2017-2018上海徐汇区数学一模试卷与答案

2017学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷 初三数学 试卷 （考试时间100分钟，满分150分） 2018.1 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1．已知34x y =，那么下列等式中，不成立的是 （A ）37x x y =+； （B ）14x y y -=； （C ）3344x y +=+； （D ）4x =3y ． 2．在比例尺是1:40000的地图上，若某条道路长约为5cm ，则它的实际长度约为 （A ）0.2km ； （B ）2km ； （C ）20km ； （D ）200km ． 3．在△ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，如果AD =1，BD =3，那么由下列条件能够判断DE ∥BC 的是 （A ）13DE BC =； （B ）14DE BC =； （C ）13AE AC =； （D ）14AE AC =． 4．在Rt △ABC 中，∠C =90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，下列等式正确的是 （A ）sin b A c =； （B ）cos c B a =； （C ）tan a A b =； （D ）cot b B a =． 5．下列关于向量的说法中，不正确的是 （A ）3()33a b a b -=-r r r r ； （B ）若3a b =r r ，则33或a b a b ==-r r r r ； （C ）33a a =r r ； （D ）()()m na mn a =r r ． 6．对于抛物线2(2)3y x =-++，下列结论中正确结论的个数为 ①抛物线的开口向下； ②对称轴是直线x =-2； ③图像不经过第一象限； ④当x >2时，y 随x 的增大而减小． （A ）4； （B ）3； （C ）2； （D ）1． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7．已知线段b 是线段a 、c 的比例中项，且a =2，c =8，那么b = ▲ ． 8．计算：3(24)5()a b a b ---=r r r r ▲ ． 9．若点P 是线段AB 的黄金分割点，AB =10cm ，则较长线段AP 的长是 ▲ cm ． 10．如图，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，E 、F 分别为AB 、DC 上的点，若CF =4，且EF∥AD ，AE ：BE =2:3，则CD 的长等于 ▲ ．学校班级准考证号姓名…………………密○……………………………………封○……………………………………○线……………………………11．如图，在梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AD =2，BC =6，若△AOB 的面积等于6，则△AOD 的面积等于 ▲ ． 12．如图，在平行四边形ABCD 中，对角线AC 和BD 相交于点O ，若,AB a BC b ==uu u r r uu u r r ，则用、OD a b uuu r r r 可表示为 ▲ ．13．已知抛物线C 的顶点坐标为（1,3），如果平移后能与抛物线21232y x x =++ 重合，那么抛物线C 的表达式是 ▲ ．14．sin60tan 45cos60cot30=⋅-⋅o o o o ▲ ． 15．如果抛物线22y ax ax c =-+与x 轴的一个交点为（5,0），那么与x 轴的另一个交点的坐标是 ▲ ．16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、AD 分别是边AC 、BC 上的高，CD =2，AC =6，那么CE = ▲ ．17．如图，是将一正方体货物沿坡面AB 装进汽车货厢的平面示意图，已知长方体货厢的高度BC 为2.6米，斜坡AB 的坡比为1:2.4，现把图中的货物继续向前平移，当货物顶点D 与C 重合时，仍可把货物放平装进货厢，则货物的高度BD 不能超过 ▲ 米．18．在△ABC 中，∠C =90°，AC =3，BC =4（如图），将△ACB 绕点A 顺时针方向旋转得△ADE （点C 、B 的对应点分别为D 、E ），点D 恰好落在直线BE 上和直线AC 交于点F ，则线段AF 的长为 ▲ ．三、解答题：（本大题共7题，满分78分）19．（本题满分10分，第（1）小题满分4分，第（2）小题满分6分）如图，在△ABC 中，∠ACD =∠B ，AD =4，DB =5．（1）求AC 的长；（2）若设,CA a CB b ==uu r r uu r r ，试用、a b r r 的线性组合表示向量CD uu u r ．20．（本题共2小题，第（1）小题5分，第（2）小题5分，满分10分）已知一个二次函数的图像经过A （0，-6）、B （4，-6）、C （6，0）三点．（1）求这个二次函数的解析式；（2）分别联结AC 、BC ，求tan ∠ACB ．21．（本题满分10分）如图所示，巨型广告牌AB 背后有一看台CD ，台阶每层高0.3米，且AC =17米，现有一只小狗睡在台阶的FG 这,层上晒太阳，设太阳光线与水平地面的夹角为α，当α=60°时，测得广告牌AB 在地面上的影长AE =10米，过了一会，当α=45°，问小狗在FG 这层是否还能晒到太阳？请说明理由（3取1.73）．22．（本题满分10分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=12，sin C=45，点G是△ABC的重心，线段BG的延长线交边AC于点D，求∠CBD的余弦值．23．（本题满分12分，第（1）小题满分5分，第（2）小题满分7分）如图在△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别在边BC、AB、AC上，且∠ADE=∠B，∠ADF=∠C，线段EF交线段AD于点G．（1）求证：AE=AF；（2）若DF CFDE AE,求证：四边形EBDF是平行四边形．24．（本题满分12分，第（1）小题满分3分，第（2）小题满分4分，第（3）小题满分5分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，直线y =kx （k ≠0）沿着y 轴向上平移3个单位长度后，与x 轴交于点B （3,0），与y 轴交于点C ，抛物线2y x bx c =++过点B 、C 且与x 轴的另一个交点为A ．（1）求直线BC 及该抛物线的表达式；（2）设该抛物线的顶点为D ，求△DBC 的面积；（3）如果点F 在y 轴上，且∠CDF =45°，求点F 的坐标．25．（本题满分14分，第（1）小题3分，第（2）小题7分，第（3）小题4分）已知，在梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠A =90°，AD =2，AB =4，BC =5，在射线BC 任取一点M ，联结DM ，作∠MDN =∠BDC ，∠MDN 的另一边DN 交直线BC 于点N （点N 在点M 的左侧）．（1）当BM 的长为10时，求证：BD ⊥DM ；（2）如图（1），当点N 在线段BC 上时，设BN =x ，BM =y ，求y 关于x 的函数关系式，并写出它的定义域；（3）如果△DMN 是等腰三角形，求BN 的长．参考答案：1、B ；2、B ；3、D ；4、C ；5、B ；6、A ；7、4；8、7a b -r r ；9、555-；10、203；11、2；12、1122b a -r r ；13、21(1)32y x =-+；14、0；15、（-3,0）；16、43；17、125；18、757。

