6.5 一次函数的应用（第2课时）
【学习目标】
1.掌握数形结合，方程与函数的结合的思想方法。
2.解决两个函数的有关问题，能准确地通过图像获取信息；并理解一次函数中的k与b在某些实际问题中的实际意义。
【温故知新】
水龙头关闭不严会造成滴水，容器内盛水量W
（L）与滴水时间t（h）的关系如图所示，根据
图像解答下列问题。
（1）容器内原有水多少升？
（2）水滴的速度是多少？
（3）求w与t之间的函数表达式.
（4）表达式中2与3的实际含义是什么？
【问题导学】
1.观察课本图6-10，回答问题：
L1反映了某公司产品的销售收入与销售量的关系，L2反映了该公司产品的销售成本与销售量的关系，根据图意填空：
（1）当销售量为2吨时销售收入= 元，销售成
= 元.
（2）当销售量为6吨时销售收入= 元，销售成本
= 元.
（3）当销售量等于时，销售收入=销售成本. （4）当销售量时，该公司赢利，当销量时，该公司亏损.
（5）L1对应的函数表达式是 .
L2对应的函数表达式是 .
思考1：L1对应的函数中，y=k1x+b1中，
k1和b1的实际意义各是什么？
L2对应的函数y=k2+b2中，
k和2b的实际意义各是什么？(小组交流)
2
归纳提升：
★当同一直角坐标系中出现多个函数图象时，要注意对应的关系，并进行标记。
★在观察图像时，若两条直线相交，先找交点坐标，在交点处y1=y2,再看交点的左右两边，图像位于上方的直线函数值要大。
【跟踪联系】
已知甲、乙两物体沿同一条直线同时、同向匀速运动，
他们所经过的路程s与所需时间t之间的关系如图所
示：
求出两直线的交点坐标，并说明实际意义。
【自学检测】
我边防局接到情报，近海处有一可疑船只A正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图所示）。图中L1，L2分别表示两船相对于海岸的距离s（海里）与追赶时间t（分）之间的关系.
根据图像回答下列问题
（1）哪条线表示B到海岸的距离与
追赶时间之间的关系？
（2）A、B哪个速度快？
（3）15min内B能否追上A？
（4）如果一直追下去，那么B能否
追上A？
（5）当A逃到离海岸12海里时，B将无法对其进行检查。照此速度，B能否在A逃入公海前将其拦截？
思考2：在上图中，L1与L2对应的函数S1=k1t+b1和S2=k2t+b2中，k1和k2的实际意义各是什么？可疑船只A和快艇B的速度各是多少？
思考3：你能用其他方法解决例2中的问题（1）至（5）吗？
归纳提升：
★在运用一次函数解决实际问题时，可以直接从函数图像上获取信息解决问题，当然也可以设法得出各自对应的函数关系式，然后借助方
程通过计算解决问题。
【巩固练习】
新龟兔赛跑
下图 L 1 L 2 分别是龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象。
根据图象可以知道：
（1）这一次是 米赛跑。 （2）表示兔子的图象是 。
（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点
还有 米。
（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米。
【拓展延伸】
某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是
使用会员卡,一种是使用租书卡,使用这两种
卡租书,租书金额y (元)与租书时间x (天)之
间的关系如下图:
1)分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y (元)与租书时间x (天)之间的函数关系式;
2)两种租书方式每天租书的 收费分别是多少?
3)若两种租书卡的使用期限均为一年,则在这一年中如何选取这两种租书方式比较划算?
L 1
L 2
【反思收获】
本节课你有什么收获？还有什么疑惑？
【当堂检测】
1.如图，是甲、乙两人所行的路程y(km)与时间x(h)
之间的函数关系的图象，根据图象回答：
甲的速度为______，乙的速度为______；后者用了
______小时追上前者；追上时他们各走了______.
2、某电视机厂要印制产品宣传材料.甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.
