最新高中数学必修一第2章2.2.2第2课时课时同步练习习题(含解析)

（本文档资料包括高一必修一数学各章节的课后同步练习与答案解析）第一章1．1 1.1.1集合的含义与表示课后练习[A组课后达标]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()A．4B．3C．2 D．12．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．25．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________。

7．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________。

8．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________。

9．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A。

10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值。

[B组课后提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集。

其中正确说法是()A．①④B．②C．②③D．以上说法都不对2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________。

2．2.2 对数函数及其性质(二)1．函数y ＝log a x 的图象如图所示，则实数a 的可能取值是( ) A ．5B.15C.1eD.122．下列各组函数中，表示同一函数的是( ) A ．y ＝x 2和y ＝(x )2 B ．|y |＝|x |和y 3＝x 3 C ．y ＝log a x 2和y ＝2log a x D ．y ＝x 和y ＝log a a x3．若函数y ＝f (x )的定义域是[2,4]，则y ＝f (12log x )的定义域是( )A ．[12，1] B ．[4,16]C ．[116，14] D ．[2,4]4．函数f (x )＝log 2(3x ＋1)的值域为( ) A ．(0，＋∞) B ．[0，＋∞)C ．(1，＋∞)D ．[1，＋∞)5．函数f (x )＝log a (x ＋b )(a >0且a ≠1)的图象经过(－1,0)和(0,1)两点，则f (2)＝________.6．函数y ＝log a (x －2)＋1(a >0且a ≠1)恒过定点____________．一、选择题1．设a ＝log 54，b ＝(log 53)2，c ＝log 45，则( ) A ．a <c <b B ．b <c <a C ．a <b <c D ．b <a <c2．已知函数y ＝f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为( )A ．[－1,1]B ．[12，2]C ．[1,2]D ．[2，4]3．函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)且f (8)＝3，则有( ) A ．f (2)>f (－2) B ．f (1)>f (2) C ．f (－3)>f (－2) D ．f (－3)>f (－4)4．函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)在[0,1]上的最大值与最小值之和为a ，则a 的值为( )A.14B.12C ．2D ．4 5．已知函数f (x )＝lg 1－x1＋x，若f (a )＝b ，则f (－a )等于( )A ．bB ．－b C.1b D ．－1b6．函数y ＝3x (－1≤x <0)的反函数是( ) A ．y ＝13log x (x >0)B ．y ＝log 3x (x >0)C ．y ＝log 3x (13≤x <1)D ．y ＝13log x (13≤x <1)二、填空题7．函数f (x )＝lg(2x －b )，若x ≥1时，f (x )≥0恒成立，则b 应满足的条件是________．8．函数y ＝log a x 当x >2时恒有|y |>1，则a 的取值范围是______________．9．若log a 2<2，则实数a 的取值范围是______________． 三、解答题10．已知f (x )＝log a (3－ax )在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围．11．已知函数f (x )＝121log 1axx --的图象关于原点对称，其中a 为常数． (1)求a 的值；(2)若当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (1)x -<m 恒成立．求实数m 的取值范围．能力提升12．设函数f(x)＝log a x(a>0，a≠1)，若f(x1x2…x2010)＝8，则f(x21)＋f(x22)＋…＋f(x22010)的值等于( )A．4B．8C．16D．2log8413．已知log m4<log n4，比较m与n的大小．且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0)落在第一、四象限，随着a 的逐渐增大，y ＝log a x (a >1，且a ≠1)的图象绕(1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0<a <1时函数单调递减，当a >1时函数单调递增．2．比较两个(或多个)对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小，对数函数的单调性由“底”的范围决定，若“底”的范围不明确，则需分“底数大于1”和“底数大于0且小于1”两种情况讨论；二看真数，底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象，或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小；三找中间值，底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值(如1或0等)来比较．2．2.2 对数函数及其性质(二)双基演练 1．A2．D [y ＝log a a x ＝x log a a ＝x ，即y ＝x ，两函数的定义域、值域都相同．]3．C [由题意得：2≤12log x ≤4，所以(12)2≥x ≥(12)4，即116≤x ≤14.] 4．A [∵3x ＋1>1，∴log 2(3x ＋1)>0.] 5．2解析 由已知得log a (b －1)＝0且log a b ＝1， ∴a ＝b ＝2.从而f (2)＝log 2(2＋2)＝2.6．(3,1)解析 若x －2＝1，则不论a 为何值，只要a >0且a ≠1，都有y ＝1.作业设计1．D [因为0<log 53<log 54<1,1<log 45， 所以b <a <c .]2．D [∵－1≤x ≤1， ∴2－1≤2x≤2，即12≤2x≤2.∴y ＝f (x )的定义域为[12，2]即12≤log 2x ≤2，∴2≤x ≤4.] 3．C [∵log a 8＝3，解得a ＝2，因为函数f (x )＝log a |x |(a >0且a ≠1)为偶函数，且在(0，＋∞)为增函数，在(－∞，0)上为减函数，由－3<－2，所以f (－3)>f (－2)．]4．B [函数f (x )＝a x ＋log a (x ＋1)，令y 1＝a x ，y 2＝log a (x ＋1)，显然在[0,1]上，y 1＝a x 与y 2＝log a (x ＋1)同增或同减．因而[f (x )]max ＋[f (x )]min ＝f (1)＋f (0)＝a ＋log a 2＋1＋0＝a ，解得a ＝12.]5．B [f (－x )＝lg 1＋x 1－x ＝lg(1－x 1＋x )－1＝－lg 1－x1＋x＝－f (x )，则f (x )为奇函数， 故f (－a )＝－f (a )＝－b .]6．C [由y ＝3x(－1≤x <0)得反函数是y ＝log 3x (13≤x <1)，故选C.] 7．b ≤1解析 由题意，x ≥1时，2x －b ≥1. 又2x ≥2，∴b ≤1. 8．[12，1)∪(1,2]解析 ∵|y |>1，即y >1或y <－1， ∴log a x >1或log a x <－1， 变形为log a x >log a a 或log a x <log a 1a当x ＝2时，令|y |＝1， 则有log a 2＝1或log a 2＝－1， ∴a ＝2或a ＝12.要使x >2时，|y |>1.如图所示，a 的取值范围为1<a ≤2或12≤a <1.9．(0,1)∪(2，＋∞)解析 log a 2<2＝log a a 2.若0<a <1，由于y ＝log a x 是减函数，则0<a 2<2，得0<a <2，所以0<a <1；若a >1，由于y ＝log a x 是增函数， 则a 2>2，得a > 2.综上得0<a <1或a > 2.10．解 由a >0可知u ＝3－ax 为减函数，依题意则有a >1. 又u ＝3－ax 在[0,2]上应满足u >0， 故3－2a >0，即a <32.综上可得，a 的取值范围是1<a <32.11．解 (1)∵函数f (x )的图象关于原点对称， ∴函数f (x )为奇函数， ∴f (－x )＝－f (x )，即12log 1＋ax －x －1＝－12log 1－ax x －1＝12log x －11－ax ，解得a ＝－1或a ＝1(舍)．(2)f (x )＋12log (x －1)＝12log 1＋x x －1＋12log (x －1)＝12log (1＋x )，当x >1时，12log (1＋x )<－1，∵当x ∈(1，＋∞)时，f (x )＋12log (x －1)<m 恒成立，∴m ≥－1.12．C [∵f (x 1x 2…x 2010)＝log a (x 1x 2…x 2010)＝8，f (x 21)＋f (x 22)＋…＋f (x 22010)＝log a (x 21x 22…x 22010)＝2log a (x 1x 2…x 2010)＝2×8＝16.]13．解数形结合可得0<n<m<1或1<n<m或0<m<1<n.。

