郑州市2017年高中毕业年级第一次质量预测——数学(理)

河南省郑州市高中毕业班第一次质量预测数学理科试卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至8页，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

注意事项：1． 答第Ⅰ卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。

2．每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在答卷上的无效。

参考公式： 如果事件A 、B 互斥，那么球的表面积公式()()()P A B P A P B +=+24S R π=如果事件A 、B 相互独立，那么球的体积公式()()()P A B P A P B =如果事件A 在一次实验中发生的概率是P343V R π=球那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次概率其中R 表示球的半径()(1)k k n kn n P k C P P -=- 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．若全集U R =，集合2{|10},{|20}A x x B x x x =-<=-≤，()A B ⋂=A ．{|12}x x <<B ．{|12}x x <≤C ．{|12}x x x <≥或D ．{|12}x x x ≤>或2．复数61(1)i+的值是A ．－8B ．8C ．－8iD ．8i3．已知双曲线的方程为2223(0)x y m m -=>，则此双曲线的离心率为A ．32B ．153C ．52D ．与m 的值有关4．“平面a 那的两条直线l 、m 都平行于平面β”是“平面a //β”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件5．设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若15918a a a ++=，则9S 等于A ．45B ．36C ．54D ．606．已知向量( 5.3),(2,)a x b x =--=，且a b ⊥，则由x 的值构成的集合是A ．{2，3}B ．{－1，6}C ．{2}D ．{6}7．函数22(0)y x x x =-+≤的反函数为 A ．11(0)y x x =-≤ B ．11(1)y x x =-≤C ．11(0)y x x =--≤D ．11(1)y x x =--≤8．长方体1111ABCD A BC D -中，1111AA A D ==,2AB =,E 为AB 的中点，则1C 到平面1D DE 的距离为A 2B ．2C 25D 39．若曲线3y x =的切线l 与直线380x y +-=垂直，则l 的方程为 A ．320x y -+= B ．330x y -+=或330x y --=B ．320x y --=D ．320x y --=或320x y -+=10．现有男生4人，女生4人，将它们任意排成一排，左边4人全是女生的概率是A ．170B ．135C ．11680D ．23511．在ABC ∆中，设角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，则cos 2cos C a cB b-=，则角B =A ．300B ．60C ．900D ．120012．已知直线10ax by +-=（a 、b 不全为零）与圆2250x y +=有公共点，且公共点的横、纵坐标均为整数，那么这样的直线共有A ．66条B ．72条C ．74条D ．78条第Ⅱ卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）13．二项式92()4x x+的展开式中常数项为________ .（用数字作答） 14．已知各顶点都在一个球面上的正四棱柱的高为4，底面边长为2，则这个球的表面积是__________。

