(通用版)2020版高考数学大二轮复习专题突破练21统计与概率文

2020 高考数学二轮复习 概率与统计概率内容的新概念 多，相近概念容易混淆，本 就学生易犯 作如下 ：型一 “非等可能 ”与 “等可能 ”混同 例 1 两枚骰子，求所得的点数之和 6 的概率．解两枚骰子出 的点数之和2， 3， 4， ⋯ ，12 共 11 种基本事件，所以概率P=111剖析以上 11 种基本事件不是等可能的，如点数和 2 只有 (1， 1)，而点数之和6 有 (1， 5)、(2， 4)、 (3， 3)、 (4，2)、 (5， 1)共 5 种．事 上， 两枚骰子共有 36 种基本事件，且是等可能的，所以“所得点数之和6”的概率 P= 5．36型二 “互斥 ”与 “ 立 ”混同例 2把 、黑、白、4 牌随机地分 甲、乙、丙、丁4 个人，每个人分得1 ，事件“甲分得 牌”与“乙分得 牌”是（）A ． 立事件B ．不可能事件C ．互斥但不 立事件D ．以上均不解A剖析 本 的原因在于把 “互斥 ”与 “ 立”混同，二者的 系与区 主要体 在 ：(1)两事件 立，必定互斥，但互斥未必 立； (2) 互斥概念适用于多个事件，但 立概念只适用于两个事件； (3) 两个事件互斥只表明 两个事件不能同 生，即至多只能 生其中一个，但可以都不 生；而两事件 立 表示它 有且 有一个 生．事件 “甲分得 牌 ”与 “乙分得 牌 ”是不能同 生的两个事件，两个事件可能恰有一个 生，一个不 生，可能两个都不 生，所以 C ．型三 例 3解“互斥 ”与 “独立 ”混同甲投 命中率 O ．8，乙投 命中率 0.7，每人投 3 次，两人恰好都命中 2 次的概率是多少 ?“甲恰好投中两次” 事件 A ， “乙恰好投中两次” 事件B ， 两人都恰好投中两次事件A+B ， P(A+B)=P(A)+P(B)： c 32 0.820.2 c 32 0.720.3 0.825剖析本 的原因是把相互独立同 生的事件当成互斥事件来考 ， 将两人都恰好投中2 次理解 “甲恰好投中两次”与 “乙恰好投中两次 ”的和．互斥事件是指两个事件不可能同 生；两事件相互独立是指一个事件的 生与否 另一个事件 生与否没有影响，它 然都描 了两个事件 的关系，但所描 的关系是根本不同．解：“甲恰好投中两次 ” 事件 A ，“乙恰好投中两次” 事件 B ，且 A ， B 相互独立，两人都恰好投中两次 事件A ·B ，于是 P(A ·B)=P(A) ×P(B)= 0.169类型四例 4错解“条件概率 P(B / A)”与“积事件的概率P(A·B)”混同袋中有 6 个黄色、 4 个白色的乒乓球，作不放回抽样，每次任取一球，取 2 次，求第二次才取到黄色球的概率．记“第一次取到白球”为事件A，“第二次取到黄球”为事件B,”第二次才取到黄球”为事件62C,所以 P(C)=P(B/A)=.93剖析本题错误在于 P(A B)与 P(B/A) 的含义没有弄清 , P(A B) 表示在样本空间S 中 ,A 与 B 同时发生的概率；而P（ B/A ）表示在缩减的样本空间S A中，作为条件的 A 已经发生的条件下事件 B 发生的概率。

授课资料范本2021高考数学〔理科〕二轮专题复习课标通用版追踪检测：概率与统计含答案编辑： __________________时间： __________________一局部专题 6第2讲题型对应题号1.古典概型与几何概型4,5,11,122.相互独立事件和独立重复试验2,33.失散型随机变量的分布、希望与方差1,6,7,8,9,10,13基础热身 (建议用时： 40 分钟 )1． (20xx ·桂林模2拟)在某项测试中，测量结果ξ遵从正态分布N(1，σ)(σ>0)，假设P(0<ξ<1)＝，那么P(0<ξ<2)＝()A．B．C．D．B剖析由正态分布的图象和性质得 P(0<ξ<2)＝2P(0<ξ<1)＝2×＝ 0.8.故选B项．2． (20xx ·湖北武汉调研)小赵、小钱、小孙、小李到4个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A为“ 4个人去的景点不相同〞，事件B为“小赵单独去一个景点〞，那么P(A|B)＝()21A ．9B．345C．9D．9A剖析小赵单独去一个景点共有 4× 3× 3× 3＝108(种)情况，即 n(B)＝108,4 个人去的景点不相同的情况有A4＝4×3×2×1＝24(种)，即 n(AB)＝24，所以 P(A|B)＝错误! ＝错误 ! ＝错误 ! .应选 A 项．3． (20xx ·广东广州调研)甲袋中有 1个黄球和 1个红球，乙袋中有 2个黄球和 2个红球，现随机从甲袋中取出 1个球放入乙袋中，再从乙袋中随机取出1个球，那么从乙袋中取出的球是红球的概率为 ()11A ．3B．252C．9D．9B剖析设事件 A 为“从甲袋中取出 1 个红球放入乙袋中，再从乙袋中取出1 个红球〞，事件 B 为“从甲袋中取出 1 个黄球放入乙袋中，再从乙袋中取出11 3 1 21个红球〞，依照题意知所求概率为P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝2×5＋2×5＝2.应选B 项．4．