2020中考数学一模试卷

中考数学一模试卷题号一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1.我国是较早认识负数的国家，南宋数学家李冶在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“-32”写成“”，下列算筹表示负数的是（）A. B. C. D.2.“浮云游子意，明月故乡情”，4月疫情期间温州支援意大利口罩达2700000只，其中2700000用科学记数法表示为（）A. 2.7×106B. 27×105C. 2.7×105D. 0.27×1073.小明家购买了一款新型吹风机．如图所示，吹风机的主体是由一个空心圆柱体构成，手柄可近似看作一个圆柱体，这个几何体的主视图为（）A.B.C.D.4.计算x3+x3的结果是（）A. x6B. x9C. 2x6D. 2x35.甲、乙、丙、丁四名射击运动员参加射击预选赛，他们射击成绩的平均数及方差如表所示，要选一个成绩较好且稳定的运动员去参赛，应选运动员（）甲乙丙丁（环）8998S2（环2）1 1.21 1.2A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁6.不等式-2x≤-x+2的解在数轴上的表示正确的是（）A. B. C. D.7.一款便携式音箱以锂电池作为电源，该电池的电压为定值，工作时电流I（单位：A）与电阻R（单位：Ω）之间的函数关系如图所示，则当电阻R为4Ω时，电流I 为（）A. 6AB. AC. 1AD. A8.为美化校园，学校计划购买甲、乙两种花木，其中甲种花木每棵100元，乙种花木每棵80元，若甲种花木的数量是乙种花木的3倍，且两种花木共花费19000元．设购买甲种花木x棵，乙种花木y棵，根据题意，可列方程组（）A. B.C. D.9.在△ABC中，BC=5，AC=12，∠C=90°，以点B为圆心，BC为半径作圆弧，与AB交于D，再分别以A，D为圆心，大于AD的长为半径作圆弧交于点M，N，作直线MN，交AC于E，则AE的长度为（）A. 4B. 4C.D. 510.已知函数y1=ax2-2ax+c（a＞0），y2=-ax2+2ax+c，当0≤x≤2时，2≤y1≤3，则当0≤x≤2时，y2的最大值是（）A. -3B. 2C. 3D. 4二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）11.因式分解：m2-25= ______ ．12.在不透明的袋子里装入3个红球和2个白球（除颜色不同外其余均相同），从中随机摸出一个球为白球的概率是______．13.如图，四边形ABCD内接于⊙O，若∠AOC=∠B，则∠D的度数为______°．14.如图，在矩形ABCD中，BC=8，E为BC中点，将△ABE沿AE翻折后，得到△AEF，再将CE折向FE，使点C与点F重合，折痕为EG．若CG=3，则AG=______．15.如图，已知点A（5，0），在直线y=x+上取点B，过点B作x轴的平行线，交直线y=-x+b于点C．若四边形OACB为菱形，则b=______．16.将折叠书架画出侧面示意图，AB为面板架，CD为支撑架，EF为锁定杆，F可在CD上移动或固定．已知BC=CE=8cm．如图甲，将面板AB竖直固定时（AB⊥BD），点F恰为CD的中点．如图乙，当CF=17cm时，EF⊥AB，则支撑架CD的长度为______cm．三、计算题（本大题共1小题，共8.0分）17.如图，在△ABC中，AB=AC，点D在BC边上，点E在AC边上，连结AD，DE．已知∠1=∠2，AD=DE．（1）求证：△ABD≌△DCE．（2）若BD=2，CD=5，求AE的长．四、解答题（本大题共7小题，共72.0分）18.（1）计算：2sin30°+（-1）0+；（2）解方程：（x-1）2=2x+1．19.某学校为了解疫情期间学生在家体育锻炼情况，从全体学生中随机抽取若干学生进行调查，以下是根据调查数据绘制的统计图表的一部分，根据信息回答下列问题，（1）本次调查共抽取______名学生．（2）抽查结果中，B组有______人．（3）在抽查得到的数据中，中位数位于______组（填组别）．（4）若这所学校共有学生1200人，则估计平均每日锻炼超过20分钟有多少人？组别平均每日体育锻炼时间（分）人数A0≤x≤1018B10＜x≤20______ C20＜x≤3042D x＞302420.如图，在5×5的方格纸中，点A，B均在格点上，请按要求画图．（1）在图1中画个面积为2的格点△ABC．（2）在图2中画一个格点Rt△ADE，使AB是△ADE的中线．21.在平面直角坐标系中，抛物线的表达式为y=ax2+2bx+2b-a（a≠0）．（1）当x=-1时，求y的值．（2）将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点（-1，0），求b的值．22.如图，四边形ABCD中，∠B=90°，以AD为直径的⊙O交AB于点E，与BC相切于点C，连结CE．（1）求证：CD=CE．（2）若AE=3，tan∠D=，求⊙O的半径．23.某商店准备采购甲、乙两种消毒水进行售卖，每瓶的进价与利润如表：甲乙每瓶进价（元）a a+20每瓶利润（元）2030已知进货成本1500元采购甲种消毒水的数量和2500元买乙种消毒水的数量相等．（1）求a的值．（2）若该商店准备拿出12000元全部用来进货，由于仓库存放限制，总数量不多于300瓶，问如何进货能使消毒水全部售出后利润最大，最大利润是多少元？（3）在（2）获得最大利润的进货方案下，该商店预留了甲、乙两种消毒水各若干瓶供店内消毒使用，剩余的消毒水被抢购一空，共获得利润7350元，求商店共预留了多少瓶？24.如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上的点，且AE=CF，M，N分别是EF，EB的中点，延长AN交BF于点K．（1）①小明通过画图探究得到以下数据，根据题意，将表格补充完整．∠FBC10°20°40°∠EBF70°______ ______∠BNK20°______ ______②写出∠EBF与∠BNK的数量关系，并给出证明．（2）当四边形MNKF中有一条边是NK的2倍时，求cos∠EBF的值．（3）直线MN分别交AB，CD于点P，Q，延长EF交射线BC于点G，当点G关于直线BF的对称点落在直线MN上时，直接写出的值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：在算筹的个位数上用斜画一杠表示负数，如“-32”写成“”，算筹表示负数的是选项B：故选：B．根据正数和负数表示相反意义的量，可得答案．此题考查了正数与负数，熟练掌握相反意义量的定义是解本题的关键．2.【答案】A【解析】解：2700000=2.7×106．故选：A．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3.【答案】C【解析】解：根据主视图的概念可知，从物体的正面看得到的视图是选项C．故选：C．根据主视图是从物体正面看所得到的图形即可解答．本题考查了简单几何体的主视图，注意主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看所得到的图形．4.【答案】D【解析】解：x3+x3=2x3．故选：D．根据合并同类项法则计算即可得出正确选项．本题主要考查了合并同类项，在合并同类项时，系数相加减，字母及其指数不变．5.【答案】C【解析】解：由图可知，乙、丙的平均成绩好，由于S2乙＞S2丙，故乙的方差大，波动大．故选：C．先比较平均数，乙丙的平均成绩好且相等，再比较方差即可解答．本题考查了方差，掌握平均数和方差的定义是解题的关键，方差它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．6.【答案】B【解析】解：∵-2x≤-x+2，∴-2x+x≤2，则-x≤2，∴x≥-2，将不等式解集表示在数轴上如下：故选：B．根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1可得．本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．7.【答案】B【解析】解：设用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，∵反比例函数图象过（2，3），∴k=3×2=6，∴I=，当R=4Ω时，I==，故选：B．根据函数图象可用电阻R表示电流I的函数解析式为I=，再把（2，3）代入可得k的值，进而可得函数解析式，然后代入R=4Ω求得电流I即可．此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，关键是掌握凡是函数图象经过的点必能满足解析式．8.【答案】A【解析】解：由题意可得，，故选：A．根据题意，可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题．本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．9.【答案】C【解析】解：由作图可得，BD=BC=5，AD=13-5=8，MN垂直平分AD，∴AF=AD=4，∵BC=5，AC=12，∠C=90°，∴AB=13，∵∠AFE=∠ACB=90°，∠A=∠A，∴△AFE∽△ACB，∴=，即=，解得AE=，故选：C．由作图可得，BD=BC=5，AD=13-5=8，MN垂直平分AD，依据勾股定理即可得到AB的长，再根据相似三角形的性质，即可得到AE的长．本题主要考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合．10.【答案】D【解析】解：由题意得：当0≤x≤2时，函数y1在对称轴x=1时取得最小值，即y1=a-2a+c=2①，函数y1在x=2时，取得最大值，即y1=4a-4a+c=3②，联立①②并解得：，故y2=-ax2+2ax+c=-x2+2x+3，当0≤x≤2时，y2在对称轴处取得最大值，∴当x=1时，y=4，故最大值是4，故选：D．由0≤x≤2时，2≤y1≤3，求出a、c的值，即可求解．本题考查的是二次函数与不等式（组）和二次函数的最值问题，解题的关键在于通过y1的信息，确定a、c的值，进而求解．11.【答案】（m+5）（m-5）【解析】解：原式=（m+5）（m-5），故答案为：（m+5）（m-5）原式利用平方差公式分解即可．此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．12.【答案】【解析】解：从中随机摸出一个球共有5种等可能结果，其中摸出一个球为白球的有2种结果，所以摸出一个球为白球的概率为，故答案为：．用白球的个数除以球的总个数即可得．本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．13.【答案】60【解析】解：由圆周角定理得，∠AOC=2∠D，∵∠AOC=∠B，∴∠B=2∠D，∵四边形ABCD内接于⊙O，∴∠D+∠B=180°，∴∠D+2∠D=180°，解得，∠D=60°，故答案为：60．根据圆周角定理得到∠AOC=2∠D，根据题意得到∠B=2∠D，根据圆内接四边形的对角互补列式计算，得到答案．本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．14.【答案】【解析】解：∵将△ABE沿AE翻折后，得到△AEF，再将CE折向FE，使点C与点F重合，∴AB=AF，∠B=∠AFE=90°，FG=CG=3，∠C=∠EFG=90°，∴∠AFE+∠GFE=180°，∴点A，点F，点G三点共线，∵AD2+DG2=AG2，∴64+（AB-3）2=（AB+3）2，∴AB=，∴AG=AF+FG=，故答案为：．由折叠的性质可得AB=AF，∠B=∠AFE=90°，FG=CG=3，∠C=∠EFG=90°，可证点A，点F，点G三点共线，由勾股定理可求AB的长，即可求解．本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，利用勾股定理求出AB的长是本题关键．15.【答案】12【解析】解：∵点A（5，0），∴OA=5，∵四边形OACB为菱形，∴OB=OA=5，根据题意设B（a，a+），∴a2+（a+）2=52，整理得a2+2a-15=0，解得a=3或a=-5（不合题意，舍去），∴B（3，4），∴C（8，4），∵直线y=-x+b经过点C，∴4=-8+b，解得b=12，故答案为12．由题意设B（a，a+），根据勾股定理得出a2+（a+）2=52，解方程求得a=3，即可求得C的坐标，根据图象上点的坐标特征，代入y=-x+b中，即可求得b的值．本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，菱形的性质，根据题意得到关于a的方程是解题的关键．16.【答案】2【解析】解：∵EF⊥AB，CF=17cm，BC=CE=8cm，∴EF=cm，过F作FG⊥AB，∵AB⊥BD，∴FG∥BD，∵点F恰为CD的中点，∴CG=BC=4cm，∴EG=8+4=12cm，∵EF=15cm，∴CG=cm，∴BD=2CG=18cm，∴CD=，故答案为：2．根据勾股定理得出EF的长，进而利用勾股定理得出CF，进而得出CD的长即可．此题考查勾股定理的应用，关键是根据勾股定理得出EF的长解答．17.