计算附加应力系数和平均附加应力系数

附加应力系数和平均附加应力系数的推导及解析
附加应力系数与平均附加应力系数是有关解决构件应力集中或弯矩破坏问题的
重要指标，一般会在期望模型内取得它们，其计算公式如下：
附加应力系数K=σ_max/σ_p，
平均应力系数K_m=1/2[K_max+(K_min)^2/K_max]。

式中，σ_max表示模型内的最大应力；σ_p是构件的预设工作态应力；K_min、K_max则表示预设应力De和实际应力Ae在模型内的位移比值。

计算公式经Jia et al.（1985）修改并改良成
K_m=1/2[K_max+(K_min)^3/Kmax^2]，它可以更好地表示构件应力的变化，使计算
适用于弹性、半弹性及形变问题。

附加应力系数和平均附加应力系数均能提供结构性能的重要参考，可用于结构
失效分析及改进。

两者的定义可帮助工程师正确分析构件应力的集中或弯矩的影响，从而协助实现正确的设计和施工。

此外，合理的估算附加应力系数及平均附加应力系数能够指示结构极限量等强
度特性，从而大大降低结构失效风险。

以上，附加应力系数和平均附加应力系数都具有重要的工程意义，势必会受到广大工程师们的青睐。

基础附加应力系数与平均附加应力系数
在设计当中，经常要计算基础的沉降，《建筑地基基础设计规范》GB50007-2011中以应力面积法计算地基的沉降。

基础形式一般有独立基础和条形基础。

（1）独立基础
独立基础一般为矩形，其中心点以下某点的平均附加应力，可用四个小矩形以角点法，查附录K可求得每块小矩形的平均附加应力系数，中心点平均附加应力系数为其4倍。

（2）条形基础
条形础的附加应力系数可由规范上附录K1.0.1-1最后一列直接查得，同样分为四个小矩形，矩形长宽比大于10（基础长宽比大于20时，可视为条形基础）。

其附加应力系数与平均附加应力系数求得如图1所示。

图1 条形基础附加应力系数与平均附加应力系数分析示意图
平均附加应力系为规范附录K，K1.0.1-2中最后一列，即为L/b=10所对应一列；。

第二章2-2、有一饱和的原状土样切满于容积为 21.7cm 3的环刀内，称得总质量为72.49g , 经105C 烘干至恒重为61.28g ，已知环刀质量为32.54g ，土粒比重为2.74，试 求该土样的湿密度、含水量、干密度及孔隙比（要求汇出土的三相比例示意图， 按三相比例指标的定义求解）。

V V 11.21e =V s 10.492-3、某原状土样的密度为1.85g/cm 3，含水量为34% 土粒相对密度为2.71，试 求该土样的饱和密度、有效密度和有效重度（先推导公式然后求解） 。

1 ,P 1—〒 +(1+国)P WJd s」1 ■便2.71一11 =1.87g/cm 31 0.34 2.71_ m s _V S；W _ m s_ V SWVV W _ V V W _ r _ V SVV；W(2厂=—V =V= ：satV= P sat — P W =1.87—1 =0.87g/cm 3(3) '「’ g =0.87 10=8.7kN/cm 3 十‘爲= P sat g=1.87"0 = 18.7kN/cm 3 或’3丫 = ；sat -Y W=18.7-10 = 8.7kN/cm 32-4、某砂土土样的密度为1.77g/cm 3,含水量9.8%，土粒相对密度为2.67，烘解: 72.49-32.54 2173= 1.84g/cmm Wm s 72.49 -61.28 9%61.28 —32.54 m s61.28 -32.5421.7= 1.32g/cm 3二 1.069解：（1） Ltm s V V <WVm =m sm Wm wm s 设 m s =1sm s V s 入m sds %p干后测定最小孔隙比为0.461，最大孔隙比为0.943，试求孔隙比e 和相对密实 度Dr ,并评定该砂土的密实度。

解：(1)设 V =1国，m s +m s (1 十① d s ，P w1 +e 1 +e2-5、某一完全饱和黏性土试样的含水量为 30% 土粒相对密度为2.73，液限为 33%塑限为17%试求孔隙比、干密度和饱和密度，并按塑性指数和液性指数 分别定出该黏性土的分类名称和软硬状态。

地基附加应力的计算地基附加应力是指由于上部结构的荷载作用和变形引起的地基内土体的应力变化。

地基附加应力的计算是工程设计中非常重要的一部分，对于确保地基的稳定性和结构安全起着至关重要的作用。

下面将详细介绍地基附加应力的计算方法。

首先需要了解几个基本概念：1.荷载：上部结构施加到地基上的要素，包括永久荷载和可变荷载。

-永久荷载：结构自重、永久设备、固定家具等。

-可变荷载：人员活动荷载、设备移动荷载、风荷载等。

2.地基附加应力：上部结构的荷载通过地基传递到地下，引起地基土体应力的变化。

-地基附加应力的计算是为了确定土体内各点的附加垂直应力和水平应力。

接下来介绍地基附加应力的计算方法：(1)施加在地基上的荷载的计算-根据结构荷载计算规范或相关工程设计规范，确定各种类型的荷载的大小和分布。

(2)地基承载力的计算-土壤力学理论中的承载力计算方法可以用来计算地基的承载力，例如采用经典的排水条件下的承载力公式：q=cNc+q'Nq+0.5γBNγ，其中q 为地基单位面积的承载力，c为土壤的黏聚力，Nc为地基承载力系数，q'为有效自重应力，Nq为矩形地基的地基承载力系数，γ为土壤的单位重量，B为矩形地基的宽度，Nγ为水平方向上的地基承载力系数。

