三明市2013届高三3月质量检查(数学文)

厦门市2013届三月高三质量检测数学（文科）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分为150分,考试时间120分钟. 参考公式：锥体体积公式 13V Sh =,其中S 为底面面积，h 为高.第Ⅰ卷（选择题:共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U R =，集合{}2|1A x x =≥，那么U C A 等于A. (,1)-∞- B ．(1,1)-C. []1,1-D ．(1,)+∞2．如图，在边长为2的正方形内随机取一个点，则此点在正方形的内切圆内部的概率为A ．4πB ．44π-C ．14π-D ．4ππ-3．若x R ∈，则“0x =”是“220x x -=”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．下列命题正确的是A ．0.20.2log 3log 2>B ．320.20.2>C ．0.20.223>D ．30.20.2log 3>5．设n m ,是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，给出下列条件，能得到m β⊥的是A ．,m αβα⊥⊂B ．,m ααβ⊥⊥C ．,m n n β⊥⊂D ．//,m n n β⊥ 6．将函数()sin 2f x x =的图象向右平移6π个单位，得到函数()y g x =的图象，则它的一个对称中心是A ．(,0)2π-B. (,0)6π-C. (,0)6πD. (,0)3π7．定义!12n n =⨯⨯⨯．右图是求10!的程序框图，则在判断框内应填的条件是A ．10i < B.10i ≤ C.11i ≤ D.10i >8．已知F 是抛物线24y x =的焦点,准线与x 轴的交点为M ，点N在（第2题图）（第7题图）抛物线上,且12NF MN =,则FMN ∠等于 A ．30︒B ．45︒C ．60︒D ．75︒9．函数221,1,()log (1),1x x f x x x ⎧-≤=⎨->⎩的零点个数为A ．1B ．2C ．3D ．410．式子(,,)a b c σ满足(,,)(,,)(,,)a b c b c a c a b σσσ==，则称(,,)a b c σ为轮换对称式．给出如下三个式子：①(,,)a b c abc σ=；②222(,,)a b c a b c σ=-+；③2(,,)cos cos()cos A B C C A B C σ=⋅--(,,A B C 是ABC ∆的内角）．其中，为轮换对称式的个数是A ．0B ．1C ．2D ．311．如图,在边长为2的菱形ABCD 中 ,60ABC ∠=，对角线相交于点O ,P 是线段BD 的一个三等分点，则 AP AC ⋅等于 A. 1 B ．2 C. 3 D ． 412．对于函数()x f ，若存在区间[]n m ,，使[]n m x ,∈时，()[],(*)f x km kn k N ∈∈，则称区间[]n m ,为函数()x f 的“k 倍区间”．已知函数()x x x f sin 3+=，则()x f 的“5倍区间”的个数是A ．0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷(非选择题:共90分)二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在答题卡的相应位置. 13．设i 为虚数单位，则复数212ii+-= ． 14．焦点在x轴上，渐近线方程为y =的双曲线的离心率为 ．15．已知△ABC 的三个内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，若△ABC 的面积为3,3a B π==,则b = ． 16．给出下列命题：①2y =的最小值是2；②11,0a b ab a b><>若则成立的充要条件是； ③若不等式240x ax +-<对任意(1,1)x ∈-恒成立，则a 的取值范围为(3,3)-． 真命题的序号是 ．(写出所有正确命题的序号)三、解答题：本大题共６小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，在答题卷上相应题目的答题区域内作答． 17．（本小题满分12分）为了了解甲、乙两名同学的数学学习情况,对他们的7次数学测试成绩（满分100分）进行统计，作出如下的茎叶图，其中,x y 处的数字模糊不清．已知甲同学成绩的中位数是83，乙同学成绩的平均分是86分. （Ⅰ）求x 和y 的值；（Ⅱ）现从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，求恰抽到一份甲同学试卷的概率． 18．（本小题满分12分）已知函数()sin())33f x x x ππ=-+-． （Ⅰ）求()f x 在[0,2]π上的单调递增区间；（Ⅱ）设函数()(1sin )()g x x f x =+，求()g x 的值域.甲 乙6 378 7 x 1 8 3 3 y 2 39 0 1 6（第17题图）如图，在三棱锥P ABC -中，PA ⊥底面ABC ，,D E 分别是线段,BC PD 的中点.（Ⅰ）若2AP AB AC ===， BC =P ABC -的体积； （Ⅱ）若点F 在线段AB 上，且14AF AB =，证明：直线EF ∥平面PAC ．设直线:54l y x =+是曲线:C 321()23f x x x x m =-++的一条切线，2()223g x ax x =+-．（Ⅰ）求切点坐标及m 的值；（Ⅱ）当m Z ∈时，存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立，求实数a 的取值范围．21．（本小题满分12分）某校高一学生1000人，每周一次同时在两个可容纳600人的会议室，开设“音乐欣赏”与“美术鉴赏”的校本课程．要求每个学生都参加，要求第一次听“音乐欣赏”课的人数为m ()400600m <<，其余的人听“美术鉴赏”课；从第二次起，学生可从两个课中自由选择．据往届经验，凡是这一次选择“音乐欣赏”的学生，下一次会有20﹪改选“美术鉴赏”，而选“美术鉴赏”的学生，下次会有30﹪改选“音乐欣赏”，用n n b a ,分别表示在第n 次选“音乐欣赏”课的人数和选“美术鉴赏”课的人数．(Ⅰ)若500=m ，分别求出第二次,第三次选“音乐欣赏”课的人数23,a a ； (Ⅱ)（ⅰ）证明数列{}600-n a 是等比数列，并用n 表示n a ；（ⅱ）若要求前十次参加“音乐欣赏”课的学生的总人次不超过5800，求m 的取值范围．已知圆22:34O x y +=，椭圆22:1259x y C +=． （Ⅰ）若点P 在圆O 上，线段OP 的垂直平分线经过椭圆的右焦点，求点P 的横坐标；（Ⅱ）现有如下真命题：“过圆222253x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆2222153x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”；“过圆222247x y +=+上任意一点(.)Q m n 作椭圆2222147x y +=的两条切线，则这两条切线互相垂直”．据此,写出一般结论，并加以证明．厦门市2013届高三质量检查数学（文科）参考答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.1—6：BAADDC 7—12： BCCCBD12.提示：先证明函数()x x x f sin 3+=在R 上是增函数，再确定方程x x x 5sin 3=+有三个不等根，得()f x 有三个“5倍区间”．二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.在答题卡上的相应题目的答题区域内作答.13．i 14. 2②三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17. 本题主要考查茎叶图，样本的数字特征，古典概型，考查数据处理能力和运算求解能力，考查或然与必然的数学思想．满分12分. 解：（Ⅰ）甲同学成绩的中位数是83，∴3x =, ……………………………………………… 3分 乙同学的平均分是86分， ∴1(78838380909196)867y +++++++=, ∴1y =. …………………………………………………… 6分（Ⅱ）甲同学成绩在［90，100］之间的试卷有二份，分别记为1a ，2a ，乙同学成绩在［90，100］之间的试卷有三份，分别记为1b ，2b ，3b ， “从这五份试卷中随机抽取两份试卷”的所有可能结果为：()12,a a ， ()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()()2122,,,a b a b ，()23,a b ，()12,b b ，()13,b b ，()23,b b ，共有10种情况， …………………………………………… 9分记“从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份，恰抽到一份甲同学试卷”为事件M ，则事件M 包含的基本事件为：()11,a b ，()12,a b ，()13,a b ，()()2122,,,a b a b ，()23,a b ，共有6种情况……11分 则63()105P M ==， 答：从成绩在［90，100］之间的试卷中随机抽取两份进行分析，恰抽到一份甲同学试卷的概率为35. ……………………………………………………………………12分 18. 本题主要考查三角函数的恒等变换，三角函数的基本性质，考查运算求解的能力，化归与转化的思想．满分12分.解:（Ⅰ）()2sin()2sin 33f x x x ππ=+-=，………………………………………2分sin 2,2]()22y x k k k Z ππππ=∈函数的单调递增区间是[-+， ………………4分 3()[0,2][0,],[,2]22f x ππππ∴在上的单调递增区间为； ………………………6分（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，2()2(1sin )sin 2sin 2sin g x x x x x =+=+， ………7分 设sin t x =，当x R ∈时，[1,1]t ∈-，则2211()222()22h t t t t =+=+-， ……………………………………………………9分 由二次函数的单调性可知，min 1()2h t =-，又(1)0,(1)4,h h -==max ()4h t ∴=, ………………………………………………11分则函数()g x 的值域为1[,4]2-． ………………………………………………………12分 19. 本题主要考查直线与平面的位置关系、棱锥体积计算，考查空间想象能力、推理论证能力及运算求解能力，考查化归与转化思想、数形结合思想．满分12分.解：（Ⅰ）在ABC ∆中，2AB AC ==，BC =点D 是线段BC 的中点 ∴AD ⊥BC ∴1AD =∴ABC S ∆112=⨯=， …………………3分PA ⊥底面ABC ，∴11233P ABC ABC V S PA -∆=⋅⋅==6分 （Ⅱ）法一:取CD 的中点H,连接FH,EH,∵E 为线段PD 的中点,∴△PDC 中,EH ∥PC, ∵EH ⊄平面PAC ，PC ⊂平面PAC ，∴EH ∥平面PAC , ……………………8分∵14AF AB =,∴△ABC 中,FH ∥AC, ∵FH ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ，∴FH ∥平面PAC , ……………………………10分 FH EH=H ，∴ 平面EHF ∥平面PAC ，………11分 ＥF ⊂平面EHF ，∴EF ∥平面PAC . ………12分法二:分别取AD ，AB 的中点M ，N ，连结EM ，MF ，DN ， 点E 、M 是分别是线段PD 、AD 的中点，∴EM ∥PA ， EM ⊄平面PAC ，PA ⊂平面PAC ，∴EM ∥平面PAC ，…………………………………8分12AN AB =，14AF AB =，∴点F 是线段AN 的中点,在ADN ∆中，AF=FN ，AM=MD ，∴ MF ∥DN,在ABC ∆中，AN=NB ，CD=DB ，∴ DN ∥AC ，∴MF ∥AC ，MF ⊄平面PAC ，AC ⊂平面PAC ， ∴ MF ∥平面PAC ， …………10分 EM MF=M ，∴平面EMF ∥平面PAC ， …………………………11分EF ⊂平面EMF ，∴EF ∥平面PAC . ………………………………12分20.本题主要考查函数的单调性,最值,切线,含参数的不等式成立问题，考查运算求解的能力,考查函数与方程、数形结合、化归与转化等数学思想方法．满分12分. （Ⅰ）解：设直线l 与曲线C 相切于点00(,)P x y ，()22f x x x '=-+２,∴0022x x -+２5=, 解得01x =-或03x =,…………………………………2分 当01x =-时，01y =-，(1,1)P --在曲线C 上，∴73m =, 当03x =时，019y =，(3,19)P 在曲线C 上，∴13m =,切点(1,1)P --，73m =， ……………………………………………4分 切点(3,19)P ， 13m =． ……………………………………………6分 (Ⅱ)解法一：∵m Z ∈，∴13m =，设321()()()(1)363h x f x g x x a x =-=-++， 若存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立，则只要min ()0h x ≤， ……………8分[]2()2(1)2(1)h x x a x x x a '=-+=-+，(ⅰ)若10a +≥即1a ≥-，令()0h x '>，得2(1)x 0x a >+<或，[0,)x ∈+∞，∴()h x 在(2(1),)a ++∞上是增函数，令()0h x '≤，解得02(1)x a ≤≤+，∴()h x 在[0,2(1)]a +上是减函数，∴min ()(2(1))h x h a =+，(2(1))0h a +≤令,解得2a ≥，…………………………………………………………………10分 (ⅱ)若10a +<即1a <-，令()0h x '>，解得2(1)x 0x a <+>或，[0,)x ∈+∞， ∴()h x 在(0,)+∞上是增函数，∴min ()(0),h x h = (0)0h ≤令，不等式无解，∴a 不存在， …………11分综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a 的取值范围为[2,)+∞．………………………12分 解法二：由()()f x g x ≤得2321363ax x x ≥-+,(ⅰ)当0x ≠时，213613a x x ≥+-，设2136()13h x x x=+- 若存在[0,)x ∈+∞()()f x g x ≤使成立，则只要min ()h x a ≤， ……8分33331726()33x h x x x -'=-=，令()0h x '≥ 解得6x ≥∴()h x 在[6)+∞上是增函数， 令()0h x '<，解得06x ∴<< ∴()h x 在(0,6)上是减函数，∴min ()(6)2h x h ==，∴2a ≥， ……………………………10分（ⅱ）当0x =时，不等式2321363ax x x ≥-+ 不成立， ∴a 不存在， ……………………………………………………………11分 综合（ⅰ）（ⅱ）得，实数a 的取值范围为[2,)+∞． ………………12分21. 本题主要考查数列的概念，等比数列的定义，数列求和，考查运算求解的能力，应用意识，考查特殊与一般的思想，分类与整合的思想． 满分12分. 解：(Ⅰ)由已知1000=+n n b a ，又5001=a ，5001=∴b , ……………………1分 ∴5503.08.0112=+=b a a ，…………………………………………………2分∴2450b =，∴5751354403.08.0223=+=+=b a a ．……………………………………4分 (Ⅱ)（ⅰ）由题意得n n n b a a 3.08.01+=+，()3005.010003.08.01+=-+=∴+n n n n a a a a ，……………………5分 ()600216001-=-∴+n n a a ，---------------------------------6分()400,600m ∈，∴16000a -≠，∴数列{}600-n a 是等比数列，-------------------------------7分∴()121600600-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-=-n n m a ，得()121600600-⎪⎭⎫⎝⎛⨯-+=n n m a -----------------------------8分（ⅱ）前十次听“音乐欣赏”课的学生总人次即为数列{}n a 的前10项和10S ，()()10911102360006001600060022512S m m ⎛⎫=+-⨯+++=+-⨯ ⎪⎝⎭，…10分 由已知，580010≤S ，得()()512010236002058051201023600600⨯-≤⇒≤⨯-+m m ， 1023512020600⨯≥-∴m ，1.100600-≤∴m ，…………………11分*N m ∈ ，∴m 的取值范围是400499m <≤,且*N m ∈．