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南昌大学概率论与数理统计课件练习四

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概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计第四章习题及答案

概率论与数理统计习题 第四章 随机变量的数字特征习题4-1 某产品的次品率为，检验员每天检验4次，每次随机地取10件产品进行检验，如发现其中的次品数多于1个，就去调整设备，以X 表示一天中调整设备的次数，试求)(X E （设诸产品是否为次品是相互独立的）.解：设表示一次抽检的10件产品的次品数为ξP =P （调整设备）=P (ξ>1)=1－P (ξ≤1)= 1－[P (ξ=0)+ P (ξ=1)]查二项分布表1－=.因此X 表示一天调整设备的次数时X ～B (4, . P (X =0)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛04××=.P (X =1)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛14××=, P (X =2)= ⎪⎪⎭⎫⎝⎛24××=.P (X =3)=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛34××=, P (X =4)= ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛44××=. 从而E (X )=np =4×=习题4-2 设随机变量X 的分布律为Λ,2,1,323)1(1==⎭⎬⎫⎩⎨⎧-=+j j X P jjj ,说明X的数学期望不存在.解： 由于1111133322(1)((1))3j j j j j j j j j P X j j j j ∞∞∞++===-=-==∑∑∑，而级数112j j ∞=∑发散，故级数11133(1)((1))j jj j j P X j j∞++=-=-∑不绝对收敛，由数学期望的定义知，X 的数学期望不存在. 习题X-2 0 2 k p求)53(),(),(22+X E X E X E .解 E (X )=(-2)+0+2=由关于随机变量函数的数学期望的定理，知E (X 2)=(-2)2+02+22=E (3X 2+5)=[3 (-2)2+5]+[3 02+5]+[322+5]=如利用数学期望的性质，则有E (3X 2+5)=3E (X 2)+5=3+5=4.135)(3)53(,8.23.04.0)(,2.03.023.004.02)(222222)2(=+=+=⨯+⨯=-=⨯+⨯+⨯-=-X E X E X E X E习题4-4 设随机变量X 的概率密度为⎩⎨⎧≤>=-0,0,0,)(x x e x f x 求XeY X Y 2)2(;2)1(-==的数学期望.解22)(2)0(2)(2)2()()(00=-=+-=+⋅===∞-∞+-∞-+∞-∞-+∞∞-⎰⎰⎰⎰xx xx e dx e xe dx xe dx x dx x xf X E Y E I3131)()()(0303022=-==⋅==∞-∞+-∞+---⎰⎰xx x x X edx e dx e e e E Y E II 习题4-5 设),(Y X 的概率密度为⎩⎨⎧≤≤≤=其它,0,10,12),(2x y y y x f求)(),(),(),(22Y X E XY E Y E X E +.解 各数学期望均可按照⎰⎰+∞∞-+∞∞-=dxdy y x f y x g Y X g E ),(),()],([计算。

概率论与数理统计第四章习题解

概率论与数理统计第四章习题解

7.若连续型随机变量ξ的分布密度是：
⎧ax2 + bx + c , (0 < x < 1)
f (x) = ⎨ ⎩
0
， , (x ≤ 0, x ≥ 1)
已知 E(ξ ) ＝1/2， D(ξ ) =3/20,求系数 a 、 b 、 c .
解：应用密度函数的性质有：
∫1
(ax 2
+
bx
+
c)dx
=
(a
x3
解：(1). E(ξ ) ＝－2×0.4＋0×0.3＋2×0.3＝-0.2 .
(2). E(ξ 2 ) = 4 × 0.4 + 0 × 0.3 + 4 × 0.3 = 2.8，
则： E(3ξ 2 + 5) ＝ 3E(ξ 2 ) + 5 = 3 × 2.8 + 5 = 13.4 . (3).由(1),(2)解：
D(ξ ) = E(ξ 2 ) − E 2 (ξ ) = 2.8 − (−0.2)2 = 2.76 .
11.设随机变量
(ξ
,η)
具有概率密度：
f
( x,
y)
=
⎧1 ⎩⎨0
(| y |< x,0 < x < 1) (其它)
，试求：
-5-
E(ξ ) ， E(η) .
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ 解：
E(ξ )
=
解：由连续型随机变量数学期望的定义式：
∫ ∫ ∫ +∞
1500
E(ξ ) = xf (x)dx =
1
x 2dx − 3000 x(x − 3000) dx
−∞
0 15002
1500 15002

