上海市杨浦区2016学年第二次高考模拟高三数学试卷(含答案)

2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1．函数的定义域是______．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=______．3．计算=______．4．若向量，满足且与的夹角为，则=______．5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为______．6．在的展开式中，常数项是______．（用数字作答）7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是______．8．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为______．9．在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为______．10．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是______．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=______．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有______．（用数字作答）13．若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为______．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于______．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|18．已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条 D．无数多条三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．21．已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．22．已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．23．已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．函数的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【考点】函数的定义域及其求法．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．2．已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=2．【考点】线性方程组解的存在性，唯一性．【分析】由已知得，把x=﹣1，y=2，能求出a的值．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，∴，把x=﹣1，y=2，代入得﹣a+6=4，解得a=2．故答案为：2．3．计算=．【考点】数列的极限．【分析】将1+2+3+…+n=的形式，在利用洛必达法则，求极限值．【解答】解：原式====故答案为：4．若向量，满足且与的夹角为，则=．【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：5．若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为﹣3．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=1﹣2i，∴，，∴==，∴复数的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．6．在的展开式中，常数项是15．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在的展开式的通项公式为T r+1=•（﹣1）r•，令r﹣6=0，求得r=4，故的展开式中的常数项是5．故答案为：15．7．已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．【考点】二阶行列式的定义．【分析】由二阶行列式性质得a2+b2﹣c2=ab，由此利用余弦定理求出cosC=，从而能求出角C的大小．【解答】解：∵△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，，∴a2﹣c2=﹣b2+ab，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，∵C是△ABC的内角，∴C=．故答案为：．8．已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为7．【考点】等比数列的性质．【分析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴数列{log2a n}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案为：7．9．在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为3．【考点】参数方程化成普通方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到点（1，π）的距离，进而得出最大值．【解答】解：曲线C：ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为：（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．点P（1，π）化为直角坐标P（﹣1，0）．∴|CP|=2，∴曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值=2+1=3．故答案为：3．10．袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是．【考点】离散型随机变量的期望与方差．【分析】由已知得ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）．【解答】解：由已知得ξ的可能取值为3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴E（ξ）==．故答案为：．11．已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=．【考点】双曲线的简单性质．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x﹣），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c==，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程，可得x=，可得P（，﹣），由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣），可得M（，﹣），即有==．故答案为：．12．现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有54．（用数字作答）【考点】排列、组合的实际应用．【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可．【解答】解：当甲，乙带不同班时：×=36种；当甲，乙带相同班时，=18种；故共有54中，故答案为：54．13．若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为（6，）．【考点】函数的零点与方程根的关系．【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．【解答】解：当x≥时，5x﹣≥0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）﹣（5x﹣）=m，即﹣x+=m；∴m≤．当0＜x＜时，5x﹣＜0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）+（5x﹣）=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m 的取值范围为（6，）．故答案为：（6，）．14．课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y 轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于 ．【考点】旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积．【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的2倍．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2， 现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V 圆柱﹣V 圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．二、选择题15．下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（ ）A ．y=2|x|B ．y=lnxC ．D ．【考点】奇偶性与单调性的综合．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可． 【解答】解：A ．函数y=2|x|为偶函数，不满足条件． B ．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件． C.是奇函数，在（0，+∞）上递增，满足条件．D.是奇函数，当0＜x ＜1时函数为减函数，当x ＞1时函数为增函数，不满足条件．故选：C16．已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件 D．既非充分也非必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】“”，可得0≤tanα＜，“”；反之不成立，α可能为钝角．【解答】解：“”⇒0≤tanα＜⇒“”；反之不成立，α可能为钝角．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．17．设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|【考点】基本不等式．【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，即可判断出真假；B.﹣=﹣，即可判断出真假．C．取x=1，y=2，即可判断出真假；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴﹣=t2﹣t ﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，正确；B．∵＞，∴﹣=﹣≤0，∴≤，正确．C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+=1﹣1=0＜2，因此不正确；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．故选：C．18．已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条 D．无数多条【考点】点、线、面间的距离计算．【分析】如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．若平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足条件．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足条件，即可判断出结论．【解答】解：如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．因此满足条件的直线有无数条．故选：D．三、解答题19．如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质．【分析】（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC⊥平面ACC1A1，进一步得到BC⊥DC1；（2）利用等积法，把三棱锥C﹣BDC1的体积转化为三棱锥B﹣CDC1的体积求解．【解答】（1）证明：如图，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥底面ABC，又CC1⊂面ACC1A1，∴面ACC1A1⊥底面ABC，而面ACC1A1∩底面ABC=AC，由△ABC为Rt△，且AC=BC，得BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥DC1；（2）解：由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，∵，∴AA1=2，则∴=．20．某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．【考点】正弦定理；余弦定理．【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．所以，S==100（sinθcosθ+sin2θ），θ∈∪．（2）S=100（sinθcosθ+sin2θ）=50（2sinθcosθ+2sin2θ）=50（sin2θ﹣cos2θ+1）=，所以S的最大值为：50+50，θ=．21．已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】函数的最值及其几何意义；反函数．【分析】（1）由得f（﹣x）=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，从而可得当a=时函数为偶函数；（2）可判断与f﹣1（x）都是增函数，从而可得f（1）+f﹣1（1）=1+log23，从而解出a．【解答】解：（1）∵，∴f（﹣x）=﹣ax+log2（2﹣x+1）=﹣ax+log2（2x+1）﹣log22x=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，∴f（﹣x）=f（x），即﹣ax﹣x=ax，故a=；此时函数为偶函数，若a≠﹣，函数为非奇非偶函数；（2）∵a＞0，∴单调递增，又∵函数f（x）的反函数为f﹣1（x），∴f﹣1（x）单调递增；∴f（1）+f﹣1（1）=1+log23，即a+log23+f﹣1（1）=1+log23，故f﹣1（1）=1﹣a，即a（1﹣a）+log2（2a﹣1+1）=1，解得，a=1；故f（2）=2+log25．22．已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程．【分析】（1）由椭圆的焦距为，右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），设M（x m，y m），求出，=﹣，由点M在椭圆C上，能求出直线l的方程．（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．【解答】解：（1）∵椭圆C：的焦距为，∴c=，∵右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=，解得b=1，∴a2=b2+c2=4，∴椭圆C的方程为．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），其中y1，y2满足：，y1+y2=0，设M（x m，y m），∵（其中O为坐标原点），∴，=﹣，∵点M在椭圆C上，∴，∴49t2+4﹣t2=100，∴t=，∴直线l的方程为x=或x=﹣．证明：（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，∵直线PQ具有性质H，∴在椭圆C上存在点M，使得：，设M（x m，y m），则，y m=，∵点M在椭圆上，∴+（）2=1，又∵，，∴=0，①同理：=0，②，，③1）若x1，x2，x3中至少一个为0，不妨设x1=0，则y1≠0，由①③得y2=y3=0，即Q，R为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾．2）若x1，x2，x3均不为0，则由①②③得=﹣＞0，矛盾．∵在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．23．已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】数列递推式；数列的求和．【分析】（1）化简可得，从而写出，即；（2）当λ=2时，a n=n2+n，从而求得b n=2n，从而求等比数列前n项和．（3）仿照（2）可得，b n=2n+r﹣2，从而化简c n=2﹣r﹣2n﹣（），从而分类讨论以确定λ的值．【解答】解：（1）证明：∵，两边除以n（n+1）得，，即，故数列为等差数列，故，故；（2）当λ=2时，a n=n2+n，∵，∴b1==2，b n+1===2n+1，综上所述，b n=2n，S n==2n+1﹣2；（3）仿照（2）可得，，b n=2n+r﹣2，c n==﹣=2﹣r﹣2n﹣（），∵对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立，∴当n＞4时，c n≤0；若λ=1，则c n=1﹣2n﹣，c5=﹣＞0，故T5＞T4，故不成立；若λ=2，则c n=﹣2n﹣，故c1=﹣=0，c2=﹣，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，c5=﹣＜0，且当n≥5时，2n＞n2+n，故成立；若λ=3，则c n=﹣，故c1=﹣＞0，c2=﹣＞0，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，故且当n≥5时，•2n＞n2+2n，故成立；若λ≥4，则c n=﹣，c4=﹣，令f（r）=16﹣16﹣4（r﹣1），则f′（r）=16•ln•﹣4=4（ln4•﹣1）＞0，故f（r）在[4，+∞）上是增函数，故f（4）=16×2﹣16﹣4×3＞0，故c4＜0，故T3＞T4，故不成立；综上所述，λ的值为2或3．2016年9月20日。

