小学奥数最大值最小值问题汇总只是分享

小学六年级奥数——最大与最小【知识要点】研究某种量（或几种量）在一定条件下取得最大值或最小值的问题，我们称为最大与最小问题.在日常生活、科学研究和生产实践中，存在大量的最大与最小问题.如，把一些物资从一个地方运到另一个地方，怎样运才能使路程尽可能短，运费最省；一项（或多项）工作，如何安排调配，才能使工期最短、效率最高等等，都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是：要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下，争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用.【例题】例1 （1）把14拆成两个自然数的和，如何拆可以使乘积最大？（2）14分拆为3个自然数之和，使它们的乘积最大.（3）14分拆为几个自然数之和，使它们的乘积最大.例2、（1）把1、2、3、4组成两位数乘两位数的算式，积最大与最小分别是多少？（2）1、2、3、4、5组成两位数乘三位数的算式，积最大与最小分别是多少？例3.用长和宽分别是4厘米和3厘米的长方形小木块,拼成一个正方形,最少要用这样的木块多少块？例4、975⨯935⨯972⨯( ),要使这个连乘积的最后四个数字都是零.在括号内最小应填 .例5、在一条公路上，每隔100千米有一个仓库，共5个.一号仓库存货10吨，二号仓库存货20吨，五号仓库存货40吨，三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要0.8元运费，那么最少要花多少运费？【池中戏水】1．下面算式中的两个方框内应分别填和______,才能使这道整数除法题的余数最大.□÷25=104…□2、100个自然数,它们的总和是10000,在这些数里,奇数的个数比偶数的个数多,那么这些数里至多有多少个偶数？3.把小正方体的六个面分别写上1、2、3、4、5、6.拿两个这样的正方体,同时掷在桌子上.每次朝上的两个面上的数的和,最小可能是 .最大可能是 ,可能出现次数最多的两个面的数的和是 .4、王奶奶有一个24米长的篱笆，想围成一个长方形的养鸡场，这个养鸡场的面积最大可以是多少平方米？如果一边靠墙呢？【江中畅游】1．某车场每天有4辆汽车经过A1、A2、A3、A4、A5、A6六个点组织循环运输（如图）.在A1点装货，需6个工人；在A2点卸货，需4个工人；在A3点装货，需8个工人；在A4点卸货，需5个工人；在A5点装货需3个工人；在A6点卸货，需4个工人.若每个点固定工人太多，会造成人力浪费，我们可以让装卸工人跟车走.这样有人跟车，有人固定，问最少要安排多少名装卸工人？【海中冲浪】1.王大伯从家(A点处)去河边挑水,然后把水挑到积肥潭里(B点处).请帮他找一条最短路线,在下图表示出来,并写出过程.AB··河。

最新小学奥数最大最小问题同学们在学习中经常能碰到求最大最小或最多最少的问题，这一讲就来讲解这个问题。

例1两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？分析与解：将两个自然数的和为15的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7种情况：15=1+14，1×14=14；15=2+13，2×13=26；15=3+12，3×12=36；15=4+11，4×11=44；15=5+10，5×10=50；15=6+9，6×9=54；15=7+8，7×8=56。

由此可知把15分成7与8之和，这两数的乘积最大。

结论1如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。

特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大。

例2比较下面两个乘积的大小：a=57128463×87596512，b=57128460×87596515。

分析与解：对于a，b两个积，它们都是8位数乘以8位数，尽管两组对应因数很相似，但并不完全相同。

直接计算出这两个8位数的乘积是很繁的。

仔细观察两组对应因数的大小发现，因为57128463比57128460多3，87596512比87596515少3，所以它们的两因数之和相等，即57128463+87596512=57128460+87596515。

因为a的两个因数之差小于b的两个因数之差，根据结论1可得a ＞b。

例3用长36米的竹篱笆围成一个长方形菜园，围成菜园的最大面积是多少？分析与解：已知这个长方形的周长是36米，即四边之和是定数。

长方形的面积等于长乘以宽。

因为长+宽=36÷2=18（米），由结论知，围成长方形的最大的面积是9×9=81（米2）。

例3说明，周长一定的长方形中，正方形的面积最大。

例4两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？分析与解：48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

第38讲最大最小问题一、专题简析：在日常生活中，人们常常会遇到“路程最近”、“费用最省”、“面积最大”、“损耗最少”等问题，这些寻求极端结果或讨论怎样实现这些极端情形的问题，最终都可以归结成为：在一定范围内求最大值或最小值的问题，我们称这些问题为“最大最小问题”。

解答最大最小问题通常要用下面的方法：1、枚举比较法。

当题中给定的范围较小时，我们可以将可能出现的情形一一举出再比较；2、着眼于极端情形，即充分运动已有知识和生活常识，一下子从“极端”情形入手，缩短解题过程。

二、精讲精练例题1把1、2、3、…、16分别填进图中16个三角形里，使每边上7个小三角形内数的和相等。

问这个和最大值是多少？练习一1、将5、6、7、8、9、10六个数分别填入圆圈内，使三角形每条边上的和相等，这个和最大是多少？2、把2——9分别填入下图圆圈内，使每个大圆上的五个数的和相等，并且最大。

例题2 有8个西瓜，它们的重量分别是2千克、3千克、4千克、4千克、5千克、6千克、8.5千克、10千克。

把它们分成三堆，要使最重的一堆西瓜尽可能轻些，那么，最重的一堆应是多少千克？练习二1、一把钥匙只能开一把锁。

现有9把钥匙和9把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁。

最多要试开多少次才能配好全部钥匙和锁？2、如果四个人的平均年龄是25岁，其中没有小于17岁的，且四人年龄都不相同。

那么年龄最大的最多是几岁？例题3 一次数学考试满分100分，6位同学平均分为91分，且6人分数互不相同，其中得分最少的同学仅得65分，那么排第三名的同学至少得多少分？（分数取整数）练习三1、一个三位数除以43，商a余数是b（a、b都是整数），求a＋b的最大值。

2、如下图，有两条垂直相交的线段AB、CD，交点为E。

已知DE=2CE，BE=3AE。

在AB和CD取3个点画三角形，问：怎样取三个点，画出的三角形面积最大？例题4一个农场里收的庄稼有大豆、谷子、高梁、小米，每一种庄稼需要先收割好、捆好，然后往回运输。

->“最大与最小”问题在应用数学知识解决日常生活中的一些实际问题时，经常会出现解决方案不止一种，有时还会有无数种的情况。

在这种情况下，我们往往需要找最大量或最小量。

例1试求乘积为36，和为最小的两个自然数。

分析与解不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情况：1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。