参考答案一、填空题 (共54分，第1题至第6题每小题4分；第7题至第12题每小题5分)1.2 2.92 3.2 4.2 5.160 6.4π7.01m <≤8.32−9.410.4032011.01m ≤<12.[]3,2−−二、选择题 (共20分，每小题5分)13.C 14.D 15.C 16.C、解答题17、解 1 ∵⊥PA 平面ABC ，AB PA ⊥，又∵AB AC ⊥，⊥∴AB 平面PAC ，所 DPA ∠就是PD 平面PAC 所成的角.………4分在PAD Rt ∆中，23,2==AD PA ，………………………………………6分所 43arctan =∠DPA ，即PD 平面PAC 所成的角的大小为43arctan.………………………8分 2 PDB ∆绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体，是 AB 为底面半径、AP 为高的圆锥中挖去一个 AD为底面半径、AP 为高的小圆锥.………10分所 体 πππ23223(312)3(3122=⋅⋅−⋅⋅=V .……………14分.18、解 1 由条件得 21cos 21()sin cos sin 222x f x x x x x +=+⋅=+，即1()cos 2sin 22f x x x =++………2分sin(2)3x π=++，………3分因为[0,]2x π∈，所 sin(2[3x π+∈因 ()sin(23f x x π=++1]+………6分2 由(2Af =，化简得sin(3A π+=因为(0,)A π∈，所 4(,)333A πππ+∈，所 233A ππ+=，即3A π=.………8分由余弦定理得 2216b c bc +−=，所 2()316b c bc +−=，又5b c +=，解得3bc =，………12分所 1sin 2ABC S bc A ∆==.………14分19、解 1 1()(0)4f x x x =≥.……3分，()0)g x x =≥.………6分 2 设B 产品的投资额为x 万元，则A 产品的投资额为 10x − 万元，创业团队获得的利润为y 万元，则1()(10)(10)(010)4y g x f x x x =+−=+−≤≤.………10分t =，()1002545412≤≤++−=t t t y ，即21565((04216y t t =−−+≤≤，当52t =，即 6.25x =时，y 取得最大值4.0625………13分答 当B 产品的投资额为6.25万元时，创业团队获得的最大利润为4.0625万元.……14分20、解 1 易得1(2,0)F −，2(2,0)F ，Γ的渐近线方程为y x =，由对 性，妨设:2) l y x =−,即20x −−=，------------------2分所 ，1(2,0)F −到l 的距离2d ==.-----------------------------4分 2 当直线l 的斜率为1时，l 的方程为2y x =−，------------------------5分因 ，(0,2)Q −，-----------------------------6分又1(2,0)F −，故1(2,2)F Q =−，设Γ右支 的点P 的坐标为(,),(0)x y x >，则1(2,)F P x y =+ ，由110F P F Q ⋅= ，得2(2)20x y +−=，-----------------------8分又2213x y −=，联立消去y 得2212150x x ++=，由根 系数的关系知， 方程无 根，因 ，在双曲线Γ的右支 存在点P ，满足110F P F Q ⋅=.--------------------10分 3 设1122(,),(,) A x y B x y ，则1212(,)44x x y y M −−−−，----------------11分由M 点在曲线 ，故212212(4()134x x y y −−−−−=(*)设:(2)l y k x =−联立l Γ的方程，得2222(13)121230k x k x k −+−−=---------------------------12分由于l Γ交于 同两点，所 ，k ≠.所 ，21221213k x x k −+=−，因 ，12121224(2)(2)()413k y y k x k x k x x k k−+=−+−=+−=−.------------14分从而(*)即为22222124()3()481313k k k k−−−=−−，解得k =.即直线l的方程为20x ±−=.-------------------------------------------16分21、解 1由条件得1122a b +==，令，即1a=2+，1b=2.----------4分 2 充分性 当{}n a 为常数数列时，{}n a 是公差为零的等差数列 --------------5分必要性 当{}n a 为等差数列时，1120m m m a a a −++−=对任意2,*m m N ≥∈恒成立，----------------------------------------------------------------------6分而112m m ma a a −++−=1m a −+1211()()m m m m a b a b −−+−+=121()m m m a b b −+−=1111(22m m m a b b −−−++−，0>0=，即11m m a b −−=，-------------9分从而1111122m m m m m m a b a a a a −−−−−++===对2,*m m N ≥∈恒成立,所 {}n a 为常数列.------------------------------------------------------------------------10分3 因为任意*,2n N n ∈≥，112n n n n a b a b −−+=≥=，--------------12分又已知11a b ≥，所 n n n c a b =−.从而11n n a b ++−=111((2)()2222n n n n n n n n n a b a b a b b a b +=+−≤+−=−，即112n n c c +≤，----------------------------------------------------------------------------------14分则n c ≤121n c −≤2212n c −≤…≤1112n c −，----------------------------------------------16分所 2n c c ++⋯≤112c +⋯+1112n c −=11(12n −−1c <1c .-------------------18分。

