频率域图像增强

P(u, v) a 100 u v P T
1. 2.
截止频率以内的信号可以通过滤波器，截止频率以外的信号被衰减。 以截止频率内的图像功率值PT 与总功率的比值来确定截止频率范围。
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截止频率示意图
空域图像信号
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对应的频域信号
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数学符号表示法的不同
2 j ux 1 M 1 M ( ) ( ) 正变换 F u f x e M x 0 2 M 1 j ux 反变换 f ( x) M ( ) F u e u 0
数字图像处理中的符号方式
2 N 1 j kn N 正变换 X (k ) x(n)e n 0 2 N 1 kn j 反变换 x(n) 1 N X (k )e N k 0
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卷积定律

空间域与频率域之间的最基本联系是由卷积定理建 立的；即对于线性时不变系统，有：
f ( x, y) h( x, y) F (u, v) H (u, v) f ( x, y)h( x, y) F (u, v) H (u, v)

给出频率域的滤波器，可以通过将其进行傅里叶反 变换得到其在空间域相应的滤波器。
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基本的滤波模型

G(u,v) = H(u,v)F(u,v)
F(u,v) 是被平滑图像的傅里叶变换； H(u,v) 是滤波器变换函数； G(u,v) 是平滑后图像的傅里叶变换。

目标是选择一个滤波器变换函数H(u,v)，通过 衰减F(u,v)的高频成分来产生G(u,v).
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可与理想低通 滤波器进行对 比。
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D0=80
D0=230
三、高斯低通滤波器（GLPF）
波器了。

一般来说，综合考虑低通滤波的有效性，和 可接受的振铃现象，2阶巴特沃斯滤波器是比 较好的选择。
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实验—— 基于巴特沃斯滤波器的平滑

利用二阶巴特沃 斯滤波器对图像 进行滤波，截止 频率半径为： 5,15,30,80,230
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D0=5
D0=15
D0=30
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相应傅里叶频谱图
图像二维傅里叶变换的若干性质

图像频谱图像中心点的值等于图像均值
ux vy j 2 ( ) 1 M 1 N 1 M N F (u, v) f ( x, y)e MN x0 y 0
1 M 1 N 1 F (0,0) f ( x, y) MN x0 y 0

不同于理想滤波器，BLPF变换函数在通带与被滤 除的频率之间没有明显的截断。
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巴特ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ斯滤波器图示

一个截止频率为D0=80的二阶巴特沃斯滤波器
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巴特沃斯滤波器的性质由其阶数n决定
1阶的巴特沃斯滤波器没有振铃； 2阶的滤波器振铃通常很微小； 20阶的巴特沃斯滤波器就非常类似于理想低通滤
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理想低通滤波器的图示
透视图
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图像表达
标准截止频率

图像中每一个点的功率谱成分相加即为频谱图的总功 率PT
P T P(u, v)
u 0 v 0 M 1 N 1

如果傅里叶变换被中心化，原点在频率矩形的中心，半径为r的圆包 含的功率占总功率的百分比

三种滤波器：
理想滤波器、 巴特沃斯滤波器 高斯滤波器
三种滤波器涵盖了从非常尖锐(理想滤波器)到 非常平坦(高斯滤波器)范围的滤波器函数。 巴特沃斯滤波器有一个参数，称为滤波器的 阶数。当此参数较大时，接近理想滤波器。 因此巴特沃斯滤波器可看做两种“极端”滤波器 的某种过渡。

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ux vy j 2 ( ) 1 M 1 N 1 M N ( , ) ( , ) F u v f x y e MN x 0 y 0 ux vy M 1 N 1 2 ( ) j f ( x, y) M N F (u, v)e u 0 v 0
数字图像处理
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笪邦友
第四章 频率域图像增强
§4.1 傅里叶变换及其性质 §4.2 频率域图像增强

§4.2.1 频率域滤波 §4.2.2 频率域平滑滤波器 §4.2.3 频率域锐化滤波器

§4.3 同态滤波器
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§4.1傅里叶变换及其性质

傅里叶级数
无论一个函数多么复
一、理想低通滤波器（ILPF）

二维理想低通滤波器的传递函数定义为：
1 H (u, v) 0 D(u, v) D0 D(u, v) D0
D0为截止频率，D(u, v)是(u, v)点距中心点的距离。

