六年级下册数学讲义-思维训练：第14讲 智求面积

人教版六年级下册数学知识点归纳正方形和长方形的面积计算方法正方形和长方形是我们在日常生活中经常遇到的几何形状，其面积计算方法是数学中的基本概念。

下面我们来归纳一下人教版六年级下册数学知识点，介绍正方形和长方形的面积计算方法。

一、正方形的面积计算方法正方形是一种边长相等，四个角都为直角的四边形。

要计算正方形的面积，只需要将正方形的边长乘以它自身即可。

假设正方形的边长为a，则正方形的面积S为：S = a × a。

例如，如果正方形的边长为5cm，则该正方形的面积为：S = 5cm ×5cm = 25cm²。

二、长方形的面积计算方法长方形是一种有两个对边长度相等且四个角都为直角的四边形。

要计算长方形的面积，只需要将长方形的长度乘以宽度即可。

假设长方形的长度为a，宽度为b，则长方形的面积S为：S = a × b。

例如，如果一个长方形的长度为6cm，宽度为4cm，则该长方形的面积为：S = 6cm × 4cm = 24cm²。

三、正方形和长方形的面积计算方法比较正方形和长方形都是由直角四边形演变而来的，其面积的计算方法有一些相似之处。

1. 正方形和长方形的计算公式都是将对应边长进行相乘。

2. 不同之处在于正方形的边长相等，而长方形的长度和宽度可以不相等。

3. 正方形的计算可简化为边长的平方，而长方形的计算则需要确定长度和宽度的具体数值。

四、练习题1. 计算一个正方形的边长为8cm的面积。

解答：该正方形的面积为：S = 8cm × 8cm = 64cm²。

2. 计算一个长方形的长度为12cm，宽度为5cm的面积。

解答：该长方形的面积为：S = 12cm × 5cm = 60cm²。

3. 如果一个图形的面积为36cm²，且它是一个正方形，求其边长。

解答：设该正方形的边长为a，则根据正方形的面积计算公式可得：a × a = 36cm²。

第十四讲组合图形的面积（一）第一部分：趣味数学等腰三角形面积今有圭田广十二步，正从二十一步，问为田几何？赏析：圭田就是等腰三角形。

最早的文字记载见于《九章算术》“方田”章。

“圭田术曰：半广以乘正从。

”也就是说，三角形的面积等于高与底边边长乘积的一半。

刘徽注称：“半广者，以盈补虚为直田也。

亦可半正从以乘广。

”即如图根据“出入相补”原理、采用“以盈补虚”的方法将三角形化为与之等积的长方形，再利用“方田术”计算其面积。

解答：根据三角形的面积 =底×高÷2得出：12×21÷2=252÷2=126（步）可见我们的古人与我们现在研究平面图形面积的方法类似，都是利用转化思想，把三角形和梯形转化成我们熟悉的长方形再进行面积计算。

不同的是《九章算术》中记载的是特殊的三角形即直角三角形，特殊的梯形即直角梯形，今天我们已在此基础上把它们推广到了普通的三角形与梯形。

第二部分：奥数小练一、知识要点在组合图形中，三角形的面积出现的机会很多，解题时我们还可以记住下面三点：1.两个三角形等底、等高，其面积相等；2.两个三角形底相等，高成倍数关系，面积也成倍数关系；3.两个三角形高相等，底成倍数关系，面积也成倍数关系。

二、精讲精练【例题1】如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。

（单位：厘米）【思路导航】按照一般解法，首先要求出梯形的面积，然后减去空白部分的面积即得所求面积。

其实，只要连接AC，显然三角形AEC与三角形DEC同底等高其面积相等，这样，我们把两个阴影部分合成了一个三角形ABC。

面积是：6×3÷2=9平方厘米。

练习一：1.求下图（1）中阴影部分的面积。

2.求图（2）中阴影部分的面积。

（单位：厘米）3.下图（3）的长方形是一块草坪，中间有两条宽1米的走道，求植草的面积。

图（1）图（2）图（3）【例题2】下图中，边长为10和15的两个正方体并放在一起，求三角形ABC（阴影部分）的面积。

第一讲圆柱和圆锥的表面积一、知识要点表面积是指物体各个面的面积之和。

在解答有关圆柱、圆锥的表面积问题时，要注意以下几点：1．借助图形仔细辨别表面积包含了哪些具体的面，增加了哪些面，减少了哪些面，要正确运用公式进行解答。

2．把一个立体图形切成两部分，新增加的表面积等于切面面积的两倍；反之，把两个立体图形粘合到一起，减少的表面积等于粘合面积的两倍。

3．有时解决问题过程中，题中一个关键的数量未知时，可借助字母做中介，从而解题。

4．解组合图形表面积时，要整体考虑，仔细观察组合图形各个面之间是否有某种联系，是否可将一些面变形为其他的面。

需要记住的公式：圆柱体的侧面积=2πRh 圆柱体的表面积=2πRh+2πR2=2πR（h+R）二、精选例题：1，根据现有木例1:有一块方木，横截面为正方形，边长4分米，相当于长的10料要加工成最大的圆柱体，则此圆柱体的表面积是多少？【思路点拨】例2:用铁皮做一个如图所示的工件(两端不封闭)，需要铁皮多少平方厘米?π=）（3【思路点拨】例3:有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？【思路点拨】例4:将高都是1米，底面半径分别为1.5米、1米和0.5米的三个圆柱组成一个物体。

