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波利亚“怎样解题表”在解题中的应用——以一道圆锥曲线压轴题为例摘要：数学解题教学，重在教会学生解题的方法，帮助学生养成良好的解题习惯。
本文通过波利亚的“怎样解题表”的解题的四个步骤: 阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思，演绎解决一道圆锥曲线压轴题的具体过程，并给出一些解题教学建议。
关键词：波利亚解题表；解题方法；圆锥曲线《义务教育数学课程标准(2011年版)》提出“让学生在现实情境中体验什么是数学”。
初中数学教学注重培养学生的问题解决能力。
数学教育家波利亚指出：“中学数学教学的首要任务是加强问题解决的训练。
”这种“解题”不同于“题海战术”。
他认为，问题解决应该作为培养学生数学能力和教他们思考的一种手段，方法。
[1]波利亚《怎样解题》中为人们提供了一套系统的解题途径，这有利于人们掌握解题过程的一般规律，也有利于数学教师探索解题教学的一般规律。
笔者结合2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题论述“怎样解题表”在数学解题教学中的应用。
一、问题的由来——2015年课标全国卷（Ⅱ）的圆锥曲线压轴题案例：已知椭圆C:9x2+y2=m2(m>0)，直线l不过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M。
（1）证明：直线OM的斜率与l的斜率的乘积为定值；（2）若l过点(1/3m,m)，延长线段OM与C交与点P，四边形OAPB能否为平行四边形？若能，求此时l的斜率；若不能，说明理由。
二、寻觅依据——波利亚解题“解题四部曲”本研究通过圆锥曲线问题来激发学生对数学问题解决的兴趣，转变学生对待数学解题的态度，培养学生的解题思维。
为了提高学生解决问题的能力，波利亚把解决数学问题的过程分为四个阶段：阐明问题、制定计划、实施计划、回顾和反思。
[2]对每个阶段要考虑的问题，思维活动，具体要做什么，有什么建议，都进行了很详细的叙述，多方面地考虑到了学生在解题过程中会面临的问题。
“弄清问题”是我们拿到一道题首先要考虑的问题，理解题目，找出未知量，分析已知条件，找出已知条件与未知量之间的联系，需要的话还可引进相关符号，让学生充分理解题目的含义。
基于波利亚解题模型在高中数学解题教学中的应用分析1.何为波利亚解题模型在近代，产生了许多解题模式，主要有早期桑代克所提倡的“试误说”，到美国出名教育家杜威提出的阶段解决模型，最后是心理学家皮亚杰的认知心理模型。
虽然这些研究对于教师认识学生的认知问题有严重意义，但数学问题相较于其它学科有自己独到的学科特点，还应当详尽问题详尽分析，上述解决模式并不一定能够完全适用于数学解题过程中。
因此随着科学分类研究的日益细化，也产生了许多学科数学的相关研究包括数学解题模型在内，其中影响最为深刻的当属波利亚解题模型。
波利亚解题模型是波利亚的经典书目《怎样解题》中的严重理论，他将该模型分为四个部分：第一，看到数学题目时应先理清题目思路，看清题目的已知、未知还有所求问题；第二，分析题目的各个要素包括已知、未知、问题之间的相互联系，找到解题的方向所在，形成基本的解题策略；第三，将解题策略详尽运用于数学题目中；第四，对整个解题过程包括理解题目、思路的形成、计划的执行检验评价。
2.波利亚解题模型在高中数学解题中的详尽运用波利亚的解题模型的严重思想除了包括上述的四个部分，还包括更加细密的四个模型，分别是双轨迹模式、笛卡尔模式、递归模式、叠加模式。
这四种解题模式被更多的运用于数学实际解题过程中。
（1）双轨迹模式双轨迹模式要运用两条轨迹来解题，类似于换位思考的思想。
譬如我们确定三角形ABC，已知为边a、点B、点C，未知为点A，问怎么确定点A。
换种方式理解我们发现，点A即是以点B为圆心、以边c为半径的圆和以点C为圆心、以边b为半径的圆的交点。
这里就把问题归结为一个点，再把已知的条件转换成两个部分，每一个部分都可以看成是点的轨迹，结论即在两条轨迹的交点处。
（2）笛卡尔模式笛卡尔在数学的解析几何方面做出了严重贡献，在解决数学问题的过程中也形成了独到的数学思想。
他认为，所有的数学问题都可以转换成代数问题进行解决，而所有的代数问题又可以转换成解方程的思想。
