比,图像为双曲线的一支,选项A正确,B错误;由a=ω2R知,ω不变时,a与R成正比,图像为过原点的倾斜直线,选项C错误,D正确.6.如图所示,在验证向心力公式的实验中,质量相同的钢球①、②分别放在转盘A、B上,它们到所在转盘转轴的距离之比为2∶1.a、b分别是与A 盘、B盘同轴的轮.a、b的轮半径之比为1∶2,用皮带连接a、b两轮转动时,则钢球①、②所受的向心力之比为( )A.8∶1B.4∶1C.2∶1D.1∶2,边缘上的点线速度大小相等,所以v a=v b,a轮、b轮半径之比为1∶2,所以由v=rω得ωaωb =r br a=21,共轴点的角速度相等,两个钢球的角速度分别与共轴轮的角速度相等,则ω1ω2=21.根据向心加速度a=rω2,则知a1a2=81.钢球的质量相等,由F=ma得,向心力之比为F1F2=81,选项A正确.7.用如图所示的装置可以做“探究向心力的大小与质量m、角速度ω和半径r之间的关系”的实验.(1)本实验采用的科学方法是.(2)通过实验可以得到的结论是.A.在质量和半径一定的情况下,向心力的大小与角速度成正比B.在质量和半径一定的情况下,向心力的大小与线速度的大小成正比C.在半径和角速度一定的情况下,向心力的大小与质量成正比D.在质量和角速度一定的情况下,向心力的大小与半径成反比控制变量法(2)C在研究向心力的大小F与质量m、角速度ω和半径r之间的关系时,需先控制某些量不变,研究另外两个物理量的关系,该方法为控制变量法.(2)结合题图,根据F n=mω2r=m v 2r可知,选项C正确.等级考提升练8.(多选)(广东广州天河区期末)如图所示,两个质量均为m的木块a和b(均可视为质点)放在水平圆盘上,a与转轴OO'的距离为l,b与转轴的距离为2l,木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k倍,最大静摩擦力大于滑动摩擦力,重力加速度的大小为g.若圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动,用ω表示圆盘转动的角速度,下列说法正确的是( )A.b一定比a先开始滑动B.a、b所受的摩擦力始终相等C.当ω=√kgl时,a受到摩擦力大小为kmgD.当ω=√kgl时,b受到摩擦力大小为2kmg,对a、b分别可得kmg=mlω12,kmg=m·2l·ω22,解得ω1=√kgl ,ω2=√kg2l,b的临界角速度较小,故b一定比a先开始滑动,选项A正确;由f=mrω2可知,未发生相对滑动时,由于转动半径不同,a、b所受的摩擦力不相等,选项B错误;当ω=√kgl时,由A的解析可知,a受到摩擦力大小为kmg,选项C正确;当ω=√kgl时,b 已发生相对滑动,受到的摩擦力大小不等于2kmg,选项D错误.9.质量分别为M 和m 的两个小球,分别用长为2l 和l 的轻绳系在同一转轴上,当转轴稳定转动时,系质量为M 和m 小球的悬线与竖直方向的夹角分别为α和β,如图所示,则( )A.cos α=cosβ2B.cos α=2cos βC.tan α=tanβ2 D.tan α=tan βM 的小球为研究对象受力分析,由牛顿第二定律得Mgtanα=M4π2T 12·2lsinα,解得T 1=2π√2lcosαg,同理,以质量为m 的小球为研究对象,T 2=2π√lcosβg,因T 1=T 2,所以2cosα=cosβ,故选项A 正确.10.如图所示,水平转盘上放有一个质量为m 的小物体(可视为质点).小物体离转轴的距离为r,转轴与小物体间用一根刚好伸直的细线相连,小物体和转盘间的最大静摩擦力等于重力的μ倍,细线所能承受的最大拉力为3μmg.(1)若细线的拉力为零,求转盘转动的最大角速度.(2)若小物体始终相对转盘静止,求转盘转动的最大角速度.√μgr (2)2√μgr当物体只由静摩擦力提供向心力时,最大的向心力为μmg,此时μmg=mω2r解得ω=√μgr.(2)当拉力达到最大时,转盘有最大角速度ωma=mg+3μmg=m ax=√4μgr =2√μgr.11.如图所示,水平光滑桌面上质量分别为m1、m2的A、B两球,用一劲度系数为k的轻弹簧相连,一长为L1的不可伸长的水平细线一端与A相连,另一端系在竖直轴OO'上.当A与B均以角速度ω绕OO'做匀速圆周运动时,弹簧长度为L2(在弹性限度内),求:(1)弹簧伸长量;(2)细线上的弹力大小;(3)将细线突然烧断的瞬间,A、B两球的加速度的大小.(1)m2ω2(L1+L2) k(2)(m1L1+m2L1+m2L2)ω2(3)m2ω2(L1+L2)m1ω2(L1+L2)由题意可知,B球受到的弹簧弹力提供B球做匀速圆周运动的向心力.设弹簧伸长ΔL,满足kΔL=m2ω2(L1+L2)解得弹簧伸长量为ΔL=m2ω2(L1+L2)k.(2)对A球分析,细线的弹力和弹簧弹力的合力提供A球做匀速圆周运动的向心力满足F-kΔL=m1ω2L1所以细线的弹力为F=m2ω2(L1+L2)+m1ω2L1=(m1L1+m2L1+m2L2)ω2.(3)细线烧断的瞬间,A、B两球都由弹簧的弹力提供加速度,A球kΔL=m1a1解得a1=m2ω2(L1+L2) m1B球kΔL=m2a2解得a2=ω2(L1+L2).。

