2015-2016学年北师大版必修五 基本不等式与最大(小)值 学案

3．4基本不等式教案（第一课时）
一、知识与技能
1.探索并了解基本不等式的证明过程；
2.了解基本不等式的代数及几何背景；
3.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。

通过实例探究抽象基本不等式，体会特殊到一般的数学思想方法。

三、情感态度与价值观
通过对基本不等式成立条件的分析，培养分析问题的能力及严谨的数学态度。

教学重点：1.数形结合的思想理解基本不等式；
2.基本不等式成立的条件及应用。

教学难点：基本不等式成立的条件及应用。

教具准备：投影仪
教学过程。

《基本不等式》导学案学习目标学习难点1探索并了解基本不等式的形成过程； 2掌握用基本不等式求一些实际的应用问题． 3能初步运用求一些函数的最值。

1基本不等式形成过程 2基本不等式的求最值的使用要点自主预习 合作探究 启发引导二、学习过程（一）趣味情景导学（见ppt ）（二）探究“重要不等式”与“基本不等式” 1.自主学习“重要不等式”（1）代数解释：由完全平方差公式0)(2≥=-b a ；得≥+22b a 。

其中a ，b ∈R ；当且仅当a b 时，等号成立。

（2）几何解释：效果检测1：下面是“重要不等式”的两个变式，请同学们说出其成立条件和取等条件。

（1）222c d cd +≥ （2）212x x +≥ 2.小组合作探究“基本不等式”（1）代数解释：（i ）对于“重要不等式”：特别的，当a>0,b>0时.用a 替换a ；用 替换b 可得。

（ii ）或者可以 由0)(2≥=-b a ；移项得ab b a 2≥+，即： ，当且仅当a b 时，等号成立。

（2）几何解释：如右图，直角三角形两直角边分别是a ，b 。

则： 大正方形的面积是______， 4个直角三角形的面积之和是____； 大正方形的面积 （填“大于”或“小于”）4个直角三角形的面积之和； 即有： 。

；（a ，b ∈R ） 当且仅当a=b 时，等号成立。

重要不等式 ab b a 222≥+观察右图：当 时，大正方形的面积等于4个直角三角形的面积之和；即：当且仅当a b 时，等号成立。

ab b a 222>+ ab b a基本不等式2b a ab +≤；（a>0,b>0） 当且仅当a b 时,等号成立。

）（0,02>>+≤b a b a ab（3）对基本不等式的理解效果检测2：下面是“基本不等式”的两个变式，请同学们说出其成立条件和取等条件。

（1）12x x+≥ （2）1)2(≤-⋅x x（三）例题讲解例：（联系生活，解决问题）：例题呈现解题过程小结（1）张先生打算在平地上用篱笆围成一个面积为100平方米的矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时篱笆最省，最短的篱笆是多少？ 解：（2）张先生打算在平地上用36米长篱笆围成一个矩形菜园，这个矩形的长、宽各为多少时菜园面积最大，最大面积是多少？解：基本不等式求最值使用要点：一 、二 、三 。

