高考数学总复习 基础知识名师讲义 第二章 第十五节用导数解决生活中的优化问题 文

３.４生活中的优化问题举例学习目标核心素养１．了解导数在解决实际问题中的作用.２．掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．（重、难点）借助导数解决实际问题，提升数学建模、数学运算的素养.１．生活中的优化问题（１）生活中经常会遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．（２）用导数解决优化问题的实质是求函数的最值．２．用导数解决优化问题的基本思路１．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y＝—错误! x３＋8１x—２３４，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（）Ａ．7万件Ｂ．9万件Ｃ．１１万件Ｄ．１３万件B[设y＝f（x），即f（x）＝—错误!x３＋8１x—２３４，故f′（x）＝—x２＋8１．令f′（x）＝0，即—x２＋8１＝0，解得x＝9或x＝—9（舍去）．当0<x<9时，f′（x）>0，函数y＝f（x）单调递增；当x>9时，f′（x）<0，函数y＝f（x）单调递减．因此，当x＝9时，y＝f（x）取最大值．故使该生产厂家获取最大年利润的年产量为9万件．]２．炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x小时，原油温度（单位：℃）为f（x）＝错误!x３—x２＋8（0≤x≤５），那么原油温度的瞬时变化率的最小值是（）Ａ．8 Ｂ．错误!Ｃ．—１Ｄ．—8C[由题意，f′（x）＝x２—２x＝（x—１）２—１，∵0≤x≤５，∴x＝１时，f′（x）的最小值为—１，即原油温度的瞬时变化率的最小值是—１．]３．电动自行车的耗电量y与速度x之间有关系y＝错误!x３—错误!x２—４0x（x>0）．为使耗电量最小，则速度应定为__________．４0 [y′＝x２—３9x—４0，令y′＝0，即x２—３9x—４0＝0，解得x＝４0或x＝—１（舍）．当0<x<４0时，y′<0，当x>４0时，y′>0，所以当x＝４0时，函数y＝错误!x３—错误!x２—４0x有最小值．]面积、体积的最值问题小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图所示）．问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？[思路点拨] 错误!―→错误!―→错误!―→错误![解] 设容器的高为x cm，容器的容积为V（x）cm３，则V（x）＝x（90—２x）（４8—２x）＝４x３—２76x２＋４３２0x（0＜x＜２４）．所以V′（x）＝１２x２—５５２x＋４３２0＝１２（x２—４6x＋３60）＝１２（x—１0）（x—３6）．令V′（x）＝0，得x＝１0或x＝３6（舍去）．当0＜x＜１0时，V′（x）＞0，即V（x）单调递增；当１0＜x＜２４时，V′（x）＜0，即V（x）单调递减．因此，在定义域（0,２４）内，函数V（x）只有当x＝１0时取得最大值，其最大值为V（１0）＝１9 600（cm３）．因此当容器的高为１0 cm时，容器的容积最大，最大容积为１9 600 cm３.１．求几何体面积或体积的最值问题，关键是分析几何体的几何特征，根据题意选择适当的量建立面积或体积的函数，然后再用导数求最值．２．实际问题中函数定义域确定的方法（１）根据图形确定定义域，如本例中长方体的长、宽、高都大于零；（２）根据问题的实际意义确定定义域，如人数必须为整数，销售单价大于成本价、销售量大于零等．错误!１．已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为________．错误![设圆柱的底面半径为r，则S圆柱底＝２πr２，S圆柱侧＝２πrh，∴圆柱的表面积S＝２πr２＋２πrh.∴h＝错误!.又圆柱的体积V＝πr２h，＝错误!（S—２πr２）＝错误!，V′（r）＝错误!，令V′（r）＝0得S＝6πr２，∴h＝２r，因为V′（r）只有一个极值点，故当h＝２r时圆柱的容积最大．此时，S＝２π×错误!＋πh２，∴h＝错误!.]用料（费用）最省问题筑物要建造可使用２0年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系：C（x）＝错误!（0≤x≤１0），若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f（x）为隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和．（１）求k的值及f（x）的函数解析式；（２）隔热层修建多厚时，总费用f（x）达到最小，并求最小值．[思路点拨] 代入数据求k的值⇒建造费用加上每年能源消耗费用总和得出总费用f（x）⇒利用导数求最值．[解] （１）设隔热层厚度为x cm，由题设可知，每年能源消耗费用为C（x）＝错误!，再由C（0）＝8，得k＝４0，因此C（x）＝错误!，而建造费用为C１（x）＝6x.最后得隔热层建造费用与２0年的能源消耗费用之和为f（x）＝２0C（x）＋C１（x）＝２0×错误!＋6x＝错误!＋6x（0≤x≤１0）．（２）f′（x）＝6—错误!，令f′（x）＝0，即错误!＝6，解得x＝５，x＝—错误!（舍去），当0<x<５时，f′（x）<0，当５<x<１0时，f′（x）>0，故x＝５时，为f（x）的最小值点，对应的最小值为f（５）＝6×５＋错误!＝70．当隔热层修建５cm厚时，总费用达到最小值70万元．解决优化问题时应注意的问题１列函数解析式时，注意实际问题中变量的取值范围，即函数的定义域.２一般地，通过函数的极值来求得函数的最值.如果函数f x在给定区间内只有一个极值点或函数f x在开区间上只有一个点使f′x＝0，则只要根据实际意义判断该值是最大值还是最小值即可，不必再与端点处的函数值进行比较.错误!２．已知A，B两地相距２00千米，一只船从A地逆水而行到B地，水速为8千米/小时，船在静水中的速度为v千米/时（8<v≤v0）．若船每小时的燃料费与其在静水中的速度的平方成正比．当v＝１２千米/时时，每小时的燃料费为7２0元，为了使全程燃料费最省，船的静水速度为多少？[解] 设每小时的燃料费为y１，比例系数为k，则y１＝kv２.当v＝１２时，y１＝7２0，∴7２0＝k·１２２，解得k＝５，∴y１＝５v２.∴全程的燃料费y＝y１·错误!