向心力1如图所示，小物体A与圆盘保持相对静止，跟着圆盘一起做匀速圆周运动，下列关于A 的受力情况说法正确的是( )A．受重力、支持力B．受重力、支持力和指向圆心的摩擦力C．受重力、支持力、摩擦力和向心力D．受重力、支持力和与运动方向相同的摩擦力2如图所示，一小球用细绳悬挂于O点，将其拉离竖直位置一个角度后释放，则小球以O点为圆心做圆周运动，运动中小球所需的向心力是( )A．绳的拉力B．重力和绳的拉力的合力C．重力和绳的拉力的合力沿绳的方向的分力D．绳的拉力和重力沿绳的方向分力的合力3(2010福建福州高三期中)如下图，在验证向心力公式的实验中，质量相同的钢球①放在A盘的边缘，钢球②放在B盘的边缘，A、B两盘的半径之比为2∶1.a、b分别是与A 盘、B盘同轴的轮，a轮、b轮半径之比为1∶2.当a、b两轮在同一皮带带动下匀速转动时，皮带不打滑，且钢球①②相对盘静止，则钢球①②所需的向心力之比为( )A．2∶1 B．4∶1C．1∶4 D．8∶14甲、乙两名溜冰运动员，面对面拉着弹簧秤做圆周运动的溜冰表演，如图所示．m甲＝80 kg ，m 乙＝40 kg ，两人相距0.9 m ，弹簧秤的示数为9.2 N ，则下列判断正确的是( )A ．两人的线速度相同，约为40 m/sB ．两人的角速度相同，为6 rad/sC ．两人的运动半径相同，都是0.45 mD ．两人的运动半径不同，甲为0.3 m ，乙为0.6 m5如下图所示，半径为r 的圆形转筒，绕其竖直中心轴OO ′转动，小物体a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体不下落，圆筒转动的角速度至少为( )A.μg r B.μg C.g μ·r D.g r6如图所示，光滑水平桌面上O 处有一光滑的圆孔，一根轻绳一端系一质量为m 的小球，另一端穿过小孔拴一质量为M 的木块．当小球m 以某一角速度在桌面上做匀速圆周运动时，木块M 恰能静止不动，这时小球做圆周运动的半径为r ，则此时小球做匀速圆周运动的角速度为多大？7(2009广东高考物理卷，17(2))如图所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO ′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R 和H ，筒内壁A 点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m 的小物块，求：①当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点受到的摩擦力和支持力的大小；②当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．参考答案1解析：物体A 在水平圆盘上，受重力竖直向下，支持力竖直向上，且两力是一对平衡力．A 是否受摩擦力，可通过对A 的运动状态分析得出：由于A 随圆盘一起做匀速圆周运动，必须有向心力作用，重力与支持力的合力不能提供向心力，只有A 受到摩擦力作用，且此摩擦力方向指向圆心，大小就等于A 的向心力，故只有B 正确．答案：B2解析：对小球受力分析如图所示，小球受重力和绳子的拉力作用，向心力是指向圆心方向的合外力，它可以是小球所受合力沿绳子方向的分力，也可以是各力沿绳方向的分力的合力，正确选项为C 、D.答案：CD3解析：由a 、b 两轮边缘v 大小相同得r a ·ωa ＝r b ·ωb ，即ωb ωa ＝rb ra ＝21，①②所需向心力之比FA Fb ＝mrA·ω2a mrB·ω2b ＝81，所以D 正确． 答案：D4解析：两人角速度相同，设两人的运动半径分别为r 甲和r 乙，两人向心力相同，由牛顿第二定律和圆周运动得m 甲r 甲ω2＝m 乙r 乙ω2，所以r 甲r 乙＝m 乙m 甲＝12又r 甲＋r 乙＝0.9 m ，所以r 甲＝0.3 m ，r 乙＝0.6 m两人线速度之比v 甲v 乙＝r 甲r 乙＝12由F ＝m 甲r 甲ω2得ω＝F m 甲r 甲＝9.280×0.3rad/s ＝0.62 rad/s 所以v 甲＝ωr 甲＝0.19 m/s ，v 乙＝ωr 乙＝0.37 m/s.答案：D5解析：本题的关键点是弹力提供向心力，当圆筒转动的角速度为ω时，其内壁对物体a 的弹力为N ，要使物体a 不下落，应满足μN ≥mg ，又因为物体在水平面内做匀速圆周运动，则N ＝m ω2r.联立解得ω≥g μ·r ，则圆筒转动的角速度至少为ω＝g μ·r ，故只有C 正确． 答案：C6解析：木块M 恰能静止不动，则绳子拉力F ＝Mg.小球m 做匀速圆周运动时，绳子拉力提供向心力，F ＝m ω2r ，即Mg ＝m ω2r ，ω＝Mg mr . 答案：Mg mr 7解析：①当筒不转动时，物块静止在筒壁A 点时受到重力、摩擦力和支持力三个力作用而平衡，由平衡条件得：摩擦力的大小f ＝mgsin θ＝mgH H2＋R2 支持力的大小FN ＝mgcos θ＝mg R H2＋R2. ②当物块在A 点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，物块在筒壁A 点时受到重力和支持力作用，它们的合力提供向心力，设筒转动的角速度为ω，有mgtan θ＝m ω2R 2由几何关系得tan θ＝H R联立以上各式解得ω＝2gH R . 答案：①f ＝mg H H2＋R2 FN ＝mg R R2＋H2 ②ω＝2gH R。

1．(单选)关于质点做匀速圆周运动，下列说法中正确的是( )A ．线速度大，加速度一定大B ．角速度大，加速度一定大C ．周期大，加速度一定大D ．加速度大，速度一定变化快解析：选D.由a ＝v 2r ＝rω2＝4π2T 2r 可以知道，v 、ω大，a 不一定大，T 大，a 也不一定大，A 、B 、C 错误；a 大，速度一定变化快，D 对．2．(单选)(2014·济南外国语学校高一检测)在水平冰面上，狗拉着雪橇做匀速圆周运动，O 点为圆心．能正确的表示雪橇受到的牵引力F 及摩擦力f 的图是( )解析：选C.由于雪橇在冰面上滑动，故滑动摩擦力方向必与运动方向相反，即方向应为圆的切线方向，B 、D 错误．因做匀速圆周运动，合外力一定指向圆心，A 不对．由此可知C 正确．3.)如图所示，一倾斜的匀质圆盘绕垂直于盘面的固定对称轴以恒定的角速度ω转动，盘面上离转轴距离2.5 m 处有一小物体与圆盘始终保持相对静止．物体与盘面间的动摩擦因数为32(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，盘面与水平面的夹角为30°，g 取10 m/s 2.则ω的最大值是( )A. 5 rad/sB. 3 rad/sC ．1.0 rad/sD ．0.5 rad/s解析：选C.考查圆周运动的向心力表达式．当小物体转动到最低点时为临界点，由牛顿第二定律知，μmg cos 30°－mg sin 30°＝mω2r ，解得ω＝1.0 rad/s ，故选项C 正确．4．将来人类离开地球到宇宙中生活，可以设计成如图所示的宇宙村，它是一个圆柱形的密封建筑，人们生活在圆柱的边上，为了使人们在其中生活不至于有失重感，可以让它旋转．假设这个建筑物的直径为200 m ，那么，当它绕其中心轴转动的转速为多少(r/s)时，人类感觉到像生活在地球上一样承受10 m/s 2的加速度？如果转速超过了上述值，人将有怎样的感觉？解析：人所受到的向心加速度为10 m/s 2时，人才会感觉到像生活在地球上一样，由向心加速度公式有a ＝ω2r ，而ω＝2πn ，联立得：n ＝a 4π2r ＝104π2×100r/s ≈0.05 r/s. 当转速超过上述值时，向心加速度增大，人受到建筑物内壁的支持力增大，会有超重的感觉．答案：见解析5．一根长0.5 m 的绳，当受到0.5 N 的拉力时会被拉断．在绳的一端拴上质量为0.25 kg 的小球，使它在光滑的水平面上做匀速圆周运动，求拉断绳子时的角速度．解析：小球做匀速圆周运动，绳的拉力提供向心力，由牛顿第二定律得F ＝mω2l ，当绳子拉断时有ω＝Fml＝0.50.25×0.5rad/s＝2.0 rad/s.答案：2.0 rad/s。