概率论与数理统计ppt课件

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04
理解基本概念和原理
做大量练习题，培养解题能力
05
06
阅读相关书籍和论文，拓宽知识面
02
概率论基础
概率的基本概念
试验
一个具有有限个或无限个 可能结果的随机试验。
事件
试验中的某些结果的总称 。
概率
衡量事件发生可能性的数 值，通常表示为0到1之间 的实数。
必然事件
概率等于1的事件。
不可能事件
概率等于0的事件。
01 点估计
用样本统计量估计总体参数，如用样本均值估计 总体均值。
02 区间估计
给出总体参数的估计区间，如95%置信区间。
03 估计量的性质
无偏性、有效性和一致性。
假设检验
假设检验的基本思想
先假设总体参数具有某种 特性，然后通过样本信息 来判断这个假设是否合理 。
双侧检验
当需要判断两个假设是否 相等时，如总体均值是否 等于某个值。
连续型随机变量
取值无限的随机变 量。
方差
衡量随机变量取值 分散程度的数值。
03
数理统计基础
总体与样本
总体
研究对象的全体。
抽样方法
简单随机抽样、分层抽样、系统抽样等。
样本
从总体中随机抽取的一部分个体，用于估 计和推断总体的特性。
样本大小
样本中包含的个体数量，需要根据研究目 的和资源来确定。
参数估计
单因素方差分析
单因素方差分析的定义
单因素方差分析是方差分析的一种形式，它只涉及一个实验因素。通过对不同组的均值进行比 较，可以确定这个因素对实验结果的影响是否显著。
单因素方差分析的步骤
单因素方差分析通常包括以下步骤：首先，对实验数据进行分组；其次，计算每组的均值；接 着，计算总的均值和总的变异性；然后，计算组间变异性和组内变异性；最后，通过比较这两 种变异，得出因素的显著性。

【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章 数学期望和方差

【精品】概率论与数理统计PPT课件第四章 数学期望和方差

8
9
10
P
0.1 0.3 0.6
Y
8
9
10
P
0.2 0.5 0.3
试问哪一个人的射击水平较高？ 9
例1（续）
甲、乙的平均环数可写为
EX 80.1 90.3 100.6 9.5 EY 80.2 90.5 100.3 9.1
10
例2.对产品进行抽样，只要发现废品就认为这批产 品不合格，并结束抽样。若抽样到第 n件仍未发现 废品则认为这批产品合格。假设产品数量很大，抽 查到废品的概率是 p，试求平均需抽查的件数。
6
(3)泊松分布 X的所有可能取值为0,1,2,…,且
7
(4)几何分布 X的可能取值为1,2,…, 且 P(X=k)= (1-p)k-1 p, k= 1,2,….
由于
这可以由等式
两边同时对x求导数得到。
8
例1：
甲、乙两人射击，他们的射击水平由下表给出： X：甲击中的环数； Y：乙击中的环数；
X
p)nm
29
注意到二项分布B(n , p)的数学期望,就有 于是
注: 最后一步用了泊松分布数学期望的结果.
30
例8: 设X ~ U[0,], Y =sinX,求E(Y)。
解: X 的概率密度为 所以
31
例9 设二维随机变量(X ,Y)的密度函数为 求E(X), E(Y), E( X + Y ), E(XY), E(Y / X) 解:
36
37
最终， 显然，y = 3500 时，E (Y )最大，
E(Y)max =8250万元.
38
例11.假设由自动线加工的某种零件的内径 X (mm)~
N ( ,1). 已知销售每个零件的利润T (元)与销售零件

概率论与数理统计完整ppt课件

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化学
在化学领域，概率论与数理统计被用于研究化学反应的速率和化 学物质的分布，如化学反应动力学、量子化学计算等。
生物
在生物学中，概率论与数理统计用于研究生物现象的变异和分布， 如遗传学、生态学、流行病学等。
在工程中的应用
通信工程
01
概率论与数理统计在通信工程中用于信道容量、误码率、调制
解调等方面的研究。
边缘分布
对于n维随机变量(X_1,...,X_n)，在概 率论中，分别定义了X_1的边缘分布 、...、X_n的边缘分布。
04
数理统计基础
样本与抽样分布
01
02
03
总体与样本
总体是包含所有可能数据 的数据集合，样本是总体 的一个随机子集。
抽样方法
包括简单随机抽样、分层 抽样、系统抽样等。
样本分布
描述样本数据的分布情况 ，如均值、中位数、标准 差等。
参数估计与置信区间
参数估计
利用样本数据估计总体的 未知参数，如均值、方差 等。
点估计
用样本统计量作为总体参 数的估计值。
置信区间
给出总体参数的一个估计 区间，表示对总体的参数 有一个可信的估计范围。
假设检验与方差分析
假设检验
通过样本数据对总体参数提出 假设，然后根据假设进行检验
01
定义
设E是一个随机试验，X，Y是定义在E上，取值分别为实数的随机变量
。称有序实数对(X，Y)为一个二维随机变量。
02
分布函数
设(X，Y)是一个二维随机变量，对于任意实数x,y，二元函数
F(x,y)=P({X<=x,Y<=y})称为二维随机变量(X,Y)的分布函数。
03
边缘分布
对于二维随机变量(X,Y)，在概率论中，分别定义了X的边缘分布和Y的

