特殊的平行四边形菱形

特殊平行四边形的分类。

特殊平行四边形的分类
特殊平行四边形是指具有特定特征的四边形形状。

根据不同的特征，特殊平行四边形可以分为以下几类：
1. 矩形（Rectangle）：矩形是一种特殊的平行四边形，具有四个直角，即所有的内角均为90度。

其对边互相平行且相等长度。

2. 正方形（Square）：正方形是一种特殊的矩形，具有所有边相等的特点。

正方形的对边互相平行且相等长度。

3. 平行四边形（Parallelogram）：平行四边形是指具有两对平行边的四边形。

平行四边形的对边互相平行，但不要求边的长度相等。

4. 菱形（Rhombus）：菱形是一种特殊的平行四边形，具有所有边相等的特点。

菱形的对边互相平行。

5. 等腰梯形（Isosceles Trapezoid）：等腰梯形是指具有两条平
行边且两对相邻边长度不相等的四边形。

等腰梯形的一对对边互相
平行。

6. 正梯形（Right Trapezoid）：正梯形是一种特殊的等腰梯形，其中两条平行边相等且两对相邻边相互垂直。

7. 直角梯形（Oblique Trapezoid）：直角梯形是一种等腰梯形，其中两条平行边相等且两对相邻边不相互垂直。

上述是特殊平行四边形的一些分类。

通过识别和理解这些特殊
形状，可以更好地解决与平行四边形相关的问题和算数几何题。

菱形的性质与判定教学目标1、掌握菱形的定义，探究菱形的性质和判定以及菱形的相关性质与平行四边形的相关性质之间的关系。

重难点分析重点：1、菱形的概念，性质和判定进行相关的计算和证明。

难点：1、运用菱形的概念，性质和判定的过程，理解特殊和一般的关系，领会菱形的本质属于与平行四边形的相关性质的关系。

知识点梳理1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形判定定理：（1）对角线互相垂直的平行四边形是菱形；邻边相等的平行四边形是菱形。

（2）四边相等的四边形是菱形。

注意：要证明一个四边形为菱形，可以证明四条边相等，也可以先证明它是平行四边形，再证明一组邻边相等或者对角线相互垂直。

3、菱形的性质：（1）菱形的四条边相等；（2）菱形的对角线相互垂直；（3）菱形的对角线平分角；（4）菱形的对角线将菱形分成四个全等的直角三角形；（5）菱形的面积公式：BD AC S ⋅⋅=21（AC 、BD 分别为菱形的对角线）（6）如果一个菱形有一个内角为o 60或o 120，则两边与较短的对角线构成等边三角形，两对角线将菱形分成四个含o 30的直角三角形，这些都是非常有用的基本图形。

知识点1：菱形的性质【例1】如图，已知AC、BD是菱形ABCD的对角线，那么下列结论一定正确的是【】A、△ABD与△ABC的周长相等B、△ABD与△ABC的面积相等C、菱形的周长等于两条对角线之和的两倍D、菱形的面积等于两条对角线之积的两倍知识点2：菱形与面积、周长、边长、角度问题【例1】已知四边形ABCD是菱形，O是两条对角线的交点，AC=8cm，DB=6cm，•菱形的边长是________cm【随堂练习】1、菱形ABCD的周长为40cm，两条对角线AC：BD=4：3，那么对角线AC=______cm，BD=______cm．2、如图，四边形ABCD是边长为13cm的菱形，其中对角线BD长10cm，求对角线AC的长度及周长。

