2021年广东省高考数学椭圆复习题 (50)

2021年广东省高考数学椭圆复习题49．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1（a ＞b ＞0），过点P （2，4）作圆O ：x 2+y 2＝20的切线l ，直线l 恰好过椭圆C 的右顶点与上顶点． （Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若圆O 上的一点Q 的切线l 1交椭圆C 于A ，B 两点，试确定∠AOB 的大小，并加以证明．【解答】解：（Ⅰ）因为点P （2，4）在圆O ：x 2+y 2＝20上， 所以直线l ⊥OP ，又因为直线OP 的斜率为k OP =42=2， 所以直线l 的方程为：y −4=−12(x −2)．令y ＝0，可得x ＝10，所以椭圆C 的右顶点坐标为（10，0）； 再令x ＝0，可得y ＝5，所以椭圆C 的上顶点坐标为（0，5）． 所以a ＝10，b ＝5，因此，椭圆C 的方程为：x 2100+y 225=1．（Ⅱ）（法一）若直线l 1的方程为：x =2√5，则A(2√5，2√5)，B(2√5，−2√5)． 此时OA →⋅OB →=0，故∠AOB ＝90°；若直线l 1的方程为：x =−2√5，则A(−2√5，2√5)，B(−2√5，−2√5)， 此时OA →⋅OB →=0，故∠AOB ＝90°． 猜想∠AOB ＝90°为定值． 证明如下：若直线l 1的斜率存在，设Q （x 0，y 0），A （x 1，y 1），B （x 2，y 2）， 则直线l 1的方程为：y −y 0=−x 0y 0(x −x 0)， 整理可得：x 0x +y 0y ＝20， 将x =20−y 0y x 0代入椭圆方程可得，(20−y 0y x 0)2+4y 2=100， 整理得，(y 02+4x 02)y 2−40y 0y +400−100x 02=0，所以y 1y 2=400−100x 020202．将y =20−x 0x y 0代入椭圆方程可得：x 2+4(20−x 0x y 0)2=100，整理得(y 02+4x 02)x 2−160x 0x +1600−100y 02=0，所以x 1x 2=1600−100y 02y 02+4x 02．故OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=400−100x 02y 02+4x 02+1600−100y 02y 02+4x 02=400−100x 02+1600−100y 02y 02+4x 02=2000−100(x 02+y 02)y 02+4x 02=2000−100⋅20y 02+4x 02=0．所以∠AOB ＝90°为定值．（法二）若直线l 1的方程为：x =2√5，则A(2√5，2√5)，B(2√5，−2√5)． 此时OA →⋅OB →=0，故∠AOB ＝90°；若直线l 1的方程为：x =−2√5，则A(−2√5，2√5)，B(−2√5，−2√5)， 此时OA →⋅OB →=0，故∠AOB ＝90°． 猜想∠AOB ＝90°为定值． 证明如下：若直线l 1的斜率存在，设直线l 1的方程为：y ＝kx +b ．联立方程组{y =kx +bx 2100+y 225=1，可得（1+4k 2）x 2+8kbx +4b 2﹣100＝0． 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2=4b 2−1001+4k2，x 1+x 2=−8kb 1+4k2，又因为y 1＝kx 1+b ，y 2＝kx 2+b ， 则y 1y 2=k 2x 1x 2+kb(x 1+x 2)+b 2 =k 2⋅4b 2−1001+4k2+kb ⋅−8kb 1+4k2+b 2=4k 2b 2−100k 2−8k 2b 2+b 2+4k 2b21+4k2=b 2−100k 21+4k2．所以OA →⋅OB →=x 1x 2+y 1y 2=4b 2−1001+4k2+b 2−100k 21+4k2=5b 2−100(1+k 2)1+4k2．因为直线l 1与圆O 相切，所以√1+k 2=√20，即b 2＝20（1+k 2）． 所以OA →⋅OB →=5⋅20(1+k 2)−100(1+k 2)1+4k2=0，故∠AOB ＝90°为定值．。

2021年高考数学一轮复习 8.5 椭圆课时作业 理（含解析）新人教A 版一、选择题1．(xx·石家庄质检(二))中心在坐标原点的椭圆，焦点在x 轴上，焦距为4，离心率为22，则该椭圆的方程为( )A.x 216＋y 212＝1 B.x 212＋y 28＝1 C.x 212＋y 24＝1 D.x 28＋y 24＝1 解析：因为焦距为4，所以c ＝2，离心率e ＝c a ＝2a ＝22，∴a ＝22，b 2＝a 2－c 2＝4，故选D.答案：D2．(xx·泉州质检)已知椭圆C 的上、下顶点分别为B 1、B 2，左、右焦点分别为F 1、F 2，若四边形B 1F 1B 2F 2是正方形，则此椭圆的离心率e 等于( )A.13B.12C.22D.32解析：四边形B 1F 1B 2F 2为正方形，则b ＝c ，∴e ＝22，选C. 答案：C3．(xx·江西红色六校第二次联考)设F 1，F 2是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点，P 为直线x ＝3a2上一点，△F 2PF 1是底角为30°的等腰三角形，则E 的离心率为( )A.12B.23C.34D.45解析：由题可得如图．|F 1F 2|＝2c ＝|PF 2|，∠PF 2Q ＝60°，∴|F 2Q |＝c ，∴2c ＝32a ，∴e ＝c a ＝34，故选C.答案：C4．已知圆(x ＋2)2＋y 2＝36的圆心为M ，设A 为圆上任一点，N (2,0)，线段AN 的垂直平分线交MA 于点P ，则动点P 的轨迹是( )A ．圆B ．椭圆C ．双曲线D ．抛物线解析：点P 在线段AN 的垂直平分线上，故|PA |＝|PN |.又AM 是圆的半径，∴|PM |＋|PN |＝|PM |＋|PA |＝|AM |＝6>|MN |，由椭圆定义知，P 的轨迹是椭圆．答案：B5．(xx·西安质检)若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP →的最大值为( )A ．2B ．3C ．6D ．8解析：由题意得F (－1,0)，设点P (x 0，y 0)，则y 20＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204(－2≤x 0≤2)，OP →·FP →＝x 0(x 0＋1)＋y 20＝x 20＋x 0＋y 20＝x 20＋x 0＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 204＝14(x 0＋2)2＋2， 当x 0＝2时，OP →·FP →取得最大值为6. 答案：C6．(xx·内江市第二次模拟)过椭圆C ：x 25＋y 2＝1的右焦点F 作直线l 交椭圆C 于A 、B两点，交y 轴于点M ，若MA →＝λ1AF →，MB →＝λ2BF →，则λ1＋λ2＝( )A ．10B ．5C ．－5D ．－10 解析：特殊地，当直线l 斜率为0时，为x 轴，则A 、B 、M 坐标分别为(5，0)、(－5，0)、(0,0)．MA →＝(5，0)，AF →＝(2－5，0)，MB →＝(－5，0)，BF →＝(2＋5，0)． ∴λ1＝－(25＋5)，λ2＝25－5，∴λ1＋λ2＝－10，选D. 答案：D 二、填空题7．(xx·浙江金华十校高三模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >0，b >0)的右焦点为F (3,0)，且点⎝⎛⎭⎪⎫－3，322在椭圆C 上，则椭圆C 的标准方程为________．解析：由已知椭圆的右焦点为F (3,0)，故c ＝3，则b 2＝a 2－9，即x 2a 2＋y 2a 2－9＝1，代入点⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，322，可求得a 2＝18，b 2＝9. 