某公司安排甲、乙、丙、丁4人到 A， B，C三个城市出差，每人只去一个城市，且每个城市必定有人去，那么A城市恰好只有甲 1人去的概率为 () 11A ．5B．411C．3D．63/11D剖析由题意知，其中一个城市必定有 2 人去，即把 4 人分成 3 组，每组分别有 2 人、 1 人、 1 人，共有 C24种分法，再将他们分到三个城市，共有C24A3 种分法．假设 A 城市恰好只有甲 1 人，那么把剩下的 3 人分成 2 组，每组分别有 2 人、 1 人，有 C23种分法，再将他们分到 B，C 两个城市，共有 C23A2种分法，因C23A21此所求概率 P＝C24A3＝6.应选 D 项．5．某电视台每天 11：30～ 12：00播放“中国梦〞主题的纪录片，在此期间会随机播出 4分钟完满的有关中国梦的歌曲，小刘11：43开始观看该电视台，那么他听到完满的有关中国梦歌曲的概率是()117A ．3B．3021C．15D．2D 剖析由题意可知，该电视台开始播放有关中国梦的歌曲的时间是11：30～ 11：56，时长 26 分钟，小刘能听到完满歌曲的时间为11：43～11： 56，共13113 分钟，因此所求概率为26＝2.应选 D 项．6． (20xx ·浙江1卷)随机变量ξi满足 P(ξi＝1)＝p i，P(ξi＝0)＝1－ p i，i＝ 1,2.假设0<p1<p2<2，那么 ( )A ．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)B．E(ξ1)<E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)C．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)<D(ξ2)D．E(ξ1)>E(ξ2)，D(ξ1)>D(ξ2)A剖析依照题意得ξi(i＝1,2)遵从两点分布，因此E(ξi)＝p i ，D(ξi)＝p i (1－1p i)， i＝1,2，由于 0<p1<p2 <2，因此 E(ξ1)<E(ξ2)．令 f(x)＝x(1－x)，那么 f(x)在10，2上单调递加，因此f(p1)<f(p2)，即 D(ξ1)<D(ξ2)．应选 A 项．7．某种子每粒萌芽的概率都为，现播种了 1000粒，关于没有萌芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为 X，那么 X的4/11剖析记不萌芽的种子数为 Y，那么 Y～B(1 000,0.1)，因此 E(Y)＝1 000×＝100.又 X＝2Y，因此 E(X)＝E(2Y)＝2E(Y)＝200.答案 2008．假设失散型随机变量 X的分布列为X01P a a2 22那么X的数学希望 E(X)＝________.a a2剖析由于分布列中概率和为1，因此2＋2＝1，即 a2＋a－2＝0，解得 a＝1－2(舍去 )或 a＝1，因此 E(X)＝2.答案1 29． (20xx ·湖南师大附中月考)在湖南师大附中的校园歌手大赛决赛中，有 6位参赛选手 (1号至 6号 )登台演出，由现场的 100位同学投票选出最受欢送的歌手，各位同学须相互独立地在投票器上选出 3位候选人，其中甲同学是 1号选手的同班同学，必选 1号，另在 2号至 6 号选手中随机选2名；乙同学不欣赏2号选手，必不选2号，在其他5位选手中随机选出3名；丙同学对6位选手的演唱没有偏爱，因此在1号至6号选手中随机选出 3 名．(1)求甲同学选中 3号且乙同学未选中 3号选手的概率；(2)设3号选手获取甲、乙、丙三位同学的票数之和为X，求 X的分布列和数学希望．剖析设 A 表示事件“甲同学选中 3 号选手〞， B 表示事件“乙同学选中 3号选手〞， C 表示事件“丙同学选中 3 号选手〞．C14 2C243(1)由题意可得 P(A)＝C25＝5，P(B)＝C35＝5，234因此 P(A B )＝P(A)P( B )＝5× 1－5＝25.C251(2)由题意可得 P(C)＝C36＝2.X 可能的取值为 0,1,2,3，23 1 3 2 13那么 P(X＝0)＝P( A B C )＝ 1－5× 1－5× 1－2＝5×5×2＝25，2 2 13 3 1 32 P(X＝1)＝P(A B C )＋P( A B C )＋P( A B C)＝5×5×2＋5×5×2＋5×5 119×2＝50，2 3 1 2 2 1 3 31P(X＝2)＝P(AB C )＋P(A B C)＋P( A BC)＝5×5×2＋5×5×2＋5×5×2＝1950，2 3 13P(X＝3)＝P(ABC)＝5×5×2＝25.因此 X 的分布列为X0123P 319193 255050253191933因此 X 的数学希望 E(X)＝0×25＋1×50＋ 2×50＋3×25＝2.10．(20xx ·北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近来几年来，搬动支付已成为主要支付方式之一．为认识某校学生上个月 A，B两种搬动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用 A和仅使用 B的学生的支付金额分布情况如表所示．