小波聚焦下金融信息的自相似性

多尺度小波聚焦下金融信息的自相似性1徐喆1，于海2，朱志良2，朱伟勇11东北大学信息科学与工程学院，辽宁沈阳 (110006)2东北大学软件学院，辽宁沈阳 (110006)E-mail ：chn_yuhai@摘 要：通过对上海证券市场综合指数的多分辨率分析，发现了在细尺度下，上海证券市场综合指数的运行呈现出一定的周期性．利用小波变换细尺度下的局部极大模来检测其奇异性和边缘，发现了其周期的存在．证实了上海证券综合指数的时间序列是包含了某种随机自相似性的分形．为小波理论在经济学上的应用提供了一个有益的探讨．关键词：小波；多分辨率；模极大；Lipschitz 正则性；奇异谱中图分类号：TP 301. 51. 引 言多分辨率分析是Mallet 于1989年提出的[1]，目的是解决分析图象信息的困难．在2j +1和2j 分辨率下的信息的差别可以通过函数在小波正交基上的分解而获得．利用多分辨率分析方法，我们对上海证券综合指数和东大阿尔派股票价格进行了分析．我们以上海证券综合指数为例，利用小波变换以及变换的模极大计算所得到的全局函数来分析多分形理论下的市场运行规律。

2. 多尺度微分算子和多分辨率分析小波的消失矩在度量信号的局部正则性中是相当重要的．如果小波具有n 阶消失矩，则一个小波变换相当于一个n 阶多尺度微分算子[5]．一个小波变换可以写成： )(1)(),(),(s t s u u f s u Wf s s −=∗=ϕϕϕ其中 定理1[1] 快速衰减的小波ϕ具有n 阶消失矩，当且仅当存在快速衰减的函数θ，使得n n ndt t d t )()1()(θϕ−= (1) 从而))((),(u f du d s s u Wf s n nnθ∗= (2) 其中)()(21s t s t s −=−θθ．而且ϕ具有不超过n 阶消失矩当且仅当∫+∞∞−≠0)(dt t θ．Mallat 使用多分辨分析的概念统一了各种具体小波基的构造方法，并由此提出了现今广泛使用的Mallat 快速小波分解和重构算法，它在小波分析中的地位与快速傅里叶变换在傅里叶分析中的地位相当[1]．Mallat 在著名的用于图像分解的金字塔算法[8] (Pyramidal algorithm)的启发下，结合多分辨分析，提出了信号的塔式多分辨分解与综合算法，常简称为Mallat 算法．设()()R L t f 2∈，并假定已得到()t f 在j −2分辨率下的粗糙象j j V f A ∈，{}Z j j V ∈构成1 本课题得到教育部博士学科点专项科研基金(编号:20030145030)的资助。

()R L 2的多分辨分析，从而有11++⊕=j j j W V V ，即:f D f A f A j j j 11+++= (3)式中()∑∞−∞==k k j k j j t C f A ,,ψ，()∑∞−∞==k k j k j j t D f D ,,ψ．于是，由尺度函数的双尺度方程和尺度函数的正交性，有()m k h k j m j 2,,,1−=+φφ (4)同理由小波函函数的双尺度方程可得()m k g k j m j 2,,,1−=+φψ (5)引入[]∞−∞==k m k m H H ;,，[]∞−∞==k m k m G G ;,，且()()m k g G m k h H k m k m 2,2*,*,−=−=．则利用式(3)、(4)和(5)可得到[1,6,7]： ⎩⎨⎧===++J j GC D HC C jj j j ,,1,011L (6) 0,1,,1,,1*1*L −=+=++J J j D G C H C j j j (7)其中**,G H 分别是H 和G 的共轭转置矩阵． 公式(6)为Mallat 一维分解算法，公式(7)为Mallat 一维重构算法[1] ．利用Mallat 分解与重构算法进行信号处理时，不必知道具体的小波函数是什么样的．在实际应用Mallat 算法时，由于实际信号都是有限长的，存在如何处理边界的问题．比较常用的方法是周期扩展和反射扩展．主要目的是要降低边界不连续性所产生的在边界上变换系数衰减慢的问题．对上证指数我们做了V26下的分析．小波选择了紧支集双正交小波．从图1中可以看出指数的波动具有一定的周期性，在第6级细节图中尤其明显．由于这些细节图象产生在正交补空间中，从另一个角度反映了金融市场的波动情况．从在第6级细节图中可以看到前两个大幅震荡间的距离与后两个大幅震荡间的距离几乎一样，反映出自相似性．对比上面图象，不难发现，在多分辨率分析下，大的波动只来源与指数的急剧变化，而相对较平稳的波动，在细节图中，几乎不能体现出波动．图1上证综合指数走势与小波变换后的近似Fig. 1 Shanghai composit index trending and approximate on wavelet transform basis3. 奇异性检测几乎处处奇异的信号在纯数学中是作为病态的情形给予研究的．Mandelbrot 首先注意到了这种现象的存在，并做了广泛的研究[2,3]．