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稳态误差公式稳态误差公式是控制系统中常用的一个概念，用于评估系统输出与期望输出之间的偏差。
在控制系统设计和分析中，稳态误差公式被广泛应用，能够帮助工程师评估系统的性能和稳定性。
稳态误差公式的含义稳态误差公式指的是控制系统在稳态下输出与期望输出之间的偏差。
稳态是指系统已经达到恒定状态，即输入信号已经稳定，系统没有改变时的状态。
稳态误差是输出与期望输出之间的差值，通常用e表示。
稳态误差公式可以用以下公式表示：e(t) = y(t) - r(t)其中e(t)表示在时间t时刻的稳态误差，y(t)表示系统输出在时间t时的值，r(t)表示期望输出在时间t时的值。
稳态误差公式的应用稳态误差公式在控制系统中具有广泛的应用，通常被用于以下几个方面：1. 系统性能分析稳态误差公式可以用于分析系统的性能，帮助工程师评估系统输出与期望输出之间的差距。
通过分析稳态误差，可以明确系统的性能限制，从而确定是否需要改进系统的设计。
2. 系统稳定性分析稳态误差公式也可以用于系统稳定性分析。
稳态误差越小，系统的稳定性越好。
因此，通过分析稳态误差的大小可以评估系统的稳定性。
3. 控制系统设计在控制系统设计中，稳态误差公式是一个非常重要的工具。
通过控制系统的参数设置，可以调整系统的稳态误差。
因此，稳态误差公式可以帮助工程师设计出性能更好、稳定性更高的控制系统。
稳态误差公式的限制稳态误差公式虽然在控制系统中具有广泛的应用，但也存在一些限制。
其中最重要的一个限制是，稳态误差公式只适用于稳态下的系统。
如果系统还没有进入稳态，稳态误差公式将无法提供准确的结果。
此外，稳态误差公式还有一个限制，那就是它不能完全反映系统的动态响应。
稳态误差公式只考虑了系统输出与期望输出之间的偏差，而没有考虑系统响应的速度、振荡等因素。
因此，在分析系统性能时，需要同时考虑系统的稳态误差和动态响应。
稳态误差公式的应用示例为了更好地理解稳态误差公式的应用，下面以比例控制系统为例进行说明。
自动控制原理稳态误差知识点总结自动控制系统是现代工程领域广泛应用的一种技术手段，稳态误差是自动控制系统中常见的问题之一。
本文将对自动控制原理中稳态误差的知识点进行总结，并以简明扼要的方式进行介绍。
1. 稳态误差的定义稳态误差是指系统在稳定状态下输出与期望输出之间的差值。
也就是说，当输入信号经过一段时间后，系统输出的值与期望输出值之间可能存在一定的偏差。
2. 稳态误差的分类稳态误差可以分为零稳态误差和非零稳态误差两种类型。
2.1 零稳态误差当输入信号为恒定值时，系统输出达到稳定状态后仍存在一定的误差，这种误差称为零稳态误差。
零稳态误差可以进一步分为四种类型：常数型、比例型、积分型和比例积分型。
2.1.1 常数型误差常数型误差是指系统输出与期望输出之间存在一个常数的差值。
通常情况下，常数型误差发生在开环控制系统中，无法通过反馈调节来消除。
2.1.2 比例型误差比例型误差是指系统输出与期望输出的差值与系统输出的值成比例关系。
比例型误差通常发生在比例控制系统中，可以通过调节比例增益来减小误差。
2.1.3 积分型误差积分型误差是指系统输出与期望输出的差值与时间的积分关系。
积分型误差通常发生在积分控制系统中，可以通过增加积分时间常数来减小误差。
2.1.4 比例积分型误差比例积分型误差是指系统输出与期望输出的差值与时间的积分关系，并且与系统输出的值成比例关系。
比例积分型误差通常发生在比例积分控制系统中，可以通过调节比例增益和积分时间常数来减小误差。