支付金额 /元(0,1 000](1 000,2 000]大于 2 000支付方式仅使用 A18人9人3人仅使用 B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取 1人，估计该学生上个月 A， B两种支付方式都使用的概率；(2)从样本仅使用 A和仅使用 B的学生中各随机抽取 1人，以 X表示这 2人中上个月支付金额大于 1 000元的人数，求 X的分布列和数学希望；(3)上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用 A的学生中，随机抽查 3人，发现他们本月的支付金额都大于 2000元．依照抽查结果，能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2 000元的人数有变化？说明原由．剖析 (1)由题意知，样本中仅使用 A 的学生有 18＋9＋3＝30(人)，仅使用 B 的学生有 10＋14＋1＝ 25(人)， A， B 两种支付方式都不使用的学生有 5 人．故样本中 A，B 两种支付方式都使用的学生有 100－30－ 25－5＝40(人)．因此从全校学生中随机抽取 1 人，该学生上个月 A， B 两种支付方式都使用40的概率估计为100＝0.4.(2)X 的所有可能取值为 0,1,2.记事件 C 为“从样本仅使用 A 的学生中随机抽取1 人，该学生上个月的支付金额大于 1 000 元〞，事件 D 为“从样本仅使用 B 的学生中随机抽取 1 人，该学生上个月的支付金额大于 1 000 元〞．9＋3由题设可知，事件C， D 相互独立，且 P(C)＝30＝，14＋1P(D)＝25＝，因此 P(X＝2)＝P(CD)＝P(C)P(D)＝，P(X＝1)＝P(C D ∪ C D)＝P(C)P( D )＋P( C )P(D)＝× (1－0.6)＋(1－0.4)×＝，P(X＝0)＝P( C D )＝P( C )P( D )＝0.24.因此 X 的分布列为X012P数学希望 E(X)＝0×＋ 1×＋2×＝ 1.(3)记事件 E 为“从样本仅使用 A 的学生中随机抽查 3 人，他们本月的支付金额都大于 2 000 元〞．假设样本仅使用 A 的学生中，本月支付金额大于 2 000 元的人数没有变化，C31那么由上个月的样本数据得P(E)＝C30＝4 060 .答案比方 1：可以认为有变化．原由以下：P(E)比较小，概率比较小的事件一般不简单发生．一旦发生，就有原由认为本月的支付金额大于 2 000 元的人数发生了变化，因此可以认为有变化．答案比方 2：无法确定有没有变化．原由以下：事件 E 是随机事件， P(E)比较小，一般不简单发生，但还是有可能发生的，因此无法确定有没有变化．能力提升 (建议用时： 25 分钟 ) 11．(20xx ·广东六校联考)我国传统的房屋建筑中，常会出现一些形状不相同的窗棂，窗棂上雕琢有各种花纹，构成种类众多的图案．以以下图的窗棂图案，是将半径为R的圆六均分，分别以各均分点为圆心，以R为半径画圆弧，在圆的内部构成的平面图形．现在向该圆形地域内随机地扔掷一枚飞镖，飞镖落在阴影局部的概率是________.剖析 由于阴影局部面积为 12× 1π － ×3R 1 ＝ (2π－ 3 3)R 2，圆的面6 R2 R2 ×2积为 πR 2 ，因此飞镖落在阴影局部的概率为 错误! ＝2－错误 ! .3 3答案 2－ π12．(20xx ·福建适应性练习)关于圆周率 π，数学睁开史上出现过好多很有创意的求法，如出名的浦丰实验和查理斯实验．受其启示，我们也可以经过设计下面的实验来估计π的值：先请120名同学每人随机写下一个都小于 1的正实数对 (x ，y)；再统计两数能与 1构成钝角三角形三边的数对 (x ，y)的个数 m ；最后再依照统计数 m 估计 π的值．假设统计结果是 m ＝ 34，那么可以估计 π的值约为 ________.剖析 如图，由题意知点 (x ，y)在以 OA ，OB 为邻边的正方形内部，即0<x<1， 且正方形面积为 S 正＝ 1，又 x ，y,1 能构成钝角三角形的三边，那么0<y<1，π 1x ＋ y>1， π 1S 阴4 －2x2＋y2<1， 如图阴影局部所示，面积为 S 阴 ＝ 4 － 2，由题意可得 S 正＝13447＝120，解得 π＝ 15.答案47 1513．(20xx ·全国卷Ⅰ)治某种疾病，研制了甲、乙两种新，希望知道哪一种新更有效，此行物．方案以下：每一取两只白鼠效行比．于两只白鼠，随机一只施以甲，另一只施以乙．一的治果得出后，再安排下一．当其中一种治愈的白鼠比另一种治愈的白鼠多 4只，就停止，并治愈只数多的更有效．了方便描述，定：于每，假设施以甲的白鼠治愈且施以乙的白鼠未治愈，甲得1分，乙得－1分；假设施以乙的白鼠治愈且施以甲的白鼠未治愈，乙得 1分，甲得－1分；假设都治愈或都未治愈，两种均得 0分．甲、乙两种的治愈率分α和β，一中甲的得分 X.(1)求X的分布列；(2)假设甲、乙在开始都予 4分， p i(i ＝0,1，2，⋯， 8)表示“甲的累得分 i，最甲比乙更有效〞的概率， p0＝0，p8＝1，p i＝ap i－1＋bp i＋cp i＋1(i ＝1,2，⋯， 7)，其中 a＝P(X＝－ 1)， b＝ P(X＝0)， c＝P(X＝ 1)．