＝错误!（8<v≤v0）．y′＝错误!＝错误!.令y′＝0得v＝１6或v＝0（舍去）．所以函数在v＝１6时取得极值，并且是极小值．当v0≥１6时，v＝１6使y最小，即全程燃料费最省．当8<v0<１6时，可得y＝错误!在（8，v0]上递减，即当v＝v0时，y min＝错误!.综合上述得：若v0≥１6，则当v＝１6千米/时时，全程燃料费最省；若8<v0<１6千米/时，则当v＝v0时，全程燃料费最省．利润最大（成本最低）问题１．在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？提示：根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点对应最小值，极大值点对应最大值．２．你能列举几个有关利润的等量关系吗？提示：（１）利润＝收入—成本．（２）利润＝每件产品的利润×销售件数．【例３】某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克）满足关系式y＝错误!＋１0（x—6）２，其中３<x<6，a为常数，已知销售价格为５元/千克时，每日可售出该商品１１千克．（１）求a的值；（２）若该商品的成本为３元/千克，试确定销售价格x的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．[思路点拨] （１）根据x＝５时，y＝１１，求a的值．（２）把每日的利润表示为销售价格x的函数，用导数求最大值．[解] （１）因为x＝５时，y＝１１，所以错误!＋１0＝１１，a＝２．（２）由（１）知，该商品每日的销售量y＝错误!＋１0（x—6）２，所以商场每日销售该商品所获得的利润f（x）＝（x—３）错误!＝２＋１0（x—３）（x—6）２,３<x<6，从而，f′（x）＝１0[（x—6）２＋２（x—３）（x—6）]＝３0（x—４）（x—6），于是，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：x （３,４）４（４,6）f′（x）＋0f（x）↗极大值４２↘由上表可得，x所以，当x＝４时，函数f（x）取得最大值，且最大值等于４２．故当销售价格为４元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大．１．利润最大问题是生活中常见的一类问题，一般根据“利润＝收入—成本”或“利润＝每件产品利润×销售件数”建立函数关系式，再用导数求最大值．２．解答此类问题时，要认真理解相应的概念，如：成本、利润、单价、销售量、广告费等等，以免因概念不清而导致解题错误．错误!３．某种产品每件成本为6元，每件售价为x元（6<x<１１），年销售为u万件，若已知错误!—u 与错误!错误!成正比，且售价为１0元时，年销量为２8万件．（１）求年销售利润y关于售价x的函数表达式；（２）求售价为多少时，年利润最大，并求出最大年利润．[解] （１）设错误!—u＝k错误!错误!，∵售价为１0元时，年销量为２8万件，∴错误!—２8＝k错误!错误!，解得k＝２．∴u＝—２错误!错误!＋错误!＝—２x２＋２１x＋１8．∴y＝（—２x２＋２１x＋１8）（x—6）＝—２x３＋３３x２—１08x—１08（6<x<１１）．（２）y′＝—6x２＋66x—１08＝—6（x２—１１x＋１8）＝—6（x—２）（x—9）．令y′＝0，得x＝２（舍去）或x＝9，显然，当x∈（6,9）时，y′>0；当x∈（9,１１）时，y′<0．∴函数y＝—２x３＋３３x２—１08x—１08在（6,9）上单调递增，在（9,１１）上单调递减．∴当x＝9时，y取最大值，且y max＝１３５，即售价为9元时，年利润最大，最大年利润为１３５万元.１．利用导数解决生活中优化问题的一般步骤（１）分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系式y＝f（x）．（２）求函数的导函数f′（x），解方程f′（x）＝0．（３）比较函数在区间端点和使f′（x）＝0的点的函数值的大小，最大（小）者为最大（小）值．２．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：（１）合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域；（２）与实际问题相联系；（３）必要时注意分类讨论思想的应用．１．判断正误（１）生活中的优化问题的实质就是函数的最值问题．（）（２）生活中的优化问题必须运用导数解决．（）（３）广告牌的面积最小问题是生活中的优化问题．（）[答案] （１）√（２）×（３）√２．做一个容积为２５6 m３的方底无盖水箱，所用材料最省时，它的高为（）Ａ．6 m Ｂ．8 mＣ．４m Ｄ．２mC[设底面边长为x m，高为h m，则有x２h＝２５6，所以h＝错误!.所用材料的面积设为S m２，则有S＝４x·h＋x２＝４x·错误!＋x２＝错误!＋x２，S′＝２x—错误!，令S′＝0，得x＝8，因此h＝错误!＝４（m）．]３．某件商品的成本为３0元，在某段时间内，若以每件x元出售，可卖出（２00—x）件，当每件商品的定价为________元时，利润最大．１１５[利润为S（x）＝（x—３0）（２00—x）＝—x２＋２３0x—6 000（３0<x<２00），S′（x）＝—２x＋２３0，由S′（x）＝0，得x＝１１５，这时利润达到最大．]４．如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目（即图中阴影部分），这两栏的面积之和为１8 000 cm２，四周空白的宽度为１0 cm，两栏之间的中缝空白的宽度为５cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸（单位：cm），能使矩形广告面积最小？[解] 设广告的高和宽分别为x cm，y cm，则每栏的高和宽分别为（x—２0）cm，错误!cm，其中x>２0，y>２５．两栏面积之和为２（x—２0）·错误!＝１8 000，由此得y＝错误!＋２５．广告的面积S＝xy＝x错误!＝错误!＋２５x，∴S′＝错误!＋２５＝错误!＋２５．令S′>0得x>１４0，令S′<0得２0<x<１４0．∴函数在（１４0，＋∞）上单调递增，在（２0,１４0）上单调递减，∴S（x）的最小值为S（１４0）．当x＝１４0时，y＝１7５，即当x＝１４0，y＝１7５时，S取得最小值２４５00，故当广告的高为１４0 cm，宽为１7５cm时，可使广告的面积最小．。