多分形中的奇异性通常是逐点变化的，了解这些奇异性的分布对分析它们的性质是重要的． 小波变换幅值随尺度s 的衰减性相关于信号的一致与点态Lipschitz 正则性[10]．测量该渐进衰减性等价于用一个趋于0的尺度来聚焦信号的精细结构．在时间-尺度平面(u ,s )中直接测量|Wf (u ,s )|在细尺度下的衰减性是不必要的，|Wf (u ,s )|的衰减性可以由其局部极大值控制．术语“模极大” [1]用来表示这样的点(u 0, s 0)，使得|Wf (u , s 0)|在点u = u 0达到局部极大值，既 0),(00=∂∂us u Wf 此处，要求局部极大在左或右邻域是严格局部极大的，以避免|Wf (u , s 0)|恒为常数的情形．而“局部极大曲线”为时间—尺度平面(u ,s )中的连通曲线s (u )，使得该曲线上的所有点均为模极大．奇异性可以通过使得小波模极大在细尺度下收敛的横坐标点来检测[1,5]．若ϕ恰好具有n 阶消失矩并且是紧支集的，则一定存在紧支集函数，使得ϕ=(-1)n θ (n ) ，∫+∞∞−≠0)(dt t θ．如果小波有一阶消失矩，那么小波模极大就是经磨光后的一阶导数的极大；如果小波有二阶消失矩，那么模极大对应于高阶曲率．这种多尺度模极大被用来检测不连续的点和图象的边缘．定理 2[1] 设ϕ是紧支集C n 的函数，且ϕ=(-1)n θ (n )，其中∫+∞∞−≠0)(dt t θ．设f ∈L 1[a , b ]，如果存在s 0>0使得对u ∈ [a , b ]及s <s 0，|Wf (u ,s )|没有局部极大，则对任意ε>0，f 在[a +ε, b -ε]上是一致Lipschitz n 的．图2 小波变换的模极大Fig. 2 The Local maxima of wavelet transform定理1蕴涵着如下事实：仅当存在一个小波极大点序列(u p , s p ) p ∈N 在细尺度下收敛于v ，即v u p p =+∞→lim 且 0lim =+∞→p p s 则f 在点v 是奇异的（非Lipschitz 1的）．当f 完全是正则函数时，其小波变换也可以有一系列取极大模的点趋近于横坐标．因此，仅沿着尺度搜索小波模极大对于奇异性检测时不够的，Lipschitz 正则性要从模极大幅值的衰减性计算出来．对s <s 0，设收敛于v 的所有模极大包含在| u - v | ≤ C s 的影响锥中，这意味着f 在v 的邻域内没有快振荡．从而点v 若是奇异的，必是孤立的[1,6]．模极大点可以在、也可以不在同一条极大曲线上，该结果确保了所有的奇异性可以通过跟踪细尺度下小波变换模极大而检测出来．图2为小波变换下的上证综合指数的模极大曲线．在图中，取Gaussian 函数的导数作为小波，以保证极大曲线能延伸至最细致的尺度．连接极大模点成极大曲线的过程在小波变换接近0的区域内去除了数值失真而导致的假极大模点的过程．4. 奇异谱寻找分形信号f 的的奇异性分布对于分析信号的性质是重要的．奇异谱给出了不同的Lipschitz 正则性的奇异特征的整体重新分配[7]．定义 1[1,8] 设f 是使得在其上的Lipschitz 正则性为α的所有点t ∈的集合，f 的奇异谱D (α)定义为S α的分形维数，D (α)的支集定义为所有使S α非空的α的集合．奇异谱给出了在任意尺度s 下Lipschitz α奇异性的比例值．由于多分形的奇异性并不孤立，并且有限的数值分辨率不足以将它们区分开，所以无法计算其点态的Lipschitz 正则性．但可以通过引进全局分解函数，从小波变换的局部极大值测量多分形的奇异谱．设ϕ是具有n 阶消失矩的小波，若f 在v 点具有点态Lipschitz 正则性α0<n ，则小波变换|Wf (u ,s )|有一系列模极大在细尺度下收敛于v ．因而，尺度为s 时的极大值集合可以理解为尺度为s 的小波对f 的奇异支集所做的一个覆盖．在这些极大点，有|Wf (u ,s )| ~ s -α0+1/2设{u p (s)}t ∈Z 是|Wf (u ,s )|在给定尺度s 下的所有局部极大点，分解函数Z 度量了所有这些小波模极大的q 方之和：∑=p qp s u Wf s q Z ),(),( (8)对任意q ∈，尺度指数τ(q )测量了Z (q ,s )随尺度的渐近衰减性：)log ),(log inf(lim )(0ss q Z q s →−=τ (9) 定理 3[1,10] 设Λ=[α min , α max ]是D (α)的支集，设ϕ是具有n >α max 阶消失矩的小波，如果f 是自相似信号，则))()21((min )(ααταD q q −+=Λ∈ 该定理证明了，尺度指数τ(q )是D (α)的Legendre 变换。