浦东新区二模测试试卷 高三数学2016.4.23、注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、姓名、考号填写清楚. 2. 本试卷共有32道试题，满分150分，考试时间130分钟.一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，否则一律得零分.1．不等式21x >的解为 .2．已知复数z 满足2)1(=+i z （i 为虚数单位），则z = .3．关于,x y 的方程22240x y x y m ++-+=表示圆，则实数m 的取值范围是 . 4．函数sin 3cos y x x =-的最大值为 . 5．若0lim =∞→nn x ，则实数x 的取值范围是 .6．已知一个关于y x ,的二元线性方程组的增广矩阵是⎪⎪⎭⎫⎝⎛-210211，则y x += . 7．双曲线1322=-y x 的两条渐近线的夹角为 . 8．已知1()y f x -=是函数3()f x x a =+的反函数，且1(2)1f -=，则实数a = .9．二项式4)2(x x +的展开式中，含3x 项系数为 .10．定义在R 上的偶函数()y f x =，在),0[+∞上单调递增，则不等式)3()12(f x f <-的解是 .11．如图，已知⊥PA 平面ABC ，AB AC ⊥，BC AP =，︒=∠30CBA ,D 、E 分别是BC 、AP 的中点. 则异面直线AC 与DE 所成角的大小为 .12．若直线l 的方程为0=++c by ax （b a ,不同时为零），则下列命题正确的是 .（1）以方程0=++c by ax 的解为坐标的点都在直线l 上； （2）方程0=++c by ax 可以表示平面坐标系中的任意一条直线； （3）直线l 的一个法向量为),(b a ； （4）直线l 的倾斜角为arctan()ab-.二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分.13．设椭圆的一个焦点为)0,3(，且b a 2=，则椭圆的标准方程为 （ ）()A 1422=+y x ()B 1222=+y x ()C 1422=+x y ()D 1222=+x y 14．用1，2，3，4、5组成没有重复数字的三位数，其中是奇数的概率为 （ ）()A15 ()B 25 ()C 35 ()D 4515．下列四个命题中，为真命题的是 （ ）PABCDE()A 若a b >，则22ac bc > ()B 若a b >，c d >则a c b d ->-()C 若a b >，则22a b >()D 若a b >，则11a b<16．某校共有高一、高二、高三学生共有1290人，其中高一480人，高二比高三多30人.为了解该校学生健康状况，现采用分层抽样方法进行调查，在抽取的样本中有高一学生96人，则该样本中的高三学生人数为 （ ）()A 84 ()B 78 ()C 81 ()D 96 17．等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若17017=S ，1197a a a ++则的值为 （ ）()A 10 ()B 20 ()C 25()D 30 18．“直线l 垂直于ABC △的边AB ，AC ”是“直线l 垂直于ABC △的边BC ”的 （ ）()A 充分非必要条件 ()B 必要非充分条件 ()C 充要条件()D 既非充分也非必要条件19．函数1, 0()=2ln , >0x x f x xx x ⎧-<⎪⎨⎪-+⎩的零点个数为 （ ） ()A 0 ()B 1 ()C 2 ()D 320．某股民购买一公司股票10万元，在连续十个交易日内，前五个交易日，平均每天上涨5%，后五个交易日内，平均每天下跌4.9%. 则股民的股票赢亏情况(不计其它成本，精确到元)（ ）()A 赚723元 ()B 赚145元 ()C 亏145元 ()D 亏723元21．已知数列{}n a 的通项公式2,n a n n N *=∈，则5231234201220134345620142015a a a a a a a a a a a a a a a a ++++= （ ） ()A 16096-()B 16104- ()C 16112-()D 16120- 22．如果函数)(x f y =在区间I 上是增函数，而函数xx f y )(=在区间I 上是减函数，那么称函数)(x f y =是区间I 上“缓增函数”，区间I 叫做“缓增区间”. 若函数2321)(2+-=x x x f 是区间I 上“缓增函数”，则“缓增区间”I 为 （ ）()A ),1[∞+ ()B ]3,0[ ()C ]1,0[ ()D ]3,1[23．设θ为两个非零向量,a b 的夹角，已知对任意实数t ，||b ta -的最小值为2，则 （ ）()A 若θ确定，则||a 唯一确定 ()B 若θ确定，则||b 唯一确定()C 若||a 确定，则θ唯一确定 ()D 若||b 确定，则θ唯一确定24．已知12,x x 是关于x 的方程2(21)0x mx m +-+=的两个实数根，则经过两点211(,)A x x ，222(,)B x x 的直线与椭圆221164x y +=公共点的个数是 （ ） ()A 2 ()B 1()C 0()D 不确定三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）已知函数xxy -+=11lg的定义域为集合A ，集合)1,(+=a a B . 若B A ⊆，求实数a 的取值范围. 26．（本题满分8分）如图所示，圆锥SO 的底面圆半径1||=OA ，其侧面展开图是一个圆心角为32π的扇形，求此圆锥的体积． 27．（本题满分8分）已知直线12y x =与抛物线22(0)y px p =>交于O 、A 两点（F 为抛物线的焦点，O 为坐标原点），若17AF =，求OA 的垂直平分线的方程.28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分)在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，且c b =，A ∠的平分线为AD ，若.AB AD mAB AC ⋅=⋅（1）当2m =时，求cos A 的值；(2)当(1,3a b ∈时，求实数m 的取值范围.29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）在数列{}n a ，{}n b 中，13a =,15b =,142n n b a ++=,142n n a b ++=（*n N ∈）. （1）求数列{}n n b a -、{}n n a b +的通项公式；（2）设n S 为数列{}n b 的前n 项的和，若对任意*n N ∈，都有(4)[1,3]n p S n -∈，求实数p 的取值范围. 30．（本题满分8分）某风景区有空中景点A 及平坦的地面上景点B ．已知AB 与地面所成角的大小为60，点A 在地面上的射影为H ，如图.请在地面上选定点M ，使得AB BMAM+达到最大值.31．(本题满分10分，第1小题4分、第2小题6分)设函数x x x f sin )(=（20π≤<x ）. （1）设0,0>>y x 且2π<+y x ，试比较)(y x f +与)(x f 的大小；（2）现给出如下3个结论，请你分别指出其正确性，并说明理由.①对任意]2,0(π∈x 都有1)(cos <<x f x 成立；②对任意0,3x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭都有<)(x f !11!9!7!5!31108642x x x x x -+-+-成立； ③若关于x 的不等式k x f <)(在]2,0(π有解，则k 的取值范围是),2(+∞π.32．(本题满分12分，第1小题5分、第2小题7分)已知三角形ABC △的三个顶点分别为)0,1(-A ，)0,1(B ，(0,1)C .（1）动点P 在三角形ABC △的内部或边界上，且点P 到三边,,AC AB BC 的距离依次成等差数列，求点P 的轨迹方程；（2）若0a b <≤，直线l :y ax b =+将ABC △分割为面积相等的两部分，求实数b 的取值范围.浦东新区2015学年度第一学期期末质量测试高三数学参考答案及评分标准一、填空题（本大题共有12题，满分36分）只要求直接填写结果，每个空格填对得3分，O否则一律得零分.1．0x >； 2．i -1； 3．(,5)-∞； 4．2； 5．)1,1(-； 6．6； 7．3π； 8．1； 9．24； 10．(1,2)-； 11．42arccos（7arctan ）； 12．（1）、（2）、（3）. 二、选择题（本大题共有12题，满分36分）每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 3分，否则一律得零分. 13．()A ； 14．()C ； 15．()C ； 16．()B ； 17．()D ； 18．()A ； 19．()C ； 20．()D ； 21．()A ； 22．()D ； 23．()B ； 24．()A .三、解答题（本大题共有8题，满分78分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 25．（本题满分7分）解：集合)1,1(-=A ，……………………………………………………………………3分因为B A ⊆，所以 ⎩⎨⎧≤+-≥111a a ，01≤≤-⇒a .…………………………………6分即[]0,1-∈a . ………………………………………………………………………7分 26．（本题满分8分）解：因为1||=OA ，所以弧AB 长为π2，……………………………………………2分又因为32π=∠BSA ，则有ππ232=⋅SA ，所以3=SA ．……………………4分在SOA Rt ∆中，1||=OA.h SO ==22=， …………………6分所以圆锥的体积ππ322312==h r V ． ………………………………………8分27．（本题满分8分）解：OA 的方程为：12y x =. 由2212y px y x⎧=⎪⎨=⎪⎩ 得280x px -=， 所以(8,4)A p p ，……………………………………………………………………3分 由17AF =，可求得2p =.………………………………………………………5分 所以(16,8)A ，AO 中点(8,4)M .…………………………………………………6分 所以OA 的垂直平分线的方程为：2200x y +-=.………………………………8分28．（本题满分12分，第1小题6分、第2小题6分) 解：（1）由.b c = 又2.AB AD AB AC ⋅=⋅ 得A bc AAb b cos 22cos)2cos (⋅=⋅………2分 2cos 2cos 2AA ∴=…………………………………………………………………4分 1cos 2cos .2A A += 1cos .3A ∴= ……………………………………………6分（2）由.AB AD mAB AC ⋅=⋅ 得1cos 21A m =-；…………………………………8分又222cos 2b c a A bc +-==222221122b a a b b -⎛⎫=-∈ ⎪⎝⎭11(,)32，…………………10分 所以111(,)2132m ∈-，3(,2)2m ∴∈.……………………………………………12分29．（本题满分13分，第1小题6分、第2小题7分）解：（1）因为122n n b a +=+，122n n a b +=+，111()2n n n n b a b a ++-=--，即数列{}n n b a -是首项为2，公比为12-的等比数列，所以112()2n n n b a --=⋅-.…………………………………………………………3分111()42n n n n a b a b +++=++，1118(8)2n n n n a b a b +++-=+-，1180a b +-=，所以，当*n N ∈时，80n n a b +-=，即8n n a b +=.…………………………6分（2）由1812()2n n n n n a b b a -+=⎧⎪⎨-=⋅-⎪⎩ 得114()2n n b -=+-，214[1()]32n n S n =+--，21(4)[1()]32n n p p S n -=--，211[1()]332n p ≤--≤， 因为11()02n -->，所以1231131()1()22nnp ≤≤----.………………………8分 当n 为奇数时，11111()1()22n n=--+随n 的增大而增大， 且nnp )21(1332)21(11+≤≤+，2321≤≤p ，323≤≤p ；………………………10分 当n 为偶数时，11111()1()22n n=---随n 的增大而减小， 且n n p )21(1332)21(11-≤≤-，33234≤≤p ，292≤≤p . 综上，32≤≤p .…………………………………………………………………13分30．（本题满分8分）解：因为AB 与地面所成的角的大小为60，AH 垂直于地面，BM 是地面上的直线，所以60,60≥∠=∠ABM ABH .∵,sin sin sin BAMA BM M AB ==…………………………………………………………2分∴()BM B M B A M AM BM AB sin sin sin sin sin sin ++=+=+sin sin cos cos sin 1cos sin cos sin sin M B M B M BM M B B +++==+22cos 2sin cos cot sin cos sin 2B B M M M M B =+=+……………………………4分 cot 30sin cos 3sin cos 2sin(30).M M M M M ≤+=+=+……………6分当60=∠=∠B M 时，AB BMAM+达到最大值，此时点M 在BH 延长线上，HM BH =处.……………………………………8分31．(满分10分，第1小题4分、第2小题6分) 解：（1）方法一（作商比较）：显然0)(>x f ，0)(>+y x f ，于是x y x x yx x y x x x x y x y x x f y x f sin sin sin cos cos sin sin )sin()()(++=⋅++=+. ………1分因为x x y x x x x y sin cos sin 00sin 1cos 0<<⇒⎭⎬⎫><<.……………………………2分又x y y x x x x x x x y y sin sin cos 0sin cos 0tan 0sin 0<<⇒⎭⎬⎫<<⇒<<<<.……3分 所以x y x x y x x y x x sin sin sin cos cos sin 0+<+<. 即)()(1)()(x f y x f x f y x f <+⇒<+.…………………………………………4分 方法二（作差比较）：因为0)1(cos sin 0sin 1cos 0<-⇒⎭⎬⎫><<y x x x x y .…………………………………1分又0sin sin cos sin cos 0tan 0sin 0<-⇒⎭⎬⎫<<⇒<<<<x y y x x x x x x x y y .……2分 xy x xy x y x x x f y x f )(sin )()sin()()(++-+=-+0)()sin sin cos ()1(cos sin <+-+-=xy x x y y x x y x x .即)()(x f y x f <+.………………………………………………………………4分（2）结论①正确，因20π<<x .xx x x x x cos 1sin 1tan sin 0<<⇒<<<⇒. 1)(cos <<⇒x f x .………………………………6分结论②错误，举反例: 设=)(x g !11!9!7!5!31108642x x x x x -+-+-.（利用计算器）010*********.3)5.0()5.0(14>⨯=--g f 等………………………………8分（010493766163.3)6.0()6.0(13>⨯=--g f ，010*********.1)1()1(10>⨯=--g f ，0)9.0()9.0(,0)8.0()8.0(,0)7.0()7.0(>->->-g f f f g f 均可）.结论③正确，由)()(x f y x f <+知xxx f sin )(=在区间]2,0(π上是减函数.所以ππ2)()2()(≥⇒≥x f f x f ，又1)(<x f ，所以xxx f sin )(=的值域为)1,2[π.要使不等式k x f <)(在]2,0(π有解，只要π2>k 即可.………………………10分32．(满分12分，第1小题5分、第2小题7分) 解：（1）法1：设点P 的坐标为(),x y ，则由题意可知：11222x y x y y -++-=，由于10x y -+≥，10x y +-≤，0y ≥，…2分222y =，…………………………………………………4分 化简可得：21y =2222x ≤≤5分 法2：设点P 到三边,,AC AB BC 的距离分别为123,,d d d ，其中2d y =，||2|2|2AB AC BC ===.所以 1313221221d d yy y +=⎧⎪⇒=⎨+=⎪………4分 于是点P 的轨迹方程为12-=y （2222-≤≤-x ）……………………5分 （2）由题意知道01a b <≤<，情况（1）b a =.直线l ：(1)y a x =+，过定点()1,0A -，此时图像如右下： 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛⎫⎪⎝⎭，从而13b a ==.………………………………………………7分情况（2）b a >.此时图像如右下：令0y =得1bx a=-<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，设其交点分别为,D E ，则直线l 与三角形两边的两个交点坐标()11,D x y 、()22,E x y 应该满足方程组：()()110y ax by x x y =+⎧⎪⎨--+-=⎪⎩. 因此，1x 、2x 是一元二次方程：()()()()()()11110a x b a x b -+-++-=的两个根.即()22212(1)(1)0a x a b x b -+-+-=, 由韦达定理得：()212211b x x a -=-而小三角形与原三角形面积比为12x x -，即1212x x =-.所以()221112b a -=--，()22112a b =--，亦即2112a b -=-再代入条件b a >，解得103a <<，从而得到113b ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭.……………………………………………………………11分综合上述（1）（2）得：113b ⎛⎤∈ ⎥ ⎝⎦.……………………………………………12分解法2：由题意知道01a b <≤< 情况（1）b a =.直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -， 由平面几何知识可知，直线l 应该过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而13b a ==.……………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.设直线l ：y ax b =+分别与边[]:1,0,1BC y x x =-+∈，边[]:1,1,0AC y x x =+∈-的交点分别为点,D E ， 通过解方程组可得：1(,)11b a b D a a -+++，1(,)11b a bE a a ----，又点(0,1)C ， ∴0111112111111CDE ba b S a a b a ba a ∆-+=++----=12，同样可以推出()22112a b --=.亦即1b =-b a >，解得103a <<，从而得到1123b ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭.………………………………………………………11分综合上述（1）（2）得：1123b ⎛⎤∈-⎥⎝⎦.………………………………………12分解法3：情况（1）b a =.直线l 的方程为：(1)y a x =+，过定点()1,0A -， 由平面几何知识可知，直线l 过三角形的重心10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，从而13b a ==.………………………………………………………………………7分 情况（2）b a >.令0y =，得1bx a=-<-，故直线l 与两边,BC AC 分别相交，设其交点分别为,D E ，当a 不断减小时，为保持小三角形面积总为原来的一半，则b 也不断减小.当//DE AB 时，CDE ∆与CBA ∆相似，由面积之比等于相似比的平方.可知2211=-b ，所以12b >-，综上可知1123b ⎛⎤∈- ⎥ ⎝⎦.…………………………………………………………12分2015年1月上海市奉贤区高三数学(理科)一模试卷及参考答案一、填空题（每空正确3分，满分36分）1．已知全集U R =，集合{|21}P x x =-≥，则=P .2．某工厂生产A 、B 、C 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为2:3:5，现用分层抽E D ACB样的方法抽出一个容量为n 的样本，其中A 种型号产品有16件，那么此样本的容量n = .3．设41:<≤x α，m x ≤:β，若α是β的充分条件，则实数m 的取值范围是 .4．若双曲线122=-ky x 的一个焦点是(3,0)，则实数k = . 5．已知圆222:C x y r +=与直线34100x y -+=相切，则圆C 的半径r = .6．若i +1是实系数一元二次方程02=++q px x 的一个根，则=+q p .7．盒子里装有大小质量完全相同且分别标有数字1、2、3、4的四个小球，从盒子里随机摸出两个小球，那么事件“摸出的小球上标有的数字之和为5”的概率是 . 8．函数⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∈=2,2,sin ππx x y 的反函数为 . 9．在ABC∆中，已知14==，且ABC ∆的面积S =，则AC AB ⋅的值为 . 10．已知⎪⎪⎭⎫⎝⎛-βαcos 200sin 为单位矩阵，且,2παβπ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦、，则tan()αβ+= . 11．如图，在矩形ABCD 中，E 为边AD 的中点，1AB =，2BC =，分别以A 、D 为圆心，1为半径作圆弧EB 、EC （E 在线段AD 上）.由两圆弧EB 、EC 及边BC 所围成的平面图形绕直线AD 旋转一周，则所形成的几何体的体积为 .12．定义函数348122()1()222x x f x x f x ⎧--≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，则函数()()6g x xf x =-在区间[]8,1内的所有零点的和为 .二、单项选择题（每题正确3分，满分36分）13．正方体中两条面对角线的位置关系是 （ ）A ．平行B ．异面C ．相交D ．平行、相交、异面都有可能14．下列命题中正确的是 （ ） A ．任意两复数均不能比较大小 B ．复数z 是实数的充要条件是z z =C ．复数z 是纯虚数的充要条件是0Imz =D ．1i +的共轭复数是1i -15．与函数y x =有相同图像的一个函数是 （ ）A ．y =B ．log (01)a x y a a a =>≠且C ．2x y x= D ．log (01)xa y a a a =>≠且16．下列函数是在(0,1)上为减函数的是 （ ）A ．cos y x =B ．2xy = C ．sin y x = D ．x y tan =17．在空间中，设m 、n 是不同的直线，α、β是不同的平面，且m α⊂≠，n β⊂≠，则下列命题正确的是 （ ）A ．若n m //，则βα//B ．若m 、n 异面，则α、β平行C ．若m 、n 相交，则α、β相交D ．若n m ⊥，则βα⊥18．设),(b a P 是函数3)(x x f =图像上任意一点，则下列各点中一定．．在该图像上的是 （ ） A ．),(1b a P - B ．),(2b a P -- C ．),(3b a P - D ．),(4b a P -19．设椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，上顶点为B ，若2122BF F F ==，则该椭圆的方程为 （ ） A ．13422=+y x B ．1322=+y x C ．1222=+y x D ．1422=+y x 20．在二项式()612+x 的展开式中，系数最大项的系数是 （ ）A ．20B ．160C ．240D ．192 21．已知数列{}n a 的首项11a =，*13()n n a S n N +=∈，则下列结论正确的是 （ ）A ．数列是{}n a 等比数列B ．数列23n a a a ⋅⋅⋅，，，是等比数列 C ．数列是{}n a 等差数列 D ．数列23n a a a ⋅⋅⋅，，，是等差数列 22．在ABC ∆中，C B C B A sin sin sin sin sin 222-+≤，则角A 的取值范围是 （ ）A ．06π⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．,6ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．03π⎛⎤ ⎥⎝⎦，D ．,3ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭23．对于使()f x M ≤成立的所有常数M 中，我们把M 的最小值叫做()f x 的上确界，若a 、b R +∈且1a b +=，则122a b--的上确界为 （ ）A ．92- B ．92 C ．41 D ．4-24．定义两个实数间的一种新运算“*”：*lg(1010)x yx y =+，x 、y R ∈。

