【全国百强校】北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学（文）试题

北京市中国人民大学附属中学2019届高三下第三次调研考试文 科 数 学 试 题本试卷共5页。

全卷满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B 型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B 型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题共40分）一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1. 已知i 为虚数单位，则201932ii i i ++++Λ等于( )A .iB .1C .i -D .-12. 已知集合(){}N y x y x y x A ∈≤+=,,2|,，则A 中元素的个数为A ． 1B ． 5C ． 6D ． 无数个3.《易经》是中国传统文化中的精髓，右图是易经八卦图（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（表示一根阳线，表示一根阴线），从八卦中任取一卦，这一卦的三根线中恰有2根阳线和1根阴线的概率为（ ）第4题81.A 41.B 83.C 21.D4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，若输入x 的值为1，则输出S 的值为A.64B.73C.512D.5855.某同学为了模拟测定圆周率，设计如下方案;点),(y x D 满足不等式组⎪⎩⎪⎨⎧≤+≥≥100y x y x ，向圆122=+y x 内均匀撒M 粒黄豆，已知落在不等式组 所表示的区域内的黄豆数是N ，则圆周率π为（ ）A.M NB. M N 2C. N M 2D. N M 26.如图，已知圆锥的顶点为S ，底面圆O 的两条直径分别为AB 和CD ，且AB ⊥CD ，若平面I SAD 平面SBC l =．现有以下四个结论： ① AD ∥平面SBC ； ② AD l //；③ 若E 是底面圆周上的动点，则△SAE 的最大面积等于△SAB 的面积； ④ l 与平面SCD 所成的角为45°． 其中正确结论的个数是( )A. 1B.2C. 3D.47．已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为1F 、2F ，且两条曲线在第一象限的交点为P ，12PF F ∆是以1PF 为底边的等腰三角形，若110PF =，椭圆与双曲线的离心率分别为12,e e ，则21e e -的取值范围是( )A ． 2(,)3+∞ B ． 4(,)3+∞ C ． 2(0,)3 D ． 24(,)338．在数学史上，中国古代数学名著周髀算经、九章算术、孔子经、张邱建算经等，对等差级数(数列)])1([)3()2()(d n a d a d a d a a -++⋅⋅⋅+++++++和等比级数（数列）132-+⋅⋅⋅++++n aqaq aq aq a ，都有列举出计算的例子，说明中国古代对数列的研究曾作出一定的贡献.请同学们根据所学数列及有关知识求解下列问题.数阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡333231232221131211a a a a a a a a a 中，每行的3个数依次成等差数列，每列的3个数依次成等比数列，若422=a ，则这9个数和的最小值为A. 64B.C. 36D. 16第二部分（非选择题共110分）二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。

绝密★启用前北京市清华大学附属中学2019届高三年级下学期第三次高考模拟考试数学（文）试题(解析版)2019年5月25日一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜，则实数a 的值为（ ） A. 12 B. 2 C. 23 D. 1【答案】A【解析】【分析】根据指数函数与对数函数的性质，利用集合相等的性质列方程求解即可． 【详解】由3222x >=,解得32x >； 由()1122log 0log 1x a -<=解得1+>a x ,因为()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜, 所以312a +=,解得21=a ．故选A ． 【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用以及集合相等的性质,意在考查灵活运用所学知识解答问题的能力,是基础题．2.已知数据n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅是宜昌市),3(*∈≥N n n n 个普通职工的年收入,设这n 个数据的中位数为x ,平均数为y ,方差为z ,如果再加上世界首富的年收入1n x +,则这1n +个数据中,下列说法正确的是（ ）A. 年收入平均数可能不变,中位数可能不变,方差可能不变B. 年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差变大C. 年收入平均数大大增大,中位数可能不变,方差也不变D. 年收入平均数大大增大,中位数一定变大,方差可能不变【答案】B【解析】解：∵数据x 1,x 2,x 3,…,x n 是上海普通职工n （n≥3,n ∈N *）个人的年收入,而x n+1为世界首富的年收入则x n+1会远大于x 1,x 2,x 3,…,x n ,故这n+1个数据中,年收入平均数大大增大,但中位数可能不变,也可能稍微变大,但由于数据的集中程序也受到x n+1比较大的影响,而更加离散,则方差变大故选B3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为（ ） A. 12B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,得出2c a =,然后求得离心率21==a c e 即可. 【详解】由题意,椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形,即2c a = 所以离心率21==a c e 故选A【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质,熟悉性质是解题的关键,属于基础题.4.已知函数f （x ）=21111log x x x x ≥⎧⎪⎨⎪-⎩，，＜,则不等式f （x ）≤1的解集为（ ）。

2019年北京清华大学附属中学朝阳学校高三数学文模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数上的零点个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5参考答案：B略2. 已知函数f（x）=x﹣m+5，当1≤x≤9时，f（x）＞1有恒成立，则实数m的取值范围为( )A．m＜B．m＜5 C．m＜4 D．m≤5参考答案：C【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】令t=，则由1≤x≤9可得t∈[1，3]，由题意可得f（x）=g（t）=t2﹣mt+5＞1在[1，3]上恒成立，即g min（t）＞1．再利用二次函数的性质，分类讨论求得实数m的取值范围．【解答】解：令t=，则由1≤x≤9可得t∈[1，3]，由题意可得f（x）=g（t）=t2﹣mt+5=+5﹣＞1在[1，3]上恒成立，故有g min（t）＞1．①当＜1时，函数g（t）在[1，3]上单调递增，函数g（t）的最小值为g（1）=6﹣m，由6﹣m＞1，求得m＜5，综合可得m＜2．②当∈[1，3]时，函数g（t）在[1，]上单调递减，在（ 3]上单调递增，函数g（t）的最小值为g（）=5﹣＞1，由此求得﹣4＜t＜4，综合可得2≤m＜4．③当＞3时，函数g（t）在[1，3]上单调递减，函数g（t）的最小值为g（3）=14﹣3m，由14﹣3m＞1，求得m＜，综合可得m无解．综上可得，m＜4，故选：C．【点评】本题主要考查二次函数的性质，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．3. 已知全集,集合,则为A． B．C． D．参考答案：C,所以，选C.4. 正方体ABCD-A1B1C1D1中，N为BB1中点，则直线AN与B1C所成角的余弦值为（）A. B. C. D.参考答案：D【分析】以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，表示出与，求两向量夹角余弦值，即可得出结果.【详解】如图，以为坐标原点，分别以为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则，，，，则，，记直线与所成角为，则.故选D【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，熟记空间向量的方法求解即可，属于常考题型.5. 抛物线的准线方程是（A）（B）（C）（D）参考答案：D略6. 设为随机变量，～，若的方差为则等于参考答案：D略7. 在等比数列{a n}中，，公比|q|≠1，若a m= a1·a2· a3· a4· a5,则m=_________A．9 B．10C．11 D．12参考答案：C8. 已知向量与的夹角为,且,若,且,,则实数的值为( ）A． B． C． D．参考答案：D得,选D.9. 已知( )A. 6B.8 C. 10 D.参考答案：C10. 已知函数的图象关于直线对称，且当时，成立，若a=（20.2）·,则a,b,c的大小关系是（）A. B. C. D.参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若变量x、y满足约束条件，则z=x﹣2y的最大值为．参考答案：3【考点】简单线性规划．【分析】先画出满足约束条件的可行域，并求出各角点的坐标，然后代入目标函数，即可求出目标函数z=x﹣2y的最大值．【解答】解：满足约束条件的可行域如下图所示：由图可知，当x=1，y=﹣1时，z=x﹣2y取最大值3故答案为：312. 在平行四边形中，，，，则__________ .参考答案：略13. 已知点A抛物线C：的焦点为F，射线FA与抛物线C相交于点M，与其准线相交于点N，则参考答案：略14. 若随机变量ξ～N（2，1），且P（ξ＞3）=0.158 7，则P（ξ＞1）= ．参考答案：0.8413【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义．【分析】根据随机变量ξ～N（2，1），得到正态曲线关于x=2对称，由P（ξ＞1）=P （ξ＜3），即可求概率．【解答】解：∵随机变量ξ～N（2，1），∴正态曲线关于x=2对称，∵P（ξ＞3）=0.1587，∴P（ξ＞1）=P（ξ＜3）=1﹣0.1587=0.8413．故答案为：0.841315. 已知f(x)＝x，若f(x)的图象关于直线x＝1对称的图象对应的函数为g(x)，则g(x)的表达式为__________参考答案：g(x)＝3x－2略16. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距是．参考答案：；，因此焦距为．17. 已知过点P（1，0）且倾斜角为60°的直线l与抛物线交于A，B两点，则弦长|AB|=____________.参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。

高考数学三模试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合，则实数a的值为（）A. B. 2 C. D. 12.若双曲线的焦距为，则该双曲线的离心率为（）A. B. C. D.3.已知m，n∈R，i是虚数单位，若（1+mi）（1-i）=n，则|m+ni|的值为（）A. 1B.C.D.4.已知⊥，||=，||=t，若P点是△ABC所在平面内一点，且=+，当t变化时，的最大值等于（）A. -2B. 0C. 2D. 45.数列{a n}满足a n+1=，若a1=，则a2018=（）A. B. C. D.6.某工厂利用随机数表对生产的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600从中抽取60个样本，如下提供随机数表的第4行到第6行：32 21 18 34 29 78 64 54 07 32 52 42 06 44 38 12 23 43 56 77 35 78 90 56 4284 42 12 53 31 34 57 86 07 36 25 30 07 32 86 23 45 78 89 07 23 68 96 08 0432 56 78 08 43 67 89 53 55 77 34 89 94 83 75 22 53 55 78 32 45 77 89 23 45若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号（）A. 522B. 324C. 535D. 5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“茭草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是n件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则n的值为（）A. 7B. 8C. 9D. 108. 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且满足，若函数F （x ）=f （x ）-m 有6个零点，则实数m 的取值范围是（）A. B.C.D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 已知直线l 1：x -y +1=0与l 2：x +ay +3=0平行，则a =______，l 1与l 2之间的距离为______ 10. 已知函数f （x ）=（x +t ）（x -t 2）是偶函数，则t =______11. 著名的“3n +1猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成1．如图的程序框图示意了3n +1猜想，则输出的n 为______12. 某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，A ，B ，C ，D ，E 五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：A 团队说：C 第一，B 第二； B 团队说：A 第三，D 第四；C 团队说：E 第四，D 第五； D 团队说：B 第三，C 第五；E 团队说：A 第一，E 第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是______团队．13. 已知平面内两个定点M （3，0）和点N （-3，0），P 是动点，且直线PM ，PN 的斜率乘积为常数a （a ≠0），设点P 的轨迹为C ．①存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离之和为定值； ②存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值； ③不存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值；④不存在常数a （a ≠0），使C 上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离差的绝对值为定值．其中正确的命题是______．（填出所有正确命题的序号）14. 如图，在平面四边形ABCD 中，∠ABC =90°，∠DCA =2∠BAC ，若=x +y （x ，y ∈R ），则x -y 的值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足．（Ⅰ）求角A的值；（Ⅱ）若a=3，b=2，求sin（2B+A）的值．16.如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1，，E、F分别为BC、BB1的中点，点D为线段AB上一点，（1）求证：AC1∥平面DEF；（2）若AC1⊥EF，求二面角F-DE-B的余弦值．17.某工厂生产A、B两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于80cm的为正品，小于80cm的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：测试指标[70，75）[75，80）[80，85）[85，90）[90，95] A零件8 12 40 30 10B零件9 16 40 28 7（Ⅰ）试分别估计A、B两种零件为正品的概率；（Ⅱ）生产1个零件A，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件B，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（Ⅰ）的条件下：（i）设X为生产1个零件A和一个零件B所得的总利润，求X的分布列和数学期望；（ii）求生产5个零件B所得利润不少于160元的概率．18.已知函数f（x）=ln x-，a∈R．（Ⅰ）当a=1，函数y=f（x）图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数．19.如图，设椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x的焦点F重合，且椭圆C1的离心率是．（1）求椭圆C1的标准方程；（2）过F作直线l交抛物线C2于A，B两点，过F且与直线l垂直的直线交椭圆C1于另一点C，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线l的方程．20.对于给定的奇数m，（m≥3），设A是由m×m个数组成的m行m列的数表，数表中第i行，第j列的数a ij∈{0，1}，记c（i）为A的第i行所有数之和，r（j）为A的第j列所有数之和，其中i，j∈{1，2，…，m}．对于i，j∈{1，2，…，m}，若且同时成立，则称数对（i，j）为数表A的一个“好位置”（Ⅰ）直接写出所给的3×3数表A的所有的“好位置”；（Ⅱ）当m=5时，若对任意的1≤i≤5都有c（i）≥3成立，求数表A中的“好位置”个数的最小值；（Ⅲ）求证：数表A中的“好位置”个数的最小值为2m-2．答案和解析1.【答案】A【解析】【分析】本题考查了集合相等、指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．根据指数函数与对数函数的性质，解出两集合，列方程求出a的值．解：由2x＞2，解得x＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查双曲线的离心率的求法，简单性质的应用，是基本知识的考查．利用已知条件，列出方程，转化求解即可．【解答】解：双曲线x2-ty2=3t的标准方程为：，∴a2=3t，b2=3，∴c2=3t+3=9，解得t=2，所以双曲线的离心率为：e===．故选：B．3.【答案】D【解析】解：由（1+mi）（1-i）=（1+m）+（m-1）i=n，得，即m=1，n=2．∴|m+ni|=|1+2i|=．故选：D．直接利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数相等的条件求得m，n的值，再由复数模的计算公式求解．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数相等的条件及复数模的求法，是基础题．4.【答案】B【解析】解：以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，∵⊥，||=，||=t，∴B（，0），C（0，t），∵P点是△ABC所在平面内一点，且=+，∴=（1，0）+（0，1）=（1，1），即P（1，1），∴=（，-1），=（-1，t-1），∴=-+1-t+1=2-（），∵=2，∴的最大值等于0，当且仅当t=，即t=1时，取等号．故选：B．以A为坐标原点，建立平面直角坐标系，推导出B（，0），C（0，t），P（1，1），从而=（，-1），=（-1，t-1），由此能求出的最大值．本题考查向量的数量积的最大值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面向量坐标运算法则的合理运用．5.【答案】A【解析】解：∵a n+1=，a1=∈[，1），∴a2=2a1-1=∈[0，），∴a3=2a2=2×=∈[0，），∴a4=2a3=∈[，1），∴a5=2a4-1==a1，∴数列{a n}是以4为周期的数列，又2018=504×4+2，∴a2018=a2=．故选：A．由a n+1=，a1=∈[，1），可依次求得a2、a3、a4、a5、…，从而发现数列{a n}的周期性规律，继而可得a2018的值．本题考查数列的递推式，由数列{a n}满足的关系式a n+1=，a1=可求得a2、a3、a4、a5、…，从而发现数列{a n}的周期性规律是解决问题的关键，考查推理与运算能力，属于中档题．6.【答案】D【解析】解：第6行第6列的数开始的数为808，不合适，436，789不合适，535，577，348，994不合适，837不合适，522，535重复不合适，578合适则满足条件的6个编号为436，535，577，348，522，578，则第6个编号为578，故选：D．根据随机抽样的定义进行判断即可．本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，设这堆货物总价是S n=1•（）0+2•（）1+3•（）2+…+n•（）n-1，①，由①×可得S n=1•（）1+2•（）2+3•（）3+…+n•（）n，②，由①-②可得S n=1+（）1+（）2+（）3+…+（）n-1-n•（）n=-n•（）n=10-（10+n）•（）n，∴S n=100-10（10+n）•（）n，∵这堆货物总价是万元，∴n=10，故选：D．由题意可得第n层的货物的价格为a n=n•（）n-1，根据错位相减法求和即可求出．本题考查了错位相减法求和，考查了运算能力，以及分析问题解决问题的能力，属于中档题．8.【答案】C【解析】【分析】本题主要考查函数与方程的应用，结合偶函数的性质转化为当x＞0时，函数F（x）=f （x）-m有3个零点，以及利用数形结合是解决本题的关键．根据函数与方程的关系，结合偶函数的性质，转化为当当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，利用数形结合进行求解即可．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，若函数F（x）=f（x）-m有6个零点，∴等价为当x＞0时，函数F（x）=f（x）-m有3个零点，且0不是函数F（x）=f（x）-m的零点，即当x＞0时，f（x）=m有3个根，当0≤x＜1时，f（x）=x2-=（x-）2-，当x≥1时，f（x）=，则f′（x）==当x＞2时，f′（x）＜0，函数为减函数，当1≤x＜2时，f′（x）＞0，函数为增函数，即当x=2时，函数f（x）为极大值，极大值为f（2）=，当x≥1时，f（x）≥0，作出f（x）在x≥0时的图象如图，要使y=m与y=f（x）在x≥0时有三个交点，则0＜m＜，即实数m的取值范围是（0，），故选C．9.【答案】-1【解析】解：直线l1：x-y+1=0与l2：x+ay+3=0平行，则1•a-（-1）•1=0，解得a=-1，直线l2：x-y+3=0；则l1与l2之间的距离为d==．故答案为：-1，．根据直线l1与l2平行求得a的值，再计算两平行直线l1与l2之间的距离．本题考查了平行线的定义与距离的计算问题，是基础题．10.【答案】0或1【解析】解：根据题意，函数f（x）=（x+t）（x-t2）=x2+（t-t2）x-t3，为二次函数，其对称轴为x=，若函数f（x）=（x+t）（x-t2）是偶函数，则=0，解可得t=0或1；故答案为：0或1．根据题意，函数的解析式变形可得f（x）=x2+（t-t2）x-t3，分析其对称轴，结合二次函数的性质可得=0，解可得t的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性的判断，关键是掌握函数奇偶性的定义，属于基础题．11.【答案】6【解析】解：a=10是偶数，a=5，n=1，a＞1否，a=5，a=5是奇数，a=16，n=2，a＞1．a=16是偶数，a=8，n=3，a=8是偶数，a=4，n=4，a＞1，a=4是偶数，a=2，n=5，a＞1，a=2是偶数，a=1，n=6，a＞1不成立，输出n=6，故答案为：6．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．比较基础．12.【答案】D【解析】解：由实际上每个名次都有人猜对，①若A第一，则D第四，与E第四矛盾，故此情况不符题意，②若B第一，则C第五，E第四，与E第四，D第五矛盾，故此情况不符题意，③若C第一，则B第三，D第四，与E第四，D第五矛盾，故此情况不符题意，故答案为：D．按照①若A第一；②若B第一；③若C第一，三种情况进行分析可得．本题考查了进行简单的合情推理，属中档题．13.【答案】②④【解析】解：设P（x，y）由=a，得y2=a（x2-9），若a=-1，则方程为x2+y2=9，轨迹为圆（除A B点）；若-1＜a＜0，方程为=1，轨迹为椭圆（除A B点）-9a＜9，c==4，∴a=，不符合；a＜-1，-9a＞9，c==4，∴a=-，符合，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（0，-4），（0，4）距离之和为定值；若a＞0，方程为，轨迹为双曲线（除A B点）．c==4，a=，∴存在非零常数a，使C上所有点到两点（-4，0），（4，0）距离差的绝对值为定值．④是正确的，不存在，如果曲线是双曲线时，焦点一定在x轴上．故答案为：②④根据斜率公式得出=a，得y2=a（x2-9），再分类讨论，即可得出结论．本题考查轨迹方程，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．14.【答案】-1【解析】解：过D作BC的垂线，交BC延长线于M，设∠BAC=α，则∠ACD=2α，∠ACB=90°-α，∴∠DCM=180°-2α-（90°-α）=90°-α．∴Rt△ABC∽Rt△DMC，∴，∵=x+y，∴x==k，y===k+1，∴x-y=-1．故答案为：-1．过D作DM⊥BC，则Rt△ABC∽Rt△DMC，利用相似比表示出x，y即可得出结论．本题考查了平面向量的基本定理，属于中档题．15.【答案】解：（Ⅰ）∵，由正弦定理得，．化简得，b2+c2-a2=bc．由余弦定理得，．又0＜A＜π，∴．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，又a=3，，∴sin B==．又b＜a，,∴cos B==．∴sin2B=2sin B cosB=，cos2B=1-2sin2B=-，∴sin（2B+A）=sin（2B+）=sin2B cos+cos2B sin=．【解析】本题主要考查了正弦定理，余弦定理，同角三角函数基本关系式，二倍角公式，两角和的正弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．（Ⅰ）由正弦定理化简已知可得b2+c2-a2=bc，由余弦定理cos A的值，结合范围0＜A＜π，可求A的值．（Ⅱ）由正弦定理可求sin B，利用同角三角函数基本关系式可求cos B的值，根据二倍角公式可求sin2B，cos2B的值，利用两角和的正弦函数公式即可求解．16.【答案】（1）证明：取AB的中点O，A1B1的中点M，连接OC，OM，∵正三棱柱ABC-A1B1C1，∴OC⊥AB，OM⊥平面ABC，以O为原点，以OA，OC，OM为坐标轴建立空间坐标系如图所示，∵，∴D是OB的中点，又E是BC的中点，∴DE∥OC，DE=OC．设等边三角形ABC的边长为a，则D（-，0，0），E（-，a，0），F（-，0，），A（，0，0），C1（0，，2），取EF的中点N，则N（-，a，），∴=（-，a，），=（-，a，2）．∴=4，∴∥，∴AC1∥DN，又AC1⊄平面DEF，DN⊂平面DEF，∴AC1∥平面DEF．（2）解：=（-，-a，），∵AC1⊥EF，∴=0，即-+4=0，解得a=4，∴BD=1．∵OC∥DE，OC⊥平面AA1B1B，∴DE⊥平面AA1B1B，∴DE⊥DB，DE⊥DF，∴∠BDF为二面角F-DE-B的平面角，∵BD=1，BF=，∴DF=，∴cos∠BDF==，即二面角F-DE-B的余弦值为．【解析】（1）建立坐标系，取EF的中点N，利用向量证明DN∥AC1得出结论；（2）根据AC1⊥EF得出底面边长，证明DE⊥平面AA1B1B得出∠BDF为二面角F-DE-B 的平面角，在Rt△BDF中计算cos∠BDF．本题考查线面平行的判定，二面角的计算，属于中档题．17.【答案】解：（Ⅰ）元件A为正品的概率约为=0.8，元件B为正品的概率约为=0.75；（Ⅱ）（ⅰ）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B 正，A正B次，A次B次；∴随机变量X的所有取值为110，50，35，-25；∵P（X=110）=0.8×0.75=0.6，P（X=50）=（1-0.8）×0.75=0.15，P（X=35）=0.8×（1-0.75）=0.2，P（X=-25）=（1-0.8）×（1-0.75）=0.05；计算数学期望为0.05=78.25；（ⅱ）设生产的5件元件B中正品有n件，则次品有5-n件．依题意得60n-15（5-n）≥160，解得n≥3，所以取n=4或n=5；设“生产5件元件B所获得的利润不少于160元”为事件A，则P（A）=•0.754•0.25+•0.755=0.638125≈0.64．【解析】（Ⅰ）查出正品数，利用古典概型的概率公式计算即可；（Ⅱ）（i）生产1件元件A和1件元件B可以分为以下四种情况：两件正品，A次B 正，A正B次，A次B次，利用相互独立事件的概率公式及数学期望的定义计算即可；（ii）先求出生产5件元件B所获得的利润不少于160元的正品数，再利用二项分布列公式计算即可．本题考查了古典概型的概率计算公式、相互独立事件的概率计算公式、数学期望的定义、二项分布列的计算公式问题，是中档题．18.【答案】解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln x-，f′（x）===≥0．∴当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）由f（x）=ln x-，得f′（x）==，当a≤0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，而f（x）=ln x-=ln x-2+，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当a＞0时，f′（x）=．令g（x）=x2+（2a2-4a）x+a4．当a≥1时，△=16a2（1-a）≤0，g（x）≥0，f′（x）≥0，f（x）在（0，+∞）上单调递增，当x→0时，f（x）→-∞，当x→+∞，f（x）→+∞，故函数y=f（x）的零点个数为1；当0＜a＜1时，由g（x）的对称轴方程为x=2a-a2＞0，由g（x）=0，解得＞0，＞0．可知g（x）在（0，）∪（，+∞）上大于0，在（，）上小于0，∴f（x）在（0，）和（，+∞）上递增，在（，）上单调递减，∴，而=＜0，∴存在，，，使得f（x1）=f（x2）=f（x3）=0．故函数y=f（x）的零点个数为3．综上，当a≤0或a≥1时函数y=f（x）的零点个数为1个，当0＜a＜1时，有3个．【解析】（Ⅰ）当a=1时，f（x）=ln x-，求其导函数，由f′（x）≥0，可知当a=1，函数y=f（x）为单调函数，则函数y=f（x）图象上不存在3条互相平行的切线；（Ⅱ）求出原函数的导函数然后对a分类分析原函数的单调性，结合函数零点的判定定理得答案．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查利用导数研究函数的单调性，考查函数零点的判定，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．19.【答案】解：（1）∵椭圆C1：+=1（a＞b＞0），长轴的右端点与抛物线C2：y2=8x 的焦点F重合，∴a=2，又∵椭圆C1的离心率是．∴c=，⇒b=1，∴椭圆C1的标准方程：．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．y1+y2=8m，y1y2=-16，∴|AB|==8（1+m2）．过F且与直线l垂直的直线设为：y=-m（x-2）联立得（1+4m2）x2-16m2x+16m2-4=0，x C+2=，⇒x C=．∴|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，f′（t）=，令f′（t）=0，则t2=，即1+m2=时，△ABC面积最小．即当m=±时，△ABC面积的最小值为9，此时直线l的方程为：x=±y+2．【解析】（1）由已知可得a，又由椭圆C1的离心率得c，b=1即可．（2）过点F（2，0）的直线l的方程设为：x=my+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立得y2-8my-16=0．|AB|=，同理得|CF|=•．△ABC面积s=|AB|•|CF|=．令，则s=f（t）=，利用导数求最值即可．本题考查了直线与椭圆、抛物线的位置关系，考查了运算能力，属于中档题．20.【答案】解：（Ⅰ）“好位置”有：（1，2），（1，3），（2，1），（3，1）．（Ⅱ）因为对于任意的i=1，2，3，4，5，c（i）≥3；所以当a ij=1时，|5-c（i）|，当a ij=0时，|5a ij-c（i）|=c（i）；因此若（i，j）为“好位置”，则必有a ij=1，且5-r（j），即r（j）≥3．设数表中共有n（n≥15）个1，其中有t列中含1的个数不少于3，则有5-t列中含1的个数不多于2，所以5t+2（5-t）≥n≥15，t，因为t为自然数，所以t的最小值为2，因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过3×2=6，所以，该数表好位置的个数不少于15-6=9个．5×5此数表的“好位置”的个数恰好为9，综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9．（Ⅲ）证明：当（i，j）为“好位置”时，且a ij=1时，则有|m-c（i）|，所以c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．当（i，j）为“好位置”，且a ij=0时，则|m-c（i）|，则必有c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设c（i），0≤i≤p，，p+1≤i≤m，r（j），0≤j≤q，r（j），q+1≤j≤m，其中0≤p，q≤m，p，q∈N，则数表A可以分成如下四个子表：其中A1是p行q列，A3是p行m-q列，A2是m-p行q列，A4是m-p行m-q列，设A1，A2，A3，A4中1的个数分别为x1，x2，x3，x4，则A1，A2，A3，A4中0的个数分别为pq-x1，q（m-p）-x2，p（m-q）-x3，（m-p）（m-q）-x4，则数表A中好位置的个数为x1+（m-p）（m-q）-x4个，而，x3+x4，所以，所以x1+（m-p）（m-q）-x4，而（m-p）（m-q）+p×==p×=（p-）（q-）-=（p-）（q-），显然当（p-）（q-）取得最小值时，上式取得最小值，因为0≤p，q≤m，所以（p-）（q-），（p-）（q-）+，当p=m时，数表A中至少含有个1，而，所以q至少为2，此时（p-）（q-）=2m-1．当p=m-1时，数表A中至少含有（m-1）×个1，而（m-1）×，所以q至少为1，此时（p-）（q-）≥[（m-1）-]（1-）=2m-2，下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为2m-2．【解析】（Ⅰ）按定义直接写出即可；（Ⅱ）因为对于任意的i=1，2，3，4，5，c（i）≥3；所以当a ij=1时，|5-c（i）|，当a ij=0时，|5a ij-c（i）|=c（i）；因此若（i，j）为“好位置”，则必有a ij=1，且5-r（j），即r（j）≥3．设数表中共有n（n≥15）个1，其中有t列中含1的个数不少于3，则有5-t列中含1的个数不多于2，所以5t+2（5-t）≥n≥15，t，因为t为自然数，所以t的最小值为2，因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过3×2=6，所以，该数表好位置的个数不少于15-6=9个．继而列表得解；（Ⅲ）当（i，j）为“好位置”时，且a ij=1时，则有|m-c（i）|，所以c（i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．当（i，j）为“好位置”，且a ij=0时，则|m-c（i）|，则必有c （i），注意到m为奇数，c（i）∈N*，所以有c（i），同理得到r（j）．因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设c（i），0≤i≤p，，p+1≤i≤m，r（j），0≤j≤q，r（j），q+1≤j≤m，其中0≤p，q≤m，p，q∈N，继而再分成子列表讨论得解．本题考查数列的递推公式，涉及的知识比较多，属于选做题，难度大．。

