2016-2017学年甘肃省高一上学期期末考试试卷 数学(理)word版含答案

2016-2017学年甘肃省高一上学期期末考试数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合{}2|20,A x x x B Z =--≤=，则A B =I （ ）A ． {}1,0,1,2-B ． {}2,1,0,1--C ．{}0,1D ．{}1,0-2. ()sin 690-︒的值为（ ）A ．B ．12-C ． 12D ．3. 已知幂函数()y f x =的图象过点13⎛ ⎝，则2log (2)f 的值为（ ） A ． 12 B ．12- C ．2 D ．-24. 已知点()()1,3,4,1A B - ,则与向量AB uu u r 同方向的单位向量为( )A ． 34,55⎛⎫ ⎪⎝⎭B ． 43,55⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. 34,55⎛⎫- ⎪⎝⎭ D ．43,55⎛⎫- ⎪⎝⎭5. 设函数211log (2),1()2,1x x x f x x -+-<⎧=⎨≥⎩，则()2(2)log 12f f -+=（ ） A ． 3 B ． 6 C. 9 D ．126.已知sin cos 66ππαα⎛⎫⎛⎫-=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则cos 2α=（ ） A ．1 B ．-1 C.12 D ．0 7.函数()sin g x x x =-的零点的个数为（ ）A ． 1B ． 3 C. 2 D ．48.已知,αβ为锐角，且13t an ,sin 75αβ==，则αβ+等于（ ） A ． 34π B ． 23π C. 4π D ．3π 9.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，2()3f x x x =-，则函数()()3g x f x x =-+的零点的集合为（ ）A ． {}1,3B ． {}3,1,1,3-- C. {}2- D ．{}2--10.设函数()()()sin cos 0,||2f x x x πωϕωϕωϕ⎛⎫=+++><⎪⎝⎭的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（ ）A ．()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 B ． ()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 C. ()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 D ．()f x 在3,44ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增11.已知||1,||0OA OB OA OB ==⋅=uu r uu u r uu r uu u r ，点C 在AOC ∠内，且30AOC ∠=︒，设(),OC mOA nOB m n R =+∈uuu r uu r uu u r ，则m n等于（ ）A ．13B ． D 12.函数()21||,143,1x x f x x x x -≤⎧=⎨-+>⎩，若()()0f f m ≥，则实数m 的取值范围是（ ）A ． []2,2-B ．[][]2,24,-+∞U C. 2,2⎡-+⎣ D ．[]2,24,⎡-++∞⎣U第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 若扇形的圆心角为72︒，半径为20cm ,则扇形的面积为 2cm ．14. 某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入，若该公司2015年全年投入研发资金超过130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是 年。

2016-2017学年甘肃省天水一中高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°2．（5.00分）已知函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=（）A．0 B．1 C．2 D．eln 23．（5.00分）直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k的值是（）A．﹣3 B．1 C．1或﹣3 D．0或14．（5.00分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n⊥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β．A．②B．②③C．③④D．①④5．（5.00分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣6．（5.00分）如图所示，在空间直角坐标系中，D是坐标原点，有一棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E和F分别是体对角线A1C和棱AB上的动点，则|EF|的最小值为（）A．B．C．a D．7．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．8．（5.00分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个9．（5.00分）已知异面直线a与b所成角为60°，过空间内一定点P且与直线a、b所成角均为60°的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．410．（5.00分）已知函数f（x）是定义域R在上的奇函数，且在区间[0，+∞）单调递增，若实数a满足3f（log2a）+f（log2）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B． C． D．（0，2]二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11．（4.00分）已知长方体的长宽高分别为3，2，1，则该长方体外接球的表面积为．12．（4.00分）在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，则直线AB的方程为．13．（4.00分）已知集合M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+m}，且M ∩N≠∅，则m的取值范围为．14．（4.00分）在侧棱长为的正三棱锥S﹣ABC中，∠ASB=∠BSC=∠CSA=40°，过A作截面AMN，交SB于M，交SC于N，则截面AMN周长的最小值为．三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=AD，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PDC；（2）求直线AC与平面PCD所成角的大小．16．（10.00分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．（1）求证：直线l过定点；（2）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短．17．（12.00分）已知A、B两点的坐标为（﹣1，0）、（1，0），点P到A、B两点的距离比是一个常数a（a＞0），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．18．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 是一个梯形，且AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AD=2CD=8．（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？请证明你的结论．2016-2017学年甘肃省天水一中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5.00分）如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．异面直线AD与CB1所成的角为60°【解答】解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；C中由三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°故选：D．2．（5.00分）已知函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=（）A．0 B．1 C．2 D．eln 2【解答】解：函数f（x）=为自然对数的底数，则f[f（e）]=f（lne）=f（1）=2．故选：C．3．（5.00分）直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直，则k的值是（）A．﹣3 B．1 C．1或﹣3 D．0或1【解答】解：由直线l1：kx+（1﹣k）y﹣3=0和l2：（k﹣1）x+（2k+3）y﹣2=0互相垂直可得k（k﹣1）+（1﹣k）（2k+3）=0，即（k﹣1）（k+3）=0，解得k=1或k=﹣3，故选：C．4．（5.00分）设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α，n⊥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；③若m∥α，n∥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β．A．②B．②③C．③④D．①④【解答】解：①若m⊥α，n⊥α，则m∥n，因此①不正确；②若α∥β，β∥γ，则α∥γ，又m⊥α，则m⊥γ，正确；③若m∥α，n∥α，则m∥n、相交或为异面直线，因此不正确；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或相交，因此不正确．综上可知：只有②正确．5．（5.00分）设点A（2，﹣3），B（﹣3，﹣2），直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围（）A．k≥或k≤﹣4 B．≤k≤4 C．﹣4≤k≤D．k≥4或k≤﹣【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即k≥=，或k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，即直线的斜率的取值范围是k≥或k≤﹣4．故选：A．6．（5.00分）如图所示，在空间直角坐标系中，D是坐标原点，有一棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1，E和F分别是体对角线A1C和棱AB上的动点，则|EF|的最小值为（）A．B．C．a D．【解答】解：由题意，|EF|的最小值为体对角线A1C和棱AB间的距离，显然E，F分别是体对角线A1C和棱AB的中点时，满足题意，此时|EF|==a，故选：B．7．（5.00分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A．8﹣B．8﹣C．8﹣2πD．【解答】解：由题意可知，该几何体为正方体内挖去一个圆锥，正方体的边长为2，圆锥的底面半径为1，高为2，则正方体的体积为V1=23=8，圆锥的体积为V2=•π•12•2=，则该几何体的体积为V=8﹣，故选：A．8．（5.00分）圆x2+2x+y2+4y﹣3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：圆x2+2x+y2+4y﹣3=0的圆心（﹣1，﹣2），半径是2，圆心到直线x+y+1=0的距离是，故圆上的点到直线x+y+1=0的距离为的共有3个．故选：C．9．（5.00分）已知异面直线a与b所成角为60°，过空间内一定点P且与直线a、b所成角均为60°的直线有（）条．A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：把直线a，b平移，使两直线经过P，如图，则a，b所成角为60°，其补角为120°，当l经过P且为120°角的角平分线时，l 与a，b均成60°角，设60°角的角平分线为c，把c绕P旋转，且在旋转过程中保持与a，b成等角θ，则θ逐渐增大，上下旋转各能得到一个位置，使l与a，b所成的角均为60°，∴这样的直线l有3条．故选：C．10．（5.00分）已知函数f（x）是定义域R在上的奇函数，且在区间[0，+∞）单调递增，若实数a满足3f（log2a）+f（log2）≤2f（1），则a的取值范围是（）A．（﹣∞，2]B． C． D．（0，2]【解答】解：∵f（x）是定义域为R上的偶函数，∴不等式3f（log2a）+f（log2）≤2f（1），等价为2f（log2a）≤2f（1），即f（log2a）≤f（1），则f（log2a）≤f（1），∵在区间[0，+∞）上是单调递增函数，∴log2a≤1，解得0＜a≤2，故选：D．二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11．（4.00分）已知长方体的长宽高分别为3，2，1，则该长方体外接球的表面积为14π．【解答】解：长方体一顶点出发的三条棱a，b，c的长分别为3，2，1，得a2+b2+c2=14．