河南省郑州市2017-2018学年高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( ) A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]2．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( ) A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于( )A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．24．p：“a=﹣2”是q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的( )A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件5．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=( ) A．100 B．200 C．360 D．4006．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．17．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为( )A．32 B．C．64 D．8．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，则A的值为( )A．B．C．D．9．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是( )A．4 B．3 C．1 D．010．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜011．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为( )A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( )A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=__________．14．已知，在二项式的展开式中，x的一次项系数的值为__________．15．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到…=__________．16．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确是__________．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，D为边AC的中点，（Ⅰ）若c=3，求sin∠ACB的值；（Ⅱ）若BD=3，求△ABC的面积．18．某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成n首背诵后总得分为S n”．（Ⅰ）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；（Ⅱ）记ξ=|S5|，求ξ的分布列及数学期望．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，，Q为AD的中点，M为棱PC上一点．（Ⅰ）试确定点M的位置，使得PA||平面BMQ，并证明你的结论；（Ⅱ）若PM=2MC，求二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG 并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．【不等式选讲】24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．河南省郑州市2015届高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，若M⊆N，则实数a的取值范围是( ) A．（2，+∞）B．[2，+∞）C．（﹣∞，﹣1）D．（﹣∞，﹣1]考点：集合的包含关系判断及应用．专题：集合．分析：由集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，M⊆N，由集合包含关系的定义比较两个集合的端点可直接得出结论解答：解：∵集合M={x|﹣1＜x＜2}，N={x|x＜a}，M⊆N，∴a≥2，实数a的取值范围是[2，+∞）故选B．点评：本题考查集合关系中的参数取值问题解题的关键是根据题设中的条件作出判断，得到参数所满足的不等式，从而得到其取值范围，此类题的求解，可以借助数轴，避免出错．2．在复平面内与复数所对应的点关于虚轴对称的点为A，则A对应的复数为( ) A．1+2i B．1﹣2i C．﹣2+i D．2+i考点：复数代数形式的乘除运算．专题：数系的扩充和复数．分析：利用复数的运算法则、几何意义、对称性，即可得出．解答：解：复数===2+i所对应的点（2，1）关于虚轴对称的点为A（﹣2，1），∴A对应的复数为﹣2+i．故选：C．点评：本题考查了复数的运算法则、几何意义、对称性，属于基础题．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，则公差d等于( )A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2考点：等差数列的前n项和．专题：等差数列与等比数列．分析：由题设条件，根据等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，由此能求出公差．解答：解：∵等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=6，a3=0，∴，解得a1=4，d=﹣2．故选C．点评：本题考查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式．4．p：“a=﹣2”是q：“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”成立的( )A．充要条件B．充分非必要条件C．必要非充分条件D．既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断．专题：直线与圆；简易逻辑．分析：根据直线垂直的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．解答：解：若“直线ax+3y﹣1=0与直线6x+4y﹣3=0垂直”，则6a+3×4=0，解得a=﹣2，故p是q成立的充要条件，故选：A点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件是解决本题的关键．5．已知点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，焦点为F，|PF|=25，则|ab|=( )A．100 B．200 C．360 D．400考点：抛物线的简单性质．专题：圆锥曲线的定义、性质与方程．分析：根据抛物线的定义，把到焦点的距离转化为到准线的距离，从而求出b，进而求ab 的值．解答：解：根据抛物线是定义，准线方程为：y=﹣5，|PF|=b+5=25，∴b=20，又点P（a，b）是抛物线x2=20y上一点，∴a2=20×20，∴a=±20，∴|ab|=400，故选D．点评：本题主要考查抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等．6．已知点P（x，y）的坐标满足条件，那么点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值为( )A．B．2 C．D．1考点：简单线性规划．专题：数形结合；不等式的解法及应用．分析：由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，由点到直线的距离公式求得点P到直线3x﹣4y﹣13=0的最小值．解答：解：由约束条件作出可行域如图，由图可知，当P与A（1，0）重合时，P到直线3x﹣4y﹣13=0的距离最小为d=．故选：B．点评：本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．7．某三棱锥的三视图如图所示，且三个三角形均为直角三角形，则xy的最大值为( )A．32 B．C．64 D．考点：简单空间图形的三视图．专题：不等式的解法及应用；空间位置关系与距离．分析：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，进而根据基本不等式可得xy的最大值．解答：解：由已知中的三个视图中的三角形均为直角三角形，设三视图的高为h，则h2+y2=102，且h2+（2）2=x2，则x2+y2=128≥2xy，∴xy≤64，即xy的最大值为64，故选：C点评：本题考查的知识点是简单空间图形的三视图，基本不等式的应用，难度中档．8．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，则A的值为( )A．B．C．D．考点：正弦函数的图象．专题：三角函数的图像与性质．分析：由题意可得Q，R的坐标，利用距离公式求出周期，ω的值，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A．解答：解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中）与坐标轴的三个交点P，Q，R满足P（1，0），为线段QR的中点，∴可得Q（4，0），R（0，﹣4），|PQ|=3，T=6=，解得ω=，∴函数经过Q，R，有∵|∅|∴∅=﹣∴解得A=．故选：C．点评：本题考查三角函数的解析式的求法，考查计算能力，属于基本知识的考查．9．如图所示的程序框图中，若f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4，且h（x）≥m恒成立，则m 的最大值是( )A．4 B．3 C．1 D．0考点：程序框图．专题：图表型；函数的性质及应用；算法和程序框图．分析：由已知中的程序框图可得该程序的功能是计算并输出分段函数：h（x）=的值，数形结合求出h（x）的最小值，可得答案．解答：解：由已知中的程序框图可得该程序的功能是：计算并输出分段函数：h（x）=的值，在同一坐标系，画出f（x）=x2﹣x+1，g（x）=x+4的图象如下图所示：由图可知：当x=﹣1时，h（x）取最小值3，又∵h（x）≥m恒成立，∴m的最大值是3，故选：B．点评：本题主要考查了程序框图，分段函数的应用，函数恒成立，属于基本知识的考查．10．设函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，则( )A．g（a）＜0＜f（b）B．f（b）＜0＜g（a）C．0＜g（a）＜f（b）D．f（b）＜g（a）＜0考点：函数零点的判定定理．专题：函数的性质及应用．分析：根据函数的解析式判断单调性，运用f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，得出a ＜1，b＞1，再运用单调性得出g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，即可选择答案．解答：解：∵函数f（x）=e x+2x﹣4，g（x）=lnx+2x2﹣5，∴f（x）与g（x）在各自的定义域上为增函数，∵f（1）=e﹣2＞0，g（1）=0+2﹣5＜0，∴若实数a，b分别是f（x），g（x）的零点，∴a＜1，b＞1，∵g（a）＜g（1）＜0，f（b）＞f（1）＞0，故选：A点评：本题考查了函数的性质，运用单调性判断函数的零点的位置，再结合单调性求解即可．11．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且，则的取值范围为( )A．B．[2，4]C．[3，6]D．[4，6]考点：平面向量数量积的运算．专题：平面向量及应用．分析：通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将=2（b﹣1）2，0≤b≤1，求出范围．解答：解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，则A（3，0），B（0，3），∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x，设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b，∵MN=，∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2，∴a﹣b=1，∴a=b+1，∴0≤b≤2，∴=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）=2ab﹣3（a+b）+9=2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，∴b=1时有最小值4；当b=0，或b=2时有最大值6，∴的取值范围为[4，6]故选：D点评：熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．12．设函数f1（x）=x，f2（x）=log2015x，a i=（i=1，2，3，…，2015），记I k=|f k（a2）﹣f k（a1）|+|f k（a3）﹣f k（a2）|+…+|f k（a2015）﹣f k（a2014）|，k=1，2，则( )A．I1＜I2B．I1=I2C．I2＜I1D．无法确定考点：对数的运算性质．专题：函数的性质及应用．分析：由于f1（a i+1）﹣f1（a i）==．可得I1=×2014．由于f i+1（a i+1）﹣f i（a i）==．即可得出I2==log20152015．解答：解：∵f1（a i+1）﹣f1（a i）==．∴I1=|f1（a2）﹣f1（a1）|+|f1（a3）﹣f1（a2）|+…+|f1（a2015）﹣f1（a2014）|=×2014=．∵f2（a i+1）﹣f2（a i）==．∴I2=|f2（a2）﹣f2（a1）|+|f2（a3）﹣f2（a2）|+…+|f2（a2015）﹣f2（a2014）|==log20152015=1，∴I1＜I2．故选：A．点评：本题考查了对数的运算法则、含绝对值符号式的运算，属于基础题．二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分.13．已知等比数列{a n}，前n项和为S n，，则S6=．考点：等比数列的前n项和．专题：计算题；等差数列与等比数列．分析：设等比数列{a n}的公比为q，运用通项公式，列出方程，解得公比和首项，再由求和公式，即可得到所求值．解答：解：设等比数列{a n}的公比为q，由于，即a1+a1q=，a1q3+a1q4=6，两式相除，可得，q=2，a1=．则S6==．故答案为：点评：本题考查等比数列的通项公式和求和公式，考查运算能力，属于基础题．14．已知，在二项式的展开式中，x的一次项系数的值为﹣10．考点：二项式系数的性质；定积分．专题：概率与统计．分析：利用微积分基本定理可得a==1，于是二项式=，再利用展开式的通项公式即可得出．解答：解：==1，∴二项式=，其通项公式T r+1==（﹣1）r，令10﹣3r=1，解得r=3．∴T4==﹣10x，∴一次项系数的值为﹣10．故答案为：﹣10．点评：本题考查了微积分基本定理、二项式的通项公式，属于基础题．15．设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）图象的对称中心．研究函数f（x）=x3+sinx+2的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 (82)考点：函数的值．专题：函数的性质及应用．