相应的两个乘数的和是：1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。

显然，乘积是36，和为最小的两个自然数是6与6。

例2试求乘积是80，和为最小的三个自然数。

分析与解不考虑因数顺序，乘积是80的三个自然数有以下八种情况：1×2×40、1×4×20、1×5×16、1×8×10、2×2×20、2×4×10、2×5×8、4×4×5。

经过计算，容易得知，乘积是80，和为最小的三个自然数是4、4、5。

结论一：从上述两例可见，m个自然数的乘积是一个常数，则当这m 个乘数相等或最相近时，其和最小。

例3试求和为8，积为最大的两个自然数。

分析与解不考虑加数顺序，和为8的两个自然数有以下四种情况：1+7、2+6、3+5、4+4。

相对应的两个加数的积是：1×7=7、2×6=12、3×5=15、4×4=16。

显然，和为8，积为最大的两个自然数是4和4。

例4试求和为13，积为最大的两个自然数。

分析与解不考虑加数顺序，和为13的两个自然数有以下六种情况：1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。

经过计算，不难发现，和为13，积为最大的两个结论二：从上述两例可知，m个自然数的和是一个常数，则当这m个数相等或最相近时，其积最大。

最值问题内容概述均值不等式，即和为定值的两数的乘积随着两数之差的增大而减小．各种求最大值或最小值的问题，解题时宜首先考虑起主要作用的量，如较高数位上的数值，有时局部调整和枚举各种可能情形也是必要的．典型问题2．有4袋糖块，其中任意3袋的总和都超过60块．那么这4袋糖块的总和最少有多少块?【分析与解】方法一：设这4袋为A、B、C、D，为使4袋糖块的总和最少，则每袋糖应尽量平均，有A、B、C袋糖有20、20、21块糖．则当A、B、D三袋糖在一起时，为了满足条件，D袋糖不少于21块，验证A、B、C、D 这4袋糖依次有20，20，2l，2l时满足条件，且总和最少．这4袋糖的总和为20+20+21+21=82块．方法二：设这4袋糖依次有a、b、c、d块糖，有61616161a b ca b da c db c d++≥⎧⎪++≥⎪⎨++≥⎪⎪++≥⎩①②③④，①+②+③+④得：3（a+b+c+d）≥244,所以a+b+c+d≥8113,因为a+b+c+d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是82．评注：不能把不等式列为a b c60a+b+d60a+c+d60b+c+d60++〉⎧⎪〉⎪⎨〉⎪⎪〉⎩①②③④，如果这样将①+②+③+④得到3(a+b+c+d)>240,a+b+c+d>80，因为a、b、c、d均是整数，所以a+b+c+d的和最小是81.至于为什么会出现这种情况．如何避免,希望大家自己解决.4．用1，3，5，7，9这5个数字组成一个三位数ABC和一个两位数DE，再用O，2，4，6，8这5个数字组成一个三位数FGH和一个两位数IJ．求算式ABC×DE-FGH×IJ的计算结果的最大值．【分析与解】为了使ABC×DE-FGH×IJ尽可能的大，ABC×DE尽可能的大，FGH×IJ 尽可能的小．则AB C×DE最大时，两位数和三位数的最高位都最大，所以为7、9，然后为3、5，最后三位数的个位为1，并且还需这两个数尽可能的接近，所以这两个数为751，93．则FGH×IJ最小时，最高位应尽可能的小，并且两个数的差要尽可能的大，应为468×20．所以AB C×DE-FG H×IJ的最大值为751×93-468×20=60483．评注：类似的还可以算出FGH×IJ-ABC×DE的最大值为640×82-379×15=46795．6．将6，7，8，9，10按任意次序写在一圆周上，每相邻两数相乘，并将所得5个乘积相加，那么所得和数的最小值是多少?【分析与解】我们从对结果影响最大的数上人手，然后考虑次大的，所以我们首先考虑10，为了让和数最小，10两边的数必须为6和7．然后考虑9，9显然只能放到图中的位置，最后是8，8的位置有两个位置可放，而且也不能立即得到哪个位置的乘积和最小，所以我们两种情况都计算．8×7+7×10+10×6+6×9+9×8=312;9×7+7×10+10×6+6×8+8×9=313．所以，最小值为312．8．一个两位数被它的各位数字之和去除，问余数最大是多少?【分析与解】设这个两位数为ab=lOa+b，它们的数字和为a+b,因为lOa+b=(a+b)+9a，所以lOa+b≡9a(mod a+b)，设最大的余数为k，有9a≡k(mod a+b)．特殊的当a+b为18时，有9a=k+18m，因为9a、18m均是9的倍数，那么k也应是9的倍数且小于除数18，即0，9，也就是说余数最大为9；所以当除数a+b不为18，即最大为17时，:余数最大为16，除数a+b只能是17，此时有9a=15+17m，有m=7+9ta=15+17t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，而a是一位数，显然不满足；：余数其次为15，除数a+b只能是17或16，除数a+b=17时，有9a=15+17m,有m=6+9ta=13+17t⎧⎨⎩,(t为可取0的自然数)，a是一位数，显然也不满足；除数a+b=16时，有9a=15+16m,有m=3+9ta=7+16t⎧⎨⎩(t为可取0的自然数)，因为a是一位数，所以a只能取7，对应b为16-7=9，满足；所以最大的余数为15，此时有两位数79÷(7+9)=4……15．10．用1，2，3，4，5，6，7，8，9这9个数字各一次，组成一个被减数、减数、差都是三位数的正确的减法算式，那么这个算式的差最大是多少?【分析与解】考虑到对差的影响大小，我们先考虑百位数，为了让差最大，被减数的百位为9，减数的百位为1，如果差的百位为8，那算式就是如下形式：剩下的6个数字为2、3、4、5、6、7，因为百位数字为8，所以我们可以肯定被减数的十位数字比减数要大，而且至少大2，因为1已经出现在算式中了，算式的可能的形式如下：得数的十位只可能是减数和被减数的十位数字之差，或者小1，可能的算式形式如下：但这时剩下的数都无法使算式成立．再考虑差的百位数字为7的情况，这时我们可以肯定减数的十位数比被减数要大，为了使差更大，我们希望差值的十位为8，因此，算式可能的形式为：再考虑剩下的三个数字，可以找到如下几个算式：，所以差最大为784．12. 4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【分析与解】设这四个分数为上12m、12n、12a+1、12b+1(其中m、n、a、b均为非零自然数)有12m+12n=12a+1+12b+1，则有12m-12b+1=12a+1-12n，我们从m=1,b=1开始试验：1 2=16+13=14+14，13=112+14=16+16，1 4=120+15=18+18，15=130+16=110+110，1 6=15+110=112+112，﹍我们发现，15和16分解后具有相同的一项110，而且另外两项的分母是满足一奇一偶，满足题中条件：1 5+115=16+110，所以最小的两个偶数和为6+10=16．14.有13个不同的自然数，它们的和是100．问其中偶数最多有多少个?最少有多少个？【分析与解】 13个整数的和为100，即偶数，那么奇数个数一定为偶数个，则奇数最少为2个，最多为12个；对应的偶数最多有11个，最少有1个．但是我们必须验证看是否有实例符合．当有11个不同的偶数，2个不同的奇数时，11个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18+20+22=132，而2个不同的奇数和最小为1+3=4．它们的和最小为132+4=136，显然不满足：当有9个不同的偶数，4个不同的奇数时，9个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14+16+18=90，而4个不同的奇数和最小为1+3+5+7=16，还是大于100，仍然不满足；当有7个不同的偶数，6个不同的奇数时，7个不同的偶数和最小为2+4+6+8+10+12+14=56，6个不同的奇数和为1+3+5+7+9+11：36，满足，如2，4，6，8，10，12，22，1，3，5，7，9，11的和即为100．类似的可知，最少有5个不同的偶数，8个不同的奇数，有2，4，8，10，16，1．3．5，7，9，11，13，15满足．所以，满足题意的13个数中，偶数最多有7个，最少有5个．。