于是，球的直径2R满足4R2=（2R）2=a2+b2+c2=14．故外接球的表面积为S=4πR2=14π．故答案为：14π．12．（4.00分）在平面直角坐标系xOy中，若圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，则直线AB的方程为x+y﹣3=0．【解答】解：由题意，圆x2+（y﹣1）2=4的圆心坐标为C（0，1），∵圆x2+（y﹣1）2=4上存在A，B两点关于点P（1，2）成中心对称，∴CP⊥AB，P为AB的中点，∵=1，∴k AB=﹣1，∴直线AB的方程为y﹣2=﹣（x﹣1），即x+y﹣3=0．故答案为：x+y﹣3=0．13．（4.00分）已知集合M={（x，y）|y=}，N={（x，y）|y=x+m}，且M ∩N≠∅，则m的取值范围为﹣3．【解答】解：根据题意画出相应的图形，当直线y=x+m与半圆y=相切，且切点在第二象限时，圆心到直线的距离d=r，即=3，解得：m=3或m=﹣3（不合题意，舍去），当直线过点（3，0）时，将x=3，y=0代入得：3+m=0，解得：m=﹣3，则m的取值范围为﹣3≤m≤3．故答案为：﹣3≤m≤314．（4.00分）在侧棱长为的正三棱锥S﹣ABC中，∠ASB=∠BSC=∠CSA=40°，过A作截面AMN，交SB于M，交SC于N，则截面AMN周长的最小值为6．【解答】解：将三棱锥S﹣ABC侧面沿SA剪开展成如下平面图形．观察图形知：当A，M，N三点共线时，△AMN的周长最小，此时，△AMN的周长=AN+MN+AM=2•ASsin60°=2×2sin60°=6．故答案为：6．三、解答题（本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．（10.00分）如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，PA=AD，F为PD的中点．（1）求证：AF⊥平面PDC；（2）求直线AC与平面PCD所成角的大小．【解答】解：（1）∵PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，∵正方形ABCD中，CD⊥AD，PA∩AD=A，∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF，∵PA=AD，FP=FD∴AF⊥PD又∵CD∩PD=D∴AF⊥平面PDC…（6分）（2）连接CF由（1）可知CF是AF在平面PCD内的射影∴∠ACF是AF与平面PCD所成的角∵AF⊥平面PDC∴AF⊥FC在△ACF中，∴AF与平面PCD所成的角为30°．…..（12分）16．（10.00分）已知直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，圆C：（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．（1）求证：直线l过定点；（2）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短．【解答】（1）证明：把直线l的方程整理成m（2x+y﹣7）+（x+y﹣4）=0由于m的任意性，有，解此方程组，得，所以直线l恒过定点D（3，1）；（2）解：当直线l与DC垂直时，被截得的弦最短，此时，直线l与DC的斜率k l•k CD=﹣1，由直线l的方程得，由点C、D的坐标得∴，解得，所以，当时，直线l被圆C截得的弦最短．17．（12.00分）已知A、B两点的坐标为（﹣1，0）、（1，0），点P到A、B两点的距离比是一个常数a（a＞0），求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．【解答】解：由可得：两边同时平方并化简可得（a2﹣1）x2+（a2﹣1）y2﹣2（a2+1）x+a2﹣1=0（1）当a=1时，方程变为x=0，表示y轴，是一条直线；当a≠1时，（1）式两边同时除以（a2﹣1）可得：配方后为：，表示以为圆心，以为半径的圆．18．（12.00分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD 是一个梯形，且AB∥DC，△PAD是等边三角形，已知AD=4，BD=4，AD=2CD=8．（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P﹣ABCD的体积；（3）当M点位于线段PC什么位置时，PA∥平面MBD？请证明你的结论．【解答】（1）证明：平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD．∵AD2+BD2=AB2，∴BD⊥AD，∴BD⊥平面ABCD∴平面MBD⊥平面ABCD，（2）解：过P作PO⊥AD交AD于O，∵平面PAD⊥平面ABCD，∴PO⊥平面ABCD．即PO为四棱锥P﹣ABCD的高．又∵△PAD是边长为4的等边三角形，∴PO=2，∴V P ﹣ABCD ==24（3）当M 为PC 的三等分点，即2CM=MP 时，结论成立． 证明：连AC 交BD 于点N ， ∵CD ∥AB ，CD=AB ，∴，∴MN ∥PA ，PA ⊄平面MBD ，MN ⊂平面MBD ，∴PA ∥平面MBD ．赠送—高中数学知识点【1.3.1】单调性与最大（小）值 （1）函数的单调性函数的 性 质定义图象判定方法函数的单调性如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2,当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)<f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是增函数．．．． x 1x 2y=f(X)xy f(x )1f(x )2o（1）利用定义（2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图象上升为增） （4）利用复合函数 如果对于属于定义域I 内某个区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x ．1．< ．x ．2．时，都有f(x ．．．1．)>f(x ．．．．．2．)．，那么就说f(x)在这个区间上是减函数．．．． y=f(X)yx ox x 2f(x )f(x )211（1）利用定义 （2）利用已知函数的单调性（3）利用函数图象（在某个区间图 象下降为减）（4）利用复合函数②在公共定义域内，两个增函数的和是增函数，两个减函数的和是减函数，增函数减去一个减函数为增函数，减函数减去一个增函数为减函数．③对于复合函数[()]y f g x =，令()u g x =，若()y f u =为增，()u g x =为增，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为减，()u g x =为减，则[()]y f g x =为增；若()y f u =为增，()u g x =为减，则[()]y f g x =为减；若()y f u =为减，()u g x =为增，则[()]y f g x =为减．yxo（2）打“√”函数()(0)af x x a x=+>的图象与性质 ()f x 分别在(,]a -∞-、[,)a +∞上为增函数，分别在[,0)a -、]a 上为减函数．（3）最大（小）值定义①一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤；（2）存在0x I ∈，使得0()f x M =．那么，我们称M 是函数()f x 的最大值，记作max ()f x M =．②一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数m 满足：（1）对于任意的x I ∈，都有()f x m ≥；（2）存在0x I ∈，使得0()f x m =．那么，我们称m 是函数()f x 的最小值，记作max ()f x m =．【1.3.2】奇偶性（4）函数的奇偶性函数的 性 质定义图象 判定方法 函数的奇偶性如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．－．f(x ．．．)．,那么函数f(x)叫做奇函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于原点对称） 如果对于函数f(x)定义域内任意一个x ，都有f(．．－．x)=．．．f(x)．．．．,那么函数f(x)叫做偶函数．．．．（1）利用定义（要先判断定义域是否关于原点对称） （2）利用图象（图象关于y 轴对称）②若函数()f x 为奇函数，且在0x =处有定义，则(0)0f =．③奇函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相同，偶函数在y 轴两侧相对称的区间增减性相反．④在公共定义域内，两个偶函数（或奇函数）的和（或差）仍是偶函数（或奇函数），两个偶函数（或奇函数）的积（或商）是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积（或商）是奇函数．。

甘肃省天水市第一中学2016-2017学年高一上学期期末考试数学试题第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.如图，1111ABCD A B C D -为正方体，下面结论错误的是（ ）A ．//BD 平面11CB D B ．1AC BD ⊥C ．1AC ⊥平面11CBD D ．异面直线AD 与1CB 所成的角为60°2.已知函数()2,1ln ,1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，e 为自然对数的底数，则()=f f e ⎡⎤⎣⎦（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．ln 2e3.直线()1:130l kx k y +--=和()()2:12320l k x k y -++-=互相垂直，则k =（ ）A ．1B ．-3C ．54- D ．-3或1 4.设m n 、是两条不同的直线，αβγ、、是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（ ）①若,m n αα⊥⊥，则m n ⊥；②若//,//,m αββγα⊥，则m γ⊥；③若//,//m n αα，则//m n ；④若αγβγ⊥⊥，，则αβ⊥.A ．①②B ．②③ C.③④ D ．①④5.已知点()()2,332A B ---，，，直线l 过点()1,1P ，且与线段AB 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ）A ．34k ≥或4k ≤-B ．34k ≥或14k ≤- C.344k -≤≤ D ．344k ≤≤ 6.如图所示，在空间直角坐标系中，D 是坐标原点，有一棱长为a 的正方体1111ABCD A B C D -，E 和F 分别是体对角线1A C 和棱AB 上的动点，则EF 的最小值为（ ）A B C.a D ．12a 7.某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）A ．283π-B ．83π- C.82π- D ．23π8.圆222430x x y y +++-=上到直线10x y ++=的点共有（ ）A ．1个B ．2个 C. 3个 D ．4个9.已知异面直线a 与b 所成角为60°，过空间内一定点P 且与直线a b 、所成角均为60°的直线有（ ）条A ．1B ．2 C.3 D ．410.已知函数()f x 是定义域R 在上的奇函数，且在区间[]0,+∞单调递增，若实数a 满足（ ）()()2213log log 21f a f f a ⎛⎫+≤ ⎪⎝⎭，则a 的取值范围是 A ．(],2-∞ B ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦ C.1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．(]0,2 第Ⅱ卷（非选择题 共60分）二、填空题（每题4分，满分16分，将答案填在答题纸上）11.已知长方体的长宽高分别为3,2,1，则该长方体外接球的表面积为 ．12.在平面直角坐标系xOy 中，若圆()2214x y +-=上存在,A B 两点关于点()1,2P 对称，则直线AB 的方程为 ．13.已知集合(){,A x y y ==，(){},B x y y x b ==+，若A B φ≠ ，则b 的取值范围是 ．14.在侧棱长为的正三棱锥S ABC -中，40ASB BSC CSA ∠=∠=∠=︒，过A 作截面AEF ，交SB 于E ，交SC 于F ，则截面AEF 周长的最小值为 ．三、解答题 （本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15. （本小题满分10分）如图，四棱锥P ABCD -中，PA ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为2的正方体，PA AD =，F 为PD 的中点.（1）求证：AF ⊥平面PDC ；（2）求直线AC 与平面PCD 所成角的大小.16. （本小题满分10分）已知直线()():211740l m x m y m +++--=，圆()()22:1125C x y -+-=. （1）求证：直线l 过定点；（2）当m 为何值时，直线l 被圆C 截得的弦最短.17. （本小题满分12分）已知A B 、两点的坐标为()()1,01,0-、，点P 到A B 、两点的距离比是一个常数()0a a >，求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.18. （本小题满分12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，平面PAD ⊥平面ABCD ，底面ABCD是一个梯形，且//AB DC ，PAD ∆是等边三角形，已知4,28AD BD AD CD ====.