一、 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤1) 分析实际问题中各变量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系().y f x =2) 求出函数的导数'()f x ，解方程'()0.f x =3) 比较函数在区间端点和'()0f x = 的点的函数值得大小，最大（小）者为最大（小）值．二、 特别提醒：1) 在求实际问题的最大(小)值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合题意的值应该舍去．2) 在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使得'()0f x =的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值．知识要点导数在最优化中应用【例1】 某市在一次降雨过程中，降雨量y （mm ）与时间t （min ）的函数关系式可近似的表示为()2100t f t =，则在时刻10min t =的降雨强度为（ ）A ．15mm/min B ．14mm/min C ．12mm/min D ．1mm/min【例2】 将边长为1m 的正三角形薄铁皮沿一条平行于某边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记()2s =梯形的周长梯形的面积，则s 的最小值是 ．【例3】 设球的半径为时间t 的函数()R t ．若球的体积以均匀速度c 增长，则球的表面积的增长速度与球半径（ ）A ．成正比，比例系数为CB ．成正比，比例系数为2CC ．成反比，比例系数为CD ．成反比，比例系数为2C【例4】 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y （单位：千克）与销售价格x （单位：元/千克）满足关系式y =210(63a x x +--），其中3＜x ＜6，a 为常数，已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克．（I ）求a 的值（II ）若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．例题精讲【例5】 某单位用2160万元购得一块空地，计划在该地块上建造一栋至少10层、每层2000平方米的楼房．经测算，如果将楼房建为()10x x ≥层，则每平方米的平均建筑费用为56048x +（单位：元）．为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？（注：平均综合费用＝平均建筑费用+平均购地费用，平均购地费用＝购地总费用建筑总面积）【例6】 某工厂生产某种产品，每日的成本C （单位：万元）与日产量x （单位：吨）满足函数关系式3C x =+，每日的销售额S （单位：万元）与日产量x 的函数关系式3 5 (06),814 (6).k x x S x x ⎧++<<⎪=-⎨⎪≥⎩，，已知每日的利润L S C =-，且当2x =时，3L =．（Ⅰ）求k 的值；（Ⅱ）当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值。