2018学年徐汇区高三数学一模考2017.12一、填空题1. 已知集合，若，则实数=____【答案】3【解析】因为，所以2. 在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点的坐标为_____【答案】（4，-5）【解析】对应的点的坐标为（4，-5）3. 函数的定义域为____【答案】（0,10]【解析】要使函数有意义需有，解得，所以函数的定义域为.4. 二项式的展开式中的常数项为___【答案】【解析】常数项为点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.5. 若，则=___【答案】1【解析】6. 已知圆与圆关于直线对称，则圆的方程是_____【解析】因为O-5,-5）7. O_____8. 某船在海平面A处测得灯塔B A相距6.0海里，船由A向正北方向航行8.1海里到达C处，这是灯塔B与船相距____海里。

（精确到0.1海里）【答案】4.2【解析】由余弦定理得灯塔B9. 若公差为d d的取值范围是____10. 1，1，2，3，5，8…，_____项【答案】20182018项11. n恒成立，则实数的取值范围是____【解析】nn点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，一般利用分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.12. y1,2]为函t的取值范围是_____1,2]在1,2]上单调递减，不合题意；.........二、选择题13.A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】B要不充分条件，选B.点睛：充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若则”、“若则”的真假．并注意和图示相结合，例如“⇒”为真，则是的充分条件．2．等价法：利用⇒与非⇒非，⇒与非⇒非，⇔与非⇔非的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若⊆，则是的充分条件或是的必要条件；若＝，则是的充要条件．14. 下列命题中，假命题的是……………………（）A.C. 为实数D.【答案】D【解析】若为实数，；则为实数；若为实数，，因此D错15. 现有8个人排成一排照相，期中甲、乙、丙三从两两不相邻的排法的种数为（）【答案】C【解析】先排剩下5人，再从产生的6个空格中选3选C.16. 如图，棱长为2 E 点P,Q【答案】B三、解答题17. 如图，梯形ABCD满足AB//CD现将梯形ABCD 绕AB所在直线旋转一周，所得几何体记叙(1)求的体积V(2)求的表面积S【答案】【解析】试题分析：（1）旋转体为一个圆锥与一个圆柱，根据圆柱与圆锥体积公式求体积，最后求和得的体积V（2）表面积为圆锥侧面积与圆柱侧面积以及一个底面圆的面积之和，代入对应公式可得结果试题解析：M、N是它与x轴的两个交点，C、D分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MC的中点，(1)若点M的坐标为（-1，0），求点C、点N和点D的坐标(2)若点M的坐标为（-,0）（>0）【答案】【解析】试题分析：（1）根据中点坐标公式可得C,根据对称可得N，D点坐标（2）先根据中点坐标公式以及对称性可得C,D坐标，再代入向量数量积坐标公式可得值，根据点坐标确定周期、振幅以及初始角，即得三角函数解析式试题解析：19.(1)(2)【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数(2)见解析【解析】试题分析：（12）利用分离变量法化为函数，根据绝对值定义化为分段函数，结合函数图像确定函数零点个数试题解析：（220. Q构成一个等腰直角三角形，点P x轴不重合的两直线AB，CD分别交椭圆于A，B，C，D且M，N分别是弦AB，CD的中点(1)求椭圆的方程(2)求证：直线MN过定点R(3)【答案】见解析（3）【解析】试题分析：（1）由椭圆几何性质可得b=c，再代入点P坐标解得a,b值（2）设直线AB方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理以及中点坐标公式可得M坐标，同理可得N坐标，最后根据两点斜率公式求证三点共线（3，设直线AB基本不等式求最大值试题解析：21.(1)(2)对不小于2的一切自然数n都成立，求的取值范围(3)、应满足的条件并证明你的结论【答案】（3【解析】试题分析：（1）根据定义，根据规律猜想数列的通项公式（2）3）先根据定义以试题解析：点睛：求解数列中的最大项或最小项的一般方法先研究数列的单调性，形结合求解.。