（1）设M是PC上的一点，证明：平面MBD⊥平面PAD；（2）求四棱锥P ABCD-的体积；（3）当M点位于线段PC什么位置时，//PA平面MBD？请证明你的结论.试卷答案一、选择题1-5: DCDAA 6-10: BACCD二、填空题11. 14π 12. 3x y += 13.⎡-⎣ 14. 6三、解答题15.（1）∵PA ⊥平面ABCD ∴PA CD ⊥∵正方形ABCD 中，CD AD ⊥PA AD A =∴CD ⊥平面PAD ∴CD AF ⊥∵PA AD =,FP FD =∴AF PD ⊥CD PD D = ∴AF ⊥平面PDC（2）连接CF由（1）可知CF 是在平面PCD 内的射影∴ACF ∠是AF 与平面PCD 所成的角∵AF ⊥平面PDC ∴AF FC ⊥在ACF ∆中，AC =,CF ==∴cos CF ACF AC ∠==∴30ACF ∠=︒AF 与平面PCD 所成的角为30°.16.（1）证明：把直线l 的方程整理成()()2740m x y x y +-++-=由于m 的任意性，有27040x y x y +-=⎧⎨+-=⎩，解此方程组，得31x y =⎧⎨=-⎩，所以直线l 恒过定点()3,1D ；（2）当直线l 与DC 垂直时，被截得的弦最短，此时，直线l 与DC 的斜率1l CD k k ⋅=-，由直线l 的方程得211l m k m +=-+，由点C D 、的坐标得211=132CD k -=-- ∴211112m m +⎛⎫⎛⎫-⋅-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，解得34m =-， 所以，当34m =-时，直线l 被圆C 截得的弦最短. 17.由PAa PB =a =两边同时平方并化简可得()()()222222112110a x a y a x a -+--++-=（1） 当1a =时，方程变为0x =，表示y 轴，是一条直线；当1a ≠时，（1）式两边同时除以()21a -可得：()222221101a x x y a ++-+=-配方后为：()22222221411a a x y a a ⎛⎫+-+= ⎪-⎝⎭- 表示以221,01a a ⎛⎫+ ⎪-⎝⎭为圆心，以221a a -为半径的圆 18.（1）平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD 平面ABCD AD = ∵222AD BD AB +=∴BD AD ⊥∴BD ⊥平面ABCD ∴平面MBD ⊥平面ABCD（2）易证PH ⊥平面ABCD ∴13P ABCD ABCD V S PH -=⨯∵PH =()1482ABCD S =+=∴24P ABCD V -= （3）当M 为PC 的三等分点，即2CM MP =时，结论成立.证明：连AC 交BD 于点O∵1//,2CD AB CD AB=∴12CO CMOA MP==∴//OM PA,PA⊄平面MBD，OM⊂平面MBD∴//PA平面MBD.。

绝密★启用前2016-2017学年甘肃省天水市第一中学高一上学期期末考试数学试卷注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、选择题1．如图，−111D1为正方体，下面结论错误的是（）A. B D//平面CB1D1B. AC1⊥B DC. AC1⊥平面CB1D1D. 异面直线A D与CB1所成的角为60°2．已知函数f(x)={2x,x≤1ln x,x>1，e为自然对数的底数，则f[f(e)]=（）A. 0B. 1C. 2D. e ln23．直线l1:k x+(1−k)y−3=0和l2:(k−1)x+(2k+3)y−2=0互相垂直，则k=（）A. 1B. -3C. −54D. -3或14．设m、n是两条不同的直线，α、β、γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是（）①若m⊥α,n⊥α，则m//n；②若α//β,β//γ,m⊥α，则m⊥γ；③若m//α,n//α，则m//n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β.A. ①②B. ②③C. ③④D. ①④5．已知点A(2,−3)，B(−3，−2)，直线l过点P(1,1)，且与线段A B相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A. k≥34或k≤−4 B. k≥34或k≤−14C. −4≤k≤34D. 34≤k≤46．如图所示，在空间直角坐标系中，D是坐标原点，有一棱长为a的正方体A B C D−A1B1C1D1，E和F分别是体对角线A1C和棱A B上的动点，则|E F|的最小值为（）A. 2aB. 22a C. a D. 12a7．A. 8−2π3B. 8−π3C. 8−2πD. 2π38．圆x2+2x+y2+4y−3=0上到直线x+y+1=0的距离为2的点共有（）A. 1个B. 2个C. 3 个D. 4个9．已知异面直线a与b所成角为60°，过空间内一定点P且与直线a、b所成角均为60°的直线有（）条A. 1B. 2C. 3D. 410．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在区间[0,+∞)上单调递增，若实数a满足3f(log2a)+f(log21a)≤2f(1)，则a的取值范围是（）A. (−∞,2]B. (0,12] C. [12,2] D. (0,2]第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题11．已知长方体的长宽高分别为3,2,1，则该长方体外接球的表面积为__________．12．在平面直角坐标系x O y中，若圆x2+(y−1)2=4上存在A，B两点关于点P(1,2)成中心对称，则直线A B的方程为.13．已知集合A={(x,y)|y=9−x2}，B={(x,y)|y=x+b}，若A∩B≠ϕ，则b的取值范围是__________．14．在侧棱长为23的正三棱锥S−A B C中，∠A S B=∠B S C=∠C S A=40°，过A作截面A E F，交S B于E，交S C于F，则截面A E F周长的最小值为__________．三、解答题15．如图，四棱锥P−A B C D中，P A⊥平面A B C D，底面A B C D是边长为2的正方形，P A=A D，F为P D的中点.（1）求证：A F⊥平面P D C；（2）求直线A C与平面P C D所成角的大小.16．已知直线l:(2m+1)x+(m+1)y−7m−4=0，圆C:(x−1)2+(y−2)2=25.（1）求证：直线l过定点；（2）当m为何值时，直线l被圆C截得的弦最短.17．已知A、B两点的坐标为(−1,0)、(1,0)，点P到A、B两点的距离比是一个常数a(a>0)，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形.18．如图，在四棱锥P−A B C D中，平面P A D⊥平面A B C D，底面A B C D是一个梯形，且A B//D C，ΔP A D是等边三角形，已知A D=4,B D=43,A B=2C D=8.（1）设M是P C上的一点，证明：平面M B D⊥平面P A D；（2）求四棱锥P−A B C D的体积；（3）当M点位于线段P C什么位置时，P A//平面M B D？请证明你的结论.参考答案1．D【解析】在正方体中B D与B1D1平行，因此有B D与平面CB1D1平行，A正确；AC1在平面A B C D内的射影A C垂直于B D，因此有AC1⊥B D，B正确；与B同理有AC1与B1D1,CB1垂直，从而AC1⊥平面CB1D1，C正确；由A D//B C知A D与CB1所成角为45°，D错．故选D．2．C【解析】由题意f(e)=ln e=1，∴f[f(e)]=f(1)=2，故选C．【点睛】对于分段函数求值问题，一般根据自变量的不同范围选取相应的解析式进行计算．如果已知分段函数值要求自变量的值，应根据函数的每一段的解析式分别求解，但应注意检验该值是否在相应的自变量的取值范围内．3．D【解析】由题意k(k−1)+(1−k)(2k+3)=0，解得k=1或k=−3．故选D.4．A【解析】①可以作为线面垂直的性质定理，①正确；②在α∥β，β∥γ时，有α∥γ，又m⊥α，得m⊥γ，②正确；③在m∥α,n∥α时，m,n可能相交，可能异面，也可能平行，③错误；④把门绕轴旋转，它在每一个位置都与地面垂直，但门所在的各个位置并不垂直，④错误，故选A．5．A【解析】由题意k P A=−3−12−1=−4，k P B=−2−1−3−1=34，又线段A B上点的横坐标x满足−3≤x≤2，因此直线l的斜率k满足k≤−4或k≥34．故选A．【点睛】直线与线段相交问题，可从两个方面解决：（1）从形着手，连接定点与线段两端点的直线是动直线的分界线，求出这两条直线的斜率，当直线在这两条直线间旋转时，如果不可能与x轴垂直，则所求斜率范围是刚求得的两斜率之间；如果有与x轴垂直的直线，则所求斜率范围是刚求得的两斜率之外．（2）可设直线方程为y−y0=k(x−x0)，记f(x,y)=k(x−x0)−(y−y0)，则由f(x1,y1)f(x2,y2)≤0可得k的范围.6．B【解析】题图所示的空间直角坐标系中，易得A(a,0,0)，B(a,a,0)，C(0,a,0)，A1(a,0,a)，则A1C=(−a,a,−a)，设A1E=λA1C(0≤λ≤1)，则E(a−aλ,aλ,a−aλ)，设F(a,t a,0)(0≤t≤1)，于是|E F|=(−−)+(aλ−t a)+(a−aλ)=a(λ−t)2+2(λ−12)2+12，显然当t=λ=12时，|E F|min=22a，故选B．7．A【解析】试题分析：几何体是一个立方体挖掉一个倒置的圆锥的图形，所以其体积就为：V柱体−V椎体=a b c−13sℎ=2×2×2−13π12×2=8−2π3。

2016-2017学年第一学期期末考试高一数学试卷第Ⅰ卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合{|(1)0}M x x x =-=，那么A.0M ∈B.1M ∉C.1M -∈D. 0M ∉ 2．角90o化为弧度等于 A.3π B. 2π C. 4π D. 6π3．函数y =A.(0,)+∞B. ),1(+∞C. [0,)+∞D. ),1[+∞4.下列函数中，在区间(,)2ππ上为增函数的是A. sin y x =B. cos y x =C. tan y x =D. tan y x =-5．已知函数0x f (x )cos x,x ≥=<⎪⎩，则[()]=3f f π-A.12cos B. 12cos -C. 2D. 2±6．为了得到函数y ＝sin(x ＋1)的图像，只需把函数y ＝sin x 的图像上所有的点A. 向左平行移动1个单位长度B. 向右平行移动1个单位长度C. 向左平行移动π个单位长度D. 向右平行移动π个单位长度7．设12log 3a =，0.21()3b =，132c =，则A.c b a << .B.a b c << .C.c a b <<D.b a c <<8．动点(),A x y 在圆221x y +=上绕坐标原点沿逆时针方向匀速旋转，12秒旋转一周．已知时间0t =时，点A 的坐标是1(,)22，则当012t ≤≤时，动点A 的纵坐标y 关于（单位：秒）的函数的单调递增区间是 A. []0,1B. []1,7C. []7,12D. []0,1和[]7,12第Ⅱ卷（非选择题 共110分）注意事项：1．用钢笔或圆珠笔将答案直接写在答题纸上． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把答案填在题中横线上． 9．若00<>ααcos ,sin ，则角α在第____________象限． 10．函数2()2f x x x =--的零点是____________． 11．sin11cos19cos11sin19+oooo的值是____________． 12．函数()21f x x =-在[0,2]x ∈上的值域为____________．13．已知函数)0,0)(sin()(πϕϕ<<>+=A x A x f 的最大值是1，其图象经过点1(,)32M π，则3()4f π= ____________．14．已知函数()f x 是定义在[3,0)(0,3]-U 上的奇函数， 当(0,3]x ∈时，()f x 的图象如图所示， 那么满足不等式()21x f x ≥- 的x 的取值范 围是____________．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分）已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,3,5}A =，{3,5,6}B =． （Ⅰ）求A B I ； （Ⅱ）求()U C A B U ．16．（本小题满分13分）求下列各式的值． （Ⅰ）11219()lg1002-+-；（Ⅱ）21113322(2)(6)a b a b -÷)3(6561b a -．17．（本题满分13分）已知2α3ππ<<，4sin 5α=-． （Ⅰ）求cos α的值； （Ⅱ）求sin 23tan αα+的值．已知二次函数2()1()f x ax x R =+∈的图象过点(1,3)A -． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）证明()f x 在)0,(-∞上是减函数．