2019年北京市清华附中高考数学三模试卷（文科）注意事项：1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上填写自己的准考证号、姓名、试室号和座位号。

用2B型铅笔把答题卡上试室号、座位号对应的信息点涂黑。

2．选择题每小题选出答案后，用2B型铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。

3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答的答案无效。

4．考生必须保持答题卡整洁。

考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合＞＜，则实数a的值为（）A. B. 2 C. D. 12.已知数据x1，x2，x3，…，x n是某市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，标准差为z，如果再加上世界首富的年收入x n+1，则这（n+1）个数据中，下列说法正确的是（）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，标准差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，标准差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，标准差可能不变3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（）A. B. C. D.4.已知函数f（x）=，，＜，则不等式f（x）≤1的解集为（）A. B. ， C. D.5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）A.B.C.D.6.在数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，则数列{a n}的通项公式为（）A. B. C. D.7.若椭圆和双曲线的共同焦点为F1，F2，P是两曲线的一个交点，则|PF1|•|PF2|的值为（）A. B. 84 C. 3 D. 218.如图①，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n片金片总共需要的次数为a n，可推得a1=1，a n+1=2a n+1．如图②是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（）A. 8B. 9C. 10D. 11二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量，，，，，，若，则x=______．10.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S为△ABC的面积，sin（A+C）=，且A，B，C成等差数列，则C的大小为______．11.设θ为第二象限角，若tan（θ+）=，则sinθ+cosθ=______．12.已知，为单位向量且夹角为，设=3+2，=3，则在方向上的投影为______．13.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味，若《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春•长沙》与《清平乐•六盘山》不相邻且均不排在最后，则六场的排法有______种．（用数字作答）．14.若直线y=x+1是曲线f（x）=x+（a∈R）的切线，则a的值是______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.在△ABC中，3sin A=2sin B，．（1）求cos2C；（2）若AC-BC=1，求△ABC的周长．16.已知正项数列{a n}的前n项和为，，．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设{a n}是递增数列，，T n为数列{b n}的前n项和，若恒成立，求实数m的取值范围．17.如图①，在平行四边形ABCD中，∠A=45，AB=，BC=2，BE AD于点E，将△ABE沿BE折起，使∠AED=90°，连接AC、AD，得到如图②所示的几何体．（1）求证：平面ACD平面ABC；（2）若点P在线段AB上，直线PD与平面BCD所成角的正切值为，求三棱锥P-BCD的体积．18.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（Ⅰ）完成下列频率分布直方图，计算女性用户评分的平均值，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（Ⅱ）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：参考公式：K2=，其中n=a+b+c+d19.已知椭圆：＞＞的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1．（1）求椭圆C的方程；（2）设点M为椭圆上位于第一象限内一动点，A，B分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB与x轴交于点C，直线MA与轴交于点D，求证：四边形ABCD的面积为定值．20.已知函数f（x）=x2+（2-a）x-a ln x（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x≥1时，f（x）＞0，求a的最大整数值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：由2x＞2，解得x ＞；由（x-a）＜0的解集为{x|x＞a+1}，令a+1=，解得a=．故选：A．根据指数函数与对数函数的性质，列方程求出a的值．本题考查了指数函数与对数函数的性质与应用问题，是基础题．2.【答案】B【解析】解：数据x1，x2，x3，…，x n是某市n（n≥3，n∈N*）个普通职工的年收入，设这n个数据的中位数为x，平均数为y，标准差为z，再加上世界首富的年收入x n+1，则这（n+1）个数据中，年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，标准差会变大，故A，C，D都错误，B正确．故选：B．年收入平均数会大大增大，中位数可能不变，标准差会变大．本题考查命题真假的判断，考查平均数、中位数、标准差等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】A【解析】解：由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，∴2c=a∴e==故选：A．根据椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，所以得到2c=a，然后根据离心率e=，即可得到答案．此题考查学生掌握椭圆的简单性质，考查了数形结合的数学思想，是一道综合题．4.【答案】D【解析】解：当x≥1时，f（x）≤1即为：log2x≤1解得1≤x≤2当x＜1时，f（x）≤1，即为：解得x≤0．综上可得，原不等式的解集为（-∞，0][1，2]故选：D．对x讨论，当x＞0时，当x≤0时，运用分式函数和对数函数的单调性，解不等式，即可得到所求解集．本题考查分段函数的运用：解不等式，注意运用分类讨论的思想方法，以及分式函数和对数函数的单调性，考查运算能力，属于基础题．5.【答案】D【解析】解：根据三视图可知，该几何体是球替，挖去一个三棱锥，如图所示；则该几何体的体积为V=••23-••4•2•2=-．故选：D．根据三视图可知该几何体是球，挖去一个三棱锥，把数据代入体积公式即可求解．本题考查了利用三视图求棱锥和球体积计算问题，根据三视图的特征找出几何体结构特征是关键．6.【答案】D【解析】解：数列{a n}中，已知a1=1，且对于任意的m，n∈N*，都有a m+n=a m+a n+mn，当n=2时，a2=a1+a1+1×1=3=1+2，当n=3时，a3=a1+a2+1×2=6=1+2+3，所以：a n=1+2+3+…+n=．故选：D．直接利用赋值法和数列的通项公式的转换的应用求出结果．本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，主要考察学生的运算能力和转换能力，赋值法的应用，属于基础题型．7.【答案】D【解析】解：由椭圆和双曲线定义不妨设|PF1|＞|PF2|则|PF1|+|PF2|=10|PF1|-|PF2|=4所以|PF1|=7|PF2|=3∴|pF1|•|pF2|=21故选：D．设|PF1|＞|PF2|，根据椭圆和双曲线的定义可分别表示出|PF1|+|PF2|和|PF1|-|PF2|，进而可表示出|PF1|和|PF2|，根据焦点相同进而可求得|pF1|•|pF2|的表达式．本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，解答关键是正确运用椭圆和双曲线的简单的几何性质．8.【答案】C【解析】解：i=1，S＞1000否，i=2，S=2+1=3，i=2，S＞1000否，i=3，S=6+1=7，i=3，S＞1000否，i=4，S=14+1=15，i=4，S＞1000否，i=5，S=30+1=31，i=5，S＞1000否，i=6，S=62+1=63，i=6，S＞1000否，i=7，S=126+1=127，i=7，S＞1000否，i=8，S=254+1=255，i=8，S＞1000否，i=9，S=510+1=511，i=9，S＞1000否，i=10，S=1022+1=1023，i=10，S＞1000是，输出i=10，故选：C．根据程序框图进行模拟运算即可．本题主要考查程序框图的识别和判断，利用模拟运算法是解决本题的关键．9.【答案】-10【解析】解：；∵；∴；∴x=-10．故答案为：-10．可以求出，根据即可得出，进行数量积的坐标运算即可求出x．考查向量垂直的充要条件，向量加法和数量积的坐标运算．10.【答案】【解析】解：△ABC中，A，B，C成等差数列，可得2B=A+C=π-B，即B=，sin（A+C）=，即为sinB=，即有b2=c2+ac，由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=a2+c2-ac，即有a=2c ，b=c ， cosC===，由C 为三角形的内角，可得C=． 故答案为：．由等差数列中项性质和三角形的内角和定理可得B ，再由余弦定理和面积公式，可得a=2c ，b=c ，再由余弦定理求得cosC ，可得角C ．本题考查等差数列的中项性质和三角形的内角和定理、余弦定理和面积公式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．11.【答案】-【解析】解：∵tan （θ+）==，∴tanθ=-，而cos 2θ==，∵θ为第二象限角， ∴cosθ=-=-，sinθ==，则sinθ+cosθ=-=-．故答案为：- 已知等式利用两角和与差的正切函数公式及特殊角的三角函数值化简，求出tanθ的值，再根据θ为第二象限角，利用同角三角函数间的基本关系求出sinθ与cosθ的值，即可求出sinθ+cosθ的值．此题考查了两角和与差的正切函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式是解本题的关键． 12.【答案】【解析】解：根据题意得，•=9•+62=9×+6×1×1=-+6=；又∵|b|=3， ∴在方向上的投影为==；故答案为．运用向量的夹角公式和投影的概念可解决此问题． 本题考查向量的夹角，投影的概念． 13.【答案】144【解析】解：《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》， 分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后． 第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共=4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共=72（种）排法，第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以=2即可，即六场的排法有4×72÷2=144（种） 故答案为：144．由特殊位置优先处理，先排最后一个节目，共=4（种），相邻问题由捆绑法求解即剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共=72（种）排法，定序问题用倍缩法求解即可B 排在D 的前面，只需除以即可，本题考查了排列、组合及简单的计数原理，属中档题．14.【答案】-1【解析】解：设切点的横坐标为x 0，f′（x ）=1--==1⇒x 0=-⇒-a=，则有：f （x 0）=x 0+-alnx 0=x 0+1⇒lnx 0-x 0+1=0，令h （x ）=lnx-x+1⇒h′（x ）=-1=0⇒x=1，则h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，又因为h（1）=0，所以x0=1⇒a=-1；故答案为：-1．设切点的横坐标为x0，求出导函数，利用直线y=x+1与曲线y=f（x）相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可．本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法．考查转化思想以及计算能力．15.【答案】解：（1）∵，∴cos2C==，∴cos2C=2cos2C-1=2×-1=-．（2）∵3sin A=2sin B，∴由正弦定理可得：3a=2b，又∵AC-BC=1，即：b-a=1，∴解得：a=2，b=3，∵由（1）可得：cos C=，∴由余弦定理可得：c===，∴△ABC的周长a+b+c=5+．【解析】（1）由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2C=的值，根据二倍角的余弦函数公式即可计算得解．（2）由正弦定理可得：3a=2b，结合b-a=1，即可解得a，b的值，由（1）可得cosC=，利用余弦定理可求c的值，即可得解△ABC的周长．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，二倍角的余弦函数公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.【答案】解：（1）n≥2时，4a n=4S n-4S n-1=+4n-1-[+4（n-1）-1]，化为：=，a n＞0．∴a n-a n-1=2，或a n+a n-1=2，a n-a n-1=2时，数列{a n}是等差数列，a n=1+2（n-1）=2n-1．a n+a n-1=2，∵a1=1，可得a n=1．（2）{a n}是递增数列，∴a n=2n-1．==，数列{b n}的前n项和T n==＜，∵恒成立，∴，解得m≥3．∴实数m的取值范围是[3，+∞）．【解析】（1）n≥2时，4a n=4S n-4S n-1，化为：=，a n＞0．化简进而得出．（2）{a n}是递增数列，取a n=2n-1．可得==，利用裂项求和方法、数列的单调性即可得出．本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、裂项求和方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.【答案】（1）证明：方法1：∵BE AE，DE AE，BE∩DE=E，∴AE平面BCDE，以E为坐标原点，以ED，EB，EA所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则A（0，0，1），B（0，1，0），C（2，1，0），D（1，0，0），设AC的中点为M，则M（1，，），∴=（0，，），=（0，1，-1），=（2，0，0），∴=0，=0，∴DM AB，DM BC，又AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DM平面ABC，又DM⊂平面ACD，∴平面ACD平面ABC．方法2：取AC的中点M，BC的中点N，连接DM，DN，MN．在平行四边形中，由AB=，∠BAE=45°，BE AD可得AE=BE=1，又AD=BC=2，∴DE=1，∴BN=BE=DE，又BN∥DE，BE DE，∴四边形BEDN 是正方形，∴DN ∥BE ，BN BE ， 又MN 是△ABC 的中位线，∴MN ∥AB ， 又BE ∩AB =B ，DN ∩MN =N ， ∴平面DMN ∥平面ABE ， ∵BE AE ，DE AE ，BE ∩DE =E ， ∴AE 平面BCDE ，又BC ⊂平面BCDE ， ∴AE BC ，又BC BE ，BE ∩AE =E ， ∴BC 平面EAB ，∴BC 平面DMN ，∴BC DM ． ∵AD = = ，CD =AB = ， ∴AD =CD ，∴DM AC ， 又AC ∩BC =C ， ∴DM 平面ABC ，又DM ⊂平面ACD ，∴平面ABC 平面ACD ． （2）过P 作PN BE ，垂足为N ，连接DN ， 则PN ∥AE ，∴PN 平面BCDE ，∴∠PDN 为直线PD 与平面BCD 所成的角．设PN =x ，则BN =x ，故EN =1-x ，∴DN = ， ∴tan ∠PDN == = ，解得x = ，即PN =． ∵BD = = ，CD =AB = ，BC =2，∴BD 2+CD 2=BC 2，∴BD CD ．∴S △BCD ==1，∴三棱锥P -BCD 的体积V =S △BCD •PN ==． 【解析】（1）取AC 中点M ，建系，利用向量证明DM AB ，DM BC 即可得出DM 平面ABC ，故而平面ACD 平面ABC ；（2）做出直线PD 与平面BCD 所成角，求出P 到平面BCDE 的距离，代入体积公式即可． 本题考查来了面面垂直的判定，棱锥的体积计算，属于中档题． 18.【答案】解：（Ⅰ）女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大． …（4分） （Ⅱ）2×2列联表如下图：K 2=≈5.208＞2.706，所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关． 【解析】（Ⅰ）利用所给数据，可得频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小； （Ⅱ）求出K 2，与临界值比较，即可得出结论．本题考查频率分布直方图的作法及应用，考查独立检验的应用，考查频率分布直方图等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．19.【答案】解：（1）∵椭圆 ：＞ ＞ 的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，∴，解得a =2，b =1， ∴椭圆C 的方程为．证明：（2）∵椭圆C 的方程为=1，∴A （-2，0），B （0，-1），设M （m ，n ），（m ＞0，n ＞0），则=1，即m 2+4n 2=4，则直线BM 的方程为y =，令y =0，得，同理，直线AM 的方程为y = ，令x =0，得，∴ ×| +2|×| |====2，∴四边形ABCD的面积为定值2．【解析】（1）由椭圆的离心率为，过椭圆的焦点且与长轴垂直的弦长为1，列出方程组，求出a，b，由此能求出椭圆C的方程．（2）设M（m，n），（m＞0，n＞0），则m2+4n2=4，从而直线BM的方程为y=，进而，同理，得，进而×|+2|×|，由此能证明四边形ABCD的面积为定值2．本题考查椭圆方程的求法，考查四边形的面积为定值的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质、韦达定理、直线与椭圆位置关系等知识点的合理运用．20.【答案】解：（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞）．f′（x）=2x+2-a-==，当a≤0时，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，当a＞0时，令f′（x）＞0，得x＞，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜，∴f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．（2）由（1）知，当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，又f（1）=3-a＞0，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）＞0，满足题意．由（1）知，当a＞0时，f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．若＜≤1，即0＜a≤2，f（x）在[1，+∞）上单调递增，所以当x≥1时，f（x）≥f（1）=3-a＞0，满足题意．若＞1，即a＞2，f（x）在，上单调递减，在，上单调递增．∴f（x）min=f=+（2-a）-a ln=a--a ln，∵f（x）＞0，∴f（x）min＞0，即a--a ln＞0，∴1--ln＞0，令g（a）=1--ln=--ln a+1+ln2（a＞0），∴g′（a）=--＜0，∴g（a）在（2，+∞）上单调递减，又g（2）=＞0，g（3）=-ln＜0，∴g（a）在（2，3）上存在唯一零点x0，∴2＜a＜x0，（2＜x0＜3）．综上所述，a的取值范围为（-∞，x0），故a的最大整数值为2．【解析】（1）函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，对a分类讨论即可得出单调性．（2）利用（1）的单调性，对a分类讨论，进而得出结论．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于难题．。