求这个物体的表面积。

【思路点拨】例5:一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．【思路点拨】例6:一段圆柱体木料，如果截成两段，其表面积增加6.28平方厘米，如果沿着直径劈成两个半圆柱体，其表面积增加40平方厘米。

求此圆柱体的表面积。

【思路点拨】例7:从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体。

求这个几何体的表面积。

【思路点拨】例8:如图，在一个正方体的两对侧面的中心各打通一个长方体的洞，在上下底面的中心打通一个圆柱形的洞．已知正方体边长为10厘米，侧面上的洞口是边长为4厘米的正方形，上下侧面的洞口是直径为4厘米的圆，求此立体图形的表面积．【思路点拨】练习：1、一个长方形的长8厘米，宽4厘米，以长方形的长为轴旋转一周得到一个立体图形，这个立体图形的表面积是多少？2、有一个底面直径6厘米，高5厘米的圆柱体，沿着上下底面的圆心的连线切开后，它的表面积增加了多少平方厘米？3、如图是一顶帽子。

2022-2023学年小学六年级思维拓展举一反三精编讲义专题09 面积计算（等积变形）计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。

这时，如果我们能认真观察图形，分析、研究已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何知识，适当添加辅助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺利达到目的。

有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征，添加一些辅助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

【典例分析01】已知图，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。

由于AE=ED,连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），采用移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。

因为BD=23 BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。

又因为AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。

因此，S △ABC ＝5 S △DCF 。

由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。

【典例分析02】两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？知识精讲典例分析【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。

所以△AOD的面积为6÷2＝3。

因为S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO＝6因为S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3。

六年级数学几何图形面积计算的技巧和方法一、熟练掌握基本图形面积公式的推导对于长方形、正方形、平行四边形、三角形以及梯形等基本几何图形的面积计算，同学们要熟练掌握其面积公式的推导过程，并能够熟练运用。

如：长方形的面积=长×宽；正方形的面积=边长×边长；平行四边形的面积=底×高；三角形的面积=底×高÷2；梯形的面积=(上底+下底)×高÷2。

这些基本图形的面积计算是同学们必须掌握的基本技能。

二、学会灵活运用组合图形在几何图形中，有很多是由两个或多个基本图形组合在一起，这种图形叫做组合图形。

在计算其面积时，同学们要学会分割法和添补法，正确地分割出基本图形，再根据图形中各个基本图形的面积公式来计算。

如果分割出的基本图形不规则，则要利用割补法把它转化成已学过的基本图形来计算。

三、掌握常用的辅助线在几何图形中，添加辅助线是解决几何问题的重要方法之一。

添辅助线的方法一般有：平行线法、变换方向法、同一法、与圆有关的辅助线法等。

在学习中要灵活运用各种辅助线，会添加辅助线是解几何题的必要技能之一。

如求梯形面积时，需要连接对角线，将梯形转化为三角形来求解；求圆的面积时，可以化曲为直，把圆转化为近似长方形或扇形来求解。

四、合理选择方法有些几何图形的面积在一般情况下需要多次分割和添补才能得出结果。

此时同学们需要尝试多种方法，从不同角度分析问题，比较不同方法的优劣，最终选择最简单的方法。

有些几何图形在特殊情况下，可以利用特殊图形（如正方形、圆等）的面积进行求解。

因此，同学们需要了解这些特殊情况下的求解方法，以提高解题效率。

五、重视单位转换在几何图形中，不同的单位需要转换成相同的单位才能进行计算。

同学们在解题时需要时刻关注单位转换，避免出现错误。

在解答完成后要认真检查自己的答案，确保单位一致。

六、总结反思解题后要总结解题规律，反思解题思路，优化解题方法，从而形成解题规律。

第14讲多边形的面积计算专题概述在掌握三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等基本图形的面积计算公式的基础上，进行多边形的面积计算。

本讲常见的解题方法有：(1)对于多种基本图形的组合，利用已给的线段间的比例关系，求出多边形的面积；(2)把图形进行切分、平移、翻转、补充、变形转化为基本图形，继而求出多边形的面积。