2016年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1．（5分）设集合A＝{x||x|＜2，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝．3．（5分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是．4．（5分）计算：＝．5．（5分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y 轴旋转一周，所得几何体的体积为．6．（5分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．7．（5分）定义在R上的偶函数y＝f（x），当x≥0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为．9．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的坐标为．10．（5分）记的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝．11．（5分）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望Eξ＝．12．（5分）若数列{a n}是正项数列，且++…+＝n2+3n（n∈N*），则++…+＝．13．（5分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为．14．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝x﹣（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是．二、选择题15．（5分）sin x＝0是cos x＝1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件16．（5分）下列命题正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l217．（5分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．18．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）三、解答题19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；（2）求二面角B1﹣CD﹣C1的大小（结果用反三角函数值表示）20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，•＝，且a+c＝4，试求b的值．21．（12分）定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．22．（12分）如图，设F是椭圆+＝1的下焦点，直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P（1）若＝，求k的值；（2）求证：∠AFP＝∠BF0；（3）求面积△ABF的最大值．23．（12分）已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．2016年上海市长宁区、青浦区、宝山区、嘉定区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）设集合A＝{x||x|＜2，x∈R}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}，则A∩B＝（﹣2，1]．【解答】解：A＝{x||x|＜2，x∈R}＝{x|﹣2＜x＜2}，B＝{x|x2﹣4x+3≥0，x∈R}＝{x|x≥3或x≤1}，则A∩B＝{x|﹣2＜x≤1}，故答案为：（﹣2，1]．2．（5分）已知i为虚数单位，复数z满足＝i，则|z|＝1．【解答】解：设z＝a+bi，则＝＝i，∴1﹣a﹣bi＝﹣b+（a+1）i，∴，解得，故z＝﹣i，|z|＝1，故答案为：1．3．（5分）设a＞0且a≠1，若函数f（x）＝a x﹣1+2的反函数的图象经过定点P，则点P的坐标是（3，1）．【解答】解：∵函数f（x）＝a x﹣1+2经过定点（1，3），∴函数f（x）的反函数的图象经过定点P（3，1），故答案为：（3，1）．4．（5分）计算：＝．【解答】解：＝＝＝．故答案为：．5．（5分）在平面直角坐标系内，直线l：2x+y﹣2＝0，将l与两坐标轴围成的封闭图形绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为．【解答】解：由题意可知：V＝，∴V＝π（y3﹣），＝．方法二：由题意可知绕y轴旋转，形成的是以1为半径，2为高的圆锥，则V＝•π×12×2＝，故答案为．6．（5分）已知sin2θ+sinθ＝0，θ∈（，π），则tan2θ＝．【解答】解：∵sin2θ+sinθ＝0，⇒2sinθcosθ+sinθ＝0，⇒sinθ（2cosθ+1）＝0，∵θ∈（，π），sinθ≠0，∴2cosθ+1＝0，解得：cosθ＝﹣，∴tanθ＝﹣＝﹣，∴tan2θ＝＝．故答案为：．7．（5分）定义在R上的偶函数y＝f（x），当x≥0时，f（x）＝2x﹣4，则不等式f（x）≤0的解集是[﹣2，2]．【解答】解：当x≥0时，由f（x）＝2x﹣4＝0得x＝2，且当x≥0时，函数f（x）为增函数，∵f（x）是偶函数，∴不等式f（x）≤0等价为f（|x|）≤f（2），即|x|≤2，即﹣2≤x≤2，即不等式的解集为[﹣2，2]，故答案为：[﹣2，2]．8．（5分）在平面直角坐标系xOy中，有一定点A（1，1），若OA的垂直平分线过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，则抛物线C的方程为y2＝4x．【解答】解：∵点A（1，1），依题意我们容易求得直线的方程为x+y﹣1＝0，把焦点坐标（，0）代入可求得焦参数p＝2，从而得到抛物线C的方程为：y2＝4x．故答案为：y2＝4x．9．（5分）直线（t为参数）与曲线（θ为参数）的公共点的坐标为（0，1），（，﹣2）．【解答】解：先求参数t得直线的普通方程为2x+y＝1，即y＝1﹣2x消去参数θ得曲线的普通方程为y2＝1+2x，将y＝1﹣2x代入y2＝1+2x，得（1﹣2x）2＝1+2x，即1﹣4x+4x2＝1+2x，则4x2＝6x，得x＝0或x＝，当x＝0时，y＝1，当x＝时，y＝1﹣2×＝1﹣3＝﹣2，即公共点到坐标为（0，1），（，﹣2）故答案为：（0，1），（，﹣2）10．（5分）记的展开式中第m项的系数为b m，若b3＝2b4，则n＝5．【解答】解：根据二项式定理，可得，根据题意，可得2n﹣2•∁n2＝2×2n﹣3•∁n3，解得n＝5，故答案为5．11．（5分）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点所构成的三角形的面积，则其数学期望Eξ＝．【解答】解：如图所有棱长均为2的正四棱锥S﹣ABCD中，ABCD是边长为2的正方形，SO⊥底面ABCD，SO＝AO＝，S△SAB＝S△SBC＝S△SCD＝S△SAD＝＝，S△ABD＝S△BCD＝S△ADC＝S△ABD＝＝2，S△SBD＝S△SAC＝＝2，∴ξ的可能取值为，P（ξ＝）＝，P（ξ＝2）＝，Eξ＝＝．故答案为：．12．（5分）若数列{a n}是正项数列，且++…+＝n2+3n（n∈N*），则++…+＝2n2+6n．【解答】解：令n＝1，得＝4，∴a 1＝16．当n≥2时，++…+＝（n﹣1）2+3（n﹣1）．与已知式相减，得＝（n2+3n）﹣（n﹣1）2﹣3（n﹣1）＝2n+2，∴a n＝4（n+1）2，n＝1时，a1适合a n．∴a n＝4（n+1）2，∴＝4n+4，∴++…+＝＝2n2+6n．故答案为2n2+6n13．（5分）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共10道选择题，每题均有四个选项，答对得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有试题，经比较，他们只有2道题的选项不同，如果甲乙的最终得分的和为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为{24，27，30}．【解答】解：若甲全对，则乙的得分为54﹣3×10＝24，则此时乙做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，若乙全对，则甲的得分为54﹣3×10＝24，则此时甲做对了8道题，则甲乙恰有2道题的选项不同，若甲做错了一道，则乙的得分为54﹣3×9＝27，则此时乙做对了9道题，即甲乙错的题目不是同一道题，故乙的得分为{24，27，30}，故答案为{24，27，30}．14．（5分）已知a＞0，函数f（x）＝x﹣（x∈[1，2]）的图象的两个端点分别为A、B，设M是函数f（x）图象上任意一点，过M作垂直于x轴的直线l，且l与线段AB交于点N，若|MN|≤1恒成立，则a的最大值是6+4．【解答】解：∵f（x）＝x﹣（x∈[1，2]），a＞0，∴A（1，1﹣a），B（2，2﹣）∴直线l的方程为y＝（1+）（x﹣1）+1﹣a设M（t，t﹣）∴N（t，（1+）（t﹣1）+1﹣a）∵|MN|≤1恒成立∴|（1+）（t﹣1）+1﹣a﹣（t﹣）|≤1恒成立∴|a|≤1∵g（t）＝t2﹣3t+2，在t∈[1，2]上小于等于0恒成立∴﹣a≤1①t＝1或t＝2时，0≤1恒成立．②t∈（1，2）时，a≤＝∴由基本不等式得：a≤＝4+6此时t＝∴a的最大值为6+4二、选择题15．（5分）sin x＝0是cos x＝1的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【解答】解：若sin x＝0，则x＝kπ，k∈Z，此时cos x＝1或cos x＝﹣1，即充分性不成立，若cos x＝1，则x＝2kπ，k∈Z，此时sin x＝0，即必要性成立，故sin x＝0是cos x＝1的必要不充分条件，故选：B．16．（5分）下列命题正确的是（）A．若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1∥l2B．若直线l上有两个点到平面α的距离相等，则l∥αC．直线l与平面α所成角的取值范围是（0，）D．若直线l1⊥平面α，直线l2⊥平面α，则l1∥l2【解答】解：对于A，若直线l1∥平面α，直线l2∥平面α，则l1与l2可能平行，可能相交，也可能异面，故A错误．对于B，若直线l与平面α相交于O点，在交点两侧各取A，B两点使得OA＝OB，则A，B到平面α的距离相等，但直线l与α不平行，故B错误．对于C，当直线l⊂α或l∥α时，直线l与平面α所成的角为0，当l⊥α时，直线l与平面α所成的角为，故C错误．对于D，由定理“垂直于同一个平面的两条直线平行“可知D正确．故选：D．17．（5分）已知、是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（﹣）•（﹣）＝0，则||的最大值是（）A．1B．2C．D．【解答】解：由题意可得•＝0，可得|+|＝＝，（﹣）•（﹣）＝2+•﹣•（+）＝||2﹣||•|+|cos＜（+，＞＝0，即为||＝cos＜+，＞，当cos＜+，＞＝1即+，同向时，||的最大值是．故选：C．18．（5分）已知函数f（x）＝，若存在实数x1，x2，x3，x4满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则x1x2x3x4取值范围是（）A．（60，96）B．（45，72）C．（30，48）D．（15，24）【解答】解：函数f（x）的图象如下图所示：若满足f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），其中x1＜x2＜x3＜x4，则0＜x1＜1，1＜x1＜3，则log3x1＝﹣log3x2，即log3x1+log3x2＝log3x1x2＝0，则x1x2＝1，同时x3∈（3，6），x4∈（12，15），∵x3，x4关于x＝9对称，∴＝9，则x3+x4＝18，则x4＝18﹣x3，则x1x2x3x4＝x3x4＝x3（18﹣x3）＝﹣x32+18x3＝﹣（x3﹣9）2+81，∵x3∈（3，6），∴x3x4∈（45，72），即x1x2x3x4∈（45，72），故选：B．三、解答题19．（12分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝AA1＝2，D为侧棱AA1的中点（1）求证：BC⊥平面ACC1A1；（2）求二面角B1﹣CD﹣C1的大小（结果用反三角函数值表示）【解答】证明：（1）∵底面△ABC是等腰直角三角形，且AC＝BC∴AC⊥BC，∵CC1⊥平面A1B1C1，∴CC1⊥BC，∵AC∩CC1＝C，∴BC⊥平面ACC1A1．解：（2）以C为原点，直线CA，CB，CC1为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），C1（0，0，2），B1（0，2，2），D（2，0，1），由（1）得＝（0，2，0）是平面ACC1A1的一个法向量，＝（0，2，2），＝（2，0，1），设平面B1CD的一个法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，2，﹣2），设二面角B1﹣CD﹣C1的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，由图形知二面角B1﹣CD﹣C1的大小是锐角，∴二面角B1﹣CD﹣C1的大小为arccos．20．（12分）已知函数f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1（ω＞0），x∈R，且函数的最小正周期为π：（1）求函数f（x）的解析式；（2）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若f（B）＝0，•＝，且a+c＝4，试求b的值．【解答】解：（1）f（x）＝sinωx+cos（ωx+）+cos（ωx﹣）﹣1＝＝．∵T＝，∴ω＝2．则f（x）＝2sin（2x）﹣1；（2）由f（B）＝＝0，得．∴或，k∈Z．∵B是三角形内角，∴B＝．而＝ac•cos B＝，∴ac＝3．又a+c＝4，∴a2+c2＝（a+c）2﹣2ac＝16﹣2×3＝10．∴b2＝a2+c2﹣2ac•cos B＝7．则b＝．21．（12分）定义在D上的函数f（x），若满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界．（1）设f（x）＝，判断f（x）在[﹣，]上是否有有界函数，若是，说明理由，并写出f（x）上所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）若函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）f（x）＝＝1﹣，则f（x）在[﹣，]上是增函数；故f（﹣）≤f（x）≤f（）；故﹣1≤f（x）≤；故|f（x）|≤1；故f（x）是有界函数；故f（x）上所有上界的值的集合为[1，+∞）；（2）∵函数g（x）＝1+2x+a•4x在x∈[0，2]上是以3为上界的有界函数，∴|g（x）|≤3在[0，2]上恒成立；即﹣3≤g（x）≤3，∴﹣3≤1+2x+a•4x≤3，∴﹣﹣≤a≤﹣；令t＝，则t∈[，1]；故﹣4t2﹣t≤a≤2t2﹣t在[，1]上恒成立；故（﹣4t2﹣t）max≤a≤（2t2﹣t）min，t∈[，1]；即﹣≤a≤﹣；故实数a的取值范围为[﹣，﹣]．22．（12分）如图，设F是椭圆+＝1的下焦点，直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，与y轴交于点P（1）若＝，求k的值；（2）求证：∠AFP＝∠BF0；（3）求面积△ABF的最大值．【解答】解：（1）联立，得（3k2+4）x2﹣24kx+36＝0，∵直线y＝kx﹣4（k＞0）与椭圆相交于A、B两点，∴△＝144（k2﹣4）＞0，即k＞2或k ＜﹣2，设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∵，∴x2＝2x1，代入上式，解得k＝．证明：（2）由图形得要证明∠AFP＝∠BFO，等价于证明直线AF与直线BF的倾斜角互补，即等价于k AF+k BF＝0，k AF+k BF＝+＝＝2k﹣3（）＝2k﹣＝2k﹣2k＝0，∴∠AFP＝∠BFO．解：（3）∵k＞2或k＜﹣2，∴S△ABF＝S△PBF﹣S△P AF＝＝＝．令t＝，则t＞0，3k2+4＝3t2+16，∴S△ABF＝＝＝≤＝，当且仅当3t＝，即t2＝，k＝取等号，∴△ABF面积的最大值为．23．（12分）已知正项数列{a n}，{b n}满足：对任意正整数n，都有a n，b n，a n+1成等差数列，b n，a n+1，b n+1成等比数列，且a1＝10，a2＝15．（Ⅰ）求证：数列是等差数列；（Ⅱ）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（Ⅲ）设，如果对任意正整数n，不等式恒成立，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由已知，得2b n＝a n+a n+1①，a n+12＝b n•b n+1②．由②得③．将③代入①得，对任意n≥2，n∈N*，有．即．∴是等差数列．（4分）（Ⅱ）设数列的公差为d，由a1＝10，a2＝15．经计算，得．∴．∴．∴，．（9分）（Ⅲ）由（1）得．∴．不等式化为．即（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8＜0．设f（n）＝（a﹣1）n2+（3a﹣6）n﹣8，则f（n）＜0对任意正整数n恒成立．当a﹣1＞0，即a＞1时，不满足条件；当a﹣1＝0，即a＝1时，满足条件；当a﹣1＜0，即a＜1时，f（n）的对称轴为，f（n）关于n递减，因此，只需f（1）＝4a﹣15＜0．解得，∴a＜1．综上，a≤1．（14分）。

杨浦区2015学年度第二学期高三学科二模测试历史试卷（参考答案）（注明：31——35题每选项的分值3、1、1、0分，选出最佳一项，多选不得分二、非选择题（共75分）36．名家论商鞅（12分）（1）材料一、三，肯定为主。

材料二，否定为主。

（4分）（2）（8分）评价视角（重点\内容）不同：材料一着重于商鞅变法在国家治理上取得的成效；材料二着重于对商鞅个人品质的评价；材料三着重于商鞅变法取信于民的做法。

评价立场（目的\使命）不同：材料一韩非是法家代表人物，推崇社会变革，所以肯定了同样是法家代表的商鞅；材料二司马迁所处的西汉中期，儒家已成为统治思想和主流意识，难免受儒家价值观的影响；材料三司马光意在以商鞅的诚信告诫后世统治者，应引以为戒，提高执政水平。

评价的时代不同：材料一韩非生活在战国，社会转型和动荡仍在持续，需要法家思想治国平天下；材料二司马迁生活在西汉强盛时期，吸取了前朝的教训，治国安邦单靠法家治国已不合时宜；材料三司马光生活在北宋中期，理学开始影响士大夫，重振伦理纲常成为士大夫的使命。

（以上任意两项答案8分，每项角度1分，分析3分，其它合理答案酌情赋分）37．日本海军之兴衰（10分）（1）1894年：19世纪末，在资本主义和军国主义的双重推动下，日本发动甲午战争，侵略中国，强化了海军实力。

