8 两个重要极限(1)

两个重要的极限1．证明：0sin lim 1x x x→= 证明：如图（a ）作单位圆。

当0<x<2π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。

即111sin 222x x <<tgx ，sinx<x<tgx 。

除以sinx ，得到11sin cos x x x<< 或sin 1cos x x x >>。

（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。

故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。

由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x=。

函数f(x)=sin x x的图象如图（b ）所示。

2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。

证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11(1)n n n b a n b b a++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。

（1） 令a=1+11n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。

由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n+为递增数列。

再令a=1，b=1+12n代入（1）。

由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。

不等式两端平方后有214(1)2n n >+，它对一切自然数n 成立。

联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。

于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n→∞+是存在的。

当
时,
当
时,
lim
n
xn

a
令N max N1 , N2,
则n当 N
时, 有
由条件 (1) a yn xn zn a
即xn a ,
l故im
n
xn

a
.
2
例1. 证明
证: 利用夹逼准则 由.
n

n2
1


n2
1
2

n2
1
n


n2
n2
且
lim
n
n
n2 2


lim
n
1
1


n2
1

lim n
n

n2
1


n2
1
2

n2
1
n

1
3
准则1’ 函数极限存在的夹逼准则

当 x (x0 , ) 时, g(x) f (x) h(x) , 且
a
lim
n
xn
b
(m)
b ( 证明略 ) 5
例2. 设
证明数列
极限存在 . (P49)
证: 利用二项式公式(P270 ), 有
xn (1 1n)n

1

n 1!
1 n

n(n1) 2!
1 n2

n(n1)(n2) 3!
1 n3


n(n1)(nn1) n!
1 nn
11
x x0
2

Afr .-f-e第一早第八节极限存在准则两个重要极限【教学目的】1、 了解函数和数列的极限存在准则；2、 掌握两个常用的不等式；3、 会用两个重要极限求极限。

【教学内容】1、 夹逼准则；2、 单调有界准则；3、 两个重要极限。

【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。

难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。

【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（ 3分钟）。

首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（ 10分钟）；课堂练习（5分钟）。

【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限10003、lim X n ,其中 x n = 、.、3+ x n-1， N = '、3，极限不能确定。

对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则:一、极限存在准则1. 夹逼准则准则I 如果数列X n ,y n 及Z n 满足下列条件(1) y n X n Z n (n 1,2,3 )(2) lim y na, lim z n a,nn那么数列X n 的极限存在，且lim X na .n证： y a, z a,0, N 1 0, N 2 0,使得1、 limnn 21000个0相加，极限等于 0。

2、 limn——2一无穷多个.n i0”相加，极限不能确定。

当n N1时恒有y n a ,当n N2时恒有Z n取N 二max{N j , N 2},上两式同时成立，即a _1_ n 2 2【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2. 单调有界准则准则n 单调有界数列必有极限几何解释：X 2 X 3 X n Xn 1A1 - 3—X n , X 1 ,3，求lim X n 。

首先证明是有界的，然后证明是单n调的，从而得出结论证：1、证明极限存在例2证明数列X n.3 '/L 3 ( n 重根式)的极限存在当n > N 时，恒有 ay n x n z n a ,即 X n a成立, lim x n a.n上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限o准则I '如果当X U (x 0,)(或x M )时，有(1) g(x) f(x) h(x),⑵』m g(x) A ，』m h(x) A,x xx x(x ) (x )那么lim f (x)存在，且等于A .x x 0 (x )准则 和准则'称为夹逼准则。

显然 xn+1 > xn , ∴ {xn } 是单调递增的 ;
12/19/2010 10:04 PM
1 1 1 1 2 n −1 xn = 1+ 1+ (1− ) +L+ (1− )(1− )L(1− ). 2! n n! n n n
n→∞
12/19/2010 10:04 PM
令 lim xn = A, 对递推公式
n→∞
xn = a + xn−1 的两边取极限
lim xn = lim a + xn−1 ⇒ 1 ± 1 + 4a 4a , A = a + A ⇒ A − A−a = 0⇒ A = 2
2
n→∞
n→∞
存在, 因为 xn > 0, 且 lim xn存在,则 lim xn = A ≥ 0,
类似地, 类似地,
xn +1 1 = 1 + n+1
n +1
1 1 = 1 + 1 + (1 − ) +L 2! n+1
1 1 2 n−1 )(1 − )L(1 − ) + (1 − n! n+1 n+1 n+1 1 1 2 n (1 − )(1 − )L(1 − ) + ( n + 1)! n+1 n+1 n+1
1 − cos x 1 = 1 ⋅ lim = . 2 x →0 2 x
12/19/2010 10:04 PM
sin 3 x . 例11 求 lim x →π tan 5 x 解 令x = π − t ⇒ t = π − x , 当x → π 时 ⇒ t → 0, 则 sin ( 3π − 3t ) sin 3 x lim = lim x →π tan 5 x t → 0 tan ( 5π − 5t )