第二节向心力学习目标知识脉络1.认识向心力，通过实例认识向心力的作用及向心力的来源．2．通过实验理解向心力的大小与哪些因素有关，能运用向心力的公式进行计算．(重点)3．知道向心加速度及其公式，能运用其关系分析解决有关的问题．(重点、难点)一、感受向心力1．定义做匀速圆周运动的物体受到的指向圆心的合力叫作向心力．2．作用不改变质点速度的大小，只改变速度的方向，使物体始终维持在圆周轨道上．3．特点方向总沿半径指向圆心，和质点运动的方向垂直，且方向时刻改变．4．实验与探究实验目的探究影响向心力大小的因素实验方法控制变量法探究过程m、ω不变改变半径r，则r越大，向心力F就越大m、r不变改变角速度ω，则ω越大，向心力F就越大ω、r不变改变质量m，则m越大，向心力F就越大结论物体做圆周运动需要的向心力与物体的质量、半径、角速度都有关做匀速圆周运动的物体，所受向心力的大小为F＝mω2r，而ω＝vr，则F＝mv2r.二、向心加速度 1．定义做匀速圆周运动的物体，其加速度a 的方向一定指向圆心，所以也叫向心加速度． 2．大小a ＝ω2r ，a ＝v 2r.3．方向与向心力F 的方向一致，沿半径指向圆心，与速度方向垂直，其方向时刻改变． 三、生活中的向心力 1．汽车在水平公路上转弯车轮与路面间的静摩擦力f 提供向心力，即f ＝m v 2R.2．汽车在外高内低的路面上转弯汽车向内侧倾斜，若汽车恰好以某一速度v 行驶时，重力mg 和地面支持力N 的合力充当向心力，即mg tan θ＝m v 2R(R 为弯道半径，θ为倾斜的角度)，则v ＝gR tan θ.1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)向心力可以是合力，也可以是某个力的分力． ( )(2)向心力既改变物体做圆周运动的速度大小，也改变速度的方向． ( )(3)角速度越大，半径越大，向心力就越大． ( ) (4)做圆周运动的物体，线速度越大，向心加速度就越大．( )(5)向心加速度的方向指向圆心，与线速度垂直． ( ) (6)匀速圆周运动的向心加速度大小不变，方向时刻变化．( )【提示】 (1)√(2)× 向心力只能改变速度方向． (3)× 向心力还与物体质量有关． (4)× 向心加速大小还与半径有关． (5)√ (6)√2．(多选)对于做匀速圆周运动的物体，下列判断正确的是( ) A ．合力的大小不变，方向一定指向圆心 B ．合力的大小不变，方向也不变C ．合力产生的效果既改变速度的方向，又改变速度的大小D ．合力产生的效果只改变速度的方向，不改变速度的大小AD [匀速圆周运动的合力等于向心力，由于线速度v 的大小不变，故F 合只能时刻与v 的方向垂直，即指向圆心，故A 对，B 错；合力F 合的方向时刻与速度的方向垂直而沿切线方向无分力，故该力只改变速度的方向，不改变速度的大小，C 错，D 对．]3．下列关于向心加速度的说法中正确的是( ) A ．向心加速度的方向始终指向圆心 B ．向心加速度的方向保持不变C ．在匀速圆周运动中，向心加速度是恒定的D ．在匀速圆周运动中，向心加速度的大小不断变化A [向心加速度的方向时刻指向圆心，A 正确；向心加速度的大小不变，方向时刻指向圆心，不断变化，故B 、C 、D 错误．]4．俗话说，养兵千日，用兵一时．近年来我国军队进行了多种形式的军事演习．如图所示，在某次军事演习中，一辆战车以恒定的速度在起伏不平的路面上行进，则战车对路面的压力最大和最小的位置分别是( )A ．A 点，B 点 B ．B 点，C 点 C ．B 点，A 点D ．D 点，C 点C [战车在B 点时由F N －mg ＝m v 2R 知F N ＝mg ＋m v 2R ，则F N >mg ，故对路面的压力最大，在C和A 点时由mg －F N ＝m v 2R 知F N ＝mg －m v 2R，则F N <mg 且R C >R A ，故F N C >F N A ，故在A 点对路面压力最小，故选C.]对向心力的理解1．向心力大小的计算F n ＝m v 2r ＝mrω2＝mωv ＝m 4π2T2r ，在匀速圆周运动中，向心力大小不变；在非匀速圆周运动中，其大小随速率v 的变化而变化．2．向心力来源的分析物体做圆周运动时，向心力由物体所受力中沿半径方向的力提供．可以由一个力充当向心力；也可以由几个力的合力充当向心力；还可以是某个力的分力充当向心力．实例向心力示意图用细线拴住的小球在竖直面内转动至最高点时绳子的拉力和重力的合力提供向心力，F向＝F＋G用细线拴住小球在光滑水平面内做匀速圆周运动线的拉力提供向心力，F向＝F T物体随转盘做匀速圆周运动，且相对转盘静止转盘对物体的静摩擦力提供向心力，F向＝F f小球在细线作用下，在水平面内做圆周运动重力和细线的拉力的合力提供向心力，F向＝F合【例1】(多选)用细绳拴着小球做圆锥摆运动，如图所示，下列说法正确的是( )A．小球受到重力、绳子的拉力和向心力的作用B．小球做圆周运动的向心力是重力和绳子的拉力的合力C．向心力的大小可以表示为F＝mrω2，也可以表示为F＝mg tan θD．以上说法都正确思路点拨：①向心力不是实际的力．②小球做匀速圆周运动，合力等于向心力．BC[小球受两个力的作用：重力和绳子的拉力，两个力的合力提供向心力，因此有F＝mg tan θ＝mrω2.所以正确答案为B、C.]向心力与合外力判断方法1．向心力是按力的作用效果来命名的，它不是某种确定性质的力，可以由某个力来提供，也可以由某个力的分力或几个力的合力来提供．2．对于匀速圆周运动，合外力提供物体做圆周运动的向心力；对于非匀速圆周运动，其合外力不指向圆心，它既要改变线速度大小，又要改变线速度方向，向心力是合外力的一个分力．3．无论是匀速圆周运动还是非匀速圆周运动，物体所受各力沿半径方向分量的矢量和为向心力．1．(多选)关于向心力的下列说法中正确的是( ) A ．向心力不改变做圆周运动物体速度的大小 B ．做匀速圆周运动的物体，其向心力是不变的 C ．做圆周运动的物体，所受合力一定等于向心力D ．做匀速圆周运动的物体，一定是所受的合外力充当向心力AD [向心力不改变做圆周运动物体速度的大小，只改变速度的方向，A 正确；做匀速圆周运动的物体，其向心力的方向时刻在变，B 错误；做圆周运动的物体，所受合力不一定等于向心力，因为物体不一定做匀速圆周运动，C 错误；物体做匀速圆周运动时，合外力等于向心力，D 正确．]对向心加速度的理解1．向心加速度的物理意义向心加速度是描述速度方向改变快慢的物理量．向心加速度由于速度的方向改变而产生，线速度的方向变化的快慢决定了向心加速度的大小．2．向心加速度的几种表达式3．向心加速度与半径的关系(1)若ω为常数，根据a n ＝ω2r 可知，向心加速度与r 成正比，如图甲所示．(2)若v 为常数，根据a n ＝v 2r可知，向心加速度与r 成反比，如图乙所示．甲 乙(3)若无特定条件，则不能说向心加速度与r 是成正比还是成反比． 4．变速圆周运动的向心加速度做变速圆周运动的物体，加速度一般情况下不指向圆心，该加速度有两个分量：一是向心加速度，二是切向加速度．向心加速度表示速度方向变化的快慢，切向加速度表示速度大小变化的快慢．所以变速圆周运动中，向心加速度的方向也总是指向圆心．【例2】 如图所示，一个大轮通过皮带拉着小轮转动，皮带和两轮之间无滑动，大轮的半径是小轮的2倍，大轮上的一点S 到转动轴的距离是大轮半径的13.当大轮边缘上P 点的向心加速度是12 m/s 2时，大轮上的S 点和小轮边缘上的Q 点的向心加速度分别是多少？思路点拨：①S 、P 两点角速度相等，由a n ＝ω2·r 分析．②P 、Q 两点线速度大小相等，由a n ＝v 2r分析．[解析] 同一轮子上的S 点和P 点角速度相同：ωS ＝ωP ，由向心加速度公式a ＝ω2r 可得：a S a P ＝r S r P ，则a S ＝a P ·r S r P ＝12×13m/s 2＝4 m/s 2.又因为皮带不打滑，所以传动皮带的两轮边缘各点线速度大小相等：v P ＝v Q .