2018学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷高三年级数学学科2018．12一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果．1.若复数z 满足i 12i z ⋅=+，其中i 是虚数单位，则z 的实部为___________.2.已知全集U =R ，集合{}2,,0A y y x x x -==∈≠R ，则UA =___________.3.若实数,x y 满足1xy =，则222x y +的最小值为___________.4.若数列{}n a 的通项公式为*2()111n na n N n n=∈+，则lim n n a →∞=___________. 5.已知双曲线22221x y a b-=（0,0a b >>）的一条渐近线方程是2y x =，它的一个焦点与抛物线220y x =的焦点相同，则此双曲线的方程是___________.6.在平面直角坐标系xOy 中，直线l 经过坐标原点，()3,1n =是l 的一个法向量.已知数列{}n a 满足：对任意的正整数n ，点()1,n n a a +均在l 上.若26a =，则3a 的值为 .7.已知()212nx n N x *⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭的展开式中各项的二项式系数之和为128，则其展开式中含1x 项的系数是 .（结果用数值表示）8.上海市普通高中学业水平等级考成绩共分为五等十一级，各等级换算成分数如下表所示：他人的成绩至少是B 级及以上，平均分是64分.这个班级选考物理学业水平等级考的人数至少为___________人.9.已知函数()f x 是以2为周期的偶函数，当01x ≤≤时，()lg(1)f x x =+，令函数[]()()(1,2)g x f x x =∈，则()g x 的反函数为______________________.10.已知函数sin y x =的定义域是[],a b ，值域是12⎡⎤⎢⎥⎣⎦-1，，则b a -的最大值是___________.11.已知R λ∈，函数24,()43,x x f x x x x λλ-≥⎧⎪=⎨-+<⎪⎩.若函数()f x 恰有2个零点，则λ的取值范围是___________．12.已知圆M :1)1(22=-+y x ，圆N :1)1(22=++y x .直线1l 、2l 分别过圆心M 、N ，且1l 与圆M 相交于,A B 两点，2l 与圆N 相交于,C D 两点.点P 是椭圆22194x y +=上任意一点，则PA PB PC PD ⋅+⋅的最小值为___________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项．考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13.设R θ∈，则“=6πθ”是“1sin =2θ”的（ ） （A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件（C ）充要条件 （D ）既非充分也非必要条件14.魏晋时期数学家刘徽在他的著作《九章算术注》中，称一个正方体内两个互相垂直的内切圆柱所围成的几何体为“牟合方盖”.刘徽通过计算得知正方体的内切球的体积与“牟合方盖”的体积之比应为:4π.若正方体的棱长为2，则“牟合方盖”的体积为（ ） （A ）16 （B）（C ）163 （D ）128315.对于函数()y f x =，如果其图像上的任意一点都在平面区域{}(,)|()()0x y y x y x +-≤内，则称函数()f x 为“蝶型函数”.已知函数：①sin y x =；②y =是( )（A ）①、②均不是“蝶型函数” （B ）①、②均是“蝶型函数”（C ）①是“蝶型函数”；②不是“蝶型函数” （D ）①不是“蝶型函数”；②是“蝶型函数”16.已知数列{}n a 是公差不为0的等差数列，前n 项和为n S .若对任意的*n N ∈，都有3n S S ≥，则65a a 的值不可能为（ ） （A ）2 （B ）53 （C ）32 （D ）43三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，已知正方体''''ABCD A B C D -的棱长为1.（1）正方体''''ABCD A B C D -中哪些棱所在的直线与直线'A B是异面直线？ （2）若,M N 分别是','A B BC 的中点，求异面直线MN 与BC所成角的大小.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）已知函数2(),2ax f x x -=+其中.a R ∈（1）解关于x 的不等式()1f x ≤-；（2）求a 的取值范围，使()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数.19.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）我国的“洋垃圾禁止入境”政策已实施一年多. 某沿海地区的海岸线为一段圆弧AB ，对应的圆心角3AOB π∠=. 该地区为打击洋垃圾走私，在海岸线外侧20海里内的海域ABCD 对不明船只进行识别查证（如图：其中海域与陆地近似看作在同一平面内）.在圆弧的两端点,A B 分别建有监测站，A 与B 之间的直线距离为100海里. （1）求海域ABCD 的面积；（2） 现海上P 点处有一艘不明船只，在A 点测得其距A 点40海里，在B 点测得其距B 点. 判断这艘不明船只是否进入了海域ABCD ？请说明理由.海20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知椭圆2222:1(0)x y a b a bΓ+=>>的长轴长为1,直线:l y kx m =+与椭圆Γ交于,A B 两点.（1）求椭圆Γ的方程；（2）若A 为椭圆的上顶点，M 为AB 中点，O 为坐标原点，连接OM 并延长交椭圆Γ于N ，62ON OM =,求k 的值； （3）若原点O 到直线l 的距离为1，OA OB λ⋅=，当4556λ≤≤时，求OAB ∆的面积S 的范围.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）已知项数为0n 0(4)n ≥项的有穷数列{}n a ，若同时满足以下三个条件：①011,n a a m ==(m 为正整数)；②10i i a a --=或1，其中02,3,,i n =…；③任取数列{}n a 中的两项,()p q a a p q ≠，剩下的02n -项中一定存在两项,()s t a a s t ≠，满足p q s t a a a a +=+. 则称数列{}n a 为Ω数列.（1）若数列{}n a 是首项为1，公差为1，项数为6项的等差数列，判断数列{}n a 是否是Ω数列，并说明理由；（2）当3m =时，设Ω数列{}n a 中1出现1d 次，2出现2d 次，3出现3d 次，其中*123,,d d d N ∈，求证：1234,2,4d d d ≥≥≥；（3）当2019m =时，求Ω数列{}n a 中项数0n 的最小值.