（2分）1922年：一战后华盛顿会议上，在美国的压力下，日本接受了《五国海军协定》，被限制了军舰吨位。

（3分）1937年：在经济大危机和法西斯主义推动下，日本发动全面侵华战争，之后又挑起太平洋战争（或向美国开战），海军力量急剧膨胀。

（2分）1945年：日本海军在反法西斯战争打击下覆灭。

（1分）（2）制海权是衡量国家军事实力的重要标志，但将海军建设用于侵略扩张而不是国防自卫会给本国与地区带来灾难。

（2分）其它合理答案酌情赋分38．近代思想与实践（15分）（1）①中体西用②进化论或维新思想③民主共和（三民主义）④民主科学⑤马克思主义（5分）（2）（10分）1、李鸿章倡导“中体西用”，开展洋务运动，开启中国现代化第一步。

上海市四区2016届高三二模数学试卷2016.04一. 填空题1. 设集合{|||2,}A x x x R =<∈，2{|430,}B x x x x R =-+≥∈，则A B =2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z -=+，则||z = 3. 设0a >且1a ≠，若函数1()2x f x a -=+的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是4. 计算：222lim(1)n nn P C n →∞+=+ 5. 在平面直角坐标系内，直线:220l x y +-=，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴 旋转一周，所得几何体的体积为 6. 已知sin 2sin 0θθ+=，(,)2πθπ∈，则tan 2θ=7. 设定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()24xf x =-，则不等式()0f x ≤的解 集是8. 在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(1,1)A ，若OA 的垂直平分线过抛物线2:2C y px = （0p >）的焦点，则抛物线C 的方程为9.（文）已知x 、y 满足约束条件420y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（理）直线115x y t⎧=⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线sin cos sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩（θ为参数）的公共点的坐标为10.（文）在26()k x x+（k 为实常数）的展开式中，3x 项的系数等于160，则k =（理）记1(2)nx x+（*n N ∈）展开式中第m 项系数为m b ，若342b b =，则n =11.（文）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面 积等于12的概率是 （理）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点 所构成的三角形的面积，则其数学期望E ξ=12.（文）已知数列{}n a 满足212...3n a a a n n +++=+（*n N ∈），则22212 (231)n a a a n +++=+（理）已知各项均为正数的数列{}n a 2...3n n =+（*n N ∈），则12 (231)n a a a n +++=+ 13.（文）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对 得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项 不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 （理）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对 得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项 不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为14.（文）对于函数()f x =，其中0b >，若()f x 的定义域与值域相同，则非零 实数a 的值为（理）已知0a >，函数()af x x x=-（[1,2]x ∈）的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数()f x 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若||1MN ≤恒成立，则a 的最大值是二. 选择题15. “sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 16. 下列命题正确的是（ ）A. 若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；B. 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；C. 直线l 与平面α所成角的取值范围是(0,)2π；D. 若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l ；17. 已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则||c的最大值是（ ）A. 1B. 2 D. 218.（文）已知直线:2l y x b =+与函数1y x=的图像交于A 、B 两点，设O 为坐标原点， 记OAB ∆的面积为S ，则函数()S f b =是（ ）A. 奇函数且在(0,)+∞上单调递增B. 偶函数且在(0,)+∞上单调递增C. 奇函数且在(0,)+∞上单调递减D. 偶函数且在(0,)+∞上单调递减（理）已知函数3|log |03()sin()3156x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x 、2x 、3x 、4x 满足 1234()()()()f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（ ）A. (60,96)B. (45,72)C. (30,48)D. (15,24)三. 解答题19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点；（文）（1）求证：AC ⊥平面11BCC B ；（2）求异面直线1B D 与AC 所成角的大小； （理）（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小； （结果用反三角函数值表示）20.（文）已知函数()2cos 21f x x x =+-（x R ∈）；（1）写出函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=， 且4a c +=，试求b 的值；（理）已知函数()cos()cos()133f x x x x ππωωω=+++--（0ω>，x R ∈），且 函数()f x 的最小正周期为π； （1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=， 且4a c +=，试求b 的值；21. 定义在D 上的函数()f x ，若满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界； （1）设()1x f x x =+，判断()f x 在11[,]22-上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出 ()f x 的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）（文）若函数11()1()()24x xg x a =+⋅+在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（理）若函数()124xxg x a =++⋅在[0,2]x ∈上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取 值范围；22.（文）设椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距；（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设C 、D 是四条直线x a =±，y b =±所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P 是椭圆Γ上任意一点，若OP mOC nOD =+，求证：22m n +为定值；（3）过点F 的直线l 与椭圆Γ交于不同的两点M 、N ，且满足于BFM ∆与BFN ∆的面 积的比值为2，求直线l 的方程；（理）如图，设F 是椭圆22134x y +=的下焦点，直线4y kx =-（0k >）与椭圆相交于A 、 B 两点，与y 轴交于点P ；（1）若PA AB =，求k 的值； （2）求证：AFP BFO ∠=∠； （3）求面积ABF ∆的最大值；23.（文）已知数列{}n a 、{}n b 满足：114a =，1n n ab +=，121n n n b b a +=-； （1）求1b 、2b 、3b 、4b ； （2）求证：数列1{}1n b -是等差数列，并求{}n b 的通项公式； （3）设12231...n n n S a a a a a a +=+++，若不等式4n n aS b <对任意*n N ∈恒成立，求实数a的取值范围；（理）已知正项数列{}n a 、{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，且110a =，215a =；（1）求证：数列是等差数列； （2）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （3）设12111...n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实 数a 的取值范围；参考答案一. 填空题1. (2,1]-2. 13. (3,1)4.32 5. 23π7. (,2][0,2]-∞- 8. 24y x = 9.（理）(0,1)（文）6-10.（理）5（文）2 11.（文）3712. 226n n +13.（理）{48,51,54,57,60}（文）{24,27,30} 14.（理）6+4-二. 选择题15. B 16. D 17. C 18.（理）B （文）B三. 解答题19.（文）（1）略；（2）2arccos3；（理）（1）略；（2）2arccos 3； 20.（文）（1）()2sin(2)16f x x π=+-，T π=，增区间[,]36k k ππππ-+；（2）3B π=，3ac =，4a c +=，b =；（理）（1）()2sin(2)16f x x π=+-；（2）3B π=，b =；21.（1）有界，{|1}M M ≥；（2）（文）[5,1]-；（理）11[,]28--；22.（文）（1）22143x y +=；（2）2212m n +=；（3）(1)2y x =±-；（理）（1）4y x =-；（2）0FA FB k k +=，略；（3； 23.（文）（1）134b =，245b =，356b =，467b =；（2）23n n b n +=+；（3）1a ≤； （理）（1）略；（2）(3)(4)2n n n a ++=，2482n n b n =++；（3）1a ≤；四区理科参考答案 一．填空题（每小题4分，满分56分）1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．235．32π6．3 7．]2,0[]2,( --∞ 8．x y 42= 9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n 622+ 13．{48，51，54，57，60} 14．246+二．选择题（每小题5分，满分20分）15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分）（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，…（2分） 因为⊥1CC 平面111C B A ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………（4分） 所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………（5分） （2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ， 由（1），)0,2,0(=是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01n CB n 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ， 所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分）设与n 的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CBθ， …………………（6分） 由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分）又π=T ，所以，2=ω， ………………………………………………（5分）所以，162sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ． …………………………………………………（6分）（2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ）， 因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac ，所以，3=ac ， …………………………（5分） 又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=b ． …………………………………（8分）21．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ， 即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分） 故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分） 所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ，所以，34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ）， ……（2分）所以⎪⎭⎫ ⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（]2,0[∈x ）， 令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………（5分）令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；（6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…（7分）所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………（8分）22．（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△0)4(1442>-=k ， 设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………（2分） 因为=，所以122x x =，代入上式求得556=k ． ………………………（4分）（2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补， 即等价于0=+BF AF k k ． ………………………………………………………（2分）21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k k k ． …………………………………………（5分）所以，BFO AFP ∠=∠． …………………………………………………（6分） （3）由△0>，得042>-k ，所以21221214)(321||||21x x x x x x PF S S S PAF PBF ABF -+⋅⋅=-⋅=-=∆∆∆ 4341822+-=k k ， ………………………………………………………………（3分）令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k 故tt t t k k S ABF163181631843418222+=+=+-=∆433163218=⋅≤（当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）． ………（5分） 所以，△ABF 面积的最大值是433． ……………………………………………（6分） 23．（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）由已知，12++=n n n a a b ① 121++=n n n b b a ②， ………………（1分）由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………（2分） 将③代入①得，对任意*N ∈n ，2≥n ，有112+-+=n n n n n b b b b b ，即112+-+=n n n b b b ，所以{}nb 是等差数列． …………………………（4分）（2）设数列{}nb 的公差为d ，由101=a ，152=a，得2251=b ，182=b ，……（1分） 所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………（3分） 所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………（4分）所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………（5分）2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………（6分） （3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………（1分） 所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=414124131615151412n n n S n ，……（3分） 故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………（4分）令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立． ………………………………（7分） 故1≤a ，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………………（8分）解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………（1分） 所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-=414124131615151412n n n S n ，……（3分）故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………（4分） 设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，01≤-a ，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………（5分） 当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可，由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1≤a 时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立． 综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………（8分）。

