微积分上模拟试卷四

考研数学三（微积分）模拟试卷40(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设g(x)=∫0xf(du)du，其中f(x)=则g(x)在(0，2)内( )．A．单调减少B．无界C．连续D．有第一类间断点正确答案：C解析：因为f(x)在(0，2)内只有第一类间断点，所以g(x)在(O，2)内连续，选C．知识模块：微积分2．设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是( )．A．∫axf(t)dtB．∫-xaf(t)dtC．∫-x0f(t)dt—∫x0f(t)dtD．∫-xxtf(t)dt正确答案：D解析：设φ(x)=∫-xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(x+T)=2∫0x+Ttf(t)dt=2∫0xtf(t)dt+2∫xx+Ttf(t)dt≠φ(c)，选D。

知识模块：微积分3．设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是( )．A．∫0xt[f(t)一f(一t)]dtB．∫0xt[f(t)+f(一t)]dtC．∫0xf(t2)dtD．∫0xf2(t)dt正确答案：B解析：因为t[f(t)一f(-t)]为偶函数，所以∫0xt[f(t)一f(-t)]dt为奇函数，A不对；因为f(t2)为偶函数，所以∫0xf(t2)dt为奇函数，C不对；因为不确定f2(t)的奇偶性，所以D不对；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(-t)]dt，F(-x)=∫0-xt[f(t)+f(-t)-]dt=∫0x(一u)[f(u)+f(-u)](一du)=F(x)，选B．知识模块：微积分4．若由曲线y=，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是( )．A．y=B．y=+24C．y=x+1D．y=正确答案：A解析：知识模块：微积分填空题5．=________．正确答案：解析：知识模块：微积分6．=________．正确答案：ln3解析：知识模块：微积分7．=________．正确答案：解析：知识模块：微积分8．=________．正确答案：4-π解析：知识模块：微积分9．设f(x)满足等式xf’(x)-f(x)=，且f(1)=4，则∫01f(x)dx=________．正确答案：解析：知识模块：微积分10．设函数y=y(x)满足△y=△x+o(△x)，且y(1)=1，则∫01y(x)dx=—一．正确答案：解析：知识模块：微积分11．设，则a=________．正确答案：ln2解析：知识模块：微积分12．设f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx=________．正确答案：e-1-e解析：∫0πf(x)cosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π一∫0πf’(x)sinxdx =一∫0πecosx“sinxdx=ecosx｜0π=e-1一e．知识模块：微积分13．设f(x)连续，且∫0xtf(2x—t)dt=arctanx2，f(1)=1，求∫12f(x)dx=________．正确答案：解析：知识模块：微积分14．设连续非负函数f(x)满足f(x)f(一x)=1，则=________．正确答案：1解析：知识模块：微积分15．I(x)=在区间[-1，1]上的最大值为=________．正确答案：ln3解析：故I(x)在[一1，1]上的最大值为ln3．知识模块：微积分16．设f(x)的一个原函数为=________．正确答案：解析：知识模块：微积分17．y=上的平均值为________．正确答案：解析：知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（微积分）模拟试卷44(题后含答案及解析) 题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．设y(x)是微分方程y”+(x一1)y’+x2y=ex满足初始条件y(0)=0，y’(0)=1的解，则( )．A．等于1B．等于2C．等于0D．不存在正确答案：A解析：微分方程y”+(x一1)y’+x2y=e-x中，令x=0，则y”(0)=2，于是，选A．知识模块：微积分2．二阶常系数非齐次线性微分方程y”一2y’一3y=(2x+1)e-x的特解形式为( )．A．(ax+6)e-xB．x2e-xC．x2(ax+b)e-xD．x(ax+b)e-x正确答案：D解析：方程y”一2y’一3y=(2x+1)e-x的特征方程为λx一2λ一3=0，特征值为λ1=一1，λ2=3，故方程y”一2y’一3y=(2x+1)e-x的特解形式为x(ax+b)e-x，选D．知识模块：微积分3．设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为( )．A．C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B．C1[φ1(x)一φ2(x)]+C2φ3(x)C．C1[φ1(x)+φ2(x)-1+C2[φ1(x)一φ3(x)]D．C1φ1(x)+C2φ2(x)+C33φ3(x)，其中C1+C2+C3=1正确答案：D解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)一φ3(x)，φ2(x)一φ3(x)为方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y”+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)一φ3(x)]+C2[φ2(x)一φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1一C1一C2或C1+C2+C3=1，选D．知识模块：微积分填空题4．设y=y(x)满足△y=+o(△x)，且有y(1)=1，则∫02y(x)dx=________．正确答案：解析：知识模块：微积分5．微分方程y’一xe-y+=0的通解为________．正确答案：解析：知识模块：微积分6．微分方程yy”一2(y’)2=0的通解为________．正确答案：y=C解析：知识模块：微积分7．微分方程xy’=+y的通解为________．正确答案：lnx+C解析：知识模块：微积分8．以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为________．正确答案：y”‘-3y”+4y’-2y=0解析：特征值为λ1=1，λ2,3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ一1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y”‘-3y”+4y’-2y=0．知识模块：微积分9．设y(x)为微分方程y”一4y’+4y=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=2的特解，则∫01=________．正确答案：解析：y”一4y’+4y=0的通解为y=(C1+C2x)e2x，由初始条件y(0)=1，y’(0)=2得C1=1，C2=0，则y=e2x，于是∫01y(x)dx=．知识模块：微积分10．差分方程y一2y，一3×2t的通解为y(t)=________．正确答案：解析：yt+1一2yt=0的通解为y(t)一C×2t，f(t)=3×2t，因为2为特征值，所以设特解为yt*=at×2t，代入原方程得a=，故原方程的通解为y(t)=C×2t+×2t．知识模块：微积分解答题解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

