双曲线及其标准方程(1)的教学设计

良机网首页高中青年数学教师优秀课教案:双曲线及其标准方程(一)高中青年数学教师优秀课教案：双曲线及其标准方程（一）教学目标：（1）知识与技能：与椭圆定义类比，深刻理解双曲线的定义并能独立推导出双曲线标准方程；（2）过程与方法：通过定义及标准方程的深刻开采与探究，使学生进一步体验认识类比发现及数形结合等思想方法的运用，提高学生的不雅察与探究能力；（3）情感态度与价值不雅：通过教师指导下的学生交流探索勾当，发学生的学习兴趣，培养学生用联系的不雅点认识问题。

教学重点：双曲线的定义、标准方程及其简单应用教学难点：双曲线定义中关于绝对值，2a<2c的理解授课类型：新授课课时安排：1课时教具：多电视台，一根拉链，小夹子教学过程：一、复习提问师：椭圆定义是什么？生：最简单的面内与两个定点的间隔之和等于常数（大于）的点的轨迹叫作椭圆。

（幻灯片展示椭圆图形及其定义）二、新课引入1、设问师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于常数的点的轨迹是什么？学生思虑（老师在黑板上画出两个点,使F1在左侧,F2在右侧.记=2c,2c>0）。

师：在椭圆里到两个定点的间隔的和这个常数是正数，那么，最简单的面内到两定点的差这个常数还一定是正数吗生：不一定。

师：多是什么数呢？（学生甲回答：是正数，负数或零）师：当常数是零时动点的轨迹是什么？生：是线段F1F2的中垂线。

老师做出的中垂线。

师：当常数是正数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的右侧。

师：当常数是负数时的点的位置在什么地方？生：在线段F1F2的中垂线的左侧。

师：最简单的面内与两个定点的间隔之差等于非零常数的点的轨迹究竟是是什么呢？我们一路做一个实验来探索。

2、实验：（师生共同完成）道具：一根拉链详细作法：老师在拉开的拉链双侧各取一点打结（实验前已经丈量好，使两结之间的间隔小于两定点间的间隔），请两位同学协助将两点别离固定在定点F1，F2处，使拉链头在的上方。

第二单元双曲线一、内容和内容解析（一）内容双曲线的概念、双曲线的标准方程、双曲线的简单几何性质本单元内容结构图如下：（二）内容解析1.内容本质：本单元的内容本质是在双曲线的几何情境中，类比椭圆，抽象出第二个圆锥曲线即双曲线的概念，并研究其几何特征，在直角坐标系中，推导双曲线的标准方程，再利用标准方程研究其几何性质，并利用它们解决一些简单的实际问题.2.蕴含的思想方法：本单元的思想方法主要是坐标法和数形结合的思想.类比椭圆的定义、标准方程和几何性质的研究方法，得出双曲线的定义、标准方程和几何性质，蕴含了数学研究的重要思想方法：类比.3.知识的上下位关系：本单元是在研究椭圆方程和几何性质的基础上，对解析法研究圆锥曲线内容的进一步深化和提高，是研究圆锥曲线的一个组成部分，为下一单元抛物线的学习做准备。

所以说本单元的作用就是纵向承接椭圆定义和标准方程的研究，横向加深对双曲线的标准方程及简单几何性质的理解与应用.4.育人价值：通过对双曲线的定义的理解，标准方程的推导和几何性质的研究，发展学生的数学抽象、数学运算等数学核心素养，使学生在掌握知识与技能的同时，体悟知识所蕴含的数学思想和方法，积累数学地思考问题和解决问题的经验，发展理性思维.5.教学重点：解析法研究双曲线的几何特征与性质二、目标及其解析（一）单元目标1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程．2．了解双曲线的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线)．3．了解双曲线的简单应用．4．理解数形结合思想．（二）目标解析达成上述目标的标志是:1.能够利用双曲线的定义辨识什么样的轨迹是双曲线，由所给条件会求双曲线的标准方程．2．能用集合的眼光观察出双曲线的范围、对称性、顶点、离心率、渐近线等几何性质，并能结合方程的特点理解这些几何性质．3．能解决与双曲线有关的简单应用问题．三、教学问题诊断分析1.从课程标准角度来讲，双曲线的定义、标准方程作为了解内容，在高考的考查当中以选择、填空为主。

《双曲线及其标准方程》教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其几何性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其应用。

2. 过程与方法：（1）通过观察图形，培养学生的空间想象能力；（2）利用代数方法，求解双曲线的标准方程。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学知识的兴趣；（2）培养学生的团队合作精神，提高解决问题的能力。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其几何性质；（2）双曲线的标准方程及其应用。

2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求解过程；（2）理解双曲线几何性质与标准方程之间的关系。