3、如图，菱形ABCD中，∠A=60°，BD=7，则菱形ABCD的周长为________。

特殊的平行四边形菱形菱形的性质【基础练习】1．如图，在菱形ABCD中，AB=5，∠BCD=120°，则△ABC的周长等于（）A．20 B．15 C．10 D．52．如图，在菱形ABCD中，AC、BD是对角线，若∠BAC=50°，则∠ABC等于（）A．40° B．50° C．80 °D．100°3．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，OE⊥AB，垂足为E，若∠ADC=130°，则∠AOE的大小为（）A．75° B．65° C．55 °D．50°4．如图，已知菱形ABCD 的对角线AC 、BD 的长分别为6cm 、8cm ，AE ⊥BC 于点E ，则AE 的长是（ ）A ．35 cmB ．52 cmC ．548 cm D ．524cm 5．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（ ） A ．2 B ．3 C ．1 D ．21 6．如图，菱形ABCD 的两条对角线相交于O ，若AC=6，BD=4，则菱形的周长是（ ）A ．24B ．16C ．134D ．327．如图，菱形ABCD 的周长为24cm ，对角线AC 、BD 相交于O 点，E 是AD 的中点，连接OE ，则线段OE 的长等于（ ）A ．3 cmB ．4 cmC ．2.5 cmD ．2cm8．如图．在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，下列说法错误的是（ ）A ．AB ∥DC B ．AC=BD C ．AC ⊥BD D ．OA=OC9．在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AB=5，AC=6，过点D 作AC 的平行线交BC 的延长线于点E ，则△BDE 的面积为（ ）A ．24B ．22C ．48D ．4410．如图，在菱形ABCD 中，AB=6，∠ADC=120°，则菱形ABCD 的面积是（ ）A ．18B ．36C ．318D ．33611．已知一个菱形的周长是20cm ，两条对角线的比是4：3，则这个菱形的面积是（ ）A ．12 cm ²B ．24 cm ²C ．48 cm ²D ．96cm ²12．已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm ，则菱形的面积为（ ）A ．3 cm ²B ．4 cm ²C ．3 cm ²D ．32cm ²13．如图，菱形ABCD 的周长是16，∠A=60°，则对角线BD 的长度为（ ）A ．2B ．4C ．34D ．3214．如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=2cm ，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．3B ．33C ．34D ．3215．如图，菱形ABCD 中，∠B=60°，AB=5，则AC=16．如图，菱形ABCD 中，已知BC=5，AC=8，则BD 的长为17．已知菱形的两条对角线长分别为2cm ，3cm ，则它的面积是 cm ²18．已知菱形的两对角线长分别为6cm 和8cm ，则菱形的面积为 cm 219．已知菱形ABCD 的两条对角线相交于点O ，若AB=6，∠BDC=30°，则菱形的面积为20．如图，菱形ABCD 的对角线AC=24，BD=10，则菱形的周长L=21．如图，在菱形ABCD 中，∠BAD=60°，BD=4，则菱形ABCD 的周长是22．如图，P是菱形ABCD对角线BD上一点，PE⊥AB于点E，PE=4cm，则点P到BC的距离是 cm23．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB 上且BE=BO，则∠BEO= 度．24．红丝带是关注艾滋病防治问题的国际性标志．将宽为1cm的红丝带交叉成60°角重叠在一起（如图），则重叠四边形的面积为 cm2．25．在如图的方格纸中有一个菱形ABCD（A、B、C、D四点均为格点），若方格纸中每个最小正方形的边长为1，则该菱形的面积为26．如图，四边形ABCD为菱形，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为点E、点F．（1）证明：△ABE≌△ADF；（2）证明：CE=CF．27．如图，已知菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6，AC与BD相交于点O，求菱形ABCD的周长与面积．28．如图，菱形ABCD中，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，E为AB中点．证明：F为AD中点．29.如图，O是菱形ABCD的对角线的交点，作DE∥AC，CE∥BD，DE，CE交于点E．（1）求证：四边形OCED是矩形；（2）若菱形ABCD的周长为20，矩形OCED的周长为14，求菱形ABCD的面积．30．如图所示，在菱形ABCD中，E、F分别为AB、AD上两点，AE=AF．（1）求证：CE=CF；（2）若∠ECF=60°，∠B=80°，试问BC=CE吗？请说明理由．31．如图，四边形ABCD是菱形，AE⊥BC交CB的延长线于点E，AF⊥CD交CD的延长线于点F．求证：AE=AF．32．如图，菱形ABCD中，AB=8，∠ABC=120°．（1）求∠BAC的度数；（2）连接BD，请求出BD的长度．33.如图1，四边形ABCD是菱形，过点A作BC的垂线交CB的延长线于点E，过点C作AD 的垂线交AD的延长线于点F．（1）说明△AEB≌△CFD的理由；（2）连接AC、BD，AC与DB交于点O（如图2），若BE=1．①当DC=2时，求FC的长度；②当CD是∠ACF的平分线时，求DB的长度与菱形ABCD的边长．34．如图，四边形ABCD为菱形，已知A（0，4），B（-3，0）．（1）求点D的坐标；（2）求经过点C的反比例函数解析式．【培优练习】35．如图所示，在平面直角坐标系中，菱形MNPO的顶点P的坐标是（3，4），则顶点M、N 的坐标分别是（）A．M（5，0），N（8，4） B．M（4，0），N（8，4）C．M（5，0），N（7，4） D．M（4，0），N（7，4）36．菱形OABC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，若OA=2，∠AOC=45°，则B 点的坐标是（ ）A ．)2,22(+B ．)2,22(-C ．)2,22(+-D ．)2,22(--37．如图，在平面直角坐标系中，菱形OACB 的顶点O 在原点，点C 的坐标为（4，0），点B 的纵坐标是-1，则顶点A 的坐标是（ ）A ．（2，-1）B ．（1，-2）C ．（1，2）D ．（2，1）38．将矩形纸片ABCD 按如图所示的方式折叠，得到菱形AECF ．若AB=3，则BC 的长为（ ）A ．2B ．3C ．1D ．239.如图，菱形ABCD 和菱形ECGF 的边长分别为2和3，∠A=120°，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．3B ．2C ．3D ．240.如图，在菱形ABCD 中，∠A=60°，E 、F 分别是AB ，AD 的中点，DE 、BF 相交于点G ，连接BD ，CG ．