假α＝，β＝0.8.① 明： { p i＋1－p i}( i＝ 0,1,2，⋯， 7)等比数列；②求 p4，并依照 p4的解种方案的合理性．剖析 (1)X 的所有可能取－ 1,0,1.P(X＝－ 1)＝ (1－α)β，P(X＝0)＝αβ＋(1－α)(1－β)，P(X＝1)＝α(1－β)，因此 X 的分布列X－101P(1－α)βαβ＋(1－α)(1－β)α(1－β)(2)① 明：由 (1)得 a＝，b＝， c＝ 0.1.因此 p i＝i－1＋i＋i＋1，故 0.1(p i＋1－ p i )＝0.4(p i－ p i－1)，即 p i＋1－p i＝4(p i－ p i－1)．又因 p1－p0＝p1≠0，因此 { p i＋1－p i }( i＝ 0,1， 2，⋯， 7)是公比 4，首 p1的等比数列．②由①可得p8＝p8－p7＋ p7－p6＋⋯＋ p1－ p0＋p0＝(p8－p7)＋(p7－p6)＋⋯＋48－1(p1－p0)＝p1.33由于 p8＝1，故 p1＝48－1，44－11因此 p4＝(p4－p3 )＋ (p3－p2 )＋(p2－p1)＋(p1－p0)＝3p1＝257.p4表示最甲更有效的概率，由算果可以看出，在甲治愈率，乙治愈率0.8 ，甲1更有效的概率p4＝257≈0.003 9，此得出的概率特别小，明种方案合理．。

专题突破练22 专题六统计与概率过关检测一、选择题1.(2019宁夏银川一中一模,文3)高铁、扫码支付、共享单车、网购被称为中国的“新四大发明”,为评估共享单车的使用情况,选了n座城市作实验基地,这n座城市共享单车的使用量(单位:人次/天)分别为x1,x2,…,x n,下面给出的指标中可以用来评估共享单车使用量的稳定程度的是() A.x1,x2,…,x n的平均数 B.x1,x2,…,x n的标准差C.x1,x2,…,x n的最大值D.x1,x2,…,x n的中位数2.某店主为装饰店面打算做一个两色灯牌,从黄、白、蓝、红4种颜色中任意挑选2种颜色,则所选颜色中含有白色的概率是()A. B. C. D.3.(2019山东淄博一模,文6)已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A.100,10B.200,10C.100,20D.200,204.(2019山西运城二模,文3)某单位试行上班刷卡制度,规定每天8:30上班,有15分钟的有效刷卡时间(即8:15~8:30),一名职工在7:50到8:30之间到单位且到达单位的时刻是随机的,则他能正常刷卡上班的概率是()A. B. C. D.5.(2019安徽江淮十校联考一,文3)为了解户籍、性别对生育二胎选择倾向的影响,某地从育龄人群中随机抽取了容量为200的调查样本,其中城镇户籍与农村户籍各100人;男性120人,女性80人,绘制不同群体中倾向选择生育二胎与倾向选择不生育二胎的人数比例图(如图所示),其中阴影部分表示倾向选择生育二胎的对应比例,则下列叙述中错误的是()A.是否倾向选择生育二胎与户籍有关B.是否倾向选择生育二胎与性别有关C.倾向选择生育二胎的人群中,男性人数与女性人数相同D.倾向选择不生育二胎的人群中,农村户籍人数少于城镇户籍人数6.(2019山西晋城二模,文10)某学校对100间学生公寓的卫生情况进行综合评比,依考核分数分为A,B,C,D四个等级,其中分数在[60,70)为D等级;分数在[70,80)为C等级;分数在[80,90)为B等级;分数在[90,100]为A等级,考核评估后,得其频率分布折线图如图所示,估计这100间学生公寓评估得分的平均数是()A.80.25B.80.45C.80.5D.80.657.(2019湖北省一月模拟,文10)在长为10 cm的线段AB上任取一点C,再作一个矩形,使其边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积小于16 cm2的概率为()A. B. C. D.8.(2019全国卷3,文3)两位男同学和两位女同学随机排成一列,则两位女同学相邻的概率是()A. B. C. D.9.(2019湖南长郡中学适应考试一,文3)回文数是指从左到右读与从右到左读都一样的正整数,如11,323,4 334等.在所有小于150的三位回文数中任取两个数,则两个回文数的三位数字之和均大于3的概率为()A. B. C. D.10.(2019山西吕梁一模,文4)我国古代数学家刘徽创立了“割圆术”用于计算圆周率π的近似值,即用圆内接正n边形的面积代替圆的面积,当n无限增大时,多边形的面积无限接近圆的面积.设A1A2…A12是圆内接正十二边形,在一次探究中,某同学在圆内随机撒一把米(共100粒),统计出正十二边形A1A2…A12内有95粒,则可以估计π的近似值为()A. B. C. D.11.(2019安徽江淮十校联考一,文7)用24个棱长为1的小正方体组成2×3×4的长方体,将共顶点的某三个面涂成红色,然后将长方体拆散开,搅拌均匀后从中任取一个小正方体,则它的涂成红色的面数为1的概率为()A. B. C. D.12.。