谈学论教波利亚解题模型是一种经典的解题模型，在概率论、函数论等专业的研究中都有显著的作用.按照波利亚解题模型解题大体可以分为四个步骤,即理解问题—制定计划—实施计划—回顾与思考.“理解问题”是指理解题目的意思，弄清已知条件是什么，所求的目标是什么.这是解题的前提，学生只有读懂题意，才能快速找到解题的思路.“制定计划”是指联系已知条件和所求目标，寻找解题的思路.这是解题的关键，教师可引导学生由题目中的关联知识点进行联系或者对问题进行转化，进而确定解题的思路.“实施计划”是根据前面制订的解题思路，利用已学的知识和方法解决问题.在这一步中，教师要注意引导学生结合已学的知识和方法合理进行推理、运算，确保得出正确的结论.“回顾与思考”是指对整个解题过程进行回顾、反思、总结.很多学生经常会忽略这一步，教师要让学生明确这一步骤的重要性，提醒他们在解题完成后注意对题目进行回顾与思考.教师将波利亚解题模型应用到解题教学中，引导学生按照这四个步骤去解题，可以帮助他们养成良好的解题习惯.例题：已知正项等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1=2，2S 2=a 2+a 3.（1）求数列{a n }的通项公式；（2）设b n =2n -1a n，求数列{b n }的前n 项和.教师可引导学生运用波利亚解题模型来解题.第一步，教师可让学生先尝试自己读题，理解题目的意思，明确已知的和未知的内容以及所求的目标.通过审题，学生们纷纷表示：已知的内容有数列a n 的首项、第二项与第三项的和、{a n }为正项等比数列；所求的目标是数列{a n }、{b n }的通项公式以及{b n }的前n 项和.第二步，教师可引导学生将已知条件和所求目标联系起来，并由“等比数列的通项公式”“数列{b n }的前n 项和”展开联想.学生通过讨论、分析，逐步找到解题的思路：对于第一个问题，需先根据等比数列的性质、前n 项求和公式求出求出{a n }的首项和公比，然后利用等比数列的通项公式求出数列{a n }的通项公式.对于第二个问题，要先根据数列{a n }的通项公式求出{b n }的通项公式，然后利用错位相减法求出数列{b n }的前n 项和.第三步，教师可要求学生按照上述思路来解题.学生得到了如下的解题过程：（1）设数列{a n }的公比为q （q >0），∵2S 2=a 2+a 3，∴2（a 1+a 2）=a 1q +a 2q ,∴q =2,∴a n =2⋅2n -1=2n .（2）由（1）可得b n =2n -12n ；设{b n }的前n 项和为T n ，则T n =1×12+2×(12)2+5×(12)3+⋯+(2n -3)×(12)n -1+(2n -1)×(12)n ①，又12T n =1×(12)2+3×(12)2+⋯+(2n -3)×(12)n +(2n -1)×(12)n +1②，由①-②得：12T n =12+2×(12)2+2×(12)3+⋯+(12)n -(2n -1)×(12)n +1，即12T n =12+12[1-(12)n -1]1-12-(2n -1)×(12)n +1，即12T n =12+1-(12)n ⋅2-(2n -1)×(12)n +1，∴T n =3-4⋅(12)n -(2n -1)×(12)n ，∴T n =3-(2n +3)×(12)n .第四步，在解题完成后，教师要引导学生对该题进行回顾和反思.通过总结和反思，有的学生表示：本题主要考查等比数列的性质、通项公式以及错位相减法；有的学生认为：本题属于中等难度的题目；有的学生表示：解答本题第一问的关键是求出数列{a n }的首项和公比，第二问的关键是利用错位相减法求和；有的学生认为：第二问比较难，难点在于计算……通过这样的总结，学生便能掌握此类问题的本质，也明确了解答此类问题的方法和技巧，并学会举一反三.在高中数学解题教学中应用波利亚解题模型，不仅可以提高学生的解题效率，还能帮助他们养成良好的解题习惯.在实际教学的过程中，教师可以将该解题模型细化，引导学生对解题的过程、思路进行深入的分析.(作者单位:贵州省湄潭县求是高级中学)李辉55Copyright©博看网 . All Rights Reserved.。
波利亚的解题理论在高职数学教学中的运用探究摘要：波利亚在他的《怎样解题》一书中,将解题的模式与方法设计在一张解题表中,并通过一系列的问题或建议表达出来,使之更有启发意义。
波利亚解题思想是一种具有数学教育特征的解题理论，对此思想进行研究，使其能熟练地运用在解题教学实践中，培养学生的创造能力。
关键词：波利亚解题表；数学教学；探究解题训练一直被数学教育所重视，数学教师也比较重视对解题的研究。
解题意味着发现一条摆脱疑难、绕过障碍的途径，以达到我们想要的目的。