（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；（2）在同一直角坐标系内画出它们的图像；
（3）根据图像回答下列问题：
①印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？
②电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？
【布置作业】
※必做：导学案拓展延伸
※选做：柳卡趣题
珍惜每一天，拼搏每一天，专心每一天，成功每一天！
学情分析
在前面的学习过程中，学生已初步掌握了函数的概念、一次函数的图象及性质，并了解了函数的三种表达方式：图象法、列表法、解析式法。在此基础上，引导学生根据图象等信息列出一次函数表达式的方法，并进一步感受数形结合的思想方法．最大的障碍是从文字、表格和图像中正确获取信息准确建模这也是解决函数应用的关键。学生在学习一次函数的过程中，对简单问题(如简单地应用待定系数法求一次函数、直接应用图象特征判别问题特征等)往往能根据课堂所学的概念知识，加上参阅书本知识，画出相应的函数图象解决，看不出学生对一次函数的理解程度。但随着时间的推移，随着问题情境复杂化，他们就会表现出对一次函数知识理解深度不够，停留在感性认识多些，理性认识少些，对一次函数解析式的直接应用多些，对解析式与图象间的内在联系运用薄弱些，需要多练、多探、多问、总结经验。并且初二学生在12—13岁之间，有一定生活经验和较强的好奇心、求知欲，已具备了思维的完整性、深刻性和实践性等思维品质，但尚待提高，学生的抽象概括能力有限．学生在学习中遇到的困难主要表现在以下三个方面：
(1)将复杂问题情境转化为一次函数图象；
(2)结合题意理解一次函数所表达的信息；
(3)结合题意把图象信息转化为数量关系。
学习一次函数，意味着由常量数学的学习进入变量数学的学习，学生的思维方式要随之而变，这是对学生思维能力的考验，也是其数学认识的一次重要飞跃。因此在学习过程中尽可能的为学生提供更广阔的独立自由思考的空间，也鼓励学生大胆探索，调动学生的学习积
极性，使学生在活动中，学会解决问题的方法。
效果分析
本节课能高效完成教学任务。表现在对教学目标的落实上比较到位，即课本知识点能够较好的理解掌握，学生动手操作能力、合作探究能力也得到了进一步培养。
本节课在教学引导、自学、归纳、探究以及教学思想方法等方面都进行了积极的构思设计，学生能够在教师指导下进行类比自学，大胆探索。教学实践和教学设计相符合。
能够组织有效的小组合作学习。作为新课程倡导的三大学习方式之一，小组合作学习在形式上成为有别于传统教学的一个最明显特征。它有力地挑战了教师“一言堂”的专制，同时也首次在课堂上给了学生自主、合作的机会。我们应该进行有效的小组合作学习，在讨论前要考虑各小组学生的实际情况，让学生独立思考，再在组内讨论交流。让每个学生都有均等参与的机会。小组谈论的时候，教师要深入到小组当中，了解合作的效果，讨论的情况，从而灵活的调整下一个教学环节。大多数学生能够积极合作、深入探究。但由于严重两极分化的学困生由于基础差，因而缺乏合作能力，没有合作意识。
教材分析
本节课是鲁教版教科书七年级上册第六章第5节2课时。
函数是研究现实世界变化规律的一个重要模型，它一直是初中阶段数学学习的一个重要内容。本教科书对一次函数的学习不是一蹴而就的，而是遵循循序渐进，螺旋上升的原则进行设计。
具体地，在六年级上册“整式及其加减”一章，让学生体会字母