分析：函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，再利用倒序相加，即可得到结论解答：解：∵f（x）=x3+sinx+2，∴f'（x）=3x2+cosx，f''（x）=6x﹣sinx，∴f''（0）=0，而f（x）+f（﹣x）=x3+sinx+2+﹣x3﹣sinx+2=4，函数f（x）=x3+sinx+1图象的对称中心的坐标为（0，2），即x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，∴…=20×4+f（0）=82．故答案为：82．点评：本题考查函数的对称性，确定函数的对称中心，利用倒序相加x1+x2=0时，总有f（x1）+f（x2）=4，是解题的关键．16．给定方程：（）x+sinx﹣1=0，下列中：①该方程没有小于0的实数解；②该方程有无数个实数解；③该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解；④若x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．则正确是②③④．考点：的真假判断与应用．专题：计算题；函数的性质及应用；三角函数的图像与性质．分析：根据正弦函数的符号和指数函数的性质，可得该方程存在小于0的实数解，故①不正确；根据指数函数的图象与正弦函数的有界性，可得方程有无数个正数解，故②正确；根据y=（）x﹣1的单调性与正弦函数的有界性，分析可得当x≤﹣1时方程没有实数解，当﹣1＜x＜0时方程有唯一实数解，由此可得③④都正确．解答：解：对于①，若α是方程（）x+sinx﹣1=0的一个解，则满足（）α=1﹣sinα，当α为第三、四象限角时（）α＞1，此时α＜0，因此该方程存在小于0的实数解，得①不正确；对于②，原方程等价于（）x﹣1=﹣sinx，当x≥0时，﹣1＜（）x﹣1≤0，而函数y=﹣sinx的最小值为﹣1且用无穷多个x满足﹣sinx=﹣1，因此函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在[0，+∞）上有无穷多个交点因此方程（）x+sinx﹣1=0有无数个实数解，故②正确；对于③，当x＜0时，由于x≤﹣1时（）x﹣1≥1，函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象不可能有交点当﹣1＜x＜0时，存在唯一的x满足（）x=1﹣sinx，因此该方程在（﹣∞，0）内有且只有一个实数解，得③正确；对于④，由上面的分析知，当x≤﹣1时（）x﹣1≥1，而﹣sinx≤1且x=﹣1不是方程的解∴函数y=（）x﹣1与y=﹣sinx的图象在（﹣∞，﹣1]上不可能有交点因此只要x0是该方程的实数解，则x0＞﹣1．故答案为：②③④点评：本题给出含有指数式和三角函数式的方程，讨论方程解的情况．着重考查了指数函数的单调性、三角函数的周期性和有界性、函数的值域求法等知识，属于中档题．三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17．在△ABC中，a，b，c分别为角A、B、C的对边，D为边AC的中点，（Ⅰ）若c=3，求sin∠ACB的值；（Ⅱ）若BD=3，求△ABC的面积．考点：正弦定理；余弦定理．专题：计算题；三角函数的求值；解三角形．分析：（Ⅰ）运用余弦定理和正弦定理及同角的平方关系，即可计算得到；（Ⅱ）以BA，BC为邻边作平行四边形ABCE，再由诱导公式和余弦定理和面积公式，计算即可得到．解答：解：（Ⅰ），c=3，由余弦定理：b2=c2+a2﹣2cacos∠ABC=，∴．又∠ABC∈（0，π），所以，由正弦定理：，得．（Ⅱ）以BA，BC为邻边作如图所示的平行四边形ABCE，如图，则，BE=2BD=6，在△BCE中，由余弦定理：BE2=CB2+CE2﹣2CB•CE•cos∠BCE．即，解得：CE=3，即AB=3，所以．点评：本题考查正弦定理和余弦定理及面积公式的运用，同时考查诱导公式和同角的平方关系的运用，属于基础题．18．某学校为了丰富学生的业余生活，以班级为单位组织学生开展古诗词背诵比赛，随机抽取题目，背诵正确加10分，背诵错误减10分，只有“正确”和“错误”两种结果，其中某班级的正确率为，背诵错误的概率为，现记“该班级完成n首背诵后总得分为S n”．（Ⅰ）求S6=20且S i≥0（i=1，2，3）的概率；（Ⅱ）记ξ=|S5|，求ξ的分布列及数学期望．考点：离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列．专题：计算题；概率与统计．分析：（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，分类求概率求和；（Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50，又，从而分别求概率以列出分布列，再求数学期望．解答：解：（Ⅰ）当S6=20时，即背诵6首后，正确个数为4首，错误2首，若第一首和第二首背诵正确，则其余4首可任意背诵对2首；若第一首正确，第二首背诵错误，第三首背诵正确，则其余3首可任意背诵对2首，此时的概率为：；（Ⅱ）∵ξ=|S5|的取值为10，30，50，又，∴，，．∴ξ的分布列为：ξ10 30 50∴．点评：本题考查了概率的求法及分布列的列法及数学期望的求法，属于基础题．19．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为直角梯形，AD||BC，PD⊥底面ABCD，，Q为AD的中点，M为棱PC上一点．（Ⅰ）试确定点M的位置，使得PA||平面BMQ，并证明你的结论；（Ⅱ）若PM=2MC，求二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．考点：二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定．专题：空间位置关系与距离；空间角．（Ⅰ）当M为PC中点时，PA∥平面BMQ，连结AC交BQ于N，连结MN，则MN∥PA，分析：由此能证明PA∥平面BMQ．（Ⅱ）以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P﹣BQ﹣M的余弦值．解答：解：（Ⅰ）当M为PC中点时，PA∥平面BMQ，…理由如下：连结AC交BQ于N，连结MN，因为∠ADC=90°，Q为AD的中点，所以N为AC的中点．当M为PC的中点，即PM=MC时，MN为△PAC的中位线，…故MN∥PA，又MN⊂平面BMQ，PA⊈平面BMQ，所以PA∥平面BMQ．…（Ⅱ）由题意，以点D为原点DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，…则P（0，0，2），Q（1，0，0），B（1，2，0），…由PM=2MC可得点，所以，设平面PQB的法向量为，则令z=1，∴，…同理平面MBQ的法向量为，…设二面角大小为θ，．∴二面角P﹣BQ﹣M的余弦值为．…点评：本题考查使得直线与平面平行的点的位置确定，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．20．已知动点P到定点F（1，0）和直线l：x=2的距离之比为，设动点P的轨迹为曲线E，过点F作垂直于x轴的直线与曲线E相交于A，B两点，直线l：y=mx+n与曲线E交于C，D两点，与线段AB相交于一点（与A，B不重合）（Ⅰ）求曲线E的方程；（Ⅱ）当直线l与圆x2+y2=1相切时，四边形ABCD的面积是否有最大值，若有，求出其最大值，及对应的直线l的方程；若没有，请说明理由．考点：直线与圆锥曲线的综合问题．专题：圆锥曲线中的最值与范围问题．分析：（1）设点P（x，y），由题意可得，，化简即可得出；（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得m2+1=n2，直线与椭圆方程联立可得．利用根与系数的关系可得，再利用基本不等式的性质即可得出．解答：解：（1）设点P（x，y），由题意可得，，整理可得：．∴曲线E的方程是．（2）设C（x1，y1），D（x2，y2），由已知可得：，当m=0时，不合题意．当m≠0时，由直线l与圆x2+y2=1相切，可得：，即m2+1=n2，联立消去y得．，，所以，，==．当且仅当，即时等号成立，此时．经检验可知，直线和直线符合题意．点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、四边形的面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．已知函数f（x）=（x2﹣2x）lnx+ax2+2．（Ⅰ）当a=﹣1时，求f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）当a＞0时，设函数g（x）=f（x）﹣x﹣2，且函数g（x）有且仅有一个零点，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求m的取值范围．考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；函数零点的判定定理．专题：导数的综合应用．分析：（Ⅰ）当a=﹣1时，求导数，可得切线斜率，求出切点坐标，即可求f（x）在（1，f （1））处的切线方程；（Ⅱ）由g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，可得a=，令h（x）=，证明h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，可得h（x）max=h（1）=1，即可求得函数g（x）有且仅有一个零点a的值，然后结合e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，求出g （x）max，即可求得m的取值范围．解答：解：（Ⅰ）当a=﹣1时，f（x）=（x2﹣2x）•lnx﹣x2+2，定义域（0，+∞），∴f′（x）=（2x﹣2）•lnx+（x﹣2）﹣2x．∴f′（1）=﹣3，又f（1）=1，∴f（x）在（1，f（1））处的切线方程3x+y﹣4=0；（Ⅱ）g（x）=f（x）﹣x﹣2=0，则（x2﹣2x）•lnx+ax2+2=x+2，即a=，令h（x）=，则h′（x）=，令t（x）=1﹣x﹣2lnx，则t′（x）=，∵x＞0，∴t′（x）＜0，∴t（x）在（0，+∞）上是减函数，又∵t（1）=h′（1）=0，∴当0＜x＜1时，h′（x）＞0，当x＞1时，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，∴h（x）max=h（1）=1，∴当函数g（x）有且仅有一个零点时a=1，当a=1时，g（x）=（x2﹣2x）•lnx+x2﹣x，若e﹣2＜x＜e，g（x）≤m，只需证明g（x）max≤m，∴g′（x）=（x﹣1）（3+2lnx），令g′（x）=0，得x=1或x=e﹣，又∵e﹣2＜x＜e，∴函数g（x）在（e﹣2，e﹣）上单调递增，在（e﹣，1）上单调递减，在（1，e）上单调递增，又g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣，g（e）=2e2﹣3e，∵g（e﹣）=﹣e﹣3+2e﹣＜2e﹣＜2e＜2e（e﹣）=g（e），∴g（e﹣）＜g（e），∴m≥2e2﹣3e．点评：本题考查导数知识的综合运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性与最值，考查分离参数法的运用，属于难题．四、选做题（请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分）【选修4-1：几何证明选讲】22．如图所示，EP交圆于E，C两点，PD切圆于D，G为CE上一点且PG=PD，连接DG 并延长交圆于点A，作弦AB垂直EP，垂足为F．（Ⅰ）求证：AB为圆的直径；（Ⅱ）若AC=BD，AB=5，求弦DE的长．考点：与圆有关的比例线段；直线和圆的方程的应用．专题：直线与圆．分析：（Ⅰ）由已知PG=PD，得到∠PDG=∠PGD，由切割弦定理得到∠PDA=∠DBA，进一步得到∠EGA=∠DBA，从而∠PFA=∠BDA．最后可得∠BDA=90°，说明AB为圆的直径；（Ⅱ）连接BC，DC．由AB是直径得到∠BDA=∠ACB=90°，然后由Rt△BDA≌Rt△ACB，得到∠DAB=∠CBA．再由∠DCB=∠DAB可推得DC∥AB．进一步得到ED为直径，则ED 长可求．解答：（Ⅰ）证明：∵PG=PD，∴∠PDG=∠PGD，由于PD为切线，故∠PDA=∠DBA，又∵∠EGA=∠PGD，∴∠EGA=∠DBA，∴∠DBA+∠BAD=∠EGA+∠BAD，从而∠PFA=∠BDA．又AF⊥EP，∴∠PFA=90°，则∠BDA=90°，故AB为圆的直径．（Ⅱ）解：连接BC，DC．由于AB是直径，故∠BDA=∠ACB=90°．在Rt△BDA与Rt△ACB中，AB=BA，AC=BD，从而得Rt△BDA≌Rt△ACB，于是∠DAB=∠CBA．又∵∠DCB=∠DAB，∴∠DCB=∠CBA，故DC∥AB．∵AB⊥EP，∴DC⊥EP，∠DCE为直角，∴ED为直径，又由（1）知AB为圆的直径，∴DE=AB=5．点评：本题考查了直线和圆的位置关系，考查了圆的切割线定理的应用，是中档题．【选修4-4：坐标系与参数方程】23．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．（Ⅰ）求圆心的极坐标；（Ⅱ）求△PAB面积的最大值．考点：参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．专题：坐标系和参数方程．分析：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入即可得出．（II）把直线的参数方程化为普通方程，利用点到直线的距离公式可得圆心到直线的距离d，再利用弦长公式可得|AB|=2，利用三角形的面积计算公式即可得出．解答：解：（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为，化为ρ2=，把代入可得：圆C的普通方程为x2+y2﹣2x+2y=0，即（x﹣1）2+（y+1）2=2．∴圆心坐标为（1，﹣1），∴圆心极坐标为；（Ⅱ）由直线l的参数方程（t为参数），把t=x代入y=﹣1+2t可得直线l的普通方程：，∴圆心到直线l的距离，∴|AB|=2==，点P直线AB距离的最大值为，．点评：本题考查了把直线的参数方程化为普通方程、极坐标化为直角坐标方程、点到直线的距离公式、弦长公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．【不等式选讲】24．已知函数f（x）=m﹣|x﹣1|﹣2|x+1|．（Ⅰ）当m=5时，求不等式f（x）＞2的解集；（Ⅱ）若二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，求实数m的取值范围．考点：绝对值不等式的解法；二次函数的性质．专题：不等式的解法及应用．分析：（Ⅰ）当m=5时，把要解的不等式等价转化为与之等价的三个不等式组，求出每个不等式组的解集，再取并集，即得所求．（Ⅱ）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2在x=﹣1取得最小值2，f（x）在x=﹣1处取得最大值m﹣2，故有m﹣2≥2，由此求得m的范围．解答：解：（Ⅰ）当m=5时，，由f（x）＞2可得①，或②，或③．解①求得﹣＜x＜﹣1，解②求得﹣1≤x＜0，解③求得x∈∅，易得不等式即4﹣3x＞2 解集为．（2）由二次函数y=x2+2x+3=（x+1）2+2，该函数在x=﹣1取得最小值2，因为在x=﹣1处取得最大值m﹣2，所以要使二次函数y=x2+2x+3与函数y=f（x）的图象恒有公共点，只需m﹣2≥2，求得m≥4．．点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，关键是去掉绝对值，化为与之等价的不等式组来解；还考查了函数的恒成立问题，体现了转化的数学思想，属于中档题．。