由向心加速度公式a ＝v 2r 可得：a P a Q ＝r Q r P .则a Q ＝a P ·r P r Q ＝12×21m/s 2＝24 m/s 2.[答案] 4 m/s 224 m/s 2向心加速度公式的应用技巧向心加速度的每一个公式都涉及三个物理量的变化关系，必须在某一物理量不变时分析另外两个物理量之间的关系．在比较转动物体上做圆周运动的各点的向心加速度的大小时，应按以下步骤进行：(1)先确定各点是线速度大小相等，还是角速度相同．(2)在线速度大小相等时，向心加速度与半径成反比，在角速度相等时，向心加速度与半径成正比．(3)向心加速度公式a ＝v 2r和a ＝ω2r 不仅适用于匀速圆周运动，也适用于变速圆周运动．2.如图所示，质量为m 的木块从半径为R 的半球形碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使木块的速率不变，那么( )A ．加速度为零B ．加速度恒定C ．加速度大小不变，方向时刻改变，但不一定指向圆心D ．加速度大小不变，方向时刻指向圆心D [由题意知，木块做匀速圆周运动，木块的加速度大小不变，方向时刻指向圆心，D 正确，A 、B 、C 错误．]生活中的向心力1．汽车过桥问题的分析(1)汽车过凸形桥：汽车在桥上运动，经过最高点时，汽车的重力与桥对汽车支持力的合力提供向心力．如图甲所示．由牛顿第二定律得G －F N ＝m v 2r ，则F N ＝G －m v 2r.汽车对桥的压力与桥对汽车的支持力是一对相互作用力，即F N ′＝F N ＝G －m v 2r，因此，汽车对桥的压力小于重力，而且车速越大，压力越小．①当0≤v <gr 时，0<F N ≤G .②当v ≥gr 时，F N ＝0.汽车做平抛运动飞离桥面，发生危险．(2)汽车过凹形桥：如图乙所示，汽车经过凹形桥面最低点时，受竖直向下的重力和竖直向上的支持力，两个力的合力提供向心力，则F N －G ＝m v 2r ，故F N ＝G ＋m v 2r .由牛顿第三定律得：汽车对凹形桥面的压力F N ′＝G ＋m v 2r，大于汽车的重力．2．过山车问题分析：如图所示，设过山车与坐在上面的人的质量为m ，轨道半径为r ，过山车经过顶部时的速度为v ，以人和车作为一个整体，在顶部时所受向心力是由重力和轨道对车的弹力的合力提供的．由牛顿第二定律得mg ＋N ＝m v 2r.人和车要不从顶部掉下来，必须满足的条件是N ≥0.当N ＝0时，过山车通过圆形轨道顶部的速度为临界速度，此时重力恰好提供过山车做圆周运动的向心力，即mg ＝m v 2r，临界速度为v 临界＝gr ，过山车能通过最高点的条件是v ≥gr .3．轻绳模型：如图所示，轻绳系的小球或在轨道内侧运动的小球，在最高点时的临界状态为只受重力，由mg ＝m v 2r，得v ＝gr .在最高点时：(1)v ＝gr 时，拉力或压力为零．(2)v ＞gr 时，物体受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大． (3)v ＜gr 时，物体不能达到最高点．(实际上球未到最高点就脱离了轨道) 即绳类模型中小球在最高点的临界速度为v 临＝gr .4．轻杆模型：如图所示，在细轻杆上固定的小球或在管形轨道内运动的小球，由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是在最高点的速度大于或等于零，小球的受力情况为：(1)v＝0时，小球受向上的支持力N＝mg.(2)0＜v＜gr时，小球受向上的支持力且随速度的增大而减小．(3)v＝gr时，小球只受重力．(4)v＞gr时，小球受向下的拉力或压力，并且随速度的增大而增大．即杆类模型中小球在最高点的临界速度为v临＝0.【例3】长度为0.5 m的轻杆OA绕O点在竖直平面内做圆周运动，A端连着一个质量m＝2 kg的小球．求在下述两种情况下，通过最高点时小球对杆的作用力的大小和方向．(g 取10 m/s2)(1)杆做匀速圆周运动的转速为2.0 r/s；(2)杆做匀速圆周运动的转速为0.5 r/s.思路点拨：①杆对小球作用力与重力的合力提供向心力．②由计算出的杆对小球作用力的正负来判断作用力的方向．[解析]小球在最高点的受力如图所示：(1)杆的转速为2.0 r/s时，ω＝2π·n＝4π rad/s由牛顿第二定律得F＋mg＝mLω2故小球所受杆的作用力F＝mLω2－mg＝2×(0.5×42×π2－10)N≈138 N即杆对小球提供了138 N的拉力．由牛顿第三定律知小球对杆的拉力大小为138 N，方向竖直向上．(2)杆的转速为0.5 r/s时，ω′＝2π·n＝π rad/s同理可得小球所受杆的作用力F＝mLω′2－mg＝2×(0.5×π2－10)N≈－10 N.力F为负值表示它的方向与受力分析中所假设的方向相反，故小球对杆的压力大小为10 N，方向竖直向下．[答案](1)小球对杆的拉力为138 N，方向竖直向上．(2)小球对杆的压力为10 N，方向竖直向下．竖直平面内圆周运动的分析方法物体在竖直平面内做圆周运动时：1．明确运动的模型，是轻绳模型还是轻杆模型．2．明确物体的临界状态，即在最高点时物体具有最小速度时的受力特点．3．分析物体在最高点及最低点的受力情况，根据牛顿第二定律列式求解．3.如图所示为模拟过山车的实验装置，小球从左侧的最高点释放后能够通过竖直圆轨道而到达右侧．若竖直圆轨道的半径为R，要使小球能顺利通过竖直圆轨道，则小球通过竖直圆轨道的最高点时的角速度最小为( )A.gR B．2gRC.gRD.RgC[小球能通过竖直圆轨道的最高点的临界状态为重力提供向心力，即mg＝mω2R，解得ω＝gR，选项C正确．]1．如图所示，一圆盘可绕过圆盘的中心O且垂直于盘面的竖直轴转动，在圆盘上放一小木块A，它随圆盘一起做匀速圆周运动，则关于木块A的受力，下列说法中正确的是( )A．木块A受重力、支持力和向心力B．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相反C．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向指向圆心D．木块A受重力、支持力和静摩擦力，静摩擦力的方向与木块运动方向相同C[由于圆盘上的木块A在竖直方向上没有加速度，所以，它在竖直方向上受重力和支持力的作用而平衡．而木块在水平面内做匀速圆周运动，其所需向心力由静摩擦力提供，且静摩擦力的方向指向圆心O，故选C.]2．如图所示，两轮压紧，通过摩擦传动(不打滑)，已知大轮半径是小轮半径的2倍，E 为大轮半径的中点，C、D分别是大轮和小轮边缘上的一点，则E、C、D三点向心加速度大小- 11 - 关系正确的是()A ．a C ＝a D ＝2a EB ．aC ＝2aD ＝2aE C ．a C ＝a D 2＝2a E D ．a C ＝a D 2＝a E C [同轴传动，C 、E 两点的角速度相等，由a ＝ω2r ，有a Ca E＝2，即a C ＝2a E ；两轮边缘点的线速度大小相等，由a ＝v 2r ，有a C a D ＝12，即a C ＝12a D ，故选C.] 3．为获得汽车行驶各项参数，汽车测试场内有各种不同形式的轨道．如图所示，在某外高内低的弯道测试路段，汽车向左拐弯，汽车的运动可看作是做半径为R 的圆周运动．设内外路面高度差为h ，路基的水平宽度为d ，路面的宽度为L .已知重力加速度为g .要使车轮与路面之间垂直前进方向的横向摩擦力等于零，则汽车转弯时的车速应等于( )A.gRh L B.gRh d C.gRL h D.gRd hB [把路基看作斜面，设其倾角为θ，汽车在斜面上受到自身重力mg 和斜面支持力N ，二者的合力提供向心力，即指向水平方向．根据几何关系可得合力为mg tan θ，即向心力，所以mg tan θ＝mv 2R ，v ＝gR tan θ，根据路基的高度差和水平宽度得tan θ＝h d，所以v ＝gRh d.选项B 对．]。

