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两个重要的极限1．证明：0sin lim 1x x x→= 证明：如图（a ）作单位圆。
当0<x<2π时，显然有ΔOAD 面积<扇形OAD 面积<ΔOAB 面积。
即111sin 222x x <<tgx ，sinx<x<tgx 。
除以sinx ，得到11sin cos x x x<< 或sin 1cos x x x >>。
（1） 由偶函数性质，上式对02x π-<<时也成立。
故（1）式对一切满足不等式0||2x π<<的x 都成立。
由0lim x →cosx=1及函数极限的迫敛性定理立刻可得0lim x →sin 1x x=。
函数f(x)=sin x x的图象如图（b ）所示。
2．证明：1lim(1)n n n →∞+存在。
证明：先建立一个不等式，设b>a>0，于是对任一自然数n 有 11(1)n n n b a n b b a++-<+-或11(1)()n n n b a n b b a ++-<+-，整理后得不等式1[(1)]n n a b n a nb +>+-。
（1） 令a=1+11n +，b=1+1n ，将它们代入（1）。
由于11(1)(1)(1)(1)11n a nb n n n n +-=++-+=+， 故有111(1)(1)1n n n n ++>++，这就是说1{(1)}n n+为递增数列。
再令a=1，b=1+12n代入（1）。
由于11(1)(1)(1)22n a nb n n n +-=+-+=，故有111(1)22n n >+，12(1)2n n >+。
不等式两端平方后有214(1)2n n >+，它对一切自然数n 成立。
联系数列的单调性，由此又推得数列1{(1)}n n +是有界的。
于是由单调有界定理知道极限1lim(1)n n n→∞+是存在的。
Afr .-f-e第一早第八节极限存在准则两个重要极限【教学目的】1、 了解函数和数列的极限存在准则；2、 掌握两个常用的不等式；3、 会用两个重要极限求极限。
【教学内容】1、 夹逼准则；2、 单调有界准则；3、 两个重要极限。
【重点难点】重点是应用两个重要极限求极限。
难点是应用函数和数列的极限存在准则证明极限存在，并求极限。
【教学设计】 从有限到无穷，从已知到未知，引入新知识（ 3分钟）。
首先给出极限存在准则（10分钟），并举例说明如何应用准则求极限（5分钟）；然后重点讲解两个重要的极限类型，并要求学生能利用这两个重要极限求极限（ 10分钟）；课堂练习（5分钟）。
【授课内容】引入：考虑下面几个数列的极限10003、lim X n ,其中 x n = 、.、3+ x n-1， N = '、3，极限不能确定。
对于2、3就需要用新知识来解决，下面我们来介绍极限存在的两个准则:一、极限存在准则1. 夹逼准则准则I 如果数列X n ,y n 及Z n 满足下列条件(1) y n X n Z n (n 1,2,3 )(2) lim y na, lim z n a,nn那么数列X n 的极限存在，且lim X na .n证： y a, z a,0, N 1 0, N 2 0,使得1、 limnn 21000个0相加，极限等于 0。
2、 limn——2一无穷多个.n i0”相加，极限不能确定。
当n N1时恒有y n a ,当n N2时恒有Z n取N 二max{N j , N 2},上两式同时成立，即a _1_ n 2 2【说明】 夹逼准则应恰当结合“放缩法”使用2. 单调有界准则准则n 单调有界数列必有极限几何解释：X 2 X 3 X n Xn 1A1 - 3—X n , X 1 ,3，求lim X n 。
首先证明是有界的，然后证明是单n调的，从而得出结论证：1、证明极限存在例2证明数列X n.3 '/L 3 ( n 重根式)的极限存在当n > N 时，恒有 ay n x n z n a ,即 X n a成立, lim x n a.n上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限o准则I '如果当X U (x 0,)(或x M )时，有(1) g(x) f(x) h(x),⑵』m g(x) A ，』m h(x) A,x xx x(x ) (x )那么lim f (x)存在，且等于A .x x 0 (x )准则 和准则'称为夹逼准则。