19．（本小题满分14分）（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①0S ∉，1S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-． （Ⅰ）若{2,2}S -⊆，求使元素个数最少的集合S ；（Ⅱ）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确．参考答案及评分标准一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分．9. 二； 10. 1,2-； 11. 12； 12. [1,3]-；13. 14. [3,2](0,1]--U ． 15．（本小题满分13分）已知集合{1,2,3,4,5,6}U =，{1,2,3,5}A =，{3,5,6}B =． （Ⅰ）求A B I ； （Ⅱ）求()U C A B U ．解：(Ⅰ) {3,5}A B =I ． ---------------------------------------------------5分 （Ⅱ）{4,6}U C A =，(){3,4,5,6}U C A B =U ．----------------------------------------------------13分求下列各式的值． （Ⅰ）11219()lg1002-+-；（Ⅱ）21113322(2)(6)a b a b -÷)3(6561b a -．（Ⅰ）解：原式=3+2-2 ------------------------------------------3分（每式1分）=3. ------------------------------------------------5分 （Ⅱ）解：原式=653121612132)]3()6(2[-+-+-÷-⨯ba--------------------11分（每式2分）=4a. -----------------------------------------------------------13分 17．（本题满分13分）已知2α3ππ<<，4sin 5α=-． （Ⅰ）求cos α的值； （Ⅱ）求sin 23tan αα+的值． 解：(Ⅰ)因为2α3ππ<<，4sin 5α=-， 故3cos 5α=-. -------------------------------------------------6分 （Ⅱ）sin sin 23tan 2sin cos 3cos αααααα+=+⨯. 4()4352()()3355()5-=⨯-⨯-+⨯-24425=-------------------------------------13分 18．（本小题满分14分）已知二次函数2()1()f x ax x R =+∈的图象过点(1,3)A -． （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）证明()f x 在)0,(-∞上是减函数．解：(Ⅰ)Q 二次函数2()1()f x ax x R =+∈的图象过点(1,3)A -.∴31)1(2=+-a 即2=a∴函数的解析式为2()21()f x x x R =+∈-----------------------------------------6分（Ⅱ）证明：设x 1,x 2是)0,(-∞上的任意两个不相等的实数, 且x 1<x 2则210x x x ∆=->222121()()21(21)y f x f x x x ∆=-=+-+=22212()x x -=21212()()x x x x -+Q )0,(,21-∞∈x x0,021<<∴x x 021<+∴x x又210x x x ∆=->0))((22112<+-∴x x x x即0<∆y∴函数f(x)在)0,(-∞上是减函数.--------- -----------14分19．（本小题满分14分）（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期及单调递增区间； （Ⅱ）求()f x 在区间解：（Ⅰ）因为2()cos cos f x x x x=+1cos 2222x x +=+112cos 2222x x =++1sin 262x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．所以函数的周期为22T π==π． 由()222262k x k k ππππ-≤+≤π+∈Z ，解得33k x k πππ-≤≤π+．所以()f x 的单调递增区间为()[,]33k k k πππ-π+∈Z ．------------- 6分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知()1sin 262f x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭． 因为63x ππ-≤≤，所以2666x ππ5π-≤+≤．所以1111sin 2122622x π⎛⎫-+≤++≤+ ⎪⎝⎭．即()302f x ≤≤． 故()f x 在区间[,]63ππ-上的最大值为32，最小值为0．---------------14分 20．（本小题满分13分）已知元素为实数的集合S 满足下列条件：①1，0S ∉；②若a S ∈，则11S a∈-． （Ⅰ）若{}2,2S -⊆，求使元素个数最少的集合S ；（Ⅱ）若非空集合S 为有限集，则你对集合S 的元素个数有何猜测？并请证明你的猜测正确． 解：（(Ⅰ)()111121211211212S S S S ∈⇒=-∈⇒=∈⇒=∈----；()11131221312321132S S S S -∈⇒=∈⇒=∈⇒=-∈----，∴使{}2,2S -⊂的元素个数最少的集合S 为1132,1,,2,,232⎧⎫--⎨⎬⎩⎭．-------------5分（Ⅱ）非空有限集S 的元素个数是3的倍数． 证明如下：⑴设,a S ∈则0,1a ≠且1111111111a a S S S a S a a a a a-∈⇒∈⇒=∈⇒=∈----- ()*假设11a a =-，则()2101a a a -+=≠。

2016-2017学年高一上学期期末数学试卷一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如果集合A={x|ax 2﹣2x ﹣1=0}只有一个元素则a 的值是（ ） A ．0B ．0或1C ．﹣1D ．0或﹣12．sin36°cos6°﹣sin54°cos84°等于（ ）A ．B ．C ．D ．3．若tan α=2，tan β=3，且α，β∈（0，），则α+β的值为（ ）A ．B ．C ．D ．4．已知sin α+cos α=（0＜α＜π），则tan α=（ ）A ．B ．C ．D ．或5．设a=sin ，b=cos，c=tan，则（ ）A ．b ＜a ＜cB ．b ＜c ＜aC ．a ＜b ＜cD ．a ＜c ＜b6．已知x ∈[0，1]，则函数的值域是（ ）A ．B ．C ．D ．7．若，则=（ ）A ．B ．C ．﹣D ．8．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x 0，0）成中心对称，，则x 0=（ ）A ．B ．C ．D ．9．已知函数f （x ）=的值域为R ，则实数a 的范围是（ ）A ．[﹣1，1]B ．（﹣1，1]C ．（﹣1，+∞）D ．（﹣∞，﹣1）10．将函数y=3sin （2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（ ）A ．在区间（，）上单调递减 B ．在区间（，）上单调递增C．在区间（﹣，）上单调递减D．在区间（﹣，）上单调递增11．函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（）A．[1，2] B．[，3] C．[2，] D．[1，]12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（2，3）B．C．D．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸上）13．已知则= ．14． = ．15．已知，试求y=[f（x）]2+f（x2）的值域．16．设f（x）=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则以下结论正确的是（写出所有正确结论的编号）．①；②|≥|；③f（x）的单调递增区间是（kπ+，kπ+）（k∈Z）；④f（x）既不是奇函数也不是偶函数．二、解答题17．若，，，则= ．18．已知函数f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断并证明函数y=f （x ）在区间（﹣1，+∞）上的单调性．19．已知函数f （x ）=2﹣3（ω＞0）（1）若是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若g （x ）=f （3x ）在上是增函数，求ω的最大值．20．已知函数f （x ）=2x 2﹣3x+1，，（A ≠0）（1）当0≤x ≤时，求y=f （sinx ）的最大值；（2）若对任意的x 1∈[0，3]，总存在x 2∈[0，3]，使f （x 1）=g （x 2）成立，求实数A 的取值范围；（3）问a 取何值时，方程f （sinx ）=a ﹣sinx 在[0，2π）上有两解？[附加题]（共1小题，满分10分）21．已知函数f （x ）=（1）求函数f （x ）的零点；（2）若实数t 满足f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2），求f （t ）的取值范围．2016-2017学年高一上学期期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）1．如果集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素则a的值是（）A．0 B．0或1 C．﹣1 D．0或﹣1【考点】元素与集合关系的判断．【分析】根据集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一个根，然后分a=0和a≠0两种情况讨论，求出a的值即可．【解答】解：根据集合A={x|ax2﹣2x﹣1=0}只有一个元素，可得方程ax2﹣2x﹣1=0只有一个根，①a=0，，满足题意；②a≠0时，则应满足△=0，即22﹣4a×（﹣1）=4a+4=0解得a=﹣1．所以a=0或a=﹣1．故选：D．2．sin36°cos6°﹣sin54°cos84°等于（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正弦函数．【分析】利用诱导公式与两角差的正弦即可求得答案．【解答】解：∵36°+54°=90°，6°+84°=90°，∴sin36°cos6°﹣sin54°cos84°=sin36°cos6°﹣cos36°sin6°=sin（36°﹣6°）=sin30°=，故选A．3．若tanα=2，tanβ=3，且α，β∈（0，），则α+β的值为（）A．B．C．D．【考点】两角和与差的正切函数．【分析】由条件求得α+β的范围，再结合tan（α+β）=的值，可得α+β的值．【解答】解：∵tanα=2，tanβ=3，且α，β∈（0，），则α+β∈（0，π），再根据tan（α+β）===﹣1，∴α+β=．故选：C．4．已知sinα+cosα=（0＜α＜π），则tanα=（）A．B．C．D．或【考点】同角三角函数间的基本关系．【分析】已知等式两边平方，利用同角三角函数间的基本关系化简，求出2sinαcosα的值小于0，得到sinα＞0，cosα＜0，再利用完全平方公式及同角三角函数间的基本关系求出sinα与cosα的值，即可求出tanα的值．【解答】解：将已知等式sinα+cosα=①两边平方得：（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+2sinαcosα=，∴2sinαcosα=﹣＜0，∵0＜α＜π，∴sinα＞0，cosα＜0，即sinα﹣cosα＞0，∴（sinα﹣cosα）2=1﹣2sinαcosα=，∴sinα﹣cosα=②，联立①②，解得：sinα=，cosα=﹣，则tanα=﹣．故选B5．设a=sin，b=cos，c=tan，则（）A．b＜a＜c B．b＜c＜a C．a＜b＜c D．a＜c＜b【考点】三角函数线．【分析】利用三角函数的诱导公式，结合三角函数的单调性进行比较即可．【解答】解：sin=cos（﹣）=cos（﹣）=cos，而函数y=cosx在（0，π）上为减函数，则1＞cos＞cos＞0，即0＜b＜a＜1，tan＞tan=1，即b＜a＜c，故选：A6．已知x∈[0，1]，则函数的值域是（）A．B．C．D．【考点】函数单调性的性质；函数的值域．【分析】根据幂函数和复合函数的单调性的判定方法可知该函数是增函数，根据函数的单调性可以求得函数的值域．【解答】解：∵函数y=在[0，1]单调递增（幂函数的单调性），y=﹣在[0，1]单调递增，（复合函数单调性，同增异减）∴函数y=﹣在[0，1]单调递增，∴≤y≤，函数的值域为[，]．故选C．7．若，则=（）A．B．C．﹣D．【考点】三角函数的化简求值．【分析】利用诱导公式、二倍角的余弦公式，求得要求式子的值．【解答】解：∵=cos（﹣α），则=2﹣1=2×﹣1=﹣，故选：C．8．若函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为，且该函数图象关于点（x，0）成中心对称，，则x=（）A．B．C．D．