答案：x 218＋y 29＝1 8．(xx·河北唐山第二次模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 216＋y 212＝1的左、右焦点，点P 在椭圆上，若△PF 1F 2为直角三角形，则△PF 1F 2的面积等于________．解析：c＝2，b＝23，由b>c得∠P不能为直角，故△PF1F2为直角三角形，只能∠F1或∠F2为直角，若∠F2为直角则F2(2,0)得P(2,3)∴S△PF1P2＝4×3×12＝6.答案：69．椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F2作倾斜角为120°的直线与椭圆的一个交点为M，若MF1垂直于x轴，则椭圆的离心率为________．解析：不妨设|F1F2|＝1，∵直线MF2的倾斜角为120°，∴∠MF2F1＝60°.∴|MF2|＝2，|MF1|＝3，2a＝|MF1|＋|MF2|＝2＋3，2c＝|F1F2|＝1.∴e＝ca＝2－ 3.答案：2－ 3三、解答题10．根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上，点P 到两焦点的距离分别为435和235，过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点；(2)经过两点A (0,2)和B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3.解：(1)设椭圆的标准方程是x 2a 2＋y 2b 2＝1或y 2a 2＋x 2b2＝1，则由题意知2a ＝|PF 1|＋|PF 2|＝25，∴a ＝ 5.在方程x 2a 2＋y 2b 2＝1中令x ＝±c 得|y |＝b 2a在方程y 2a 2＋x 2b 2＝1中令y ＝±c 得|x |＝b 2a依题意并结合图形知b 2a ＝23 5.∴b 2＝103.即椭圆的标准方程为x 25＋3y 210＝1或y 25＋3x 210＝1.(2)设经过两点A (0,2)，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，3的椭圆标准方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0，m ≠n )，代入A 、B 得⎩⎪⎨⎪⎧ 4n ＝114m ＋3n ＝1⇒⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1n ＝14，∴所求椭圆方程为x 2＋y 24＝1. 11．(xx·安徽示范高中摸底考试)如图，椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，上顶点为A ，在x 轴负半轴上有一点B ，满足BF 1→＝F 1F 2→，AB ⊥AF 2.(1)求椭圆C 的离心率；(2)D 是过A ，B ，F 2三点的圆上的点，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于椭圆长轴的长，求椭圆C 的方程．解：(1)设B (x 0,0)，由F 2(c,0)，A (0，b )， 知AF 2→＝(c ，－b )，AB →＝(x 0，－b ) ∵AF 2→⊥AB →，∴cx 0＋b 2＝0，x 0＝－b 2c，由BF 1→＝F 1F 2→知F 1为BF 2中点，故－b 2c＋c ＝－2c∴b 2＝3c 2＝a 2－c 2，即a 2＝4c 2，故椭圆C 的离心率e ＝12(2)由(1)知c a ＝12，得c ＝12a ，于是F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫12a ，0，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32a ，0， △ABF 的外接圆圆心为F 1⎝ ⎛⎭⎪⎫－12a ，0，半径r ＝a ，D 到直线l ：x －3y －3＝0的最大距离等于2a ，所以圆心到直线的距离为a ，所以⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12a －32＝a ，解得a ＝2，∴c ＝1，b ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1.12．(xx·保定市第一次模拟)设F 1、F 2分别是椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点，M 、N 分别为其短轴的两个端点，且四边形MF 1NF 2的周长为4，设过F 1的直线l 与E 相交于A 、B 两点，且|AB |＝43.(1)求|AF 2|·|BF 2|的最大值；(2)若直线l 的倾斜角为45°，求△ABF 2的面积． 解：(1)因为四边形MF 1NF 2为菱形，又其周长为4，故a ＝1 由椭圆定义知|AF 2|＋|AB |＋|BF 2|＝4a ＝4，又因为|AB |＝43，所以|AF 2|＋|BF 2|＝83，所以|AF 2|·|BF 2|≤⎝ ⎛⎭⎪⎫|AF 2|＋|BF 2|22＝169当且仅当|AF 2|＝|BF 2|＝43时，等号成立．(此时AB ⊥x 轴，故可得A 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－33，23，代入椭圆E 的方程x 2＋y 2b 2＝1得b ＝63<1，即当且仅当b ＝63时，|AF 2|＝|BF 2|＝43) 所以|AF 2|·|BF 2|的最大值为169.(2)因为直线l 的倾斜角为45°，所以可设l 的方程为y ＝x ＋c ，其中c ＝ 1－b 2由(1)知椭圆E 的方程为x 2＋y 2b2＝1所以，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点坐标满足方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋c x 2＋y 2b 2＝1化简得(1＋b 2)x 2＋2cx ＋1－2b 2＝0则x 1＋x 2＝－2c 1＋b 2，x 1x 2＝1－2b21＋b2因为直线l 的斜率为1，所以|AB |＝ 1＋k 2|x 1－x 2| 即43＝2|x 1－x 2|，所以89＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 89＝41－b 21＋b 22－41－2b21＋b2，得b 2＝12，b ＝22所以c ＝22，l 的方程为：y ＝x ＋22F 2到l 的距离d ＝1.所以S △ABC ＝12|AB |×1＝12×43×1＝23.[热点预测]13．(xx·贵州省六校第一次联考)设F 1、F 2分别是椭圆x 24＋y 2＝1的左、右焦点．(1)若P 是第一象限内该椭圆上的一点，且PF 1→·PF 2→＝－54，求点P 的坐标；(2)设过定点M (0,2)的直线l 与椭圆交于不同的两点A 、B ，且∠AOB 为锐角(其中O 为坐标原点)，求直线l 的斜率k 的取值范围．解：(1)a ＝2，b ＝1，c ＝ 3.∴F 1(－3，0)，F 2(3，0)．设P (x ，y )(x >0，y >0)．则PF 1→·PF 2→＝(－3－x ，－y )(3－x ，－y )＝x 2＋y 2－3＝－54，又x 24＋y 2＝1， 联立⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝74x24＋y 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x 2＝1y 2＝34⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1y ＝32，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32. (2)显然x ＝0不满足题设条件．