《概率论与数理统计》课件

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频数
17 20
10
2
1
入 则参数 的极大似然估计值为 ( )．
A1
B2
C3 D4
提交
设9八是9 的极大似然估计,g(9)是9函数,
若g(9)具有单值反函数,则g(9)的极大似然估计
为g(9八).
例 4 设总体X 的概率分布为
X
12
3
p
92 29(1−9) (1−9)2
现在观察容量为 3 的样本，观测值分别为 1 ，2 ，1，
n
9k ) = ln p(xi ;91 ,92
9k );
, i=1
(三) 对9i求偏导,然后令其为零,得到方程组
? ln L(91 ,92 ,
)
?9i
9
k = 0,
i = 1, 2,
k
解方程组得 (i = 1,2, , k) 则 为9i的极大似然估计量.
X ~ B(1, p), X1 , X2 , , Xn
其中 入> 0, 山 > 0 为未知参数，求参数入, 山 的矩估计．
解 设X1 , X2 , , Xn 为来自总体X 的一个样本，由于总体中
包含了两个未知参数，因此考虑总体的一阶、二阶原点矩，
1
j j EX = xf (x)dx = x入e −入(x−山)dx =山+ 入
2
j j EX2 = x2 f (x)dx = x2入e−入(x−山)dx = 山+ 1 + 1
矩估计量为( )．
A)
n −1
n
(Xi − X)2
i=1
1n
n C)
Xi 2
i=1
A
C
B) n −1 n Xi 2 i=1

概率论与数理统计课件(4-2)


测量结果的 均值都是 a
a



甲仪器测量结果

a
乙仪器测量结果
较好
若让你就上述结果评价一下两台仪器的优 劣，你认为哪台仪器好一些呢？
因为乙仪器的测量结果集中在均值附近
又如,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮 弹，其落点距目标的位置如图：
3. 计算协方差的一个简单公式
由协方差的定义及期望的性质，可得
Cov(X,Y)=E{[ X-E(X)][Y-E(Y) ]} =E(XY)-E(X)E(Y)-E(Y)E(X)+E(X)E(Y) =E(XY)-E(X)E(Y)
即
Cov(X,Y)=E(XY) -E(X)E(Y)
可见，若X 与 Y 独立， Cov(X,Y)= 0 .



x e
2

x
2
2
dx 1
若X ~ N (0,1), 则
E ( X ) 0, D( X ) 1
若X ~ N ( , )，则Z
2
X

~ N（0， 1）
E ( Z ) 0, D( Z ) 1
而X Z ,由数学期望和方差的性质得
E ( X ) E (Z ) E ( Z ) E ( )
下面我们举例说明方差性质的应用 . 例6 设X~B(n,p)，求E(X)和D(X). 解 X~B(n,p), 则X表示n重努里试验中的
“成功” 次数 .
1 若设 X i 0
n
如第i次试验成功 如第i次试验失败
i=1,2，…，n
则 X X是n次试验中“成功” 的次数 i
i 1
可知X i 是0 1分布，所以

概率论与数理统计数学PPT课件


i 1
i 1
且 fn (A) 随n的增大渐趋稳定，记稳定值为p．
13
(二) 概率
定义1：fn ( A)的稳定值p定义为A的概率，记为P(A)=p
定义2：将概率视为测度，且满足：
1。 0 P( A) 1
2。 P(S) 1
k
k
3。 若A1, A2,…,Ak两两互不相容，则 P( Ai ) P( Ai )
3
概率统计中研究的对象：随机现象的数量规律
对随机现象的观察、记录、试验统称为随机试验。 它具有以下特性：
1. 可以在相同条件下重复进行 2. 事先知道可能出现的结果 3. 进行试验前并不知道哪个试验结果会发生
例：
✓ ✓ ✓ ✓
抛一枚硬币，观察试验结果； 对某路公交车某停靠站登记下车人数； 对某批电子产品测试其输入电压； 对听课人数进行一次登记；
①，②，…，n
Ak
)
a n
a
a}，Ak
b
{ ①，②，…，a
}
无关，且与 a， b都无关，若a ＝0呢？对吗？
为什么？
不 是 等 可 能 概
记第k次摸到的球的颜色为一样本点：
型
S＝{红色,白色}，Ak {红色} P( Ak ) 1 2 22
例7：某接待站在某一周曾接待12次来访，已知所有这12次 接待都是在周二和周四进行的，问是否可以推断接待时间是 有规定的?
----------与k无关
21
解2：
视哪几次摸到红球为一样本点
, , ,, 12 k n
总样本点数为
Cna
，每点出现的概率相等，而其中有
C a1 n 1
个
样本点使 Ak
发生，
P( Ak )