【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象的对称性，得出结论．【解答】解：∵函数图象的两条相邻的对称轴之间的距离为==，∴ω=2，∴f（x）=sin（2x+）．令2x+=kπ，k∈Z，求得x=kπ﹣，故该函数的图象的对称中心为（kπ﹣，0 ），k∈Z．根据该函数图象关于点（x，0）成中心对称，结合，则x=，故选：B．9．已知函数f（x）=的值域为R，则实数a的范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣1，1] C．（﹣1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）【考点】分段函数的应用．【分析】利用函数的单调性，函数的值域列出不等式组求解即可．【解答】解：函数f（x）=，当x≥3时，函数是增函数，所以x＜3时，函数也是增函数，可得：，解得a＞﹣1．故选：C．10．将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数（）A．在区间（，）上单调递减B．在区间（，）上单调递增C．在区间（﹣，）上单调递减D．在区间（﹣，）上单调递增【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．【分析】根据左加右减上加下减的原则，即可直接求出将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数的解析式，进而利用正弦函数的单调性即可求解．【解答】解：将函数y=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度，所得函数的解析式：y=3sin[2（x﹣）+]=3sin（2x﹣）．令2kπ﹣＜2x﹣＜2kπ+，k∈Z，可得：kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，可得：当k=0时，对应的函数y=3sin（2x﹣）的单调递增区间为：（，）．故选：B．11．函数f（x）=|sinx|+2|cosx|的值域为（）A．[1，2] B．[，3] C．[2，] D．[1，]【考点】三角函数值的符号；函数的值域．【分析】先将函数y=|sinx|+2|cosx|的值域⇔当x∈[0，]时，y=sinx+2cosx的值域，利用两角和与差的正弦函数化简，由正弦函数的性质求出函数的值域．【解答】解：∵函数y=|sinx|+2|cosx|的值域⇔当x∈[0，]时，y=sinx+2cosx的值域，∴y=sinx+2cosx=（其中θ是锐角，、），由x∈[0，]得，x+θ∈[θ， +θ]，所以cosθ≤sin（x+θ）≤1，即≤sin（x+θ）≤1，所以，则函数y=|sinx|+2|cosx|的值域是[1，]，故选：D．12．设f（x）是定义在R上的偶函数，对x∈R，都有f（x﹣2）=f（x+2），且当x∈[﹣2，0]（x+2）=0（a＞1）时，f（x）=（）x﹣1，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（）A．（2，3）B．C．D．【考点】函数奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．【分析】根据题意f（x﹣2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），周期T=4，且是偶函数，当x（x+2）∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，可以做出在区间（﹣2，6]的图象，方程f（x）﹣loga（x+2）的图象恰有3个不同的=0（a＞1）恰有3个不同的实数根，即f（x）的图象与y=loga交点．可得答案．【解答】解：由题意f（x﹣2）=f（x+2），可得f（x+4）=f（x），周期T=4，当x∈[﹣2，0]时，f（x）=（）x﹣1，∴可得（﹣2，6]的图象如下：从图可看出，要使f（x）的图象与y=log（x+2）的图象恰有3个不同的交点，a则需满足，解得：．故选C．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，请将答案填在答题纸上）13．已知则= 0 ．【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值．【分析】因为，所以可以直接求出：，对于，用表达式的定义得，从而得出要求的答案．【解答】解：∵∴而=∴故答案为：014． = ﹣4．【考点】三角函数的化简求值．【分析】切化弦后通分，利用二倍角的正弦与两角差的正弦即可化简求值．【解答】解：原式====﹣4．故答案为：﹣4．15．已知，试求y=[f（x）]2+f（x2）的值域[1，13] ．【考点】函数的值域．【分析】根据，求出y=[f（x）]2+f（x2）的定义域，利用换元法求解值域．【解答】解：由题意，，则f（x2）的定义域为[，2]，故得函数y=[f（x）]2+f（x2）的定义域为[，2]．∴y=（2+log2x）2+2+2log2x．令log2x=t，（﹣1≤t≤1）．则y=（2+t）2+2t+2=t2+6t+6．开口向上，对称轴t=﹣3．∴当t=﹣1时，y取得最小值为1．当t=1时，y取得最大值为13，故得函数y的值域为[1，13]．故答案为[1，13]．16．设f（x）=asin 2x+bcos 2x，其中a，b∈R，ab≠0．若f（x）≤|f（）|对一切x∈R 恒成立，则以下结论正确的是①②④（写出所有正确结论的编号）．①；②|≥|；③f（x）的单调递增区间是（kπ+，kπ+）（k∈Z）；④f（x）既不是奇函数也不是偶函数．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】利用辅助角公式化简f（x），根据f（x）≤|f（）|可得，a，b的值．然后对个结论依次判断即可．【解答】解：由f（x）=asin 2x+bcos 2x=sin（2x+φ）．∵f（x）≤|f（）|对一切x∈R恒成立∴当x=时，函数取得最大值，即2×+φ=，解得：φ=．故得f（x）=sin（2x+）．则f（）=sin（2×+）=0，∴①对．②f（）=sin（2×+）=f（）=sin（2×+）=，∴|≥|，∴②对．由2x+，（k∈Z）解得： +kπ≤x≤+kπ，（k∈Z）∴f（x）的单调递增区间是（kπ，kπ+）（k∈Z）；∴③不对f（x）的对称轴2x+=+kπ，（k∈Z）；∴③解得：x=kπ+，不是偶函数，当x=0时，f（0）=，不关于（0，0）对称，∴f（x）既不是奇函数也不是偶函数．故答案为①②④．二、解答题17．若，，，则=．【考点】角的变换、收缩变换；同角三角函数间的基本关系；两角和与差的余弦函数．【分析】根据条件确定角的范围，利用平方关系求出相应角的正弦，根据=，可求的值．【解答】解：∵∴∵，∴，∴===故答案为：18．已知函数f（x）=ax﹣（a，b∈N*），f（1）=且f（2）＜2．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）判断并证明函数y=f（x）在区间（﹣1，+∞）上的单调性．【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】（Ⅰ）由，，，从而求出b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，得函数在（﹣1，+∞）单调递增．从而有f（x1）﹣f（x2）=，进而，故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．【解答】解：（Ⅰ）∵，，由，∴，又∵a，b∈N*，∴b=1，a=1；（Ⅱ）由（1）得，函数在（﹣1，+∞）单调递增．证明：任取x1，x2且﹣1＜x1＜x2，=，∵﹣1＜x1＜x2，∴，∴，即f（x1）＜f（x2），故函数在（﹣1，+∞）上单调递增．19．已知函数f（x）=2﹣3（ω＞0）（1）若是最小正周期为π的偶函数，求ω和θ的值；（2）若g（x）=f（3x）在上是增函数，求ω的最大值．【考点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的图象．【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式基本公式将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，利用周期公式ω，根据偶函数的性质，求θ的值．（2）根据g（x）=f（3x）求出g（x）的解析式，g（x）在上是增函数，可得，即可求解ω的最大值．【解答】解：（1）由=2（ω＞0）∵又∵y=f（x+θ）是最小正周期为π的偶函数，∴，即ω=2，且，解得：∵，∴当l=0时，．故得为所求；（2）g（x）=f（3x），即g（x）=2（ω＞0）∵g（x）在上是增函数，∴，∵ω＞0，∴，故得，于是k=0，∴，即ω的最大值为，此时．故得ω的最大值为．20．已知函数f（x）=2x2﹣3x+1，，（A≠0）（1）当0≤x≤时，求y=f（sinx）的最大值；（2）若对任意的x1∈[0，3]，总存在x2∈[0，3]，使f（x1）=g（x2）成立，求实数A的取值范围；（3）问a取何值时，方程f（sinx）=a﹣sinx在[0，2π）上有两解？【考点】三角函数的最值；二次函数的性质；正弦函数的图象．【分析】（1）由已知可得，y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1设t=sinx，由x可得0≤t≤1，从而可得关于 t的函数，结合二次函数的性质可求（2）依据题意有f（x1）的值域是g（x2）值域的子集，要求 A的取值范围，可先求f（x1）值域，然后分①当A＞0时，g（x2）值域②当A＜0时，g（x2）值域，建立关于 A的不等式可求A的范围．（3）2sin2x﹣3sinx+1=a﹣sinx化为2sin2x﹣2sinx+1=a在[0，2π]上有两解令t=sinx则2t2﹣2t+1=a在[﹣1，1]上解的情况可结合两函数图象的交点情况讨论．【解答】解：（1）y=f（sinx）=2sin2x﹣3sinx+1设t=sinx，x，则0≤t≤1∴∴当t=0时，y max =1（2）当x 1∈[0，3]∴f （x 1）值域为当x 2∈[0，3]时，则有①当A ＞0时，g （x 2）值域为②当A ＜0时，g （x 2）值域为而依据题意有f （x 1）的值域是g （x 2）值域的子集则或∴A ≥10或A ≤﹣20（3）2sin 2x ﹣3sinx+1=a ﹣sinx 化为2sin 2x ﹣2sinx+1=a 在[0，2π]上有两解 换t=sinx 则2t 2﹣2t+1=a 在[﹣1，1]上解的情况如下：①当在（﹣1，1）上只有一个解或相等解，x 有两解（5﹣a ）（1﹣a ）≤0或△=0∴a ∈[1，5]或②当t=﹣1时，x 有惟一解③当t=1时，x 有惟一解故a ∈（1，5）∪{}．[附加题]（共1小题，满分10分）21．已知函数f （x ）=（1）求函数f （x ）的零点；（2）若实数t 满足f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2），求f （t ）的取值范围．【考点】分段函数的应用；函数零点的判定定理．【分析】（1）分类讨论，函数对应方程根的个数，综合讨论结果，可得答案．（2）分析函数的奇偶性和单调性，进而可将不等式化为|log 2t|＜2，解得f （t ）的取值范围．【解答】解：（1）当x ＜0时，解得：x=ln =﹣ln3，当x ≥0时，解得：x=ln3，故函数f （x ）的零点为±ln3； （2）当x ＞0时，﹣x ＜0，此时f （﹣x ）﹣f （x ）===0，故函数f （x ）为偶函数，又∵x ≥0时，f （x ）=为增函数，∴f （log 2t ）+f （log 2）＜2f （2）时，2f （log 2t ）＜2f （2）， 即|log 2t|＜2， ﹣2＜log 2t ＜2，∴t ∈（，4）故f （t ）∈（，）。