-地基附加应力可分为垂直应力和水平应力两个方向的计算。

-垂直应力的计算：根据荷载的大小和分布，在地基表面和不同深度处计算地基附加应力的大小。

-水平应力的计算：根据土体的侧限状态和结构荷载的分布，计算地基附加水平应力的大小。

(4)地基附加应力的作用范围-附加应力的作用范围决定了结构荷载对地基的影响，需要根据具体的工程条件进行计算。

(5)地基应力分析的结果分析与处理-地基附加应力的计算结果可以作为设计参数，用于工程结构的设计和优化。

需要注意的是，地基附加应力的计算是一个复杂的过程，需要考虑多个因素的综合影响。

在实际工程中，还需要结合工程实际情况和相应的规范要求，进行合理的估算和计算。

m(取条形荷载）计算宽度取为40m 10计算深度n (1+m2+n2)^0.5角点附加应力系数中心点附加应力系数0010.04987562#DIV/0!#DIV/0!0.460.011510.04988220.250126642 1.0005065693.60.0910.05027860.250050152 1.0002006099.40.23510.052622790.2488351460.99534058510.350.2587510.053206030.2484254040.99370161511.850.2962510.05424110.2476320330.99052813113.350.3337510.055415910.2466509440.98660377714.850.3712510.056730410.2454766750.98190670216.350.4087510.058184560.2441080720.97643228717.90.447510.059833810.2424926330.96997053219.650.4912510.06187490.2404315870.96172634621.350.5337510.06403940.2382020520.95280820823.50.587510.067033140.235088520.9403540824.20.60510.068069580.2340100190.93604007527.40.68510.073193390.2287288190.91491527730.80.7710.079330330.2226081140.8904324561，矩形面积均布竖直荷载角点下的附加应力注：1，此表2计算时计算宽度为小，附加应力沿深度计算对于软土地基计为0.1倍土层自重应力实际情况考虑（土层料排水板段土层为标计算值为土层各向同随深度的分布情况，间的应力扩，此表计算值与规范查表值一致；2计算时计算宽度为路基宽度，取值越小，附加应力沿深度减小的越快；3沉降计算对于软土地基计算深度取附加应力为0.1倍土层自重应力深度处，计算时按实际情况考虑（土层的排水情况，插塑料排水板段土层为标准固结段）4、本表计算值为土层各向同性条件下附加应力随深度的分布情况，并未考虑各土层之间的应力扩散作用。

土力学 第二章2-2、有一饱和的原状土样切满于容积为21.7cm 3的环刀，称得总质量为72.49g ，经105℃烘干至恒重为61.28g ，已知环刀质量为32.54g ，土粒比重为2.74，试求该土样的湿密度、含水量、干密度及孔隙比（要求汇出土的三相比例示意图，按三相比例指标的定义求解）。

解：3/84.17.2154.3249.72cm g V m =-==ρ%3954.3228.6128.6149.72=--==S W m m ω 3/32.17.2154.3228.61cm g V m S d =-==ρ 069.149.1021.11===S V V V e 2-3、某原状土样的密度为1.85g/cm 3，含水量为34%，土粒相对密度为2.71，试求该土样的饱和密度、有效密度和有效重度（先推导公式然后求解）。

解：（1）VV m WV s sat ρρ⋅+=W S m m m +=Θ SW m m =ω 设1=S m ρω+=∴1VWS S S V m d ρ=Θ W S W S S Sd d m V ρρ⋅=⋅=∴1()()()()()()3W S S W S S W W satcm /87g .1171.20.341171.285.1d 11d 11d 111d 11111=+⨯+-⨯=++-=+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=+-++=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-++=∴ρωρωρωρωρρωρρωρρρωρW S d 有（2）()3'/87.0187.1cm g VV V V V V V m V V m W sat W V Ssat WV W V W S S W S S =-=-=+-=-+-=-=ρρρρρρρρρ （3）3''/7.81087.0cm kN g =⨯=⋅=ργ 或3'3/7.8107.18/7.181087.1cmkN cm kN g W sat sat sat =-=-==⨯=⋅=γγγργ2-4、某砂土土样的密度为1.77g/cm 3，含水量9.8%，土粒相对密度为2.67，烘干后测定最小孔隙比为0.461，最大孔隙比为0.943，试求孔隙比e 和相对密实度Dr ，并评定该砂土的密实度。