第二个重要极限：勇气极限
勇气极限是指我们所能承受的恐惧和心理压力的极 限。了解并逐步超越这个极限，可以使我们在挑战 中变得无所畏惧。
重要性说明
1 激发潜力
了解重要极限能激发我们 内在的潜力，鼓励我们尝 试新事物并突破自身的局 限。
2 规避风险
重要极限的认识有助于我 们规避风险，避免陷入危 险和不理智的决策中。
极限存在准则：两个重要 极限
在极限存在的世界里，我们要探讨两个重要极限：极限存在准则以及第一个 和第二个重要极限。让我们一同揭开生活中最极致的部分。
极限存在准则
1
什么是极限存在准则？
极限存在准则是指在一定条件下，存在着极限情况的规律和约束。它定义了事物 的极限状态和行为。
2
为什么极限存在准则重要？

3 追求卓越
超越重要极限是追求卓越 的关键一步，让我们不断 学习、成长和创新。
实际应用
运动训练
运动训练中，了解和超越个人身体极限是提高 体能和成绩的关键。
领导能力
领导者需要超越自身能力和局限，带领团队不 断创新和突破。
创业企业
创业企业需要超越市场的竞争和资源限制，寻 找新的商业机会和创新解决方案。
科学研究
科学研究需要不断突破知识和技术的边界，发 现未知领域和新的发现。
总结和结论
极限存在准则以及两个重要极限的认识，可以帮助我们更好地理解和应对生活中的极端情况和挑战。通过超越 这些极限，我们能够实现更高的成就和创造。
极限存在准则能帮助我们了解事物的极端表现和局限，提醒我们在决策和行动中 要注意避免超越这些极限。
3
应用领域
极限存在准则广泛应用于科学研究、工程设计、金融市场和人类行为等领域，在 寻找平衡和解决问题时发挥着关键作用。

两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。

1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。

特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。

2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。

极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。

利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。

利用无穷小的性质求极限。

利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。

利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。

两个重要极限、无穷小量的比较一、教学内容两个重要极限、无穷小量的比较； 二、教学目的1．掌握用两个重要极限求极限的方法 2．掌握利用等价无穷小求极限的方法； 三、教学重点 1．两个重要极限 四、教学难点 1．两个重要极限§4 两个重要极限一 夹逼定理定理1 如果函数)(x f ，)(x g 及)(x h 满足下列条件：（1）δ<-0x x （且 0x x ≠ ），（或 M x >）时，有)()()(x h x f x g ≤≤成立。

（2）A x h A x g x x x x x x ==∞→∞→→→)(lim ,)(lim )(0)(0，那么，)(lim )(0x f x x x ∞→→ 存在，且等于 A 。

2、两个重要极限 （1）limsin x xx→=01证明：记 f x x x()sin = ， 由于 f x f x ()()-=， 我们不妨只究 1sin lim 00=+→xxx 这一情形加以证明，如下图所示：从几何图形上可清楚地看出：弦弧弦CD x BC x AB x =<=<=sin tan 于是有两边夹的不等式cos sin x x x<<1而 lim cos x x →=01 事实上， 当 x →+00，有：11122122121222←>=-⋅≥-⋅=-→cos (sin )()x x x x 据两边夹准则， 我们有： lim sin x x x→+=001而 f x x x()sin = 是偶函数， 故 lim sin x x x→-=001由函数的左右极限的性质知， lim sin x x x→=01单调有界准则 单调有界数列必有极限。