2016-2017学年甘肃省白银市会宁四中高一（上）期末数学试卷一．选择题（共12小题，每小题5分，总分60分）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A⊆B D．B⊆A2．有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A．12π cm2 B．15π cm2C．24π cm2D．36π cm23．直线x=的倾斜角是（）A．0°B．60°C．90°D．120°4．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为（）A．B．5 C．D．25．下列说法正确的是（）A．一条直线和x轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角B．直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤α≤180°C．任何一条直线都有斜率D．任何一条直线都有倾斜角6．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（）A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定7．已知球的表面积为64π，则它的体积为（）A．16πB．πC．36πD．π8．如图，点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则异面直线B1D1和MN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．点P（﹣1，2）到直线3x﹣4y+12=0的距离为（）A．5 B．C．1 D．210．如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且==，则（）A．EF与GH互相平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上11．过点A（m，1），B（﹣1，m）的直线与过点P（1，2），Q（﹣5，0）的直线垂直，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．12．已知A（2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l过定点P（1，1），且与线段AB 相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≤﹣4或D．以上都不对二．填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）13．已知直线l过点A（3，0），B（0，4），则直线l的方程为．14．直线2x+3y﹣8=0与直线2x+3y+18=0之间的距离为．15．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=，BC=2，CD=，则球O的表面积为．16．如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：①异面直线A1B1与CD1所成的角为45°；②D1C⊥AC1；③在棱DC上存在一点E，使D1E∥平面A1BD，这个点为DC的中点；④在棱AA1上不存在点F，使三棱锥F﹣BCD的体积为直四棱柱体积的．其中正确的有．三．解答题（共6小题，第17题10分，18-22题各12分，总分70分）17．一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm）：（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．18．已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角的大小是60°．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．19．已知直线l1：3x﹣y﹣1=0，l2：x+y﹣3=0，求：（1）直线l1与l2的交点P的坐标；（2）过点P且与l1垂直的直线方程．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：平面ACC1A1⊥平面A1BD．21．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．22．如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它侧面都是侧棱长为的等腰三角形，试画出二面角V﹣AB﹣C的平面角，并求出它的度数．2016-2017学年甘肃省白银市会宁四中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题，每小题5分，总分60分）1．已知集合A={1，2，3}，B={2，3}，则（）A．A=B B．A∩B=∅C．A⊆B D．B⊆A【考点】子集与真子集．【分析】直接根据子集的定义，得出B⊆A，且A∩B={2，3}=A≠∅，能得出正确选项为D．【解答】解：因为A={1，2，3}，B={2，3}，显然，A≠B且B⊆A，根据集合交集的定义得，A∩B={2，3}=A，所以，A∩B≠∅，故答案为：D．2．有一个几何体的三视图及其尺寸如图（单位：cm），则该几何体的表面积为（）A．12π cm2 B．15π cm2C．24π cm2D．36π cm2【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由已知中的三视图可以分析出该几何体的母线长及底面直径，进而求出底面半径，代入圆锥表面积公式，可得该几何体的表面积【解答】解：由已知中的三视图可得该几何体是一个底面直径为6，母线长l=5的圆锥则底面半径r=3，底面面积S底=πr2=9π侧面面积S侧=πrl=15π故该几何体的表面积S=S底+S侧=24π故选C3．直线x=的倾斜角是（）A．0°B．60°C．90°D．120°【考点】直线的倾斜角．【分析】直接通过直线方程，求出直线的倾斜角即可．【解答】解：因为直线方程为x=，直线与x轴垂直，所以直线的倾斜角为90°．故选：C．4．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′=3，B′C′=2，则AB边上的中线的实际长度为（）A．B．5 C．D．2【考点】斜二测法画直观图．【分析】由已知中直观图中线段的长，可分析出△ABC实际为一个直角边长分别为3，4的直角三角形，进而根据勾股定理求出斜边，结合直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得答案．【解答】解：∵直观图中A′C′=3，B′C′=2，∴Rt△ABC中，AC=3，BC=4由勾股定理可得AB=5则AB边上的中线的实际长度为故选：A5．下列说法正确的是（）A．一条直线和x轴的正方向所成的角叫该直线的倾斜角B．直线的倾斜角α的取值范围是：0°≤α≤180°C．任何一条直线都有斜率D．任何一条直线都有倾斜角【考点】直线的倾斜角．【分析】直接由直线的倾斜角的概念和范围判断A，B，由特殊角判断C，则答案可求．【解答】解：对于A：一条直线向上的方向与x轴的正方向所成的角叫做直线的倾斜角，故A不正确；对于B：直线倾斜角的范围是0°≤α＜180°，故B不正确；对于C：倾斜角为90°的直线没有斜率，故C不正确；对于D：任何一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率，故D正确．6．空间不共线的四点，可以确定平面的个数是（）A．0 B．1 C．1或4 D．无法确定【考点】平面的基本性质及推论．【分析】若有三点共线，则可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则可以确定平面的个数是=4．【解答】解：若有三点共线，则由直线与直线外一点确定一个平面，得：不共线的四点，可以确定平面的个数为1个；若任意三点均不共线，则空间不共线的四点，可以确定平面的个数是=4．∴空间不共线的四点，可以确定平面的个数是1或4个．故选：C．7．已知球的表面积为64π，则它的体积为（）A．16πB．πC．36πD．π【考点】球的体积和表面积．【分析】根据球的表面积公式求出球的半径，然后计算球的体积即可．【解答】解：设球的半径为r，∵球的表面积为64π，∴4πr2=64π，即r2=16，解得r=4，∴球的体积为=．故选B．8．如图，点M，N分别是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BC，CC1的中点，则异面直线B1D1和MN所成的角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线B1D1和MN所成的角．【解答】解：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，则B1（2，2，2），D1（0，0，2），M（1，2，0），N（0，2，1），=（﹣2，﹣2，0），=（﹣1，0，1），设异面直线B1D1和MN所成的角为θ，则cosθ===，∴θ=60°．∴异面直线B1D1和MN所成的角是60°．故选：C．9．点P（﹣1，2）到直线3x﹣4y+12=0的距离为（）A．5 B．C．1 D．2【考点】点到直线的距离公式．【分析】利用点到直线的距离公式即可得出．【解答】解：点P（﹣1，2）到直线3x﹣4y+12=0的距离d==．故选：B．10．如图，在空间四边形ABCD中，点E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD上的点，且==，则（）A．EF与GH互相平行B．EF与GH异面C．EF与GH的交点M可能在直线AC上，也可能不在直线AC上D．EF与GH的交点M一定在直线AC上【考点】平面的基本性质及推论．【分析】利用三角形的中位线平行于第三边；平行线分线段成比例定理，得到FG、EH都平行于BD，利用平行线的传递性得到GF∥EH，再利用分别在两个平面内的点在两个平面的交线上，得证．【解答】证明：因为F、G分别是边BC、CD上的点，且==，所以GF∥BD，并且GF=BD，因为点E、H分别是边AB、AD的中点，所以EH∥BD，并且EH=BD，所以EH∥GF，并且EH≠GF，所以EF与GH相交，设其交点为M，所以M∈面ABC内，同理M∈面ACD，又∵面ABC∩面DAC=AC∴M在直线AC上．故选D．11．过点A（m，1），B（﹣1，m）的直线与过点P（1，2），Q（﹣5，0）的直线垂直，则m的值为（）A．﹣2 B．2 C．D．【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系．【分析】利用斜率乘积为﹣1，求出m的值即可．【解答】解：两条直线垂直，则：=﹣3，解得m=﹣2，故选：A．12．已知A（2，﹣3），B （﹣3，﹣2），直线l过定点P（1，1），且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（）A．B．C．k≤﹣4或D．以上都不对【考点】恒过定点的直线．【分析】画出图形，由题意得所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，用直线的斜率公式求出k PB和k PA的值，解不等式求出直线l的斜率k的取值范围．【解答】解：如图所示：由题意得，所求直线l的斜率k满足k≥k PB或k≤k PA，即k≥=，或k≤=﹣4，∴k≥，或k≤﹣4，故选：C．二．填空题（共4小题，每小题5分，总分20分）13．已知直线l过点A（3，0），B（0，4），则直线l的方程为4x+3y﹣12=0．【考点】直线的两点式方程．【分析】由直线l过点A（3，0），B（0，4），利用直线的两点式方程能够求出直线l的方程．【解答】解：∵直线l过点A（3，0），B（0，4），∴直线l的方程是：=，整理，得4x+3y﹣12=0．故答案为：4x+3y﹣12=0．14．直线2x+3y﹣8=0与直线2x+3y+18=0之间的距离为．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】利用平行线之间的距离公式即可得出．【解答】解：直线2x+3y﹣8=0与直线2x+3y+18=0之间的距离d==2．故答案为：2．15．已知三棱锥A﹣BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BC⊥CD，且AC=，BC=2，CD=，则球O的表面积为12π．【考点】球的体积和表面积．【分析】证明BC⊥平面ACD，三棱锥S﹣ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，求出球的半径，即可求出球O的表面积．【解答】解：由题意，AC⊥平面BCD，BC⊂平面BCD，∴AC⊥BC，∵BC⊥CD，AC∩CD=C，∴BC⊥平面ACD，∴三棱锥S﹣ABC可以扩充为以AC，BC，DC为棱的长方体，外接球的直径为体对角线，∴4R2=AC2+BC2+CD2=12，∴R=，∴球O的表面积为4πR2=12π．故答案为12π．16．如图，在直四棱柱（侧棱与底面垂直的四棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC，给出以下结论：①异面直线A1B1与CD1所成的角为45°；②D 1C ⊥AC 1；③在棱DC 上存在一点E ，使D 1E ∥平面A 1BD ，这个点为DC 的中点；④在棱AA 1上不存在点F ，使三棱锥F ﹣BCD 的体积为直 四棱柱体积的． 其中正确的有 ①②③ ．【考点】命题的真假判断与应用．【分析】直接利用已知条件推出异面直线所成的角判断①的正误；通过直线与平面的直线关系判断②的正误；通过直线与平面的平行判断③的正误；几何体的体积判断④的正误即可【解答】解：①由题意可知DC=DD 1=2AD=2AB ，AD ⊥DC ，AB ∥DC ，所以△DD 1C 1是等腰直角三角形，A 1B 1∥C 1D 1，异面直线A 1B 1与CD 1所成的角为45°，所以①正确．②由题意可知，AD ⊥平面DD 1C 1C ，四边形DD 1C 1C 是正方形，所以D 1C ⊥DC 1， 可得D 1C ⊥AC 1；所以②正确；③在棱DC 上存在一点E ，使D 1E ∥平面A 1BD ，这个点为DC 的中点，因为：DC=DD 1=2AD=2AB ，如图HG ∥D 1E 且HG=D 1E ，所以E 为中点，所以③正确．④设AB=1，则棱柱的体积为： （1+2）×1×1=，当F 在A 1时，A 1﹣BCD 的体积为：××1×2×1=，显然体积比为＞，所以在棱AA1上存在点F，使三棱锥F﹣BCD的体积为直四棱柱体积的，所以④不正确．正确结果有①②③．故答案为：①②③．三．解答题（共6小题，第17题10分，18-22题各12分，总分70分）17．一个几何体的三视图如图所示（单位长度为：cm）：（1）求该几何体的体积；（2）求该几何体的表面积．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】（1）几何体是正四棱锥与正方体的组合体，根据三视图判断正方体的棱长及正四棱锥的高，代入棱锥与正方体的体积公式计算；（2）利用勾股定理求出正四棱锥侧面上的斜高，代入棱锥的侧面积公式与正方体的表面积公式计算．【解答】解：（1）由三视图知：几何体是正四棱锥与正方体的组合体，其中正方体的棱长为4，正四棱锥的高为2，∴几何体的体积V=43+×42×2=；（2）正四棱锥侧面上的斜高为2，∴几何体的表面积S=5×42+4××4×=．18．