高中数学必修一 第一课时

3.1.3函数的奇偶性第一课时函数的奇偶性课标要求 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义.2.能判断函数的奇偶性，能运用奇偶函数的图像特征解决一些简单问题.素养要求通过函数奇偶性的学习，让学生结合实例，利用图像抽象出函数性质，提升直观想象和逻辑推理素养.1.思考(1)已知函数f(x)＝1x2，试求函数的定义域，并分别令x取±1，±2，±3，±12，…算出函数值f(x)，你能发现什么规律？(2)若函数f(x)＝x5，x∈R，又能得到什么规律？提示(1)y＝1x2的定义域为{x|x≠0}，一系列互为相反数的x值代入函数式可得：若x的取值互为相反数，则其函数值相等.即对于x∈{x|x≠0}，总有f(－x)＝f(x)成立，我们把这类函数称为偶函数.(2)若f(x)＝x5，一系列互为相反数的x值代入解析式，总有f(－x)＝－f(x)成立，我们把这类函数称为奇函数.2.填空(1)偶函数的定义及图像特征①偶函数的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，则称y＝f(x)为偶函数.②偶函数的图像特征：偶函数的图像关于y轴对称.反之，图像关于y轴对称的函数一定是偶函数.(2)奇函数的定义及图像特征①奇函数的定义一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则称y＝f(x)为奇函数.②奇函数的图像特征：奇函数的图像关于原点对称.反之，图像关于原点对称的函数一定是奇函数.温馨提醒(1)函数y＝f(x)是奇函数或偶函数的一个必不可少的条件是定义域关于原点对称，换言之，若所给函数的定义域不关于原点对称，则这个函数不具有奇偶性.(2)既是奇函数，又是偶函数的函数如：f(x)＝0，x∈D，D是关于原点对称的非空数集.(3)若奇函数f(x)在x＝0处有定义，则f(0)＝0.3.做一做判断正误(1)对于函数y＝f(x)，若存在x，使f(－x)＝－f(x)，则函数y＝f(x)一定是奇函数.(×) 提示反例：f(x)＝x2，存在x＝0，f(－0)＝－f(0)＝0，但函数f(x)＝x2不是奇函数.(2)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数.(×)提示函数f(x)＝0，x∈R既是奇函数，又是偶函数.(3)奇函数f(x)的定义域为R，且f(－2)＝5，则f(2)＝－5.(√)(4)判断函数的奇偶性应先明确它的定义域.(√)题型一函数奇偶性的判定角度1一般函数奇偶性的判断例1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝2－|x|；(2)f(x)＝x2－1＋1－x2；(3)f (x )＝x x －1. 解 (1)函数f (x )的定义域为R ，关于原点对称，又f (－x )＝2－|－x |＝2－|x |＝f (x )，∴f (x )为偶函数.(2)函数f (x )的定义域为{－1，1}，关于原点对称，且f (x )＝0，又f (－x )＝－f (x )，f (－x )＝f (x )， ∴f (x )既是奇函数又是偶函数. (3)函数f (x )的定义域为{x |x ≠1}， 不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数.角度2 分段函数奇偶性的判定例2 判断函数f (x )＝⎩⎨⎧x ＋1，x >0，－x ＋1，x <0的奇偶性.解 f (x )的定义域是(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称. 当x >0时，－x <0，f (－x )＝1－(－x )＝1＋x ＝f (x )； 当x <0时，－x >0，f (－x )＝1＋(－x )＝1－x ＝f (x ).综上可知，对于x ∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，都有f (－x )＝f (x )，则f (x )为偶函数. 角度3 抽象函数奇偶性的判断例3 (1)已知函数f (x )，x ∈R ，若对于任意实数a ，b 都有f (a ＋b )＝f (a )＋f (b )，求证：f (x )为奇函数；(2)若函数f (x )的定义域为(－l ，l )(l >0)，证明：f (x )＋f (－x )是偶函数，f (x )－f (－x )是奇函数.证明 (1)令a ＝0，则f (b )＝f (0)＋f (b )，∴f (0)＝0.令a＝－x，b＝x，则f(0)＝f(－x)＋f(x),∴f(－x)＝－f(x)，又x∈R，关于原点对称，∴f(x)是奇函数.(2)∵x∈(－l，l)，∴－x∈(－l，l)，可见f(－x)的定义域也是(－l，l).若设F(x)＝f(x)＋f(－x)，G(x)＝f(x)－f(－x)，则F(x)与G(x)的定义域也是(－l，l)，显然是关于坐标原点对称的.又F(－x)＝f(－x)＋f(x)＝F(x)，G(－x)＝f(－x)－f(x)＝－[f(x)－f(－x)]＝－G(x)，∴F(x)为偶函数，G(x)为奇函数，即f(x)＋f(－x)是偶函数，f(x)－f(－x)是奇函数. 思维升华判断函数奇偶性的四种方法：(1)定义法：①定义域关于原点对称；②确定f(－x)与f(x)的关系.