可设l 的方程为y ＝kx ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx ＋2⇒x 2＋4(kx ＋2)2＝4⇒(1＋4k 2)x 2＋16kx ＋12＝0 ∴x 1x 2＝121＋4k 2，x 1＋x 2＝－16k 1＋4k2由Δ＝(16k )2－4·(1＋4k 2)·12>016k 2－3(1＋4k 2)>0,4k 2－3>0，得k 2>34.①又∠AOB 为锐角⇔cos ∠AOB >0⇔OA →·OB →>0， ∴OA →·OB →＝x 1x 2＋y 1y 2>0又y 1y 2＝(kx 1＋2)(kx 2＋2)＝k 2x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ∴x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4 ＝(1＋k 2)·121＋4k 2＋2k ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－16k 1＋4k 2＋4＝121＋k21＋4k2－2k ·16k 1＋4k 2＋4＝44－k 21＋4k2>0∴－14<k 2<4. ②综合①②可知34<k 2<4，∴k 的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－32∪⎝ ⎛⎭⎪⎫32，2.35135 893F 褿 27629 6BED 毭#26736 6870桰34689 8781 螁C33264 81F0 臰23888 5D50 嵐Y+%36390 8E26 踦31116 798C 禌21209 52D9 務。

2021年高考数学真题分类汇编 10.1 椭圆及其性质理考点一椭圆的标准方程1.(xx大纲全国,6,5分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为( )A.+=1B.+y2=1C.+=1D.+=1答案A2.(xx安徽,14,5分)设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点.若|AF1|=3|F1B|,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为.答案x2+y2=13.(xx辽宁,15,5分)已知椭圆C:+=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|= .答案124.(xx课标Ⅰ,20,12分)已知点A(0,-2),椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点.(1)求E的方程;(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点.当△OPQ的面积最大时,求l的方程.解析(1)设F(c,0),由条件知,=,得c=.又=,所以a=2,b2=a2-c2=1.故E的方程为+y2=1.(2)当l⊥x轴时不合题意,故设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).将y=kx-2代入+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0.当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>时,x1,2=.从而|PQ|=|x1-x2|=.又点O到直线PQ的距离d=,所以△OPQ的面积S△OPQ=d·|PQ|=.设=t,则t>0,S△OPQ==.因为t+≥4,当且仅当t=2,即k=±时等号成立,且满足Δ>0,所以,当△OPQ的面积最大时,l的方程为y=x-2或y=-x-2.考点二椭圆的几何性质5.(xx江西,15,5分)过点M(1,1)作斜率为-的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于.答案6.(xx课标Ⅱ,20,12分)设F1,F2分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的左,右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直.直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为,求C的离心率;(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|F1N|,求a,b.解析(1)根据c=及题设知M,2b2=3ac.将b2=a2-c2代入2b2=3ac,解得=或=-2(舍去).故C的离心率为.(2)由题意,得原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故=4,即b2=4a.①由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.设N(x1,y1),由题意知y1<0,则即代入C的方程,得+=1.②将①及c=代入②得+=1.解得a=7,b2=4a=28,故a=7,b=2.7.(xx江苏,17,14分)如图,在平面直角坐标系xOy中,F1、F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C.(1)若点C的坐标为,且BF2=,求椭圆的方程;(2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值.解析设椭圆的焦距为2c,则F1(-c,0),F2(c,0).(1)因为B(0,b),所以BF2==a.又BF2=,故a=.因为点C在椭圆上,所以+=1,解得b2=1.故所求椭圆的方程为+y2=1.(2)因为B(0,b),F2(c,0)在直线AB上,所以直线AB的方程为+=1.解方程组得所以点A的坐标为.又AC垂直于x轴,由椭圆的对称性,可得点C的坐标为.因为直线F1C的斜率为=,直线AB的斜率为-,且F1C⊥AB,所以·=-1.又b2=a2-c2,整理得a2=5c2.故e2=.因此e=.38768 9770 靰 25180 625C 扜2( 23394 5B62 孢JZ26881 6901 椁 •39384 99D8 駘n。

第 1 页 共 1 页 2021年广东省高考数学椭圆复习题
42．椭圆E 中心在原点，焦点在y 轴上，F 1、F 2分别为上、下焦点，椭圆的离心率为12，P 为椭圆上一点且K PF 1+K PF 2=0．
（1）若△PF 1F 2的面积为√3，求椭圆E 的标准方程；
（2）若PF 1的延长线与椭圆E 另一交点为A ，以P A 为直径的圆过点M(−6√35，0)，N 为椭圆上动点，求NF 1→⋅NF 2→的范围．
【解答】解：（1）由椭圆的对称性可知，P 为椭圆的左、右顶点，可设P （b ，0）， ∴{bc =√3c a =12
a 2=
b 2+
c 2解得{a =2b =√3c =1， ∴y 24+x 23=1．
（2）椭圆的离心率为12，a 2＝b 2+c 2，则a 2＝4c 2，b 2＝3c 2，
y 24c +x 23c =1，
∵以P A 为直径的圆过点M(−6√35，0)，∴x A =−6√35． 又∵PF 1的延长线与椭圆E 另一交点为A ，则A 、P(√3c ，0)、F 1（0，c ）三点共线， ∴λ(−√3c ，c)=(
6√35，c −y A )，∴(−√3c ，c)=λ(6√35，c −y A )， ∴y A =65+c ，x A =−6√35，
又∵A 在椭圆中，则代入椭圆方程有5c 2﹣4c ﹣12＝0，c ＝2，
y 216+x 212=1， 设椭圆上动点N （x 0，y 0），则y 0
2=16(1−x 022)，x 02∈[0，12]， ∴NF 1→⋅NF 2→=（﹣x 0，2﹣y 0）•（﹣x 0﹣2，﹣y 0）=x 02+y 0
2−4=−x 023
+12，x 02∈[0，12]， ∴NF 1→⋅NF 2→∈[8，12]．。