第二节 向心力课前自主预习 （1）做匀速圆周运动的物体，会受到指向 的合外力作用 ，这个合力叫做向心力。

（2）向心力总是指向 ，始终与线速度垂直，只改变速度的方向而不改变 。

（3）向心力是根据力的 命名，可以是各种性质的力，也可以是它们的 ，还可以是某个力的分力。

（4）如果物体做匀速圆周运动，向心力就是物体受到的 ；如果物体做非匀速圆周运动（线速度大小时刻改变），向心力并非是物体受到的合外力。

（5）向心力的公式 或 。

2．向心加速度：（1）定义: 做匀速圆周运动的物体,在向心力作用下必然产生一个 ,这个加速度的方向与向心力的方向相同,我们称之为向心加速度。

（2）向心加速度的大小：a = 或= 。

（3）方向：指向 ，匀速圆周运动是向心加速方向不断改变的 。

3．（单选）关于向心力的说法中正确的是（ ） A ．物体由于做圆周运动而产生向心力B ．向心力不改变圆周运动物体的速度的大小C ．做匀速圆周运动的物体其向心力是不变的D ．做圆周运动的物体所受到的合外力一定是向心力 4．（单选）关于向心加速度的意义，下列说法正确的是( ) A ．它描述的是线速度大小变化的快慢 B ．它描述的是线速度方向变化的快慢 C ．它描述的是向心力变化的快慢 D ．它描述的是角速度变化的快慢 课前自主预习答案：1.（1）圆心.（2）圆心，大小.（3）效果，合力.（4）合外力.（5）rv m F 2=，r m F 2ω=.2.（1）加速度.（2）rv 2，r 2ω.（3）圆心，变加速曲线运动.3．B ．4．B 课堂互动探究知识点1：向心力的理解 新知探究(1)小球做圆周运动时，你牵绳的手感觉到 。

(2)如果突然松手，将会发生的现象是 。

(3)在小球质量m 和旋转半径r 不变的条件下，角速度ω越大，手的拉力 ； (4在小球质量m 和角速度ω不变的条件下，旋转半径r 越大，手的拉力 ； (5)在旋转半径r 和角速度ω不变的条件下，小球质量m 越大，手的拉力 ；图2－2－1答案：(1)受到绳的拉力；(2)球沿切线飞出去；(3)越大；(4)越大；(5)越大。