解题是一种操作性技能，需要通过反复的实践训练来掌握此技能。
目前来说，没有一把万能的钥匙去打开所有的门，帮助我们解决所有的问题。
我们可以在教学中尝试波利亚的解题理论或许是一种理想的方法。
一、波利亚的解题理论概述乔治·波利亚（george polya，1887～1985）是美籍匈牙利数学家、数学教育家。
在解题方面，是数学启发法（指关于发现和发明的方法和规律，亦译为探索法）现代研究的先驱。
作为一个数学教育家，波利亚的主要贡献集中体现在《怎样解题》等著作上，波利亚在风靡世界的《怎样解题》一书中给出的“怎样解题表”，正是一部“启发法小词典”。
波利亚提供的“怎样解题表”在这张包括“弄清问题”“拟定计划”“实现计划”和“回顾”四大步骤解题全过程的解题表中，对第二步即“拟定计划”的分析是最为引人入胜的。
他指出寻找解法实际上就是“找出已知数和未知数之间的联系，如果找不出直接联系，你可能不得不考虑辅助问题，最终得出一个求解计划。
”波利亚认为，“对你自己提出问题是解决问题的开始”“当你有目的地向自己提出问题时，它就变作你的问题”。
而“假使你能适应地应用这些问句和提示来问你自己，它们可以帮助你解决你的问题”。
“怎样解题表”就“怎样解题”“教师应该教学生做什么”等问题，把“解题中典型有用的智力活动”，按照正常人解决问题时思维的自然过程分成四个阶段——弄清问题、拟订计划、实现计划、回顾，从而描绘出解题理论的一个总体轮廓，也组成了一个完整的解题教学系统，既体现常识性，又体现由常识上升为理论的自觉努力。
例说波利亚“怎样解题表”在中学数学中的应用本文从波利亚的“怎样解题表”出发,结合具体的例子,在具体的例子中一步一步地讲解波利亚的“怎样解题表”在解数学题时的步骤和思想,来回答一个好的解法是如何想出来的.下面是实践波利亚解题表的一个示例.例已知点P(3,4) 是椭圆+ = 1 (a > b > 0)上的一点,F1,F2 是椭圆的两焦点,若PF1⊥PF2,试求椭圆方程.讲解第一,弄清问题.问题1 你要求解的是什么?要求解的是椭圆方程,在思维中的位置用一个单点F象征地表示出来(图1-1).问题2 有哪些已知条件?一方面是题目条件中给出的点P(3,4) ,椭圆上PF1⊥PF2;另一个方面是已经在平面几何中学习过的直角三角形的一些性质和椭圆中半焦距c和长半轴a,短半轴b之间的关系,即a2 - b2 = c2. 把已知的两个量添到图示处(图1-1)就得到了新添的两个点P ,Q(其中Q表示PF1⊥PF2);它们与F之间有条鸿沟,表示要求解的问题和已知的量没有直接的联系,我们的任务就是要将要求解的量F和已知的量联系起来.第二,拟定计划.问题3 怎样才能求出F?我们已经知道了椭圆经过点P和一个Rt△PF1F2 ,如果能够确定椭圆方程中的两个参数a和b,那么我们就能够求解椭圆的方程了,于是问题转化成求a和b.(1) 我们在图示上添加进两个新的点a和b,用斜线把它们和F连接起来,以此来表示a,b这两个量和F之间的联系(图1-2即式(1)的几何图示),这样我们就把问题转化为确定a和b的值了.问题4 怎样求得a和b?我们根据已知条件Rt△PF1F2,再结合整个图形,我们可以知道直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,也就是说坐标原点到点P的距离等于半焦距c. 我们在图示上(图1-2)再添加两个点半焦距c,和L(L表示线段OP的长度,其中O表示坐标原点),连接c和L,表示c和L有相等的关系. 连接Q和c,Q和L,表示c和L相等的关系是由Q推出来的. 连接P和L,表示L的长度是由点P的坐标确定的,从而c = L = = 5. 我们要求解的是a和b 的值,因此很自然地想到在椭圆中还隐藏着这样的关系:a2 - b2 = c2,于是我们连接a和c,b和c(图1-3),表示c和a,b有 a2 - b2 = c2的关系,再连接a和b表示b可以用a表示,即b2 = a2 - 25. 这时椭圆方程可以写成:+ = 1. 同时我们还应注意到点P在椭圆上还没有用到,因此我们连接P和a(图1-3),表示把P点的坐标代入椭圆方程 + = 1. 一个未知数,一个方程恰好可以解出a,从而椭圆的方程就确定了.至此,我们已在F与P ,Q之间建立起了一个不中断的联络网,解题思路全部沟通.第三,实现计划.连接OP(图1-3).∵ PF1⊥PF2∴ PF1F2 是直角三角形,∴|OP| =|F1F2| = c.又|OP| = = 5.∴ c = 5,∴椭圆的方程为: + = 1.∵点P(3,4) 在椭圆上,∴ += 1,解得a2 = 45或 a2 = 5(舍去),故所求的椭圆方程为+ = 1.