《立方体中的最短距离问题》学案

“勾股定理的应用——立体图形中的最短距离”教学设计三、研学问题活动一：如图有一个圆柱，底面周长为18，高为12.有一只蚂蚁在它下面的A点，它想吃上底面上与A点相对的B点处的食物，教师提问A点和B点在一个曲面上最短路径还能直接连接AB两点吗？引导学生思考后回让学生通过动手操作找到最短路径，培养学生的动手能力和空间想象能力。

蚂蚁爬行的最短路径是多少？变式训练如图，若上述问题中点B在点A的正上方，蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？答。

教师启发学生利用长方形纸卷出圆柱体，引导学生观察，找出A点到B点的最短路径。

学生画出圆柱的侧面展开图与蚂蚁爬行路径，并写出完整的解题过程。

（请一位同学到黑板完成解答，其他学生点评）通过此问题进一步加深学生对两点沿“曲面”的最短路程的解决方法掌握。

1四、学以致用如图，有一个圆柱,底面周长是10厘米,高为14厘米.在距离下底面1厘米的A点有一只蚂蚁，它想吃到距离上底面1厘米且与A点相对的B点处的食物，则沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？教师利用多媒体展示问题。

学生动手操作，独立思考后画出侧面展开图并确定最短路径。

教师请学生代表发表想法，并与上题进行比较，得出结论：蚂蚁在侧面爬行半圈与一圈，点A与点B的位置关系。

教师利用多检查学生对前面知识的理解和掌握情况，让学生学以致用。

五、知识迁移活动二：如图，是一个长为10cm，宽为6cm，高为8cm的长方体牛奶盒，现在A处有一只蚂蚁，想沿着长方体的外表面到达B处吃食物，求蚂蚁爬行的最短距离是多少. 媒体展示问题，学生组内讨论，画图并计算。

教师利用手机拍照展示小组研究成果，请小组代表讲解解题思路。

教师利用多媒体验证学生成果的对错情况。

教师利用多媒体出示问题，在前面知识的基础上，把两点迁移到长方体上，进一步研究折面中的两点的最短距离，同时让学生利用长方体动手找出最短路径，解决问题，培养学生的动手能力，空间想象能力和小组合作探究能力，通过对问题的解决体会分类讨论、转发现规律：如图，若长方体的长，宽，高分别为a，b和c，且a>b>c,则沿长方体表面从A 到Cˊ所走的最短路程是六、强化训练如图，一个长方体盒子，其中AB=9，BC=6，BB′=5，在线通过长方体教具启发学生找出蚂蚁至少要经过几个面，学生分组利用自制长方体探究从A点到B点的不同走法，请小组代表说出不同走法。

《立方体中的最短距离问题》教学案2014-11-18教学目的：应用线段公理解决立方体中的最短距离问题。

教学重点：立方体中的最短距离问题教学难点：立体问题转化为平面问题教学过程：一、复习与引入1.线段公理是____________________________2.勾股定理是直角三角形的__________,勾股定理的逆定理是直角三角形的____________(填“判定”或“性质”)3.已知在Rt△ABC中，∠C=90°。

①若a=2，b=4，则c=________；②点C 到点A的最短距离为_______,点C 到点B的最短距离为_______③点C 到点AB的最短距离为_______,二、问题探究1：如图所示：有一个长、宽、高都是2米，高为正方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着正方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？问题探究2：如图所示：有一个长、宽都是2米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？问题探究3：如图所示：有一个长为6米，宽为4米，高为3米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A点爬到B点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？课堂小结：有一个长为a 米，宽为b 米，高为c 米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点爬到B 点，求这只蚂蚁爬行的最短路径的长？三、课堂练习：（1）如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B 离点C 的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点B ，需要爬行的最短距离是______________（2）（分层提高）如图所示：有一个长为3米，宽为1米，高为6米的长方体纸盒，一只小蚂蚁要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕一圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________(3)(课后讨论) 在（2）中小蚂蚁如果要沿着长方体的表面从A 点开始经过4个侧面绕n 圈到达爬到B 点，则这只蚂蚁爬行的最短路径的长为__________BA 6m 3m 1mB A四、课后作业1、一只蚂蚁从长、宽都是3，高是8的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是．2、如图，长方体的底面边长分别为2cm和4cm，高为5cm．若一只蚂蚁从P点开始经过4个侧面爬行一圈到达Q点，则蚂奴爬行的最短路径长为_________cm．。

四川大学附属中学新城分校教学设计授课题目勾股定理的应用—最短路径授课类型专题课授课教师授课科目数学课时第四课时授课时间教学目标1. 巩固勾股定理的表达公式；2. 掌握立体图形中最短路径的解答技巧和基本思想方法；3.建立直角三角形，利用勾股定理计算最短路径的长度。