利用导数解决生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题称为生活中的优化问题。

导数是解决优化问题的有力工具，利用导数解决优化问题的主要步骤为：1．建立优化问题的数学模型，写出优化问题中变量间的函数关系式，确定函数的定义域；2．求函数的导数ｆ'(x)，解方程ｆ'(x)=0，求出极值点；3．比较函数在区间端点和在极值点的取值大小，确定其最大（小）者为最大（小）值；4．检验所得结果是否符合问题的实际意义。

其中，关键在于如何建立优化问题的数学模型。

什么是数学建模？当人们面对一个实际问题时，不是直接就现实材料本身寻找解决问题的办法，而是经过一番必要而且合理的假设和简化，恰当地运用数学语言、方法去近似地刻划实际问题，得到一个数学结构（数学模型），通过数学上的结构揭示其实际问题中的含义，合理地返回到实际中去，这个过程就称为数学建模。

数学建模的全过程应该包括：（1）分析问题：了解问题的实际背景，掌握第一手资料。

（2）假设化简：根据问题的特征和目的，对问题进行化简，并用精确的数学语言来描述。

（3）建立模型：在假设的基础上利用适当的数学工具、数学知识，来刻划变量之间的数量关系，建立其相应的数学结构。

（4）求解并检验模型：对模型求解，并将求解结果与实际情况相比较，以此来验证模型的准确性。

例：（全国卷Ⅲ文）用长为90cm,宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器,先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角,再焊接而成(如下图),问:该容器的高为多少时,容器的容积最大?最大容积是多少?解：（1）读题：把“问题情境”翻译为数学语言，找出问题的目标与条件的关系因为焊接而成的容器为长方体，所以求容器的容积最大即为求长方体的体积最大，而长方体的高x满足0<x<24条件。