……12分22. 本题考查直线，圆，椭圆等基础知识，考查运算求解能力，类比、探究归纳能力，考查数形结合思想，化归与转化思想．满分14分． 解法一： （Ⅰ）设点00(,)P x y ，则220034x y +=， （1） ……………………1分设线段OP 的垂直平分线与OP 相交于点M ，则M 00(,)22x y ，……2分 椭圆22:1259x y C +=的右焦点(4,0)F ， ………………3分 MF OP ⊥Q ,∴1OP MFk k ⋅=-，∴ 000002142y y x x -⋅=--， ∴2200080y x x +-=， （2）…………………………4分由（1），（2），解得0174x = ，∴点P 的横坐标为174．…5分 （Ⅱ）一般结论为：“过圆2222x y a b +=+上任意一点(,)Q m n 作椭圆22221x y a b+=的两条切线，则这两条切线互相垂直．”………………………………6分证明如下：（ⅰ）当过点Q 与椭圆22221x y a b+=相切的一条切线的斜率不存在时，此时切线方程为x a =±，Q 点Q 在圆2222x y a b +=+上 ，∴(,)Q a b ±±，∴直线y b =±恰好为过点Q 与椭圆22221x y a b +=相切的另一条切线，∴两切线互相垂直．…………………………………………7分（ⅱ）当过点(,)Q m n 与椭圆22221x y a b+=相切的切线的斜率存在时，可设切线方程为()y n k x m -=-，由22221,(),x y a b y n k x m ⎧+=⎪⎨⎪-=-⎩得 []222222()0b x a k x m n a b +-+-=， 整理得()222222222()2()0b a k x a k n km x a n km a b ++-+--=，…9分Q 直线与椭圆相切，∴42222222224()4()[()]0a k n km b a k a n km a b ∆=--+--=，整理得()()2222220m a k mnk n b --+-=，………………………11分∴221222n b k k m a -=-， ……………………………………………… 12分 点(,)Q m n 在圆2222x y a b +=+上，∴2222m n a b +=+，……13分∴2222m a b n -=-，∴121k k =-，∴两切线互相垂直，综上所述，命题成立．…………………………………………………14分解法二：（Ⅰ）设点00(,)P x y ，则220034x y +=， （1）……………………………1分椭圆22:1259x y C +=的右焦点(4,0)F ，………………………………2分 Q 点F 在线段OP 的垂直平分线上， ∴PF OF =，∴22200(4)(0)4x y -+-= ， ∴2200080x x y -+=， （2）……4分由（1），（2），解得0174x =， ∴点P 的横坐标为174．……………5分 （Ⅱ）同解法一．。

2013年江西省某校高考数学三模试卷（文科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 集合P ={x ∈Z|0≤x <2}，M{x ∈Z|x 2≤4}，则P ∩M 等于（ ） A {1} B {0, 1} C [0, 2) D [0, 2]2. i 是虚数单位，(1+i1−i )2等于（ ）A iB −iC 1D −13. 已知等比数列{a n }中有a 3a 11＝4a 7，数列{b n }是等差数列，且a 7＝b 7，则b 5+b 9＝（ ）A 2B 4C 8D 164. 某程序的框图如图所示，执行该程序，若输入的P 为24，则输出的n ，S 的值分别为（ ）A n =4，S =30B n =4，S =45C n =5，S =30D n =5，S =45 5. 已知双曲线C 1:x 2a 2−y 2b 2=1(a >0， b >0)的离心率为2，若抛物线C 2:x 2=2py(p >0)的焦点到双曲线C 1的渐近线的距离为2，则抛物线C 2的方程为( ) A x 2=8√33y B x 2=16√33y C x 2=8y D x 2=16y6. 等腰三角形ABC 中，AB =AC =5，∠B =30∘，P 为BC 边中线上任意一点，则CP →⋅BC →的值为（ ）A 752 B −252 C 5 D −7527. 一个几何体的三视图如图所示，且其侧视图是一个等边三角形，则这个几何体的体积为（ ）A(4+π)√33B (4+π)√3 C(8+π)√32 D (8+π)√368. 已知函数y =g(x)是定义在R 上的奇函数，当x >0时，g(x)=log 2x ，函数f(x)=4−x 2，则函数f(x)⋅g(x)的大致图象为（ ）A BC D9. 已知函数f(x)=13x 3+12ax 2+2bx +c(a, b, c ∈R)在区间(0, 1)内取得极大值在区间(1, 2)内取得极小值，则√(a +3)2+b 2的取值范围为（ ） A (√22, 2) B (12, 4) C (1, 2) D (1, 4)10. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F 1、F 2是一对相关曲线的焦点，P 是它们在第一象限的交点，当∠F 1PF 2＝60∘时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（ ） A √3 B √2 C2√33D 2二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分，把正确答案填在题中横线上） 11. 已知向量a →=(1, n)，b →=(−1, n)，2a →−b →与b →垂直，|a →|=________． 12. 若函数f(x)={1og 2x ，x >0−2x +1，x ≤0，则函数f(x)的零点为________．13. 实数对(x, y)满足不等式组{x −y −2≤0x +2y −5≥0y −2≤0，则目标函数z =kx −y 当且仅当x =3，y =1时取最大值，则k 的取值范围是________．14. 在区间[2, 5]和[2, 4]分别取一个数，记为a ，b ，则方程x 2a 2+y 2b 2=1(a >0, b >0)表示焦点在x 轴上的椭圆的概率为________．15. 已知数列{a n }中a 1=1，a 2=2，数列{a n }的前n 项和为S n ，当整数n >1时，S n+1+S n−1=2(S n +S 1)都成立，则数列{1an a n+1}的前n 项和为________．三、解答题：（本大题共6小题，满分75分，解答应给出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. △ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且bc b 2+c 2−a 2=tanA（1）求角A ；（2）设函数f(x)=sinx +2sinAcosx 将函数y =f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，把所得图象向右平移π6个单位，得到函数y =g(x)的图象，求函数y =g(x)的对称中心及单调递增区间．17. 2012年“双节”期间，高速公路车辆较多．某调查公司在一服务区从七座以下小型汽车中按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，将他们在某段高速公路的车速(km/t)分成六段：(60, 65)，[65, 70)，[70, 75)，[80, 85)，[85, 90)后得到如图的频率分布直方图．（1）某调查公司在采样中，用到的是什么抽样方法？（2）求这40辆小型车辆车速的众数和中位数的估计值．（3）若从车速在[60, 70)的车辆中任抽取2辆，求车速在[65, 70)的车辆至少有一辆的概率．18. 如图，菱形ABCD的边长为6，∠BAD=60∘，AC∩BD=O．将菱形ABCD沿对角线AC折起，得到三棱锥B−ACD，点M是棱BC的中点，DM=3√2．(1)求证：OM // 平面ABD；(2)求证：平面ABC⊥平面MDO；(3)求三棱锥M−ABD的体积．19. 已知函数f(x)=ax2−(a+2)x+lnx（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点（1, f(1)）处的切线方程；（2）求f(x)的单调区间．20. 已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=S n+1(n∈N∗)（1）求数列{a n}的通项公式；（2）证明：n2−13<a2−1a3−1+a3−1a4−1+⋯+a n+1−1a n+2−1<n2(n∈N∗)．21. 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√32，其左、右焦点为F1、F2，点P是坐标平面内一点，且|OP|=√152，PF1→⋅PF2→=34其中O为坐标原点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点S(−65, 0)，且斜率为k的动直线l交椭圆于A、B两点，在x轴上是否存在定点M，使以AB为直径的圆恒过这个点？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2013年江西省某校高考数学三模试卷（文科）答案1. B2. D3. C4. C5. D6. D7. D8. D9. A10. A11. 212. 1、013. (−12, 1)14. 2315. 3n−14n16. 解：(1)△ABC中，由余弦定理可得cosA=b2+c2−a22bc ，再由已知bcb2+c2−a2=tanA可得tanA=12cosA ，sinA=12，∴ A=π6，或A=5π6．（2）由（1）可得函数f(x)=sinx+2sinAcosx=√2sin(x+π4)，将函数y=f(x)的图象上各点的纵坐标保持不变，横坐标缩短到原来的12，可得y=√2sin(2x+π4)的图象；把所得图象向右平移π6个单位，得到函数y=g(x)=√2sin[2(x−π6)+π4]=√2sin(2x−π12)的图象．令2x−π12=kπ，k∈z，可得x=kπ2+π24，k∈z，故函数g(x)的对称中心为(kπ2+π24, 0)，k∈z．令2kπ−π2≤2x−π12≤2kπ+π2，k∈z，求得kπ−5π24≤x≤kπ+7π24，k∈z，故函数y=g(x)的单调递增区间为[kπ−5π24, kπ+7π24]，k∈z．17. 由题意知这个抽样是按进服务区的先后每间隔50辆就抽取一辆的抽样方法抽取40名驾驶员进行询问调查，是一个具有相同间隔的抽样，并且总体的个数比较多，这是一个系统抽样．故调查公司在采样中，用到的是系统抽样，众数的估计值为最高的矩形的中点，即众数的估计值等于77.5设图中虚线所对应的车速为x，则中位数的估计值为：0.01×5+0.02×5+0.04×5+0.06×(x−75)＝0.5，解得x＝77.5，即中位数的估计值为77.5从图中可知，车速在[60, 65)的车辆数为：m1＝0.01×5×40＝2（辆），车速在[65, 70)的车辆数为：m2＝0.02×5×40＝4（辆）设车速在[60, 65)的车辆设为a，b，车速在[65, 70)的车辆设为c，d，e，f，则所有基本事件有：(a, b)，(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，(d, e)，(d, f)，(e, f)共15种其中车速在[65, 70)的车辆至少有一辆的事件有：(a, c)，(a, d)，(a, e)，(a, f)，(b, c)，(b, d)，(b, e)，(b, f)，(c, d)，(c, e)，(c, f)，(d, e)，(d, f)，(e, f)共14种所以，车速在[65, 70)的车辆至少有一辆的概率为P=1415．18. (1)证明：因为点O是菱形ABCD的对角线的交点，所以O是AC的中点．又点M是棱BC的中点，所以OM是△ABC的中位线，OM // AB．因为OM⊄平面ABD，AB⊂平面ABD，所以OM // 平面ABD．(2)证明：由题意，OM=OD=3，因为DM=3√2，所以∠DOM=90∘，OD⊥OM.又因为菱形ABCD，所以OD⊥AC．因为OM∩AC=O，所以OD⊥平面ABC.因为OD⊂平面MDO，所以平面ABC⊥平面MDO．(3)解：三棱锥M−ABD的体积等于三棱锥D−ABM的体积．由(2)知，OD⊥平面ABC，所以OD=3为三棱锥D−ABM的高．△ABM的面积为12BA×BM×sin120∘=12×6×3×√32=9√32，所求体积等于13×S△ABM×OD=9√32．19. 解：（1）当a =1时，f(x)=x 2−3x +lnx ，f′(x)=2x −3+1x．因为f′(1)=0，f(1)=−2，所以切线方程为 y =−2． （2）函数f(x)=ax 2−(a +2)x +lnx 的定义域为(0, +∞)． 当a >0时，f′(x)=2ax −(a +2)+1x =2ax 2−(a+2)x+1x(x >0)，令f′(x)=0，即f′(x)=2ax 2−(a+2)x+1x=(2x−1)(ax−1)x=0，所以x =12或x =1a ．①a >2时，令f′(x)>0，可得x >12或0<x <1a ；令f′(x)<0，可得1a <x <12； ②a =2时，f′(x)≥0恒成立；③0<a <2时，令f′(x)>0，可得x >1a 或0<x <12；令f′(x)<0，可得12<x <1a ； ④a ≤0时，令f′(x)>0，可得0<x <12；令f′(x)<0，可得x >12；∴ a >2时，函数的单调增区间是(0, 12)，(0,1a )；单调减区间为(1a , 12)；a =2时，f(x)在(0，+∞上单调递增；0<a <2时，函数的单调增区间是(1a, +∞)，(0, 12)；单调减区间是(12, 1a)；a ≤0时，函数的单调增区间是(0, 12)；单调减区间是(12, +∞)．20. （1）解：∵ a 1=1，a n+1=S n +1 ∴ a 2=S 1+1=2，a n =S n−1+1(n ≥2) 两式相减可得a n+1=2a n ，∵ a 2=2a 1，∴ 数列{a n }是以1为首项，2为公比的等比数列 ∴ a n =2n−1； （2）证明：a n+1−1an+2−1=2n −12n+1−1=12−122n+1−1∴ a 2−1a 3−1+a 3−1a 4−1+⋯+an+1−1a n+2−1=n2−(123−2+124−2+⋯+12n+2−2)<n2∵ 12n+2−2<12(2n+1−2)<⋯<12n−1(23−2)=16⋅(12)n−1 ∴123−2+124−2+⋯+12n+2−2<16+16⋅12+⋯+16⋅(12)n−1=13(1−12n)<13∴ n 2−(123−2+124−2+⋯+12n+2−2)>n 2−13∴ n2−13<a 2−1a 3−1+a 3−1a 4−1+⋯+an+1−1a n+2−1<n2．21. 解：（1）设P(x 0, y 0)，∵ |OP|=√152，PF 1→⋅PF 2→=34，∴ {√x 02+y 02=√152(−c −x 0，−y 0)⋅(c −x 0,−y 0)=34，化为{x 02+y 02=154x 02−c 2+y 02=34， 解得c =√3．又{e =ca =√32a 2=b 2+c 2c =√3，解得{a =2b =1．∴ 椭圆C 的方程为x 24+y 2=1；（2）存在定点M(−2, 0)，使以AB 为直径的圆恒过这个点．证明如下： 设点A(x 1, y 1)，B(x 2, y 2)． 把直线l:y =k(x +65)代入椭圆方程x 24+y 2=1得(1+4k 2)x 2+485k 2x +14425k 2−4=0，∴ x 1+x 2=−48k25(1+4k 2)，x 1x 2=144k 2−10025(1+4k 2)．∴ MA →⋅MB →=(x 1+2, y 1)•(x 2+2, y 2) =(x 1+2)(x 2+2)+k(x 1+65)⋅k(x 2+65)=(1+k 2)x 1x 2+(65k 2+2)(x 1+x 2)+4+3625k 2=(1+k 2)⋅144k 2−10025(1+4k 2)+(65k 2+2)⋅−48k 25(1+4k 2)+4+3625k 2=(144k 4+44k 2−100)−(288k 4+480k 2)+(144k 4+436k 2+100)25(1+4k 2)=0．∴ MA ⊥MB ．即以AB 为直径的圆恒过这个定点M(−2, 0)．。