教学重点1.立体图形的平面展开与直角三角形勾股定理的结合；2.空间想象能力与文字解读能力的培养。

教学难点如何将现实生活与数学模型结合起来，建立平面直角三角形勾股定理解决最短路径的现实问题教学方法自主探究→小组合作→问题导学→分享教学教学过程教师活动学生活动设计思路学习准备：1、在直角三角形中,若两直角边的长分别为5cm，12cm ，则斜边上的高为______；2、已知直角三角形的两边长为3、4，则另一条边长的平方是________ ；知识点一：立方体中的最短路径问题例1：如图，长方体盒子长AB=2，宽BC=3，高DC=4，一只蚂蚁在盒子表面由A处向D处爬行，所走最短路程的平方是多少？【经验习得】一般将立方体沿着棱展开，最短路径便转变为了平面图形，再利用直角三角形勾股定理，计算出所求边的长度。

【即学即练】如图，长方体盒子长AB=2，宽BC=3，高DC=4，这些条件不变，这只蚂蚁在盒子表面由A处向CD中点M处爬行，所走最短路程学生活动：复习旧知，自主完成老师活动：订正答案学生活动：独自完成例题1.教师引导学生在活动中思考总结，是否只有一种方案可行，渗透分类讨论思想并做对比。

对比后，师生归纳其中规律。

设计意图：复习勾股定理中分类讨论的题型，巩固分类讨论思想的重要性设计意图：学生动手动笔，利用尺规画出路径可能存在的情况，并结合勾股定理去探索最短路径问题通过即学即练引导是。

知识点二:圆柱体中的最短路径问题例2：如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是多少？【整理提炼】圆柱体的侧面展开图为长方形，长方形的长一般等于底面圆的周长（或周长的一半），长方形的宽等于圆柱体的高。

（最短路径四种常见模型）【学习目标】 1．掌握如何求长（正）方体中的最短路径2．掌握如何求圆柱中的最短路径3．掌握如何求阶梯的最短路径4. 掌握如何求U 型滑道的最短路径【典型例题】类型一、长（正）方体中的最短路径【例1】如图，一长方体木块长6AB =，宽5BC =，高1BB 2=， 一直蚂蚁从木块点A 处，沿木块表面爬行到点1C 位置最短路径的长度为（ ）举一反三：【变式1】如图，正方体的棱长为2cm ，点B 为一条棱的中点.蚂蚁在正方体表面爬行，从点A 爬到点B 的最短路程是（ ）A ．√10cmB ．4cmC ．√17cmD ．5cm【变式2】如图，在墙角处放着一个长方体木柜（木柜与墙面和地面均没有缝腺），一只蚂蚁从柜角A 处沿着木柜表面爬到柜角C 1处．若AB =3，BC =4，CC 1=5，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）A ．√74B ．3√10C ．√89D ．12【变式3】棱长分别为5cm ，3cm 两个正方体如图放置，点P 在E 1F 1上，且E 1P =13E 1F 1，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A 爬到点P ，需要爬行的最短距离是 ．【变式4】如图，两个一样的长方体礼品盒，其底面是边长为15cm 的正方形，高为20cm ；现有彩带若干（足够用），数学组的小明和小刚分别采用自己喜欢的方式用彩带装饰两个礼品盒（假设彩带完美贴合长方体礼品盒）.(1)如图1，小明从底面点A开始均匀缠绕长方体侧面，刚好缠绕2周到达点B，求所用彩带的长度；(2)如图2，小刚沿着长方体的表面从点C缠绕到点D，点D与点E的距离是5cm，请问小刚所需要的彩带最短是多少？（注：以上两问均要求画出平面展开示意图，再解答）类型二、圆柱中的最短距离【例2】如图，已知圆柱底面的周长为6，圆柱高为3，在圆柱的侧面上，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（）A．4√3B．2√3C．3√5D．6√2举一反三：【变式1】如图，小冰想用一条彩带缠绕圆柱4圈，正好从A点绕到正上方的B点，已知知圆柱底面周长是3m，高为16m，则所需彩带最短是（）m．A．8 B．5 C．20 D．10【变式2】如图，圆柱形玻璃杯高为7cm，底面周长为20cm在杯内壁离杯底2cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为（）（杯壁厚度不计）【变式3】如图，已知线段BC是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为10，圆柱的高12AB=，在圆柱的侧面上，过点A、C两点嵌有一圈长度最短的金属丝．(1)见将圆柱侧面沿的开，所得的圆针侧面展开图是___________．(2)求该金属丝的长．【变式4】如图1，一只蚂蚁要从圆柱的下底面的点A爬到上底面的点B处，求它爬行的最短距离. 已知圆柱底面半径为R，高度为h.小明同学在研究这个问题时，提出了两种可供选择的方案，方案1：沿A→C→B爬行；方案2：沿圆柱侧面展开图的线段AB爬行，如图2.（π取3）(1)当1h=时，哪种方式的爬行距离更近？R=，4(2)当1h=时，哪种方式的爬行距离更近？R=，1(3)当R与h满足什么条件时，两种方式的爬行距离同样远？类型三、阶梯的最短距离【例3】某宾馆在重新装修后，准备在大厅的主楼梯上铺上红色地毯．已知楼梯总高度5米，楼梯长13米，主楼道宽2米；这种红色地毯的售价为每平方米30元，其侧面如图所示，则购买地毯至少需要元．举一反三：【变式1】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别是4米、0.7米、0.3米，A、B是这个台阶上两个相对的顶点，A点处有一只蚂蚁，它想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是米．【变式2】如图是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别为9、3和1,A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物．则这只蚂蚁沿着台阶面爬行的最短路程是（）A．18B．15C．12D．8【变式3】如图是一个三级台阶，每级台阶都是长、宽和高分别等于90cm，25cm和15cm的长方体，A和B是这个台阶的两个相对的端点．在A点处有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，请你算一算，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短路程是多少？【变式4】如图有一个四级台阶，它的每一级的长、宽分别为18分米、4分米．(1)如果给台阶表面8个矩形区域铺上定制红毯，需要定制红毯的面积为432平方分米，那么每一级台阶的高为多少分米？(2)A和C是这个台阶上两个相对的端点，台阶角落点A处有一只蚂蚁，想到台阶顶端点C 处去吃美味的食物，则蚂蚁沿着台阶面从点A爬行到点C的最短路程为多少分米？类型四、U型池的最短距离【例4】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为12m的半圆，其边缘AB=CD=20m（边缘的宽度忽略不计），点E在CD上，CE=4m.一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离为（）A．28m B．24m C．20m D．18m举一反三：【变式1】如图，是一个供滑板爱好者使用的U型池，该U型池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为10 m的半圆，其边缘AB＝CD＝30 m. 小明要在AB上选取一点E，能够使他从点D滑到点E再到点C的滑行距离最短，则他滑行的最短距离为__________ m．(π取3)【变式2】如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看成是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为32m的半圆，其边缘AB＝CD＝15m，点E在CD上，CE＝3m，一滑板爱好者从A点滑到E点，则他滑行的最短距离约为_____m．（边缘部分的厚度忽略不计）。