高考解答题突破(五)概率与统计突破“两辨”——辨析、辨型概率与统计问题的求解关键是辨别它的模型，只要找到模型，问题便迎刃而解．而概率模型的提取往往需要经过观察、分析、归纳、判断等复杂的辨析思维过程，常常因题设条件理解不准，某个概念认识不清而误入歧途．另外，还需弄清楚概率模型中等可能事件、互斥事件、对立事件等事件间的关系，注意放回和不放回试验的区别，合理划分复合事件．考向一古典概型的概率认真阅读题目，收集各种信息，理解题意．判断试验为古典概型后用字母表示所求事件，利用列举法求出总的基本事件个数及所求事件中包含的基本事件个数，代入公式求解．[解题指导]列举基本事件并确定总数―→确定所求事件个数―→代入古典概型公式求概率[解](1)由题意知，(a，b，c)所有的可能为(1,1,1)，(1,1,2)，(1,1,3)，(1,2,1)，(1,2,2)，(1,2,3)，(1,3,1)，(1,3,2)，(1,3,3)，(2,1,1)，(2,1,2)，(2,1,3)，(2,2,1)，(2,2,2)，(2,2,3)，(2,3,1)，(2,3,2)，(2,3,3)，(3,1,1)，(3,1,2)，(3,1,3)，(3,2,1)，(3,2,2)，(3,2,3)，(3,3,1)，(3,3,2)，(3,3,3)，共27种．古典概型概率问题的关注点求古典概型的概率，关键利用列举法求解基本事件数，求解时要避免“重”和“漏”．要做到正确理解题意，明确一些常见的关键词，如“至多”“至少”“只有”等，还要熟练使用常用的列举方法，如表格法，树图法等．只有有规律地列举基本事件，才能避免“重”和“漏”．1．某校拟从高二年级2名文科生和4名理科生中选出4名同学代表学校参加知识竞赛，其中每个人被选中的可能性均相等．(1)求被选中的4名同学中恰有2名文科生的概率；(2)求被选中的4名同学中至少有1名文科生的概率．[解]将2名文科生和4名理科生依次编号为1,2,3,4,5,6，从2名文科生和4名理科生中选出4名同学记为(a，b，c，d)，其结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，(1,3,4,5)，(1,3,4,6)，(1,3,5,6)，(1,4,5,6)，(2,3,4,5)，(2,3,4,6)，(2,3,5,6)，(2,4,5,6)，(3,4,5,6)，共15种．(1)被选中的4名同学中恰有2名文科生的结果有(1,2,3,4)，(1,2,3,5)，(1,2,3,6)，(1,2,4,5)，(1,2,4,6)，(1,2,5,6)，共6种．记“被选中的4名同学中恰有2名文科生”为事件A，则P(A)＝615＝2 5.(2)记“被选中的4名同学中至少有1名文科生”为事件B，则事件B包含有1名文科生或者2名文科生这两种情况．其对立事件B为“被选中的4名同学中没有文科生”．只有一种结果(3,4,5,6)．因为P(B)＝1 15，所以P(B)＝1－P(B)＝1－115＝1415.考向二线性回归分析与独立性检验1．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程估计和预测变量的值．2．独立性检验的关键是根据2×2列联表准确计算出K2，再做判断．[解题指导]理解图表信息→计算公式中的相关数据→确定回归方程→作出预测[解](1)从特征量y的5次试验数据中随机抽取两个数据的情况有{601,605}，{601,597}，{601,599}，{601,598}，{605,597}，{605,599}，{605,598}，{597,599}，{597,598}，{599,598}．共10种；其中两个数据都不大于600的情况有{597,599}，{597,598}，{599,598}，共3种．记“至少有一个大于600”为事件A，线性回归分析与独立性检验问题的关注点(1)由回归方程分析得出的数据只是预测值不是精确值，此类问题的易错点是方程中b ^的计算，代入公式计算要细心．(2)独立性检验是指利用2×2列联表，通过计算随机变量K 2来确定在多大程度上两个分类变量有关系的方法．2．(2019·东北三校联考)为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：(1)根据表中数据，求出s ，t 的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？(2)若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考公式：K 2＝n (ad －bc )(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d ).[解] (1)s ＝30－15＝15，t ＝30－25＝5.由已知数据可求得K 2＝60×(25×15－15×5)230×30×40×20＝7.5>6.635.因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．(2)用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的个数为2530×6＝5.