2.2 非零稳态误差非零稳态误差是指系统输出与期望输出之间的差值在稳定状态下不为零。
非零稳态误差通常出现在闭环控制系统中，主要原因是系统的特性引起的。
3. 稳态误差的影响因素稳态误差的大小和减小程度受多个因素的影响，包括输入信号的特性、系统的传递函数、控制器的参数等。
3.1 输入信号的特性输入信号的特性对稳态误差有直接影响。
例如，当输入信号是阶跃信号时，可能会引起常数型误差；当输入信号是斜坡信号时，可能会引起比例型误差。
3.5 控制系统的稳态误差
3.5 控制系统的稳态误差
描述控制系统的微分方程
(3.73)
式（3.73）是一个高阶微分方程，方程的解可以表示为
(3.74)
式中，前两项是方程的通解，而是方程的一个特解。
随时间的增大，方程的通解逐渐减小，方程的解y(t)越来越接近特解。
当时，方程的通解趋于零
这时系统进入了稳定状态。
特解是由输入量确定的，反映了控制的目标和要
求。
系统进入稳态后，能否达到预期的控制目的，能否满足必要的控制精度，要解决这个问题，就必须对系统的稳态特性进行分析。
稳态特性的性能指标就是稳态误差。
3.5.1 稳态误差
控制系统的误差可以表示为
(3.75)
式中是被控制变量的期望值，y(t)是被控制变量的实际值，即控制系统的
输出。
稳定的控制系统，在输入变量的作用下，动态过程结束后，进入稳定状态的误差，称为稳态误差
图3.23 单位反馈和非单位反馈系统
（a)单位反馈系统；（b)非单位反馈系统
在控制工程中，常用控制系统的偏差信号来表示误差。
对图 3.23（a)所示的单位反馈系统，误差与偏差的含义是相同的，即
(3.76)
式中r(t)为系统的给定值，也就是输出y(t)的期望值。
单位反馈系统的稳态误差为:
(3.77)
对图3.23（b)所示的非单位反馈系统，因为反馈变量f(t)并不与输出变量y(t)完全相同，所以给定值与反馈变量之差，即偏差并不是（3.75）式意义上的误差。
但如果反馈环节H(s)不含有积分环节，在时，由于暂态项的消失，反馈
量与输出量之间就只差一个比例系数我们认为反馈量可以代表输出量，于是，定义非单位反馈系统的误差为
(3.78)
式中r(t)是非单位反馈系统的给定值，f(t)是反馈信号。
根据图3.23（b)非单位反馈系统各环节间信号的关系，可得
(3.79)
如果把单位反馈系统看成是一般反馈系统的特殊情况，则（3.79）式就被定义为控制系统误差的拉普拉斯变换表达式。
根据拉普拉斯变换的终值定理得
即
(3.80)
式（3.80）表明，控制系统的稳态误差不仅仅是由系统本身的特性决定的，还与输入函数有关。
同一个系统在输入信号不同时，可能有不同的稳态误差。
也就是说控制系统对不同的输入信号，控制精度是不同的。
3.5.2 积分环节对稳态误差的影响
式（3.80）中的开环传递函数可以表示为
(3.81)
式中K表示系统的开环放大系数。
N表示开环传递函数所包含的积分环节数。
在分析控制系统的稳态误差时，我们根据系统开环传递函数所含的积分环节数来对系统进行分类。
若N=0，即控制系统开环传递函数不含积分环节，称为0型系统。
若N=I,则称为I型系统。
N= Ⅱ,称为Ⅱ型系统。
现在，我们来讨论不同类型的控制系统在典型输入信号作用下的稳态误差。
1. 单位阶跃函数输入下的稳态误差
单位阶跃函数输入下系统的稳态误差为
(3.82)
如果我们定义
(3.83)
式中称为位置误差系数，则单位阶跃输入下系统的稳态误差为
(3.84)
对于0型系统
(3.85)
(3.86)
稳态误差为
(3.87)