（2）建模：设容器的高为xcm,，容器的体积为V(x)cm3，则V(x)=x（90-2x）（48-2x）=4x3-276x2+4320x (0<x<24) （3）求解：∵V'(x)=12 x2-552x+4320由V'(x)=12 x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36 (舍去）当0<x<10 时，V'(x)>0, 那么V(x)为增函数；当10<x<24时，V'(x)<0, 那么V(x)为减函数；所以,在定义域（0，24）内，函数V(x)只有当x=10时取得最大值，其最大值为V(10)=1960（cm3）答：当容器的高为10cm时,容器的容积最大，最大容积是1960（cm3）由此例可知，要完成数学建模这一过程，必须过三关：1．事理关：读懂题意，知道讲的是什么事件；2．文理关：需要将“问题情境”的文字语言转化为数学的符号语言，用数学式子表达关系；3．数理关：在构建数学模型的过程中，要求有对数学知识的检索能力，认定或构建相适应的数学模型，完成由实际问题向数学问题的转化，此后解答过程也需要较扎实的基础知识和较强的数理能力。

1．4导数在实际生活中的应用学习目标 1.了解导数在解决实际问题中的作用.2.掌握利用导数解决简单的实际生活中的优化问题．知识点生活中的优化问题1．生活中经常遇到求用料最省、利润最大、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．2．利用导数解决优化问题的实质是求函数最值．3．解决优化问题的基本思路：上述解决优化问题的过程是一个典型的数学建模过程．1．优化问题就是实际生活中给定条件求最大值或最小值的问题．(√)2．生活中的优化问题都必须利用导数解决．(×)3．生活中的优化问题中若函数只有一个极值点，则它就是最值点．(√)类型一几何中的最值问题例1请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为60 cm的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒．点E，F在边AB上，是被切去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点．设AE＝FB＝x(cm)．某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底面边长考点利用导数求几何模型的最值问题题点利用导数求几何体体积的最值问题解∵V(x)＝(2x)2×(60－2x)×2 2＝2x2×(60－2x)＝－22x3＋602x2(0<x<30)．∴V′(x)＝－62x2＋1202x＝－62x(x－20)．令V′(x)＝0，得x＝0(舍去)或x＝20.∵当0<x<20时，V′(x)>0；当20<x<30时，V′(x)<0.∴V(x)在x＝20时取极大值也是唯一的极值，故为最大值．∴底面边长为2x＝202(cm)，高为2(30－x)＝102(cm)，即高与底面边长的比值为12.引申探究本例条件不变，若要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？解∵AE＝x，∴HE＝2x.∵EF＝60－2x，∴EG＝22EF＝22(60－2x)＝2(30－x)．∴S侧＝4×HE×EG＝4×2x×2(30－x)＝8x(30－x)＝－8x2＋240x＝－8(x－15)2＋8×152.∴当x＝15时，S侧最大为1 800 cm2.反思与感悟面积、体积(容积)最大，周长最短，距离最小等实际几何问题，求解时先设出恰当的变量，将待求解最值的问题表示为变量的函数，再按函数求最值的方法求解，最后检验．跟踪训练1已知圆柱的表面积为定值S，当圆柱的容积V最大时，圆柱的高h的值为考点 利用导数求几何模型的最值问题 题点 利用导数求几何体体积的最值问题 答案6πS 3π解析 设圆柱的底面半径为r ， 则S 圆柱底＝2πr 2，S 圆柱侧＝2πrh ， ∴圆柱的表面积S ＝2πr 2＋2πrh . ∴h ＝S －2πr 22πr，又圆柱的体积V ＝πr 2h ＝r2(S －2πr 2)＝rS －2πr 32，V ′(r )＝S －6πr 22，令V ′(r )＝0，得S ＝6πr 2，∴h ＝2r ， ∵V ′(r )只有一个极值点， ∴当h ＝2r 时圆柱的容积最大． 又r ＝S6π，∴h ＝2S 6π＝6πS 3π. 即当圆柱的容积V 最大时， 圆柱的高h 为6πS 3π. 类型二 实际生活中的最值问题 命题角度1 利润最大问题例2 已知一家公司生产某种品牌服装的年固定成本为10万元，每生产1千件需另投入2.7万元．设该公司一年内生产该品牌服装x 千件并全部销售完，每千件的销售收入为R (x )万元，且R (x )＝⎩⎨⎧10.8－x 230，0<x ≤10，108x －1 0003x 2，x >10.