[名师一号]2021届高考数学一轮总复习 8.5椭圆练习第五节椭圆时间：45分钟分值：100分基础必做一、选择题1．已知△ABC的顶点B，C在椭圆＋y＝1上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另3外一个焦点在BC边上，则△ABC的周长是( )A．23 C．43B．6 D．12x22解析由椭圆的定义知：|BA|＋|BF|＝|CA|＋|CF|＝2a(F是椭圆的另外一个焦点)，∴周长为4a＝43.答案 C42．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为( )94＋k5A．－21 19C．－或2125解析若a＝9，b＝4＋k，则c＝5－k，22x2y2B．21 D.19或21 25c45－k419由＝，即＝，解得k＝－； a53525若a＝4＋k，b＝9，则c＝k－5，22c4k－54由＝，即＝，解得k＝21. a54＋k5答案 C3．已知椭圆＋＝1，长轴在y轴上．若焦距为4，则m等于( )10－mm－2A．4 C．7B．5 D．8x2y2y2x2解析将椭圆的方程转化为标准形式为＋＝1，显然m－2>1022?m－2??10－m?－m，即m>6，且(m－2)－(10－m)＝2，解得m＝8.答案 D4．(20212烟台质检)一个椭圆中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，3)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆方程为( )1222A.＋＝1 86C.＋＝1 84x2y2x2y2B.D.＋＝1 166＋＝1 164x2x2y2y2x2y243解析设椭圆的标准方程为2＋2＝1(a>b>0)．由点(2，3)在椭圆上知2＋2＝1.abab又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|，c1即2a＝222c，＝.a2又c＝a－b，联立解得a＝8，b＝6. 答案 A5．(20212北京海淀期末)已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C43→→上点A满足AF2⊥F1F2.若点P是椭圆C上的动点，则F1P2F2A的最大值为( )A.3 2B.D.33215 422222x2y29C. 4解析由椭圆方程知c＝4－3＝1，所以F1(－1,0)，F2(1，0)，因为椭圆C上点A满932足AF2⊥F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y0＝，所以y0＝±.42→→设P(x1，y1)，则F1P＝(x1＋1，y1)，F2A＝(0，y0)，→→所以F1P2F2A＝y1y0.因为点P是椭圆C上的动点，所以－3≤y1≤3，F1P2F2A的最大值为答案 B→→33.故B正确． 2x2y22226．已知椭圆C1：2＋2＝1(a>b>0)与圆C2：x＋y＝b，若在椭圆C1上存在点P，使得 ab由点P所作的圆C2的两条切线互相垂直，则椭圆C1的离心率的取值范围是( ) ?1?A.?，1? ?2?C.?B.?D.?3??2，? 2??2?2?，1? ?2??3?，1? ?2?解析椭圆上长轴端点向圆外引两条切线P′A，P′B，则两切线形成的角∠AP′B最小，2若椭圆C1上存在点P令切线互相垂直，则只需∠AP′B≤90°，即α＝∠AP′O≤45°.∴sinα＝≤sin45°＝ba222，解得a≤2c， 2122感谢您的阅读，祝您生活愉快。

2021年广东省高考数学椭圆复习题43．已知椭圆C ：x 2a +y 2b =1(a ＞b ＞0)的左右焦点分别为F 1，F 2，左顶点为A ，离心率为√22，点B 是椭圆上的动点，△ABF 1的面积的最大值为√2−12． （1）求椭圆C 的方程；（2）设经过点F 1的直线l 与椭圆C 相交于不同的两点M ，N ，线段MN 的中垂线为l '．若直线l '与直线l 相交于点P ，与直线x ＝2相交于点Q ，求|PQ||MN|的最小值． 【解答】解：（1）由已知，椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a ＞b ＞0)的离心率为√22，则e =c a =√22，即a 2＝2c 2．∵a 2＝b 2+c 2，∴b ＝c ．设B 点的纵坐标为y 0（y 0≠0）．则S △ABF 1=12(a −c)⋅|y 0|≤12(a −c)b =√2−12， 即(√2b −b)b =√2−1．∴b ＝1，a =√2．∴椭圆C 的方程为x 22+y 2=1．（2）由题意知直线l 的斜率不为0，故设直线的方程为x ＝my ﹣1， 设M （x 1，y 1），N （x 2，y 2），P （x P ，y P ），Q （2，y Q ）．联立{x 2+2y 2=2x =my −1，消去x ，得（m 2+2）y 2﹣2my ﹣1＝0． 此时△＝8（m 2+1）＞0．∴y 1+y 2=2m m 2+2，y 1y 2=−1m 2+2． 由弦长公式，得|MN|=√1+m 2|y 1−y 2|=√1+m 2√4m 2+4m 2+8m 2+2．整理，得|MN|=2√2⋅m 2+1m 2+2． 又y P =y 1+y 22=m 2，∴x P ＝my P ﹣1=−22． ∴|PQ|=√1+m 2|x P −2|=√1+m 2⋅2m 2+6m 2+2． ∴|PQ||MN|=22√2√m 2+1=√22⋅2√m 2+1=√22(√m 2+1+√m 2+1)≥2，当且仅当2+1=2√m+1，即m＝±1时等号成立．∴当m＝±1，即直线l的斜率为±1时，|PQ||MN|取得最小值2．。

专题9.3 椭圆（知识点讲解）【知识框架】【核心素养】1.结合椭圆的定义，考查应用能力，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．2．结合椭圆的定义、简单的几何性质、几何图形，会求椭圆方程及解与几何性质有关的问题，凸显数学运算、直观想象的核心素养．【知识点展示】一．椭圆的定义及其应用1.椭圆的概念(1)文字形式：在平面内到两定点F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆．这两定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做焦距．(2)代数式形式：集合①若，则集合P为椭圆；1212P={M||MF|+|MF|=2a|FF|=2c.}a c>②若，则集合P 为线段； ③若，则集合P 为空集．2.椭圆的标准方程：焦点在轴时，；焦点在轴时，二．椭圆的标准方程 1. 椭圆的标准方程：（1）焦点在轴，；（2）焦点在轴，.2．满足条件：三．椭圆的几何性质椭圆的标准方程及其几何性质条件图形标准方程范围对称性曲线关于轴、原点对称 曲线关于轴、原点对称 顶点 长轴顶点 ,短轴顶点长轴顶点 ,轴顶点焦点a c =a c <x 2222=1(a>b>0)x y ab +y 2222=1(a>b>0)y x a b+x 2222+=1(a>b>0)x y a by 2222y +=1(a>b>0)x a b22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞22222000a c a b c a b c ＞，＝＋，＞，＞，＞2222+=1(a>b>0)x y a b 2222y +=1(a>b>0)x a bx a y b ≤≤,x b y a ≤≤,,x y ,x y (),0a ±()0,b ±()0,a ±(),0b ±(),0c ±()0,c ±焦距离心率，其中通径过焦点垂直于长轴的弦叫通径，其长为四．直线与椭圆的位置关系 1.直线与椭圆位置关系的判断(1)代数法：把椭圆方程与直线方程联立消去y ，整理得到关于x 的方程Ax 2＋Bx ＋C ＝0.记该一元二次方程根的判别式为Δ，①若Δ＞0，则直线与椭圆相交；②若Δ＝0，则直线与椭圆相切；③若Δ＜0，则直线与椭圆相离．(2)几何法：在同一直角坐标系中画出椭圆和直线，利用图象和性质可判断直线与椭圆的位置关系． 2．直线与椭圆的相交长问题：（1）弦长公式：设直线与椭圆有两个公共点则弦长公式为或 （2）弦中点问题，适用“点差法”. （3）椭圆中点弦的斜率公式若M (x 0，y 0)是椭圆的弦AB (AB 不平行y 轴)的中点，则有k AB ·k OM ＝22b a-，即k AB ＝2020b x a y -.