有下列结论：①∠BGD=120°；②BG+DG=CG ；③△BDF ≌△CGB ；④S △ABD =43AB 2 其中正确的结论有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个41．如图，在菱形ABCD 中，AB=BD ，点E 、F 分别在BC 、CD 上，且BE=CF ，连接BF 、DE 交于点M ，延长ED 到H 使DH=BM ，连接AM ，AH ，则以下四个结论：①△BDF ≌△DCE ；②∠BMD=120°；③△AMH 是等边三角形；④S 四边形ABCD =43AM 2． 其中正确结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个42．如图：菱形ABCD 中，AB=2，∠B=120°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值是43．如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，过点O的直线分别交AB和CD于点E、F，BD=6，AC=4，则图中阴影部分的面积和为44．如图，菱形ABCD的对角线的长分别为6和8，点P是对角线AC上的任意一点（点P不与点A，C重合），且PE∥BC交AB于点E，PF∥CD交AD于点F，则阴影部分的面积是45．如图，活动衣帽架由三个菱形组成，利用四边形的不稳定性，调整菱形的内角α，使衣帽架拉伸或收缩．当菱形的边长为18cm，α=120°时，A、B两点的距离为 cm．46．如图所示，两个全等菱形的边长为1米，一个微型机器人由A点开始按A-＞B-＞C-＞D-＞E-＞F-＞C-＞G-＞A的顺序沿菱形的边循环运动，行走2009米停下，则这个微型机器人停在点．47．如图所示，两个全等菱形的边长为1厘米，一只蚂蚁由A点开始按ABCDEFCGA的顺序沿菱形的边循环运动，行走2008厘米后停下，则这只蚂蚁停在点．48．如图，在矩形ABCD中，AB=24，BC=26．先顺次连接矩形各边中点得菱形，又顺次连接菱形各边中点得矩形，再顺次连接矩形各边中点得菱形，照此继续，…，第10次连接的图形的面积是49.菱形ABCD中，∠B=60°，点E在边BC上，点F在边CD上．（1）如图1，若E是BC的中点，∠AEF=60°，求证：BE=DF；（2）如图2，若∠EAF=60°，求证：△AEF是等边三角形．50.如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠BAD=120°，△AEF为正三角形，E、F在菱形的边BC，CD上．（1）证明：BE=CF．（2）当点E，F分别在边BC，CD上移动时（△AEF保持为正三角形），请探究四边形AECF 的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．（3）在（2）的情况下，请探究△CEF的面积是否发生变化？若不变，求出这个定值；如果变化，求出其最大值．51．如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=53，∠C=30°．点D从点C出发沿CA方向以每秒2个单位长的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以每秒1个单位长的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D、E 运动的时间是t秒（t＞0）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE、EF．（1）求证：AE=DF；（2）四边形AEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相应的t值；如果不能，说明理由．（3）当t为何值时，△DEF为直角三角形？请说明理由．52．如图所示，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm、点P从点D出发向点A运动，同时点Q 从点B出发向点C运动，点P、Q的速度都是1cm/s．（1）在运动过程中，四边形AQCP可能是菱形吗？如果可能，那么经过多少秒后，四边形AQCP是菱形？（2）分别求出菱形AQCP的周长、面积．【课后作业】1．菱形的周长为4，一个内角为60°，则较短的对角线长为（）A．2 B．C．1 D．2．菱形的周长为8cm，高为1cm，则该菱形两邻角度数比为（）A．3：1 B．4：1 C．5：1 D．6：13．如图，菱形ABCD中，AB=15，∠ADC=120°，则B、D两点之间的距离为（）A．15 B．C．7.5 D．4．已知菱形的两条对角线长分别为2cm，3cm，则它的面积是_________ cm2．5．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点0到边AB的距离OH= _________ ．6．如图，菱形ABCD的边长是2cm，E是AB的中点，且DE丄AB，则菱形ABCD的面积为cm2．7．如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AB=13，AC=10，过点D作DE∥AC 交BC的延长线于点E，则△BDE的周长为_________ ．8．如图，已知菱形ABCD的一个内角∠BAD=80°，对角线AC、BD相交于点O，点E在AB上且BE=BO，则∠BEO= _________ 度．9．如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为16cm，若墙上钉子间的距离AB=BC=16cm，则∠1= _________ 度．10．已知菱形的一个内角为60°，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为_________ ．11．如图，P为菱形ABCD的对角线上一点，PE⊥AB于点E，PF⊥AD于点F，PF=3cm，则P 点到AB的距离是_________ cm．12．已知菱形的周长为40cm，两条对角线之比为3：4，则菱形的面积为_________ cm2．13．已知菱形的周长是52cm，一条对角线长是24cm，则它的面积是_________ cm2．14．如图所示，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，DE∥AC交BC的延长线于点E．求证：DE=BE．15．如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=4，O为对角线BD的中点，过O点作OE⊥AB，垂足为E．（1）求∠ABD的度数；（2）求线段BE的长．16．如图，四边形ABCD是菱形，BE⊥AD、BF⊥CD，垂足分别为E、F．（1）求证：BE=BF；（2）当菱形ABCD的对角线AC=8，BD=6时，求BE的长．17．如图，在菱形ABCD中，P是AB上的一个动点（不与A、B重合），连接DP交对角线AC 于E连接BE．（1）证明：∠APD=∠CBE；（2）若∠DAB=60°，试问P点运动到什么位置时，△ADP的面积等于菱形ABCD面积的，为什么？18．已知：如图，四边形ABCD是菱形，E是BD延长线上一点，F是DB延长线上一点，且DE=BF．请你以F为一个端点，和图中已标明字母的某一点连成一条新的线段，猜想并证明它和图中已有的某一条线段相等（只须证明一组线段相等即可）．（1）连接_________ ；（2）猜想：_________ = _________ ；（3）证明：（说明：写出证明过程的重要依据）。