2013年福建普通高中毕业班质量检查理科数学本试卷分第I 卷(选择题）和第II卷(非选择题），第II 卷第21题为选考题,其他题为必考题.本试卷共5页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项：1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2.考生作答时,将答案答在答题卡上.请按照題号在各题的答题区域（黑色线框）内作答， 超出答题区域书写的答案无效.在草稿纸、试题卷上答题无效. 3.选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号;非选 择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚. 4. 做选考题时,考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号 涂黑.5. 保持答题卡卡面清洁,不折叠、不破损.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回 参考公式：样本数据n x x x ,21，的标准差 锥体体积公式])()()[(122221x x x x x x n s n -++-+-=Sh V 31=， 其中x 为样本的平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式 球的表面积、体积公式 V Sh = 24R S π=，334R V π= 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 表示球的半径 第I 卷（选择题 共50分）一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的.1. 已知复数z=1+i,A. z =-1-iB. | =2 D. 2.已知向量a= (m 2，4)，b=(1，1)则“m= -2”是“a//b”的 A. 充分而不必要条件B.必要而不充分条件C. 充要条件D.既不充分也不必要条件 3. 函数)22(cos log )(21ππ<<-=x x x f 的图象大致是4. 执行如图所示的程序框图,若输入的x 值为2，则输出的x 值为A. 3B. 126C. 127D. 1285. 设M ，N 是两条不同的直线，A ，β是两个不同的平面.下列命题正确的是A. 若m//n, m 丄β,则n 丄βB. 若m//n ，m //β，则 n //βC. 若m //a ，m//β，则 a //βD. 若n 丄a, n 丄β,则a 丄β6. 已知函数1cos sin 32sin 2)(2-+=x x x x f 的图象关于点（ϕ，0)对称，则 ϕ的值可以是A. -6πC.12π 7. 设抛物线y 2=6x 的焦点为F ，准线为L ,P 为抛物线上一点，PA 丄l，垂足为A,如果ΔAPF 为 正三角形，那么|P F |等于A , 34B . 36C 6D . 128. 在矩形ABCD 中，AB = 1 ,AD),(R ∈+=μλμλ,则μλ3+的最大值为A.4236+ 9. 若函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤--=0,ln 0,1)(2x x x kx x x x f 有且只有2个不同的零点，则实数k 的取值范围是A. (-4,0) B, ( -∞ ,0] C. ( -4,0] D, ( - ∞ ,0)10. 设数集S={a,b,c,d}满足下列两个条件：(1)S xy S y x ∈∈∀,,;(2) yz xz y x S z y x ≠≠∈∀则或,,, 现给出如下论断：①A ，B ，C ，D 中必有一个为0; ②A 、b,c ，d 中必有一个为1;③若x∈S且xy =1.，则y ∈S; ④存在互不相等的x,y,z∈S,使得x 2=y,y 2=z. 其中正确论断的个数是A 1 B.2 C. 3 D.4第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡相应位置.11.(x+2)4展开式中含x 2项的系数等于________.12.若变量x,y 满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥≤-+≥--20113013y y x y x ，则z =2x +y 的最大值为_____.点A，则ΔMOA的面积等于______.14.如图.A1，A2，…A m-1(m≥2)将区间[0,l] m等分，直线x=0，x=1, y=0和曲线y=e x所围成的区域为Ω1图中m个矩形构成的阴影区域为Ω2.在Ω1中任取一点,则该点取自Ω2的概率等于______.15.定义两个实数间的一种新运算“*”:x*y=lg(10x+10y),x,y∈R 当.x①（a*b) * c=a* (b* c); ②（a * b)+c=(a+c) * (b+c);其e正确的结论是_____.(写出所有正确结论的序号）三、解答题:本大题共6小题,共80分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.16. (本小题满分13分）某几何体ABC-A1B1C1的三视图和直观图如图所示.(I)求证:A1C丄平面AB1C1(II)求二面角C1-AB1 -C的余弦值.17 (本小题满分13分）国IV标准规定：轻型汽车的氮氧化物排放量不得超过80mg/km.根据这个标准，检测单位 从某出租车公司运营的A,B 两种型号的出租车中分别抽取5辆，对其氮氧化物的排放量 进行检测，检测结果记录如下（单位:mg/km)由于表格被污损，数据x ，y 看不清，统计员只记得A 、B 两种出租车的氮氧化物排放量的平均值相等,方差也相等.(I)求表格中x 与y 的值；(II )从被检测的5辆B 种型号的出租车中任取2辆，记“氮氧化物排放量超过80mg/km” 的车辆数为ξ求ξ的分布列和数学期望.18. (本小题满分13分）如图,我海监船在D 岛海域例行维权巡航,某时刻航行至A 处，此时测得其东北方向与它相距16海里的B 处有一外国船只，且D 岛位于海监船正东(I)求此时该外国船只与D 岛的距离；(II)观测中发现,此外国船只正以每小时4海里的速度 沿正南方向航行.为了将该船拦截在离D 岛12海 里处，不让其进入D 岛12海里内的海域，试确定海 监船的航向,并求其速度的最小值.(参考数据：）19. (本小题满分13分）)0(122>>=+b a by 的左、右焦点分别为F 1 F 2 ,(I)求椭圆E 的方程； (II)给出命题:“已知P 是椭圆E 上异于A 1,A 2的一点,直线 A 1P,A 2P 分别交直线l:x=t(t为常数）于不同两点M ，N, 点Q 在直线L 上.若直线PQ 与椭圆E 有且只有一个公共 点P,则Q 为线段MN 的中点”，写出此命题的逆命题，判 断你所写出的命题的真假,并加以证明；(III)试研究(II)的结论，根据你的研究心得，在图2中作出与该双 曲线有且只有一个公共点S 的直线m ，并写出作图步骤. 注意:所作的直线不能与双曲线的渐近线平行.20. (本小题满分14分）已知函数x f =)((I )求a,b 的值及f(x)的单调区间；x 且与曲线y=f(x)没有公共点的直线？证明你的结论； (III ）设数列{a n }满足a 1=λ(λ≠l),a n + 1 =f(a n )，若{a n }是单调数列，求实数λ的取值 范围.21. 本题有（1)、（2)、（3)三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多做， 则按所做的前两题记分.作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑.并 将所选题号填人括号中.(1) (本小题满分7分）选修4-2:矩阵与变换已知矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=1234 M ，向量，a=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛= 57a (I)求矩阵M 的特征值及属于每个特征值的一个特征向量；(II)求M 3a(2) (本小题满分7分）选修4-4:极坐标与参数方程如图，在极坐标系中，圆C 的圆心坐标为(1，0),半径为1.(I )求圆C 的极坐标方程；(II)若以极点0为原点,极轴所在直线为x 轴建立平面直角坐标系.已知直线l 的参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+-=6sin 1πt y t x (3)(本小题满分7分）选修4一5 ：不等式选讲 已知函数x x x f -+=52)((I)求证：5)(≤x f ，并说明等号成立的条件；(II)若关于x 的不等式. |2|)(-≤m x f 恒成立,求实数m 的取值范围，。

2013年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．z =2．已知,0a b c >≠，则下列不等式一定成立的是 A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．a b c c> 3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为A ．3B ．8C ．9D ．63 4．“1x =”是“210x -=”的Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而充分不条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件5．函数2cos 22y x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象是6．已知集合{}|28M x x =-≤≤，{}2|320N x x x =-+≤，在集合M 中任取一个元素x ，则 “x MN ∈”的概率是A ．110B ．16C ．310D ．127．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且12PF F ∆的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为 A ．15 B ．25 C ．45D ．5A BCD8．若变量,x y 满足约束条件310,3110,2,x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．4B ．1C ．0D ．1- 9．设,m n 为两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若β//,//m n m ，则β//n B ．若αα//,//n m ，则n m // C ．若β⊥m n m ,//，则β⊥n D ．若n m n m //,,βα⊂⊂，则βα// 10．已知点()0,0O ，()1,2A ,()3,2B ，以线段AB 为直径作圆C ，则直线:30l x y +-=与圆C 的位置关系是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 11．已知点()()()0000167n O ,,A ,,A ,,点()1212n A ,A ,,A n ,n -∈≥N 是线段0n A A 的n 等分点，则011+n n OA OA OA OA -+++等于A ．5nB ．10nC ．()51n +D ．()101n + 12．定义两个实数间的一种新运算“*”：()l g1010,x yx y *=+,x y ∈R .对任意实数,,a b c ，给出如下结论：①()()c b a c b a ****=； ②a b b a **=； ③()()()**a b c a c b c +=++； 其中正确的个数是A ． 0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人． 14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知3a =，8b =，C=3π，则c = ．15．若函数2,0,()ln ,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 16．观察下列等式：12133+=； 781011123333+++=； 16171920222339333333+++++=； …则当m n <且,m n ∈N 表示最后结果.313232313333n n m m ++--++++= （最后结果用,m n 表示最后结果）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等． （Ⅰ）求表格中x 与y 的值；（Ⅱ）若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求2件都为正品的概率． 18．(本小题满分12分)已知函数()sin cos f x x x =+，x ∈R ． （Ⅰ）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）试写出一个函数()g x ，使得()()cos2g x f x x =，并求()g x 的单调区间． 19．(本小题满分12分)某几何体111C B A ABC -的三视图和直观图如图所示． （Ⅰ）求证：平面11AB C ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）若E 是线段1AB 上的一点，且满足1111191C B A ABC C AA E V V --=，求AE 的长．20．(本小题满分12分)某工业城市按照“十二五”（2011年至2015年）期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO 2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO 2的年排放量约为9.3万吨， （Ⅰ）按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO 2约多少万吨？（Ⅱ）该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO 2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p ，为使2020年这一年的SO 2年排放量控制在6万吨以内，求p 的取值范围.（参考数据9505.0328≈，9559.0329≈）． 21．(本小题满分12分)已知函数()2e xf x ax bx =++．（Ⅰ）当0,1a b ==-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在点()(),P t f t ()01t <<处的切线为l ，直线l 与y 轴相交于点Q .若点Q 的纵坐标恒小于1，求实数a 的取值范围． 22．(本小题满分14分)某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线2:2E y px =，在抛物线上任意画一个点S ，度量点S的坐标俯视图侧(左)视图正(主)视图1A(),S S x y ，如图．（Ⅰ）拖动点S ，发现当4S x =时，4S y =，试求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设抛物线E 的顶点为A ，焦点为F ，构造直线SF 交抛物线E 于不同两点S 、T ，构造直线AS 、AT 分别交准线于M 、N 两点，构造直线MT 、NS ．经观察得：沿着抛物线E ，无论怎样拖动点S ，恒有MT //NS .请你证明这一结论．（Ⅲ）为进一步研究该抛物线E 的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点F ”改变为其它“定点(),0G g ()0g ≠”，其余条件不变，发现“MT 与NS 不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“MT //NS ”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．2013年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A 7．B 8．A 9．C 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分．13．8； 14．7； 15．01a <≤； 16．22n m -．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：(Ⅰ)因为11=+7+75+9+95=8=858555x x x y ⋅⋅+⋅+⋅+A B （7），（6+）， 由=x x A B，得17x y +=． ① ………………………………………2分因为222211=1+1+0.25+1+2.25=1.1=4+8+0.25+0.25+855x y ⎡⎤--⎣⎦A B ，s （）s （）（）， 由22=A Bs s ，得228+8=1x y --（）（）． ② …………………………………………4分由①②解得89x y =⎧⎨=⎩，，或98.x y =⎧⎨=⎩，因为x y <， 所以8x y ==． ………………………………………6分(Ⅱ) 记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品， 从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()15,B B ，()23,B B ， ()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B ， ………………………………………8分记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件：()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B .