【常考题型剖析】题型一：椭圆的定义及其应用例1.（2021·全国高考真题）已知1F ，2F 是椭圆C ：22194x y+=的两个焦点，点M 在C 上，则12MF MF ⋅的最大值为（ ） A ．13 B ．12C ．9D ．6【答案】C 【分析】本题通过利用椭圆定义得到1226MF MF a +==，借助基本不等式212122MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤ ⎪⎝⎭即可得到答222122()F F c c a b -＝＝() 0,1ce a∈＝c ＝22a b -22b a1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-2222+=1(a>b>0)x y a b案． 【详解】由题，229,4a b ==，则1226MF MF a +==，所以2121292MF MF MF MF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭（当且仅当123MF MF ==时，等号成立）． 故选：C ．例2. （2021·全国）已知椭圆22:143x y C +=的右焦点为F ，P 为椭圆C 上一动点，定点(2,4)A ，则||||PA PF -的最小值为（ ） A ．1 B ．－1 C 17 D ．17-【答案】A 【分析】设椭圆的左焦点为F '，得到||4PF PF '=-，得出||||||4PA PF PA PF '-=+-，结合图象，得到当且仅当P ，A ，F '三点共线时，||PA PF '+取得最小值，即可求解.【详解】设椭圆的左焦点为F '，则||4PF PF '+=，可得||4PF PF '=-， 所以||||||4PA PF PA PF '-=+-，如图所示，当且仅当P ，A ，F '三点共线（点P 在线段AF '上）时， 此时||PA PF '+取得最小值，又由椭圆22:143x y C +=，可得(1,0)F '-且(2,4)A ，所以2(21)165AF '=++=，所以||||PA PF -的最小值为1． 故选：A ．例3.（2023·全国·高三专题练习）已知P 是椭圆221259x y +=上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点，若1212PF PF PF PF ⋅=⋅12，则12F PF △的面积为（ ）A ．33B ．3C 3D ．9【答案】A【分析】由已知可得12F PF ∠，然后利用余弦定理和椭圆定义列方程组可解. 【详解】因为121212121212cos 1cos 2PF PF F PF PF PF F PF PF PF PF PF ⋅∠⋅==∠=⋅⋅，120F PF π∠≤≤所以123F PF π∠=，又224c a b =-=记12,PF m PF n ==，则222464210m n mn c m n a ⎧+-==⋅⋅⋅⎨+==⋅⋅⋅⎩①②，②2-①整理得：12mn =，所以12113sin 12332322F PF S mn π==⨯⨯= 故选：A【规律方法】1.应用椭圆的定义，可以得到结论：（1）椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2.2.对焦点三角形的处理方法，通常是运用.3.椭圆定义的应用技巧(1)椭圆定义的应用主要有：求椭圆的标准方程，求焦点三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等． (2)通常定义和余弦定理结合使用，求解关于焦点三角形的周长和面积问题． 题型二：椭圆的标准方程例4.（2022·全国·高考真题（文））已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为13，12,A A 分别为C 的左、右顶点，B 为C 的上顶点．若121BA BA ⋅=-，则C 的方程为（ ）A ．2211816x y +=B ．22198x yC ．22132x y +=D ．2212x y +=【答案】B【分析】根据离心率及12=1⋅-BA BA ，解得关于22,a b 的等量关系式，即可得解.【详解】解：因为离心率22113c b e a a ==-=，解得2289b a =，2289=b a ，12,A A 分别为C 的左右顶点，则()()12,0,,0A a A a -，B 为上顶点，所以(0,)B b .所以12(,),(,)=--=-BA a b BA a b ，因为121BA BA ⋅=-所以221-+=-a b ，将2289=b a 代入，解得229,8a b ==，故椭圆的方程为22198x y .12F PF △⎧⎪⎨⎪⎩定义式的平方余弦定理面积公式2212222121212(2a)212S θθ∆⎧⎪=⎪=-⋅⎨⎪⎪=⋅⎩⇔（|PF|+|PF|）(2c)|PF|+|PF||PF||PF|cos |PF||PF|sin故选：B.例5.（2019·全国高考真题（文））已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B两点.若222AF F B =││││，1AB BF =││││，则C 的方程为（ ）A.2212x y += B.22132x y +=C.22143x y +=D.22154x y += 【答案】B 【解析】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得3n =． 22224233312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得32n =．22224233,312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 例6.【多选题】（2023·全国·高三专题练习）点1F ，2F 为椭圆C 的两个焦点，若椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒，则椭圆C 方程可以是（ ）A ．221259x y +=B ．2212516x y +=C ．221189x y +=D ．221169x y +=【答案】AC【分析】设椭圆上顶点为B ，由题满足1290F BF ∠≥︒，即2221212BF BF F F +≤，可得222a b ≥，即可得出答案.【详解】设椭圆方程为22221x y a b+=()0a b >>，设椭圆上顶点为B ，椭圆C 上存在点P ，使得1290F PF ∠=︒， 则需1290F BF ∠≥︒， 2221212BF BF F F ∴+≤，即2224a a c +≤，222c a b =-，222424a a b -≤， 则222a b ≥，所以选项AC 满足. 故选：AC. 【总结提升】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是： (1)作判断：根据条件判断焦点的位置．(2)设方程：焦点不确定时，要注意分类讨论，或设方程为 ． (3)找关系：根据已知条件，建立关于的方程组． (4)求解，得方程．2．(1)方程与有相同的离心率．(2)与椭圆共焦点的椭圆系方程为，恰当运用椭圆系方程，可使运算简便． 题型三：椭圆的几何性质例7.（2022·全国·高考真题（理））椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，点P ，Q 均在C 上，且关于y 轴对称．若直线,AP AQ 的斜率之积为14，则C 的离心率为（ ）A 3B 2C ．12D ．