2019届北京师范大学附属中学高三高考模拟（三）数学（文）试题一、单选题1．已知全集U={1，2，3，4}，集合A={1，2}，B={2，3}，则∁U （A∩B ）=（ ） A ．3，B ．C ．D ．【答案】D【解析】试题分析：根据A 与B 求出两集合的并集，由全集U ，找出不属于并集的元素，即可求出所求的集合． 解：∵A={1，2}，B={2，3}， ∴A ∪B={1，2，3}， ∵全集U={1，2，3，4}， ∴∁U （A ∪B ）={4}． 故选D【考点】交、并、补集的混合运算．2．已知复数z 满足()113z i i +=-+，则复数z 的共轭复数为（ ） A ．1i -+ B ．1i --C ．1i +D ．1i -【答案】C【解析】根据复数模的计算公式先求出模长，再利用复数的除法可得. 【详解】由22(1)|13|(1)(3)2z i i +=-+=-+=，得z=22(1)11(1)(1)i i i i i -==-++-，∴1z i =+． 故选：C ． 【点睛】本题主要考查复数的相关概念，模长求解，共轭复数以及复数运算等，题目虽小，知识点很是丰富. 3．已知双曲线=1的一个焦点F 的坐标为（-5，0），则该双曲线的渐近线方程为（ ）A．B．C．D．【答案】A【解析】利用焦点的坐标，将双曲线的方程求出来，再求出其渐近线方程. 【详解】双曲线的一个焦点为由得，解得双曲线方程为：,双曲线的渐近线方程为.故选A项.【点睛】本题考查求双曲线的方程和双曲线的渐近线方程.属于简单题.4．设D为△ABC所在平面内一点BC=3CD，则（）A．41AD AB AC33=+B．41AD AB AC33=-C．14AD AB AC33=-D．14AD AB AC33=-+【答案】D【解析】利用平面向量的基向量表示AD，把AD向目标向量靠拢即可. 【详解】如图，1141()3333AD AC CD AC BC AC BA AC AC AB =+=+=++=-，故选：D．【点睛】本题主要考查平面向量的基底向量的表示，侧重考查数学运算的核心素养.5．函数f（x）=sin（ωx+）（其中||＜）的图象如图所示，为了得到y=f（x）的图象，只需把y=sinωx的图象上所有点（）A．向右平移个单位长度B．向右平移个单位长度C．向左平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】A【解析】由，可求得其周期T，继而可求得，再利用函数的图象变换及可求得答案．【详解】解：由图知，，，；又，，又，，，，为了得到的图象，则只要将的图象向左平移个单位长度．故选：C．【点睛】本题考查函数的图象变换，求得是关键，考查识图与运算能力，属于中档题．6．已知正项等比数列{a n}满足：a7=a6+2a5，若存在两项a m、a n，使得a m a n=16a12，则1m+9n的最小值为（）A．32B．83C．114D．不存在【答案】C【解析】利用等比数列的通项公式及条件，求出,m n的关系式，结合均值定理可得. 【详解】设正项等比数列{a n }的公比为q ，且q ＞0，由a 7=a 6+2a 5得：a 6q=a 6+62a q， 化简得，q 2-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去）， 因为a m a n =16a 12，所以()()1111m n a qa q --=16a12，则q m+n-2=16，解得m+n=6，所以1911919198(m n)101026663n m n m m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=++=+++⋅= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ . 当且仅当9n m m n =时取等号，此时96n m m n m n ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，解得3292m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 因为mn 取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则1983m n +>， 验证可得，当m=2、n=4时，nm 91+取最小值为114，故选：C ． 【点睛】本题主要考查等比数列的运算及均值定理应用，均值定理使用时注意使用条件. 7．剪纸艺术是中国最古老的民间艺术之一，作为一种镂空艺术，它能给人以视觉上的艺术享受．在如图所示的圆形图案中有12个树叶状图形（即图中阴影部分），构成树叶状图形的圆弧均相同．若在圆内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是（ ）A ．332-B ．634-C ．33D ．63【答案】B【解析】利用扇形知识先求出阴影部分的面积，结合几何概型求解方法可得概率. 【详解】设圆的半径为r ，如图所示，12片树叶是由24个相同的弓形组成，且弓形AmB 的面积为22221113sin 62364S r r r r π=π-⋅⋅=π-弓形． ∴所求的概率为P=24S S 弓形圆222132464634r r r πππ⎛⎫- ⎪⎝⎭==-． 故选：B ． 【点睛】本题主要考查几何概型的求解，侧重考查数学建模的核心素养. 8．已知函数f （x ）=，g （x ）=-e x-1-lnx+a 对任意的x 1∈[1，3]，x 2∈[1，3]恒有f （x 1）≥g （x 2）成立，则a 的范围是（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】先利用导数求出，再解不等式即得解.【详解】 由题得在[1，3]上单调递增，所以由题得，所以函数g （x ）在[1,3]上单调递减，所以，由题得所以.故选：A 【点睛】本题主要考查利用导数求函数的最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题9．若实数x ，y 满足约束条件02100y x y x y m ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩且目标函数z x y =-的最大值为2，则实数m =______． 【答案】2【解析】作出可行域，寻求目标函数取到最大值的点，求出m. 【详解】先作出实数x ，y 满足约束条件02100y x y x y m ≥⎧⎪--≥⎨⎪+-≤⎩的可行域如图，∵目标函数z=x-y 的最大值为2，由图象知z=2x-y 经过平面区域的A 时目标函数取得最大值2．由20x y y -=⎧⎨=⎩，解得A （2，0），同时A （2，0）也在直线x+y-m=0上，∴2-m=0，则m=2， 故答案为：2．【点睛】本题主要考查线性规划，利用最值求解参数，作出可行域是求解的关键.10．已知函数()22xsin x tanx,x 0f x e ,x 0-⎧-<=⎨≥⎩，则25πf f 4⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=______． 【答案】31e 【解析】先求内层函数值，再求外层函数值. 【详解】根据题意，函数22sin tan ,0(),0xx x x f x e x -⎧-<=⎨≥⎩，则225252513sin tan (1)44422f πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=---=--= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 则332531f f f e 42e π-⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭； 故答案为：31e ． 【点睛】本题主要考查分段函数求值问题，分段函数的求值问题主要是利用“对号入座”策略. 11．交通管理部门为了解机动车驾驶员（简称驾驶员）对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查。

北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生先将自已所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚， 将条形码粘贴在指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改 动用先橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。

4.考试结束，监考人员将试卷、答题卷一并收回。

5.保持答题卷清洁，不要折叠、不要弄破。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{{}()122log 0x x a x x ->=<，则实数a 的值为A ．12B ． 2C ．32D ．12.若双曲线223x ty t -= 的焦距为 6 ，则该双曲线的离心率为A ．B C ． D ．3．已知R n m ∈,，i 是虚数单位，若n i mi =-+)1)(1(，则||ni m +的值为A ．2B ． 1C ．5D ．34.已知AB AC ⊥,1AB t=,AC t =,若P 点是ABC ∆所在平面内一点,且AB AC AP ABAC=+,当t 变化时,PB PC ⋅的最大值等于( )A.-2B.0C.2D.45.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,且135a =,则2018a = ( )A.15 B.25 C.35 D.456.某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600．从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行；若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．522B ．324C ．535D ．5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则的值为（ ）328432214256184256345308293143783467643467568653070755353677522534423089060794443283388575122322234553437855568978770732352345786877909689560823420445n 910910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭nA ．10B ．9C ．8D ．78.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)e xxx x f x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 A.211(,)16e -B.211(,0)(0,)16e- C.21(0,)e D.21[0,)e 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =，1l 与2l 之间的距离为 10.已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =11.著名的“31n +猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1. 右边的程序框图示意了31n +猜想，则输出的n 为12.某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，，，，，五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：团队说：第一，第二； 团队说：第三，第四；团队说：第四，第五；团队说：第三，第五；A B C D E A C B B A D C E D D B C团队说：第一，第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队．13.已知平面内两个定点(3,0)M和点(3,0)N-，P是动点，且直线PM,PN的斜率乘积为常数(0)a a≠，设点P的轨迹为C.①存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值；②存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值；③不存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值；④不存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是.（填出所有正确命题的序号）14.如图，在平面四边形ABCD中，90ABC∠=︒，2DCA BAC∠∠=．若BD xBA yBC=+（x y∈R，），则x y-的值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知ABC∆的内角A B C，，的对边分别为a b c，，，满足sin1sin sinb Ca c A B=-++．（1）求角A的值；（2）若=3=22a b，sin(2+)B A的值．E A E16.（本小题满分13分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，1AA =，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，点D 为线段AB 上一点，3AD DB =．（1）求证：1AC ∥平面DEF ；（2）若1AC EF ⊥，求二面角F DE B --的余弦值．17．（本小题满分13分）某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计、两种零件为正品的概率；（2）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是A B 80cm 80cm A B A正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（1）的条件下：（i ）设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望； （ii ）求生产5个零件所得利润不少于160元的概率．18.（本小题满分13分）已知函数()22224ln x a af x x x a +-=-+，a ∈R ．（1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数．19.（本小题满分14分）如图，设椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，且椭圆C 1的离心率是√32．（1）求椭圆C 1的标准方程；（2）过F 作直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．X A B X B20.（本小题满分14分）对于给定的奇数,(3)m m ≥，设A 是由m m ⨯个数组成的m 行m 列的数表，数表中第i 行，第j 列的数{}0,1ij a ∈，记()c i 为A 的第i 行所有数之和，()r j 为A 的第j 列所有数之和，其中{},1,2,...,i j m ∈.对于{},1,2,...,i j m ∈，若()2ij m ma c i -<且2mj <同时成立，则称数对(,)i j 为数表A 的一个“好位置”(1)直接写出右面所给的33⨯数表A 的所有的“好位置”； (2)当5m =时，若对任意的15i ≤≤都有()3c i ≥成立，求数表A 中的“好位置”个数的最小值；(3)求证：数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -．北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题9. 1,- 10. 0,1 11. 6 12. 13.②④ 14.1- 三．解答题15．（本小题满分13分） 解：（1）∵sin 1sin sin b Ca c A B=-++， 由正弦定理得，1b ca c a b=-++． .…….……2分 化简得，222b c a bc +-=． .…….……3分由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==．.…….……5分又0πA <<，∴π3A =． .…….……6分（2）由（Ⅰ）知，π3A =，又 3a =，b = ∴sin sin b A B a =． .…….……8分 又b a <，D∴cos B=．.…….……9分∴sin22sin cosB B B=，.…….……10分21cos212sin3B B=-=-．.…….……11分∴πππsin(2)sin(2)sin2cos cos2sin333B A B B B+=+=+．.…….……13分16. （本小题满分13分）（1）证明：连结1BC交于EF于点H，E、F为BC、1BB的中点，114BH BDBC BA∴==，1AC DH∴∥，DH ⊂面DEF，1AC∴∥面DEF．（2）矩形11BCC B中，连结1C F、1C E，连结AE，AE BC⊥，面1BCC B⊥面ABC，1AE BCC B∴⊥面，AE EF∴⊥，1AC EF⊥，EF∴⊥面1AC E，1EF EC∴⊥，1FECRt△中，22211EF EC FC+=，221112FC B C=+，221184EC BC=+，22124EF BC=+，4BC∴=，以点B为原点，BA为x轴，BC为y轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系，(F，()1,0,0D，()E，(DF=-，()0,DE=，平面DEF的一个法向量()1,,x y z=n，∴11DFDE⎧⋅⎪⎨⋅==⎪⎩nn，即0x⎧-==⎪，取x=)1=n，平面ADE 的一个法向量()20,0,1=n ，()12,cos ∴=n n ，F DE B ∴--． 17．（本小题满分13分）（1）∵指标大于或等于的为正品，且、两种零件为正品的频数分别为80和75， ∴、两种零件为正品的概率估计值分别为，． （2）（i ）由题意知可能取值为，35，50，110，，， ，．∴的分布列为∴的数学期望为． （ii ）∵生产1个零件是正品的概率为，生产5个零件所产生的正品数服从二项分布，即， 生产5个零件所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件， ∴生产5个零件所得利润不少于160元的概率为． 18. （本小题满分13分）80cm A B A B ()8041005P A ==()7531004P B ==X 25-()111255420P X =-=⨯=()41135545P X ==⨯=()133505420P X ==⨯=()431105453P X ==⨯=X X ()()113325355011079.25205205E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=B ()34P B =B Y 35,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭B B ()()41545553138145C C 444128P P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）()()21ln 1x f x x x -=-+，()()()2211x f x x x -'=+，()()()()()24211411x x x x f x x x --+--''=+，则函数()f x '在()0,1单调递减，(1,2上单调递增，()2+∞上单调递减，∵1229f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()10f '=，()94100f '=，x →+∞，()0f x '→， ∴存在切线斜率()0,0.09k ∈，使得()()()123f x f x f x k '''===，()10,1x ∈，()21,4x ∈，()34,x ∈+∞， ∴函数()y f x =图象上是存在3条互相平行的切线．（2）()()()2242224x a a x a f x x x a+-+'=+，当0a ≤，有()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当1a ≥，有0∆<，()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当01a <<，有()()22124121610422200a a x x a a a a x x a ∆⎧=-≥⎪⎪+=-=->⎨⎪⋅=>⎪⎩，∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，22222222424e 220e a a a f a a a a --⎛⎫=-+-<-+-< ⎪ ⎪⎝⎭+， ()2221ln 22ln 10f a a a a a ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭， ()10f <，()4424e 20e a f a=+>+，2224e 1e aa -<<<，∴函数()f x 一个零点在区间222e ,a a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内，一个零点在区间()21,a 内，一个零点在()41,e 内． ∴函数()f x 有三个不同零点．综上所述：当(][),01,a ∈-∞+∞函数()f x 一个零点；当()0,1a ∈函数()f x 三个零点． 19．（本小题满分14分）解：（1）∵椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，∴a =2，又∵椭圆C 1的离心率是√32．∴c =√3，⇒b =1，∴椭圆C 1的标准方程：x 24+y 2=1． （2）过点F （2，0）的直线l 的方程设为：x =my +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立{y 2=8x x=my+2得y 2-8my -16=0．y 1+y 2=8m ，y 1y 2=-16，∴|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8（1+m 2）． 过F 且与直线l 垂直的直线设为：y =-m （x -2） 联立{y =−m(x −2)x 24+y 2=1得（1+4m 2）x 2-16m 2x +16m 2-4=0，x C +2=16m 21+4m 2，⇒x C =2(4m 2−1)4m 2+1．∴|CF |=√1+m 2|x c −x F |=44m 2+1•√1+m 2． △ABC 面积s =12|AB |•|CF |=16(1+m 2)4m 2+1⋅√1+m 2．令√1+m 2=t(t ≥1)，则s =f （t ）=16t 34t 2−3，f ′（t ）=16(4t 4−9t 2)(4t 2−3)2，令f ′（t ）=0，则t 2=94，即1+m 2=94时，△ABC 面积最小．即当m =±√52时，△ABC 面积的最小值为9，此时直线l 的方程为：x =±√52y +2． 20. （本小题满分14分）解：（1）“好位置”有：(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)（2）因为对于任意的1,2,3,4,5i =，()3c i ≥；所以当,1i j a =时，5|5()|532c i -≤-<， 当,0i j a =时，,5|5()|()2i j a c i c i -=>； 因此若(,)i j 为“好位置”， 则必有,1i j a =，且55()2r j -<，即()3r j ≥ 设数表中共有(15)n n ≥个1，其中有t 列中含1的个数不少于3， 则有5t -列中含1的个数不多于2， 所以52(5)15t t n +-≥≥，53t ≥， 因为t 为自然数，所以t 的最小值为2因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过326⨯= 所以，该数表好位置的个数不少于1569-=个 而下面的55⨯数表显然符合题意此数表的“好位置”的个数恰好为9综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9（3） 当(,)i j 为“好位置”时，且,1i j a =时，则有|()|2m m c i -<，所以()2m c i >， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i +≥ 同理得到1()2m r j +≥当(,)i j 为“好位置”，且,0i j a =时，则|()|2m m c i -<，则必有()2m c i <， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i -≤ 同理得到1()2m r j -≤因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设11(),0,(),122m m c i i p c i p i m ++≥≤≤<+≤≤ 11(),0,(),122m m r j j q r j q j m ++≥≤≤<+≤≤ 其中0,p q m ≤≤，,p q ∈N 则数表A 可以分成如下四个子表其中1A 是p 行q 列，3A 是p 行m q -列，2A 是m p -行q 列，4A 是m p -行m q -列设1A ，2A ，3A ，4A 中1的个数分别为1234,,,x x x x则1A ，2A ，3A ，4A 中0的个数分别为12,(),pq x q m p x ---34(),()()p m q x m p m q x -----则数表A 中好位置的个数为14()()x m p m q x +---个 而 1312m x x p ++≥⨯，341()2m x x m q -+≤-⨯ 所以 1411()22m m x x p m q +--≥⨯--⨯所以 141411()()()()()22m m x m p m q x x x m p m q p m q +-+---≥-≥--+⨯--⨯而11()()()22m m m p m q p m q +---+⨯--⨯211()22m m m pm qm pq p m q +-=--++⨯--⨯211222m m m mp q pq -++=⨯-⨯++22111()()2242m m m m mp q +--+=---+21121()()224m m m m p q +-++=--+显然当11()()22m m p q +---取得最小值时，上式取得最小值， 因为0,p q m ≤≤，所以2211211121()()()(0)224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+2211211121()()(0)()224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+当p m =时，数表A 中至少含有12m m +⨯个1， 而11(1)22m m m m m +-⨯>+-⨯，所以q 至少为2 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121()(2)224m m m m m +-++≥--+21m =-当1p m =-时，数表A 中至少含有1(1)2m m +-⨯个1而11(1)22m m m m +--⨯>⨯，所以q 至少为1 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121[(1)](1)224m m m m m +-++≥---+22m =-下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为22m -。