三、教学准备1. 教具：黑板、粉笔、多媒体教学设备；2. 学具：教材、笔记本、作图工具。

四、教学过程1. 导入新课（1）复习相关知识：椭圆的定义及其标准方程；（2）提问：椭圆与双曲线有什么关系？它们在几何性质上有什么区别？2. 自主学习（1）学生自主阅读教材，了解双曲线的定义及其几何性质；3. 合作探究（1）学生分组讨论，探究双曲线的标准方程及其求解方法；4. 课堂讲解（1）讲解双曲线的定义及其几何性质；（2）讲解双曲线的标准方程及其求解过程。

5. 巩固练习（1）学生完成课后练习题，巩固所学知识；（2）教师点评练习题，解答学生疑问。

五、课后作业1. 完成教材课后练习题；2. 调查生活中有关双曲线应用的实例，下节课分享。

六、教学拓展1. 对比椭圆、双曲线在几何性质上的异同，引导学生思考它们的联系和应用场景。

2. 介绍双曲线在其他领域的应用，如物理学中的电磁波传播、天文学中的星系运动等。

七、课堂小结2. 强调双曲线在实际应用中的重要性。

八、教学反思1. 教师对本节课的教学内容、教学方法进行反思，思考如何提高教学效果。

九、课后跟进1. 教师通过批改作业，了解学生对双曲线知识的掌握情况，针对性地进行辅导。

2. 学生根据课堂学习和课后练习，查漏补缺，巩固双曲线知识。

十、教学评价1. 学生对本节课的学习情况进行自我评价，反思自己在学习过程中的表现。

双曲线的标准方程教案一、教学目标1. 知识与技能：（1）理解双曲线的定义及其性质；（2）掌握双曲线的标准方程及其变形；（3）能够运用双曲线的标准方程解决实际问题。

2. 过程与方法：（1）通过观察双曲线的图形，培养学生的空间想象能力；（2）利用公式法、图形法求解双曲线的标准方程，提高学生的解决问题的能力；（3）通过小组讨论，培养学生的合作交流能力。

3. 情感态度与价值观：（1）激发学生对数学的兴趣，培养其对数学美的感受；（2）培养学生勇于探索、积极思考的科学精神。

二、教学重点与难点1. 教学重点：（1）双曲线的定义及其性质；（2）双曲线的标准方程及其变形。

2. 教学难点：（1）双曲线标准方程的求解方法；（2）运用双曲线标准方程解决实际问题。

三、教学过程1. 导入新课：（1）复习椭圆的标准方程，引导学生对比椭圆、双曲线的关系；（2）提问：双曲线的标准方程是什么？双曲线有哪些基本性质？2. 知识讲解：（1）讲解双曲线的定义及其性质；（2）引入双曲线的标准方程，讲解其含义及求解方法；（3）通过示例，演示双曲线标准方程的求解过程。

3. 课堂互动：（1）学生自主探究：利用公式法、图形法求解双曲线的标准方程；（2）小组讨论：总结双曲线标准方程的求解方法，探讨实际应用案例。

四、课堂练习（1）x^2 y^2 = 4；（2）\frac{x^2}{4} \frac{y^2}{3} = 1。

2. 运用双曲线的标准方程，解决实际问题。

五、课后作业1. 复习双曲线的标准方程及其变形；2. 练习求解各类双曲线的标准方程；3. 探索双曲线在实际问题中的应用。

六、教学拓展1. 对比双曲线与椭圆的标准方程，探讨它们之间的关系；2. 引导学生思考：双曲线的标准方程在实际应用中有什么意义？七、课堂小结1. 回顾本节课所学内容，总结双曲线的标准方程及其求解方法；2. 强调双曲线标准方程在实际问题中的应用价值。

八、教学反思1. 反思本节课的教学过程，分析学生的掌握情况；2. 对教学方法进行调整，以提高学生的学习效果。

双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解下面是整理的双曲线教学设计共3篇双曲线课程讲解，以供参考。