13【答案】A【分析】设()11,P x y ，则()11,Q x y -，根据斜率公式结合题意可得2122114y x a =-+，再根据2211221x y a b+=，将1y 用1x 表示，整理，再结合离心率公式即可得解.221mx ny ＋＝(0)0m n m n ≠＞，＞且a b c m n 、、或、2222y +=1x a b 2222y +=(>0)x a bλλ2222+=1(a>b>0)x y a b 22222+=1(a>b>0,0)x y b k a k b k+>++【详解】解：(),0A a -， 设()11,P x y ，则()11,Q x y -， 则1111,AP AQ y y k k x a x a==+-+， 故21112211114AP AQy y y k k x a x a x a ⋅=⋅==+-+-+， 又2211221x y a b +=，则()2221212b a x y a-=， 所以()2221222114b a x a x a -=-+，即2214b a =， 所以椭圆C 的离心率22312c b e a a ==-=. 故选：A .例8.（2023·全国·高三专题练习）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆.我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的蒙日圆方程为2222x y a b +=+，1F ，2F 分别为椭圆C 的左、右焦点.5M 为蒙日圆上一个动点，过点M 作椭圆C 的两条切线，与蒙日圆分别交于P ，Q 两点，若MPQ 面积的最大值为36，则椭圆C 的长轴长为（ ） A ．25B ．45C ．3D ．43【答案】B【分析】利用椭圆的离心率可得5a c =，分析可知PQ 为圆2223x y b +=的一条直径，利用勾股定理得出222236MP MQ PQ c +==，再利用基本不等式即可求即解【详解】因为椭圆C 的离心率55c e a ==，所以5a c =. 因为222a b c =+，所以2b c =，所以椭圆C 的蒙日圆的半径为223a b c +=. 因为MP MQ ⊥，所以PQ 为蒙日圆的直径， 所以6PQ c =，所以222236MP MQ PQ c +==. 因为222182MP MQMP MQ c +⋅≤=，当32MP MQ c ==时，等号成立， 所以MPQ 面积的最大值为：2192MP MQ c ⋅=.由MPQ 面积的最大值为36，得2936c =，得2c =，进而有24b c ==，25a =， 故椭圆C 的长轴长为45. 故选：B例9.（2018·全国·高考真题（文））已知椭圆C ：2221(0)4x y a a +=>的一个焦点为(20)，，则C 的离心率为（ ） A ．13B ．12C 2D 22【答案】C【详解】分析：首先根据题中所给的条件椭圆的一个焦点为()20，，从而求得2c =，再根据题中所给的方程中系数，可以得到24b =，利用椭圆中对应,,a b c 的关系，求得22a =，最后利用椭圆离心率的公式求得结果.详解：根据题意，可知2c =，因为24b =， 所以2228a b c =+=，即22a =， 所以椭圆C 的离心率为22222e ==，故选C. 例10.（2022·四川成都·高三期末（理））已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，以坐标原点O 为圆心，线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ．若122AF AF ≤，则椭圆C 的离心率的取值范围为______． 【答案】25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【分析】根据题意可得1290F AF ∠=，且c b >，再根据焦点三角形中的关系表达出离心率，结合函数的单调性求解即可【详解】由题意，因为线段12F F 为直径的圆与椭圆C 在第一象限相交于点A ． 故半径1OF b >,即 c b >，且1290F AF ∠=.又离心率()22212121212121212222AFAF AF AF AF AF F F c c a a AF AF AF AF AF AF +-⋅+====+++()12212122122112AF AF AF AF AFAF AF AF ⋅=-=-+++，因为122AF AF ≤，结合题意有1212AF AF <≤， 设12AF t AF =，则2112c a t t=-++，易得对勾函数12y t t =++在(]1,2上单调递增， 故2112y t t=-++在(]1,2上单调递增， 故2221111111222212t t -<-≤-++++++，即2523c a <≤故答案为：25,23⎛⎤⎥ ⎝⎦【总结提升】1.关于椭圆几何性质的考查，主要有四类问题，一是考查椭圆中的基本量a ，b ，c ；二是考查椭圆的离心率；三是考查离心率发最值或范围；四是其它综合应用.2.学习中，要注意椭圆几何性质的挖掘：(1)椭圆中有两条对称轴，“六点”(两个焦点、四个顶点)，要注意它们之间的位置关系(如焦点在长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为a －c )，过焦点垂直于长轴的通径长为等．(2)设椭圆上任意一点P (x ，y )，则当x ＝0时，|OP |有最小值b ，这时，P 在短轴端点处；当x ＝a 时，|OP |有最大值a ，这时P 在长轴端点处．(3)椭圆上任意一点P (x ，y )(y ≠0)与两焦点F 1(－c,0)，F 2(c,0)构成的△PF 1F 2称为焦点三角形，其周长为2(a ＋c )．(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形，其中a 是斜边，a 2＝b 2＋c 2. 3．重视向量在解析几何中的应用，注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征．4.求解有关离心率的问题时，一般并不是直接求出c 和a 的值，而是根据题目给出的椭圆的几何特征，建2222e?b b c a =2222+=1(a>b>0)x y a b立关于参数c 、a 、b 的方程或不等式，通过解方程或不等式求得离心率的值或范围．较多时候利用.题型四：直线与椭圆的位置关系例11.（2022·全国·高三专题练习）椭圆2214x y +=，则该椭圆所有斜率为12的弦的中点的轨迹方程为_________________． 【答案】2xy =-()22-<<x 【分析】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ，利用点差法可得答案. 【详解】设斜率为12的直线方程为12y x b =+，与椭圆的交点为()()1122,,,A x y B x y ， 设中点坐标为(),x y ，则211221121,,222y y x xy y x y x x -++=-==-， 所以221122221414⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩x y x y ，两式相减可得()()()()12221214+=-+-x x x x y y y y ，()()22121124-+-=+x x y y y y x x ，即2xy =-，由于在椭圆内部，由221412⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩x y y x b得22102++-=x bx b ，所以()22210∆=--=b b 时，即2b =±直线与椭圆相切，此时由22102±+=x x 解得2x =或2x =-，所以22x -<<， 所求得轨迹方程为2xy =-()22-<<x ． 故答案为：2xy =-()22-<<x ． 例12.（2022·北京八中高三阶段练习）已知P 为椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>上任意一点，12,F F 为左､右焦点，M 为1PF 中点.如图所示：若1122OM PF +=，离心率3e = 22 ,1c b e e a a=-＝(1)求椭圆E 的标准方程； (2)已知直线l 经过11,2且斜率为12与椭圆交于,A B 两点，求弦长AB 的值.