2.2直线及其方程文档中含有大量可修改的数学公式，在网页中显示可能会出现位置错误等情况，下载后均可正常显示、编辑。

2.2.1直线的倾斜角与斜率.......................................................................................... - 1 -2.2.2直线的方程 ......................................................................................................... - 7 -第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程...................................................... - 7 -第2课时直线的两点式方程与一般式方程.................................................... - 12 -2.2.3两条直线的位置关系........................................................................................ - 18 -2.2.4点到直线的距离................................................................................................ - 25 -2.2.1直线的倾斜角与斜率1.若直线过坐标平面内两点(1,2),(4,2+√3),则此直线的倾斜角是()A.30°B.45°C.60°D.90°k=2+√3-24-1=√33,∴直线的倾斜角为30°.2.(多选)下列说法中,不正确的有()A.任何一条直线都有唯一的斜率B.直线的倾斜角越大,它的斜率就越大C.任何一条直线都有唯一的倾斜角D.任何一条直线都能找出方向向量错,因为倾斜角为90°的直线没有斜率;B错,因为当0°<α<90°时,k>0,当90°<α<180°时,k<0;C对,D对.3.若某直线的斜率k∈(-∞,√3],则该直线的倾斜角α的取值范围是()A.0,π3B.π3,π2C.0,π3∪π2,π D.π3,π解析∵直线的斜率k∈(-∞,√3],∴k≤tanπ3,∴该直线的倾斜角α的取值范围是0,π3∪π2,π.故选C.4.在平面直角坐标系中,正三角形ABC的BC边所在直线的斜率是0,则AC,AB边所在直线的斜率之和为()A.-2√3B.0C.√3D.2√3BC边所在直线的斜率是0知,直线BC与x轴平行或重合,所以直线AC,AB 的倾斜角互为补角,根据直线斜率的定义知,直线AC,AB的斜率之和为0.故选B. 5.若图中直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则()A.k1<k2<k3B.k3<k1<k2C.k3<k2<k1D.k1<k3<k2,k1<0,k2>0,k3>0,且l2比l3的倾斜角大,∴k1<k3<k2.6.已知直线l的倾斜角为2α-20°,则α的取值范围是.°,100°)0°≤2α-20°<180°,得10°≤α<100°.故α的取值范围为[10°,100°).7.已知点A(2,-1),若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P的坐标为.或(0,-3)P 的坐标为P (x ,0),则k=0-(-1)x -2=tan45°=1,∴x=3,即P (3,0).若设点P 的坐标为P (0,y ), 则k=y -(-1)0-2=tan45°=1,∴y=-3,即P (0,-3).8.已知A (-1,-2),B (2,1),C (x ,2)三点共线,则x= ,直线AB 的倾斜角为 . 3,π4AB 斜率为k AB =1+22+1=1,直线BC 斜率为k BC =2-1x -2,因为A (-1,-2),B (2,1),C (x ,2)三点共线,所以k AB =k BC ,则x=3,由tan θ=1得θ=π4,所以直线AB 的倾斜角为π4. 9.已知点A (1,2),B (-2,-4),C 2,72,D (x ,-2). (1)证明:A ,B ,C 三点共线; (2)若∠DAB=π2,求x 的值. (1)证明A (1,2),B (-3,-4),C 2,72,∴k AB =-4-2-3-1=32,k AC =72-22-1=32, ∴k AB =k AC ,∴A ,B ,C 三点共线.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-4,-6),AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(x-1,-4),若∠DAB=π2,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =0,即-4(x-1)+24=0,解得x=7,∴x 的值为7.10.已知两点A (-3,4),B (3,2),过点P (2,-1)的直线l 与线段AB 有公共点,求直线l 的斜率k 的取值范围.直线l 与线段AB 有公共点,∴直线l 的倾斜角介于直线PB 与PA 的倾斜角之间,当l 的倾斜角等于90°时,斜率不存在;当l 的倾斜角小于90°时,k ≥k PB ;当l 的倾斜角大于90°时,k ≤k PA .∵k PA =-1-42-(-3)=-1,k PB =-1-22-3=3,∴直线l 的斜率k 的取值范围是(-∞,-1]∪[3,+∞).11.直线ax-y+1=0与连接A (2,3),B (-3,2)的线段相交,则a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1]∪[3,+∞) B.[-1,3]C.(-∞,-13]∪[1,+∞) D.[-13,1]ax-y+1=0恒过定点C (0,1),如图,由k AC =3-12-0=1,k BC =2-1-3-0=-13,又直线ax-y+1=0与连接A (2,3),B (-3,2)的线段相交,即y=ax+1与连接A (2,3),B (-3,2)的线段相交,所以a ∈(-∞,-13]∪[1,+∞). 12.若a=ln21,b=ln32,c=ln54,则( )A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c=lnx -0x -1表示函数y=ln x 图像上的点(x ,y )与点D (1,0)连线的斜率,如图所示.令a=k DA ,b=k DB ,c=k DC ,由图知k DC <k DB <k DA ,即c<b<a. 13.若直线l 的倾斜角α满足2π3≤α≤5π6,则其斜率k 的范围为( ) A.(1,√3]B.[-√3,-1]C.-√3,-√33 D.√33,√3解析∵直线l 的倾斜角α满足2π3≤α≤5π6,且k=tan α,又tan 2π3=-√3,tan 5π6=-√33,函数y=tan x 在π2,π上单调递增,∴k 的范围为-√3,-√33. 故选C .14.若直线l 的一个法向量为n =(2,1),则直线l 的斜率k= .2,设直线l 的斜率为k ,则其方向向量为a =(1,k ),若直线l 的一个法向量为n =(2,1),则有a ·n =2+k=0,解得k=-2.15.已知△ABC 的三个顶点坐标分别为A (2,4),B (1,2),C (-2,3),则BC 边上的高AD 所在直线的斜率为 .BC 的斜率为k BC =3-2-2-1=-13,∵BC ⊥AD ,∴k BC ·k AD =-1,则k AD =3. 16.已知A (3,3),B (-4,2),C (0,-2). (1)求直线AB 和AC 的斜率;(2)若点D 在线段BC (包括端点)上移动,求直线AD 的斜率的变化范围.由斜率公式,可得直线AB 的斜率k AB =2-3-4-3=17,直线AC 的斜率k AC =-2-30-3=53,即直线AB 的斜率为17,直线AC 的斜率为53.(2)如图,当点D 由点B 运动到点C 时,直线AD 的斜率由k AB 增大到k AC ,由(1)知,k AB =17,k AC =53.故直线AD 的斜率的变化范围是[17,53].17.一束光线从点A (-2,3)射入,经x 轴上点P 反射后,经过点B (5,7),则点P 的坐标为 . (110,0):设P (x ,0),由光的反射原理知,入射角等于反射角,即α=β,如图①.所以反射光线PB 的倾斜角β与入射光线AP 的倾斜角(π-α)互补,因此,k AP =-k BP , 即0-3x -(-2)=-0-7x -5,解得x=110, 即P (110,0).图①图②方法二:由题意知,x 轴是镜面,易知入射点A (-2,3)关于x 轴的对称点为A'(-2,-3). 由光学知识知点A'应在反射光线所在的直线上,即A',P ,B 三点共线,如图②.从而有k A'P =k PB ,即0+3x+2=75-x ,解得x=110,即P (110,0).18.设直线l 与坐标轴的交点分别为M (a ,0),N (0,b ),且ab ≠0,斜率为k ,坐标原点到直线l 的距离为d. 试证:(1)b=-ka ; (2)a 2k 2=d 2(1+k 2); (3)1d 2=1a 2+1b 2.由斜率公式得k=b -00-a =-ba ,所以b=-ka.(2)由面积公式可得S △OMN =12|a||b|=12d ·√a 2+b 2,所以a 2b 2=d 2(a 2+b 2).又由(1)b=-ka 可得b 2=k 2a 2,代入上式即得a 2k 2=d 2(1+k 2).(3)由(2)中a2b2=d2(a2+b2),可得1d2=a2+b2a2b2=1a2+1b2,即1d2=1a2+1b2.2.2.2直线的方程第1课时直线的点斜式方程与斜截式方程1.方程y-y0=k(x-x0)()A.可以表示任何直线B.不能表示过原点的直线C.不能表示与y轴垂直的直线D.不能表示与x轴垂直的直线y-y0=k(x-x0)是直线的点斜式方程,当直线垂直x轴时,斜率不存在,不能用点斜式表示.故选D.2.经过点(0,3)且倾斜角为0°的直线方程为()A.x=3B.y=3C.y=x+3D.y=2x+33.集合A={直线的斜截式方程},B={一次函数的解析式},则集合A,B间的关系为()A.A⊆BB.B⫋AC.B=AD.A⫋B4.如图,直线y=ax+1a的图像可能是()a ≠0.假设a>0,则直线y=ax+1a 的斜率与在y 轴上的截距都大于0,则A,C,D 都不符合.假设a<0,则直线y=ax+1a 的斜率与在y 轴上的截距都小于0,只有B 符合.综上,只有B 正确.故选B .5.直线y=k (x-2)+3必过定点 .y-3=k (x-2).6.过点(-10,10)且在x 轴上的截距是在y 轴上截距的4倍的直线的方程为 .或y=-14x+152,显然直线的斜率存在,设直线方程为y=kx ,代入(-10,10),有-10k=10,即k=-1,所以直线方程为y=-x ;当直线不过坐标原点时,设y-10=k (x+10),所以横截距为-10k -10,纵截距为10k+10,所以-10k -10=4(10k+10),解得k=-14或k=-1(舍),所以直线方程为y=-14x+152.综上,直线方程为y=-x 或y=-14x+152.7.从原点O 向直线l 作垂线,垂足为点M (1,2),则l 的方程为 . y=-12x+52点M (1,2),∴k OM =2,则k l =-12,则直线l 的方程为y-2=-12(x-1),即y=-12x+52. 8.已知所求直线l 的斜率是直线y=-√3x+1的斜率的-13,且分别满足下列条件: (1)经过点(√3,-1);(2)在y 轴上的截距是-5,分别求该直线的方程.解∵直线方程为y=-√3x+1,∴k=-√3.由题知,所求直线l 的斜率k l =-√3×-13=√33.(1)∵直线过点(√3,-1),∴所求直线l 的方程为y+1=√33(x-√3),即y=√33x-2. (2)∵直线在y 轴上的截距为-5,又∵所求直线的斜率k l =√33,∴所求直线l 的方程为y=√33x-5.。