……………………………10分所以63()105P C ==，即2件都为正品的概率为35. ………………………………………12分 18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)因为())4f x x π=+，………………………………………3分所以121243f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………6分 (Ⅱ)()cos sin g x x x =-. …………………………………………………………7分 下面给出证明：因为()()22(cos sin )(sin cos )cos sin cos2,g x f x x x x x x x x =-+=-=所以()cos sin g x x x =-符合要求．……………………………………………………9分又因为()cos sin 4g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，…………………………………………10分由222,4k x k πππππ+<+<+得3722,44k x k ππππ+<<+ 所以()g x 的单调递增区间为372244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z .………………………………11分又由224k x k ππππ<+<+,得32244k x k ππππ-<<+, 所以()g x 的单调递减区间为32244k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，，k ∈Z .………………………………12分 解法二：(Ⅰ)因为()21s i n 2,fx x =+⎡⎤⎣⎦所以231s i n 1262f ππ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，………………………………3分又因为0,12f π⎛⎫>⎪⎝⎭所以12f π⎛⎫=⎪⎝⎭6分 (Ⅱ)同解法一． 解法三：(Ⅰ)sin cos sin cos 1212123434f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sincoscossincoscossinsin34343434ππππππππ=-++…………………3分112222=-++=………………………………6分 (Ⅱ)同解法一．注：若通过()()cos 2xg x f x =得到()g x 或由()()(cos sin )(cos sin )g x f x x x x x =+-两边同时约去()f x 得到()g x 不扣分．19．本小题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）由三视图可知，几何体111C B A ABC -为三棱柱，侧棱1111C B A AA 底面⊥，1111C A C B ⊥,且41==AC AA ，2=BC ．………………………………………2分 1111C B A AA 平面⊥ ，11111111,C B AA C B A C B ⊥∴⊂平面， …………………3分 11111111,A C A AA C A C B =⊥ ，1111ACC A C B 平面⊥∴．……………………5分又1111C AB C B 平面⊂ ， C C AA C AB 1111平面平面⊥∴．………………………6分 （Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分1111191C B A ABC C AA E V V --= ，,9131111AA S EF S ABC C AA ⋅=⋅∴∆∆ ……………………8分1111442443292EF ⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32=EF .……………………9分在Rt ABC ∆中，AB ===，在1Rt ABB ∆中，16AB ===，……………………10分由111C B EF AB AE =， ……………………11分 得22326C B EFAB AE 111=⨯=⋅=. ……………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分11111111133C AA B C B A A C B A ABC V V V ---== ，111111113191C AA B C B A ABC C AA E V V V ---==∴ ………8分,313131111111C B S EF S C AA C AA ⋅⨯=⋅∴∆∆,3111C B EF =∴ ………9分 在AB C Rt ∆中，5224AB 2222=+=+=BC AC ，在1ABB Rt ∆中，()6452AB 222121=+=+=BB AB ，……………………10分由111C B EFAB AE =， ……………………11分 得2AB 31AE 1==. ……………………12分 20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想.满分12分.解：（Ⅰ）设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为0.3-的等差数列，……………3分 所以()55159.3(0.3)=43.52y ⨯-=⨯+⨯-（万吨）． 所以按计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43．5万吨．……………………6分 （2）由已知得， 2012年的SO 2年排放量9.60.32=9-⨯（万吨），……………………7分所以2012年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1p -的等比数列，…………………9分由题意得891p ⨯-（）＜6，即1p -＜832， 所以10.9505p -<，解得 4.95%p >.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围4.95%1p <<<……………………12分21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）当0,1a b ==-时，()e x f x x =-，()e 1xf x '=-，……………………1分所以，当(,0x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,x ∈+∞时，()0f x '>；……………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为(0,)+∞．……………………4分（Ⅱ）因为()2xf x e ax b '=++，所以()(),P t f t 处切线的斜率()2tk f t e at b '==++，所以切线l 的方程为()()()22t t y e at bt e at b x t -++=++-，令0x =，得()21ty t e a t=-- ()01t << (5)分当01t <<时，要使得点Q 的纵坐标恒小于1，只需()211tt e at --<，即()2110tt e at -++>()01t <<.……………… 6分令()()211tg t t e at =-++，则()()2t g t t e a '=+，………………………………………………………… 7分 因为01t <<，所以1t e e <<， ①若21a ≥-即12a ≥-时，20te a +>， 所以，当()0,1t ∈时，()0g t '>，即()g t 在()0,1上单调递增， 所以()(0)0g t g >=恒成立，所以12a ≥-满足题意.………………………………8分 ②若2a e ≤-即2e a ≤-时，20te a +<，所以，当()0,1t ∈时，()0g t '<，即()g t 在()0,1上单调递减，所以()(0)0g t g <=，所以2ea ≤-不满足题意.………………………………………9分 ③若21e a -<<-即122e a -<<-时，0ln(2)1a <-<.则t 、()g t '、()g t 的关系如下表：所以()()l n (2)00g a g -<=，所以22a -<<-不满足题意.………………………………11分 综合①②③，可得，当12a ≥-时，()0g t >()01t <<时，此时点Q 的纵坐标恒小于1.…………12分22．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．解法一：（Ⅰ）把4S x =，4S y =代入22y px =，得248p =，……………………2分所以2p =，………………………………………………………………………3分因此，抛物线E 的方程24y x =．…………………………………………………4分（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ， 依题意可设直线:1l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩，得2440y my --=，则121244.y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩， ①……………………6分又因为11:AS y l y x x =，22:AT yl y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以12211,y MT x y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，21121,y NS x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ……………………7分 又因为()()1221121211y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………8分 2221121241411144y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22122112*********4y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21121212144y y y y y y y y -=-+()22121212164y y y y y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ②把①代入②，得()221212121604y y y y y y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， (10)分即()()12211212110y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以//MT NS ，又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT //NS ．……………………………………………11分（Ⅲ）设抛物线2:4E y x =的顶点为A ，定点()(),00G g g ≠，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x g =-于M 、N 两点，则MT //NS ．……………………14分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()221122,2,,2S t t T t t ，……………………5分依题意,可设直线:1ST l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=， 则1212224,224,t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩所以12124,1.t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩ (7)分又因为2:2AS l y t x =-，1:2AT l y t x =-， 所以()21,2M t -，()11,2N t -，………………………………………………………………………10分所以MT k =，0NS k =，………………………………………………………………………………10分又因为M 、T 、N、S四点不共线，所以MT //NS .…………………………………………………11分（Ⅲ）同解法一. 解法三：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ， 依题意，设直线:1l my x =-，由241y xmy x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=，则121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩，…………………………………………6分 又因为11:AS y l y x x =，22:AT yl y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭， 又因为212y y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭221122224404y y y y y x y +=+=，……………………………………9分 所以212y y x =-，所以NS 平行于x 轴； 同理可证MT 平行于x 轴；又因为M、T、N、S四点不共线，所以MT//NS.…………………………………………………11分（Ⅲ）同解法一.…………………………………………………14分。

湖北省八市2013届高三数学3月联考试题文（扫描版）2013年湖北省八市高三三月联考数学（文科）参考答案及评分标准一、选择题：（每小题5分，10小题共50分）1.D2.C3.D4.B5.D6.C7.B8.A9.B 10.A二、填空题：（每小题5分，满35分）11. }5,3{ 12.53 13.9 14. 29.25 15. 2116. 5.0 17.（Ⅰ）82,（Ⅱ）5三．解答题(本大题共5小题, 共65分; 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．（Ⅰ）（Ⅰ）∵m u r 与n r共线 ∴)2cos 2sin 3(2cos 23CC C +=1π1(1cos )sin()262C C C =++=++ …………………………3分 得πsin()16C += …………………………4分∴C=3π……………………………6分 （Ⅱ）方法1：由已知2a c b += （1）根据余弦定理可得：222c a b ab =+- （2）……………………8分（1）、（2）联立解得：()0b b a -=……………………………10分0,,C=3b b a ABC π>∴=∴∆又，为等边三角形，……………………………12分方法2：由正弦定理得：2sin cos sin 2sin 2sin()2sin cos sin 2sin cos 2cos sin A C C B A C A C C A C A C+==++=+ ……………………8分∴21cos =A ， ∴在△ABC 中 ∠π3A = . ……………………………10分ABC ∴∆为等边三角形 ……………………………12分方法3：由（Ⅰ）知C=π3，又由题设得：2a c b +=， 在ABC ∆中根据射影定理得：2(cos cos )2cos a c a C c A a c A+=+=+ ……………………8分1cos ,23A A π∴=∴= ……………………………10分 又. C =π3， 所以 △ABC 为等边三角形， ……………………………12分 19.（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差是d ．依题意 3827()26a a a a d +-+==-，从而3d =-． ………………2分 所以 2712723a a a d +=+=-，解得 11a =-． ………………4分所以数列{}n a 的通项公式为 23+-=n a n ． ………………6分 （Ⅱ）由数列{}n n a b +是首项为1，公比为c 的等比数列，得 1-=+n n n c b a ，即123-=++-n n c b n ，所以 123-+-=n n c n b ． ………………8分 所以 21[147(32)](1)n n S n c c c -=++++-+++++L L21(31)(1)2n n n c c c --=+++++L ． ………………10分 从而当1=c 时，2(31)322n n n n nS n -+=+=； ………………11分 当1≠c 时，(31)121n n n n c S c--=+-． ………………12分 20．（Ⅰ）证明:连结AC ，交BD 于O ．因为底面ABCD 为菱形， 所以O 为AC 的中点．