最大与最小问题知识要点在日常生活中，我们经常会遇到有关最大、最小、最多、最少等诸多问题，而这一类问题我们统一称为最大与最小问题。

最大与最小问题涉及的知识点很广泛，题目也相对复杂，而且很多题目没有固定的解题模式，所以解决这一类问题时，需要根据题目所给的条件灵活的去分析、判断、计算以及推理最后得到正确的答案。

1、若三个数的和为定值，则当三个数相等时，他们的乘积最大。

2、若n个数的和为定值，则当这n个数相等时，他们的乘积最大。

3、若两个数的乘积一定，则当两个数相等时，他们的和最小。

4、在棱长和相等的长方体中，长、宽、高都相等的长方体（正方体）的体积最大。

精选例题例1 如果四个人的平均年龄为30岁，并且在四个人当中没有谁的年龄小于21岁，那么年龄最大的可能是多少岁？☝思路点拨：四个人的平均年龄是30岁，则四个人的年龄总和是30×4=120岁，又因为四个人当中没有小于21岁的，所以当其中三个人的年龄都为最小时，另一个人的年龄最大。

☝标准答案：30×4－21×3=57（岁）活学巧用1、如果8个人的平均年龄是48岁，已知8人中，没有大于51岁的，又知，最多能有三个人的年龄相同，那么年龄最小的可能是几岁？2、有一队学生（200人以内）如果每9人排成一列，最后余下4人，如果7人排成一列，最后余下3人，问，这队学生有多少人？3、已知五个人的平均年龄为18岁，且五个人中没有小于15岁的，则五个人中年龄最大的是多少岁？例2 某人有一根长16米的铁丝网，他要借用围墙作一面，用这根铁丝网围成一个长方形菜地，并且使这块菜地的面积尽可能的大，问这个菜地的最大面积是多少？☝思路点拨：将菜地关于围墙“对称”得菜地与对称图形的复合图形，其长与宽的和为16×2=32从而，当复合图形是边长为8米时面积最大，而当菜地的长为8米，宽为4米时菜地的面积是最大的。

☝标准答案：4×8=32✌活学巧用1、用长为28米的竹篱笆围成一块长方形菜地，其中一边靠墙，为使菜地面积最大，应该怎么分配长于宽，最大面积是多少平方米？2、用30厘米的铁丝围成一个长方形，要使长方形的面积最大，长和宽应该是多少厘米？最大面积是多少平方厘米？3、把一根长537厘米的木料锯成长为35厘米和长为26厘米的短木料那么，各锯多少根才能使余料最少？（不计损耗）例3 将14分拆成若干个自然数的和，如何分拆，可以使这些自然数的乘积最大？☝思路点拨：将14分成若干个自然数的和时，为了使这些自然数的乘积最大，分拆中尽可能的用2与3，且尽可能的选择3多一点。

最大最小值知识框架一、知识点概述：这类问题涉及的知识面广，没有固定的模式，方法多样，解答时要认真审题，根据题目的特点，灵活地选择解法．在日常生活和工作中，经常会遇到这样一类问题：怎样安排时间最省、怎样行走路线最短、怎样管理费用最低、怎样设计面积最大、怎样合作效率最高、怎样加工利用率最大等等，它们都可以归结为在一定条件下的最大值或最小值方面的数学问题．例题精讲模块一、数论中的极端思想【例 1】如果10个互不相同的两位单数之和等于898，那么这10个单数中最小的一个是多少？【例 2】有两个整数A和B，它们的和是8，当A和B各是多少时，A×B的积最大?【例 3】103除以一个一位数，余数最大是多少？【例 4】商店进玩具熊若干，每三个一数则余下一只，若每五个一数则还差4个。

问商店至少进了多少只玩具熊？【例 5】1～8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。

那么这两个四位数各是多少？【巩固】两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？【巩固】两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？【例 6】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257，1459等等，这类数中最大的自然数是多少？【例 7】有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003，那么这类自然数中最小的是几？【例 8】将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 (9899100)从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？【例 9】把17分成几个自然数的和，怎样分才能使它们的乘积最大？【巩固】把14拆成几个自然数的和，再求出这些数的乘积，如何拆可以使乘积最大？【例 10】某国家的货币中有1元、3元、5元、7元、9元五种，为了能支付1元、2元 (100)元的钱数（整数元），那么至少需要准备货币多少张？【例 11】在五位数 22576的某一位数码后面再插入一个该数码，能得到的六位数中最大的是几？【例 12】在10，9，8，7，6，5，4，3，2，1这10个数的每相邻两个数之间都添上一个加号或一个减号，组成一个算式。

六年级奥数数论专题练习最大值最小值
编者小语：数论专题是小学奥数的一个重点，为此编辑整理了一系列关于数论的试题供大家学习参考。

下面我们就开始关于六年级奥数数论专题练习:最大值最小值
黑板上写着1至2019共2019个自然数，小明每次擦去两个奇偶性相同的数，再写上它们的平均数，最后黑板上只剩下一个自然数，这个数可能的最大值和最小值的差是
________。

解答：要让和最小，那么应该擦去的数尽量大，最大的就是2019和2019这两个，擦去后添上2019，两个2019又能擦去一个，这样就变成了1~2019，一直进行，不难发现最后剩下一个2。