“混凝土耐久性不达标”的个数为1.“混凝土耐久性达标”的记为A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，“混凝土耐久性不达标”的记为B .从这6个样本中任取2个，共有15种可能．设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件A ，它的对立事件A －为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含(A 1，B )，(A 2，B )，(A 3，B )，(A 4，B )，(A 5，B )，共5种可能，所以P (A )＝1－P (A －)＝1－515＝23.故取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是23.专题强化训练(二十六)1．某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A 1，A 2，A 3，A 4，A 5,3名女同学B 1，B 2，B 3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A 1被选中且B 1未被选中的概率．[解] (1)记“该同学至少参加上述一个社团为事件A ”，则P (A )＝8＋2＋545＝13.所以该同学至少参加上述一个社团的概率为13.(2)从5名男同学和3名女同学中各随机选1人的基本事件有：(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 1，B 3)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 2，B 3)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(A 3，B 3)，(A 4，B 1)，(A 4，B 2)，(A 4，B 3)，(A 5，B 1)，(A 5，B 2)，(A 5，B 3)共15个．根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．其中A 1被选中且B 1未被选中的基本事件有(A 1，B 2)，(A 1，B 3)共2个，所以A 1被选中且B 1未被选中的概率为P ＝215.2．(2019·全国卷Ⅱ)某行业主管部门为了解本行业中小企业的生产情况，随机调查了100(2)求这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)．(精确到0.01)附：74≈8.602.[解] (1)根据产值增长率频数分布表得，所调查的100个企业中产值增长率不低于40%的企业频率为14＋7100＝0.21.产值负增长的企业频率为2100＝0.02.用样本频率分布估计总体分布得这类企业中产值增长率不低于40%的企业比例为21%，产值负增长的企业比例为2%.(2)y －＝1100(－0.10×2＋0.10×24＋0.30×53＋0.50×14＋0.70×7)＝0.30，s 2＝1100 i ＝15n i (y i －y －)2 ＝1100[2×(－0.40)2＋24×(－0.20)2＋53×02＋14×0.202＋7×0.402]＝0.0296， s ＝0.0296＝0.02×74≈0.17.所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为30%,17%. 3．(2019·广东江门3月模拟)为探索课堂教学改革，江门某中学数学老师用“传统教学”和“导学案”两种教学方式分别在甲、乙两个平行班进行教学试验．为了解教学效果，期末考试后，分别从两个班级各随机抽取20名学生的成绩进行统计，得到如下茎叶图．记成绩不低于70分者为“成绩优良”.(1)请大致判断哪种教学方式的教学效果更佳，并说明理由；(2)构造一个教学方式与成绩优良的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．⎝ ⎛⎭⎪⎫附：K 2＝n (ad －bc )2(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )，其中n ＝a ＋b ＋c ＋d[解] (1)“理由1：乙班样本数学成绩大多在70分以上，甲班样本数学成绩70分以下的明显更多． 理由2：甲班样本数学成绩的平均分为70.2；乙班样本数学成绩的平均分为79.05.理由3：甲班样本数学成绩的中位数为68＋722＝70，乙班样本数学成绩的中位数为77＋782＝77.5.由上表可得K 2＝20×20×26×14≈3.956>3.841，所以能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“成绩优良与教学方式有关”．4．(2019·河北衡水中学5月模拟)已知鸡的产蛋量与鸡舍的温度有关．为了确定某一个时段鸡舍的控制温度，某企业需要了解鸡舍的时段控制温度x (单位：℃)对某种鸡的时段产蛋量y (单位：t)和时段投入成本z (单位：万元)的影响．