专题1.4 特殊平行四边形知识归纳 知识点1：菱形1. 定义:一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.2. 性质:菱形的四条边相等,两条对角线互垂直平分,且每一条对角线平分一组对角.3. 判定方法:①一组邻边相等的平行四边形是菱形;①对角线互相垂直的平行四边形是菱形;①四条边都相等的四边形是菱形.4. 设菱形对角线长分别为l 1,l 2,则S 菱形=21l 1l 2.1．（2020•荆门）如图，菱形ABCD 中，E ，F 分别是AD ，BD 的中点，若EF ＝5，则菱形ABCD 的周长为（ ）A ．20B ．30C ．40D ．502．（2020•黄冈）若菱形的周长为16，高为2，则菱形两邻角的度数之比为（ ）A ．4：1B ．5：1C ．6：1D ．7：13．（2020•牡丹江）如图，在平面直角坐标系中，O 是菱形ABCD 对角线BD 的中点，AD ①x 轴且AD ＝4，①A ＝60°，将菱形ABCD 绕点O 旋转，使点D 落在x 轴上，则旋转后点C 的对应点的坐标是（ ）A．（0，2√3）B．（2，﹣4）C．（2√3，0）D．（0，2√3）或（0，﹣2√3）4．（2020•盐城）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，H为BC中点，AC＝6，BD＝8．则线段OH的长为（）A．125B．52C．3D．55．（2020•辽阳）如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，AC＝8．BD＝6，点E是CD 上一点，连接OE，若OE＝CE，则OE的长是（）A．2B．52C．3D．46．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH①AB于点H，连接OH，若OA＝6，S菱形ABCD＝48，则OH的长为（）A．4B．8C．√13D．67．（2020•黑龙江）如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DH①AB于点H，连接OH，若OA＝6，OH＝4，则菱形ABCD的面积为（）A．72B．24C．48D．968．（2020•贵阳）菱形的两条对角线长分别是6和8，则此菱形的周长是（）A．5B．20C．24D．329．（2020•福建）如图，点E，F分别在菱形ABCD的边BC，CD上，且BE＝DF．求证：①BAE＝①DAF．10．（2020•滨州）如图，过①ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC、CD、DA于点P、M、Q、N．（1）求证：①PBE①①QDE；（2）顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．11．（2020•郴州）如图，在菱形ABCD中，将对角线AC分别向两端延长到点E和F，使得AE＝CF．连接DE，DF，BE，BF．求证：四边形BEDF是菱形．12．（2020•连云港）如图，在四边形ABCD中，AD①BC，对角线BD的垂直平分线与边AD、BC分别相交于点M、N．（1）求证：四边形BNDM是菱形；（2）若BD＝24，MN＝10，求菱形BNDM的周长．知识点2：矩形1.定义:有一个内角是直角的平行四边形叫做矩形.2.性质:矩形的对角线互相平分且相等,四个角都是直角.3.判定方法:①有三个角是直角的四边形是矩形;①对角线相等的平行四边形是矩形;①有一个角是直角的平行四边形是矩形.4. 设矩形的长和宽分别为a,b,则S矩形=ab.1．（2020秋•西安期末）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，①ABO＝60°，若矩形的对角线长为6．则线段AD的长是（）A．3B．4C．2D．32．（2020春•漳州期末）如图，将矩形纸片右侧部分的四边形ABCD沿线段AD翻折至四边形AB′C′D的位置．若①DAB＝56°，则①1的度数是（）A．34°B．56°C．58°D．68°3．（2020春•复兴区期末）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分①BAD交BC于点E，若①CAE＝15°，则①BOE的度数为（）A．60°B．75°C．72°D．90°4．（2019秋•崂山区期末）如图，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，AE①BD，垂足为点E，AE＝5，且EO＝2BE，则OA的长为（）A．B．C．3D．5．（2020春•新乐市期末）如图，在①ABC中，点D在BC上，DE①AC，DF①AB，下列四个判断中不正确的是（）A．四边形AEDF是平行四边形B．若①BAC＝90°，则四边形AEDF是矩形C．若AD①BC且AB＝AC，则四边形AEDF是菱形D．若AD平分①BAC，则四边形AEDF是矩形6．（2020秋•太原期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列条件不能判定平行四边形ABCD为矩形的是（）A．①ABC＝90°B．AC＝BD C．AD＝AB D．①BAD＝①ADC7．（2020秋•紫金县期末）四边形ABCD的对角线互相平分，要使它变为矩形，需要添加的条件是（）A．AB＝CD B．AC＝BD C．AB＝BC D．AD＝BC8．（2020春•南宁期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB的中点，且DC＝AC，则∠B的度数是（）A．25°B．30°C．45°D．60°9．（2020•聊城）如图，在①ABCD中，E为BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接BF，AC，若AD＝AF，求证：四边形ABFC是矩形．10．（2020•遂宁）如图，在①ABC中，AB＝AC，点D、E分别是线段BC、AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于点F，连接CF．（1）求证：①BDE①①F AE；（2）求证：四边形ADCF为矩形．11．（2020•北京）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF①AB，OG①EF．（1）求证：四边形OEFG是矩形；（2）若AD＝10，EF＝4，求OE和BG的长．知识点3：正方形1. 正方形的定义：有一组邻边相等,并且有一个角是直角的平行四边形.2. 正方形的性质（1）正方形既有矩形的性质，又有菱形的性质.（2）正方形的四个角都是直角，四条边相等.（3）正方形的对角线相等且互相垂直平分.3. 正方形的判定方法（1）有一组邻边相等的矩形是正方形.（2）对角线互相垂直的矩形是正方形.（3）有一个角是直角的菱形是正方形.（4）对角线相等的菱形是正方形.4. 平行四边形、矩形、菱形与正方形之间的联系1．（2020秋•大东区期末）如图，正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则①CDE的度数为（）A．20°B．22.5°C．25°D．30°2．（2020春•十堰期末）如图，在正方形OABC中，点B的坐标是（6，6），点E、F分别在边BC、BA 上，OE＝3．若①EOF＝45°，则F点的纵坐标是（）A．2B．C．D．13．（2020春•漳州期末）如图，在正方形ABCD中，BF①CE于点F，交AC于点G，则下列结论错误的是（）A．①BCG①①CDE B．AG＝BE C．①OBG＝①OCE D．①ABG＝①AGB 4．（2020•湘西州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE．（1）求证：①BAE①①CDE；（2）求①AEB的度数．5．（2020•自贡）如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE ＝DF，连接AE和BF相交于点M．求证：AE＝BF．。