理想低通滤波器的这种陡峭的截止频率是不能用电 子部件实现，但可以用计算机实现。
数字信号处理中的符号方式
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反变换存在与否的理论问题
对于数字图像处理而言，离散傅里叶变换和 其反变换必定存在。 符号表示：

时域信号用(x,y)表示； 频域信号用(u,v)表示。
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4.1.2 二维离散傅里叶变换
对于一个M×N大小的数字图像，其二维傅里叶变换为：
实验 —— 基于频域技术的平滑

对右图利用理想低通 滤波器进行平滑，选 用的理想滤波器截止 频率半径分别为： 5,15,30,80,230。
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D0 = 5
功率比为：
92 %

此图像的严重模糊表明，图像中的多数细节包含在被滤 除的8%的功率中。
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D0=15
功率比为：
F (u, v) | F (u, v) | e j (u ,v )

(u , v) arctan

I (u , v) R(u , v)
功率谱
P (u , v) F 2 (u , v) R 2 (u , v) I 2 (u , v)
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示例 — 图像的傅里叶频谱图像
1. 变化最慢的频率成分(u=v=0)对应图像的平均灰
度级； 2. 低频对应着图像的慢变化分量； 3. 较高的频率对应着图像中变化越来越快的灰度 变化。
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二 、频域滤波机理

滤波机理
通过滤波器传递函数H(u,v)，以某种方式来修改
待处理图像的傅里叶变换F(u,v)。
G(u,v) = H(u,v)F(u,v)
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(a)
D0= 5
92%
(b)
D0= 15
94.6%
(c)
D0= 30
96.4%

理想低通滤 波器非常不 实用。
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(d)
D0= 80
98%
(e)
D0= 230
99.5%
二、巴特沃斯低通滤波器（BLPF）

n阶巴特沃斯滤波器的传递函数的定义如下：
1 H (u, v) D(u, v) 2n 1 [ ] D0 D0为截止频率
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傅里叶变换结果


显然，傅里叶变换结果 幅度（或频率谱） 为一复数 | F (u , v) | R 2 (u, v) I 2 (u, v) 傅里叶变换的复数形式： 相角（或相位谱） F (u, v) R(u, v) jI (u, v) 傅里叶变换的指数形式：

在上图所示频率谱图像中，距频谱图像中心不同半径的图像功率比为： D0 = 5 功率比为： 92 % D0 = 15 功率比为： 94.6 % D0 = 30 功率比为： 96.4 % D0 = 80 功率比为： 98 % D0 = 230 功率比为： 99.5%
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空域图像信号
傅里叶频谱图
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傅里叶频谱图中心化
用(-1)x+y乘以f(x,y)，可以将F(u,v)原点变换到频率坐标的(M/2,N/2)处。
f ( x, y )(1) x y F (u
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M N ,v ) 2 2
示例 — 人脸图像的傅里叶频谱
人脸图像
94.6 %

存在明显的振铃现象。
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D0 = 30
功率比为：
96.4 %

仍存在振铃现象，但图像质量在逐渐好转。
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D0=80
功率比为：
98 %

仍存在振铃现象，但图像质量在逐渐好转。
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D0 = 230
功率比为：
99.5 %

仅在噪声区内有较小的模糊，大部分图像与原始图像非常 接近。
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高斯滤波器

基于高斯函数的滤波具有特殊的重要性
它们的形状易于确定，直观且容易操作； 高斯函数的傅里叶变换与反变换均为实高斯函
数，这样我们就不必处理复数量，非常有助于分 析。

此外，更复杂的滤波器可用基本的高斯滤波 器构造出来。
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高斯函数滤波器
u 2 H (u ) Ae 2 2 2 x 2 h( x) 2 Ae 为高斯曲线的标准差

如果f(x,y)是实函数，其傅里叶变换共轭对称。
F (u, v) F * (u, v)