典型例题11. 已知三角形 ABC 的面积为1,BE=2AB,BC=CD,求三角形 BDE 的面积。

分析利用已给的线段间的比例关系、三角形的面积以及三角形的面积公式，设法把三角形BDE 划分成一些与三角形ABC 的面积成相应比例的三角形。

这样，三角形BDE 的面积就能求得了。

解见右图，连接CE。

对于三角形ABC与三角形BEC，分别把AB 和BE 看成底，那么它们的高相等。

此外，BE=2AB。

根据三角形面积公式S=1aℎ可知，,S△BEC=2S△ABC=2。

显然，三角形BEC和三角形CED 是两个等底(BC=CD)、等高2的三角形，因此S△CED=S△BEC=2。

这样,S△BDE=S△BEC+S△CED=4。

思维训练11. 正方形ABCD 的边长是18厘米,已知DE 是EC 长度的2倍,求三角形DEF 的面积。

2.如图所示, DC=2BD,AO=OD,，三角形AOG 的面积与三角形DOC 面积的和是16 平方厘米。

三角形ABC 的面积是多少?典型例题2求图中阴影部分的面积。

(大圆直径为2，单位：厘米，圆周率π取近似值3.14)分析如图所示，解题时可以先将图形下半部分翻转拼接，然后将图中的小圆移至中心。

从图中不难看出，求原图中阴影部分的面积就是求一个圆环的面积。

解大圆半径：2÷2=1(厘米),小圆半径：1÷2=0.5(厘米),阴影面积：3.14×(1²−0.5²)=2.355(平方厘米)。

答：阴影部分的面积是2.355 平方厘米。

学生姓名：年级： X6 科目：数学授课日期： 2023 年月日上课时间：时分～时分合计： 2 小时授课章节巧求面积教学目标1.求不规则图形面积，掌握分割、割补、作差法。

2.熟练掌握已经学过的规则图形（长方形、正方形、圆、平行四边形等等）的面积公式重点难点【教学重点】回忆规则图形的面积公式【教学难点】作差法求不规则图形面积教学方法︻六步1 对1 教学法︼一、【回顾】（学生讲，教师纠正）□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差二、【作业】（作业难点讲解）□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差三、【提优】（拓展或新课讲解）□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差四、【习惯】（坚持培养习惯）□粘贴错题本□艾宾浩斯记忆本□语文积累□5R三色笔记□审题八字诀□草稿纸的使用□圈划预习法□一拖三记忆学习法五、【检测】( 出门考 )□完成□未完成完成评价：□优□良□中□差六、【反馈】( 3+1+X )□已反馈□未反馈教师备注学生签字：（课后）教师签字：（课后）主管审核签字：盖章教育个性化教学教案（内页1）【教案正文】巧求面积（1）一、夯实基础小学数学教材中学习了长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形、圆等基本图形面积的计算方法。

常用的面积公式如下：正方形边长×边长S=a2长方形长×宽S=ab平行四边形底×高S=ah三角形底×高÷2 S=ah÷2梯形（上底+下底）×高÷2 S=(a+b)h÷2在实际应用过程中，我们除了掌握切分、割补、做差等一些基本的几何解题思想外，还要掌握等量代换、妙用同底等一些有难度的解题方法。

二、典型例题例1．两个相同的直角三角形如图所示（单位：厘米）重叠在一起，求阴影部分的面积。

分析：阴影部分是一个高为3厘米的直角梯形，然而它的上底与下底都不知道，因而不能直接求出它的面积。

因为三角形ABC与三角形DEF完全相同，都减去三角形DOC后，根据差不变性质，差应相等，即阴影部分与直角梯形OEFC面积相等，所以求阴影部分的面积就转化为求直角梯形OEFC的面积。