两个重要极限公式
两个重要极限公式：极限是微积分中的基础概念，它指的是变量在一定的变化过程中，从总的来说逐渐稳定的这样一种变化趋势以及所趋向的值（极限值）。
1、第一个重要极限的公式：
lim sinx / x = 1 (x->0)当x→0时，sin / x的极限等于1。
特别注意的是x→∞时，1 / x是无穷小，根据无穷小的性质得到的极限是0。
2、第二个重要极限的公式：
lim (1+1/x) ^x = e（x→∞）当x →∞时，（1+1/x）^x的极限等于e；或当x →0 时，(1+x）^（1/x）的极限等于e。
极限的求法
连续初等函数，在定义域范围内求极限，可以将该点直接代入得极限值，因为连续函数的极限值就等于在该点的函数值。
利用恒等变形消去零因子（针对于0/0型）
利用无穷大与无穷小的关系求极限。
利用无穷小的性质求极限。
利用等价无穷小替换求极限，可以将原式化简计算。
利用两个极限存在准则，求极限，有的题目也可以考虑用放大缩小，再用夹逼定理的方法求极限。
两个重要极限、无穷小量的比较一、教学内容两个重要极限、无穷小量的比较； 二、教学目的1．掌握用两个重要极限求极限的方法 2．掌握利用等价无穷小求极限的方法； 三、教学重点 1．两个重要极限 四、教学难点 1．两个重要极限§4 两个重要极限一 夹逼定理定理1 如果函数)(x f ，)(x g 及)(x h 满足下列条件：（1）δ<-0x x （且 0x x ≠ ），（或 M x >）时，有)()()(x h x f x g ≤≤成立。
（2）A x h A x g x x x x x x ==∞→∞→→→)(lim ,)(lim )(0)(0，那么，)(lim )(0x f x x x ∞→→ 存在，且等于 A 。
2、两个重要极限 （1）limsin x xx→=01证明：记 f x x x()sin = ， 由于 f x f x ()()-=， 我们不妨只究 1sin lim 00=+→xxx 这一情形加以证明，如下图所示：从几何图形上可清楚地看出：弦弧弦CD x BC x AB x =<=<=sin tan 于是有两边夹的不等式cos sin x x x<<1而 lim cos x x →=01 事实上， 当 x →+00，有：11122122121222←>=-⋅≥-⋅=-→cos (sin )()x x x x 据两边夹准则， 我们有： lim sin x x x→+=001而 f x x x()sin = 是偶函数， 故 lim sin x x x→-=001由函数的左右极限的性质知， lim sin x x x→=01单调有界准则 单调有界数列必有极限。
（2）lim()n nne →∞+=11 极限还可推广到更一般的情形：e xxx =+∞→)11(lim 原极限可变成一种新的形式 e z zz =+→1)1(lim例 求 xx x x 2)1222(lim ++∞→解：12111222++=++x x x ，令 121+=x z ，而0→⇔∞→z x ，且)11(21-⋅=z x例 求极限 xxx )11(lim 2-∞→ 解：令tx =-，x t →∞⇔→∞e ttt t t tx x t t t x 1)11(lim 1)11(1lim )11(lim )11(lim =+=+=-+=-∞→∞→∞→∞→x x x x x x x x x x x )11(lim )11(lim )11()11(lim -⋅+=-+=∞→∞→∞→原式11=⋅=ee四、无穷小与无穷大 1、无穷小 无穷小的定义：0>∀ε，0>∃δ（或0>X ），当δ<-<00x x (或X x >)时，有 ε<)(x f 成立，则称函数)(x f 为当0x x →（或∞→x ）时的无穷小，记作)0)(lim (0)(lim 0==∞→→x f x f x x x 或定理 在自变量的同一变化过程 x x →0(或 x →∞ )中，具有极限的函数等于它的极限与一个无穷小之和;反之，如果函数可表示成常数与无穷小之和的形式， 则该常数就是函数的极限。