为此，该企业选取了7个鸡舍的时段控制温度x i 和产蛋量y i (i ＝1,2，…，7)的数据，对数据初步处理后得到了如图所示的散点图及一些统计量的值．其中k i ＝ln y i ，k －＝17∑i ＝17k i .(1)根据散点图判断，y ＝bx ＋a 与y ＝c 1e c 2x (e 为自然对数的底数)哪一个适宜作为该种鸡的时段产蛋量y 关于鸡舍的时段控制温度x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断及表中的数据，建立y 关于x 的回归方程；(3)已知时段投入成本z 与x ，y 的关系为z ＝e －2.5y －0.1x ＋10，当鸡舍的时段控制温度为28 ℃时，鸡的时段产蛋量及时段投入成本的预报值是多少？附：对于一组具有线性相关关系的数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝βu ＋α的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1n(u i －u －)(v i －v －)∑i ＝1n(u i －u －)2，α^＝v －－β^u －.12时段控制温度x 的回归方程类型．(2)令k ＝ln y ，建立k 关于x 的线性回归方程k ＝dx ＋c (d ＝c 2，c ＝ln c 1)．由题意，得d ^＝∑i ＝17(x i －x －)(k i －k －)∑i ＝17(x i －x －)2＝35.00140.00＝0.25，c ^＝k －－d ^x －＝3.60－0.25×17.40＝－0.75， 所以k 关于x 的线性回归方程为k ^＝0.25x －0.75，c 2＝0.25，c 1＝e －0.75＝0.47，故y 关于x 的回归方程为y ^＝0.47e 0.25x .(3)由(2)知，当x ＝28时，鸡的时段产蛋量y 的预报值y ^＝0.47e 0.25×28＝0.47e 7＝0.47×1096.63≈515.42(t)，时段投入成本z 的预报值z ^＝e －2.5×515.42－0.1×28＋10＝0.08×515.42－2.8＋10≈48.43(万元)．即鸡舍的温度为28℃时，鸡的时段产蛋量的预报值为515.42，时段投入成本的预报值为48.43.。

种结果，其中两位女同学相邻的结果有12两位女同学相邻)＝1224＝12，故选D . (2)D古典概型求解的三步『对接训练』由题意，得该运动员总能将铁饼圆心扔在矩形区域内，即铁饼ABCD，要使该运动员能将铁饼完全扔进矩形区EFGH，由几何概型的概率公式，4×(1)当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积、弧长、夹角等时，应考虑使用几何概型求解；『对接训练』山江湖”协作体三模中，其中AB＝2，则质点落在以)求频率分布直方图中a的值，并估计该校文学院的学生每天诵同一组中的数据用该组区间的中点值作代表名同学诵读诗词的时间分别为x，y，当名同学组成一个小组，已知从每天诵读时间小于的所有学生中用分层抽样的方法抽取5人中随机选取2人，求选取的2人能组成一个小组的概率．【解析】(1)各组数据的频率之和为1，即所有小矩形的面积和为1，故(a＋a＋6a＋8a＋3a＋a)×20＝1，解得a＝0.002 5，所以该校文学院的学生每天诵读诗词的平均时间为10×0.05＋30×0.05＋50×0.3＋70×0.4＋90×0.15＋110×0.05＝64 (min)．(2)由频率分布直方图知诵读诗词的时间在[0,20)，[80,100)，[100,120]内的学生人数的频率之比为：：1，故抽取的5人中诵读诗词的时间在[0,20)，[80,100)，[100,120]内的学生人数分别为1,3,1.设在[0,20)内的1名学生为A，在[80,100)内的3名学生分别为B，C，D，在[100,120]内的1名学生为E，则抽取2人的所有基本事件有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{B，C}，{B，D}，{B，E}，{C，D}，{C，E}，{D，E}，共10种．选取的2人能组成一个小组的情况有{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，共4种．故选取的2人能组成一个小组的概率为P＝410＝2 5.解决概率与统计综合问题的一般步骤『对接训练』5．[2019·贵州贵阳监测]互联网使我们的生活日益便捷，网络外卖也开始成为人们日常生活中不可或缺的一部分．M市某调查机构针对该市市场占有率最高的两家网络外卖企业(以下简称外卖A、外卖B)的服务质量进行了调查，从使用过这两家外卖服务的市民中随机抽取了1 000人，每人分别对这两家外卖企业评分，满分均为100分，并将分数画出树状图如下：由图可知共有36种情况，其中点数都是偶数的情况有的和为奇数的情况有18种，点数和小于13的情况有36种，故选C.，宽为4，在矩形内随机撒，以此试验数据为依据可以估计出椭圆的面积为黑龙江齐齐哈尔模拟]随着计算机的出现，图标被赋予了新的含义，有了新的用武之图标成了具有明确指代含义的计算机图形．