【答案】（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C，又∠1=∠2，AD=DE，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABD≌△DCE，∴AB=DC=5，CE=BD=2，∵AC=AB，∴AC=5，∴AE=AB-EC=5-2=3．【解析】（1）根据AAS可证明△ABD≌△DCE；（2）得出AB=DC=5，CE=BD=2，求出AC=5，则AE可求出．本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．18.【答案】解：（1）原式=2×+1+3=1+1+3=5；（2）x2-4x=0，x（x-4）=0，x=0或x-4=0，所以x1=0，x2=4．【解析】（1）根据零指数幂和特殊角的三角函数值计算；（2）先把方程变形为一般式，然后利用因式分解法解方程．本题考查了解一元二次方程-因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了实数的运算．19.【答案】120 36 C36【解析】解：（1）24÷20=120（名）．故本次调查共抽取120名学生．（2）120-18-42-24=36（人）．故B组有36人．（3）在抽查得到的数据中，第60个和第61个数据都在C组，故中位数位于C组．（4）1200×=660（人）．答：这所学校平均每日锻炼超过20分钟大约有660人．故答案为：120；36；C；36．（1）用D组的人数除以其所占百分比可得；（2）总人数减去其他类别人数即可求得B组的人数；（3）根据中位数的多余即可求解；（4）用总人数乘样本中平均每日锻炼超过20分钟的人数所占比例即可求解．本题考查频数（率）分布表、扇形统计图、样本估计总体等知识没解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）．（2）如图2中，△ADE即为所求（答案不唯一）．【解析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可．（2）根据三角形的中线的定义画出图形即可．本题考查作图-应用与设计，三角形的面积，三角形的中线等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．21.【答案】解：（1）当x=-1时，y=a-2b+2b-a=0；（2）∵将抛物线向左平移2个单位后，恰经过点（-1，0）∴原抛物线经过（1，0），把（1，0）代入解析式可得：0=a+2b+2b-a，∴b=0．【解析】（1）把x=-1代入y=ax2+2bx+2b-a，即可求得；（2）根据题意原抛物线经过（1，0），代入解析式解方程即可求得．本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，（2）求得原抛物线经过的点的坐标是解题的关键．22.【答案】解：（1）证明：如图，连结DE，OC交于点F．∵BC切⊙O于点C，∴∠OCB=90°，∵∠B=90°，∴OC∥AB，∵AD是圆的直径，∴∠DEA=∠FEB=90°，∴OC⊥DE，∴=，∴CD=CE；（2）如图，连结AC，∵四边形ABCD内接于圆，∴∠CEB=∠ADC，∵=，∴∠DAC=∠CAB，∴∠ADC=∠ACB∴tan∠ACB=tan∠CBE=tan∠ADC，设BE=3x，则BC=4x，CE=5x，∴=，解得：x=，∴CD=，∴AD==，∴OA=．【解析】（1）如图，连结DE，OC交于点F，若证明CD=CE，则可转化为证明=即可；（2）连结AC，设BE=3x，则BC=4x，CE=5x，由圆周角定理和圆的内接四边形定理可得tan∠ACB=tan∠CBE=tan∠ADC，再利用勾股定理可求出AD的长，进而可求出⊙O的半径．本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质以及勾股定理的运用等知识点．解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．23.【答案】解：（1）由题可得：=，解得a=30，经检验a=30是方程的解，所以a的值为30；（2）设甲种买了x瓶，则乙种买了瓶，由题意可得：x+≤300，解得x≤150，设利润为y，可得y=20x+30×，即y=2x+7200，∵k=2＞0，∴y随x增大而增大．当x=150 y有最大值为7500，答：最大利润为7500元；（3）7500-7350=150（元）设甲种保留了a瓶，乙种保留了b瓶，20a+30b=150，该方程的正整数解为或，答：商家共预留了6瓶或7瓶．【解析】（1）根据表格提供的有效信息和题干中的条件：进货成本1500元采购甲种消毒水的数量和2500元买乙种消毒水的数量相等，可建立关于a的分式方程，解方程求出a的值即可；（2）设甲种买了x瓶，则乙种买了瓶，由题意可求出x的取值范围，再设设利润为y，可得y与x的一次函数关系式，利用一次函数的增减性即可求出最大利润；（3）设甲种保留了a瓶，乙种保留了b瓶，则20a+30b=150，求出二元一次方程的所有正整数解即可得到该商店共预留了多少瓶．本题考查了一次函数的应用，涉及了分式方程的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程和不等式组求解．24.【答案】50°10°40°80°【解析】解：（1）①根据∠CBF=∠ABE，直角三角形斜边中线的性质可知：当∠FBC=20°时，∠EBF=50°，∠BNK=40°，当∠FBC=40°时，∠EBF=10°，∠BNK=80°，故答案为50°，10°，40°，80°．②结论：∠EBF+∠BNK=90°．理由：在正方形ABCD中，AB=BC，∠BAD=∠C=90°，∵AE=CF，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴∠CBF=∠ABE，BE=BF，∴∠EBF=90°-2∠ABN，∵N是BE的中点，∴AN=BN，∴∠BNK=2∠ABN，∴∠EBF+∠BNK=90°．（2）①当MN=2NK时，∵MN=BF=BE=BN，∴BN=2NK，∴∠EBF=30°，∴cos∠EBF=．②当KF=2NK时，∵BN=BE=（BK+KF），NK=KF，∵BN2=BK2+NK2，∴3BK=2KF=4NK，设BK=4m，则NK=3m，BN=5m，∴cos∠EBF==．③当MF=2NK时，过点M作MG⊥BF于点G（如图1中）．∵MN∥BF，∴∠MGK=∠GMN=∠NKG=90°，∴四边形MNKG是矩形，∴MG=NK，∴MF=2MG，∴∠MFB=∠BEF=30°，∴∠EBF=120°＞90°，∴此情况不存在．（3）如图2中，连接BG′，GG′，延长GE交BA的延长线于H，过点E作EJ∥PQ 交AB于J．∵BN=NE，PN∥EJ，∴BP=PJ，∴EJ=2PN，∵G，G′关于BP对称，∴BF垂直平分线段GG′，∵BF∥PG′，∴FG=FM，∵BE=BF，∴∠BEF=∠BFE，∴∠BEH=∠BFG，∵BE=BF，∠HBE=∠GBF，∴△HBE≌△GBF（AAS），∴EH=FG，BH=BG，∴EH=FM，∵∠H=∠G=45°，∵∠FCG=90°，∴∠CFG=∠MFQ=45°，∵EJ∥PM，∴∠EEJ=∠HMP=∠FMQ，∴△HEJ≌△FMQ（ASA），∴EJ=MQ，∵EJ=2PN，∴MQ=2PN．（1）①利用直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质解决问题即可．②证明△ABE≌△BCF（SAS）可得结论．（2）分三种情形：①当MN=2NK时．②当KF=2NK时．③当MF=2NK时，分别求解即可解决问题．（3）如图2中，连接BG′，GG′，延长GE交BA的延长线于H，过点E作EJ∥PQ 交AB于J．利用三角形的中位线定理证明EJ=2PN，再利用全等三角形的性质证明EJ=MQ即可解决问题．本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，三角形的中位线定理，直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．。

2020年山东省济宁市邹城市中考数学一模试卷一、选择题1．﹣2的绝对值等于（）A．±2B．﹣2C．2D．42．下列各式运算正确的是（）A．a+a＝2a2B．a2•a3＝a6 C．a3÷a＝3D．（﹣a）3＝﹣a33．世界文化遗产长城总长约为6700000m，6700000用科学记数法可表示为（）A．67×105B．0.67×107C．6.7×105D．6.7×1064．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（）A．B．C．D．5．把多项式a3﹣a分解因式，结果正确的是（）A．a（a2﹣1）B．a（a﹣1）2C．a（a+1）2D．a（a+1）（a﹣1）6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是（）A．32°B．68°C．60°D．58°7．如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面右图由6个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（）A．B．C．D．8．用弧长为8π的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面的半径是（）A．4πB．8πC．4D．89．甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买此种商品更合算（）A．甲B．乙C．同样D．与商品的价格有关10．如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y 与x的函数关系的是（）A．B．C．D．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是．12．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是．13．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是海里（结果保留根号）．14．分式方程的解为．15．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为．三、解答题（本大题共7个小题，共55分）16．先化简，再求值：，其中a＝﹣2．17．如图，直线l经过点A（3，0）和点B（0，2）．（1）求直线l的解析式；（2）直线l与函数y＝的图象交于点C（C在第二象限），若△COB的面积与△AOB 的面积相等，求出m的值．18．为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中共调查了多少名学生？（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补充频数分布直方图；（3）求户外活动时间的众数和中位数是多少？（4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？说明理由．19．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．（1）求证：△ABD∽△OBC；（2）若AB＝2，BC＝，求AD的长．20．某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？21．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，过点C作CF∥BD，交AB于点E，交AD于点F．（1）求证：△AEF≌△BEC；（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，如图2，求sin∠ACH 的值．22．已知：矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（6，0），C（0，3），直线y＝x与BC边交于D点．（1）求D点的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx经过A、D两点，求此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P．参考答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）1．﹣2的绝对值等于（）A．±2B．﹣2C．2D．4【分析】根据绝对值的性质：一个负数的绝对值是它的相反数解答即可．解：根据绝对值的性质，|﹣2|＝2．故选：C．【点评】此题主要考查了绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0，难度适中．2．下列各式运算正确的是（）A．a+a＝2a2B．a2•a3＝a6 C．a3÷a＝3D．（﹣a）3＝﹣a3【分析】直接利用合并同类项法则以及同底数幂的乘除运算法则、积的乘方运算法则分别化简得出答案．解：A、a+a＝2a，故原题计算错误；B、a2•a3＝a5，故原题计算错误；C、a3÷a＝a2，故原题计算错误；D、（﹣a）3＝﹣a3，故此原题计算正确；故选：D．【点评】此题主要考查了合并同类项以及同底数幂的乘除运算、积的乘方运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．