为了度量直至α max 的所有Lipschitz 指数，必须使用具有足够高阶消失矩的小波．在数值计算上，τ(q )是通过求和Z (q ,s )而得到的．图3和图4分别是小波变换后得到尺度指数τ(q )的及在其支集上导出的D (α)．在图4中，可以看出其奇异谱D (α)是凸的．而自相似信号的谱D (α)是凸的[10]，说明了在上海证券综合指数的时间序列是包含了某种随机自相似性的分形．图中，当α0=0.252时，D (α)取得最大值，D (α0)=0.6701．这正是在时间序列f 中频繁出现的Lipschitz 指数α0的分形维数．α0=0.252<1，则D (α0)是f 的奇异性支集的分形维数．图3 小波变换的尺度指数τ(q)Fig. 3 The Scale index of wavelet transform图4 奇异谱D(α)Fig. 4 The Multifractal Spectrum D(α)5.证券市场中的Fibonacci序列广义Fibonacci序列{f n}满足下式[14,15]:f0=a (a,b为任意非负整数)f1= b (n=0,1,2,3...) (4)f n+2=f n+1+f n对于公式(2)，利用差分方程我们可以求出广义Fibonacci 序列的通项公式：()()n n n b a b a f 251(52215)251(52215−+++++−=(5) 从而求出： ...618033998.0215lim 1=−=+∞→n nn f f 可见随着n 的增加,相邻两项比值趋于黄金中值2/)15(−，即黄金中值为Fibonacci 序列自相似的比例因子.图5 细尺度下的模极大点分布及其拟合曲线Fig. 5 Local maxima points distributing on fine-scale basis and its fitting curve在图2中我们得到了小波的模极大.可以看到图中有许多模极大点向尺度越来越细的方向延伸.我们跟踪这些细尺度下的模极大点，得到了一组极大序列的数据集合{( x m , y m )}.对序列{( x m , y m )}做多项式曲线拟合，则可以得到对该数据集合的一个描述，见图5.图中的深色线，代表数据集合的曲线，浅色线代表拟合以后的曲线.拟合的曲线很好的逼近了数据集，且为一条直线.这说明小波变换后的模极大点是有规律的，其分布为一条直线.我们注意到，该数据集的点是通过对尺度s 取对数得到的，而对一组Fibonacci 序列取半对数坐标所得到的曲线刚好也为一条直线.这充分说明了在上海证券综合指数中蕴涵着Fibonacci 序列，也可以说上海证券综合指数的奇异性分布的来源是Fibonacci 序列.文献[14]中提出了Fibonacci 序列是通向混沌的一条途径，在这里得到了充分的验证.美国著名经济学家、股票技术分析大师R.E.Elliot在30年代前后首先想到把价格的波动与“浪”联系起来，发明了波浪理论[16].波浪理论一种价格趋势分析工具,它是一套完全靠而观察得来的规律,可用以分析股市指数、价格的走势,它也是世界股市分析上运用最多的，也是比较有效的市场分析工具.该理论认为股票价格波动有着其内部运行规律，并且波动中蕴涵着黄金分割.而黄金中值恰恰为Fibonacci序列的自相似比例因子，我们得到的结果从理论上证实了黄金中值在股市中存在，为今后对证券市场内部运行规律的研究奠定了基础.6.结论本文给出了以下结果：（1）通过将小波变换引入到对金融时间序列的分析中，利用小波变换和多分辨率分析进一步刻画了金融数据的相似性和周期性．通过对上海证券市场综合指数的多分辨率分析，发现了在细尺度下，上海证券市场综合指数的运行呈现出一定的周期性．（2）利用小波变换细尺度下的局部极大模来检测其奇异性和边缘，发现了其周期的存在．证实了上海证券综合指数的时间序列是包含了某种随机自相似性的分形．（3）利用其小波变换幅值随尺度参数的衰减性来刻画其局部正则性，并通过小波变换细尺度下的局部极大模来检测其奇异性和边缘．证实了上海证券综合指数的时间序列是包含了某种随机自相似性的分形，并得到了其奇异性支集的分形维数．（4）通过对细尺度下模极大的分析，发现了Fibonacci序列的存在，从另一方面验证了Fibonacci序列是通向混沌的一条途径．为小波理论在经济学上的应用提供了一个有益的探讨．为小波理论在经济学上的应用提供了一个有益的探讨．参考文献[1]Mandelbrot B B. Fractals and Scaling in Finance[M]. New York: Springer, 1997[2]Mandelbrot B B, Van Ness. Fractional Brownain Motion[J]. SIAM Review, 1968, 10: 422-431[3]Mandelbrot B B. The Fractal Geometry of Nature[M]. San Francisco: Freeman, 1982[4]Mallat S. A theory for multi-resolution approximation: the wavelet approximation[J]. IEEE Trans, PAMI II, 1989, 674~683[5]Meyer