2019北京市清华大学附属中学高三下学期第三次模拟数 学（文）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生先将自已所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚， 将条形码粘贴在指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改 动用先橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。

4.考试结束，监考人员将试卷、答题卷一并收回。

5.保持答题卷清洁，不要折叠、不要弄破。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{{}()122log 0xx a x x ->=<，则实数a 的值为A ．12B ． 2C ．32D ．12.若双曲线223x ty t -= 的焦距为 6 ，则该双曲线的离心率为A ．B C ． D ．3．已知R n m ∈,，i 是虚数单位，若n i mi =-+)1)(1(，则||ni m +的值为A ．2B ． 1C ．5D ．34.已知AB AC ⊥,1AB t=,AC t =,若P 点是ABC ∆所在平面内一点,且AB AC AP ABAC=+,当t 变化时,PB PC ⋅的最大值等于( )A.-2B.0C.2D.45.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,且135a =,则2018a = ( )A.15 B.25 C.35 D.456.某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600．从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行； 若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．522B ．324C ．535D ．5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则的值为（ ）A ．10B ．9C ．8D ．78.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足()()F x f x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是21,0)(0,)e第Ⅱ卷328432214256184256345308293143783467643467568653070755353677522534423089060794443283388575122322234553437855568978770732352345786877909689560823420445n 910910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭n二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =，1l 与2l 之间的距离为 10.已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =11.著名的“31n +猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1. 右边的程序框图示意了31n +猜想，则输出的n 为12.某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，，，，，五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：团队说：第一，第二； 团队说：第三，第四；团队说：第四，第五；团队说：第三，第五； 团队说：第一，第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队．13.已知平面内两个定点(3,0)M 和点(3,0)N -，P 是动点，且直线PM ,PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠，设点P 的轨迹为C .①存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值； ②存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值； ③不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值； ④不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是.（填出所有正确命题的序号）14.如图，在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，2DCA BAC ∠∠=．若BD xBA yBC =+（x y ∈R ，），则x y -的值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A B C D E A C B B A D C E D D B C E A E15．（本小题满分13分）已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++． （1）求角A 的值；（2）若=3a b ，sin(2+)B A 的值．16.（本小题满分13分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，1AA =E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，点D 为线段AB 上一点，3AD DB =．（1）求证：1AC ∥平面DEF ；（2）若1AC EF ⊥，求二面角F DE B --的余弦值． 17．（本小题满分13分）某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：（1A B 80cm 80cm（2）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（1）的条件下：（i ）设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望； （ii ）求生产5个零件所得利润不少于160元的概率．18.（本小题满分13分）已知函数()22224ln x a af x x x a +-=-+，a ∈R ．（1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数．19.（本小题满分14分）如图，设椭圆C 1：+=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，且椭圆C 1的离心率是．（1）求椭圆C 1的标准方程；（2）过F 作直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．20.（本小题满分14分）A X AB XB对于给定的奇数,(3)m m ≥，设A 是由m m ⨯个数组成的m 行m 列的数表，数表中第i 行，第j 列的数{}0,1ij a ∈，记()c i 为A 的第i 行所有数之和，()r j 为A 的第j 列所有数之和，其中{},1,2,...,i j m ∈.对于{},1,2,...,i j m ∈，若()2ij m ma c i -<且2mj <同时成立，则称数对(,)i j为数表A 的一个“好位置”(1)直接写出右面所给的33⨯数表A 的所有的“好位置”； (2)当5m =时，若对任意的15i ≤≤都有()3c i ≥成立，求数表A 中的“好位置”个数的最小值；(3)求证：数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -．数学试题答案一．选择题9. 1,-10. 0,1 11. 6 12. 13.②④ 14.1-三．解答题15．（本小题满分13分）解：（1）∵sin 1sin sin b C a c A B=-++， 由正弦定理得，1b ca c a b=-++． .…….……2分 化简得，222b c a bc +-=． .…….……3分由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==．.…….……5分 又0πA <<， ∴π3A =． .…….……6分 （2）由（Ⅰ）知，π3A =， 又 3a =，b =∴sin sin b A B a =． .…….……8分 又b a <，∴cos B ． .…….……9分 ∴sin 22sin cos B B B ==， .…….……10分 D21cos212sin 3B B =-=-． .…….……11分∴πππsin(2)sin(2)sin 2cos cos2sin 333B A B B B +=+=+． .…….……13分16. （本小题满分13分）（1）证明：连结1BC 交于EF 于点H ，E 、F 为BC 、1BB 的中点，114BH BDBC BA∴==，1AC DH ∴∥， DH ⊂面DEF ，1AC ∴∥面DEF ．（2）矩形11BCC B 中，连结1C F 、1C E ， 连结AE ，AE BC ⊥，面1BCC B ⊥面ABC ，1AE BCC B ∴⊥面，AE EF ∴⊥，1AC EF ⊥，EF ∴⊥面1AC E ，1EF EC ∴⊥，1FEC Rt △中，22211EF EC FC +=，221112FC B C =+，221184EC BC =+，22124EF BC =+，4BC ∴=，以点B 为原点，BA 为x 轴，BC 为y 轴，1BB 为z轴，建立空间直角坐标系，(F ，()1,0,0D，()E，(DF =-，()DE =，平面DEF 的一个法向量()1,,x y z =n ，∴1100DF DE ⎧⋅⎪⎨⋅==⎪⎩n n，即00x ⎧-+==⎪，取x)1=n ，平面ADE 的一个法向量()20,0,1=n ，()12,cos ∴=n n ，F DE B ∴--． 17．（本小题满分13分）（1）∵指标大于或等于的为正品，且、两种零件为正品的频数分别为80和75，80cm A B∴、两种零件为正品的概率估计值分别为，． （2）（i ）由题意知可能取值为，35，50，110， ，， ，．∴的分布列为∴的数学期望为． （ii ）∵生产1个零件是正品的概率为， 生产5个零件所产生的正品数服从二项分布，即，生产5个零件所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件， ∴生产5个零件所得利润不少于160元的概率为 ． 18. （本小题满分13分）（1）()()21ln 1x f x x x -=-+，()()()2211x f x x x -'=+，()()()()()24211411x x x x f x x x --+--''=+，则函数()f x '在()0,1单调递减，(1,2+上单调递增，()2+∞上单调递减， ∵1229f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()10f '=，()94100f '=，x →+∞，()0f x '→，∴存在切线斜率()0,0.09k ∈，A B ()8041005P A ==()7531004P B ==X 25-()111255420P X =-=⨯=()41135545P X ==⨯=()133505420P X ==⨯=()431105453P X ==⨯=X X ()()25355011079.25205205E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=B ()34P B =B Y 35,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭B B ()()41545553138145C C 444128P P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭使得()()()123f x f x f x k '''===，()10,1x ∈，()21,4x ∈，()34,x ∈+∞， ∴函数()y f x =图象上是存在3条互相平行的切线．（2）()()()2242224x a a x a f x x x a+-+'=+，当0a ≤，有()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a=+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当1a ≥，有0∆<，()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当01a <<，有()()22124121610422200a a x x a a a a x x a ∆⎧=-≥⎪⎪+=-=->⎨⎪⋅=>⎪⎩，∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，22222222424e 220e a a a f a a a a --⎛⎫=-+-<-+-< ⎪ ⎪⎝⎭+， ()2221ln 22ln 10f a a a a a ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭， ()10f <，()4424e 20e a f a=+>+，2224e 1e a a -<<<， ∴函数()f x 一个零点在区间222e ,a a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内，一个零点在区间()21,a 内，一个零点在()41,e 内．∴函数()f x 有三个不同零点． 综上所述：当(][),01,a ∈-∞+∞函数()f x 一个零点；当()0,1a ∈函数()f x 三个零点．19．（本小题满分14分）解：（1）∵椭圆C 1： +=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，∴a =2， 又∵椭圆C 1的离心率是．∴c = ，⇒b =1，∴椭圆C 1的标准方程：．（2）过点F （2，0）的直线l 的方程设为：x =my +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立得y 2-8my -16=0． y 1+y 2=8m ，y 1y 2=-16，∴|AB |= =8（1+m 2）．过F 且与直线l 垂直的直线设为：y =-m （x -2） 联立得（1+4m 2）x 2-16m 2x +16m 2-4=0， x C +2= ，⇒x C =．∴|CF |=• ． △ABC 面积s =|AB |•|CF |=．令，则s =f （t ）=，f ′（t ）=，令f ′（t ）=0，则t 2=，即1+m 2=时，△ABC 面积最小．即当m =±时，△ABC 面积的最小值为9，此时直线l 的方程为：x =±y +2． 20. （本小题满分14分）解：（1）“好位置”有：(1,2),(1,3),(2,1),(3,1) （2）因为对于任意的1,2,3,4,5i =，()3c i ≥；所以当,1i j a =时，5|5()|532c i -≤-<， 当,0i j a =时，,5|5()|()2i j a c i c i -=>； 因此若(,)i j 为“好位置”，则必有,1i j a =，且55()2r j -<，即()3r j ≥ 设数表中共有(15)n n ≥个1，其中有t 列中含1的个数不少于3， 则有5t -列中含1的个数不多于2，所以52(5)15t t n +-≥≥，53t ≥， 因为t 为自然数，所以t 的最小值为2因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过326⨯= 所以，该数表好位置的个数不少于1569-=个而下面的55⨯数表显然符合题意此数表的“好位置”的个数恰好为9综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9（3） 当(,)i j 为“好位置”时，且,1i j a =时，则有|()|2m m c i -<，所以()2m c i >， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i +≥同理得到1()2m r j +≥当(,)i j 为“好位置”，且,0i j a =时，则|()|2m m c i -<，则必有()2m c i <， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i -≤同理得到1()2m r j -≤因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设11(),0,(),122m m c i i p c i p i m ++≥≤≤<+≤≤ 11(),0,(),122m m r j j q r j q j m ++≥≤≤<+≤≤ 其中0,p q m ≤≤，,p q ∈N 则数表A 可以分成如下四个子表其中1A 是3p 行m q -列，2A 是m p -行q 列，4A 是m p -行m q -列设1A ，2A ，3A ，4A 中1的个数分别为1234,,,x x x x则1A ，2A ，3A ，4A 中0的个数分别为12,(),pq x q m p x ---34(),()()p m q x m p m q x -----则数表A 中好位置的个数为14()()x m p m q x +---个 而 1312m x x p ++≥⨯，341()2m x x m q -+≤-⨯ 所以 1411()22m m x x p m q +--≥⨯--⨯所以 141411()()()()()22m m x m p m q x x x m p m q p m q +-+---≥-≥--+⨯--⨯而11()()()22m m m p m q p m q +---+⨯--⨯211()22m m m pm qm pq p m q +-=--++⨯--⨯211222m m m mp q pq -++=⨯-⨯++22111()()2242m m m m mp q +--+=---+21121()()224m m m m p q +-++=--+显然当11()()22m m p q +---取得最小值时，上式取得最小值， 因为0,p q m ≤≤，所以2211211121()()()(0)224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+2211211121()()(0)()224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+当p m =时，数表A 中至少含有12m m +⨯个1， 而11(1)22m m m m m +-⨯>+-⨯，所以q 至少为2 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121()(2)224m m m m m +-++≥--+21m =-当1p m =-时，数表A 中至少含有1(1)2m m +-⨯个1 而11(1)22m m m m +--⨯>⨯，所以q 至少为1 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121[(1)](1)224m m m m m +-++≥---+22m =- 下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为22m -。