概率论与数理统计教程第四章优秀PPT


k1
0.5 npq
np
注 意 点 (2)
中心极限定理的应用有三大类： i) 已知 n 和 y，求概率； ii) 已知 n 和概率，求y ； iii) 已知 y 和概率，求 n .
一、给定 n 和 y，求概率
例4.4.3 100个独立工作(工作的概率为0.9)的部件组 成一个系统，求系统中至少有85个部件工作的概率.
n
n
p
1
4.2.2 常用的几个大数定律
大数定律一般形式：
若随机变量序列{Xn}满足：
nlim
P
1 n
n
i 1
Xi
1 n
n
E(Xi)
i 1
1
则称{Xn} 服从大数定律.
切比雪夫大数定律
定理4.2.2
{Xn}两两不相关，且Xn方差存在，有共 同的上界，则 {Xn}服从大数定律. 证明用到切比雪夫不等式.
依概率收敛的性质
定理4.3.1 若 Xn P a, Yn P b
则{Xn}与{Yn}的加、减、乘、除 依概率收敛到 a 与 b 的加、减、乘、除.
4.3.2 按分布收敛、弱收敛
对分布函数列 {Fn(x)}而言，点点收敛要求太高.
定义4.3.2 若在 F(x) 的连续点上都有
nlim Fn(x) F(x) 则称{Fn(x)} 弱收敛于 F(x) ，记为
§4.3 随机变量序列的两种收敛性
两种收敛性： i) 依概率收敛：用于大数定律； ii) 按分布收敛：用于中心极限定理.
4.3.1 依概率收敛
定义4.3.1 (依概率收敛)
若对任意的
>0，有
nlim
P
Yn
Y
1
则称随机变量序列{Yn}依概率收敛于Y, 记为

概率论与数理统计ppt课件(完整版)

