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空间域滤波和频率域处理的特点1.引言空间域滤波和频率域处理是数字图像处理中常用的两种图像增强技术。
它们通过对图像进行数学变换和滤波操作来改善图像质量。
本文将介绍空间域滤波和频率域处理的特点，并比较它们之间的异同。
2.空间域滤波空间域滤波是一种直接在空间域内对图像像素进行处理的方法。
它基于图像的局部像素值来进行滤波操作，常见的空间域滤波器包括均值滤波器、中值滤波器和高斯滤波器等。
2.1均值滤波器均值滤波器是最简单的空间域滤波器之一。
它通过计算像素周围邻域的平均值来实现滤波操作。
均值滤波器能够有效地去除图像中的噪声，但对图像细节和边缘保留较差。
2.2中值滤波器中值滤波器是一种非线性的空间域滤波器。
它通过计算像素周围邻域的中值来实现滤波操作。
中值滤波器能够在去除噪声的同时保持图像细节和边缘，对于椒盐噪声有较好的效果。
2.3高斯滤波器高斯滤波器是一种线性的空间域滤波器。
它通过对像素周围邻域进行加权平均来实现滤波操作。
高斯滤波器能够平滑图像并保留图像细节，它的滤波核可以通过调整方差来控制滤波效果。
3.频率域处理频率域处理是一种将图像从空间域转换到频率域进行处理的方法。
它通过对图像进行傅里叶变换或小波变换等操作，将图像表示为频率分量的集合，然后对频率分量进行处理。
3.1傅里叶变换傅里叶变换是一种将信号从时域转换到频域的数学变换。
在图像处理中，可以应用二维傅里叶变换将图像从空间域转换到频率域。
在频率域中，图像的低频分量对应于图像的整体结构，高频分量对应于图像的细节和边缘。
3.2小波变换小波变换是一种基于小波函数的时频分析方法。
它能够在频率和时间上同时提供图像的信息，对于图像的边缘和纹理特征有较好的表达能力。
小波变换在图像压缩和特征提取等方面具有广泛应用。
4.空间域滤波与频率域处理的对比空间域滤波和频率域处理都可以用来改善图像质量，但它们有着不同的特点和适用场景。
4.1处理方式空间域滤波是直接对图像像素进行处理，操作简单直接，适用于小规模图像的处理。
频域图像处理算法的研究和应用一、概述频域图像处理算法是数字图像处理领域里的重要部分，它通过对图像在频域的处理对图像进行增强或者滤波等操作，常见的算法有傅里叶变换、小波变换等。
近年来，随着网络技术的发展，图像处理技术在生活中已经得到了广泛应用，例如数字医疗、视频监控、无人机航拍等领域。
因此，深入研究和应用频域图像处理算法具有重要的现实意义。
二、傅里叶变换傅里叶变换是最常见的频域图像处理算法，它将时域信号转化为频域信号，可以获得频域分量的幅度和相位信息。
对于图像处理，将二维图像转化为频域的处理方式，称之为二维傅里叶变换.二维傅里叶变换可以用于图像平滑、增强、噪声去除等任务。
图像平滑是指通过滤波方式使图像的细节部分减弱或消失，从而达到去噪或美化图像目的。
图像增强则是强化图像的特征，使图像更加清晰，细节更加突出。
三、小波变换小波变换是另一种常见的频域图像处理算法，它与傅里叶变换不同，将图像划分为不同尺度的图像，并在其上进行处理。
可以分为离散小波变换和连续小波变换。
小波变换在图像处理中被广泛应用，例如在图像去噪、图像压缩和图像增强等方面都有重要的应用。
与傅里叶变换不同，小波变换可以更好地定位局部特征，因此在处理有噪信号时表现更为优秀。
四、应用1.数字医疗频域图像处理在数字医疗领域中的应用广泛，例如医学影像的分析和诊断，如X光检查、电子断层扫描（CT）、磁共振成像（MRI）等。
2.视频监控频域图像处理可以用于视频图像的压缩和增强，提高视频的清晰度，并提升特定区域的对比度。
此外，在目标检测和跟踪方面，图像增强可以提高算法的稳健性和鲁棒性。
3.无人机航拍无人机航拍图像也需要图像增强处理，来获得更好的图像质量和更准确的地图信息。
没有经过任何增强处理的图像可能会过于模糊或者噪声较大，会影响准确性。
五、总结频域图像处理算法是图像处理领域的重要部分，不仅可以用于图像去噪、平滑、增强等任务，还可以应用于数字医疗、视频监控、无人机航拍等领域。
图像的频域变换处理1 实验目的 1. 掌握Fourier ，DCT 和Radon 变换与反变换的原理及算法实现，并初步理解Fourier 、Radon和DCT 变换的物理意义。