（2）lim()n nne →∞+=11 极限还可推广到更一般的情形：e xxx =+∞→)11(lim 原极限可变成一种新的形式 e z zz =+→1)1(lim例 求 xx x x 2)1222(lim ++∞→解：12111222++=++x x x ，令 121+=x z ，而0→⇔∞→z x ，且)11(21-⋅=z x例 求极限 xxx )11(lim 2-∞→ 解：令tx =-，x t →∞⇔→∞e ttt t t tx x t t t x 1)11(lim 1)11(1lim )11(lim )11(lim =+=+=-+=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x )11(lim )11(lim )11()11(lim -⋅+=-+=∞→∞→∞→原式11=⋅=ee四、无穷小与无穷大 1、无穷小 无穷小的定义：0>∀ε，0>∃δ（或0>X ），当δ<-<00x x (或X x >)时，有 ε<)(x f 成立，则称函数)(x f 为当0x x →（或∞→x ）时的无穷小，记作)0)(lim (0)(lim 0==∞→→x f x f x x x 或定理 在自变量的同一变化过程 x x →0(或 x →∞ )中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式， 则该常数就是函数的极限。

x
x
lim(1 1 )x e
x
x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
若在极限 lim(1 1 )x e 中，令 t 1
x
x
x
得极限的另一种形式
1
lim(1 t)t e
t0
这种数学模型在实际中非常有用，例如 “银行计算复利问题”。设本金为 A0，利率为 r ， 期数为 t ，如果每期结算一次，则本利和 A为
lim x A
证毕。
例1 证明 limsin x 0 x0
证 当 x 时，0 sin x x
2
由 lim x 0 , x0
再根据准则1，得
limsin x 0 证毕。
x0
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
例2 证明 limcos x 1 x0
2
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
1 x 1

(0 x )
sin x cos x
2
sin x是偶函数
x
得到 cos x sin x 1 (0 x )
x
2
limcos x 1 , lim sin x 1
x0
x0 x
证毕。
例4
计算 lim tan x
8/18/2019 3:32 PM
第二章 极限与连续
而
lim(1
n

n
1
)n 1

lim
n
(1 n
1
1 )n1 1 1
e
n1
lim(1 1 )n1 lim(1 1 )n(1 1 ) e

2 2 1 . 3 3
P40,练习2.5
P40,练习2.5
2 （ 9）
x
lim (tan x )tan2 x
4
2tan x
2
(1 (tan x 1))1tan 解 原式 lim
x 4
x
lim
x 4
[1 (tan x 1)]
1 tan x 1
2 tan x (tan x 1) 1 tan 2 x
n n
a 2 a
a2 a 2 0
a2 2 a
a2
备用题
1.设 xn1
1 a ( xn ) ( n 1 , 2 , 2 xn
) , 且 x1 0,
a 0 , 求 lim xn .
n
利用极限存在准则
a xn xn
解： xn1
1 a ( xn ) 2 xn
例2. 证明
证: 利用两边夹法则 . 由
1 1 n 2 2 n π n 2π
2 n 1 2 2 n nπ n π
且 g (n)
h(n )
2
1 n lim 2 lim n n π n 1 π 2
n
1
1 1 1 lim n n2 π n2 2 π n2 n π 1 n
2 2sin 2sin lim 解: 原式 = lim 2 x0 x 0 4x x 2 4 x sin 1 2 1 2 lim 1 2 x0 x 2 2
2 x 2 2
x 2
cos 2 1 2sin2
2sin2 1 cos 2

例13 求 lim x 1 2x x0 1
解 原式 lim(1 2x) x (1 型) x0

lim(1

2
x
)
1 2x

2

(lim(1

2
x)
1 2x
)2
e2.
x0
x0
例14 求 lim(1 sin x)csc x (1 型)
x0
1
解 原式 lim(1 sin x)sin x x0
x0 nx
x0
nx
lim sin mx / limcos x m lim sinmx /limcos x m 。
x0 nx
x0
n x0 mx x0
n
7/17
例7 求 解
lim arcsin x
x0
x
(0 型) 0
lim arcsin x yarcsin x
x0
x
lim y y0 sin y
例9 证明数列x1
3 , xn1
3 xn
的
极
限
存
在
并
求lim n
xn
.
证 易知 xn1 xn , xn是单调递增的 ;
又 x1 3 3, 假定 xk 3 xk1 3 xk 3 3 3
xn是有界的;
lim n
xn
存在.
1.
第一个重要极限
lim sin x 1 x0 x
(0 型) 0
C B
证： 设单位圆 O, 圆心角AOB x, (0 x )
2
作单位圆的切线，得AOC , 于是由
o