17.3.勾股定理的应用---长方体表面上最短路径问题一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两顶点间最短距离问题，需要学生了解空间图形、对长方体进行展开实践操作活动．学生在学习七年级下正（长）方体展开图已经有了一定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验．二、教学任务分析本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，具体内容是运用勾股定理解决长方体表面两顶点间最短路径问题．在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转化为平面图形的过程，通过操作、观察、对比，培养学生的分析、归纳应用等能力；在探究活动具体一定的难度，在突破难点时需要具有学生敢于探索、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气．也通过转化思想、对比方法培养学生学习数学的基本素养。

三、教学设计：(一)教学目标：知识与技能：1、熟练运用勾股定理解决实际问题；2.通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线；过程与方法：1.强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力；2.构建直角三角形模型，回归平面几何本源；情感态度与价值观:在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决实际问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。

(二)教学重难点：1、教学重点：知识形成过程，并有效运用勾股定理解决实际问题。

2、教学难点：通过转化思想把立体图形转化为平面图形，构建直角三角形模型，并分情况讨论，得出结论的探究的过程。

（三）课前准备：课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。

（四）教法、学法：引导---探究---归纳演示操作，引发思考，分类讨论，对比分析，达成结论。

（五）教学过程分析本节课设计了八个环节．第一环节：复习巩固；第二环节：问题呈现；第三环节：探索新知；第四环节：解决问题；第五环节：课堂练习；第六环节：课堂小结；第七环节：课后作业．第八环节：课后反思。

立体图形中的距离最短问题根据新课程标准，培养学生的空间观念主要表现在：“能由实物的形状想像出几何图形，由几何图形想像出实物的形状，进行几何体与其三视图、展开图之间的转化；能根据条件做出立体模型或画出图形；……”。

空间图形的建立需要有一个循序渐进的过程，从小学到初中，再到高中，渐渐加强，作为一个初、高中的知识衔接模块，让学生在初中阶段能理解空间图形，特别是空间图形的展开图，夯实基础，显得尤为重要。