特殊平行四边形菱形简介特殊平行四边形菱形，英文名为Rhomboid，是由两对平行的边所围成的四边形。

其与普通菱形在形状上非常相似，但四个角并不相等，两对对边不一样长。

特殊平行四边形菱形在数学、几何、建筑等领域都有广泛的应用。

特点特殊平行四边形菱形有以下特点：1.有两对边是平行的。

2.对角线相等，即对边长度相等。

3.两对对边不相等。

公式假设特殊平行四边形菱形的两对对边长度分别为a和b，对角线长度为d，则可以使用以下公式计算：1.对角线d长度的计算公式：d = √(a² + b²)2.对边长度的计算公式：两对对边中较短的一对为底边，底边长度为x，则另一对对边的长度为：b = x + √(d² - a²)应用领域数学特殊平行四边形菱形是数学中一个重要的几何图形，主要应用于以下方面：1.作为三角函数图像的基础。

2.计算直角三角形中的各种问题，如求斜边、求角等。

3.作为几何变换中的基础，如平移、旋转等。

建筑在建筑领域，特殊平行四边形菱形主要用于建筑结构设计中，如：1.斜拉桥的建设中，菱形结构可以作为加强桥体的支撑。

2.在一些文化遗产修缮中，菱形结构也常用于修缮。

设计在设计领域，特殊平行四边形菱形的不规则形态常常被设计师用于造型设计中，如：1.以菱形形状作为产品外观设计的基础，让产品更加独特、有个性。

2.作为视觉设计中的元素之一，以菱形的运用增加设计美感。

特殊平行四边形菱形是一种非常有用的几何图形，在数学、建筑、设计等领域有广泛的应用。

了解特殊平行四边形菱形的基础概念和计算公式，可以帮助我们更好地理解其应用。

菱形的判定：（1）（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。

2对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

（3）四条边都相等的四边形是菱形。

（4）每条对角线平分一组对角的四边形是菱形。

例题1：菱形的判定一专练：（对角线互相垂直的平行四边形）1、如图，□ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与边AD 、BC 分别交于E 、F.求证：四边形AFCE 是菱形.尝试练习：ABCD 的对角线AC 的垂直平分线与两边AB 、CD 的延长线分别相交于E 、F ，求证：四边形AECF 为菱形例2：菱形判定二专练（菱形的四条边相等）如图，矩形ABCD 的对角线相交于点O ，PD∥AC，PC∥BD，PD ，PC 相交于点P ，四边形PCOD 是菱形吗？试说明理由．尝试练习：1、下列四边形中不一定为菱形的是（ ）A ．对角线相等的平行四边形B ．每条对角线平分一组对角的四边形C ．对角线互相垂直的平行四边形D ．用两个全等的等边三角形拼成的四边形2、已知，如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，BC=CD ，AD ⊥BD ，E 为AB 的中点.求证：四边形BCDE 是菱形.例3：菱形的判定三专练（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）。

