5.2 圆的对称性2

初三数学师生讲学稿执笔：审核：初三备课组课题：圆的对称性课型：新授课时间：教学目标：1．知识与技能：圆的对称性垂径定理及其逆定理，运用垂径定理及其逆定理进行有关的计算和证明.2．过程与方法：经历探索圆的对称性及其相关性质的过程，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法.3．情感态度与价值观：通过学习垂径定理及其逆定理的证明，使学生领会数学的严谨性和探索精神，培养学生实事求是的科学态度和积极参与的主动谨慎精神.教学重点：垂径定理及其逆定理.教学难点：垂径定理及其逆定理的证明.教学设计：一、预习检测1._____________________________________________________是轴对称图形.2. 圆是_________________图形,其对称轴为_________________.3. 如图,在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB，垂足为E．则有AE=_____， _____= ， ____= ．4. AB是⊙O直径，AB=4，F是OB中点，弦CD⊥AB于F，则CD=_________5. ⊙O直径为8，弦AB＝4 2 ，则∠AOB＝＿＿＿＿＿。

6. ⊙O的直径为10，弦AB的长为8，M是弦AB上的动点，则OM的长的取值范围是（）A．3≤OM≤5 B．4≤OM≤5 C．3＜OM＜5 D．4＜OM＜5二、讲授新课同学们想一想：圆是轴对称图形吗?如果是，它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴?（圆是轴对称图形．过圆心的直线是它的对称轴，有无数条对称轴．）你是用什么方法解决上述问题的?大家互相讨论一下．我们可以利用折叠的方法，解决上述问题．把一个圆对折以后，圆的两半部分重合，折痕是一条过圆心的直线，由于过圆心可以作无数条直线。

这样便可知圆有无数条对称轴．圆是轴对称图形。

过圆心的任意一条直线都是对称轴．做一做AO BCDM按下面的步骤做一做:1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD ．3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．教师叙述步骤，师生共同操作，并提出问题：1．通过第一步，我们可以得到什么?（可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．）2．很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧? 为什么呢?（AM ＝BM ，BC ，AD =BD ，因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．）3．还可以怎么说呢?能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系? 如右图示，连接OA 、OB 得到等腰△ABC ，即OA=OB ，因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM=BM ，又⊙O 关于直径CD 对称，所以点A 与点B 关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC重合AD 与BD 重合．因此AM ＝BM ，AC ＝BC ，AD =BD ）4．在上述操作过程中，你会得出什么结论?垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．[这就是利用圆的轴对称性得到的与圆相关的一个重要性质——垂径定理．在这里注意：①条件中的 “弦”可以是直径．②结论中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弦．下面，我们一起看一下定理的证明：如上图，连接OA 、OB ，则OA=OB在Rt △OAM 和Rt △OBM 中，∵ OA=OB ，OM=OM∴ Rt △OAM ≌Rt △OBM∴ AM=BM∴ 点A 和点B 关于CD 对称∵ ⊙O 关于直径CD 对称∴ 当圆沿着直径CD 对折时，点A 和点B 重合，AC 和BC 重合，AD 和BD 重合 ∴BC ， 即垂径定理的条件有两项，结论有三项．用符号语言可表述为：AM BM CD AD BD CD AB M AC BC =⎧⎪⎫⇒=⎬⎨⊥⎭⎪=⎩是直径于为了运用的方便，不易出现错误，易于记忆，可将原定理叙述为：一条直线若满足：(1)过圆心；(2)垂直于弦，那么可推出：①平分弦，②平分弦所对的优弧，③平分弦所对的劣弧． A O B C D M例题讲解通过求解例，来熟悉垂径定理以及常见的辅助线已知：如图，在以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于C、D两点．求证AC=BD．（证明略）拓展延伸1. 在半径为5的圆中,弦AB∥CD,AB=6,CD=8,试求AB和CD的距离.2.一个点到圆的最大距离为11cm，最小距离为5cm,则圆的半径为( )(A)16cm或6cm, (B)3cm或8cm (C)3cm （D）8cm随堂练习三、课堂小结1．本节课我们探索了圆的对称性．2．利用圆的轴对称性研究了垂径定理．3．垂径定理和勾股定理相结合，构造直角三角形，可解决计算弦长、半径、弦心距等问题．四、课后作业1．课本习题P93 1、2；2．复习本堂课内容。