【答案】(1)2214x y +=(2)5【分析】（1）由题意可得21||||2OM PF =结合1122OM PF +=求得a ，继而求得b ，即可得椭圆方程； （2）写出直线l 的方程，联立椭圆方程，可求得交点坐标，从而求得弦长. （1）由题意知，M 为1PF 中点，O 为12F F 的中点，故21||||2OM PF =, 又 1122OM PF +=，故121()22PF PF +=，即124PF PF +=，所以24,2a a == ， 又因为32e =，故3c =，所以2221b a c =-= ， 故椭圆E 的标准方程为2214x y += ；（2）由直线l 经过11,2⎛⎫- ⎪⎝⎭且斜率为12可知直线方程为11(1)22y x =+-，即112y x =+，联立2214x y +=，消去y 可得220x x += ，解得120,2x x ==- ，则,A B 两点不妨取为(0,1),(2,0)-， 故22215AB =+=.例13.（2022·天津·高考真题）椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F 、右顶点为A ，上顶点为B ，且满足3BF AB=(1)求椭圆的离心率e ；(2)直线l 与椭圆有唯一公共点M ，与y 轴相交于N （N 异于M ）．记O 为坐标原点，若=OM ON ，且OMN 3 【答案】(1)63e =(2)22162x y +=【分析】（1）根据已知条件可得出关于a 、b 的等量关系，由此可求得该椭圆的离心率的值；（2）由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，设直线l 的方程为y kx m =+，将直线l 的方程与椭圆方程联立，由0∆=可得出()222313m a k =+，求出点M 的坐标，利用三角形的面积公式以及已知条件可求得2a 的值，即可得出椭圆的方程.（1）解：()2222222222234332BF b c aa b a a b AB b a b a+===⇒=+⇒=++，离心率为22263c a b e a a -===. （2）解：由（1）可知椭圆的方程为2223x y a +=，易知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y kx m =+，联立2223y kx mx y a=+⎧⎨+=⎩得()()222213630k x kmx m a +++-=，由()()()222222223641330313k m k m a m a k ∆=-+-=⇒=+，①2331M kmx k =-+，213M Mm y kx m k =+=+，由=OM ON 可得()()222229131m k m k+=+，②由3OMN S =可得2313213km m k⋅=+，③联立①②③可得213k =，24m =，26a =，故椭圆的标准方程为22162x y +=． 【规律方法】一.涉及直线与椭圆的基本题型有： 1.位置关系的判断2.弦长、弦中点问题.弦及弦中点问题的解决方法(1)根与系数的关系：直线与椭圆方程联立，消元，利用根与系数的关系表示中点； (2)点差法：利用弦两端点适合椭圆方程，作差构造中点、斜率． 3.轨迹问题4.定值、最值及参数范围问题5.存在性问题二．常用思想方法和技巧有：1.设而不求；2.坐标法；3.根与系数关系.三. 若直线与椭圆有两个公共点可结合韦达定理，代入弦长公式或 题型五：椭圆与圆的相关问题例14. （2019·天津·高考真题（文）） 设椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，左顶点为A ，上顶点为B .3|2||OA OB =（O 为原点）. （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）设经过点F 且斜率为34的直线l 与椭圆在x 轴上方的交点为P ，圆C 同时与x 轴和直线l 相切，圆心C在直线4x =上，且OC AP ∥，求椭圆的方程.【答案】（I ）12；（II ）2211612x y +=.【分析】（I ）根据题意得到32a b =，结合椭圆中,,a b c 的关系，得到2223()2a a c =+，化简得出12c a =，从而求得其离心率；（II ）结合（I ）的结论，设出椭圆的方程2222143x y c c +=，写出直线的方程，两个方程联立，求得交点的坐标，利用直线与圆相切的条件，列出等量关系式，求得2c =，从而得到椭圆的方程. 【详解】（I ）解：设椭圆的半焦距为c ，由已知有32a b =， 又由222a b c =+，消去b 得2223()2a a c =+，解得12c a =，所以，椭圆的离心率为12.（II ）解：由（I ）知，2,3a c b c ==，故椭圆方程为2222143x y c c +=，由题意，(,0)F c -，则直线l 的方程为3()4y x c =+，点P 的坐标满足22221433()4x y c c y x c ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩，消去y 并化简，得到2276130x cx c +-=，解得1213,7cx c x ==-， 代入到l 的方程，解得1239,214y c y c ==-，因为点P 在x 轴的上方，所以3(,)2P c c ，1122()()M x y N x y ，，，，MN ＝221212(1)[()4]k x x x x ++-MN 2121221(1)[(y )4]y y y k++-由圆心在直线4x =上，可设(4,)C t ，因为OC AP ∥，且由（I ）知(2,0)A c -，故3242ct c c =+，解得2t =， 因为圆C 与x 轴相切，所以圆的半径为2，又由圆C 与l 相切，得23(4)24231()4c +-=+，解得2c =， 所以椭圆的方程为：2211612x y +=.【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.例15.（陕西高考真题）已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为． （Ⅰ）求椭圆的离心率；（Ⅱ）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程．【答案】；（Ⅱ）．【解析】（Ⅰ）过点的直线方程为， 则原点到直线的距离， 由，得，解得离心率. :E 22221x y a b+=0a b >>c O (),0c ()0,b 12c E AB :M ()()225212x y ++-=E A B E 3221123x y +=()(),0,0,c b 0bx cy bc +-=O 22bcd ab c ==+12d c =2222a b a c ==-32c e a ==（Ⅱ）由（1）知，椭圆的方程为. 依题意，圆心是线段的中点，且. 易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得. 从而.于是.由.故椭圆的方程为.例16.（2021·山东·高三开学考试）在平面直角坐标系xOy 中，已知点1(6,0)F -，2(6,0)F ，动点M 满足1243MF MF +=M 的轨迹为曲线C ．(1)求C 的方程；(2)圆224x y +=的切线与C 相交于A ，B 两点，P 为切点，求||||PA PB ⋅的值．【答案】(1)221126x y +=(2)||||4PA PB ⋅=【分析】（1）结合椭圆的定义求得,,a b c ，由此求得C 的方程.（2）当直线AB 斜率不存在时，求得,PA PB ，从而求得PA PB ⋅；当直线AB 斜率存在时，设出直线AB 的方程，根据直线和圆的位置关系列方程，联立直线的方程和椭圆的方程，化简写出根与系数关系，求得0OA OB ⋅=，由此判断出90AOB ∠=︒，结合相似三角形求得PA PB ⋅.E 22244x y b +=()2,1M -AB 10AB =AB x ()21y k x =++()()()22221482142140k x k k x k b +++++-=()()1122,,,A x y B x y ()12282114k k x x k++=-+()22122421414k b x x k+-=-+124x x +=-()2821=414k k k +--+12k =21282x x b =-()()222121212151410222AB x x x x x b ⎛⎫=+-=+-=- ⎪⎝⎭10AB ()210210b -=23b =E 221123x y +=（1）为12124326MF MF F F +=>=，所以点M 的轨迹曲线C 是以1F ，2F 为焦点的椭圆．