图所示的图标是一种被称为“黑白太阳”的图标，该图标共分为三部法国学者贝特朗于提出了贝特朗悖论，内容如下：在半径为记圆内接等边三角形为△ABC，弦的另一个端点为的长，则点P落在劣弧如图，设正五边形的5个顶点分别为ABC，ABD，ABE其中符合正五边形的中心位于所选三个点构ABD，ACD，ACE2436故这两艘轮船有一艘在停靠时必须等待的概率为黑龙江哈尔滨六中段考]如图是某市日的空气质量指数折线图．空气质量指数小于表示空气重度污染．某人随机选择日中的某一天到达该市，并停留2天(包括到达当天求此人到达当日空气优良的概率；求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率；由图判断从哪天开始连续3天的空气质量指数方差最大．写出结论，不要求证明)由图看出，1日至13日这13天内，空气优良的是若采用分层抽样的方法从“朗读爱好者”和“非朗读爱好者”名观众，再从这5名观众中任选2名，求至少选到。

（11）概率与统计1、某班有学生52人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为4的样本,已知座位号3号, 29号, 42号的同学都在样本中,那么样本中还有一位同学的座位号是( ) A. 16 B. 19 C. 24 D. 362、某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他们的模块测试成绩分成6组[)[)[)[)[)[]:40,50,50,60,60,70,70,80,80,90,90,100加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.已知高一年级共有学生600名,据此估计,该模块测试成绩不少于60分的学生人数为( )A.588B.480C.450D.1203、对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计,得到样本数据如下所示,则该样本的中位数、众数、极差分别是( )样本:12,15,20,22,23,23,31,32,34,34,38,39,45,45,45,47,47,48,48,49,50,50,51,51,54,57,59,61,67,68 A.46,45,56B.46,45,53C.47,45,56D.45,47,534、假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y （万元），有如下的统计资料：由资料可知y 对x 呈线性相关关系，且线性回归方程为ˆ 1.2yx a =+，请估计使用年限为20年时，维修费用约为( ) A. 26.2B. 27C. 27.6D. 28.25、从数字1,2,3,4,5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个数大于30的概率为（ ） A.25B.16 C.13 D.356、一袋中有5个白球,3个红球,现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止,设停止时共取了x 次球,则(12)p x ==( )A. 10210123588C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B. 1029123588C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C. 1029113588C ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D. 1029113588C ⎛⎫⎛⎫⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7、如图是一个中心对称的几何图形,已知大圆半径为2,以半径为直径画出两个半圆,在大圆内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率为( )A.18B.π8C.14 D.12 8、已知X 的分布列如下，且()73Y aX E Y =+=，，则的值为（ ）A.1B.2C.3D.49、掷一枚硬币,记事件A = “出现正面”, B = “出现反面”,则有( ) A.A 与B 相互独立 B.()()()P AB P A P B =C.A 与B 不相互独立D.()14P AB =10、随机变量X 服从正态分布()23,σ,且()40.84P X ≤=,则()24P X <<= ( )A.0.16B.0.32C.0.68D.0.8411、某工厂对一批产品进行了抽样检测.下图是根据抽样检测后的(产品净重,单位:克)数据绘制的频率分布直方图,其中产品净重的范围是[]96,106,样本数据分组为[)[)[)[)[]96,98,98,100,100,102,102,104,104,106,已知样本中产品净重小于100?克的个数是36,下列命题中:①样本中净重大于或等于98?克并且小于102克的产品的个数是60。