第四,回顾.(1) 正面校验每一步,推理是合理的,有效的,计算是精确的. 本题也可作特殊性检验,即按照两点之间的距离公式分别求解出线段PF1和 PF2的长度,再验证△PF1F2能否成为直角三角形;同时验证|PF1| + |PF2|是否等于 2a.(2) 还能用其他的方法得到这个结果吗?,条条大道路罗马,万事都不是绝对的,我们应该在信念上坚信每道题目都是有多种解法的,那么本例有没有其他解法呢?有,下面是本例的另解.如图1-1所示,令F1(-c,0), F2(c,0).∵ PF1⊥PF2∴ k ∪k =-1,即∪= -1,解得c = 5.∴椭圆的方程为: + = 1(以下步骤同上述解答).(3) “能将本例的方法用于其他的问题吗?能,我们看到解决本例的关键在于分析已知条件后得到:|OP| = |F1F2| = c,或者k ∪k =-1. 可见,这是解决本例的“泉眼”,勤于分析已知条件,对于培养解数学题的“灵感”是非常有必要的.小结回顾这个解题过程,“怎样解题表”包含四部分内容:弄清问题､拟订计划､实现计划､回顾.波利亚说:“ 弄清问题是为好念头的出现做准备;制订计划是试图引发它;在引发之后,我们实现它;回顾此过程和求解的结果,是试图更好地利用它.” 解题的过程实际上是一个不断地变更问题的过程(如上文中分析的将求F转化成求a和b,再将求a和b转化为求c),通过不断地变更问题,引入新的量,从而在未知量和已知量之间建立起“桥梁”,使得未知量和已知量最终处于“通路”的状态.注:“本文中所涉及到的图表､注解､公式等内容请以PDF格式阅读原文｡”。
㊀㊀解题技巧与方法㊀㊀１６０㊀波利亚解题理论在初中解题教学中的应用波利亚解题理论在初中解题教学中的应用Һ欧㊀桥㊀（湖州师范学院，浙江㊀湖州㊀３１３０００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文探究了波利亚解题理论在中学数学解题教学中的应用，介绍了波利亚的 怎样解题表 ，结合新课标浅谈波利亚解题表的意义，从波利亚解题四阶段出发分析中学生解题常见错误类型，借波利亚解题思想帮助学生掌握解题的方法，培养学生解决问题的能力，让学生能够熟练运用波利亚解题理论对问题进行思考从而解答问题．ʌ关键词ɔ波利亚解题理论；解题错误；培养解题能力１㊀波利亚的 怎样解题表 １．１㊀波利亚的简介美籍匈牙利数学家乔治㊃波利亚是美国科学院㊁法国科学院和匈牙利科学院的院士．１９４０年移居美国，并担任布朗大学和斯坦福大学教授．他长期从事数学教学工作，在数学领域内有着极深的造诣，其在数学教育方面的成就对我国的数学教学改革及数学教师的培养与培训具有重要的指导意义．最著名的作品分别是‘怎样解题：数学思维的新方法“‘数学的发现“‘数学与猜想“，这些著作被翻译成各种语言，并且广泛传播于各大高校，其中‘怎样解题：数学思维的新方法“一书更是被译成了１７种文字，仅平装本就销售了一百万册以上．其著作中的 怎样解题表 以文字的形式揭示了人们在解答问题时的思维形式和思维过程，为解题指明了大概方向，使得解题有法可依．１．２㊀新课标背景下， 怎样解题表 的意义新课标提出：学习者在获得知识技能的过程中，只有亲身参与了教师认真设计的教学活动，才能在数学思考㊁问题解决和情感态度这三个方面得到应有的发展．在数学教学活动中，解题是最主要的活动形式之一．教师必须通过解决问题的教学来让学生获得数学思维的发展，并借此培养技能及发展学生的智力．波利亚的 怎样解题表 为我们提供了解决问题的有效途径．解决问题的本质就是不断改变问题，从而引发灵感．对于中学数学来说，解题就是要不断创设新的问题情境，借用新的情境来激发学生的思维，从而进一步得到正确的答案．波利亚的解题理论还指明了对数学问题解决活动具有重要意义的思维模式，如合理的推理模式㊁笛卡儿模式㊁递归模式㊁叠加模式等．教师可以使用 解决方案 中的思想来指导学生将现有问题转换为类似或更具体的问题，让学生自己去探索，充分发挥他们的主体作用，提高他们解决问题的能力，从而更好地体现新课程理念．２㊀从波利亚解题四阶段看中学生解题常见错误在数学的学习及解题过程中，数学自身的性质 严谨性㊁科学性使学生在解题过程中都会或多或少地产生错误，这是难以避免的，也是情有可原的．因此，对错误进行系统的分析和研究就变得十分重要且必要，下面笔者将对实习中所带班级学生的作业中的错误情况进行分析．所给的案例是笔者在丽水市外国语学校实习期间的上课内容，两个班学生的作业都是笔者亲自批改的，对两个班学生的做题情况有大致掌握，对错误率最高的一些题目也看了每位学生的解题过程，并与他们有过交流沟通，对他们的解题思路与过程有一定的了解．