2．2.2 指数函数(二) 课时目标 1.理解指数函数的单调性与底数a 的关系，能运用指数函数的单调性解决一些问题.2.理解指数函数的底数a 对函数图象的影响．1．下列一定是指数函数的是________．①y ＝－3x ；②y ＝x x (x >0，且x ≠1)；③y ＝(a －2)x (a >3)；④y ＝(1－2)x .2．指数函数y ＝a x 与y ＝b x 的图象如图，则0，a ，b,1的大小关系为________．3．函数y ＝πx 的值域是________．4．已知集合M ＝{－1,1}，N ＝{x |12<2x ＋1<4，x ∈Z }，则M ∩N ＝________. 5．若(12)2a ＋1<(12)3－2a ，则实数a 的取值范围是______________． 6．若指数函数f (x )＝(a ＋1)x 是R 上的减函数，那么a 的取值范围为________．一、填空题1．设P ＝{y |y ＝x 2，x ∈R }，Q ＝{y |y ＝2x ，x ∈R }，则P 、Q 的关系为________．2．函数y ＝16－4x 的值域是________．3．函数y ＝a x 在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则函数y ＝2ax －1在[0,1]上的最大值是________．4．若函数f (x )＝3x ＋3－x 与g (x )＝3x －3－x 的定义域均为R ，则下列命题正确的是________．(填序号)①f (x )与g (x )均为偶函数；②f (x )为偶函数，g (x )为奇函数；③f (x )与g (x )均为奇函数；④f (x )为奇函数，g (x )为偶函数．5．函数y ＝f (x )的图象与函数g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，则f (x )的解析式为________．6．已知a ＝1335-⎛⎫ ⎪⎝⎭，b ＝1235-⎛⎫ ⎪⎝⎭，c ＝1243-⎛⎫ ⎪⎝⎭，则a ，b ，c 三个数的大小关系是________． 7．春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天．8．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝1－2－x ，则不等式f (x )<－12的解集是________．9．函数y ＝2212x x -+⎛⎫ ⎪⎝⎭的单调递增区间是________．二、解答题10．(1)设f (x )＝2u ，u ＝g (x )，g (x )是R 上的单调增函数，试判断f (x )的单调性；(2)求函数y ＝2212x x --的单调区间．11．函数f (x )＝4x －2x ＋1＋3的定义域为[－12，12]． (1)设t ＝2x ，求t 的取值范围；(2)求函数f (x )的值域．能力提升12．函数y ＝2x －x 2的图象大致是________．(填序号)13．已知函数f (x )＝2x －12x ＋1. (1)求f [f (0)＋4]的值；(2)求证：f (x )在R 上是增函数；(3)解不等式：0<f (x －2)<1517.1．比较两个指数式值的大小主要有以下方法：(1)比较形如a m 与a n 的大小，可运用指数函数y ＝a x 的单调性．(2)比较形如a m 与b n 的大小，一般找一个“中间值c ”，若a m <c 且c <b n ，则a m <b n ；若a m >c 且c >b n ，则a m >b n .2．了解由y ＝f (u )及u ＝φ(x )的单调性探求y ＝f [φ(x )]的单调性的一般方法．2．2.2 指数函数(二)双基演练1．③ 2．0<a <1<b3．(0，＋∞)4．{－1}解析 解指数不等式12<2x ＋1<4，得－1<x ＋1<2， 所以－2<x <1，故N ＝{－1,0}，所以M ∩N ＝{－1,1}∩{－1,0}＝{－1}．5．(12，＋∞) 解析 ∵函数y ＝(12)x 在R 上为减函数， ∴2a ＋1>3－2a ，∴a >12. 6．－1<a <0作业设计1．Q P解析 因为P ＝{y |y ≥0}，Q ＝{y |y >0}，所以Q P .2．[0,4)解析 ∵4x >0，∴0≤16－4x <16，∴16－4x ∈[0,4)．3．3解析 函数y ＝a x 在[0,1]上是单调的，最大值与最小值都在端点处取到，故有a 0＋a 1＝3，解得a ＝2，因此函数y ＝2ax －1＝4x －1在[0,1]上是单调递增函数，当x ＝1时，y max ＝3.4．②解析 f (－x )＝3－x ＋3x ＝f (x )，g (－x )＝3－x －3x ＝－g (x )．5．f (x )＝－e －x －2解析 ∵y ＝f (x )的图象与g (x )＝e x ＋2的图象关于原点对称，∴f (x )＝－g (－x )＝－(e －x ＋2)＝－e －x －2.6．c <a <b解析 ∵y ＝(35)x 是减函数，－13>－12， ∴b >a >1.又0<c <1，∴c <a <b .7．19解析 假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y 与生长时间的函数关系为y ＝2x －1，当x ＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶布满水面一半．8．(－∞，－1)解析 ∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0.当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(1－2x )＝2x －1.当x >0时，由1－2－x <－12，(12)x >32，得x ∈∅； 当x ＝0时，f (0)＝0<－12不成立； 当x <0时，由2x －1<－12，2x <2－1，得x <－1. 综上可知x ∈(－∞，－1)．9．[1，＋∞)解析 利用复合函数同增异减的判断方法去判断．令u ＝－x 2＋2x ，则y ＝(12)u 在u ∈R 上为减函数，问题转化为求u ＝－x 2＋2x 的单调递减区间，即为x ∈[1，＋∞)．10．解 (1)设x 1<x 2，则g (x 1)<g (x 2)．又由y ＝2u 的增减性得()12g x <()22g x ，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )为R 上的增函数．(2)令u ＝x 2－2x －1＝(x －1)2－2，则u 在区间[1，＋∞)上为增函数．根据(1)可知y ＝2212x x --在[1，＋∞)上为增函数．同理可得函数y 在(－∞，1]上为单调减函数．即函数y 的增区间为[1，＋∞)，减区间为(－∞，1]．11．解 (1)∵t ＝2x 在x ∈[－12，12]上单调递增， ∴t ∈[22，2]． (2)函数可化为：f (x )＝g (t )＝t 2－2t ＋3，g (t )在[22，1]上递减，在[1，2]上递增， 比较得g (22)<g (2)． ∴f (x )min ＝g (1)＝2，f (x )max ＝g (2)＝5－2 2.∴函数的值域为[2,5－22]．12．①解析 当x →－∞时，2x →0，所以y ＝2x －x 2→－∞，所以排除③、④.当x ＝3时，y ＝－1，所以排除②.13．(1)解 ∵f (0)＝20－120＋1＝0， ∴f [f (0)＋4]＝f (0＋4)＝f (4)＝24－124＋1＝1517. (2)证明 设x 1，x 2∈R 且x 1<x 2，则22x >12x >0,22x －12x >0， ∴f (x 2)－f (x 1)＝212121212121x x x x ---++ ＝()()()21212222121x x x x -++>0，即f (x 1)<f (x 2)，所以f (x )在R 上是增函数．(3)解 由0<f (x －2)<1517得f (0)<f (x －2)<f (4)， 又f (x )在R 上是增函数，∴0<x －2<4，即2<x <6，所以不等式的解集是{x |2<x <6}．。