表示数的必要性，能结合具体情境列出相应的代数式，渗透了初步的函数思想，设计了多情境，通过列表，数值转换等多种形式让学生体会变量之间的变量关系。六年级下册设计了“变量之间的关系”一章感受学习变量间关系的必要性，通过列表格，关系式，图像等几种方式呈现变量之间的关系，从多方面感知变量间关系，揭示其本质，同时也暗示函数的三种表示方式，正是有了之前的铺垫，本章继续通过变量间关系的考查，让学生初步体会函数的概念，明确变量之间的这种关系就是函数关系，初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识和能力。教科书力求发展学生的数学思维，引入新知识时，既注重与学生生活实际的联系，又注重新旧知识的联系，在新旧知识的比较与联系中，促进学生新的认识结构的建立于完善。
与此同时，学生已经在本章学习一次函数的相关知识，本节既是对前面所学知识的深化与拓展，又是联系生活实际，培养学生应用数学意识和创新能力的良好素材。为今后学习实际问题与反比例函数，实际问题与二次函数的转化奠定了基础。
并且教科书在这两个方面比较注重：一是在“函数”与“一次函数的应用”中，结合实际问题情境，确定自变量取值范围，使得学生对函数有了更全面的认识，《标准》的新增要求；二是结合“一次函数的应用”中的实际问题强化了对一次函数模型中一次项系数的实际意义的认识，这样既增进对数学的理解，也增进了解决实际问题的能力。此外，教科书注重了学生数形结合及几何直观的培养，在传统教学中，较为强调函数的代数表达式这一“数”的特征，而相对弱化了其图像这一“形”的特征，学生认识图，用图的能力较弱，数形结合的意识较为薄弱，教科书第5节“一次函数的应用”中设计了大量活动，让学生通过图像获取学习（识图），并解决有关问题，在这一过
程中培养学生的数形结合能力，发展几何直观。
事实上，在数学实践中，很多学生在借助图形研究数学，或利用图形分析问题，解决问题方面的意识和能力都很薄弱。为此，本册教科书把一次函数安排在二元一次方程组之前。在“一次函数”一章中注重通过图象的形式呈现问题，要求学生观察图象、分析图象，从中获得有用的信息，并据此解决相关的问题；在图象信息的识别与分析活动中，培养、发展学生的几何直观。这时，由于学生还没有学习二元一次方程组。所以就“逼”着他们只能借助图象来解决相关问题，从而为发展学生的几何直观提供了空间。而有关用待定系数法确定一次函数的表达式的知识技能，则可在后续二元一次方程组的内容中进行学习、训练。
本节课的教学重点是能通过函数图象获取信息，解决简单的实际问题，难点是数形结合在解决实际问题中的使用。
6.5 一次函数的应用（第2课时）
【跟踪联系1】
已知甲、乙两物体沿同一条直线同时、同向匀速运
动，他们所经过的路程s与所需时间t之间的关系
如图所示：
（1）求出两直线的交点坐标，并说明实际意义。
【跟踪练习2】
新龟兔赛跑
下图 L1 L2分别是龟兔赛跑中路程与时间之间的函数图象。
根据图象可以知道：
（1）这一次是 米赛跑。 （2）表示兔子的图象是 。
（3）当兔子到达终点时，乌龟距终点
还有 米。
（4）乌龟要与兔子同时到达终点乌龟要先跑 米。
【拓展延伸】
某图书馆开展两种方式的租书业务:一种是使
用会员卡,一种是使用租书卡,使用这两种卡
租书,租书金额y (元)
与租书时间x (天)之间的关系如下图:
1)分别写出用租书卡和会员卡租书的金额y (元)与租书时间x (天)之间的函数关系式;
2)两种租书方式每天租书的 收费分别是多少?
3)若两种租书卡的使用期限均为一年,则在这一年中如 何选取这两种租书方式比较划算?
【当堂检测】
1.如图，是甲、乙两人所行的路程y(km)与时间x(h)
之间的函数关系的图象，根据图象回答：
甲的速度为______，乙的速度为______；后者用了______小时追上前者；追上时他们各走了______.
L 1
L 2
2、某电视机厂要印制产品宣传材料.甲印刷厂提出：每份材料收1元印制费，另收1500元制版费；乙印刷厂提出：每份材料收2.5元印制费，不收制版费.