双曲线教学设计共1双曲线及其标准方程教学设计一.教学目标: 1.知识目标:掌握双曲线的定义并会推导其方程.2.能力目标:能根据已知条件,选择恰当的形式的双曲线方程解题;加深对类比,化简,分类讨论的思想的理解与运用.3.情感目标:利用教学内容促进学生对量变,质变规律的理解和对学生进行爱国主义教育.二.教学重点与难点分析: 本节的教学重点是准确理解双曲线的定义.本节的教学难点是选择恰当的双曲线方程解题.三.教学方法和学习方法的设计: 教法:1.在教学目标的指导下,采用”信息环境下情境性问题解决”教学模式实施教学.这种方法是以问题为中心,以学生主动探索数学知识和强化创新意识为主要特征的探究型教学方式.在探索过程中经历”提出问题———分析问题———分组讨论———提炼总结———深化反思”五个不同的教学环节.在整个教学过程中,教师利用问题引路,学生独立思考和分组讨论,从而自己解决问题.2.通过课件和动画展示数学知识的发生﹑发展过程;帮助学生理解抽象的数学概念;借助信息技术实现数学思维的“再现”.学法:在教师的组织,点拨,引导作用下,通过学生积极思考,大胆想象,总结规律,自己不能解决的问题通过小组讨论解决,充分发挥他们的主体作用,让学生置身于提出问题﹑思考问题﹑解决问题的动态过程中.四.媒体选择:多媒体课件.39五.教学过程设计: 探索问题一: 定圆圆O1内含于定圆圆O2,当圆M与圆O2内切而与圆O1外切时, 圆M的圆心M的轨迹是什么曲线? 学生: 是椭圆.教师: 面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.若将“距离之和”改为“距离之———差”.那将会出现什么情况呢? 探索问题二: 设圆O1,圆O2外离,其半径分别为r1,r2.动圆圆M与圆O1内切而与圆O2外切,求动圆M的圆心M的轨迹又是什么曲线? 分析: 设动圆M半径为r,有O2M?O1M??r2?rr?r1??r1?r2 教师: 谁能画出点M的轨迹?(没反应)困难在哪里呢? 学生: 动圆M有无数个,画起来困难.所以点M的轨迹画不出来! (课件演示) 教师:原来点M的轨迹是一条开口向左的,向外伸展的不封闭的一条曲线,这是单曲线吗?:是否还有其他情况? 学生:如果圆M与圆O1外切而与圆O2内切情况会怎样? 此时, O1M?O2M??r1?rr?r2??r1?r2.大概是开口向右的一条曲线吧.课件演示.教师:我们把上述两条曲线称为双曲线(演示课件).请给出双曲线的定义.学生:平面内与两个定点的距离的差的绝对值是常数的点的轨迹.教师:好.请看——(课件演示)当圆O1与圆O2外切时,虽然MO1?MO2?r1?r2?O1O2,但点在线段O1O2的两侧,是两条射线.动点M必定满足一个什么样的特定条件? 40学生:应在前面的叙述中,在”常数”后加上附加条件”小于O1O2”.教师:如果这个常数为0呢?这时点的轨迹是什么? 学生:平面内与两个定点O1,O2的距离的差的绝对值是0的点的轨迹是线段O1O2的垂直平分线.所以这个常数不能为0.教师:这就完整了.称O1,O2为双曲线的焦点.它与椭圆定义比较又有和联系呢? 学生:在椭圆定义中,由三角形两边之和大于第三边的要求,而双曲线的定义中应满足三角形的两边之差的绝对值小于第三边的要求.教师:如此复杂的曲线和平面几何中最简单的结论紧密联系,这充分反映了事物间的和谐的本质属性.问题延伸: 教师:利用平面直角坐标系,我们可以求出该曲线方程,这就是数形结合的思想.问题是如何建立平面直角坐标系? 学生:以O1,O2所在的直线为x轴,线段O1O2的中垂线为y轴,建立直角坐标系.教师:为什么不以O1或O2为原点建立直角坐标系呢? 学生:那样的话, O1与O2就不能关于y轴对称,从前面我们学习的椭圆方程的推导过程中知道,所得的方程较繁.教师:对.请同学们自行推导双曲线方程.(学生推演,教师归纳).教师:同学们都能得出方程?c2?a2?x2?a2y2??c2?a2?a2.仿照推导椭圆方程的方法.可x2y2令c?a?b.则得焦点在x轴上的双曲线方程: 2?2?1.类似地,当焦点在y轴上ab222时,(或者说以O1O2所在的直线为y轴.线段O1O2的中垂线为x轴建立直角坐标系).双曲线的方程是———y2x2 学生: 2?2?1ab 41教师:它们都是双曲线的标准方程.焦点在二次项系数为正的字母所表示的轴上.思考问题一: 例1.(1)已知双曲线两个焦点的坐标为F1??5,0?,F2?5,0?,双曲线上一点P到F1,F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.(2)已知双曲线的中心是坐标原点,焦点在y轴上,焦距为12,且经过点P?2,?5?,求双曲线的方程.(3).求过点A2,43和B?2,?4的双曲线标准方程.(第(1),(2)小题为课本的例习题.) (请三位同学板演,再请三位同学讲评.