2.2.2 直线的两点式方程基础练习一、单选题1．直线10x y --=与两坐标轴所围成的三角形的面积为． A ．14B ．2C ．1D ．122．若直线l 过点和，且点91,b 在直线l 上，则b 的值为（ ） A ．183 B ．182C ．181D ．180A ．470x y ++=B ．470x y -+=C ．470x y ++=D ．470x y -+=A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条5．下列说法正确的是（ ） A ．11y y x x --＝k 不能表示过点M （x 1，y 1）且斜率为k 的直线方程 B ．在x 轴，y 轴上的截距分别为a ，b 的直线方程为1x ya b+=C ．直线y ＝kx +b 与y 轴的交点到原点的距离为bD ．过两点A （x 1，y 1）B （x 2，y 2）的直线方程为212212()()()()0x x y y y y x x -----= 6．已知ABC 的三个顶点3,2A 、、，则下列说法正确的是（ ） A ．直线AC 的斜率为13B ．直线AB 的倾斜角为钝角C ．BC 边的中点坐标为()1,4D ．BC 边上的中线所在的直线方程为50x y +-=7．一束光线经过点()1,2A -由x 轴反射后，经过点()2,1B 射出，则反射光线所在直线方程是______．8．已知直线l 过点1,3G -，2,1H -，则直线l 的方程为__________．10．若直线过点且与两坐标轴所围成的三角形的面积为2，则这样的直线有______条.为________.13．过点1,1A -与点,4B m （m ∈R ）的直线的方程为______．14．已知直线l 经过点(0,2)，其倾斜角为30︒. （1）求直线l 的方程；（2）求直线l 与两坐标轴围成的三角形的面积. (1) tan 3k =的方程为：2y -=令0x =，则15．求符合下列条件的直线l的方程：(1)过点A(﹣1，﹣3)，且斜率为14 -；(2)A(1，3)，B(2，1))求直线AB的方程；(3)经过点P(3，2)且在两坐标轴上的截距相等.(1)所求直线过点(2)所求直线过直线过16．求与两坐标轴围成的三角形的面积是12，且斜率为2-的直线的斜截式方程．。

高中数学必修一同步训练及解析1．已知y ＝()14x 嘚反函数为y ＝f(x)，若f(x 0)＝－12，则x 0＝( )A ．－2B ．－1C ．2 D.12解析：选C.y ＝()14x 嘚反函数是f(x)＝log 14x ，∴f(x 0)＝log 14x 0＝－12.∴x 0＝()14－12＝[]()122－12＝2. 2．已知函数f(x)＝2log 2x 嘚值域为[－1,1]，则函数f(x)嘚定义域是( ) A.⎣⎡⎦⎤22，2 B ．[－1,1] C.[]12，2D.⎝⎛⎦⎤－∞，22∪[2，＋∞) 解析：选A.∵－1≤2log 2x ≤1，∴－12≤log 2x ≤12， ∴log 22－12≤log 2x ≤log 2212，∴2－12≤x ≤212，即22≤x ≤ 2. 3．若0<x<1，y>1，则log x 3________log y 3.(填“>”、“＝”或“<”)解析：log x 3<log x 1＝0＝log y 1<log y 3.答案：<4．已知函数y ＝log a x 在区间[2，＋∞)上恒有y>1，则a 嘚取值范围为________．解析：若0<a<1，则在[2，＋∞)上不会恒有log a x>1.∴a>1，∴y ＝log a x 为增函数．当x ∈[2，＋∞)时，log a x ≥log a 2.∵y>1恒成立，∴log a 2>1，∴a<2，∴1<a<2.答案：1<a<2[A 级 基础达标]1．已知a ＝log 23.6，b ＝log 43.2，c ＝log 43.6，则( )A ．a>b>cB ．a>c>bC ．b>a>cD ．c>a>b解析：选B.∵2<3.6<4，∴log 23.6>1>log 43.6.又∵log 43.6>log 43.2，∴a>c>b.2．函数f(x)＝lg|x|为( )A ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是减函数B ．奇函数，在区间(0，＋∞)上是增函数C ．偶函数，在区间(－∞，0)上是增函数D ．偶函数，在区间(－∞，0)上是减函数解析：选D.已知函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于坐标原点对称，且f(－x)＝lg|－x|＝lg|x|＝f(x)，所以它是偶函数．又当x>0时，|x|＝x ，即函数y ＝lg|x|在区间(0，＋∞)上是增函数．又f(x)为偶函数，所以f(x)＝lg|x|在区间(－∞，0)上是减函数．3．下列函数中，在(0,2)上为增函数嘚是( )A ．y ＝log 12(2x ＋1)B ．y ＝log 2x 2－1C ．y ＝log 21xD ．y ＝log 0.2(4－x 2) 解析：选D.因为y ＝2x ＋1在(0,2)上递增，所以y ＝log 12(2x ＋1)在(0,2)上递减；y ＝log 2x 2－1嘚定义域是(－∞，－1)∪(1，＋∞)；因为y ＝1x 在(0,2)上递减，所以y ＝log 21x 在(0,2)上递减．4．已知log 0.45(x ＋2)>log 0.45(1－x)，则实数x 嘚取值范围是________． 解析：原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2>0，x ＋2<1－x ， 解得－2<x<－12.答案：－2<x<－125．函数f(x)＝log a x(a>0，且a ≠1)在[2,3]上嘚最大值为1，则a ＝________.解析：当a>1时，f(x)嘚最大值是f(3)＝1，则log a 3＝1，∴a ＝3>1.∴a ＝3符合题意；当0<a<1时，f(x)嘚最大值是f(2)＝1，则log a 2＝1，∴a ＝2>1.∴a ＝2不合题意．综上知a ＝3.答案：36．求下列函数嘚值域： (1)y ＝log 2(x 2＋4)；(2)y ＝log 12(3＋2x －x 2)．解：(1)y ＝log 2(x 2＋4)嘚定义域为R.∵x 2＋4≥4，∴log 2(x 2＋4)≥log 24＝2.∴y ＝log 2(x 2＋4)嘚值域为{y|y ≥2}．(2)设u ＝3＋2x －x 2＝－(x －1)2＋4≤4，∵u>0， ∵0<u ≤4，又y ＝log 12u 在(0，＋∞)上为减函数，∴log 12u ≥log 124＝－2， ∴y ＝log 12(3＋2x －x 2)嘚值域为{y|y ≥－2}．[B 级 能力提升] 7．设a ＝log 1312，b ＝log 1323，c ＝log 343，则a ，b ，c 嘚大小关系是( )A ．a<b<cB ．c<b<aC ．b<a<cD ．b<c<a 解析：选B.c ＝log 343＝log 1334，又12<23<34且函数f(x)＝log 13x 在其定义域上为减函数，所以log 1312>log 1323>log 1334，即a>b>c. 8．函数y ＝a x 与y ＝－log a x(a>0，且a ≠1)在同一坐标系中嘚图象形状只能是( )解析：选A.(用排除法)∵函数y ＝－log a x 中x>0，故排除B ；当a>1时，函数y ＝a x 为增函数，函数y ＝－log a x 为减函数，故排除C ；当0<a<1时，函数y ＝a x 为减函数，函数y ＝－log a x 为增函数，故排除D ，所以选A.9．函数y ＝log 12(1－2x)嘚单调递增区间为________． 解析：y ＝log 12u 和u ＝1－2x 都是减函数，所以函数y ＝log 12(1－2x)在整个定义域上都是单调递增嘚．答案：()－∞，1210．解下列不等式：(1)log 17x>log 17(4－x)；(2)log a (2a －1)>1(a>0，且a ≠1)． 解：(1)由题意可得⎩⎨⎧ x>04－x>0，x<4－x 即⎩⎪⎨⎪⎧ x>0x<4，x<2解得0<x<2. ∴原不等式嘚解集为{x|0<x<2}．(2)由题意可得 ①⎩⎨⎧ a>12a －1>a ，即⎩⎨⎧ a>1a>1，解得a>1； ②⎩⎨⎧ 0<a<12a －1>0，2a －1<a 即⎩⎨⎧ 0<a<1a>12a<1，解得12<a<1. ∴原不等式嘚解集为{ a |}a>1或12<a<1. 11．设f(x)为奇函数，且当x>0时，f(x)＝log 12x.(1)求当x<0时，f(x)嘚解析式；(2)解不等式f(x)≤2.解：(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log 12(－x)， 又f(x)为奇函数，所以f(x)＝－f(－x)＝－log 12(－x)． 故当x<0时，f(x)＝－log 12(－x)．(2)由题意及(1)知，原不等式等价于⎩⎨⎧ x>0log 12x ≤2，或⎩⎨⎧ x<0－log 12－x ≤2，解得x ≥14或－4≤x<0.∴原不等式嘚解集为{}x | x ≥14或－4≤x<0.。