式（3.87）说明，0型系统在单位阶跃输入下是有稳态误差的。
所以我们称0型系统对单位阶跃输入是有差系统。
可以通过增大开环放大系数K使稳态误差减小，但不能消除，因为系统本身的特性决定了稳态误差不可能完全消除。
对于Ⅰ型或Ⅱ型系统：
系统的开环传递函数为
Ⅰ型
(3.88)
Ⅱ型
(3.89)
系统的位置误差系数
(3.90)
系统的稳态误差为
(3.91)
（3.91）式说明，若要求系统对阶跃输入的稳态误差为零，系统必须含有积分环节。
可以看出，积分环节具有消除稳态误差的作用。
2. 单位斜坡函数输入的稳态误差
单位斜坡函数输入下控制系统的稳态误差为
定义
(3.93)
则系统的稳态误差为
(3.94)
式中，称为速度误差系数。
对于0型系统
稳态误差为
(3.95)
对于Ⅰ型系统
(3.96) 稳态误差为
(3.97)
式中K为系统的开环放大系数。
对于Ⅱ型系统
(3.98)
稳态误差为
(3.99)
在单位斜坡函数输入下，0型系统的稳态误差为无穷大。
这说明0型系统不能跟踪斜坡函数。
I型系统虽然可以跟踪单位斜坡输入函数，但存在稳态误差，即I 型系统对斜坡输入是有差的。
若要在单位斜坡函数作用下达到无稳态误差的控制精度，系统开环传递函数必须含有二个以上的积分环节。
3. 单位抛物线函数输入下的稳态误差
单位抛物线输入函数作用下系统的稳态误差为
(3.
100)
定义
(3.101)
则有
(3.102)
式中称为加速度误差函数。
对0型系统
(3.103) 对
表3.2 典型输入信号作用下系统的稳态误差
系统类型误差系数输入r(t)=1 输入r(t)=t
输入r(t)=
0型K 0 0
Ⅰ型K 0 ０
Ⅱ型K ００
Ⅰ型系统
(3.104)
对Ⅱ型系统
(3.105)
K为系统的开环放大系数。
在抛物线函数输入下，0型、Ⅰ型系统都不能使用。
Ⅱ型系统则是有差的。
若要消除稳态误差，必须选择Ⅲ型以上的系统。
但系统中积分环节太多，动态特性就会变坏，甚至使系统变得不稳定。
工程上很少应用Ⅱ型以上的系统。
表 3.2给出了典型输入函数作用下各型系统的稳态误差。
从以上讨论中可以得出结论：积分环节具有消除稳态误差的作用。
这就是许多控制系统中引入积分环节的原因。
误差系数是利用拉普拉斯变换终值定理得出的，它只是时间趋于无穷大时的值，因此是静态误差系数，它们并不反映误差随时间变化的情况。
3.5.3 扰动作用下的稳态误差
以上我们讨论了控制系统对给定值信号的稳态误差。
在控制系统受到扰动时，即使给定值不变，也会产生稳态误差。
系统的元件受环境影响、老化、磨损等会使系统特性发生变化，也可以产生稳态误差。
系统在扰动作用下的稳态误差大小反映了系统抗干扰的能力。
图3.24是一个控制系统的结构图。
我们现在来讨论这个系统在扰动d(t)作用下的稳态误差。
按叠加原理，我们假定R(s)=0,系统中只有扰动输入。
系统在扰动作用下的输出为
图3.24 控制系统结构图
误差为
利用拉普拉斯变换的终值定理得
(3.106)
值得说明的是，扰动稳态误差与干扰的作用点有关。
所以式（3.106）只适用图3.24所示的系统。
若要求系统在给定值输入和扰动输入同时作用下的稳态误差，只要将二者叠加就
可以了。
系统在扰动作用下的稳态误差也是系统的一项重要稳态特性指标。
例6 单位反馈系统前向通道的传递函数为
求系统在输入信号作用下的稳态误差。
解可以根据叠加原理分别求的稳态误差。
本系统为Ⅰ型系统，=3为阶跃函数，。
因此有
为斜坡函数，稳态速度误差系数,由此得到
为抛物线函数，稳态加速度误差系数,因此
系统的稳态误差为。
