【苏教版】2021年数学高中必修一(全集)课时同步练习全汇总(vip专享)

1.判断题(对的打“√”，错的打“×”)(1)“全体著名的文学家”构成一个集合．( )(2)小于8但不小于－2的偶数集合是{0，2，4，6}．( )(3)集合{0}中不含元素．( )(4){0，1}，{1，0}是两个不同的集合．( )解析：(1)标准不明确，研究的对象不具备确定性，故不可以构成集合．(2)小于8但不小于－2的偶数集合应为{－2，0，2，4，6}．(3)集合{0}中含有一个元素为0.(4)由集合中元素的无序性可知{0，1}与{1，0}是相同的集合．答案：(1)×(2)×(3)×(4)×2.给出下列关系：①12∈R；②2∉Q；③|－5|∉N*；④|－3|∈Q.其中正确的是________．(填序号)解析：|－5|＝5∈N*，故③不正确；|－3|＝3∉Q，故④不正确；其他两个均正确．答案：①②3.集合A＝{x|x＝|a|a＋|b|b，a，b为非零实数}的元素个数为________．解析：若a>0，b>0，则x＝2；若a<0，b<0，则x＝－2；若a，b异号，则x＝0.故A＝{－2，0，2}．答案：34.如果集合{x|x2－2x＋a＝0}＝∅，则实数a的取值范围是________．解析：Δ＝4－4a<0得a>1.答案：a>15.用描述法表示下列集合：(1){0，1，2，3，4}＝___________________________________________________ _____________________；(2){13，24，35，46，57}＝___________________________________________________ _____________________；(3)不等式2x－4<3在自然数集合中的元构成的集合是___________________________________________________ _____________________.解析：(1)抓住这几个元素的特征：都是自然数，且都不大于4，故可表示为{x|x＝n，n∈N且n≤4}．(2)这5个分数都为真分数，分子比分母小2，且分子都在1到5之间，都为正整数．故可表示为{x|x＝nn＋2，1≤n≤5且n∈N}．(3)抓住元素的特征：为自然数，故可表示为{x|2x－4<3，x ∈N}．答案：(1){x|x＝n，n∈N且n≤4}(2){x|x ＝nn ＋2，1≤n ≤5且n ∈N}(3){x|2x －4<3，x ∈N}[A 级 基础达标]1.(2012·江阴市一中高一期中试题)若1∈{x ，x 2}，则x ＝________．解析：由1∈{x ，x 2}，则x ＝1或x 2＝1，∴x ＝±1，当x ＝1时，x ＝x 2＝1，不符合元素的互异性，∴x ＝－1. 答案：－12.用符号“∈”或“∉”填空：π________Q ，13________Q ，0________∅，2________R ，0________N *，32________{0，1，2}，－2________Z. 答案：∉ ∈ ∉ ∈ ∉ ∉ ∈3.集合A ＝{x 2，3x ＋2，5y 3－x}，B ＝{周长等于20cm 的三角形}，C ＝{x|x －3＜2，x ∈R}，D ＝{(x ，y)|y ＝x 2－x －1}，其中用描述法表示集合的有________．解析：集合A 是用列举法描述的．答案：B 、C 、D4.如图，是用Venn 图表示的集合，用列举法表示为________；用描述法表示为________．解析：其中元素为－2，－1，0，1，2，3.答案：{－2，－1，0，1，2，3} {x|－3<x<4，x ∈Z} 5.若集合{1，a ，b}与{－1，－b ，1}是同一个集合，则a 与b 分别为________．解析：由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－b 或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－b ，b ＝－1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－1.当a ＝1，b ＝－1时，集合中有重复元素舍去．故a ＝－1，b ＝0.答案：－1，06.已知p ∈R ，且集合A ＝{x|x 2－px －52＝0}，集合B ＝{x|x 2－92x －p ＝0}，若12∈A ，求集合B 中的所有元素． 解：由12∈A ，得12为方程x 2－px －52＝0的一个根，代入得p ＝－92，从而B ＝{x|x 2－92x ＋92＝0}＝{32，3}，即集合B 中的元素为32和3. 7.已知集合A ＝{x|x ∈N ，126－x ∈N},用列举法表示集合A. 解：∵126－x ∈N ，x ∈N ，∴6－x ＝1，2，3，4，6，得x ＝5，4，3，2，0.∴集合A ＝{0，2，3，4，5}．[B 级 能力提升]8.(2012·黄桥中学州市高一期中试题)已知集合M ＝{x 2－5x－5，1}，则实数x的取值范围为________．解析：∵x2－5x－5≠1，∴x2－5x－6≠0，∴(x＋1)(x－6)≠0，∴x≠－1且x≠6.故x的取值范围为{x|x∈R，x≠－1且x≠6}．答案：{x|x∈R，x≠－1且x≠6}9.已知集合A＝{a，b，c}，若a，b，c为△ABC的三边长，那么△ABC一定不是________．(填序号)①等腰三角形；②直角三角形；③锐角三角形；④钝角三角形；⑤等边三角形．解析：由集合中元素的互异性可知a，b，c互不相等，故应填①⑤.答案：①⑤10.用适当的方法表示下列集合，并指出它是有限集还是无限集．(1)由所有小于10的既是奇数又是质数的自然数组成的集合；(2)由平面直角坐标系中所有第三象限内的点组成的集合；(3)由方程x2＋x＋1＝0的实数根组成的集合；(4)由所有周长等于10cm的三角形组成的集合．解：(1)满足条件的数为3，5，7，所以所求集合为B＝{3，5，7}．集合B是有限集．(2)所求集合可表示为C＝{(x，y)|x<0且y<0}．集合C是无限集．(3)因为方程x2＋x＋1＝0的判别式Δ<0，故无实根，所以由方程x2＋x＋1＝0的实数根组成的集合是空集．(4)由所有周长等于10cm的三角形组成的集合可表示为P＝{x|x是周长等于10cm的三角形}．P为无限集．11.(创新题)已知集合A＝{x|x＝a＋2b，a∈Z，b∈Z}，试判断下列元素x与集合A间的关系：(1)x＝0；(2)x＝12＋1；(3)x＝x1＋x2，其中x1∈A，x2∈A；(4)x＝x1·x2，其中x1∈A，x2∈A.解：(1)∵x＝0＝0＋0×2，取a＝b＝0，0∈Z，∴x∈A；(2)∵x＝12＋1＝2－1＝(－1)＋1×2，－1∈Z，1∈Z.∴x∈A；(3)∵x1∈A，x2∈A.∴有a1，a2，b1，b2∈Z，使得x1＝a1＋2b1，x2＝a2＋2b2，则x＝x1＋x2＝(a1＋a2)＋2(b1＋b2)，而a1＋a2∈Z，b1＋b2∈Z，∴x∈A；(4)由(3)，x＝x1·x2＝(a1＋2b1)(a2＋2b2) ＝(a1a2＋2b1b2)＋2(a1b2＋a2b1)，而a1a2＋2b1b2∈Z，a1b2＋a2b1∈Z，故x∈A.。

2021年苏教版高中数学选修1-2全册同步练习及单元检测含答案苏教版高中数学选修1～2 全册同步练习及检测苏版高中数学课时作业及单元检测题全册合编含答案第1章统计案例§1.1 独立性检验课时目标1.了解独立性检验的基本思想.2.体会由实际问题建模的过程，了解独立性检验的基本方法．1．独立性检验：用______________研究两个对象是否有关的方法称为独立性检验． 2．对于两个研究对象Ⅰ和Ⅱ，Ⅰ有两类取值，即类A和类B，Ⅱ也有两类取值，即类1和类2.我们得到如下列联表所示的抽样数据：Ⅱ 类A 类B 合计类1 a c a＋c 类2 b d b＋d 合计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d Ⅰ则χ2的计算公式是________________． 3．独立性检验的一般步骤：(1)提出假设H0：两个研究对象没有关系；(2)根据2×2列联表计算χ2的值；(3)查对临界值，作出判断．一、填空题1．下面是一个2×2列联表：x1 x2 总计 y1 a 8 b y2 21 25 46 总计 73 33 则表中a、b处的值分别为________，________. 2．为了检验两个事件A，B是否相关，经过计算得χ2＝8.283，则说明事件A和事件B________(填“相关”或“无关”)．3．为了考察高一年级学生的性别与是否喜欢数学课程之间的关系，在高一年级随机抽1苏版高中数学课时作业及单元检测题全册合编含答案取了300名，得到如下2×2列联表．判断学生性别与是否喜欢数学________(填“有”或“无”)关系.男女合计喜欢 37 35 72 不喜欢 85 143 228 合计 122 178 300 4．为了评价某个电视栏目的改革效果，在改革前后分别从居民点抽取了100位居民进行调查，经过计算χ2＝99.9，根据这一数据分析，下列说法正确的是________(只填序号)．①有99.9%的人认为该栏目优秀；②有99.9%的人认为栏目是否优秀与改革有关系；③有99.9%的把握认为电视栏目是否优秀与改革有关系；④以上说法都不对．5．某班班主任对全班50名学生学习积极性和对待班级工作的态度进行了调查，统计数据如下表所示．从表中数据分析，学生学习积极性与对待班级工作的态度之间有关系的把握有________.学习积极性高学习积极性一般合计 6．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有______．7．下列说法正确的是________．(填序号)①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响；②事件A与B关系越密切，χ2就越大；③χ2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据；④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．8．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现χ2＝6.023，根据这一数据查表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过____________________________________________________．二、解答题2积极参加班级工作 18 6 24 不太主动参加班级工作 7 19 26 合计 25 25 50 苏版高中数学课时作业及单元检测题全册合编含答案9．在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表； (2)检验性别与休闲方式是否有关系．10．有甲、乙两个工厂生产同一种产品，产品分为一等品和二等品．为了考察这两个工厂的产品质量的水平是否一致，从甲、乙两个工厂中分别随机地抽出产品109件，191件，其中甲工厂一等品58件，二等品51件，乙工厂一等品70件，二等品121件．(1)根据以上数据，建立2×2列联表；(2)试分析甲、乙两个工厂的产品质量有无显著差别(可靠性不低于99%)能力提升11．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：3苏版高中数学课时作业及单元检测题全册合编含答案①若χ2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病；②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．其中说法正确的是________．12．下表是对某市8所中学学生是否吸烟进行调查所得的结果：父母中至少有一人吸烟父母均不吸烟吸烟学生 816 188 不吸烟学生 3 203 1 168 (1)在父母至少有一人吸烟的学生中，估计吸烟学生所占的百分比是多少？ (2)在父母均不吸烟的学生中，估计吸烟学生所占的百分比是多少？ (3)学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关吗？请简要说明理由． (4)有多大的把握认为学生的吸烟习惯和父母是否吸烟有关？1．对独立性检验思想的理解独立性检验的基本思想类似于数学中的反证法，要确认两个变量有关系这一结论成立的可信程度，首先假设该结论不成立，即假设“两个变量没有关系”成立，在该假设下我们构造的随机变量χ2应该很小，如果由观测数据计算得到的χ2的观测值很大，则在一定程度上4感谢您的阅读，祝您生活愉快。

高中数学必修一同步练习1.1.1 集合的含义与表示课后作业· 练习案【基础过关】1．若集合中只含一个元素1，则下列格式正确的是A.1=B.0C.1D.12．集合的另一种表示形式是A.{0,1,2,3,4}B.{1,2,3,4}C.{0,1,2,3,4,5}D.{1,2,3,4,5} 3．下列说法正确的有①集合，用列举法表示为{1,0,l}；②实数集可以表示为或;③方程组的解集为.A.3个B.2个C.1个D.0个4．直角坐标系中，坐标轴上点的集合可表示为A.B.C.D.5．若集合含有两个元素1，2，集合含有两个元素1，，且，相等，则____. 6．已知集合，，且，则为 . 7．设方程的根组成的集合为，若只含有一个元素，求的值. 8．用适当的方法表示下列集合：(1)所有被3整除的整数；(2)满足方程的所有x的值构成的集合B.【能力提升】集合，，，设，则与集合有什么关系？详细答案【基础过关】1．D【解析】元素与集合之间只存在“∈”与“∉”的关系，故1∈A正确.2．B【解析】由x－2＜3得x＜5，又，所以x＝1，2，3，4，即集合的另一种表示形式是{1，2，3，4}.3．D【解析】对于①，由于x∈N，而－1∉N，故①错误；对于②，由于“{ }”本身就具有“全部”、“所有”的意思，而且实数集不能表示为{R}，故②错误；对于③，方程组的解集是点集而非数集，故③错误.4．C【解析】坐标轴上的点分为x轴、y轴上的点，在x轴上的点纵坐标为0，在y轴上的点横坐标为0.5．【解析】由于P，Q相等，故，从而.6．(2，5)【解析】∵a∈A且a∈B，∴a是方程组的解，解方程组，得∴a为(2，5).7．A中只含有一个元素，即方程(a∈R)有且只有一个实根或两个相等的实根.(1)当a＝0时，方程的根为；(2)当a≠0时，有△＝4－4a＝0，即a＝1，此时方程的根为.∴a的值为0或1.【备注】误区警示：初学者易自然认为(a∈R)是一元二次方程，而漏掉对a 的讨论，导致漏解.举一反三：若把“若A只含有一个元素”改为“若A含有两个元素”，则结论又如何？由题意知，a≠0，且△＝4－4a＞0，解得a＜1.所以a＜1且a≠0.8．(1){x|x＝3n，n∈Z}；(2)B＝{x｜x＝|x|，x∈R}.【能力提升】∵a∈P，b∈M，c＝a＋b，设，，，，∴，又∴c∈M.1.1.2集合间的基本关系班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设，，若，则的取值范围是A. B. C. D.2．设集合，，则A.M =NB.M⊆NC.M ND.N3．已知集合，，若，求实数的值.4．满足条件{1,2,3}M{1,2,3,4,5,6}的集合的个数是A.8B.7C.6D.55．设集合和，那么与的关系为 .6．含有三个实数的集合,既可表示成,又可表示成，则.7．设集合，，求A∩B.8．已知M={x | x2-2x-3=0},N={x | x2+ax+1=0,a∈R},且N M,求a的取值范围.【能力提升】已知，，是否存在实数，使得对于任意实数，都有?若存在,求出对应的的值；若不存在，说明理由.答案【基础过关】1．D【解析】∵，∴a≥22．D【解析】本题考查集合间的基本关系.,；而；即N.选D.3．由A＝B，可得，解得x＝1.4．C【解析】本题考查子集.由题意得M={1,2,3,4},{1,2,3,5},{1,2,3,6},{1,2,3,4,5},{1,2,3,4,6},{1,2,3,6,5}共6个.选C. 5．M＝P【解析】∵xy＞0，∴x，y同号，又x＋y＜0，∴x＜0，y＜0，即集合M表示第三象限内的点.而集合P表示第三象限内的点，故M＝P.6．-1【解析】本题考查相等集合.由题意得,所以,即；此时，所以，，且，解得.所以.7．，解得；所以.【解析】本题考查集合的基本运算.8．解：M={x | x 2-2x -3=0}={3,-1};∵N M,当N=∅时，N M 成立,N={x | x 2+ax+1=0},∴a 2-4＜0, ∴-2＜a ＜2;当N≠∅时，∵N M, ∴3∈N 或 -1∈N;当3∈N 时，32-3a+1=0即a= -310,N={3,31},不满足N M;当-1∈N 时，(-1)2-a+1=0即a=2,N={-1},满足N M;∴a 的取值范围是-2<a ≤2.【解析】本题考查集合间的基本关系. 【能力提升】不存在.要使对任意的实数b 都有，则1，2是A 中的元素，又∵A ＝{a －4，a ＋4}，∴或这两个方程组均无解，故这样的实数a 不存在.1.1.3 集合的基本运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后作业【基础过关】1．若，，，，则满足上述条件的集合的个数为A.5B.6C.7D.82．已知全集U={1,2,3,4,5,6,7,8},A={3,4,5}, B={1,3,6},那么集合{2,7,8}是A.A∪BB.A∩BC.(∁U A)∩(∁U B)D.(∁U A)∪(∁U B)3．若集合P={x∈N|-1<x<3},Q={x|x=2a,a∈P},则P∩Q=A.⌀B.{x|-2<x<6}C.{x|-1<x<3}D.{0,2}4．设全集U=R,集合M={x|x>1或x<-1},N={x|0<x<2},则N∩(∁U M)=A.{x|-2≤x<1}B.{x|0<x≤1}C.{x|-1≤x≤1}D.{x|x<1}5．某班共30人,其中15人喜爱篮球运动,10人喜爱乒乓球运动,8人对这两项运动都不喜爱,则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为.6．集合A={(x,y)|x+y=0},B={(x,y)|x-y=2},则A∩B= .7．设集合A={x|0<x-m<3},B={x|x≤0,或x≥3},分别求满足下列条件的实数m.(1)A∩B=⌀;(2)A∪B=B.8．已知集合A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},C={x|x<a}.(1)求A∪B,(∁R A)∩B;(2)若A∩C≠⌀,求a的取值范围.【能力提升】已知集合A={x|x2-3x+2=0},B={x|x2-ax+a-1=0},C={x|x2-x+2m=0}.(1)若A∪B=A,求a的值;(2)若A∩C=C,求m的取值范围.详细答案【基础过关】1．D2．C【解析】借助Venn图易得{2,7,8}=∁U(A∪B),即为(∁U A)∩(∁U B).3．D【解析】由已知得P={0,1,2},Q={0,2,4},所以P∩Q={0,2}.4．B【解析】∁U M={x|-1≤x≤1},结合数轴可得N∩(∁U M)={x|0<x≤1}.5．12【解析】设两项运动都喜爱的人数为x,依据题意画出Venn图,得到方程15-x+x+10-x+8=30,解得x=3,∴喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15-3=12.6．{(1,-1)}【解析】A∩B={(x,y)|}={(1,-1)}.7．因为A={x|0<x-m<3},所以A={x|m<x<m+3}.(1)当A∩B=⌀时,需,故m=0.即满足A∩B=⌀时,m的值为0.(2)当A∪B=B时,A⊆B,需m≥3,或m+3≤0,得m≥3,或m≤-3.即满足A∪B=B时,m的取值范围为{m|m≥3,或m≤-3}.8．(1)因为A={x|2≤x<7},B={x|3<x<10},所以A∪B={x|2≤x<10}.因为A={x|2≤x<7},所以∁R A={x|x<2,或x≥7},则(∁R A)∩B={x|7≤x<10}.(2)因为A={x|2≤x<7},C={x|x<a},且A∩C≠⌀,所以a>2.【能力提升】A={1,2}.(1)因为A∪B=A,所以B⊆A,故集合B中至多有两个元素1,2.而方程x2-ax+a-1=0的两根分别为1,a-1,注意到集合中元素的互异性,有①当a-1=2,即a=3时,B={1,2},满足题意;②当a-1=1,即a=2时,B={1},满足题意.综上可知,a=2或a=3.(2)因为A∩C=C,所以C⊆A.①当C=⌀时,方程x2-x+2m=0无实数解,因此其根的判别式Δ=1-8m<0,即m>.②当C={1}(或C={2})时,方程x2-x+2m=0有两个相同的实数解x=1(或x=2),因此其根的判别式Δ=1-8m=0,解得m=,代入方程x2-x+2m=0,解得x=,显然m=不符合要求.③当C={1,2}时,方程x2-x+2m=0有两个不相等的实数解x1=1,x2=2,因此x1+x2=1+2≠1,x1x2=2=2m,显然不符合要求.综上,m>.1.2.1 函数的概念班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．下列函数中,值域为(0,+∞)的是( )A.y=B.y=C.y=D.y=x2+12．下列式子中不能表示函数的是A. B. C. D.3．函数y=+的定义域是( )A.(-1,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(0,1)D.{-1,1}4．若满足，且，，则等于A. B. C. D.5．若为一确定区间，则的取值范围是 .6．函数的图象是曲线，其中点，，的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则的值等于 .7．求下列函数的定义域.(1)；(2).8．已知.(1)求，的值；(2)求的值. 【能力提升】已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立.(1)求f(0),f(1)的值;(2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值.答案【基础过关】1．B【解析】y=的值域为[0,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞).故选B.2．A【解析】一个x对应的y值不唯一.3．D【解析】要使函数式有意义,需满足,解得x=±1,故选D.4．B【解析】f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q.5．【解析】由题意3a－1＞a，则.【备注】误区警示：本题易忽略区间概念而得出，则的错误.6．2【解析】由图可知f(3)＝1，∴f[f(3)]＝f(1)＝2.【备注】误区警示：本题在求解过程中会因不理解f[f(3)]的含义而出错.7．(1)由已知得∴函数的定义域为.(2)由已知得：∵|x＋2|－1≠0，∴|x＋2|≠1，得x≠－3，x≠－1.∴函数的定义域为(－∞，－3)∪(－3，－1)∪(―1，＋∞).8．(1)，.(2)∵，∴＝＝1＋1＋1＋＋1(共2012个1相加)＝2012.【能力提升】(1)令a=b=0,得f(0)=f(0)+f(0),解得f(0)=0;令a=1,b=0,得f(0)=f(1)+f(0),解得f(1)=0.(2)方法一令a=b=2,得f(4)=f(2)+f(2)=2p,令a=b=3,得f(9)=f(3)+f(3)=2q,令a=4,b=9,得f(36)=f(4)+f(9)=2p+2q.方法二因为36=22×32,所以f(36)=f(22×32)=f(22)+f(32)=f(2×2)+f(3×3)=f(2)+f(2)+f(3)+f(3)=2f(2)+2f(3)=2p+2q .【解析】题设只有一个函数方程,因此考虑特殊值0,1,通过解方程获解.1.2.2函数的表示法班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．已知是反比例函数，当时，，则的函数关系式为A. B. C. D.2．已知函数若,则的取值范围是A. B.C. D.3．已知函数f(x)=,则函数f(x)的图象是( )A. B. C. D.4．已知则A.2B.-2C.D.5．已知函数，且，则 .6．已知函数f(x)对于任意实数x满足条件f(x+2)=,若f(1)=-5,则f[f(5)]= .7．已知，为常数，且，，，方程有两个相等的实数根.求函数的解析式.8．如图，是边长为2的正三角形，记位于直线左侧的图形的面积为，试求函数的解析式.【能力提升】下图是一个电子元件在处理数据时的流程图:(1)试确定y与x的函数关系式;(2)求f(-3), f(1)的值;(3)若f(x)=16,求x的值.答案【基础过关】1．C【解析】根据题意可设(k≠0)，∵当x＝2时，y＝1，∴，∴k＝2.2．D【解析】若x∈[－1，1]，则有f(x)＝2∉[-1，1]，∴f(2)＝2；若x∉[－1，1]，则f(x)＝x∉[－1，1]，∴f[f(x)]＝x，此时若f[f(x)]＝2，则有x＝2.【备注】误区警示：本题易将x∉[－1，1]的情况漏掉而错选B.3．A【解析】当x=-1时,y=0,即图象过点(-1,0),D错;当x=0时,y=1,即图象过点(0,1),C错;当x=1时,y=2,即图象过点(1,2),B错.故选A.4．C【解析】∵，∴.【备注】无5．【解析】，∴，∴，解得.6．-【解析】由已知条件f(x+2)=可得f(x+4)==f(x),所以f(5)=f(1)=-5,所以f[f(5)]=f(-5)=f(-1)===-.7．∵，且方程f(x)＝x有两个相等的实数根，∴，∴b＝1，又∵f(2)＝0，∴4a＋2＝0，∴，∴.8．OB所在的直线方程为.当t∈(0，1]时，由x＝t，求得，所以；当t∈(1，2]时，；当t∈(2，＋∞)时，，所以【能力提升】(1)由题意知y=.(2)f(-3)=(-3)2+2=11, f(1)=(1+2)2=9.(3)若x≥1,则(x+2)2=16,解得x=2或x=-6(舍去);若x<1,则x2+2=16,解得x=(舍去)或x=-.综上可得,x=2或x=-.1.3.1单调性与最大（小）值班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．若函数在区间上是增函数，在区间上也是增函数，则函数在区间上A.必是增函数B.必是减函数C.先增后减D.无法确定单调性2．下列函数在(0，1)上是增函数的是A. B. C. D.3．函数,在上是A.减函数B.增函数C.先减后增D.无单调性4．下面说法错误的是A.函数的单调区间一定是函数的定义域B.函数的多个单调增区间的并集不一定是其单调增区间C.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称D.关于原点对称的图象一定是奇函数的图象5．已知函数在区间上为减函数,则的取值范围是_____________.6．设奇函数f(x)的定义域为[-5,5],且当x∈[0,5]时,f(x)的图象如图所示,则不等式f(x)<0的解集是.7．.已知函数,若.(l)求的值.(2)利用单调性定义证明函数在区间的单调性.8．首届世界低碳经济大会在南昌召开，大会以“节能减排，绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨，最多为600吨，月处理成本(元)与月处理量(吨)之间的函数关系可近似地表示为，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？(2)该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位不亏损？【能力提升】函数f(x)的图象如图所示.(1)说出f(x)的单调区间,以及在每一个单调区间上它是增函数还是减函数;(2)依据图象说明函数的最值情况.答案【基础过关】1．D【解析】因为(a，b)，(c，d)不是两个连续的区间，所以无法确定其单调性.2．B【解析】选项A中y＝1－2x为减函数，C中y＝5为常数函数，D中的定义域为[1，＋∞).3．B【解析】解答本题可先画出函数图象，由图象分析.函数f(x)的图象如图所示，由图结合单调性的定义可知，此函数在R上是增函数.4．A【解析】单调区间是定义域的子集，不一定是定义域，当多个单调区间并起来时，由单调性定义知，不再是单调区间.具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，是函数奇偶性判定的要求.奇函数的图象关于原点对称，反之，关于原点对称的图象一定是奇函数的图象.5．(－∞,1]6．