２．１㊀理解题目阶段理解题意即了解问题，是解题的基础．学生在将所给的题目语句转化为数学语言上总存在一些困难，有时容易曲解题意，有时对文字较多的题目的处理会抓不住重点，无法挖掘文字背后的数学含义．例如在解答二次函数问题时，对自变量取值范围的考虑要求学生不仅要知道数学意义上的范围，还要综合考虑它所代表的实际意义．案例１㊀抛物线ｙ＝２ｘ２－２２ｘ＋１与坐标轴的交点个数是（㊀㊀）．Ａ．０㊀㊀㊀㊀Ｂ．１㊀㊀㊀㊀Ｃ．２㊀㊀㊀㊀Ｄ．３正确答案是Ｃ，易错选项是Ｂ．这是一道非常简单的基础题，在批改作业时发现班级里有三位学生做错了，理由是题目中问的是与坐标轴的交点，即ｘ轴㊁ｙ轴，他们却想当然地只算了ｘ轴上的交点而忽视了ｙ轴．在二次函数专题大多数讨论的都是ｘ轴上的交点，这使得他们对于坐标轴中的ｘ轴更敏感．这种错误就是没有审清题目导致的．２．２㊀拟订方案阶段波利亚认为在四大步骤的解题全过程中这一步是最重要的也是最困难的，因为在探索一道题的解题途径中如果最后证实这个方案是错误的，那么就又要回到这一环节重新拟定．在这一阶段里学生对题目的处理会出现以下几种常见错误：分类不当㊁没有数形结合的观念㊁缺乏整体意识㊁受思维定式的影响．案例２㊀二次函数ｙ＝ａｘ２＋ｂｘ＋ｃ（ａʂ０）的图像如图１所示，对称轴为ｘ＝－１，下列四个结论正确的是（㊀㊀）．㊀图１①４ａｃ－ｂ２＜０；②３ｂ＋２ｃ＜０；③４ａ＋ｃ＜２ｂ；④ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｂ＜ａ（ｍʂ－１）．正确答案是①②④．在统计错题时发现很多学生无法判定④是否正确，这里重点分析④的判定，首先根据给出的图像我们能得到的信息有：ａ＜０，ｂ＜０，ｃ＞０，经过与学生的交流，笔者发现他们的疑惑是不能理解ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｂ表示的意思，这里其实用到的还是数形结合思想，我们发现将ｘ＝ｍ㊀㊀㊀解题技巧与方法１６１㊀㊀代入解析式中会得到ａｍ２＋ｂｍ＋ｃ，将式子变形一下得到ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｃ，这与④中的式子已经有很大的相似之处了，将④式左右两边同时加上ｃ，得到等价不等式ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｂ＋ｃ＜ａ＋ｃ，把左边的ｂ移项到右边得到ｍ（ａｍ＋ｂ）＋ｃ＜ａ－ｂ＋ｃ，表示的意思是ｙｍ＜ｙ－１，根据图像我们可以看到，当ｘ＝－１时，ｙ取最大值，因此ｘ＝ｍ（ｍʂ－１）时ｙ的值小于最大值是符合题意的，故④正确．２．３㊀执行方案阶段在这一阶段，有些学生不能进行等价转换，在证明题目时容易陷入循环论证的死胡同里，更多的学生（这里尤指低年级学生）容易犯些非智力因素的错误，比如：计算粗心，作图随意等．在实习期间，笔者也在初二班级旁听过程中发现在合并同类项时总有学生出现合并错误，不是次数出错就是单项式抄写出错．案例３㊀若二次函数ｙ＝ｘ２＋ｍｘ图像的对称轴是直线ｘ＝３，则关于ｘ的方程ｘ２＋ｍｘ＝７的解为（㊀㊀）．Ａ．ｘ１＝０，ｘ２＝６㊀㊀㊀㊀Ｂ．ｘ１＝１，ｘ２＝７Ｃ．ｘ１＝１，ｘ２＝－７Ｄ．ｘ１＝－１，ｘ２＝７正确答案是Ｄ．这道题是一道基础题，更多的还是检验学生的计算能力．班级中有３位学生错选了Ｃ，从选项中看Ｃ与Ｄ十分相似，这也意味着出题人知道学生在解题时会在某一步骤出错从而得出与正确答案一步之遥的错误答案．通过询问学生得知，他们出错是在将ｘ２＋ｍｘ＝７化成ｘ２＋ｍｘ－７＝０之后，用十字相乘法进行因式分解这一步．２．４㊀回顾与反思阶段张奠宙教授在‘数学教育概论“一书中提道：与前两个阶段相比这一阶段是最容易被忽视的阶段．大多数学生在解题后缺乏检查的意识，但是在数学的解题过程中，解题者不重视检验导致的功亏一篑现象时有发生，这就告诫我们为了保证解题的正确性，检验是很重要的．也有学生不善于回顾检验导致解题错误的，有的时候由于思维定式的束缚，他们仍然按照原来的解题思路进行验证检查，因此当问题出现在方法上而不是在具体运算上时，他们很难察觉出错误．对此，在日常教学中，教师须有意识地要求学生养成答完题再去回顾的习惯，并且要尝试用多种方法㊁从多种角度去进行检验．回顾是最容易被人们忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节固定下来，是一个非常有远见且正确的做法．