因为 Q 是PA 的中点，所以PC OQ // ， 因为⊂OQ 平面BDQ ，⊄PC 平面BDQ ， 所以//PC 平面BDQ ． …………………4分 （Ⅱ）证明：因为底面ABCD 为菱形，所以BD AC ⊥，O 为BD 的中点． 因为PD PB =，所以BD PO ⊥ ．因为O BD PO =I ，所以 ⊥BD 平面PAC ．因为⊂CQ 平面PAC ， 所以 CQ BD ⊥． ………………………………8分 （Ⅲ）因为PC PA =，所以△PAC 为等腰三角形 ．因为O 为AC 的中点，所以AC PO ⊥． 由（Ⅱ）知BD PO ⊥，且O BD AC =I ，所以⊥PO 平面ABCD ，即PO 为四棱锥ABCD P -的高． 因为四边形是边长为2的菱形，且︒=∠60ABC ， 所以3=BO 6=⇒PO ．OQPBACD所以2263231=⨯⨯=-ABCD P V ． ……………12分 21．（Ⅰ）由题知：11y y m x x -+⋅= 化简得：221(0)mx y x -+=≠ ……………………………2分当1m <-时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点；当1m =-时 轨迹E 表示以(0,0)为圆心半径是１的圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当10m -<<时 轨迹E 表示焦点在x 轴上的椭圆，且除去(0,1),(0,1)-两点； 当0m >时 轨迹E 表示焦点在y 轴上的双曲线，且除去(0,1),(0,1)-两点；……………………………6分 （Ⅱ）设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠依题直线l 的斜率存在且不为零，则可设l :1x ty =+，代入221(0)2x y x +=≠整理得22(2)210t y ty ++-= 12222t y y t -+=+，12212y y t -=+， ………………………………9分 又因为M Q 、不重合，则1212,x x y y ≠≠-Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =，得1211211211121212()()2112y x x ty y y ty y x x ty y y y y y y --=+=++=+=+++ 故直线MQ 过定点(2,0). ……………………………13分 解二：设112222(,),(,),(,)M x y N x y Q x y -12(0)x x ⋅≠ 依题直线l 的斜率存在且不为零，可设l :(1)y k x =-代入221(0)2x y x +=≠整理得：2222(12)4220k x k x k +-+-= 2122412k x x k +=+,21222212k x x k -=+， ……………………………9分Q MQ 的方程为121112()y y y y x x x x +-=-- 令0y =，得121121121211121212()(1)()2()2(2)2y x x k x x x x x x x x x x y y k x x x x ----+=+=+==++-+- ∴直线MQ 过定点(2,0) ……………………………13分22.（Ⅰ）因为32,1,()ln , 1.x x x f x a x x ⎧-+<=⎨⎩≥。

2013届高三上学期期末联考数学文试题（考试时间：2013年1月26日下午3：00-5：00 满分：150分）参考公式：锥体体积公式：Sh V 31= 其中S 为底面面积，h 为高第I 卷（选择题 共60分）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知i 为虚数单位，复数i i z )1(+=在复平面内对应的点位于（ ）A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限2．设集合}{21|<<-=x x A ，}{30|<<=x x B ，则B A 等于（ ）A. }{20|<<x xB. }{21|<<-x xC. }{30|<<x xD. }{31|<<-x x3．“︒=60α”是“21cos =α”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．执行右边的程序框图，输出S 的值为（ ）A. 14B. 20C. 30D. 555.已知向量)2,1(=a ，向量)2,(-=x b ，且b a //，则实数x 等于（ ）A. 0B. 4C. -1D. -46．若n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，2104,a a +=则11S 的值为（ ）A ．12B ．22C ．18D ．447. 函数125)(-+-=x x x f 的零点所在的区间是（ ）A.)1,0(B. )2,1(C. )3,2(D.)4,3(8．已知m l ,为两条不同直线，βα,为两个不同平面，则下列命题中不正确．．．的是（ ） A. 若αα⊂m l ,//，则m l // B. 若αβα⊥l ,//，则β⊥lC. 若αβα⊂l ,//，则β//lD. 若l m m l ⊥⊂=⊥,,,αβαβα ，则β⊥m9．将函数cos 2y x =图象上的所有点向左平移6π个单位长度，再把所得图像向上平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ）A ．cos(2)16y x π=-+ B ．cos(2)13y x π=-+ C ．cos(2)16y x π=++D ．cos(2)13y x π=++10．已知某几何体的三视图如图所示，若该几何体的体积为24，则该几何体的底面积是（ ）A. 6B. 12C. 18D. 2411．已知抛物线x y 42=的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且l PA ⊥，垂足为A ，若直线AF 的斜率为3-，则|PF |等于（ ）A.32B.4C.34D.812．若对任意的R x ∈，函数)(x f 满足(2013)(201f x fx +=-+，且(2013)20f =-，则(0)f =（ ）A.0B. 1C.-2013D.2013第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填写在答题卡的相应位置）13．一组数据为15,17,14,10,15,17,17,14,16,12,设其平均数为m ，中位数为n ，众数为p ， 则m ，n ，p 的大小关系是_____________.14．已知变量,x y 满足1,2,0.x y x y ≥⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩则z x y =+的最小值是____________．15．若双曲线)0,0(12222>>=-b a by ax 的一条渐近线方程为3x y -=，则此双曲线的离心率是____________．16．设函数)0(2)(>+=x x xx f ，观察：2)()(1+==x xx f x f 43))(()(12+==x x x f f x f 87))(()(23+==x x x f f x f 1615))(()(34+==x xx f f x f…… 依此类推，归纳推理可得当*Nn ∈且2≥n 时，____________))(()(1==-x f f x f n n ．三、解答题：（本大题共6小题，共74分.解答题应写出文字说明、证明过程、或演算步骤） 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的前n 项和)(2*2N n n n S n ∈+=．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 是等比数列，公比为)0(>q q ，且满足32412,a a b S b +==，求数列{}n b 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）设关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=.（1）若a ，b 都是从集合{}1,2,3,4中任取的数字，求方程有实根的概率；（2）若a 是从区间[0,4]中任取的数字，b 是从区间[1，4]中任取的数字，求方程有实根的概率．19.（本小题满分12分）设函数a x x x x f ++=2coscos sin 3)(（1）写出函数)(x f 的最小正周期及单调递减区间； （2）当⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx 时，函数)(x f 的最大值与最小值的和为23，求不等式1)(>x f 的解集．20．（本小题满分12分）如图所示，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形，侧面⊥PAD 底面ABCD ，且AD PD PA 22==，若E ，F 分别为PC ，BD 的中点．（1）求证：//EF 平面PAD ；（2）求证：平面PDC ⊥平面PAD ； （3）求四棱锥ABCD P -的体积．21．（本小题满分12分）已知椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 过点)3,2(A ，且离心率21=e ．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）是否存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足716=⋅ON OM （其中点O 为坐标原点），若存在，求出直线l 的方程，若不存在，请说明理由．22．（本小题满分14分）已知函数),(,)(2R n m nx mx x f ∈+=在1=x 处取得极小值2．（1）求函数)(x f 的解析式； （2）求函数)(x f 的极值；（3）设函数a ax x x g +-=2)(2，若对于任意R x ∈1，总存在]1,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g ≤，求实数a 的取值范围．普通高中2012-2013学年第一学期三明一、二中联合考试高三数学(文)试题答案又当1=n 时，311==S a ，满足上式 ……4分∴)(12*N n n a n ∈+= ……5分（2）由（1）可知311==S a ，52=a ，73=a ……7分 又32412,a a b S b +==∴12,342==b b ……8分又数列{}n b 是公比为正数等比数列∴4242==b b q又0>q∴2=q ……9分 ∴2321==q b b ……10分∴数列{}n b 的前n 项和)12(2321)21(231)1(1-=--=--=nnnn qq b T ……12分18、解：（1）设事件A =“方程有实根”，记),(b a 为取到的一种组合，则所有的情况有： （1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4） （3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4） ……2分 一共16种且每种情况被取到的可能性相同 ……3分∵关于x 的一元二次方程2220x ax b ++=有实根 ∴22440,a b a b ∆=-≥⇒≥ ……4分 ∴事件A 包含的基本事件有：（1，1），（2，1），（2，2），（3，1），（3，2），（3，3），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）共10种…5分105()168P A ∴==∴方程有实根的概率是85……6分（2）设事件B =“方程有实根”，记),(b a 为取到的一种组合∵a 是从区间[0,4]中任取的数字，b 是从区间[1，4]中任取的数字 ∴点),(b a 所在区域是长为4,宽为3的矩形区域，如图所示：又满足：b a ≥的点的区域是如图所示的阴影部分∴83433321)(=⨯⨯⨯=B P ∴方程有实根的概率是83（第（2）题评分标准说明：画图正确得3分，求概率3分，本小题6分）19、解：（1）1cos 2()222xf x x a +=++ ……1分1sin(2)62x a π=+++ ……3分T π∴= ……4分令3222262k x k πππππ+≤+≤+ ，Z k ∈∴263k x k ππππ+≤≤+，Z k ∈∴函数)(x f 的递减区间为：2[,],63k k k Z ππππ++∈ ……6分（2）由[,]63x ππ∈-得：52666x πππ-≤+≤m ax m in 3(),()2f x a f x a ∴=+= ……8分 33022a a a ∴++=⇒= ……9分∴1()1sin(2)62f x x π>⇒+>52226663k x k k x k ππππππππ∴+<+<+⇒<<+，Z k ∈ ……11分又⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈3,6ππx∴不等式1)(>x f 的解集为{|0}3x x π<<……12分20、解：（1）连接EF ，AC∵四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 是边长为a 的正方形且点F 为对角线BD 的中点 ∴对角线AC 经过F 点 ……1分 又在PAC ∆中，点E 为PC 的中点 ∴EF 为PAC ∆的中位线 ∴PA EF // ……2分又PAD EF PAD PA 面面⊄⊂, ……3分∴//EF 平面PAD ……4分 （2）∵底面ABCD 是边长为a 的正方形 ∴AD CD ⊥ ……5分又侧面⊥PAD 底面ABCD ，ABCD CD 平面⊂，侧面 PAD 底面ABCD =AD∴PAD CD 平面⊥ ……7分又PCD CD 平面⊂∴平面PDC ⊥平面PAD ……8分 （3）过点P 作AD 的垂线PG ，垂足为点G∵侧面⊥PAD 底面ABCD ，PAD PG 平面⊂，侧面 PAD 底面ABCD =AD ∴ABCD PG 平面⊥，即PG 为四棱锥ABCD P -的高 ……9分又AD PD PA 22==且AD =a∴2a PG = ……10分∴32ABCDABCD-P 6123131aa a PG S V =⨯⨯=⋅=正方形四棱锥……12分21、解：（1）∵椭圆)0(1:2222>>=+b a by ax C 过点)3,2(A ，且离心率21=e∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+===+2222221194cb a a cba ……2分解得：162=a ,122=b ……4分∴椭圆的方程为：1121622=+yx……5分（2）假设存在过点)4,0(-B 的直线l 交椭圆于不同的两点M 、N ，且满足716=⋅ON OM ． ……6分若直线l 的斜率不存在，且直线过点)4,0(-B ，则直线l 即为y 轴所在直线∴直线l 与椭圆的两不同交点M 、N 就是椭圆短轴的端点 ∴)32,0(),32,0(-N M∴71612)32,0)(32,0(≠-=-=⋅ON OM∴直线l 的斜率必存在，不妨设为k ……7分 ∴可设直线l 的方程为：kx y =+4，即4-=kx y联立⎪⎩⎪⎨⎧-==+41121622kx y yx 消y 得 01632)43(22=+-+kx x k∵直线与椭圆相交于不同的两点M 、N∴0)43(164)32(22>+⨯⨯--=∆k k 得：2121>-<k k 或 …… ① ……8分设),(),,(2211y x N y x M∴2212214316,4332kx x kk x x +=+=+∴2221212212143484816)(4)4)(4(kk x x k x x k kx kx y y +-=++-=--= ……9分又716=⋅ON OM∴7164348644348484316222222121=+-=+-++=+=⋅kk kk ky y x x ON OM化简得12=k∴1=k 或1-=k ，经检验均满足①式 ……10分∴直线l 的方程为：4-=x y 或4--=x y ……11分 ∴存在直线l ：04=--y x 或04=++y x 满足题意． ……12分22、解：（1）∵函数),(,)(2R n m nx mx x f ∈+=在1=x 处取得极小值2∴⎩⎨⎧==0)1('2)1(f f ……1分又2222222)()(2)()('n x mx mn n x mxn x m x f +-=+-+=∴⎪⎩⎪⎨⎧=-=+②① 021m mn nm由②式得m =0或n =1，但m =0显然不合题意 ∴1=n ，代入①式得m =4 ∴1,4==n m ……2分经检验，当1,4==n m 时，函数)(x f 在1=x 处取得极小值2 ……3分∴函数)(x f 的解析式为14)(2+=x x x f ……4分（2）∵函数)(x f 的定义域为R 且由（1）有22)1()1)(1(4)('++--=x x x x f令0)('=x f ，解得：1±=x ……5分 ∴当x 变化时，)('),(x f x f 的变化情况如下表： ……7分∴当1-=x 时，函数)(x f 有极小值-2；当1=x 时，函数)(x f 有极大值2 ……8分（3）依题意只需min min )()(x f x g ≤即可．∵函数14)(2+=x x x f 在0>x 时，0)(>x f ；在0<x 时，0)(<x f 且0)0(=f∴ 由（2）知函数)(x f 的大致图象如图所示：∴当1-=x 时，函数)(x f 有最小值-2 ……9分 又对任意R x ∈1，总存在]1,1[2-∈x ，使得)()(12x f x g ≤ ∴当]1,1[-∈x 时，)(x g 的最小值不大于-2 ……10分 又222)(2)(a a a x a ax x x g -+-=+-=①当1-≤a 时，)(x g 的最小值为a g 31)1(+=-∴231-≤+a 得1-≤a ； ……11分 ②当1≥a 时，)(x g 的最小值为a g -=1)1(∴21-≤-a 得3≥a ； ……12分 ③当11<<-a 时，)(x g 的最小值为2)(a a a g -=∴22-≤-a a 得1-≤a 或2≥a又∵11<<-a∴此时a 不存在 ……13分 综上所述，a 的取值范围是),3[]1,(+∞--∞ ． ……14分。