(-2,0)∪(2,5]【解析】由图可知在区间(2,5]上f(x)<0,因为奇函数的图象关于原点对称,所以在(-2,0)上也有f(x)<0.7．(1)由2f(2)＝f(3)＋5,得,解得a＝2.(2)由(1)知.任取x1,x2∈(1,＋∞)且x1＜x2,,因为1＜x1＜x2,所以x1－1＞0,x2－1＞0,x2－x1＞0.所以f(x1)－f(x2)＞0,即f(x1)＞f(x2).所以f(x)在(1,＋∞)上是减函数.8．(1)由题意可知，二氧化碳的每吨平均处理成本为令，可以证明t(x)在(0，400)为减函数，在[400，＋∞)上是增函数，故每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低，最低成本为200元.(2)设该单位每月获利为S，则.因为400≤x≤600，所以当x＝400时，S有最大值－40 000.故该单位不获利，需要国家每月至少补贴40 000元，才能不亏损.【能力提升】(1)由题图可知:函数f(x)的单调增区间为[0,];单调减区间为(-∞,0)和(,+∞).(2)观察图象可知,函数没有最大值和最小值.1.3.2奇偶性班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．设在[-2，-1]上为减函数，最小值为3，且为偶函数，则在[1，2]上A.为减函数，最大值为3B.为减函数，最小值为-3C.为增函数，最大值为-3D.为增函数，最小值为32．已知函数是偶函数，其图象与轴有四个交点，则方程的所有实根之和是A.4B.2C.1D.03．函数是奇函数，图象上有一点为，则图象必过点A. B.C. D.4．设，其中为常数，若，则的值为A.-7B.7C.17D.-175．已知定义在上的奇函数，当时，，那么时，.6．若函数为区间[-1，1]上的奇函数，则；.7．作出函数的图象，并根据函数的图象找出函数的单调区间.8．已知函数是定义在R上的偶函数，且当时，该函数的值域为，求函数的解析式.【能力提升】已知函数f(x)=-x2+x,是否存在实数m,n(m<n),使得当x∈[m,n]时,函数的值域恰为[2m,2n]?若存在,求出m,n的值;若不存在,说明理由.答案【基础过关】1．D2．D3．C【解析】奇函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，故有f(－a)＝－f(a).因为函数f(x)是奇函数，故点(a，f(a))关于原点的对称点(－a，－f(a))也在y＝f(x)上，故选C.4．D【解析】∵，∴27a＋3b＝－12，∴f(3)＝27a＋3b－5＝－17.5．－x2－|x|＋16．0 07．当x－2≥0，即x≥2时，；当x－2＜0，即x＜2时，＝.所以这是分段函数，每段函数图象可根据二次函数图象作出(如图)，其中，[2，＋∞)是函数的单调增区间；是函数的单调减区间.8．由f(x)为偶函数可知f(x)＝f(－x)，即，可得恒成立，所以a＝c＝0，故.当b＝0时，由题意知不合题意；当b＞0，x∈[1，2]时f(x)单调递增，又f(x)值域为[－2，1]，所以当b＜0时，同理可得所以或.【能力提升】假设存在实数m,n,使得当x∈[m,n]时,y∈[2m,2n],则在[m,n]上函数的最大值为2n.而f(x)=-x2+x=-(x-1)2+在x∈R上的最大值为,∴2n≤,∴n≤.而f(x)在(-∞,1)上是增函数,∴f(x)在[m,n]上是增函数,∴,即.结合m<n≤,解得m=-2,n=0.∴存在实数m=-2,n=0,使得当x∈[-2,0]时,f(x)的值域为[-4,0].2.1.1指数与指数幂的运算班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________课后练习【基础过关】1．化简的结果为A. B. C.- D.2．计算的结果是A. B. C. D.3．设，则有A. B.C. D.4．下列说法中正确的个数是( )(1)49的四次方根为7; (2)=a(a≥0);(3)()5=a5; (4)=(-3.A.1B.2C.3D.45．若10m=2,10n=4,则= . 6．已知x=(2 01-2 01),n∈N*,则(x+)n的值为. 7．化简下列各式:(1)(·)÷;(2)()·(-3)÷().8．求下列各式的值:(1)2; (2)(; (3)+(-π0.【能力提升】已知+=3,求下列各式的值:(1)x+x-1;(2).答案【基础过关】1．A【解析】要使式子有意义，需，故x＜0，所以原式.2．A【解析】本题考查指数运算.注意先算中括号内的部分。

§1.2子集、全集、补集课时目标 1.理解子集、真子集的意义，会判断两集合的关系.2.理解全集与补集的意义，能正确运用补集的符号.3.会求集合的补集，并能运用Venn图及补集知识解决有关问题．1．子集如果集合A的__________元素都是集合B的元素(若a∈A则a∈B)，那么集合A称为集合B的________，记作______或______．任何一个集合是它本身的______，即A⊆A.2．如果A⊆B，并且A≠B，那么集合A称为集合B的________，记为______或(______)．3．______是任何集合的子集，______是任何非空集合的真子集．4．补集设A⊆S，由S中不属于A的所有元素组成的集合称为S的子集A的______，记为______(读作“A在S中的补集”)，即∁S A＝{x|x∈S，且x∉A}．5．全集如果集合S包含我们所要研究的各个集合，这时S可以看做一个______，全集通常记作U.集合A相对于全集U的补集用Venn图可表示为一、填空题1．集合P＝{x|y＝x＋1}，集合Q＝{y|y＝x－1}，则P与Q的关系是________．2．满足条件{1,2}M⊆{1,2,3,4,5}的集合M的个数是________．3．已知集合U＝{1,3,5,7,9}，A＝{1,5,7}，则∁U A＝________.4．已知全集U＝R，集合M＝{x|x2－4≤0}，则∁U M＝________.5．下列正确表示集合M＝{－1,0,1}和N＝{x|x2＋x＝0}关系的Venn图是_____________________________．6．集合M＝{x|x＝3k－2，k∈Z}，P＝{y|y＝3n＋1，n∈Z}，S＝{z|z＝6m＋1，m∈Z}之间的关系是________．7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 8．设全集U＝{x|x<9且x∈N}，A＝{2,4,6}，B＝{0,1,2,3,4,5,6}，则∁U A＝________，∁U B ＝______，∁B A＝________.9．已知全集U，A B，则∁U A与∁U B的关系是____________________．二、解答题10．设全集U＝{x∈N*|x<8}，A＝{1,3,5,7}，B＝{2,4,5}．(1)求∁U(A∪B)，∁U(A∩B)；(2)求(∁U A)∪(∁U B)，(∁U A)∩(∁U B)；(3)由上面的练习，你能得出什么结论？请结事Venn图进行分析．11．已知集合A＝{1,3，x}，B＝{1，x2}，设集合U＝A，求∁U B.能力提升12．设全集是数集U＝{2,3，a2＋2a－3}，已知A＝{b,2}，∁U A＝{5}，求实数a，b的值．13．已知集合A＝{x|1<ax<2}，B＝{x|－1<x<1}，求满足A⊆B的实数a的取值范围．1．子集概念的多角度理解(1)“A是B的子集”的含义是：集合A中的任何一个元素都是集合B的元素，即由任意x∈A能推出x∈B.(2)不能把“A⊆B”理解成“A是B中部分元素组成的集合”，因为当A＝∅时，A⊆B，但A中不含任何元素；又当A＝B时，也有A⊆B，但A中含有B中的所有元素，这两种情况都有A⊆B.2．∁U A的数学意义包括两个方面：首先必须具备A⊆U；其次是定义∁U A＝{x|x∈U，且x∉A}，补集是集合间的运算关系．3．补集思想做题时“正难则反”策略运用的是补集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困难，可先求∁U A，再由∁U(∁U A)＝A求A.§1.2子集、全集、补集知识梳理1．任意一个子集A⊆B B⊇A子集 2.真子集A B B A3．空集空集 4.补集∁S A 5.全集作业设计1．P Q解析∵P＝{x|y＝x＋1}＝{x|x≥－1}，Q＝{y|y≥0}，∴P Q.2．7解析M中含三个元素的个数为3，M中含四个元素的个数也是3，M中含5个元素的个数只有1个，因此符合题意的共7个．3．{3,9}解析在集合U中，去掉1,5,7，剩下的元素构成∁U A.4．{x|x<－2或x>2}解析∵M＝{x|－2≤x≤2}，∴∁U M＝{x|x<－2或x>2}．5．②解析由N＝{－1,0}，知N M.6．S P＝M解析运用整数的性质方便求解．集合M、P表示成被3整除余1的整数集，集合S表示成被6整除余1的整数集．7．－3解析∵∁U A＝{1,2}，∴A＝{0,3}，故m＝－3.8．{0,1,3,5,7,8}{7,8}{0,1,3,5}解析由题意得U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8}，用Venn图表示出U，A，B，易得∁U A＝{0,1,3,5,7,8}，∁U B＝{7,8}，∁B A＝{0,1,3,5}．9．∁U B∁U A解析画Venn图，观察可知∁U B∁U A.10．解 (1)∵U ＝{x ∈N *|x <8}＝{1,2,3,4,5,6,7}，A ∪B ＝{1,2,3,4,5,7}，A ∩B ＝{5}，∴∁U (A ∪B )＝{6}，∁U (A ∩B )＝{1,2,3,4,67}．(2)∵∁U A ＝{2,4,6}，∁U B ＝{1,3,6,7}，∴(∁U A )∪(∁U B )＝{1,2,3,4,6,7}，(∁U A )∩(∁U B )＝{6}． (3)∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )(如左下图)；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B )(如右下图)．11．解 因为B ⊆A ，因而x 2＝3或x 2＝x . ①若x 2＝3，则x ＝±3.当x ＝3时，A ＝{1,3，3}，B ＝{1,3}，此时∁U B ＝{3}；当x ＝－3时，A ＝{1,3，－3}，B ＝{1,3}，U ＝A ＝{1,3，－3}，此时∁U B ＝{－3}． ②若x 2＝x ，则x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，A 中元素x 与1相同，B 中元素x 2与1也相同，不符合元素的互异性，故x ≠1； 当x ＝0时，A ＝{1,3,0}，B ＝{1,0}，U ＝A ＝{1,3,0}，从而∁U B ＝{3}． 综上所述，∁U B ＝{3}或{－3}或{3}． 12．解 ∵∁U A ＝{5}，∴5∈U 且5∉A .又b ∈A ，∴b ∈U ，由此得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋2a －3＝5，b ＝3.解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝2，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝3经检验都符合题意．13．解 (1)当a ＝0时，A ＝∅，满足A ⊆B . (2)当a >0时，A ＝{x |1a <x <2a}．又∵B ＝{x |－1<x <1}，A ⊆B ，∴⎩⎨⎧1a≥－1，2a ≤1，∴a ≥2.(3)当a <0时，A ＝{x |2a <x <1a}．∵A ⊆B ，∴⎩⎨⎧2a≥－1，1a ≤1，∴a ≤－2.综上所述，a＝0或a≥2或a≤－2.。

（新课标）最新苏教版高中数学必修一§1.1 集合的含义及其表示（1）课后训练【感受理解】1．给出下列命题(其中N 为自然数集) ：①N 中最小的元素是1 ②若a ∈N 则-a ∉N ③ 若a ∈N,b ∈N ，则a+b 的最小值是2（4）x x 212=+的解可表示为}1,1{， 其中正确的命题个数为 . 2．用列举法表示下列集合.①小于12的质数构成的集合；②平方等于本身的数组成的集合；③由||||(,)a b a b R a b+∈所确定的实数的集合； ④抛物线221y x x =-+ (x 为小于5的自然数)上的点组成的集合.3. 若方程x 2-5x+6=0和方程x 2-x-2=0的解为元素的集合为M ，则M 中元素的个数为4．由2,2,4a a -组成一个集合A ，A 中含有3个元素，则a 的取值可以是【思考应用】5．由实数332,,,x x x x --所组成的集合里最多有 个元素.6. 由“,x xy ”组成的集合与由“0,||,x y ”组成的集合是同一个集合，则实数,x y 的值是否确定的？若确定，请求出来，若不确定，说明理由.7．定义集合运算：},),({B y A x y x xy z z B A ∈∈+==Θ，设集合}3,2{},1,0{==B A ，求集合B A Θ.8．关于x 的方程20(0)ax bx c a ++=≠，当,,a b c 分别满足什么条件时，解集为空集、含一个元素、含两个元素？9. 已知集合{,}A x x m m Z N Z ==+∈∈.(1)证明：任何整数都是A 的元素；(2)设12,,x x A ∈求证：12,x x A ⋅∈【拓展提高】9.设S 是满足下列两个条件的实数所构成的集合： ①1S ∉，②若a S ∈，则11S a ∈-， 请解答下列问题：（1）若2S ∈，则S 中必有另外两个数，求出这两个数；（2）求证：若a S ∈，则11S a-∈ （3）在集合S 中元素能否只有一个？请说明理由；（4）求证：集合S 中至少有三个不同的元素.§1.1集合的含义及其表示（2）课后训练1． 设a ，b ，c 均为非零实数，则x=||||||||a b c abc a b c abc+++的所有值为元素组成集合是________2． 集合}9,7,5,3,1{用描述法表示为 .3． 下列语句中，正确的是 .（填序号）（1）0与{0}表示同一个集合；（2）由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，1，2}；（3）方程0)2()1(22=--x x 的所有解的集合可表示为{1，1，2，2} （4）集合}54{<<x x 可以用列举法表示.4．所有被3整除的数用集合表示为 .5．下列集合中表示同一集合的是` （填序号）（1）M={3，2}，N={2，3} （2）M={(3，2)}，N={（2，3）}（3）M={(,)1},{(,)1}x y x y N y x x y +==+= (4) M={1，2}，N={(1,2)}6.下列可以作为方程组⎩⎨⎧-=-=+13y x y x 的解集的是 （填序号） （1）{1,2},x y ==(2){1,2}(3){(1,2)} （4）{(,)12}(5){(,)12}x y x y x y x y ====且或（6）}0)2()1(),{(22=-+-y x y x7．用另一种方法表示下列集合.（1）{绝对值不大于2的整数} （2）{能被3整除，且小于10的正数}（3）}5,{Z x x x x x ∈<=且 （4）*},*,6),{(N y N x y x y x ∈∈=+（5）{5,3,1,1,3--}8．已知{}{}0|,0|22=+-==++=q px x x B q px x x A .当{}2=A 时，求集合B9．用描述法表示图中阴影部分（含边界）的点的坐标集合.10．对于*,N b a ∈,现规定：⎩⎨⎧⨯+=)()(*的奇偶性不同与的奇偶性相同与b a b a b a b a b a ，集合{(,)*36,,*}M a b a b a b N ==∈ （1） 用列举法表示b a ,奇偶性不同时的集合M.（2） 当b a ,奇偶性相同时的集合M 中共有多少个元素？【拓展提高】11 设元素为正整数的集合A 满足“若x A ∈,则10x A -∈”.（1）试写出只有一个元素的集合A ；（2）试写出只有两个元素的集合A ；（3）这样的集合A 至多有多少个元素？（4）满足条件的集合A 共有多少个？§1.2 子集·全集·补集（1）课后训练【感受理解】1． 设M 满足{1，2，3}⊆M ≠⊂{1，2，3，4，5，6}，则集合M 的个数为 2．下列各式中，正确的个数是 ①0={0}；②0∈{0}；③{1}∈{1，2，3}；④{1，2}⊆{1，2，3}；⑤{a ，b}⊆{a ，b}．3．设{|12}A x x =<< ，{|}B x x a =<，若A 是B 的真子集，则a 的取值范围是 .4．若集合A ={1，3，x}，B ={x 2，1}，且B ⊆A ，则满足条件的实数x 的个数为 . 5．设集合M ={(x,y)|x+y<0，xy>0}和N ={(x,y)|x<0，y<0}，那么M 与N 的关系为______________．6．集合A ={x|x=a 2-4a+5，a ∈R}，B ={y|y=4b 2+4b+3，b ∈R} 则集合A 与集合B 的关系是________．【思考应用】7.设x ，y ∈R ，B={(x,y)|y-3=x-2}，A={(x,y)|32y x --=1}，则集合A 与B 的关系是_______ ____． 8.已知集合{}{}|21,,|41,,A x x n n Z B x x n n Z ==+∈==±∈则,A B 的关系是 .9．设集合{}{}21,3,,1,,1,A a B a a a ==-+,A B =若则________=a .10．已知非空集合P 满足：(){}11,2,3,4;P ⊆()2,5a P a P ∈-∈若则，符合上述要求的集合P 有 个.11．已知A={2，4，x 2-5x+9}，B={3，x 2+ax+a}，C={x 2+(a+1)x-3，1}. 求（1）当A={2，3，4}时，求x 的值；（2）使2∈B ，BA ，求x a ,的值； （3）使B= C 的x a ,的值．【拓展提高】12．已知集合{}{},121|,52|-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A 满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.(变式)已知集合{}{}|25,|121,A x x B x m x m =-<<=+<<-满足,A B ⊆求实数m 的取值范围.⊂ ≠§1.2 子集·全集·补集（2）课后训练【感受理解】1．设集合{}{},,3|,,4|22R b b y y B R a a x x A ∈+-==∈+-==则A ，B 间的关系为 . 2若U={x|x 是三角形}，P={x|x 是直角三角形}则U C P = . 3已知全集+=R U ，集合{}|015,,A x x x R =<-≤∈则_______.U C A = 4．已知全集}{非零整数=U ，集合}},42{U x x x A ∈>+=，则=A C U .5．设},61{},,5{N x x x B N x x x A ∈<<=∈≤=，则=B C A .【思考应用】6．设全集U={1，2，3，4，5}，M={1，4}，则U C M 的所有子集的个数是 .7．已知全集},21{*N n x x U n ∈==，集合}*,21{2N n x x A n ∈==，则=A C U .8．已知A A y ax y x A Z a ∉-∈≤-=∈)4,1(,)1,2(}3),{(,且，则满足条件a 的值为 .9．设U=R ，}1{},31{+≤≤=≥≤=m x m x B x x x P 或，记所有满足P C B U ⊆的m 组成的集合为M ，求M C U .10.（1）设全集{}{},1|,1|,+>=≤==a x x B x x A R U 且U C A B ⊆，求a 的范围.（2）已知全集{}{}{}22,3,23,2,,5,U U a a A b C A =+-==求实数b a 和的值.【拓展提高】10．已知全集}5{的自然数不大于=U ，集合}1,0{=A ，}1{<∈=x A x x B 且，}1{U x A x x C ∈∉-=且．（1）求U B ð，U C ð．（2）若}{A x x D ∈=，说明D B A ,,的关系.§1.3 交集·并集（1）课后训练【感受理解】1．设全集{1,2,3,4,5},{1,3,5},{2,4,5}U A B ===,则()()U U C A C B =I .2．设集合{|5,},{|1,}A x x x N B x x x N =≤∈=>∈，那么A B =I .3．若集合22{|21,},{|21,}P y y x x x N Q y y x x x N ==+-∈==-+-∈，则下列各式中正确的是 .(1);(2){0};(3){1};(4)P Q P Q P Q P Q N =∅==-=I I I I4．已知集合A={x|-5<x<5}，B={x|-7<x<a}，C={x|b<x<2}，且A ∩B=C ，则 a ，b 的值分别为 .【思考应用】5．设全集U={1，2，3，4}，A 与B 是U 的子集，若A ∩B ＝{1，3 }，则称(A,B)为一个“理想配集”.（若A ＝B ，规定(A,B)＝(B, A)；若A ≠B ，规定(A,B)与(B, A)是两个不同的“理想配集”）.那么符合此条件的“理想配集”的个数是 .6．记{}{},361T ,的三角形，至少有一内角为至少有一边为等腰三角形。

超级资源（共30套65页）苏教版高中数学必修一（全册）精品获奖教案汇总1.1 集合的含义及其表示教学目标：1．使学生理解集合的含义, 知道常用集合及其记法；2．使学生初步了解“属于”关系和集合相等的意义, 初步了解有限集、无限集、空集的意义；3．使学生初步掌握集合的表示方法, 并能正确地表示一些简单的集合．教学重点：集合的含义及表示方法．教学过程：一、问题情境 1．情境．新生自我介绍：介绍家庭、原毕业学校、班级． 2．问题．在介绍的过程中, 常常涉及像“家庭”、“学校”、“班级”、“男生”、“女生”等概念, 这些概念与“学生×××”相比, 它们有什么共同的特征？二、学生活动 1．介绍自己；2．列举生活中的集合实例；3．分析、概括各集合实例的共同特征． 三、数学建构1．集合的含义：一般地, 一定范围内不同的．．．、确定的．．．对象的全体组成一个集合．构成集合的每一个个体都叫做集合的一个元素．2．元素与集合的关系及符号表示：属于∈, 不属于∉．3．集合的表示方法： 另集合一般可用大写的拉丁字母简记为“集合A 、集合B ”．4．常用数集的记法：自然数集N, 正整数集N*, 整数集Z, 有理数集Q, 实数集R ． 5．有限集, 无限集与空集． 6．有关集合知识的历史简介． 四、数学运用 1．例题．例1 表示出下列集合：（1）中国的直辖市；（2）中国国旗上的颜色． 小结：集合的确定性和无序性列举法描述法图示法 个体与群体群体是由个体组成自然语言描述 如{15的正整数约数}数学语言描述 规范格式为{x |p (x )}例2 准确表示出下列集合： （1）方程x 2―2x －3=0的解集； （2）不等式2－x ＜0的解集；（3）不等式组2+3511x x >⎧⎨->⎩-的解集；（4）不等式组⎩⎨⎧2x －1≤－33x ＋1≥0的解集．解：略．小结：（1）集合的表示方法——列举法与描述法；（2）集合的分类——有限集⑴, 无限集⑵与⑶, 空集⑷ 例3 将下列用描述法表示的集合改为列举法表示： （1）{(x , y )| x ＋y = 3, x ∈N , y ∈N } （2）{(x , y )| y = x 2－1, |x |≤2, x ∈Z } （3）{y | x ＋y = 3, x ∈N , y ∈N } （4）{ x ∈R | x 3－2x 2＋x =0} 小结：常用数集的记法与作用． 例4 完成下列各题：（1）若集合A ＝{ x ｜ax ＋1＝0}＝∅, 求实数a 的值； （2）若－3∈{ a －3, 2a －1, a 2－4}, 求实数a ． 小结：集合与元素之间的关系． 2．练习：（1）用列举法表示下列集合： ①{ x ｜x ＋1＝0}； ②{ x ｜x 为15的正约数}； ③{ x ｜x 为不大于10的正偶数}； ④{(x , y )｜x ＋y ＝2且x －2y ＝4}； ⑤{(x , y )｜x ∈{1, 2}, y ∈{1, 3}}； ⑥{(x , y )｜3x ＋2y ＝16, x ∈N, y ∈N}． （2）用描述法表示下列集合：①奇数的集合；②正偶数的集合；③{1, 4, 7, 10, 13}五、回顾小结（1）集合的概念——集合、元素、属于、不属于、有限集、无限集、空集；（2）集合的表示——列举法、描述法以及Venn图；（3）集合的元素与元素的个数；（4）常用数集的记法．六、作业课本第7页练习3, 4两题．1.2 子集、全集、补集（1）教学目标：1．使学生进一步理解集合的含义, 了解集合之间的包含关系, 理解掌握子集的概念；2．理解子集、真子集的概念和意义；3．了解两个集合之间的相等关系, 能准确地判定两个集合之间的包含关系．教学重点：子集含义及表示方法；教学难点：子集关系的判定．教学过程：一、问题情境1．情境．将下列用描述法表示的集合改为用列举法表示：A＝{x|x2≤0}, B＝{ x|x＝(－1)n＋(－1)n+1, n∈Z}；C＝{ x|x2－x－2＝0}, D＝{ x|－1≤x≤2, x∈Z}2．问题．集合A与B有什么关系？集合C与D有什么关系？二、学生活动1．列举出与C 与D 之间具有相类似关系的两个集合； 2．总结出子集的定义；3．分析、概括两集合相等和真包含的关系的判定． 三、数学建构1．子集的含义：一般地, 如果集合A 的任一个元素都是集合B 的元素, （即 若a ∈A 则a ∈B ）, 则称集合A 为集合B 的子集, 记为A ⊆B 或B ⊇A ．读作集合A 包含于集合B 或集合B 包含集合A ．用数学符号表示为：若a ∈A 都有a ∈B , 则有A ⊆B 或B ⊇A ． （1）注意子集的符号与元素与集合之间的关系符号的区别： 元素与集合的关系及符号表示：属于∈, 不属于∉； 集合与集合的关系及符号表示：包含于⊆．（2）注意关于子集的一个规定：规定空集∅是任何集合的子集．理解规定 的合理性．（3）思考：A ⊆B 和B ⊆A 能否同时成立？ （4）集合A 与A 之间是否有子集关系？ 2．真子集的定义：（1）A ⊆B 包含两层含义：即A ＝B 或A 是B 的真子集． （2）真子集的wenn 图表示 （3）A ＝B 的判定（4）A 是B 的真子集的判定 四、数学运用例1 （1）写出集合{a , b }的所有子集； （2）写出集合{1, 2, 3}的所有子集； {1, 3}⊂≠{1, 2, 3}, {3}⊂≠{1, 2, 3},小结：对于一个有限集而言, 写出它的子集时, 每一个元素都有且只有两种可能：取到或没取到．故当集合的元素为n 个时, 子集的个数为2n．例2 写出N, Z, Q, R 的包含关系, 并用Venn 图表示．例3 设集合A ＝{－1, 1}, 集合B ＝{x ｜x 2－2ax ＋b ＝0}, 若B ≠∅, B ⊆A , 求a , b 的值．元素与集合是个体与群体的关系, 群体是由个体组成；子集是小集体与大集体的关系．小结：集合中的分类讨论．练习：1．用适当的符号填空．（1）a＿{a}；（2）d＿{a, b, c}；（3）{a}＿{a, b, c}；（4）{a, b}＿{b, a}；（5）{3, 5}＿{1, 3, 5, 7}；（6）{2, 4, 6, 8}＿{2, 8}；（7）∅＿{1, 2, 3}, （8）{x|－1＜x＜4}__{x|x－5＜0} 2．写出满足条件{a}⊆M{a, b, c, d}的集合M．3．已知集合P = {x | x2＋x－6=0}, 集合Q = {x | ax＋1=0}, 满足Q P, 求a所取的一切值．4．已知集合A＝{x｜x＝k＋12, k∈Z}, 集合B＝{x｜x＝2k＋1, k∈Z}, 集合C＝{x｜x＝12k+, k∈Z}, 试判断集合A、B、C的关系．五、回顾小结1．子集、真子集及对概念的理解；2．会用Venn图示及数轴来解决集合问题．六、作业教材P10习题1, 2, 5．1.2 子集、全集、补集（2）教学目标：1．使学生进一步理解集合及子集的意义, 了解全集、补集的概念；2．能在给定的全集及其一个子集的基础上, 求该子集的补集；3．培养学生利用数学知识将日常问题数学化, 培养学生观察、分析、归纳等能力．教学重点：补集的含义及求法．教学重点：补集性质的理解．教学过程：一、问题情境 1． 情境．（1）复习子集的概念；（2）说出集合{1, 2, 3}的所有子集． 2．问题．相对于集合{1, 2, 3}而言, 集合{1}与集合{2, 3}有何关系呢？ 二、学生活动1．分析、归纳出全集与补集的概念； 2．列举生活中全集与补集的实例． 三、数学建构1．