课时训练(十八)全等三角形(限时:40分钟)|夯实基础|1.[2018·安顺]如图K18-1,点D,E分别在线段AB,AC上,CD与BE相交于点O,已知AB=AC,现添加以下的哪个条件仍不能判定△ABE≌△ACD()图K18-1A.∠B=∠CB.AD=AEC.BD=CED.BE=CD2.[2015·泰州]如图K18-2,△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,AC的垂直平分线分别交AC,AD,AB于点E,O,F,连接CO,BO,则图中全等三角形的对数是( )图K18-2A.1对B.2对C.3对D.4对3.如图K18-3,OP平分∠MON,PA⊥ON于点A,Q是射线OM上的一个动点,若PA=2,则PQ的最小值为( )图K18-3A.1B.2C.3D.44.如图K18-4,在方格纸中,以AB为一边作△ABP,使之与△ABC全等,从P1,P2,P3,P4四个点中找出符合条件的点P,则点P有( )图K18-4A.1个B.2个C.3个D.4个5.[2018·荆州]如图K18-5,已知:∠AOB,求作:∠AOB的平分线.作法:①以点O为圆心,适当长为半径画弧,分别交OA,OB于点M,N;②分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧在∠AOB内部交于点C;③画射线OC.射线OC即为所求.上述作图用到了全等三角形的判定方法,这个方法是 .图K18-56.如图K18-6,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,分别过点B,C作过点A的直线DE的垂线BD,CE,垂足分别为D,E,若BD=3,CE=2,则DE= .图K18-67.[2017·黔东南州]如图K18-7,点B,F,C,E在一条直线上,已知FB=CE,AC∥DF,请你添加一个适当的条件:使得△ABC≌△DEF.图K18-78.[2017·陕西]如图K18-8,四边形ABCD中,AB=AD,∠BAD=∠BCD=90°,连接AC.若AC=6,则四边形ABCD的面积为 .图K18-89.如图K18-9,OP平分∠MON,PE⊥OM于E,PF⊥ON于F,OA=OB,则图中有对全等三角形.图K18-910.[2016·徐州] 如图K18-10,正方形ABCD的边长为2,点E,F分别在边AD,CD上,∠EBF=45°,则△EDF的周长等于 .图K18-1011.[2019·黄冈]如图K18-11,四边形ABCD是正方形,E是CD边上任意一点,连接AE,作BF⊥AE,DG⊥AE,垂足分别为F,G.求证:BF-DG=FG.图K18-1112.[2019·宜昌]如图K18-12,在△ABC中,D是BC边上一点,AB=DB,BE平分∠ABC,交AC边于点E,连接DE.(1)求证:△ABE≌△DBE;(2)若∠A=100°,∠C=50°,求∠AEB的度数.图K18-1213.[2019·黄石] 如图K18-13,在△ABC中,∠BAC=90°,E为边BC上的点,且AB=AE,D为线段BE的中点,过点E作EF⊥AE,过点A作AF∥BC,且AF,EF相交于点F.(1)求证:∠C=∠BAD;(2)求证:AC=EF.图K18-1314.[2019·镇江]如图K18-14,四边形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别在AD,BC上,AE=CF,过点A,C分别作EF的垂线,垂足为G,H.(1)求证:△AGE≌△CHF;(2)连接AC,线段GH与AC是否互相平分?请说明理由.图K18-14|拓展提升|15.如图K18-15,点A,B,C在一条直线上,△ABD,△BCE均为等边三角形.连接AE和CD,AE分别交CD,BD于点M,P,CD交BE于点Q.连接PQ,BM.下列结论:①△ABE≌△DBC;②∠DMA=60°;③△BPQ为等边三角形;④MB平分∠AMC,其中结论正确的有( )图K18-15A.1个B.2个C.3个D.4个16.[2019·烟台节选]如图K18-16,△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,点B,D,E在同一直线上,连接AD,BD.(1)请探究AD与BD之间的位置关系:;(2)若AC=BC=,DC=CE=,则线段AD的长为 .图K18-16【参考答案】1.D2.D[解析] 根据AB=AC,AD垂直平分线段BC,可得三对全等三角形,根据OE垂直平分线段AC,可得一对全等三角形,所以共有四对全等三角形,故选D.3.B[解析]过点P作PQ⊥OM,垂足为Q,此时PQ的值最小,由角平分线的性质可知PQ=PA=2.4.C[解析] 沿着直线AB翻折可得△ABP1,将△ABP1进行轴对称变换可得△ABP2,再将△ABP2沿着直线AB进行翻折,可得△ABP4,故满足条件的点P共有3个.