(2)图像法：观察函数的图像是否关于原点或y轴对称.(3)性质法：利用奇、偶函数的和、差、积、商的奇偶性，以及复合函数的奇偶性判断.训练1 判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)＝x3＋x5；(2)f(x)＝|x＋1|＋|x－1|；(3)f(x)＝2x2＋2x x＋1.解 (1)函数的定义域为R .∵f (－x )＝(－x )3＋(－x )5＝－(x 3＋x 5)＝－f (x )， ∴f (x )是奇函数. (2)f (x )的定义域是R . ∵f (－x )＝|－x ＋1|＋|－x －1| ＝|x －1|＋|x ＋1|＝f (x )， ∴f (x )是偶函数.(3)函数f (x )的定义域是(－∞，－1)∪(－1，＋∞)，不关于原点对称， ∴f (x )是非奇非偶函数.题型二 奇、偶函数的图像特征例4 (1)如图给出了奇函数y ＝f (x )的局部图像，则f (－2)的值为( )A.32 B.－32 C.12D.－12(2)设奇函数f (x )的定义域为[－5，5]，当x ∈[0，5]时，函数y ＝f (x )的图像如图所示，则使f (x )＜0的解集为________.答案 (1)B (2)(－2，0)∪(2，5)解析 (1)奇函数的图像关于原点对称，所以f (－2)＝－f (2)＝－32.(2)因为原函数是奇函数，所以y ＝f (x )在[－5，5]上的图像关于坐标原点对称，由y ＝f (x )在[0，5]上的图像，知它在[－5，0]上的图像，如图所示，由图像知，使f (x )<0的解集为(－2，0)∪(2，5).思维升华 (1)先判断函数的奇偶性；(2)利用函数的奇偶性作图，其依据是奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y 轴对称. 训练2 已知函数f (x )＝1x 2＋1，令g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x . (1)已知f (x )在区间[0，＋∞)上的图像如图，请据此在该坐标系中补全函数f (x )在定义域内的图像，请说明你的作图依据；(2)求证：f (x )＋g (x )＝1(x ≠0). (1)解 ∵f (x )＝1x 2＋1， ∴f (x )的定义域为R .又对任意x ∈R ，都有f (－x )＝1（－x ）2＋1＝1x 2＋1＝f (x )，∴f (x )为偶函数，故f (x )的图像关于y 轴对称，其图像如图所示. (2)证明 ∵g (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋1＝x 21＋x2(x ≠0)，∴f (x )＋g (x )＝11＋x 2＋x 21＋x 2＝1＋x 21＋x 2＝1， 即f (x )＋g (x )＝1(x ≠0).题型三 利用函数奇偶性求参数(值)例5 (1)若f (x )＝(x ＋a )(x －4)为偶函数，则实数a ＝________. (2)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋x ，x ≤0，ax 2＋bx ，x >0为奇函数，则a ＋b ＝________.答案 (1)4 (2)0解析 (1)∵f (x )为偶函数， ∴f (x )＝f (－x )，即(x ＋a )(x －4)＝(－x ＋a )(－x －4)， 整理得2a ＝8，∴a ＝4.(2)由题意知⎩⎪⎨⎪⎧f （2）＝－f （－2），f （1）＝－f （－1），则⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＝－2，a ＋b ＝0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝1.当a ＝－1，b ＝1时，经检验知f (x )为奇函数，故a ＋b ＝0. 思维升华 利用函数奇偶性求参数值的方法(1)此类问题应充分运用奇(偶)函数的定义，构造函数，从而使问题得到快速解决. (2)在定义域关于原点对称的前提下，若解析式中仅含有x 的奇次项，则函数为奇函数；若解析式中仅含有x 的偶次项，则函数为偶函数，常利用此结论构造函数.(3)利用奇偶性求参数值时，应根据x ∈R ，等式恒成立的特征求参数.训练3 (1)已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 是定义在[2b －5，2b －3]上的奇函数，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝________.(2)已知f (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ＋2，若f (－3)＝－3，则f (3)＝________. 答案 (1)98 (2)7解析 (1)由题意可知2b －5＋2b －3＝0， 即b ＝2.又f (x )是奇函数，故f (－x )＋f (x )＝0， ∴2ax 2＋2c ＝0对任意x 都成立， 则a ＝c ＝0，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝18＋2×12＝18＋1＝98. (2)令g (x )＝x 7－ax 5＋bx 3＋cx ， 则g (x )是奇函数，∴f (－3)＝g (－3)＋2＝－g (3)＋2， 又f (－3)＝－3， ∴g (3)＝5.