补集的概念：设A ⊆S , 由S 中不属于A 的所有元素组成的集合称为S 的子集A 的补集, 记为SA (读作“A 在S 中的补集”), 即SA ＝{ x ｜x ∈S , 且x ∉A },SA 可用右图表示．2．全集的含义：如果集合S 包含我们研究的各个集合, 这时S 可以看作一个全集, 全集通常记作U ．3．常用数集的记法：自然数集N, 正整数集N*, 整数集Z, 有理数集Q, 实数集R ．则无理数集可表示为RQ ．四、数学运用 1．例题．例1 已知全集S ＝Z, 集合A ＝{x |x ＝2k , k ∈Z}, B ＝{ x |x ＝2k ＋1, k ∈Z}, 分别写出集合A , B 的补集∁S A 和∁S B ．例2 不等式组⎩⎨⎧2x －1＞13x －6≤0的解集为A , S ＝R, 试求A 及SA , 并把它们表示在数轴上．例3 已知全集S ＝{1, 2, 3, 4, 5}, A ＝{ x ∈S ｜x 2－5qx ＋4＝0}． （1）若SA ＝S , 求q 的取值范围； （2）若SA 中有四个元素, 求SA 和q 的值； （3）若A 中仅有两个元素, 求SA 和q 的值．2．练习：（1）S A在S中的补集等于什么？即S(SA)＝．（2）若S＝Z, A＝{x｜x＝2k, k∈Z}, B＝{x｜x＝2k＋1, k∈Z}, 则SA＝,SB＝．（3）S ＝,SS＝．五、回顾小结1．全集与补集的概念；2．任一集合对于全集而言, 其任意子集与其补集一一对应．六、作业教材第10页习题3, 4．1.3 交集、并集教学目标：1．理解交集、并集的概念, 掌握交集、并集的性质；2．理解掌握区间与集合的关系, 并能应用它们解决一些简单的问题．教学重点：理解交集、并集的概念．教学难点：灵活运用它们解决一些简单的问题．教学过程：一、情景设置1．复习巩固：子集、全集、补集的概念及其性质．2．用列举法表示下列集合：（1）A＝{ x|x3－x2－2x＝0}；（2）B＝{ x|(x＋2)(x＋1)(x－2)＝0}．思考：集合A与B之间有包含关系么？用图示如何反映集合A与B之间的关系呢？A ∪BABA ∪B二、学生活动 1．观察与思考； 2．完成下列各题．（1）用wenn 图表示集合A ＝{－1, 0, 2}, B ＝{－2, －1, 2}, C ＝{－1, 2}之间的关系．（2）用数轴表示集合A ＝{x ｜x ≤3}, B ＝{ x ｜x ＞0 }, C ＝{x ｜0＜x ≤3}之间的关系． 三、数学建构 1．交集的概念．一般地, 由所有属于集合A 且属于集合B 的元素构成的集合, 称为A 与B 的交集, 记为A ∩B (读作“A 交B ”), 即A ∩B ＝{ x ｜x ∈A 且x ∈B }2．并集的概念．一般地, 由所有属于集合A 或属于集合B 的元素构成的集合, 称为A 与B 的并集, 记为A ∪B (读作“A 并B ”), 即A ∪B ＝{ x ｜x ∈A 或x ∈B }3．交、并集的性质．A ∩B ＝B ∩A , A ∩∅＝∅, A ∩A ＝A , A ∩B ⊆A , A ∩B ⊆B ,若A ∩B ＝A , 则A ⊆B , 反之, 若A ⊆B , 则A ∩B ＝A ．即A ⊆B ⇔A ∩B ＝A ．A ∪B ＝B ∪A , A ∪∅＝A , A ∪A ＝A , A ⊆A ∪B , B ⊆A ∪B ,若A ∪B ＝B , 则A ⊆B , 反之, 若A ⊆B , 则A ∩B ＝B ．即A ⊆B ⇔A ∩B ＝B ．思考：集合A ＝{x |－1＜x ≤3}, B ＝{y |1≤y ＜5}, 集合A 与集合B 能进行交、并的计算呢？4．区间的概念．一般地, 由所有属于实数a 到实数b (a ＜b )之间的所有实数构成的集合, 可表示成一个区间, a 、b 叫做区间的端点．考虑到端点, 区间被分为开区间、闭区间或半开半闭区间． 5．区间与集合的对应关系．[a , b ]＝{x | a ≤x ≤b }, (a , b )＝{x | a ＜x ＜b }, [a , b )＝{x | a ≤x ＜b }, (a , b ]＝{x | a ＜x ≤b },ABA ∩B(a, ＋∞)＝{x | x＞a }, (－∞, b)＝{x | x＜b},(－∞, ＋∞)＝R．四、数学运用1．例题．例1 （1）设A＝{－1, 0, 1}, B＝{0, 1, 2, 3}, 求A∩B和A∪B．（2）已知A∪B＝{－1, 0, 1, 2, 3}, A∩B＝{－1, 1}, 其中A＝{－1, 0, 1}, 求集合B．（3）已知A＝{( x, y)| x＋y＝2}, B＝{( x, y)| x－y＝4}, 求集合A∩B．（4）已知元素(1, 2)∈A∩B, A＝{( x, y)| y2＝ax＋b}, B＝{( x, y)| x2－ay－b＝0}, 求a, b的值并求A∩B．例2 学校举办了排球赛, 某班45名学生中有12名同学参赛．后来又举办了田径赛, 这个班有20名同学参赛．已知两项都参赛的有6名同学．两项比赛中, 这个班共有多少名同学没有参加过比赛？例3 （1）设A＝(0, ＋∞), B＝(－∞, 1], 求A∩B和A∪B．（2）设A＝(0, 1], B＝{0}, 求A∪B．2．练习：（1）若A＝{x |2x2＋3ax+2＝0}, B＝{x |2x2＋x+b＝0}, A∩ B＝{0, 5}, 求a与A∪ B．（2）交集与并集的运算性质．五、回顾小结交集和并集的概念和性质；区间的表示及其与集合的关系．六、作业教材第13页习题2, 3, 5, 7．2.1.1 函数的概念和图象（1）教学目标：1．通过现实生活中丰富的实例, 让学生了解函数概念产生的背景, 进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型, 在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数的概念, 掌握函数是特殊的数集之间的对应；2．了解构成函数的要素, 理解函数的定义域、值域的定义, 会求一些简单函数的定义域和值域；3．通过教学,逐步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习过的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：两集合间用对应来描述函数的概念；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境 1．情境．正方形的边长为a , 则正方形的周长为 , 面积为 ． 2．问题．在初中, 我们曾认识利用函数来描述两个变量之间的关系, 如何定义函数？常见的函数模型有哪些？如图, A (－2, 0), B (2, 0), 点C 在直线y ＝2上移动．则△ABC 的面积S 与点C 的横坐标x 之间的变化关系如何表达？面积S 是C 的横坐标x 的函数么？二、学生活动1．复述初中所学函数的概念；2．阅读课本23页的问题（1）、（2）、（3）, 并分别说出对其理解； 3．举出生活中的实例, 进一步说明函数的对应本质． 三、数学建构1．用集合的语言分别阐述23页的问题（1）、（2）、（3）； 问题1 某城市在某一天24小时内的气温变化情况如下图所示, 试根据函数图象回答下列问题：（1）这一变化过程中, 有哪几个变量？ （2）这几个变量的范围分别是多少？ 问题2 略．问题3 略（详见23页）．2．函数：一般地, 设A 、B 是两个非空的数集, 如果按某种对应法则f , 对于集合A 中的每一个元素x , 在集合B 中都有惟一的元素y 和它对应, 这样的对应叫做从A 到B 的一个函数, 通常记为y ＝f (x ), x ∈A ．其中, 所有输入值x 组成的集合A 叫做函数y ＝f (x )的定义域．（1）函数作为一种数学模型, 主要用于刻画两个变量之间的关系； （2）函数的本质是一种对应；（3）对应法则f 可以是一个数学表达式, 也可是一个图形或是一个表格（4）对应是建立在A 、B 两个非空的数集之间．可以是有限集, 当然也就可以是单元集, 如f (x )＝2x , (x ＝0)．3．函数y ＝f (x )的定义域：（1）每一个函数都有它的定义域, 定义域是函数的生命线；（2）给定函数时要指明函数的定义域, 对于用解析式表示的集合, 如果没 有指明定义域, 那么就认为定义域为一切实数．四、数学运用例1．判断下列对应是否为集合A 到 B 的函数：（1）A ＝{1, 2, 3, 4, 5}, B ＝{2, 4, 6, 8, 10}, f ：x →2x ； （2）A ＝{1, 2, 3, 4, 5}, B ＝{0, 2, 4, 6, 8}, f ：x →2x ； （3）A ＝{1, 2, 3, 4, 5}, B ＝N , f ：x →2x ． 练习：判断下列对应是否为函数： （1）x →2x, x ≠0, x ∈R ；（2）x →y , 这里y 2＝x , x ∈N , y ∈R . 例2 求下列函数的定义域：（1）f (x )＝x -1；（2）g(x )＝x ＋1＋1x.例3 下列各组函数中, 是否表示同一函数？为什么？函数的本质是对应, 但并非所有的对应都是函数，一个必须是建立在两个非空数集间的对应，二是对应只能是单值对应．判断两个函数是否为同一函数, 一看对应A．y＝x与y＝(x)2；B．y＝x2与y＝3x3；C．y＝2x－1(x∈R)与y＝2t－1(t∈R)；D．y＝x＋2·x－2与y＝x2－4练习：课本26页练习1～4, 6．五、回顾小结1．生活中两个相关变量的刻画→函数→对应(A→B)2．函数的对应本质；3．函数的对应法则和定义域．六、作业：课堂作业：课本31页习题2.1（1）第1, 2两题．2.1.1 函数的概念和图象（2）教学目标：1．进一步理解用集合与对应的语言来刻画的函数的概念, 进一步理解函数的本质是数集之间的对应；2．进一步熟悉与理解函数的定义域、值域的定义, 会利用函数的定义域与对应法则判定有关函数是否为同一函数；3．通过教学, 进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习过的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：用对应来进一步刻画函数；求基本函数的定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复述函数及函数的定义域的概念．2．问题．概念中集合A为函数的定义域, 集合B的作用是什么呢？二、学生活动1．理解函数的值域的概念；2．能利用观察法求简单函数的值域；3．探求简单的复合函数f(f(x))的定义域与值域．三、数学建构1．函数的值域：（1）按照对应法则f, 对于A中所有x的值的对应输出值组成的集合称之为函数的值域；（2）值域是集合B的子集．2．x→ g(x)⇒ f(x) → f(g(x)), 其中g(x)的值域即为f(g(x))的定义域；四、数学运用（一）例题．例1 已知函数f (x)＝x2＋2x, 求f (－2), f (－1), f (0), f (1)．例2 根据不同条件, 分别求函数f(x)＝(x-1)2＋1的值域．（1）x∈{－1, 0, 1, 2, 3}；（2）x∈R；（3）x∈[－1, 3]；（4）x∈(－1, 2]；（5）x∈(－1, 1)．例3 求下列函数的值域：①y；②y．例4 已知函数f(x)与g(x)分别由下表给出：分别求f (f (1)), f (g (2)), g(f (3)), g (g (4))的值．（二）练习．（1）求下列函数的值域：①y＝2－x2；②y＝3－|x|．（2）已知函数f(x)＝3x2－5x＋2, 求f(3)、f(－2)、f(a)、f(a＋1)．（3）已知函数f(x)＝2x＋1, g(x)＝x2－2x＋2, 试分别求出g(f(x))和f(g(x))的值域, 比较一下, 看有什么发现．（4）已知函数y＝f(x)的定义域为[－1, 2], 求f(x)＋f(－x)的定义域．（5）已知f(x)的定义域为[－2, 2], 求f(2x), f(x2＋1)的定义域．五、回顾小结函数的对应本质, 函数的定义域与值域；利用分解的思想研究复合函数．六、作业课本P31-5, 8, 9．2.1.2 函数的表示方法（1）教学目标：1．进一步理解函数的概念, 了解函数表示的多样性, 能熟练掌握函数的三种不同的表示方法；2．在理解掌握函数的三种表示方法基础上, 了解函数不同表示法的优缺点, 针对具体问题能合理地选择表示方法；3．通过教学, 培养学生重要的数学思想方法——分类思想方法．教学重点：函数的表示．教学难点：针对具体问题合理选择表示方法．教学过程：一、问题情境1．情境．下表的对应关系能否表示一个函数：2．问题．如何表示一个函数呢？二、学生活动1．阅读课本掌握函数的三种常用表示方法； 2．比较三种表示法之间的优缺点． 3．完成练习 三、数学建构 1．函数的表示方法： 2．三种不同方法的优缺点：3．三种不同方法的相互转化：能用解析式表示的, 一般都能列出符合条件的表、画出符合条件的图, 反之亦然；列表法也能通过图形来表示．四、数学运用 （一）例题例1 购买某种饮料x 听, 所需钱数为y 元．若每听2元, 试分别用解析法、列表法、图象法将y 表示成x (x ∈{1, 2, 3, 4})的函数, 并指出该函数的值域．跟踪练习：某公司将进货单价为8元一个的商品按10元一个销售, 每天可卖出100个, 若这种商品的销售价每个上涨1元, 则销售量就减少10个．（1）列表：（2）图象： （3）解析式：将条件变换成：“某公司将进货单价为8元一个 的商品按10元一个销售, 每天可卖出110个”例2 如图, 是一个二次函数的图象的一部分, 试根据图象 中的有关数据, 求出函数f (x )的解析式及其定义域．列表法—用列表来表示两个变量之间函数关系的方法 解析法—用等式来表示两个变量之间函数关系的方法 图象法—用图象来表示两个变量之间函数关系的方法（二）练习：1．1 nmile(海里)约为1854m, 根据这一关系, 写出米数y关于海里数x的函数解析式．2．用长为30cm的铁丝围成矩形, 试将矩形的面积S(cm2)表示为矩形一边长x(cm)的函数, 并画出函数的图象．3．已知f(x)是一次函数, 且图象经过(1, 0)和(－2, 3)两点, 求f(x)的解析式．4．已知f(x)是一次函数, 且f(f(x))＝9x－4, 求f(x)的解析式．五、回顾小结1．函数表示的多样性；2．函数不同表示方法之间的联系性；3．待定系数法求函数的解析式．六、作业课堂作业：课本35页习题1, 4, 5．2.1.2 函数的表示方法（2）教学目标：1．进一步理解函数的表示方法的多样性, 理解分段函数的表示, 能根据实际问题列出符合题意的分段函数；2．能较为准确地作出分段函数的图象；3．通过教学, 进一步培养学生由具体逐步过渡到符号化, 代数式化, 并能对以往学习过的知识进行理性化思考, 对事物间的联系的一种数学化的思考．教学重点：分段函数的图象、定义域和值域．教学过程：一、问题情境1．情境．复习函数的表示方法；已知A＝{1, 2, 3, 4}, B＝{1, 3, 5}, 试写出从集合A到集合B的两个函数．2．问题．函数f(x)＝|x|与f(x)＝x是同一函数么？区别在什么地方？二、学生活动1．画出函数f(x)＝|x|的图象；2．根据实际情况, 能准确地写出分段函数的表达式．三、数学建构1．分段函数：在定义域内不同的部分上, 有不同的解析表达式的函数通常叫做分段函数．（1）分段函数是一个函数, 而不是几个函数；（2）分段函数的定义域是几部分的并；（3）定义域的不同部分不能有相交部分；（4）分段函数的图象可能是一条连续但不平滑的曲线, 也可能是由几条曲线共同组成；（5）分段函数的图象未必是不连续, 不连续的图象表示的函数也不一定是分段函数, 如反比例函数的图象；（6）分段函数是生活中最常见的函数．四、数学运用1．例题．例1 某市出租汽车收费标准如下：在3km以内(含3km)路程按起步价7元收费, 超过3km以外的路程按2.4元/km收费．试写出收费额关于路程的函数解析式．例2 如图, 梯形OABC各顶点的坐标分别为O(0, 0), A(6, 0), B(4, 2), C(2, 2)．一条与y轴平行的动直线l从O点开始作平行移动, 到A Array点为止．设直线l与x轴的交点为M, OM＝x, 记梯形被直线l截得的在l左侧的图形的面积为y．求函数y＝f(x)的解析式、定义域、值域．例3 将函数f(x)＝ | x＋1|＋| x－2|表示成分段函数的形式, 并画出其图象, 根据图象指出函数f(x)的值域．2．练习：练习1：课本35页第7题, 36页第9题．练习2：（1）画出函数f (x )＝ 的图象．（2） 若f (x )＝ 求f (－1), f (0), f (2), f (f (－1)), f (f (0)), f (f (12))的值．（3）试比较函数f (x )＝|x ＋1|＋|x |与g (x )＝|2x ＋1|是否为同一函数．（4）定义[x ]表示不大于x 的最大整数, 试作出函数f (x )＝[x ] (x ∈[－1, 3))的图象．并将其表示成分段函数．练习3：如图, 点P 在边长为2的正方形边上按A →B →C →D →A 的方向移动, 试将AP 表示成移动的距离x 的函数．五、回顾小结分段函数的表示→分段函数的定义域→分段函数的图象； 含绝对值的函数常与分段函数有关； 利用对称变换构造函数的图象． 六、作业课堂作业：课本35页习题第3题, 36页第10, 12题；课后探究：已知函数f (x )＝2x －1（x ∈R ）, 试作出函数f (|x |), |f (x )|的图象．2.2 函数的简单性质（1）教学目标：1．在初中学习一次函数、二次函数的性质的基础上, 进一步感知函数的单调性, 并能结合图形, 认识函数的单调性；2．通过函数的单调性的教学, 渗透数形结合的数学思想, 并对学生进行初步的辩证唯物论的教育；3．通过函数的单调性的教学, 让学生学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．教学重点：用图象直观地认识函数的单调性, 并利用函数的单调性求函数的值域．x 2－1，x ≥0， 2x ＋1，x ＜0． x －1 (x ≥0)1－x (x ＜0)BC P教学过程：一、问题情境如图（课本37页图2-2-1）, 是气温θ关于时间t 的函数, 记为θ＝f (t ), 观察这个函数的图象, 说出气温在哪些时间段内是逐渐升高的或是下降的？问题：怎样用数学语言刻画上述时间段内“随时间的增大气温逐渐升高”这一特征？ 二、学生活动1．结合图2―2―1, 说出该市一天气温的变化情况；2．回忆初中所学的有关函数的性质, 并画图予以说明；3．结合右侧四幅图, 解释函数的单调性． 三、数学建构 1．增函数与减函数：一般地, 设函数y ＝f (x )的定义域为A , 区间I ⊆A ．如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2, 当x 1＜x 2时, 都有f (x 1)＜f (x 2), 那么就说y ＝f (x )在区间I 是单调增函数, 区间I 称为y ＝f (x )的单调增区间．如果对于区间I 内的任意两个值x 1, x 2, 当x 1＜x 2时, 都有f (x 1)＞f (x 2), 那么就说y ＝f (x )在区间I 是单调减函数, 区间I 称为y ＝f (x )的单调减区间．2．函数的单调性与单调区间：如果函数y ＝f (x )在区间I 是单调增函数或单调减函数, 那么就说函数y ＝f (x )在区间I 上具有单调性．单调增区间与单调减区间统称为单调区间．注：一般所说的函数的单调性, 就是要指出函数的单调区间, 并说明在区间上是单调增函数还是单调减函数．四、数学运用例1 画出下列函数的图象, 结合图象说出函数的单调性．)))1．y ＝x 2＋2x －12．y ＝2x例2 求证：函数f (x )＝－1x－1在区间(－∞, 0)上是单调增函数．练习：说出下列函数的单调性并证明． 1．y ＝－x 2＋2 2．y ＝2x＋1五、回顾小结利用图形, 感知函数的单调性→给出单调性的严格意义上的定义→证明一个函数的单调性．六、作业课堂作业：课本44页1, 3两题．2.2 函数的简单性质（2）教学目标：1．进一步理解函数的单调性, 能利用函数的单调性结合函数的图象, 求出有关函数的最小值与最大值, 并能准确地表示有关函数的值域；2．通过函数的单调性的教学, 让学生在感性认知的基础上学会理性地认识与描述生活中的增长、递减等现象．教学重点：利用函数的单调性求函数的值域．教学过程：一、问题情境 1．情境．（1）复述函数的单调性定义； （2）表述常见函数的单调性． 2．问题．结合函数的图象说出该天的气温变化范围．二、学生活动 1．研究函数的最值；2．利用函数的单调性的改变, 找出函数取最值的情况； 三、数学建构1．函数的值域与函数的最大值、最小值：一般地, 设y ＝f (x )的定义域为A ．若存在x 0∈A , 使得对任意x ∈A , f (x )≤f (x 0)恒成立, 则称f (x 0)为y ＝f (x )的最大值, 记为y max ＝f (x 0)．若存在定值x 0∈A , 使得对任意x ∈A , f (x )≥f (x 0)恒成立, 则称f (x 0)为y ＝f (x )的最小值, 记为y min ＝ f (x 0)．注：（1）函数的最大值、最小值分别对应函数图象上的最高点和最低点, 典型的例子就是二次函数y ＝ax 2＋bx －c (a ≠0), 当a ＞0时, 函数有最小值；当a ＜0时, 函数有最大值．（2）利用函数的单调性, 并结合函数的图象求函数的值域或函数的最值是求函数的值域或函数的最值的常用方法．2．函数的最值与单调性之间的关系：已知函数y ＝f (x )的定义域是[a , b ], a ＜c ＜b ．当x ∈[a , c ]时, f (x )是单调增函数；当x ∈[c , b ] 时, f (x )是单调减函数．则f (x )在x ＝c 时取得最大值．反之, 当x ∈[a , c ]时, f (x )是单调减函数；当x ∈[c , b ] 时, f (x )是单调增函数．则f (x )在x ＝c 时取得最小值．四、数学运用例1 求出下列函数的最小值：（1）y ＝x 2－2x ；（2）y ＝1x, x ∈[1, 3]．变式：（1）将y ＝x 2－2x 的定义域变为(0, 3]或[1, 3]或[－2, 3], 再求最值． （2）将y ＝1x的定义域变为(－2, －1], (0, 3]结果如何？跟踪练习：求f (x )＝－x 2＋2x 在[0, 10]上的最大值和最小值．例2 已知函数y ＝f (x )的定义域为[a , b ], a ＜c ＜b ．当x ∈[a , c ]时, f (x )是单调增2函数；当x∈[c, b]时, f(x)是单调减函数．试证明f(x)在x＝c时取得最大值．变式：已知函数y＝f(x)的定义域为[a, b], a＜c＜b．当x∈[a, c]时, f(x)是单调减函数；当x∈[c, b]时, f(x)是单调增函数．试证明f(x)在x＝c时取得最小值．例3 求函数f(x)＝x2－2ax在[0, 4]上的最小值．练习：如图, 已知函数y＝f(x)的定义域为[－4, 7], 根据图象, 说出它的最大值与最小值．求下列函数的值域：（1）yx∈[0, 3]；（2） y＝11x-, x∈[2, 6]；（3）y（4）y＝11(1)x x--．五、回顾小结利用图形, 感知函数的单调性→证明一个函数的单调性→确定一个函数的最值→确定一个函数的值域．六、作业课堂作业：课本40页第3题, 44页第3题．2.2 函数的简单性质（3）教学目标：1．进一步认识函数的性质, 从形与数两个方面引导学生理解掌握函数奇偶性的概念, 能准确地判断所给函数的奇偶性；2．通过函数的奇偶性概念的教学, 揭示函数奇偶性概念的形成过程, 培养学生观察、归纳、抽象的能力, 培养学生从特殊到一般的概括能力, 并渗透数形结合的数学思想方法；3．引导学生从生活中的对称联想到数学中的对称, 师生共同探讨、研究, 从代数的角度给予严密的代数形式表达、推理, 培养学生严谨、认真、科学的探究精神．教学重点：函数奇偶性的概念及函数奇偶性的判断． 教学难点：函数奇偶性的概念的理解与证明．教学过程：一、问题情境 1．情境．复习函数的单调性的概念及运用．教师小结：函数的单调性从代数的角度严谨地刻画了函数的图象在某范围内的变化情况, 便于我们正确地画出相关函数的图象, 以便我们进一步地从整体的角度, 直观而又形象地反映出函数的性质．在画函数的图象的时候, 我们有时还要注意一个问题, 就是对称（见P41）．2．问题．观察函数y ＝x 2和y ＝1x（x ≠0）的图象, 从对称的角度你发现了什么？二、学生活动1．画出函数y ＝x 2和y ＝1x（x ≠0）的图象2．利用折纸的方法验证函数y ＝x 2图象的对称性 3．理解函数奇偶性的概念及性质． 三、数学建构1．奇、偶函数的定义：一般地, 如果对于函数f (x )的定义域内的任意的一个x , 都有f (－x )＝f (x ), 那么称函数y ＝f (x )是偶函数；如果对于函数f (x )的定义域内的任意的一个x , 都有f (－x )＝－f (x ), 那么称函数y ＝f (x )是奇函数；2．函数的奇偶性：如果函数f (x )是奇函数或偶函数, 我们就说函数f (x )具有奇偶性, 而如果一个函数既不是奇函数, 也不是偶函数(常说该函数是非奇非偶函数), 则说该函数不具有奇偶性．3．奇、偶函数的性质：。