六年级下册面积计算在六年级下册的数学学习中，面积计算是一个重要的知识点。

它不仅在数学学科中有着广泛的应用，在我们的日常生活中也随处可见。

接下来，让我们一起深入了解一下六年级下册中关于面积计算的那些事儿。

首先，我们来聊聊什么是面积。

简单来说，面积就是物体表面或平面图形所占空间的大小。

比如说，我们教室的地面、黑板的表面、课本的封面，它们都有自己的面积。

在六年级下册的数学课程中，我们主要学习了几种常见图形的面积计算方法。

先来说说长方形。

长方形的面积等于长乘以宽，如果用字母表示就是 S ＝ a×b （其中 S 表示面积，a 表示长，b 表示宽）。

比如，一个长方形的长是 5 厘米，宽是 3 厘米，那么它的面积就是 5×3 ＝ 15 平方厘米。

正方形也很常见，它是一种特殊的长方形，四条边都相等。

正方形的面积等于边长乘以边长，用字母表示为 S ＝ a×a ＝ a²（其中 S 表示面积，a 表示边长）。

假如有一个正方形的边长是 4 厘米，那么它的面积就是 4×4 ＝ 16 平方厘米。

三角形的面积计算稍微有点复杂。

三角形的面积等于底乘以高除以2 ，用字母表示是 S ＝ a×h÷2 （其中 S 表示面积，a 表示底，h 表示高）。

例如，一个三角形的底是 6 厘米，高是 4 厘米，那它的面积就是 6×4÷2 ＝ 12 平方厘米。

平行四边形的面积等于底乘以高，即 S ＝ a×h （其中 S 表示面积，a 表示底，h 表示高）。

比如，一个平行四边形的底是 8 厘米，高是 5厘米，它的面积就是 8×5 ＝ 40 平方厘米。

梯形的面积等于（上底＋下底）×高÷2 ，用字母表示为 S ＝（a＋ b)×h÷2 （其中 S 表示面积，a 表示上底，b 表示下底，h 表示高）。

假设一个梯形的上底是 3 厘米，下底是 5 厘米，高是 4 厘米，它的面积就是（3 ＋ 5)×4÷2 ＝ 16 平方厘米。

小学六年级数学教案设计‖正方形的面积拓展思维
1. 导入新课
今天我们来一起学习如何计算正方形的面积。

首先，我们一起来想一想，正方形有什么特点呢？
•学生回答：四条边相等，四个角都是直角。

很好，那么我们接下来就来根据正方形的特点来计算它的面积。

2. 新课教学
直观展示
我们先来看一个例子，比如有一个边长为3厘米的正方形，我们要计算它的面积。

•学生回答：3厘米× 3厘米= 9平方厘米。

非常好，那么这就是一个简单的正方形面积的计算。

课堂实验
接下来，我们来做一个实验，看看如何通过其他方法来计算正方形的面积。

•学生小组讨论，动手操作，使用直尺和三角板等工具进行测量和计算。

通过实验，我们可以发现，正方形的面积可以通过测量一条边的长度，然后计算这条边的长度的平方来得到。

问题引导
那么，如果正方形的边长是更大的数，比如10厘米、20厘米，我们该如何计算它的面积呢？
•学生回答：可以用更大的数的平方来计算面积。

非常好，那么我们来看看一个例子来验证我们的想法是否正确。

互动问答
我们来一起回答下面这个问题：一个边长为10厘米的正方形的面积是多少？
•学生回答：10厘米× 10厘米= 100平方厘米。

非常好，那么我们就可以得出结论：正方形的面积等于边长的平方。

案例分析
现在我们来看一个更复杂的例子，比如有一个正方形，它的边长是2.5厘米，但是它的四个角被剪掉了一个小正方形，这个小正方形的边长是1厘米。

那么这个正方形的面积是多少呢？
•学生小组讨论，动手操作，使用直尺和三角板等工具进行测量和计算。

2022-2023学年学校六班级思维拓展举一反三精编讲义专题09 面积计算（等积变形）计算平面图形的面积时，有些问题乍一看，在已知条件与所求问题之间找不到任何联系，会使你感到无从下手。

这时，假如我们能认真观看图形，分析、争辩已知条件，并加以深化，再运用我们已有的基本几何学问，适当添加帮助线，搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”，就会使你顺当达到目的。

有些平面图形的面积计算必需借助于图形本身的特征，添加一些帮助线，运用平移旋转、剪拼组合等方法，对图形进行恰当合理的变形，再经过分析推导，方能寻求出解题的途径。

【典例分析01】已知图，三角形ABC 的面积为8平方厘米，AE ＝ED ，BD=23 BC ，求阴影部分的面积。

【思路导航】阴影部分为两个三角形，但三角形AEF 的面积无法直接计算。

由于AE=ED,连接DF ，可知S △AEF =S △EDF （等底等高），接受移补的方法，将所求阴影部分转化为求三角形BDF 的面积。

由于BD=23 BC ，所以S △BDF ＝2S △DCF 。

又由于AE ＝ED ，所以S △ABF ＝S △BDF ＝2S △DCF 。

因此，S △ABC ＝5 S △DCF 。

由于S △ABC ＝8平方厘米，所以S △DCF ＝8÷5＝1.6（平方厘米），则阴影部分的面积为1.6×2＝3.2（平方厘米）。

【典例分析02】两条对角线把梯形ABCD 分割成四个三角形，如图18－5所示，已知两个三角形的面积，求另两个三角形的面积各是多少？学问精讲典例分析【思路导航】已知S△BOC是S△DOC的2倍，且高相等，可知：BO＝2DO；从S△ABD与S△ACD相等（等底等高）可知：S△ABO等于6，而△ABO与△AOD的高相等，底是△AOD的2倍。

所以△AOD的面积为6÷2＝3。

由于S△ABD与S△ACD等底等高所以S△ABO＝6由于S△BOC是S△DOC的2倍所以△ABO是△AOD的2倍所以△AOD＝6÷2＝3。