回顾反思不仅仅是检查这道题做对了没有，更重要的是学会总结，总结做题方法㊁做题思路，在日后的学习中是否能用到今日所学内容，又能否将所总结的结论推广到其他类型的问题上，这才是波利亚解题理论第四阶段最重要的学习目的．３㊀波利亚解题思想的反思波利亚的 怎样解题表 中的问句㊁提示语都是一种引导，是用来促发念头的．在解题时最难的往往是对一道题目毫无思绪不知如何下手．这时，任何一个有可能对解决问题有指引作用的问题都是对我们有帮助的，它可以引起我们继续思考下去的兴趣与信心，可以使我们继续探索．波利亚的解题思想为中学数学思想方法的教学提供了一种理论模式．波利亚的解题思想并不一定很明显地表现在数学教材之中，在大多数情况下，它是隐含于数学知识和解题过程中的．因此若要以让学生更能接受的方式展示出来，则需要教师通过对教材的钻研来提炼和概括．波利亚认为，中学数学教育的根本目的是 教会中学生思考 ．教会他们去思考就要求数学教师不能只是简单地传授知识，还应努力培养学生在更广的范围中运用所学知识的能力，培养他们的自主意识．教师应该强调学习解题的技能技巧㊁教会学生有益的思考方式和理想的思维习惯．提高学生的数学解题能力是一项持续时间长且实施有难度的工程，这不仅与学生的知识背景㊁智力水平有关，也与学生的学习态度㊁学习方法有关，还与教师的教育思想㊁教学能力㊁教学方法㊁知识水平密切相关．因此每位教师都应该学习波利亚的解题理论，并在教学中教会学生如何思考问题㊁解决问题，从而培养他们良好的数学思维，提高他们的解题能力．教师对学生的错误要充分发挥自己的教学智慧，去挖掘学生在错误中体现的问题，因势利导，使学生由失败走向成功，给予他们学好数学的信心，让其体验和享受成功解题带来的乐趣，从而爱上解题㊁爱上数学．ʌ参考文献ɔ［１］Ｇ㊃波利亚．怎样解题：数学思维的新方法［Ｍ］．涂泓，冯承天，译．上海：上海科技教育出版社，２００７．［２］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（２０１１年版）［Ｍ］．北京：北京师范大学出版社，２０１２．［３］丁洁．波利亚 怎样解题表 在初中数学应用题中的应用［Ｄ］．扬州：扬州大学，２０１５．［４］向正凡．辨析中学生数学解题错误与培养数学解题能力的研究［Ｄ］．长沙：湖南师范大学，２００６．［５］梁红娥．波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用［Ｄ］．呼和浩特：内蒙古师范大学，２００５．［６］井澜．基于数学素养的初中数学教学设计案例研究［Ｄ］．延吉：延边大学，２０１８．［７］朱丹丹．基于波利亚 怎样解题表 培养初中生解题能力［Ｄ］．武汉：华中师范大学，２０１８．［８］吴维煊．数学能力与数学方法［Ｍ］．镇江：江苏大学出版社，２００８．［９］任樟辉．数学思维理论［Ｍ］．南宁：广西教育出版社，２００３．［１０］黄常健．运用波利亚解题思想上提高思维能力与创新意识［Ｊ］．中学数学，２０１７（１７）：６５－６７．［１１］张奠宙，宋乃庆．数学教育概论（第３版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１６．［１２］贾娟．波利亚 怎样解题表 中的元认知分析［Ｊ］．太原大学教育学院学报，２００９（０３）：７３－７４．［１３］高宇．初中生数学解题错误纠正策略效果研究［Ｄ］．长沙：湖南师范大学，２０１７．［１４］叶琳．合理利用波利亚解题模型于解题教学［Ｊ］．中学数学，２０１７（１９）：９２－９４．［１５］朱艺峰．初中生解题错误归类及教学对策［Ｄ］．杭州：杭州师范大学，２０１２．。
波利亚四步解题法
波利亚的《怎样解题：数学思维的新方法》（How to Solve it:A New Aspect of Mathematical Method)
1、彻底理解问题：为了确保真正理解问题，你最好把问题用自已的话换成各种形
式反复重新表达，但另忘了指出问题的主干：要求解的是什么？已知什么？要满足哪些条件？但凡能画图，一定要画出来。
2、形成解题思路：要专注，用过往经验，已撑握的知识，并调整适用性来形成思路。
如果不行，就改变这个问题的各个组件：已知、未知、条件，先构造简单一点的，引入辅助，条件是否用足，甚至改变求解的未知数，看能否找到解题线索？直到找到与之相似而你又解决过的问题。
3、执行：一要有耐心，二需要及时的检查每一步，可凭直觉或证明（两个都有用，但是两回事），要问自已每一步都检查了吗？能看出来这一步是对的吗？能证明这一步是对的吗？
4、总结：巩固与提升的关键，多想想，再论证，尝试另外的解法，找更明快简捷
的方法，还要问，这次的解法还能用在什么地方？总结是最好的启法时刻。