清华附中高三2019年5月月考试卷数学（理）一、选择题：（共8小题，每小题5分，共40分）1.已知集合{}2,1,0,1A =--，(){}|20B x x x =+<，则A B =I （ ） A. {}|20x x -<< B. {}{}|201x x -<<U C. {}2,1,0-- D. {}1-【答案】D 【分析】解一元二次不等式化简B 的表示，运用集合交集的定义直接求解即可. 【详解】因为(){}{}|20|20B x x x x x =+<=-<<，{}2,1,0,1A =--， 所以A B =I {}1-. 故选：D【点睛】本题考查了集合交集的运算定义，属于基础题. 2.设z 为1ii+的共轭复数，则其虚部为（ ） A.12 B. 12-C.2i D. 1【答案】B 【分析】运用复数除法的运算法则化简复数1ii+，利用共轭复数的定义求出z ，最后求出它的虚部. 【详解】因为(1)11(1)(1)2i i i i i i i ⋅-+==++⋅-，所以由题意可知：12iz -=，该复数的虚部为：12-. 故选：B【点睛】本题考查了复数的除法运算法则，考查了共轭复数的定义，考查了复数虚部的定义，考查了数学运算能力.3.执行如图所示的程序框图，则输出的x 值为（ ）A. 95B. 47C. 23D. 11【答案】B 【分析】按照程序框图运行框图，直至3n >时，退出循环体，输出x 值.【详解】初始条件为：2,0x n ==，因为03n =≤成立，所以2215,011x n =⨯+==+=； 因为13n =≤成立，所以25111,112x n =⨯+==+=； 因为23n =≤成立，所以211123,213x n =⨯+==+=；因为33n =≤成立，所以223147,314x n =⨯+==+=，因为43n =≤不成立，所以退出循环体，输出47x =. 故选：B【点睛】本题考查了根据程序框图求输出变量的值，考查了当型循环结构，属于基础题. 4.已知等比数列{}n a 满足122336a a a a +=+=，，则7a =（ ） A. 64 B. 81 C. 128 D. 243【答案】A试题分析：∵12233{6a a a a +=+=，∴，∴11{2a q ==，∴6671264a a q ===． 考点：等比数列的通项公式． 【此处有视频，请去附件查看】5.已知a r ，b r ，c r是三个向量，则“a b a c +=+r r r r ”是“b c =r r ”的（ ）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【分析】根据充分性、必要性的定义，结合平面向量模的性质、平面向量的数量积定义直接判断即可.【详解】当a b a c +=+r r r r 成立时，例如当0a =r r时，b c =r r ，显然两个平面向量的模相等，这两个平面向量不一定相等，因此由a b a c +=+r r r r 成立时，不一定能得到b c =r r ； 当b c =r r 时，显然a b a c +=+r r r r 成立，所以“a b a c +=+r r r r ”是“b c =r r”的必要而不充分条件. 故选：B【点睛】本题考查了必要不充分条件的判断，考查了平面向量的定义及加法的运算性质，属于基础题.6. 某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ）A. 27B. 30C. 32D. 36【答案】A试题分析：由三视图可知几何体为四棱锥，作出直观图如图所示，其中底面ABCD 是边长为3的正方形，DA ⊥平面PAB AP ⊥，平面4ABCD AP CD =∴⊥，，平面5PAD PB PD ==，，∴11115662222ADP ABP CDP S AD AP S AB AP S CD PD =⋅==⋅==⋅=V V V ，，，11522CBPS BC BP =⋅=V ．∴四棱锥的侧面积1515662722S =+++=． 考点：由三视图求面积、体积．7.中国有个名句“运筹帷幄之中，决胜千里之外”，其中的“筹”原意是指《孙子算经》中记载的算筹，古代是用算筹来进行计算，算筹是将几寸长的小竹棍摆在平面上进行运算，算筹的摆放形式有纵横两种形式，如图，当表示一个多位数时，像阿拉伯计数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，个位，百位，万位数用纵式表示，十位，千位，十万位用横式表示，以此类推．例如 6613 用算筹表示就是，则 8335 用算筹可表示为（ ）A.B.C. D.【答案】B千位8用横式表示为, 百位3用纵式表示为,十位3用横式表示为, 个位5用纵式表示为,因此选B.8.2016年“一带一路”沿线64个国家GDP之和约为12.0万亿美元，占全球GDP的16.0%；人口总数约为32.1亿，占全球总人口的43.4%；对外贸易总额（进口额＋出口额）约为71885.6亿美元，占全球贸易总额的21.7%.2016年“一带一路”沿线国家情况人口（万人）GDP（亿美元）进口额（亿美元）出口额（亿美元）蒙古301.4 116.5 38.7 45.0东南亚11国63852.5 25802.2 11267.2 11798.6南亚8国174499.0 29146.6 4724.1 33085中亚5国6946.7 2254.7 422.7 590.7西亚、北非1943504.6 36467.5 9675.5 8850.7国东欧20国321619 26352.1 9775.5 113884关于“一带一路”沿线国家2016年状况，能够从上述资料中推出的是（）A. 超过六成人口集中在南亚地区B. 东南亚和南亚国家GDP之和占全球的8%以上C. 平均每个南亚国家对外贸易额超过1000亿美元D. 平均每个东欧国家的进口额高于平均每个西亚、北非国家的进口额【答案】C【分析】利用表中所给的数据对四个选项逐一判断即可.【详解】A ：南亚地区人口总数为174499.0万人，“一带一路”沿线国家人口总数为：321266.1万人，所以174499.0321266.154%≈，故本选项说法不正确的；B ：东南亚和南亚国家GDP 之和54948.8亿美元，“一带一路”沿线国家GDP 之和120139.6亿美元，所以54948.8120139.646%≈，所以东南亚和南亚国家GDP 之和占“一带一路”沿线国家GDP 之和的46%，因此东南亚和南亚国家GDP 之和占全球的(46%)(16%)7%⨯≈，故本选项说法是不正确的；C ：南亚国家对外贸易额的平均值为：4724.13308.100085.075+=，故本选项说法是正确的；D ：平均每个东欧国家的进口额为：488.775209775.5=，平均每个西亚、北非国家的进口额为：509.24199675.5≈，故本选项说法是不正确的. 故选：C【点睛】本题考查了根据数据对一些说法进行判断，考查了平均数的求法，考查了数学阅读能力.二、填空题：（共6小题，每小题5分，共30分）9.在极坐标系中，圆2cos ρθ=被直线1cos 2ρθ=所截得的弦长为____．由题意得圆22222(1)1x y x x y +=⇒-+= ，直线12x =，所以交点为1(,2 ，弦长(= 10.已知椭圆()222210x y a b a b +=>>的离心率是13，则双曲线22221x y a b-=的两条渐近线方程为______.【答案】y x = 【分析】设椭圆的焦距为2c ，根据椭圆的离心率公式可得椭圆中,a c 之间的关系，再利用椭圆中,,a b c的关系求出,a b 之间的关系，最后根据双曲线的渐近线方程求出双曲线22221x y a b-=的两条渐近线方程.【详解】设椭圆的焦距为2c ，由题意可知：2222222198933c b a c c a b a b a a =⇒==-∴=⇒=±Q ，所以双曲线22221x y a b -=的两条渐近线方程为：y x =.故答案为：y x = 【点睛】本题考查了双曲线的渐近线方程，考查了椭圆的离心率公式，考查了数学运算能力. 11.已知函数()(0,1)x f x a b a a =+>≠的定义域和值域都是[]1,0-，则a b += . 【答案】32-若1a >，则()f x 在[]1,0-上为增函数,所以11{10a b b -+=-+=，此方程组无解；若01a <<，则()f x 在[]1,0-上为减函数,所以10{11a b b -+=+=-，解得1{22a b ==-，所以32a b +=-.考点：指数函数的性质. 【此处有视频，请去附件查看】12.设变量 x y ，满足约束条件201x y x y y +≤⎧⎪-≥⎨⎪≥-⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为__________． 【答案】5作出可行域如图：由201x y y +-=⎧⎨=-⎩解得31A -（，），由2z x y =+得2y x z =-+，平移直线2y x =-，结合图象知，直线过点A 时，max 5z =，故填5. 13.在ABC ∆中，60A =︒，7a =3b =，则c =______.【答案】1或2 【分析】利用余弦直接求解即可.【详解】由余弦定理可知：22222cos 320a b c bc A c c =+-⋅⇒-+=，解得1c =或2. 故答案为：1或2【点睛】本题考查了余弦定理的应用，考查了数学运算能力.14.对于各数互不相等的整数数组()12,,,n i i i L （其中n 是不小于3的正整数），若{},1,2,,p q n ∀∈⋅⋅⋅，当p q <时，有p q i i >，则称p i ，q i 为该数组的一个“逆序”，一个数组中所有“逆序”的个数称为该数组的“逆序数”，如数组()2,3,1的逆序数等于2. （1）数组()5,2,4,3,1的逆序数等于______.（2）若数组()12,,,n i i i L 的逆序数为n ，则数组()11,,,n n i i i -L 的逆序数为______.【答案】 (1). 8 (2). ()2232n n n C n -- 【分析】（1）根据逆序数的定义直接求解即可；（2）对于含有n 个数字的数组中，首先考虑任意两个数可以组成一对数对，送到逆序的个数即可.【详解】（1）根据逆序数的定义可知：数组()5,2,4,3,1的逆序有：5,2;5,4;5,3;5,1;2,1;4,3;4,1;3,1，一共8个，故数组()5,2,4,3,1的逆序数等于8；（2）数组()12,,,n i i i L 可以组成2(1)2n n n C -=个数列，而数组()12,,,n i i i L 的逆序数为n ，所以数组()11,,,n n i i i -L 的逆序数为2232nn nC n --=.故答案为：8；()2232n n n C n --【点睛】本题考查了新定义题，考查了数学阅读能力，考查了组合的应用，考查了数学运算能力.三、解答题：（共6小题，共80分）15.已知()()2sin sin x x x f x =. （1）求函数()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上最大值和最小值； （2）若曲线()y f x =的对称轴只有一条落在区间[]0,m 上，求m 的取值范围. 【答案】（1）()min 0f x =； ()max 3f x =.（2）5,36m ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭【分析】（1）运用降幂公式、二倍角的正弦公式和辅助角公式，把函数解+析式化为正弦型函数解+析式形式，由正弦函数的单调性求出函数的最值；（2）根据正弦型函数的解+析式求出对称轴，根据题意求出m 的取值范围.【详解】（1）()22sin cos f x x x x =+1cos 22x x =-2sin 216x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时， 52,666x x ππ⎡⎤-∈-⎢⎥⎣⎦， 由正弦函数的性质知： 当266x ππ-=-，即0x =时，()min 0f x =，当226x ππ-=，即3x π=时，()max 3f x =.（2）由262x k πππ-=+，k Z ∈，得32kx ππ=+，k Z ∈， 1k =-时，6x π=-，0k =时，3x π=，1k =时，56x π=.又()f x 对称轴只有一条在[]0,m 上， ∴5,36m ππ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭. 【点睛】本题考查了正弦型函数的最值问题，考查了降幂公式、二倍角的正弦公式、辅助角公式，考查了正弦型函数的单调性和对称性，考查了数学运算能力.16.某电视台举行文艺比赛，并通过网络对比赛进行直播．比赛现场有5名专家评委给每位参赛选手评分，场外观众可以通过网络给每位参赛选手评分．每位选手的最终得分由专家评分和观众评分确定．某选手参与比赛后，现场专家评分情况如表；场外有数万名观众参与评分，将评分按照[7，8），[8，9），[9，10]分组，绘成频率分布直方图如图：专家A B C D E 评分 9.69.59.68.99.7（1）求a 的值，并用频率估计概率，估计某场外观众评分不小于9的概率；（2）从5名专家中随机选取3人，X 表示评分不小于9分的人数；从场外观众中随机选取3人，用频率估计概率，Y 表示评分不小于9分的人数；试求E （X ）与E （Y ）的值； （3）考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分：方案一：用所有专家与观众的评分的平均数x 作为该选手的最终得分，方案二：分别计算专家评分的平均数1x 和观众评分的平均数2x ，用122x x +作为该选手最终得分．请直接写出x 与122x x +的大小关系． 【答案】（1）10.3,2；（2）见解+析；（3）122x x x +＜. 【分析】（1）由频率和为1可得a 的值，用某场外观众评分不小于9的频率可估计概率； （2）计算概率可得分布列和期望． （3）由两组数据的比重可直接作出判断.．【详解】（1）由图知10.20.50.3a =--=，某场外观众评分不小于9的概率是12． （2）X 的可能取值为2，3．P （X =2）=21413535C C C =；P （X =3）=343525C C =． 所以X 的分布列为 X23P 3525所以E （X ）=2×32123555+⨯=． 由题意可知，132Y B ⎛⎫ ⎪⎝⎭～，，所以E （Y ）=np =32． （3）122x x x +＜． 【点睛】本题考查了离散型随机变量的期望考查了超几何分布和二项分布，属中档题． 17.如图，直四棱柱1111ABCD A B C D -的底面ABCD 是边长为2的菱形，3BAD π∠=，12AA =.E 、F 分别为BC 和1CC 的中点.平面AEF 与棱1DD 所在直线交于点G .（1）求证：平面DEF ⊥平面11BCC B ； （2）求直线1A C 与平面AEF 所成角的正弦值； （3）判断点1D 是否与点G 重合.【答案】（1）证明见解+析（2（3）G 与1D 重合. 【分析】（1）在平面ABCD 中，利用菱形的性质可以证明出DE BC ⊥，结合直棱柱的性质、线面垂直的性质定理可以证明出1DE BB ⊥，这样利用线面垂直、面面垂直的判定定理证明出平面DEF ⊥平面11BCC B ；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式求出直线1A C 与平面AEF 所成角的正弦值；（3）通过空间向量数量积公式可得1D F n ⊥u u u u r r，利用线面的相交关系，可以证明出点1D 与点G重合.或者通过设点G 的坐标，通过空间向量数量积公式，由0GF n ⋅=u u u r r，可以求出G 的坐标，这样就可以证明出点1D 与点G 重合.【详解】证明：（1）如图所示，连结DB ，DE ， ∵四边形ABCD 为菱形， 且3BAD π∠=，∴DB DC CB ==，又E 为等边BCD ∆的边BC 的中点， ∴DE BC ⊥.又直四棱柱中，1B B ⊥平面ABCD ，DE ⊂平面ABCD ，∴1DE BB ⊥.又1BB BC B =I ，1,BB BC ⊂平面11B BCC ， ∴DE ⊥平面11BCC B ，又DE ⊂平面DEF ，∴平面DEF ⊥平面11BCC B . （2）法1：∵1DD ，DA ，DE 三线垂直，∴以D 为原点，DA ，DE ，1DD 所在的直线为x ，y ，z 轴建系，则()2,0,0A ，()12,0,2A ，()1,3,0C -，()0,3,0E，()1,3,1F -，()2,3,0AE =-u u u r，()1,0,1EF =-u u u r，()13,3,2AC =--u u u r ，设平面AEF 的法向量为()000,,n x y z =r，则0000023000n AE x y n AF x z ⎧⎧⋅=-+=⎪⎪⇒⎨⎨⋅=-+=⎪⎪⎩⎩u u u v v u u u v v ， 令03=x 得()3,2,3n =r.设直线1A C 与平面AEF 所成角为θ，则111sin cos ,n AC n AC n AC θ⋅==r u u u r r u u u r r u u u r 3323233301610-+-==⨯. ∴直线1A C 与平面所成角正弦值为33040.法2：如图所示，连结AC ，BD 交于点O .连接11A C ，11B D 交于O ， ∵四边形ABCD 为菱形，∴AC BD ⊥，又11//OO BB ，1BB ⊥底面ABCD ，∴1OO ⊥平面ABCD . 易得OB ，OC ，1OO 三线垂直，如图所示.以O 为原点，OB ，OC ，1OO 所在直线为x ，y ，z 轴建系，则()0,A ，()1,0,0B，()C，12E ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭，()F ，()10,2A，()10,2AC =-u u u r，12AE ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u r，()AF =u u u r ，设平面AEF 的法向量为()000,,n x y z =r，则00n AE n AF ⎧⋅=⎨⋅=⎩u u u v v u u u v v，即00001020x z ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，令01y =-得(n =-r，∴111cos ,n A C n A C n A C ⋅=r u u u rr u u u r r u u ur ==， 设直线1A C 与平面AEF 所成的角为θ，则1sin cos ,AC n θ==u u u r r（3）法1：()10,0,2D ，()3,1F -，∴()13,1D F =--u u u u r，又132330D F n ⋅=-=u u u u r r， ∴1D F n ⊥u u u u r r ，又F ∈平面AEF ，∴1D ∈平面AEF ， 即1D =平面1AEF DD I ， 由已知G =平面1AEF DD I ， 且1DD ⊄平面AEF ， ∴1D 与G 点重合. 法2：设()0,0,G λ.则()3,1GF λ=--u u u r，∴0GF n ⋅=u u u r r，即()102λλ-=⇒=，∴()0,0,2G ，又()10,0,2D ， 即G 与1D 重合.【点睛】本题考查了面面垂直的判定定理，考查了利用空间向量求线面角，考查了推理论证能力和数学运算能力.18.已知抛物线E ：22y px =经过点()4,4P ，过点()0,2Q 作直线l 交E 于A ，B 两点，PA 、PB 分别交直线43x =-于M ，N 两点.（1）求E 的方程和焦点坐标； （2）设4,03D ⎛⎫-⎪⎝⎭，求证：DM DN ⋅为定值. 【答案】（1）抛物线E ：24y x =，焦点()1,0F （2）证明见解+析 【分析】（1）把()4,4P 的坐标代入抛物线方程中求出E 的方程，写出焦点坐标即可；（2）设出直线l 的方程，与抛物线方程联立，根据判别式求出直线l 方程中的参数取值范围，设出直线PA 的方程，与43x =-联立，求出M 点坐标，同理求出N 点坐标，求出DM DN ⋅的表达式，结合根与系数的关系，最后计算DM DN ⋅的结果是常数即可. 【详解】解：（1）∵抛物线22y px =经过点()4,4P ，∴248p =，∴2p =，抛物线E ：24y x =，焦点()1,0F .证明：（2）∵l 过点()0,2Q 且与抛物线交于两点， ∴l 的斜率存在且不为0. 设l ：()2x m y =-，()2224804x m y y my m y x⎧=-⇒-+=⎨=⎩，由>0∆得220m m ->，即0m <或2m >， 设()11,A x y ，()22,B x y ， 则124y y m +=，128y y m =，PA l ：()()11144444y y x x x --=-≠-， 令43x =-得()11112161634x y y x -+=-，∴()1111216164,334x y M x ⎛⎫-+- ⎪ ⎪-⎝⎭，同理得()2221216164,334x y N x ⎛⎫-+-⎪ ⎪-⎝⎭， ∴()()112212121661216163434D x y x y x D x M N ⋅-+-+=--()()()()121212121221121216912161612169416x x x x y y y y x y x y x x x x +++-+-++⎡⎤⎣⎦=-++⎡⎤⎣⎦，其中222212121211144416x x y y y y m =⨯==， ()()1212441x x m y y m m +=+-=-，22122112211144x y x y y y y y +=+()21212184y y y y m =+=， 将以上3式代入上式得()()22216364811286496169416116m m m m m m DM DN m m m ⎡⎤+-+--+⎣⎦=-+⋅⎡⎤-⎣⎦()()22161216161699121616m m m m ⨯-++==-++为定值. （0m <或2m >时，21216160m m -++≠）【点睛】本题考查了抛物线的标准方程和焦点坐标，考查了直线与抛物线的位置关系，考查了抛物线中定值问题，考查了数学运算能力.19.已知函数()()2221ln f x x ax a x =-+-，其中a R ∈.（1）当0a =时，求()y f x =函数图像在点()()1,1f 处的切线； （2）求函数()f x 的单调递减区间；（3）若函数()f x 的在区间[]1,e 的最大值为4a -，求a 的值. 【答案】（1）1y =（2）①当2a =时，无减区间； ②当2a >时，()f x 减区间为()1,1-a . ③当12a <<时，()f x 减区间为()1,1a -. ④当1a ≤时，()f x 减区间为()0,1；（3）2226e a e -=-【分析】（1）对函数进行求导，然后根据导数的几何意义求出切线的斜率，最后求出切线方程即可； （2）对函数进行求导，让导函数为零，根据导函数为零的根的正负性、两根之间的大小关系进行分类讨论求出函数的单调区间；（3）根据（2）中的结论，结合已知求出a 的值.【详解】解：（1）0a =时，()()22ln 0f x x x x =->，()2'2f x x x=-，()'1220f =-=，()11f =，切线：1y =.（2）()()()21'220a f x x a x x-=-+> ()()()22112221x x a x ax a x x---⎡⎤-+-⎣⎦==， ①当11a -=即2a =时，()()221'0x f x x-=≥恒成立，∴()f x 在()0,∞+递增，无减区间； ②当11a ->即2a >时，∴()f x 减区间()1,1-a .③当011a <-<，即12a <<时，∴()f x 减区间为()1,1a -. ④当10a -≤即1a ≤时，∴()f x 减区间为()0,1.综上所述：①当2a =时，无减区间；②当2a >时，()f x 减区间为()1,1-a . ③当12a <<时，()f x 减区间为()1,1a -. ④当1a ≤时，()f x 减区间为()0,1； （3）由（2）问结论知，(],2a ∈-∞时，()f x 在[]1,e 上单调递增，∴()()max f x f e = 22224e ae a a =-+-=-(]22,226e a e -⇒=∈-∞-合题意，由（2）知，当2a >时，()max f x 在()1f 处或()f e 处取到， 又()1124f a a =-=-时，()12,2a =-∉+∞且()f e 最大也不成立. ∴2226e a e -=-. 【点睛】本题考查了曲线的切线方程，考查了利用导数求函数的减区间，考查了数学运算能力.20.无穷数列{}n a 满足：13a =，且对任意正整数n ，1n a +为前n 项1a ，2a ，…，n a 中等于n a 的项的个数.（1）直接写出2a ，3a ，4a ，5a ； （2）求证：该数列中存在无穷项的值为1； （3）已知1,30,3n n n a b a ≤⎧=⎨>⎩，求12n b b b ++⋅⋅⋅+.【答案】（1）23451,1,2,1a a a a ====；（2）证明见解+析过程；（3）(10)10(66264,2)29(6163,2)2n n n n S n k n k n k k n n k n k k ⎧⎪≤⎪+⎪===+=+≥⎨⎪+⎪=±=+≥⎪⎩或或或 【分析】（1）根据题意直接求解即可； （2）运用反证法证明即可；（3）先求出前若干项发现规律，分类讨论求亲解即可.【详解】（1）因为13a =，所以由题意可得：23451,1,2,1a a a a ====； （2）假设{}n a 中只出现有限个1，当妨设最后出现1的项是第k 项，即1k a =.当1n k ≥+时，显然02n k a a ≤≤，若0k a 是数列12,,,k a a a L 中，最大的项，所以数列中存在无数项是相等的，不妨设下标由小及大的这些项为：()1211j i i i a a a i k ====≥+L L ， 设数列12,,,k a a a L 中，等于1i a 的项共有(0)λλ≥项，到01k j a =+，所以有00111j i k k a a a λ+=++≥+，这与02n k a a ≤≤相矛盾，故假设{}n a 中只出现有限个1不成立，即该数列中存在无穷项的值为1；（3）通过计算可求出数列前30项值如下：{}{}{}123456789103112132233111213141516171819204142435152212223242526272829305361626371n n n a a a n nn通过上表可知：从第11项起有以下规律：616616263642,1,2,2,2,3(2)k k k k k k a k a a k a a k a k -++++=+==+==+=≥，当10n ≤时，1n n b S n =⇒=； 当64(2)n k k =+≥时，()10616616263642210337k kn i i i i i i i i S S b b b b b b k -++++===++++++=+=+∑∑；当63(2)n k k =+≥时，()106461661626364236kn k i i i i i i i S S b b b b b b b k +-++++==-++++++=+∑；当62(2)n k k =+≥时，()10646361661626364236kn k k i i i i i i i S S b b b b b b b b k ++-++++==--++++++=+∑；当61(2)n k k =+≥时，()1064636261661626364235kn k k k i i i i i i i S S b b b b b b b b b k +++-++++==---++++++=+∑；当6(2)n k k =≥时，()106463626161661626364235kn k k k k i i i i i i i S S b b b b b b b b b b k ++++-++++==----++++++=+∑当61(2)n k k =-≥时，()1064636261661661626364234kn k k k k k i i i i i i i S S b b b b b b b b b b b k ++++-++++==-----++++++=+∑综上所述：(10)10(66264,2)29(6163,2)2n n n n S n k n k n k k n n k n k k ⎧⎪≤⎪+⎪===+=+≥⎨⎪+⎪=±=+≥⎪⎩或或或【点睛】本题考查数学阅读能力，考查了分类讨论思想，考查了反证法。