又f (3)＝g (3)＋2，所以f (3)＝5＋2＝7. [课堂小结]1.奇偶函数的定义是判断函数奇偶性的主要依据，为了便于判断函数的奇偶性，有时需要先将函数进行化简，或应用定义的等价形式f (－x )＝±f (x )⇔f (－x )∓f (x )＝0⇔f （－x ）f （x ）＝±1(f (x )≠0).2.(1)若f (x )＝0且f (x )的定义域关于原点对称，则f (x )既是奇函数又是偶函数. (2)f (x )为奇函数⇔f (x )的图像关于原点对称，f (x )为偶函数⇔f (x )的图像关于y 轴对称.3.函数y ＝f (x )的定义域关于原点对称，则函数y ＝f (x )＋f (－x )是偶函数，函数y＝f(x)－f(－x)是奇函数，函数y＝f(x)·f(－x)是偶函数，函数y＝f(|x|)是偶函数.一、基础达标1.下列说法中错误的个数为()①图像关于坐标原点对称的函数是奇函数；②图像关于y轴对称的函数是偶函数；③奇函数的图像一定过坐标原点；④偶函数的图像一定与y轴相交.A.4B.3C.2D.1答案 C解析由奇函数、偶函数的性质，知①②正确；对于③，如f(x)＝1 x ，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是奇函数，但它的图像不过原点，所以③错误；对于④，如f(x)＝1x2，x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)，它是偶函数，但它的图像不与y 轴相交，所以④错误.2.若函数f(x)(f(x)≠0)为奇函数，则必有()A.f(x)f(－x)>0B.f(x)f(－x)<0C.f(x)<f(－x)D.f(x)>f(－x)答案 B解析∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，又f(x)≠0，∴f(x)f(－x)＝－[f(x)]2<0.3.(多选)下列函数为偶函数的是()A.y＝－|x|B.y＝2－xC.y＝1x3 D.y＝－x2＋8答案AD解析 A 、D 中，函数均为偶函数，B 中函数为非奇非偶函数，而C 中函数为奇函数.故选AD. 4.若函数f (x )＝x（2x ＋1）（x －a ）为奇函数，则a ＝( )A.12B.23C.34D.1答案 A解析 ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即－x（－2x ＋1）（－x －a ）＝－x（2x ＋1）（x －a ），化简得2x 2(2a －1)＝0，解得a ＝12.5.如果f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )不恒为0，那么下列函数中，一定为偶函数的是( ) A.y ＝x ＋f (x ) B.y ＝xf (x ) C.y ＝x 2＋f (x ) D.y ＝x 2f (x )答案 B解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x ). 令y ＝g (x ).对于A ，g (－x )＝－x ＋f (－x ) ＝－x －f (x )＝－g (x )， 又y ＝g (x )的定义域为R ， ∴y ＝x ＋f (x )是奇函数.对于B ，g (－x )＝－xf (－x )＝xf (x )＝g (x )， 又y ＝g (x )的定义域为R ， ∴y ＝xf (x )是偶函数.对于C ，g (－x )＝(－x )2＋f (－x )＝x 2－f (x )，由于g (－x )≠g (x )，g (－x )≠－g (x )，∴y ＝x 2＋f (x )既不是奇函数也不是偶函数.对于D ，g (－x )＝(－x )2f (－x )＝－x 2f (x )＝－g (x )，又y ＝g (x )的定义域为R ，∴y ＝x 2f (x )是奇函数.6.下列函数为偶函数的是________(只填序号).①y ＝x 2(x ≥0)；②y ＝(x －1)x ＋11－x； ③y ＝2；④y ＝|x |(x ≤0).答案 ③解析 对于①④，其定义域显然不关于原点对称，故其为非奇非偶函数；②中，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋11－x ≥0，1－x ≠0，得定义域为[－1，1)，不关于原点对称，故②也是非奇非偶函数；对于③，其定义域为R ，且对∀x ∈R 都满足f (－x )＝f (x )＝2，故③是偶函数.7.设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2＋1，则f (－2)＋f (0)＝________. 答案 －5解析 ∵f (x )为奇函数，且x >0时，f (x )＝x 2＋1，∴f (－2)＝－f (2)＝－(4＋1)＝－5.又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0，∴f (－2)＋f (0)＝－5＋0＝－5.8.已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝________.