如图所示，在四边形ABCD 中，AB∥CD，AB=CD=BC ，四边形ABCD 是菱形吗？•说明理由．A D E BC F E O B A CD A C F HE B 尝试练习：如图，在△ABC 中，AB=BC ，D 、E 、F 分别是BC 、AC 、AB 边上的中点. （1）求证：四边形BDEF 是菱形；（2）若AB=12cm ，求菱形BDEF 的周长.变式训练：如图，在ABCD 中，AE 平分∠BAD ，与BC 相交于点E ，EF ∥AB ，与AD 相交于点F ，求证：四边形ABEF 是菱形．特列专训：如图所示，△ABC 中，∠ACB=90°，∠ABC 的平分线BD•交AC 于点D ，CH⊥AB 于H ，且交BD 于点F ，DE⊥AB 于E ，四边形CDEF 是菱形吗？请说明理由．特列回顾：如图，菱形ABCD 中，∠B =60°，AB =2，E 、F 分别是BC 、CD 的中点，连接AE 、EF 、AF ，则△AEF 的周长为（ ）A ．B ．C ．D ．310．创新训已知：如图所示，菱形ABCD 中，E ，F 分别是CB ，CD 上的点，且BE=DF ．（1）试说明：AE =AF ；（2）若∠B=60°，点E ，F 分别为BC 和CD 的中点，试说明：△AEF 为等边三角形．D E F B C AB A CE D F一、填空专练：1.菱形的周长是20cm，则菱形的边长是_________cm.2.在菱形ABCD中，对角线AC=6，BD=8，则菱形的边长为______________，菱形的面积是___________.3.菱形的面积是27cm2，两条对角线的比是2：3，则较长对角线的长是___________cm.4.菱形ABCD中，∠A=60°，对角线BD=7cm，则此菱形的周长是____________cm.5.菱形的面积是50cm2，一个内角是30°，则这个菱形的边长是______________.6．如图2所示，D，E，F分别是△ABC的边BC，CA，AB上的点，且DE∥AB，DF∥CA，要使四边形AFDE是菱形，则要增加的条件是________．（只写出符合要求的一个即可）7．菱形ABCD的周长为48cm，∠BAD： ∠ABC= 1：•2，•则BD=•_____，•菱形的面积是______．8．在菱形ABCD中，AB=4，AB边上的高DE垂直平分边AB，则BD=_____，AC=_____．二、选择专练1.菱形具有矩形不一定具有的性质（）A.对角相等且互补B.对角线互相平分C.一组对边平行，另一组对边相等 D．对角线互相垂直2.若菱形的一个内角是120°，且平分这个内角的一条对角线长是8cm，则这个菱形的周长为（）A.16cmB.32cmC.36mD.40cm3．四个点A，B，C，D在同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）． A．1种 B．2种 C．3种 D．4种4．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和．4cm和．8cm和cm D．4cm和42．四个点A，B，C，D在5、同一平面内，从①AB∥CD；②AB=CD；③AC⊥BD；④AD= BC； ⑤AD∥BC．这5个条件中任选三个，能使四边形ABCD是菱形的选法有（）．A．1种 B．2种 C．3种 D．4种6．菱形的周长为32cm，一个内角的度数是60°，则两条对角线的长分别是（）A．8cm和．4cm和．8cm和．4和7、下列图形中，不一定为菱形的是（）A．两条对角线互相垂直平分的四边形 B．四条边都相等的四边形C．有一条对角线平分一个内角的平行四边形 D．用两个全等的等边三角形拼成的图形8.顺次连结四边形四条边的中点，所得的四边形是菱形，则原四边形一定是（ ）A.平行四边形B.对角线相等的四边形C.矩形D.对角线互相垂直的四边形三、名题欣赏：如图，P 为菱形ABCD 的对角线上一点，PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AD 于点F ，PF =3cm ，则P 点到AB 的距离是 cm ．2、如图，△ABC 中，AC 的垂直平分线MN 交AB 于点D ，交AC于点O ，CE ∥AB 交MN 于E ，连结AE 、CD ．（1）求证：AD =CE ；（2）填空：四边形ADCE 的形状是 ．3、已知如图，菱形ABCD 的对角线AC=16cm ，BD=12cm ，DE ⊥BC 于E ，求DE 长.EB A D C。