第(1),(2)小题略.第3小题不少学生仍分焦点在x,y轴的情况求解.过程较繁.) 学生:第(3)题他解对了,但比较繁.我认为只要设mx2?ny2?1.然后把两点坐标分别代入,1得到两个二元一次方程组成的方程组,解得m?1, n??,表明它是双曲线,同时表示不6存在过这两点的椭圆.教师:对!讲得有道理.求中心在原点的椭圆.双曲线标准方程,只需两个独立变量.这是它们的本质属性.理解这一点,解题运算量就小多了.教师:上述图形的变化过程反映了事物在一定范围内由量的积累引起质的变化情况.它包括了目前我们所学的几种曲线.现在让我们来了解双曲线在军事上的一些应用.思考问题二:一炮弹在某处爆炸,在A处听到爆炸声的时间比在B处晚2s.(1)爆炸点应在什么样的曲线上? (2)已知A,B两地相距800m,并且此时声速为340ms,求曲线的方程.(3)要想确定爆炸点的准确位置.应采取什么措施? (学生分组讨论.教师巡视指导.把学生解答用投影仪展示.) 学生(1)由声速及A,B两处听到爆炸声的时间差为2s,可知A,B两处与爆炸点的距离的42差为PA?PB?680?800,因此爆炸点应该位于以A,B为焦点的双曲线上.因为爆炸点离A处比离B处更远,所以爆炸点应在靠近B处的一支上.(2)如图,建立直角坐标系xoy,使A,B两点在x轴上,并且点O与线段AB中点重合.设爆炸点P的坐标为?x,y?.则PA?PB?340?2?680 ?AB 即2a?680,a?340.又AB?800 所以2c?800,c?400b2?c2?a2?因为PA?PB?680?0 所以x?0.x2y2所求双曲线方程为??1(x?0)(3).利用两个不同的观测点侧得同一炮弹爆炸声的时间差,可以确定爆炸点所在的双曲线的方程但不能确定爆炸点的准确位置.如果再增设一个观测点C,利用B, C (或A, C)两处侧得的爆炸声的时间差,可以求出另一个双曲线的方程.解这两个方程组成的方程组,就可以确定爆炸点的准确位置.变式一:若将“在A处听到爆炸声的时间比在B 处晚2s”改为“在A处听到爆炸声的时间比在B处晚40s”那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 17变式二:若将“A,B两地相距800m”改为“A,B两地相距600m” 那么爆炸点P应在什么样的曲线上? 变式三:假若在A,B两处同时听到爆炸声, 那么爆炸点P又在怎样的曲线上呢? 六.小结: 1.双曲线的定义,关键词是绝对值的差小于F1F2.432.求双曲线方程要注意选择方程的形式,以简化计算.3.主要思想方法有类比思想及特殊与一般量变与质变的辨证关系.七.教学效果: 这节课充分发挥了多媒体教学的优势,教学设计充分体现”主导----主体”现代教学思想,彻底地改变了传统教学过程汇总学生被动接受知识的状态,学生能够自主探索获取知识,愿意学习也学会学习;学生主动参与的意识提高了.通过多媒体教学,教师把学生引上探索问题之路,调动了每一个学生学习的主动性和创造性,体现了学生的主体地位,有利于学生潜能的开发和创造性思维的培养.44双曲线教学设计共2双曲线及其标准方程一、学习目标：【知识与技能】:1、通过教学,使学生熟记双曲线的定义及其标准方程,并理解这一定义及其标准方程的探索推导过程.2、理解并熟记双曲线的焦点位置与两类标准方程之间的对应关系.【过程与方法】: 通过“实验观察”、“思考探究”与“合作交流”等一系列数学活动,培养学生观察、类比、分析、概括的能力以及逻辑思维的能力,使学生学会数学思考与推理,学会反思与感悟,形成良好的数学观.【情感、态度与价值观】: 通过实例的引入和剖析,让学生再一次感受到数学来源于实践又反作用于实践;生活中处处有数学.二、学情分析：1、在学生已学习椭圆的定义及其标准方程和掌握“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念之后,学习双曲线定义及其标准方程,符合学生的认知规律,学生有能力学好本节内容;2、由于学生数学运算能力不强,分析问题、解决问题的能力,逻辑推理能力,思维能力都比较弱,所以在设计的时候往往要多作铺垫,扫清他们学习上的障碍,保护他们学习的积极性,增强学习的主动性.三、重点难点：教学重点:双曲线的定义、标准方程教学难点:双曲线定义中关于绝对值,2a三、教学过程：【导入】1、以平面截圆锥为模型，让学生认识双曲线，认识圆锥曲线；2、观察生活中的双曲线；【设计意图:让学生对圆锥曲线整体有所把握,体会数学来源于生活.】探究一活动1：类比椭圆的学习，思考：研究双曲线，应该研究什么？怎么研究？从而掌握本节课的主线：实验、双曲线的定义、建系、求双曲线的标准方程；活动二：数学实验：(1)取一条拉链，拉开它的一部分，(2)在拉链拉开的两边上各取一点，分别固定在点F1，F2 上，(3)把笔尖放在拉头点M处，随着拉链逐渐拉开或者闭拢，笔尖所经过的点就画出一条曲线。