上海市四区2016届高三二模数学试卷2016.04一. 填空题1. 设集合{|||2,}A x x x R =<∈，2{|430,}B x x x x R =-+≥∈，则A B =2. 已知i 为虚数单位，复数z 满足11zi z-=+，则||z = 3. 设0a >且1a ≠，若函数1()2x f x a -=+的反函数的图像经过定点P ，则点P 的坐标是4. 计算：222lim (1)n nn P C n →∞+=+5. 在平面直角坐标系内，直线:220l x y +-=，将l 与两条坐标轴围成的封闭图形绕y 轴 旋转一周，所得几何体的体积为6. 已知sin 2sin 0θθ+=，(,)2πθπ∈，则tan 2θ=7. 设定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，()24xf x =-，则不等式()0f x ≤的解集是8. 在平面直角坐标系xOy 中，有一定点(1,1)A ，若OA 的垂直平分线过抛物线2:2C y px = （0p >）的焦点，则抛物线C 的方程为9.（文）已知x 、y 满足约束条件420y xx y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则2z x y =+的最小值为（理）直线11x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数）与曲线sin cos sin cos x y θθθθ=⋅⎧⎨=+⎩（θ为参数）的公共点的坐标为 10.（文）在26()k x x+（k 为实常数）的展开式中，3x 项的系数等于160，则k = （理）记1(2)nx x+（*n N ∈）展开式中第m 项系数为m b ，若342b b =，则n =11.（文）从棱长为1的正方体的8个顶点中任取3个点，则以这三点为顶点的三角形的面 积等于12的概率是 （理）从所有棱长均为2的正四棱锥的5个顶点中任取3个点，设随机变量ξ表示这三个点 所构成的三角形的面积，则其数学期望E ξ=12.（文）已知数列{}n a 满足212...3n a a a n n +++=+（*n N ∈），则22212 (231)n a a a n +++=+（理）已知各项均为正数的数列{}n a 2...3n n +=+（*n N ∈），则12 (231)n a a a n +++=+ 13.（文）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对 得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有1道题的选项 不同，如果甲最终的得分为27分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为 （理）甲、乙两人同时参加一次数学测试，共有10道选择题，每题均有4个选项，答对 得3分，答错或不答得0分，甲和乙都解答了所有的试题，经比较，他们只有2道题的选项 不同，如果甲最终的得分为54分，那么乙的所有可能的得分值组成的集合为14.（文）对于函数()f x =0b >，若()f x 的定义域与值域相同，则非零实数a 的值为（理）已知0a >，函数()af x x x=-（[1,2]x ∈）的图像的两个端点分别为A 、B ，设M 是函数()f x 图像上任意一点，过M 作垂直于x 轴的直线l ，且l 与线段AB 交于点N ，若||1MN ≤恒成立，则a 的最大值是二. 选择题15. “sin 0α=”是“cos 1α=”的（ ）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件 16. 下列命题正确的是（ ）A. 若直线1l ∥平面α，直线2l ∥平面α，则1l ∥2l ；B. 若直线l 上有两个点到平面α的距离相等，则l ∥α；C. 直线l 与平面α所成角的取值范围是(0,)2π；D. 若直线1l ⊥平面α，直线2l ⊥平面α，则1l ∥2l ；17. 已知a 、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c 满足()()0c a c b -⋅-=，则||c 的最大值是（ ）A. 1B. 2C.D.218.（文）已知直线:2l y x b =+与函数1y x=的图像交于A 、B 两点，设O 为坐标原点， 记OAB ∆的面积为S ，则函数()S f b =是（ ）A. 奇函数且在(0,)+∞上单调递增B. 偶函数且在(0,)+∞上单调递增C. 奇函数且在(0,)+∞上单调递减D. 偶函数且在(0,)+∞上单调递减（理）已知函数3|log |03()sin()3156x x f x x x π<<⎧⎪=⎨≤≤⎪⎩，若存在实数1x 、2x 、3x 、4x 满足 1234()()()()f x f x f x f x ===，其中1234x x x x <<<，则1234x x x x 取值范围是（ ）A. (60,96)B. (45,72)C. (30,48)D. (15,24)三. 解答题19. 如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，ABC ∆是等腰直角三角形，12AC BC AA ===，D 为侧棱1AA 的中点；（文）（1）求证：AC ⊥平面11BCC B ；（2）求异面直线1B D 与AC 所成角的大小； （理）（1）求证：BC ⊥平面11ACC A ；（2）求二面角11B CD C --的大小； （结果用反三角函数值表示）20.（文）已知函数()2cos21f x x x +-（x R ∈）； （1）写出函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=， 且4a c +=，试求b 的值；（理）已知函数()cos()cos()133f x x x x ππωωω=+++--（0ω>，x R ∈），且 函数()f x 的最小正周期为π； （1）求函数()f x 的解析式；（2）在ABC ∆中，角A 、B 、C 所对的边分别是a 、b 、c ，若()0f B =，32BA BC ⋅=， 且4a c +=，试求b 的值；21. 定义在D 上的函数()f x ，若满足：对任意x D ∈，存在常数0M >，都有|()|f x M ≤ 成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界； （1）设()1x f x x =+，判断()f x 在11[,]22-上是否有界函数，若是，请说明理由，并写出 ()f x 的所有上界的值的集合，若不是，也请说明理由；（2）（文）若函数11()1()()24x xg x a =+⋅+在[0,)+∞上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取值范围；（理）若函数()124x x g x a =++⋅在[0,2]x ∈上是以3为上界的有界函数，求实数a 的取 值范围；22.（文）设椭圆2222:1x y a bΓ+=（0a b >>）的右焦点为(1,0)F ，短轴的一个端点B 到F的距离等于焦距；（1）求椭圆Γ的标准方程；（2）设C 、D 是四条直线x a =±，y b =±所围成的矩形在第一、第二象限的两个顶点，P 是椭圆Γ上任意一点，若OP mOC nOD =+，求证：22m n +为定值；（3）过点F 的直线l 与椭圆Γ交于不同的两点M 、N ，且满足于BFM ∆与BFN ∆的面 积的比值为2，求直线l 的方程；（理）如图，设F 是椭圆22134x y +=的下焦点，直线4y kx =-（0k >）与椭圆相交于A 、 B 两点，与y 轴交于点P ；（1）若PA AB =，求k 的值； （2）求证：AFP BFO ∠=∠； （3）求面积ABF ∆的最大值；23.（文）已知数列{}n a 、{}n b 满足：114a =，1n n a b +=，121n n nb b a +=-； （1）求1b 、2b 、3b 、4b ； （2）求证：数列1{}1n b -是等差数列，并求{}n b 的通项公式； （3）设12231...n n n S a a a a a a +=+++，若不等式4n n aS b <对任意*n N ∈恒成立，求实数a 的取值范围；（理）已知正项数列{}n a 、{}n b 满足：对任意*n N ∈，都有n a 、n b 、1n a +成等差数列，n b 、1n a +、1n b +成等比数列，且110a =，215a =；（1）求证：数列是等差数列； （2）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （3）设12111...n n S a a a =+++，如果对任意*n N ∈，不等式22n n nb aS a <-恒成立，求实 数a 的取值范围；参考答案一. 填空题1. (2,1]-2. 13. (3,1)4.32 5. 23π 6. 7. (,2][0,2]-∞- 8. 24y x = 9.（理）(0,1)（文）6-10.（理）5（文）2 11.（文）37 12. 226n n +13.（理）{48,51,54,57,60}（文）{24,27,30} 14.（理）6+4-二. 选择题15. B 16. D 17. C 18.（理）B （文）B三. 解答题19.（文）（1）略；（2）2arccos3；（理）（1）略；（2）2arccos 3； 20.（文）（1）()2sin(2)16f x x π=+-，T π=，增区间[,]36k k ππππ-+；（2）3B π=，3ac =，4a c +=，b =（理）（1）()2sin(2)16f x x π=+-；（2）3B π=，b =21.（1）有界，{|1}M M ≥；（2）（文）[5,1]-；（理）11[,]28--；22.（文）（1）22143x y +=；（2）2212m n +=；（3）1)y x =-；（理）（1）4y x =-；（2）0FA FB k k +=，略；（3 23.（文）（1）134b =，245b =，356b =，467b =；（2）23n n b n +=+；（3）1a ≤； （理）（1）略；（2）(3)(4)2n n n a ++=，2482n n b n =++；（3）1a ≤；四区理科参考答案 一．填空题（每小题4分，满分56分）1．]1,2(- 2．1 3．)1,3( 4．235．32π6．3 7．]2,0[]2,( --∞ 8．x y 42= 9．)1,0( 10．5 11．5326+ 12．n n 622+ 13．{48，51，54，57，60} 14．246+二．选择题（每小题5分，满分20分）15．B 16．D 17．C 18．B三．解答题（本大题共有5题，满分74分） 19．（本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分）（1）因为底面△ABC 是等腰直角三角形，且BC AC =，所以，BC AC ⊥，…（2分） 因为⊥1CC 平面111C B A ，所以BC CC ⊥1， ………………………………………（4分） 所以，⊥BC 平面11A ACC ． ……………………………………………………（5分） （2）以C 为原点，直线CA ，CB ，1CC 为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则)0,0,0(C ，)0,0,2(A ，)0,2,0(B ，)2,0,0(1C ，)2,2,0(1B ，)1,0,2(D ， 由（1），)0,2,0(=CB 是平面11A ACC 的一个法向量， ………………………（2分）)2,2,0(1=CB ，)1,0,2(=CD ，设平面CD B 1的一个法向量为),,(z y x n =，则有 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,0,01CD n CB n 即⎩⎨⎧=+=+,02,022z x z y 令1=x ，则2-=z ，2=y ， 所以)2,2,1(-=n， …………………………………………（5分）设CB 与n 的夹角为θ，则32324||||cos =⨯=⋅=n CB CBθ， …………………（6分） 由图形知二面角11C CD B --的大小是锐角，所以，二面角11C CD B --的大小为32arccos ． ……………………………（7分）20．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）16sin 21cos sin 3)(-⎪⎭⎫⎝⎛+=-+=πωωωx x x x f ， ………………（3分） 又π=T ，所以，2=ω， ………………………………………………（5分）所以，162sin 2)(-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πx x f ． …………………………………………………（6分） （2）0162sin 2)(=-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=πB B f ，故2162sin =⎪⎭⎫ ⎝⎛+πB ，所以，6262πππ+=+k B 或65262πππ+=+k B （Z ∈k ）， 因为B 是三角形内角，所以3π=B ．……（3分）而23cos =⋅=⋅B ac BC BA ，所以，3=ac ， …………………………（5分） 又4=+c a ，所以，1022=+c a ，所以，7cos 2222=-+=B ac c a b ，所以，7=b ． …………………………………（8分）21．（本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分） （1）111)(+-=x x f ，则)(x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡-21,21上是增函数，故⎪⎭⎫⎝⎛≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(21f x f f ， 即31)(1≤≤-x f ， ……………………………………………（2分） 故1|)(|≤x f ，所以)(x f 是有界函数． ……………………………………………（4分） 所以，上界M 满足1≥M ，所有上界M 的集合是),1[∞+． ……………………（6分）（2）因为函数)(x g 在]2,0[∈x 上是以3为上界的有界函数，故3|)(|≤x g 在]2,0[∈x 上恒成立，即3)(3≤≤-x g ，所以，34213≤⋅++≤-xxa （]2,0[∈x ）， ……（2分）所以⎪⎭⎫⎝⎛-≤≤⎪⎭⎫ ⎝⎛--x x x x a 21422144（]2,0[∈x ）， 令x t 21=，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ，故t t a t t -≤≤--2224在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 上恒成立，所以，min 2max 2)2()4(t t a t t -≤≤--（⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t ）， ………………………（5分）令t t t h --=24)(，则)(t h 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是减函数，所以2141)(max -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=g t h ；（6分）令t t t p -=22)(，则)(t p 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡∈1,41t 时是增函数，所以8141)(min -=⎪⎭⎫ ⎝⎛=h t p ．…（7分）所以，实数a 的取值范围是⎥⎦⎤⎢⎣⎡--81,21． ……………………………………（8分）22．（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）（1）由⎪⎩⎪⎨⎧-==+4,14322kx y y x 得03624)43(22=+-+kx x k ，所以△0)4(1442>-=k ， 设),(11y x A ，),(22y x B ，则4324221+=+k k x x ，4336221+=k x x ， ………………（2分） 因为AB PA =，所以122x x =，代入上式求得556=k ． ………………………（4分）（2）由图形可知，要证明BFO AFP ∠=∠，等价于证明直线AF 与直线BF 的倾斜角互补， 即等价于0=+BF AF k k ． ………………………………………………………（2分）21212122112211)(3211323311x x x x k x x k x kx x kx x y x y k k BF AF +-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=-+-=+++=+ 022433643243222=-=++⋅-=k k k k kk ． …………………………………………（5分） 所以，BFO AFP ∠=∠． …………………………………………………（6分）（3）由△0>，得042>-k ，所以21221214)(321||||21x x x x x x PF S S S PAF PBF ABF -+⋅⋅=-⋅=-=∆∆∆ 4341822+-=k k ， ………………………………………………………………（3分） 令42-=k t ，则0>t ，1634322+=+t k 故tt t t k k S ABF163181631843418222+=+=+-=∆ 433163218=⋅≤（当且仅当t t 163=，即3162=t ，3212=k 取等号）． ………（5分） 所以，△ABF 面积的最大值是433． ……………………………………………（6分） 23．（本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）（1）由已知，12++=n n n a a b ① 121++=n n n b b a ②， ………………（1分）由②可得，11++=n n n b b a ③， ……………………………（2分）将③代入①得，对任意*N ∈n ，2≥n ，有112+-+=n n n n n b b b b b ，即112+-+=n n n b b b ，所以{}nb 是等差数列． …………………………（4分）（2）设数列{}nb 的公差为d ，由101=a ，152=a，得2251=b ，182=b ，……（1分） 所以2251=b ，232=b ，所以2212=-=b b d ， ……………………（3分） 所以，)4(2222)1(225)1(1+=⋅-+=-+=n n d n b b n ， ………………（4分）所以，2)4(2+=n b n ，2)4(2)3(2212+⋅+==-n n b b a n n n ， ……………………（5分）2)4)(3(++=n n a n ． …………………………………………………………（6分）（3）解法一：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………（1分）所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=414124131615151412n n n S n ，……（3分）故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 即)3()4)(2(+++<n n n n a 当*N ∈n 时恒成立， …………………………………………（4分）令)3(2312131121342)3()4)(2()(+++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=++⋅+=+++=n n n n n n n n n n n n n n n f ， 则)(n f 随着n 的增大而减小，且1)(>n f 恒成立． ………………………………（7分） 故1≤a ，所以，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………………（8分）解法二：由（2），⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=++=41312)4)(3(21n n n n a n ， ……………………（1分）所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=414124131615151412n n n S n ，……（3分）故不等式n n n a b aS -<22化为34241414++-<⎪⎭⎫ ⎝⎛+-n n n a ， 所以，原不等式对任意*N ∈n 恒成立等价于08)2(3)1(2<--+-n a n a 对任意*N ∈n 恒成立， ……………………………………（4分） 设8)2(3)1()(2--+-=n a n a n f ，由题意，01≤-a ，当1=a 时，083)(<--=n n f 恒成立； …………………………（5分） 当1<a 时，函数8)2(3)1()(2--+-=x a x a x f 图像的对称轴为01223<--⋅-=a a x ， )(x f 在),0(∞+上单调递减，即)(n f 在*N 上单调递减，故只需0)1(<f 即可， 由0154)1(<-=a f ，得415<a ，所以当1≤a 时，n n b aS <4对*N ∈n 恒成立． 综上，实数a 的取值范围是]1,(-∞． …………………………（8分）。