3.2基本不等式与最大(小)值1．会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题．(重点)2．会用基本不等式解决实际问题．(重点、难点)[基础·初探]教材整理不等式与最大(小)值阅读教材P90～P91“例2”以上部分，完成下列问题．x，y都为正数时，下面的命题成立(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值s2 4；(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2p.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)两个正数的积为定值，它们的和一定能在两个数相等时取得最小值．()(2)函数y＝x＋1x的最小值为2.()(3)若xy＝1，x、y属于正实数，则lg x＋lg y≥0.()【解析】(1)应用基本不等式求最值时还要看等号能否取到．(2)当x＞0时，y＝x＋1x的最小值为2.(3)若xy＝1，则lg x＋lg y＝lg xy＝0.【答案】 (1)× (2)× (3)×[小组合作型]已知x ，y 均为正数，且1x ＋9y ＝1，求x ＋y 的最小值．【精彩点拨】 由于已知条件右边是一定值1，且左边各项均为正数，所以可用代入消元或“1”的代换求解．【尝试解答】 ∵x 、y 均为正数，且1x ＋9y ＝1，∴y ＝9x x －1，且x －1＞0，∴x ＋y ＝x ＋9x x －1＝x 2＋8x x －1＝(x －1)2＋10(x －1)＋9x －1＝(x －1)＋9(x －1)＋10≥2×3＋10＝16， 当且仅当x －1＝9x －1即x ＝4时等号成立， ∴(x ＋y )min ＝16.利用基本不等式求最值时，最重要的是构建“定值”，恰当变形、合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧．[再练一题]1．已知正数x 、y 满足8x ＋1y ＝1，求x ＋2y 的最小值.【导学号：47172040】【解】 ∵x ＞0，y ＞0，8x ＋1y ＝1，∴x ＋2y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫8x ＋1y (x ＋2y )＝10＋x y ＋16y x ≥10＋2x y ·16y x ＝18，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ 8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x ，即⎩⎨⎧x ＝12，y ＝3时等号成立， 故当x ＝12，y ＝3时，(x ＋2y )min ＝18.价格为1 800元，面粉的保管费及其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？【精彩点拨】 先以购买面粉间隔天数为自变量，平均每天支付的总费用为函数值建立函数模型，再利用基本不等式求最值．【尝试解答】 设该厂每隔x 天购买一次面粉，则其每次购买量为6x 吨，由题意可知，面粉的保管费及其他费用为3×[6x ＋6(x －1)＋6(x －2)＋…＋6×1]＝9x (x ＋1)．设平均每天所支付的总费用为y 元，则y ＝1x [9x (x ＋1)＋900]＋6×1 800＝9x ＋900x ＋10 809≥29x ·900x ＋10 809＝10 989，当且仅当9x ＝900x ，即x ＝10时等号成立．故该厂每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．在应用基本不等式解决实际问题时，要注意以下四点：(1)先理解题意，设变量时一般把要求最值的变量定为函数；(2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为函数的最值问题；(3)在定义域内，求出函数的最值；。

3.2 基本不等式与最大（小）值学习目标1. 理解并掌握重要的基本不等式，不等式等号成立的条件;2. 会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题3. 初步掌握不等式证明的方法学习重点会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题学习难点理解并掌握重要的基本不等式使用时注意的条件教学方法引导式教学【自学引导】1．阅读教材P 90—922．利用基本不等式求最值.3．应用均值不等式解决实际问题.4. 自主完成例2，例3.【新知梳理】1．重要不等式：若,a b R ∈，则222a b ab +≥（当且仅当a b =时取等号）的变形：（1）2()4a b ab +≥（2）2222()()a b a b +≥+2．均值不等式：若,a b R +∈，则a b +≥（当且仅当a b =时取等号）的变形：（1）2≥（2）22()a b +≥3．基本不等式与最值已知,x y R +∈若x y s +=（和为定值），则当x y =时，积xy 取得最 值 . 若xy p =（积为定值），则当x y =时，和x y +取得最 值 . 上述命题可归纳得三个注意点：一正，二定，三相等.【存在问题】【例题应用】学生自主完成课本第90-第92页例题2,3【尝试练习】1．（1）若不等式210x ax++≥对一切(0,2]x∈成立，求a范围.（2）若不等式210x ax++≥对一切1(0,]2x∈成立，求a的范围.2．（1）已知,x y R+∈，且191x y+=，求x y+的最小值.（2）求226()(1)1x xf x xx-+=>-+的最小值.【总结引导】1．用均值不等式求最值的注意事项.2．如何有选择性地用重要不等式、均值不等式以及它们的变形来求最值？【目标检测】1．已知01x <<，则(1)x x -取最大值时x 的值为（ ）A ．13B ．12C ．14D ．232．若1a >，则11a a +-的最小值是（ ） A ．2 B ．aC D ．33．已知0,0a b >>，且1a b +=，则11a b+取值范围是（ ） A ．(2,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(4,)+∞D ．[4,)+∞4．设1()21(0)f x x x x=+-<，则()f x 有（ ） A ．有最大值 B ．有最小值C ．是增函数D ．是减函数5．某工厂第一年产量为A ，第二年的增长率为a ，第三年增长率为b ，这两年平均增长率为x ，则（ ）A ．2a b x +=B ．2a b x +≤ C ．2a b x +> D ．2a b x +≥【收获与不足】 参考答案【新知梳理】大 24s 小 【目标检测】。