北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生先将自已所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚， 将条形码粘贴在指定区域。

2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改 动用先橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。

第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答。

在试题卷上作答，答案无效。

3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。

4.考试结束，监考人员将试卷、答题卷一并收回。

5.保持答题卷清洁，不要折叠、不要弄破。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{{}()122log 0x x a x x ->=<，则实数a 的值为A ．12B ． 2C ．32D ．12.若双曲线223x ty t -= 的焦距为 6 ，则该双曲线的离心率为A ．B C ． D ．3．已知R n m ∈,，i 是虚数单位，若n i mi =-+)1)(1(，则||ni m +的值为A ．2B ． 1C ．5D ．34.已知AB AC ⊥u u u r u u u r ,1AB t =u u ur ,AC t =u u u r ,若P 点是ABC ∆所在平面内一点,且AB AC AP AB AC =+u u u r u u u ru u u r u u u r u u u r ,当t 变化时,PB PC ⋅u u u r u u u r的最大值等于( )A.-2B.0C.2D.45.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,且135a =,则2018a = ( )A.15 B.25 C.35 D.456.某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600．从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行；若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．522B ．324C ．535D ．5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则的值为（ ）328432214256184256345308293143783467643467568653070755353677522534423089060794443283388575122322234553437855568978770732352345786877909689560823420445n 910910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭nA ．10B ．9C ．8D ．78.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)e xxx x f x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 A.211(,)16e -B.211(,0)(0,)16e-U C.21(0,)e D.21[0,)e 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =，1l 与2l 之间的距离为 10.已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =11.著名的“31n +猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1. 右边的程序框图示意了31n +猜想，则输出的n 为12.某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，，，，，五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：团队说：第一，第二； 团队说：第三，第四；团队说：第四，第五；团队说：第三，第五；A B C D E A C B B A D C E D D B C团队说：第一，第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队．13.已知平面内两个定点(3,0)M 和点(3,0)N -，P 是动点，且直线PM ,PN 的斜率乘积为常数(0)a a ≠，设点P 的轨迹为C .①存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值； ②存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值；③不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值； ④不存在常数(0)a a ≠，使C 上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值. 其中正确的命题是.（填出所有正确命题的序号）14.如图，在平面四边形ABCD 中，90ABC ∠=︒，2DCA BAC ∠∠=．若BD xBA yBC =+u u u ru u u ru u u r（x y ∈R ，），则x y -的值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知ABC ∆的内角A B C ，，的对边分别为a b c ，，，满足sin 1sin sin b Ca c A B=-++． （1）求角A 的值；（2）若=3=22a b ，sin(2+)B A 的值．E A E16.（本小题满分13分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，1AA =，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，点D 为线段AB 上一点，3AD DB =u u u ru u u r．（1）求证：1AC ∥平面DEF ；（2）若1AC EF ⊥，求二面角F DE B --的余弦值．17．（本小题满分13分）某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计、两种零件为正品的概率；（2）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是A B 80cm 80cm A B A正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（1）的条件下：（i ）设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望； （ii ）求生产5个零件所得利润不少于160元的概率．18.（本小题满分13分）已知函数()22224ln x a af x x x a +-=-+，a ∈R ．（1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数．19.（本小题满分14分）如图，设椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，且椭圆C 1的离心率是√32．（1）求椭圆C 1的标准方程；（2）过F 作直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．X A B X B20.（本小题满分14分）对于给定的奇数,(3)m m ≥，设A 是由m m ⨯个数组成的m 行m 列的数表，数表中第i 行，第j 列的数{}0,1ij a ∈，记()c i 为A 的第i 行所有数之和，()r j 为A 的第j 列所有数之和，其中{},1,2,...,i j m ∈.对于{},1,2,...,i j m ∈，若()2ij m ma c i -<且2mj <同时成立，则称数对(,)i j 为数表A 的一个“好位置”(1)直接写出右面所给的33⨯数表A 的所有的“好位置”； (2)当5m =时，若对任意的15i ≤≤都有()3c i ≥成立，求数表A 中的“好位置”个数的最小值；(3)求证：数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -．北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题9. 1,- 10. 0,1 11. 6 12. 13.②④ 14.1- 三．解答题15．（本小题满分13分） 解：（1）∵sin 1sin sin b Ca c A B=-++， 由正弦定理得，1b ca c a b=-++． .…….……2分 化简得，222b c a bc +-=． .…….……3分由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==．.…….……5分又0πA <<，∴π3A =． .…….……6分（2）由（Ⅰ）知，π3A =，又 3a =，b = ∴sin sin b A B a =． .…….……8分 又b a <，D∴cos B=．.…….……9分∴sin22sin cosB B B=，.…….……10分21cos212sin3B B=-=-．.…….……11分∴πππsin(2)sin(2)sin2cos cos2sin333B A B B B+=+=+．.…….……13分16. （本小题满分13分）（1）证明：连结1BC交于EF于点H，EQ、F为BC、1BB的中点，114BH BDBC BA∴==，1AC DH∴∥，DH⊂Q面DEF，1AC∴∥面DEF．（2）矩形11BCC B中，连结1C F、1C E，连结AE，AE BC⊥Q，面1BCC B⊥面ABC，1AE BCC B∴⊥面，AE EF∴⊥，1AC EF⊥Q，EF∴⊥面1AC E，1EF EC∴⊥，1FECRt△中，22211EF EC FC+=，221112FC B C=+Q，221184EC BC=+，22124EF BC=+，4BC∴=，以点B为原点，BA为x轴，BC为y轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系，(F，()1,0,0D，()E，(DF=-u u u r，()DE=u u u r，平面DEF的一个法向量()1,,x y z=n，∴11DFDE⎧⋅⎪⎨⋅==⎪⎩u u u ru u u rnn，即0x⎧-==⎪，取x=)1=n，平面ADE 的一个法向量()20,0,1=n ，()12,cos ∴=n n ，F DE B ∴--． 17．（本小题满分13分）（1）∴指标大于或等于的为正品，且、两种零件为正品的频数分别为80和75， ∴、两种零件为正品的概率估计值分别为，． （2）（i ）由题意知可能取值为，35，50，110，，， ，．∴的分布列为∴的数学期望为． （ii ）∴生产1个零件是正品的概率为，生产5个零件所产生的正品数服从二项分布，即， 生产5个零件所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件， ∴生产5个零件所得利润不少于160元的概率为． 18. （本小题满分13分）80cm A B A B ()8041005P A ==()7531004P B ==X 25-()111255420P X =-=⨯=()41135545P X ==⨯=()133505420P X ==⨯=()431105453P X ==⨯=X X ()()113325355011079.25205205E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=B ()34P B =B Y 35,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭B B ()()41545553138145C C 444128P P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）()()21ln 1x f x x x -=-+，()()()2211x f x x x -'=+，()()()()()24211411x x x x f x x x --+--''=+，则函数()f x '在()0,1单调递减，(1,2上单调递增，()2+∞上单调递减，∴1229f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()10f '=，()94100f '=，x →+∞，()0f x '→， ∴存在切线斜率()0,0.09k ∈，使得()()()123f x f x f x k '''===，()10,1x ∈，()21,4x ∈，()34,x ∈+∞， ∴函数()y f x =图象上是存在3条互相平行的切线．（2）()()()2242224x a a x a f x x x a+-+'=+，当0a ≤，有()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当1a ≥，有0∆<，()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当01a <<，有()()22124121610422200a a x x a a a a x x a ∆⎧=-≥⎪⎪+=-=->⎨⎪⋅=>⎪⎩，∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，22222222424e 220e a a a f a a a a --⎛⎫=-+-<-+-< ⎪ ⎪⎝⎭+， ()2221ln 22ln 10f a a a a a ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭， ()10f <，()4424e 20e a f a=+>+，2224e 1e aa -<<<，∴函数()f x 一个零点在区间222e ,a a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内，一个零点在区间()21,a 内，一个零点在()41,e 内． ∴函数()f x 有三个不同零点．综上所述：当(][),01,a ∈-∞+∞U 函数()f x 一个零点；当()0,1a ∈函数()f x 三个零点． 19．（本小题满分14分）解：（1）∵椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，∴a =2，又∵椭圆C 1的离心率是√32．∴c =√3，⇒b =1，∴椭圆C 1的标准方程：x 24+y 2=1． （2）过点F （2，0）的直线l 的方程设为：x =my +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立{y 2=8x x=my+2得y 2-8my -16=0．y 1+y 2=8m ，y 1y 2=-16，∴|AB |=2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8（1+m 2）． 过F 且与直线l 垂直的直线设为：y =-m （x -2） 联立{y =−m(x −2)x 24+y 2=1得（1+4m 2）x 2-16m 2x +16m 2-4=0，x C +2=16m 21+4m 2，⇒x C =2(4m 2−1)4m 2+1．∴|CF |=√1+m 2|x c −x F |=44m 2+1•√1+m 2． △ABC 面积s =12|AB |•|CF |=16(1+m 2)4m +1⋅√1+m 2．令√1+m 2=t(t ≥1)，则s =f （t ）=16t 34t 2−3，f ′（t ）=16(4t 4−9t 2)(4t 2−3)2，令f ′（t ）=0，则t 2=94，即1+m 2=94时，△ABC 面积最小．即当m =±√52时，△ABC 面积的最小值为9，此时直线l 的方程为：x =±√52y +2． 20. （本小题满分14分）解：（1）“好位置”有：(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)（2）因为对于任意的1,2,3,4,5i =，()3c i ≥；所以当,1i j a =时，5|5()|532c i -≤-<， 当,0i j a =时，,5|5()|()2i j a c i c i -=>； 因此若(,)i j 为“好位置”， 则必有,1i j a =，且55()2r j -<，即()3r j ≥ 设数表中共有(15)n n ≥个1，其中有t 列中含1的个数不少于3， 则有5t -列中含1的个数不多于2， 所以52(5)15t t n +-≥≥，53t ≥， 因为t 为自然数，所以t 的最小值为2因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过326⨯= 所以，该数表好位置的个数不少于1569-=个 而下面的55⨯数表显然符合题意此数表的“好位置”的个数恰好为9综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9（3） 当(,)i j 为“好位置”时，且,1i j a =时，则有|()|2m m c i -<，所以()2m c i >， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i +≥ 同理得到1()2m r j +≥当(,)i j 为“好位置”，且,0i j a =时，则|()|2m m c i -<，则必有()2m c i <， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i -≤ 同理得到1()2m r j -≤因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设11(),0,(),122m m c i i p c i p i m ++≥≤≤<+≤≤ 11(),0,(),122m m r j j q r j q j m ++≥≤≤<+≤≤ 其中0,p q m ≤≤，,p q ∈N 则数表A 可以分成如下四个子表其中1A 是p 行q 列，3A 是p 行m q -列，2A 是m p -行q 列，4A 是m p -行m q -列设1A ，2A ，3A ，4A 中1的个数分别为1234,,,x x x x则1A ，2A ，3A ，4A 中0的个数分别为12,(),pq x q m p x ---34(),()()p m q x m p m q x -----则数表A 中好位置的个数为14()()x m p m q x +---个 而 1312m x x p ++≥⨯，341()2m x x m q -+≤-⨯ 所以 1411()22m m x x p m q +--≥⨯--⨯所以 141411()()()()()22m m x m p m q x x x m p m q p m q +-+---≥-≥--+⨯--⨯而11()()()22m m m p m q p m q +---+⨯--⨯211()22m m m pm qm pq p m q +-=--++⨯--⨯211222m m m mp q pq -++=⨯-⨯++22111()()2242m m m m mp q +--+=---+21121()()224m m m m p q +-++=--+显然当11()()22m m p q +---取得最小值时，上式取得最小值， 因为0,p q m ≤≤，所以2211211121()()()(0)224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+2211211121()()(0)()224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+当p m =时，数表A 中至少含有12m m +⨯个1， 而11(1)22m m m m m +-⨯>+-⨯，所以q 至少为2 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121()(2)224m m m m m +-++≥--+21m =-当1p m =-时，数表A 中至少含有1(1)2m m +-⨯个1而11(1)22m m m m +--⨯>⨯，所以q 至少为1 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121[(1)](1)224m m m m m +-++≥---+22m =-下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为22m -。