2、 利用傅里叶变换、离散余弦变换等处理图像，理解图像变换系数的特点。
3、 掌握图像的频谱分析方法。
4、 掌握图像频域压缩的方法。
5、 掌握二维数字滤波器处理图像的方法。
2 实验原理1、傅里叶变换 fft2函数：F=fft2(A);fftshift 函数：F1=fftshift(F);ifft2函数：M=ifft2(F);2、离散余弦变换：dct2函数 ：F=dct2(f2)；idct2函数：M=idct2(F)；3、 小波变换对静态二维数字图像，可先对其进行若干次二维DWT 变换， 将图像信息分解为高频成分H 、V 和D 和低频成分A 。
对低频部分A ，由于它对压缩的结果影响很大，因此可采用无损编码方法， 如Huffman 、 DPCM 等；对H 、V 和D 部分，可对不同的层次采用不同策略的向量量化编码方法，这样便可大大减少数据量，而图像的解码过程刚好相反。
（1）dwt2[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,’wname’)[CA,CH,CV,CD]=dwt2(X,LO_D,HI_D’)()()⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-ψ=dt a b t t Rf a 1b ,a W *()⎪⎭⎫ ⎝⎛-ψ=ψa b t a 1t b ,a 112()00(,)[(,)](,)ux vy M N j M N x y f x y eF f x y F u v π---+====∑∑1100(21)(21)(,)(,)()()cos cos 22M N x y x u y v F u v f x y C u C v M Nππ--==++=∑∑CA 图像分解的近似分量,CH 水平分量,CV 垂直分量,CD 细节分量； dwt2(X,’wname ’) 使用小波基wname 对X 进行小波分解。
频域图像处理中的算法与实现随着计算机图像处理技术的不断发展，频域图像处理技术在图像处理中扮演着越来越重要的角色。
作为图像处理中的一种重要的方法，频域图像处理可以对图像进行各种复杂的变换和分析，例如快速傅里叶变换（FFT）、离散余弦变换（DCT）、小波变换（Wavelet Transform）等。
这些方法在数字图像处理中广泛应用，是数字图像处理中不可或缺的一部分。
本文将主要讨论频域图像处理中的算法与实现。
我们将从频域图像处理的基本概念开始，详细介绍一些常用的频域图像处理算法和实现方法，并最终讨论其一些常见应用。
基本概念在频域图像处理中，图像在时域和频域之间可以相互转换。
时域是指时间域，它描述了图像在时间上的变化，也就是图像的实际显示。
而频域则是指频率域，它描述了图像中各频率成分的强度和相位。
频域图像处理的目标就是将图像从时域转换到频域，分析和改变图像在频域的特性，从而实现不同的图像处理效果。
常用算法及实现FFT快速傅里叶变换（FFT）是一种把时域（时序）信号转化为频域（频谱）信号的计算方法。
FFT算法可以高效地对离散信号进行离散傅里叶变换（DFT）。
在图像处理中，FFT被广泛应用于图像加噪、图像平滑、频域滤波和相似性匹配等方面。
FFT算法的实现方式有很多种，其中最基本的实现是蝴蝶型算法和雷德算法。
另外，常用的FFT库还有Intel MKL库、FFTW库和BLAS库等。
DCT离散余弦变换（DCT）是一种把非周期时域信号转换为频域能量分布的方法，它是一种线性、对称和正交的变换，可以用来处理图像。
在图像处理中，DCT被广泛应用于图像压缩、特征提取和人脸识别等方面。
常用的DCT算法包括DCT-I、DCT-II、DCT-III和DCT-IV等。
DCT算法的实现方式也有很多种，其中最常用的方法是基于FFT的快速DCT 算法和基于矩阵计算的DCT变换算法。
小波变换小波变换是一种处理非平稳信号的信号处理技术，它可以把时域信号转换为时频域上的小波信号。
摘要图像的频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术。
二维正交变换是图像处理中常用的变换，其特点是变换结果的能量分布向低频成份方向集中，图像的边缘、线条在高频成份上得到反映，因此正交变换在图像处理中得到广泛运用。