所以有：最小的：(2019,2019)→（2019，2019）→（2019，2019）→（2019，2019）→（2019，2019）→（2019，2019）→……（6，4）→（5，3）→（4，2）→（3，1）→2 最大的：(1,3)→（2，2）→（2，4）→（3，5）→（4，6）→（5，7）→……（2019，2019）→（2019，2019）→（2019，2019）→（2019，2019）→2019 这个数的最大值和最小值的差是2019－2＝2019
第 1 页。

六年级奥数——最大最小问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题，最终都表现为数学上的极值问题，即小学阶段的最大最小问题。

最大最小问题设计到的知识多，灵活性强，解题时要善于综合运用所学的各种知识。

二、精讲精练【例题1】a 和b 是小于100的两个不同的自然数，求a －b a+b的最大值。

根据题意，应使分子尽可能大，使分母尽可能小。

所以b=1；由b=1可知，分母比分子大2，也就是说，所有的分数再添两个分数单位就等于1，可见应使所求分数的分数单位尽可能小，因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950答：a －b a+b 的最大值是4950。

练习1：1、设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数，求x －y x+y的最大值。

2、a 和b 是小于50的两个不同的自然数，且a ＞b ，求a －b a+b的最小值。

3、设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数，且x ＞y ，①求x+y x －y的最大值；②求x+y x －y的最小值。

有甲、乙两个两位数，甲数27等于乙数的23。

这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3，甲数的7份，乙数的3份。

由甲是两位数可知，每份的数量最大是14，甲数与乙数相差4份，所以，甲、乙两数的差是14×（7-3）=56答：这两个两位数的差最多是56。

练习2：1、有甲、乙两个两位数，甲数的310等于乙数的45。

这两个两位数的差最多是多少？2、甲、乙两数都是三位数，如果甲数的56恰好等于乙数的14。

这两个两位数的和最小是多少？3、加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？【例题3】如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。

问：这样的数对共有多少个？在这些数对中，被减数最大是9999，此时减数是9999－8921＝1078，被减数和剑术同时减去1后，又得到一个满足题意条件的四位数对。

第25讲 最大最小问题一、知识要点人们碰到的各种优化问题、高效低耗问题, 最终都表现为数学上的极值问题, 即小学阶段的最大最小问题. 最大最小问题设计到的知识多, 灵活性强, 解题时要善于综合运用所学的各种知识.二、精讲精练【例题1】a 和b 是小于100的两个不同的自然数, 求a －ba+b的最大值. 根据题意, 应使分子尽可能大, 使分母尽可能小. 所以b=1；由b=1可知, 分母比分子大2, 也就是说, 所有的分数再添两个分数单位就等于1, 可见应使所求分数的分数单位尽可能小, 因此a=99a －b a+b 的最大值是99－199+1 =4950 答：a －b a+b 的最大值是4950 .练习1：1、 设x 和y 是选自前100个自然数的两个不同的数, 求x －yx+y的最大值.2、 a 和b 是小于50的两个不同的自然数, 且a ＞b, 求a －ba+b的最小值.3、 设x 和y 是选自前200个自然数的两个不同的数, 且x ＞y, ①求x+yx －y的最大值；②求x+yx －y的最小值.【例题2】有甲、乙两个两位数, 甲数27等于乙数的23. 这两个两位数的差最多是多少？甲数：乙数=23：27=7：3, 甲数的7份, 乙数的3份. 由甲是两位数可知, 每份的数量最大是14, 甲数与乙数相差4份, 所以, 甲、乙两数的差是14×（7-3）=56 答：这两个两位数的差最多是56.练习2：1.有甲、乙两个两位数, 甲数的310等于乙数的45. 这两个两位数的差最多是多少？2、甲、乙两数都是三位数, 如果甲数的56恰好等于乙数的14. 这两个两位数的和最小是多少？3.加工某种机器零件要三道工序, 专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做48个、32个、28个, 要使每天三道工序完成的个数相同, 至少要安排多少工人？【例题3】如果两个四位数的差等于8921, 就是说这两个四位数组成一个数对. 问：这样的数对共有多少个？在这些数对中, 被减数最大是9999, 此时减数是9999－8921＝1078, 被减数和剑术同时减去1后, 又得到一个满足题意条件的四位数对. 为了保证减数是四位数, 最多可以减去78, 因此, 这样的数对共有78+1＝79个.答：这样的数对共有79个.练习31、两个四位数的差是8921. 这两个四位数的和的最大值是多少？2、如果两个三位数的和是525, 就说这两个三位数组成一个数对. 那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？3、如果两个四位数的差是3456, 就说这两个数组成一个数对. 那么, 这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？【例题4】三个连续自然数, 后面两个数的积与前面两个数的积之差是114. 这三个数中最小的是多少？因为：最大数×中间数－最小数×中间数＝114, 即：（最大数－最小数）×中间数＝114 而三个连续自然数中, 最大数－最小数＝2, 因此, 中间数是114÷2＝57, 最小数是57－1＝56答：最小数是56. 练习41、桑连续的奇数, 后两个数的积与前两个数的积之差是252. 三个数中最小的数是______.2、a 、b 、c 是从小到大排列的三个数, 且a －b ＝b －c, 前两个数的积与后两个数的积之差是280. 如果b ＝35, 那么c 是_____.3、被分数67 , 514 , 1021 除得的结果都是整数的最小分数是______.【例题5】三个数字能组成6个不同的三位数. 这6个三位数的和是2886. 求所有这样的6个三位数中的最小的三位数.因为三个数字分别在百位、十位、个位各出现了2次. 所以, 2886÷222能得到三个数字的和.设三个数字为a、b、c, 那么6个不同的三位数的和为abc+acb+bac+bca+cab+cba＝（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2+（a+b+c）×100×2＝（a+b+c）×222＝2886即a+b+c＝2886÷222＝13答：所有这样的6个三位数中, 最小的三位数是139.练习51、有三个数字能组成6个不同的三位数. 这6个不同的三位数的和是3108. 所有这样的6个三位数中最大的一个是多少？2、有三个数字能组成6个不同的三位数. 这6个不同的三位数的和是2220. 所有这样的6个三位数中最小的一个是多少？3、用a、b、c能组成6个不同的三位数. 这6个三位数相加的和是2886. 已知a、b、c 三个数字中, 最大的数字是最小数字的2倍, 这6个三位数中最小的数是多少？面积计算一、知识要点计算平面图形的面积时, 有些问题乍一看, 在已知条件与所求问题之间找不到任何联系, 会使你感到无从下手. 这时, 如果我们能认真观察图形, 分析、研究已知条件, 并加以深化, 再运用我们已有的基本几何知识, 适当添加辅助线, 搭一座连通已知条件与所求问题的小“桥”, 就会使你顺利达到目的. 有些平面图形的面积计算必须借助于图形本身的特征, 添加一些辅助线, 运用平移旋转、剪拼组合等方法, 对图形进行恰当合理的变形, 再经过分析推导, 方能寻求出解题的途径.二、精讲精练【例题1】已知如图, 三角形ABC的面积为8平方厘米, AE＝ED, BD=2/3BC, 求阴影部分的面积.练习1：1、如图, AE＝ED, BC=3BD, S△ABC＝30平方厘米. 求阴影部分的面积.2、如图所示, AE=ED, DC＝1/3BD, S△ABC＝21平方厘米. 求阴影部分的面积.3、如图所示, DE＝1/2AE, BD＝2DC, S△EBD＝5平方厘米.求三角形ABC的面积.【例题2】两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, 如图所示, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积各是多少？练习2：1、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形, （如图所示）, 已知两个三角形的面积, 求另两个三角形的面积是多少？2、已知AO＝1/3OC, 求梯形ABCD的面积（如图所示）.【例题3】四边形ABCD的对角线BD被E、F两点三等分, 且四边形AECF的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.练习3：1、四边形ABCD的对角线BD被E、F、G三点四等分, 且四边形AECG的面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图）.2、如图所示, 求阴影部分的面积（ABCD为正方形）.【例题4】如图所示, BO＝2DO, 阴影部分的面积是4平方厘米. 那么, 梯形ABCD的面积是多少平方厘米？练习4：1、如图所示, 阴影部分面积是4平方厘米, OC＝2AO. 求梯形面积.2、已知OC＝2AO, S△BOC＝14平方厘米. 求梯形的面积（如图所示）.3、已知S△AOB＝6平方厘米. OC＝3AO, 求梯形的面积（如图所示）.【例题5】如图所示, 长方形ADEF的面积是16, 三角形ADB的面积是3, 三角形ACF的面积是4, 求三角形ABC的面积.练习5：1、如图所示, 长方形ABCD的面积是20平方厘米, 三角形ADF的面积为5平方厘米, 三角形ABE的面积为7平方厘米, 求三角形AEF的面积.2、如图所示, 长方形ABCD的面积为20平方厘米, S△ABE＝4平方厘米, S△AFD＝6平方厘米, 求三角形AEF的面积.三、课后练习1、已知三角形AOB的面积为15平方厘米, 线段OB的长度为OD的3倍. 求梯形ABCD的面积. （如图所示）.2、已知四边形ABCD的对角线被E、F、G三点四等分, 且阴影部分面积为15平方厘米. 求四边形ABCD的面积（如图所示）.3、如图所示, 长方形ABCD的面积为24平方厘米, 三角形ABE、AFD的面积均为4平方厘米, 求三角形AEF的面积.。

