高等数学期末及答案
一、 填空题(每小题3分,本题共15分)
1、.______)
31(lim 2
=+→x
x x 。
2、当k 时,?????>+≤=0
0e
)(2x k x x x f x 在0=x 处连续.
3、设x x y ln +=,则
______=dy
dx
4、曲线x e y x
-=在点(0,1)处的切线方程是
5、若
?+=C x dx x f 2sin )(,C 为常数,则=)(x f 。
二、 单项选择题(每小题3分,本题共15分)
1、若函数x
x x f =)(,则=→)(lim 0
x f x ( )
A 、0
B 、1-
C 、1
D 、不存在 2、下列变量中,是无穷小量的为( )
A. )0(1
ln
+→x x
B. )1(ln →x x
C. )0(cosx
→x D. )2(4
2
2→--x x x 3、满足方程0)(='x f 的x 是函数)(x f y =的( ).
A .极大值点
B .极小值点
C .驻点
D .间断点 4、下列无穷积分收敛的是( )
A 、
?
+∞
sin xdx B 、dx e x ?+∞-0
2 C 、dx x ?
+∞
1
D 、dx x
?+∞01 5、设空间三点的坐标分别为M (1,1,1)、A (2,2,1)、B (2,1,2)。则AMB ∠=
A 、
3π B 、4π C 、2
π
D 、π 三、 计算题(每小题7分,本题共56分)
1、求极限 x
x x 2sin 2
4lim
-+→ 。
2、求极限 )1
11(
lim 0
--→x x e x 3、求极限 2
cos 1
2
lim
x
dt e x
t x ?-→
4、设)1ln(25x x e y +++=,求y '
5、设)(x y f =由已知???=+=t
y t x arctan )1ln(2,求2
2dx y
d 6、求不定积分 dx x x ?+)32
sin(12
7、求不定积分
x x e
x
d cos ?
8、设??????
?≥+<+=0
110
11
)(x x
x e x f x
, 求
?
-2
d )1(x x f
四、 应用题(本题7分)
求曲线2x y =与2
y x =所围成图形的面积A 以及A 饶y 轴旋转所产生的旋转体的体积。
五、 证明题(本题7分)
若)(x f 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且0)1()0(==f f ,1)2
1
(=f ,证明:
在(0,1)内至少有一点ξ,使1)(='ξf 。
参考答案
一。填空题(每小题3分,本题共15分) 1、6
e 2、k =1 . 3、
x
x
+1 4、1=y 5、x x f 2cos 2)(= 二.单项选择题(每小题3分,本题共15分) 1、D 2、B 3、C 4、B 5、A 三.计算题(本题共56分,每小题7分) 1.解:x x x 2sin 2
4lim
-+→8
1)24(2sin 2lim 21)24(2sin lim 00=++=++=→→x x x x x x x x 7分 2.解 :21
lim 11lim )1(1lim )111(lim 0000=++=+--=---=--→→→→x x x x x x x x x x x x x x xe
e e e xe e e e x x e e x 7分
3、解: 2
cos 1
2
lim
x dt e x t
x ?-→e
x xe x
x 21
2sin lim 2
cos
0-
=-=-→ 4、解: )111(112
2
x
x
x y ++
++=
'……………………… …...4分
2
11x
+=
……………………………………… …...7分
5、解:t t t t dx dy 211211
2
2=++= (4分)
2
2
2
2
321
12()241d y t d dy
dx
t dt
t dt dx dx
t t
-
+===-+ (7分) 6、解:C x
d x dx x x ++=++-=+??)32cos(21)332()32sin(21)32sin(12 (7分)
7、 解:
?
?=x
x e x x x e d cos d cos
?+=sinxdx e cos x x e x ?+=x de sin cos x x e x
dx cos sin cos x e x e x e x x x ?-+= C x x e x ++=)cos (sin
8、解:
????
--+==-01
1
11
2
d )(d )(d )(d )1(x x f x x f x x f x x f
??+++=-100
11d 1d x x e x x
1001)1ln(d )11(x x e e x x +++-=?- 2ln )
1ln(101
++-=-x e
)1ln()1ln(11e e +=++=-
四.
应用题(本题7分)
解:曲线2
x y =与2
y x =的交点为(1,1), 于是曲线2
x y =与2
y x =所围成图形的面积A 为
31
]3132[)(10210
23
2
=-=-=?x x dx x x A
A 绕y 轴旋转所产生的旋转体的体积为:
()
πππ10352)(1
0521
4
2=????