世界文化遗产长城总长约为6700000m，6700000用科学记数法可表示为（）A．67×105B．0.67×107C．6.7×105D．6.7×106【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解：将6700000用科学记数法表示为6.7×106．故选：D．【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．4．下列图象中，能反映函数y随x增大而减小的是（）A．B．C．D．【分析】观察函数图象，根据函数图象的单调性，可以直接做出选择．解：A、根据图象可知，函数在实数范围内是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；B、根据图象可知，函数在对称轴的左边是减函数，函数y随x增大而减小；函数在对称轴的右边是增函数，即函数y随x增大而增大；故本选项错误；C、根据图象可知，函数在两个象限内是减函数，但是如果不说明哪个象限内是不能满足题意的；故本选项错误；D、根据图象可知，函数在实数范围内是减函数，即函数y随x增大而减小；故本选项正确．故选：D．【点评】本题综合考查了二次函数、一次函数、反比例函数以及正比例函数的图象．解答此题时，采用了“数形结合”的数学思想，使问题变得直观化了，降低了题的难度．5．把多项式a3﹣a分解因式，结果正确的是（）A．a（a2﹣1）B．a（a﹣1）2C．a（a+1）2D．a（a+1）（a﹣1）【分析】原式提取a，再利用平方差公式分解即可．解：原式＝a（a2﹣1）＝a（a+1）（a﹣1），故选：D．【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．6．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，如果∠1＝32°，那么∠2的度数是（）A．32°B．68°C．60°D．58°【分析】本题主要利用两直线平行，同位角相等及余角的定义作答．解：根据题意可知，∠2＝∠3，∵∠1+∠2＝90°，∴∠2＝90°﹣∠1＝58°．故选：D．【点评】主要考查了平行线的性质和互余的两个角的性质．互为余角的两角的和为90°．解此题的关键是能准确的从图中找出这两个角之间的数量关系，从而计算出结果．7．如果用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加，那么下面右图由6个立方体叠成的几何体，从正前方观察，可画出的平面图形是（）A．B．C．D．【分析】根据主视图是从正面看到的图形判定则可．注意用□表示1个立方体，用表示两个立方体叠加，用■表示三个立方体叠加．解：从正面看，左边两列都只有一个正方体，中间一列有三个正方体，右边一列是一个正方体．故选：B．【点评】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图．8．用弧长为8π的扇形做成一个圆锥的侧面，那么这个圆锥的底面的半径是（）A．4πB．8πC．4D．8【分析】圆锥侧面展开图的弧长＝底面周长，那么底面半径＝周长÷2π．解：∵弧长为8π，∴底面周长＝8π，则圆锥的底面的半径＝8π÷2π＝4，故选C．【点评】本题利用了圆的周长公式l＝2πr求解，关键是明白圆锥底面周长和侧面弧长的相等的关系．9．甲、乙两超市为了促销一种定价相同的商品，甲超市连续两次降价10%，乙超市一次性降价20%，在哪家超市购买此种商品更合算（）A．甲B．乙C．同样D．与商品的价格有关【分析】此题可设原价为x元，分别计算出两超市降价后的价钱，再比较即可．解：设原价为x元，则甲超市价格为x×（1﹣10%）×（1﹣10%）＝0.81x乙超市为x×（1﹣20%）＝0.8x，0.81x＞0.8x，所以在乙超市购买合算．故选：B．【点评】本题看起来很繁琐，但只要理清思路，分别计算降价后的价格是原价的百分之多少便可判断．渗透了转化思想．10．如下图，在平行四边形ABCD中，∠DAB＝60°，AB＝5，BC＝3，点P从起点D出发，沿DC、CB向终点B匀速运动．设点P所走过的路程为x，点P所经过的线段与线段AD、AP所围成图形的面积为y，y随x的变化而变化．在下列图象中，能正确反映y 与x的函数关系的是（）A．B．C．D．【分析】本题考查动点函数图象的问题，先求出函数关系式在判断选项．解：当点P在CD上运动时，y为三角形，面积为：×3×x＝x，为正比例函数；当点P在CB上运动时，y为梯形，面积为×（x﹣5+3）×＝，为一次函数．由于后面的面积的x的系数＞前面的x的系数，所以后面函数的图象应比前面函数图象要陡．故选：A．【点评】本题需注意的知识点是：两个在第一象限的一次函数，比例系数大的图象较陡．二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）11．在函数y＝中，自变量x的取值范围是x＞2．【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式计算即可得解．解：由题意得，x﹣2＞0，解得x＞2．故答案为：x＞2．【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．12．若在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率是．【分析】根据中心对称图形的定义得到平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，于是利用概率公式可计算出抽到的图形属于中心对称图形的概率．解：在“正三角形、平行四边形、菱形、正五边形、正六边形”这五种图形中，平行四边形、菱形和正六边形是中心对称图形，所以这五种图形中随机抽取一种图形，则抽到的图形属于中心对称图形的概率＝．故答案为：．【点评】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了中心对称图形．13．如图，一天，我国一渔政船航行到A处时，发现正东方向的我领海区域B处有一可疑渔船，正在以12海里/时的速度向西北方向航行，我渔政船立即沿北偏东60°方向航行，1.5小时后，在我航海区域的C处截获可疑渔船，问我渔政船的航行路程是18海里（结果保留根号）．【分析】作CD⊥AB于点D，垂足为D，首先在Rt△BCD中求得CD的长，然后在Rt △ACD中求得AC的长即可．解：作CD⊥AB于点D，垂足为D，在Rt△BCD中，∵BC＝12×1.5＝18（海里），∠CBD＝45°，∴CD＝BC•sin45°＝18×＝9（海里），则在Rt△ACD中，AC＝＝9×2＝18（海里）．故我渔政船航行了18海里．故答案为：18．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从实际问题中构造出直角三角形并利用三角函数的知识求解．14．分式方程的解为x＝6．【分析】首先方程两边同时乘以（x+4）（x﹣1）即可转化成整式方程，然后即可求得方程的解．解：方程两边同时乘以（x+4）（x﹣1）得：2（x﹣1）＝x+4，去括号得：2x﹣2＝x+4，解得：x＝6，检验：当x＝6时（x+4）（x﹣1）＝10×5＝50≠0，则x＝6是方程的解．故答案是：x＝6．【点评】本题考查了分式方程的解法，注意（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．15．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD 内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为2．【分析】由于点B与D关于AC对称，所以连接BD，与AC的交点即为F点．此时PD+PE ＝BE最小，而BE是等边△ABE的边，BE＝AB，由正方形ABCD的面积为12，可求出AB的长，从而得出结果．解：连接BD，与AC交于点F．∵点B与D关于AC对称，∴PD＝PB，∴PD+PE＝PB+PE＝BE最小．∵正方形ABCD的面积为12，∴AB＝2．又∵△ABE是等边三角形，∴BE＝AB＝2．故所求最小值为2．故答案为：2．【点评】此题主要考查轴对称﹣﹣最短路线问题，要灵活运用对称性解决此类问题．三、解答题（本大题共7个小题，共55分）16．先化简，再求值：，其中a＝﹣2．【分析】首先把括号里因式通分，然后进行约分化简，最后代值计算．解：原式＝•＝2a+4；当a＝﹣2时，原式＝．【点评】本题主要考查分式的化简求值这一知识点，把分式化到最简是解答的关键．17．如图，直线l经过点A（3，0）和点B（0，2）．（1）求直线l的解析式；（2）直线l与函数y＝的图象交于点C（C在第二象限），若△COB的面积与△AOB 的面积相等，求出m的值．【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式；（2）根据三角形面积公式得到C点和A点到OB的距离相等，则C点的横坐标为﹣3，利用一次函数解析式可确定C（﹣3，4），然后把C点坐标代入y＝中可求出m的值．解：（1）设直线l的解析式为y＝kx+b，把A（3，0）、点B（0，2）分别代入得，解得，∴一次函数解析式为y＝x+2；（2）∵△COB的面积与△AOB的面积相等，∴C点和A点到OB的距离相等，∴C点的横坐标为﹣3，当x＝﹣3时，y＝﹣x+2＝2+2＝4，∴C（﹣3，4），把C（﹣3，4）代入y＝得m＝﹣3×4＝﹣12．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．也考查了待定系数法求函数解析式．18．为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了解学生参加户外活动的情况，对部分学生参加户外活动的时间进行抽样调查，并将调查结果绘制作成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：（1）在这次调查中共调查了多少名学生？（2）求户外活动时间为1.5小时的人数，并补充频数分布直方图；（3）求户外活动时间的众数和中位数是多少？（4）本次调查中学生参加户外活动的平均时间是否符合要求？说明理由．【分析】（1）根据户外活动时间为0.5小时的人数和所占的百分比，即可求出这次调查中共调查的学生数；（2）用50乘以户外活动时间为1.5小时的人数所占的百分比即可求出人数，再补全统计图即可；（3）根据众数的定义求出出现的次数最多的数，根据中位数的定义求出第25、26个数的平均数即可；（4）根据加权平均数的计算公式列式，求出本次调查中学生参加户外活动的平均时间，再与1小时比较即可．解：（1）根据题意得：＝50（名），答：在这次调查中共调查了50名学生；（2）户外活动时间为1.5小时的人数是：50×24%＝12（人），（3）∵1小时出现的次数最多，∴众数是1；∵共有50个数，∴中位数是第25、26个数的平均数，∴中位数是：（1+1）÷2＝1；（4）∵本次调查中学生参加户外活动的平均时间是：＝1.18＞1，∴本次调查中学生参加户外活动的平均时间符合要求．【点评】此题考查了频数分布直方图，用到的知识点是平均数、中位数、众数，将一组数据从小到大依次排列，把中间数据（或中间两数据的平均数）叫做中位数．频率＝频数÷总数，一组数据中出现次数最多的数是众数．19．如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥CO．（1）求证：△ABD∽△OBC；（2）若AB＝2，BC＝，求AD的长．【分析】（1）根据AB为圆O的直径，根据圆周角定理得到∠D为90°，又BC为圆O 的切线，根据切线性质得到∠CBO＝90°，进而得到这两个角相等，又AD∥CO，根据两直线平行，得到一对同位角相等，从而利用两角对应相等的两三角形相似即可得证；（2）根据勾股定理求得OC＝，由（1）得到的相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例得出＝，即AD＝，求出AD的长．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠90°，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝∠90°，∵AD∥CO，∴∠A＝∠COB，在△ABD和△OBC中∵∠ADB＝∠OBC，∠A＝∠COB，∴△ABD∽△OCB；（2）由（1）知，△ABD∽△OCB，∴＝，即AD＝，∵AB＝2，BC＝，∴OB＝1，∴OC＝＝，∴AD＝＝．【点评】此题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理以及相似三角形的判定与性质．对于第一问这样的几何证明题，要求学生多观察，多分析，根据题意选择合适的判定方法；第二问的突破点在于利用勾股定理表示出OC，借助第一问的相似得比例．20．某公司为一工厂代销一种建筑材料（这里的代销是指厂家先免费提供货源，待货物售出后再进行结算，未售出的由厂家负责处理）．当每吨售价为260元时，月销售量为45吨．该经销店为提高经营利润，准备采取降价的方式进行促销．经市场调查发现：当每吨售价每下降10元时，月销售量就会增加7.5吨．综合考虑各种因素，每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用100元．设每吨材料售价为x（元），该经销店的月利润为y（元）．