傅里叶作为一种典型的正交变换，在数学上有比较成熟和快速的处理方法。
卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它在通信系统和信号处理中的重要地位－－应用最广。
在用频域方法进行卷积过程中尤其要注意傅里叶变换的周期性，注意周期延拓的重要作用，本次课设将对此作详细的介绍。
关键字：频域处理，二维傅里叶变换，卷积，周期延拓1 图像频域处理的概述图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
如大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变化剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术，通常作如下假设：1)引起图像质量下降的噪声占频谱的高频段；2)图像边缘占高频段；3)图像主体或灰度缓变区域占低频段。
基于这些假设，可以在频谱的各个频段进行有选择性的修改。
为什么要在频率域研究图像增强（1）可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。
一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。
（2）滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。
（3）可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。
（4）一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行。
2 二维傅里叶变换由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
傅立叶变换在实际中的物理意义，设f 是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f 的谱。
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。
空域处理方法和频域处理方法是数字图像处理中常见的两种基本处理方法，它们在处理图像时有着不同的特点和适用范围。
下面将从原理、应用和效果等方面对两种处理方法进行简要介绍，并对它们的区别进行分析。
一、空域处理方法1. 原理：空域处理是直接对图像的像素进行操作，常见的空域处理包括图像增强、平滑、锐化、边缘检测等。
这些处理方法直接针对图像的原始像素进行操作，通过像素之间的关系来改变图像的外观和质量。
2. 应用：空域处理方法广泛应用于图像的预处理和后期处理中，能够有效改善图像的质量，增强图像的细节和对比度，以及减轻图像的噪声。
3. 效果：空域处理方法对图像的局部特征和细节有很好的保护和增强作用，能够有效地改善图像的视觉效果，提升图像的清晰度和质量。
二、频域处理方法1. 原理：频域处理是通过对图像的频率分量进行操作，常见的频域处理包括傅立叶变换、滤波、频域增强等。
这些处理方法将图像从空间域转换到频率域进行处理，再通过逆变换得到处理后的图像。
2. 应用：频域处理方法常用于图像的信号处理、模糊去除、图像压缩等方面，能够有效处理图像中的周期性信息和干扰信号。
3. 效果：频域处理方法能够在频率域对图像进行精细化处理，提高图像的清晰度和对比度，对于一些特定的图像处理任务有着独特的优势。
三、空域处理方法和频域处理方法的区别1. 原理不同：空域处理方法直接对图像像素进行操作，而频域处理方法是通过对图像进行频率分析和变换来实现图像的处理。
2. 应用范围不同：空域处理方法适用于对图像的局部特征和细节进行处理，而频域处理方法适用于信号处理和频率信息的分析。
3. 效果特点不同：空域处理方法能更好地保护和增强图像的细节和对比度，频域处理方法能更好地处理图像中的周期性信息和干扰信号。
空域处理方法和频域处理方法是数字图像处理中常用的两种处理方法，它们在原理、应用和效果等方面有着不同的特点和适用范围。
在实际应用中，可以根据图像的特点和处理需求选择合适的方法，以获得更好的处理效果。