故选C.5.SSS6.57.答案不唯一,例如AC=FD,∠B=∠E等[解析]证明三角形全等的方法有多种,选择合适的即可.所添条件,可以直接证全等也可间接得出结论证明全等.8.18[解析]过点A作AE⊥AC交CD的延长线于点E,由题意易证△AED≌△ACB,故AE=AC=6,四边形ABCD的面积等于△ACE的面积,即四边形ABCD的面积=AC×AE=×6×6=18.9.3[解析] ∵OP平分∠MON,∴∠AOP=∠BOP.∵OA=OB,OP=OP,∴△OAP≌△OBP(SAS).∴AP=BP.∵PE⊥OM,PF⊥ON,∴∠OEP=∠OFP=90°,又∵∠AOP=∠BOP,OP=OP,∴△OEP≌△OFP(AAS).∴PE=PF.∴Rt△AEP≌Rt△BFP(HL).故答案为3.10.4[解析]如图,延长线段DA并截取AG使得AG=CF,则可证△BCF≌△BAG,所以BG=BF,因为∠EBF=45°,则可证△GBE≌△FBE,所以EF=GE,由正方形边长为2可求出△EDF的周长为4.11.证明:在△ABF和△DAG中,∵BF⊥AE,DG⊥AE,∴∠AFB=∠DGA=90°.又∠DAG+∠FAB=∠DAG+∠ADG=90°,∴∠FAB=∠GDA.又AB=AD,∴△ABF≌△DAG.∴BF=AG,AF=DG.∴BF-DG=AG-AF=FG.12.解:(1)证明:∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE,在△ABE和△DBE中,∴△ABE≌△DBE(SAS).(2)∵∠A=100°,∠C=50°,∴∠ABC=30°,∵BE平分∠ABC,∴∠ABE=∠DBE=∠ABC=15°,在△ABE中,∠AEB=180°-∠A-∠ABE=180°-100°-15°=65°.13.证明:(1)∵AB=AE,D为线段BE的中点,∴AD⊥BC,∴∠C+∠DAC=90°,∵∠BAC=90°,∴∠BAD+∠DAC=90°,∴∠C=∠BAD.(2)∵AF∥BC,∴∠FAE=∠AEB,∵AB=AE,∴∠B=∠AEB,∴∠B=∠FAE,且∠AEF=∠BAC=90°,AB=AE,∴△ABC≌△EAF(ASA),∴AC=EF.14.解:(1)证明:∵AG⊥EF,CH⊥EF,∴∠G=∠H=90°,AG∥CH.∵AD∥BC,∴∠DEF=∠BFE,∵∠AEG=∠DEF,∠CFH=∠BFE,∴∠AEG=∠CFH.在△AGE和△CHF中,∴△AGE≌△CHF(AAS).(2)线段GH与AC互相平分,理由如下:连接AH,CG,如图所示:由(1)得:△AGE≌△CHF,∴AG=CH,∵AG∥CH,∴四边形AHCG是平行四边形,∴线段GH与AC互相平分.15.D[解析]∵△ABD,△BCE为等边三角形,∴AB=DB,∠ABD=∠CBE=60°,BE=BC,∴∠ABE=∠DBC,∠PBQ=60°.在△ABE和△DBC中,∴△ABE≌△DBC(SAS),①正确;∵△ABE≌△DBC,∴∠BAE=∠BDC.∵∠BDC+∠BCD=180°-60°-60°=60°,∴∠DMA=∠BAE+∠BCD=∠BDC+∠BCD=60°,②正确;在△ABP和△DBQ中,∴△ABP≌△DBQ(ASA),∴BP=BQ,∴△BPQ为等边三角形,③正确;∵∠DMA=60°,∴∠AMC=120°,∴∠AMC+∠PBQ=180°,∴P,B,Q,M四点共圆.∵BP=BQ,∴=,∴∠BMP=∠BMQ,即MB平分∠AMC,④正确.综上所述,正确的结论有4个,故选D.16.(1)AD⊥BD (2)4[解析](1)∵△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,∠ACB=∠DCE=90°,∴CA=CB,CD=CE,∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD,∴∠ACD=∠BCE,在△ACD与△BCE中,∵∴△ACD≌△BCE,∴∠CAD=∠CBE.∵∠ACB=90°,∴∠CAD+∠DAB+∠ABC=90°,∴∠CBE+∠DAB+∠ABC=90°,即∠DAB+∠DBA=90°,∴∠ADB=90°,∴AD⊥BD.(2)由(1)可得△ACD≌△BCE,∴AD=BE.在Rt△DCE中,由勾股定理得,DE===2,在Rt△ABC中,由勾股定理得,AB===2.设AD=x,则BE=x,BD=BE-DE=x-2,在Rt△ABD中,由勾股定理得,AB2=AD2+BD2,即(2)2=x2+(x-2)2,解得x=4或x=-2(舍去),∴AD=4,即线段AD的长为4.。