达利奥的五步成功路径：
1、设定目标：设定目标就是设定你真正想达到的，不要去想能不能完成
2、发现通向目标的障碍：这要用身外之我，“元我”思维有助于以客观、抽离的方
式来“旁观”因难，以不受制于“我”在困难面前的纠结困扰。
3、诊断问题所在并制定计划：诊断问题就是诊断问题，不要去想如何解决。
以终
为始，要把可能遇到的问题及应对想透，对怎么走到现在、如何走下一步，相象出其展开全景，好像写越狱的电影剧本。
4、列出解决问题的任务清单：分解目标，可执行，越细越好。
5、坚决执行任务，但不忘初心，不忘目标。
然后这五步反复迭代。
波利亚的数学解题思想及其在中学数学教学中的应用《普通高中课程标准（2017版）》中的课程目标提到在高中阶段要通过高中数学课程的学习，提高从数学角度发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力（简称“四能”）。
因此，高中数学教学十分重视学生解题能力的培养。
但传统的解题教学往往是模仿典型例题做变式训练，在这样的解题教学方式下，学生能通过大量地做题提高解题能力，却缺乏一个解题思维的培养过程。
著名的数学教育家波利亚在他所著的《怎样解题》中，针对人们解题思维的过程提出解题的四个步骤是：弄清问题→拟定计划→实施计划→回顾。
解题能力的培养并非让学生打“题海战术”，而是通过解题思维的培养以达到解题能力提高的目的。
本文以一道高考立体几何题为例，谈谈如何利用波利亚的解题思想培养学生的解题能力。
“学贵有疑”，回顾上述例题运用“怎样解题表”进行解题的过程，可见引导学生提出问题进行分析，探究解决问题的方法，有助于培养学生良好的思维习惯。
解题的第一步必须先弄清题目，“怎样解题表”通过分析题目的已知条件，将已知条件拆分并从中挖掘出其隐含的信息。
实际上，无论这些隐含信息是否在解题中用得上，这一过程对于学生分析问题的能力都是有很大帮助的。
第二步，在弄清问题的基础上，努力利用这些已知的信息与未知之间建立联系，若找不出直接的联系，就对原问题做出必要的变更或修改后，引进相应的辅助问题，从而拟定解决问题的计划。
在进行了第一、二步后，第三步的实施计划就显得较为简单了，根据拟定好的解题计划写出解题过程即可。
最后回顾题目，对解题过程进行反思、总结，教师应注意启发学生开阔思路，发散思维，学会多角度分析和多种解法。
波利亚认为，中学数学教育的根本目的是“教会年轻人思考”。
故在解题教学中，教师应从“扶”到“放”，循序渐进引导学生自主探究，使学生的思维受到良好的训练。
探索探索与与研研究究数学家波利亚在《怎样解题》中对怎样解题进行了深入而又细致的分析与讨论，并提出在解题过程中所需要经历的四个阶段，第一阶段：理解题目，看清题目中的要求是什么；第二阶段：掌握题目中所涉及的相关项目是如何关联起来的，已知量与未知量之间具有什么样的关系；第三阶段：执行所设计的方案；第四阶段：回顾解题的过程并进行检查与讨论.仔细研究可发现，这就是解题的四个步骤：审题——寻找解题思路——确定解题方案并实施——检验解题过程.解题的第一步是审题.我们需要仔细读题，明确题意：（1）弄清楚题目中给出的已知条件以及所求的目标；（2）确定哪些是已知量，哪些是未知量，隐含条件有哪些；（3）判断所给的条件充足与否；（4）判断题目属于什么类型；（5）明确涉及了哪些知识点；等等.第二步，需要在找出有用的数据和信息后，将其关联起来，仔细分析问题，寻找解题的思路.最重要的是确定题目中的未知量与已知量之间的关系，并将其关联起来，可用相关的公式，引入辅助元，构造辅助数列，用已有的知识与过去的解题经验，寻找解题的思路.第三步，确定并实施解题方案.这一步是解题的关键，需要对上一阶段中所确定的解题思路进行分析、整理、优化，可画出相应的表格、图象，以辅助解题.在这个过程中，需确定解题的每一个步骤，列出关系式、建立数学模型，根据已知条件、相关定理、公式、性质、运算法则进行推理、运算，确保推理有理有据，计算准确，解题的过程简洁、有条理，答案正确.第四步，检查上一阶段中得到的解题过程，并进行验算，主要检查：（1）运用到的公式、定义、性质是否正确；（2）运算过程是否正确；（3）用到的数据是否正确；（4）图表是否正确.若存在错误，需及时改正.对于解题或证明过程相对繁杂的题目，这一步尤为重要.在该过程中，要对题目进行反复斟酌，并对所获得的解题过程进行回顾，以确定得到答案的正确性.例1.（2023年高考数学新课标Ⅱ卷，第10题）设O为坐标原点，直线y=-3(x-1)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点，且与C交于M、N两点，l为C的准线，则（）.A.p=2B.