第八讲最大与最小在实际生活与生产实践中，人们总是想用最少的财力、物力、人力以及时间等在可能的范围内取得最佳效益。

况且，在许多现实问题中有时很难确定或者就不需要具体的每个数值，有时只关心最大、最小等极值。

这一讲就来研究某个量在一定条件下取得最大值或最小值问题。

这类问题题目中经常出现“最小”、“至少”、“至多”等术语。

经常只能根据具体问题，综合运用所学知识进行求解。

例1某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品。

在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？分析：想用100元钱买到最多的花朵，题目中有三种花束：A种：由20朵花组成的花束价值4元B种：由35朵花组成的花束价值6元C种：由50朵花组成的花束每束价值9元平均1元钱可买A种花朵5朵或B种花朵5.8朵或C种花朵5.5朵，为了买到最多的花朵，应该多买B种花束解：经分析可知由35朵花组成的B种花束中的花朵最便宜，宜多买。

由于每束6元，故100元钱可买16束，还剩4元钱，这4元钱恰好买一束由20朵花组成的A种花束，这时共买花朵：16×35+20=580（朵），若B种花束少买几束，增加A种或C种花束的数量，都不能使花朵数达到580朵。

因此，应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵。

说明：此题也可设A种、B种、C种花束各买x束、y束、z束时，可使花朵最多，列方程：4x+6y+9z=100，x，y，z是自然数可以先缩小字母的取值范围。

例如12元能买3束A种花束或2束B种花束，分别得到60朵花和70朵花，于是很清楚在最优解中A种花束不应超过2束。

同理，比较B种花束和C种花束，发现要使花朵最多，C种花束不应超过1束，即x≦2，z≦1，下面只有很少的几种情况了，可以一一列举，同样可以求得x=1，z=0，y=16例2有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字恰好是它前面两个数字之和，如134，1459等等，求这类数中最大的自然数和最小的自然数。

小学奥数最大值最小值问题汇总１。

三个自然数得与为15，这三个自然数得乘积最大可能就是_______。

3ﻫ。

一个长方形周长为24厘米，当它得长与宽分别就是_＿___＿_厘米、___＿__＿厘米时面积最大，面积最大就是___＿___平方厘米。

ﻫ４.现在有2０米得篱笆，利用一堵墙围一个长方形鸡舍,要使这个鸡舍面积最大，长应就是_______米，宽应就是_______米。

5ﻫ.将１6拆成若干个自然数得与,要使与最大,应将１６拆成_＿＿___＿。

ﻫ６。

从１，2，３，…，2003这些自然数中最多可以取_______个数，才能使其中任意两个数之差都不等于5. 7ﻫ．一个两位小数保留整数就是6，这个两位小数最大就是__＿_＿_＿，最小就是_＿_＿＿__。

8ﻫ．用1克、2克、4克、8克、16克得砝码各一个与一架天平,最多可以称出_____＿_种不同得整数得重量。

9.有一架天平,左右都可以放砝码，要称出1～80克之间所有整克数得重量,如果使砝码个数尽可能少,应该用___＿___得砝码。

1０．如下图,将１～9这9个数填入圆圈中,使每条线上得与相等,使与为A,A 最大就是_＿＿__. 二、解答题(30分) 1ﻫ。

把１9分成若干个自然数得与，如何分才能使它们得积最大？２.把１～6这六个数分别填在下图中三角形三条边得六个圆圈内，使每条边上三个圆圈内得数得与相等,求这个与得最大值与最小值. ３。

自行车得前轮轮胎行驶9000千米后要报废，后轮轮胎行驶7０00千米后要报废。

前后轮可在适当时候交换位置.问一辆自行车同时换上一对新轮胎，最多可行驶多少千米？4.如下图,有一只轮船停在M点，现需从OA岸运货物到OＢ岸，最后停在N点,这只船应如何行走才能使路线最短？ 5ﻫ．甲、乙两厂生产同一型号得服装，甲厂每月生产900套，其中上衣用18天，裤子用12天；乙厂每月也生产900套,但上衣用15天，裤子也要用1５天。