（1）当每吨售价是240元时，计算此时的月销售量；（2）求出y与x的函数关系式（不要求写出x的取值范围）；（3）该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨多少元？【分析】（1）由题意得出售价下降了20元，则可求出此时的月销售量；（2）月利润＝（每吨售价﹣每吨其它费用）×销售量，从而可得出y与x的函数关系式；（3）根据（2）的关系式，利用配方法可求出售价．解：（1）售价降低了260﹣240＝20元，故月销量＝45+×7.5＝60（吨）．（2）每吨的利润为（x﹣100）吨，销量为：（45+×7.5），则y＝（x﹣100）（45+×7.5）＝﹣x2+315x﹣24000．（3）y＝﹣x2+315x﹣24000＝﹣（x﹣210）2+9075，故该经销店要获得最大月利润，材料的售价应定为每吨210元．答：该经销店要获得最大月利润，售价应定为每吨210元．【点评】本题考查了二次函数在应用，为数学建模题，要把实际问题转化为二次函数，利用函数的知识求解，难度一般．21．如图1，△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形，过点C作CF∥BD，交AB于点E，交AD于点F．（1）求证：△AEF≌△BEC；（2）如图2，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，HK为折痕，如图2，求sin∠ACH 的值．【分析】（1）由已知可得∠ABC＝60°，从而推得∠BAD＝∠ABC＝60°．由E为AB 的中点，得到AE＝BE．又因为∠AEF＝∠BEC，所以△AEF≌△BEC；（2）在Rt△ABC中，设BC＝a，则AB＝2BC＝2a，AD＝AB＝2a．设AH＝x，则HC ＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x．在Rt△ABC中，由勾股定理得AC2＝3a2．在Rt△ACH中，由勾股定理得AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2．解得x＝a，即AH＝a，求得HC的值后，即可求解．【解答】（1）证明：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，∴∠ABC＝60°．在等边△ABD中，∠BAD＝60°，∴∠BAD＝∠ABC＝60°．∵E为AB的中点，∴AE＝BE，在△AEF和△BEC中，，∴△AEF≌△BEC（ASA）；（2）∵∠BAD＝60°，∠CAB＝30°，∴∠CAH＝90°．在Rt△ABC中，∠CAB＝30°，设BC＝a，∴AB＝2BC＝2a，∴AD＝AB＝2a，设AH＝x，则HC＝HD＝AD﹣AH＝2a﹣x，在Rt△ABC中，AC2＝（2a）2﹣a2＝3a2，AC＝a，在Rt△ACH中，AH2+AC2＝HC2，即x2+3a2＝（2a﹣x）2，解得x＝a，即AH＝a，∴HC＝2a﹣x＝2a﹣a＝a，∴sin∠ACH＝＝．【点评】本题考查了折叠的性质，全等三角形的性质和判定，等边三角形性质，含30度角的直角三角形性质，勾股定理，平行线的性质和判定等知识点的应用，注意：折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．22．已知：矩形OABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，A（6，0），C（0，3），直线y＝x与BC边交于D点．（1）求D点的坐标；（2）若抛物线y＝ax2+bx经过A、D两点，求此抛物线的表达式；（3）设（2）中的抛物线的对称轴与直线OD交于点M，点P是对称轴上一动点，以P、O、M为顶点的三角形与△OCD相似，求出符合条件的点P．【分析】（1）已知直线y＝x与BC交于点D（x，3），把y＝3代入等式可得点D的坐标；（2）如图抛物线y＝ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把已知坐标代入解析式得出a，b的值即可；（3）证明Rt△P1OM∽Rt△CDO以及Rt△P2P1O≌Rt△DCO后推出CD＝P1P2＝4得出符合条件的坐标．解：（1）由题知，直线y＝x与BC交于点D（x，3）．（1分）把y＝3代入y＝x中得，x＝4，∴D（4，3）；（2）抛物线y＝ax2+bx经过D（4，3）、A（6，0）两点，把x＝4，y＝3；x＝6，y＝0，分别代入y＝ax2+bx中，得解之得∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+x；（3）抛物线的对称轴与x轴交于点P1，符合条件．∵CB∥OA，∴∠P1OM＝∠CDO，∵∠DCO＝∠OP1M＝90°，∴Rt△P1OM∽Rt△CDO．∵x＝﹣＝3，∴该点坐标为P1（3，0）．过点O作OD的垂线交抛物线的对称轴于点P2，∵对称轴平行于y轴，∴∠P2MO＝∠DOC，∴Rt△P2MO∽Rt△DCO．在Rt△P2P1O和Rt△DCO中P1O＝CO＝3，∠P2＝∠ODC，∴Rt△P2P1O≌Rt△DCO．∴CD＝P1P2＝4，∵点P2位于第四象限，∴P2（3，﹣4）．因此，符合条件的点有两个，分别是P1（3，0），P2（3，﹣4）．【点评】此题考查函数性质与坐标关系，最后一问探究点的存在性问题，几何图形形式问题和直角三角形性质，综合性比较强，难度较大．。

2020年陕西省宝鸡市岐山县中考数学一模试卷一、选择题1．﹣7的绝对值是（）A．7B．﹣7C．D．﹣2．把如图所示的几何体组合中的A正方体放到B正方体的上面，则下列说法正确的是（）A．主视图不变B．俯视图不变C．左视图不变D．三种视图都不变3．如图，DE与△ABC的底边AB平行，OF是∠COE的角平分线，若∠B＝62°，则∠1的度数为（）A．54°B．59°C．62°D．64°4．已知函数y＝kx（k≠0）的图象经过A（2，﹣3），则k＝（）A．B．C．D．5．下列运算正确的是（）A．a4•a2＝a8B．﹣a2＝C．﹣a2+2a2＝a2D．（x2）3＝x5 6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AF⊥BC，∠ADE＝30°，2DE＝BC，BF＝3，则DF的长为（）A．4B．2C．3D．37．在平面直角坐标系中，函数y＝2kx（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝2kx﹣3+2k的图象大致是（）A．B．C．D．8．如图，AB，BC为⊙O中异于直径的两条弦，OA交BC于点D，若∠AOC＝50°，∠C ＝35°，则∠A的度数为（）A．35°B．50°C．60°D．70°9．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△ABF的面积为2，则四边CDEF的面积为（）A．4B．5C．6D．710．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x ≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x≤3内的函数最大值为（）A．10B．17C．5D．2二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．最接近的整数是．12．如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAD的度数为．13．如图，在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与正方形ABEC交于E，F 两点，且A，C两点在x轴上，点E的坐标为（2，4），则点F的坐标为．14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P为AD的中点，F 是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：（）﹣1﹣×+（π﹣3.14）0+cos60°．16．化简：（1﹣）÷．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，请用尺规作图法，作△ABC绕点A逆时针旋转45°后的△AB1C1．（不写作法，保留作图痕迹）18．如图，在△ABC中，F为BC边上一点，过点F作FD∥AC，且FD＝AC，延长BC 至点E，使BF＝CE，连接DE．求证：AB∥DE．19．某校为了解该校初三学生居家学习期间参加“网络自习室”自主学习的情况，随机抽查了部分学生在两周内参加“网络自习室”自主学习的天数，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题．（1）补全条形统计图．（2）部分学生在两周内参加“网络自习室”自主学习天数的众数为，中位数为．（3）如果该校初三年级约有1500名学生，请你估计在这两周内全校初三年级可能有多少名学生参加“网络自习室”自主学习的天数不少于7天．20．如图1所示的是宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”，它由国际2.0不锈钢板整体锻造，表面涂有仿古金色漆，以仿青铜纹饰雕刻的柱体四盏灯分4层布置．一天上午，数学兴趣小组的同学们带着测量工具来测量“天下第一灯”的高度，由于有围栏保护，他们无法到达灯的底部O，他们制定了一种测量方案，图2所示的是他们测量方案的示意图，先在周围的广场上选择一点A，并在点A处安装了测量器AB，在点B处测得该灯的顶点P的仰角为60°；再在OA的延长线上确定一点C，使AC＝15米，在点D处测得该灯的顶点P的仰角为45°．若测量过程中测量器的高度始终为1.6米，求“天下第一灯”的高度．（≈1.414，≈1.732，最后结果取整数）21．陕西省相关文件规定，西安市实行居民阶梯水价制度，对居民用水的基本水价实行1：1.5：3三级价差，各阶梯水价均为用户终端水价，具体如下：第一阶梯：年用水量162m3及以下，终端水价为3.80元/m3．第二阶梯：年用水量162m3一275m3（含），终端水价为4.65元/m3．第三阶梯：年用水量275m3以上，终端水价为7.18元/m3．城区居民阶梯水价计量结算周期以年为单位，年用水量累计达到各阶梯水量上限后，超出部分执行下一阶梯水价；年度周期之间水量不结转，不累计．设某户居民2019年的年用水量为x（m3），应缴水费为y（元）．（1）写出该户居民2019年的年用水量为162m3一275m3（含）的y与x之间的函数表达式．（2）若该户居民2019年的应缴水费为1320.55元，则该户居民2019年的年用水量为多少．22．现有四个外观与质地完全相同的小球，小球上分别标有数字3，4，5，6．将四个小球放置于不透明的盒子中，摇匀后，甲从中随机抽取一个小球，记录数字后放回摇匀，乙再随机抽取一个．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率．（2）若两人抽取的数字和为3的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜，否则为平局．这个游戏公平吗？请用所学的概率的知识加以解释．23．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此拋物线的解析式．（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．当∠MBA＝∠BDE时，求点M 的坐标．25．【问题发现】如图1，半圆O的直径AB＝10，P是半圆O上的一个动点，则△PAB面积的最大值是．【问题解决】如图2所示的是某街心花园的一角．在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA ＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在上．现准备沿CE，DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE 内种花，在剩余区域种草．①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．问：在上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，请求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．参考答案一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑）1．﹣7的绝对值是（）A．7B．﹣7C．D．﹣【分析】根据绝对值的性质解答，当a是负有理数时，a的绝对值是它的相反数﹣a．解：|﹣7|＝7．故选：A．2．把如图所示的几何体组合中的A正方体放到B正方体的上面，则下列说法正确的是（）A．主视图不变B．俯视图不变C．左视图不变D．三种视图都不变【分析】根据三视图的定义，可得答案．解：主视图由原来的三列变成两列，故选项A错误；俯视图由原来的三列变成两列，故选项B错误；左视图没有变化，依然是两列，左边的一列有3个小正方形，右边的一列有一个小正方形，故选项C正确．故选：C．3．如图，DE与△ABC的底边AB平行，OF是∠COE的角平分线，若∠B＝62°，则∠1的度数为（）A．54°B．59°C．62°D．64°【分析】根据两直线平行，同位角相等可得∠B＝∠COD＝62°，再利用角平分线的定义可得∠1＝∠COE，即可得解．