考研数学三（微积分）模拟试卷144(题后含答案及解析)题型有：1. 选择题 2. 填空题 3. 解答题选择题下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。

1．当x→0时，下列四个无穷小中，哪一个是比其他三个高阶的无穷小（）A．x2B．1—cosxC．D．x —tanx正确答案：D解析：利用等价无穷小代换。

由于x→0时，1—cosx～，所以当x→0时，B、C与A是同阶的无穷小，由排除法知选D。

知识模块：微积分2．设f（x）=|x|sin2x，则使导数存在的最高阶数n=（）A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：故f（3）（0）不存在。

因此n=2，选C。

知识模块：微积分3．设f（x）为可导函数，且满足条件，则曲线y= f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为（）A．2B．—1C．D．—2正确答案：D解析：将题中极限条件两端同乘2，得由导数定义可知，f’（1）=一2，故选D。

知识模块：微积分4．曲线y=（x—1）2（x—3）2的拐点个数为（）A．0B．1C．2D．3正确答案：C解析：对于曲线y，有y’=2（x—1）（x—3）2+2（x—1）2（x—3）=4（x —1）（x—2）（x—3），y”=4[（x—2）（x—3）+（x—1）（x—3）+（x—1）（x—2）]=4（3x2—12x+11），令y”=0，得x1=2—，x2=2+。

又由y”‘= 24（x—2），可得y”‘（x1）≠0，y”‘（x2）≠0，因此曲线有两个拐点，故选C。

知识模块：微积分5．A．B．C．D．正确答案：B解析：这是无界函数的反常积分，x=+1为瑕点，与求定积分一样，作变量替换x=sint，其中故选B。

知识模块：微积分6．设函数z（x，y）由方程确定，其中F为可微函数，且F+’≠0，则A．xB．zC．—xD．—z正确答案：B解析：对已知的等式两边求全微分可得即正确选项为B。

知识模块：微积分7．设函数f（x，y）连续，则二次积分dx∫sinx1f（x，y）dy等于（）A．∫01dy∫π+arcsiny1f（x，y）dxB．∫01dy∫π—arcsiny1f（x，y）dxC．D．正确答案：B解析：由题设可知，≤x≤π，sinx≤y≤1，可转化为0≤y≤1，π—arcsiny ≤x≤π，故应选B。