设其方程为22221(0)x y a b a b+=>>，则243a =，226a b -=，解得23a =，6b =，所以曲线C 的方程为221126x y +=．（2）当直线AB 的斜率不存在时，(2,0)P ±，此时||||2PA PB ==，则||||4PA PB ⋅=． 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y kx m =+， 由直线AB 与圆224x y +=相切可得2||21m k =+，化简得()2241m k =+．联立22,1,126y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()2222142120k x kmx m +++-=，0∆>．设()11,A x y ，()22,B x y ，则122421km x x k -+=+，212221221m x x k -=+，所以1212OA OB x x y y ⋅=+()()2212121k x x km x x m =++++()()2222222121242121km k mm k k +-=-+++()222312121m k k -+=+()()222121121021k k k +-+==+，所以90AOB ∠=︒，所以AOB 为直角三角形．由OP AB ⊥，可得AOP OBP ∽△△， 所以||||||||PA OP OP PB =，所以2||||||4PA PB OP ⋅==． 综上，||||4PA PB ⋅=． 【总结提升】从高考命题看，与椭圆、圆相结合问题，一般涉及到圆的方程（圆心、半径）、直线与圆的位置关系（相切、相交）、点到直线的距离、直线方程等.。

第 1 页 共 1 页 2021年广东省高考数学椭圆复习题
8．假定一个弹珠（设为质点P ，半径忽略不计）的运行轨迹是以小球（半径R ＝1）的中心F 为右焦点的椭圆C ，已知椭圆的右端点A 到小球表面最近的距离是1，椭圆的左端点B 到小球表面最近的距离是5．
（1）求如图给定的坐标系下椭圆C 的标准方程；
（2）弹珠由点A 开始绕椭圆轨道逆时针运行，第一次与轨道中心O 的距离是√13时，弹珠由于外力作用发生变轨，变轨后的轨道是一条直线，称该直线的斜率k 为“变轨系数”，求k 的取值范围，使弹珠和小球不会发生碰撞．
【解答】解：（1）由题意，{a −c =2a +c =6⇒{a =4c =2
⇒⇒C ：x 216+y 212=1， （2）设 P （x ，y ）（x ，y ＞0），联立x 216+y 212=1与x 2+y 2=13，可求出P （2，3）
设直线方程为 y ﹣3＝k （x ﹣2），即 kx ﹣y +（3﹣2k ）＝0，
弹珠和小球不会发生碰撞，说明圆心（2，0）到直线 kx ﹣y +（3﹣2k ）＝0的距离大于圆半径 1， ∴√k 2+11，
解得 k ∈（﹣2√2，2√
2）．。

2021年高考数学新一轮复习详细分类题库考点40 椭圆（文、理）（含详解，13高考题）一、选择题1. （xx·新课标全国Ⅱ高考文科·Ｔ5）设椭圆的左、右焦点分别为，是上的点，，，则的离心率为（）A. B. C. D.【解题指南】利用已知条件解直角三角形，将用半焦距c表示出来，然后借助椭圆的定义，可得a,c的关系，从而得离心率.【解析】选D. 因为,所以。

又，所以，即椭圆的离心率为，选D.2.(xx·大纲版全国卷高考理科·T8)椭圆C:的左、右顶点分别为,,点P在C上且直线斜率的取值范围是,那么直线斜率的取值范围是( )A. B.C. D.【解题指南】将代入到中,得到与之间的关系,利用为定值求解的取值范围.【解析】选B.设，则，，，故.因为,所以3.（xx·大纲版全国卷高考文科·Ｔ8）已知F1（-1,0）,F2（1,0）是椭圆C的两个焦点,过F2且垂直于x轴的直线交于A,B两点,且=3,则C的方程为( )A. B. C. D.【解题指南】由过椭圆的焦点且垂直轴的通径为求解.【解析】选C.设椭圆得方程为，由题意知，又，解得或（舍去），而，故椭圆得方程为.4. （xx·四川高考文科·Ｔ9）从椭圆上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，是椭圆与轴正半轴的交点，是椭圆与轴正半轴的交点，且（是坐标原点），则该椭圆的离心率是（）A. B. C. D.【解题指南】本题主要考查的是椭圆的几何性质，解题时要注意两个条件的应用，一是与轴垂直，二是【解析】选C ，根据题意可知点P ，代入椭圆的方程可得，根据，可知，即，解得，即，解得，故选C.5. （xx ·广东高考文科·Ｔ9）已知中心在原点的椭圆C 的右焦点为，离心率等于，则C 的方程是（ ）A ．B ．C ．D ．【解题指南】本题考查圆锥曲线中椭圆的方程与性质，用好的关系即可.【解析】选D.设C 的方程为，则，C 的方程是.6. （xx ·辽宁高考文科·Ｔ11）已知椭圆的左焦点为F,C 与过原点的直线相交于A,B 两点,连接AF,BF. 若|AB|=10,|BF|=8,cos ∠ABF=,则C 的离心率为 ( )A. B. C. D.【解题指南】 由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点到右焦点的距离，进而求得【解析】选B.在三角形中，由余弦定理得 2222cos AF AB BF AB BF ABF =+-∠,又解得在三角形中，，故三角形为直角三角形.设椭圆的右焦点为，连接,根据椭圆的对称性，四边形为矩形，则其对角线且，即焦距又据椭圆的定义，得，所以.故离心率二、填空题7.(xx ·江苏高考数学科·T12) 在平面直角坐标系中，椭圆的标准方程为，右焦点为，右准线为，短轴的一个端点为，设原点到直线的距离为，到的距离为，若，则椭圆的离心率为【解题指南】利用构建参数a,b,c 的关系式.【解析】由原点到直线的距离为得，因到的距离为故，又所以222221a c a c e c -=⇒-=⇒-=又解得 【答案】.8.（xx ·上海高考文科·T12）与（xx ·上海高考理科·T9）相同设AB 是椭圆的长轴，点C 在上，且.若AB=4，BC=，则的两个焦点之间的距离为 .【解析】 如图所示，以AB 的中点O 为坐标原点,建立如图所示的坐标系.)1,1(3,1,145,2,4,C AD DB CD CBA BC AB AB CD AB D ⇒===⇒︒=∠==⊥上，且在设38,34,111)11(,422222222==⇒+==+=⇒c b c b a ba C a 代入椭圆标准方程得，把【答案】.9.(xx ·福建高考文科·T15) 与（xx ·福建高考理科·Ｔ14）相同椭圆Γ: 的左、右焦点分别为F 1,F 2,焦距为2c.若直线y=与椭圆Γ的一个交点M 满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则该椭圆的离心率等于 .【解题指南】,而2c 是焦距,2a 是定义中的|PF 1|+|PF 2|=2a,因此,如果题目出现焦点三角形(由曲线上一点连接两个焦点而成),求解离心率,一般会选用这种定义法: .【解析】∠MF 1F 2是直线的倾斜角,所以∠MF 1F 2=60°,∠MF 2F 1=30°,所以△MF 2F 1是直角三角形,在Rt △MF 2F 1中,|F 2F 1|=2c,|MF 1|=c,|MF 2|=,所以1222312||||31c c e a MF MF ====++. 【答案】 .10. （xx ·辽宁高考理科·Ｔ15）已知椭圆的左焦点为，与过原点的直线相交于两点，连接若，则的离心率【解题指南】由余弦定理解三角形，结合椭圆的几何性质（对称性）求出点A 到右焦点的距离，进而求得. 【解析】在三角形中，由余弦定理得2222cos AFAB BF AB BF ABF =+-∠,又，解得在三角形中，，故三角形为直角三角形。