绝密★启用前2017届河南省郑州市中考一模数学试卷（带解析）试卷副标题考试范围：xxx ；考试时间：71分钟；命题人：xxx学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________注意事项．1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）一、选择题（题型注释）1、已知二次函数y=ax 2+bx+c （a≠0）的图象如图所示，并且关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ﹣m=0有两个不相等的实数根，下列结论： ①b 2﹣4ac ＜0；②abc ＞0；③a ﹣b+c ＜0；④m ＞﹣2， 其中，正确的个数有（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】试题分析：如图所示：图象与x 轴有两个交点，则b 2﹣4ac ＞0，故①错误；∵图象开口向上，∴a ＞0，∵对称轴在y 轴右侧，∴a ，b 异号，∴b ＜0，∵图象与y 轴交于x 轴下方，∴c ＜0，∴abc ＞0，故②正确；当x=﹣1时，a ﹣b+c ＞0，故此选项错误；试卷第2页，共20页∵二次函数y=ax 2+bx+c 的顶点坐标纵坐标为：﹣2，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c ﹣m=0有两个不相等的实数根，则m ＞﹣2，故④正确．故选B ． 考点：二次函数图象与系数的关系．2、如图，⊙O 的半径为2，点O 到直线l 距离为3，点P 是直线l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点Q ，则PQ 的最小值为（ ）A ．B ．C ．2D ．3【答案】A ． 【解析】试题分析：过点O 作直线l 的垂线，垂足为P ，过P 作⊙O 的切线PQ ，切点为Q ，连接OQ ，此时PQ 为最小，∴OP=3，OQ=2，∵PQ 切⊙O 于点Q ，∴∠OQP=90°，由勾股定理得：PQ==，则PQ 的最小值为，故选A ．考点：切线的性质．3、如图，△ABC 中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC 沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D ． 【解析】试题分析：选项A 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；选项B 、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；选项C 、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误；选项D 、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确．故选D ．考点：相似三角形的判定． 4、下列说法正确的是（ ）A ．投掷一枚均匀的硬币，正面朝上的概率是B ．投掷一枚图钉，钉尖朝上、朝下的概率一样C ．投掷一枚均匀的骰子，每一种点数出现的概率都是，所以每投6次，一定会出现一次“l 点”D ．投掷一枚均匀的骰子前默念几次“出现6点”，投掷结果“出现6点”的可能性就会加大【答案】A ． 【解析】试题分析：选项A 、投掷一枚均匀的硬币，正、背面朝上的几率相等，都是，故本选项正确；选项B 、投掷一枚图钉，钉尖朝上、朝下的概率不一样，故本选项错误；选项C 、根据概率的定义，可知本选项错误；选项D 、投掷结果出现6点的概率一定，不会受主观原因改变，故本选项错误；故选A ． 考点：概率的意义．5、如图，用一个半径为5cm 的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P 旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了（ ）A ．πcmB ．2πcmC ．3πcmD ．5πcm【答案】C.试卷第4页，共20页【解析】试题分析：根据定滑轮的性质得到重物上升的即为转过的弧长，利用弧长公式得：l==3πcm ，则重物上升了3πcm ，故选C.考点：旋转的性质．6、如图，点F 在平行四边形ABCD 的边AB 上，射线CF 交DA 的延长线于点E ，在不添加辅助线的情况下，与△AEF 相似的三角形有（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个【答案】C ． 【解析】试题分析：∵四边形ABCD 是平行四边形，∴AD ∥BC ，AB ∥DC ，∴△AEF ∽△CBF ，△AEF ∽△DEC ，∴与△AEF 相似的三角形有2个．故选C ． 考点：相似三角形的判定；平行四边形的性质． 7、解一元二次方程x 2﹣8x ﹣5=0，用配方法可变形为（ ） A ．（x+4）2="11"B ．（x ﹣4）2="11"C ．（x+4）2="21"D ．（x ﹣4）2=21【答案】D ． 【解析】试题分析：移项得x 2﹣8x=5，两边都加上一次项系数一半的平方可得x 2﹣8x+16=5+16，即（x ﹣4）2=21，故选D ． 考点：解一元二次方程-配方法．8、下列图形中是中心对称图形的有（ ）个．A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B ．【解析】试题分析：根据中心对称图形的概念可得第2个、第4个图形是中心对称图形，共2个．故选B．考点：中心对称图形．试卷第6页，共20页第II 卷（非选择题）二、填空题（题型注释）9、如图，在Rt △ABC 中，∠ACB =90°，AB =5，AC =3，点D 是BC 边上一动点，连结AD ，将△ACD 沿AD 折叠，点C 落在点C′，连结C′D 交AB 于点E ，连结BC′．当△BC′D是直角三角形时，DE 的长为_____．【答案】.【解析】试题分析：如图1所示；点E 与点C′重合时．在Rt △ABC 中，BC==4．由翻折的性质可知；AE=AC=3、DC=DE ．则EB=2．设DC=ED=x ，则BD=4﹣x ．在Rt △DBE 中，DE 2+BE 2=DB 2，即x 2+22=（4﹣x ）2．解得：x=．∴DE=．如图2所示：∠EDB=90时．由翻折的性质可知：AC=AC′，∠C=∠C′=90°．∵∠C=∠C′=∠CDC′=90°，∴四边形ACDC′为矩形．又∵AC=AC′，∴四边形ACDC′为正方形．∴CD=AC=3．∴DB=BC ﹣DC=4﹣3=1．∵DE ∥AC ，∴△BDE ∽△BCA ．∴，即．解得：DE=．点D 在CB 上运动，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能为直角．考点：翻折变换（折叠问题）．10、如图，小军、小珠之间的距离为2.7m ，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8m ，1.5m ，已知小军、小珠的身高分别为1.8m ，1.5m ，则路灯的高为 m ．【答案】3m ． 【解析】试题分析：如图，∵CD ∥AB ∥MN ， ∴△ABE ∽△CDE ，△ABF ∽△MNF ，∴，即，解得：AB=3m ， 答：路灯的高为3m ．考点：中心投影．11、如图，电路图上有四个开关A 、B 、C 、D 和一个小灯泡，闭合开关D 或同时闭合开关A 、B 、C 都可使小灯泡发光，则任意闭合其中两个开关，小灯泡发光的概率是 ．【答案】.【解析】试题分析：画树状图得：试卷第8页，共20页∵共有12种等可能的结果，现任意闭合其中两个开关，则小灯泡发光的有6种情况，∴小灯泡发光的概率为：．考点：列表法与树状图法．12、将抛物线y=x 2﹣4x ﹣4向左平移4个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线的函数表达式是 ．【答案】y=（x+2）2﹣5． 【解析】试题分析：由“左加右减”的原则可知，将抛物线y=x 2﹣4x ﹣4向左平移4个单位所得直线的解析式为：y=（x ﹣2+4）2﹣8=（x+2）2﹣8；由“上加下减”的原则可知，将抛物线y=（x+2）2﹣8向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y=（x+2）2﹣5． 考点：二次函数图象与几何变换．13、已知P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）两点都在反比例函数的图象上，且x 1＜x 2＜0，则y l y 2（填“＞”或“＜”）．【答案】＜． 【解析】试题分析：由题意，得比例函数的图象上，且x 1＜x 2＜0，则y l ＜y 2，考点：反比例函数图象上点的坐标特征．14、已知关于x 的一元二次方程x 2﹣（k+2）x+2k=0，若x=l 是这个方程的一个根，则求k= ．【答案】1． 【解析】试题分析：把x=1代入x 2﹣（k+2）x+2k=0得1﹣（k+2）+2k=0，解得k=1． 考点：一元二次方程的解．三、解答题（题型注释）15、如图1，地面BD 上两根等长立柱AB ，CD 之间悬挂一根近似成抛物线y=x 2﹣x+3的绳子．（1）求绳子最低点离地面的距离；（2）因实际需要，在离AB 为3米的位置处用一根立柱MN 撑起绳子（如图2），使左边抛物线F 1的最低点距MN 为1米，离地面1.8米，求MN 的长；（3）将立柱MN 的长度提升为3米，通过调整MN 的位置，使抛物线F 2对应函数的二次项系数始终为，设MN 离AB 的距离为m ，抛物线F 2的顶点离地面距离为k ，当2≤k≤2.5时，求m 的取值范围．【答案】（1）m ；（2）MN 的长度为2.1m ；（3）m 的取值范围是4≤m≤8﹣2．【解析】试题分析：（1）直接利用配方法求出二次函数最值得出答案；（2）利用顶点式求出抛物线F 1的解析式，进而得出x=3时，y 的值，进而得出MN 的长；（3）根据题意得出抛物线F 2的解析式，得出k 的值，进而得出m 的取值范围．试题解析：（1）∵a=＞0，∴抛物线顶点为最低点，∵y=x 2﹣x+3=（x ﹣4）2+，∴绳子最低点离地面的距离为：m ；试卷第10页，共20页（2）由（1）可知，对称轴为x=4，则BD=8， 令x=0得y=3，∴A （0，3），C （8，3），由题意可得：抛物线F 1的顶点坐标为：（2，1.8）， 设F 1的解析式为：y=a （x ﹣2）2+1.8， 将（0，3）代入得：4a+1.8=3， 解得：a=0.3，∴抛物线F 1为：y=0.3（x ﹣2）2+1.8， 当x=3时，y=0.3×1+1.8=2.1， ∴MN 的长度为：2.1m ； （3）∵MN=DC=3，∴根据抛物线的对称性可知抛物线F 2的顶点在ND 的垂直平分线上，∴抛物线F 2的顶点坐标为：（m+4，k ），∴抛物线F 2的解析式为：y=（x ﹣m ﹣4）2+k ，把C （8，3）代入得：（8﹣m ﹣4）2+k=3，解得：k=﹣（4﹣m ）2+3，∴k=﹣（m ﹣8）2+3，∴k 是关于m 的二次函数，又∵由已知m ＜8，在对称轴的左侧， ∴k 随m 的增大而增大，∴当k=2时，﹣（m ﹣8）2+3=2，解得：m 1=4，m 2=12（不符合题意，舍去），当k=2.5时，﹣（m ﹣8）2+3=2.5， 解得：m 1=8﹣2，m 2=8+2（不符合题意，舍去），试卷第11页，共20页∴m 的取值范围是：4≤m≤8﹣2．考点：二次函数的应用．16、如图，在矩形ABCD 中，E 为CD 的中点，F 为BE 上的一点，连结CF 并延长交AB 于点M ，MN ⊥CM 交射线AD 于点N ． （1）当F 为BE 中点时，求证：AM=CE ；（2）若 =2，求的值；（3）若=n ，当n 为何值时，MN ∥BE ？【答案】(1)详见解析；（2）3；（3）n=4． 【解析】试题分析：（1）如图1，易证△BMF ≌△ECF ，则有BM=EC ，然后根据E 为CD 的中点及AB=DC 就可得到AM=EC ；（2）如图2，设MB=a ，易证△ECF ∽△BMF ，根据相似三角形的性质可得EC=2a ，由此可得AB=4a ，AM=3a ，BC=AD=2a ．易证△AMN ∽△BCM ，根据相似三角形的性质即可得到AN= a ，从而可得ND=AD ﹣AN=a ，就可求出的值；（3）如图3，设MB=a ，同（2）可得BC=2a ，CE=na ．由MN ∥BE ，MN ⊥MC 可得∠EFC=∠HMC=90°，从而可证到△MBC ∽△BCE ，然后根据相似三角形的性质即可求出n 的值．试题解析：（1）当F 为BE 中点时，如图1， 则有BF=EF ．∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB=DC ，AB ∥DC ，∴∠MBF=∠CEF ，∠BMF=∠ECF ． 在△BMF 和△ECF 中，试卷第12页，共20页，∴△BMF ≌△ECF ， ∴BM=EC ． ∵E 为CD 的中点，∴EC=DC ，∴BM=EC=DC=AB ，∴AM=BM=EC ； （2）如图2， 设MB=a ，∵四边形ABCD 是矩形，∴AD=BC ，AB=DC ，∠A=∠ABC=∠BCD=90°，AB ∥DC ， ∴△ECF ∽△BMF ，∴=2，∴EC=2a ，∴AB=CD=2CE=4a ，AM=AB ﹣MB=3a ．∵=2，∴BC=AD=2a ． ∵MN ⊥MC ， ∴∠CMN=90°， ∴∠AMN+∠BMC=90°． ∵∠A=90°，∴∠ANM+∠AMN=90°， ∴∠BMC=∠ANM ， ∴△AMN ∽△BCM ，∴，试卷第13页，共20页∴，∴AN=a ，ND=AD ﹣AN=2a ﹣a=a ，∴=3；（3）当=n 时，如图3，设MB=a ，同（2）可得BC=2a ，CE=na ． ∵MN ∥BE ，MN ⊥MC ， ∴∠EFC=∠HMC=90°， ∴∠FCB+∠FBC=90°． ∵∠MBC=90°， ∴∠BMC+∠FCB=90°， ∴∠BMC=∠FBC ． ∵∠MBC=∠BCE=90°， ∴△MBC ∽△BCE ，∴，∴，∴n=4．考点：相似形综合题；全等三角形的判定与性质；矩形的性质．试卷第14页，共20页17、巩义长寿山景区门票价格为50元，在今年红叶节期问，为吸引游客，推出了如下优惠活动：如果人数不超过25人，门票按原价销售，如果人数超过25人，每超过1人，所购买的门票均降低1元，但人均门票不低于35元，某单位组织员工去长寿山看红叶，共支付门票费用1350元，请问该单位这次共有多少名员工去长寿山看红叶？【答案】该单位这次共有30名员工去长寿山看红叶． 【解析】试题分析：设该单位这次共有x 名员工去长寿山看红叶，根据每超过1人，人均旅游费用降低1元，且共支付给旅行社旅游费用1350元，可列出方程求解，根据人均旅游费用不得低于35元，判断解是否合理．试题解析：设该单位这次共有x 名员工去长寿山看红叶，则人均费用是[50﹣（x ﹣25）]元由题意得[50﹣（x ﹣25）]x=1350， 整理得x 2﹣75x+1350=0， 解得x 1=45，x 2=30．当x=45时，人均门票价格为50﹣（x ﹣25）=30＜35，不合题意，应舍去． 当x=30时，人均旅游费用为50﹣（x ﹣25）=45＞35，符合题意． 答：该单位这次共有30名员工去长寿山看红叶． 考点：一元二次方程的应用． 18、阅读对话，解答问题：（1）分别用a 、b 表示小冬从小丽、小兵袋子中抽出的卡片上标有的数字，请用树状图法或列表法写出（a ，b ）的所有取值；（2）求在（a ，b ）中使关于x 的一元二次方程x 2﹣ax+2b=0有实数根的概率．试卷第15页，共20页【答案】（1）详见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）用列表法易得（a ，b ）所有情况；（2）看使关于x 的一元二次方程x 2﹣ax+2b=0有实数根的情况占总情况的多少即可． 试题解析：（1）（a ，b ）对应的表格为：（2）∵方程x 2﹣ax+2b=0有实数根， ∴△=a 2﹣8b≥0．∴使a 2﹣8b≥0的（a ，b ）有（3，1），（4，1），（4，2），∴P(△≥0)=．考点：列表法与树状图法；根的判别式．19、如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC 的顶点均在格点上，点A 、B 的坐标分别是A （4，3）、B （4，1），把△ABC 绕点C 逆时针旋转90°后得到△A 1B 1C ． （1）画出△A 1B 1C ，直接写出点A 1、B 1的坐标； （2）求在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积．【答案】(1)图见解析，A 1的坐标为（﹣1，4），点B 1的坐标为（1，4）；（2）+3．试卷第16页，共20页【解析】试题分析：（1）根据旋转中心方向及角度找出点A 、B 的对应点A 1、B 1的位置，然后顺次连接即可，根据A 、B 的坐标建立坐标系，据此写出点A 1、B 1的坐标；（2）利用勾股定理求出AC 的长，根据△ABC 扫过的面积等于扇形CAA 1的面积与△ABC 的面积和，然后列式进行计算即可．试题解析：（1）所求作△A 1B 1C 如图所示：由A （4，3）、B （4，1）可建立如图所示坐标系， 则点A 1的坐标为（﹣1，4），点B 1的坐标为（1，4）； （2）∵AC=，∠ACA 1=90°∴在旋转过程中，△ABC 所扫过的面积为： S 扇形CAA1+S △ABC= +×3×2= +3．考点：作图-旋转变换；扇形面积的计算．20、杜甫实验学校准备在操场边建一个面积为600平方米的长方形劳动实践基地． （1）求实践基地的长y （米）关于宽x （米）的函数表达式；（2）由于受场地限制，实践基地的宽不能超过20米，请结合实际画出函数的图象；试卷第17页，共20页（3）当实践基地的宽是l5米时，实践基地的长是多少米？【答案】(1) y=；(2)图见解析；（3）当实践基地的宽是15米时，实践基地的长为40米． 【解析】试题分析：（1）根据矩形的面积=长×宽，列出y 与x 的函数表达式即可；（2）根据自变量的取值范围作出图象即可；（3）把x=15代入计算求出y 的值，即可得到结果．试题解析：（1）由长方形面积为2000平方米，得到xy=600，即y=；（2）图象如图所示：（3）当x=15（米）时，y= =40（米），则当实践基地的宽是15米时，实践基地的长为40米． 考点：反比例函数的应用．试卷第18页，共20页21、如图，⊙O 的直径为AB ，点C 在圆周上（异于A ，B ），AD ⊥CD ． （1）若BC=3，AB=5，求AC 的值；（2）若AC 是∠DAB 的平分线，求证：直线CD 是⊙O 的切线．【答案】(1) AC=4；(2)详见解析. 【解析】试题分析：（1）首先根据直径所对的圆周角为直角得到直角三角形，然后利用勾股定理求得AC 的长即可；（2）连接OC ，证OC ⊥CD 即可；利用角平分线的性质和等边对等角，可证得∠OCA=∠CAD ，即可得到OC ∥AD ，由于AD ⊥CD ，那么OC ⊥CD ，由此得证．试题解析：（1）解：∵AB 是⊙O 直径，C 在⊙O 上， ∴∠ACB=90°， 又∵BC=3，AB=5， ∴由勾股定理得AC=4； （2）证明：连接OC ∵AC 是∠DAB 的角平分线， ∴∠DAC=∠BAC ， 又∵AD ⊥DC ， ∴∠ADC=∠ACB=90°， ∴△ADC ∽△ACB ， ∴∠DCA=∠CBA ， 又∵OA=OC ， ∴∠OAC=∠OCA ， ∵∠OAC+∠OBC=90°， ∴∠OCA+∠ACD=∠OCD=90°， ∴DC 是⊙O 的切线．试卷第19页，共20页考点：切线的判定．22、先化简，再求值：（a ﹣）÷（），其中a 满足a 2﹣3a+2=0．【答案】原式=a ，由a 2﹣3a+2=0，得a=1或a=2，当a=1时，a ﹣1=0，使得原分式无意义，当a=2，原式=2． 【解析】试题分析：先化简题目中的式子，然后根据a 2﹣3a+2=0可得a 的值，注意a 的值要使得原分式有意义，本题得以解决．试题解析：（a ﹣）÷（）====a ，由a 2﹣3a+2=0，得a=1或a=2，∵当a=1时，a ﹣1=0，使得原分式无意义， ∴a=2，原式=2． 考点：分式的化简求值．23、如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M 与圆心O 重合，则图中阴影部分的面积是 ．试卷第20页，共20页【答案】 ．【解析】试题分析：如图，连接OM 交AB 于点C ，连接OA 、OB ，由题意知，OM ⊥AB ，且OC=MC=，在RT △AOC 中，∵OA=1，OC=，∴cos ∠AOC==，AC= =∴∠AOC=60°，AB=2AC=，∴∠AOB=2∠AOC=120°，则S 弓形ABM =S 扇形OAB ﹣S △AOB =﹣××=，S 阴影=S 半圆﹣2S 弓形ABM =π×12﹣2（）=．考点：扇形面积的计算；翻折变换（折叠问题）．。