地基沉降中平均附加应力系数的解析解根据弹性半空间理论下附加应力系数的布辛奈斯克解，分别推导出矩形均布荷载、三角形分布荷载下角点和圆形均布荷载下中心点的平均附加应力系数的解析解，通过与《建筑地基基础设计规范》（GB50007-2011）中数据的比较，证明其精度更高，其编程计算比查表更为方便。

标签：地基沉降；建筑地基基础设计规范；平均附加应力系数；解析解1 引言在地基沉降计算中，《建筑地基基础设计规范》（GB50007-2011）（以下简称“规范”）推荐采用分层总和法规范修正公式：，与分层总和法单向压缩公式相比，其运用了平均附加应力系数这一参数。

规范中这一参数通过附录K查表并进行线性插值取得。

平均附加应力系数是地基沉降计算中的关键参数，其取值的准确性直接决定计算结果的准确性。

为了提高计算精度，地基分层厚度应尽可能小，层数尽可能多，由于表格数据的离散性，很难编程计算，这就导致查表插值工作量大大的增加，而且线性插值的方法也是导致误差积累的一个因素。

因此，若提出平均附加应力系数的解析解，通过编程计算，将会大大减小计算工作量，消除计算误差，提高计算精度。

由于解析解是精确计算，还可以用其结果校核规范中附录K表格数据的精确性。

平均附加应力系数的定义为基础底面计算点至某一层土底面范围内附加应力系数的平均值，即。

下面根据弹性半空间理论下附加应力系数的布辛奈斯克解分别推导出矩形均布荷载、三角形分布荷载下角点和圆形均布荷载下中心点的平均附加应力系数的解析解。

2 平均附加应力系数的求解2.1 矩形均布荷载下角点的平均附加应力系数计算简图如下（图1），根据平均附加应力系数的定义，2.2 三角形分布荷载下角点的的平均附加应力系数计算简图如下（图2），三角形分布荷载下角点1和角点2的平均附加应力系数分别为和，根据平均附加应力系数的定义，2.3圆形均布荷载下中心点的平均附加应力系数计算简图如下（图3），根据平均附加应力系数的定义，3 平均附加应力系数解析解与规范表格数据的比较下面分别列出平均附加应力系数的解析解与规范中表格的部分数据进行比较。

地基变形计算技巧应用Excel 进行地基变形计算的技巧赵文廷一、概述国家标准《建筑地基基础设计规范》（GB500072—2002）规定：地基基础设计等级为甲级和乙级的建筑物应按地基变形设计，部分地基基础设计等级为丙级的建筑物应作地基变形验算。

国家标准《岩土工程勘察规范》（GB50021—2001）及国家行业标准《高层建筑岩土工程勘察规范》（JGJ72—2004 J366—2004）规定：岩土工程勘察应预测和评价天然地基变形量。

此外，对天然地基进行均匀性评价，也需要按地基变形计算方法确定钻孔的当量压缩模量。

因此，地基变形计算是岩土工程师必作的主要工作之一。

地基变形计算是一项较烦索的工作，以往手工计算，不仅重复工作量大，而且很容易出错。

如果采用电子表格进行地基变形计算，即可以提高计算效率，又可保证计算准性和精确性。

下面介绍一下应用Excel 进行地基变形计算的一些技巧。

二、地基变形计算原理及要求㈠ 地基变形计算原理地基变形计算方法有多种，国家现行标准《建筑地基基础设计规范》GB50007—2002（以下简称规范GB50007）规定：计算地基变形时，地基内的应力分布可采用各向同性均质线性变形体理论，其最终变形量可按下式计算：)(1110--=-='=∑i i i i n i sis s z z E p s s ααψψ 式中 s ——地基最终变形量（mm ）；s '——按分层总和法计算的地基变形量（mm ）； 图一：地基沉降计算简图α系数 曲线s ψ——沉降计算经验系数，根据地基沉降观测资料及经验确定。

无地区经验时，可采用表1的数值；n ——地基变形计算深度范围内所划分的土层数（图一）；0p ——对应于荷载效应准永久组合时，基础底面处的附加压力（kPa ）；si E ——基础底面下第i 层土的压缩模量（MPa ），应取土层自重压力至土层自重压力与附加压力之和压力段计算；i z 、1-i z ——基础底面至第i 土层、第1-i 土层底面的距离（m ）；i α、1-i α——基础底面计算点至第i 土层、第1-i 土层底面范围内平均附加应力系数，可按规范GB50007附录K 采用；s E ——地基变形计算深度范围内当量压缩模量（MPa ），应按下式计算：∑∑=sii i s E A AEi A ——第i 土层附加应力系数沿土层厚度的积分值（kN/m ），即：)(110---=i i i i i z z p A αα∑iA ——地基变形计算深度范围内所有土层的附加应力系数沿土层厚度的积分值之和（kN/m ）；∑si i E A ——按分层总和法计算出的地基变形量（mm ），即∑sii E A s '=。