1．(2010年高考天津卷)设a＝log54，b＝(log53)2，c＝log45，则( )A．a＜c＜b B．b＜c＜aC．a＜b＜c D．b＜a＜c解析：选D.a＝log54＜1，log53＜log54＜1，b＝(log53)2＜log53，c＝log45＞1，故b＜a＜c.2．已知f(x)＝log a|x－1|在(0,1)上递减，那么f(x)在(1，＋∞)上( )A．递增无最大值B．递减无最小值C．递增有最大值D．递减有最小值解析：选A.设y＝log a u，u＝|x－1|.x∈(0,1)时，u＝|x－1|为减函数，∴a>1.∴x∈(1，＋∞)时，u＝x－1为增函数，无最大值．∴f(x)＝log a(x－1)为增函数，无最大值．3．已知函数f(x)＝a x＋log a x(a＞0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值之和为loga2＋6，则a的值为( )A.12B.14C．2 D．4解析：选C.由题可知函数f(x)＝a x＋log a x在[1,2]上是单调函数，所以其最大值与最小值之和为f(1)＋f(2)＝a＋log a1＋a2＋log a2＝log a2＋6，整理可得a2＋a－6＝0，解得a＝2或a＝－3(舍去)，故a＝2.4．函数y＝log13(－x2＋4x＋12)的单调递减区间是________．解析：y＝log13u，u＝－x2＋4x＋12.令u ＝－x 2＋4x ＋12>0，得－2<x <6.∴x ∈(－2,2]时，u ＝－x 2＋4x ＋12为增函数， ∴y ＝log 13(－x 2＋4x ＋12)为减函数．答案：(－2,2]1．若log a 2＜1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(1,2) B ．(0,1)∪(2，＋∞) C ．(0,1)∪(1,2)D ．(0，1)解析：选B.当a ＞1时，log a 2＜log a a ，∴a ＞2；当0＜a ＜1时，log a 2＜0成立，故选B.2．若log a 2<log b 2<0，则下列结论正确的是( )A．0<a <b <1 B ．0<b <a <1C ．a >b >1D ．b >a >1 解析：选B.∵log a 2<log b 2<0，如图所示， ∴0<b <a <1.3．已知函数f (x )＝2log 12x 的值域为[－1,1]，则函数f (x )的定义域是( )A ．[22，2]B ．[－1,1]C ．[12，2]D ．(－∞，22]∪[2，＋∞) 解析：选A.函数f (x )＝2log 12x 在(0，＋∞)上为减函数，则－1≤2log 12x ≤1，可得－12≤log 12x ≤12，解得22≤x ≤ 2.4．若函数f(x)＝a x＋log a(x＋1)在[0,1]上的最大值和最小值之和为a，则a的值为( )A.14B.12C．2 D．4解析：选B.当a＞1时，a＋log a2＋1＝a，log a2＝－1，a＝12，与a＞1矛盾；当0＜a＜1时，1＋a＋log a2＝a，loga 2＝－1，a＝12.5．函数f(x)＝log a[(a－1)x＋1]在定义域上( )A．是增函数B．是减函数C．先增后减D．先减后增解析：选A.当a＞1时，y＝log a t为增函数，t＝(a－1)x＋1为增函数，∴f(x)＝loga[(a－1)x＋1]为增函数；当0＜a＜1时，y＝log a t为减函数，t＝(a－1)x＋1为减函数，∴f(x)＝log a[(a－1)x＋1]为增函数．6．(2009年高考全国卷Ⅱ)设a＝lge，b＝(lg e)2，c＝lg e，则( )A．a>b>c B．a>c>bC．c>a>b D．c>b>a解析：选B.∵1<e<3，则1<e<e<e2<10，∴0<lg e<1.则lg e＝12lg e<lg e，即c<a.∵0<lg e<1，∴(lg e)2<lg e，即b<a.又c－b＝12lg e－(lg e)2＝12lg e(1－2lg e)＝12lg e·lg10e2>0，∴c>b，故选B.7．已知0＜a＜1,0＜b＜1，如果a log b(x－3)＜1，则x的取值范围是________．解析：∵0＜a ＜1，a log b (x －3)＜1，∴log b (x －3)＞0. 又∵0＜b ＜1，∴0＜x －3＜1，即3＜x ＜4. 答案：3＜x ＜48．f (x )＝log 21＋xa －x 的图象关于原点对称，则实数a 的值为________．解析：由图象关于原点对称可知函数为奇函数， 所以f (－x )＋f (x )＝0，即log 21－x a ＋x ＋log 21＋x a －x ＝0⇒log 21－x 2a 2－x 2＝0＝log 21， 所以1－x 2a 2－x 2＝1⇒a ＝1(负根舍去)．答案：19．函数y ＝log a x 在[2，＋∞)上恒有|y |＞1，则a 取值范围是________． 解析：若a ＞1，x ∈[2，＋∞)，|y |＝log a x ≥log a 2，即log a 2＞1，∴1＜a ＜2；若0＜a ＜1，x ∈[2，＋∞)，|y |＝－log a x ≥－log a 2，即－log a 2＞1，∴a ＞12，∴12＜a ＜1.答案：12＜a ＜1或1＜a ＜210．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－ax －4a x log a xx是R 上的增函数，求a 的取值范围．解：f (x )是R 上的增函数， 则当x ≥1时，y ＝log a x 是增函数， ∴a >1.又当x <1时，函数y ＝(6－a )x －4a 是增函数． ∴6－a >0，∴a <6.又(6－a )×1－4a ≤log a 1，得a ≥65.∴65≤a <6. 综上所述，65≤a ＜6.11．解下列不等式． (1)log 2(2x ＋3)＞log 2(5x －6)； (2)log x 12＞1.解：(1)原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋3＞05x －6＞02x ＋3＞5x －6，解得65＜x ＜3，所以原不等式的解集为(65，3)．(2)∵log x 12＞1⇔log 212log 2x ＞1⇔1＋1log 2x ＜0⇔log 2x ＋1log 2x＜0⇔－1＜log 2x ＜0⇔⎩⎪⎨⎪⎧2－1＜x ＜20x ＞0⇔12＜x ＜1.∴原不等式的解集为(12，1)．12．函数f (x )＝log 12(3x 2－ax ＋5)在[－1，＋∞)上是减函数，求实数a 的取值范围．解：令t ＝3x 2－ax ＋5，则y ＝log 12t 在[－1，＋∞)上单调递减，故t ＝3x 2－ax＋5在[－1，＋∞)单调递增，且t ＞0(即当x ＝－1时t ＞0)．因为t＝3x2－ax＋5的对称轴为x＝a6，所以⎩⎨⎧a6≤－18＋a＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧a≤－6a＞－8⇒－8＜a≤－6.。