两个极限存在准则和两个重要的极限1.两个极限存在准则(1) 夹逼准则：设a, b, c为实数，如果函数f(x)在a的一些左邻域内对于一切x都有h(x)≤f(x)≤g(x)，且lim[x→a]h(x)=lim[x→a]g(x)=L，则必有lim[x→a]f(x)=L。

夹逼准则的本质是通过构造两个函数作为边界来确定原函数的极限。

(2) 单调有界准则：设函数f(x)在(a, b)上单调递增(递减)，且在(a, b)上有界，则必有lim[x→a]f(x)=sup{f(x)}(或lim[x→a]f(x)=inf{f(x)})。

单调有界准则的基本思想是通过函数的单调性和有界性来确定极限。

(1) 无穷小极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=0，如果对于任意正数ε，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有，f(x)，<ε，那么称函数f(x)在x=a处的极限为0。

无穷小极限的重要性在于它在微积分中有广泛应用。

例如，微分定义中的导数可以看作是函数在其中一点的极限，这也符合函数在该点的变化趋势比较明显。

无穷小极限的概念使得我们能够更好地描述和理解函数在其中一点的变化情况。

(2) 无穷大极限：设函数f(x)在x=a处有极限lim[x→a]f(x)=∞，如果对于任意正数M，存在对应的正数δ，使得对于所有满足0<，x-a，< δ的x，有f(x) > M，那么称函数f(x)在x=a处的极限为无穷大。

无穷大极限的重要性在于它可以帮助我们研究函数在其中一点的增长速度和趋势。

例如，在极限定义中，我们可以通过无穷大极限来刻画函数在其中一点的无限增长或无限逼近的情况。

此外，无穷大极限也在微积分中的积分定义中有重要的应用，帮助我们理解函数的积分和面积的概念。

综上所述，极限的存在准则和重要的极限是微积分中的重要概念。

了解它们的定义和应用可以帮助我们更好地理解和分析函数在其中一点的变化情况，为进一步研究微积分和数学分析打下坚实的基础。

2013-7-19 9
例3 求 lim(
n
1 n2 1

1 n2 2

1 n2 n
).
n 1 1 n , 解： 2 2 2 2 n n n 1 n n n 1
n 又 lim lim n n 2 n n 1 1 1 n
1,
例4 求
tan x sin x 1 sin x 1 解: lim lim lim 1 lim x 0 x x 0 x cos x x 0 x x 0 cos x
例5 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此 t 原式 lim 1 sin t t 0 sin t
1 1 n 1 n 1 n 1 1 n n 2 ＝ 1 xn 1 n 1 n 1 n 1 n 1 所以，数列 xn 1 是单调增加的． 2013-7-19 n
1 1 2 n 1 1 1 lim( 2 ) 1. 2 2 n n 1 n 2 n n
2013-7-19
lim
n n 1
2
n
lim
1
n
1,
由夹逼准则得
10
1 1 1 ？ 思考题： lim n 2 2 n n n 2 2 n n 解: 利用夹逼准则 . 由
n 1
1 lim 1 ? n n n
n
4
1 其次，证 xn 1 有界． 显然， n x1 2 x nn n 1 类似于 xn 1 单调性的证明可证得数列 yn 1 1 n n n 1 1 zn 1 ，则 是单调增加的．设数列

e2 x 1 (2) lim x 0 ln(1 2 x )
1 cos x (3) lim x 0 sin x 2
解： （1） x 0 时， 3 x ) ~ 3 x , tan x ~ x ln(1
lim ln(1 3 x ) 3x lim 3 x 0 x 0 x tan x
ln(1 2 x ) ~ 2x
（2） x 0 时，e 2 x 1 ~ 2 x ,
e2x 1 2x lim lim 1 x 0 2 x x 0 ln(1 2 x )
1 cos x (3) lim x 0 sin x 2
x2 x 0 时， cos x ~ 1 , 2
当 x 0 时， x ~ x sin
常用的等价无穷小量有：
当 x 0时
sin x ~ x
tan x ~ x
x2 1 cos x ~ 2
ln(1 x ) ~ x
e 1 ~ x
x
上面的等价中，x 可以换成 u(x)，即
sin u( x ) ~ u( x )
tan u( x ) ~ u( x )
x2 1 cos x 1 lim lim 22 x0 x x 0 sin x 2 2
习题2-5 3(1)
sin x 2 ~ x 2
xa
二、两个重要极限 1．
sin x lim 1 x 0 x
0 “ ”未定式 0
在单位圆中考虑面积
1 1 （ S AOB 1 1 sin x） sin x 2 2 S 扇形 AOB 1 12 x 1 x 2 2 1 1 （ S DOB 1 1 tan x） tan x 2 2
解: （1） sin(3 x 6) lim