两厂合并后，每月最多可以生产多少套衣服？ 6．现在有若干千克苹果，把苹果装入筐中，要求能取出１～６３千克所有整千克数得苹果,并且每次都就是整筐整筐地取出。

列方程解应用题方程解应用题列方程解应用题时，由于引进了字母x ，所以在分析应用题时，不必绕过未知数，而把未知数暂时看做已知数，直接参列式运算，这样的解题思路更加直截了当，减低了思维难度，适用面广，特别是用算术方法需要逆解得问题，用方程解往往比较容易. 列方程解应用题时，一般按下面的步骤进行：、（1）弄清题意，找到未知数并有x 表示（2）找到应用题中数量间的相等关系后列方程（3）解方程（4）检验，写出答案【例1】有三个连续的整数，已知最小的数加上中间的数的两倍再加上最大的数的三倍的和是 6 8 ，求这三个连续整数.变形：已知三个连续奇数之和为7 5 ，求这三个数练习：已知三个连续偶数之和为24 ，求这三个数【例2】兄弟二人共养鸭550 只，当哥哥卖掉自己养鸭总数的一半，弟弟卖出70 只时，两人余下的鸭只数相等，求兄弟两人原来各养鸭多少只？变式：一人看见山上有一群羊，他自言自语到：“我如果有这些羊，再加上这些羊，然后加上这些羊的一半，又加上这些羊一半的一半，最后再加上我家里的那只，一共有 1 0 0 只羊”．山上的羊群共有______只练习：两年前，甲的年龄是乙的年龄的 4 倍；而现在，甲的年龄是乙的年龄的 3 倍，那么甲今年多少岁？【例3】重阳节那天，延龄茶庄请来25 位老人品茶，这25 位老人的年龄恰好是25 个连续自然数，并且年龄之和恰好是2000。

问：其中年龄最大的老人多少岁？变式：678 除以一个数的不完全商是13，并且除数与余数的差是8，求除数和余数。

练习：教师给幼儿园小朋友分草莓，如果每个小朋友分 5 个草莓还剩下14 个，如果每个小朋友分7 分草莓则差 4 个，求共有多少草莓？共有多少个小朋友？【例4】爸爸、哥哥、妹妹三人现在的年龄和是64 岁。

当爸爸的年龄是哥哥年龄的 3 倍时，妹妹是9 岁；当哥哥的年龄是妹妹年龄的2 倍时，爸爸是34 岁。

现在三人的年龄各是多少岁？变式：两年前，甲的年龄是乙的年龄的 4 倍；而现在，甲的年龄是乙的年龄的 3 倍，那么甲今年多少岁？练习：父亲今年32 岁，儿子今年 5 岁，几年之后，父亲的年龄正好是儿子的年龄的4倍？例5：大、小两个水池都未注满水。