解：∵DE与△ABC的底边AB平行，∴∠B＝∠COD＝62°，∴∠COE＝180°﹣∠COD＝118°，∵OF是∠COE的角平分线，∴∠1＝∠COE＝59°；故选：B．4．已知函数y＝kx（k≠0）的图象经过A（2，﹣3），则k＝（）A．B．C．D．【分析】因为正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣3），所以2k＝﹣3，解之即可解决问题．解：∵正比例函数y＝kx的图象经过点（2，﹣3），∴k＝﹣，∴该正比例函数的解析式为：y＝﹣x．故选：C．5．下列运算正确的是（）A．a4•a2＝a8B．﹣a2＝C．﹣a2+2a2＝a2D．（x2）3＝x5【分析】分别根据同底数幂的乘法法则，幂的乘方的定义，合并同类项法则以及幂的乘方的运算法则逐一判断即可．解：A．a4•a2＝a6，故本选项不合题意；B．﹣a2＝，运算错误，故本选项不合题意；C．﹣a2+2a2＝a2，运算正确；D．（x2）3＝x6，故本选项不合题意；故选：C．6．如图，在△ABC中，DE∥BC，AF⊥BC，∠ADE＝30°，2DE＝BC，BF＝3，则DF的长为（）A．4B．2C．3D．3【分析】根据平行线的性质求出∠B，根据余弦的定义求出AB，根据相似三角形的性质得到点D是AB的中点，根据直角三角形的性质解答即可．解：∵DE∥BC，∴∠B＝∠ADE＝30°，∵AF⊥BC，∴∠AFB＝90°，∴AB＝＝6，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∴点D是AB的中点，在Rt△AFB中，点D是AB的中点，∴DF＝AB＝3，故选：D．7．在平面直角坐标系中，函数y＝2kx（k≠0）的图象如图所示，则函数y＝2kx﹣3+2k的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据正比例函数图象可得2k＜0，然后再判断出﹣3+2k＜0，然后可得一次函数图象经过的象限，从而可得答案．解：根据图象可得：2k＜0，∴﹣3+2k＜0，∴函数y＝2kx﹣3+2k的图象是经过第二、三、四象限的直线，故选：C．8．如图，AB，BC为⊙O中异于直径的两条弦，OA交BC于点D，若∠AOC＝50°，∠C ＝35°，则∠A的度数为（）A．35°B．50°C．60°D．70°【分析】先根据三角形外角性质得出∠ADC度数，再由同弧所对圆周角等于圆心角的一半得出∠B度数，继而再次利用三角形外角的性质可得答案．解：∵∠C＝35°，∠AOC＝50°，∴∠ADC＝85°，∠B＝∠AOC＝25°，∴∠A＝∠ADC﹣∠B＝85°﹣25°＝60°，故选：C．9．如图，E是矩形ABCD中AD边的中点，BE交AC于点F，△ABF的面积为2，则四边CDEF的面积为（）A．4B．5C．6D．7【分析】利用矩形的性质得到AD∥BC，BC＝AD，再证明△AEF∽△CBF得到＝＝＝，则利用三角形面积公式得到S△BCF＝2S△ABF＝4，S△AEF＝S△ABF＝1，然后利用△ADC的面积减去△AEF的面积得到四边CDEF的面积．解：∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，BC＝AD，∵E是矩形ABCD中AD边的中点，∴BC＝AD＝2AE，∵AE∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝＝，∴S△BCF＝2S△ABF＝2×2＝4，S△AEF＝S△ABF＝×2＝1，∴四边CDEF的面积＝2+4﹣1＝5．故选：B．10．已知抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0）．当x≥3时，y随x的增大而增大；当﹣2≤x ≤0时，y的最大值为10．那么与抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1关于y轴对称的抛物线在﹣2≤x≤3内的函数最大值为（）A．10B．17C．5D．2【分析】根据题意得出a＞0，且x≤1时，y随x的增大而减小，当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．即当x＝﹣2时，y＝a2+8a+1＝10，求得a＝1，得到抛物线解析式为y＝x2﹣2x+2，根据关于y轴对称的特征得到关于y轴对称的抛物线为y＝（x+1）2+1，即可得到在﹣2≤x≤3内，当x＝3时取最大值，从而求得函数在此范围内的最大值为17．解：∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a2+1（a≠0），∴对称轴为直线x＝﹣＝1，∵当x≥3时，y随x的增大而增大，∴a＞0，且x≤1时，y随x的增大而减小，∵当﹣2≤x≤0时，y的最大值为10．，∴当x＝﹣2时，y＝a2+8a+1＝10，∴a＝1或a＝﹣9（舍去），∴抛物线为y＝x2﹣2x+2，∵y＝x2﹣2x+2＝（x﹣1）2+1，∴此抛物线关于y轴的对称的抛物线为y＝（x+1）2+1，∴函数y＝（x+1）2+1，∴抛物线y＝（x+1）2+1在﹣2≤x≤3内，当x＝3时取最大值，即y＝17，故选：B．二、填空题（共4小题，每小题3分，计12分）11．最接近的整数是2．【分析】通过估算得出所求即可．解：∵4＜5＜9，∴2＜＜3，则最接近是2，故答案为：2．12．如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAD的度数为30°．【分析】根据多边形的内角和公式即可求出每个内角的度数，进而得出∠BAD的度数；再根据等腰三角形的性质即可得出∠BAC的度数，再根据角的和差关系计算即可．解：正六边形的每个内角为：，∴，∵六边形是轴对称图形，∴，∴∠CAD＝∠BAD﹣∠BAC＝30°．故答案为：30°．13．如图，在同一平面直角坐标系中，若一个反比例函数的图象与正方形ABEC交于E，F 两点，且A，C两点在x轴上，点E的坐标为（2，4），则点F的坐标为（6，）．【分析】根据待定系数法即可求得反比例函数的解析式，结合正方形的性质，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出点F的坐标．解：设反比例函数的解析式为y＝，∵反比例函数的图象经过点E（2，4），∴k＝2×4＝8，∵正方形ABEC中，AC＝EC，∴A（6，0），∴F点的横坐标为6，把x＝6代入y＝得y＝，∴F（6，），故答案为（6，）．14．如图，在平行四边形ABCD中，AB＝10，AD＝16，∠A＝60°，P为AD的中点，F 是边AB上不与点A，B重合的一个动点，将△APF沿PF折叠，得到△A'PF，连接BA'，则△BA'F周长的最小值为2+2．【分析】△BFA′的周长＝FA′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′，推出当BA′的周长最小时，△BFA′的周长最小，由此即可解决问题．解：如图，作BH⊥AD于H，连接BP．∵PA＝8，AH＝5，∴PH＝8﹣5＝3，∵BH＝5，∴PB＝＝＝2，由翻折可知：PA＝PA′＝8，FA＝FA′，∴△BFA′的周长＝FA′+BF+BA′＝AF+BF+BA′＝AB+BA′＝10+BA′，∴当BA′的周长最小时，△BFA′的周长最小，∵BA′≥PB﹣PA′，∴BA′≥2﹣8，∴BA′的最小值为2﹣8，∴△BFA′的周长的最小值为10+2﹣8＝2+2．故答案为：2+2．三、解答题（共11小题，计78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）15．计算：（）﹣1﹣×+（π﹣3.14）0+cos60°．【分析】直接利用负整数指数幂的性质以及二次根式的性质和零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案．解：原式＝2﹣2×+1+＝2﹣4+1+＝﹣．16．化简：（1﹣）÷．【分析】根据分式的减法和除法可以解答本题．解：（1﹣）÷＝＝＝a．17．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，请用尺规作图法，作△ABC绕点A逆时针旋转45°后的△AB1C1．（不写作法，保留作图痕迹）【分析】先作∠BAC的平分线，在平分线上截取AB1＝AB，分别以A，B1为圆心，AC，BC的长为半径画弧，两弧交于点C1，连接AC1，B1C1，则△AB1C1即为△ABC绕点A 逆时针旋转45°后的图形．解：如图，△AB1C1即为所求．18．如图，在△ABC中，F为BC边上一点，过点F作FD∥AC，且FD＝AC，延长BC 至点E，使BF＝CE，连接DE．求证：AB∥DE．【分析】根据全等三角形的判定定理SAS证得△ABC≌△DEF；然后由全等三角形的对应角相等证得该结论．【解答】证明：∵AC∥FD，∴∠ACB＝∠DFE，又∵CE＝FB，∴CE+EB＝FB+EB，即CB＝FE；∵AC＝FD，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠B＝∠E，∴AB∥DE．19．某校为了解该校初三学生居家学习期间参加“网络自习室”自主学习的情况，随机抽查了部分学生在两周内参加“网络自习室”自主学习的天数，并用得到的数据绘制了如图两幅不完整的统计图．请根据图中提供的信息，回答下列问题．（1）补全条形统计图．（2）部分学生在两周内参加“网络自习室”自主学习天数的众数为5天，中位数为6天．（3）如果该校初三年级约有1500名学生，请你估计在这两周内全校初三年级可能有多少名学生参加“网络自习室”自主学习的天数不少于7天．【分析】（1）根据学习9天和9天以上的人数和所占的百分比可以求得本次抽查的人数，然后根据条形统计图中的数据，即可计算出学习8天的学生人数，从而可以将条形统计图补充完整；（2）根据条形统计图中的数据，可以得到众数和中位数；（3）根据统计图中的数据，可以计算出在这两周内全校初三年级可能有多少名学生参加“网络自习室”自主学习的天数不少于7天．解：（1）本次抽查的人数为：3÷5%＝60，学习8天的学生有：60﹣24﹣12﹣15﹣3＝6（人），补全的条形统计图，如右图所示；（2）由条形统计图可得，部分学生在两周内参加“网络自习室”自主学习天数的众数为5天，中位数为6天，故答案为：5天，6天；（3）1500×＝600（名），答：在这两周内全校初三年级可能有600名学生参加“网络自习室”自主学习的天数不少于7天．20．如图1所示的是宝鸡市文化景观标志“天下第一灯”，它由国际2.0不锈钢板整体锻造，表面涂有仿古金色漆，以仿青铜纹饰雕刻的柱体四盏灯分4层布置．一天上午，数学兴趣小组的同学们带着测量工具来测量“天下第一灯”的高度，由于有围栏保护，他们无法到达灯的底部O，他们制定了一种测量方案，图2所示的是他们测量方案的示意图，先在周围的广场上选择一点A，并在点A处安装了测量器AB，在点B处测得该灯的顶点P的仰角为60°；再在OA的延长线上确定一点C，使AC＝15米，在点D处测得该灯的顶点P的仰角为45°．若测量过程中测量器的高度始终为1.6米，求“天下第一灯”的高度．（≈1.414，≈1.732，最后结果取整数）【分析】此题求的是线段OP的长度，所以根据图示，需要先求得OO′、O′P的长度；通过解直角△PO′B得到O′B＝O′P；通过解直角△PO′D得到O′D＝O′P，所以BD＝O′D﹣O′B＝（1﹣）O′P＝15米，由此求得线段O′P的长度．解：根据题意，得BD⊥OP于点O′，∠PBO′＝60°，∠PDO′＝45°，BD＝AC＝15米，OO′＝AB＝1.6米．在直角△PO′B中，∠PO′B＝90°，∠PBO′＝60°，∴O′B＝O′P．在直角△PO′D中，∠PO′D＝90°，∠PDO′＝45°，∴O′D＝O′P．∴BD＝O′D﹣O′B＝（1﹣）O′P＝15米，∴O′P＝≈35.49（米）．∴OP＝OO′+O′P＝37.09米≈37米．答：“天下第一灯”的高度约为37米．21．陕西省相关文件规定，西安市实行居民阶梯水价制度，对居民用水的基本水价实行1：1.5：3三级价差，各阶梯水价均为用户终端水价，具体如下：第一阶梯：年用水量162m3及以下，终端水价为3.80元/m3．第二阶梯：年用水量162m3一275m3（含），终端水价为4.65元/m3．第三阶梯：年用水量275m3以上，终端水价为7.18元/m3．城区居民阶梯水价计量结算周期以年为单位，年用水量累计达到各阶梯水量上限后，超出部分执行下一阶梯水价；年度周期之间水量不结转，不累计．设某户居民2019年的年用水量为x（m3），应缴水费为y（元）．（1）写出该户居民2019年的年用水量为162m3一275m3（含）的y与x之间的函数表达式．（2）若该户居民2019年的应缴水费为1320.55元，则该户居民2019年的年用水量为多少．【分析】（1）根据题意即可得出该户居民2019年的年用水量为162m3一275m3（含）的y与x之间的函数表达式；（2）根据（1）的结论，结合自变量的范围分情况讨论解答即可．解：（1）由题意得：y＝3.80×162+4.65（x﹣162），即y＝4.65x﹣137.7；（2）由（1）知，当162≤x≤275时，y＝4.65x﹣137.7，∴当x＝275时，y＝1141.05，∵y＝1141.05＜1320.55，∴该户居民2019年的年用水量在275m3以上，终端水价为7.18元/m3．∵当x＞275时，y＝1141.05+7.18（x﹣275），即y＝7.18x﹣833.45，∴7.18x﹣833.45＝1320.55，解得x＝300．答：该户居民2019年的年用水量为300m3．22．