参考答案一、填空题：(共54分，第1~6题每题4分；第7~12题每题5分)1. 22. (],0-∞ 3. 4. 1- 5.221520x y -= 6. 2- 7. 84- 8. 15 9. []310,0,lg2x y x =-∈ 10.43π11. (]()1,34,+∞ 12. 8二、 选择题：(共20分，每题5分)13. A 14. C 15. B 16. D 三、 解答题17、解：(1)由异面直线的定义可知，棱,,',','',''AD DC CC DD D C B C 所在的直线与直线'A B 是异面直线 ……………….6分(2)连结',''BC A C ，因为,M N 分别是','A B BC 的中点， 所以MN ∥''A C ，又因为BC ∥''B C ，所以异面直线MN 与BC 所成角为'''A C B ∠(或其补角)，…….9分 由于'''','''90A B B C A B C =∠=于是'''45A C B ∠=， ………………13分所以异面直线MN 与BC 所成角的大小为45. ………….14分 18、解：（1）不等式()1f x ≤-即为2(1)10.22ax a xx x -+≤-⇔≤++……….3分 当1a <-时，不等式解集为[)(,2)0,-∞-+∞； ……………….4分当1a =-时，不等式解集为(,2)(2,)-∞--+∞； ……………….5分当1a >-时，不等式解集为(]2,0.- ……………….6分（2）任取120,x x <<则12121222()()22ax ax f x f x x x ---=-=++12122(1)(),(2)(2)a x x x x +-++……….9分120x x <<12120,20,20,x x x x ∴-<+>+>……………….11分所以要使()f x 在(0,)+∞递减即12()()0,f x f x ->只要10a +<即1,a <- ………13分 故当1a <-时，()f x 在区间(0,)+∞上是单调减函数 ……………….14分 19、解：（1）100AB =（海里）,3AOB π∠=则100120AO BO OC OD ====（海里），（海里） ……………….2分2211220012010023233ABCD S πππ=⋅⋅-⋅⋅=（平方海里） ……………….5分所以，海域ABCD 的面积为22003π平方海里. ……………….6分（2）100AB =（海里）40,AP BP ==（海里）cos PAB ∴∠=12=……………….8分 3PAB π∴∠=，23PAO π∠=……………….10分PO ∴ ……………….12分=120=>（海里） ∴这艘不明船只没有进入海域ABCD . ……………….14分20、解：（1）2a = a ∴=……………….1分又1a c +=，1,c ∴= ……………….2分222a b c =+1b ∴= ……………….3分故椭圆Γ方程为2212x y +=……………….4分 （2）y kx m =+过(0,1)A ，1m ∴=22221(12)4012y kx k x kx x y =+⎧⎪⇒++=⎨+=⎪⎩，222412,11212B B B k k x y kx k k --∴==+=++ 222412(,)1212k k B k k --∴++，则2221(,)1212k M k k -++ ……………….6分62ON OM=,∴22(,)122(12)N k k -++,代入椭圆Γ方程， ……………….8分得428210k k +-=，即22(41)(21)0k k -+=，所以12k =±……………….10分 （3）原点O 到直线l 的距离为1，2211m k =⇒=+ ……………….12分设11221212(,),(,),A x y B x y OA OB x x y y λ∴⋅=+=联立22222(12)4220(*)12y kx m k x kmx m x y =+⎧⎪⇒+++-=⎨+=⎪⎩ 22222164(12)(22)800k m k m k k ∆=-+-=>⇒≠由(*)式知，2121222422,1212km m x x x x k k--+=⋅=++ 2212121212()()(1)()x x kx m kx m k x x km x x m λ∴=+++=++++222222223223(1)22145,12121256m k k k k k k k --+--+⎡⎤===∈⎢⎥+++⎣⎦，得211,43k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ (14)分12AB x x =-====1OABS∆∴==……………….15分令2213512,,,223tk t k t-⎡⎤+=∴=∈⎢⎥⎣⎦5AOBS∆∴==⎣⎦……………….16分21、解：(1)若数列{}:1,2,3,4,5,6na是Ω数列，取数列{}n a中的两项1和2，则剩下的4项中不存在两项,()s ta a s t≠，使得12s ta a+=+，故数列{}n a不是Ω数列；……….4分(2)若13d≤，对于1,2p q==，若存在2s t<<，满足p q s ta a a a+=+，因为2s t<<，于是3,4s t≥≥，所以2sa a≥，1ta a>，从而21s ta a a a+>+，矛盾，所以14d≥，同理34d≥.……………….8分下面证明22d≥：若21d=，即2出现了1次，不妨设2ka=，1k s ta a a a+=+，等式左边是3；等式右边有几种可能，分别是11+或13+或33+，等式两边不相等，矛盾，于是12d≥.……………….10分(3)设1出现1d次，2出现2d次，…，2019出现2019d次，其中*122019,,,d d d N∈…由(2)可知，120194,4d d≥≥，且22d≥，同理20182d≥，……………….12分又因为*342017,,,d d d N∈…，所以项数01220192027n d d d=+++≥….……….14分下面证明项数n的最小值是2027：取12342017201820194,2,1,2,4d d d d d d d ========…，可以得到数列{}:1,1,1,1,2,2,3,4,,2016,2017,2018,2018,2019,2019,2019,2019n a ….接下来证明上述数列是Ω数列：若任取的两项分别是1,1，则其余的项中还存在2个1，满足1111+=+， 同理，若任取的两项分别是2019,2019也满足要求；若任取的两项分别是1,2，则其余的项中还存在3个1,1个2，满足要求， 同理，若任取的两项分别是2018,2019也满足要求；若任取1,3p q a a =≥，则在其余的项中选取2,1s t q a a a ==-，满足要求， 同理，若2017,2019p q a a ≤=也满足要求；若任取的两项,p q a a 满足12019p q a a <≤<，则在其余的项中选取1,1s p t q a a a a =-=+， 每个数最多被选取了1次，于是也满足要求.从而，项数0n 的最小值是2027. ……………….18分。