2019年北京市海淀区清华大学附中中考数学模拟试卷（3月份）一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列说法正确的是（）A．不是有限小数就是无理数B．带根号的数都是无理数C．无理数一定是无限小数D．所有无限小数都是无理数2．若x＝﹣4，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜63．下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个4．不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤1D．a＞15．在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是（）A．线段B．与原三角形全等的三角形C．变形的三角形D．点6．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍7．某次“迎奥运”知识竞赛中共20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，选手至少要答对（）道题，其得分才会不少于95分？A．14B．13C．12D．118．甲、乙两同学同时从学校出发，步行12千米到李村．甲比乙每小时多走1千米，结果甲比乙早到15分钟．若设乙每小时走x千米，则所列出的方程式（）A．B．C．D．9．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线上y＝﹣x+8的一点，过点P作⊙O 的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．4B．2C．8﹣2D．210．若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠0二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．若式子+有意义，则x的取值范围是．12．（x﹣3y）（x+3y）＝．13．已知扇形的弧长为4π，圆心角为120°，则它的半径为．14．在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，小明测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为米．15．将抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：16．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为．三．解答题（共6小题）17．已知关于x的一元二次方程x2+5x+3﹣3m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，求此时方程的根．18．如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB＝80.0米，∠PAB＝38.5°，∠PBA ＝26.5°．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°＝0.62，cos38.5°＝0.78，tan38.5°＝0.80，sin26.5°＝0.45，cos26.5°＝0.89，tan26.5°＝0.50）19．在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D 表示）；（2）我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．20．某地下管道，若由甲队单独铺设，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独铺设，需要超过规定时间15天才能完成，如果先由甲、乙两队合做10天，再由乙队单独铺设正好按时完成．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民交通的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成，那么该工程施工费用是多少？21．2017年元旦莫小贝在襄阳万达广场购进一家商铺，装修后用于销售某品牌的女装.2018元旦莫小贝盘点时发现：2017年自家店内女装的平均成本为4百元/件，当年的销售量y（百件）与平均销售价格x（百元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）若莫小贝购商铺及装修一共花了120万元，请通过计算说明2017年莫小贝是赚还是亏？若赚，最多赚多少元？若亏，最少亏多少元？22．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：．2019年北京市海淀区清华大学附中中考数学模拟试卷（3月份）参考答案与试题解析一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分）1．下列说法正确的是（）A．不是有限小数就是无理数B．带根号的数都是无理数C．无理数一定是无限小数D．所有无限小数都是无理数【分析】根据无理数的概念判断即可．【解答】解：A、不是有限小数，如无限循环小数不是无理数，错误；B、带根号的数不一定是无理数，如，错误；C、无理数一定是无限小数，正确；D、所有无限小数不一定都是无理数，如无限循环小数不是无理数，错误；故选：C．【点评】此题主要考查了无理数的定义，关键是根据无理数是无限不循环小数解答．2．若x＝﹣4，则x的取值范围是（）A．2＜x＜3B．3＜x＜4C．4＜x＜5D．5＜x＜6【分析】由于36＜37＜49，则有6＜＜7，即可得到x的取值范围．【解答】解：∵36＜37＜49，∴6＜＜7，∴2＜﹣4＜3，故x的取值范围是2＜x＜3．故选：A．【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进行估算．3．下列四个命题中，真命题有（）①两条直线被第三条直线所截，内错角相等．②如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2．③三角形的一个外角大于任何一个内角．④如果x2＞0，那么x＞0．A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据平行线的性质对①进行判断；根据对顶角的性质对②进行判断；根据三角形外角性质对③进行判断；根据非负数的性质对④进行判断．【解答】解：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，所以①错误；如果∠1和∠2是对顶角，那么∠1＝∠2，所以②正确；三角形的一个外角大于任何一个不相邻的内角，所以③错误；如果x2＞0，那么x≠0，所以④错误．故选：A．【点评】本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式；有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．4．不等式组的解集是x＞2，则a的取值范围是（）A．a≤2B．a≥2C．a≤1D．a＞1【分析】根据不等式的性质求出不等式①的解集，根据不等式组的解集得出a+1≤2，求出不等式的解集即可．【解答】解：，∵解不等式①得：x＞2，解不等式②得：x＞a+1，又∵不等式组的解集是x＞2，∴a+1≤2，∴a≤1．故选：C．【点评】本题考查了不等式的性质，解一元一次不等式（组）的应用，关键是根据不等式组的解集得出关于a的不等式，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．5．在阳光的照射下，一块三角板的投影不会是（）A．线段B．与原三角形全等的三角形C．变形的三角形D．点【分析】将一个三角板放在太阳光下，当它与阳光平行时，它所形成的投影是一条线段；当它与阳光成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形．【解答】解：根据太阳高度角不同，所形成的投影也不同．当三角板与阳光平行时，所形成的投影为一条线段；当它与阳光形成一定角度但不垂直时，它所形成的投影是三角形，不可能是一个点，故选：D．【点评】本题考查了平行投影特点，不同位置，不同时间，影子的大小、形状可能不同，具体形状应视其外在形状，及其与光线的夹角而定．6．下列说法错误的是（）A．等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等C．等腰三角形的两个底角相等D．等腰三角形顶角的外角是底角的二倍【分析】利用等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质分别对四个选项进行判断后即可确定正确的选项．【解答】解：A、等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，故A错误；B、三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故B正确；C、等腰三角形的两个底角相等，故C正确；D、等腰三角形顶角的外角是底角的二倍，故D正确，故选：A．【点评】本题考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质，牢记有关性质定理是解答本题的关键．7．某次“迎奥运”知识竞赛中共20道题，对于每一道题，答对得10分，答错或不答扣5分，选手至少要答对（）道题，其得分才会不少于95分？A．14B．13C．12D．11【分析】本题可设答对x道题，则答错或不答的题目就有20﹣x个，再根据得分才会不少于95分，列出不等式，解出x的取值即可．【解答】解：设答对x道，则答错或不答的题目就有20﹣x个．即10x﹣5（20﹣x）≥95去括号：10x﹣100+5x≥95∴15x≥195x≥13因此选手至少要答对13道．故选：B．【点评】本题考查的是一元一次不等式的运用，解此类题目时常常要设出未知数再根据题意列出不等式解题即可．8．甲、乙两同学同时从学校出发，步行12千米到李村．甲比乙每小时多走1千米，结果甲比乙早到15分钟．若设乙每小时走x千米，则所列出的方程式（）A．B．C．D．【分析】若设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，根据关键语句“甲比乙早到15分钟”可得等量关系：乙走12千米所用的时间﹣甲走12千米所用的时间＝15分钟，根据等量关系列出方程即可．【解答】解：若设乙每小时走x千米，则甲每小时走（x+1）千米，由题意得：15分钟＝小时，﹣＝．故选：D．【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．9．如图，⊙O是以原点为圆心，2为半径的圆，点P是直线上y＝﹣x+8的一点，过点P作⊙O 的一条切线PQ，Q为切点，则切线长PQ的最小值为（）A．4B．2C．8﹣2D．2【分析】由P在直线y＝﹣x+8上，设P（m，8﹣m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在直角三角形OPQ中，利勾股定理列出关系式，配方后利用二次函数的性质即可求出PQ的最小值．【解答】解：∵P在直线y＝﹣x+8上，∴设P坐标为（m，8﹣m），连接OQ，OP，由PQ为圆O的切线，得到PQ⊥OQ，在Rt△OPQ中，根据勾股定理得：OP2＝PQ2+OQ2，∴PQ2＝m2+（8﹣m）2﹣12＝2m2﹣16m+52＝2（m﹣4）2+20，则当m＝4时，切线长PQ的最小值为2．故选：B．【点评】此题考查了一次函数综合题，涉及的知识有：切线的性质，勾股定理，配方法的应用，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．10．若二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，则m的取值范围是（）A．m＞1B．m＜1C．m＞1且m≠0D．m＜1且m≠0【分析】由抛物线与坐标轴有三个交点可得出：方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，且m ≠0，利用根的判别式△＞0可求出m的取值范围，此题得解．【解答】解：∵二次函数y＝x2+2x+m的图象与坐标轴有3个交点，∴方程x2+2x+m＝0有两个不相等的实数根，且m≠0，∴△＝22﹣4m＞0，∴m＜1．∴m＜1且m≠0．故选：D．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根的判别式，利用根的判别式△＞0找出关于m的一元一次不等式是解题的关键．二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）11．若式子+有意义，则x的取值范围是x＞﹣2且x≠1．【分析】直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件分析得出答案．【解答】解：若式子+有意义，则x+2≥0，且（x﹣1）（x+2）≠0，解得：x＞﹣2且x≠1．故答案为：x＞﹣2且x≠1．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确把握相关定义是解题关键．12．（x﹣3y）（x+3y）＝x2﹣9y2．【分析】直接利用平方差公式，两个数的和乘以这两个数的差，等于这两个数的平方差计算即可．【解答】解：（x﹣3y）（x+3y）＝x2﹣9y2．【点评】本题主要考查平方差公式，熟记公式是解题的关键，计算时要找准这两个数．13．已知扇形的弧长为4π，圆心角为120°，则它的半径为6．【分析】根据弧长公式可得．【解答】解：因为l＝，l＝4π，n＝120，所以可得：4π＝，解得：r＝6，故答案为：6【点评】本题考查弧长的计算公式，牢记弧长公式是解决本题的关键．14．在上午的某一时刻身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，小明测得校园中旗杆在地面上的影子长16米，还有2米影子落在墙上，根据这些条件可以知道旗杆的高度为10米．【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．利用相似比和投影知识解题，身高1.7米的小刚在地面上的投影长为3.4米，所以实际高度和影长之比为1比2，因此墙上的2米投射到地面上为4米，即旗杆影长一共为20米，根据实际高度和影长之比为1比2，得出旗杆为10米．【解答】解：∵＝＝，∵CE＝2，∴CD＝4，∴BD＝BC+CD＝16+4＝20米．∴AB＝BD＝×20＝10米．故应填10．【点评】利用相似比和投影知识解题，在某一时刻，实际高度和影长之比是一定的，此题就用到了这一知识点．15．将抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位．再向下平移3个单位，可以得到新的抛物线是：y ＝﹣5x2﹣50x﹣128【分析】根据向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求出新抛物线的顶点坐标，再利用顶点式解析式写出即可．【解答】解：∵抛物线y＝﹣5x2先向左平移5个单位长度，再向下平移3个单位长度，∴新抛物线顶点坐标为（﹣5，﹣3），∴所得到的新的抛物线的解析式为y＝﹣5（x+5）2﹣3，即y＝﹣5x2﹣50x﹣128，故答案为y＝﹣5x2﹣50x﹣128．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换，平移的规律：左加右减，上加下减，利用顶点的变化求解更简便．16．正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．【分析】从内切圆的圆心和外接圆的圆心向三角形的边长引垂线，构建直角三角形，解三角形i 可．【解答】解：设正六边形的半径是r，则外接圆的半径r，内切圆的半径是正六边形的边心距，因而是r，因而正六边形的外接圆的半径与内切圆的半径之比为2：．故答案为：2：．【点评】考查了正多边形和圆，正多边形的计算一般是通过中心作边的垂线，连接半径，把正多边形中的半径，边长，边心距，中心角之间的计算转化为解直角三角形．三．解答题（共6小题）17．已知关于x的一元二次方程x2+5x+3﹣3m＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；（2）若m为负整数，求此时方程的根．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根结合根的判别式，即可得出△＝13+12m＞0，解之即可得出m的取值范围；（2）由m为负整数结合（1）结论，即可得出m＝﹣1，将其代入原方程，利用分解因式法解方程即可得出结论．【解答】解：（1）∵关于x的一元二次方程x2+5x+3﹣3m＝0有两个不相等的实数根，∴△＝52﹣4×1×（3﹣3m）＝13+12m＞0，解得：m＞﹣．（2）∵m为负整数，∴m＝﹣1，此时原方程为x2+5x+6＝（x+2）（x+3）＝0，解得：x1＝﹣2，x2＝﹣3．【点评】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当△＞0时，方程有两个不相等的实数根”；（2）熟练掌握解一元二次方程的方法．18．如图，益阳市梓山湖中有一孤立小岛，湖边有一条笔直的观光小道AB，现决定从小岛架一座与观光小道垂直的小桥PD，小张在小道上测得如下数据：AB＝80.0米，∠PAB＝38.5°，∠PBA ＝26.5°．请帮助小张求出小桥PD的长并确定小桥在小道上的位置．（以A，B为参照点，结果精确到0.1米）（参考数据：sin38.5°＝0.62，cos38.5°＝0.78，tan38.5°＝0.80，sin26.5°＝0.45，cos26.5°＝0.89，tan26.5°＝0.50）【分析】设PD＝x米，在Rt△PAD中表示出AD，在Rt△PDB中表示出BD，再由AB＝80.0米，可得出方程，解出即可得出PD的长度，继而也可确定小桥在小道上的位置．【解答】解：设PD＝x米，∵PD⊥AB，∴∠ADP＝∠BDP＝90°，在Rt△PAD中，tan∠PAD＝，∴AD＝≈＝x，在Rt△PBD中，tan∠PBD＝，∴DB＝≈＝2x，又∵AB＝80.0米，∴x+2x＝80.0，解得：x≈24.6，即PD≈24.6（米），∴DB＝49.2（米）．答：小桥PD的长度约为24.6米，位于AB之间距B点约49.2米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是构造直角三角形，利用三角函数表示出相关线段的长度，难度一般．19．在四张编号为A，B，C，D的卡片（除编号外，其余完全相同）的正面分别写上如图所示正整数后，背面朝上，洗匀放好，现从中随机抽取一张，不放回，再从剩下的卡片中随机抽取一张．（1）请用树状图或列表的方法表示两次抽取卡片的所有可能出现的结果（卡片用A，B，C，D表示）；（2）我们知道，满足a2+b2＝c2的三个正整数a，b，c成为勾股数，求抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率．【分析】（1）根据题意先画出树状图，得出共有12种等可能的结果数；（2）根据勾股数可判定只有A卡片上的三个数不是勾股数，则可从12种等可能的结果数中找出抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数，然后根据概率公式求解【解答】解：（1）画树状图如下：则共有12种等可能的结果数；（2）∵共有12种等可能的结果数，抽到的两张卡片上的数都是勾股数的结果数为6种，∴抽到的两张卡片上的数都是勾股数的概率＝＝．【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．20．某地下管道，若由甲队单独铺设，恰好在规定时间内完成；若由乙队单独铺设，需要超过规定时间15天才能完成，如果先由甲、乙两队合做10天，再由乙队单独铺设正好按时完成．（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）已知甲队每天的施工费用为5000元，乙队每天的施工费用为3000元，为了缩短工期以减少对居民交通的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成，那么该工程施工费用是多少？【分析】（1）设这项工程的规定时间是x天，根据甲、乙队先合做10天，余下的工程由甲队单独需要10天完成，可得出方程解答即可；（2）先计算甲、乙合作需要的时间，然后计算费用即可．【解答】解：（1）设这项工程的规定时间是x天，根据题意得：（+）×10+＝1．解得：x＝30．经检验x＝30是原分式方程的解．答：这项工程的规定时间是30天．（2）该工程由甲、乙队合做完成，所需时间为：1÷（+）＝18（天），则该工程施工费用是：18×（5000+3000）＝144000（元），答：该工程的费用为144000元．【点评】本题考查了分式方程的应用，解答此类工程问题，经常设工作量为“单位1”，注意仔细审题，运用方程思想解答．21．2017年元旦莫小贝在襄阳万达广场购进一家商铺，装修后用于销售某品牌的女装.2018元旦莫小贝盘点时发现：2017年自家店内女装的平均成本为4百元/件，当年的销售量y（百件）与平均销售价格x（百元/件）的关系如图所示，其中AB为反比例函数图象的一部分，BC为一次函数图象的一部分．（1）请求出y与x之间的函数关系式；（2）若莫小贝购商铺及装修一共花了120万元，请通过计算说明2017年莫小贝是赚还是亏？若赚，最多赚多少元？若亏，最少亏多少元？【分析】（1）直接利用待定系数法求函数解析式即可；（2）利用反比例函数以及二次函数的增减性进而分析得出答案．【解答】解：（1）由题可设当4≤x≤8时，将点A（4，30）代入得，∴k＝120，∴，当8≤x≤28时，可设y＝mx+n，将点B（8，15），点C（28，0）代入得，解得∴，综上所述y与x之间的函数关系式为：；（2）设2017年莫小贝的利润为W万元则，当4≤x≤8时，，∵k＝﹣480＜0，∴W随x的增大而增大，∴当x＝8时W存在最大值，此时，当8≤x≤28时＝，∵抛物线开口向下，∴当x＝16时W存在最大值，此时W＝﹣12，∵﹣60＜﹣12＜0，∴2017年莫小贝亏钱，最少亏12万元．【点评】此题主要考查了二次函数以及反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题关键．22．如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，E是BC边的中点，点P在线段AD上，过P作PF⊥AE于F，设PA＝x．（1）求证：△PFA∽△ABE；（2）当点P在线段AD上运动时，设PA＝x，是否存在实数x，使得以点P，F，E为顶点的三角形也与△ABE相似？若存在，请求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）探究：当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，请直接写出x满足的条件：x＝或0≤x＜1．【分析】（1）根据正方形的性质，结合已知条件可以证明两个角对应相等，从而证明三角形相似；（2）由于对应关系不确定，所以应针对不同的对应关系分情况考虑：①当∠PEF＝∠EAB时，则得到四边形ABEP为矩形，从而求得x的值；②当∠PEF＝∠AEB时，再结合（1）中的结论，得到等腰△APE．再根据等腰三角形的三线合一得到F是AE的中点，运用勾股定理和相似三角形的性质进行求解．（3）首先计算圆D与线段相切时，x的值，在画出圆D过E时，半径r的值，确定x的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定x的取值范围．【解答】（1）证明：∵矩形ABCD，∴∠ABE＝90°，AD∥BC，∴∠PAF＝∠AEB，又∵PF⊥AE，∴∠PFA＝90°＝∠ABE，∴△PFA∽△ABE．…（4分）（2）解：分二种情况：①若△EFP∽△ABE，如图1，则∠PEF＝∠EAB，∴PE∥AB，∴四边形ABEP为矩形，∴PA＝EB＝3，即x＝3．…（6分）②若△PFE∽△ABE，则∠PEF＝∠AEB，∵AD∥BC∴∠PAF＝∠AEB，∴∠PEF＝∠PAF．∴PE＝PA．∵PF⊥AE，∴点F为AE的中点，Rt△ABE中，AB＝4，BE＝3，∴AE＝5，∴EF＝AE＝，∵△PFE∽△ABE，∴，∴，∴PE＝，即x＝．∴满足条件的x的值为3或．…（9分）（3）如图3，当⊙D与AE相切时，设切点为G，连接DG，∵AP＝x，∴PD═DG＝6﹣x，∵∠DAG＝∠AEB，∠AGD＝∠B＝90°，∴△AGD∽△EBA，∴，∴＝，x＝，当⊙D过点E时，如图4，⊙D与线段有两个公共点，连接DE，此时PD＝DE＝5，∴AP＝x＝6﹣5＝1，∴当以D为圆心，DP为半径的⊙D与线段AE只有一个公共点时，x满足的条件：x＝或0≤x ＜1；故答案为：x＝或0≤x＜1．…（12分）【点评】本题是矩形和圆的综合题，考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质．特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外．。

2023年北京市清华附中高三三模数学试卷本试卷共9页，150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分（选择题 共40分）一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合 题目要求的一项。

1. 已知集合{}(1)(2)0A x x x =+−>，则C A =R A.(,1)(2,)−∞−+∞B.(,1][2,)−∞−+∞C.(1,2)−D.[1,2]−2. 在复平面内，复数1z 的对应点为(1,1)，复数2z 的对应点与复数1z 的对应点关于y 轴对称，则12z z = A.2B.2−C.2iD.2i −3. 若(2)n x −的展开式中常数项为32，则含3x 项的系数为 A.40−B.10−C.10D.404. 已知函数41()2x x f x +=，则对于任意的x ∈R ，总有A.()()0f x f x −+=B.()()2f x f x −+=C.()()0f x f x −−=D.()()2f x f x −−=5. 已知数列{}n a 为等差数列，其前n 项和记为n S ，若40S =，242a a +=，则10S = A.80 B.70 C.60 D.506. 向量,,a b c 在正方形网格中的位置如图所示. 若λμ=+c a b ，则λμ=A.3−B.4−C.3D.47. 已知双曲线C 的焦点12,F F 在x 轴上，且12||F F =P 是C 上一点，且 12||||||2PF PF −=，则C 的标准方程为A.2217y x −= B.22115y x −= C.22144x y −= D.221412x y −=8. “sin2sin αα=”是“存在k ∈Z ，πk α=”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件9. 刘徽在他的《九章算术注》中提出一个独特的方法来计算球体的体积：他不直接给出球体的体积，而是先计算另一个叫“牟合方盖”的立体的体积. 正方体的棱长均为2r ，r 为球的半径，刘徽通过计算，“牟合方盖”的体积与球的体积之比应为4π. 后人导出了“牟合方盖”的18体积计算公式，即318V r V =−牟方盖差，从而计算出34π3V r =球. 记所有棱长都为1的正四棱锥的体积为V 正，棱长为2的正方体的方盖差为V 方盖差，则V V =方盖差正A.1210. 已知M 为圆222210x y x y +−−+=上一点，N 为圆222210x y x y ++++=上一点，则 ||OM ON +的最大值为A. B.2D.1第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。

中学生标准学术能力诊断性测试 2019 年 9 月测试理科数学试卷5A ．3B ．2⎧x + 2 y 4 ≤ 0 ⎛ 1 ⎫C ．2D ．4本试卷共 150 分，考试时间 120 分钟。