菱形【学习目标】1. 理解菱形的概念.2. 掌握菱形的性质定理及判定定理．【要点梳理】【高清课堂特殊的平行四边形（菱形）知识要点】要点一、菱形的定义有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形.要点诠释：菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻边相等这个特殊条件.要点二、菱形的性质菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：1.菱形的四条边都相等；2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.要点诠释：（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分.（2）菱形的面积有两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底×高；另一种是两条对角线乘积的一半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半.（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.要点三、菱形的判定菱形的判定方法有三种：1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形.2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.3.四条边相等的四边形是菱形.要点诠释：前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.【典型例题】类型一、菱形的性质1、（2015•石景山区一模）如图，菱形ABCD中，E，F分别为AD，AB上的点，且AE=AF，连接EF并延长，交CB的延长线于点G，连接BD．（1）求证：四边形EGBD是平行四边形；（2）连接AG，若∠FGB=30°，GB=AE=1，求AG的长．【思路点拨】（1）连接AC，再根据菱形的性质得出EG∥BD，根据对边分别平行证明是平行四边形即可．（2）过点A作AH⊥BC，再根据直角三角形的性质和勾股定理解答即可．【答案与解析】（1）证明：连接AC，如图1：∵四边形ABCD是菱形，∴AC平分∠DAB，且AC⊥BD，∵AF=AE，∴AC⊥EF，∴EG∥BD．又∵菱形ABCD中，ED∥BG，∴四边形EGBD是平行四边形．（2）解：过点A作AH⊥BC于H．∵∠FGB=30°，∴∠DBC=30°，∴∠ABH=2∠DBC=60°，∵GB=AE=1，∴AB=AD=2，在Rt△ABH中，∠AHB=90°，∴AH=，BH=1．∴GH=2，在Rt△AGH中，根据勾股定理得，AG=．【总结升华】本题考查了菱形性质，关键是根据菱形的性质和平行四边形的判定以及直角三角形的性质解题．举一反三：【变式1】（2015•温州模拟）如图，在菱形ABCD中，点E是AB上的一点，连接DE交AC于点O，连接BO，且∠AED=50°，则∠CBO=度．【答案】50；解：在菱形ABCD中，AB∥CD，∴∠CDO=∠AED=50°，CD=CB，∠BCO=∠DCO，∴在△BCO和△DCO中，，∴△BCO≌△DCO（SAS），∴∠CBO=∠CDO=50°．【高清课堂 特殊的平行四边形（菱形） 例1】【变式2】菱形ABCD 中，∠A ∶∠B ＝1∶5，若周长为8，则此菱形的高等于( )． A.21 B.4 C.1 D.2【答案】C ；提示：由题意，∠A ＝30°，边长为2，菱形的高等于12×2＝1. 类型二、菱形的判定2、如图所示，在△ABC 中，CD 是∠ACB 的平分线，DE ∥AC ，DF ∥BC ，四边形DECF 是菱形吗?试说明理由．【思路点拨】由菱形的定义去判定图形，由DE ∥AC ，DF ∥BC 知四边形DECF 是平行四边形，再由∠1＝∠2＝∠3得到邻边相等即可．【答案与解析】解：四边形DECF 是菱形，理由如下：∵ DE ∥AC ，DF ∥BC∴ 四边形DECF 是平行四边形．∵ CD 平分∠ACB ，∴ ∠1＝∠2∵ DF ∥BC ，∴ ∠2＝∠3，∴ ∠1＝∠3．∴ CF ＝DF ，∴ 四边形DECF 是菱形．【总结升华】在用菱形的定义判定一个四边形是菱形时，首先判定这个四边形是平行四边形，再由一对邻边相等来判定它是菱形．举一反三：【变式】如图所示，AD 是△ABC 的角平分线，EF 垂直平分AD ，分别交AB 于E ，交AC 于F ，则四边形AEDF 是菱形吗?请说明理由．【答案】解：四边形AEDF 是菱形，理由如下：∵ EF 垂直平分AD ，∴ △AOF 与△DOF 关于直线EF 成轴对称．∴∠ODF＝∠OAF，又∵ AD平分∠BAC，即∠OAF＝∠OAE，∴∠ODF＝∠OAE．∴ AE∥DF，同理可得：DE∥AF．∴四边形AEDF是平行四边形，∴ EO＝OF又∵Y AEDF的对角线AD、EF互相垂直平分．∴Y AEDF是菱形．3、如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，CE平分∠ACD，交AD于点G，交AB于点E，EF⊥BC于点F．求证：四边形AEFG是菱形．【思路点拨】由角平分线性质易知AE＝EF，欲证四边形AEFG是菱形，只要再证四边形AEFG是平行四边形或AG＝GF＝AE即可．【答案与解析】证明：方法一：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∵∠1＝∠2，∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．∴ EF AG．∴四边形AEFG是平行四边形．又∵ AE＝AG，∴四边形AEFG是菱形．方法二：∵ CE平分∠ACB，∠BAC＝90°，EF⊥BC，∴ AE＝EF，∠1＋∠3＝90°，∠4＋∠2＝90°．∴∠3＝∠4．∵ EF⊥BC，AD⊥BC，∴ EF∥AD．∴∠4＝∠5．∴∠3＝∠5．∴ AE＝AG．在△AEG和△FEG中，AE＝EF，∠3＝∠4，EG＝EG，∴△AEG≌△FEG．∴ AG＝FG．∴ AE＝EF＝FG＝AG．∴四边形AEFG是菱形．【总结升华】判定一个四边形是菱形，关键是把已知条件转化成判定方法所需要的条件．举一反三：【变式】如图所示，在Y ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，过A点作AG∥DB交CB的延长线于点G．(1)求证：DE∥BF；(2)若∠G＝90°，求证四边形DEBF是菱形．【答案】证明：(1)Y ABCD中，AB∥CD，AB＝CD∵ E、F分别为AB、CD的中点∴ DF＝12DC，BE＝12AB∴ DF∥BE．DF＝BE∴四边形DEBF为平行四边形∴ DE∥BF(2)证明：∵ AG∥BD∴∠G＝∠DBC＝90°∴△DBC为直角三角形又∵ F为边CD的中点．∴ BF＝12DC＝DF又∵四边形DEBF为平行四边形∴四边形DEBF是菱形类型三、菱形的应用4、如图所示，是一种长0.3m，宽0.2m的矩形瓷砖，E、F、G、H分别为矩形四边BC、CD、DA、AB的中点，阴影部分为淡黄色花纹，中间部分为白色，现有一面长4.2 m，宽2.8m的墙壁准备贴如图所示规格的瓷砖．试问：(1)这面墙最少要贴这种瓷砖多少块?(2)全部贴满后，这面墙壁会出现多少个面积相同的菱形?【答案与解析】解：墙壁长4.2m，宽2.8m，矩形瓷砖长0.3m，宽0.2m，4.2÷0.3＝14，2.8÷0.2＝14，则可知矩形瓷砖横排14块，竖排14块可毫无空隙地贴满墙面．(1)则至少需要这种瓷砖14×14＝196(块)．(2)每块瓷砖中间有一个白色菱形，则共有196个白色的菱形，它的面积等于瓷砖面积的一半．另外在同一个顶点处的瓷砖能够拼成一个淡黄色花纹的菱形，它的面积也等于瓷砖面积的一半，有花纹的菱形横排有13个，竖排也有13个，则一共有淡黄色花纹菱形13×13＝169个，面积相等的菱形一共有196＋169＝365(个)．【总结升华】菱形可以看作是由直角三角形组成的，因而铺满墙面后，要计算空白菱形的个数和阴影菱形的个数．将相同的图形拼在一起，在顶点周围的几个图形也能拼成一定的图案，不要忽略周围图形的拼接．。