频域分析及图像的频域处理一．实验目的1.了解离散傅立叶变换及离散余弦变换的基本原理；2.掌握进行FFT 及逆变换的方法；3.了解图像在频域中处理方法，应用MATLAB 语言作简单的低通滤波器。
4.有能力的同学可用VC 实现傅立叶变换二．实验原理1.傅立叶变换的基本知识在图像处理的广泛应用领域中，傅立叶变换起着非常重要的作用，具体表现在包括图像分析、图像增强及图像压缩等方面。
假设f (x,y)是一个离散空间中的二维函数，则该函数的二维傅立叶变换的定义如下：)(21010),(),()],([N vy M ux j M x N y ey x f v u F y x f F +--=-=∑∑==π (2-1)离散傅立叶反变换的定义如下： )(210101),(1),()],([N vy M ux j N v M u e v u F MN y x f v u F F +-=-=-∑∑==π (2-2)式中，式中：u, x=0，1, 2, …, M -1；v, y=0, 1, 2, …, N -1；x, y 为时域变量，u, v像一维离散傅立叶变换一样，系数1/MN 可以在正变换或逆变换中，也可以在正变换和逆变换前分别乘以系数MN /1，只要两式系数的乘积等于1／MN 二维离散函数的傅立叶频谱、 相位谱和能量谱分别为 ),(),(|),(|22v u I v u R v u F += (2-3)),(),(arctan ),(v u R v u I v u =ϕ (2-4) ),(),(),(22v u I v u R v u E += (2-5) 式中，R (u , v )和I (u , v )分别是F (u , v )的实部和虚部。
2.离散余弦变换（Discrete Cosine Transform ， DCT ）离散余弦变换核为余弦函数。
DCT 除了具有一般的正交变换性质外， 它的变换阵的基向量能很好地描述人类语音信号和图像信号的相关特征。
摘要图像的频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术。
二维正交变换是图像处理中常用的变换，其特点是变换结果的能量分布向低频成份方向集中，图像的边缘、线条在高频成份上得到反映，因此正交变换在图像处理中得到广泛运用。
傅里叶作为一种典型的正交变换，在数学上有比较成熟和快速的处理方法。
卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它在通信系统和信号处理中的重要地位－－应用最广。
在用频域方法进行卷积过程中尤其要注意傅里叶变换的周期性，注意周期延拓的重要作用，本次课设将对此作详细的介绍。
关键字：频域处理，二维傅里叶变换，卷积，周期延拓1 图像频域处理的概述图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
如大面积的沙漠在图像中是一片灰度变化缓慢的区域，对应的频率值很低；而对于地表属性变化剧烈的边缘区域在图像中是一片灰度变化剧烈的区域，对应的频率值较高。
频域处理是指根据一定的图像模型，对图像频谱进行不同程度修改的技术，通常作如下假设：1)引起图像质量下降的噪声占频谱的高频段；2)图像边缘占高频段；3)图像主体或灰度缓变区域占低频段。
基于这些假设，可以在频谱的各个频段进行有选择性的修改。
为什么要在频率域研究图像增强（1）可以利用频率成分和图像外表之间的对应关系。
一些在空间域表述困难的增强任务，在频率域中变得非常普通。
（2）滤波在频率域更为直观，它可以解释空间域滤波的某些性质。
（3）可以在频率域指定滤波器，做反变换，然后在空间域使用结果滤波器作为空间域滤波器的指导。
（4）一旦通过频率域试验选择了空间滤波，通常实施都在空间域进行。
2 二维傅里叶变换由于图像的频率是表征图像中灰度变化剧烈程度的指标，是灰度在平面空间上的梯度。
傅立叶变换在实际中的物理意义，设f 是一个能量有限的模拟信号，则其傅立叶变换就表示f 的谱。
从纯粹的数学意义上看，傅立叶变换是将一个函数转换为一系列周期函数来处理的。
从物理效果看，傅立叶变换是将图像从空间域转换到频率域，其逆变换是将图像从频率域转换到空间域。