上海市徐汇区2017届高三一模数学试卷2016.12.21一.填空题(本大题共 12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分)2n1. Iimj n 12. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在 x 轴上，若C 经过点M(1,3)，则 其焦点到准线的距离为勺0 2】，解为片2，则a 心<0 1 b 丿 [y=14.若复数z 满足：i n =、,3 • i ( I 是虚数单位)，则|z|二2 65. 在(X 2)的二项展开式中第四项的系数是 _______________ (结果用数值表示)X6. 在长方体ABCD —ABQ 1D 1中，若AB=BC=1，AA =J 2，则异面直线BD 1与CC 1 所成角的大小为 _________「2X , x 兰07. 若函数f(x)=《的值域为(皿,1],则实数m 的取值范围是 ____________-x^m, x >01 ■—8.如图，在△ ABC 中，若 AB =AC =3，cos BAC 二一，DC =2BD ，贝V2AD BC 二 _________ 9.定义在R 上的偶函数y 二f(x)，当x_0时，f (x) =lg(x 2-3x • 3)，则f (x)在R 上的零点个数为 _________个10.将6辆不同的小汽车和 2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中2辆卡车必须停在 A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 ____________ 种(结果用数值 表示)(n ・N *)，若数列｛b n ｝是递减数列，则实数 m 的取值范围是 __________3.若线性方程组的增广矩阵为AIf11.已知数列｛a n ｝是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为S n ，设b n =S n nn 2。