河南省郑州市2017年⾼中毕业年级第⼆次质量预测——数学（理）郑州市2017年⾼中毕业年级第⼆次质量预测理科数学试题卷本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（⾮选择题）两部分．考试时间120分钟，满分150分．考⽣应⾸先阅读答题卡上的⽂字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答⽆效．交卷时只交答题卡．第Ⅰ卷（选择题共60分）⼀、选择题（本⼤题共12⼩题。

每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中。

只有⼀项是符合题⽬要求的．） 1．已知复数f （n ）＝ni （n ∈N ﹡）．则集合{z ｜z ＝f （n ）}中元素的个数是 A ．4 B ．3 C ．2 D ．⽆数 2．设x ＝0.53，y ＝3log 2，z ＝cos 2，则A ．z ＜x ＜yB ．y ＜z ＜xC ．z ＜y ＜xD ．x ＜z ＜y 3．要计算1＋12＋13＋…＋12017的结果，下⾯程序框图中的判断框内可以填 A ．n ＜2017 B ．n ≤2017 C ．n ＞2017 D ．n ≥20174．某⼏何体的三视图如图所⽰，其中俯视图为扇形，则该⼏何体的体积为A ．163π B ．3πC ．29πD ．169π5．下列命题是真命题的是A ．??∈R ，函数f （x ）＝sin （2x ＋?）都不是偶函数B ．α?，β∈R ，使cos （α＋β）＝cos α＋cos βC ．向量a ＝（2，1），b ＝（－1，0），则a 在b ⽅向上的投影为2D ．“｜x ｜≤1”是“x ≤1”的既不充分⼜不必要条件6．在区间[1，e]上任取实数a ，在区间[0，2]上任取实数b ，使函数f （x ）＝2ax ＋x ＋14b有两个相异零点的概率是 A ．12(1)e － B ．14(1)e － C ．18(1)e － D ．116(1)e －7．已知数列{n a }满⾜1n a ＋＝n a －1n a －（n ≥2），a 1＝m ，a 2＝n ，n S 为数列{n a }的前n 项和，则2017S 的值为A ．2017n －mB ．n －2017mC ．mD ．n8．已知实数x ，y 满⾜2,6,1,y x x y x ??≥＋＋≤≥则z ＝2｜x －2｜＋｜y ｜的最⼩值是A ．6B ．5C ．4D ．39．已知空间四边形ABCD ，满⾜｜AB uu u r ｜＝3，｜BC uu u r ｜＝7，｜CD uu u r｜＝11，｜DA uu u r ｜＝9，则AC uuu r ·BD uu ur 的值A ．－1B ．0C ．212 D ．33210．将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为A ．72B ．120C ．192D ．24011．已知P 为双曲线24y －2x ＝1上任⼀点，过P 点向双曲线的两条渐近线分别作垂线，垂⾜分别为A ，B ，则｜PA ｜·｜PB ｜的值为 A ．4 B ．5 C ．45D ．与点P 的位置有关 12．已知函数f （x ）＝sin 2cos xx＋．如果当x ＞0时，若函数f （x ）的图像恒在直线y ＝kx 的下⽅，则k 的取值范围是 A ．[13B ．[13，＋∞）C ．D ．[]第Ⅱ卷（⾮选择题共90分）本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考⽣都必须作答。

河南省郑州市第一中学2017届高三4月模拟调研数学（理科）试卷答 案一、选择题1~5．DACCA6~10．BBDDA11~12．CA二、填空题13．π214．(4-++1516．22- 三、解答题17．解析（Ⅰ）π1()sin sin()sin (sin cos )62f x x x x x x =+=g g g211cos211sin cos sin 22222x x x x x -+=⨯，11πsin 2sin(2)444234x x x =-+=-+． 令πππ2π22π()232k x k k -+-+∈Z ≤≤， 得π5πππ1212k x k -++≤≤，其中k ∈Z ， ∴()f x 的单调递增区间为π5π[π,π]1212k k -++，k ∈Z ．（Ⅱ）由()4f A =1πsin(2)2344A -+= ∴πsin(2)03A -= ∴π2π()3A k k -=∈Z ． ∴ππ,62k A k =+∈Z ． ∵π02A ＜＜，∴π6A = 由余弦定理2222cos a b c bc A =+-g ，得22π42cos 6b c bc =+-g ，又22π2cos 22(262b c bc bc bc bc +--=g gg ≥，∴4(2bc =+，当且仅当b c =时取“=”．∴max 1π()4(2sin 226ABC S =⨯⨯⨯=+△ 18．解析（Ⅰ）设正确配对的家庭数为η，则η的所有可能取值为0,1,2,4． 214411628(4),(2),(1)2424242424P P C P C ηηη====⨯===⨯=， 1689(0)1()24242424P η==-++=． ∴η的分布列为986124()012412424242424E η=⨯+⨯+⨯+⨯==． （Ⅱ）①由题意可知，(2)1f =，(3)2f =，(4)9f =．②对于n 个的元素,,...a b c ，及其对应元素,,,...A B C ，由于a 不能对应A ，则a 与除去A 以外的1n -个元素之一对应，不妨设a 与B 对应，则b 的对应分两类： 其（一）：b 与A 对应，即a bB A其余(2)n -个元素的错位排列总数为(2)f n -；其（二）：b 不与A 对应，即aB其余(1)n -个元素的错位排列总数为(1)f n -，于是，()(1)[(2)(1)]f n n f n f n =--+-．19．解析（Ⅰ）由题意可知1111(0,0,4),(4,0,1),(4,4,2),(0,4,3)D A B C ，则1111(4,0,3),(4,4,2)D A D B =-=-u u u u r u u u u r ， 设(,,0)P x y ，则1(4,,1)A P x y =--u u u r ．∵1111A P A B D ⊥平面，∴111111,A P D B A P D A ⊥⊥u u u r u u u u r u u u r u u u u r，∴4(4)4204(4)30x y x -++=⎧⎨-+=⎩解得13414x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴131(,,0)44P ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知1111A P A B D ⊥平面，所以不妨取平面111A B D 的一个法向量为1(3,1,4)n =--． 设平面111B C D 的法向量为2(,,)n x y z '''=，则21121100n D B n D C ⎧=⎪⎨=⎪⎩u u u u r g u u u u r g ∵1111(4,4,2),(0,4,1)D B D C =-=-u u u u r u u u u r ，∴442040x y z y z '''+-=⎧⎨''+=⎩令4z '=，则1,1x y ''==，∴2(1,1,4)n =．∵121212cos(,)||||n n n n n n ===g g ， 易知二面角1111A B D C --是钝角，∴二面角1111A B D C --的余弦值为 20．解析（Ⅰ）由2222120x y a b x y ⎧+=⎪⎨⎪+-=⎩，消去x 并整理得2222222(4)320b a y y b a b +-+-=．∵椭圆C 与直线l 相切，∴2222222()4(4)(32)0b a b a b ∆=--+-=，化简得224320b a +-=，①又点在椭圆C 上，∴22821a b +=．② 由①②得2216,4a b ==． ∴椭圆C 的方程为221164x y +=． （Ⅱ）存在．理由如下：设直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠，联立2211164y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 并整理得22(41)8120k x kx ---=． 222(8)4(41)12256480k k k ∆=++⨯=+＞．设1122(,),(,)A x y B x y ，则121222812,4141k x x x x k k +==-++． 假设存在点(0,)P t 满足条件，由于()||||PA PB PM PA PB λ=+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ，所以PM 平分APB ∠． 易知直线P A 与直线PB 的倾斜角互补，∴0PA PB k k +=，即12120y t y t x x --+=，即2112()()0x y t x y t -+-=．① 将11221,1y kx y kx =+=+代入①并整理得12122(1)()0kx x t x x +-+=，∴2212(8)(1)204141k t k k k -⨯--+=++g， 整理得3(1)0k k t +-=，即(4)0k t -=， ∴当4t =时，无论k 取何值均成立．∴存在点(0,4)P 使得()||||PA PB PM PA PB λ=+u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r ． 21．解析（Ⅰ）函数()f x 的定义域为(0,)+∞，2()ln 1f x x a x '=+--，要使()f x 在区间(0,)+∞上单调递增，则需()0f x '≥，即2ln 1x a x+-≥， 设2()ln 1r x x x =+-，则212()r x x x'=+，令()0r x '=，则2x =-，所以()r x 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)1r x r =-＜，所以1a -≤，所以实数a 的取值范围是(,1]-∞-．（Ⅱ）不等式0000()0(2)ln 1f x x x ax ⇔--＜＜，令()(2)ln g x x x =-，()1h x ax =-，则2()ln 1g x x x'=+-，因为()g x '在(0,)+∞上单调递增， 而(1)10,(2)ln 20g g ''=-=＜＞， 所以存在实数(1,2)m ∈，使得()0g m '=，所以min ()()g m g m =，易知(1)(2)0g g ==，画出函数()g x 和()h x 的大致图像如下：又()h x 的图象是过定点(0,1)C -的直线，所以要使存在唯一整数0x 使得0()0f x ＜成立，则需max{,}BC AC DC k a k k ＜≤，而ln312ln31033AC DC k k +--=-=＞，即AC DC k k ＞． 所以实数a 的取值范围是1ln31(,]23+． 22．解析（Ⅰ）直线l 和曲线C 相交．理由如下：因为2cos 4sin ρθθ=-，所以22cos 4sin ρρθρθ=-，所以曲线C 的直角坐标方程为2224x y x y +=-，即22(1)(2)5x y -++=，由直线l 的参数方程可知其过点(1,1)-1=，所以直线l 与曲线C 相交．（Ⅱ）当直线l 的斜率不存在时，直线l过圆心，则||AB =l 的斜率一定存在，设其方程为1(1)y k x +=-，即10kx y k ---=，所以圆心到直线l 的距离d ==2=解得1k =±，所以直线l 的斜率为1±． 23．解析（Ⅰ）令1,1()|1||2|23,121,2x f x x x x x x -⎧⎪=-+-=-⎨⎪⎩≤＜≤＞ 则1()1f x -≤≤， 由于x ∃∈R ，使不等式|1||2|x x t -+-≥成立，所以1t ≤，所以{|1}T t t =≤． （Ⅱ）由（Ⅰ）知33log log 1m n g ≥恒成立，根据基本不等式得33log log 2m n g ≥，从而23mn ≥，当且仅当3m n ==时取等号．再根据基本不等式得6m n +≥，当且仅当3m n ==时取等号，所以m n +的最小值为6．。

郑州市2017届高三上学期第一次质量预测试题数学（文）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}|2,|A x x B x x m =>=<,且A B R = ，那么m 的值可以是 A ．0 B ．1 C ．2 D ．32．复数1iz i+=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒 物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8 点甲、乙两个 2.5PM 监测点统计的数据（单位：毫克／每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 A ．甲 B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定4．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视 图是平行四边形，则该几何体的体积为A ．B ．C ．D ．5．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为2，则切点的横坐标为 A.3 B. 2 C ．1 D ．126．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则212b b 等于A ．1B ．2C ．4D ．87．若1sin()34πα-=，则cos(2)3πα+A.78- B ．14- C ．14 D ．788．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的纵坐标为－2，则该抛物线的准线方程为A ．x=lB ．2x =C ．1x =-D ．2x =-9．设函数())cos(2)()2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 C ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数10．双曲线22221(0,0)x y a b a b+=>>的左、右焦点分别是1F 、2F ，过1F 作倾斜角为30 的直线交双曲线右支于M 点，若2MF ⊥x 轴，则双曲线的离心率为B D 11．已知向量a 是与单位向量夹角为60 的任意向量，则对任意的正实数t,的最小值是A. 0B.12D. 112. 定义在R 上的函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠的单调增区间为（-1，1），若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有4个不同的实根，则实数a 的值为．A ．12 B ．12- C ．1 D ．－1第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足约束条件1,3,0,x y x y y -≥-⎧⎪+<⎨⎪>⎩， 则z x y =-的取值范围为________．14．执行右面的程序框图，若输出的78S =，则输入的整 数p 的值为__________．15.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶 点都在同一球面上，若12,2,1AA AB AC ===．60BAC ∠= ，则此球的表面积等于_________．16．整数数列{}n a 满足21()n n n a a a n N *++=-∈，若此数列的前800项的和是2017，前813项的和是2000，则其前2017项的和为__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 已知函数()sin(2)(0,0)f x A x A ϕϕπ=+><<，当3x π=-时取得最小值-4．(I)求函数()f x 的解析式；(Ⅱ)若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，且24(0),()6a f a f π==，求数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T . 18．（本小题满分12分）郑州市为了缓解城市交通压力，大力发展公共交通，提倡多坐公交少开车,为了调查市民乘公交车的候车情况，交通主管部门从在某站台等车的45名候车乘客中随机抽取15人，按照他们的候车时间（单位：分钟）作为样本分成6组，如下表所示：(I)估计这45名乘客中候车时间少于12分钟的人数；(Ⅱ)若从上表第四、五组的5人中随机抽取2人做进一步的问卷调查，求抽到的2人恰好来自不同组的概率．19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，11,AB AA ==D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A ． (I)证明：1BC AB ⊥；(Ⅱ)若OC OA =，求三棱锥1C ABC -的体积． 20．（本小题满分12分）已知△ABC 的两顶点坐标(1,0),(1,0)A B -，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，1CP =（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C 的轨迹为曲线M ．(I)求曲线M 的方程；(Ⅱ)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在 以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数(1)()ln ,()k x f x x x g x x-==． (I)当k e =时，求函数()()()h x f x g x =-的单调区间和极值；； (Ⅱ) 若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值。