(1)求年利润W (万元)关于年产量x (千件)的函数解析式；(2)当年产量为多少千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，并求出最大值．解 (1)当0<x ≤10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝8.1x －x 330－10；当x >10时，W ＝xR (x )－(10＋2.7x )＝98－1 0003x－2.7x .所以W ＝⎩⎨⎧8.1x －x 330－10，0<x ≤10，98－1 0003x－2.7x ，x >10.(2)当0<x ≤10时，令W ′＝8.1－x 210＝0，得x ＝9.所以当0<x <9时，W 单调递增， 当9<x <10时，W 单调递减， 所以当x ＝9时，W max ＝38.6.当x >10时，令W ′＝－2.7＋1 0003x 2＝0，得x ＝1009，当10<x <1009时，W ′>0；当x >1009时，W ′<0，所以当x ＝1009时，W max ＝38<38.6，所以当年产量为9千件时，该公司在这一品牌服装的生产中所获得的年利润最大，最大利润为38.6万元．反思与感悟 解决此类有关利润的实际应用题，应灵活运用题设条件，建立利润的函数关系，常见的基本等量关系 (1)利润＝收入－成本．(2)利润＝每件产品的利润×销售件数．跟踪训练2 某商场销售某种商品的经验表明，该商品每日的销售量y (单位：千克)与销售价格x (单位：元/千克)满足关系式y ＝a x －3＋10(x －6)2，其中3<x <6，a 为常数．已知销售价格为5元/千克时，每日可售出该商品11千克． (1)求a 的值；(2)若该商品的成本为3元/千克，试确定销售价格x 的值，使商场每日销售该商品所获得的利润最大．解 (1)因为当x ＝5时，y ＝11，所以a2＋10＝11，所以a ＝2.(2)由(1)可知，该商品每日的销售量为y ＝2x －3＋10(x －6)2，所以商场每日销售该商品所获得的利润为f (x )＝(x －3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤2x －3＋10(x －6)2＝2＋10(x －3)(x －6)2，3<x <6.从而f ′(x )＝10[(x －6)2＋2(x －3)(x －6)]＝30(x －4)(x －6)． 列表如下.由上表可得，x ＝4是函数f (x )在区间(3,6)内的极大值点，也是最大值点． 所以当x ＝4时，函数f (x )取得最大值为42.所以当销售价格为4元/千克时，商场每日销售该商品所获得的利润最大． 命题角度2 用料、费用最少问题例3 某地建一座桥，两端的桥墩已建好，这两墩相距m 米，余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩．经测算，一个桥墩的工程费用为256万元；距离为x 米的相邻两墩之间的桥面工程费用为(2＋x )x 万元．假设桥墩等距离分布，所有桥墩都视为点，且不考虑其他因素，记余下工程的费用为y 万元． (1)试写出y 关于x 的函数关系式；(2)当m ＝640米时，需新建多少个桥墩才能使y 最小？ 考点 利用导数求解生活中的最值问题 题点 用料、费用最少问题 解 (1)设需新建n 个桥墩， 则(n ＋1)x ＝m ，即n ＝mx －1.所以y ＝f (x )＝256n ＋(n ＋1)(2＋x )x＝256⎝⎛⎭⎫m x －1＋m x (2＋x )x ＝256m x＋m x ＋2m －256.(0<x <m )(2)由(1)知，f ′(x )＝－256m x 2＋12m 12x -＝m 2x232512x ⎛⎫- ⎪⎝⎭． 令f ′(x )＝0，得32x ＝512， 所以x ＝64.当0<x <64时，f ′(x )<0，f (x )在区间(0,64)上为减函数； 当64<x <640时，f ′(x )>0，f (x )在区间(64,640)上为增函数， 所以f (x )在x ＝64处取得最小值． 此时n ＝m x －1＝64064－1＝9.故当m ＝640米时，需新建9个桥墩才能使y 最小．反思与感悟 (1)用料最省、成本最低问题是日常生活中常见的问题之一，解决这类问题要明确自变量的意义以及最值问题所研究的对象．正确书写函数表达式，准确求导，结合实际作答．(2)利用导数的方法解决实际问题，当在定义区间内只有一个点使f ′(x )＝0时，如果函数在这点有极大(小)值，那么不与端点值比较，也可以知道在这个点取得最大(小)值． 跟踪训练3 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层．