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参考答案一、填空题：（共54分,第1～6题每题4分;第7~12题每题5分）1。

2 2. (],0-∞ 3。

4. 1- 5。

221520x y -=6。

2- 7。

84- 8。

15 9。

[]310,0,lg2x y x =-∈ 10。

43π11. (]()1,34,+∞ 12. 8二、选择题：(共20分，每题5分）13. A 14。

C 15。

B 16。

D三、解答题17、解：(1）由异面直线的定义可知,棱,,',','',''AD DC CC DD D C B C 所在的直线与直线'A B 是异面直线 ……………….6分 (2）连结',''BC A C ，因为,M N 分别是','A B BC 的中点， 所以MN ∥''A C ，又因为BC ∥''B C ，所以异面直线MN 与BC 所成角为'''A C B ∠(或其补角）, (9)由于'''','''90A B B C A B C =∠= 于是'''45A C B ∠=， ………………13分所以异面直线MN 与BC 所成角的大小为45。

上海市徐汇区2017届高三一模数学试卷2016.12.21一. 填空题（本大题共12题，1-6每题4分，7-12每题5分，共54分） 1. 25lim1n n n →∞-=+2. 已知抛物线C 的顶点在平面直角坐标系原点，焦点在x 轴上，若C 经过点(1,3)M ，则 其焦点到准线的距离为3. 若线性方程组的增广矩阵为0201a b ⎛⎫⎪⎝⎭，解为21x y =⎧⎨=⎩，则a b += 4. 若复数z满足：i z i ⋅=（i 是虚数单位），则||z = 5. 在622()x x +的二项展开式中第四项的系数是 （结果用数值表示） 6. 在长方体1111ABCD A BC D -中，若1AB BC ==，1AA =1BD 与1CC 所成角的大小为7. 若函数22,0(),0xx f x x m x ⎧≤⎪=⎨-+>⎪⎩的值域为(,1]-∞，则实数m 的取值范围是8. 如图，在△ABC 中，若3AB AC ==，1cos 2BAC ∠=，2DC BD =，则AD BC ⋅=9. 定义在R 上的偶函数()y f x =，当0x ≥时，2()lg(33)f x x x =-+，则()f x 在R 上 的零点个数为 个10. 将6辆不同的小汽车和2辆不同的卡车驶入如图所示的10个车位中的某8个内，其中 2辆卡车必须停在A 与B 的位置，那么不同的停车位置安排共有 种（结果用数值 表示）11. 已知数列{}n a 是首项为1，公差为2m 的等差数列，前n 项和为n S ，设2nn nS b n =⋅ *()n N ∈，若数列{}n b 是递减数列，则实数m 的取值范围是12. 若使集合2{|(6)(4)0,}A x kx k x x Z =--->∈中的元素个数最少，则实数k 的取值 范围是二. 选择题（本大题共4题，每题5分，共20分） 13. “4x k ππ=+()k Z ∈”是“tan 1x =”的（ ）条件A. 充分不必要B. 必要不充分C. 充分必要D. 既不充分也不必要14. 若1-（i 是虚数单位）是关于x 的方程20x bx c ++=的一个复数根，则（ ） A. 2b =，3c = B. 2b =，1c =- C. 2b =-，1c =- D. 2b =-，3c =15. 已知函数f (x )为R 上的单调函数，f -1(x )是它的反函数，点A (-1,3)和点B (1,1)均在 函数f (x )的图像上，则不等式1|(2)|1x f -<的解集为（ ）A. (1,1)-B. (1,3)C. 2(0,log 3)D. 2(1,log 3)16. 如图，两个椭圆221259y x+=、221259y x +=内部重叠区域的边界记为曲线C ，P 是曲线 C 上的任意一点，给出下列三个判断：（1）P 到1(4,0)F -、2(4,0)F 、1(0,4)E -、2(0,4)E 四点的距离之和为定值（2）曲线C 关于直线y x =、y x =-均对称 （3）曲线C 所围区域面积必小于36 上述判断中正确命题的个数为（ ）A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个三. 解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18=76分）17. 已知PA ⊥平面ABC ，AC AB ⊥，2AP BC ==，30CBA ︒∠=，D 是AB 的中点； （1）求PD 与平面PAC 所成角的大小；（结果用反三角函数值表示） （2）求△PDB 绕直线PA 旋转一周所构成的旋转体的体积；（结果保留π）18. 已知函数2sin ()1x xf x x -=；（1）当[0,]2x π∈时，求()f x 的值域；（2）已知△ABC 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若()2Af =，4a =，5b c +=， 求△ABC 的面积；19. 某创业团队拟生产A 、B 两种产品，根据市场预测，A 产品的利润与投资额成正比 （如图1），B 产品的利润与投资额的算术平方根成正比（如图2）； （注：利润与投资额的单位均为万元）（1）分别将A 、B 两种产品的利润f (x )、g (x )表示为投资额x 的函数；（2）该团队已筹集到10万元资金，并打算全部投入A 、B 两种产品生产，问：当B 产品 的投资额为多少万元时，生产A 、B 两种产品能获得最大利润，最大利润为多少？20. 如图，双曲线22:13x y Γ-=的左、右焦点1F 、2F ，过2F 作直线l 交y 轴于点Q ； （1）当直线l 平行于Γ的一条渐近线时，求点1F 到直线l 的距离；（2）当直线l 的斜率为1时，在Γ的右支上是否存在点P ，满足110F P FQ ⋅=？，若存在， 求点P 的坐标，若不存在，说明理由；（3）若直线l 与Γ交于不同两点A 、B ，且Γ上存在一点M ，满足40OA OB OM ++=（其中O 为坐标原点），求直线l 的方程；21. 正数数列{}n a 、{}n b 满足：11a b ≥，且对一切2k ≥，k N *∈，k a 是1k a -与1k b -的等 差中项，k b 是1k a -与1k b -的等比中项； （1）若22a =，21b =，求1a 、1b 的值；（2）求证：{}n a 是等差数列的充要条件是n a 为常数数列；（3）记||n n n c a b =-，当2n ≥，n N *∈，指出2n c c ++ 与1c 的大小关系并说明理由；参考答案一. 填空题 1. 2 2. 92 3. 2 4. 2 5. 160 6. 4π7. 01m <≤ 8. 32- 9. 4 10. 40320 11. [0,1) 12. [3,2]--二. 选择题13. C 14. D 15. C 16. C三. 解答题17.（1）；（2）32π；18.（1）；（219.（1）1()4f x x =，()g x =（2）对A 投资3.75万元，对B 投资6.25万元，可获得最大利润6516万元；20.（1）2；（2）不存在；（3）2x =+；21.（1）12a =12b =；（2）略；（3）21n c c c ++< ；。