第2课时 基本不等式的应用学习目标 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题．知识点 用基本不等式求最值用基本不等式x ＋y2≥xy 求最值应注意：(1)x ，y 是正数；(2)①如果xy 等于定值P ，那么当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2P ； ②如果x ＋y 等于定值S ，那么当x ＝y 时，积xy 有最大值14S 2.(3)讨论等号成立的条件是否满足． 预习小测 自我检验1．已知0<x <12，则y ＝x (1－2x )的最大值为________．答案 18解析 y ＝x (1－2x )＝12·2x ·(1－2x )≤12⎝⎛⎭⎫2x ＋1－2x 22＝18，当且仅当2x ＝1－2x ，即x ＝14时取“＝”．2．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x ＝________. 答案 20解析 总运费与总存储费用之和 y ＝4x ＋400x ×4＝4x ＋1 600x ≥24x ·1 600x＝160，当且仅当4x ＝1 600x ，即x ＝20时取等号．3．某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y (单位：万元)与机器运转时间x (单位：年)的关系为y ＝－x 2＋18x －25(x ∈N *)，则该公司每台机器年平均利润的最大值是________万元． 答案 8解析 年平均利润y x ＝－x ＋18－25x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋18≤－225x·x ＋18＝－10＋18＝8，当且仅当x ＝5时取“＝”．4．已知x >2，则x ＋4x －2的最小值为________．答案 6解析 x ＋4x －2＝x －2＋4x －2＋2，∵x －2>0，∴x －2＋4x －2＋2≥24＋2＝4＋2＝6.当且仅当x －2＝4x －2，即x ＝4时取“＝”．一、利用基本不等式变形求最值例1 已知x >0，y >0，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．解 方法一 ∵x >0，y >0，1x ＋9y ＝1，∴x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝y x ＋9xy ＋10 ≥6＋10＝16， 当且仅当y x ＝9xy，又1x ＋9y ＝1，即x ＝4，y ＝12时，上式取等号． 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.方法二 由1x ＋9y ＝1，得(x －1)(y －9)＝9(定值)．由1x ＋9y ＝1可知x >1，y >9， ∴x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10 ≥2(x －1)(y －9)＋10＝16， 当且仅当x －1＝y －9＝3， 即x ＝4，y ＝12时上式取等号， 故当x ＝4，y ＝12时，(x ＋y )min ＝16.延伸探究 若将条件换为：x >0，y >0且2x ＋8y ＝xy ，求x ＋y 的最小值． 解 方法一 由2x ＋8y －xy ＝0，得y (x －8)＝2x . ∵x >0，y >0，∴x －8>0，y ＝2x x －8， ∴x ＋y ＝x ＋2xx －8＝x ＋(2x －16)＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)×16x －8＋10＝18. 当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12时，等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.方法二 由2x ＋8y －xy ＝0及x >0，y >0， 得8x ＋2y＝1. ∴x ＋y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫8x ＋2y ＝8y x ＋2xy＋10≥28y x ·2xy＋10＝18. 当且仅当8y x ＝2xy ，即x ＝2y ＝12时等号成立．∴x ＋y 的最小值是18.反思感悟 应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件．当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件要一致，否则也不能求出最值；特别注意“1”的代换．跟踪训练1 已知正数x ，y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋4y 的最小值是________．答案 9解析 ∵x ＋y ＝1， ∴1x ＋4y ＝(x ＋y )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＝1＋4＋y x ＋4x y.∵x >0，y >0，∴y x >0，4xy >0，∴y x ＋4xy≥2y x ·4xy＝4， ∴5＋y x ＋4x y≥9.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y x ＝4x y ，即x ＝13，y ＝23时等号成立．∴⎝⎛⎭⎫1x ＋4y min ＝9.二、基本不等式在实际问题中的应用例2 “足寒伤心，民寒伤国”，精准扶贫是巩固温饱成果、加快脱贫致富、实现中华民族伟大“中国梦”的重要保障．某地政府在对山区乡镇企业实施精准扶贫的工作中，准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q 万件(生产量与销售量相等)与推广促销费x 万元之间的函数关系为Q ＝x ＋12(其中推广促销费不能超过3万元)．已知加工此批农产品还要投入成本2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q 万元(不包含推广促销费用)，若加工后的每件成品的销售价格定为⎝⎛⎭⎫2＋20Q 元/件． 那么当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？(利润＝销售额－成本－推广促销费) 解 设该批产品的利润为y ， 由题意知y ＝⎝⎛⎭⎫2＋20Q ·Q －2⎝⎛⎭⎫Q ＋1Q －x ＝2Q ＋20－2Q －2Q －x ＝20－2Q－x＝20－4x ＋1－x ＝21－⎣⎡⎦⎤4x ＋1＋(x ＋1)，0≤x ≤3.∵21－⎣⎡⎦⎤4x ＋1＋(x ＋1)≤21－24＝17，当且仅当x ＝1时，上式取“＝”， ∴当x ＝1时，y max ＝17.答 当推广促销费投入1万元时，利润最大为17万元．反思感悟 应用题，先弄清题意(审题)，建立数学模型(列式)，再用所掌握的数学知识解决问题(求解)，最后要回应题意下结论(作答)．使用基本不等式求最值，要注意验证等号是否成立． 跟踪训练2 2016年11月3日20点43分我国长征五号运载火箭在海南文昌发射中心成功发射，它被公认为是我国从航天大国向航天强国迈进的重要标志．长征五号运载火箭的设计生产采用了很多新技术新产品，甲工厂承担了某种产品的生产，并以x 千克/时的速度匀速生产时(为保证质量要求1≤x ≤10)，每小时可消耗A 材料kx 2＋9千克，已知每小时生产1千克该产品时，消耗A 材料10千克．消耗A 材料总重量为y 千克，那么要使生产1 000千克该产品消耗A 材料最少，工厂应选取何种生产速度？并求消耗的A 材料最少为多少． 解 由题意，得k ＋9＝10，即k ＝1，生产1 000千克该产品需要的时间是1 000x ，所以生产1 000千克该产品消耗的A 材料为y ＝1 000x (x 2＋9)＝1 000⎝⎛⎭⎫x ＋9x ≥1 000×29＝6 000， 当且仅当x ＝9x，即x ＝3时，等号成立，且1<3<10.故工厂应选取3千克/时的生产速度，消耗的A 材料最少，最少为6 000千克．基本不等式在实际问题中的应用典例 围建一个面积为360 m 2的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修)，其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m 的进出口，如图．已知旧墙的维修费用为45 元/m ，新墙的造价为180 元/m.设利用的旧墙长度为x (单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y (单位：元)．试确定x ，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用． 解 设矩形的另一边长为a m ，则y ＝45x ＋180(x －2)＋180×2a ＝225x ＋360a －360. 由已知xa ＝360，得a ＝360x ，∴y ＝225x ＋3602x －360.∵x >0，∴225x ＋3602x ≥2225×3602＝10 800.∴y ＝225x ＋3602x －360≥10 440.当且仅当225x ＝3602x时，等号成立．即当x ＝24 m 时，修建围墙的总费用最小，最小总费用是10 440元．[素养提升] 数学建模是对现实问题进行数学抽象，建立和求解模型的过程耗时费力，所以建立的模型要有广泛的应用才有价值．本例中所涉及的y ＝x ＋ax (a >0)就是一个应用广泛的函数模型．1．设x >0，则3－3x －1x 的最大值是( )A ．3B ．3－2 2C ．－1D ．3－2 3答案 D解析 ∵x >0，∴3x ＋1x≥23x ·1x ＝23，当且仅当x ＝33时取等号，∴－⎝⎛⎭⎫3x ＋1x ≤－23，则3－3x －1x≤3－23，故选D.2．已知x 2－x ＋1x －1(x >1)在x ＝t 时取得最小值，则t 等于( )A ．1＋ 2B ．2C ．3D ．4答案 B解析 x 2－x ＋1x －1＝x (x －1)＋1x －1＝x ＋1x －1＝x －1＋1x －1＋1≥2＋1＝3，当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时，等号成立．3．将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( ) A ．6.5 m B ．6.8 m C ．7 m D ．7.2 m 答案 C解析 设两直角边分别为a ，b ，直角三角形的框架的周长为l ，则12ab ＝2，∴ab ＝4，l ＝a ＋b ＋a 2＋b 2≥2ab ＋2ab ＝4＋22≈6.828(m)．∵要求够用且浪费最少，故选C. 4．已知正数a ，b 满足a ＋2b ＝2，则2a ＋1b 的最小值为________．答案 4解析 2a ＋1b ＝⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×12(a ＋2b ) ＝12⎝⎛⎭⎫4＋a b ＋4b a ≥12(4＋24)＝4.当且仅当a b ＝4b a ，即a ＝1，b ＝12时等号成立，∴2a ＋1b的最小值为4. 5．设计用32 m 2的材料制造某种长方体车厢(无盖)，按交通法规定厢宽为2 m ，则车厢的最大容积是________ m 3. 答案 16解析 设车厢的长为b m ，高为a m. 由已知得2b ＋2ab ＋4a ＝32，即b ＝16－2aa ＋1，∴V ＝a ·16－2a a ＋1·2＝2·16a －2a 2a ＋1.