现有四个外观与质地完全相同的小球，小球上分别标有数字3，4，5，6．将四个小球放置于不透明的盒子中，摇匀后，甲从中随机抽取一个小球，记录数字后放回摇匀，乙再随机抽取一个．（1）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取相同数字的概率．（2）若两人抽取的数字和为3的倍数，则甲获胜；若抽取的数字和为5的倍数，则乙获胜，否则为平局．这个游戏公平吗？请用所学的概率的知识加以解释．【分析】（1）列表得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得；（2）先找到数字和为3的倍数和5的倍数的结果数，再根据概率公式计算，比较大小即可得出答案．解：（1）列表如下：3456 3（3，3）（4，3）（5，3）（6，3）4（3，4）（4，4）（5，4）（6，4）5（3，5）（4，5）（5，5）（6，5）6（3，6）（4，6）（5，6）（6，6）由表可知共有16种等可能结果，其中两人抽取相同数字的有4种结果，所以两人抽取相同数字的概率为＝；（2）不公平，从上表中可以看出，两人抽取数字和为3的倍数的结果有6种，两人抽取数字和为5的倍数的结果有3种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，∵＞，∴甲获胜的概率大，游戏不公平．23．如图，⊙O与Rt△ABF的边BF，AF分别交于点C，D，连接AC，CD，∠BAF＝90°，点E在CF上，且∠DEC＝∠BAC．（1）试判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由．（2）若AB＝AC，CE＝4，EF＝6，求⊙O的直径．【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BD⊥DE，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到∠F＝∠EDF，根据等腰三角形的性质得到DE＝EF＝3，根据勾股定理得到CD，根据相似三角形的性质即可得到结论．解：（1）如图，连接BD，∵∠BAD＝90°，∴点O必在BD上，即：BD是直径，∴∠BCD＝90°，∴∠DEC+∠CDE＝90°，∵∠DEC＝∠BAC，∴∠BAC+∠CDE＝90°，∵∠BAC＝∠BDC，∴∠BDC+∠CDE＝90°，∴∠BDE＝90°，即：BD⊥DE，∵点D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线；（2）∵∠BAF＝∠BDE＝90°，∴∠F+∠ABC＝∠FDE+∠ADB＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠F＝∠EDF，∴DE＝EF＝6，∵CE＝4，∠BCD＝90°，∴∠DCE＝90°，∴CD＝＝2，∵∠BDE＝90°，CD⊥BE，∴△CDE∽△CBD，∴＝，∴BD＝＝3，∴⊙O的直径＝3．24．如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．（1）求此拋物线的解析式．（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m．当∠MBA＝∠BDE时，求点M 的坐标．【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；（2）根据tan∠MBA＝＝，tan∠BDE＝，由∠MBA＝∠BDE，构建方程即可解决问题．解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c，得到，解得，∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3．∵y＝﹣x2+2x﹣1+1+3＝﹣（x﹣1）2+4，∴顶点D坐标（1，4）．（2）作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m，∴tan∠MBA＝＝，∵DE⊥x轴，D（1，4），∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1，∵B（3，0），∴BE＝2，∴tan∠BDE＝，∵∠MBA＝∠BDE，∴，当点M在x轴上方时，，解得m＝﹣或3（舍去），∴M（﹣，），当点M在x轴下方时，，解得m＝﹣或m＝3（舍去），∴点M（﹣，﹣），综上所述，满足条件的点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）．25．【问题发现】如图1，半圆O的直径AB＝10，P是半圆O上的一个动点，则△PAB面积的最大值是25．【问题解决】如图2所示的是某街心花园的一角．在扇形OAB中，∠AOB＝90°，OA ＝12米，在围墙OA和OB上分别有两个入口C和D，且AC＝4米，D是OB的中点，出口E在上．现准备沿CE，DE从入口到出口铺设两条景观小路，在四边形CODE 内种花，在剩余区域种草．①出口E设在距直线OB多远处可以使四边形CODE的面积最大？最大面积是多少？（小路宽度不计）②已知铺设小路CE所用的普通石材每米的造价是200元，铺设小路DE所用的景观石材每米的造价是400元．问：在上是否存在点E，使铺设小路CE和DE的总造价最低？若存在，请求出最低总造价和出口E距直线OB的距离；若不存在，请说明理由．【分析】【问题发现】如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O＝r＝5，求出此时△P'AB的面积即可；【问题解决】①作OG⊥CD，垂足为G，延长OG交弧AB于点E′，则此时△CDE的面积最大，可求出其值；作E′H⊥OB，垂足为H，证△COD∽△OHE'，即可求出E′H的长，即可写出结论；②铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE＝200（CE+2DE），连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ，推出QE＝2DE，所以CE+2DE＝CE+QE，问题转化为求CE+QE的最小值，连接CQ，交弧AB于点E′，此时CE+QE取得最小值为CQ，可求出CQ的长度及总造价最小值；作E′H⊥OB，垂足为H，连接OE′，设E′H＝x，则QH＝3x，由勾股定理可求出x的值，即出口E距直线OB的距离．解：【问题发现】如图1，点P运动至半圆O的中点时，底边AB上的高最大，即P'O ＝r＝5，此时△PAB的面积最大值∴S△P'AB＝×10×5＝25，故答案为：25；【问题解决】①如图2﹣1，作OG⊥CD，垂足为G，延长OG交弧AB于点E′，则此时△CDE的面积最大．∵OA＝OB＝12，AC＝4，点D为OB的中点，∴OC＝8，OD＝6，在Rt△COD中，CD＝10，OG＝4.8，∴GE′＝12﹣4.8＝7.2，∴四边形CODE面积的最大值为S△CDO+S△CDE′＝×6×8+×10×7.2＝60；作E′H⊥OB，垂足为H，∵∠E'OH+∠OE'H＝90°，∠E'OH+∠ODC＝90°，∴∠OE'H＝∠ODC，又∵∠COD＝∠E'HO＝90°，∴△COD∽△OHE'，∴，∴，∴E′H＝7.2；∴出口E设在距直线OB的7.2米处可以使四边形CODE的面积最大为60平方米；②铺设小路CE和DE的总造价为200CE+400DE＝200（CE+2DE），如图2﹣2，连接OE，延长OB到点Q，使BQ＝OB＝12，连接EQ，在△EOD与△QOE中，∠EOD＝∠QOE，∴，∴△EOD∽△QOE，故QE＝2DE，∴CE+2DE＝CE+QE，问题转化为求CE+QE的最小值，连接CQ，交弧AB于点E′，此时CE+QE取得最小值为CQ，在Rt△COQ中，CO＝8，OQ＝24，∴CQ＝8，故总造价的最小值为1600，作E′H⊥OB，垂足为H，连接OE′，设E′H＝x，则QH＝3x，∵在Rt△E′OH中，OH2+HE'2＝OE'2，∴（24﹣3x）2+x2＝122，解得，x1＝，x2＝（舍去），∴总造价的最小值为1600元，出口E距直线OB的距离为．。

2020年浙江省杭州市中考数学一模试卷一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．（3分）﹣2的绝对值是（ ） A ．﹣2 B ．2C ．12D ．−122．（3分）下列计算正确的是（ ）A ．m 4+m 3＝m 7B ．（m 4） 3＝m 7C ．2m 5÷m 3＝m 2D ．m （m ﹣1）＝m 2﹣m3．（3分）如图，P 为⊙O 外一点，PC 切⊙O 于C ，PB 与⊙O 交于A 、B 两点．若P A ＝1，PB ＝5，则PC ＝（ ）A ．3B ．√5C ．4D ．无法确定 4．（3分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小敏随机调查了15名同学，结果如表：每天用零花钱（单位：元） 12345人数2 4 53 1则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）A ．3，3B ．5，2C ．3，2D ．3，55．（3分）某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x 天完成，则可列方程为（ ）A ．x+1525+1530=1 B ．x+1530+1525=1 C ．1530+x−1525=1D ．x−1530+1525=16．（3分）如图，已知一组平行线a ∥b ∥c ，被直线m 、n 所截，交点分别为A 、B 、C 和D 、E 、F ，且AB ＝3，BC ＝4，EF ＝4.8，则DE ＝（ ）A ．7.2B ．6.4C ．3.6D ．2.47．（3分）如图，BD 是△ABC 的角平分线，AE ⊥BD ，垂足为F ．若∠ABC ＝36°，∠C ＝44°，则∠EAC 的度数为（ ）A ．18°B ．28°C ．36°D ．38°8．（3分）直线l 1：y ＝kx +b 与直线l 2：y ＝bx +k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．9．（3分）关于x 的二次函数y ＝x 2+2kx +k ﹣1，下列说法正确的是（ ） A ．对任意实数k ，函数图象与x 轴都没有交点B ．对任意实数k ，函数图象没有唯一的定点C ．对任意实数k ，函数图象的顶点在抛物线y ＝﹣x 2﹣x ﹣1上运动D ．对任意实数k ，当x ≥﹣k ﹣1时，函数y 的值都随x 的增大而增大10．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，∠ADC ＝3∠BAD ，BD ＝4，DC ＝3．则AB 的值为（ ）A ．5+3√2B ．2+2√15C ．7√2D ．√113二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分 11．（4分）分解因式：3x 2+6xy +3y 2＝ ．12．（4分）一个袋子中有1个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球颜色不同的概率为 ． 13．（4分）分式方程2x−1=1x的解是 ． 14．（4分）已知一个扇形的面积为12πcm 2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为 ．15．（4分）已知关于x 的不等式组{5x −a ＞3(x −1)2x −1≤7的所有整数解的和为7，则a 的取值范围是 ．16．（4分）一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，则CD 的长为 ． 三、解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（6分）先化简再求值：（ab−b a）•aba+b，其中a ＝1，b ＝2． 18．（8分）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成统计图（不完整）．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有人，男生最喜欢“乒乓球“项目的有人．（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生450人，女生400人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．19．（8分）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°．（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE=3，求AE的长．420．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6√2，AF＝4√2，求AE的长．21．（10分）已知Rt△ABC的斜边AB在平面直角坐标系的x轴上，点C（2，6）在反比例函数y1=k x的图象上，且sin∠BAC= 35（1）求k的值和边AC的长；（2）求点B的坐标；交于M与N点，求出x为何值时，y2≥y1．（3）有一直线y2＝kx+10与y1=kx22．（12分）已知一次函数y1＝2x+b的图象与二次函数y2＝a（x2+bx+1）（a≠0，a、b为常数）的图象交于A、B两点，且A 的坐标为（0，1）．