《微积分》模拟卷一 解答学号：__________ 姓名：___________ 班级：___________一、 选择题： (选出每小题的正确选项，每小题3分，共计15分)1. =-→x x 102lim 。

A. ∞- B. ∞+ C. 0 D. 不存在（参照P59 习题1-6 5）2. 当0x →时，xx x x f +=)(的极限为 。

A. 0 B. 1 C. 2 D. 不存在（参照P54 习题1-5 5）3. 下列极限存在，则成立的是 。

A. )()()(l i m 0a f x a f x a f x '=∆-∆+-→∆B. )0()0()(lim 0f t xf tx f x '=-→ C. )()()(lim 0000x f t t x f t x f t '=+-+→ D. )()()(lim 0a f xa a f x f x '=--→ （参照P94 三个定义式）4. 下列论断正确的是 （ ）。

A. 可导极值点必为驻点B. 极值点必为驻点C. 驻点必为可导极值点D. 驻点必为极值点（参照P163 中间一段文字）5. 若)()(x x f φ'=',则下列各式 成立。

A. 0)()(=-x x f φB. C x x f =-)()(φC. ⎰⎰=)()(x d x f d φD. ⎰⎰=dx x dxd dx x f dx d )()(φ （参照P192 中间一段黑体字）二、填空题：（每小题3分，共15分）1.函数()f x =]3,0[上满足罗尔定理，则定理中的=ξ 。

（P143 习题3-1 1⑵）2. 设)(x f 的一个原函数是xln 1，那么='⎰dx x f )( 。

（参照P210 习题4-3 3）3. 设x xe x f -=)(，那么一阶导函数)(x f '在=x 点取得极 值。

（参照P165 函数的极值）4. 设某商品的需求量Q 是价格P 的函数5Q =-，那么在4=P 的水平上，若价格下降%1，需求量将 。

北语微积分模拟试卷20111. 不是同一个函数的原函数的是（ D. 3ln 2+=x y ）2. 若⎰+=C x F dx x f )()(，则⎰=--dx e f e x x )(（ C. C e F x +-)( ） 3. ⎰=-dx x 321（ B. C x +--32ln 31 ） 4. 下列无穷积分中收敛的是（C. ⎰∞+12d 1x x ） 5. 由曲线和x 轴所围成的平面图形绕x 轴旋转生成的旋转体的体积为（ C. π8 ）6. 当（ C. 11lim <+∞→nn n u u ）时，正项级数∑∞=1n n u 收敛。

7. 下列级数中，（ D. ()-=+∞∑1nn n １ ）收敛。

8. ),(y x f z =在),(000y x P 处),(y x f x ，),(y x f y 存在是函数在该点可微分的（A. 必要条件 ）9. 二元函数225z x y =--的极大值点是（ C. (0,0) ）10. 设z y x u =，则=∂∂)2,2,3(yu （ C. 3ln 324 ） 11. 微分方程2()y x y dx x dy +=是（ B. 一阶齐次方程 ）12. 设 2223z x xy y =+-，则2z x y ∂=∂∂（ B. 3 ） 1. x 是（ B. x 21）的一个原函数。