|MN|=83C.以MN为直径的圆与l相切D.ΔOMN为等腰三角形分析：题目中的已知量有：①直线y=-3(x-1)与x轴的交点坐标为（1,0），即抛物线焦点为（1,0）；②直线y=-3(x-1)的斜率为k MN=-3，即直线MN的倾斜角为120°；③直线y=-3(x-1)与C交于M、N两点；④直线l为抛物线C的准线.未知量有：①p的取值；②线段|MN|的长度；③以MN为直径的圆与直线l的位置关系；④ΔOMN的形状；解题思路：由抛物线的焦点坐标可以确定p的取值；由直线MN的倾斜角与圆锥曲线的定义可以确定线段|MN|的长度；通过图象可以研究以MN为直径的圆与直线l的位置关系，判断出ΔOMN的形状.这样便将未知量与已知量关联起来了.图148本题的解答过程为：根据题设条件画出圆锥曲线的图象，如图1所示.由抛物线的定义可知，焦点F 的横坐标为1，则p =2，故A 选项正确；而|MN |=2p sin 2120°=163，故B 选项错误；过点M 作准线l 的垂线，交l 于点M ′；过点N 作准线l的垂线，交l 于点N ′；取MN 的中点为P ,过点P 作准线l 的垂线，交l 于点P ′，连接MP ′、NP ′，由抛物线的定义知|MF ′|=|MM ′|，|NF ′|=|NN ′|,所以|MN|=|MM ′|+|NN ′|.由梯形中位线的性质可知|PP ′|=12(|MM ′|+|NN ′|)=12|MN|,即|PP ′|=|MP|=|PN|，所以以MN 为直径的圆与直线l 相切，故C 选项正确；通过观察图象可知，ΔOMN 不是等腰三角形，故D 选项错误；所以本题的答案为AC .经检验，所得的结果正确.例2.双曲线C 的中心为坐标原点，左焦点F 1(-25,0)，离心率为5.（1）求C 的方程；（2）记C 的左、右顶点分别为A 1,A 2，过点B (-4,0)的直线l 与C 的左支交于M ,N 两点，M 在第二象限，直线MA 1与NA 2交于P ，证明：P 在定直线上.分析：题目中的已知量有：①该圆锥曲线是以中心为坐标原点的双曲线；②双曲线左焦点为F 1(-25,0)，即c =25；③离心率e =ca=5；④直线l 过定点B (-4,0)；⑤点P 为直线MA 1与NA 2的交点；未知量有：①双曲线C 的方程；②点P 是否在定直线上.解题思路：通过已知的a ,e 的取值，结合双曲线的定义，就可以确定双曲线的方程；依题意可知，直线l 过定点(-4,0)，可以令直线l 为x =ty -4.另外，结合（1）可以得出点A 1,A 2的坐标，设M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P (x 0,y 0)，就可以得出直线MA 1与MA 1方程，接着联立方程，即可得解.解答本题的过程为：根据题设条件画出圆锥曲线的图象，如图2所示.图2（1）由c =25，e =ca=5可知a =2，即a 2=4，b 2=c 2-a 2=20-4=16，所以双曲线C 的方程为x 24-y 216=1.（2）设直线l ：x =ty -4，M (x 1,y 1),N (x 2,y 2),P (x 0,y 0).联立方程得ìíîïïx =ty -4,x 24-y 216=1,则(4t 2-1)y 2-32ty +48=0.因为直线与双曲线的左支有两个交点，所以ìíîïï4t 2-1≠0,Δ>0,y 1y 2<0,由韦达定理可得y 1+y 2=32t 4t 2-1，y 1y 2=484t 2-1.又MA 1与NA 2交于点P ，则ìíîïïïïy 0x 0+2=y 1x 1+2,y 0x 0-2=y 2x 2-2,可得x 0-2x 0+2=y 1(x 2-2)y 2(x 1+2)=y 1(ty 2-6)y 2(ty 1-2)=ty 1y 2-6(y 1+y 2)+6y 2ty 1y 2-2y 2=-3，解得x 0=-1，所以点P 在定直线x =-1上.经检验点P 在定直线x =-1上，且满足题意.很多同学在解题时常常不清楚应该如何下手，由哪个地方切入，掌握了解题的这四个步骤，就能高效、正确的完成解题.审题、寻找解题思路、确定并实施解题方案、回顾或检查解题的过程，每一个步骤都不可或缺，并有一定的先后顺序，上一个阶段是下一个阶段的前提，下一个阶段是对上一个阶段的完善.这四个步骤虽然不一定适用于所有的题目，却能为同学们解题提供一个大致的方向，这有利于培养同学们良好的解题习惯，进而提高解题的效率.（作者单位：哈尔滨师范大学教师教育学院）探索探索与与研研究究49。