3.2.1 对数（二）课时目标 1.掌握对数的运算性质及其推导.2.能运用对数运算性质进行化简、求值和证明.3.了解换底公式并能用换底公式将一般对数化成自然对数和常用对数．1．对数的运算性质如果a >0，且a ≠1，M >0，N >0，那么： (1)log a (MN )＝________； (2)log a MN ＝___________；(3)log a M n ＝__________(n ∈R )． 2．对数换底公式log a b ＝log c blog c a (a >0，且a ≠1，b >0，c >0，且c ≠1)；特别地：log a b ·log b a ＝____(a >0，且a ≠1，b >0，且b ≠1)．一、填空题1．下列式子中成立的是(假定各式均有意义)________．(填序号) ①log a x ·log a y ＝log a (x ＋y )； ②(log a x )n ＝n log a x ； ③log a x n＝log a nx ； ④log a xlog a y＝log a x －log a y . 2．计算：log 916·log 881的值为__________． 3．若log 513·log 36·log 6x ＝2，则x ＝________.4．已知3a ＝5b ＝A ，若1a ＋1b＝2，则A ＝________.5．已知log 89＝a ，log 25＝b ，则lg 3＝________(用a 、b 表示)．6．若lg a ，lg b 是方程2x 2－4x ＋1＝0的两个根，则(lg ab )2的值为________．7．2log 510＋log 50.25＋(325－125)÷425＝______________. 8．(lg 5)2＋lg 2·lg 50＝________.9．2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级特大地震，给人民的生命财产造成了巨大的损失．里氏地震的等级最早是在1935年由美国加州理工学院的地震学家里特判定的．它与震源中心释放的能量(热能和动能)大小有关．震级M ＝23lg E －3.2，其中E (焦耳)为以地震波的形式释放出的能量．如果里氏6.0级地震释放的能量相当于1颗美国在二战时投放在广岛的原子弹的能量，那么汶川大地震所释放的能量相当于________颗广岛原子弹． 二、解答题10．(1)计算：lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34；(2)已知3a ＝4b ＝36，求2a ＋1b 的值．11．若a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根，求lg(ab )·(log a b ＋log b a )的值．能力提升12．下列给出了x 与10x 的七组近似对应值：13．一种放射性物质不断变化为其他物质，每经过一年的剩余质量约是原来的75%，估计约经过多少年，该物质的剩余量是原来的13？(结果保留1位有效数字)(lg 2≈0.301 0，lg3≈0.477 1)对数；(2)“拆”，将积(商)的对数拆成两对数的和(差)．对于常用对数的化简要创设情境，充分利用“lg 5＋lg 2＝1”来解题．第2课时 对数运算知识梳理1．(1)log a M ＋log a N (2)log a M －log a N (3)n log a M 2.1 作业设计 1．③ 2.83解析 log 916·log 881＝lg 16lg 9·lg 81lg 8＝4lg 22lg 3·4lg 33lg 2＝83.3.125解析 由换底公式，得－lg 3lg 5·lg 6lg 3·lg xlg 6＝2，lg x ＝－2lg 5，x ＝5－2＝125.4.15解析 ∵3a ＝5b ＝A >0， ∴a ＝log 3A ，b ＝log 5A .由1a ＋1b ＝log A 3＋log A 5＝log A 15＝2， 得A 2＝15，A ＝15. 5.3a2(b ＋1)解析 ∵log 89＝a ，∴lg 9lg 8＝a .∴log 23＝32a .lg 3＝log 23log 210＝log 231＋log 25＝3a 2(b ＋1).6．2解析 由根与系数的关系可知lg a ＋lg b ＝2， lg a lg b ＝12.于是(lg ab)2＝(lg a －lg b )2＝(lg a ＋lg b )2－4lg a lg b ＝22－4×12＝2.7.65－3解析 原式＝2(log 510＋log 50.5)＋(325425－125425) ＝2log 5(10×0.5)＋2131322255---＝2＋165－5＝65－3. 8．1解析 (lg 5)2＋lg 2·lg 50＝(lg 5)2＋lg 2(lg 5＋lg 10) ＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝lg 5(lg 5＋lg 2)＋lg 2 ＝lg 5＋lg 2＝1. 9．1 000解析 设里氏8.0级、6.0级地震释放的能量分别为E 2、E 1， 则8－6＝23(lg E 2－lg E 1)，即lg E 2E 1＝3.∴E 2E 1＝103＝1 000， 即汶川大地震所释放的能量相当于1 000颗广岛原子弹． 10．解 (1)方法一 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg(12×85×12.5)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝1－43＝－13.方法二 lg 12－lg 58＋lg 12.5－log 89·log 34＝lg 12－lg 58＋lg 252－lg 9lg 8·lg 4lg 3＝－lg 2－lg 5＋3lg 2＋(2lg 5－lg 2)－2lg 33lg 2·2lg 2lg 3＝(lg 2＋lg 5)－43＝1－43＝－13.(2)方法一 由3a ＝4b ＝36得：a ＝log 336，b ＝log 436， 所以2a ＋1b ＝2log 363＋log 364＝log 36(32×4)＝1.方法二 因为3a＝4b＝36，所以136a＝3,136b＝4，所以(136a )2·136b＝32×4，即2136a b+＝36，故2a ＋1b＝1.11．解 原方程可化为2(lg x )2－4lg x ＋1＝0. 设t ＝lg x ，则方程化为2t 2－4t ＋1＝0， ∴t 1＋t 2＝2，t 1·t 2＝12.又∵a 、b 是方程2(lg x )2－lg x 4＋1＝0的两个实根， ∴t 1＝lg a ，t 2＝lg b ， 即lg a ＋lg b ＝2，lg a ·lg b ＝12.∴lg(ab )·(log a b ＋log b a ) ＝(lg a ＋lg b )·(lg b lg a ＋lg a lg b )＝(lg a ＋lg b )·(lg b )2＋(lg a )2lg a ·lg b＝(lg a ＋lg b )·(lg a ＋lg b )2－2lg a ·lg blg a ·lg b＝2×22－2×1212＝12，即lg(ab )·(log a b ＋log b a )＝12. 12．二解析 由指数式与对数式的互化可知， 10x ＝N ⇔x ＝lg N ， 将已知表格转化为下表：∴第一组、第三组对应值正确． 又显然第六组正确，∵lg 8＝3lg 2＝3×0.301 03＝0.903 09， ∴第五组对应值正确．∵lg 12＝lg 2＋lg 6＝0.301 03＋0.778 15＝1.079 18， ∴第四组、第七组对应值正确． ∴只有第二组错误．13．解 设这种放射性物质最初的质量是1，经过x 年后，剩余量是y ，则有y ＝0.75x .依题意，得13＝0.75x ，即x ＝lg13lg 0.75＝－lg 3lg 3－lg 4＝lg 32lg 2－lg 3＝0.477 12×0.301 0－0.477 1≈4.∴估计约经过4年，该物质的剩余量是原来的13.。

（苏教版）高中数学必修一（全册）课时同步练习汇总第1章集合1.1 集合的含义及其表示A级基础巩固1．下列关系正确的是()①0∈N；②2∈Q；③12∉R；④－2∉Z.A．③④B．①③C．②④D．①解析：①正确，因为0是自然数，所以0∈N；②不正确，因为2是无理数，所以2∉Q；③不正确，因为12是实数，所以12∈R；④不正确，因为－2是整数，所以－2∈Z.答案：D2．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．等腰三角形解析：根据集合中元素的互异性可知，一定不是等腰三角形．答案：D3．集合M＝{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}是()A ．第一象限内的点集B ．第三象限内的点集C ．第四象限内的点集D ．第二、第四象限内的点集解析：集合M 为点集，且横、纵坐标异号，故是第二、第四象限内的点集．答案：D4．已知集合A 含有三个元素2，4，6，且当a ∈A ，有6－a ∈A ，则a 为( )A ．2B ．2或4C ．4D ．0解析：若a ＝2∈A ，则6－a ＝4∈A ；或a ＝4∈A ，则6－a ＝2∈A ；若a ＝6∈A ，则6－a ＝0∉A .答案：B5．方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －2y ＝－1的解集是( ) A ．{x ＝1，y ＝1}B ．{1}C ．{(1，1)}D ．(1，1)解析：方程组的解集中元素应是有序数对形式，排除A 、B ，而D 不是集合的形式，排除D.答案：C6．下列集合中为空集的是( )A ．{x ∈N|x 2≤0}B ．{x ∈R|x 2－1＝0}C ．{x ∈R|x 2＋x ＋1＝0}D ．{0}答案：C7．设集合A ＝{2，1－a ，a 2－a ＋2}，若4∈A ，则a 的值是( )A ．－3或－1或2B ．－3或－1C ．－3或2D ．－1或2解析：当1－a ＝4时，a ＝－3，A ＝{2，4，14}．当a 2－a ＋2＝4时，得a＝－1或a＝2.当a＝－1时，A＝{2，2，4}，不满足互异性；当a＝2时，A＝{2，4，－1}．所以a＝－3或a＝2.答案：C8．下列各组集合中，表示同一集合的是()A．M＝{(3，2)}，N＝{(2，3)}B．M＝{3，2}，N＝{2，3}C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}D．M＝{(3，2)}，N＝{3，2}解析：A中集合M，N表示的都是点集，由于横、纵坐标不同，所以表示不同的集合；B中根据集合元素的互异性知表示同一集合；C中集合M表示直线x＋y＝1上的点，而集合N表示直线x＋y＝1上点的纵坐标，所以是不同集合；D中的集合M表示点集，N表示数集，所以是不同集合．答案：B9．集合P＝{x|x＝2k，k∈Z}，Q＝{x|x＝2k＋1，k∈Z}，M＝{x|x ＝4k＋1，k∈Z}，若a∈P，b∈Q，则有()A．a＋b∈PB．a＋b∈QC．a＋b∈MD．a＋b不属于P，Q，M中任意一个解析：因为a∈P，b∈Q，所以a＝2k1，k1∈Z，b＝2k2＋1，k2∈Z.所以a＋b＝2(k1＋k2)＋1，k1，k2∈Z.所以a＋b∈Q.答案：B10．方程x2－2x－3＝0的解集与集合A相等，若集合A中的元素是a，b，则a＋b＝________．解析：方程x2－2x－3＝0的两根分别是－1和3.由题意可知，a＋b＝2.答案：211．已知集合A中含有两个元素1和a2，则a的取值范围是________________．解析：由集合元素的互异性，可知a2≠1，所以a≠±1.答案：a∈R且a≠±112．点(2，11)与集合{(x，y)|y＝x＋9}之间的关系为__________________．解析：因为11＝2＋9，所以(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}．答案：(2，11)∈{(x，y)|y＝x＋9}13．已知集合A＝{(x，y)|y＝2x＋1}，B＝{(x，y)|y＝x＋3}，a∈A，且a∈B，则a为________．解析：集合A，B都表示直线上点的集合，a∈A表示a是直线y ＝2x＋1上的点，a∈B表示a是直线y＝x＋3上的点，所以a是直线y＝2x＋1与y＝x＋3的交点，即a为(2，5)．答案：(2，5)14．下列命题中正确的是________(填序号)．①0与{0}表示同一集合；②由1，2，3组成的集合可表示为{1，2，3}或{3，2，1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1，1，2}；④集合{x|2＜x＜5}可以用列举法表示．解析：对于①，0表示元素与{0}不同；对于③，不满足集合中元素的互异性，故不正确；对于④，无法用列举法表示，只有②满足集合中元素的无序性，是正确的．答案：②B 级 能力提升15．下面三个集合：A ＝{x |y ＝x 2＋1}；B ＝{y |y ＝x 2＋1}；C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}．问：(1)它们是不是相同的集合？(2)它们各自的含义是什么？解：(1)在A ，B ，C 三个集合中，虽然代表元素满足的表达式一致，但代表元素互不相同，所以它们是互不相同的集合．(2)集合A 的代表元素是x ，满足y ＝x 2＋1，故A ＝{x |y ＝x 2＋1}＝R.集合B 的代表元素是y ，满足y ＝x 2＋1的y ≥1，故B ＝{y |y ＝x 2＋1}＝{y |y ≥1}．集合C 的代表元素是(x ，y )，满足条y ＝x 2＋1，表示满足y ＝x 2＋1的实数对(x ，y )；即满足条件y ＝x 2＋1的坐标平面上的点．因此，C ＝{(x ，y )|y ＝x 2＋1}＝{(x ，y )|点(x ，y )是抛物线y ＝x 2＋1上的点}．16．若集合A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ，b a ，1又可表示为{a 2，a ＋b ，0}，求a 2 016＋b 2 017的值．解：由题知a ≠0，故b a＝0，所以b ＝0.所以a 2＝1， 所以a ＝±1.又a ≠1，故a ＝－1.所以a 2 016＋b 2 017＝(－1)2 016＋02 017＝1.17．设A为实数集，且满足条件：若a∈A，则11－a∈A(a≠1)．求证：(1)若2∈A，则A中必还有另外两个元素；(2)集合A不可能是单元素集．证明：(1)若a∈A，则11－a∈A.又因为2∈A，所以11－2＝－1∈A.因为－1∈A，所以11－（－1）＝12∈A.因为12∈A，所以11－12＝2∈A.所以A中另外两个元素为－1，12.(2)若A为单元素集，则a＝11－a，即a2－a＋1＝0，方程无解．所以集合A不可能是单元素集合．第1章集合1.2 子集、全集、补集A级基础巩固1．下列集合中，不是集合{0，1}的真子集的是()A．∅B．{0} C．{1} D．{0，1}解析：任何一个集合是它本身的子集，但不是它本身的真子集．答案：D2．(2014·浙江卷)设全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，则∁U A＝()A．∅B．{2} C．{5} D．{2，5}解析：因为A＝{x∈N|x≤－5或x≥5}，所以∁U A＝{x∈N|2≤x＜5}，故∁U A＝{2}．答案：B3．若集合A＝{a，b，c}，则满足B⊆A的集合B的个数是() A．1 B．2 C．7 D．8解析：把集合A的子集依次列出，可知共有8个．答案：D4．(2014·湖北卷)已知全集U＝{1，2，3，4，5，6，7}，集合A ＝{1，3，5，6}，则∁U A＝()A．{1，3，5，6} B．{2，3，7}C．{2，4，7} D．{2，5，7}解析：因为U＝{1，2，3，4，5，6，7}，A＝{1，3，5，6}，所以∁U A＝{2，4，7}．答案：C5．已知M＝{－1，0，1}，N＝{x|x2＋x＝0}，则能表示M，N 之间关系的Venn图是()解析：M＝{－1，0，1}，N＝{0，－1}，所以N M.答案：C6．已知集合A＝{x|－1＜x＜4}，B＝{x|x＜a}，若A B，则实数a满足()A．a＜4 B．a≤4 C．a＞4 D．a≥4解析：由A B，结合数轴，得a≥4.答案：D7．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________________．解析：集合A和B的数轴表示如图所示．由数轴可知：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．答案：{x|0≤x＜2或x＝5}8．设集合A＝{1，3，a}，B＝{1，a2－a＋1}，且A⊇B，则实数a的值为________．解析：由A⊇B，得a2－a＋1＝3或a2－a＋1＝a，解得a＝2或a＝－1或a＝1，结合集合元素的互异性，可确定a＝－1或a＝2.答案：－1或29．设全集U＝R，集合A＝{x|x≥0}，B＝{y|y≥1}，则∁U A与∁U B 的包含关系是________．解析：因为∁U A＝{x|x＜0}，∁U B＝{y|y＜1}＝{x|x＜1}，所以∁U A∁U B.答案：∁U A∁U B10．集合A＝{x|－3<x≤5}，B＝{x|a＋1≤x<4a＋1}，若B A，则实数a的取值范围是________．解析：分B＝∅和B≠∅两种情况．答案：{a|a≤1}11．已知∅{x|x2－x＋a＝0}，则实数a的取值范围是________．解析：因为∅{x|x2－x＋a＝0}，所以方程x2－x＋a＝0有实根．则Δ＝1－4a ≥0，所以a ≤14. 答案：a ≤1412．已知集合A ＝{－2}，B ＝{x |ax ＋1＝0，a ∈R}，B ⊆A ，求a 的值．解：因为B ⊆A ，A ≠∅，所以B ＝∅或B ≠∅.当B ＝∅时，方程ax ＋1＝0无解，此时a ＝0.当B ≠∅时，此时a ≠0，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1a ， 所以－1a ∈A ，即有－1a ＝－2，得a ＝12. 综上所述，a ＝0或a ＝12. B 级 能力提升13．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |0<x <5，x ∈N}，则满足条件A ⊆C ⊆B 的集合C 有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个解析：因为A ＝{1，2}，B ＝{1，2，3，4}，所以C 中必须含有1，2，即求{3，4}的子集的个数，为22＝4.答案：D14．已知：A ＝{1，2，3}，B ＝{1，2}，定义某种运算：A *B ＝{x |x ＝x 1＋x 2，x 1∈A ，x 2∈B }，则A *B 中最大的元素是________，集合A *B 的所有子集的个数为________．解析：A *B ＝{2，3，4，5}，故最大元素为5，其子集个数为24＝16.答案：5 1615．已知集合A ＝{x |－4≤x ≤－2}，集合B ＝{x |x －a ≥0}．若全集U ＝R ，且A ⊆(∁U B )，则a 的取值范围是________．解析：因为A ＝{x |－4≤x ≤－2}，B ＝{x |x ≥a }，U ＝R ， 所以∁U B ＝{x |x ＜a }．要使A ⊆∁U B ，只需a ＞－2(如图所示)．答案：{a |a ＞－2}16．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解：①若B ＝∅，则应有m ＋1>2m －1，即m <2.②若B ≠∅，则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1≥－2，2m －1≤5，⇒2≤m ≤3.综上即得m 的取值范围是{m |m ≤3}．17．已知集合A ＝{x |x 2－2x －3＝0}，B ＝{x |ax －1＝0}，若B A ，求a 的值．解：A ＝{x |x 2－2x －3＝0}＝{－1，3}，若a ＝0，则B ＝∅，满足B A .若a ≠0，则B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a . 由B A ，可知1a ＝－1或1a＝3， 即a ＝－1或a ＝13. 综上可知a 的值为0，－1，13. 18．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ＜－1}，B ＝{x |2a ＜x ＜a ＋3}，且B⊆∁R A，求a的取值范围．解：由题意得∁R A＝{x|x≥－1}．(1)若B＝∅，则a＋3≤2a，即a≥3，满足B⊆∁R A.(2)若B≠∅，则由B⊆∁R A，得2a≥－1且2a＜a＋3，即－12≤a＜3.综上可得a≥－12.第1章集合1.3 交集、并集A级基础巩固1．(2014·课标全国Ⅱ卷)已知集合A＝{－2，0，2}，B＝{x|x2－x －2＝0}，则A∩B＝()A．∅B．{2}C．{0} D．{－2}解析：B＝{x|x2－x－2＝0}＝{－1，2}，又A＝{－2，0，2}，所以A∩B＝{2}．答案：B2．设S＝{x||x|<3}，T＝{x|3x－5<1}，则S∩T＝()A．∅B．{x|－3<x<3}C．{x|－3<x<2} D．{x|2<x<3}答案：C3．已知A，B均为集合U＝{1，3，5，7，9}的子集，且A∩B＝{3}, A∩∁U B＝{9}，则A＝()A．{1，3} B．{3，7，9}C．{3，5，9} D．{3，9}答案：D4．设A＝{(x，y)|4x＋y＝6}，B＝{(x，y)|3x＋2y＝7}，则A∩B 为()A．{x＝1或y＝2} B．{1，2}C．{(1，2)} D．(1，2)（x，y）|4x＋y＝6，3x＋2y＝7＝{(1，2)}．解析：A∩B＝{}答案：C5．已知集合A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为()A．5 B．4 C．3 D．2解析：因为A＝{x|x＝3n＋2，n∈N}＝{2，5，8，11，14，…}又B＝{6，8，10，12，14}，所以A∩B＝{8，14}．故A∩B中有2个元素．答案：D6．(2014·辽宁卷)已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合∁U(A∪B)＝()A．{x|x≥0} B．{x|x≤1}C．{x|0≤x≤1} D．{x|0＜x＜1}解析：易知A∪B＝{x|x≤0或x≥1}．所以∁U(A∪B)＝{x|0＜x＜1}．答案：D7．已知集合A＝{3，2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，则A∪B＝________．解析：因为A∩B＝{2}，所以2a＝2，所以a＝1，b＝2，故A∪B＝{1，2，3}．答案：{1，2，3}8．已知全集S＝R，A＝{x|x≤1}，B＝{x|0≤x≤5}，则(∁S A)∩B ＝________．解析：∁S A＝{x|x>1}．答案：{x|1<x≤5}9．设集合A＝{x|－1＜x＜a}，B＝{x|1＜x＜3}且A∪B＝{x|－1＜x＜3}，则a的取值范围为________．解析：如下图所示，由A∪B＝{x|－1＜x＜3}知，1＜a≤3.答案：{a|1＜a≤3}10．已知方程x2－px＋15＝0与x2－5x＋q＝0的解分别为M和S，且M∩S＝{3}，则pq＝________．解析：因为M∩S＝{3}，所以3既是方程x2－px＋15＝0的根，又是x2－5x＋q＝0的根，从而求出p＝8，q＝6.则pq＝4 3.答案：4 311．满足条件{1，3}∪A＝{1，3，5}的所有集合A的个数是________．解析：A可以是集合{5}，{1，5}，{3，5}或{1，3，5}．答案：412．已知集合A ＝{x |－1≤x ＜3}，B ＝{x |2x －4≥x －2}．(1)求A ∩B ；(2)若集合C ＝{}x |2x ＋a ＞0，满足B ∪C ＝C ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为B ＝{x |x ≥2}，所以A ∩B ＝{x |2≤x ＜3}．(2)因为C ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ＞－a 2，B ∪C ＝C ⇔B ⊆C ， 所以－a 2＜2.所以a ＞－4. B 级 能力提升13．集合A ＝{x ||x |≤1，x ∈R}，B ＝{y |y ＝x 2，x ∈R}，则A ∩B 为( )A ．{x |－1≤x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |0≤x ≤1}D ．∅解析：因为A ＝{x |－1≤x ≤1}，B ＝{y |y ≥0}，所以A ∩B ＝{x |0≤x ≤1}．答案：C14．图中的阴影部分表示的集合是( )A ．A ∩(∁UB )B ．B ∩(∁U A )C ．∁U (A ∩B )D ．∁U (A ∪B )解析：阴影部分的元素属于集合B 而不属于集合A ，故阴影部分可表示为B ∩(∁U A )．答案：B15．设全集U ＝R ，集合A ＝{x |x ≤1或x ≥3}，集合B ＝{x |k ＜x＜k ＋1，k ＜2}，且B ∩(∁U A )≠∅，则实数k 的取值范围是________．解析：由题意得∁U A ＝{x |1＜x ＜3}，又B ∩∁U A ≠∅，故B ≠∅，结合图形可知⎩⎪⎨⎪⎧k ＜k ＋1，1＜k ＋1＜3，解得0＜k ＜2. 答案：0＜k ＜216．已知集合A ＝{1，3，－x 3}，B ＝{1，x ＋2}，是否存在实数x ，使得B ∪(∁A B )＝A ？实数x 若存在，求出集合A 和B ；若不存在，说明理由．解：假设存在x ，使B ∪(∁U B )＝A .所以B A .(1)若x ＋2＝3，则x ＝1符合题意．(2)若x ＋2＝－x 3，则x ＝－1不符合题意．所以存在x ＝1，使B ∪(∁U B )＝A ，此时A ＝{1，3，－1}，B ＝{1，3}．17．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋3}，若A ∪B ＝A ，求实数a 的取值范围．解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .若B ＝∅时，2a ＞a ＋3，则a ＞3；若B ≠∅时，⎩⎪⎨⎪⎧2a ≥－2，a ＋3≤5，2a ≤a ＋3，解得－1≤a ≤2. 综上所述，a 的取值范围是{a |－1≤a ≤2或a ＞3}．18．设集合A ＝{x |x ＋1≤0或x －4≥0}，B ＝{x |2a ≤x ≤a ＋2}．(1)若A ∩B ≠∅，求实数a 的取值范围；(2)若A ∩B ＝B ，求实数a 的取值范围．解：(1)A ＝{x |x ≤－1或x ≥4}．因为A ∩B ≠∅，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，a ＋2≥4或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≤－1. 所以a ＝2或a ≤－12. 所以实数a 的取值范围为⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ≤－12或a ＝2. (2)因为A ∩B ＝B ，所以B ⊆A .①B ＝∅时，满足B ⊆A ，则2a >a ＋2⇒a >2.②B ≠∅时，则⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，a ＋2≤－1或⎩⎪⎨⎪⎧2a ≤a ＋2，2a ≥4. 解之得a ≤－3或 a ＝2.综上所述，实数a 的取值范围为{a |a ≤－3或a ≥2}．章末知识整合一、元素与集合的关系[例1] 设集合B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ∈N ⎪⎪⎪62＋x ∈N . (1)试判断1和2与集合B 的关系；(2)用列举法表示集合B .解：(1)当x ＝1时，62＋1＝2∈N ，所以1∈B . 当x ＝2时，62＋2＝32∉N ，2∉B . (2)令x ＝0，1，2，3，4，代入62＋x ，检验62＋x∈N 是否成立，可得B ＝{0，1，4}．规律方法1．判断所给元素a 是否属于给定集合时，若a 在集合内，用符号“∈”；若a 不在集合内，用符号“∉”．2．当所给的集合是常见数集时，要注意符号的书写规范．[即时演练] 1.已知集合A ＝{x |ax 2－3x ＋2＝0}．(1)若A ＝∅，求实数a 的取值范围；(2)若A 中只有一个元素，求实数a 的值，并把这个元素写出来． 解：(1)A ＝∅，则方程ax 2－3x ＋2＝0无实根，即Δ＝9－8a <0，所以a >98. 所以a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪⎪a ＞98. (2)因为A 中只有一个元素，所以①a ＝0时，A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫23满足要求． ②a ≠0时，则方程ax 2－3x ＋2＝0有两个相等的实根．故Δ＝9－8a ＝0，所以a ＝98，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫43满足要求． 综上可知：a ＝0或a ＝98. 二、集合与集合的关系[例2] A ＝{x |x <－1或x >2}，B ＝{x |4x ＋p <0}，当B ⊆A 时，求实数p 的取值范围．分析：首先求出含字母的不等式，其次利用数轴解决．解：由已知解得，B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－p 4.又因为因为A＝{x|x＜－1或x＞2}，且B⊆A，利用数轴所以－p4≤－1.所以p≥4，故实数p的取值范围为{p|p≥4}．规律方法1．在解决两个数集的包含关系问题时，避免出错的一个有效手段是合理运用数轴帮助分析与求解．2．注意端点值的取舍，这是同学易忽视失误的地方．[即时演练] 2.设集合P＝{(x，y)|x＋y＜4，x，y∈N*}，则集合P 的非空子集的个数是()A．2 B．3 C．7 D．8解析：当x＝1时，y＜3，又y∈N*，因此y＝1或y＝2；当x＝2时，y＜2，又y∈N*，因此y＝1；当x＝3时，y＜1，又y∈N*，因此这样的y不存在；当x≥4时，y＜0，也不满足y∈N*.综上所述，集合P中的元素有(1，1)，(1，2)，(2，1)，所以P 的非空子集的个数是23－1＝7.故选C.答案：C三、集合的运算[例3]已知集合A＝{x|x－2＞3}，B＝{x|2x－3＞3x－a}，求A∪B，分析：先确定集合A，B，然后讨论a的范围对结果的影响．解：A＝{x|x－2＞3}＝{x|x＞5}，B＝{x|2x－3＞3x－a}＝{x|x＜a－3}．借助数轴表示如图所示．(1)当a －3≤5，即a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}．(2)当a －3＞5，即a ＞8时，A ∪B ＝{x |x ＞5}∪{x |x ＜a －3}＝{x |x ∈R}＝R.综上可知，当a ≤8时，A ∪B ＝{x |x ＜a －3或x ＞5}；当a ＞8时，A ∪B ＝R.规律方法解集合问题关键是读懂集合语言，明确意义，用相关的代数或几何知识进行解决．[即时演练] 3.设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则集合∁A (A ∩B )＝________．解析：因为A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x <1或x >3}，所以A ∩B ＝{x |－4<x <1或3<x <4}．所以∁A (A ∩B )＝{x |1≤x ≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}四、利用集合的运算求参数[例4] 设集合M ＝{x |－2＜x ＜5}，N ＝{x |2－t ＜x ＜2t ＋1，t ∈R}，若M ∪N ＝M ，求实数t 的取值范围．分析：由M ∪N ＝M ，知N ⊆M .根据子集的意义，建立关于t 的不等式关系来求解．解：由M ∪N ＝M 得N ⊆M ，故当N ＝∅，即2t ＋1≤2－t ，t ≤13时，M ∪N ＝M 成立． 当N ≠∅时，由数轴图可得⎩⎪⎨⎪⎧2－t ＜2t ＋1，2t ＋1≤5，2－t ≥－2，解得13＜t ≤2.