课时训练1．飞机在空中做匀速圆周运动表演时，下列说法中正确的是()．A．飞机必须受到恒力的作用B．飞机所受合力必须等于零C．飞机所受合力的大小可能变化D．飞机所受合力的大小不变，方向时刻改变2．如图所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，a是它边缘上的一点，左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，b点在小轮上，到小轮中心距离为r，c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑，则()．A．a点与b点的线速度大小相等B．a点与c点的角速度大小相等C．a点与d点的向心加速度大小相等D．a、b、c、d四点，加速度最小的是b点3．细线一端系一小球，另一端固定于悬点，让小球在水平面内做匀速圆周运动，如图所示，细线的运动轨迹是圆锥面，所以这个运动装置叫圆锥摆．关于摆球A的受力情况，下列说法中正确的是()．A．摆球A受重力、拉力和向心力的作用B．摆球A受拉力和向心力的作用C．摆球A受拉力和重力的作用D．摆球A受重力和向心力的作用4．汽车甲和汽车乙质量相等，以相等的速率沿同一水平弯道做匀速圆周运动，甲车在乙车的外侧．两车沿半径方向受到的摩擦力分别为f甲和f乙，以下说法正确的是()．A．f甲小于f乙B．f甲等于f乙C．f甲大于f乙D．f甲和f乙大小均与汽车速率无关5．(2011·绍兴中学高一下学期期末)建造在公路上的桥梁大多是凸形桥，较少是水平桥，更没有凹形桥，其主要原因是()．A．为的是节省建筑材料，以减少建桥成本B．汽车以同样速度通过凹形桥时对桥面的压力要比水平或凸形桥压力大，故凹形桥易损坏C．可能是建造凹形桥技术上特别困难D．无法确定6．质量为m的小球，在竖直平面内的圆形轨道内侧运动，如图所示，经过最高点而不脱离轨道的速度临界值是v，当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力值是()．A．0B．mgC．3mgD．5mg7．轻杆的一端固定在光滑水平轴O上，另一端固定一质量为m的小球，如图所示．给小球一初速度，使其在竖直平面内刚好做圆周运动，P点为小球运动的最高点，下列说法正确的是()．A．小球在最高点时对杆的作用力为零B．小球在最高点时对杆的作用力为mgC．若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的作用力一定增大D．若增大小球的初速度，则在最高点时球对杆的作用力可能增大8．(创新题)2009年10月18日，第41届体操世锦赛进入最后一个比赛日的争夺，在结束的男子单杠决赛中，该项目冠军、中国选手邹凯以绝对优势夺冠．邹凯在单杠比赛中运用了“单臂大回环”，用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动．假设邹凯的质量为65 kg，转动时重心距轴1.0 m，那么，在完成“单臂大回环”的过程中，邹凯的单臂承受的最大拉力为________．(g取10 m/s2，转动过程中的最大角速度是6 rad/s) 9．绳系着装有水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m＝0.5 kg，绳长l＝60 cm，如图所示，求：(1)最高点水不流出的最小速率．(2)水在最高点速率v ＝3 m/s 时，水对桶底的压力．答案与解析1. 答案：D解析：飞机做匀速圆周运动，所受合外力不为零且合外力提供向心力，此合外力大小不变，方向时刻改变，故D 正确．2. 答案：CD解析：由题图可知，a 点和c 点是与皮带接触的两个点，所以在传动过程中二者的线速度相等，即v a ＝v c ，又v ＝ωR ，所以ωa r ＝ωc ·2r ，即(ωa ＝2ωc )．而b 、c 、d 三点在同一轮轴上，它们的角速度相等，则12b c d a ωωωω===，所以选项B 错；又1122b b a a v r r v ωω=⋅==，所以选项A 也错；向心加速度：2a a a r ω=；221144b b a a a r r a ωω===；2221112()2222c c a a a a r r r a ωωω=⋅=⋅==；22214()44d d a a a a r r r a ωωω=⋅=⋅==，所以选项C 、D 均正确．3. 答案：C解析：物体受重力G 和线的拉力F 1作用，而向心力就是G 和F 1的合力，如图(1)所示．也可以认为向心力就是F 1沿水平方向的分力F 1x ，而F 1沿竖直方向分力F 1y ，与重力G 平衡，如图(2)所示．图(1)图(2)4. 答案：A解析：由于摩擦力提供汽车做匀速圆周运动的向心力，由2mv f r=，得在速率一定的情况下，半径越大，向心力越小，即f 甲<f 乙，同一半径下速率大向心力大．5. 答案：B解析：汽车在凸形桥的最高点时，对桥面的压力小于汽车的重力，比在水平桥或凹形桥上对桥面的压力小，故不易损坏，应选B.6. 答案：C解析：小球过最高点而恰好不脱离轨道时，小球只受重力作用，即2v mg m R=；当小球以2v 的速度过最高点时，有2(2)v mg N m R+=，联立解得N ＝3mg ，由牛顿第三定律得，小球对轨道的压力为3mg .7. 答案：BD解析：对杆而言，刚好使小球过最高点，即在最高点v P ＝0，N ＝mg ，注意区别杆与绳． 8. 答案：2 990 N解析：邹凯在最低点时承受的拉力最大，由T －mg ＝mω2r ，得T ＝mg ＋mω2r ＝65×10 N ＋65×62×1 N ＝2 990 N.9. 答案：(1)2.42 m/s (2)2.6 N ，方向竖直向上解析：(1)在最高点水不流出的条件是重力不大于水做圆周运动所需要的向心力，即20v mg m R≤，则所求最小速率0 2.42m/s v ==.(2)当水在最高点的速率大于v 0时，只靠重力提供向心力已不够，此时水桶底对水有一向下的压力，设为N ，由牛顿第二定律有2v N mg m R +=，22.6N v N m mg R=-=．由牛顿第三定律知，水对水桶的作用力N ′＝N ＝2.6 N ，方向竖直向上．。