本试卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）， 第Ⅱ卷第21题为选考题，其他题为必考题．本试卷共6页．满分150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上，请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效，在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色中性（签）笔或碳素笔书写，字体工整、笔记清楚．4．做选考题时，考生按照题目要求作答，并用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑． 5．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 参考公式：样本数据12,x x ，…，n x 的标准差 锥体体积公式s = 13V Sh =其中x -为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高柱体体积公式 球的表面积、体积公式V Sh = 2344,3S R V R ==ππ 其中S 为底面面积，h 为高 其中R 为球的半径第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“21,1x x ∀>>”的否定是A. 21,1x x ∀>≤ B. 21,1x x ∀<≤ C. 2001,1x x ∃>≤ D. 2001,1x x ∃<≤ 2．已知复数(3i 1)i z =-（其中i 为虚数单位），则复数z 的共轭复数z 是A ．3i -+B ．3i --C ．3i +D ．3i -3．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，48a =，则5S 等于 A ．16 B. 31 C. 32 D.63 4．阅读右边程序框图，下列说法正确的是 A ．该框图只含有顺序结构、条件结构 B ．该框图只含有顺序结构、循环结构 C ．该框图只含有条件结构、循环结构D ．该框图包含顺序结构、条件结构、循环结构5．函数x x x x f cos sin 2cos 2)(2+=的最小正周期是A ．2πB ．πC ．π2D ．π46．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的体积是A ．B ．C ．3 D ．37．已知函数e e ()ln 2x xf x --=，则()f x 是A ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增B ．奇函数，且在R 上单调递增C ．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．偶函数，且在R 上单调递减8．在ABC ∆中，“AB AC BA BC ⋅=⋅”是“||||AC BC =”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件9．过双曲线12222=-by a x (0a >，0)b >的左焦点F 作圆O : 222a y x =+的两条切线，切点为A ，B ，双曲线左顶点为C ，若120=∠ACB ,则双曲线的渐近线方程为A ． x y 3±=B ． x y 33±=C ． x y 2±=D ． x y 22±=10．对于函数()f x ，若00()f x x =，则称0x 为函数()f x 的“不动点”；若00(())f f x x =，则称0x 为函数()f x 的“稳定点”.如果函数2()()f x x a a =+∈R 的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a 的取值范围是 A ．1(,]4-∞B ．3(,)4-+∞ C ． 31(,]44-D ．31[,]44-第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡相应位置． 11．已知随机变量2(0,)N ξσ，若(2)0.8P ξ<=，则(2)P ξ<-= ．12．若抛物线24y x =上一点M 到焦点F 的距离为4，则点M 的横坐标为 ．13．在二项式(x －21x )6的展开式中, 常数项是＿＿＿． 14．由直线12x =，2x =，曲线1y x=及x 轴所围成的图形的面积是＿＿＿．15．已知函数1122()sin()sin()sin()k k f x a x a x a x ωϕωϕωϕ=++++++，（i a ∈R ，1,2,3,)i k =.若22(0)()02f f πω+≠,且函数()f x 的图像关于点(,0)2π对称，并在x π=处取得最小值，则正实数ω的值构成的集合是 .三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16．(本小题满分13分) 如图，在几何体ABCDE 中，⊥BE 平面ABC ，BE CD //，ABC ∆是等腰直角三角形，090=∠ABC ，且1,2===CD AB BE ，点F 是AE 的中点． （Ⅰ）求证：//DF 平面ABC ；（Ⅱ）求AB 与平面BDF 所成角的正弦值． 17．(本小题满分13分)今年我国部分省市出现了人感染H7N9禽流感确诊病例，各地家禽市场受其影响生意冷清．A 市虽未发现H7N9疑似病例，但经抽样有20%的市民表示还会购买本地家禽．现将频率视为概率，解决下列问题：（Ⅰ）从该市市民中随机抽取3位，求至少有一位市民还会购买本地家禽的概率； （Ⅱ）从该市市民中随机抽取X 位，若连续．．抽取．．到两位．．．愿意购买本地家禽的市民，或 抽取的人数达到4位，则停止抽取，求X 的分布列及数学期望．18．(本小题满分13分)已知椭圆2222:1(0)x y a b a b Γ+=>>，且椭圆Γ的右焦点F 与抛物线24y x =的焦点重合． （Ⅰ）求椭圆Γ的标准方程；（Ⅱ）如图，设直线:2m y x =与椭圆Γ交于,A B 两点（其中点A 在第一象限），且 直线m 与定直线2x =交于点D ，过 D 作直线//DC AF 交x 轴于点C ，试 判断直线AC 与椭圆Γ的公共点个数．19．(本小题满分13分)某企业有两个生产车间，分别位于边长是1km 的等边三角形ABC 的顶点A B 、处（如图），现要在边AC 上的D 点建一仓库，某工人每天用叉车将生产原料从仓库运往车间，同时将成品运回仓库．已知叉车每天要往返A 车间5次，往返B 车间20次，设叉车每天往返的总路程为s km .（注：往返一次即先从仓库到车间再由车间返回仓库）(Ⅰ）按下列要求确定函数关系式：BACD①设AD 长为x ，将s 表示成x 的函数关系式； ②设ADB θ∠=，将s 表示成θ的函数关系式.(Ⅱ）请你选用(Ⅰ）中一个合适的函数关系式，求总路程 s 的最小值，并指出点D 的位置． 20．(本小题满分14分)已知函数3()32()f x x ax a =-+∈R ． (Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间；(Ⅱ）当0a =时，在曲线()y f x =上是否存在两点112212(,),(,) ()A x y B x y x x ≠，使得曲线在, A B 两点处的切线均与直线2x =交于同一点？若存在，求出交点纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由；(Ⅲ）若()f x 在区间(2,2)-存在最大值0()f x ，试构造一个函数()h x ，使得()h x 同时满足以下三个条件：①定义域{2|->=x x D ，且}42,x k k ≠-∈N ；②当(2,2)x ∈-时，()()h x f x =；③在D 中使()h x 取得最大值0()f x 时的x 值，从小到大组成等差数列．（只要写出函数()h x 即可）21．本题设有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2个小题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中. （1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换已知矩阵00M ⎫= ⎝，绕原点逆时针旋转4π的变换所对应的矩阵为N ．（Ⅰ）求矩阵N ；（Ⅱ）若曲线C ：1=xy 在矩阵MN 对应变换作用下得到曲线C '，求曲线'C 的方程． （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin2=，直线l 的参数方程为cos ,(1sin x t t y t αα=⎧⎨=+⎩为参数，πα<≤0）．（Ⅰ）化曲线C 的极坐标方程为直角坐标方程；（Ⅱ）若直线l 经过点)0,1(，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长． （3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲已知函数2214()(11,0)1f x x x x x =+-<<≠-且． （Ⅰ）求)(x f 的最小值；（Ⅱ）若)(1x f t ≤+恒成立，求实数t 的取值范围.2013年三明市普通高中毕业班质量检查理科数学参考答案及评分标准一、选择题1．C 2．A 3．B 4．B 5．B 6．C 7．A 8．C ． 9．A 10.D 二．填空题：11．0.2； 12．3； 13．15； 14．2ln 2； 15．*{|21,}n n ωω=-∈N ． 三、解答题：16．解法一：（Ⅰ）取AB 的中点G ，连结FG CG ,，则BE FG //，且BE FG 21=，……………2分 又CD BE //，∴CD FG //且CD FG =， 所以四边形FGCD 是平行四边形，则CG DF //， ………………5分 又因为⊂CG 平面ABC ，⊄DF 平面ABC ， 所以//DF 平面ABC ． …………………6分（Ⅱ）依题得，以点B 为原点，BE BC BA ,,所在的直线分别为z y x ,,轴，建立如图的空间直角坐标系，则)0,0,0(B ，)0,0,2(A ，)0,2,0(C ，)1,2,0(D ，)2,0,0(E ，)1,0,1(F ， 所以)1,2,0(=，)0,2,1(-=． 设平面BDF 的一个法向量为(,,)x y z =n ，则20,20,BD y z DF x y ⎧⋅=+=⎪⎨⋅=-=⎪⎩n n 即⎩⎨⎧-==y z y x 22，取1=y ，得，(2,1,2)=-n ． ………………10分 又设AB 与平面BDF 所成的角为θ，(2,0,0)BA =， 则42sin cos ,39BA BA BAθ⋅+=<>===⋅n n n ，故AB 与平面BDF 所成角的正弦值为32．…………………………………13分解法二：（Ⅰ）取BE 的中点M ，连结MF MD ,，则AB MF BC MD //,//，又因为⊂BC 平面ABC ，⊄MD 平面ABC ，⊂AB 平面ABC ，⊄MF 平面ABC ，所以//MD 平面ABC ，//MF 平面ABC ， 又M MF MD = ，所以平面//MDF 平面ABC ，⊂DF 平面ABC ，∴//DF 平面ABC ．……………6分（Ⅱ）同解法一． …………………………………13分17．解：（Ⅰ）依题意可得，任意抽取一位市民会购买本地家禽的概率为15， 从而任意抽取一位市民不会购买本地家禽的概率为45． 设“至少有一位市民会购买本地家禽”为事件A ，则346461()1()15125125P A =-=-=， 故至少有一位市民会购买本地家禽的概率61125．…………………………6分 （Ⅱ）X 的所有可能取值为：2，3，4．111(2)5525P X ==⨯=，4114(3)555125P X ==⨯⨯=，14116(4)125125125P X ==--=，X()23425125125E X =⨯+⨯+⨯125=． …………………………13分18．解：（Ⅰ）设(,0)F c ，易知1c =，又c a =，得a =2221ba c =-=． 故椭圆Γ的标准方程为2212x y +=．……………4分 （Ⅱ）联立222,22,y x x y =⎧⎨+=⎩得229x =， A 的坐标为(33．故2(1,33FA =-．依题意可得点D 的坐标为(2,4)．设C 的坐标为(,0)m ， 故CD =(2,4)m -．因为//FA CD，所以(1)4(2)033m -⨯--⨯=，解得m = 于是直线AC的斜率为014ACk -==-， …………………………8分 从而得直线AC的方程为：1(4y x =--，代入2222x y +=，得221(18)28x x +-+=，即2920x -+=，知72720∆=-=，故直线AC 与椭圆Γ有且仅有一个公共点． …………………………13分 19．解：(Ⅰ）①在ABC ∆中，1AB =，AD x =，3BAD π∠=，由余弦定理，2221121102BD x x x x =+-⋅⋅=-+>，所以101)s x x =+≤≤．………………3分 ②在ABC ∆中，1AB =，3BAD π∠=，ADB θ∠=，23ABD πθ∠=-. 由正弦定理，12sin sin()sin33AD BDππθθ==-，得2sin()13sin 2AD πθθ-==，BD =，则1)402s =+25 ()33ππθ+≤≤． …………6分(Ⅱ）选用(Ⅰ）中的②的函数关系式，25 ()33s ππθ≤≤，22sin (cos 4)cos 3sin s θθθθ--+'==，BACD由0s '=得，1cos 4θ=-，记11cos 4θ=-，12 ()33ππθ≤≤则当1(,)3πθθ∈时，1cos 4θ>-，0s '<；当12(,)3πθθ∈时，1cos 4θ<-，0s '>； 所以当1cos 4θ=-，时，总路程s最小值为此时sin 4θ=，13()1421524AD -==，答：当AD =时，总路程s 最小,最小值为km ． ……………………13分 20．解：（Ⅰ）依题可得 2()33f x x a '=-，当0a ≤时，()0f x'≥恒成立，函数()f x 在R 上单调递增； 当0a >时，由()3(0f x x x'=>，解得x <x >()f x 单调递增区间为(,-∞和)+∞． ……………………………4分（Ⅱ）设切线与直线2x =的公共点为(2,)P t ，当0a =时，2()3f x x '=，则211()3f x x '=，因此以点A 为切点的切线方程为3211123()y x x x x --=-． 因为点(2,)P t 在切线上，所以3211123(2)t x x x --=-，即32112620x x t -+-=． 同理可得方程32222620x x t -+-=. ……………………………6分设32()262g x x x t =-+-，则原问题等价于函数()g x 至少有两个不同的零点. 因为2()6126(2)g x x x x x '=-=-，当0x <或2x >时，()0g x '>，()g x 单调递增，当02x <<时，()0g x '<，()g x 单调递减． 因此，()g x 在0x =处取极大值(0)2g t =-，在2x =处取极小值(2)10g t =-．若要满足()g x 至少有两个不同的零点，则需满足20,100,t t -≥⎧⎨-≤⎩解得210t ≤≤．故存在，且交点纵坐标的取值范围为[2,10]． …………………………………10分 (Ⅲ）由(Ⅰ）知，20-<<，即04a <<． ………………………………11分 本题答案不唯一，以下几个答案供参考：①3()(4)3(4)2,(42,42)()h x x k a x k x k k k =---+∈-+∈N ，其中04a <<；②()22,()(2)242,(),f x x h x h x x x k k -<<⎧=⎨->≠-∈⎩且*N 其中04a <<；③()22,()(4,(),024,();f x x h x f x k k x x k k -<<⎧⎪==∈⎨⎪>≠∈⎩且**N N 其中04a <<． ………………14分21．（1）（本小题满分7分）选修4—2：矩阵与变换解：（Ⅰ）由已知得，矩阵⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=222222224cos 4sin 4sin4cosππππN ． ………………3分 （Ⅱ）矩阵⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=1111MN ，它所对应的变换为,,x x y y x y '=-⎧⎨'=+⎩解得,2.2x y x y x y ''+⎧=⎪⎪⎨''-⎪=⎪⎩把它代人方程1=xy 整理，得4)()(22='-'x y ，即经过矩阵MN 变换后的曲线C '方程为422=-x y . ……………………7分 （注：先计算1()MN -，再求曲线C '方程，可相应酌情给分） （2）（本小题满分7分）选修4—4：坐标系与参数方程解法一：（Ⅰ）由θθρcos 4sin2=得，θρθρcos 4sin 22=，即曲线C 的直角坐标方程为x y 42=． ………………………………3分 （Ⅱ）由直线l 经过点)0,1(，得直线l 的直角坐标方程是01=-+y x ，联立⎩⎨⎧==-+xy y x 4012，消去y ，得0162=+-x x ，又点)0,1(是抛物线的焦点， 由抛物线定义，得弦长8262=+=++=B A x x AB ． ……………………7分 解法二：（Ⅰ）同解法一． ………………………………3分（Ⅱ）由直线l 经过点)0,1(，得1tan -=α，直线l的参数方程为,1,2x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩将直线l 的参数方程代入x y 42=，得02262=++t t ，所以()88264)(22=-=-+=-=B A B A B A t t t t t t AB ． ……………………7分（3）（本小题满分7分）选修4—5：不等式选讲解：（Ⅰ）因为11<<-x ，且0x ≠，所以210x ->，由柯西不等式22141)(x x x f -+=)141()]1([2222x x x x -+⋅-+=9]1211[222=-⋅-+⋅≥x x x x ， 当且仅当221211x x x x --=，即33±=x 时取等号，∴)(x f 的最小值为9． ……………………………4分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知)(x f 的最小值为9，由题意可得91≤+t ，∴810≤≤-t ，则实数t 的取值范围为[10,8]-． ……………………………7分。