*
几何概型的概率的性质
对任一事件A ,有
三.统计定义:
(一) 频率
在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
频率的特性: 波动性和稳定性.
*
四.概率公理化定义:
定义: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件: 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性） P(S)=1;（规范性) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有 P(A1 A2 …)=P(A1)+P(A2)+… (可列可加性)
2. 样本空间与随机事件
(一) 样本空间: 定义 随机试验E的所有可能结果组成的集合称为 E的样本空间, 记为S. 样本空间的元素称为样本点，用表示.
样本空间的分类:
1.离散样本空间:样本点为有限个或可列个. 例 E1,E2等.
2.无穷样本空间:样本点在区间或区域内取值. 例 灯泡的寿命{t|t≥0}.
*
(二) 乘法公式:
P(AB)>0, 则有 P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB).
一般, 设A1, A2, …,An是n个事件,(n≥2), P(A1A2 ...An-1)>0, 则有乘法公式:
P(A1A2…An)=P(A1)P(A2|A1)…P(An-1|A1A2…An-2) P(An|A1A2…An-1).
*
B
A
S
2.和事件:
3.积事件： 事件A B={x|x A 且 x B}称A与B的积，即事件A与B同时发生. A B 可简记为AB.
类似地, 事件 为可列个事件A1, A2, ...的积事件.
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x
0dt 0
当1≤x≤1时
1
x
F ( x) 0dt
1 dt
1 1 x2
当x>1时
1 2
1
arc
x
dt 0dt =1
1 1 x2
1
14
综合得:
0,
x 1
F
(
x
)
1 2
1
arcsin
x,
1 x 1
1,
x1
15
六、设~N(3,22) 求:(1) P{2<≤5}; P{4<<10}; P{||>2};
bk<1<1 b=1 C, D
1
2.已知 P{X k} C 1 k (k 1,2 ) ,其中
>0,则C=___D___ k!
(A)e
(B) eλ
(C)e1
(D)e1
P{ X k} ( 2 n )C 1
k 1
1 2!
n!
(1 1 2 n )C 1
2!
n!
7
三、已知15件同类型的零件中有两件次品. 在其中取3次,每次取1件, 作不放回抽样.以
表示取出次品的件数. (1)求的分布律 (2)求的分布函数
解: (1) 的所有可能值为0,1,2
P{
0}
C133 C135
22 35
P{
1}
C
C1 2
2 13
C135
12 35
8
P{
2}
C22C113 C135
=(e1)C1 =1
C1=(e1)1 2
3.社会上定期发行某种奖券,每券1元,中奖
率为p.某人每次购买奖券1张,如果没有中
奖,则继续购买1张,直到中奖为止.则该人
中奖时,已购买奖券次数的分布为__A___
(A)P(=i)=p(1p)i1 (i=1,2,…)
(B)P(=i)=pi(1p)ni (i=1,2,…,n)
0,
| x | 1
试求: (1)系数A
(2)落在
(
1 2
,
1 2
)内的概率
(3)的分布函数
12
解:
1
(1) f ( x)dx 1
A dx 1
1 1 x2
A=1
A
1
(2)P{
1 2
1 2
}
1
2
1 2
1 3
1 dx 1 x2
13
x
(3)F ( x) f (t)dt
当x<1时 F ( x)
(C) P{
i}
C
i n
pi (1
p)ni
(i 1,2,..., n)
(D)P(=i)=(1p)pi1 (i=1,2,…)
前i 1次未中,第i次中
3
4.以下数列中,__A_B___可以成为某一离散 型随机变量的分布律
(A)
1 ( 2 )k1, 33
k 1,2,...
(B)
(1)k , 2
k 1,2,...
0≤pk≤1
pk 1 k
(C) 5 ( 2 )k1 , k 1,2,...
33
(D)
1 2
,
1 2
,
1 2
,
1 2
,...
4
二、同时掷两粒骰子.设随机变量为所得
两骰子点数和的2倍 (1)写出基本事件集
(2)对每个,相应的的值为多少 (3)事件{: ()<4}, { : ()≤5.5},
{ : 6≤()≤9}, { : ()>20}
1 35
故的分布律为:
012
P 22/35 12/35 1/35
(2) F(x)=P{≤x} 当x<0时,{≤x}为不可能事件 F(x)=P{≤x}=0
9
当0≤x<1时,{≤x}={=0} F(x)=P{≤x}=P{=0}=22/35
当1≤x<2时,{≤x}={=0}∪{=1} 又{=0}与{=1}是两互斥事件
P{>3} (2)决定C,使P{>C}=P{≤C}
解:
(1) P{2<≤5}
(
5
2
3
)
(
2
2
3
)
=(1)(0.5)
=(1)[1(0.5)]
=0.5328
16
P{4<<10}=0.9396
P{||>2}=1P{2≤≤2} =0.6977 P{>3}=1P{≤3} =0.5
(2) P{>C}=1P{≤C}=P{≤C}
各由哪些基本事件组成 (4)求(3)中的各事件的概率
5
解: (1) ={(i, j)|i, j=1,2,3,4,5,6}
(2) =4, =(1, 1) =6, =(1, 2),(2,1) =8, =(1, 3),(3,1),(2,2)
……
=20, =(4,6),(6,4),(5,5) =22, =(5,6),(6,5) =24, =(6, 6)
6
(3){<4}= {≤5.5}={=4}={(1,1)}
{6≤≤9}={=6,8}={(1,2),(2,1),(1,3),
(3,1),(2,2)}
{>20}={=22,24}={(5,6),(6,5),(6,6)} (4)P{<4}=0
P{≤5.5}=1/36 P{6≤≤9}=5/36
P{>20}=3/36=1/12
1.离散型随机变量X的分布为P(X=k)=bk
(k=1,2,…),则_A_B_C__D_成立
(A) b>0
(B) >0
(C) b=11
(D) =(1+b)1
b0, 0
0<b<1 , 0<b2<1>0, b>0A,B
P{X k} 1b+b2+...+bn+...=1
k 1
b(1 n 1
)
1
(n )
P{≤C}=0.5
(
C
2
3
)
0.5
C 3 0 C=3
2 17
F(x)=P{≤x}=P{=0}+P{=1}
=22/35+12/35=34/35
当x≥2时,{≤x}为必然事件 F(x)=P{≤x}=1
10
综合得:
0,
x0
F
(
x
)
22 35
34 35
, ,
0 x1 1 x2
1,
x2
11
五、连续型随机变量的概率密度为
f
(
x)
A, 1 x2
| x | 1