答案 1解析 在f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1中，令x ＝－1，得f (－1)－g (－1)＝1，又f (－1)＝f (1)，g (－1)＝－g (1)，∴f (1)＋g (1)＝1.9.判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝x 4－3x 2；(2)f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2. 解 (1)f (x )＝x 4－3x 2的定义域是R ，关于原点对称.又f (－x )＝(－x )4－3(－x )2＝x 4－3x 2＝f (x )，∴f (x )＝x 4－3x 2是偶函数.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，|x ＋2|≠2，得－1≤x ＜0或0＜x ≤1， ∴f (x )的定义域为[－1，0)∪(0，1]，关于原点对称，∴f (x )＝1－x 2|x ＋2|－2＝1－x 2x .又f (－x )＝1－x 2－x ＝－f (x )，故f (x )为奇函数.10.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，求证：g (x )＝ax 3＋bx 2＋cx (a ≠0)为奇函数.证明 ∵f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)是偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即a (－x )2－bx ＋c ＝ax 2＋bx ＋c ，∴b ＝0，∴g (x )＝ax 3＋cx ，其定义域为R ，又g (－x )＝a (－x )3＋c (－x )＝－(ax 3＋cx )＝－g (x ).∴g (x )为奇函数.二、能力提升11.(多选)已知函数f (x )是定义在R 上的偶函数，当x ≥0时，f (x )＝x －x 2，则下列说法正确的是( )A.f (－1)＝0B.f (x )的最大值为14C.f (x )在(－1，0)上是增函数D.f (x )>0的解集为(－1，1)答案 AB解析 f (－1)＝f (1)＝0，A 正确；x ≥0时，f (x )＝x －x 2＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x －122＋14， ∴f (x )的最大值为14，B 正确；f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0上是减函数，C 错误； f (x )>0的解集为(－1，0)∪(0，1)，D 错误.12.已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝________. 答案 43解析 根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝x x 2＋1是奇函数； 故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－[1＋h (a )]＝2－f (a )＝2－23＝43.13.已知函数f (x )是正比例函数，函数g (x )是反比例函数，且f (1)＝1，g (1)＝2.(1)求函数f (x )和g (x )；(2)判断f (x )＋g (x )的奇偶性；(3)求函数f (x )＋g (x )在(0，2)上的最小值.解 (1)设f (x )＝k 1x ，g (x )＝k 2x(k 1，k 2≠0)， 则1＝f (1)＝k 1，2＝g (1)＝k 2，∴f (x )＝x ，g (x )＝2x .(2)令h (x )＝f (x )＋g (x )＝x ＋2x ，则其定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，又h (－x )＝－x ＋2－x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋2x ＝－h (x )， ∴f (x )＋g (x )为奇函数.(3)∵当x ∈(0，2)时，f (x )＋g (x )＝x ＋2x ≥2x ·2x ＝22， 当且仅当x ＝2x >0，即x ＝2∈(0，2)时不等式等号成立，故f (x )＋g (x )在(0，2)上的最小值为2 2.三、创新拓展14.已知f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a ]，则a ＋b ＝________，单调递减区间是________.答案 13 (－∞，0]解析 根据题意，f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 是偶函数，定义域为[a －1，2a ]，则有(a －1)＋2a ＝0，解得a ＝13，又f (x )＝ax 2＋bx ＋3a ＋b 为二次函数，其对称轴为x＝－b2a，若f(x)为偶函数，则必有x＝－b2a ＝0，则b＝0；所以f(x)＝x23＋1，其递减区间为(－23，0].。