双曲线及其标准方程教学设计《双曲线及其标准方程教学设计》一、教学目标：1. 理解双曲线的定义及其与椭圆、抛物线的区别。

2. 掌握双曲线的基本方程及相关公式。

3. 能够根据给定的条件，绘制双曲线图像。

4. 进一步培养学生的逻辑思维和解题能力。

二、教学内容：1. 双曲线的定义和性质介绍。

2. 双曲线的标准方程及其推导。

3. 双曲线的图像绘制。

4. 双曲线的相关公式和性质。

三、教学步骤：步骤一：引入通过生活实际中双曲线的例子，如天文望远镜、人脸轮廓等，引入双曲线的概念。

与椭圆和抛物线进行对比，强调它们的差异性。

步骤二：定义和性质介绍1. 定义：讲解双曲线的定义，即平面上到两个焦点的距离之差为常数的点构成的曲线。

2. 性质介绍：介绍双曲线的主轴、焦点、顶点、渐近线等基本概念。

步骤三：标准方程及其推导1. 双曲线的标准方程：介绍双曲线的标准方程，并利用焦点、准线等性质进行推导。

2. 标准方程的变形：讲解标准方程的不同形式，如椭圆形式、抛物线形式等。

步骤四：图像绘制1. 讲解双曲线图像的绘制方法，包括选取适当的坐标系、确定焦点等步骤。

2. 通过实例演示，引导学生绘制双曲线的图像。

步骤五：相关公式和性质1. 讲解双曲线的离心率、矩形面积公式等相关公式。

2. 引导学生通过具体例题，探索双曲线的性质，如对称性、渐近线等。

四、教学方法：1. 演讲法：通过讲解双曲线的定义、性质和推导过程，确保学生获得基本概念和知识。

2. 案例分析法：通过给出实例，引导学生进行图像绘制和解题，培养学生的综合运用能力。

3. 讨论交流法：增加学生的参与度，通过小组或全班讨论，激发学生的思考和互动。

五、教学评价与反馈：1. 实时评价：通过课堂练习、问题互动等方式，及时了解学生的学习情况，发现问题和困难。

2. 练习作业：布置双曲线的习题，要求学生独立解答和绘图，检验他们对所学知识的掌握程度。

3. 反馈与讨论：对学生的作业进行批改和评价，及时反馈学生的学习表现，鼓励他们分享解题思路和经验。

《双曲线及其标准方程》教学设计第1课时“双曲线及其标准方程”是在讲完了“圆的方程”“椭圆及其标准方程”之后，学习的又一类圆锥曲线知识，也是中学解析几何的学习中最重要的内容之一，它在社会生产、日常生活和科学技术等领域有着广泛的应用，也是大纲中明确要求学生必须熟练掌握的重要内容．双曲线的定义、标准方程与椭圆类似，教科书的处理方法也相仿，也就是说，本小节在数学思想和方法上没有新内容，因此，这一小节的教学可以参照第2.2.1节进行．教学中要着重对比椭圆与双曲线的相同点和不同点，特别是它们的不同点．课时分配本节内容分两课时完成．第1课时讲解双曲线的定义，要求学生类比椭圆标准方程的推导过程推导双曲线的标准方程；第2课时讲解运用双曲线的定义及其标准方程解题．1．使学生掌握双曲线的定义，理解双曲线标准方程的推导过程，能根据条件确定双曲线的标准方程．2．在与椭圆的类比中，掌握双曲线的标准方程的推导方法，增强合作学习能力和运用所学知识解决实际问题的能力；培养学生运用类比、数形结合思想解决问题的能力．教学重点：双曲线的定义和双曲线的标准方程．教学难点：双曲线标准方程的推导．复习引入1．椭圆的定义平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距．2．椭圆的标准方程（1）焦点在x 轴x 2a 2＋y 2b 2＝1，（a >b >0）；（2）焦点在y 轴y 2a 2＋x 2b 2＝1，（a >b >0）．3．a 、b 、c 之间有何种关系？ a 2＝c 2＋b 2． 探究新知探究：如果把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”，那么点的轨迹会发生什么变化？用几何画板演示拉链的轨迹：（A ） （B ）活动成果：以上两条曲线合起来叫做双曲线，每一条叫做双曲线的一支． 下面请同学们思考以下问题：设问：①定点与动点不在同一平面内，能否得到双曲线？ ②两条曲线中到“两定点的距离的差”有什么关系？③这个常数是否会大于或等于两定点间的距离？（几何画板演示当常数等于|F 1F 2|及常数大于|F 1F 2|时的点的轨迹，帮助学生理解）请学生回答：1．不能．指出必须“在平面内”．2．到两定点的距离的差的绝对值相等，否则只表示双曲线的一支，且到两定点的距离的差的绝对值为一个常数，即||MF 1|－|MF 2||＝2a ．3．应小于两定点间距离且大于零．当常数等于|F 1F 2|时，轨迹是以F 1、F 2为端点的两条射线；当常数大于|F 1F 2|时，无轨迹．活动设计：小组讨论，实验演示，通过提出问题，让学生讨论问题，并尝试解决问题．让学生了解双曲线的前提条件，并培养学生的全面思考能力．感受曲线，解读演示得到的图形是双曲线（一部分）．提出问题：类比椭圆的定义，给出双曲线的定义．活动设计：学生先独立思考，教师加以引导，与椭圆有一个类比，允许学生自愿合作、讨论、交流．学情预测：学生的回答可能不全面、不准确，我们可以用几何画板演示学生的回答，让他们发现问题，然后不断补充、纠正，趋于完善．