Y. Wavelets and Operators. Advanced matheatis[M]. Cambridge: Cambrige university press, 1992[6]Daubechies I. Ten Lectures on Wavelets[M]. Capital City Press, 1992[7]Burt P, et al. The Laplacian pyramid as a compact image coder[J]. IEEE Trans. Com-31, 1983, 4:532-540[8]Wornell G. Signal Pressing with Fractals: A Wavelet-Based Approach[M]. New York: Prentice-Hill, 1995[9]Bacty E, Muzy J, Arneodo A. Singularity spectum of fractal signal: exact results[J]. Journal of Stat. Phys. 1993, 70 (3/4): 635-674[10]W ornell G, Oppenheim A. Wavelet-based representations for a class of self-similar signals with application to fractal modulation[J]. IEEE Trans. Info. Theory. 1992, 38(2): 785-800[11]R amsey J B, et al. An Analysis of U. S. Stock price behavior Using Wavelets[J]. Fractals, 1995, 3:377-389[12]K antz H, Schreiber T. Nonlinear Time Series Analysis[M]. Cambridge: Cambridge University Press, 1997[13]王琰, 朱伟勇．Fibonacci序是通向混沌的新途径[J]．科学，2001, 5: 88-92[14]朱伟勇, 朱海松．热抽象(五大宇宙定律与实用艺术时空谱)[M]．广州：广东经济出版社，2003[15]杨福生．小波变换的工程分析与应用[M]．北京：科学出版社，2001[16]普莱切特 R Jr. 艾略特名著集[M]．北京：机械工业出版社，2003Self-Similarity of Finance Information unerlyingmulti-measurements waveletXu Zhe1, Yu Hai2, Zhu Zhiliang2, Zhu Weiyong11. College of Information Science & Engineering, Northeastern University, Shenyang,China (110004)2. Software college, Northeastern University, Shenyang, China (110004)AbstractIn this paper, According to a study of multi-resolution on Shanghai securities market index, it was found that the movement of composite index tends to be a certain periodicity in the same market on fine-scale basis. Significantly, the paper took use of the local maxima of wavelet-transforming to examine the singularity and edgeing nature of composite index, find the existing of periodicity and prove that the time sequence of composite index in Shanghai securities market included a certain random self-similarity fractal. On the opinion of this paper, it provides a quite useful discussion in order to take wavelet theory into practice in the economic field.Keywords: wavelet, multiresolution, Local maxima, Lipschitz Regularity；Irregularity spectrum。