设a ＋1＝t ，则V ＝2⎝⎛⎭⎫20－2t －18t ≤2⎝⎛⎭⎫20－22t ·18t ＝16， 当且仅当t ＝3，即a ＝2，b ＝4时等号成立．1．知识清单： (1)已知x ，y 是正数．①若x ＋y ＝S (和为定值)，则当x ＝y 时，积xy 取得最大值． ②若x ·y ＝P (积为定值)，则当x ＝y 时，和x ＋y 取得最小值． 即：“和定积最大，积定和最小”． (2)求解应用题的方法与步骤．①审题，②建模(列式)，③解模，④作答．2．方法归纳：注意条件的变换，常用“1”的代换方法求最值． 3．常见误区：缺少等号成立的条件．1．已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值是( )A ．18B ．16C ．8D ．10 答案 A解析 x ＋2y ＝(x ＋2y )⎝⎛⎭⎫8x ＋1y ＝10＋16y x ＋x y ≥10＋216＝18，当且仅当16y x ＝xy，即x ＝4y ＝12时，等号成立．2．已知a >0，b >0，2a ＋1b ＝16，若不等式2a ＋b ≥9m 恒成立，则m 的最大值为( )A ．8B ．7C ．6D ．5 答案 C解析 由已知，可得6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ＝1， ∴2a ＋b ＝6⎝⎛⎭⎫2a ＋1b ×(2a ＋b ) ＝6⎝⎛⎭⎫5＋2a b ＋2ba ≥6×(5＋4)＝54， 当且仅当2ab ＝2ba 时，即a ＝b ＝18等号成立，∴9m ≤54，即m ≤6，故选C.3．小王从甲地到乙地往返的时速分别为a 和b (a <b )，其全程的平均时速为v ，则( ) A ．a <v <ab B ．v ＝ab C.ab <v <a ＋b2D ．v ＝a ＋b2答案 A解析 设小王从甲地到乙地行驶的路程为s ， ∵b >a >0，则v ＝2ss a ＋s b ＝2ab a ＋b <2ab 2ab ＝ab ， 又2ab a ＋b >2ab2b＝a ，故选A. 4．若正数x ，y 满足x 2＋3xy －1＝0，则x ＋y 的最小值是( ) A.23 B.223 C.33 D.233答案 B解析 由x 2＋3xy －1＝0，可得y ＝13⎝⎛⎭⎫1x －x . 又x >0，所以x ＋y ＝2x 3＋13x≥229＝223⎝⎛⎭⎫当且仅当x ＝22时等号成立. 5．已知m >0，n >0，m ＋n ＝1且x ＝m ＋1m ，y ＝n ＋1n ，则x ＋y 的最小值是( )A ．4B ．5C ．8D ．10 答案 B解析 依题意有x ＋y ＝m ＋n ＋1m ＋1n ＝1＋m ＋n m ＋m ＋n n ＝3＋n m ＋mn≥3＋2＝5，当且仅当m ＝n＝12时取等号．故选B. 6．为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C (单位：mg·L －1) 随时间t (单位：h)的变化关系为C ＝20t t 2＋4，则经过_______ h 后池水中该药品的浓度达到最大．答案 2解析 C ＝20t t 2＋4＝20t ＋4t .因为t >0，所以t ＋4t≥2t ·4t＝4 ⎝⎛⎭⎫当且仅当t ＝4t ，即t ＝2时等号成立.所以C ＝20t ＋4t≤204＝5，当且仅当t ＝4t ， 即t ＝2时，C 取得最大值．7.在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长x 为________m.答案 20解析 设矩形花园的宽为y ，则x 40＝40－y40，即y ＝40－x ，矩形花园的面积S ＝x (40－x )≤⎝⎛⎭⎫x ＋40－x 22＝400，当且仅当x ＝20时，取等号，即当x ＝20 m 时，面积最大．8．某汽车运输公司购买一批豪华大客车投入营运，据市场分析每辆车营运的总利润y (单位：10万元)与营运年数x (x ∈N *)满足关系y ＝－x 2＋12x －25，则每辆客车营运________年时，年平均利润最大． 答案 5解析 ∵y ＝－x 2＋12x －25， ∴年平均利润为y x ＝－x 2＋12x －25x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋25x ＋12≤－2x ·25x＋12＝2， 当且仅当x ＝25x ，即x ＝5时，等号成立．9．已知x >0，y >0且2x ＋5y ＝20.(1)求xy 的最大值； (2)求1x ＋1y的最小值．解 (1)∵2x ＋5y ＝20，x >0，y >0， ∴2x ＋5y ≥210xy ， ∴210xy ≤20，即xy ≤10，当且仅当x ＝5，y ＝2时，等号成立， ∴xy 的最大值为10. (2)1x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋1y ·120(2x ＋5y ) ＝120⎝⎛⎭⎫2＋5＋5y x ＋2x y ＝120⎝⎛⎭⎫7＋5y x ＋2x y ≥120(7＋210)， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立． ∴1x ＋1y 的最小值为120(7＋210)． 10．某人准备租一辆车从孝感出发去武汉，已知从出发点到目的地的距离为100 km ，按交通法规定：这段公路车速限制在40～100(单位：km /h)之间．假设目前油价为7.2元/L ，汽车的耗油率为⎝⎛⎭⎫3＋x2360L /h ，其中x (单位：km/h)为汽车的行驶速度，耗油率指汽车每小时的耗油量．租车需付给司机每小时的工资为76.4元，不考虑其他费用，这次租车的总费用最少是多少？此时的车速x 是多少？(注：租车总费用＝耗油费＋司机的工资) 解 设总费用为y 元． 由题意，得y ＝76.4×100x ＋7.2×100x ×⎝⎛⎭⎫3＋x 2360＝9 800x＋2x (40≤x ≤100)． 因为y ＝9 800x ＋2x ≥219 600＝280.当且仅当9 800x＝2x ，即x ＝70时取等号．所以这次租车的总费用最少是280元，此时的车速为70 km/h.11．设0<x <1，则4x ＋11－x的最小值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D.272答案 B解析 ∵0<x <1，∴1－x >0， 4x ＋11－x ＝[x ＋(1－x )]·⎝⎛⎭⎫4x ＋11－x ＝4＋4(1－x )x ＋x 1－x＋1≥5＋24(1－x )x ·x 1－x＝5＋2×2＝9. 当且仅当4(1－x )x ＝x 1－x， 即x ＝23时，等号成立． ∴4x ＋11－x的最小值为9. 12．设自变量x 对应的因变量为y ，在满足对任意的x ，不等式y ≤M 都成立的所有常数M 中，将M 的最小值叫做y 的上确界．若a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，则－12a －2b的上确界为( ) A ．－92 B.92 C.14D ．－4 答案 A解析 因为a ，b 为正实数，且a ＋b ＝1，所以12a ＋2b ＝⎝⎛⎭⎫12a ＋2b ×(a ＋b )＝52＋⎝⎛⎭⎫b 2a ＋2a b ≥52＋2b 2a ×2a b ＝92，当且仅当b ＝2a ，即a ＝13，b ＝23时等号成立，因此有－12a －2b ≤－92，即－12a －2b 的上确界为－92. 13．一个矩形的周长为l ，面积为S ，则如下四组数对中，可作为数对(S ，l )的序号是( )①(1,4)；②(6,8)；③(7,12)；④⎝⎛⎭⎫3，12. A ．①③B ．①③④C ．②④D ．②③④答案 A解析 设矩形的长和宽分别为x ，y ，则x ＋y ＝12l ，S ＝xy . 对于①(1,4)，则x ＋y ＝2，xy ＝1，根据基本不等式满足xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，符合题意；对于②(6,8)，则x ＋y ＝4，xy ＝6，根据基本不等式不满足xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，不符合题意；对于③(7,12)，则x ＋y ＝6，xy ＝7，根据基本不等式满足xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，符合题意； 对于④⎝⎛⎭⎫3，12，则x ＋y ＝14，xy ＝3， 根据基本不等式不满足xy ≤⎝⎛⎭⎫x ＋y 22，不符合题意．综合，可作为数对(S ，l )的序号是①③.14．已知不等式2x ＋m ＋8x －1>0对任意的x >1恒成立，则实数m 的取值范围为________． 答案 {m |m >－10}解析 ∵2x ＋m ＋8x －1>0在x >1时恒成立， ∴m >－2x －8x －1＝－2⎝⎛⎭⎫x ＋4x －1 ＝－2⎝⎛⎭⎫x －1＋4x －1＋1， 又x >1时，x －1>0，x －1＋4x －1＋1≥2(x －1)·4x －1＋1＝5， 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时，等号成立， ∴－2⎝⎛⎭⎫x －1＋4x －1＋1≤－2×5＝－10. ∴m >－10，∴实数m 的取值范围为{m |m >－10}．15．若不等式ax 2＋1x 2＋1≥2－3a 3(a >0)恒成立，则实数a 的取值范围是________． 答案 ⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪a ≥19 解析 原不等式可转化为a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥23， 又a >0，则a (x 2＋1)＋1x 2＋1≥2a (x 2＋1)·1x 2＋1＝2a ， 当且仅当a (x 2＋1)＝1x 2＋1， 即a ＝1(x 2＋1)2时等号成立， 则根据恒成立的意义可知2a ≥23，解得a ≥19. 16．某厂家拟在2020年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x (单位：万件)与年促销费用m (m ≥0)(单位：万元)满足x ＝3－k m ＋1(k 为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销量是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)．那么该厂家2020年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？最大利润为多少？解 设2020年该产品利润为y ，由题意，可知当m ＝0时，x ＝1，∴1＝3－k ，解得k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 又每件产品的销售价格为1.5×8＋16x x元， ∴y ＝x ⎝⎛⎭⎫1.5×8＋16x x －(8＋16x ＋m ) ＝4＋8x －m ＝4＋8⎝⎛⎭⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎡⎦⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29， ∵m ≥0，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， 当且仅当16m ＋1＝m ＋1，即m ＝3时等号成立， ∴y ≤－8＋29＝21，∴y max ＝21.故该厂家2020年的促销费用为3万元时，厂家的利润最大，最大利润为21万元．。