已知直线l经过点（0，﹣2），其倾斜角的大小是60°．（1）求直线l的方程；（2）求直线l与两坐标轴围成三角形的面积．【考点】直线的一般式方程．【分析】（1）由已知中直线l的倾斜角可得其斜率，再由直线l经过点（0，﹣2），可得直线的点斜式方程，化为一般式可得答案．（2）由（1）中直线l的方程，可得直线在两坐标轴上的截距，代入三角形面积公式可得答案．【解答】解：（1）因为直线l的倾斜角的大小为60°，故其斜率为，又直线l经过点（0，﹣2），所以其方程为y﹣（﹣2）=x即．…（2）由直线l的方程知它在x轴、y轴上的截距分别是、﹣2，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积．…19．已知直线l1：3x﹣y﹣1=0，l2：x+y﹣3=0，求：（1）直线l1与l2的交点P的坐标；（2）过点P且与l1垂直的直线方程．【考点】两条直线的交点坐标；直线的点斜式方程．【分析】（1）直线l1与l2的交点P的坐标，就是两直线方程组成的方程组的解．（2）根据垂直关系求出所求直线的斜率，点斜式写出所求直线的方程，并把它化为一般式．【解答】（1）解方程组，得，所以，交点P（1，2）．（2）l1的斜率为3，故所求直线为，即为x+3y﹣7=0．20．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，求证：平面ACC1A1⊥平面A1BD．【考点】平面与平面垂直的判定．【分析】欲证平面ACC1A1⊥平面A1BD，根据面面垂直的判定定理可知在平面A1BD 内一直线与平面ACC1A1垂直，而根据线面垂直的判定定理可得BD⊥平面ACC1A1．【解答】证明：∵正方体中AA1⊥平面ABCD∴BD⊥AC，BD⊥A1A，AC∩A1A=A∴BD⊥平面ACC1A1而BD⊂平面A1BD∴平面ACC1A1⊥平面A1BD．21．如图，已知四棱锥P﹣ABCD，PD⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，M、N分别为PB、PC的中点．（Ⅰ）证明：MN∥平面PAD；（Ⅱ）若PA与平面ABCD所成的角为45°，求四棱锥P﹣ABCD的体积V．【考点】棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的判定．【分析】（I）由中位线定理得出MN∥BC，由MN∥AD，故MN∥AD，得出MN ∥平面PAD；（II）由∠PAD=45°得出PD=AD，于是棱锥体积V=．【解答】（Ⅰ）证明：∵M、N分别是棱PB、PC中点，又ABCD是正方形，∵AD∥BC，∴MN∥AD．∵MN⊄平面PAD，AD⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD．（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，∴PA与平面ABCD所成的角为∠PAD，∴∠PAD=45°．∴PD=AD=2，故四棱锥P﹣ABCD的体积V==．22．如图，四棱锥V﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，其它侧面都是侧棱长为的等腰三角形，试画出二面角V﹣AB﹣C的平面角，并求出它的度数．【考点】二面角的平面角及求法．【分析】因为侧面VAB为等腰三角形，故取AB的中的E有VE⊥AB，因为底面ABCD是边长为2的正方形，取CD的中点F，则EF⊥AB，所以∠VEF为二面角V ﹣AB﹣C的平面角，再解△VEF即可．【解答】解：取AB、CD的中点E、F，连接VE、EF、VF∵VA=VB=∴△VAB为等腰三角形，∴VE⊥AB，又∵ABCD是正方形，则BC⊥AB，∵EF∥BC，∴EF⊥AB，∴∠VEF为二面角V﹣AB﹣C的平面角，∵△VAB≌△VDC，∴VE=VF=2，EF=BC=2，∴△VEF为等边三角形，∴∠VEF=60°，即二面角V﹣AB﹣C为60°．2017年2月22日。

2016-2017学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120° D．150°2．长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．75π3．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n D．若l⊥m，l⊥n，则n∥m4．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（）A．2+B．C．D．1+5．直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线x+2y=0平行，直线l的方程为（）A．2x﹣y=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．x+2y﹣3=0 D．x+2y﹣5=06．圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2+8y+12=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切7．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心8．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°9．由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．310．如图，点E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）A．B．C．D．11．如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台12．若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是．14．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．15．已知线段AB的端点B的坐标是（8，6），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为．16．自点（﹣3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线L所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，则反射光线L所在直线方程为．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（Ⅰ）A1C∥平面BDE；（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．18．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0，AC 边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3=0．（1）求直线AB的方程，并把它化为一般式；（2）求直线BC的方程，并把它化为一般式．19．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并说明理由；（2）证明：直线l⊥平面ADD1A1．20．圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m ∈R）．（1）证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且PB=PC=．（Ⅰ）求证：AB⊥CP；（Ⅱ）求点B到平面PAD的距离；（Ⅲ）设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角A﹣l﹣B的大小．22．圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0（1）若圆M的切线在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，求切线的方程；（2）从圆外一点P（a，b），向该圆引切线PA，切点为A，且PA=PO，O为坐标原点，求证：以PM为直径的圆过异于M的定点，并求该定点的坐标．2016-2017学年甘肃省嘉峪关市酒钢三中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）1．直线l：x+y+3=0的倾斜角α为（）A．30°B．60°C．120° D．150°【考点】直线的倾斜角．【分析】由题意可得，直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α的值．【解答】解：由于直线l：x+y+3=0的倾斜角为α，则直线的斜率tanα=﹣，再由0°≤α＜180°，可得α=120°，故选C．2．长方体的一个顶点上三条棱长分别为3、4、5，且它的8个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（）A．25πB．50πC．125πD．75π【考点】球的体积和表面积．【分析】由题意长方体的外接球的直径就是长方体的对角线，求出长方体的对角线，就是求出球的直径，然后求出球的表面积．【解答】解：长方体的一个顶点上的三条棱长分别是3，4，5，且它的8个顶点都在同一个球面上，所以长方体的对角线就是球的直径，长方体的对角线为：=5，所以球的半径为：；则这个球的表面积是：=50π．故选：B．3．设α是空间中的一个平面，l，m，n是三条不同的直线，则下列命题中正确的是（）A．若m⊂α，n⊂α，l⊥m，l⊥n，则l⊥αB．若m⊂α，n⊥α，l⊥n，则l∥m C．若l∥m，m⊥α，n⊥α，则l∥n D．若l⊥m，l⊥n，则n∥m【考点】空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系．【分析】A、根据线面垂直的判定，可判断；B、选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能；C、由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l ∥n；D、n、m平行、相交、异面均有可能．【解答】解：对于A，根据线面垂直的判定，当m，n相交时，结论成立，故A 不正确；对于B，m⊂α，n⊥α，则n⊥m，∵l⊥n，∴可以选用正方体模型，可得l，m平行、相交、异面都有可能，如图所示，故B不正确；对于C，由垂直于同一平面的两直线平行得m∥n，再根据平行线的传递性，即可得l∥n，故C正确；对于D，l⊥m，l⊥n，则n、m平行、相交、异面均有可能，故D不正确故选C．4．如图是一个水平放置的直观图，它是一个底角为45°，腰和上底均为1的等腰梯形，那么原平面图形的面积为（）A．2+B．C．D．1+【考点】平面图形的直观图．【分析】根据斜二侧画法画平面图形的直观图的步骤，判断平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，再求出下底边长，代入梯形的面积公式计算．【解答】解：∵平面图形的直观图是一个底角为45°，腰和上底长均为1的等腰梯形，∴平面图形为直角梯形，且直角腰长为2，上底边长为1，∴梯形的下底边长为1+，∴平面图形的面积S=×2=2+．故选：A．5．直线l将圆x2+y2﹣2x﹣4y=0平分，且与直线x+2y=0平行，直线l的方程为（）A．2x﹣y=0 B．2x﹣y﹣2=0 C．x+2y﹣3=0 D．x+2y﹣5=0【考点】直线与圆的位置关系．【分析】设出与已知直线平行的直线方程，利用直线平分圆的方程，求出结果即可．【解答】解：设与直线x+2y=0平行的直线方程：x+2y+b=0，圆C：x2+y2﹣2x﹣4y=0化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5，圆心坐标（1，2）．因为直线平分圆，圆心在直线x+2y+b=0，所以1+4+b=0，解得b=﹣5，故所求直线方程为x+2y﹣5=0．故选D．6．圆x2+y2﹣6x=0与圆x2+y2+8y+12=0的位置关系是（）A．相离B．相交C．外切D．内切【考点】圆与圆的位置关系及其判定．【分析】把圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距MN 等于两圆的半径之和，可得两圆相外切．【解答】解：圆x2+y2﹣6x=0 即（x﹣3）2+y2=9，表示以M（3，0）为圆心、半径等于3的圆．圆x2+y2+8y+12=0即x2+（y+4）2=4，表示以N（0，﹣4）为圆心、半径等于2的圆．由于两圆的圆心距MN==5=2+3，故MN等于它们的半径之和，故两圆相外切，故选：C．7．设P是△ABC所在平面α外一点，H是P在α内的射影，且PA，PB，PC与α所成的角相等，则H是△ABC的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【考点】直线与平面所成的角；三角形五心．【分析】根据PA，PB，PC与α所成的角相等，H是P在α内的射影，可得HA=HB=HC，从而可得结论．【解答】解：∵PA，PB，PC与α所成的角相等，H是P在α内的射影，∴HA=HB=HC∴H为三角形的外心．故选：B．8．直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若∠BAC=90°，AB=AC=AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于（）A．30°B．45°C．60°D．90°【考点】异面直线及其所成的角．