换句话说，傅立叶变换的物理意义是将图像的灰度分布函数变换为图像的频率分布函数，傅立叶逆变换是将图像的频率分布函数变换为灰度分布函数。
2.1 二维连续傅里叶变换如果二维连续函数f(x,y)满足狄里赫莱条件，则将有下面的傅立叶变换对存在：与一维傅立叶变换类似，二维傅立叶变换的傅立叶谱和相位谱为：),(),(|),(|),(),(),(arctan),φ(),(),(|),(||),(|),(22222),φ(v u I v u R v u F v u E v u R v u I v u v u I v u R v u F e v u F v u F v u j +===+==⎰⎰⎰⎰∞+∞-∞+∞-++∞∞-+∞∞-+-==dudv e v u F y x f dxdye y xf v u F vy ux πj vy ux πj )(2)(2),(),(),(),(2.2 二维离散傅里叶变换一个M ×N 大小的二维函数f(x,y)，其离散傅立叶变换对为 ：1,1,0,1,1,0)]//(2exp[),(1),(11,0,1,1,0)]//(2exp[),(),(101101-=-=+-=-=-=+=∑∑∑∑-=-=-=-=N v M u N vy M ux πj y x f MN v u F N y M x N vy M ux πj v u F y x f M u N v M u N v在数字图像处理中，图像一般取样为方形矩阵，即N ×N ，则其傅立叶变换及其逆变换为 ：()()∑=∑=⎪⎭⎫ ⎝⎛+==ℑ⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==ℑ----=-=∑∑1100]2exp[),(),()},({2exp ,1,)},({110102N N N u v vy ux j v u F y x f v u F N vy ux j y x f Nv u F y x f N x N y ππ2.3 二维离散傅里叶变换的性质离散傅里叶变换主要有以下性质：1. 平移性质 2. 分配律 3. 尺度变换（缩放） 4. 旋转性 5. 周期性和共轭对称性 6. 平均值 7. 可分性 8. 卷积 9. 相关性。
这里主要简述周期性，卷积相关内容会在下一节中介绍。
离散傅里叶变换有如下周期性性质：反变换也是周期性的：频谱也是关于原点对称的：这些等式的有效性是建立在二维离散傅里叶变换公式基础上的。
图像的周期性在图像处理中有非常重要的作用，下面会在卷积部分继续阐述周期性的相关内容。
3 卷积相关知识介绍卷积特性是傅里叶变换性质之一，由于它在通信系统和信号处理中的重要地位－－应用最广。
共分二个定理：时域卷积定理；频域卷积定理。
3.1 时域卷积定理给定两个时间函数 已知：则：(w)F (w)F (t)f (t)f 21FT21⋅−→−* 时域卷积 频域相乘即两个时间函数卷积的频谱等于各个时间函数频谱的乘积。
3.2 频域卷积定理给定两个时间函数 已知：则：(t)f (t)f 2π1(w)F (w)F 21IFT21⋅−→−*频域卷积 时域相乘。
即两个时间函数频谱的卷积等效于各个时间函数的乘积（乘以系数1/π2）。
)()(21t 、f t f (w)F (t)f (w)F (t)f 2FT 21FT1−→−−→−)()(21t 、f t f (w)F (t)f (w)F (t)f 2FT 21FT1−→−−→−3.3周期延拓在卷积中的作用基于卷积理论，频率域的乘法相当于空间域的卷积，反之亦然。
当处理离散变量和傅里叶变换时，要记住不同函数所包含的周期性(4.6.1节)。
虽然可能不太直观，但周期性是定义离散傅里叶变换对时产生的数学副产品。
周期性是处理操作的一部分,不应忽视。
图3.1列举了周期性的重要性。
图3.1左边（a~e）：两个离散函数的卷积右边（f~j）：相同函数的卷积，考虑DFT周期性的应用。
图的左边一列是用下式的一维形式计算的卷积：在此详细地解释卷积运算的过程。
为简化表示，简单的数字将代替那些表示函数长度和高度的通用符号。
图3.1(a)和(b)是两个要进行卷积的函数。
每个函数包含400个点。
卷积的第一步是将一个函数关于原点进行镜像映射(倒转)，在本例情况下，对第二个函数进行，在图3.1(c)中以h(-m)示出。