2017郑州第一次质量检测数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 在-2 017，0，-3，2 017这四个数中，最小的数是（ ）A ．-2 017B ．0C ．-3D ．2 0172. 如图是几何体的三视图，该几何体是（ ）A ．圆锥B ．圆柱C ．三棱柱D ．三棱锥3. 我国一次性建成最长的万吨重载铁路——晋豫鲁重载铁路，铁路全线长1 260公里，横跨山西、河南、山东三省，总投资941亿元，941亿用科学记数法表示为（ ） A ．994110⨯B ．109.4110⨯C ．1194.110⨯D ．129.4110⨯4. 如图所示，一艘船在海上从A 点出发，沿东北方向航行至点B ，再从B 点出发沿南偏东20°方向行至点C ，则∠ABC 的度数是（ ） A ．45° B ．65° C ．75°D ．90°5. 下列说法中，正确的是（ ）A ．为检测市场上正在销售的酸奶质量，应该采用全面调查的方式CBA俯视图左视图主视图B．在连续5次的数学测试中，两名同学的平均分相同，方差较大的同学数学成绩更稳定C．小强班上有3个同学都是16岁，因此小强认为他们班学生年龄的众数是16岁D．给定一组数据，则这组数据的中位数一定只有一个6.如图，已知△ABC，∠ACB=90°，BC=3，AC=4，小红按如下步骤作图：①分别以A，C为圆心，以大于12AC的长为半径在AC两边作弧，交于两点M，N；②连接MN，分别交AB，AC于点D，O；③过C作CE∥AB交MN于点E，连接AE，CD．则四边形ADCE 的周长为（）A．10 B．20C．12 D．247.如图是甲、乙、丙三人玩跷跷板的示意图（支点在中点处），则甲的体重的取值范围在数轴上表示正确的是（）A．B．C．D．8.从九年级一班3名优秀班干部和九二班2名优秀班干部中随机抽取两名学生担任升旗手，则抽取的两名学生刚好一个班的概率为（）A．15B．25C．35D．459.某校团委准备举办学生绘画展览，为美化画面，在长8 dm，宽为5dm的矩形内画面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积等于22 dm2（如图），若设彩纸的宽度为x分（35kg）乙甲甲（45kg）丙NMEODCBA米，则可得方程为（ ） A ．40-10x -16x =18 B ．(8-x )(5-x )=18 C ．(8-2x )(5-2x )=18 D ．40-5x -8x +4x 2=2210. 如图，矩形ABCD 中，AB =2AD =4 cm ，动点P 从点A 出发，以1 cm/s 的速度沿线段AB向点B 运动，动点Q 同时从点A 出发，以2 cm/s 的速度沿折线AD→DC→CB 向点B 运动，当一个点停止时另一个点也随之停止．设点P 的运动时间是x （s ） 时，△APQ 的面积是y （cm 2），则能够反映y 与 x 之间函数关系的图象大致是（ ）A ．B ．C ．D ．二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 计算：03=__________．12. 如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB 和AC 上的点，且DE ∥BC ，如果AB =12 cm ，AD =9 cm ，AC =8 cm ，那么AEQP D C BA第12题图 第14题图13. 当k =__________时，双曲线ky x=过点． 14. 如图，把抛物线212y x =平移得到抛物线m ，抛物线m 经过点(80)A -，和原点O (0，0)，它的顶点为P ，它的对称轴与抛物线212y x =交于点Q ，则图中阴影部分的面积为__________．15. 如图，在矩形ABCD 中，AB =6，BC =4，点E 是边BC上一动点，把△DCE 沿DE 折叠得△DFE ，射线DF 交 直线CB 于点P ，当△AFD 为等腰三角形时，DP 的长 为_________．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16. （8分）先化简，再求值：22113()263x x xx x x ++-÷---，其中x 为方程(6)(3)0x x --=的实数根．CE BAD PA B FE DC17. （9分）如图，在菱形ABCD 中，AB =20，∠DAB =60°，点E 是AD 边的中点，点M 是AB 边上一动点（不与点A 重合），延长ME 交射线CD 于点N ，连拉MD ，AN ． （1）求证：四边形AMDN 是平行四边形．（2）填空：①当AM 的值为_________时，四边形AMDN 是矩形； ②当AM 的值为_________时，四边形AMDN 是菱形．18. （9分）全民学习、终身学习是学习型社会的核心内容，努力建设学习型家庭也是一个重要组成部分．为了解“学习型家庭”情况，对部分家庭五月份的平均每天看书学习时间进行了一次抽样调查，并根据收集的数据绘制了下面两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，解答下列问题：NM E D CBA（1）本次抽样调查了_________个家庭； （2）将图1中的条形图补充完整；（3）学习时间在2~2.5小时的部分对应的扇形圆心角的度数是______度；（4）若该社区有家庭共3 000个，请你估计该社区学习时间不少于1小时的约有多少个家庭？19. （9分）已知关于x 的一元二次方程22(2)0x x m +--=有实数根．（1）求m 的取值范围；（2）若方程有一个根为x =1，求m 的值及另一个根．图1时间/小时图254°108° 1.5~2小时2~2.5小时1~1.5小时0.5~1小时20. （9分）郑州市农业路高架桥二层的开通，较大程度缓解了市内交通的压力，最初设计南阳路口上桥匝道时，其坡角为15°，后来从安全角度考虑将匝道坡角改为5°（见示意图），如果高架桥高CD =6米，匝道BD 和AD 每米造价均为4 000元，那么设计优化后修建匝道AD 的投资将增加多少元？（参考数据：sin5°≈0.08，sin15°≈0.25，tan5°≈0.09，tan15°≈0.27，结果保留整数）21. （10分）雾霾天气持续笼罩我国大部分地区，困扰着广大市民的生活，口罩市场出现热销，小明的爸爸用12 000元购进甲、乙两种型号的口罩在自家商店销售，销售完后共获利2 700元，进价和售价如下表：米（2）该商店第二次以原价购进甲、乙两种型号口罩，购进甲种型号口罩袋数不变，而购进乙种型号口罩袋数是第一次的2倍．甲种口罩按原售价出售，而效果更好的乙种口罩打折让利销售．若两种型号的口罩全部售完，要使第二次销售活动获利不少于2 460元，每袋乙种型号的口罩最多打几折？22.（10分）如图，长方形ABCD中，P是AD上一动点，连接BP，过点A作BP的垂线，垂足为F，交BD于点E，交CD于点G．（1）当AB=AD，且P是AD的中点时，求证：AG=BP；（2）在（1）的条件下，求DEBE的值；（3）类比探究：若AB=3AD，AD=2AP，DEBE的值为_______．（直接填答案）AB CDPFGE23.（11分）如图1，若直线l：y=-2x+4交x轴于点A，交y轴于点B，将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△COD．过点A，B，D的抛物线h：y=ax2+bx+4．（1）求抛物线h的表达式；（2）若与y轴平行的直线m以1秒钟一个单位长度的速度从y轴向左平移，交线段CD于点M，交抛物线h于点N，求线段MN的最大值；（3）如图2，点E为抛物线h的顶点，点P是抛物线h在第二象限上的一动点（不与点D，B重合），连接PE，以PE为边作图示一侧的正方形PEFG，随着点P的运动，正方形的大小、位置也随之改变．当顶点F或G恰好落在y轴上时，直接写出对应的点P的坐标．Array图1图2备用图参考答案。