2. =+⎰-+∞→x dx x xe x x )')sin ((lim（ A. 0 ） 3. ⎰⎰=-+=dx x xf C x dx x f )2()(23，则（ B. C x +--32)2(21 ） 4. 设)(x f 为],[b a 上的连续函数，则⎰⎰-b a ba dt t f dx x f )()(的值（ C. 等于零 ）5. 一圆柱形水池，深为h ，半径为a ，则将其中盛满的水抽出一半与全部抽出所需做的功之比为（ D. 41 ） 6. 幂级数∑∞=12n n n x nn 的收敛半径R=（ B. 21 ） 7. 若f x a x n n n()==∞∑0，则a n =（ A. f n n ()()!0 ） 8. 函数),(y x f 在),(000y x P 连续是),(y x f 在),(000y x P 各一阶偏导数存在的（D. 既非必要也非充分条件）9. 设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f x '(,)32=（ B. 56 ）10. 函数223333y x y x z --+=的极小值点是（ B. （2，2） ）11. 以2312x x y c e c e -=+为通解的二阶线性常系数齐次微分方程为（ D. 60y y y '''+-= ）12. 曲面3=+-xy z e z 在点P (2,1,0)处的切平面方程是（ C. 042=-+y x ）. 1. x 1是)(x f 的一个原函数，则)(x f '=（ A. 32x） 2.=+-=--⎰)()(11x f C e dx e x f x x ，则（ B. 21x - ） 3. ⎰)(cos x xd =（ D. c x x x +-sin cos ）4. 若c x x f x+-=-⎰2e d )(，则)(x f '=（ D. 2e 41x-- ） 5. 心形线)cos 1(θ+=a r 相应于ππ2≤≤x 的一段弧与极轴所围成的平面图形的面积为（ B. 243a π ） 6. 设幂级数()∑∞=-1n n n a x 在点2=x 处收敛，则a 的取值范围为（ C. 31≤<a ） 7. 级数∑∞=⋅1!n n n nn a 收敛时，则（ B. e a < ）8. 设二元函数f (P )=f (x , y ) 的定义域为D ，P 0(x 0, y 0)为D 的聚点, 且P 0∈D ，如果),(),(lim 00),(),(00y x f y x f y x y x =→,则称函数f (x , y )在点P 0(x 0, y 0) （ C. 连续 ）9. 设f x y x y xy x y (,)=+-+-32231，则f y '(,)32=（ C. 42 ）10. 已知()=∂∂+∂∂-=-+yf x f y x y x y x f 则22,（ B. y x 22- ） 11. 若1y 和2y 是0y py qy '''++=(,p q 为常数)的两个特解,则1122y c y c y =+(12,c c 为任意常数)是（ C. 方程的解 ）12. 函数z f x y =(,)在点(,)x y 00处连续是它在该点偏导数存在的（ D. 既非充分又非必要条件 ）二、【填空题】(本大题共6小题，每小题4分，共24分) 请将答案填写在答题卷相应题号处。