2016学年第一学期徐汇区学习能力诊断卷初三数学 试卷2017.1一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．如果23x y =，那么下列格式中正确的是（ ）A ．23x y = B ．3xx y =- C ．53x y y += D ．25x x y =+ 2．如果一斜坡的坡比是1:2.4，那么该斜坡坡角的余弦值是（ ）A ．125B ．512 C ．513D ．12133．如果将某一抛物线向右平移2个单位，再向上平移2个单位后所得新抛物线的表达式是()221y x =-，那么原抛物线的表达式是（ ）A ．()2232y x =--B ．()2232y x =-+C ．()2212y x =+-D ．()2212y x =++4．在ABC 中，点D 、E 分别在边AB 、AC 上，连结DE ，那么下列条件中不能判断ADE 和ABC 相似的是（ ）A ．//DE BCB ．AED B ∠=∠C ．AE ABAD AC= D ．AE ACDE BC= 5．一飞机从距离地面3000米的高空测得一地面监测点的俯角是60︒，那么此时飞机与监测点的距离是 （ ）A ．6000米B ．C ．米D ．米 6．已知二次函数2243y x x =-+-，如果y 随x 的增大而减小，那么x 的取值范围是（ ）A ．1x ≥B ．0x ≥C ．1x ≥-D ．2x ≥-二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）7．已知线段9a =，4c =，如果线段b 是a 、c 的比例中项，那么b =____________． 8．点C 是线段AB 延长线上的点，已知AB a =，CB b =，那么AC =____________． 9．如图1，////AB CD EF ，如果2AC =， 5.5AE =，3DF =，那么BD =____________．102，那么它们的周长比是____________．11．如果点P 是线段AB 的黄金分割点（AP BP >），那么请你写出一个关于线段AP 、BP 、AB 之间的数量关系的等式，你的结论是：____________．12．在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，垂足为D ，如果4CD =，3BD =，那么A ∠的正弦值是_______． 13．正方形ABCD 的边长为3，点E 在边CD 的延长线上，联结BE 交边AD 于F ，如果1DE =，那么AF =________．14．已知抛物线24y ax ax =-与x 轴交于点A 、B ，顶点C 的纵坐标是-2，那么a =____________．15．如图2，矩形ABCD 的四个顶点正好落在四条平行线上，并且从上到下每两条平行线间的距离都是1，如果:3:4AB BC =，那么AB 的长是____________．16．在梯形ABCD 中，//AD BC ，AC 、BD 相交于O ，如果BOC 、ACD 的面积分别是9和4，那么梯形ABCD 的面积是____________．17．在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，5AC =，3BC =，CD 是ACB ∠的平分线，将ABC 沿直线CD 翻折，点A 落在点E 处，那么AE 的长是____________．18．如图3，在ABCD 中，:2:3AB BC =，点E 、F 分别在边CD 、BC 上，点E 是边CD 的中点，2CF BF =，120A ∠=︒，过点A 分别作AP BE ⊥、AQ DF ⊥，垂足分别为P 、Q ，那么APAQ的值是____________．三、（本大题共7题，第19-22题每题10分，第23、24题每题12分，第25题14分，满分78分） 19．（本题满分10分）计算：tan 452sin 60cot 30cot 45cos301︒︒-︒-︒+︒-．20．（本题共2小题，每题5分，满分10分）将抛物线244y x x =-+沿y 轴向下平移9个单位，所得新抛物线与x 轴正半轴交于点B ，与y 轴交于点C ，顶点为D ．求：（1）点B 、C 、D 坐标； （2）BCD 的面积．图1图2 图321．（本题共2小题，每题5分，满分10分）如图4，已知梯形ABCD 中，//AD BC ，4AB =，3AD =，AB AC ⊥，AC 平分DCB ∠，过点D 作//DE AB ，分别交AC 、BC 于F 、E ，设AB a =，BC b =． 求：（1）向量DC （用向量a 、b 表示）； （2）tan B 的值．22．（本题共2小题，第（1）小题4分，第（2）小题6分，满分10分）如图5，一艘海轮位于小岛C 的南偏东60︒方向、距离小岛120海里的A 处，该海轮从A 处沿正北方向航行一段距离后，到达位于小岛C 北偏东45︒方向的B 处．（1）求该海轮从A 处到B 处的航行过程中与小岛C 之间的最短距离（结果保留根号）；（2）如果该海轮以每小时20海里的速度从B 处沿BC 方向行驶，求它从B 处到达小岛C 的航行时间（结果精确到0．1小时）．1.41≈1.73≈）．图4图523．（本题共2小题．第（1）小题4分，第（2）小题8分，满分12分）如图6，已知ABC 中，点D 在边BC 上，DAB B ∠=∠，点E 在边AC 上，满足AE CD AD CE ⋅=⋅． （1）求证：//DE AB ；（2）如果点F 是DE 延长线上一点，且BD 是DF 和AB 的比例中项，联结AF ． 求证：DF AF =．24．（本题共3小题，每题4分，满分12分）如图7，已知抛物线23y x bx =-++与x 轴交于点A 和点B （点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，且OB OC =，点D 是抛物线的顶点，直线AC 和BD 交于点E ． （1）求点D 的坐标；（2）联结CD 、 BC ，求DBC ∠的余切值；（3）设点M 在线段CA 延长线上，如果EBM 和ABC 相似，求点M 的坐标．25．（本题满分14分）图6图7如图8，已知ABC 中，3AB AC ==，2BC =，点D 是边AB 上的动点，过点D 作//DE BC ，交边AC 于点E ，点Q 是线段DE 上的点，且2QE DQ =，联结BQ 并延长，交边AC 于点P .设BD x =，AP y =. （1）求y 关于x 的函数解析式及定义域；（4分） （2）当PEQ 是等腰三角形时，求BD 的长；（4分）（3）联结CQ ，当CQB ∠和CBD ∠互补时，求x 的值.（6分）图8备用图参考答案： 1-6,BDCDCA7，6 8，a b - 9，127 102 11，PB AP AP AB = ,答案不唯一 12，3513，94 14，12 15 16，16 17， 1819，3- 20，(1)()()5,0,0,5,-B C D -（2，9）(2)1521,(1)12DC a b =+ (2)tan ABC ∠=22,,7.3（2）小时 23,(1)证明略，（2）证明略24，（1）()223,1,4y x x D =-++ (2)3 (3)63(,)55M --25,(1)()930323x y x x -=<<+ (2) 1219 或65(3)2473。