高中数学必修一第一节教案高中数学必修一第一课(5篇)高中数学必修一第一节教案高中数学必修一第一课篇一1、学问目标：使学生理解指数函数的定义，初步把握指数函数的图像和性质。

2、力量目标：通过定义的引入，图像特征的观看、发觉过程使学生懂得理论与实践的辩证关系，适时渗透分类争论的数学思想，培育学生的探究发觉力量和分析问题、解决问题的力量。

3、情感目标：通过学生的参加过程，培育他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探究、锲而不舍的治学精神。

教学重点、难点：1、重点：指数函数的图像和性质2、难点：底数 a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体动感显示，通过颜色的区分，加深其感性熟悉。

教学方法：引导——发觉教学法、比拟法、争论法教学过程：一、事例引入t：上节课我们学习了指数的运算性质，今日我们来学习与指数有关的函数。

什么是函数?s： --------t：主要是表达两个变量的关系。

我们来考虑一个与医学有关的例子：大家对“非典”应当并不生疏，它与其它的传染病一样，有肯定的埋伏期，这段时间里病原体在机体内不断地生殖，病原体的生殖方式有许多种，分裂就是其中的一种。

我们来看一种球菌的分裂过程：c：动画演示(某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------。

一个这样的球菌分裂x次后,得到的球菌的个数y与x的函数关系式是： y = 2 x )s，t：(争论) 这是球菌个数 y 关于分裂次数 x 的函数，该函数是什么样的形式(指数形式)，从函数特征分析：底数 2 是一个不等于 1 的正数，是常量，而指数 x 却是变量，我们称这种函数为指数函数——点题。

二、指数函数的定义c：定义：函数 y = a x (a0且a≠1)叫做指数函数， x∈r.。

问题 1：为何要规定 a 0 且 a ≠1?s：(争论)c： (1)当 a 0 时，a x 有时会没有意义，如 a=﹣3 时，当x= 就没有意义;(2)当 a=0时，a x 有时会没有意义，如x= - 2时，(3)当 a = 1 时，函数值 y 恒等于1，没有讨论的必要。

人教版高中数学必修1教案课程名称：高中数学必修1课时：第一课时教学内容：集合与逻辑教学目标：1. 掌握集合与元素的概念，能正确描述给定集合的特征；2. 理解集合的相等与包含关系，并能运用相关概念进行简单的集合运算；3. 熟练掌握逻辑联结词的含义，能正确运用逻辑联结词构建简单的命题；4. 能够根据已知信息推出结论，培养逻辑思维能力。

教学重点与难点：1. 集合的概念与运算规则；2. 逻辑联结词的含义与运用。

教学准备：1. 教材《高中数学必修1》；2. 课件；3. 讲义。

教学过程：一、导入（5分钟）教师引入集合与逻辑的概念，通过一个实际生活中的例子来引发学生对集合与逻辑的思考。

二、学习内容讲解（15分钟）1. 集合的概念与表示方法；2. 集合的分类与相等关系；3. 集合的运算规则；4. 逻辑联结词的含义与运用。

三、案例分析与讨论（15分钟）教师给出一些集合与逻辑的案例题目，让学生分组讨论并解答，引导学生通过实例加深对集合与逻辑知识的理解。

四、练习与巩固（10分钟）教师布置相关练习题，让学生独立完成并交流答案，巩固所学知识。

五、课堂总结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，强调要复习巩固所学知识，培养逻辑思维能力。

六、作业布置（5分钟）布置相关作业，要求学生认真复习本节课所学内容，做好相关题目。

教师反思：通过这节课的教学，我发现学生对于集合与逻辑的概念不够清晰，需要加强实例引导与案例分析，以提高学生的学习效果。

下节课我将更加注重实例的应用和练习题的设计，帮助学生更好地掌握相关知识。