某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C (单位：万元)与隔热层厚度x (单位：cm)满足关系：C (x )＝k3x ＋5(0≤x ≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设f (x )为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和． (1)求k 的值及f (x )的表达式；(2)隔热层修建多厚时，总费用f (x )达到最小，并求最小值． 解 (1)由题设知，每年能源消耗费用为C (x )＝k3x ＋5，再由C (0)＝8，得k ＝40，因此C (x )＝403x ＋5，而建造费用为C 1(x )＝6x .因此得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为 f (x )＝20C (x )＋C 1(x )＝20×403x ＋5＋6x＝8003x ＋5＋6x (0≤x ≤10)． (2)f ′(x )＝6－ 2 400(3x ＋5)2.令f ′(x )＝0，即 2 400(3x ＋5)2＝6，解得x ＝5，x ＝－253(舍去)．当0<x <5时，f ′(x )<0；当5<x <10时，f ′(x )>0，故当x ＝5时，f (x )取到最小值，对应的最小值为f (5)＝6×5＋80015＋5＝70.所以当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70万元.1．方底无盖水箱的容积为256，则最省材料时，它的高为________． 答案 4解析 设底面边长为x ，高为h ， 则V (x )＝x 2·h ＝256，∴h ＝256x2.∴S (x )＝x 2＋4xh ＝x 2＋4x ·256x 2＝x 2＋4×256x ，∴S ′(x )＝2x －4×256x 2.令S ′(x )＝0，解得x ＝8，判断知当x ＝8时，S (x )取得最小值． ∴h ＝25682＝4.2．某产品的销售收入y 1(万元)是产品x (千台)的函数，y 1＝17x 2；生产总成本y 2(万元)也是x的函数，y 2＝2x 3－x 2(x >0)，为使利润最大，应生产________千台． 答案 6解析 构造利润函数y ＝y 1－y 2＝18x 2－2x 3(x >0)，y ′＝36x －6x 2，令y ′＝0，得x ＝6(x ＝0舍去)，x ＝6是函数y 在(0，＋∞)上唯一的极大值点，也是最大值点．3．一房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为1 000元时，公寓会全部租出去，月租金每增加50元，就会多一套租不出去，而租出去的公寓每月需花费100元维修费，则月租金定为________元时可获得最大收入． 答案 1 800解析 设x 套为没有租出去的公寓数，则收入函数f (x )＝(1 000＋50x )(50－x )－100(50－x )，∴f ′(x )＝1 600－100x ，∴当x ＝16时，f (x )取最大值，故把月租金定为1 800元时收入最大． 4．要制作一个容积为4 m 3，高为1 m 的无盖长方体容器，已知底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是________元． 答案 160解析 设底面长为x m ，由题意得底面宽为4x m.设总造价为y 元，则y ＝20x ×4x ＋10×1×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×4x ， 即y ＝20x ＋80x＋80，y ′＝20－80x 2，令y ′＝0，得x ＝2.∴当x ＝2时，y min ＝160.5．将一段长100 cm 的铁丝截成两段，一段弯成正方形，一段弯成圆形，当正方形与圆形面积之和最小时，圆的周长为________ cm. 答案100π4＋π解析 设弯成圆形的一段铁丝长为x ，则另一段长为100－x . 设正方形与圆形的面积之和为S ，则正方形的边长a ＝100－x 4，圆的半径r ＝x2π.故S ＝π⎝⎛⎭⎫x 2π2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫100－x 42(0<x <100)． 因此S ′＝x 2π－252＋x 8＝x 2π－100－x 8，令S′＝0，则x＝100π.4＋π由于在(0,100)内，函数只有一个导数为0的点，问题中面积之和的最小值显然存在，故当x ＝100π时，面积之和最小．4＋π1．利用导数解决生活中实际问题的一般步骤(1)分析实际问题中各量之间的关系，列出实际问题的数学模型，写出实际问题中变量之间的函数关系y＝f(x)．(2)求函数的导数f′(x)，解方程f′(x)＝0.(3)比较函数在区间端点和极值点的数值的大小，最大(小)者为最大(小)值．2．正确理解题意，建立数学模型，利用导数求解是解答应用问题的主要思路．另外需要特别注意：(1)合理选择变量，正确写出函数解析式，给出函数定义域．(2)与实际问题相联系．(3)必要时注意分类讨论思想的应用．。