2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）一、填空题1．（5分）函数f（x）=的定义域是．2．（5分）已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=．3．（5分）计算=．4．（5分）若向量，满足且与的夹角为，则=．5．（5分）若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为．6．（5分）在的展开式中，常数项是．（用数字作答）7．（5分）已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．8．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为．9．（5分）在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为．10．（5分）袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=．12．（5分）现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有．（用数字作答）13．（5分）若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为．14．（5分）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．二、选择题15．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．16．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件17．（5分）设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|18．（5分）已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条D．无数多条三、解答题19．（12分）如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．20．（12分）某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），∠AOP=∠BOP=，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．21．（12分）已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．22．（12分）已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP 都具有性质H．23．（12分）已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．2016年上海市杨浦区高考数学二模试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题1．（5分）函数f（x）=的定义域是{x|x≥﹣2且x≠1} ．【考点】33：函数的定义域及其求法．【专题】11：计算题．【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示．【解答】解：由题意，要使函数有意义，则，解得，x≠1且x≥﹣2；故函数的定义域为：{x|x≥﹣2且x≠1}，故答案为：{x|x≥﹣2且x≠1}．【点评】本题考查了求函数的定义域，最后要用集合或区间的形式表示，这是容易出错的地方．2．（5分）已知线性方程组的增广矩阵为，若该线性方程组的解为，则实数a=2．【考点】OR：线性方程组解的存在性，唯一性．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】由已知得，把x=﹣1，y=2，能求出a的值．【解答】解：∵线性方程组的增广矩阵为，该线性方程组的解为，∴，把x=﹣1，y=2，代入得﹣a+6=4，解得a=2．故答案为：2．【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意线性方程组的性质的合理运用．3．（5分）计算=．【考点】8J：数列的极限．【专题】35：转化思想；49：综合法；54：等差数列与等比数列．【分析】将1+2+3+…+n=的形式，在利用洛必达法则，求极限值．【解答】解：原式====故答案为：【点评】本题考查等差数列求前n项和的公式，再求数列极限，属于基础题．4．（5分）若向量，满足且与的夹角为，则=．【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．【分析】根据可得答案．【解答】解：∵且与的夹角为∴=7∴则=故答案为：【点评】本题主要考查向量的数量积运算，属基础题．5．（5分）若复数z1=3+4i，z2=1﹣2i，其中i是虚数单位，则复数的虚部为﹣3．【考点】A5：复数的运算．【专题】11：计算题；34：方程思想；4A：数学模型法；5N：数系的扩充和复数．【分析】由已知利用复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：∵z1=3+4i，z2=1﹣2i，∴，，∴==，∴复数的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题．6．（5分）在的展开式中，常数项是15．（用数字作答）【考点】DA：二项式定理．【专题】11：计算题；5P：二项式定理．【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项．【解答】解：∵在的展开式的通项公式为T r=•（﹣1）r•，+1令r﹣6=0，求得r=4，故的展开式中的常数项是5．故答案为：15．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式系数的性质，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．7．（5分）已知△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，若，则角C的大小是．【考点】OM：二阶行列式的定义．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5R：矩阵和变换．【分析】由二阶行列式性质得a2+b2﹣c2=ab，由此利用余弦定理求出cosC=，从而能求出角C的大小．【解答】解：∵△ABC的内角A、B、C所对应边的长度分别为a、b、c，，∴a2﹣c2=﹣b2+ab，即a2+b2﹣c2=ab，∴cosC===，∵C是△ABC的内角，∴C=．故答案为：．【点评】本题考查角的大小的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意行列式性质及余弦定理的合理运用．8．（5分）已知等比数列{a n}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2a n}的前7项之和为7．【考点】87：等比数列的性质．【专题】11：计算题；29：规律型；35：转化思想；54：等差数列与等比数列．【分析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可得出．【解答】解：由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4=4，∴数列{log2a n}的前7项和=log2a1+log2a2+…+log2a7=log2（a1a2…a7）=log227=7，故答案为：7．【点评】本题考查了指数与对数的运算性质、等比数列的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）在极坐标系中曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值为3．【考点】QH：参数方程化成普通方程．【专题】34：方程思想；35：转化思想；5S：坐标系和参数方程．【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到点（1，π）的距离，进而得出最大值．【解答】解：曲线C：ρ=2cosθ即ρ2=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x2+y2=2x，配方为：（x﹣1）2+y2=1，可得圆心C（1，0），半径r=1．点P（1，π）化为直角坐标P（﹣1，0）．∴|CP|=2，∴曲线C：ρ=2cosθ上的点到（1，π）距离的最大值=2+1=3．故答案为：3．【点评】本题考查了极坐标化为直角坐标，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．10．（5分）袋中有5只大小相同的乒乓球，编号为1至5，从袋中随机抽取3只，若以ξ表示取到球中的最大号码，则ξ的数学期望是．【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．【专题】11：计算题；35：转化思想；49：综合法；5I：概率与统计．【分析】由已知得ξ的可能取值为3，4，5，分别求出相应的概率，由此能求出E（ξ）．【解答】解：由已知得ξ的可能取值为3，4，5，P（ξ=3）==，P（ξ=4）==，P（ξ=5）==，∴E（ξ）==．故答案为：．【点评】本题考查离散型随机变量的数学期望的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．11．（5分）已知双曲线的右焦点为F，过点F且平行于双曲线的一条渐近线的直线与双曲线交于点P，M在直线PF上，且满足，则=．【考点】KC：双曲线的性质．【专题】34：方程思想；48：分析法；5A：平面向量及应用；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】求得双曲线的a，b，c，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程可得P的坐标，由两直线垂直的条件可得直线OM的方程，联立直线y=2（x﹣），求得M的坐标，由向量共线的坐标表示，计算即可得到所求值．【解答】解：双曲线的a=1，b=2，c==，可得F（，0），渐近线方程为y=±2x，设过点F且平行于双曲线的一条渐近线为y=2（x﹣），代入双曲线的方程，可得x=，可得P（，﹣），由直线OM：y=﹣x和直线y=2（x﹣），可得M（，﹣），即有==．故答案为：．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和双曲线的方程的运用，考查向量的共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．12．（5分）现有5位教师要带三个班级外出参加志愿者服务，要求每个班级至多两位老师带队，且教师甲、乙不能单独带队，则不同的带队方案有54．（用数字作答）【考点】D9：排列、组合及简单计数问题．【专题】38：对应思想；4C：分类法；5O：排列组合．【分析】根据题意，采用分类原理，对甲，乙老师分当甲，乙带不同班和当甲，乙带相同班时分别求解，最后求和即可．【解答】解：当甲，乙带不同班时：×=36种；当甲，乙带相同班时，=18种；故共有54中，故答案为：54．【点评】考查了分类原理和排列组合的计算，属于基础题型，应熟练掌握．13．（5分）若关于x的方程（4x+）﹣|5x﹣|=m在（0，+∞）内恰有三个相异实根，则实数m的取值范围为（6，）．【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【专题】15：综合题；35：转化思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】分类讨论以去掉绝对值号，从而利用基本不等式确定各自方程的根的个数，从而解得．【解答】解：当x≥时，5x﹣≥0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）﹣（5x﹣）=m，即﹣x+=m；∴m≤．当0＜x＜时，5x﹣＜0，∵方程（4x+）﹣|5x﹣|=m，∴（4x+）+（5x﹣）=m，即9x+=m；∵9x+≥6；∴当m＜6时，方程9x+=m无解；当m=6时，方程9x+=m有且只有一个解；当6＜m＜10时，方程9x+=m在（0，1）上有两个解；当m=10时，方程9x+=m的解为1，；综上所述，实数m的取值范围为（6，）．故答案为：（6，）．【点评】本题考查了绝对值方程的解法与应用，同时考查了基本不等式的应用及转化思想的应用．14．（5分）课本中介绍了应用祖暅原理推导棱锥体积公式的做法．祖暅原理也可用来求旋转体的体积．现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几何体与半球应用祖暅原理（图1），即可求得球的体积公式．请研究和理解球的体积公式求法的基础上，解答以下问题：已知椭圆的标准方程为，将此椭圆绕y轴旋转一周后，得一橄榄状的几何体（图2），其体积等于．【考点】L5：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；LF：棱柱、棱锥、棱台的体积．【专题】31：数形结合；49：综合法；5F：空间位置关系与距离．【分析】构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，从中挖去一个圆锥，则由祖暅原理可得：椭球的体积为几何体体积的2倍．【解答】解：椭圆的长半轴为5，短半轴为2，现构造一个底面半径为2，高为5的圆柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积V=2（V圆柱﹣V圆锥）=2（π×22×5﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查了对祖暅原理的理解，属于中档题．二、选择题15．（5分）下列函数中，既是奇函数，又在区间（0，+∞）上递增的是（）A．y=2|x|B．y=lnx C．D．【考点】3N：奇偶性与单调性的综合．【专题】36：整体思想；4R：转化法；51：函数的性质及应用．【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义和性质进行判断即可．【解答】解：A．函数y=2|x|为偶函数，不满足条件．B．函数的定义域为（0，+∞），函数为非奇非偶函数，不满足条件．C.是奇函数，在（0，+∞）上递增，满足条件．D.是奇函数，当0＜x＜1时函数为减函数，当x＞1时函数为增函数，不满足条件．故选：C．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断，要求熟练掌握常见函数的奇偶性和单调性的性质．16．（5分）已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，则“”是“”的（）A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分也非必要条件【考点】29：充分条件、必要条件、充要条件．【专题】35：转化思想；56：三角函数的求值；5B：直线与圆；5L：简易逻辑．【分析】“”，可得0≤tanα＜，“”；反之不成立，α可能为钝角．【解答】解：“”⇒0≤tanα＜⇒“”；反之不成立，α可能为钝角．∴“”是“”的充分不必要条件．故选：A．【点评】本题考查了倾斜角与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）设x，y，z是互不相等的正数，则下列等式中不恒成立的是（）A．B．C．D．|x﹣y|≤|x﹣z|+|y﹣z|【考点】7F：基本不等式及其应用．【专题】35：转化思想；49：综合法；5T：不等式．【分析】A．x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，可得：﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，即可判断出真假；B.﹣=﹣，即可判断出真假．C．取x=1，y=2，即可判断出真假；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，即可判断出真假．【解答】解：A．∵x，y，是互不相等的正数，令t=x+≥2，∴﹣=t2﹣t﹣2=（t﹣2）（t+1）≥0，正确；B．∵﹣＞，∴﹣=﹣≤0，∴≤，正确．C．取x=1，y=2，则|x﹣y|+=1﹣1=0＜2，因此不正确；D．|x﹣y|=|（x﹣z）+（z﹣y）|≤|x﹣z|+|y﹣z|，正确．故选：C．【点评】本题考查了基本不等式的性质、分母有理化，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．18．（5分）已知命题：“若a，b为异面直线，平面α过直线a且与直线b平行，则直线b与平面α的距离等于异面直线a，b之间的距离”为真命题．根据上述命题，若a，b为异面直线，且它们之间的距离为d，则空间中与a，b均异面且距离也均为d的直线c的条数为（）A．0条B．1条C．多于1条，但为有限条D．无数多条【考点】MK：点、线、面间的距离计算．【专题】31：数形结合；35：转化思想；5F：空间位置关系与距离．【分析】如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．若平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足条件．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足条件，即可判断出结论．【解答】解：如图所示，给出一个平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1．取AD=a，A1B1=b，假设平行平面ABCD与A1B1C1D1之间的距离为d．平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且满足它们之间的距离等于d，其交线CC1满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．把满足平面BCC1B1∥a，平面CDD1C1∥b，且它们之间的距离等于d的两个平面旋转，则所有的交线CC1都满足与a，b均异面且距离也均为d的直线c．因此满足条件的直线有无数条．故选：D．【点评】本题考查了空间位置关系、线线线面平行的判定与性质定理、旋转法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题19．（12分）如图，底面是直角三角形的直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，，D是棱AA1上的动点．（1）证明：DC1⊥BC；（2）求三棱锥C﹣BDC1的体积．【考点】LF：棱柱、棱锥、棱台的体积；LW：直线与平面垂直．【专题】15：综合题；35：转化思想；45：等体积法；5F：空间位置关系与距离．【分析】（1）由棱锥是直棱锥可得侧面与底面垂直，由面面垂直的性质可得BC ⊥平面ACC1A1，进一步得到BC⊥DC1；（2）利用等积法，把三棱锥C﹣BDC1的体积转化为三棱锥B﹣CDC1的体积求解．【解答】（1）证明：如图，∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，∴CC1⊥底面ABC，又CC1⊂面ACC1A1，∴面ACC1A1⊥底面ABC，而面ACC1A1∩底面ABC=AC，由△ABC为Rt△，且AC=BC，得BC⊥AC，∴BC⊥平面ACC1A1，∴BC⊥DC1；（2）解：由（1）知，BC⊥平面ACC1A1，∵，∴AA1=2，则∴=．【点评】本题考查面面垂直与线面垂直的性质，考查了棱锥体积的求法，训练了等积法，是中档题．20．（12分）某菜农有两段总长度为20米的篱笆PA及PB，现打算用它们和两面成直角的墙OM、ON围成一个如图所示的四边形菜园OAPB（假设OM、ON 这两面墙都足够长）．已知|PA|=|PB|=10（米），∠AOP=∠BOP=，∠OAP=∠OBP．设∠OAP=θ，四边形OAPB的面积为S．（1）将S表示为θ的函数，并写出自变量θ的取值范围；（2）求出S的最大值，并指出此时所对应θ的值．【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．【专题】31：数形结合；56：三角函数的求值；58：解三角形．【分析】（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．再利用三角形面积计算公式即可得出．（2）由（1）利用倍角公式与和差公式、三角函数的单调性最值即可得出．【解答】解：（1）在三角POB中，由正弦定理，得：，得OB=10（cosθ+sinθ）．所以，S==100（sinθcosθ+sin2θ），θ∈∪．（2）S=100（sinθcosθ+sin2θ）=50（2sinθcosθ+2sin2θ）=50（sin2θ﹣cos2θ+1）=，所以S的最大值为：50+50，θ=．【点评】本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．21．（12分）已知函数，其中a∈R．（1）根据a的不同取值，讨论f（x）的奇偶性，并说明理由；（2）已知a＞0，函数f（x）的反函数为f﹣1（x），若函数y=f（x）+f﹣1（x）在区间[1，2]上的最小值为1+log23，求函数f（x）在区间[1，2]上的最大值．【考点】3H：函数的最值及其几何意义；4R：反函数．【专题】11：计算题；34：方程思想；49：综合法；51：函数的性质及应用．【分析】（1）由得f（﹣x）=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，从而可得当a=时函数为偶函数；（2）可判断与f﹣1（x）都是增函数，从而可得f（1）+f﹣1（1）=1+log23，从而解出a．【解答】解：（1）∵，∴f（﹣x）=﹣ax+log2（2﹣x+1）=﹣ax+log2（2x+1）﹣log22x=﹣ax+log2（2x+1）﹣x，∴f（﹣x）=f（x），即﹣ax﹣x=ax，故a=；此时函数为偶函数，若a≠﹣，函数为非奇非偶函数；（2）∵a＞0，∴单调递增，又∵函数f（x）的反函数为f﹣1（x），∴f﹣1（x）单调递增；∴f（1）+f﹣1（1）=1+log23，即a+log23+f﹣1（1）=1+log23，故f﹣1（1）=1﹣a，即a（1﹣a）+log2（2a﹣1+1）=1，解得，a=1；故f（2）=2+log25．【点评】本题考查了函数与反函数，同时考查了函数的性质的判断与化简运算能力．22．（12分）已知椭圆C：的焦距为，且右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形．若直线l与椭圆C交于A（x1，y1）、B（x2，y2），且在椭圆C上存在点M，使得：（其中O为坐标原点），则称直线l具有性质H．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l垂直于x轴，且具有性质H，求直线l的方程；（3）求证：在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP 都具有性质H．【考点】K3：椭圆的标准方程；KH：直线与圆锥曲线的综合．【专题】14：证明题；35：转化思想；49：综合法；5D：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）由椭圆的焦距为，右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），设M（x m，y m），求出，=﹣，由点M在椭圆C上，能求出直线l的方程．（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，利用反证法推导出相互矛盾结论，从而能证明在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP 都具有性质H．【解答】解：（1）∵椭圆C：的焦距为，∴c=，∵右焦点F与短轴的两个端点组成一个正三角形，∴c=，解得b=1，∴a2=b2+c2=4，∴椭圆C的方程为．（2）设直线l：x=t，（﹣2＜t＜2），则A（t，y1），B（t，y2），其中y1，y2满足：，y1+y2=0，设M（x m，y m），∵（其中O为坐标原点），∴，=﹣，∵点M在椭圆C上，∴，∴49t2+4﹣t2=100，∴t=，∴直线l的方程为x=或x=﹣．证明：（3）假设在椭圆C上存在三个不同的点P（x1，y1），Q（x2，y2），R（x3，y3），使得直线PQ、QR、RP都具有性质H，∵直线PQ具有性质H，∴在椭圆C上存在点M，使得：，设M（x m，y m），则，y m=，∵点M在椭圆上，∴+（）2=1，又∵，，∴=0，①同理：=0，②，，③1）若x1，x2，x3中至少一个为0，不妨设x1=0，则y1≠0，由①③得y2=y3=0，即Q，R为长轴的两个端点，则②不成立，矛盾．2）若x1，x2，x3均不为0，则由①②③得=﹣＞0，矛盾．∵在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线方程的求法，考查在椭圆C上不存在三个不同的点P、Q、R，使得直线PQ、QR、RP都具有性质H的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质和反证法的合理运用．23．（12分）已知数列{a n}和{b n}满足：，且对一切n∈N*，均有．（1）求证：数列为等差数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若λ=2，求数列{b n}的前n项和S n；（3）设，记数列{c n}的前n项和为T n，问：是否存在正整数λ，对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立．若存在，求出所有正整数λ的值；若不存在，请说明理由．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．【专题】11：计算题；14：证明题；32：分类讨论；33：函数思想；34：方程思想；4C：分类法；4M：构造法；53：导数的综合应用；54：等差数列与等比数列．【分析】（1）化简可得，从而写出，即；（2）当λ=2时，a n=n2+n，从而求得b n=2n，从而求等比数列前n项和．（3）仿照（2）可得，b n=2n+r﹣2，从而化简c n=2﹣r﹣2n﹣（），从而分类讨论以确定λ的值．【解答】解：（1）证明：∵，两边除以n（n+1）得，，即，故数列为等差数列，故，故；（2）当λ=2时，a n=n2+n，∵，∴b1==2，b n+1===2n+1，综上所述，b n=2n，S n==2n+1﹣2；（3）仿照（2）可得，，b n=2n+r﹣2，c n==﹣=2﹣r﹣2n﹣（），∵对一切n∈N*，均有T4≥T n恒成立，∴当n＞4时，c n≤0；若λ=1，则c n=1﹣2n﹣，c5=﹣＞0，故T5＞T4，故不成立；若λ=2，则c n=﹣2n﹣，故c1=﹣=0，c2=﹣，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，c5=﹣＜0，且当n≥5时，2n＞n2+n，故成立；若λ=3，则c n=﹣，故c1=﹣＞0，c2=﹣＞0，c3=﹣＞0，c4=﹣＞0，故且当n≥5时，•2n＞n2+2n，故成立；若λ≥4，则c n=﹣，c4=﹣，令f（r）=16﹣16﹣4（r﹣1），则f′（r）=16•ln•﹣4=4（ln4•﹣1）＞0，故f（r）在[4，+∞）上是增函数，故f（4）=16×2﹣16﹣4×3＞0，故c4＜0，故T3＞T4，故不成立；综上所述，λ的值为2或3．【点评】本题考查了等比经数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了导数的综合应用及分类讨论的思想与方程思想，函数思想的应用．。