第六讲最大与最小问题先看一个简单的问题妈妈让小明给客人烧水沏茶.洗开水壶要用1分钟烧开水要用15分钟洗茶壶要用1分钟洗茶杯要用1分钟拿茶叶要用2分钟小明估算了一下完成这些工作要花20分钟.为了使客人早点喝上茶按你认为最合理的安排多少分钟就能沏茶了这个题目取材于华罗庚教授1965年发表的《统筹方法平话》. 开水壶不洗不能烧开水因而洗开水壶是烧开水的先决条件没开水、没茶叶、不洗壶杯则不能泡茶这些又是泡茶的先决条件.因此我们可以列出它们的相互关系图从上图中很容易看出最省时间的办法是先洗开水壶用1分钟接着烧开水用15分钟在等待水开的过程中可以完成洗茶壶、洗茶杯、拿茶叶水开了就沏茶这样仅用16分钟就能沏茶了这是没有“窝工”的最合理的安排用最少的时间完成了工作. 像这样研究某种量或几种量在一定条件下取得最大值或最小值的问题我们称为最大与最小问题. 在日常生活、科学研究和生产实践中存在大量的最大与最小问题.如把一些物资从一个地方运到另一个地方怎样运才能使路程尽可能短运费最省一项或多项工作如何安排调配才能使工期最短、效率最高等等都是最大与最小问题.这里贯穿了一种统筹的数学思想-最优化原则.概括起来就是要在尽可能节省人力、物力和时间的前提下争取获得在可能范围内的最佳效果.这一原则在生产、科学研究及日常生活中有广泛的应用. 一、数、式、方程组中的最大最小问题例1 把14拆成几个自然数的和再求出这些数的乘积如何拆可以使乘积最大分析与解答这要考虑到一些隐含着的限制条件可以这样思考①要使14拆成的自然数的乘积最大所拆成的数的个数要尽可能多多一个可以多乘一次但1不应出现因为1与任何数的积仍为原数. ②拆出的加数不要超过4例如5它还可以拆成2和3而2×35所以加数大于4的数还要继续拆小. ③由于422又42×2因此拆出的加数中可以不出现4. ④拆出的加数中2的个数不能多于两个.例如拆成三个2不如拆成两个3.因为三个2的积为8两个3的积为9这就是说应尽可能多拆出3. 页码1/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 因为143×42所以把14拆成3、3、3、3、2时积为3×3×3×3×2162最大. 对最大与最小问题一要注意变化规律即弄清思路又要注意限制条件对于字母则要根据其特点进行讨论分析. 例2 已知p·q-1x其中p、q为质数且均小于1000x是奇数那么x的最大值是____. 分析与解答由p·q-1xx为奇数可知q·px1是偶数又因为p、q为质数所以p、q中必有一个为偶质数2.不妨设p2. 为了使x尽可能大只须取q为最大的三位质数997.这时x达到最大值2×997-11993. 方程中有参数和其他条件也可能出现最大或最小问题. 的根为自然数则最小自然数a____. 分析与解答由原方程可得例4 求同时满足abc62a-bc3且b≥c≥0的a的最大值及最小值. 分析既然是求a的最大值及最小值就要想办法将b及c用a的代数式表示出来再根据b≥c≥0来求.求b及c可将abc62a-bc3看作含b、c的二元一次方程组页码2/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 二、统筹方法中教学思想方法的初步应用在开始引例中引用了华罗庚教授《统筹方法平话》中的例子统筹方法是生产建设和企业管理中合理安排工作的一种科学方法它对于进行合理调度、加快工作进展、提高工作效率、保证工作质量是十分有效的所用数学思想是朴素而精彩的. 例5 5个人各拿一个水桶在自来水龙头前等候打水他们打水所需的时间分别是1分钟、2分钟、3分钟、4分钟和5分钟.如果只有一个水龙头试问怎样适当安排他们的打水顺序使所有人排队和打水时间的总和最小并求出最小值. 分析这是我们经常遇到而不去思考的问题其中却有着丰富的数学思想.5个人排队一共有5×4×3×2×1120种顺序要把所有情形的时间总和都计算出来加以比较就太繁琐了.凭直觉应该把打水时间少的人排在前面所费的总时间会省些.试用“逐步调整”法求解. 解首先证明要使所用总时间最省应该把打水时间需1分钟的人排在第一位置. 假如第一位置的人打水时间要a分钟其中2≤a≤5而打水需1分钟的人排在第b位其中2≤b≤5我们将这两个人位置交换其他三人位置不动.这样调整以后第b位后面的人排队和打水所费时间与调整前相同并且前b个人打水所费时间也未受影响但第二位至第b位的人排队等候的时间都减少了a-1分钟这说明调整后五个人排队和打水时间的总和减少了.换言之要使所费时间最省就要把打水需1分钟的人排在第一位置. 其次根据同样的道理再将打水需2分钟的人调整到第二位置将打水需3、4、5分钟的人逐次调整到三、四、五位.所以将五人按照打水所需时间由少到多的顺序排队所费的总时间最省得出5人排队和打水时间总和的最小值是1×52×43×34×25×135分钟. 本题所用的逐步调整法是一个很朴素的数学思想它使我们思考问题过程简化更有趣味. 例6 一个水池底部安有一个常开的排水管上部安有若干个同样粗细的进水管当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池当打开2个进水管时需要15小时才能注满水池现在需要在2小时内将水池注满那么至少要打开多少个进水管分析本题没给出排水管的排水速度因此必须找出排水管与进水管之间的数量关系才能确定至少要打开多少个进水管. 页码3/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 解本题是具有实际意义的工程问题因没给出注水速度和排水速度故需引入参数.设每个进水管1小时注水量为a排水管1小时排水量为b根据水池的容量不变我们得方程4a-b×52a-b×15化简得4a-b6a-3b即ab. 这就是说每个进水管1小时的注水量等于排水管1小时的排水量. 再设2小时注满水池需要打开x个进水管根据水池的容量列方程得xa-a×22a-a×15 化简得2ax-2a15a 即2xa17a.a≠0 所以x8.5 因此至少要打开9个进水管才能在2小时内将水池注满. 注意x8.5这里若开8个水管达不到2小时内将水池注满的要求开8.5个水管不切实际.因此至少开9个进水管才行. 例7 在一条公路上每隔100千米有一个仓库共5个.一号仓库存货10吨二号仓库存货20吨五号仓库存货40吨三、四号仓库空着.现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里如果每吨货物运输1千米需要0.8元运费那么最少要花多少运费分析与解答由于运费是以每吨货物运输1千米为单位即吨·千米计量的因此要使运费最省就要把所有货物运往离货物最多的仓库适当近的地方集中. 我们依次计算以一、二、…、五号仓库为集中点所需的运费0.8×20×10040×40014400元0.8×10×10040×30010400元0.8×100×20020×10040×2009600元0.8×10×30020×20040×1008800元0.8×10×40020×3008000元. 因此把所有货物集中到五号仓库所需的运费最少运费为8000元. 说明①由例7的枚举解法中我们可以看出如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半那么把货物往此处集中花的运费是最少或最少之一的.这可以叫做“小往大处靠”原则. 可以解释如下.把各个仓库用A1A2…An表示Ai中的货物重量为mi把所有页码4/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM货物集中到Ai的运输吨·千米数为ai它与集中货物到A所需的运输费用成正比货物总重量为Mm1m2…mn. a1相比较把货物集中到Ai2≤i≤n的运输吨·千米数ai所增加的至少是m1·A1Ai所减少的至多是m2m3…mn·A1Ai这里A1Ai表示A1与Ai之间的距离. ∴ai≥a1. 这说明了“小往大处靠”原则是正确的. 处靠”原则不成立.例如.在例7中一、二、五号仓库中的存货如果分别为30吨、10吨、30吨那么容易知道把货物集中到二号仓库运费最少. 例8 若干箱货物总重19.5吨每箱重量不超过353千克今有载重量为1.5吨的汽车至少需要几辆才能把这些箱货物一次全部运走分析与解答如果认为19.5÷1.513因此只需13辆汽车就可以把这些箱货物一次全部运走这就把题意理解错了.因为货物是整箱装的每辆汽车不一定都能满载.请先看一个反例它说明甚至15辆车都不一定能一次运完. 例如这批货物共装有65只箱子其中64箱的重量都是301千克不超过353千克另一箱的重量是236千克那么总重量为301×6423619500千克. 恰好符合总重为19.5吨的要求由于301×51505千克即5只重量为301千克的箱子的总和超过1.5吨因此每辆汽车最多只能装4只重量为301千克的箱子15辆汽车最多只能装4×1560只重量为301千克的箱子这样必然有4只重量为301千克的箱子无法再装运了. 既然15辆汽车无论如何无法一次运完上例中的65只箱子那么16辆汽车能不能一次运完这些货物呢答案是肯定的.事实上301×42361440千克不超过1.5吨这就是说第16辆汽车可以装余下的4只重量为301千克的箱子和1只重量为236千克的箱子.所以16辆汽车可以一次运完这些箱货物. 页码5/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 问题到这里仍然没有彻底解决.因为每箱货物的重量只要求不超过353千克除此别无具体数量的限制所以我们还应该对于一般情况上例仅是一种特殊情况来验证16辆汽车确实能一次运完全部箱子. 首先让12辆汽车装货刚刚超过1.5吨即若取下最后装的一只箱子就不超过1.5吨再从这12辆汽车上把每辆车最后装的那只箱子卸下来并把这12只箱子分别装上另外3辆空车每车4箱由于每车4箱总重量不超过4×3531412千克. 因此也不超过1.5吨.这时12315辆车就装完原来前12辆车上全部货物总重量超过1.5×1218吨. 而且每辆车载重不超过1.5吨于是剩下来装车的箱子总重量不足19.5-181.5吨可以把它们全部装在第16辆车上运走. 三、最短的路线几何中的最大最小问题例9 下图直线l表示一条公路A、B表示公路同一侧的两个村子现在要在公路l上修建一个汽车站问这个汽车站建在哪一点时A村与B村到汽车站的距离之和最短分析与解答如果A、B两个村子在公路l的两侧问题就简单了只要把A、B两点连接起来与公路l 的交点就是建站的地方因为两点之间线段最短. A、B两村在公路l的同侧的情形我们用“对称”的方法来解决先求出A点关于l的对称点A连结AB与l交点于C点则C点就是汽车站应建的那个点. 为什么ACBC是距离最短呢我们假设不选C点而选择C外的一点C显然有ACCBACCBAB ACCBACCB. 根据“连接两点的线中直线段最短”有ACCBAB所以选择C点能使ACCB距离最短. 利用这种对称原理可以解决很多复杂的问题. 例10 设牧马营地在M每天牧马人要赶着马群先到河边饮水再到草地吃草然后回营地.问怎样的放牧路程最短页码6/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM 分析与解答依题意每一条放牧路线都是一个三角形的三条边我们设法把这条路线变成两个固定点之间的连线. 根据“对称”原理设草地的边线是l1河流的岸线是l2下图.令M关于l1、l2的对称点分别是M1、M2连结MM 分别交l1、l2于A、B则路线M→B→A→M就是最短路线读者可自己证明其路线最短. 几何中的最大与最小问题很多待学习一些知识后将有很多有趣的最大与最小的问题等待你去解决. ??页码7/7第六讲最大与最小问题2011-10-28ada99:11241_SR.HTM习题六且不大于2则n的最大值是____. 2.赵师傅要加工某项工程五个相互无关的部件急需的5个零件如果加工零件A、B、C、D、E所需时间分别是5分钟、3分钟、7分钟、4分钟、6分钟.问应该按照什么次序加工使工程各部件组装所需要的总时间最少这个时间是多少3.下图小明住在甲村奶奶住在乙村星期天小明去看奶奶先在北山坡打一捆草又在南山坡砍一捆柴给奶奶送去.请问小明应选择怎样的路线使路程最短 4.某车场每天有4辆汽车经过A1、A2、A3、A4、A5、A6六个点组织循环运输如图.在A1点装货需6个工人在A2点卸货需4个工人在A3点装货需8个工人在A4点卸货需5个工人在A5点装货需3个工人在A6点卸货需4个工人.若每个点固定工人太多会造成人力浪费我们可以让装卸工人跟车走.这样有人跟车有人固定问最少要安排多少名装卸工人??页码1/1习题六2011-10-28ada99:11242_SR.HTM习题六解答1.510.2.65分钟.加工顺序为B、D、A、E、C.3.如下图用“对称”方法找出甲和乙连接甲乙后交北山坡于A交南山坡于B.小明应在A处打草在B处砍柴.4.22名. ??页码1/1习题六解答2011-10-28ada99:11243_SR.HTM。