x0
x
2. lim xsin 1 __1__ ;
x
x
4. lim (1 1)n _e___1;
n n
27
作业
P56 1 写在书上 ; 2; 3；4 .
28
x
1 x
)
x

e
说明:
此极限也可写为
1
lim (1 z) z
e
z0
18
例7 已知 解: 原式 =
c ln 4
求 C。
ec 4
19
例8 求下列极限
解: 令 t x , 则
lim (1
t

1t )t

lim
t
1
解 原式＝
说明
：若利用

lim (1
( x)
1n）]

e
lim (1
x
1x) x

e
17
当
时, 令 x (t 1), 则
从而有

lim (1
t

t
11)(t
1)
tlim(tt 1)(t1)

t
lim (1


1t )t
1

t
lim [(1


1t )t
(1

1t )]

e
故
lim (1

k

lim
x0
sin k
k x
x
k
2.
lim tan x x0 x

lim x0
sin x
x
1 cos
x

2x lim[(1 ) x 0 1 x
1 x 2 cos x x 2x 1 x sin x
]
e
2
14
例11 lim 3 x 9
x
1 x x
1 x

lim 9
x
1 x x

1 x 1 3
3x
1 9 lim 1 x x 3
2
).
解
n n2 n

1 n2 1

1
1 n2 n

n n2 1
n 又 lim 2 lim n n n n
1 1, 1 n n 1 lim 2 lim 1, 由夹逼定理得 n n 1 n 1 1 2 n
lim(
n
1 n 1
17
11
例6. 求 解: 令 t arcsin x , 则 x sin t , 因此
t 原式 lim t 0 sin t
例7. 求
解: 原式 =
x 2 sin 2 2 lim 2 x0
sin t t
1
x
sin 1 lim x 2 x 0 2
x 2
1 2 2 1
2

1 n 2
2

1 n n
2
) 1.
4
记住结果：
(1) lim n n 1
n
n
( 2) lim n a 1 ( a 0)
例2
lim 1 2 3 4
n n n n
n
解： 4 n 1 2 n 3n 4 n 4n 4

实例分析
将通过两个实例来演示极限的应用，包括求极限 $limlimits_{x o 0} rac{sin x - x}{x^3}$ 和计算定积分 $int_{0}^{pi/2} rac{sin x}{x}mathrm{d}x$。
总结
极限的重要性
极限是数学中的基础概念，深入 了解极限对于掌握更高级的数学 知识和解决实际问题非常重要。
《两个重要的极限》PPT 课件
在这个PPT课件中，我们将探讨极限的概念和计算，并重点介绍两个重要的极 限：向零趋近的极限和无穷级数的极限。还将分享一些应用实例和总结知识 点。
什么是极限
定义和概念
极限是数学中一个重要的概念，它描述了函数或数列在某个点或无穷远处的趋势。
基本性质
极限具有一些基本性质，如唯一性、有界性和保序性，这些性质帮助我们理解和计算极限。
1 向零趋近的极限
我们将重点研究向零趋近的极限，其中一个 重要的极限是 $limlimits_{x o 0} rac{sin x}{x} = 1$。
2 无穷级数的极限
无穷级数是由无限多个数相加或相乘而成， 我们将学习收敛级数和发散级数的定义和判 定。
应用实例
常见的极限应用场景
极限在数学和实际问题中有广泛的应用，如求极限 解析式、判断函数连续性和计算定积分。
极限的计算
1
四则运算法则
通过四则运算法则，我们可以计算各种
复合函数运算法则
2
复杂函数的极限，包括加法、减法、乘 法和除法。
复合函数是由多个函数组合而成，运用
复合函数运算法则可以计算复合函数的
极限。
3连续函数运算法则 Nhomakorabea连续函数是一类特殊的函数，我们可以 通过连续函数运算法则计算连续函数的 极限。