三明一中2013届高三第三次月考数学理试题（考试时间：2012年12月24日 满分：150分）＿ 班 姓名＿＿＿＿第Ⅰ卷一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分．下列各小题中，所给出的四个 答案中有且仅有一个是正确的）1． 已知集合{}4,3,2,1=A ,{}2,1,0=B ,则B A →的映射的个数有（ ）A ．7 B.12 C.64 D.81 2．已知βα,表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“αβ⊥”是 “m β⊥”的（ ）条件A ．充分不必要B ．必要不充分C ．充要D ．既不充分也不必要 3．点)2,1(-A 到抛物线x y 42=的焦点F 的距离是（ ） A ． 1 B ．2 C ．5 D ．3 4．已知某个三棱锥的三视图如右，根据图中标出的尺寸 （单位:cm ），则这个三棱锥的体积是（ ）A ．133cm B ．233cm C ．433cmD ．833cm5．如右图，函数()y f x =的图象是曲线OAB ，其中 点)1,3(),2,1(),0,0(B A O ，则1()(3)f f 的值是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．无法判断6．直线0323=-+y x 截圆422=+y x 得到的劣弧所对的圆心角为（ ） A ．6π B ．4π C ．3π D ．2π7．设b a ,是两条直线，βα,是两个不同平面，下列四个命题中，正确的命题是（ ） A ．若b a ,与α所成的角相等，则b a // B ．若α//a ，β//b ，βα//，则b a // C ．若α⊥a ，β⊥b ，βα⊥，则b a ⊥D ．若α⊂a ，β⊂b ，b a //，则βα//8．已知点)3,2(-A ,)2,3(--B ,直线01:=--+m y mx l 与线段AB 相交 ,则直线l 的斜率k 的取值范围是( )A ． 43≥k 或4-≤k B ．434≤≤-k C ．51-<k D ．443≤≤-k9．已知点F P ,是抛物线x y 22=上的动点和焦点，又)2,3(A ，则PF PA +的最小值是( )A.27 B. 4C ．29D ．510．给出以下四个命题：① 过点(1,2)-且在x 轴和y 轴上的截距相等的直线方程是10x y +-=；② 当53<<-m 时，方程13522=++-m y m x 表示椭圆； ③ ABC ∆中，)0,2(),0,2(B A -，则直角顶点C 的轨迹方程是422=+y x ； ④ “1=a ”是“函数ax ax y 22sin cos -=的最小正周期为π”的充要条件．其中正确命题的个数为（ ）A ．3B ．2C ．1D ．0第II 卷（非选择题，共１００分）二、填空题：（本大题共5小题，每小题4分，共20分）把答案填在题中横线上．11．若实数y x ,满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤≥-+≥-,3,03,02x y x y x 则y x -3的最小值是________；12．设等比数列{}n a 的公比2=q ，前n 项和为n S ，则24a S 的值为＿＿＿＿； 13．设P 是60°的二面角βα-l －内的一点，,PA PB αβ⊥⊥，B A ,是垂足，4=PA ，2=PB ，则AB 的长是__________；14．已知双曲线221916x y -=的左右焦点分别是12,F F ，P 点是双曲线右支上一点，且 212||||PF F F =，则三角形12PF F 的面积等于 ；15．一圆与两坐标轴分别相交于A 、B 、C 、D 四个交点,若A 、B 、C 三个点都在函数2 (0)y ax bx c a =++≠图象上,则点D 的坐标为＿＿＿．三、解答题：(本大题共6小题，共80分)解答应写出文字说明，证明过程和解题过程． 16．（本小题满分13分）在ABC ∆中，角C B A ,,的对边是c b a ,,，已知5=a ，3=b ，A C sin 2sin =．(1) 求c 的值； (2) 求)42sin(π-A 的值．17．（本小题满分13分）在直角坐标系xoy 中，以O 为圆心的圆和直线043=--y x 相切． （1）求圆O 的方程；（2）过点)2,1(--P 的直线l 与圆O 交于B A ,两点，且32=AB ，求直线l 的方程． 18．（本小题满分13分）已知数列{}n a 中，41=a ，当2≥n 时，n n n a a 221+=-． （1）求2a 和3a 的值； （2）若数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧+n n t a 2为等差数列，求实数t 的值． 19．（本小题满分13分）如图，在五面体ABCDEF 中， FA ⊥平面ABCD ,EF BC AD ////，AD AB ⊥，M 为EC 的中点，AD EF BC AB AF 21====，写岀建立空间直角坐标系过程，并计算 （1）求异面直线BF 与DE 所成的角的大小； （2）证明：平面AMD ⊥平面CDE ； （3）求二面角E CD A --的余弦值． 20．（本小题满分14分）设0>a ，函数x a x x x f ln 421)(2+-=. (1)求函数)(x f 的单调区间；(2)当3=x 时，函数)(x f 取得极值，证明：当⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈2,0πθ时，3ln 34)sin 21()cos 21(-≤+-+θθf f .21.（本小题满分14分）注意：第（3）小题平行班学生不必做，特保班学生必须做.已知椭圆的焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线24x y =的焦点，离心率e =圆的右焦点F 作与坐标轴不垂直的直线l ，交椭圆于A 、B 两点．（1）求椭圆的标准方程；（2）设点(,0)M m 是线段OF 上的一个动点，且()MA MB AB +⊥，求m 的取值范围；（3）设点C 是点A 关于x 轴的对称点，在x 轴上是否存在一个定点N ，使得C 、B 、N 三点共线？若存在，求出定点N 的坐标，若不存在，请说明理由．三明一中2012-2013学年第一学期学段考试卷高三（理科）数学答题卷考位号＿＿一、选择题：题号1 2 3 4 5 6 7 8 91答案二、填空题：11．________；12．________；13．________；14．_______________；15．_______________．三．解答题：以下答题区，必须用黑色字迹的签字笔或钢笔在指定的区域内作答，否则答案无效。

2013年福建省普通高中毕业班质量检查文 科 数 学本试卷分第1卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)．本试卷共5页．满分150分．考试时间120分钟．注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．考生作答时，将答案答在答题卡上．请按照题号在各题的答题区域(黑色线框)内作答，超出答题区域书写的答案无效．在草稿纸、试题卷上答题无效．3．选择题答案使用2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0．5毫米的黑色中性(签字)笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚．4．保持答题卡卡面清洁，不折叠、不破损．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．参考公式：样本数据x 1，x 2， …，x n 的标准差 锥体体积公式V =31Sh 其中x 为样本平均数 其中S 为底面面积，h 为高 柱体体积公式球的表面积、体积公式 V =Sh24S R =π，343V R =π其中S 为底面面积，h 为高其中R 为球的半径第Ⅰ卷（选择题 共60分）一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知复数1i z =-，z 为z 的共轭复数，则下列结论正确的是A ．1i z =--B ．1+i z =-C ．2z =D ．z =2．已知,0a b c >≠，则下列不等式一定成立的是 A ．22a b >B ．ac bc >C ．a c b c +>+D ．a b c c> 3．执行如图所示的程序框图，若输入的x 值为2，则输出的x 值为A ．3B ．8C ．9D ．63 4．“1x =”是“210x -=”的Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而充分不条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件5．函数2cos 22y x x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭的图象是6．已知集合{}|28M x x =-≤≤，{}2|320N x x x =-+≤，在集合M 中任取一个元素x ，则 “x MN ∈”的概率是A ．110B ．16C ．310D ．127．已知1F ，2F 是椭圆C 的两个焦点，焦距为4.若P 为椭圆C 上一点，且12PF F ∆的周长为14，则椭圆C 的离心率e 为 A ．15 B ．25 C ．45DA BCD8．若变量,x y 满足约束条件310,3110,2,x y x y y --≥⎧⎪+-≤⎨⎪≥⎩则2z x y =-的最小值为A ．4B ．1C ．0D ．1- 9．设,m n 为两条不同的直线，βα,是两个不同的平面，下列命题正确的是 A ．若β//,//m n m ，则β//n B ．若αα//,//n m ，则n m // C ．若β⊥m n m ,//，则β⊥n D ．若n m n m //,,βα⊂⊂，则βα// 10．已知点()0,0O ，()1,2A ,()3,2B ，以线段AB 为直径作圆C ，则直线:30l x y +-=与圆C 的位置关系是A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 11．已知点()()()0000167n O ,,A ,,A ,,点()1212n A ,A ,,A n ,n -∈≥N 是线段0n A A 的n 等分点，则011+n n OA OA OA OA -+++等于A ．5nB ．10nC ．()51n +D ．()101n +12．定义两个实数间的一种新运算“*”：()lg 1010,x y x y *=+,x y ∈R .对任意实数,,a b c ，给出如下结论：①()()c b a c b a ****=； ②a b b a **=； ③()()()**a b c a c b c +=++； 其中正确的个数是A ． 0B ．1C ．2D ．3第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题:本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在答题卡相应位置． 13．一支田径队有男运动员28人，女运动员21人，现按性别用分层抽样的方法，从中抽取14位运动员进行健康检查，则男运动员应抽取________人．14．在ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．已知3a =，8b =，C=3π，则c = ．15．若函数2,0,()ln ,0x a x f x x x ⎧-≤=⎨>⎩有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是 ． 16．观察下列等式：12133+=； 781011123333+++=； 16171920222339333333+++++=； …则当m n <且,m n ∈N 表示最后结果.313232313333n n m m ++--++++= （最后结果用,m n 表示最后结果）． 三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．(本小题满分12分)某工厂生产,A B 两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7．5为正品，小于7．5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：由于表格被污损，数据y x ,看不清，统计员只记得x y <，且,A B 两种元件的检测数据的平均值相等，方差也相等． （Ⅰ）求表格中x 与y 的值；（Ⅱ）若从被检测的5件B 种元件中任取2件，求2件都为正品的概率． 18．(本小题满分12分)已知函数()sin cos f x x x =+，x ∈R ． （Ⅰ）求12f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； （Ⅱ）试写出一个函数()g x ，使得()()cos 2g x f x x =，并求()g x 的单调区间． 19．(本小题满分12分)某几何体111C B A ABC -的三视图和直观图如图所示． （Ⅰ）求证：平面11AB C ⊥平面11AAC C ； （Ⅱ）若E 是线段1AB 上的一点，且满足1111191C B A ABC C AA E V V --=，求AE 的长．20．(本小题满分12分)某工业城市按照“十二五”（2011年至2015年）期间本地区主要污染物排放总量控制要求，进行减排治污．现以降低SO 2的年排放量为例，原计划“十二五”期间每年的排放量都比上一年减少0.3万吨，已知该城市2011年SO 2的年排放量约为9.3万吨， （Ⅰ）按原计划，“十二五”期间该城市共排放SO 2约多少万吨？（Ⅱ）该城市为响应“十八大”提出的建设“美丽中国”的号召，决定加大减排力度．在2012年刚好按原计划完成减排任务的条件下，自2013年起，SO 2的年排放量每年比上一年减少的百分率为p ，为使2020年这一年的SO 2年排放量控制在6万吨以内，求p 的取值范围.（参考数据9505.0328≈，9559.0329≈）． 21．(本小题满分12分)已知函数()2e xf x ax bx =++．（Ⅰ）当0,1a b ==-时，求()f x 的单调区间； （Ⅱ）设函数()f x 在点()(),P t f t ()01t <<处的切线为l ，直线l 与y 轴相交于点Q .若点Q 的纵坐标恒小于1，求实数a 的取值范围． 22．(本小题满分14分)某同学用《几何画板》研究抛物线的性质：打开《几何画板》软件，绘制某抛物线2:2E y px =，在抛物线上任意画一个点S ，度量点S的坐标俯视图侧(左)视图正(主)视图1A(),S S x y ，如图．（Ⅰ）拖动点S ，发现当4S x =时，4S y =，试求抛物线E 的方程；（Ⅱ）设抛物线E 的顶点为A ，焦点为F ，构造直线SF 交抛物线E 于不同两点S 、T ，构造直线AS 、AT 分别交准线于M 、N 两点，构造直线MT 、NS ．经观察得：沿着抛物线E ，无论怎样拖动点S ，恒有MT //NS .请你证明这一结论．