??-=-=?y y dy y y V 五、证明题(本题7分)
证明: 设x x f x F -=)()(, 2分
显然)(x F 在]1,21
[上连续,在)1,2
1(内可导, 且 02
1
)21(>=
F ,01)1(<-=F .
零点定理知存在]1,2
1[1∈x ,使0)(1=x F . 4分 由0)0(=F ,在],0[1x 上应用罗尔定理知,至少存在一点
)1,0(),0(1?∈x ξ使01)()(=-'='ξξf F ,即1)(='ξf … …7分
2006-2007第一学期高数试题
一、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
二、1)函数()1
arcsin
3
x f x -=的定义域为240x x ≤≤=或。
三、2)201cos3lim
x x
x
→-=92
。
四、3)设x
e
y x π=+,则y '=1
ln x e ex
ππ-+。
五、4)设()220x
y a a x
=≠+,dy =()
22
2
2
2a x dx a
x
-+。
六、5)若
0,
a <=
arcsin x
C a
-+。
七、选择题(共5小题,每小题4分,共20分)
八、1)极限lim 23
x x →∞=+( D )
九、 A 、2 B 、2- C 、2± D 、不存在
十、2)下列函数()f x 在[]1,1-上适合罗尔中值定理条件的是( B )
十一、 A 、()f x =
、()2f x x x =
十二、 C 、()arccos f x x = D 、()cot
2
x
f x π=
十三、 3)下列函数中,哪一个不是sin 2x 的原函数( C ) 十四、 A 、2
sin x B 、2
cos x -
十五、 C 、cos2x - D 、2
2
5sin 4cos x x +
十六、 4)设2
221
1
1
ln ,ln ,P xdx Q xdx R =
==?
??
,则下列不等式正确的
是( D )
十七、 A 、P Q R << B 、Q R P <<
十八、 C 、R Q P << D 、Q P R << 十九、 5)设()f x 在[],a b 上连续,则()b
a d x f x dx dx ??=?
????( A )
二十、 A 、()b
a
f x dx ? B 、()()bf b af a -
二十一、 C 、()()()b
a
x f b f a f x dx -+
?????
D 、()()b
a
f x dx xf x +?
二十二、 计算下列各题(共4题,每小题6分,共24分)
二十三、
1)计算极限sin cos 30lim x x x
x e e x
→- 解:原式sin cos cos 3320
001sin cos sin 1
lim lim lim 33
x x x x x
x x x e x x x x x e
x x x -→→→--==== 2
)设参数方程(
ln sin x t y ?=?
??=?
,求22d y dx
解:sin dy
t dx
t
=
=
,2
2
cos 1d y t dx t ==。 3)计算不定积分()12ln
11x
x dx x x
+<-?
解:原式()()()32
22
211212ln
ln 111111x x x x x x x dx x dx x x x x x x +--+=-=+-+-+--?? ()()22
12222ln 1111x x x x dx x x x x ??+++=++ ? ?-++-?
?? 2
131ln
2111x x x dx x x x +??=+++ ?-+-?
?? ()()2
21ln 3ln 1ln 11x
x x x x C x
+=++--+- 二十四、 解答下列各题(共2题,每小题7分,共14分)
二十五、 1)在曲线2
1y x =+上求一点M ,使它到点()05,0M 的距离最小。
二十六、
解:设曲线2
1y x =+上一点坐标为()
2
,1a a +,它到点()05,0M 的距离
二十七、 ()()()
2
2
2
51f a a a =-++,我们只须在(),-∞+∞求()f a 得最小值
二十八、 ()()()()()2322541461014410f a a a a a a a a a '=-++=+-=-++
二十九、
当1a =时,()0f a '=,此时,()f a 取最小值。所求点为()1,2
三十、 2)设由cos ,0,0y x y x ===在第一象限围成的图形为D ,其面积为0S 。又曲
线()sin 0y a x
a =>将D 分为左右两部分12,D D ,其面积分别为1
2,S S ,求a 的
值使12:2:1S S =。
三十一、 解:[]2200
cos sin 1S xdx x π
π
=
==?