九年级数学5.2 圆的对称性（二）班级 姓名 学号 学习目标1．理解圆的对称性（轴对称）及有关性质. 2．理解垂径定理并运用其解决有关问题. 学习重点：垂径定理及其运用. 学习难点：灵活运用垂径定理. 教学过程 一、情境创设（1）什么是轴对称图形？（2）如何验证一个图形是轴对称图形？ 二、探究学习 1.尝试（1） 在圆形纸片上任意画一条直径.（2） 沿直径将圆形纸片对折，你能发现什么？请将你的发现写下来： _______________________________________________________________. 2.探索如图，CD 是⊙O 的弦，画直径AB ⊥CD ，垂足为P ；将圆形纸片沿AB 对折.通过折叠活动，你发现了什么？__________________________________________________________________. 请试一试证明！ 3.总结垂径定理：_________________________________________________________。

4.典型例题例1.如图，以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D.AC 与BD 相等吗？为什么？例2.如图，已知：在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离为3。

（1）求的半径；（2）若点P 是AB 上的一动点，试求OP 的范围。

5.巩固练习（1）判断下列图形是否具有对称性？如果是中心对称图形，指出它的对称中心，如果是轴对称图形，指出它的对称轴。

① ② ③④ ⑤DDBB（2）如图，在⊙O 中，弦AB 的长为8，圆心O 到AB 的距离是3.求⊙O 的半径.（3）如图，在⊙O 中，直径AB=10，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，OE=3，求弦CD 的长.（4）如图，OA=OB ，AB 交⊙O 与点C 、D ，AC 与BD 是否相等？为什么？（5）在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度.（6）设AB 、CD 是⊙O 的两条弦，AB ∥CD ，若⊙O 的半径为5，AB=8,CD=6，则AB 与CD 之间的距离为_____________（有两种情况）. 三、归纳总结1．圆的轴对称性及有关性质.2．理解垂径定理并运用其解决有关问题.【课后作业】班级 姓名 学号1． 如图，∠C=90°，⊙C 与AB 相交于点D ，AC=5，CB=12，则AD=_____ 2．如图,在⊙O 中，CD 是直径，AB 是弦，CD ⊥AB ，垂足为M ．则有AM=_____， _____= ， ____= ．3. ⊙O 中，直径AB ⊥弦CD 于点P ，AB=10cm,CD=8cm ，则OP 的长为 CM.4. ⊙O 的弦AB 为5cm ，所对的圆心角为120°，则圆心O 到这条弦AB 的距离为___5. 圆内一弦与直径相交成30°且分直径为1cm 和5cm ，则圆心到这条弦的距离为 cm.6.已知在⊙O 中，弦AB 的长为8cm ，圆心O 到AB 的距离为3cm ，求⊙O 的半径．7.已知，如图 ，⊙O 的直径AB 与弦CD 相交于点E,AE=1,BE=5, AEC =45°,求CD 的长。