教学内容菱形新知详解1、菱形的定义：有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

2、菱形也是特殊的平行四边形，故菱形具备平行四边形的多有性质。

除此之外，菱形的性质还有：菱形的性质一：边菱形的四条边相等。

菱形的性质二：对角线菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角。

菱形的性质三：对称性菱形是轴对称图形，对角线所在的直线是对称轴，菱形有2条对称轴。

例1：已知，如图，四边形ABCD是菱形，过AB的中点E作AC的垂线EF，交AD于点M，交CD的延长线于点F。

(1)求证：AM=DM；(2)若DF=2，求菱形ABCD的周长。

练习1：如图所示，菱形的周长为20cm，两邻角的比为1：2．求：（1）较短对角线的长；（2）一组对边的距离。

例2：如图，在菱形ABCD中，∠ABC＝120°，E是AB边的中点，P是AC边上一动点，PB＋PE的最小值是3，求AB的值．练习2：如图，菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝2，E、F分别是BC、CD的中点，连接AE、EF、AF，求△AEF 的周长。

第21题图A BCDEFMFADEBC例3：如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB＝4．求：(1)∠ABC的度数；(2)菱形ABCD的面积．练习3：已知菱形ABCD中，AC与BD相交O点，若∠BDC=030，菱形的周长为20厘米，求菱形的面积.小结：S菱形ABCD =AB× DE或S菱形ABCD = S△ABD+S△BCD = AC×BD （菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半）随堂练习一、填空题1．菱形的邻角比为1：5，它的高为1.5cm，则它的周长为__________．2．已知菱形的两对角线的比为2：3，两对角线和为20，•则这对角线长分别为_______，__________．3．菱形ABCD中，AC交BD于O，AB=13，BO=12，AO=5，菱形的周长=________，面积=•_______．4．O为菱形ABCD的对角线交点，E、F、G、H分别是菱形各边的中点，若OE=3cm，•则OF=__________，OG=__________，OH=___________．5. 已知一个菱形的面积为8 3 ㎝2，且两条对角线的比为1∶ 3 ，则菱形短的对角线长为_________。

几种特殊的平行四边形―――菱形宜兴市徐舍中学 潘建琴本课学习要点：1、 通过观察生活引出菱形，通过折纸，改变平行四边形的邻边长度，寻找菱形独特的性质和识别方法。

2、 能识别菱形，能简单运用菱形的特征解决问题。

本课重点，难点重点：菱形的性质和判定（这节课主要讲性质，判定主要是先有一个初步概念） 难点：菱形的性质课前准备：多媒体，折纸教学方法：合作 探索 创新一、温故知新：我们刚学习过矩形是特殊的平行四边形，他特殊在“角”上，即有一个角是直角的平行四边形是矩形，（适当复习矩形的特征，从定义，与平行四边形的关系，对称性，角，对角线来讲，板书）现在我们又要研究另一类特殊的平行四边形，它特殊在哪个方面呢？又有什么独特的特征呢？，提出生活中见过的图形，告诉学生这种图形得出方法，提出问题：（指出用学习矩形同样的方法学习今天的知识）1、 这是一个什么样的图形：答：菱形2、 什么是菱形答：（根据预习回答）一组邻边相等的平行四边形叫菱形。

3、 菱形是平行四边形吗？答：是 （那么它就具有平行四边形的所有性质）4、 它还有什么性质？二、合作探究通过学生折纸讨论性质，特别是对角线的性质可以从折纸得到很直观的认识。

菱形是一个特殊的平行四边形，它具有四边形和平行四边形的所有性质。

性质1、菱形是轴对称图形，对角线所在的两条直线是他的对称轴。

性质2、菱形是中心对称图形，两对角线的交点是它的对称中心。

性质3、菱形的四条边都相等。

性质4、菱形的两对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角。

性质5、菱形的面积S ＝21 ab (a b 是两条对角线的长) 在得到性质以后三、学有所用1. 如图，在菱形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点 O,则AB=AD=_______=_______,即菱形的_______________相等。

图中的等腰三角形有 ABC DO__________________,直角三角形有_________________2．已知菱形的对角线长分别为6m 和8m ，求菱形的面积例一已知：菱形ABCD 中，∠DAB:∠B=2:1,周长是AC 的长。