微积分综合练习题与参考答案完美版综合练习题1（函数、极限与连续部分）1．填空题（1）函数)2ln(1)(-=x x f 的定义域是 ． 答案：2>x 且3≠x .（2）函数24)2ln(1)(x x x f -++=的定义域是 ．答案：]2,1()1,2(-⋃--（3）函数74)2(2++=+x x x f ，则=)(x f． 答案：3)(2+=x x f（4）若函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<+=0,0,13sin )(x k x xx x f 在0=x 处连续，则=k ．答案：1=k（5）函数x x x f 2)1(2-=-，则=)(x f ．答案：1)(2-=x x f（6）函数1322+--=x x x y 的间断点是 ．答案：1-=x（7）=∞→xx x 1sin lim ．答案：1（8）若2sin 4sin lim0=→kxxx ，则=k ．答案：2=k 2．单项选择题（1）设函数2e e xx y +=-，则该函数是（ ）．A ．奇函数B ．偶函数C ．非奇非偶函数D ．既奇又偶函数 答案：B（2）下列函数中为奇函数是（）．A ．x x sinB ．2e e x x +- C ．)1ln(2x x ++ D ．2x x +答案：C（3）函数)5ln(4+++=x x xy 的定义域为（ ）． A ．5->x B ．4-≠x C ．5->x 且0≠x D ．5->x 且4-≠x答案：D（4）设1)1(2-=+x x f ，则=)(x f （ ）A ．)1(+x xB ．2x C ．)2(-x x D ．)1)(2(-+x x 答案：C（5）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,2)(x k x e x f x 在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：D（6）当=k （ ）时，函数⎩⎨⎧=≠+=0,,1)(2x k x x x f ，在0=x 处连续.A ．0B ．1C ．2D ．1- 答案：B （7）函数233)(2+--=x x x x f 的间断点是（ ）A ．2,1==x xB ．3=xC ．3,2,1===x x xD ．无间断点 答案：A 3．计算题（1）423lim 222-+-→x x x x ． 解：4121lim )2)(2()1)(2(lim 423lim 22222=+-=+---=-+-→→→x x x x x x x x x x x x （2）329lim 223---→x x x x解：234613lim )1)(3()3)(3(lim 329lim 33223==++=+-+-=---→→→x x x x x x x x x x x x（3）4586lim 224+-+-→x x x x x解：3212lim )1)(4()2)(4(lim 4586lim 44224=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x综合练习题2（导数与微分部分）1．填空题 （1）曲线1)(+=x x f 在)2,1(点的切斜率是 ．答案：21 （2）曲线x x f e )(=在)1,0(点的切线方程是 ． 答案：1+=x y（3）已知x x x f 3)(3+=，则)3(f '= ． 答案：3ln 33)(2x x x f +=')3(f '=27（)3ln 1+（4）已知x x f ln )(=，则)(x f ''= ． 答案：x x f 1)(='，)(x f ''=21x- （5）若x x x f -=e )(，则='')0(f．答案：x xx x f --+-=''e e2)(='')0(f 2-（1）若x x f xcos e)(-=，则)0(f '=（ ）．A. 2B. 1C. -1D. -2 因)(cos e cos )e ()cos e()('+'='='---x x x x f x x x)sin (cos e sin e cos e x x x x x x x +-=--=---所以)0(f '1)0sin 0(cos e 0-=+-=-答案：C（2）设y x =lg2，则d y =（ ）． A ．12d x x B ．1d x x ln10 C ．ln10x x d D ．1d xx 答案：B（3）设)(x f y =是可微函数，则=)2(cos d x f （ ）．A ．x x f d )2(cos 2'B ．x x x f d22sin )2(cos 'C ．x x x f d 2sin )2(cos 2'D ．x x x f d22sin )2(cos '- 答案：D（4）若3sin )(a x x f +=，其中a 是常数，则='')(x f （ ）．A ．23cos a x +B ．a x 6sin +C ．x sin -D ．x cos 答案：C3．计算题（1）设xx y 12e =，求y '．解： )1(e e 22121xx x y xx -+=')12(e 1-=x x（2）设x x y 3cos 4sin +=，求y '.解：)sin (cos 34cos 42x x x y -+='x x x 2cos sin 34cos 4-=（3）设xy x 2e 1+=+，求y '. 解：2121(21exx y x -+='+ （4）设x x x y cos ln +=，求y '.解：)sin (cos 12321x x x y -+=' x x tan 2321-=综合练习题3（导数应用部分）1．填空题（1）函数y x =-312()的单调增加区间是 ． 答案：),1(+∞（2）函数1)(2+=ax x f 在区间),0(∞+内单调增加，则a 应满足 ． 答案：0>a2．单项选择题（1）函数2)1(+=x y 在区间)2,2(-是（ ） A ．单调增加 B ．单调减少 C ．先增后减 D ．先减后增 答案：D（2）满足方程0)(='x f 的点一定是函数)(x f y =的（ ）. A ．极值点 B ．最值点 C ．驻点 D ． 间断点 答案：C（3）下列结论中（ ）不正确． A ．)(x f 在0x x =处连续，则一定在0x 处可微. B ．)(x f 在0x x =处不连续，则一定在0x 处不可导. C ．可导函数的极值点一定发生在其驻点上.D ．函数的极值点一定发生在不可导点上. 答案： B（4）下列函数在指定区间(,)-∞+∞上单调增加的是（ ）． A ．x sin B ．xe C ．2xD ．x -3答案：B3．应用题（以几何应用为主）（1）欲做一个底为正方形，容积为108m 3的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为x m ，高为h m ，容器的表面积为y m 2。