综上可知，所求实数t 的取值范围是{t |t ≤2}．规律方法1．用数轴表示法辅助理解，若右端点小于等于左端点，则不等式无解， N ＝∅.2．列不等式组的依据是左端点小于右端点，即2t ＋1在5的左侧(相等时也符合题意)，2－t 在－2的右侧(相等时也符合题意)．[即时演练] 4.集合A ＝{x |－2≤x ≤5}，B ＝{x |m ＋1≤x ≤2m －1}．(1)若A ∩B ＝B ，求实数m 的取值范围；(2)若A ∩B ＝∅，求实数m 的取值范围．解：(1)A ∩B ＝B ⇔B ⊆A ，当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当m ＋1≤2m －1时，要使B ⊆A .则⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≥－2，2m －1≤5，m ＋1≤2m －1⇒2≤m ≤3. 综上，m 的取值范围为{m |m ≤3}．(2)当m ＋1>2m －1，即m <2时，B ＝∅，满足A ∩B ＝∅； 当B ≠∅时，要使A ∩B ＝∅，则必须⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，m ＋1>5或⎩⎪⎨⎪⎧m ＋1≤2m －1，2m －1<－2⇒m >4. 综上，m 的取值范围是{m |m <2或m >4}．五、集合的实际应用[例5] 某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人．分析：每名同学至多参加两个小组―→画出相应的Venn图―→根据全班有36名同学列等式―→得答案解析：设参加数学、物理、化学小组的人数构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图．由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－10)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，解得x＝8，故同时参加数学和化学小组的有8人．答案：8规律方法解决有关集合的实际应用题时，首先要将文字语言转化为集合语言，然后结合集合的交、并、补运算来处理．此外，由于Venn图简明、直观，因此很多集合问题往往借助Venn图来分析．[即时演练] 5.某班共30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜欢，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为________．解析：设A，B分别表示喜爱篮球运动、乒乓球运动的人数构成的集合，集合U表示全班人数构成的集合．设同时喜爱乒乓球和篮球运动的有x人．依题意，画出如图所示的Venn图．根据Venn图，得8＋x＋(15－x)＋(10－x)＝30.解得x＝3.故喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－3＝12.答案：12章末过关检测卷(一)(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．设P＝{x|x<4}，Q＝{x|x2<4}，则()A．P⊆Q B．Q⊆PC．P⊆∁R Q D．Q⊆∁R P解析：因为Q＝{x|－2<x<2}，所以Q⊆P.答案：B2．已知集合A＝{1，2}，B＝{(x，y)|x－y＝1}，则A∩B＝()解析：由于A是数集，B是点集，故A∩B＝∅.答案：D3．已知集合A＝{x|x(x－1)＝0}，那么下列结论正确的是() A．0∈A B．1∉AC．－1∈A D．0∉A解析：由x(x－1)＝0得x＝0或x＝1，则集合A中有两个元素0和1，所以0∈A，1∈A.答案：A4．已知集合A＝{x|x2－2x＝0}，B＝{0，1，2}，则A∩B＝() A．{0} B．{0，1}C．{0，2} D．{0，1，2}解析：因为A＝{x|x2－2x＝0}＝{0，2}，B＝{0，1，2}，所以A∩B ＝{0，2}．答案：C5．若集合A＝{x|kx2＋4x＋4＝0，x∈R}中只有一个元素，则实数k的值为()A．1 B．0C．0或1 D．以上答案都不对解析：当k＝0时，A＝{－1}；当k≠0时，Δ＝16－16k＝0，k ＝1.故k＝0或k＝1.答案：C6．下列四句话中：①∅＝{0}；②空集没有子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何一个集合的子集．其中正确的有()解析：空集是任何集合的子集，故④正确，②错误；③不正确，如∅只有一个子集，即它本身；结合空集的定义可知①不正确；故只有1个命题正确．答案：B7．(2015·山东卷)已知集合A ＝{x |2＜x ＜4}，B ＝{x |(x －1)(x －3)＜0}．则A ∩B ＝( )A ．(1，3)B ．(1，4)C ．(2，3)D ．(2，4)解析：易知B ＝{x |1＜x ＜3}，又A ＝{x |2＜x ＜4}，所以A ∩B ＝{x |2＜x ＜3}＝(2，3)．答案：C8．已知集合A ＝{x |a －1≤x ≤a ＋2}，B ＝{x |3<x <5}，则能使A ⊇B 成立的实数a 的取值范围是( )A ．{a |3<a ≤4}B ．{a |3≤a ≤4}C ．{a |3<a <4}D ．∅解析：⎩⎪⎨⎪⎧a －1≤3，5≤a ＋2⇒3≤a ≤4. 答案：B9．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |x >1或x <－2}，B ＝{x |－1≤x ≤0}，则A ∪∁U B 等于( )A ．{x |x <－1或x >0}B ．{x |x <－1或x >1}C ．{x |x <－2或x >1}D ．{x |x <－2或x ≥0}解析：∁U B ＝{x |x <－1或x >0}，所以A ∪∁U B ＝{x |x <－1或x >0}．答案：A10．已知集合A ，B 均为全集U ＝{1，2，3，4}的子集，且∁U (A ∪B )＝{4}，B ＝{1，2}，则A ∩∁U B ＝( )A ．{3}B ．{4}C ．{3，4}D ．∅解析：由题意A ∪B ＝{1，2，3}，又B ＝{1，2}．所以∁U B ＝{3，4}，故A ∩∁U B ＝{3}．答案：A11．已知全集U ＝R ，集合A ＝{x |y ＝1－x }，集合B ＝{x |0＜x ＜2}，则(∁U A )∪B 等于( )A ．[1，＋∞)B ．(1，＋∞)C ．[0，＋∞)D ．(0，＋∞)解析：因为A ＝{x |x ≤1}，所以∁U A ＝{x |x ＞1}．所以(∁U A )∪B ＝{x |x ＞0}．答案：D12．设全集U ＝{(x ，y )|x ∈R ，y ∈R}，集合A ＝{(x ，y )|2x －y ＋m ＞0}，B ＝{(x ，y )|x ＋y －n ≤0}，若点P (2，3)∈A ∩(∁U B )，则下列选项正确的是( )A ．m ＞－1，n ＜5B ．m ＜－1，n ＜5C ．m ＞－1，n ＞5D ．m ＜－1，n ＞5解析：由P (2，3)∈A ∩(∁U B )得P ∈A 且P ∉B ，故⎩⎪⎨⎪⎧2×2－3＋m ＞0，2＋3－n ＞0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＞－1，n ＜5. 答案：A二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．设全集U ＝M ∪N ＝{1，2，3，4，5}，M ∩∁U N ＝{2，4}，则N ＝________．答案：{1，3，5}14．已知集合A ＝{(x ，y )|ax －y 2＋b ＝0}，B ＝{(x ，y )|x 2－ay ＋b ＝0}，且(1，2)∈A ∩B ，则a ＋b ＝________．解析：因为(1，2)∈A ∩B ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＋b ＝0，1－2a ＋b ＝0⇒a ＝53，b ＝73. 故a ＋b ＝4.答案：415．设集合A ＝{x ||x |<4}，B ＝{x |x 2－4x ＋3>0}，则集合{x |x ∈A ，且x ∉A ∩B }＝________．解析：A ＝{x |－4<x <4}，B ＝{x |x >3或x <1}，A ∩B ＝{x |3<x <4或－4<x <1}，所以{x |x ∈A 且x ∉A ∩B }＝{x |1≤x ≤3}．答案：{x |1≤x ≤3}16．设集合M ＝{x |2x 2－5x －3＝0}，N ＝{x |mx ＝1}，若N ⊆M ，则实数m 的取值集合为________．解析：集合M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫3，－12.若N ⊆M ，则N ＝{3}或⎝ ⎛⎭⎬⎫－12或∅.于是当N ＝{3}时，m ＝13；当N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－12时，m ＝－2；当N ＝∅时，m ＝0.所以m 的取值集合为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，0，13. 答案：⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2.0，13 三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时写出必要文字说明、计算或证明推理过程)17．(本小题满分10分)A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |ax －2＝0}，且A ∪B ＝A ，求实数a 组成的集合C .解：因为A ∪B ＝A ，所以B ⊆A .当B ＝∅时，即a ＝0时，显然满足条件．当B ≠∅时，则B ＝⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫x ＝2a ，A ＝{1，2}， 所以2a ＝1或2a＝2，从而a ＝1或a ＝2. 故集合C ＝{0，1，2}．18．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |1≤x ＜7}，B ＝{x |2＜x ＜10}，C ＝{x |x ＜a }，全集为实数集R.(1)求A ∪B ，(∁R A )∩B ；(2)如果A ∩C ≠∅，求a 的取值范围．解：(1)A ∪B ＝{x |1≤x ＜10}，(∁R A )∩B ＝{x |x ＜1或x ≥7}∩{x |2＜x ＜10}＝{x |7≤x ＜10}．(2)当a ＞1时，满足A ∩C ≠∅.因此a 的取值范围是{a |a ＞1}．19．(本小题满分12分)已知A ＝{x |x 2＋4x ＝0}，B ＝{x |x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0}，若B ⊆A ，求a 的取值范围．解：集合A ＝{0，－4}，由于B ⊆A ，则：(1)当B ＝A 时，即0，－4是方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0的两根，代入解得a ＝1.(2)当B ≠A 时：①当B ＝∅时，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＜0，解得a ＜－1；②当B ＝{0}或B ＝{－4}时，方程x 2＋2(a ＋1)x ＋a 2－1＝0应有两个相等的实数根0或－4，则Δ＝4(a ＋1)2－4(a 2－1)＝0，解得a ＝－1，此时B ＝{0}满足条件．综上可知a ＝1或a ≤－1.20．(本小题满分12分)已知A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}．(1)若a ＝1，求A ∩B ；(2)若A ∪B ＝R ，求实数a 的取值范围．解：(1)当a ＝1时，A ＝{x |－3＜x ＜5}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}. 所以A ∩B ＝{x |－3＜x ＜－1}．(2)因为A ＝{x |a －4＜x ＜a ＋4}，B ＝{x |x ＜－1或x ＞5}，又A ∪B ＝R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a －4＜－1，a ＋4＞5⇒1＜a ＜3. 所以所求实数a 的取值范围是{a |1＜a ＜3}.21．(本小题满分12分)已知集合A ＝{x |x 2－ax ＋a 2－19＝0}，B ＝{x |x 2－5x ＋6＝0}，C ＝{x |x 2＋2x －8＝0}，求a 取何值时，A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立．解：因为B ＝{2，3}，C ＝{2，－4}，由A ∩B ≠∅且A ∩C ＝∅知，3是方程x 2－ax ＋a 2－19＝0的解， 所以a 2－3a －10＝0.解得a ＝－2或a ＝5.当a ＝－2时，A ＝{3，－5}，适合A ∩B ≠∅与A ∩C ＝∅同时成立；当a ＝5时，A ＝{2，3}，A ∩C ＝{2}≠∅，故舍去．所求a 的值为－2.22．(本小题满分12分)已知集合P ＝{x |a ＋1≤x ≤2a ＋1}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}．(1)已知a ＝3，求(∁R P )∩Q ；(2)若P ∪Q ＝Q ，求实数a 的取值范围．解：(1)因为a ＝3，所以集合P ＝{x |4≤x ≤7}．所以∁R P ＝{x |x ＜4或x ＞7}，Q ＝{x |1≤2x ＋5≤15}＝{x |－2≤x ≤5}，所以(∁R P )∩Q ＝{x |－2≤x ＜4}．(2)因为P ∪Q ＝Q ，所以P ⊆Q .①当a ＋1＞2a ＋1，即a ＜0时，P ＝∅，所以P ⊆Q ；②当a ≥0时，因为P ⊆Q ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ≥0，a ＋1≥－2，2a ＋1≤5.所以0≤a ≤2. 综上所述，实数a 的取值范围为(－∞，2]．第2章 函数2.1 函数的概念2.1.1 函数的概念和图象A 级 基础巩固1．下列各图中，不可能表示函数y ＝f (x )的图象的是( )答案：B2．函数y ＝1－x ＋x 的定义域是( )A ．{x |x ≤1}B ．{x |x ≥0}C ．{x |x ≥1，或x ≤0}D ．{x |0≤x ≤1}解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1－x ≥0，x ≥0，得0≤x ≤1. 答案：D3．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0，且f (a )＋f (1)＝0，则a ＝( ) A ．－3 B ．－1 C ．1 D ．3解析：当a >0时，f (a )＋f (1)＝2a ＋2＝0⇒a ＝－1，与a >0矛盾；当a ≤0时，f (a )＋f (1)＝a ＋1＋2＝0⇒a ＝－3，适合题意．答案：A4．定义域在R 上的函数y ＝f (x )的值域为[a ，b ]，则函数y ＝f (x ＋a )的值域为( )A ．[2a ，a ＋b ]B ．[0，b －a ]C ．[a ，b ]D ．[－a ，a ＋b ] 答案：C5．下列函数完全相同的是( )A ．f (x )＝|x |，g (x )＝(x )2B ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2C ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2xD ．f (x )＝x 2－9x －3，g (x )＝x ＋3解析：A 、C 、D 的定义域均不同． 答案：B6．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在区间(1，4]上的值域是( ) A ．[－1，＋∞) B ．(0，3] C ．[－1，3] D ．(－1，3)解析：y ＝x 2－4x ＋3＝(x －2)2－1≥－1，再结合二次函数的图象(如右图所示)可知，－1≤y ≤3.答案：C7．已知函数f (x )的定义域为(－3，0)，则函数y ＝f (2x －1)的定义域是( )A ．(－1，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12 C ．(－1，0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 解析：由于f (x )的定义域为(－3，0) 所以－3＜2x －1＜0，解得－1＜x ＜12.故y ＝f (2x －1)的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12.答案：B8．函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －120＋x 2－1x ＋2的定义域是__________________．解析：要使f (x )有意义，必有⎩⎨⎧x －12≠0，x ＋2＞0，解得x ＞－2且x ≠12. 答案：⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，12∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞9．已知函数f (x )的定义域为[0，1]，值域为[1，2]，则f (x ＋2)的定义域是________，值域是________．解析：因为f (x )的定义域为[0，1]，所以0≤x ＋2≤1.所以－2≤x ≤－1，即f (x ＋2)的定义域为[－2，－1]，值域仍然为[1，2]．答案：[－2，－1] [1，2]10．(2015·课标全国Ⅱ卷)已知函数f (x )＝ax 3－2x 的图象过点(－1，4)，则a ＝________．解析：因为点(－1，4)在y ＝f (x )的图象上， 所以4＝－a ＋2.所以a ＝－2. 答案：－211．若f (x )＝ax 2－2，a 为正常数，且f [f (2)]＝－2，则a ＝________．解析：因为f (2)＝a ·(2)2－2＝2a －2， 所以f ()f （2）＝a ·(2a －2)2－2＝－ 2. 所以a ·(2a －2)2＝0.又因为a 为正常数，所以2a －2＝0.所以a ＝22.答案：2212．已知函数f (x )＝x ＋1x .(1)求f (x )的定义域； (2)求f (－1)，f (2)的值；(3)当a ≠－1时，求f (a ＋1)的值．解：(1)要使函数f (x )有意义，必须使x ≠0， 所以f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)． (2)f (－1)＝－1＋1－1＝－2，f (2)＝2＋12＝52.(3)当a ≠－1时，a ＋1≠0. 所以f (a ＋1)＝a ＋1＋1a ＋1. B 级 能力提升13．若函数y ＝f (x )的定义域为[0，2]，则函数g (x )＝f （2x ）x －1的定义域为( )A ．[0，1]B ．[0，1)C ．[0，1)∪(1，4]D ．(0，1)解析：因为f (x )的定义域为[0，2]，所以g (x )＝f （2x ）x －1需满足⎩⎪⎨⎪⎧0≤2x ≤2，x －1≠0，解得0≤x ＜1.所以g (x )的定义域为[0，1)． 答案：B14．汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图象可能是( )解析：因为汽车先启动，再加速、匀速，最后减速，s 随t 的变化是先慢，再快、匀速，最后慢，故A 图比较适合题意．答案：A15．已知函数f (x )＝x 21＋x 2，那么f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝______． 解析：因为f (x )＝x 21＋x 2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1x 2＋1，所以f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1.所以f (1)＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (3)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13＋f (4)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝12＋1＋1＋1＝72.答案：7216．已知函数f (x )＝2x －1－7x .(1)求f (0)，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111； (2)求函数的定义域．解：(1)f (0)＝－1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫17＝217＝277， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫111＝2111－1－711＝411－411＝0. (2)要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，1－7x ≥0，解得⎩⎨⎧x ≥0，x ≤17，所以0≤x ≤17. 所以函数的定义域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪0≤x ≤17.17．已知函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)在区间(－∞，1]上有意义，求实数a 的值．解：已知函数y ＝1ax ＋1(a ＜0且a 为常数)， 因为1ax ＋1≥0，a ＜0，所以x ≤－a ，即函数的定义域为(－∞，－a ]． 因为函数在区间(－∞，1]上有意义， 所以(－∞，1]⊆(－∞，－a ]． 所以－a ≥1，即a ≤－1.所以a 的取值范围是(－∞，－1]．18．试画出函数f (x )＝(x －2)2＋1的图象，并回答下列问题： (1)求函数f (x )在x ∈[1，4]上的值域； (2)若x 1＜x 2＜2，试比较f (x 1)与f (x 2)的大小． 解：由描点法作出函数的图象如图所示．(1)由图象知，f (x )在x ＝2时有最小值为f (2)＝1， 又f (1)＝2，f (4)＝5.所以函数f (x )在[1，4]上的值域为[1，5]． (2)根据图象易知，当x 1＜x 2＜2时，f (x 1)＞f (x 2)．第2章 函数 2.1 函数的概念 2.1.2 函数的表示方法A 级 基础巩固1．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，则f (f (－7))的值为( )A ．100B ．10C ．－10D ．－100解析：因为f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧10，x ＜0，10x ，x ≥0，所以f (－7)＝10.f (f (－7))＝f (10)＝10×10＝100. 答案：A2．函数f (x )＝cx 2x ＋3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ≠－32满足f (f (x ))＝x ，则常数c 等于( ) A ．3 B ．－3 C ．3或－3D ．5或－3解析：f (f (x ))＝c ⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋32⎝ ⎛⎭⎪⎫cx 2x ＋3＋3＝c 2x 2cx ＋6x ＋9＝x ，即x [(2c ＋6)x ＋9－c 2]＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧2c ＋6＝0，9－c 2＝0，解得c ＝－3. 答案：B3．如果二次函数的图象开口向上且关于直线x ＝1对称，且过点(0，0)，则此二次函数的解析式可以是( )A ．f (x )＝x 2－1B ．f (x )＝－(x －1)2＋1C ．f (x )＝(x －1)2＋1D ．f (x )＝(x －1)2－1解析：由题意设f (x )＝a (x －1)2＋b (a ＞0)，由于点(0，0)在图象上，所以a ＋b ＝0，a ＝－b ，故符合条件的是D.答案：D4．某同学从家里赶往学校，一开始乘公共汽车匀速前进，在离学校还有少许路程时，改为步行匀速前进到校．下列图形纵轴表示该同学与学校的距离s ，横轴表示该同学出发后的时间t ，则比较符合该同学行进实际的是( )解析：依题意：s 表示该同学与学校的距离，t 表示该同学出发后的时间，当t ＝0时，s 最远，排除A 、B ，由于汽车速度比步行快，因此前段迅速靠近学校，后段较慢．故选D.答案：D5．g (x )＝1－2x ，f (g (x ))＝1－x 2x 2(x ≠0)，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝( )A ．1B ．3C ．15D ．30解析：由g (x )＝12得：1－2x ＝12⇒x ＝14，代入1－x 2x 2得：1－⎝ ⎛⎭⎪⎫142⎝ ⎛⎭⎪⎫142＝15. 答案：C6．(2015·陕西卷)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1－x ，x ≥0，x 2，x ＜0，则f (f (－2))＝( )A ．－1 B.14 C.12 D.32解析：f (－2)＝(－2)2＝4. 所以f (f (－2))＝f (4)＝1－4＝－1. 答案：A7．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋3x ，x ≤0，2，x >0，则方程f (x )＝x 的解的个数为________．解析：x >0时，x ＝f (x )＝2；x ≤0时，x 2＋3x ＝x ⇒x ＝0或－2. 答案：38.如图所示，函数f (x )的图象是折线段ABC ，其中点A ，B ，C 的坐标分别为(0，4)，(2，0)，(4，2)，则f (f (f (2))＝________．解析：由图象及已知条件知f (2)＝0，即f (f (f (2)))＝f (f (0))， 又f (0)＝4，所以f (f (0))＝f (4)＝2. 答案：29．若某汽车以52 km/h 的速度从A 地驶向260 km 远处的B 地，在B 地停留32h 后，再以65 km/h 的速度返回A 地．则汽车离开A 地后行走的路程s 关于时间t 的函数解析式为________________．解析：因为260÷52＝5(h)，260÷65＝4(h)，所以s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝ ⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤212. 答案：s ＝⎩⎪⎨⎪⎧52t ，0≤t ＜5，260，5≤t ≤132，260＋65⎝⎛⎭⎪⎫t －132，132＜t ≤212 10．设f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x ≥0，1x ，x ＜0.若f (a )＞a ，则实数a 的取值范围是________．解析：当a ≥0时，f (a )＝a ＋1＞a 恒成立． 当a ＜0时，f (a )＝1a ＞a ，所以a ＜－1.综上a 的取值范围是a ≥0或a ＜－1. 答案：{a |a ≥0或a ＜－1}11．已知二次函数满足f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，求f (x )． 解：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (3x ＋1)＝a (3x ＋1)2＋b (3x ＋1)＋c ＝9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (3x ＋1)＝9x 2－6x ＋5，所以9ax 2＋(6a ＋3b )x ＋a ＋b ＋c ＝9x 2－6x ＋5. 