活动成果：师生共同概括出双曲线的定义：平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．（在归纳定义时强调定义要满足三个条件：在平面内、任意一点到两个定点的距离的差的绝对值等于常数、常数小于|F1F2|且大于零）下面我们类比椭圆方程的推导，选择适当的坐标系，建立双曲线方程．为今后通过方程研究双曲线的性质做好准备．提出问题：求椭圆方程的步骤是什么？活动结果：建系、设点、列式、化简．（学生回答，教师板书）提出问题：和椭圆类似，我们应如何建立坐标系，使求出的方程更为简单？活动设计：学生先独立思考，类比椭圆找到两种简单的建系方法，并找学生到黑板板演，教师巡视指导其他学生，必要时给板演的学生给予指导．（推导过程以焦点在x轴上为例）学生板演，先请学生评讲，教师再评讲．以线段F1F2的中点为原点，直线F1F2为x轴，建立直角坐标系．设P（x，y）是双曲线上任意一点，双曲线的焦距为2c（c>0），那么，焦点F1，F2的坐标分别是（－c，0），（c，0），又设点P与F1，F2的距离的差的绝对值等于常数2a．则有：x－c2＋y2－x＋c2＋y2＝±2a，①移项，得x＋c2＋y2＝x－c2＋y2±2a．两边平方，得x－c2＋y2＝|a－ca x|．②②式再两边平方并整理得（c2－a2）x2－a2y2＝a2（c2－a2），（※）根据双曲线的定义c＞a，c2－a2＞0．设b2＝c2－a2，代入上式，得x2a2－y2b2＝1．这个方程叫做双曲线的标准方程，它所表示的双曲线的焦点在x轴上，焦点坐标是F1（－c，0）、F2（c，0）．学情预测：一般情况下，得到方程（※）后，学生会类比椭圆设b2＝c2－a2，但要注意证明的严密性，帮助学生在证明过程中完善步骤．提出问题：设此方案中的双曲线与x 轴的交点分别为A 1，A 2，同学们都知道a ，c 的含义，你能从图形中找到长度分别等于a ，c 的线段吗？学情预测：估计得出c ＝|F 1F 2|2＝|OF 1|＝|OF 2|，a ＝|A 1A 2|2＝|OA 1|＝|OA 2|应当不会有问题．提出问题：你能在y 轴上找一点B ，使得|OB |＝b 吗？学情预测：学生会发现在y 轴的正负半轴上各有一个这样的点，我们分别设为B 1，B 2，则|B 2A 1|＝|B 2A 2|＝c ＝|B 1A 1|＝|B 1A 2|．这样，因为△B 2OA 2为直角三角形，且|B 2A 2|＝c ，|OA 2|＝a ，所以，c 2－a 2＝|OB 2|2．因此，方程（※）中的c 2－a 2有明显的几何意义．提出问题：如果以F 1，F 2所在直线为y 轴，线段F 1F 2的垂直平分线为x 轴，建立直角坐标系，焦点是F 1（0，－c ），F 2（0，c ），双曲线的方程又如何呢？类比椭圆，如果双曲线的焦点在y 轴上，把方程x 2a 2－y 2b 2＝1中的x 、y 互换，得到它的方程为y 2a 2－x 2b2＝1，这也是双曲线的标准方程．双曲线的标准方程有两个．教师应指出：我们所得的两个方程x 2a 2－y 2b 2＝1和y 2a 2－x 2b 2＝1（a >0，b >0）都是双曲线的标准方程．提出问题：已知双曲线标准方程，如何判断焦点位置？活动设计：学生先独立思考，当然，学生自愿合作讨论的也允许． 活动结果：看x 2，y 2的系数，哪个系数为正就在哪一条轴上． 练习：写出以下双曲线的焦点坐标．1．x 216－y 29＝1 2．x 29－y 216＝1 F （±5，0） 3．y 216－x 29＝1 4．y 29－x 216＝1 F （0，±5） 理解新知1．观察双曲线的图形及其标准方程，师生共同总结归纳：（1）双曲线标准方程对应的双曲线中心在原点，以焦点所在轴为坐标轴； （2）双曲线标准方程形式：左边是两个分式的平方差，右边是1；（3）双曲线标准方程中三个参数a ，b ，c 的关系：c 2＝a 2＋b 2（a >0，b >0）； （4）双曲线焦点的位置由标准方程中x 2，y 2的系数的正负确定； （5）求双曲线标准方程时，可运用待定系数法求出a ，b 的值．2．在归纳总结的基础上填下表．c2＝a2＋b2c2＝a2＋b2（±c，0）（0，±c）在x轴上在y轴上3．双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系？运用新知例题研讨，变式精析1判断下列方程是否表示双曲线，若是，求出三个量a，b，c的值．①x24－y22＝1，②x22－y22＝1，③x24－y22＝－1，④4y2－9x2＝36．思路分析：双曲线标准方程的形式：平方差，x2项的系数是正的，那么焦点在x轴上，x2项的分母是a2；y2项的系数是正的，那么焦点在y轴上，y2项的分母是a2．解：①是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；②是双曲线，a＝2，b＝2，c＝2；③是双曲线，a＝2，b＝2，c＝6；④是双曲线，a ＝3，b ＝2，c ＝13．