（Ⅲ）为进一步研究该抛物线E 的性质，某同学进行了下面的尝试：在（Ⅱ）中，把“焦点F ”改变为其它“定点(),0G g ()0g ≠”，其余条件不变，发现“MT 与NS 不再平行”．是否可以适当更改（Ⅱ）中的其它条件，使得仍有“MT //NS ”成立？如果可以，请写出相应的正确命题；否则，说明理由．2013年福建省普通高中毕业班质量检查 文科数学试题参考解答及评分标准说明：一、本解答指出了每题要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则．二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数．选择题和填空题不给中间分．一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题5分，满分60分． 1．D 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A 7．B 8．A 9．C 10．B 11．C 12．D二、填空题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题4分，满分16分． 13．8； 14．7； 15．01a <≤； 16．22n m -．三、解答题：本大题共6小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．本小题主要考查古典概型、统计等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力以及应用意识，考查必然与或然思想等．满分12分．解：(Ⅰ)因为11=+7+75+9+95=8=858555x x x y ⋅⋅+⋅+⋅+A B （7），（6+）， 由=x x A B，得17x y +=． ① ………………………………………2分因为222211=1+1+0.25+1+2.25=1.1=4+8+0.25+0.25+855x y ⎡⎤--⎣⎦A B ，s （）s （）（）， 由22=A Bs s ，得228+8=1x y --（）（）． ② …………………………………………4分由①②解得89x y =⎧⎨=⎩，，或98.x y =⎧⎨=⎩，因为x y <， 所以8,x y ==． ………………………………………6分(Ⅱ) 记被检测的5件B 种元件分别为12345,,,,B B B B B ，其中2345,,,B B B B 为正品， 从中任取2件,共有10个基本事件，列举如下:()12,B B ，()13,B B ，()14,B B ，()15,B B ，()23,B B ， ()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B ， ………………………………………8分记“2件都为正品”为事件C ，则事件C 包含以下6个基本事件：()23,B B ，()24,B B ，()25,B B ，()34,B B ，()35,B B ，()45,B B .……………………………10分所以63()105P C ==，即2件都为正品的概率为35. ………………………………………12分 18．本小题主要考查三角函数的图象与性质、两角和与差三角公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想等．满分12分．解法一：(Ⅰ)因为())4f x x π=+，………………………………………3分所以121243f ππππ⎛⎫⎛⎫=+==⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………6分 (Ⅱ)()cos sin g x x x =-. …………………………………………………………7分 下面给出证明：因为()()22(cos sin )(sin cos )cos sin cos 2,g x f x x x x x x x x =-+=-=所以()cos sin g x x x =-符合要求．……………………………………………………9分又因为()cos sin 4g x x x x π⎛⎫=-=+ ⎪⎝⎭，…………………………………………10分由222,4k x k πππππ+<+<+得3722,44k x k ππππ+<<+ 所以()g x 的单调递增区间为372244k k ππππ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，k ∈Z .………………………………11分又由224k x k ππππ<+<+,得32244k x k ππππ-<<+, 所以()g x 的单调递减区间为32244k k ππππ⎛⎫-+⎪⎝⎭，，k ∈Z .………………………………12分 解法二：(Ⅰ)因为()21sin 2,f x x =+⎡⎤⎣⎦所以231sin 1262f ππ⎡⎤⎛⎫=+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，………………………………3分又因为0,12f π⎛⎫>⎪⎝⎭所以12f π⎛⎫=⎪⎝⎭．………………………………6分 (Ⅱ)同解法一． 解法三：(Ⅰ)sin cos sin cos 1212123434f πππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=-+-⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭sincoscossincoscossinsin34343434ππππππππ=-++…………………3分=++=………………………………6分 (Ⅱ)同解法一．注：若通过()()cos 2xg x f x =得到()g x 或由()()(cos sin )(cos sin )g x f x x x x x =+-两边同时约去()f x 得到()g x 不扣分．19．本小题主要考查三视图、直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，几何体的体积等基础知识；考查空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力；考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解法一：（Ⅰ）由三视图可知，几何体111C B A ABC -为三棱柱，侧棱1111C B A AA 底面⊥，1111C A C B ⊥,且41==AC AA ，2=BC ．………………………………………2分 1111C B A AA 平面⊥ ，11111111,C B AA C B A C B ⊥∴⊂平面， …………………3分 11111111,A C A AA C A C B =⊥ ，1111ACC A C B 平面⊥∴．……………………5分又1111C AB C B 平面⊂ ， C C AA C AB 1111平面平面⊥∴．………………………6分 （Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分1111191C B A ABC C AA E V V --= ，,9131111AA S EF S ABC C AA ⋅=⋅∴∆∆ ……………………8分1111442443292EF ⎛⎫⎛⎫∴⨯⨯⨯⨯=⨯⨯⨯⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，解得32=EF .……………………9分在Rt ABC ∆中，AB ===，在1Rt ABB ∆中，16AB ===，……………………10分由111C B EFAB AE =， ……………………11分 得22326C B EFAB AE 111=⨯=⋅=. ……………………12分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）过点E 作11//C B EF 交1AC 于F ，由（Ⅰ）知，11ACC A EF 平面⊥，即EF 为C AA E 1-三棱锥的高. ………7分11111111133C AA B C B A A C B A ABC V V V ---== ，111111113191C AA B C B A ABC C AA E V V V ---==∴ ………8分,313131111111C B S EF S C AA C AA ⋅⨯=⋅∴∆∆,3111C B EF =∴ ………9分 在ABC Rt ∆中，5224AB 2222=+=+=BC AC ，在1ABB Rt ∆中，()6452AB 222121=+=+=BB AB ，……………………10分由111C B EFAB AE =， ……………………11分 得2AB 31AE 1==. ……………………12分 20．本小题主要考查等差数列、等比数列等基础知识，考查运算求解能力和应用意识，考查函数与方程思想.满分12分.解：（Ⅰ）设“十二五”期间，该城市共排放SO 2约y 万吨，依题意，2011年至2015年SO 2的年排放量构成首项为9.3，公差为0.3-的等差数列，……………3分 所以()55159.3(0.3)=43.52y ⨯-=⨯+⨯-（万吨）． 所以按计划“十二五”期间该城市共排放SO 2约43．5万吨．……………………6分 （2）由已知得， 2012年的SO 2年排放量9.60.32=9-⨯（万吨），……………………7分所以2012年至2020年SO 2的年排放量构成首项为9，公比为1p -的等比数列，…………………9分由题意得891p ⨯-（）＜6，即1p -＜832， 所以10.9505p -<，解得 4.95%p >.所以SO 2的年排放量每年减少的百分率p 的取值范围4.95%1p <<<……………………12分21．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想．满分12分．解：（Ⅰ）当0,1a b ==-时，()e x f x x =-，()e 1xf x '=-，……………………1分所以，当(,0)x ∈-∞时，()0f x '<；当(0,)x ∈+∞时，()0f x '>；……………………3分所以函数()f x 的单调递减区间为(),0-∞，单调递增区间为(0,)+∞．……………………4分（Ⅱ）因为()2xf x e ax b '=++，所以()(),P t f t 处切线的斜率()2tk f t e at b '==++，所以切线l 的方程为()()()22t t y e at bt e at bx t -++=++-，令0x =，得()21ty t e at =-- ()01t <<.………………………………………………5分当01t <<时，要使得点Q 的纵坐标恒小于1，只需()211tt e at --<，即()2110tt e at -++>()01t <<.……………… 6分令()()211tg t t e at =-++，则()()2t g t t e a '=+，………………………………………………………… 7分 因为01t <<，所以1t e e <<， ①若21a ≥-即12a ≥-时，20t e a +>， 所以，当()0,1t ∈时，()0g t '>，即()g t 在()0,1上单调递增， 所以()(0)0g t g >=恒成立，所以12a ≥-满足题意.………………………………8分 ②若2a e ≤-即2ea ≤-时，20t e a +<，所以，当()0,1t ∈时，()0g t '<，即()g t 在()0,1上单调递减，所以()(0)0g t g <=，所以2ea ≤-不满足题意.………………………………………9分 ③若21e a -<<-即122e a -<<-时，0ln(2)1a <-<.则t 、()g t '、()g t 的关系如下表：所以()()ln(2)00g a g -<=，所以22a -<<-不满足题意.………………………………11分 综合①②③，可得，当12a ≥-时，()0g t >()01t <<时，此时点Q 的纵坐标恒小于1.…………12分22．本小题主要考查抛物线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想等．满分14分．解法一：（Ⅰ）把4S x =，4S y =代入22y px =，得248p =，……………………2分所以2p =，………………………………………………………………………3分 因此，抛物线E 的方程24y x =．…………………………………………………4分 （Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ， 依题意可设直线:1l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩，得2440y my --=，则121244.y y m y y +=⎧⎨⋅=-⎩， ①……………………6分又因为11:AS y l y x x =，22:AT yl y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，所以12211,y MT x y x ⎛⎫=++⎪⎝⎭，21121,y NS x y x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭， ……………………7分 又因为()()1221121211y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭……………………………………8分 2221121241411144y y y y y y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭22122112*********4y y y y y y y y y y ⎛⎫⎛⎫=+++-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21121212144y y y y y y y y -=-+()22121212164y y y y y y ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭， ②把①代入②，得()221212121604y y y y y y ⎛⎫--= ⎪⎝⎭， (10)分即()()12211212110y y y x y x x x ⎛⎫⎛⎫++-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以//MT NS ，又因为M 、T 、N 、S 四点不共线，所以MT //NS ．……………………………………………11分（Ⅲ）设抛物线2:4E y x =的顶点为A ，定点()(),00G g g ≠，过点G 的直线l 与抛物线E 相交于S 、T 两点，直线AS 、AT 分别交直线x g =-于M 、N 两点，则MT //NS ．……………………14分解法二：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()221122,2,,2S t t T t t ，……………………5分依题意,可设直线:1ST l my x =-，由241y x my x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=， 则1212224,224,t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩所以12124,1.t t m t t +=⎧⎨⋅=-⎩ (7)分又因为2:2AS l y t x =-，1:2AT l y t x =-， 所以()21,2M t -，()11,2N t -，………………………………………………………………………10分所以MT k =，0NS k =，………………………………………………………………………………10分又因为M 、T 、N、S四点不共线，所以MT //NS .…………………………………………………11分（Ⅲ）同解法一. 解法三：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）因为抛物线E 的焦点为()1,0F ，设()()1122,,,S x y T x y ， 依题意，设直线:1l my x =-，由241y xmy x ⎧=⎨=-⎩得2440y my --=，则121244y y my y +=⎧⎨⋅=-⎩，…………………………………………6分 又因为11:AS y l y x x =，22:AT yl y x x =，所以111,y M x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，221,y N x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，又因为212y y x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2212111222224404yy y y y y y y x y y +=+=+=+==，……………………………………9分 所以212y y x =-，所以NS 平行于x 轴； 同理可证MT 平行于x 轴；又因为M、T、N、S四点不共线，所以MT//NS.…………………………………………………11分（Ⅲ）同解法一.…………………………………………………14分。