比较两端系数，得⎩⎪⎨⎪⎧9a ＝9，6a ＋3b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－4，c ＝8.所以f (x )＝x 2－4x ＋8.12．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2（－1≤x ≤1），1（x ＞1或x ＜－1）.(1)画出f (x )的图象； (2)求f (x )的定义域和值域．解：(1)利用描点法，作出f (x )的图象，如图所示．(2)由条件知，函数f (x )的定义域为R.由图象知，当－1≤x ≤1时，f (x )＝x 2的值域为[0，1]， 当x ＞1或x ＜－1时，f (x )＝1， 所以f (x )的值域为[0，1]．B 级 能力提升13．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋2，x ＜1，x 2＋ax ，x ≥1.若f (f (0))＝4a ，则实数a 的值为( )A ．2B ．1C ．3D ．4解析：易知f (0)＝2，所以f (f (0))＝f (2)＝4＋2a ＝4a ，所以a ＝2. 答案：A14．任取x 1，x 2∈[a ，b ]且x 1≠x 2，若f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＞12[f (x 1)＋f (x 2)]，则f (x )在[a ，b ]上是凸函数，在以下图象中，是凸函数的图象是( )解析：只需在图形中任取自变量x 1，x 2，分别标出它们对应的函数值及x 1＋x 22对应的函数值，并观察它们的大小关系即可． 答案：D15．根据统计，一名工人组装第x 件某产品所用的时间(单位：分钟)为f (x )＝⎩⎨⎧C x ，x <A ，C A ，x ≥A ，A ，C 为常数．已知工人组装第4件产品用时30分钟，组装第A 件产品用时15分钟，那么C 和A 的值分别是( ) A ．75，25B ．75.16C ．60，25D ．60，16解析：由条件可知，x ≥A 时所用时间为常数，所以组装第4件产品用时必须满足第一段分段函数，即f (4)＝C 4＝30⇒C ＝60， f (A )＝60A＝15⇒A ＝16. 答案：D16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4，0≤x ≤2，2x ，x ＞2.(1)求f (2)，f (f (2))的值；(2)若f (x 0)＝8，求x 0的值．解：(1)因为0≤x ≤2时，f (x )＝x 2－4，所以f (2)＝22－4＝0，f (f (2))＝f (0)＝02－4＝－4.(2)当0≤x 0≤2时，由x 20－4＝8，得x 0＝±23∉[0，2]，故无解． 当x 0＞2时，由2x 0＝8，得x 0＝4.因此f (x 0)＝8时，x 0的值为4.17．某市出租车的计价标准是：4 km 以内10元，超过4 km 且不超过18 km 的部分1.2 元/km ，超过18 km 的部分1.8 元/km.(1)如果不计等待时间的费用，建立车费与行车里程的函数关系式；(2)如果某人乘车行驶了20 km ，他要付多少车费？解：(1)设车费为y 元，出租车行驶里程为x km.由题意知，当0＜x ≤4时，y ＝10；当4＜x ≤18时，y ＝10＋1.2(x －4)＝1.2x ＋5.2；当x ＞18时，y ＝10＋1.2×14＋1.8(x －18)＝1.8x －5.6.所以，所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，0＜x ≤4，1.2x ＋5.2，4＜x ≤18，1.8x －5.6，x ＞18.(2)当x ＝20时，y ＝1.8×20－5.6＝30.4.所以乘车行驶了20 km 要付30.4元的车费．18．某种商品在30天内每件的销售价格P (元)与时间t (天)的函数关系用图①表示，该商品在30天内日销售量Q (件)与时间t (天)之间的关系如下表所示：t /天 5 15 20 30Q /件 35 25 20 10(1)根据提供的图象(图①)，写出该商品每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式；(2)在所给平面直角坐标系(图②)中，根据表中提供的数据描出实数对(t ，Q )的对应点，并确定一个日销售量Q 与时间t 的函数解析式；(3)求该商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天(日销售金额＝每件的销售价格×日销售量)．解：(1)根据图象，每件的销售价格P 与时间t 的函数解析式为：P ＝⎩⎪⎨⎪⎧t ＋20，0＜t ＜25，t ∈N ，－t ＋100，25≤t ≤30，t ∈N.(2)描出实数对(t ，Q )的对应点，如下图所示．从图象发现：点(5，35)，(15，25)，(20，20)，(30，10)似乎在同一条直线上，为此假设它们共线于直线l ：Q ＝kt ＋b .由点(5，35)，(30，10)确定出l 的解析式为Q ＝－t ＋40，通过检验可知，点(15，25)，(20，20)也在直线l 上．所以日销售量Q 与时间t 的一个函数解析式为Q ＝－t ＋40(0＜t ≤30，t ∈N)．(3)设日销售金额为y (元)，则y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－t 2＋20t ＋800，0＜t ＜25，t ∈N ，t 2－140t ＋4 000，25≤t ≤30，t ∈N. 因此y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－（t －10）2＋900，0＜t ＜25，t ∈N ，（t －70）2－900，25≤t ≤30，t ∈N. 若0＜t ＜25(t ∈N)，则当t ＝10时，y max ＝900；若25≤t ≤30(t ∈N)，则当t ＝25时，y max ＝1 125.因此第25天时销售金额最大，最大值为1 125元．第2章 函数2.2 函数的简单性质2.2.1 函数的单调性A 级 基础巩固1.函数f (x )的图象如图所示，则( )A ．函数f (x )在[－1，2]上是增函数B ．函数f (x )在[－1，2]上是减函数C ．函数f (x )在[－1，4]上是减函数D ．函数f (x )在[2，4]上是增函数解析：增函数具有“上升”趋势；减函数具有“下降”趋势，故A正确．答案：A2．已知函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，若a∈R，则() A．f(a)＞f(2a) B．f(a2)＜f(a)C．f(a＋3)＞f(a－2) D．f(6)＞f(a)解析：因为a＋3＞a－2，且f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f(a＋3)＞f(a－2)．答案：C3．y＝2x在区间[2，4]上的最大值、最小值分别是()A．1，12 B.12，1 C.12，14 D.14，12解析：因为函数y＝2x在[2，4]上是单调递减函数，所以y max＝22＝1，y min＝24＝12.答案：A4．函数y＝x2－6x的减区间是() A．(－∞.2] B．[2，＋∞) C．[3，＋∞) D．(－∞，3] 解析：y＝x2－6x＝(x－3)2－9，故函数的单调减区间是(－∞，3]．答案：D5．下列说法中，正确的有()①若任意x1，x2∈I，当x1＜x2时，f（x1）－f（x2）x1－x2＞0，则y＝f(x)在I上是增函数；②函数y ＝x 2在R 上是增函数； ③函数y ＝－1x在定义域上是增函数； ④函数y ＝1x的单调区间是(－∞，0)∪(0，＋∞)． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个解析：当x 1＜x 2时，x 1－x 2＜0，由f （x 1）－f （x 2）x 1－x 2＞0知f (x 1)－f (x 2)＜0，所以f (x 1)＜f (x 2)，①正确；②③④均不正确．答案：B6．已知函数f (x )＝4x －3＋x ，则它的最小值是( )A ．0B ．1 C.34 D ．无最小值解析：因为函数f (x )＝4x －3＋x 的定义域是⎣⎢⎡⎭⎪⎫34，＋∞，且是增函数，所以f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34＝34. 答案：C7．函数y ＝f (x )的图象如图所示，则函数f (x )的单调递增区间是________________．解析：由图象可知函数f (x )的单调递增区间是(－∞，1]和(1，＋∞)．答案：(－∞，1]和(1，＋∞)8．已知f (x )是R 上的减函数，则满足f (2x －1)＞f (1)的实数x 的取值范围是________．解析：因为f (x )在R 上是减函数，且f (2x －1)＞f (1)，所以2x －1＜1，即x ＜1.答案：(－∞，1)9．已知函数f (x )＝x 2－2x ＋3在闭区间[0，m ]上的最大值为3，最小值为2，则m 的取值范围是________．解析：因为f (x )＝(x －1)2＋2，其对称轴为直线x ＝1，所以当x ＝1时，f (x )min ＝2，故m ≥1.又因为f (0)＝3，所以f (2)＝3.所以m ≤2.故1≤m ≤2.答案：[1，2]10．某公司在甲乙两地同时销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L 1＝－x 2＋21x 和L 2＝2x (其中销售量单位：辆)．若该公司在两地共销售15辆，则能获得的最大利润为________万元．解析：设公司在甲地销售x 台，则在乙地销售(15－x )台，公司获利为L ＝－x 2＋21x ＋2(15－x )＝－x 2＋19x ＋30＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1922＋30＋1924， 所以当x ＝9或10时，L 最大为120万元．答案：12011．讨论函数y ＝x 2－2(2a ＋1)x ＋3在[－2，2]上的单调性．解：因为函数图象的对称轴x ＝2a ＋1，所以当2a ＋1≤－2，即a ≤－32时，函数在[－2.2]上为增函数．当－2＜2a ＋1＜2，即－32＜a ＜12时， 函数在[－2，2a ＋1]上是减函数，在[2a ＋1，2]上是增函数．当2a ＋1≥2，即a ≥12时，函数在[－2，2]上是减函数． 12．已知f (x )＝x ＋12－x，x ∈[3，5]． (1)利用定义证明函数f (x )在[3，5]上是增函数；(2)求函数f (x )的最大值和最小值．解：(1)f (x )在区间[3，5]上是增函数，证明如下：设x 1，x 2是区间[3，5]上的两个任意实数，且x 1＜x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝x 1＋12－x 1－x 2＋12－x 2＝3（x 1－x 2）（2－x 1）（2－x 2）. 因为3≤x 1＜x 2≤5，所以x 1－x 2＜0，2－x 1＜0，2－x 2＜0.所以f (x 1)＜f (x 2)．所以f (x )在区间[3，5]上是增函数．(2)因为f (x )在区间[3，5]上是增函数，所以当x ＝3时，f (x )取得最小值为－4，当x ＝5时，f (x )取得最大值为－2.B 级 能力提升13．若函数f (x )＝4x 2－kx －8在[5，8]上是单调函数，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，40)B ．[40，64]C ．(－∞，40]∪[64，＋∞)D ．[64，＋∞)。

1.2 子集、全集、补集1．设集合A ＝{x|x ≥33}，x ＝27，则下列关系中正确的序号是__________． ①xA ②x A ③{x}∈A ④{x}A2．下列说法：①空集没有子集；②空集是任何集合的真子集；③任何一个集合必有两个或两个以上的子集；④空集是任何集合的子集；⑤若A ，则A ≠．其中正确的个数为________．3．(原创题)设集合A ＝{x|x 2－1＝0}，B ＝{x||x|＝1}，C ＝{－1,0,1}，则集合A 、B 、C 之间的关系是__________．4．若集合M ＝{0,1}，I ＝{0,1,2,3,4,5}，则I M ＝__________. 5．已知全集U ＝{1,2,3,4,5,6}，集合A ＝{2,3,6}，则集合U A ＝__________.6．若集合A ＝{1,3，x}，B ＝{x 2,1}，且B A ，则满足条件的实数x 的个数为__________． 7．集合A ＝{x|0≤x<3，x ∈N }的真子集个数是__________． 8．选用适当的符号(∈，，＝，，，，)填空：23________Q ；{23}________Q ；Z ________N ；N __________N *；{1,2}________{2,1}． 9．已知集合A ＝{－1，1}，B ＝{x|ax ＋1＝0}，若B A ，则实数a 的所有可能取值的集合为__________．10．已知集合A {1,2,3}，且A 的元素中至少含有一个奇数，则满足条件的集合A 的个数为__________．11．已知全集U ＝{非负实数}，集合A ＝{x|0<x －1≤5}，则U A ＝__________.12．设集合A ＝{x|1≤x ≤3}，B ＝{x|x －a ≥0}，若A B ，则实数a 的取值范围是__________．13．用适当的符号(∈，，＝，，)填空：(1)b__________{a ，b ，c}； (2) __________{x|x 2＝－4}； (3){小说}__________{武侠小说}； (4) __________{x|x 2＋2x ＋1＝0}；(5){被5整除的数}__________{被10整除的数}．14．指出下列各集合之间的关系，并用Venn 图表示：A ＝{四边形}，B ＝{菱形}，C ＝{平行四边形}，D ＝{正方形}．15．集合U、S、T、F的关系如图所示，下列关系中哪些是对的，哪些是错的？(1)S U；(2)F T；(3)S T；(4)S F；(5)S F；(6)F U.16．设集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，求实数m的取值范围．17．下列关系式：①{0}；②{a}∈{a，b，c}；③0{0}；④∈{0,1}；⑤{a}{a}．其中表述正确的序号是________．18．集合M＝{x|x2－x＝0}，N＝{y|x2＋y2＝1，x∈N}，则M、N的关系是__________．19．(原创题)已知全集U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{x|－2<x－3<2，x∈Z}，集合B＝{x|x2－5x＋6＝0}，则集合U A与U B的关系是__________．20．若{1}A{1,2,3,4}，且A中所有元素之和为奇数的集合A的个数是__________．21．第二十九届夏季奥林匹克运动会于2008年8月8日在北京举行，若集合A＝{参加北京奥运会比赛的运动员}，集合B＝{参加北京奥运会比赛的男运动员}，集合C＝{参加北京奥运会比赛的女运动员}，则A B＝__________，A C＝__________.22．已知全集U和集合A，B，P，A＝U B，B＝U P，则A与P的关系是________．23．同时满足：(1)M{1,2,3,4,5}；(2)若a∈M，则6－a∈M的非空集合M有________个．24．(易错题)已知集合A＝{x|x2－2x－3＝0}，B＝{x|ax－1＝0}，若B A，求实数a 的值．25.设全集U＝{2,3，a2＋2a－3}，A＝{|2a－1|,2}，U A＝{5}，求实数a的值．26．(创新题)已知集合A＝{2,4,6,8,9}，B＝{1,2,3,5,8}，是否存在集合C，使C中的每一个元素都加上2就变成了A的一个子集，且C中的每一个元素都减去2，就变成了B的一个子集？若存在，求出集合C；若不存在，请说明理由．27．已知集合A＝{x|x2－3x＋4＝0}，B＝{x|(x＋1)(x2＋3x－4)＝0}，若A P B，求满足条件的集合P.28．已知集合U＝{x|－1≤x≤2，x∈P}，A＝{x|0≤x<2，x∈P}，B＝{x|－a<x≤1，x∈P}(－1<a<1)．(1)若P＝R，求U A中最大元素m与U B中最小元素n的差m－n；(2)若P＝Z，求A B和U A中所有元素之和及U(A B)．答案与解析基础巩固1．④ ∵27＝28>27＝33， ∴x ∈A ，{x} A.2．2 ④⑤正确．任何集合是它本身的子集，所以①错误；空集是任何非空集合的真子集，所以②错误；只有一个子集即其本身，所以③错误．3．A ＝B C ∵A ＝{－1,1}，B ＝{－1,1}， ∴A ＝B C. 4．{2,3,4,5} 5．{1,4,5}6．3 ∵B A ，∴x 2∈A.又x 2≠1，∴x 2＝3或x 2＝x ，解得x ＝±3或x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，不满足题意． ∴x ＝0或x ＝±3. 7．7 ∵A ＝{0,1,2}，∴真子集有，{0}，{1}，{2}，{0,1}，{0,2}，{1,2}，共7个．8．∈＝9．{－1,0,1} ∵B A ， ∴B 是A 的子集．当a ＝0时，B ＝，满足B A.当a ≠0时，B ＝{－1a }，要使B A ，必须B ＝{1}或B ＝{－1}，即－1a ＝1或－1a＝－1，解得a ＝1或a ＝－1.综上可知，a 的取值集合为{－1，0,1}．10．5 由题意，A 共有{1}，{3}，{1,2}，{1,3}，{2,3}，共5个． 11．{x|0≤x ≤1或x>6} ∵U ＝{x|x ≥0}，A ＝{x|1<x ≤6}． ∴U A ＝{x|0≤x ≤1或x>6}．12．a ≤1 ∵A B ，∴集合B 必须真包含集合A.可借助于数轴，如图所示：∵B ＝{x|x ≥a}，∴由图可知a ≤1. 13．(1)∈ (2)＝ (3)(4)(5)14．解：集合A 、B 、C 、D 之间的关系为D B C A.用Venn 图表示为：15．解：(1)(3)(6)对；(2)(4)(5)错．16．解：(1)当B ＝时，有m ＋1>2m －1， 即m<2，显然B A 成立； (2)当B ≠时，由B A ， 得⎩⎪⎨⎪⎧2m －1≥m ＋1，m ＋1≥－2，2m －1≤5.解得2≤m ≤3.综上可知，m 的取值范围是m ≤3.能力提升17．①⑤ ②应为“”；③应为“∈”；④应为“”．18．M N M ＝{0,1}， ∵x ∈N ，且y 2＝1－x 2， ∴当x ＝0时，y ＝±1； 当x ＝1时，y ＝0.∴N ＝{－1,0,1}．∴M N. 19．U AU B∵A ＝{x|－2<x －3<2，x ∈Z }＝{x|1<x<5，x ∈Z }＝{2,3,4}，∴U A ＝{1,5}，∵B ＝{x|x 2－5x ＋6＝0}＝{2,3}． ∴U B ＝{1,4,5}．∴U A U B.20．3 满足条件{1}A {1,2,3,4}的集合A 有{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,2,3}，{1,2,4}，{1,3,4}，{1,2,3,4}，显然和为奇数的有{1,2}，{1,4}，{1,2,4}，共3个．21．C B22．A ＝P 方法一：画出Venn 图，如下图所示，由图可知A ＝P.方法二：由补集的定义，∵B ＝U P ，∴A ＝U B ＝U (U P)＝P.23．7 ∵M {1,2,3,4,5}，若a ∈M ，则6－a ∈M.∴1,5应同时属于M,2,4也应同时属于M,3可单独属于M.∴非空集合M 应有23－1＝7个，即{3}，{1,5}，{2,4}，{1,3,5}，{2,3,4}，{1,2,4,5}，{1,2,3,4,5}．24．解：A ＝{x|x 2－2x －3＝0}＝{－1，3}，且B A ，(1)当B ＝时，方程ax －1＝0无解，故当a ＝0时，B A ；(2)当B ≠时，若a ≠0，则B ＝{1a}，当1a ＝－1时，a ＝－1； 当1a ＝3时，a ＝13都适合题意． 综上知，a 的值为－1,0，13.点评：由于空集是任何非空集合的真子集，所以当B ＝时，BA 成立；这种情况容易遗漏，在解此类问题时要切实注意．25．解：∵U A ＝{5}，A ＝{|2a －1|,2}，U ＝{2,3，a 2＋2a －3}，∴⎩⎪⎨⎪⎧|2a －1|＝3，a 2＋2a －3＝5， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2或a ＝－1，a ＝2或a ＝－4.∴a ＝2.26．解：假设存在集合C 满足条件，则C ≠，且C {0,2,4,6,7}，C {3,4,5,7,10}． ∴存在集合C ＝{4}，或C ＝{7}或C ＝{4,7}满足题意． 27．解：∵方程x 2－3x ＋4＝0的判别式Δ＝－7<0， ∴方程无解，即A ＝．由方程(x ＋1)(x 2＋3x －4)＝0，得x ＝－1，或x ＝－4，或x ＝1. ∴B ＝{－4，－1,1}．又∵A P B ，∴P ≠且P B.故满足条件的集合P 有{－4}，{－1}，{1}，{－4，－1}，{－4,1}，{－1,1}，{－4，－1,1}共7个．拓展探究28．解：(1)∵U A ＝{x|－1≤x<0，或x ＝2}，∴m ＝2. 又∵U B ＝{x|－1≤x ≤－a ，或1<x ≤2}，∴n ＝－1.∴m －n ＝2－(－1)＝3.(2)∵P ＝Z ，∴U ＝{x|－1≤x ≤2，x ∈Z }＝{－1,0,1,2}，A ＝{0,1}，B ＝{1}或{0,1}．(注：当a ≤0时，B ＝{1}；当a>0时，B ＝{0,1}．)∴A B＝{0}，或A B＝，即元素之和为0.又U A＝{－1,2}，其元素和为1，故所求元素和为0＋1＝1.∵A B＝{0}，或A B＝，∴U(A B)＝{－1,1,2}，或U(A B)＝U＝U＝{－1,0,1,2}．。

（人教A版）高中数学必修一（全册）课时同步练习汇总[课时作业][A组基础巩固]1．已知集合M＝{3，m＋1}，且4∈M，则实数m等于()A．4B．3C．2 D．1解析：由题设可知3≠4，∴m＋1＝4，∴m＝3.答案：B2．若以集合A的四个元素a、b、c、d为边长构成一个四边形，则这个四边形可能是()A．梯形B．平行四边形C．菱形D．矩形解析：由集合中元素互异性可知，a，b，c，d互不相等，从而四边形中没有边长相等的边．答案：A3．集合{x∈N＋|x－3<2}用列举法可表示为()A．{0,1,2,3,4} B．{1,2,3,4}C．{0,1,2,3,4,5} D．{1,2,3,4,5}解析：∵x－3<2，∴x<5，又∵x∈N＋，∴x＝1,2,3,4.答案：B4．若集合A＝{－1,1}，B＝{0,2}，则集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}中的元素的个数为()A．5 B．4C．3 D．2解析：利用集合中元素的互异性确定集合．当x＝－1，y＝0时，z＝x＋y＝－1；当x＝1，y＝0时，z＝x＋y＝1；当x＝－1，y＝2时，z＝x＋y＝1；当x＝1，y＝2时，z＝x＋y＝3，由集合中元素的互异性可知集合{z|z＝x＋y，x∈A，y∈B}＝{－1,1,3}，即元素个数为3.答案：C5．由实数x，－x，|x|，x2，－3x3所组成的集合中，最多含有的元素个数为()A．2个B．3个C．4个D．5个解析：确定集合中元素的个数，应从集合中元素的互异性入手考虑．若是相同的元素，则在集合中只能出现一次．因为x2＝|x|，－3x3＝－x，所以当x＝0时，这几个数均为0.当x＞0时，它们分别是x，－x，x，x，－x.当x＜0时，它们分别是x，－x，－x，－x，－x.均最多表示两个不同的数，故所组成的集合中的元素最多有2个．故选A. 答案：A6．设a，b∈R，集合{0，ba，b}＝{1，a＋b，a}，则b－a＝________.解析：由题设知a≠0，则a＋b＝0，a＝－b，所以ba＝－1，∴a＝－1，b＝1，故b－a＝2.答案：27．已知－5∈{x|x2－ax－5＝0}，则集合{x|x2－4x－a＝0}中所有元素之和为________．解析：由－5∈{x|x2－ax－5＝0}得(－5)2－a×(－5)－5＝0，所以a＝－4，所以{x|x2－4x＋4＝0}＝{2}，所以集合中所有元素之和为2.答案：28．设P，Q为两个非空实数集合，定义集合P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，若P ＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，则P＋Q中元素的个数为________．解析：∵P＋Q＝{a＋b|a∈P，b∈Q}，P＝{0,2,5}，Q＝{1,2,6}，∴当a＝0时，a＋b的值为1,2,6；当a＝2时，a＋b的值为3,4,8；当a＝5时，a＋b的值为6,7,11. ∴P＋Q＝{1,2,3,4,6,7,8,11}，故P＋Q中有8个元素．答案：89．集合A＝{x|kx2－8x＋16＝0}，若集合A只有一个元素，试求实数k的值，并用列举法表示集合A.解析：(1)当k＝0时，原方程变为－8x＋16＝0，x＝2.此时集合A＝{2}．(2)当k≠0时，要使一元二次方程kx2－8x＋16＝0有一个实根．只需Δ＝64－64k＝0，即k＝1.此时方程的解为x1＝x2＝4，集合A＝{4}，满足题意．综上所述，实数k的值为0或1.当k＝0时，A＝{2}；当k＝1时，A＝{4}．10．已知集合A含有两个元素a－3和2a－1，(1)若－3∈A，试求实数a的值；(2)若a∈A，试求实数a的值．解析：(1)因为－3∈A，所以－3＝a－3或－3＝2a－1.若－3＝a－3，则a＝0.此时集合A含有两个元素－3，－1，符合题意．若－3＝2a－1，则a＝－1.此时集合A含有两个元素－4，－3，符合题意，综上所述，满足题意的实数a的值为0或－1.(2)因为a∈A，所以a＝a－3或a＝2a－1.当a＝a－3时，有0＝－3，不成立．当a＝2a－1时，有a＝1，此时A中有两个元素－2,1，符合题意．综上知a＝1.[B组能力提升]1．有以下说法：①0与{0}是同一个集合；②由1,2,3组成的集合可以表示为{1,2,3}或{3,2,1}；③方程(x－1)2(x－2)＝0的所有解的集合可表示为{1,1,2}；④集合{x|4＜x＜5}是有限集．其中正确说法是()A．①④B．②C．②③D．以上说法都不对解析：0∈{0}；方程(x－1)2(x－2)＝0的解集为{1,2}；集合{x|4＜x＜5}是无限集；只有②正确．答案：B2．已知集合P＝{x|x＝a|a|＋|b|b，a，b为非零常数}，则下列不正确的是()A．－1∈P B．－2∈P C．0∈P D．2∈P解析：(1)a>0，b>0时，x＝a|a|＋b|b|＝1＋1＝2；(2)a<0，b<0时，x＝a|a|＋b|b|＝－1－1＝－2；(3)a，b异号时，x＝0.答案：A3．已知集合M＝{a|a∈N，且65－a∈N}，则M＝________.解析：5－a整除6，故5－a＝1,2,3,6，a∈N所以a＝4,3,2.答案：{4,3,2}4．当x∈A时，若x－1∉A且x＋1∉A，则称x为A的一个“孤立元素”，所有孤立元素组成的集合称为“孤星集”，则集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为________．解析：由“孤立元素”的定义知，对任意x∈A，要成为A的孤立元素，必须是集合A中既没有x－1，也没有x＋1，因此只需逐一考查A中的元素即可.0有1“相伴”，1,2则是前后的元素都有，3有2“相伴”，只有5是“孤立的”，从而集合A＝{0,1,2,3,5}中“孤立元素”组成的“孤星集”为{5}．故填{5}．答案：{5}5．已知集合A＝{x|ax2＋2x＋1＝0，a∈R}．(1)若1∈A，求a的值；(2)若集合A中只有一个元素，求实数a组成的集合；(3)若集合A中含有两个元素，求实数a组成的集合．解析：(1)因为1∈A，所以a×12＋2×1＋1＝0，所以a＝－3.(2)当a＝0时，原方程为2x＋1＝0，解得x＝－12，符合题意；当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有两个相等实根，即Δ＝22－4a＝0，所以a＝1.故当集合A只有一个元素时，实数a组成的集合是{0,1}．(3)由集合A中含有两个元素知，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，即a≠0且Δ＝22－4a>0，所以a≠0且a<1.故当集合A中含有两个元素时，实数a组成的集合是{a|a≠0且a<1}．6．设S是由满足下列条件的实数所构成的集合：①1∉S；②若a∈S，则11－a∈S.