2已知双曲线的焦点为F 1（－5，0），F 2（5，0），双曲线上一点P 到F 1、F 2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程．思路分析：巩固双曲线的标准方程，解题思路是寻找两个定值a ，c ．用待定系数法求出双曲线的标准方程．解：∵双曲线的焦点在x 轴上，∴设它的标准方程为 x 2a 2－y 2b 2＝1（a >0，b >0）． 根据题意知2a ＝6，2c ＝10． ∴a ＝3，c ＝5 ∴b 2＝52－32＝16．∴所求双曲线的标准方程为x 29－y 216＝1．点评：焦点定位，a 、b 、c 三者知二定形．变练演编提出问题：请解答下列问题：1．已知双曲线x 216－y 29＝1，你可以得到哪些结论？（把你能得到的结论都写出来）2．已知a ＝2，c ＝4，则你可以得到双曲线的哪些结论？（把你能得到的结论都写出来） 3．已知a ＝4，______________，可以求得双曲线的标准方程为y 216－x 29＝1，则题中横线上需要添加什么样的条件？活动设计：学生先独立探索，允许互相交流成果．然后，全班交流． 学情预测：1．a ＝4，b ＝3，c ＝5，两焦点坐标为（－5，0），（5，0）． 2．b ＝23，双曲线的标准方程为x 24－y 212＝1或y 24－x 212＝1等．3．b ＝3，且焦点在y 轴上；或c ＝5，且焦点在y 轴上；或一个焦点坐标为（0，5）（答案很多）．设计意图：设置本组开放性问题，意在增加问题的多样性、有趣性、探索性和挑战性，训练学生思维的发散性、收敛性、灵活性和深刻性，长期坚持，不仅会加深学生对数学的理解、掌握，而且会潜移默化地学会编题、解题，更会把学生的基础知识巩固得更广、更深．达标检测1．求a ＝4，b ＝3，焦点在x 轴上的双曲线的标准方程．2．求a ＝25，经过点（2，－5），焦点在y 轴上的双曲线的标准方程． 3．证明椭圆9x 2＋25y 2＝225与双曲线x 2－15y 2＝15的焦点相同．4．若方程x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线，则角α所在象限是（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 5．设双曲线x 216－y 29＝1上的点P 到点（5，0）的距离为15，则P 点到（－5，0）的距离是…（ ）A ．7B ．23C ．5或23D ．7或23 答案：1．x 216－y 29＝1；2．y 220－x 216＝1； 3.9x 2＋25y 2＝225 x 225＋y 29＝1 F （±4，0）．x 2－15y 2＝15x 215－y 2＝1 F （±4，0）；4．D x 2sinα＋y 2cosα＝1表示焦点在y 轴上的双曲线⎩⎨⎧sinα<0cosα>0α在第四象限，所以选D ．5．D |d －15|＝2a ＝8 d ＝7或23．课堂小结知识整理，形成系统（由学生归纳，教师完善） （1）双曲线的定义（与椭圆的区别） （2）标准方程（两种形式）（3）焦点位置的判断（与椭圆的区别） （4）a 、b 、 c 的关系（与椭圆的区别）让学生对本节课进行总结．目的是帮助他们认清这节课的知识结构， 培养他们的归纳总结能力．作业布置教材习题2.3 A 组第1题，第2（1）题． 补充练习 基础练习 1．填空题：（1） x 252－y 232＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（2）x 242－y 262＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ；（3）x 29－y 24＝1，则a ＝______________ ，b ＝________________ ．2．求下列椭圆的焦点坐标： ①x 29－y 24＝1；②16x 2－7y 2＝112． 拓展练习已知双曲线的一个焦点坐标为F 1（0，－13），双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24，求双曲线的标准方程．解：因为焦点坐标为F 1（0，－13）． 所以c ＝13．又双曲线上一点P 到两焦点距离之差的绝对值为24． 所以2a ＝24，即a ＝12． 所以b 2＝c 2－a 2＝169－144＝25．所以所求双曲线的标准方程为y 2144－x 225＝1．1．在“双曲线的标准方程”的引入与推导中，充分利用几何画板演示，并运用“实验——观察——类比——证明——应用”的思想方法，逐步由感性到理性地认识定理．这样安排符合学生的认识规律，揭示了知识的发生、发展过程；也符合现代教育理论中的“要把学生学习知识当作认识事物的过程来进行教学”的观点．2．在教学的过程中始终本着：数学的学习过程是学生自己的“再创造”的原则，通过教师启发引导，让学生通过实验、观察、思考、类比、推理、交流、合作、反思等过程进行探究，构建新知识，真正做到将传授知识和培养能力融为一体，较好地体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想．。