郑州市2017届高三上学期第一次质量预测试题数学（理）本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，考试时间120分钟，满分150分．考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题卷上作答无效．交卷时只交答题卡．第I 卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{}{}|2,|2A x x B x x m =>=<,且，那么m 的值可以是A ．1B ．2C ．3D ．42．复数1iz i+=（i 是虚数单位）在复平面内对应的点在 A. 第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限3． 2.5PM 是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒 物，也称为可入肺颗粒物，右图是据某地某日早7点至晚8 点甲、乙两个 2.5PM 监测点统计的数据（单位：毫克／每立方米）列出的茎叶图，则甲、乙两地浓度的方差较小的是 A ．甲 B ．乙C ．甲乙相等D ．无法确定4．如图，某几何体的正视图和俯视图都是矩形，侧视 图是平行四边形，则该几何体的表面积为A ．15+B ．C ．30+．5．已知曲线23ln 4x y x =-的一条切线的斜率为12-，则切点的横坐标为 A.3 B. 2 C ．1 D ．126．已知各项不为0的等差数列{}n a 满足2478230a a a -+=，数列{}n b 是等比数列，且77b a =，则2811b b b 等于A ．1B ．2C ．4D ．87．二项式6(ax 的展开式的第二项的系数为-，则22a x dx -⎰的值为A.3 B ．73 C ．3或73 D ．3或103-8．已知抛物线22(0)y px p =>，过其焦点且斜率为-1的直线交抛物线于A ，B 两点，若线段AB 的中点的横坐标为3，则该抛物线的准线方程为A ．x=lB ．2x =C ．1x =-D ．2x =-9．设函数())cos(2)()2f x x x πϕϕϕ=+++<，且其图象关于直线0x =对称，则A ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为增函数 B ．()y f x =的最小正周期为π，且在(0,)2π上为减函数 C ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为增函数 D ．()y f x =的最小正周期为2π，且在(0,)4π上为减函数10．已知a ，b 是两个互相垂直的单位向量，且1c a c b ==，则对任意的正实数t ， 1c ta b t++的最小值是A.2 B ． C ．4 D ．11．已知椭圆221:12x y C m n -=+与双曲线222:1x y C m n+=有相同的焦点，则椭圆1C 的离心率e 的取值范围为A. B. C. (0,1) D. 1(0,)212.已知数列{}n a 的通项公式为)n a n N *=∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S 、2S 、…2014S 中，有理数项的项数为A ．42B ．43C ．44D ．45第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13—21题为必考题，每个试题考生都必须作答，第22—24题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．设,x y 满足约束条件1,3,0,x y x y y -≥-⎧⎪+<⎨⎪>⎩， 则z x y =-的取值范围为________．14．执行右面的程序框图，若输出的3132S =，则输入的整 数p 的值为__________．15.已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱垂直于底面，各顶2,1AB AC ==．60ABC ∠= ，则此球的表面积等于_________．16．定义在R 上的函数32()(0)f x ax bx cx a =++≠的单 调增区间为（-1，1），若方程23(())2()0a f x bf x c ++=恰有6个不同的实根，则实数a 的取值范围是__________．三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分12分） 如图△ABC 中，已知点D 在BC 边上，满足0,AD AC ⋅=sin BAC AB BD ∠=== (I)求AD 的长; (Ⅱ)求cosC ．18.（本小题满分12分）为迎接2017年“马”年的到来，某校举办猜奖活动，参与者需先后回答两道选择题，问题A 有三个选项，问题B 有四个选项，但都只有一个选项是正确的，正确回答问题A 可获奖金a 元，正确回答问题B 可获奖金b 元．活动规定：参与者可任意选择回答问题的顺序，如果第一个问题回答正确，则继续答题，否则该参与者猜奖活动终止．假设一个参与者在回答问题前，对这两个问题都很陌生．(I)如果参与者先回答问题A ，求其恰好获得奖金a 元的概率；(Ⅱ)试确定哪种回答问题的顺序能使该参与者获奖金额的期望值较大．19.（本小题满分12分）在三棱柱111ABC A B C -中，侧面11ABB A 为矩形，11,AB AA ==D 为1AA 的中点，BD 与1AB 交于点O ，CO ⊥侧面11ABB A ． (I)证明：1BC AB ⊥；(Ⅱ)若OC OA =，求直线1C D 与平面ABC 所成角的 正弦值． 20．（本小题满分12分）已知△ABC 的两顶点坐标(1,0),(1,0)A B -，圆E 是△ABC 的内切圆，在边AC ，BC ，AB 上的切点分别为P ，Q ，R ，1CP =（从圆外一点到圆的两条切线段长相等），动点C 的轨迹为曲线M ．(I)求曲线M 的方程；(Ⅱ)设直线BC 与曲线M 的另一交点为D ，当点A 在 以线段CD 为直径的圆上时，求直线BC 的方程．21.（本小题满分12分） 已知函数()ln ,()(1)f x x x g x k x ==-． (I)若()()f x g x ≥恒成立，求实数k 的值；(Ⅱ)若方程()()f x g x =有一根为11(1)x x >,方程'()'()f x g x =的根为0x ，是否存在实数k ，使1?x k x =若存在，求出所有满足条件的k 值；若不存在，说明理由， 请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． 22.（本小题满分10分）选修4-1:几何证明选讲如图，A ，B ，C ，D 四点在同一圆上，BC 与AD 的延长线交于点E ，点F 在BA 的延长线上．(I)若1,13EC ED CB DA ==，求DCAB的值； (Ⅱ)若2BCEF FA FB =⋅，证明：EF ∥CD ．23.（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程已知曲线12cos :1sin x t C y t =-+⎧⎨=+⎩ (t 为参数)，24cos :3sin x C y θθ=⎧⎨=⎩(q 为参数)．(I)化1C ，2C 的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线;(Ⅱ)过曲线2C 的左顶点且倾斜角为4π的直线l 交曲绒1C 于A ，B 两点，求AB .24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 设函数()4(4)f x x x a a =-+-<. (I)若()f x 的最小值为3，求a 值； (Ⅱ)求不等式()3f x x ≥-的解集，2017年高中毕业年级第一次质量预测数学（理科） 参考答案一、 选择题ADACB DBCBB AB 二、 填空题13.[1,3)-； 14.5； 15. 8π； 16.12a <-. 三、解答题17．解：(1) 因为AD AC ⊥，所以sin sin()cos 2BAC BAD BAD π∠=+∠=∠,即cos BAD ∠=,…………………………….2分 在ABD ∆中，由余弦定理可知2222cos BD AB AD AB AD BAD =+-⋅⋅∠， 即28150AD AD -+=，解之得5AD =或 3.AD = ……………………………………………….6分由于AB AD >，所以 3.AD =…………………………………………………..7分 (2) 在ABD ∆中，由正弦定理可知sin sin BD ABBAD ADB=∠∠，又由cos BAD ∠=可知1sin 3BAD ∠=，所以sin sin AB BAD ADB BD ∠∠==, 因为2ADB DAC C C π∠=∠+∠=+∠,所以cos C =.……………………………………………………..12分 18．解：随机猜对问题A 的概率113P =，随机猜对问题B 的概率214P =．………… 2分 ⑴设参与者先回答问题A ，且恰好获得奖金a 元为事件M ,则12131()(1)344P M P P =-=⨯=, 即参与者先回答问题A ，其恰好获得奖金a 元的概率为14. ………………4分⑵参与者回答问题的顺序有两种，分别讨论如下：①先回答问题A ，再回答问题B ．参与者获奖金额ξ可取0,,a a b +， 则()12013P P ξ==-=，()()12114P a P P ξ==-=，()121.12P a b PP ξ=+==②先回答问题B ，再回答问题A ，参与者获奖金额η，可取0,,b a b +，则()23014P P η==-=，()()21116P b P P η==-=，()211.12P a b P P η=+==()3110.4612124a bE b a b η=⨯+⨯++⨯=+………… 10分32.12a bE E ξη--= 于是，当23a b >，时E E ξη>，即先回答问题A ，再回答问题B ，获奖的期望值较大； 当23a b =，时E E ξη=，两种顺序获奖的期望值相等；当23a b <，时E E ξη<，先回答问题B ，再回答问题A ，获奖的期望值较大.…………………………12分 19.解：(1)证明：由题意11tan tan AD AB ABD AB B AB BB ∠==∠==, 注意到10,2ABD AB B π<∠∠<,所以1ABD AB B ∠=∠,所以1112ABD BAB AB B BAB π∠+∠=∠+∠=,所以BD AB ⊥1, ……………………3分又⊥CO 侧面11A ABB ，1.AB CO ∴⊥ 又BD 与CO 交于点O ，所以CBD AB 面⊥1,又因为CBD BC 面⊂,所以1AB BC ⊥.……………………………6分(2)如图，分别以1,,OD OB OC 所在的直线为,,x y z 轴， 以O 为原点，建立空间直角坐标系xyz O -则(0,A，(B ，C，1B，D ， 又因为12CC AD =，所以1C …………8分所以(AB =，AC =，1DC =设平面ABC 的法向量为(,,)n x y z =，则根据0,0AB n AC n ⋅=⋅=可得n =是平面ABC 的一个法向量,设直线1C D 与平面ABC 所成角为α，则11||sin ||||DC n DC n α⋅==………………12分20.⑴解：由题知||||||||||||2||||4||,CA CB CP CQ AP BQ CP AB AB +=+++=+=> 所以曲线M 是以,A B 为焦点，长轴长为4的椭圆（挖去与x 轴的交点），设曲线M ：22221(0,0)x y a b y a b+=>>≠，则2222||4,()32AB a b a ==-=， 所以曲线M ：221(0)43x y y +=≠为所求.---------------4分 ⑵解：注意到直线BC 的斜率不为0，且过定点(1,0)B ， 设1122:1,(,),(,)BC l x my C x y D x y =+，A由221,3412,x my x y =+⎧⎨+=⎩ 消x 得22(34)690m y my ++-=，所以1,2y =， 所以1221226,349,34m y y m y y m ⎧+=-⎪⎪+⎨⎪=-⎪+⎩-------------------------------------8分因为1122(2,),(2,)AC my y AD my y =+=+,所以212121212222222(2)(2)(1)2()49(1)12794.343434AC AD my my y y m y y m y y m m m m m m ⋅=+++=+++++-=--+=+++注意到点A 在以CD 为直径的圆上,所以0AC AD ⋅= ,即m =,-----11分所以直线BC的方程330x +-=或330x -=为所求.------12分21.⑴解:注意到函数()f x 的定义域为(0,)+∞, 所以()()f x g x ≥恒成立()()f xg x x x⇔≥恒成立, 设(1)()ln (0)k x h x x x x-=->, 则221()k x kh x x x x -'=-=, ------------2分当0k ≤时,()0h x '>对0x >恒成立,所以()h x 是(0,)+∞上的增函数, 注意到(1)0h =,所以01x <<时,()0h x <不合题意.-------4分 当0k >时,若0x k <<,()0h x '<;若x k >,()0h x '>. 所以()h x 是(0,)k 上的减函数,是(,)k +∞上的增函数,故只需min ()()ln 10h x h k k k ==-+≥. --------6分 令()ln 1(0)u x x x x =-+>,11()1xu x x x-'=-=, 当01x <<时,()0u x '>; 当1x >时,()0u x '<. 所以()u x 是(0,1)上的增函数,是(1,)+∞上的减函数. 故()(1)0u x u ≤=当且仅当1x =时等号成立.所以当且仅当1k =时,()0h x ≥成立,即1k =为所求. --------8分 ⑵解:由⑴知当0k ≤或1k =时,()()f x g x =,即()0h x =仅有唯一解1x =,不合题意; 当01k <<时, ()h x 是(,)k +∞上的增函数,对1x >,有()(1)0h x h >=，所以()()f x g x =没有大于1的根,不合题意. ---------8分当1k >时,由()()f x g x ''=解得10k x e -=,若存在110k x kx ke -==, 则111ln()(1)k k k keke k ke ---=-,即1ln 10k k e --+=,令1()ln 1(1)xv x x e x -=-+>,11()x x xe exv x e x xe--'=-=, 令(),()xxs x e ex s x e e '=-=-,当1x >时,总有()0s x '>, 所以()s x 是(1,)+∞上的增函数,即()(1)0xs x e ex s =->=, 故()0v x '>,()v x 在(1,)+∞上是增函数,所以()(1)0v x v >=,即1ln 10k k e --+=在(1,)+∞无解.综上可知,不存在满足条件的实数k . ----------------------12分 22.解：⑴ D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，又AEB ∠为公共角，∴ECD ∆∽,EAB ∆ ∴.DC EC EDAB EA EB== ∴2111...428DC EC ED EC ED AB EA EB EB EA ⎛⎫==== ⎪⎝⎭.∴DC AB =. ……………………………………………………………… 6分⑵ FB FA EF ⋅=2， ∴FEFB FA EF =， 又 BFE EFA ∠=∠， ∴FAE ∆∽FEB ∆，∴EBF FEA ∠=∠，又 D C B A ,,,四点共圆，∴EBF EDC ∠=∠，∴EDC FEA ∠=∠， ∴//.EF CD .…………………………………………………… 10分 23.解：⑴222212:(2)(1)1,: 1.169x y C x y C ++-=+= 曲线1C 为圆心是(2,1)-，半径是1的圆．曲线2C 为中心是坐标原点，焦点在x 轴上，长轴长是8，短轴长是6的椭圆．……4分⑵曲线2C 的左顶点为(4,0)-，则直线l的参数方程为4,,x s y s ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（s 为参数） 将其代入曲线1C整理可得：240s -+=，设,A B 对应参数分别为12,s s ，则1212 4.s s s s +==所以12||||AB s s =-==. ……………………………10分24.解：⑴因为,4)()4(4-=---≥-+-a a x x a x x因为4a <,所以当且仅当4a x ≤≤时等号成立,故43,1a a -=∴=为所求.……………………4分⑵不等式x x f -≥3)(即不等式x a x x -≥-+-34)4(<a ， ①当a x <时，原不等式可化为43,x a x x -+-≥-即 1.x a ≤+所以，当a x <时，原不等式成立.②当4≤≤x a 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥-即 1.x a ≥-所以，当4≤≤x a 时，原不等式成立.③当4>x 时，原不等式可化为43.x x a x -+-≥- 即7,3a x +≥由于4<a 时74.3a +>所以，当4>x 时，原不等式成立.综合①②③可知： 不等式x x f -≥3)(的解集为R.……………………10分。