请解答下列问题：(1)若2∈S，则S中必有另外两个数，求出这两个数；(2)求证：若a∈S，且a≠0，则1－1a∈S.解析：(1)∵2∈S,2≠1，∴11－2＝－1∈S.∵－1∈S，－1≠1，∴11－(－1)＝12∈S.又∵12∈S，12≠1，∴11－12＝2∈S.∴集合S中另外两个数为－1和12.(2)由a∈S，则11－a∈S，可得11－11－a∈S，即11－11－a＝1－a1－a－1＝1－1a∈S.∴若a∈S，且a≠0，则1－1a∈S.[课时作业][A组基础巩固]1．已知M＝{1,2,3,4}，N＝{2,3}，则有()A．M⊆N B．N MC．N∈M D．M＝N解析：由子集的概念可知N M.答案：B2．已知集合A＝{1,3，m}，B＝{1，m}，若B⊆A，则m＝() A．0或 3 B．0或3C．1或 3 D．0或1或 3解析：(1)m＝3，此时A＝{1,3，3}，B＝{1,3}，满足B⊆A.(2)m＝m，即m＝0或m＝1.①m＝0时，A＝{0,1,3}，B＝{0,1}，满足B⊆A；②m＝1时，A＝{1,3,1}，B＝{1,1}，不满足互异性，舍去．答案：B3．已知集合A ＝{x |ax 2＋2x ＋a ＝0，a ∈R}，若集合A 有且仅有2个子集，则a 的取值是( ) A ．1B ．－1C ．－1或0或1D ．0或1解析：由题设可知集合A 中只有一个元素，(1)a ＝0时，原方程等价转化为2x ＝0，即x ＝0，满足题设； (2)⎩⎨⎧a ≠0Δ＝4－4a 2＝0得a ＝±1. 答案：C4．已知集合A ＝{x |x ＝k 2＋14，k ∈Z}，集合B ＝{x |x ＝k 4＋12，k ∈Z}，则A 与B 的关系为( ) A ．A B B ．BAC ．A ＝BD ．以上答案都不对解析：对两集合中的限制条件通分，使分母相同．观察分子的不同点及其关系． 集合A 中：x ＝k 2＋14＝2k ＋14； 集合B 中：x ＝k 4＋12＝k ＋24；而{2k ＋1}表示奇数集，{k ＋2}表示整数集， ∴A B . 答案：A5．满足{x |x 2＋1＝0}A ⊆{x |x 2－1＝0}的集合A 的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：{x |x 2＋1＝0}＝∅，{x |x 2－1＝0}＝{－1,1}，故集合A 是集合{－1,1}的非空子集，所以A 的个数为22－1＝3.故选C. 答案：C6．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＜0，且xy ＞0}，集合P ＝{(x ，y )|x ＜0，且y ＜0}，那么集合M 与P 之间的关系是________． 解析：M 中的元素满足{ x ＋y ＜0xy ＞0，即{ x ＜0y ＜0，∴M ＝P .答案：M＝P7．已知集合A＝{x||x|≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，且A⊆B，则实数a的取值范围是________．解析：因为A＝{x||x|≤2，x∈R}＝{x|－2≤x≤2，x∈R}，B＝{x|x≥a}，A⊆B，所以a≤－2.答案：a≤－28．已知集合A{1,2,3}，且A中至多有一个奇数，则所有满足条件的集合A为________．解析：集合A是集合{1,2,3}的真子集，且A中至多有一个奇数，那么当集合A 中有0个奇数时，集合A＝∅，{2}；当集合A中有1个奇数时，集合A＝{1}，{3}，{1,2}，{2,3}．综上，A＝∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}．答案：∅，{1}，{2}，{3}，{1,2}，{2,3}9．已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B⊆A，求实数m 的取值范围．解析：A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，且B⊆A.①若B＝∅，则m＋1>2m－1，解得m<2，此时有B⊆A；②若B≠∅，则m＋1≤2m－1，即m≥2，由B⊆A，得{m≥2m＋1≥－2，2m－1≤5解得2≤m≤3.由①②得m≤3.∴实数m的取值范围是{m|m≤3}．10．已知集合M＝{a－3,2a－1，a2＋1}，N＝{－2,4a－3,3a－1}，若M＝N，求实数a的值．解析：因为M＝N，所以(a－3)＋(2a－1)＋(a2＋1)＝－2＋(4a－3)＋(3a－1)，即a2－4a＋3＝0，解得a＝1或a＝3.当a＝1时，M＝{－2,1,2}，N＝{－2,1,2}，满足M＝N；当a＝3时，M＝{0,5,10}，N＝{－2,9,8}，不满足M＝N，舍去．故所求实数a的值为1.[B组能力提升]1．集合A＝{x|x＝(2n＋1)π，n∈N}与B＝{x|x＝(4n±1)π，n∈N}之间的关系是() A．A B B．B AC．A＝B D．不确定解析：对于集合A，当n＝2k时，x＝(4k＋1)π，k∈N；当n＝2k＋1时，x＝[4(k ＋1)－1]π＝(4m－1)π，m∈N，其中m＝k＋1.所以A中的元素形如(4k±1)π，k∈N.答案：C2．定义集合A*B＝{x|x∈A，且x∉B}，若A＝{1,2,3,4,5}，B＝{2,4,5}，则A*B 的子集个数为()A．1 B．2C．3 D．4解析：由题意知A*B＝{1,3}，∴A*B的子集个数为22＝4个．答案：D3．已知M＝{y|y＝x2－2x－1，x∈R}，N＝{x|－2≤x≤4}，则集合M与N之间的关系是________．解析：∵y＝(x－1)2－2≥－2，∴M＝{y|y≥－2}．∴N M.答案：N M4．定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}．若A＝{1,2,3}，B＝{1,2}，则集合A*B中的最大元素为________，集合A*B的所有子集的个数为________．解析：当x1＝1时，x1＋x2的值为2,3；当x1＝2时，x1＋x2的值为3,4；当x1＝3时，x1＋x2的值为4,5；∴A*B＝{2,3,4,5}．故A*B中的最大元素为5，所有子集的个数为24＝16.答案：5165．已知集合A＝{x∈R|x2－2x－8＝0}，B＝{x∈R|x2＋ax＋a2－12＝0}，B⊆A，求实数a的取值集合．解析：A＝{－2,4}，因为B⊆A，所以B＝∅，{－2}，{4}，{－2,4}．若B ＝∅，则a 2－4(a 2－12)<0，即a 2>16，解得a >4或a <－4.若B ＝{－2}，则(－2)2－2a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0，解得a ＝4. 若B ＝{4}，则42＋4a ＋a 2－12＝0且Δ＝a 2－4(a 2－12)＝0， 此时a 无解；若B ＝{－2,4}，则⎩⎨⎧－a ＝4－2，a 2－12＝－2×4.所以a ＝－2.综上知，所求实数a 的集合为{a |a <－4或a ＝－2或a ≥4}． 6．已知集合A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，(1)若B ⊆A ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围； (2)若A ⊆B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围； (3)若A ＝B ，B ＝{x |m －6≤x ≤2m －1，m 为常数}，求实数m 的取值范围． 解析：(1)由A ＝{x |x 2－3x －10≤0}，得A ＝{x |－2≤x ≤5}．∵B ⊆A ，∴①若B ＝∅，则m －6>2m －1，即m <－5，此时满足B ⊆A ； ②若B ≠∅，则⎩⎨⎧m －6≤2m －1，－2≤m －6，2m －1≤5，解得－5≤m ≤3.由①②可得，m <－5或－5≤m ≤3. (2)若A ⊆B ，则依题意应有⎩⎨⎧2m －1>m －6，m －6≤－2，2m －1≥5，解得⎩⎨⎧m >－5，m ≤4，m ≥3，故3≤m ≤4.(3)若A ＝B ，则必有⎩⎨⎧m －6＝－2，2m －1＝5，此方程组无解，即不存在m 的值使得A ＝B .[课时作业] [A 组 基础巩固]1．(2016·高考全国卷Ⅱ)已知集合A ＝{1,2,3}，B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }，则A ∪B ＝( )A ．{1}B ．{1,2}C ．{0,1,2,3}D ．{－1,0,1,2,3}解析：B ＝{x |(x ＋1)(x －2)<0，x ∈Z }＝{x |－1<x <2，x ∈Z }＝{0,1}，又A ＝{1, 2,3}，所以A ∪B ＝{0,1,2,3}． 答案：C2．设S ＝{x |2x ＋1>0}，T ＝{x |3x －5<0}，则S ∩T ＝( ) A ．∅ B ．{x |x <－12} C ．{x |x >53}D ．{x |－12<x <53}解析：S ＝{x |2x ＋1>0}＝{x |x >－12}，T ＝{x |3x －5<0}＝{x |x <53}，则S ∩T ＝{x |－12＜x ＜53}． 答案：D3．已知集合A ＝{(x ，y )|x ＋y ＝0，x ，y ∈R}，B ＝{(x ，y )|x －y ＝0，x ，y ∈R}，则集合A ∩B 的元素个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：解方程组⎩⎨⎧x ＋y ＝0，x －y ＝0，⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0.∴A ∩B ＝{(0,0)}．答案：B4．设集合M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}，则M ∪N 中元素的个数为( ) A ．11 B ．10 C ．16D ．15 解析：先用列举法分别把集合M ，N 中的元素列举出来，再根据并集的定义写出M ∪N .∵M ＝{x ∈Z|－10≤x ≤－3}＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3}，N ＝{x ∈Z||x |≤5}＝{－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}，∴M ∪N ＝{－10，－9，－8，－7，－6，－5，－4，－3，－2，－1,0,1,2,3,4,5}．∴M ∪N 中元素的个数为16. 答案：C5．已知集合A ＝{x |－2≤x ≤7}，B ＝{x |m ＋1<x <2m －1}，且B ≠∅，若A ∪B ＝A ，则( ) A ．－3≤m ≤4 B ．－3＜m ＜4 C ．2＜m ＜4D ．2＜m ≤4解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A .又B ≠∅， ∴⎩⎨⎧m ＋1≥－2，2m －1≤7m ＋1＜2m －1即2＜m ≤4. 答案：D6．已知集合M ＝{0,1,2}，N ＝{x |x ＝2a ，a ∈M }，则集合M ∩N ＝________. 解析：由M ＝{0,1,2}，知N ＝{0,2,4}， M ∩N ＝{0,2}． 答案：{0,2}7．已知集合A ＝{(x ，y )|y ＝ax ＋3}，B ＝{(x ，y )|y ＝3x ＋b }，A ∩B ＝{(2,5)}，则a ＝________，b ＝________. 解析：∵A ∩B ＝{(2,5)}． ∴5＝2a ＋3.∴a ＝1. ∴5＝6＋b .∴b ＝－1. 答案：1 －18．若集合A ＝{1,3，x }，集合B ＝{x 2,1}，且A ∪B ＝{1,3，x }，则这样的x 值的个数为________．解析：∵A ∪B ＝A ，∴B ⊆A ，∴x 2∈A . 令x 2＝3，得x ＝±3，符合要求． 令x 2＝x ，得x ＝0或x ＝1.当x ＝1时，不满足集合中元素的互异性． ∴x ＝±3或x ＝0. 答案：39．设A ＝{x |－1<x <2}，B ＝{x |1<x <3}，求A ∪B ，A ∩B . 解析：如图所示：A ∪B ＝{x |－1＜x ＜2}∪{x |1<x <3}＝{x |－1<x <3}． A ∩B ＝{x |－1<x <2}∩{x |1<x <3}＝{x |1<x <2}．10．已知集合A ＝{x |x 2＋x －6＝0}，B ＝{x |mx ＋1＝0}，若B ⊆A ，求实数m 的取值范围．解析：由x 2＋x －6＝0，得A ＝{－3, 2}，∵B ⊆A ，且B 中元素至多一个， ∴B ＝{－3}，或B ＝{2}，或B ＝∅.(1)当B ＝{－3}时，由(－3)m ＋1＝0，得m ＝13； (2)当B ＝{2}时，由2m ＋1＝0，得m ＝－12； (3)当B ＝∅时，由mx ＋1＝0无解，得m ＝0. ∴m ＝13或m ＝－12或m ＝0.[B 组 能力提升]1．定义A －B ＝{x |x ∈A 且x ∉B }，若A ＝{1,2,4,6,8,10}，B ＝{1,4,8}，则A －B ＝( ) A ．{4,8} B ．{1,2,6,10} C ．{2,6,10}D ．{1}解析：由题设信息知A －B ＝{2,6,10}． 答案：C2．(2016·高考全国卷Ⅰ)设集合A ＝{x |x 2－4x ＋3<0}，B ＝{x |2x －3>0}，则A ∩B ＝( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－32 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，32C.⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32D.⎝ ⎛⎭⎪⎫32，3 解析：∵x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3，∴A ＝{x |1<x <3}．∵2x －3>0，∴x >32，∴B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32.∴A ∩B ＝{x |1<x <3}∩⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x >32＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪32<x <3. 故选D. 答案：D3．已知集合A ＝{x ||x ＋2|<3}，集合B ＝{x |m ＜x ＜2}，且A ∩B ＝(－1，n )，则m ＝________，n ＝________.解析：A ＝{x ||x ＋2|<3}＝{x |－5＜x ＜1}，由图形直观性可知m ＝－1，n ＝1. 答案：－1 14．已知A ＝{x |－2＜x ＜a ＋1}，B ＝{x |x ≤－a 或x ≥2－a }，A ∪B ＝R ，则实数a 的取值范围是________．解析：本题给出了两个待定的集合，且已知A ∪B ＝R ，结合数轴表示可求出参数a 的取值范围．如图所示，因为A ∪B ＝R ，所以应满足⎩⎨⎧－a ≥－2，2－a ≤a ＋1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≤2，a ≥12，所以12≤a ≤2.答案：⎩⎨⎧a ⎪⎪⎪⎭⎬⎫12≤a ≤25．设方程x 2＋px －12＝0的解集为A ，方程x 2＋qx ＋r ＝0的解集为B ，且A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}，A ∩B ＝{－3}，求p ，q ，r 的值． 解析：∵A ∩B ＝{－3}， ∴－3∈A ，代入x 2＋px －12＝0得p ＝－1， ∴A ＝{－3,4}∵A ≠B ，A ∪B ＝{－3,4}， ∴B ＝{－3} 即方程x 2＋qx ＋r ＝0 有两个相等的根x ＝－3， ∴q ＝6，r ＝9.6．已知集合A ＝{x |x 2－3x ＋2＝0}，B ＝{x |x 2－ax ＋a －1＝0}，C ＝{x |x 2－mx ＋2＝0}，且A ∪B ＝A ，A ∩C ＝C ，求实数a 、m 的值或范围． 解析：x 2－3x ＋2＝0得x ＝1或2，故A ＝{1,2}，∵A ∪B ＝A ， ∴B ⊆A ，B 有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}． ∵x 2－ax ＋a －1＝(x －1)[x －(a －1)]∴必有1∈B ，因而a －1＝1或a －1＝2，解得a ＝2或a ＝3.又∵A ∩C ＝C ，∴C ⊆A .故C 有四种可能的情况：∅，{1}，{2}，{1,2}． ①若C ＝∅，则方程x 2－mx ＋2＝0(※)的判别式 Δ＝m 2－8<0，得－22<m <22；②若C ＝{1}，则方程(※)有两个等根为1， ∴⎩⎨⎧1＋1＝m 1×1＝2不成立；③若C ＝{2}，同上②也不成立； ④若C ＝{1,2}，则⎩⎨⎧1＋2＝m ，1×2＝2.得m ＝3.综上所述，有a ＝2或a ＝3；m ＝3或－22<m <2 2.[课时作业][A组基础巩固]1．若全集U＝{1,2,3,4,5,6}，M＝{2,3}，N＝{1,4}，则集合{5,6}等于() A．M∪N B．M∩NC．(∁U M)∪(∁U N) D．(∁U M)∩(∁U N)解析：M∪N＝{1,2,3,4}，M∩N＝∅，(∁U M)∪(∁U N)＝{1,2,3,4,5,6}，(∁U M)∩(∁U N)＝{5,6}，故选D.答案：D2．已知集合A，B均为集合U＝{1,3,5,7,9}的子集，若A∩B＝{1,3}，(∁U A)∩B ＝{5}，则集合B等于()A．{1,3} B．{3,5}C．{1,5} D．{1, 3,5}解析：如图所以B＝{1,3,5}．答案：D3．已知集合A＝{x|x<3或x≥7}，B＝{x|x<a}．若(∁U A)∩B≠∅，则a的取值范围为()A．a>3 B．a≥3C．a≥7 D．a>7解析：因为A＝{x|x<3或x≥7}，所以∁U A＝{x|3≤x<7}，又因(∁U A)∩B≠∅，则a>3.答案：A4．已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若N∩∁I M＝∅，则M∪N＝()A．M B．NC．I D．∅解析：因为N∩∁I M＝∅，所以N⊆M，则M∪N＝M，选A.答案：A5.已知集合I，M，N的关系如图所示，则I，M，N的关系为()A．(∁I M)⊇(∁I N)B．M⊆(∁I N)C．(∁I M)⊆(∁I N)D．M⊇(∁I N)解析：由题图知M⊇N，∴(∁I M)⊆(∁I N)．答案：C6．已知集合A＝{x|0≤x≤5}，B＝{x|2≤x＜5}，则∁A B＝________.解析：∁A B＝{x|0≤x＜2或x＝5}．答案：{x|0≤x＜2或x＝5}7．设U＝{0,1,2,3}，A＝{x∈U|x2＋mx＝0}，若∁U A＝{1,2}，则实数m＝________. 解析：∵U＝{0,1,2,3}，∁U A＝{1,2}．∴A＝{x|x2＋mx＝0}＝{0,3}．∴0,3是方程x2＋mx＝0的两根，∴0＋3＝－m，即m＝－3.答案：－38．已知全集U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，求∁U A，(∁U B)∩A.解析：∵U＝{x|－1≤x≤4}，A＝{x|－1≤x≤1}，B＝{x|0＜x≤3}，结合数轴(如图)．可知∁U A ＝{x |1＜x ≤4}，∁U B ＝{x |3＜x ≤4或－1≤x ≤0}．结合数轴(如图)．可知(∁U B )∩A ＝{x |－1≤x ≤0}．9．设A ＝{x |2x 2＋ax ＋2＝0}，B ＝{x |x 2＋3x ＋2a ＝0}，且A ∩B ＝{2}． (1)求a 的值及集合A ，B ；(2)设全集U ＝A ∪B ，求(∁U A )∪(∁U B )； (3)写出(∁U A )∪(∁U B )的所有子集．解析：(1)由交集的概念易得，2是方程2x 2＋ax ＋2＝0和x 2＋3x ＋2a ＝0的公共解，则a ＝－5，此时A ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12，2，B ＝{}－5，2.(2)由并集的概念易得，U ＝A ∪B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12，2. 由补集的概念易得，∁U A ＝{－5}，∁U B ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫12.所以(∁U A )∪(∁U B )＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12.(3)(∁U A )∪(∁U B )的所有子集即集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12的所有子集：∅，⎩⎨⎧⎭⎬⎫12， {－5}，⎩⎨⎧⎭⎬⎫－5，12. 10．设全集U ＝{a 2－2,2, 1}，A ＝{a,1}，求∁U A . 解析：由补集的定义可知A ⊆U .若a ＝2；则a 2－2＝2，集合U 中的元素不满足互异性，所以a ≠2. 若a 2－2＝a ，则a ＝2或a ＝－1， 因为a ≠2，所以a ＝－1.此时，U ＝{－1,2,1}，A ＝{－1,1}，所以∁U A ＝{2}．[B 组 能力提升]1．已知全集U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )中有n 个元素．若A ∩B 是非空集合，则A ∩B 的元素个数为( ) A ．mn B ．m ＋n C ．n －mD ．m －n解析：画出Venn 图，如图．∵U ＝A ∪B 中有m 个元素，(∁U A )∪(∁U B )＝∁U (A ∩B )中有n 个元素，∴A ∩B 中有m －n 个元素．答案：D2．设U为全集，对集合X，Y，定义运算“*”，X*Y＝∁U(X∩Y)．对于任意集合X，Y，Z，则(X*Y)*Z＝()A．(X∪Y)∩∁U Z B．(X∩Y)∪∁U ZC．(∁U X∪∁U Y)∩Z D．(∁U X∩∁U Y)∪Z解析：依题意得(X*Y)＝∁U(X∩Y)＝(∁U X)∪(∁U Y)，(X*Y)*Z＝∁U[ (X*Y)∩Z]＝∁U[∁(X∩Y)∩Z]＝{∁U[∁U(X∩Y)]}∪(∁U Z)＝(X∩Y)∪(∁U Z)．U答案：B3．设U＝{n|n是小于9的正整数}，A＝{n∈U|n是奇数}，B＝{n∈U|n是3的倍数}，则∁U(A∪B)＝________.解析：U＝{1,2,3,4,5,6,7,8}．则A＝{1,3,5,7}，B＝{3,6}∴A∪B＝{1,3,5,6,7}∴∁U(A∪B)＝{2,4,8}．答案：{2,4,8}4．设集合A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|y＝x－3，－1≤x≤3}，则∁R(A∩B)＝________. 解析：∵A＝{x|0≤x≤4}，B＝{y|－4≤y≤0}，∴A∩B＝{0}，∴∁R(A∩B)＝{x|x∈R，且x≠0}．答案：{x|x∈R，且x≠0}5．某班共有30人，其中15人喜爱篮球运动，10人喜爱乒乓球运动，8人对这两项运动都不喜爱，求喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数．解析：设全集U＝{全班30名学生}，A＝{喜爱篮球运动的学生}，B＝{喜爱乒乓球运动的学生}，画出Venn图如图所示：设既喜爱篮球运动又喜爱乒乓球运动的人数为x，则喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x，喜爱乒乓球运动但不喜爱篮球运动的人数为10－x，则有(15－x)＋x＋(10－x)＋8＝30，解得x＝3.所以喜爱篮球运动但不喜爱乒乓球运动的人数为15－x＝15－3＝12.6．已知集合A ＝{x |x 2＋ax ＋12b ＝0}和B ＝{x |x 2－ax ＋b ＝0}，满足(∁U A )∩B ＝{2}， A ∩(∁U B )＝{4}，U ＝R ，求实数a 、b 的值．解析：因为(∁U A )∩B ＝{2}，A ∩(∁U B )＝{4}，知2∈B ，但2∉A,4∈A ，但4∉B . 将x ＝2和x ＝4分别代入B ，A 两集合的方程中得 ⎩⎨⎧ 22－2a ＋b ＝0，42＋4a ＋12b ＝0，即⎩⎨⎧4－2a ＋b ＝0，4＋a ＋3b ＝0.解得a ＝87，b ＝－127.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点有( ) A ．0个 B ．1个 C ．0或1个D ．无数个解析：当x ＝1在函数f (x )的定义域内时，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1有一个公共点(1，f (1))；当x ＝1不在定义域内时，函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1没有公共点． 答案：C2．已知四组函数：①f (x )＝x ，g (x )＝(x )2；②f (x )＝x ，g (x )＝3x 3；③f (n )＝2n －1， g (n )＝2n ＋1(n ∈N)；④f (x )＝x 2－2x －1，g (t )＝t 2－2t －1. 其中是同一函数的为( ) A ．没有 B ．仅有② C ．②④D ．②③④解析：对于第一组，定义域不同；对于第三组，对应法则不同；对于第二、四组，定义域与对应法则都相同．故选C. 答案：C3．y ＝x 2(－1≤x ≤2)的值域是( ) A ．[1,4]B ．[0,1]C．[0,4] D．[0,2]解析：由图可知f(x)＝x2(－1≤x≤2)的值域是[0,4]．答案：C4．函数y＝2－xx－1的定义域为()A．(－∞，2] B．(－∞，2) C．(－∞，1)∪(1,2) D．(－∞，1)∪(1,2]解析：要使函数y＝2－xx－1有意义，则{2－x≥0，x－1≠0，解得x≤2且x≠1，所以所求函数的定义域为(－∞，1)∪(1,2]．答案：D5．图中可以表示以M＝{x|0≤x≤1}为定义域，以N＝{y|0≤y≤1}为值域的函数的图象的是()解析：根据函数的定义，在定义域[0,1]内任意一个元素都有唯一的函数值与它对应，同样，对于值域[0,1]中的任意一个函数值，在定义域内也一定有自变量和它对应．A中函数值域不是[0,1]，B中函数定义域不是[0,1]，故可排除A，B；再结合函数的定义，可知对于集合M中的任意一个x，N中都有唯一的元素与之对应，故排除D.故选C.答案：C6．下列说法正确的有________．(只填序号)①函数值域中的每一个数都有定义域中的一个数与之对应；②函数的定义域和值域一定是无限集合；③若函数的定义域只有一个元素，则值域也只有一个元素；④对于任何一个函数，如果x不同，那么y的值也不同；⑤f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值，这是一个常量．解析：函数是一个数集与另一个数集间的特殊对应关系，所给出的对应是否可以确定为y是x的函数，主要是看其是否满足函数的三个特征．①是正确的．函数值域中的每一个数一定有定义域中的一个数与之对应，但不一定只有一个数与之对应．②是错误的．函数的定义域和值域不一定是无限集合，也可以是有限集，但一定不是空集，如函数f(x)＝1，x＝1的定义域为{1}，值域为{1}．③是正确的．根据函数的定义，定义域中的每一个元素都能在值域中找到唯一元素与之对应．④是错误的．当x不同时，函数值y的值可能相同，如函数y＝x2，当x＝1和－1时，y都为1.⑤是正确的．f(a)表示当x＝a时，函数f(x)的值是一个常量．故填①③⑤.答案：①③⑤7．已知函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，若f (x )的定义域为R ，则m 的取值范围是________．解析：由已知得2x 2－mx ＋3≥0对x ∈R 恒成立，即Δ＝m 2－24≤0，∴－26≤m ≤2 6.答案：[－26，26]8．若函数f (x )的定义域为[2a －1，a ＋1]，值域为[a ＋3,4a ]，则a 的取值范围为________．解析：由区间的定义知 ⎩⎨⎧2a －1<a ＋1a ＋3<4a ⇒1<a <2.答案：(1,2)9．若f (x )的定义域为[－3,5]，求φ(x )＝f (－x )＋f (x )的定义域．解析：由f (x )的定义域为[－3,5]，得φ(x )的定义域需满足⎩⎨⎧－3≤－x ≤5，－3≤x ≤5即⎩⎨⎧－5≤x ≤3，－3≤x ≤5解得－3≤x ≤3.所以函数φ(x )的定义域为[－3,3]． 10．