一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 9．若实数 x,y 满足 ⎨x y 1 ≤ 0 ⎩x ≥ 1 ，则x 2 + y ⎪ ⎝ ⎭的取值范围是（ ）1．若复数 z 满足 (1 - i )2+ z (1 i ) + i = 0 ，则 z =（ ）A ．[1,2] ⎡ 5B ． ⎢⎣ 4,2⎥⎦A ． 1 + 1 i2 2B ． 1 1i2 2 1xC ． 1 + 1i2 2D ． 1 1i2 2 C ． ⎡ 5 , ⎢⎣ 4 17 ⎤ 4 ⎥⎦ D ． 1, 17 ⎤ 4 ⎥⎦2．已知集合 A = {x | log 2 x < 2}, B = {x |≤ 2 2≤ 8} ，则A B =（ ） 10．在[ 4, 4] 上随机地取一个数 m ，则事件“直线x y + m = 0 与圆 (x-1)2 + y 2 = 2 有公共点”发生的概率为（）A ．[ 1,3]B ． (0,3]C ．[ 1, 4)D ． (0, 4)A ． 1B ．1C ．1D ．23．将 420 名工人编号为：001，002，…，420，采用系统抽样的方法抽取一个容量为 60 的样本，且随机抽得的号码 432322为 005．这 420 名工人来自三个工厂，从 001 到 200 为 A 工厂，从 201 到 355 为 B 工厂，从 356 到 420 为 C 工 11．已知 P 为双曲线 C :xy 1 （ a > 0,b > 0 ）右支上一点，A 为其左顶点，F 0) 为其右焦点，满足厂，则三个工厂被抽中的工人数依次为（ ） a 2 b 2A ．28，23，9B ．27，23，10C ．27，22，11D ．28，22，10AF PF ,PFA60 ，则点 F到 P A 的距离为（）4．已知公差不为 0 的等差数列{a n } 的首项 a 1 = 3 ，若 a 2 ,a 3 ,a 6 成等比数列，则{a n } 的前 5 项之和为（ ）7A ．B ．2215C ．D ．22A ． 23B ． 25C ． 43D ． 455．设曲线 y = ax 2 b l n x 在 x = 1 处的切线方程为 y = 5x 2 ，则 a,b 的值分别为（ ）A ． 2,1B ． 2, 1C ． 3,1D ． 3, 1 12．在三棱锥 A - BCD 中，BC = BD = AC = AD = 10 ，AB = 6 ，CD = 16 ，点 P 在平面 ACD 内，且 BP = BP 与 CD 所成角为α ，则 sin α ），6．在平行四边形 ABCD 中，O 为 AC 与 BD 的交点，若 2AE = ED ，则 OE = （）A ．B ．1010A．1BA +1BC2 6B．1BA1BC2 6C．1BA +1BC2 6D．1BA1BC2 6C D．57．已知一个棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的表面积为（）cm2A．9二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分．x2 2, x 0B．1813．已知函数f (x)2x6 ln x,x，则y=f (x)x 的零点个数为．C．1814．已知数列{a } 满足a=2，(n 1)a=na+n(n1)(n ≥2) ，则{a }的通项公式为．D．27n 1 n n 1 n8．设抛物线C：y2 =4x的焦点为F，直线l 过F 且与抛物线C 交于A, B 两点．若ABAF16，且AF3>BF ，则15．某校开设A 类选修课4 门，B类选修课3门，一位同学从中选3门．若要求两类课程中各至少选一门，则不同的选法共有种．BF16．已知函数f (x) = ln(x +1)(x > 0) 与g(x) = 2x a 的图像上存在关于y 轴对称的点，则a 的取值范围是．三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17~21 题为必考题，每个试题考生都必须作 （二）选考题：共 10 分．请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时请写答．第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答． （一）必考题：60 分． 17．（12 分）在 ∆ABC 中， AB = 3 ， AC = 1 ， ∠A = 60 ． 清题号．22．[选修 4−4：坐标系与参数方程]（10 分） ⎧ 2 ⎪ x = 2 + t ⎪ 2（1）求 sin ∠ACB ；（2）若 D 为 BC 的中点，求 AD 的长度．在直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 ⎨y = 4 （t 为参数），点 M ( 2, 4) .以坐标原点为极点， x 轴218．（12 分）如图，在四棱锥 P －ABCD 中，PA ∞ 平面 ABCD ，四边形 ABCD为矩形，E 是 PD 的中点，M 是 EC 的中点，点 Q 在线段 PC 上且 PQ =3QC ． （1）证明 QM //平面 P AB ； 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 ρ sin 2 θ 2a c os θ = 0 (a > 0) ．（1）当 a = 1 时，求曲线 C 的直角坐标方程；（2）设曲线 C 与直线 l 交于点A ,B ，若| AB |2 =| MA | ⋅ | MB | ，求 a 的值．（2）当 ∠PBA 为多大时，在线段 PC 上存在点 F 使得 EF ∞ 平面 P AD 且 EF与平面 PBC 所成角为 45°同时成立？第 18 题23．[选修 4−5：不等式选讲]（10 分） 已知 f (x ) =| x + 2 | | ax 3 | ．（1）当 a = 2 时，求不等式 f (x ) > 2 的解集；19．（12 分）设盒子中装有 6 个红球，4 个白球，2 个黑球，且规定：取出一个红球得 a 分，取出一个白球得b 分，取出一个黑球得 c 分，其中 a ，b ，c 都为正整数． （1）当 a = 1 ，b = 2 ，c = 3 时，从该盒子中依次任取（有放回，且每球取到的机会均等）2 个球，记随机变量ξ为取出此 2 球所得分数之和，求ξ 的分布列；（2）当 a = 1 时，从该盒子中任取（每球取到的机会均等）1 个球，记随机变量η 为取出此球所得分数．若E η = 5， D η = 5 ，求 b 和 c ．（2）当 0 < a ≤ 3 时，若 x ∈ (0, 2) ，求证： f (x ) > x 1 ．3 920．（12 分）设椭圆 C : x + y 2 = 1 的右焦点为 F ，过点 (m , 0) （| m |≥ 1 ）作直线 l 与椭圆 C 交于 A , B 两点，且坐标原4点 O (0, 0) 到直线 l 的距离为 1． （1）当 m = 1 时，求直线 AF 的方程； （2）求 ∆ABF 面积的最大值．21．（12 分）已知函数 f ( x ) = ln(ax + 1) 2ax 2 l n 2 + 3（ a > 0 ， a 为常数， x > 0 )（1）讨论 f (x ) 的单调性；x + 2 23（2）当0 <a ≤时，求证：f (x) ≥ 0 ．2。

北京市清华大学附属中学高三下学期第三次模拟考试数学试卷（文）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.若集合()12{|2{|log 0}＞＜=-xx x x a ，则实数a 的值为（ ） A.12B. 2C.23 D. 1【答案】A【解析】由3222x>=，解得32x >； 由()1122log 0log 1x a -<=解得1+>a x ，因为()12{|2{|0}xx x log x a =-＞＜， 所以312a +=，解得21=a ．故选A ．2.已知数据n x x x x ,,,,321⋅⋅⋅是宜昌市),3(*∈≥N n n n 个普通职工的年收入，设这n 个数据的中位数为x ，平均数为y ，方差为z ，如果再加上世界首富的年收入1n x +，则这1n +个数据中，下列说法正确的是（ ）A. 年收入平均数可能不变，中位数可能不变，方差可能不变B. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差变大C. 年收入平均数大大增大，中位数可能不变，方差也不变D. 年收入平均数大大增大，中位数一定变大，方差可能不变 【答案】B【解析】∵数据x 1，x 2，x 3，…，x n 是上海普通职工n （n ≥3，n ∈N *）个人的年收入， 而x n +1为世界首富的年收入则x n +1会远大于x 1，x 2，x 3，…，x n ， 故这n +1个数据中，年收入平均数大大增大， 但中位数可能不变，也可能稍微变大，但由于数据的集中程序也受到x n +1比较大的影响，而更加离散，则方差变大 故选B3.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为（ ）A.12B.C.D.【答案】A【解析】由题意，椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形， 即2c a = 所以离心率21==a c e 故选A4.已知函数f （x ）=21111log x x x x≥⎧⎪⎨⎪-⎩，，＜，则不等式f （x ）≤1的解集为（ ）A. (],2-∞B. (],0(1-∞⋃，2] C. []0,2 D. ][(,01,2⎤-∞⋃⎦【答案】D【解析】当x 1≥时，()1f x ≤，即为：2log 1x ≤，解得1≤x ≤2；当1x <时，()1f x ≤，即为：111x≤-，解得x ≤0． 综上可得，原不等式的解集为][(,01,2⎤-∞⋃⎦． 故选：D ．5.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）A.233π-B.133π- C.81633π- D.8833π- 【答案】D【解析】根据三视图可知，该几何体是半径为2的14球体挖去一个三棱锥，三棱锥的底面是斜边长为4的等腰直角三角形，高为2，如图所示：则该几何体的体积为31411882422433233V ππ=⨯⨯-⨯⨯⨯⨯=-,故选D ． 6.在数列{}n a 中，已知11a =，且对于任意的*,m n N ∈，都有m n m n a a a mn +=++，则数列{}n a 的通项公式为（ ）A. n a n =B. 1n a n =+C. 2)1(-=n n a n D. 2)1(+=n n a n 【答案】D 【解析】令m =1,得11213211,1,2,3,,n n n n n n a a n a a n a a a a a a n ++-=++∴-=+∴-=-=-=，所以(1)1234,12342n n n n a n a n +-=++++∴=+++++=. 故选：D7.若椭圆2212516x y +=和双曲线22-145x y =的共同焦点为1F ，2F，P 是两曲线的一个交点，则21PF PF ⋅的值为 ( ) A.212B. 84C. 3D. 21【答案】D【解析】依据题意作出椭圆与双曲线的图像如下：由椭圆方程2212516x y +=可得：2125a =，15a =由椭圆定义可得：121210PF PF a +== (1)， 由双曲线方程22145x y -=可得：224a =，21=a ，由双曲线定义可得：12224PF PF a -==…（2） 联立方程（1）（2），解得：127,3PF PF ==， 所以123721PF PF ⋅=⨯= 故选：D.8.如图，一块黄铜板上插着三根宝石针，在其中一根针上从下到上穿好由大到小的若干金片．若按照下面的法则移动这些金片：每次只能移动一片金片；每次移动的金片必须套在某根针上；大片不能叠在小片上面．设移完n 片金片总共需要的次数为a n ，可推得a 1=1，a n +1=2a n +1．如图是求移动次数在1000次以上的最小片数的程序框图模型，则输出的结果是（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C【解析】由程序框图知，i ＝1时，S =1； i ＝2时,S ＝1×2+1＝3； i ＝3时，S ＝3×2+1＝7； i ＝4时，S ＝7×2+1＝15； i ＝5时，S ＝15×2+1＝31； i ＝6时，S ＝31×2+1＝63； i ＝7时，S ＝63×2+1＝127； i ＝8时，S ＝127×2+1＝255； i ＝9时，S ＝255×2+1＝511； i ＝10时,S ＝511×2+1＝1023； 程序运行结束，输出的结果是i ＝10． 故选：C ．二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量()()()12113a b x c ===，，，，，，若()a b c +⊥，则=x ______． 【答案】-10【解析】因为()()()12113a b x c ===，，，，，所以(1,3)a b x +=+； 又()a b c +⊥；()190a b c x ∴+⋅=++=；10x ∴=-，故答案为10-．10.在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为S c b a ,,,为ABC ∆的面积，()sin A C +=222Sb c-，且,,A B C 成等差数列，则C 的大小为______． 【答案】6π【解析】在ABC ∆中， ,,A B C 成等差数列，可得2B A C B π=+=-，即3B π=，222sin(A C)S b c +=-，即为22sin sin ac BB b c =-，即有22b c ac =+，由余弦定理可得ac c a B ac c a b -+=-+=22222cos 2，即有2,ac b ==，222222cos 22a b c C ab +-===， 由C 为三角形的内角，可得21≥+xx ，故答案为6π．11.设θ第二象限角，若1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则sin cos θθ+=______．【答案】5-【解析】因为θ为第二象限角，1tan 42πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭， tan 11tan 41tan 2πθθθ+⎛⎫∴+== ⎪-⎝⎭，1tan 3θ∴=-，而22222cos 1cos sin cos 1tan θθθθθ==++， θ为第二象限角，cos sin 1010θθ∴==-==，则sin cos 10105θθ+=-=-，故答案为. 12.已知1e ，2e 为单位向量且夹角为23π，设1232a e e =+，23b e =，则a 在b 方向上的投影为____【答案】12【解析】()12223cos 32391cos632a b a b e e e πθ⋅==+⋅=⋅⋅+=， 即3cos 2a b θ=，又3b = 所以1cos 2a θ=13.《中国诗词大会》（第三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有韵味.若《沁园春·长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐·六盘山》排在后六场，且《蜀道难》排在《游子吟》的前面，《沁园春·长沙》与《清平乐·六盘山》不相邻且均不排在最后，则后六场的排法有__________种．（用数字作答） 【答案】144【解析】《沁园春•长沙》、《蜀道难》、《敕勒歌》、《游子吟》、《关山月》、《清平乐•六盘山》， 分别记为A ，B ，C ，D ，E ，F ，由已知有B 排在D 的前面，A 与F 不相邻且不排在最后．第一步：在B ，C ，D ，E 中选一个排在最后，共14C =4（种）选法第二步：将剩余五个节目按A 与F 不相邻排序，共524524A A A -⋅=72（种）排法， 第三步：在前两步中B 排在D 的前面与后面机会相等，则B 排在D 的前面，只需除以22A =2即可，即六场的排法有4×72÷2＝144（种） 故答案为：144．14.直线y =x +1是曲线f （x ）=x +1alnx x-（a ∈R ）切线，则a 的值是______． 【答案】1-【解析】设切点的横坐标为0x ，()20221111'11a x ax f x x a x x x a x --=--==⇒=-⇒-=， 则有：()00000001110f x x alnx x lnx x x =+-=+⇒-+=， 令()()11'101h x lnx x h x x x=-+⇒=-=⇒=，则()h x 在()0,1上单调递增，在()1,∞+上单调递减， 又因为()10h =，所以011x a =⇒=-； 故答案为：1-．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分） 15.在△ABC 中，3sinA =2sinB，tanC =（1）求cos 2C ；（2）若AC -BC =1，求△ABC 的周长． 解：（1）∵tanC =1cosC 6=， ∴2117cos2C 21618⎛⎫=⨯-=- ⎪⎝⎭. （2）设ΔABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c . ∵3sinA 2sinB =，∴3a 2b =，∵AC BC b a 1-=-=，∴a 2=，b 3=.由余弦定理可得222c a b 2abcosC 13211=+-=-=，则c =ΔABC的周长为5.16.已知正项数列{a n }的前n 项和为214411n n n S S a n a ，，=+-=． （1）求数列{a n }的通项公式； （2）设{a n }是递增数列，11n n n b a a +=⋅，T n 为数列{b n }的前n 项和，若6n m T ≤恒成立，求实数m 的取值范围．解：（1）2n ≥时，()221144441411n n n n n a S S a n a n --⎡⎤=-=+--+--⎣⎦，化为：()2212n n a a --=，0na >. ∴12n n a a --=，或12n n a a -+=，12n n a a --=时，数列{}n a 是等差数列，()12121n a n n =+-=-. 12n n a a -+=，∵11a =，可得1n a =．（2）{}n a 是递增数列，∴21n a n =-.()()111111212122121n n n b a a n n n n +⎛⎫===- ⎪⋅-+-+⎝⎭，数列{}n b 的前n 项和1111111...23352121n T n n ⎛⎫=-+-++- ⎪-+⎝⎭ 11112212n ⎛⎫=-< ⎪+⎝⎭， ∵6n m T ≤恒成立，∴126m≤，解得3m ≥.∴实数m 的取值范围是[)3,+∞. 17.如图，在平行四边形ABCD中，45,2,A AB BC BE AD ∠===⊥于点E ，将ABE ∆沿BE 折起，使90AED ∠=，连接,AC AD ，得到如图所示的几何体．（1）求证：平面ACD ⊥平面ABC ；（2）若点P 在线段AB 上，直线PD 与平面BCD 所成角的正切值为15，求三棱锥BCD P -的体积．（1）证明：∵BE ⊥AE ，DE ⊥AE ，BE ∩DE =E ， ∴AE ⊥平面BCDE ，以E 为坐标原点，以ED ，EB ，EA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系如图：则A （0，0，1），B （0，1，0），C （2，1，0），D （1，0，0）， 设AC 的中点为M ，则M （1，12，12），∴DM=（0，12，12），=（0，1，-1），BC=（2，0，0），∴DM AB⋅=0，DM BC⋅=0，∴DM⊥AB，DM⊥BC，又AB∩BC=B，AB⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，∴DM⊥平面ABC，又DM⊂平面ACD，∴平面ACD⊥平面ABC．（2）解：过P作PN⊥BE，垂足为N，连接DN，则PN∥AE，∴PN⊥平面BCDE，∴∠PDN为直线PD与平面BCD所成的角．设PN=x，则BN=x，故EN=1-x，∴DN∴tan∠PDN=PNDN=15，解得x=14，即PN=14．∵BD，CD=AB，BC=2，∴BD2+CD2=BC2，∴BD⊥CD．∴S△BCD=12BD CD⋅⋅=1，∴三棱锥P-BCD的体积V=13⋅S△BCD•PN=11134⨯⨯=112．18.手机厂商推出一款6寸大屏手机，现对500名该手机使用者（200名女性，300名男性）进行调查，对手机进行评分，评分的频数分布表如下：（1）完成下列频率分布直方图，并比较女性用户和男性用户评分的波动大小（不计算具体值，给出结论即可）；（2）把评分不低于70分的用户称为“评分良好用户”，能否有90%的把握认为“评分良好用户”与性别有关？参考附表：参考公式()()()()()22n ad bc K a b a c b d c d -=++++，其中n a b c d =+++ 解：（1）女性用户和男性用户的频率分布直方图分别如下左、右图：由图可得女性用户的波动小，男性用户的波动大．（2）2×2列联表如下图：22500(14012018060)200300320180K ⨯-⨯⨯⨯⨯=≈5.208＞2.706， 所以有12的把握认为性别和对手机的“认可”有关． 19.已知椭圆()222210x y C a b a b +=：＞＞为1．（1）求椭圆C 的方程；（2）设点M 为椭圆上位于第一象限内一动点，A ，B 分别为椭圆的左顶点和下顶点，直线MB 与x 轴交于点C ，直线MA 与轴交于点D ，求证：四边形ABCD 的面积为定值．解：（Ⅰ）由已知可得：222221c ab a a bc ⎧=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得：21a b =⎧⎨=⎩； 所以椭圆C 的方程为：2214x y +=． （Ⅱ）因为椭圆C 的方程为：2214x y +=，所以()2,0A -，()0,1B -． 设()(),0,0M m n m n >>，则2214m n +=，即2244m n +=． 则直线BM 的方程为：11n y x m +=-，令0y =，得1C m x n =+； 同理：直线AM 的方程为：()22n y x m =++，令0x =，得22D n y m =+．所以()()()2221121212212221ABCD m n m n S AC BD n m m n ++=⋅⋅=⋅+⋅+=⋅++++ 22144448144882222222m n mn m n mn m n mn m n mn m n ++++++++=⋅=⋅=++++++． 即四边形ABCD 的面积为定值2．20.已知函数)ln )2()(2R a x a x a x x f ∈--+=（．（1）讨论()f x 的单调性；（2）当1x ≥时，()0f x >，求的最大整数值．解：（1）函数()f x 的定义域为()0,+∞．()22a f x x a x =+--' ()222x a x a x+--= ()()12x x a x +-=， 当0a ≤时，()0f x '>，()f x ∴在()0,+∞上单调递增，当0a >时，令()0f x '>，得2a x >，令()0f x '<，得02a x <<， ()f x ∴在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. （2）由（1）知，当0a ≤时()f x 在()0,+∞上单调递增，又()130f a =->，所以当1x ≥时，()()10f x f ≥>，满足题意. 由（1）知，当0a >时，()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. 若012a <≤，即02a <≤，()f x 在[)1,+∞上单调递增， 所以当1x ≥时，()()130f x f a ≥=->，满足题意. 若12a >，即2a >，()f x 1,2a ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递减，在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增. ()()22min 2ln ln 242242a a a a a a f x f a a a a ⎛⎫∴==+-⋅-=-- ⎪⎝⎭()0f x > ()min0f x ∴>即2ln 042a a a a --> 1ln 042a a ∴--> 令()1ln ln 1ln2(2)424a a a g a a a =--=--++>， ()1104g a a∴=--<'， ()g a ∴在()2,+∞上单调递减，又()1202g =>，()133ln 042g =-<， ()g a ∴在()2,3上存在唯一零点0x ，02a x ∴<< 0(23)x <<综上所述，a 的取值范围为()0,x -∞，故a 的最大整数值为2.。