立体图形上点点之间的距离最短问题，通过把立体图形转化为平面图形，然后再运用“两点之间，线段最短”来解决。

解决这一类距离最短的问题，可以利用轴对称或平移或旋转等几何图形的变换，把两条或多条线段和最短的问题转化为平面上两点之间的距离最短的问题来解决。

一、通过平移来转化1.如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm，3cm和1cm，A和B是这个台阶的两个相对的端点，A点上有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A点出发，沿着台阶面爬到B点，最短线路是多少？析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm二、通过旋转来转化2.有一圆柱形油罐，已知油罐周长是12m，高AB是5m，要从点A处开始绕油罐一周建造梯子，正好到达A点的正上方B处，问梯子最短有多长？析：展开图如图所示，AB= 52 + 122= 13cm3.有一圆柱体如图，高4cm，底面半径5cm，A处有一蚂蚁，若蚂蚁欲爬行到C处，求蚂蚁爬行的最短距离。

AB = 4，BC 为底面周长的一半 即BC = 5πAC = AB 2 + BC 2 = 42 + (5π)2= 16 + 25π24.葛藤是一种刁钻的植物，它的腰杆不硬，为了争夺雨露阳光，常常绕着树干盘旋而上，它还有一手绝招，就是它绕树盘升的路线总是沿最短路线--螺旋前进的，难道植物也懂数学？通过阅读以上信息，解决下列问题：（1）如果树干的周长（即图中圆柱体的底面周长）为30cm ，绕一圈升高（即圆柱的高）40cm ，则它爬行一圈的路程是多少？（2）如果树干的周长为80cm ，绕一圈爬行100cm ，它爬行10圈到达树顶，则树干高多少？（1）如图，⊙O 的周长为30cm ，即AC=30cm ， 高是40cm ，则BC=40cm ，由勾股定理得AB =50cm ． 故爬行一圈的路程是50cm ；（2）⊙O 的周长为80cm ，即AC=80cm ，绕一圈爬行100cm ，则AB = 100cm ，高BC = 60cm ．∴树干高=60×10=600cm=6m ． 故树干高6m5.已知O 为圆锥顶点，OA 、OB 为圆锥的母线，C 为OB 中点，一只小蚂蚁从点C 开始沿圆锥侧面爬行到点A ，另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线的痕迹如右图所示．若沿OA 剪开，则得到的圆锥侧面展开图为 （ ）要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，再利用做对称点作出另一只小蚂蚁绕着圆锥侧面爬行到点B ，它们所爬行的最短路线．A .B .C .D .故选C6.如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是______（结果保留根式）。

17.3.勾股定理的应用---长方体表面上最短路径问题一、学生知识状况分析本节将利用勾股定理解决立体图形表面上两顶点间最短距离问题，需要学生了解空间图形、对长方体进行展开实践操作活动．学生在学习七年级下正（长）方体展开图已经有了一定的认知上，已经基本具备解决本课题问题所需的知识基础和活动经验．二、教学任务分析本节是义务教育课程标准人教版教科书八年级（下）第十七章《勾股定理的应用》延伸的课题学习，具体内容是运用勾股定理解决长方体表面两顶点间最短路径问题．在这问题的解决过程中，需要经历立体图形转化为平面图形的过程，通过操作、观察、对比，培养学生的分析、归纳应用等能力；在探究活动具体一定的难度，在突破难点时需要具有学生敢于探索、勇于思考的精神，有助于锻炼学生独立思考，力闯难关的勇气．也通过转化思想、对比方法培养学生学习数学的基本素养。

三、教学设计：(一)教学目标：知识与技能：1、熟练运用勾股定理解决实际问题；2.通过立体图形转化为平面图形，能找出最短路线；过程与方法：1.强化转化思想和对比方法，培养学生分析、归纳、解决问题的能力；2.构建直角三角形模型，回归平面几何本源；情感态度与价值观:在教学过程中培养学生动手实践、观察、分析、归纳的习惯，体会知识的形成过程和获得知识的成就感；增强学生应用数学知识解决实际问题的经验，培养学生解决问题的能力，激发学生学习的兴趣和信心。

(二)教学重难点：1、教学重点：知识形成过程，并有效运用勾股定理解决实际问题。

2、教学难点：通过转化思想把立体图形转化为平面图形，构建直角三角形模型，并分情况讨论，得出结论的探究的过程。

（三）课前准备：课件、长方体盒子、线、两颗螺丝。

（四）教法、学法：引导---探究---归纳演示操作，引发思考，分类讨论，对比分析，达成结论。

（五）教学过程分析本节课设计了八个环节．第一环节：复习巩固；第二环节：问题呈现；第三环节：探索新知；第四环节：解决问题；第五环节：课堂练习；第六环节：课堂小结；第七环节：课后作业．第八环节：课后反思。