浦东新区2016学年度第二学期质量抽测高三数学试卷 2017．4注意：1． 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚．2． 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟． 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分． 1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____________．2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是____________． 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____________． 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为____________． 5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=____________．6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为____________．7、已知射手甲击中A 目标的概率为0．9，射手乙击中A 目标的概率为0．8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是____________．8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是____________．9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=____________．10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0xx g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图像在区间[]3,3-上的交点的个数为____________．11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为____________．12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为____________．二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分． 13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是（ ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段． 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（1） （2）（3） （4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是（ ）A 、(1)(3)(4)；B 、(2)(4)(3)；C 、(1)(3)(2)；D 、(2)(4)(1)． 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x=（ ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0． 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围 是（ ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、()．三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点， 半径为1，且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点．已知球面上一点10,22D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭． （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场． （1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个△POQ 的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场△POQ 的面积最大，并求其最大面积．（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场．方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ； OABPQABOCED试求出1S 的最大值和2S （均精确到0．001平方千米），并指出哪一种设计方案更好．19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P ． （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值．20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”． （1新数列”，并说明理由；（2） 已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．nT ；（32）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅， 求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈．21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数． 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =．（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数．浦东新区2016学年度第二学期质量抽测高三数学试卷 2017.4注意：1. 答卷前，考生务必在试卷上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚.2. 本试卷共有21道试题，满分150分，考试时间120分钟. 一、填空题（本大题共有12小题，满分54分）只要求直接填写结果，1-6题每个空格填对得4分，7-12题每个空格填对得5分，否则一律得零分. 1、已知集合201x A xx ⎧-⎫=≥⎨⎬+⎩⎭，集合{}04B y y =≤<，则A B =____[2,4)________.2、若直线l 的参数方程为44,23R x tt y t =-⎧∈⎨=-+⎩，则直线l 在y 轴上的截距是_____1______. 3、已知圆锥的母线长为4，母线与旋转轴的夹角为30︒，则该圆锥的侧面积为____8π______. 4、抛物线214y x =的焦点到准线的距离为______2_______. 5、已知关于,x y 的二元一次方程组的增广矩阵为215120⎛⎫⎪-⎝⎭，则3x y -=___5_______.6、若三个数123,,a a a 的方差为1，则12332,32,32a a a +++的方差为 9 .7、已知射手甲击中A 目标的概率为0.9，射手乙击中A 目标的概率为0.8，若甲、乙两人各向A 目标射击一次，则射手甲或射手乙击中A 目标的概率是___0.98________.8、函数π3sin ,0,π62y x x ⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦的单调递减区间是_____20,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦__________.9、已知等差数列{}n a 的公差为2，前n 项和为n S ，则1limnn n n S a a →∞+=___14______.10、已知定义在R 上的函数()f x 满足：①()()20f x f x +-=；②()()20f x f x ---=；③在[]1,1-上的表达式为()[](]1,01,0,1x f x x x ∈-=-∈⎪⎩，则函数()f x 与函数()122,0log ,0x x g x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩ 的图象在区间[]3,3-上的交点的个数为 6 .11、已知各项均为正数的数列{}n a 满足：()()()11210N n n n n a a a a n *++--=∈，且110a a =, 则首项1a 所有可能取值中的最大值为 16 . 12、已知平面上三个不同的单位向量,,a b c 满足12a b b c ⋅=⋅=，若e 为平面内的任意单位向量，则23a e b e c e ⋅+⋅+⋅的最大值为二、选择题(本大题共有4小题，满分20分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项是正确的，选对得 5分，否则一律得零分. 13、若复数z 满足2z i z i ++-=，则复数z 在复平面上所对应的图形是 （ D ）A 、椭圆；B 、双曲线；C 、直线；D 、线段. 14、已知长方体切去一个角的几何体直观图如图所示给出下列4个平面图：（2）（2）（3） （4）则该几何体的主视图、俯视图、左视图的序号依次是 （ C ） A 、(1)(3)(4)； B 、(2)(4)(3)； C 、(1)(3)(2)； D 、(2)(4)(1). 15、已知2sin 1cos x x =+，则cot2x= （ C ） A 、2； B 、2或12； C 、2或0； D 、12或0. 16、已知等比数列1234,,,a a a a 满足()10,1a ∈，()21,2a ∈，()32,4a ∈，则4a 的取值范围是 （ D ）A 、()3,8；B 、()2,16；C 、()4,8；D 、(). 三、解答题（本大题共有5小题，满分76分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 17、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图所示，球O 的球心O 在空间直角坐标系O xyz -的原点，半径为1， 且球O 分别与,,x y z 轴的正半轴交于,,A B C 三点.已知球面上一点10,2D ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. （1）求,D C 两点在球O 上的球面距离； （2）求直线CD 与平面ABC 所成角的大小．解：（1）由题意：()()()11,0,0,0,1,0,0,0,1,0,22A B C D ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭则10,22CD ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，……………………………………………………2分 所以1CD =，即OCD ∆为等边三角形，所以π3DOC ∠=， …………4分ABOCED则ππ133DC =⨯= …………………………6分 （2）设直线CD 与平面ABC 所成角为θ，易得平面ABC 的一个法向量()1,1,1n =， …………………………11分则3132sin 61CD nCD nθ+⋅===⨯⋅， …………………………13分 即直线CD 与平面ABC 所成角3arcsin6θ= …………………………14分18、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）某地计划在一处海滩建造一个养殖场. （1） 如图，射线,OA OB 为海岸线，2π3AOB ∠=，现用长度为1千米的围网PQ 依托海岸线围成一个POQ ∆的养殖场，问如何选取点,P Q ，才能使养殖场POQ ∆的面积最大，并求其最大面积.（2）如图，直线l 为海岸线，现用长度为1千米的围网依托海岸线围成一个养殖场.方案一：围成三角形OAB （点,A B 在直线l 上），使三角形OAB 面积最大，设其为1S ； 方案二：围成弓形CDE （点,D E 在直线l 上，C 是优弧DE 所在圆的圆心且2π3DCE ∠=），其面积为2S ； 试求出1S 的最大值和2S （均精确到0.001平方千米），并指出哪一种设计方案更好.OABPQ解：（1）设,OP x OQ y ==由余弦定理得222211232x y xy x y xy xy ⎛⎫=+-⋅-=++≥ ⎪⎝⎭，13xy ∴≤…4分则1211sin π2323212S xy =≤⨯⨯=，max 12S =（平方千米）即选取OP OQ ==时养殖场POQ ∆的面积最大. …………6分（2）方案一：围成三角形OAB设AOB θ∠=，由21124OA OB OA OB OA OB +⎛⎫+=⇒⋅≤= ⎪⎝⎭，当且仅当12OA OB ==时取等号. 所以，11111sin 12248S OA OB θ=⋅≤⋅⋅=（平方千米）， 当且仅当1π,22OA OB θ===时取等号.……………9分方案二：围成弓形CDE设弓形中扇形所在圆C 的半径为r ，而扇形圆心角为4π3、弧长为1千米， 故14433ππr ==. …………10分 于是22112π1sin 223S r r =⋅⋅+ …………11分23190.1448π216π=+⋅≈（平方千米） …………13分 即12S S <，方案二所围成的养殖场面积较大，方案二更好. ……………14分19、（本小题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知双曲线22:143x y C -=，其右顶点为P . （1）求以P 为圆心，且与双曲线C 的两条渐近线都相切的圆的标准方程； （2）设直线l 过点P ，其法向量为(1,1)n =-，若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P到直线l 的距离均为d ，求d 的值.解：（1）由题意，(2,0)P ，渐近线方程：y x =20y ±=……………2分则半径7r d ===， ……………4分 所以圆方程为：()221227x y -+=……………6分（2）若在双曲线C 上恰有三个点123,,P P P 到直线l 的距离均为d ，则其中一点必定是与直线:2l y x =-平行的直线与双曲线其中一支的切点 ……………8分 设直线'l 与双曲线C 相切，并且与直线l 平行，则':l y x b =+，即有223412y x b x y =+⎧⎨-=⎩，消去y ，得到2281240x bx b +++= ……………10分 则226416(3)0b b ∆=-+=，解得1b =±，所以':1l y x =±…………12分又d 是l 与'l 之间的距离，所以2d ==或者2d ==……………14分20、（本小题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）若数列{}n A 对任意的*N n ∈，都有()+10kn nA A k =≠，且0n A ≠，则称数列{}n A 为“k 级创新数列”.（1新数列”，并说明理由；（2） 已知正数数列{}n b 为“k 级创新数列”且1k ≠，若110b =，求数列{}n b 的前n 项积．n T ；（32）的条件下，记数列{}n c 的通项1log n n n b n c T β-=⋅， 求证：21n n n c c c ++=+，*N n ∈.解：（1）由2122n n n a a a +=+，∴212+144+1n n n a a a +=+，即()212121n n a a ++=+，……………………2分且12120a +=≠， ………………………3分 ∴{}21n a +是“2级创新数列” ………………………4分 （2）由正数数列{}n b 是“k 级创新数列”，得()+10,1kn nb b k =≠，且0n b >∴+1lg lg n n b k b =， ………………………6分 ∴{}lg n b 是等比数列，且首项1lg 1b =，公比q k =； ∴111lg lg n n n b b q k --=⋅=； ………………………7分由1212lg lg lg lg n n n nT b b b T b b b =⇒=+++………………………9分1n k -++=10分（311111lg 1log lg n nn n n n n b n n n k T k c T b k βββ------=== 111111n n nn n n n nk k k ββαβββαα----⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭-⎢⎥⎣⎦==-⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭n nαβαβ-=-； ……………………12分由,αβ是方程210x x --=的两根，∴2211ααββ⎧=+⎪⎨=+⎪⎩；……………………14分()()222111n n n nn c αβααββαβαβ+++-⎡⎤=+-+==⎣⎦--.…………………16分21、（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）对于定义域为R 的函数()g x ，若函数()sin g x ⎡⎤⎣⎦是奇函数，则称()g x 为正弦奇函数. 已知()f x 是单调递增的正弦奇函数，其值域为R ，()00f =.（1）已知()g x 是正弦奇函数，证明：“0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解”的充要条件是“0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解”； （2）若()()ππ,22f a f b ==-，求a b +的值；（3）证明：()f x 是奇函数. 证明：（1） 必要性：0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，故()()00sin sin 1g u g u ⎡⎤⎡⎤-=-=-⎣⎦⎣⎦，即0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解.…………………………………………………2分充分性：0u -为方程()sin 1g x =-⎡⎤⎣⎦的解，即()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，故()0sin 1g u ⎡⎤-=-⎣⎦，()0sin 1g u ⎡⎤=⎣⎦，即0u 为方程()sin 1g x =⎡⎤⎣⎦的解. ………………………………4分（2）因为()()()0f b f f a <<，由()f x 单调递增，可知0b a <<. ……………………5分由（1）可知，若函数()f x 是正弦奇函数，则当a 为方程()sin 1f x =⎡⎤⎣⎦的解，必有a -为方程()sin 1f x =-⎡⎤⎣⎦的解，()sin 1f a ∴-=-⎡⎤⎣⎦，即()π2π2f a m -=-()Z m ∈，而0a -<，故()()00f a f -<=，从而()()π2f a f b a b -≤-=⇒-≤， 即0a b +≥； ……………………7分 同理()π2π2f b n -=+()()(),0Z n f b f ∈->，故()()π2f b f a b a -≥=⇒-≥， 即0a b +≤； …………………………9分综上，0a b +=. …………………………10分（3）()f x 的值域为R 且单调递增，故对任意R c ∈，存在唯一的0,x 使得()0f x c =.…………11分可设()()πππ,π22n n f a n f b n ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭()*N n ∈，下证()*0N n n a b n +=∈.当1n =时，由（2）知110a b +=,命题成立； ………………………………12分 假设n k ≤时命题成立，即110,,0k k a b a b +=+=，而由()f x 的单调性知11110k k k k b b b a a a ++<<<<<<<<，知11,k k k k a b b a ++-<->，则当1n k =+时，1k a +为方程()sin 1f x =±的解，故1k a +-为方程()sin 1f x =的解， 且由单调性知()()1k k f a f b +-<，故()()11k k f a f b ++-≤，得11k k a b ++-≤；同理11k k b a ++-≥，故110k k a b +++=. ……………………………………………14分 要证()f x 是奇函数，只需证：对任意0x >，都有()()f x f x -=-.记000a b ==，若()*N n x a n =∈，则n x b -=，()()()2n f x n f a f x ππ⎛⎫-=--=-=- ⎪⎝⎭；……………………………………………………15分若()()221,N n n x a a n +∈∈，则()ππ2,2,22f x n n ππ⎛⎫∈-+ ⎪⎝⎭()ππ2π,2π22f x n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，()()212ππ,,2π,2π22n n x b b f x n n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∈-∈-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，而正弦函数在ππ2,222n n ππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭上单调递增，故由()()()()sin sin sin f x f x f x -=-=-得()()f x f x -=-.若()()2122,N n n x a a n ++∈∈，同理可证得()()f x f x -=-. …………………17分 综上，对任意0x >，都有()()f x f x -=-.故()f x 是奇函数. ……………18分。