如何利用导数解答生活中的优化问题生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题．通过前面的学习，我们知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具．本文主要阐述如何利用导数，解决一些生活中的优化问题．导数在实际生活中的应用主要是解决有关函数最大值、最小值的实际问题，主要有以下几个方面：1、与几何有关的最值问题；2、与物理学有关的最值问题；3、与利润及其成本有关的最值问题；4、效率最值问题。

一．解决优化问题的方法：首先是需要分析问题中各个变量之间的关系，建立适当的函数关系，并确定函数的定义域，通过创造在闭区间内求函数取值的情境，即核心问题是建立适当的函数关系。

再通过研究相应函数的性质，提出优化方案，使问题得以解决，在这个过程中，导数是一个有力的工具．二．利用导数解决优化问题的基本思路：三．典例分析例1．磁盘的最大存储量问题计算机把数据存储在磁盘上。

磁盘是带有磁性介质的圆盘，并有操作系统将其格式化成磁道和扇区。

磁道是指不同半径所构成的同心轨道，扇区是指被同心角分割所成的扇形区域。

磁道上的定长弧段可作为基本存储单元，根据其磁化与否可分别记录数据0或1，这个基本单元通常被称为比特（bit）。

为了保障磁盘的分辨率，磁道之间的宽度必需大于m，每比特所占用的磁道长度不得小于n。

为了数据检索便利，磁盘格式化时要求所有磁道要具有相同的比特数。

问题：现有一张半径为R的磁盘，它的存储区是半径介于r与R之间的环形区域．（1）是不是r越小，磁盘的存储量越大？（2）r为多少时，磁盘具有最大存储量（最外面的磁道不存储任何信息）？解：由题意知：存储量=磁道数×每磁道的比特数。

设存储区的半径介于r 与R 之间，由于磁道之间的宽度必需大于m ，且最外面的磁道不存储任何信息，故磁道数最多可达R r m-。

由于每条磁道上的比特数相同，为获得最大存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达2r nπ。