试求下列函数的定义域与值域： (1)f (x )＝(x －1)2＋1，x ∈{－1,0,1,2,3}； (2)f (x )＝(x －1)2＋1； (3)f (x )＝5x ＋4x －1； (4)f (x )＝x －x ＋1.解析：(1)函数的定义域为{－1,0,1,2,3}，则f (－1)＝[(－1)－1]2＋1＝5，同理可得f (0)＝2，f (1)＝1，f (2)＝2，f (3)＝5，所以函数的值域为{1,2,5}． (2)函数的定义域为R ，因为(x －1)2＋1≥1，所以函数的值域为{y |y ≥1}． (3)函数的定义域是{x |x ≠1}，y ＝5x ＋4x －1＝5＋9x －1，所以函数的值域为{y |y ≠5}． (4)要使函数式有意义，需x ＋1≥0，即x ≥－1，故函数的定义域是{x |x ≥－1}．设t ＝x ＋1，则x ＝t 2－1(t ≥0)，于是f (t )＝t 2－1－t ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122－54.又t ≥0，故f (t )≥－54.所以函数的值域是⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≥－54. [B 组 能力提升]1．函数y ＝5＋4x －x 2的值域为( ) A ．(－∞，3) B ．[3，＋∞) C ．[0,9]D ．[0,3]解析：由函数性质可得5＋4x －x 2≥0的值域开方即是．结合函数图象(图略)可得y ∈[0,3]，故选D. 答案：D2．已知f (x )的定义域是[0，＋∞)，则函数(x －2)0＋f (x －1)的定义域是( ) A ．[0,2)∪(2，＋∞) B ．[1,2)∪(2，＋∞) C ．[－1,2)∪(2，＋∞) D ．[1，＋∞)解析：{ x －2≠0x －1≥0得1≤x 且x ≠2.答案：B3．已知函数f (x )，g (x )分别由下表给出：x 123 f (x )1 31x 1 2 3 g (x )321则f (g (1))的值为________；满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 的值是________． 解析：g (1)＝3，f (g (1))＝f (3)＝1； f (g (1))＝1，f (g (2))＝3， f (g (3))＝1，g (f (1))＝3， g (f (2))＝1，g (f (3))＝3，∴满足f (g (x ))>g (f (x ))的x 值为x ＝2. 答案：1 24．在实数的原有运算中，我们定义新运算“⊕”如下：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a ＜b 时，a ⊕b ＝b 2.设函数f (x )＝(1⊕x )－(2⊕x )，x ∈[－2,2]，则函数f (x )的值域为________．解析：由题意知，f (x )＝⎩⎨⎧－1，x ∈[－2，1]x 2－2，x ∈(1，2].当x ∈[－2,1]时，f (x )＝－1； 当x ∈(1,2]时，f (x )∈(－1,2]． ∴当x ∈[－2,2]时，f (x )∈[－1,2]． 答案：[－1,2]5．如图，某灌溉渠的横断面是等腰梯形，底宽为2 m ，渠深为1.8 m ，斜坡的倾斜角是45°.(临界状态不考虑)(1)试将横断面中水的面积A (m 2)表示成水深h (m)的函数； (2)确定函数的定义域和值域； (3)画出函数的图象．解析：(1)由已知，横断面为等腰梯形，下底为2 m ，上底为(2＋2h )m ，高为h m ，∴水的面积A ＝[2＋(2＋2h )]h 2＝h 2＋2h (m 2)．(2)定义域为{h |0＜h <1.8}．值域由二次函数A ＝h 2＋2h (0＜h ＜1. 8)求得． 由函数A ＝h 2＋2h ＝(h ＋1)2－1的图象可知，在区间(0,1.8)上函数值随自变量的增大而增大，∴0＜A＜6.84.故值域为{A|0＜A＜6.84}．(3)由于A＝(h＋1)2－1，对称轴为直线h＝－1，顶点坐标为(－1，－1)，且图象过(0,0)和(－2,0)两点，又考虑到0＜h＜1.8，∴A＝h2＋2h的图象仅是抛物线的一部分，如图所示．6．对于函数f(x)，若f(x)＝x，则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))＝x，则称x 为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即A＝{x|f(x)＝x}，B＝{x|f(f(x))＝x}．(1)求证：A⊆B；(2)设f(x)＝x2＋ax＋b，若A＝{－1,3}，求集合B.解析：(1)若A＝∅，则A⊆B显然成立．若A ≠∅，设t ∈A ， 则f (t )＝t ，f (f (t ))＝t ，t ∈B ， 从而A ⊆B ，故A ⊆B 成立． (2)∵A ＝{－1,3}， ∴f (－1)＝－1，且f (3)＝3. 即⎩⎨⎧(－1)2－a ＋b ＝－132＋3a ＋b ＝3，∴⎩⎨⎧a －b ＝23a ＋b ＝－6，∴⎩⎨⎧a ＝－1b ＝－3，∴f (x )＝x 2－x －3.∵B ＝{x |f (f (x ))＝x }，∴(x 2－x －3)2－(x 2－x －3)－3＝x ， ∴(x 2－x －3)2－x 2＝0， 即(x 2－3)(x 2－2x －3)＝0， ∴(x 2－3)(x ＋1)(x －3)＝0， ∴x ＝±3或x ＝－1或x ＝3. ∴B ＝{－3，－1，3，3}．[课时作业]单 [A 组 基础巩固]1．函数y ＝ax 2＋a 与y ＝ax (a ≠0)在同一坐标系中的图象可能是( )解析：当a>0时，二次函数的图象开口向上，且与y轴交于(0，a)点，在y轴上方，反比例函数的图象在第一、三象限，没有满足此条件的图象；当a<0时，二次函数的图象开口向下，且与y轴交于(0，a)点，在y轴下方，反比例函数的图象在第二、四象限；综合来看，只有选项D满足条件．答案：D2．已知f(x－1)＝x2－2，则f(2)＝()A．6 B．2C．7 D．9解析：f(2)＝f(3－1)＝32－2＝9－2＝7.答案：C3．已知f(x)是反比例函数，且f(－3)＝－1，则f(x)的解析式为()A．f(x)＝－3x B．f(x)＝3xC．f(x)＝3x D．f(x)＝－3x解析：设f(x)＝kx(k≠0)，∵f(－3)＝k－3＝－1，∴k＝3，∴f(x)＝3 x.答案：B4．已知函数f(x)满足2f(x)＋f(－x)＝3x＋2，则f(2)＝()A ．－163B ．－203 C.163D.203解析：因为2f (x )＋f (－x )＝3x ＋2，① 所以2f (－x )＋f (x )＝－3x ＋2，② ①×2－②得f (x )＝3x ＋23. 所以f (2)＝3×2＋23＝203. 答案：D5．已知x ≠0时，函数f (x )满足f (x －1x )＝x 2＋1x 2，则f (x )的表达式为( ) A ．f (x )＝x ＋1x (x ≠0) B ．f (x )＝x 2＋2(x ≠0) C ．f (x )＝x 2(x ≠0) D ．f (x )＝(x －1x )2(x ≠0)解析： f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1x )2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)． 答案：B6．已知函数f (x )对任意实数a ，b 都满足：f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，且f (2)＝3，则f (3)＝________.解析：∵f (2)＝f (1)＋f (1)＝2f (1)＝3， ∴f (1)＝32，∴f (3)＝3f (1)＝3×32＝92或f (3)＝f (2)＋f (1)＝92. 答案：927．已知函数f (2x ＋1)＝3x ＋2，且f (a )＝4，则a ＝________.解析：因为f (2x ＋1)＝32(2x ＋1)＋12，所以f (a )＝32a ＋12.又f (a )＝4，所以32a ＋12＝4，则a ＝73. 答案：738．已知f (x )＝x ＋2，则f (x )＝________. 解析：令x ＝t ，则x ＝t 2且t ≥0. ∴f (t )＝t 2＋2， ∴f (x )＝x 2＋2 (x ≥0) 答案：f (x )＝x 2＋2 (x ≥0)9．已知f (x )是一次函数，且f (f (x ))＝4x ＋3，求f (x )的解析式． 解析：设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，∴f (f (x ))＝af (x )＋b ＝a (ax ＋b )＋b ＝a 2x ＋ab ＋b . ∴a 2x ＋ab ＋b ＝4x ＋3. ∴⎩⎨⎧ a 2＝4，ab ＋b ＝3.∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＝1，或⎩⎨⎧a ＝－2，b ＝－3.∴f (x )＝2x ＋1或f (x )＝－2x －3.10．已知函数f (x )是二次函数，且它的图象过点(0,2)，f (3)＝14，f (－2)＝8＋52，求f (x )的解析式．解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则由题意，得⎩⎨⎧c ＝2，9a ＋3b ＋c ＝14，2a －2b ＋c ＝8＋52，解得⎩⎨⎧c ＝2，a ＝3，b ＝－5.所以f (x )＝3x 2－5x ＋2.[B 组 能力提升]1．对于任意的两个实数对(a ，b )和(c ，d )，规定(a ，b )＝(c ，d )，当且仅当a ＝c ，b ＝d ；运算“⊗”为(a ，b )⊗(c ，d )＝ (ac －bd ，bc ＋ad )；运算“⊕”为：(a ，b )⊕(c ，d )＝(a ＋c ，b ＋d )．设p ，q ∈R ，若(1,2)⊗(p ，q )＝(5,0)，则(1,2)⊕(p ，q )＝( ) A ．(4,0) B ．(2,0) C ．(0,2)D ．(0，－4)解析：由题设可知：⎩⎨⎧ p －2q ＝5.2p ＋q ＝0，解得⎩⎨⎧p ＝1，q ＝－2， ∴(1,2)⊕(p ，q )＝(1＋p,2＋q )＝(2,0)． 答案：B2．已知函数f (x )满足f (x )＋2f (3－x )＝x 2，则f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－12x ＋18 B ．f (x )＝13x 2－4x ＋6 C ．f (x )＝6x ＋9 D ．f (x )＝2x ＋3解析：用3－x 代替原方程中的x 得f (3－x )＋2f [3－(3－x )]＝f (3－x )＋2f (x )＝ (3－x )2＝x 2－6x ＋9，∴⎩⎨⎧f (x )＋2f (3－x )＝x 2 ①f (3－x )＋2f (x )＝x 2－6x ＋9 ②①－②×2得－3f (x )＝－x 2＋12x －18， ∴f (x )＝13x 2－4x ＋6. 答案：B 3．设f (3x )＝9x ＋52，则f (1)＝________.解析：令3x ＝1，则x ＝13.∴f (1)＝9×13＋52＝4＝2.答案：24．已知函数f (x )＝x 2＋2x ＋a ，f (bx )＝9x 2－6x ＋2，其中x ∈R ，a ，b 为常数， 则方程f (ax ＋b )＝0的解集为________．解析：f (bx )＝(bx )2＋2bx ＋a ＝b 2x 2＋2bx ＋a ＝9x 2－6x ＋2，∴⎩⎨⎧b 2＝9，2b ＝－6，a ＝2，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝－3，∴f(ax＋b)＝f(2x－3)＝4x2－8x＋5.∵Δ＝64－4×4×5＝－16<0，∴方程f(ax＋b)＝0的解集为∅.答案：∅5．画出函数f(x)＝－x2＋2x＋3的图象，并根据图象回答下列问题：(1)比较f(0)、f(1)、f(3)的大小；(2)若x1<x2<1，比较f(x1)与f(x2)的大小；(3)求函数f(x)的值域．解析：因为函数f(x)＝－x2＋2x＋3的定义域为R，列表：(1)根据图象，容易发现f(0)＝3，f(1)＝4，f(3)＝0，所以f(3)<f(0)<f(1)．(2)根据图象，容易发现当x1<x2<1时，有f(x1)<f(x2)．(3)根据图象，可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点，开口向下的抛物线，因此，函数的值域为(－∞，4]．6．已知二次函数f(x)＝ax2＋bx(a，b为常数，且a≠0)满足条件：f(x－1)＝f(3－x)且方程f(x)＝2x有等根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m ，n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[4m,4n ]．如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，请说明理由．解析：(1)∵二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a ，b 为常数，且a ≠0)与方程f (x )＝2x 有等根，即方程ax 2＋bx －2x ＝0有等根， ∴Δ＝(b －2)2＝0，得b ＝2.由f (x －1)＝f (3－x )，知此函数图象的对称轴方程为x ＝－b2a ＝1，得a ＝－1， 故f (x )＝－x 2＋2x .(2)∵f (x )＝－(x －1)2＋1≤1， ∴4n ≤1，即n ≤14.而抛物线y ＝－x 2＋2x 的对称轴为x ＝1， ∴若满足题设条件的m ，n 存在，则{ f (m )＝4m ，f (n )＝4n ， 即⎩⎨⎧－m 2＋2m ＝4m ，－n 2＋2n ＝4n⇒⎩⎨⎧m ＝0或m ＝－2，n ＝0或n ＝－2，又m <n ≤14，∴m ＝－2，n ＝0，这时，定义域为[－2,0]，值域为[－8,0]． 由以上知满足条件的m ，n 存在，m ＝－2，n ＝0.[课时作业] [A 组 基础巩固]1．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，x ＋1，x ≤0.若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )A ．－3B ．－1C ．1D ．3解析：因为f (1)＝2，所以由f (a )＋f (1)＝0，得f (a )＝－2，所以a 肯定小于0， 则f (a )＝a ＋1＝－2，解得a ＝－3，故选A. 答案：A2．给出如图所示的对应：其中构成从A 到B 的映射的个数为( ) A ．3 B ．4 C ．5D ．6解析：①是映射，是一对一；②③是映射，满足对于集合A 中的任意一个元素在集合B 中都有唯一的元素和它对应；④⑤不是映射，是一对多；⑥不是映射，a 3、a 4在集合B 中没有元素与之对应． 答案：A3．函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，0≤x ≤1，2，1<x <2，3，x ≥2的值域是( )A ．RB ．[0,2]∪{3}C ．[0，＋∞)D ．[0,3]解析：f (x )图象大致如下：由图可知值域为[0,2]∪{3}． 答案：B4．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x ≥0，x 2，x <0，则f (f (－2))的值是( )A ． 4B ．－4C ．8D ．－8解析：∵－2<0，∴f (－2)＝(－2)2＝4，∴f (f (－2))＝f (4)； 又∵4≥0，∴f (4)＝2×4＝8. 答案：C5．下列对应是从集合M 到集合N 的映射的是( )①M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝1x ，x ∈M ，y ∈N ；②M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 2， x ∈M ，y ∈N ；③M ＝N ＝R ，f ：x →y 1|x |＋x ，x ∈M ，y ∈N ；④M ＝N ＝R ，f ：x →y ＝x 3，x ∈M ，y ∈N . A ．①② B ．②③ C ．①④D ．②④解析：根据映射的定义进行判断．对于①，集合M 中的元素0在N 中无元素与之对应，所以①不是映射．对于③，M 中的元素0及负实数在N 中没有元素与之对应，所以③不是映射．对于②④，M 中的元素在N 中都有唯一的元素与之对应，所以②④是映射．故选D. 答案：D6．若函数f (x )＝⎩⎨⎧3x 2－4，x ＞0，π，x ＝0，0，x ＜0，则f (f (0))＝________.解析：∵f (0)＝π，∴f (f (0))＝f (π)＝3π2－4.答案：3π2－47．已知f (x )＝⎩⎨⎧2x ，x >0，f (x ＋1)，x ≤0，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43的值等于________．解析：∵43>0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＝2×43＝83；－43≤0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13；－13≤0，∴ f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫23； 23>0，∴f⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝2×23＝43， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫43＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－43＝83＋43＝4.答案：48．设f ：A →B 是从A 到B 的一个映射，f ：(x ，y )→(x －y ，x ＋y )，那么A 中的元素(－1,2)的象是________，B 中的元素(－1,2)的原象是________． 解析：(－1,2)→(－1－2，－1＋2)＝(－3,1)． 设(－1,2)的原象为(x ，y )，则⎩⎨⎧x －y ＝－1，x ＋y ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝32.答案：(－3,1) (12，32)9．作函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|图象，并求出相应的函数值域． 解析：因为函数y ＝|x ＋3|＋|x －5|，y ＝⎩⎨⎧－2x ＋2 (x ≤－3)，8 (－3<x <5)，2x －2 (x ≥5).所以y ＝|x ＋3|＋|x －5|的图象如图所示：由此可知，y ＝|x ＋3|＋|x －5|的值域为[8，＋∞)． 10．已知(x ，y )在映射f 的作用下的象是(x ＋y ，xy )， 求：(1)(3,4)的象；(2)(1，－6)的原象． 解析：(1)∵x ＝3，y ＝4，∴x ＋y ＝7，xy ＝12. ∴(3,4)的象为(7,12)．(2)设(1，－6)的原象为(x ，y )，则有⎩⎨⎧x ＋y ＝1，xy ＝－6，解得⎩⎨⎧ x ＝－2，y ＝3或⎩⎨⎧x ＝3，y ＝－2.故(1，－6)的原象为(－2,3)或(3，－2)．[B 组 能力提升]1．若已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤－1，x 2，－1＜x ＜2，2x ，x ≥2，且f (x )＝3，则x 的值是( )A ．1B ．1或32 C ．±3D. 3解析：由x ＋2＝3，得x ＝1>－1，舍去．由x 2＝3，得x ＝±3，－1＜3＜2，－3＜－1，－3舍去． 由2x ＝3，得x ＝32<2，舍去． 所以x 的值为 3. 答案：D2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2，x ≤0－x ＋2，x >0，则不等式f (x )≥2x 的解集是( )A ．(－∞，23] B ．(－∞，0] C ．(0，23]D ．(－∞，2)解析：(1)当x >0时，f (x )＝－x ＋2≥2x ，得3x ≤2，即0<x ≤23； (2)当x ≤0时，f (x )＝x ＋2≥2x ，得x ≤2，又x ≤0，∴x ≤0； 综上所述，x ≤23. 答案：A3．已知集合A ＝Z ，B ＝{x |x ＝2n ＋1，n ∈Z}，C ＝R ，且从A 到B 的映射是 f ：x →y ＝2x －1，从B 到C 的映射是f ：x →y ＝13x ＋1，则从A 到C 的映射是________． 解析：根据题意，f ：A →B ，x →y ＝2x －1 f ：B →C ，y →z ＝13y ＋1. 所以，从A 到C 的映射是f ：x →z ＝13(2x －1)＋1＝16x －2，即从A 到C 的映射是f ：x →y ＝16x －2. 答案：f ：x →y ＝16x －24．已知f (x )＝⎩⎨⎧x ＋2(x ≤－2)，x 2(－2＜x ＜2)，2x (x ≥2)，若f (a )＝8，则a ＝________.解析：当a ≤－2时，由a ＋2＝8，得a ＝6.不合题意．当a ≥2时，由2a ＝8，得a ＝4，符合题意． 当－2＜a ＜2时，a 2＝8，a ＝±22，不合题意． 答案：45．已知直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a 有四个交点，求a 的取值范围． 解析：y ＝x 2－|x |＋a ＝⎩⎨⎧x 2－x ＋a ，x ≥0x 2＋x ＋a ，x <0如图，在同一直角坐标系内画出直线y ＝1与曲线y ＝x 2－|x |＋a ，观图可知，a 的取值必须满足⎩⎪⎨⎪⎧a >14a －14<1，解得1<a <54.6．等腰梯形ABCD 的两底分别为AD ＝2a ，BC ＝a ，∠BAD ＝4 5°，作直线 MN ⊥AD 交AD 于M ，交折线ABCD 于N .设AM ＝x ，试将梯形ABCD 位于直线MN 左侧的面积y 表示为x 的函数．解析：作BH ⊥AD ，H 为垂足，CG ⊥AD ，G 为垂足，依题意，则有AH ＝a 2，AG ＝32a ，∠A ＝∠D ＝45°. (1)当M 位于点H 的左侧时，N ∈AB ， 由于AM ＝x ，∠A ＝45°，∴MN ＝x . ∴y ＝S △AMN ＝12x 2(0≤x ≤a 2)．(2)当M 位于H 、G 之间时，由于AM ＝x ，AH ＝a 2，BN ＝x －a2， ∴y ＝S 直角梯形AMNB ＝12·a 2[x ＋(x －a 2)]＝12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )． (3)当M 位于点G 的右侧时， 由于AM ＝x ，DM ＝MN ＝2a －x ，∴y ＝S 梯形ABCD －S △MDN ＝12·a 2(2a ＋a )－12(2a －x )2＝3a 24－12(4a 2－4ax ＋x 2)＝－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a )．综上有y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x 2(0≤x ≤a 2)，12ax －a 28(a 2＜x ≤32a )，－12x 2＋2ax －5a 24(32a ＜x ≤2a ).[课时作业] [A 组 基础巩固]1．若函数f (x )在区间(a ，b ]上是增函数，在区间(b ，c )上也是增函数，则函数f (x )在区间(a ，c )上( ) A ．必是增函数 B ．必是减函数C ．是增函数或是减函数D ．无法确定单调性 答案：D2．如果函数f (x )＝x 2＋2(a －1)x ＋2在区间(－∞，4]上是减函数，则实数a 的取值范围是( ) A ．[－3，＋∞) B ．(－∞，－3] C ．(－∞，5]D ．[3，＋∞)解析：二次函数开口向上，对称轴为x ＝－2(a －1)2＝1－a ，要使f (x )在(－∞，4]上是减函数，需满足1－a ≥4，即a ≤－3. 答案：B3．函数y ＝|x ＋2|在区间[－3,0]上是( ) A ．递减 B ．递增 C ．先减后增D ．先增后减解析：y ＝|x ＋2|的图象是由y ＝|x |图象向左平移2个单位得来，由图可知y ＝|x ＋2|在[－3，－2]上递减，在[－2,0]上递增． 答案：C4．函数f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上( ) A ．递增 B ．递减 C ．先增再减D ．先减再增解析：∵y ＝x 在(0，＋∞)上递增，y ＝－1x 在(0，＋∞)上也递增， ∴f (x )＝x －1x 在(0，＋∞)上递增． 答案：A5．下列函数中，满足“对任意x 1，x 2∈(0，＋∞)，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0”的是( )A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝－3x ＋1 C ．f (x )＝x 2＋4x ＋3D ．f (x )＝x 2－4x ＋3解析：∵x 1，x 2∈(0，＋∞)时， f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0恒成立，∴f (x )在(0，＋∞)是增函数． 答案：C6．函数f (x )＝2x 2－mx ＋3，当x ∈[2，＋∞)时是增函数，当x ∈(－∞，2]时是减函数，则f (1)＝________.解析：f (x )＝2(x －m 4)2＋3－m 28，由题意m4＝2，∴m ＝8. ∴f (1)＝2×12－8×1＋3＝－3. 答案：－37．函数y ＝－(x －3)|x |的递增区间是________． 解析：y ＝－(x －3)|x | ＝⎩⎨⎧－x 2＋3x (x >0)，x 2－3x (x ≤0).作出该函数的图象，观察图象知递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，32.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，328．若f (x )＝－x 2＋2ax 与g (x )＝ax ＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a 的取值范围是________．解析：由f (x )在[1,2]上单调递减可得a ≤1；由g (x )在[1,2]上单调递减可得a ＞0 ∴a ∈(0,1]． 答案：(0,1]9．函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的减函数，对任意的x ，y ∈(0，＋∞)， 都有f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )－1，且f (4)＝5. (1)求f (2)的值； (2)解不等式f (m －2)≤3.解析：(1)∵f (4)＝f (2＋2)＝2f (2)－1＝5， ∴f (2)＝3.(2)由f (m －2)≤3，得f (m －2)≤f (2)． ∵f (x )是(0，＋∞)上的减函数． ∴⎩⎨⎧m －2≥2，m －2>0解得m ≥4. ∴不等式的解集为{m |m ≥4}．10．求函数f (x )＝|x 2－6x ＋8|的单调区间．解析：先作出y ＝x 2－6x ＋8的图象，然后x 轴上方的不变，x 轴下方的部分关于x 轴对称翻折，得到如图f (x )＝|x 2－6x ＋8|的图象，由图象可知f (x )的增区间为[2,3]，[4，＋∞]；减区间为(－∞，2]，[3,4]．[B 组 能力提升]1．已知f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，则f (－2)，f (2)，f (3)的大小关系为( )A ．f (－2)<f (2)<f (3)B ．f (－2)>f (2)>f (3)C ．f (2)<f (－2)<f (3)D ．f (2)<f (3)<f (－2)解析：∵f (x )＝x 2＋bx ＋4，且f (1＋x )＝f (1－x )，∴f (x )图象开口向上且关于x ＝1对称，∴f (x )在[1，＋∞)上递增，而f (－2)＝f (1－3)＝f (1＋3)＝f (4)，∴f (2)<f (3)<f (4)＝f (－2)．。