第2课时对数的运算课时过关·能力提升基础巩固1.若a>0,且a≠1,x>y>0,则下列式子正确的个数是 ()①log a x·log a y=log a(x+y);②log a x-log a y=log a(x-y);③log a xy=log a x÷log a y;④log a(xy)=log a x·log a y.A.0B.1C.2D.3答案:A2.2log510+log50.25等于()A.0B.1C.2D.4解析:原式=log5100+log50.25=log525=log552=2.答案:C3.计算log225·log32√2·log59的结果为()A.3B.4C.5D.6解析:原式=lg25lg2×lg2√2lg3×lg9lg5=2lg5lg2×32lg2lg3×2lg3lg5=6.答案:D4.计算823+log32−log36的结果是()A.16√2−1B.4C.3D.1解析:原式=(23)23+log 326=4+log 313=4−1=3.答案:C5.已知log 23=a ,log 37=b ,则log 27等于( ) A.a+bB.a-bC.abD .ab解析:log 27=log 23·log 37=ab. 答案:C6.若lg x-lg y=t ,则l g (x 2)3−lg (y 2)3=( )A.3tB .32tC.tD.t2解析:l g (x 2)3−lg (y 2)3=3lg x2−3lg y2=3lg xy =3(lg x-lg y )=3t.答案:A7.若lg x=lg m-2lg n ,则x= . 解析:∵lg m-2lg n=lg m-lg n 2=lg mn 2,∴x =mn 2. 答案:mn 28.已知3a =2,用a 表示log 34-log 36= . 解析:∵3a =2,∴a=log 32,∴log 34-log 36=log 322-log 3(2×3)=2log 32-log 32-log 33=a-1.答案:a-19.若2.5x =1 000,0.25y =1 000,则1x−1y=______________________.解析:∵x=log 2.51 000,y=log 0.251 000, ∴1x =1log 2.51 000=log 1 0002.5,同理1y=log 1 0000.25,∴1x−1y=log 1 0002.5-log 1 0000.25=log 1 00010=lg10lg1 000=13.答案:1310.计算:(1)(lg 5)2+3lg 2+2lg 5+lg 2×lg 5; (2lg √10×lg0.1(3)(log 62)2+(log 63)2+3log 62×(log 6√183-13log 62). 解:(1)(lg 5)2+3lg 2+2lg 5+lg 2×lg 5 =lg 5(lg 5+lg 2)+2(lg 2+lg 5)+lg 2 =lg 5×lg 10+2lg 10+lg 2 =2+(lg 5+lg 2) =3.(2lg √10×lg0.1=lg8×1252×5lg1012×lg10-1=lg10212×(-1)=−4.(3)(log 62)2+(log 63)2+3log 62×(log 6√183−13log 62) =(log 62)2+(log 63)2+3log 62×log √183√23=(log62)2+(log63)2+3log62×log6√93=(log62)2+(log63)2+2log62×log63=(log62+log63)2=1.能力提升1.若lg a+lg b=0(其中a>0,b>0,a≠1,b≠1),则函数f(x)=a x与g(x)=b x的图象关于()A.直线y=x对称B.x轴对称C.y轴对称D.原点对称解析:∵lg a+lg b=lg(ab)=0,∴ab=1,∴b=1a.∴g(x)=(1a )x,故函数f(x)与g(x)的图象关于y轴对称.答案:C2.若实数a,b,c满足25a=403b=2 015c=2 018,则下列式子正确的是()A.1a +2b=2cB.2a+2b=1cC.1a +1b=2cD.2a+1b=2c解析:由已知,得52a=403b=2 015c=2 018,得2a=log52 018,b=log4032 018,c=log2 0152 018,所以12a=log2 0185,1b =log2 018403,1c=log2 0182 015,而5×403=2 015,所以12a+1b=1c,即1a+2b=2c,故选A.答案:A3.★某种食品因存放不当受到细菌的侵害.据观察,此食品中细菌的个数y与经过的时间t(单位:min)满足关系y=2t.若细菌繁殖到3个、6个、18个所经过的时间分别是t1,t2,t3,则有() A.t1·t2=t3 B.t1+t2>t3C.t1+t2=t3D.t1+t2<t3解析:由题意,得2t1=3,2t2=6,2t3=18,则t1=log23,t2=log26,t3=log218,所以t1+t2=log23+log26=log218=t3.答案:C4.计算lg25+lg 2+lg 2·lg 5=.解析:原式=lg 5(lg 5+lg 2)+lg 2=lg 5+lg 2=1.答案:15.已知函数f(x)=x+1,g(x)=−1x,则f(log2 3)+g(log6 2)=_____________.解析:f(log23)+g(log62)=log23+1−1log62=log2 3−log2 6+1=log2 36+1=log2 12+1=log2 2−1+1=−1+1=0.答案:06.若关于lg x的方程lg2x+(lg 7+lg 5)lg x+lg 7·lg 5=0 的两个根是lg α,lg β,则αβ的值是.解析:由题意,得lg α+lg β=-(lg 7+lg 5)=l g135,故lg(αβ)=lg135,即αβ=135.答案:1357.已知x,y,z为正数,3x=4y=6z,且2x=py.(1)求p;(2)求证:1z −1x=12y.(1)解设3x=4y=6z=k(显然k>0,且k≠1), 则x=log3k,y=log4k,z=log6k.由2x=py,得2log3k=p log4k=p·log3klog34.∵log3k≠0,∴p=2log34.(2)证明1z −1x=1log6k−1log3k=log k 6−log k 3=log k 2.∵12y=12log k 4=log k 2,∴1z−1x=12y.8.★甲、乙两人在解关于x的方程log2x+b+c·log x2=0时,甲写错了常数b得两根为14,1 8 ,乙写错了常数c得两根为12,64.求原方程的根.分析:将方程化为关于log2x的一元二次方程的形式.先利用一元二次方程的根与系数的关系求出b和c,再求出原方程的根.解:由原方程可知x>0,且x≠1.原方程可化为log2x+b+c·1log2x=0,即(log2x)2+b log2x+c=0.因为甲写错了常数b得两根为14,18,所以c=log2 14·log2 18=6.因为乙写错了常数c得两根为12,64,所以b=−(log212+log264)=−5.故原方程为log2x-5+6log x2=0,可化为(log2x)2-5log2x+6=0.解得log2x=2或log2x=3.所以x=4或x=8,故原方程的根为x=4或x=8.。