三十二、 又因为1201S S S +==,12:
S S 三十三、 所以1221
,33
S S =
= 三十四、 ()arccot 102
cos sin 3
a S x a x ==-?三十五、
[]()()cot 0sin cos sin cot cos cot arc a
x a x arc a a arc a a =+=+-
三十六、
25
12
a a a =
-=?=
三十七、
(本题8分)设())
()
()()
1b x b f x x a x -=
--有无穷间断点10x =,有可去间
断点21x =,求,a b 之值。 三十八、
解:因为10x =是无穷间断点,所以0x →时,()f x →∞,因此0a =,
0,1b b ≠≠
三十九、
又因为21x =是可去间断点,而1x →时,()()10x a x --→,所以,当
1x →时,
四十、 有
)
()0b x b -→,因此2b =。
四十一、
(本题9分)设()21
020x e x f x x x ?-≠?
=??=?
,讨论()(),f x f x '在0x =处的连
四十二、 解:因为()()2001
lim lim 20x x x e f x f x
→→-===,所以()f x 在0x =处的连续。
四十三、
()()()222200001
2012220lim lim lim lim 22h h h h h h h e f h f e h e h f h h h h
→→→→------'=====
四十四、
()22221
020x x xe e x f x x
x ?-+≠?'=??=?
,又因为
()2220021
lim lim 2x x x x xe e f x x
→→-+'==,所以 ()f x '在0x =处连续。 (本题10分)设()f x 在(),a b 内连续,可导且()f x '单调增,()0,x a b ∈
()()()
()00000
f x f x x x x x x f x x x ?-?≠?
-=??'=?
试证明:()x ?在(),a b 内也单调增。
证明:因为()()()
()()0000
lim lim
x x f x f x x f x x x x ??→→-'===-,所以()x ?在0x x =处
连续。
当0x x ≠时,()()()()()()
()
002
0f x x x f x f x x x x ?'---'=
-
在以0,x x 为端点的闭区间上对函数()x ?运用拉格朗日中值定理,至少存在0,x x
之间的一点ξ使得()()
()()()()()0000
f x f x f f x f x f x x x x ξξ-''=?-=--
当0x x ≠时,()()()
f x f x x x ξ?''-'=-,当()0,x a x ∈时,()()f x f ξ''≤,即
()0x ?'>;当()0,x x b ∈时,()()f x f ξ''≥,即()0x ?'>,又因为()x ?在0x x =
处连续。所以()x ?在(),a b 内也单调增。
一、填空题(本题共5小题,每小题4分,共20分).
(1) 2
10)(cos lim x x x → =_____e 1________.
(2)曲线x x y ln =上与直线01=+-y x 平行的切线方程为___1-=x y ______.
(3)已知x
x
xe e f -=')(,且0)1(=f , 则=)(x f ______=)(x f 2
)(ln 21
x _____ .
(4)曲线
132+=x x y 的斜渐近线方程为 _________.
9131-=x y
(5)微分方程5
2
2(1)1'-=++y y x x 的通解为_________.
)1()1(32227+++=x C x y
二、选择题 (本题共5小题,每小题4分,共20分).
(1)下列积分结果正确的是( D )
(A) 01
1
1=?-dx x (B) 21112
-=?-dx x
(C) +∞=?∞+141
dx x (D) +∞=?∞+11dx x
(2)函数)(x f 在],[b a 内有定义,其导数)('x f 的图形如图1-1所示,则( D ).
(A)21,x x 都是极值点.
(B) ()())(,,)(,2211x f x x f x 都是拐点. (C) 1x 是极值点.,())(,22x f x 是拐点.
(D) ())(,11x f x 是拐点,2x 是极值点.
(3)函数212e e
e x
x
x
y C C x -=++满足的一个微分方程是( (A )23e .x y y y x '''--= (B )
23e .x
y y y '''--= (C )
23e .x y y y x '''+-=
(D )
23e .x
y y y '''+-= (4)设)(x f 在0x 处可导,则()()
000
lim
h f x f x h h →--为( A ).
(A)
()0f x
'. (B) ()0f x
'-. (C) 0. (D)不存在 .
(5)下列等式中正确的结果是 ( A ).
(A) (())().
f x dx f x '=? (B)
()().=?df x f x
(C) [()]().d f x dx f x =? (D) ()().f x dx f x '=?
三、计算题(本题共4小题,每小题6分,共24分).
1.求极限)ln 11(lim 1x x x x --→.
解 )ln 11(lim 1x x x x --→=
x x x x x x ln )1(1ln lim 1
-+-→-------1分 =
x x x x
x ln 1
ln lim
1
+-→-------2分