2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）若行列式，则x＝．2．（5分）二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为．3．（5分）若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．4．（5分）若集合A＝{x||x﹣3|＜2}，集合B＝{x|}，则A∩B＝．5．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．6．（5分）从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE 所成角的大小是（结果用反三角函数值表示）8．（5分）若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是．9．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝2x+y的最小值为﹣6，则k＝．10．（5分）设函数f（x）＝（）x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g （x）＝x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为．11．（5分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则不等式xf（x﹣1）≥0的解集为．13．（5分）已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为．14．（5分）设函数f（x）的定义域为D，记f（X）＝{y|y＝f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）＝{x|f （x）∈Y，x∈D}，若f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），D＝[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）＝[0，2]，则ω的取值范围是．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行16．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．17．（3分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8C．25，16，9D．24，17，9 18．（3分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线三、解答题（共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）20．复数z1＝2sin，z2＝1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）＝0成立，求实数λ的取值范围．21．已知{a n}是等差数列，a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝b n cos nπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m＝2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．22．已知抛物线ρ：x2＝4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）＝．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）已知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）＝2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）＝（其中x c为点C的横坐标）．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）＝1．（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；（2）如函数f（x）＝有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）＝μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N+）上的值域为M a，集合M a中的元素个数为a n，求证：．2016年上海市十三校联考高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析一、填空题（共14小题，每小题5分，满分70分）1．（5分）若行列式，则x＝2．【解答】解：∵，∴2×2x﹣1﹣4＝0即x﹣1＝1∴x＝2故答案为：22．（5分）二次项（2x﹣）6展开式中的常数项为﹣20．【解答】解：二次项（2x﹣）6展开式中的通项公式为：T r+1＝•（2x）6﹣r•＝•26﹣r••x6﹣2r，由6﹣2r＝0得：r＝3；∴二项展开式中的常数项为：•23•＝﹣20．故答案为：﹣20．3．（5分）若椭圆的焦点在x轴上，焦距为2，且经过，则椭圆的标准方程为．【解答】解：由题意知，椭圆的焦点在x轴上，c＝1，a＝，∴b2＝4，故椭圆的方程为为故答案为：．4．（5分）若集合A＝{x||x﹣3|＜2}，集合B＝{x|}，则A∩B＝[4，5）．【解答】解：由A中不等式变形得：﹣2＜x﹣3＜2，解得：1＜x＜5，即A＝（1，5），由B中不等式变形得：x（x﹣4）≥0，且x≠0，解得：x＜0或x≥4，即B＝（﹣∞，0）∪[4，+∞），则A∩B＝[4，5），故答案为：[4，5）5．（5分）△ABC中，，BC＝3，，则∠C＝．【解答】解：由，a＝BC＝3，c＝，根据正弦定理＝得：sin C＝＝，又C为三角形的内角，且c＜a，∴0＜∠C＜，则∠C＝．故答案为：6．（5分）从3名男同学，2名女同学中任选2人参加体能测试，则选到的2名同学至少有一名女同学的概率是．【解答】解：从3名男同学，2名女同学中任意2人参加体能测试，基本事件总数n＝，选到的2名同学至少有一名女同学的对立事件为选到的2名同学都是男同学，∴选到的2名同学至少有一名女同学的概率：p＝1﹣＝．故答案为：．7．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，点E为棱AA1的中点，则异面直线B1D1与DE 所成角的大小是arccos（结果用反三角函数值表示）【解答】解以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AA1为z轴，建立空是直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B1（2，0，2），D1（0，2，2），D（0，2，0），E（0，0，1），＝（﹣2，2，0），＝（0，﹣2，1），设异面直线B1D1与DE所成角为θ，cosθ＝＝＝，∴θ＝arccos．∴异面直线B1D1与DE所成角的大小是arccos．故答案为：arccos．8．（5分）若不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立，则实数k的取值范围是[﹣1，1]．【解答】解：∵a2+b2﹣2kab＝（a﹣kb）2+b2﹣k2b2，∴对任意k，b，都存在a＝kb；∴不等式a2+b2≥2kab对任意a、b∈R都成立可化为：b2﹣k2b2≥0恒成立，即1﹣k2≥0成立，故k∈[﹣1，1]，故答案为：[﹣1，1]．9．（5分）若变量x，y满足约束条件，且z＝2x+y的最小值为﹣6，则k＝﹣2．【解答】解：作出不等式对应的平面区域，（阴影部分）由z＝2x+y，得y＝﹣2x+z，平移直线y＝﹣2x+z，由图象可知当直线y＝﹣2x+z经过点A时，直线y＝﹣2x+z的截距最小，此时z最小．目标函数为2x+y＝﹣6，由，解得，即A（﹣2，﹣2），∵点A也在直线y＝k上，∴k＝﹣2，故答案为：﹣2．10．（5分）设函数f（x）＝（）x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x1、x2，函数g （x）＝x的图象与直线y＝5﹣x交点的横坐标为x3，x4则x1+x2+x3+x4的值为10．【解答】解：函数f（x）＝（）x的图象与直线y＝5﹣x交点的横为x1、x2，∴x1、x2是（）x＝5﹣x的两个根，∴x1＝5﹣，x2＝5﹣，∵f（x）＝（）x的图象与g（x）＝x关于y＝x对称，∴x3＝y2＝，x4＝y1＝，∴x1+x2+x3+x4═5﹣+5﹣++＝10．故答案为：10．11．（5分）对于数列{a n}满足：a1＝1，a n+1﹣a n∈{a1，a2，…a n}（n∈N+），记满足条件的所有数列{a n}中，a10的最大值为a，最小值为b，则a﹣b＝502．【解答】解：∵a1＝1，∴a2﹣a1∈{a1}，∴a2﹣a1＝1，故a2＝2，a3﹣a2∈{a1，a2}，∴a3﹣a2＝1，a3﹣a2＝2，∴a3＝3或a3＝4；同理可得，a10的最小值b＝1×10＝10，a10的最大值a＝29＝512，故a﹣b＝512﹣10＝502，故答案为：502．12．（5分）定义在R上的奇函数f（x）在区间（﹣∞，0）上单调递减，且f（2）＝0，则不等式xf（x﹣1）≥0的解集为[﹣1，0]∪[1，3]．【解答】解：∵f（x）为奇函数，且f（2）＝0，在（﹣∞，0）是减函数，∴f（﹣2）＝﹣f（2）＝0，f（x）在（0，+∞）内是减函数，函数图象示意图：其中f（0）＝0，∵xf（x﹣1）≥0，∴或，解得﹣1≤x≤0或1≤x≤3，∴不等式的解集是[﹣1，0]∪[1，3]，故答案为：[﹣1，0]∪[1，3]．13．（5分）已知正三角形A1A2A3，A4、A5、A6分别是所在棱的中点，如图，则当1≤i≤6，1≤j≤6，且i≠j时，数量积•的不同数量积的个数为9．【解答】解：以A1A2所在直线为x轴，中点A4为坐标原点，建立直角坐标系，可设A1（﹣1，0），A2（1，0），A3（0，），A4（0，0），A5（﹣，），A6（，），可得＝（2，0），若i＝1，则•＝2（+1），可得4，2，2，1，3；若i＝2，则•＝2（﹣1），可得﹣4，﹣2，﹣2，﹣3，﹣1；若i＝3，则•＝2（），可得﹣2，2，0，﹣1，1；若i＝4，则•＝2（），可得﹣2，2，0，﹣1，1；若i＝5，则•＝2（+），可得﹣1，3，1，1，2；若i＝6，则•＝2（﹣），可得﹣3，1，﹣1，﹣1，﹣2．综上可得取值有±1，±2，±3，±4，0共9个．14．（5分）设函数f（x）的定义域为D，记f（X）＝{y|y＝f（x），x∈X⊆D}，f﹣1（Y）＝{x|f （x）∈Y，x∈D}，若f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0），D＝[0，π]，且f（f﹣1（[0，2]）＝[0，2]，则ω的取值范围是[，+∞）．【解答】解：由题意得，D＝[0，π]，f（x）＝2sin（ωx+）（ω＞0）的定义域为D，∵f﹣1（[0，2]）＝{x|f（x）∈[0，2]，x∈R}，故2sin（ωx+）∈[0，2]．∵ω＞0，x∈[0，π]，∴≤ωx+≤ωπ+，∴由2sin（ωx+）∈[0，2]，可得ωπ+≥2π+，∴ω≥，故答案为：[，+∞）．二、选择题（共4小题，每小题3分，满分12分）15．（3分）二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件是（）A．系数行列式D≠0B．比例式C．向量不平行D．直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行【解答】解：当两直当两直线共面时，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组存在唯一解当两直线异面，直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行，二元一次方程组无解，故直线a1x+b1y＝c1，a2x+b2y＝c2不平行是二元一次方程组存在唯一解的必要非充分条件．故选：D．16．（3分）将长方体截去一个四棱锥，得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【解答】解：被截去的四棱锥的三条可见棱中，在两条为长方体的两条对角线，它们在右侧面上的投影与右侧面（长方形）的两条边重合，另一条为体对角线，它在右侧面上的投影与右侧面的对角线重合，对照各图，只有D符合．故选：D．17．（3分）将参加夏令营的600名学生编号为：001，002，…600，采用系统抽样方法抽取一个容量为50的样本，且随机抽得的号码为003．这600名学生分住在三个营区，从001到300在第Ⅰ营区，从301到495住在第Ⅱ营区，从496到600在第Ⅲ营区，三个营区被抽中的人数依次为（）A．26，16，8，B．25，17，8C．25，16，9D．24，17，9【解答】解：依题意可知，在随机抽样中，首次抽到003号，以后每隔12个号抽到一个人，则分别是003、015、027、039构成以3为首项，12为公差的等差数列，故可分别求出在001到300中有25人，在301至495号中共有17人，则496到600中有8人．故选：B．18．（3分）点P到图形C上每一个点的距离的最小值称为点P到图形C的距离，那么平面内到定圆C的距离与到定点A的距离相等的点的轨迹不可能是（）A．圆B．椭圆C．双曲线的一支D．直线【解答】解：排除法：设动点为Q，1．当点A在圆内不与圆心C重合，连接CQ并延长，交于圆上一点B，由题意知QB＝QA，又QB+QC＝R，所以QA+QC＝R，即Q的轨迹为一椭圆；如图．2．如果是点A在圆C外，由QC﹣R＝QA，得QC﹣QA＝R，为一定值，即Q的轨迹为双曲线的一支；3．当点A与圆心C重合，要使QB＝QA，则Q必然在与圆C的同心圆，即Q的轨迹为一圆；则本题选D．故选：D．三、解答题（共5小题，满分0分）19．用铁皮制作一个容积为cm3的无盖圆锥形容器，如图，若圆锥的母线与底面所称的角为45°，求制作该容器需要多少面积的铁皮（铁皮街接部分忽略不计，结果精确到0.1cm2）【解答】解：设圆锥形容器的底面半径为r，则圆锥的高为r，圆锥的母线为．∵V＝＝，∴r＝10cm．∴圆锥形容器的侧面积S＝＝100cm2≈444.3cm2．20．复数z1＝2sin，z2＝1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]；（1）若z1•z2是实数，求cos2θ的值；（2）若复数z1、z2对应的向量分别是、，存在θ使等式（）•（）＝0成立，求实数λ的取值范围．【解答】解：复数z1＝2sin，z2＝1+（2cosθ）i，i为虚数单位，θ∈[]．（1）z1•z2＝2sinθ+2cosθ+（4sinθcosθ﹣）i，z1•z2为实数，可得4sinθcosθ﹣＝0，sin2θ＝，解得2θ＝，∴cos2θ＝﹣；（2）复数z1＝2sinθ﹣i，z2＝1+（2cosθ）i，复数z1，z2对应的向量分别是，＝（2sinθ，﹣），＝（1，2cosθ），（）•（）＝0，∵＝（2sinθ）2+（﹣）2+1+（2cosθ）2＝8，＝（2sinθ，﹣）•（1，2cosθ）＝2sinθ﹣2cosθ，∴（）•（）＝λ（）﹣（1+λ2）＝8λ﹣（1+λ2）（2sinθ﹣2cosθ）＝0，化为sin（θ﹣）＝，∵θ∈[]，∴（θ﹣）∈[0，]，∴sin（θ﹣）∈[0，]．∴0≤≤，解得λ≥2+或λ≤2﹣．实数λ的取值范围是（﹣∞，2﹣]∪[2+，+∞）．21．已知{a n}是等差数列，a1＝3，a4＝12，数列{b n}满足b1＝4，b4＝20，且{b n﹣a n}是等比数列．（1）求数列{a n}和{b n}的通项公式；（2）设c n＝b n cos nπ，求数列{c n}的前n项和S n，并判断是否存在正整数m，使得S m＝2016？若存在，求出m的值；若不存在，说明理由．【解答】解：（1）∵{a n}是等差数列，a1＝3，a4＝12，∴d＝＝3，∴a n＝3n，∵{b n﹣a n}是等比数列，且b1﹣a1＝4﹣3＝1，b4﹣a4＝20﹣12＝8，∴q＝2，∴b n﹣a n＝1•2n﹣1，∴b n＝3n+2n﹣1；（2）c n＝b n cos nπ＝（3n+2n﹣1）cos nπ，故①当n为奇数时，S n＝﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…+（3（n﹣1）+2n﹣2）﹣（3n+2n﹣1）＝（﹣3+6﹣9+…+3（n﹣1））﹣3n+（﹣1+2﹣4+…﹣2n﹣1）＝3×﹣3n+[（﹣2）n﹣1]＝﹣（n+1）+[（﹣2）n﹣1]＝﹣[（n+1）+（2n+1）]，②当n为偶数时，S n＝﹣（3+1）+（6+2）﹣（9+4）+…﹣（3（n﹣1）+2n﹣2）+（3n+2n﹣1）＝（﹣3+6﹣9+…﹣3（n﹣1）+3n）+（﹣1+2﹣4+…+2n﹣1）＝3×+[（﹣2）n﹣1]＝n+（2n﹣1），综上所述，S n＝，若S m＝2016，故m一定是偶数，故m+（2m﹣1）＝2016，故（2m﹣1）＝2016﹣m，而（214﹣1）＞2016，（212﹣1）＜2016﹣×12，故m值不存在．22．已知抛物线ρ：x2＝4y，P（x0，y0）为抛物线ρ上的点，若直线l经过点P且斜率为，则称直线l为点P的“特征直线”．设x1、x2为方程x2﹣ax+b＝0（a，b∈R）的两个实根，记r（a，b）＝．（1）求点A（2，1）的“特征直线”l的方程（2）已知点G在抛物线ρ上，点G的“特征直线”与双曲线经过二、四象限的渐进线垂直，且与y轴的交于点H，点Q（a，b）为线段GH上的点．求证：r（a，b）＝2（3）已知C、D是抛物线ρ上异于原点的两个不同的点，点C、D的“特征直线”分别为l1、l2，直线l1、l2相交于点M（a，b），且与y轴分别交于点E、F．求证：点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）＝（其中x c为点C的横坐标）．【解答】解：（1）由题意可得直线l的斜率为1，即有直线l的方程为y﹣1＝x﹣2，即为y＝x﹣1；（2）证明：双曲线的渐近线为y＝±x，可得点G的“特征直线”的斜率为2，即有G的横坐标为4，可设G的坐标为（4，4），可得点G的“特征直线”方程为y﹣4＝2（x﹣4），即为y＝2x﹣4，点Q（a，b）为线段GH上的点，可得b＝2a﹣4，（0≤a≤4），方程x2﹣ax+b＝0的根为x＝，即有较大的根为＝＝＝2，可得r（a，b）＝2；（3）设C（m，n），D（s，t），即有直线l1：y+n＝mx，l2：y+t＝sx，联立方程，由n＝m2，t＝s2，解得x＝（m+s），y＝ms，即有a＝（m+s），b＝ms，则方程x2﹣ax+b＝0的根为x1＝m，x2＝s．可得E（0，﹣m2），点M在线段CE上，则b＝ma﹣m2＝ms，则＝λ（λ≥0），即（m+s）﹣m＝λ（0﹣（m+s）），即有（s﹣m）（m+s）≤0，即s2≤m2，即|s|≤|m|，则r（a，b）＝；以上过程均可逆，即有点M在线段CE上的充要条件为r（a，b）＝．23．已知μ（x）表示不小于x的最小整数，例如μ（0.2）＝1．（1）当x∈（，2）时，求μ（x+log2x）的取值的集合；（2）如函数f（x）＝有且仅有2个零点，求实数a的取值范围；（3）设g（x）＝μ（xμ（x）），g（x）在区间（0，n]（n∈N+）上的值域为M a，集合M a中的元素个数为a n，求证：．【解答】解：（1）当x∈（，2）时，（x+log2x）∈．∴μ（x+log2x）的取值的集合为{0，1，2，3}．（2）当x∈（0，1]时，＝∈[1，+∞）；当x∈（1，2]时，＝∈[1，2）；当x∈（2，3]时，＝∈[1，）；…，当x∈（n﹣1，n]时，＝∈[1，）；函数f（x）＝有且仅有2个零点，∴实数a的取值范围是．（3）证明：当x∈（n﹣1，n]时，μ（x）＝n．∴xμ（x）＝nx的取值范围是（n2﹣n，n2]，进而g（x）在x∈（n﹣1，n]上的函数值的个数为n个．由于区间（n2﹣n，n2]与（（n+1）2﹣（n+1），（n+1）2]没有共同的元素，∴M n中元素的个数为1+2+…+n）＝，可得a n＝，．。