1.a 和 b 是小于 100 的两个不同的自然数，求 的最大值。

a+b x －y x －y最大最小问题a －ba+b2.设 x 和 y 是选自前 100 个自然数的两个不同的数，求的最大值。

x －yx+ya －b3.a 和 b 是小于 50 的两个不同的自然数，且 a ＞b ，求的最小值。

4.设 x 和 y 是选自前 200 个自然数的两个不同的数，且 x ＞y ，x+y x+y ①求 的最大值；②求 的最小值。

7 3 10 5 6 42 25.有甲、乙两个两位数，甲数 等于乙数的 。

这两个两位数的差最多是多少？3 46 有甲、乙两个两位数，甲数的 等于乙数的 。

这两个两位数的差最多是多少？5 17.甲、乙两数都是三位数，如果甲数的 恰好等于乙数的 。

这两个两位数的和最小是多少？8.加工某种机器零件要三道工序，专做第一、二、三道工序的工人每小时分别能做 48 个、32 个、28 个，要使每天三道工序完成的个数相同，至少要安排多少工人？9.如果两个四位数的差等于8921，就是说这两个四位数组成一个数对。

问：这样的数对共有多少个？10.两个四位数的差是8921。

这两个四位数的和的最大值是多少？11.如果两个三位数的和是525，就说这两个三位数组成一个数对。

那么这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的差最小是多少？最大是多少？12.如果两个四位数的差是3456，就说这两个数组成一个数对。

那么，这样的数对共有多少个？组成这样的数对的两个数的和最大是多少？最小是多少？7 14 2113.三个连续自然数，后面两个数的积与前面两个数的积之差是 114。

这三个数中最小的是多少？14.桑连续的奇数，后两个数的积与前两个数的积之差是252。

三个数中最小的数是______.15.a 、b 、c 是从小到大排列的三个数，且 a －b ＝b －c ，前两个数的积与后两个数的积之差是 280。

如果 b ＝35，那么 c是_____。

最大与最小模块一、数论中的极端思想【例1】1〜8这八个数字各用一次，分别写成两个四位数，使这两个数相乘的乘积最大。

那么这两个四位数各是多少？【解析】8531 和7642。

高位数字越大，乘积越大，所以它们的千位分别是8，7，百位分别是6，5。

两数和一定时，这两数越接近乘积越大，所以一个数的前两位是85，另一个数的前两位是76。

同理可确定十位和个位数.【巩固】两个自然数的和是15，要使两个整数的乘积最大，这两个整数各是多少？【解析】将两个自然数的和为 1 5的所有情况都列出来，考虑到加法与乘法都符合交换律，有下面7 种情况：15=1+14, 1 X 14=14;15=2+13, 2X 13=26;15=3+12，3X 12=36;15=4+11，4X 11=44;15=5+10，5X 10=50;15=6+9，6X 9=54;15=7+8，7X 8=56。

由此可知把15 分成7 与8 之和，这两数的乘积最大。

结论：如果两个整数的和一定，那么这两个整数的差越小，他们的乘积越大。

特别地，当这两个数相等时，他们的乘积最大.【巩固】两个自然数的积是48，这两个自然数是什么值时，它们的和最小？【解析】48的约数从小到大依次是1，2，3，4，6，8，12，16，24，48。

所以，两个自然数的乘积是48，共有以下5种情况：48=1X 48，1+48=49;48=2X 24，2+24=26;48=3X 16，3+16=19;48=4X 12，4+12=16;48=6X 8，6+8=14。

两个因数之和最小的是6+8=14o结论：两个自然数的乘积一定时，两个自然数的差越小，这两个自然数的和也越小【例2】有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字都恰好是它前面两个数字之和，直至不能再写为止，如257, 1459等等，这类数中最大的自然数是多少？【解析】要想使自然数尽量大，数位就要尽量多，所以数位高的数值应尽量小，故10112358 满足条件•如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的数的位数较少，所以最前面两个数字尽可能地小，取1与0.【例3】有一类自然数，它的各个数位上的数字之和为2003,那么这类自然数中最小的是几？【解析】一个自然数的值要最小，首先要求它的数位最小，其次要求高位的数值尽可能地小•由于各数位上的和固定为2003,要想数位最少，各位数上的和就要尽可能多地取9,而2003-9=222......5,所以满足条件的最小自然数为：5g9 (9)222 个9【例4】将前100个自然数依次无间隔地写成一个192位数：1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12……9899100从中划去100个数字，那么剩下的92位数最大是多少？最小是多少？【解析】要得到最大的数，左边应尽量多地保留9。