2017年河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测（文科）一、选择题（共12小题；共60分）1. 已知集合，，则A. B.C. D.2. 若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为A. B. C. D.3. 已知命题，命题，，则成立是成立的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 即不充分也不必要条件4. 在中，，，，，为线段的三等分点，则A. B. C. D.5. 我们可以用随机模拟的方法估计的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数RAND是产生随机的函数，它能随机产生内的任何一个实数）．若输出的结果为，则由此可估计的近似值为A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，则其体积为A. B. C. D.7. 函数的图象如何平移可以得到函数的图象?A. 向左平移个单位长度B. 向右平移个单位长度C. 向左平移个单位长度D. 向右平移个单位长度8. 函数的图象大致为A. B.C. D.9. 如图直三棱柱中，是边长为的等边三角形，，点，，，，分别是边，，，，的中点，动点在四边形内部运动，并且始终有平面，则动点的轨迹长度为A. B. C. D.10. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离等于实半轴长，则该双曲线的离心率为A. B. C. D.11. 已知，且，则的取值范围是A. B. C. D.12. 已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则．14. 已知实数，满足不等式组则的最小值为．15. 如果满足，，的锐角有且只有一个，那么实数的取值范围是．16. 对于函数与，若存在，，使得，则称函数与互为“零点密切函数”，现已知函数与互为“零点密切函数”，则实数的取值范是．三、解答题（共7小题；共91分）17. 已知数列的前项和，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前项和．18. 如图，已知四棱锥，底面梯形中，，平面平面，是等边三角形，已知，，是上任意一点，，且．（1）求证：平面平面；（2）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的倍．19. 近年来郑州空气污染较为严重，现随机抽取一年（天）内天的空气中PM2.5指数的检测数据，统计结果如下：内时对企业没有造成经济损失；当在区间内时对企业造成的经济损失成直线模型（当PM2.5指数为时造成的经济损失为元，当PM2.5指数为时，造成的经济损失为元）；当PM2.5指数大于时造成的经济损失为元．附：，其中（1）试写出的表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于元且不超过元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有天是在供暖季，其中有天为重度污染，完成下面列联表，并判断是否有的把握认为郑州市本年度空气重度污染与供暖有关?20. 已知坐标平面上动点与两个定点，，且．（1）求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；（2）记（1）中轨迹为，过点的直线被所截得的线段长度为，求直线的方程．21. 已知函数．（1）证明；（2）若对任意，不等式恒成立，求实数的取值范围．22. 在平面直角坐标中，曲线的参数方程为（为参数），在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为的圆．（1）求曲线的普通方程，的直角坐标方程；（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围．23. 已知，，函数的最小值为．（1）求的值；（2）求的最小值．答案第一部分1. B 【解析】依题意得，，．2. D 【解析】依题意得，则复数的共轭复数为．3. A 【解析】命题等价于．命题，对，，必有或，则，所以命题是命题的充分不必要条件．4. C 【解析】在中，，平方得，即，则，由于，为的三等分点，则，，，又有，，则，，又由，，故5. B【解析】根据已知的程序框图可以得到，该程序的功能是利用随机模拟的方法任取的两个数，，求的概率．因为，，对应的平面区域的面积为，而对应的平面区域的面积为，故，解得6. B 【解析】由三视图知，该几何体是一个棱长为的正方体挖去一个底面半径为，高为的个圆锥而得到的，所以该几何体的体积．7. D 【解析】因为，所以将函数的图象向右平移个单位长度就可得到函数的图象．8. C 【解析】依题意，注意到，因此函数是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A，B均不正确；当时，，，，因此结合选项知，C正确．9. D 【解析】连接，，，因为，，分别为，，的中点，所以平面，平面，所以平面平面，所以与线段上任意一点的连线都平行于平面，所以点的运动轨迹是线段，其长度为．10. C【解析】不妨设双曲线的方程为，因为焦点到渐近线的距离为，，即，所以，所以该双曲线的离心率．11. A 【解析】因为，又，所以，当且仅当时，等号成立，即，解得．12. C 【解析】因为，若，且对任意的恒成立，则对任意的恒成立．令，则．令，则，所以函数在上单调递增．因为，，所以方程在上存在唯一实数根，且满足．当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增．又，所以，所以，所以，所以整数的最大值为．第二部分13.【解析】依题意得，．14.【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数经过点时取得最小值，即．15.【解析】当时，不能构成三角形；当，即，时，三角形为直角三角形，不符合题意；当，即，即时，能构造一个锐角三角形与一个钝角三角形，满足条件；当，即时，要使为锐角三角形，必有，则，即，解得．综上可知，实数的取值范围是．16.【解析】易知函数为增函数，且，所以函数只有一个零点，则取，由，知．由与互为“零点密切函数”知函数在区间内有零点，即方程在内有解，所以，而函数在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取最小值，且当时，，当时，，所以，所以实数的取值范围是．第三部分17. （1）当时，可得；当时，可得．检验知，时也符合．故数列的通项公式为．（2）由1可得．记数列的前项和为，则．记，，则，．故数列的前项和．18. （1）在中，由于，，，所以，故．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面．（2）所以19. （1）依题意，可得．（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失大于元且不超过元”为事件，由，得，频数为，．（3）根据题中数据得到如下列联表：的观测值，所以有的把握认为空气重度污染与供暖有关．20. （1）由题意，得，即，化简，得，所以点的轨迹方程是．轨迹是以为圆心，以为半径的圆．（2）当直线的斜率不存在时，，此时所截得的线段长度为，所以符合题意．当直线的斜率存在时，设的方程为，即，圆心到直线的距离，由题意，得，解得．所以直线的方程为，即．综上，直线的方程为或．21. （1）令，则．当时，，所以当时，，当时，，即在上单调递增；在上单调递减．所以，故．（2）记，则在上，，①若，，时，，单调递增，，这与上矛盾；②若，，时，，单调递增，而，这与上矛盾；③若，，所以时，，单调递减，时，，单调递增，所以，即恒成立．④若，，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，这与上矛盾．⑤若，，时，，单调递增，时，，单调递减，所以，这与上矛盾．综上，实数的取值范围是．22. （1）消去参数可得的普通方程为．曲线的圆心的直角坐标为，所以的直角坐标方程为．（2）设，曲线的圆心为，则根据题意可得，，即的取值范围是．23. （1）因为，所以，当且仅当时，等号成立，又，，所以，所以的最小值为，所以．（2）由（1）知，，当且仅当，时，的最小值为．第11页（共11 页）。

2017年河南省郑州市高中毕业年级第一次质量预测一、选择题（共12小题；共60分）1. 设，，，则A. B.C. D.2. 若复数满足（为虚数单位），则的共轭复数为A. B. C. D.3. 命题“，”的否定是A. ，B. ，C. ，D. ，4. 《张丘建算经》卷上第题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织尺布，现在一个月（按天计）共织尺布．则该女最后一天织多少尺布?A. B. C. D.5. 我们可以用随机数法估计的值，如图所示的程序框图表示其基本步骤（函数是产生随机数的函数，它能随机产生内的任何一个实数），若输出的结果为，则由此可估计的近似值为A. B. C. D.6. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为A. B. C. D.7. 设，则的展开式中常数项是A. B. C. D.8. 函数的图象大致为A. B.C. D.9. 已知数列满足，且对任意都有，则实数的取值范围为A. B. C. D.10. 设正实数，满足，，不等式恒成立，则的最大值为A. B. C. D.11. 已知直线与双曲线相切于点，与双曲线的两条渐近线交于，两点，则的值为A. B.C. D. 与的位置有关12. 已知函数，若，且对任意的恒成立，则的最大值为A. B. C. D.二、填空题（共4小题；共20分）13. 在平面直角坐标系中，已知角的顶点和点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标为，则．14. 已知实数，满足不等式组则的最小值为．15. 过抛物线的焦点作一条倾斜角为的直线交抛物线于，两点，则．16. 若函数满足：，都有，且，，则．三、解答题（共7小题；共91分）17. 巳知的外接圆直径为，角，，所对的边分别为，，，．（1）求的值；（2）若，求的面积．18. 如图，已知四棱锥，底面梯形中，，平面平面，是等边三角形，已知，．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值．19. 北京时间月日下午，谷歌围棋人工智能AlphaGo与韩国棋手李世石进行最后一轮较量，AlphaGo获得本场比赛胜利，最终人机大战总比分定格在．人机大战也引发全民对围棋的关注，某学校社团为调查学生学习围棋的情况，随机抽取了名学生进行调查．根据调查结果绘制的学生日均学习围棋时间的频率分布直方图如图所示，将日均学习围棋时间不低于分钟的学生称为“围棋迷”．附：，其中．（1）根据已知条件完成下面的列联表，并据此资料判断是否有的把握认为“围棋迷”与性别有关?非围棋迷围棋迷合计男女合计（2）将上述调查所得到的频率视为概率．现在从该地区大量学生中，采用随机抽样方法每次抽取名学生，抽取次，记被抽取的名学生中的“围棋迷”人数为．若每次抽取的结果是相互独立的，求的分布列，期望和方差．20. 已知圆（）与直线相切，设点为圆上一动点，轴于，且动点满足，设动点的轨迹为曲线．（1）求曲线的方程；（2）直线与直线垂直且与曲线交于，两点，求（为坐标原点）面积的最大值．21. 设函数．（1）若当时，函数的图象恒在直线上方，求实数的取值范围；（2）求证：．22. 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线是圆心为，半径为的圆．（1）求曲线的普通方程，的直角坐标方程；（2）设为曲线上的点，为曲线上的点，求的取值范围．23. 已知，，函数的最小值为．（1）求的值；（2）求的最小值．答案第一部分 1. B2. D【解析】依题意得，则复数 的共轭复数为 ． 3. A 【解析】依题意得，命题“ ，”的否定是“ ， ”．4. C【解析】依题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为 ，其中 ，前 项和为 ，于是有，解得 ，即该织女最后一天织 尺布． 5. B【解析】在空间直角坐标系 中，不等式组表示的区域是棱长为 的正方体区域，相应区域的体积为 ；不等式组表示的区域是棱长为 的正方体区域内的 球形区域，相应区域的体积为，因此，即 ． 6. B【解析】如图所示，题中的几何体是从直三棱柱 中截去一个三棱锥 后所剩余的部分，其中底面 是直角三角形， ， ， ， ，因此题中的几何体的体积为7. A【解析】依题意得， ，的展开式的通项．令 ，得 ．因此的展开式中的常数项为． 8. C【解析】依题意，注意到，因此函数 是奇函数，其图象关于原点对称，结合各选项知，选项A ，B 均不正确；当 时，，， ，因此结合选项知，C 正确．9. D 【解析】依题意得，当时，，又，因此，，数列是以为首项，为公比的等比数列，等比数列的前项和等于，因此实数的取值范围是．10. C【解析】依题意得，，，即，当且仅当即时，取等号，因此的最小值是，，的最大值是．11. A 【解析】依题意，设点，，，其中，则直线的方程是，题中双曲线的两条渐近线方程为，即．①当时，直线的方程是或．由得此时，同理可得当直线的方程是时，．②当时，直线的方程是．由得，（）又，因此（）即是，，，．综上所述，．12. B 【解析】通解依题意得，对任意的恒成立．令，则，令，则，所以函数在上单调递增．因为，，所以方程在上存在唯一实数根，且满足，即有，．当时，，即，当时，，即，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以所以．故整数的最大值是．优解依题意得，当时，，即，因此满足题意的最大整数的可能取值为．当时，记，即，则，当时，，在区间上单调递减；当时，，在区间上单调递增．因此，的最小值是，于是有恒成立．所以满足题意的最大整数的值是．第二部分13.【解析】依题意得，．14.【解析】作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，由图知，当目标函数经过点时取得最小值，即．15.【解析】依题意，设点，，题中的抛物线的焦点坐标是，直线的方程为，即．由消去得，即，，．16.【解析】通解依题意，在已知等式中，取，，得．取，，得，，由此归纳猜想．下面用数学归纳法证明的正确性．①当时，成立．②假设当时，均成立，则取，，得，即当时，成立．综上所述，，因此．优解由已知得．取，易验证满足．由，得由此解得，，故，．第三部分17. （1）因为，所以，，．所以．（2）由，得，，即，又，所以，解得或舍去．所以．18. （1）在中，由于，，，所以，故．又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，故平面平面．（2）如图，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，设平面的法向量，令，则，，所以．设平面的法向量，令，所以．所以，所以二面角的余弦值为．19. （1）由频率分布直方图可知，在抽取的人中，“围棋迷”有人，从而列联表如下：非围棋迷围棋迷合计男女合计将列联表中的数据代入公式计算，得因为，所以没有的把握认为“围棋迷”与性别有关．（2）由频率分布直方图知抽到“围棋迷”的频率为，将频率视为概率，即从该地区学生中抽取一名“围棋迷”的概率为．由题意知，，从而的分布列为：，．20. （1）设动点，，因为轴于，所以，由题意得，，所以圆的方程为．因为，所以，即将代入圆中，得动点的轨迹方程为．（2）由题意，设直线，，，联立直线与椭圆的方程得消去，得，，解得，，又点到直线的距离，，所以，当且仅当，即时，等号成立．故面积的最大值为．21. （1）令，，则，，．①当时，由于，有，于是在上单调递增，从而，因此在上单调递增，即；②当时，由于，有，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即，不符合题意；③当时，令，当时，，于是在上单调递减，从而，因此在上单调递减，即，不符合题意．综上可知，所求实数的取值范围是．（2）对要证明的不等式等价变形如下：对于任意大于的正整数，不等式恒成立，等价于，相当于（）的③中，的情形，在上单调递减，即，取，都有成立，令，原不等式得证．22. （1）消去参数可得的普通方程，曲线的圆心的直角坐标为，所以的直角坐标方程为．（2）设，曲线的圆心为，则因为，所以，．根据题意可得，，即的取值范围是．23. （1）因为，所以，当且仅当时，等号成立，又，，所以，所以的最小值为，所以．（2）由（）知，，，当且仅当，时，的最小值为．。