下一步是将h(-m)滑过f(m)。
这要增加一个常数x到h(-m)，即变成h(x-m)，如图3.1(d)所示。
注意只有一个置换值。
在第一次遇到时．这个简单步骤通常是引起混乱的根源。
而这恰好是卷积计算的全部关键。
换言之，为了执行卷积，倒转了一个函数，并将它滑过另一个函数。
在每一个置换点(的每一个值)都要计算式的全部总和。
这个总和不比在给定位移处f和h乘积的和更太。
位移x的范围为h完全滑过f 需要的所有值。
图3.1(e)显示了h完全滑过f后的结果，并在x的每个点计算式。
在此例中，为使h(x-m)完全滑过f,x值的范围是从0到799。
这幅图是两个函数的卷积。
要清楚地记住卷积中的变量是x.从上面介绍的卷积理论可知，由F(u)H(u)的傅里叶反变换能得到同样的准确结果。
但是，从前面对周期性的讨论又知离散傅里叶变换自动地将输入函数周期化。
换言之，采用DFT允许在频率域进行卷积计算，但函数必须看做周期性的，且周期等于函数的长度。
可以通过图3.1右边一列考察这种隐含的周期性。
图3.1(f)同图3.1(a)一样，但同样的函数在两个方向上周期性地无限扩展(扩展部分用虚线表示)。
从图3.1(g)到图3.1(i)同样应用该扩展。
现在，可以通过将h(x-m)滑过f(m)进行卷积。
如前面一样，变化x完成滑动。
然而，h(x-m)的周期性扩展产生了图3.1左边的计算中所没有的值。
例如，在图3.1(i)中，当x=0时，看到h(x-m)右侧第一个扩展周期的一部分进入图3.1(f)中所示的f(m)(从原点开始)的一部分。
当h(x-m)向右滑动时，在f(m)中的那部分开始向右侧移出，但被h(x-m)左侧相同部分所取代。
这引起卷积产生一个常量值，如图3.1(j)所示的[0，100]的一段.从100到4OO的一段是正确的，但周期性是周而复始的，这样就引起卷积函数尾部的一部分丢失，由图3.1(j)和图3.1(e)实线部分的比较可以看出这一点。
在频率域，该过程需要计算图3.1(a)和(b)中函数的傅里叶变换。
根据卷积理论，两个变换要相乘，再计算傅里叶反变换。
结果包含40O个点的卷积，如图3.1(j)的实线部分所示。
简单的解释表明当使用傅里叶变换得出卷积函数时，错误地处理周期性将得到错误的结论。
结果，在开头有错误数据，结尾将丢失数据。
问题的解决办法很简单。
假设f和h分别由A和B个点组成。
对两个函数同时添加零，以使它们具有相同的周期，表示为P。
这个过程产生扩展的或延拓的函数，如下所示：和可以看出,除非选择P≥A+B-1，否则卷积的独立周期将会混叠。
已经在图3.1中看到了这种现象的结果，这通常归于缠绕误差。
若P=A+B-1，周期便会邻接起来。
若P＞A+B-1，周期将会是分隔开的，分隔的程度等于P与A+B-1的差。
扩展后的卷积结果如图3.2所示。
在这里，选择P=A+B-1(799)，即可知卷积周期是相邻的。
遵循与前面的解释相同的过程，得到如图3.2(e)所示的卷积函数。
该结果的一个周期与图3.1(e)相同，是正确的。
这样，如果要在频率域计算卷积，应该：(1)得到两个扩展序列的傅里叶变换(每个序列有8OO个点)；(2)将两个变换相乘；(3)计算傅里叶反变换。
结果便得到正确的8OO个点的卷积函数，见图3.2(e)中周期加重的部分。
图3.2（a~e）用扩展函数执行卷积的结果这些概念扩展到二维函数时遵循了相同的前提。
假设有f(x,y)和h(x,y)两幅图像，大小分别为A×B和C×D。
如同一维情况，这些行列必须假定在x方向上有相同的周期P，在y方向上有相同的周期Q。
二维卷积的混叠可由选择如下周期避免：扩展f(x,y)和h(x,y)形成如下周期性序列：为了简化图例，假设f和h是方形的，且大小相同，图3.3 对二维函数周期延拓的说明。
（a）没有延拓执行二维卷积的结果；（b）合格的函数延拓；（c）正确的卷积结果。
图 3.3(a)显示了图像没有延拓时得到的滤波结果。
这通常是由于没有对一幅输入图像进行延拓就进行傅里叶变换，然后又乘上同样大小的函数(也没有延拓)，计算傅里叶反变换。
结果就是与输入图像相同的大小为A×B的图像，如图3.3(a)左上象限所示。
如同一维情况，图像前面边沿(阻影部分)由于周期性而引入了错误数据，而在尾部边沿将丢失数据。