（1）求出a、b的值，并写出y1，y2的表达式；（2）验证点B的坐标为（1，3），并写出当y1≥y2时，x的取值范围；（3）设u＝y1+y2，v＝y1﹣y2，若m≤x≤n时，u随着x的增大而增大，且v也随着x的增大而增大，求m的最小值和n的最大值．23．（12分）在△ABC 和△DBE 中，CA ＝CB ，EB ＝ED ，点D 在AC 上．（1）如图1，若∠ABC ＝∠DBE ＝60°，求证：∠ECB ＝∠A ；（2）如图2，设BC 与DE 交于点F ．当∠ABC ＝∠DBE ＝45°时，求证：CE ∥AB ； （3）在（2）的条件下，若tan ∠DEC =12时，求EFDF的值．2020年浙江省杭州市中考数学一模试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的. 1．（3分）﹣2的绝对值是（ ） A ．﹣2B ．2C ．12D ．−12【分析】根据绝对值的定义，可直接得出﹣2的绝对值．【解答】解：|﹣2|＝2， 故选：B ．【点评】本题考查了绝对值的定义，是中考的常见题型，比较简单，熟记绝对值的定义是本题的关键． 2．（3分）下列计算正确的是（ ） A ．m 4+m 3＝m 7 B ．（m 4） 3＝m 7 C ．2m 5÷m 3＝m 2D ．m （m ﹣1）＝m 2﹣m【分析】直接利用整式的混合运算法则分别计算判断即可． 【解答】解：A 、m 4与m 3，无法合并，故此选项错误； B 、（m 4） 3＝m 12，故此选项错误； C 、2m 5÷m 3＝2m 2，故此选项错误； D 、m （m ﹣1）＝m 2﹣m ，正确． 故选：D ．【点评】此题主要考查了整式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．3．（3分）如图，P 为⊙O 外一点，PC 切⊙O 于C ，PB 与⊙O 交于A 、B 两点．若P A ＝1，PB ＝5，则PC ＝（ ）A ．3B ．√5C ．4D ．无法确定【分析】求出半径的长，求出PO 长，根据切线的性质求出∠PCO ＝90°，再根据勾股定理求出即可． 【解答】解：∵P A ＝1，PB ＝5， ∴AB ＝PB ﹣P A ＝4， ∴OC ＝OA ＝OB ＝2， ∴PO ＝1+2＝3， ∵PC 切⊙O 于C ， ∴∠PCO ＝90°，在Rt △PCO 中，由勾股定理得：PC =√PO 2−OC 2=√32−22=√5， 故选：B ．【点评】本题考查了勾股定理和切线的性质，能熟记切线的性质的内容是解此题的关键，注意：圆的切线垂直于过切点的半径．4．（3分）为了解某班学生每天使用零花钱的情况，小敏随机调查了15名同学，结果如表：每天用零花钱（单位：元） 12345人数24531则这15名同学每天使用零花钱的众数和中位数分别是（ ）A ．3，3B ．5，2C ．3，2D ．3，5【分析】根据众数和中位数的定义分别进行解答即可．【解答】解：这15名同学每天使用零花钱的众数为3元，中位数为3元，故选：A．【点评】此题考查了众数和中位数，众数是一组数据中出现次数最多的数；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数．5．（3分）某工程甲单独完成要30天，乙单独完成要25天．若乙先单独干15天，剩下的由甲单独完成，设甲、乙一共用x 天完成，则可列方程为（）A．x+1525+1530=1 B．x+1530+1525=1C．1530+x−1525=1 D．x−1530+1525=1【分析】根据题意列出方程求出答案．【解答】解：设甲、乙一共用x天完成，则可列方程为：x−15 30+1525=1．故选：D．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解题的关键是找出等量关系，本题属于基础题型．6．（3分）如图，已知一组平行线a∥b∥c，被直线m、n所截，交点分别为A、B、C和D、E、F，且AB＝3，BC＝4，EF ＝4.8，则DE＝（）A．7.2 B．6.4 C．3.6 D．2.4【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，代入计算得到答案．【解答】解：∵a∥b∥c，∴DEEF=ABBC，即DE4.8=34，解得，DE＝3.6，故选：C．【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．7．（3分）如图，BD是△ABC的角平分线，AE⊥BD，垂足为F．若∠ABC＝36°，∠C＝44°，则∠EAC的度数为（）A．18°B．28°C．36°D．38°【分析】根据∠EAC＝∠BAC﹣∠BAF，求出∠BAC，∠BAF即可解决问题．【解答】解：∵∠ABC＝36°，∠C＝44°，∴∠BAC＝180°﹣36°﹣44°＝100°，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=12∠ABC＝18°，∵AE⊥BD，∴∠BF A＝90°，∴∠BAF＝90°﹣18°＝72°，∴∠EAC ＝∠BAC ﹣∠BAF ＝100°﹣72°＝28°， 故选：B ．【点评】本题考查三角形内角和定理，角平分线的定义等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 8．（3分）直线l 1：y ＝kx +b 与直线l 2：y ＝bx +k 在同一坐标系中的大致位置是（ ）A ．B ．C ．D ．【分析】根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项，找k 、b 取值范围相同的即得答案． 【解答】解：根据一次函数的系数与图象的关系依次分析选项可得：A 、由图可得，y 1＝kx +b 中，k ＜0，b ＜0，y 2＝bx +k 中，b ＞0，k ＜0，b 、k 的取值矛盾，故本选项错误；B 、由图可得，y 1＝kx +b 中，k ＞0，b ＜0，y 2＝bx +k 中，b ＞0，k ＞0，b 的取值相矛盾，故本选项错误；C 、由图可得，y 1＝kx +b 中，k ＞0，b ＜0，y 2＝bx +k 中，b ＜0，k ＞0，k 的取值相一致，故本选项正确；D 、由图可得，y 1＝kx +b 中，k ＞0，b ＜0，y 2＝bx +k 中，b ＜0，k ＜0，k 的取值相矛盾，故本选项错误； 故选：C ．【点评】本题主要考查了一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题．解答本题注意理解：直线y ＝kx +b 所在的位置与k 、b 的符号有直接的关系．9．（3分）关于x 的二次函数y ＝x 2+2kx +k ﹣1，下列说法正确的是（ ） A ．对任意实数k ，函数图象与x 轴都没有交点B ．对任意实数k ，函数图象没有唯一的定点C ．对任意实数k ，函数图象的顶点在抛物线y ＝﹣x 2﹣x ﹣1上运动D ．对任意实数k ，当x ≥﹣k ﹣1时，函数y 的值都随x 的增大而增大【分析】利用△＝（2k ﹣1）2+3＞0可对A 进行判断；利用点（−12，−34）满足抛物线解析式可对B 进行判断；先求出抛物线顶点坐标为（﹣k ，﹣k 2+k ﹣1），则根据二次函数图象上点的坐标特征可对C 进行判断；先表示出抛物线的对称轴方程，然后利用二次函数的性质可对D 进行判断．【解答】解：A 、△＝4k 2﹣4（k ﹣1）＝（2k ﹣1）2+3＞0，抛物线与x 轴有两个交点，所以A 选项错误；B 、k （2x +1）＝y +1﹣x 2，k 为任意实数，则2x +1＝0，y +1﹣x 2＝0，所以抛物线经过定点（−12，−34），所以B 选项错误； C 、y ＝（x +k ）2﹣k 2+k ﹣1，抛物线的顶点坐标为（﹣k ，﹣k 2+k ﹣1），则抛物线的顶点在抛物线y ＝﹣x 2﹣x ﹣1上运动，所以C 选项正确；D 、抛物线的对称轴为直线x =−2k2=−k ，抛物线开口向上，则x ＞﹣k 时，函数y 的值都随x 的增大而增大，所以D 选项错误． 故选：C ．【点评】本题考查了抛物线与x 轴的交点：把求二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ，b ，c 是常数，a ≠0）与x 轴的交点坐标问题转化为解关于x 的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．10．（3分）如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，D 是BC 边上一点，∠ADC ＝3∠BAD ，BD ＝4，DC ＝3．则AB 的值为（ ）A．5+3√2B．2+2√15C．7√2D．√113【分析】延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB＝a．利用相似三角形的性质，勾股定理构建方程即可解决问题．【解答】解：如图，延长CB到E，使得BE＝BA．设BE＝AB＝a．∵BE＝BA，∴∠E＝∠BAE，∵∠ADC＝∠ABD+∠BAD＝2∠E+∠BAD＝3∠BAD，∴∠BAD＝∠E，∵∠ADB＝∠EDA，∴△ADB∽△EDA，∴ADED=DBAD，∴AD2＝4（4+a）＝16+4a，∵AC2＝AD2﹣CD2＝AB2﹣BC2，∴16+4a﹣32＝a2﹣72，解得a＝2+2√15或2﹣2√15（舍弃）．∴AB＝2+2√15，故选：B．【点评】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．二、填空题：本题有6个小题，每小题4分，共24分11．（4分）分解因式：3x2+6xy+3y2＝3（x+y）2．【分析】先利用提取公因式法提取数字3，再利用完全平方公式继续进行分解．【解答】解：3x2+6xy+3y2，＝3（x2+2xy+y2），＝3（x+y）2【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．12．（4分）一个袋子中有1个红球，2个黄球，每个球除颜色外都相同，从中摸出2个球，2个球颜色不同的概率为23．【分析】画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式计算可得．【解答】解：画树状图如下：由树状图知，共有6种等可能结果，其中2个球颜色不同的有4种结果， ∴2个球颜色不同的概率为46=23， 故答案为：23．【点评】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．13．（4分）分式方程2x−1=1x的解是 x ＝﹣1 ． 【分析】观察分式方程得最简公分母为x （x ﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解． 【解答】解：方程的两边同乘x （x ﹣1），得 2x ＝x ﹣1， 解得x ＝﹣1．检验：把x ＝﹣1代入x （x ﹣1）＝2≠0． ∴原方程的解为：x ＝﹣1． 故答案为：x ＝﹣1．【点评】本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根．14．（4分）已知一个扇形的面积为12πcm 2，圆心角的度数为108°，则它的弧长为6√105πcm ． 【分析】先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据弧长公式求出弧长即可．【解答】解：设扇形的半径为Rcm ，∵扇形的面积为12πcm 2，圆心角的度数为108°， ∴108π×R 2360=12π，解得：R ＝2√10，∴弧长为108π×2√10180=6√105π（cm ），故答案为：6√105πcm ．【点评】本题考查了扇形面积的计算和弧长的计算，能熟记公式是解此题的关键．15．（4分）已知关于x 的不等式组{5x −a ＞3(x −1)2x −1≤7的所有整数解的和为7，则a 的取值范围是 7≤a ＜9或﹣3≤a ＜﹣1 ．【分析】先求出求出不等式组的解集，再根据已知得出关于a 的不等式组，求出不等式组的解集即可．【解答】解：{5x −a ＞3(x −1)①2x −1≤7②，∵解不等式①得：x ＞a−32， 解不等式②得：x ≤4， ∴不等式组的解集为a−32＜x ≤4， ∵关于x 的不等式组{5x −a ＞3(x −1)2x −1≤7的所有整数解的和为7，∴当a−32＞0时，这两个整数解一定是3和4，∴2≤a−32＜3， ∴7≤a ＜9，当a−32＜0时，﹣3≤a−32＜−2， ∴﹣3≤a ＜﹣1，∴a 的取值范围是7≤a ＜9或﹣3≤a ＜﹣1． 故答案为：7≤a ＜9或﹣3≤a ＜﹣1．【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组的整数解，能得出关于a 的不等式组是解此题的关键．16．（4分）一张直角三角形纸片ABC ，∠ACB ＝90°，AB ＝13，AC ＝5，点D 为BC 边上的任一点，沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，则CD 的长为103或6017． 【分析】根据沿过点D 的直线折叠，使直角顶点C 落在斜边AB 上的点E 处，当△BDE 是直角三角形时，分两种情况讨论：∠DEB ＝90°或∠BDE ＝90°，分别依据勾股定理或者相似三角形的性质，即可得到CD 的长． 