基本不等式与最大（小）值学案学习目标：能利用基本不等式与最大（小）值。

学习重点、难点：能利用基本不等式与最大（小）值过程中的变形。

学习过程：一、 课前准备 自主学习复习：,a b R +∈，222112a b a b a b a b++++大小关系? 阅读P 90-91 二、新课导入 设置情境：把一段16cm 长细铁丝，弯成形状不同的矩形，边长为4cm 正方形，长为5cm 宽为3cm 的矩形，长为6cm 宽为2cm 的矩形，等… ①试判断那种形状的面积最大； ②如何判断这种情况下面积最大。

1、,x y R +∈,若x y s +=（和s 为定值），当且仅当x y =时，积xy 有最大值且为____________即有__________________2、,x y R +∈,若xy p =（积p 为定值）当且仅当x y =时，和x y +有最大值且为____________即有__________________ 自主测评1、,x y R ∈，且5x y +=，则33x y +的最小值是（ ） A 、0B、C、D、2、下列函数中最小值是2的为（ ）A 、1y x x=+ B 、33x x y -=+C 、1lg (110)lg y x x x=+<< D 、1sin (0)sin 2y x x x π=+<< 3、,x y R +∈，281x y+=，则有xy （ ）A 、最小值64B 、最大值64C 、最小值164D 、最大值12三、巩固应用例1：若,x y R +∈，且2x+5y=20,求lg lg u x y =+的最大值， 变式1、已知2x+5y=20，求2533x y +最小值； 变式2、已知x+3y-2=0,求3271x y ++最小值。

例2：已知1(0),2y x x y x =+>≥证明变式1、已知1(0),2y x x y x =+<≤-证明变式2、已知1(0),2y x x y x=+≠≥证明变式3、函数)1(,14)(>-+=x x x x f 的值域是；若（x ＜1）呢？ 变式4、已知函数[]4()1,4f x x x x=+∈，时，函数最大值m 最小值n ,求m-n例3：已知函数()f x =变式、当x 为何值时，28(1)1x y x x +=>-有最小值 四、总结提升1、利用上述两个结论时实数x,y ,应该满足什么条件；2、若实数x,y 为负，应该如何处理；3、利用上述两个结论时，若和（积）不为定值时应该如何转化。

《基本不等式与最大(小)值》本节的标题明确地说明了基本不等式的作用。

从高考来看，基本不等式一直是个热点，它在不等式的证明和求最大(小)值的过程中有着广泛的应用，它作为一个工具，在电工学、力学、机械设计与制造等方面都有着广泛的应用。

在本节教学过程中，要坚持协同创新的原则，把教材创新，教法创新以及学法创新有机地统一起来。

教师创新的引导，学生创新的探究，才能营造一个有利于创新能力培养的良好环境。

本节的中心任务就是巩固基本不等式的应用。

本节的学习是学生对不等式认知的一次飞跃。

本节的新课标要求是：会用基本不等式解决简单的最大(小)问题。

从历年的高考来看，基本不等式是重点考查的内容之一，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节，且常考常新，大多是大小判断、求最值、求取值范围等。

不等式的灵活证明是将来进入大学不可缺少的技能，同时也是高中数学的一个难点。

题型广泛，涉及面广，证法灵活，备受命题者的青睐，因而成为历届高考中的热点。

【知识与能力目标】 进一步掌握基本不等式ab ba ≥+2(a ＞0，b ＞0)，会用此不等式求某些函数的最大(小)值，能够解决一些简单的实际问题。

【过程与方法目标】通过类比、直觉、发散等探索性思维的培养，激发学生学习数学的兴趣，进一步培养学生的解题能力、创新能力和勇于探索的精神。

【情感态度价值观目标】通过实例的引入及实际问题的探究，使学生认识到数学知识来自实践，并服务于实践，增强学生的应用意识，进一步培养学生联系的辩证唯物主义观点。

【教学重点】用基本不等式求函数的最大(小)值及解决一些简单的实际问题。

【教学难点】基本不等式ab ba≥+2等号成立条件的运用，及应用基本不等式解决实际问题。

电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。

一、导入部分让学生回忆上节课我们探究的基本不等式：如果a ，b 是正数，那么ab ba ≥+2(当且仅当a ＝b 时等号成立)。

在这个不等式中，+2a b为a ，b 的算术平均数，ab 为a ，b 的几何平均数，这样基本不等式就有了几何意义：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。