【分析】延长CA到D，根据异面直线所成角的定义可知∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，而三角形A1DB为等边三角形，可求得此角．【解答】解：延长CA到D，使得AD=AC，则ADA1C1为平行四边形，∠DA1B就是异面直线BA1与AC1所成的角，又A1D=A1B=DB=AB，则三角形A1DB为等边三角形，∴∠DA1B=60°故选C．9．由直线y=x+1上的一点向圆（x﹣3）2+y2=1引切线，则切线长的最小值为（）A．1 B．2 C．D．3【考点】圆的切线方程．【分析】先求圆心到直线的距离，此时切线长最小，由勾股定理不难求解切线长的最小值．【解答】解：切线长的最小值是当直线y=x+1上的点与圆心距离最小时取得，圆心（3，0）到直线的距离为d=，圆的半径为1，故切线长的最小值为，故选C．10．如图，点E为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱BB1的中点，用过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分，则剩余几何体的侧视图为（）A．B．C．D．【考点】棱柱的结构特征．【分析】根据剩余几何体的直观图即可得到平面的左视图．【解答】解：过点A，E，C1的平面截去该正方体的上半部分后，剩余部分的直观图如图：则该几何体的左视图为C．故选：C．11．如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（）A．EH∥FG B．四边形EFGH是矩形C．Ω是棱柱D．Ω是棱台【考点】直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定；平行线等分线段定理．【分析】根据直线与平面平行的性质定理可知EH∥FG，则EH∥FG∥B1C1，从而Ω是棱柱，因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，则EF⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，从而四边形EFGH是矩形．【解答】解：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，所以EH∥B1C1，又EH⊄平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，所以EH∥平面BCB1C1，又EH⊂平面EFGH，平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，所以选项A、C正确；因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，所以EH⊥平面ABB1A1，又EF⊂平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，故选D．12．若关于x的方程﹣kx﹣3+2k=0有且只有两个不同的实数根，则实数k 的取值范围是（）A．B．C．D．【考点】直线与圆相交的性质；二次函数的图象．【分析】先将方程根的情况转化为一个半圆与一条直线交点的情况，再用数形结合，先求出相切时的斜率，再得到有两个交点的情况．【解答】解：将方程转化为：半圆，与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点．当直线与半圆相切时，有k=∴半圆与直线y=kx+3﹣2k有两个不同交点时．直线y=kx+3﹣2k=k（x﹣2）+3，一定过（2，3），由图象知直线过（﹣2，0）时直线的斜率k取最大值为k∈故选D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．已知点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，则实数x的值是6或﹣2．【考点】空间两点间的距离公式．【分析】直接利用空间两点间的距离公式求解即可．【解答】解：因为点A（x，1，2）和点B（2，3，4），且|AB|=2，所以|AB|==2，解得x=6或x=﹣2，则实数x的值是6或﹣2．故答案为：6或﹣2．14．两平行直线x+3y﹣4=0与2x+6y﹣9=0的距离是．【考点】两条平行直线间的距离．【分析】在一条直线上任取一点，求出这点到另一条直线的距离即为两平行线的距离．【解答】解：由直线x+3y﹣4=0取一点A，令y=0得到x=4，即A（4，0），则两平行直线的距离等于A到直线2x+6y﹣9=0的距离d===．故答案为：15．已知线段AB的端点B的坐标是（8，6），端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，则线段AB的中点P的轨迹方程为（x﹣）2+（y﹣3）2=1．【考点】轨迹方程．【分析】设出A和M的坐标，由中点坐标公式把A的坐标用M的坐标表示，然后代入圆的方程即可得到答案．【解答】解：设A（x1，y1），线段AB的中点P为（x，y）．则x1=2x﹣8，y1=2y﹣6，∵端点A在圆（x+1）2+y2=4上运动，∴（2x﹣7）2+（2y﹣6）2=4．∴线段AB的中点M的轨迹方程是：（x﹣）2+（y﹣3）2=1．故答案为：（x﹣）2+（y﹣3）2=1．16．自点（﹣3，3）发出的光线射到x轴上，被x轴反射，其反射光线L所在直线与圆x2+y2﹣4x﹣4y+7=0相切，则反射光线L所在直线方程为4x﹣3y+3=0或3x﹣4y﹣3=0．【考点】待定系数法求直线方程；直线与圆的位置关系．【分析】化简圆的方程为标准方程，求出关于x轴对称的圆的方程，设l的斜率为k，利用相切求出k的值即可得反射光线所在的直线方程．【解答】解：如图示：根据对称关系，首先求出点A的对称点A′的坐标为（﹣3，﹣3），其次设过A′的圆C的切线方程为y=k（x+3）﹣3根据d==1，即求出圆C的切线的斜率为k=或k=，进一步求出反射光线所在的直线的方程为：4x﹣3y+3=0或3x﹣4y﹣3=0，故答案为：4x﹣3y+3=0或3x﹣4y﹣3=0．三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）17．如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是AA1的中点，求证：（Ⅰ）A1C∥平面BDE；（Ⅱ）平面A1AC⊥平面BDE．【考点】平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定．【分析】（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，△A1AC中利用中位线，得EO∥A1C．再结合线面平行的判定定理，可得A1C∥平面BDE；（II）根据正方体的侧棱垂直于底面，结合线面垂直的定义，得到AA1⊥BD．再结合正方形的对角线互相垂直，得到AC⊥BD，从而得到BD⊥平面A1AC，最后利用面面垂直的判定定理，可以证出平面A1AC⊥平面BDE．【解答】证明：（Ⅰ）连接AC交BD于O，连接EO，∵E为AA1的中点，O为AC的中点∴EO为△A1AC的中位线∴EO∥A1C又∵EO⊂平面BDE，A1C⊄平面BDE∴A1C∥平面BDE；…（Ⅱ）∵AA1⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD∴AA1⊥BD又∵四边形ABCD是正方形∴AC⊥BD，∵AA1∩AC=A，AA1、AC⊂平面A1AC∴BD⊥平面A1AC又∵BD⊂平面BDE∴平面A1AC⊥平面BDE．…18．△ABC中，A（0，1），AB边上的高CD所在直线的方程为x+2y﹣4=0，AC 边上的中线BE所在直线的方程为2x+y﹣3=0．（1）求直线AB的方程，并把它化为一般式；（2）求直线BC的方程，并把它化为一般式．【考点】待定系数法求直线方程；直线的一般式方程．【分析】（1）利用点斜式，求直线AB的方程，并把它化为一般式；（2）求出B，C的坐标，利用两点式求直线BC的方程，并把它化为一般式．【解答】解：（1）由已知得直线AB的斜率为2，∴AB边所在的直线方程为y﹣1=2（x﹣0），即2x﹣y+1=0．（2）由得x=，y=2，即直线AB与直线BE的交点为B（，2）．设C（m，n），则由已知条件得，解得m=2，n=1，∴C（2，1）．∴BC的方程为：2x+3y﹣7=019．如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AB=AC，D，D1分别是线段BC，B1C1的中点，P是线段AD上异于端点的点．（1）在平面ABC内，试作出过点P与平面A1BC平行的直线l，并说明理由；（2）证明：直线l⊥平面ADD1A1．【考点】直线与平面垂直的判定；棱柱的结构特征．【分析】（1）在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．利用线面平行的判定定理即可证明．（2）在△ABC中，由AB=AC，D是线段AC的中点，可得AD⊥BC，l⊥AD．又AA1⊥底面ABC，可得AA1⊥l．即可证明．【解答】（1）解：在平面ABC内，过点P作直线l和BC平行．理由如下：由于直线l不在平面A1BC内，l∥BC，BC⊂平面A1BC，故直线l与平面A1BC平行．（2）证明：在△ABC中，∵AB=AC，D是线段AC的中点，∴AD⊥BC，又l∥BC，∴l⊥AD．又∵AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥l．而AA1∩AD=A，∴直线l⊥平面ADD1A1．20．圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m ∈R）．（1）证明：不论m取什么数，直线l与圆C恒交于两点；（2）求直线l被圆C截得的线段的最短长度，并求此时m的值．【考点】直线与圆的位置关系．【分析】（1）判断直线l是否过定点，可将（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R转化为（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，利用，即可确定所过的定点A（3，1）；再计算|AC|，与圆的半径R=比较，判断l与圆的位置关系；（2）弦长最小时，l⊥AC，由k AC=﹣，得直线l的斜率，从而由点斜式可求得l 的方程．【解答】（1）证明：由（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，m∈R得：（x+y﹣4）+m（2x+y﹣7）=0，∵m∈R，∴得x=3，y=1，故l恒过定点A（3，1）；又圆心C（1，2），∴|AC|=＜5（半径）∴点A在圆C内，从而直线l恒与圆C相交．（2）解：∵弦长的一半、该弦弦心距、圆的半径构成一个直角三角形，∴当l⊥AC（此时该弦弦心距最大），直线l被圆C截得的弦长最小，∵k AC=﹣，∴直线l的斜率k l=2，∴由点斜式可得l的方程为2x﹣y﹣5=0．21．如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且PB=PC=．（Ⅰ）求证：AB⊥CP；（Ⅱ）求点B到平面PAD的距离；（Ⅲ）设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角A﹣l﹣B的大小．【考点】用空间向量求平面间的夹角；点、线、面间的距离计算；二面角的平面角及求法．【分析】（Ⅰ）利用面面垂直的性质证明AB⊥平面PBC，从而可证AB⊥CP；（Ⅱ）取BC中点O，再取AD中点M，过点O作OH⊥PM，则OH⊥面ADP，利用等面积，即可求点B到平面PAD的距离；（Ⅲ）证明∠MPO就是二面角A﹣l﹣B的平面角，从而可求二面角A﹣l﹣B的大小．【解答】（Ⅰ）证明：∵底面ABCD是正方形，∴AB⊥BC，又平面PBC⊥底面ABCD，平面PBC∩平面ABCD=BC∴AB⊥平面PBC又PC⊂平面PBC∴AB⊥CP …（Ⅱ）解：∵BC∥AD，BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，∴BC∥面PAD取BC中点O，再取AD中点M∵AD⊥MO，AD⊥MP，MO∩MP=M∴AD⊥面MOP，∵AD⊂面ADP∴面ADP⊥面MOP过点O作OH⊥PM，则OH⊥面ADP在Rt△MPO中，由OH•PM=PO•MO，可得OH=∴点B到平面PAD的距离为．…（Ⅲ）解：∵BC∥AD，BC⊄面PAD，AD⊂面PAD，∴BC∥面PAD∵面PAD∩面PBC=l，BC⊂面PBC∴BC∥l∴OP⊥l，MP⊥l∴∠MPO就是二面角A﹣l﹣B的平面角．∴tan∠MPO==1∴∠MPO=45°∴二面角A﹣l﹣B的大小为45°．…22．圆M：x2+y2﹣4x﹣2y+4=0（1）若圆M的切线在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍，求切线的方程；（2）从圆外一点P（a，b），向该圆引切线PA，切点为A，且PA=PO，O为坐标原点，求证：以PM为直径的圆过异于M的定点，并求该定点的坐标．【考点】直线和圆的方程的应用；圆的切线方程．【分析】①首先对切线分两种情况讨论，过原点时与不过原点时．然后分别设出直线，根据切线在x轴上的截距是y轴上的截距的2倍建立等式，分别求出切线方程．②根据PA2=PO2，得到a，b的关系式2a+b=2，然后表示出以PM为直径的圆方程．通过对该圆的方程的分析，求出其通过的定点即可．【解答】解：（1）当切线过原点时，设切线为y=kx，由得（舍）当切线不过原点时，设切线为即x+2y=2a，由得6′，所以所求的切线方程为（2）由条件PA2=PO2，得（a﹣2）2+（b﹣1）2﹣1=a2+b2得2a+b=2以PM为直径的圆方程为x2+y2﹣（2+a）x﹣（b+1）y+b+2a=012′x2+y2﹣（2+a）x﹣（3﹣2a）y+2=0所以异于M的定点为2017年3月5日。