向心力根底达标一、选择题(在每一小题给出的四个选项中，第1～4题只有一项符合题目要求；第5～6题有多项符合题目要求)1．关于向心力的说法正确的答案是( )A．向心力只改变做圆周运动物体速度的大小B．做匀速圆周运动的物体受到的向心力即为物体受到的合力C．做匀速圆周运动的物体的向心力是不变的D．物体由于做圆周运动而产生了一个向心力【答案】B【解析】向心力中改变做圆周运动物体的速度方向，不改变速度的大小，A错误；做匀速圆周运动的物体受到的向心力即为物体受到的合力，B正确；向心力始终指向圆心，方向时刻在改变，是变力，C错误；物体是因为受到了向心力才做圆周运动，D错误．2．(2017衡阳名校月考)把一个小球放在光滑的玻璃漏斗中，晃动漏斗，可使小球沿漏斗壁在某一水平面内做匀速圆周运动．如下列图，关于小球的受力情况，如下说法正确的答案是( )A．重力、漏斗壁的支持力B．重力、漏斗壁的支持力与向心力C．重力、漏斗壁的支持力、摩擦力与向心力D．小球受到的合力为零【答案】A【解析】小球受重力和支持力两个力的作用，靠两个力的合力提供向心力，向心力找不到施力物体，是做圆周运动所需要的力，靠其他力提供．故A正确，B、C、D错误．应当选A．3．(2018某某宾阳名校月考)A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动，在一样时间内，它们通过的路程之比是3∶4，运动方向改变的角度之比是2∶3，它们的向心加速度之比是( )A ．8∶9B ．1∶2C ．2∶1D ．4∶9【答案】B 【解析】因为一样时间内它们通过的路程之比是3∶4，如此线速度之比为3∶4；运动方向改变的角度之比为2∶3，如此角速度之比为2∶3，根据a ＝vω得，向心加速度之比为a A a B ＝v A ωA v B ωB ＝34×23＝12.A 、C 、D 错误，B 正确．4．(2016辽宁校级期末)如下列图，拖拉机后轮的半径是前轮半径的两倍，A 和B 是前轮和后轮边缘上的点，假设车行进时车轮没有打滑，如此( )A ．A 点和B 点的线速度大小之比为1∶2 B ．前轮和后轮的角速度之比为2∶1C ．两轮转动的周期相等D ．A 点和B 点的向心加速度大小之比为1∶2 【答案】B【解析】前后轮以一样的线速度运动，故A 点和B 点的线速度大小之比为1∶1，选项A 错误；前轮和后轮的角速度之比为ω1ω2＝r 2r 1＝21，选项B 正确；因为前后轮的角速度不相等，故周期不等，选项C 错误；根据a ＝ωv 可知，A 点和B 点的向心加速度大小之比为2∶1，选项D 错误．应当选B ．5．(2016安徽安庆六校期中)某同学为体会与向心力相关的因素，做了如下列图的小实验：手通过细绳使小球在水平面内做匀速圆周运动．如下说法正确的答案是( ) A ．假设保持周期不变，减小绳长，如此绳的拉力将增大 B ．假设保持周期不变，增大绳长，如此绳的拉力将增大 C ．假设保持绳长不变，增大小球的角速度，如此绳的拉力将增大 D ．假设保持绳长不变，增大小球的周期，如此绳的拉力将增大 【答案】BC【解析】根据向心力公式得F ＝m4π2T 2r ，可知保持周期不变，减小绳长，r 减小，如此绳的拉力F 将减小，假设保持周期不变，增大绳长，如此绳的拉力F 将增大，故A 错误，B正确．根据向心力公式得F ＝mω2r ，可知假设保持绳长不变，增大小球的角速度，如此绳的拉力将增大，故C 正确．由F ＝m 4π2T 2r 可知，假设保持绳长不变，增大小球的周期，如此绳的拉力将减小，故D 错误．6．(2016重庆南开中学模拟)如下列图，有一固定的且内壁光滑的半球面，球心为O ，最低点为C ，有两个可视为质点且质量一样的小球A 和B ，在球面内壁两个高度不同的水平面内做匀速圆周运动，A 球的轨迹平面高于B 球的轨迹平面，A 、B 两球与O 点的连线与竖直线OC 间的夹角分别为α＝53°和β＝37°，如此(sin 37°＝0.6)( )A ．A 、B 两球所受支持力的大小之比为4∶3 B ．A 、B 两球运动的周期之比为2∶ 3C ．A 、B 两球的角速度之比为2∶ 3D ．A 、B 两球的线速度之比为8∶3 3 【答案】ACD【解析】由于小球在运动的过程中受到的合力沿水平方向，且恰好提供向心力，所以根据平行四边形定如此得，N ＝mgcos θ，如此N A N B ＝cos 37°cos 53°＝43，故A 正确．小球受到的合外力有mg tan θ＝m v 2r ＝m 4π2T2r ，r ＝R sin θ，解得T ＝4π2R cos θg，如此T AT B ＝cos 53°cos 37°＝32，故B 错误．根据公式mg tan θ＝mω2r 得ω＝g tan θR ·sin θ＝gR cos θ得ωAωB＝cos 37°cos 53°＝43，故C 正确．根据mg tan θ＝m v 2r 得v ＝gR sin θtan θ，如此v A v B＝sin 53°·tan 53°sin 37°·tan 37°＝6427，故D 正确． 二、非选择题7．有一种叫“飞椅〞的游乐项目，示意图如下列图，长为L 的钢绳一端系着座椅，另一端固定在半径为r 的水平转盘边缘，转盘可绕穿过其中心的竖直轴转动．当转盘以角速度ω匀速转动时，钢绳与转轴在同一竖直平面内，与竖直方向的夹角为θ，不计钢绳的重力，求转盘的角速度ω与夹角θ的关系．【答案】ω＝g tan θr ＋L sin θ【解析】设转盘转动角速度为ω时，夹角为θ 座椅到中心轴的距离为R ＝r ＋L sin θ 对座椅分析有F 合＝mg tan θ＝mRω2联立两式解得ω＝g tan θr ＋L sin θ.8．如下列图，行车的钢丝长L ＝3 m ，下面吊着质量为m ＝2.8×103kg 的货物，以速度v ＝2 m/s 匀速行驶行车突然刹车，钢丝绳受到的拉力是多少？【答案】3.17×104N【解析】行车刹车瞬间，物体受重力和钢丝绳拉力作用，二力的合力提供向心力，如此有F －mg ＝m v 2L ，故F ＝mg ＋m v 2L≈3.17×104 N.能力提升9．如下列图，半径为r 的圆柱形转筒，绕其竖直中心轴OO ′转动，小物体a 靠在圆筒的内壁上，它与圆筒间的动摩擦因数为μ，要使小物体不下落，圆筒转动的角速度至少为( )A ．μg rB ．μgC ．g μrD ．g r【答案】C【解析】当圆筒的角速度为ω时，其内壁对物体a 的弹力为F N ，要使物体a 不下落，应满足μF N ≥mg ，又因为物体在水平面内做匀速圆周运动，如此F N ＝mrω2，联立两式解得ω≥gμr ，如此圆筒转动的角速度至少为ω0＝g μr. 10．(2016河南师大附中月考)如下列图，一根细线下端拴一个金属小球P ，细线的上端固定在金属块Q 上，Q 放在带小孔(小孔光滑)的水平桌面上，小球在某一水平面内做匀速圆周运动(圆锥摆)，现使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动(图中P ′位置)，两次金属块Q 都静止在桌面上的同一点，如此后一种情况与原来相比拟，下面的判断中正确的答案是( )A ．细线所受的拉力变小B ．小球P 运动的角速度变小C ．Q 受到桌面的静摩擦力变大D ．Q 受到桌面的支持力变大 【答案】C【解析】设细线与竖直方向的夹角为θ，细线的拉力大小为T ，细线的长度为L ，P 球做匀速圆周运动时，由重力和细线的拉力的合力提供向心力，如下列图，如此有T ＝mgcos θ，mg tan θ＝mω2L sin θ，得角速度ω＝g L cos θ，周期T ＝2πω，使小球改到一个更高一些的水平面上做匀速圆周运动时，θ增大，cos θ减小，如此得到细线拉力T 增大，角速度增大，周期T 减小；对Q 球，由平衡条件得知，Q 受到桌面的静摩擦力变大，故A 、B 错误，C 正确；金属块Q 保持在桌面上静止，根据平衡条件得知，Q 受到桌面的支持力等于其重力，保持不变，故D 错误．11．(多项选择)( 2016黑龙江双鸭山一中月考)如下列图，小木块a 、b 和c (可视为质点)放在水平圆盘上，木块a 、b 质量均为m, c 的质量为m2.a 与转轴OO ′的距离为l ，b 、c与转轴OO ′的距离为2l 且均处于水平圆盘的边缘．木块与圆盘的最大静摩擦力为木块所受重力的k 倍，重力加速度大小为g ，假设圆盘从静止开始绕转轴缓慢地加速转动，如下说法正确的答案是( )A ．b 、c 所受的摩擦力始终相等，故同时从水平圆盘上滑落B ．当a 、b 和c 均未滑落时，a 、c 所受摩擦力的大小相等C ．b 和c 均未滑落时线速度一定相等D ．b 开始滑动时的转速是2kgl 【答案】BC【解析】所受的最大静摩擦力不相等，故不同时从水平圆盘上滑落，A 错误；当a 、b 和c 均未滑落时，木块所受的静摩擦力f ＝mω2r ，ω相等，f ∝mr ，所以a 、c 所受的静摩擦力相等，都小于b 的静摩擦力，故B 正确；b 和c 均未滑落时线速度v ＝rω大小一定相等，故C 正确；以b 为研究对象，由牛顿第二定律得f ＝2mω2l ＝kmg ，可解得ω＝kmg2ml＝kg 2l ，转速n ＝ω2π＝12πkg2l，故D 错误． 12．(2016湖南浏阳一中月考)如下列图，竖直刚性杆OO ′固定在水平地面上，轻质细绳一端悬于O 点，另一端连接一质量为m 的小球(可视为质点)，小球绕竖直轴OO ′在某一水平面上做匀速圆周运动，轨迹半径为R ＝0.1 m ，细绳与竖直轴OO ′的夹角为θ＝45°；当小球经过A 点时，细绳在A 点被烧断，A 距地面的高度为h ＝1.2 m(A ′是A 点在水平面上的投影)，小球落地点为B ，取g ＝10 m/s 2.求：(1)小球运动到A 点时的速度大小；(2)B 点距竖直轴OO ′的水平距离(即O ′B 的长度)．【答案】 (1)1 m/s (2)0.5 m【解析】(1)小球所受合力F 合＝mg tan θ合力提供向心力，如此有mg tan θ＝m v 2R解得 v ＝1 m/s.(2)绳子断后，小球做平抛运动，时间t＝2hg＝65s水平位移x＝vt＝65m根据几何关系有O′B＝x2＋R2＝0.5 m.。