【解答】解：∵∠ACB ＝90°，AB ＝13，AC ＝5， ∴BC =√AB 2−AC 2=12， 根据题意，分两种情况： ①如图，若∠DEB ＝90°，则∠AED ＝90°＝∠C ， CD ＝ED ，连接AD ，则Rt △ACD ≌Rt △AED （HL ）， ∴AE ＝AC ＝5，BE ＝AB ﹣AE ＝13﹣5＝8， 设CD ＝DE ＝x ，则BD ＝BC ﹣CD ＝12﹣x ， 在Rt △BDE 中，DE 2+BE 2＝BD 2， ∴x 2+82＝（12﹣x ）2解得x =103， ∴CD =103；②如图，若∠EDB ＝90°，则∠CDE ＝∠DEF ＝∠C ＝90°，CD ＝DE ， ∴四边形CDEF 是正方形， ∴∠AFE ＝∠EDB ＝90°， ∠AEF ＝∠B ， ∴△AEF ∽△EBD ， ∴AF ED =EF BD ，6017设CD ＝x ，则EF ＝CF ＝x ，AF ＝5﹣x ，BD ＝12﹣x ，∴5−x x =x 12−x ， 解得x =6017． ∴CD =6017． 综上所述，CD 的长为103或6017． 【点评】本题考查了翻折变换，综合运用勾股定理、相似三角形的判定与性质、正方形的判定与性质解答，解题关键是根据题意分两种情况讨论．三、解答题：本大题有7个小题，共66分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（6分）先化简再求值：（a b −b a ）•ab a+b ，其中a ＝1，b ＝2． 【分析】先把分式化简后，再把a 、b 的值代入求出分式的值． 【解答】解：原式=a 2−b 2ab •ab a+b =(a+b)(a−b)ab ⋅ab a+b＝a ﹣b ，当a ＝1，b ＝2时，原式＝1﹣2＝﹣1．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练化简分式是解题的关键．18．（8分）光明中学欲举办“校园吉尼斯挑战赛”，为此学校随机抽取男女学生各50名进行一次“你喜欢的挑战项目”的问卷调查，每名学生都选了一项．根据收集到的数据，绘制成统计图（不完整）．根据统计图表中的信息，解答下列问题：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有 10 人，男生最喜欢“乒乓球“项目的有 20 人．（2）请将条形统计图补充完整；（3）若该校有男生450人，女生400人，请估计该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【分析】（1）根据题目中的数据和条形统计图中的数据，可以计算出女生最喜欢“踢毽子”项目的人数，然后根据扇形统计图中的数据，可以计算出男生最喜欢“乒乓球“项目的人数；（2）根据（1）中的结果，可以得到女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，从而可以将条形统计图补充完整；（3）根据统计图中的数据和该校有男生450人，女生400人，可以计算出该校喜欢“羽毛球”项目的学生总人数．【解答】解：（1）在本次随机调查中，女生最喜欢“踢毽子”项目的有：50﹣15﹣9﹣9﹣7＝10（人），男生最喜欢“乒乓球“项目的有：50×（1﹣8%﹣10%﹣14%﹣28%）＝50×40%＝20（人），故答案为：10，20；（2）由（1）知，女生最喜欢“踢毽子”项目的有10人，补全完整的条形统计图如右图所示；（3）450×28%+400×950＝126+72198（人），答：该校喜欢“羽毛球”项目的学生一共有198人．【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．19．（8分）如图，D、E是以AB为直径的⊙O上两点，且∠AED＝45°．（1）过点D作DC∥AB，求证：直线CD与⊙O相切；，求AE的长．（2）若⊙O的半径为12，sin∠ADE=34【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理求出∠AOD，根据平行线的性质求出∠ODC＝90°，根据切线的判定得出即可；（2）连接BE，根据圆周角定理求出∠B＝∠ADE，解直角三角形求出即可．【解答】（1）证明：连接OD，∵∠AED＝45°，∴由圆周角定理得：∠AOD＝2∠AED＝90°，∵CD∥AB，∴∠CDO＝∠AOD＝90°，即OD⊥CD，∵OD过O，∴直线CD与⊙O相切；（2）解：连接BE，∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB＝90°，∵由圆周角定理得：∠B＝∠ADE，sin∠ADE=3 4，∴sin∠ADE＝sin B，∵sin B=AE AB ，∵⊙O的半径为12，∴AE24=34，解得：AE＝18．【点评】本题考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，平行线的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．20．（10分）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6√2，AF＝4√2，求AE的长．【分析】（1）由平行四边形的性质和平行线的性质得出∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；由∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE ＝∠B，得出∠AFD＝∠C，即可得出结论；（2）根据平行四边形的性质可得出CD＝AB＝8，根据相似三角形的性质可得出ADDE =AFDC，求出DE＝12．证出AE⊥AD，由勾股定理即可得出答案．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AB∥CD，∴∠ADF＝∠CED，∠B+∠C＝180°；∵∠AFE+∠AFD＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C，∴△ADF∽△DEC；（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC＝AB＝8．∵△ADF∽△DEC，∴ADDE=AFDC，即6√2DE=4√28，∴DE＝12．∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD．在Rt△ADE中，∠EAD＝90°，DE＝12，AD＝6√2，∴AE =√DE 2−AD 2=√122−(6√2)2=6√2．【点评】此题主要考查的是平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键判定三角形相似．21．（10分）已知Rt △ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （2，6）在反比例函数y 1=k x的图象上，且sin ∠BAC =35 （1）求k 的值和边AC 的长；（2）求点B 的坐标；（3）有一直线y 2＝kx +10与y 1=k x 交于M 与N 点，求出x 为何值时，y 2≥y 1．【分析】（1）本题需先根据C 点的坐标在反比例函数y 1=k x 的图象上，从而得出k 的值，再根据且sin ∠BAC =35，得出AC 的长；（2）本题需先根据已知条件，得出∠DAC ＝∠DCB ，从而得出CD 的长，根据点B 的位置即可求出正确答案；（3）解方程组即可得到结论．【解答】解：（1）∵点C （2，6）在反比例函数y =k x 的图象上，∴6=k 2，解得k ＝12，∵sin ∠BAC =35∴sin ∠BAC =6AC =35， ∴AC ＝10；∴k 的值和边AC 的长分别是：12，10；（2）①当点B 在点A 右边时，如图，作CD ⊥x 轴于D ．∵△ABC 是直角三角形，∴∠DAC ＝∠DCB ，又∵sin ∠BAC =35，∴tan ∠DAC =34，∴BD CD =34， 又∵CD ＝6， ∴BD =92，∴OB ＝2+92=132， ∴B （132，0）； ②当点B 在点A 左边时，如图，作CD ⊥x 轴于D ．∵△ABC 是直角三角形， ∴∠B +∠A ＝90°，∠B +∠BCD ＝90°，∴∠DAC ＝∠DCB ，又∵sin ∠BAC =35，∴tan ∠DAC =34，∴BD CD =34， 又∵CD ＝6，∴BD =92，BO ＝BD ﹣2=52， ∴B （−52，0） ∴点B 的坐标是（−52，0），（132，0）； （3）∵k ＝12，∴y 2＝12x +10与y 1=12x ， 解{y =12x +10y =12x得，{x =23y =18，{x =−32y =−8， ∴M （23，18），N 点（−32，﹣8），∴−32＜x ＜0或x ＞23时，y 2≥y 1．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解直角三角形，正确的理解题意是解题的关键．22．（12分）已知一次函数y 1＝2x +b 的图象与二次函数y 2＝a （x 2+bx +1）（a ≠0，a 、b 为常数）的图象交于A 、B 两点，且A 的坐标为（0，1）．（1）求出a 、b 的值，并写出y 1，y 2的表达式；（2）验证点B 的坐标为（1，3），并写出当y 1≥y 2时，x 的取值范围；（3）设u ＝y 1+y 2，v ＝y 1﹣y 2，若m ≤x ≤n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，求m 的最小值和n 的最大值．【分析】（1）把A 点的坐标分别代入两个函数的解析式，便可求得a 与b 的值；（2）画出函数图象，根据函数图象作答；（3）求出出个函数的对称轴，根据函数的性质得出“u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大”时x 的取值范围，进而得m 的最小值和n 的最大值．【解答】解：（1）把A （0，1）代入y 1＝2x +b 得b ＝1，把A （0，1）代入y 2＝a （x 2+bx +1）得，a ＝1，∴y 1＝2x +1，y 2＝x 2+x +1；（2）作y 1＝2x +1，y 2＝x 2+x +1的图象如下：由函数图象可知，y 1＝2x +1不在y 2＝x 2+x +1下方时，0≤x ≤3，∴当y 1≥y 2时，x 的取值范围为0≤x ≤3；（3）∵u ＝y 1+y 2＝2x +1+x 2+x +1＝x 2+3x +2＝（x +1.5）2﹣0.25，∴当x ≥﹣1.5时，u 随x 的增大而增大；v ＝y 1﹣y 2＝（2x +1）﹣（x 2+x +1）＝﹣x 2+x ＝﹣（x ﹣0.5）2+0.25，∴当x ≤0.5时，v 随x 的增大而增大，∴当﹣15≤x ≤0.5时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∵若m ≤x ≤n 时，u 随着x 的增大而增大，且v 也随着x 的增大而增大，∴m 的最小值为﹣1.5，n 的最大值为0.5．【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了函数的图象与性质，利用函数图象求不等式的解集，待定系数法，关键是熟练掌握二次函数的性质，灵活运用性质解题．23．（12分）在△ABC 和△DBE 中，CA ＝CB ，EB ＝ED ，点D 在AC 上．（1）如图1，若∠ABC ＝∠DBE ＝60°，求证：∠ECB ＝∠A ；（2）如图2，设BC 与DE 交于点F ．当∠ABC ＝∠DBE ＝45°时，求证：CE ∥AB ；（3）在（2）的条件下，若tan ∠DEC =12时，求EF DF的值． 【分析】（1）根据SAS 可证明△ABD ≌△CBE ．得出∠A ＝∠ECB ；（2）得出△ABC 和△DBE 都是等腰直角三角形，证明△ABD ∽△CBE ，则∠BAD ＝∠BCE ＝45°，可得出结论；（3）过点D 作DM ⊥CE 于点M ，过点D 作DN ∥AB 交CB 于点N ，设DM ＝MC ＝a ，得出DN ＝2a ，CE ＝a ，证明△CEF ∽△DNF ，可得出答案．【解答】（1）证明：∵CA ＝CB ，EB ＝ED ，∠ABC ＝∠DBE ＝60°，∴△ABC 和△DBE 都是等边三角形，∴AB ＝BC ，DB ＝BE ，∠A ＝60°．∵∠ABC ＝∠DBE ＝60°，∴∠ABD ＝∠CBE ，∴△ABD ≌△CBE （SAS ）．∴∠A ＝∠ECB ；（2）证明：∵∠ABC＝∠DBE＝45°，CA＝CB，EB＝ED，∴△ABC和△DBE都是等腰直角三角形，∴∠CAB＝45°，∴ABBC=√2，DB BE=√2，∴ABBC=DBBE，∵∠ABC＝∠DBE，∴∠ABD＝∠CBE，∴△ABD∽△CBE，∴∠BAD＝∠BCE＝45°，∵∠ABC＝45°，∴∠ABC＝∠BCE，∴CE∥AB；（3）解：过点D作DM⊥CE于点M，过点D作DN∥AB交CB于点N，∵∠ACB＝90°，∠BCE＝45°，∴∠DCM＝45°，∴∠MDC＝∠DCM＝45°，∴DM＝MC，设DM＝MC＝a，∴DC=√2a，∵DN∥AB，∴△DCN为等腰直角三角形，∴DN=√2DC＝2a，∵tan∠DEC=DMME=12，∴ME＝2DM，∴CE＝a，∴CEDN=a2a=12，∵CE∥DN，∴△CEF∽△DNF，∴EFDF=CEDN=12．【点评】本题是三角形综合题，考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，正确作出辅助线，熟练掌握基本图形的性质是解题的关键．。