基本不等式应用教学目标（一）知识与技能：进一步掌握基本不等式ab ba ≥+2，会应用此不等式求某些函数的最值。

（二）过程与方法：，进而归纳总结出一般方法通过学生自己观察、分析最值问题的探究，让、发现解题规律培养学生分析问题、解决问题及归纳能力。

（三）情感态度与价值观：激发学生学习和应用数学知识的兴趣，培养严谨的科学态度。

（四）数学核心素养：数学抽象、逻辑推理、数学运算 教学重点利用基本不等式求最值的基本方法和技巧 教学难点构造基本不等式的形式的方法，及不等式成立的条件 教学过程 一．知识梳理1.重要不等式（1）若R b a ∈,，则ab b a 222≥+(2)若R b a ∈,，则222b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”）2.基本不等式(1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2(2)若*,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=”）(3)若*,R b a ∈，则22⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.常见结构（1）若0x >，则12x x +≥ (当且仅当1x =时取“=”）;若0x <，则12x x+≤- (当且仅当1x =-时取“=”）（2）若0>ab ，则2≥+ab b a (当且仅当b a =时取“=”）注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定值时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”．（2）求最值的条件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用．二．典例探究最值问题 例1（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值 （2） 当时，求(82)y x x =-的最大值解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1(42)45x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项，5,5404x x <∴->，11425434554y x x x x ⎛⎫∴=-+=--++ ⎪--⎝⎭231≤-+=当且仅当15454x x-=-，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。

第2课时 基本不等式及其应用【学习目标】1． 理解均值定理及均值不等式的证明过程2． 能应用均值不等式解决最值、证明不等式、比较大小、求取值范围等问题3． 在使用均值不等式过程中，要注意定理成立的条件，为能使用定理解题，要采用配凑的方法，创造条件应用均值不等式。

4． 通过运用基本不等式解决实际应用性问题，提高应用数学手段解决实际问题的能力与意识。

【学习重点】应用数形结合的思想理解基本不等式【学习难点】应用基本不等式求最大值和最小值[自主学习]1．基本不等式2,0,a R a ∈≥0a ≥222()22a b a b ++≥， 222a b c ab bc ac ++≥++若a>b>0,m>0,则 b b m a a m+<+； 若a,b 同号且a>b 则11a b<。

ab b a R b a 2,,22≥+∈则2．均值不等式: 两个正数的均值不等式：ab b a ≥+2 变形ab b a 2≥+，22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭等。

3．最值定理:设,0,x y x y >+≥由（1）如果x,y 是正数,且积(xy P =是定值）,则xy 时,x y +和有最小值 （2）如果x,y 是正数和(x y S +=是定值）,则x=y 时,22Sxy 积有最大值（） 运用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等4．利用均值不等式可以证明不等式，求最值、取值范围，比较大小等。

[课前热身]1. 已知,x y R +∈，且41x y +=，则x y ⋅的最大值为 .2. 若0,0x y >>1x y +=,则41x y+的最小值为 ． 3. 已知：0>>x y ，且1=xy ，则22x y x y+-的最小值是 . 4. 已知下列四个结论①当2lg 1lg ,10≥+≠>x x x x 时且；②02x >≥当时； ③x x x 1,2+≥时当的最小值为2；④当xx x 1,20-≤<时无最大值. 则其中正确的个数为[典型例析]例1（1）已知54x <，求函数14245y x x =-+-的最大值. （2）求函数1422++=x x y 的最小值求22242y x x =--+的最大值.变式训练（1）已知x 、y 为正实数，且121+=x y，求x+y 的最小值。