第二节向心力图2－2－18所示，有一个水平大圆盘绕过圆心的竖直轴匀速转动，小强站在距点不动，关于小强的受力下列说法正确的是点不动，因此不受摩擦力作用图2－2－20的木块从半径为R的半球形的碗口下滑到碗的最低点的过程中，如果由于摩擦力的作用使得木块的速率不变，则C ．m ⎝ ⎛⎭⎪⎫v2R 2－g2 D ．mg 【答案】A【解析】空气对飞机的作用力有两个作用效果，其一：竖直方向的作用力使飞机克服重力作用而升空；其二：水平方向的作用力提供给飞机一个向心力，使飞机可在水平面内做匀速圆周运动．首先对飞机在水平面内的受力情况进行分析，其受力情况如图所示．飞机受到重力mg 、空气对飞机的作用力F ，两力的合力为F 向，方向沿水平方向指向圆心．由题意可知，重力mg 与F 向垂直，故F ＝＋F2向，又F 向＝m v2R ，代入上式，则F ＝m g2＋v4R2，故答案选A.二、双项选择题5．做匀速圆周运动的物体所受的向心力是( )A ．因向心力总是沿半径指向圆心，且大小不变，故向心力是一个恒力B ．因向心力指向圆心，且与线速度方向垂直，所以它不能改变线速度的大小C ．物体所受的合外力D ．向心力和向心加速度的方向都是不变的【答案】BC【解析】做匀速圆周运动的物体所受的向心力是物体所受的合外力，由于指向圆心，且与线速度垂直，不能改变线速度的大小，只用来改变线速度的方向，向心力虽大小不变，但方向时刻改变，不是恒力，由此产生的向心加速度也是变化的，所以A 、D 错误，B 、C 正确．图2－2－216．如图2－2－21所示，一轻杆一端固定质量为m 的小球，以另一端O 为圆心，使小球做半径为r 的竖直平面内的圆周运动，以下说法中正确的是( )A ．小球过最高点时，杆的弹力可以等于零B ．小球过最高点时的最小速度为grC ．小球过最高点时，杆对球的作用力可以与小球所受重力方向相反，此时重力一定大于杆对球的作用力D ．小球过最高点时，杆对球的拉力为零【答案】AC【解析】由于杆对小球有支持力作用，所以小球过最高点的临界速度为v 0＝0，可见选项B 不对．因为当v ＝gr 时，N ＝0，所以选项A 对．当0＜v ＜gr 时，杆对球的支持力竖直向上，且有0＜N ＜mg ，故选项C 正确．当v ＞gr 时，杆对球有竖直向下的拉力，故选项D 不对．7．小金属球质量为m ，用长L 的轻悬线固定于O 点，在O 点的正下方L 2处钉有一颗钉子P ，把悬线沿水平方向拉直，如图2－2－22所示，若无初速度释放小球，当悬线碰到钉子后的瞬间(设线没有断)( )图2－2－22 A ．小球的角速度突然增大B ．小球的线速度突然减小到零C ．小球的向心加速度突然增大D ．小球的线速度突然增大【答案】AC【解析】由题意知，当运动到悬线与钉子相碰时，不论悬线对小球的作用力如何变化，其作用力总与小球速度方向垂直，所以小球在相碰过程中速度大小不变，即线速度大小不变，但半径突然变小，故ω＝v r 突然变大，且a ＝v2r也突然变大，故B 、D 错误，A 、C 正确．图2－2－238．一个内壁光滑的圆锥筒的轴线竖直，圆锥固定，有质量相同的两个小球A 和B 贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图2－2－23所示，A 的半径较大，则( )A ．A 球的向心力大于B 球的向心力B ．A 球对筒壁的压力大于B 球对筒壁的压力C ．A 球的运动周期大于B 球的运动周期D ．A 球的角速度小于B 球的角速度【答案】CD【解析】对AB 受力分析，可以发现它们都是重力和斜面的支持力的合力作为向心力，并且它们的质量相等，所以向心力的大小也相等，球A 对筒壁的压力等于球B 对筒壁的压力，再根据周期和角速度的公式可以做出判断．可得CD 正确．三、非选择题图2－2－249．(1)如图2－2－24所示，圆轨道AB 是在竖直平面内的14圆周，半径为r ，在B 点轨道的切线是水平的，一质点自A 点从静止开始下滑，质点刚要到达B 点时的速度大小为2gr ，则在质点刚要到达B 点时的加速度大小为________，滑过B 点时的加速度大小为________，质点刚到达B 点时受到的轨道支持力为________．图2－2－25A和B通过中介轮C进行传动，两轮边缘上的点角速度之比为。