第五章 中心对称图形（二）第4课时：圆的对称性（2）班级________姓名_________学号________学习目标：1、利用圆的轴对称性探究垂径定理、证明垂径定理．2、利用垂径定理进行有关的计算与证明．3、在经历探索与证明垂径定理的过程中，进一步体会和理解研究几何图形的各种方法． 思考探索：问题 1、在直径为650mm 的圆柱形油罐内装进一些油后，其横截面如图，若油面宽AB=600mm ，求油的最大深度．问题 2、以点O 为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB 交小圆于点C 、D ．（1）AC 与BD 相等吗？为什么？（2）若AB=8cm ，CD=4cm ，大圆的半径为5cm ，求小圆的半径．（3）若两圆的半径分别为15cm 、13cm ，AC 长为4cm ，求AB 与CD 的长度．随堂练习：1、⊙O 的直径为10，弦AB 的长为8，P 是AB 上的一个动点，求2、已知⊙O 的半径为5cm ，弦AB ∥CD ，且AB=8cm ，CD=6cm ，求弦AB 与CD 的距离．拓展延伸：梯形ABCD 的四个顶点都在⊙O 上，且AB ∥CD ，⊙O 的半径为5cm ，AB=8cm ， CD=6cm ，求梯形ABCD 的面积．课后作业：1、如图，矩形ABCD 与⊙O 交于点A 、B 、F 、E ，DE=1cm ，EF=3cm ，则AB=__________cm ．2、如图，⊙O 的直径CD 与弦AB 相交于点M ，只要再添加一个条件：________，就可得到M 是AB 的中点．3、在圆中有一条长为16cm 的弦，圆心到弦的距离为6cm ，该圆的直径的长为_______cm ．4、如图，在⊙O 中，AB 为弦，OC ⊥AB ，垂足为C ．若OA=5，OC=3，则弦AB 等于（ ）．A ．10B ．8C ．6D ．45、一种花边是由如图的弓形组成的，的半径为5，弦AB=8，则弓形的高CD 为（ ）．A ．2B ．25C ．3D ．316第1题 第2题 第4题6、如图，在⊙O 中，弦AB=AC=5cm ，BC=8cm ，则⊙O 的半径等于_________cm ．7、在半径为6cm 的圆中，已知两条互相垂直的弦，其中一条被另一条分成3cm 和7cm 的两段，则圆心到两弦的距离分别为__________．8、如图，在⊙O 中，弦AB ∥CD ，直径MN ⊥AB 且分别交AB 、CD 于E 、F ，下列4个结论：①AE=BE ；②CF=DF ；③AC=BD ；④MF=EF ．其中正确的有 （ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 9、如图，P 是半径为5的⊙O 内一点，且OP=3，在过点P 的所有⊙O 的弦中，弦长为整数的弦的条数为 （ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．510、如图，⊙O 的直径为10cm ，弦AB 为8cm ，P 为弦AB 上的一动点，若OP 的长度为整数，则满足条件的点P 有（ ）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个11、如图，⊙O 1与⊙O 2相交于A 、B 两点，过A 作O 1O 2的平行线交两圆于C 和D ．试说明：CD=2 O 1O 2．12、如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的一点，CD ⊥AB 于D ，CE 平分∠DCO ，交⊙O 于E．（1）试说明：AE=BE ．（2）当点C 在上半圆上移动时，点E 是否随着点C 的移动而移动？13、如图，AB 是⊙O 的直径，BC 是⊙O 的弦，OD ⊥CB于点E，交于点D ．（1）请写出三个不同类型的正确结论； （2）连接CD，设∠CDE=α，∠ABC=β，试找出α与β之间的一种关系，并说明道理．14、如图，圆柱形水管内原有积水的水平面宽CD=10cm ，水深GF=1cm ，若水面上升1cm （EG=1cm ），则此时水面宽AB 为多少？★15、有一座弧形的拱桥，桥下水面的宽度AB 为7.2米，拱顶高出水面CD ，长为2.4米，现有一艘宽3米，船舱顶部为长方形并且高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座弧形拱桥吗？第6题 第9题 第10题第8题。

圆及圆的对称性 圆及圆的对称性圆圆的对称性圆的定义圆的有关概念点与圆的位置关系圆的对称性圆心角圆心角、弧、弦之间的关系知识点1 圆及与的相关的概念1.（1）圆的定义：在一个平面内，线段OA 绕它的一个固定端点O 旋转一周，另一个端点A 所形成的图形叫做圆。

固定端点O 叫做圆心，线段OA 叫做半径。

以点O 为圆心的圆，记作“⊙O ”，读作“圆O ”.注意：①在平面内，②圆是指圆周，而不是圆面，③圆的两要素．．．：圆心和半径，圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小，④线段OP 的长也可以叫半径.（2）圆的集合性定义：圆心为O ，半径为r 的圆，可以看成所有到定点O ，距离等于定长r 的点的集合。