双曲线及其标准方程教学设计(教案)一、教学目标：1. 让学生理解双曲线的定义及其性质。

2. 让学生掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 培养学生运用双曲线解决实际问题的能力。

二、教学内容：1. 双曲线的定义与性质2. 双曲线的标准方程3. 双曲线方程的求法4. 双曲线在实际问题中的应用三、教学重点与难点：1. 教学重点：双曲线的定义、性质、标准方程及其求法。

2. 教学难点：双曲线方程的求法及其应用。

四、教学方法：1. 采用问题驱动法，引导学生探索双曲线的性质与标准方程。

2. 利用数形结合法，让学生直观地理解双曲线的特点。

3. 运用实例分析法，培养学生解决实际问题的能力。

五、教学过程：1. 导入新课：简要介绍双曲线的起源和发展，激发学生的学习兴趣。

2. 自主学习：让学生通过阅读教材，了解双曲线的定义与性质。

3. 课堂讲解：讲解双曲线的标准方程及其求法，引导学生掌握关键步骤。

4. 例题分析：分析典型例题，让学生学会运用双曲线方程解决实际问题。

5. 巩固练习：布置适量练习题，让学生巩固所学知识。

6. 课堂小结：总结本节课的主要内容，提醒学生注意双曲线在实际问题中的应用。

7. 课后作业：布置作业，让学生进一步巩固双曲线及其标准方程的知识。

六、教学评价：1. 评价学生对双曲线定义和性质的理解程度。

2. 评价学生是否能熟练掌握双曲线的标准方程及其求法。

3. 评价学生是否能运用双曲线方程解决实际问题。

七、教学资源：1. 教材：双曲线及其标准方程相关章节。

2. 课件：双曲线图像、性质和标准方程的示例。

3. 练习题：涵盖双曲线定义、性质、标准方程及应用的题目。

八、教学进度安排：1. 第一课时：介绍双曲线定义与性质。

2. 第二课时：讲解双曲线的标准方程及其求法。

3. 第三课时：例题分析与实际应用。

4. 第四课时：巩固练习与课堂小结。

九、教学反思：1. 反思教学方法是否有效，学生是否能积极参与。

2. 反思教学内容是否适合学生的认知水平。

双曲线及其标准方程教学设计(教案)第一章：双曲线的概念引入1.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的起源和发展历程。

(2) 通过实例让学生感受双曲线的几何性质。

1.2 教学内容：(2) 双曲线的历史：介绍双曲线在数学、天文学和物理学等领域的应用，让学生了解双曲线的重要性。

(3) 双曲线的图形展示：利用多媒体展示双曲线的图形，让学生感受双曲线的美丽和神秘。

1.3 教学方法：(1) 实例分析：通过具体的例子，让学生感受双曲线的特点。

(3) 多媒体展示：利用多媒体展示双曲线的图形，增强学生的直观感受。

第二章：双曲线的标准方程2.1 教学目标：(1) 使学生掌握双曲线的标准方程及其实际应用。

(2) 培养学生利用双曲线标准方程解决实际问题的能力。

2.2 教学内容：(1) 双曲线的标准方程：介绍双曲线标准方程的推导过程，让学生理解并掌握双曲线标准方程。

(2) 双曲线标准方程的应用：通过实例，让学生了解双曲线标准方程在实际问题中的应用。

2.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线标准方程的推导过程，利用图形演示双曲线标准方程的特点。

(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线标准方程的应用。

(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线标准方程的计算，分组讨论解决问题。

第三章：双曲线的性质3.1 教学目标：(1) 使学生了解双曲线的基本性质。

(2) 培养学生利用双曲线性质解决实际问题的能力。

3.2 教学内容：(1) 双曲线的性质：介绍双曲线的几何性质，如渐近线、离心率等。

(2) 性质的应用：通过实例，让学生了解双曲线性质在实际问题中的应用。

3.3 教学方法：(1) 讲解与演示：教师讲解双曲线的性质，利用图形演示性质的特点。

(2) 实例分析：让学生通过解决实际问题，掌握双曲线性质的应用。

(3) 练习与讨论：让学生在课堂上练习双曲线性质的计算，分组讨论解决问题。

第四章：双曲线方程的求解4.1 教学目标：(1) 使学生掌握求解双曲线方程的方法。