注：①圆上各点到定点（圆心O ）的距离都等于定长（半径r ）； ②到定点的距离都等于定长的点都在同一个圆上。

2.弦与直径、弧与半圆①连接圆上任意两点的线段叫做弦，如下图线段AC ，AB ；②经过圆心的弦叫做直径，如下图线段AB ；③圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，“以A 、C 为端点的弧记作AC ”，读作“圆弧AC ”或“弧AC ”．大于半圆的弧（如图所示ABC 叫做优弧，•小于半圆的弧（如图所示）AC 或BC 叫做劣弧．BA C O④圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．3.同心圆和等圆同心圆：圆心相同，半径不等的圆叫做同心圆。

如图2所示：图2 图3等圆：半径相等的圆（能够互相重合的圆）叫做等圆。

注：同圆或等圆的半径相等。

如图3.等圆与位置无关等弧：在同圆和等圆中，等够完全重合．．．．．．的弧叫做等弧。

注：长度相等的弧，度数相等的弧都不一定是等弧。

例 1.如图，一枚直径为4cm的圆形古钱币沿着直线滚动一周，圆心移动的距离是( )A．2πcm B．4πcm C．8πcm D．16πcm例2.如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，AB、CD的延长线相交于点E.已知AB＝2DE，∠E＝18°.试求∠AOC的度数．例3.在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3 cm，AC＝4 cm，以点B为圆心，BC长为半径作⊙B，点A，C及AB，AC的中点D，E与⊙B有怎样的位置关系？例4.由于过度砍伐森林和破坏植被，我国某些地区多次受到沙尘暴的侵袭．近来A 市气象局测得沙尘暴中心在A 市正东方向400 km 的B 处，正在向西北方向移动，若距沙尘暴中心300 km 的范围内将受到影响，则A 市是否会受到这次沙尘暴的影响？例5.如图所示，在⊙O 中，A ，C ，D ，B 是⊙O 上四点，OC ，OD 交AB 于点E ，F ，且AE＝FB ，下列结论：①OE ＝OF ；②AC ＝CD ＝DB ；③CD ∥AB ；④AC ︵＝BD ︵.其中正确的有( )A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个例6.若点P 到⊙O 的最小距离为6 cm ，最大距离为8 cm ，则⊙O 的半径是 。

初三数学上册知识点：中心对称图形5.1圆1、定义：圆是到定点的距离等于定长的点的集合2、点与圆的位置关系：如果⊙O的半径为r，点P到圆心O的距离为d，那么点P在圆内，则dr;点P在圆上，则dr;点P在圆外，则dr;反之亦成立。

5.2圆的对称性一、圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。

定理：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。

圆心角的度数与它所对的弧的度数相等。

二、圆是轴对称图形，过圆心的任意一条直线都是它的对称轴。

垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。

5.3圆周角定义：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角定理：同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于该弧所对的圆心角的一半。

定理：直径(或半圆)所对的圆周角是直角。

90º的圆周角所对的弦是直径。

5.4确定圆的条件结论：不在同一条直线上的三点确定一个圆三角形的外接圆(三角形的外心)：三角形的外心是三角形中3边垂直平分线的交点，三角形的外心到三角形各顶点的距离相等。

注：直角三角形的外心是斜边的中点，外接圆的半径等于斜边的一半。

5.5直线与圆的位置关系一、三种位置关系：相交、相切、相离如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，那么直线l与⊙O相交，则dr;直线l与⊙O相切，则dr;直线l与⊙O相离，则dr;反之亦成立。

二、圆的切线的性质及判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线两种方法：连半径，证垂直;作垂直，证半径定理：圆的切线垂直于过切点的半径三角形的内切圆(三角形的内心)：三角形的内心是三角形中3条角平分的交点，三角形的内心到三角形各边的距离相等。

注：求三角形的内切圆的半径通常用面积法，特殊地，直角三角形内切圆的半径=a b c(其中c为斜边) 2切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。