（1）分别写出两厂的收费y（元）与印制数量x（份）之间的关系式；（2）在同一直角坐标系内画出它们的图像；
（3）根据图像回答下列问题：
①印制800份宣传材料时，选择哪家印刷厂比较合算？
②电视机厂拟拿出3000元用于印制宣传材料，找哪家印刷厂印制宣传材料能多一些？
课后反思
上完课后，我对这节课进行反思，认为有存在以下优点：
在教学目标方面，教学时能够达到三维目标的要求，突出重点把握难点。能够让学生经历数学知识的应用过程，关注对问题的分析过程，让学生自己利用已经具备的知识分析实例。同时，在解决问题的过程中，要充分利用函数的图象，渗透数形结合的思想。
在信息技术运用方面，这节课能利用多媒体课件幻灯片的方式展示出来，例题的展示较快，学生能够直观观察利于理解。当然，在教学实施中我也考虑到了这一点，所以在讲解例题的时都用多媒体展示出来，只将每个例题的要点以简短的板书形式展示出来，在一定程度上也节省了时间。
在检测评价方面，我在遵循学生的认知规律、教学大纲和教学要求的前提下，紧扣教材，多方面的联系和引用教材中有关例题，根据生活实际，精心的筛选、编写与一次函数有关的生活实际问题，将知识性、应用性、趣味性和谐的结合起来，能够有效检测到学生是否突破了重难点以及对本节课的掌握情况。
同时在这节课教学中也存在一定的问题：
1、我关注学生还是不够全面，提问的学生大多数局限于积极举手发言的同学，没有让胆怯的学生进行尝试。
2、老师讲的还是有点多，老不敢放手给学生大量的时间独立探究、小组合作探究，给学生思考和活动的时间和机会还是较少, 要想让学生真正理解和掌握一次函数的性质就必须放手让学生进行探究，让学生在探究中获得感性认识，同时只有放手让学生自我探究，潜力与智慧才会充分表现，学生也才会表现真实的思维和真实的自我。
3、在学生的能力培养上有所欠缺。在这一节课的教学中应培养学生
及时把问题信息转化到函数图象上的能力。在初学函数的过程中，需要根据题目信息画出函数图象，这是学好函数的一个必要条件，也是学好函数的一个基本技能。应培养学生从图象中获取有效信息并将其与实际情境相结合的能力。学生能够从问题情境中提取信息并构画出函数图象需要一个能力培养的过程，需要通过多次训练才能养成这种能力习惯。应培养学生在分析和解决问题的过程中运用数学思想的能力。在解决数学问题的过程中，经常会遇到复杂情境，需要合理运用数学思想方法才能理清题意以及各量之间的关系，同时也能增加解题说服力。
在一次函数的教学过程中，有许多有效的教学方法，只要能切实
了解学生的思维方式，走进他们的思维，帮助他们寻找解决思维障碍的突破点，那么老师上好这一节课，学生学好一次函数也就不是难事了。
课标分析
1.体验从具体情境中抽象出数学符号的过程，理解函数；探索具体问题中的数量关系和变化规律。
2.通过用函数表述数量关系的过程，体会模型的思想，建立符号意识；能独立思考，体会数学基本的思想和模式方式.
3.初步学会在具体的情境中从数学的角度发现问题和提出问题，并综合运用数学知识和方法等解决简单的实际问题，增强应用意识，提高实践能力。
4.在运用数学表述和解决问题的过程中，认识数学具有抽象、严谨和应用广泛的特点，体会数学的价值。
5.探索简单实例中数量关系和变化规律，了解常量、变量的意义。
6.能结合图象对简单问题中函数关系进行分析。
7.能确定简单实际问题中函数自变量的取值范围,并会求出函数值。
8.能用适当的函数表示法刻画简单的实际问题中变量之间的关系。
9.结合对函数关系的分析,能对变量的变化情况进行初步讨论。
10.结合具体情境体会一次函数的意义，能根据已知条件确定一次函数的表达式。
11.能利用待定系数法确定一次函数的表达式。
12.能画出一次函数的图象，根据一次函数的图象和表达式y=kx+b(k
≠0)探索并理解k>0和k<0时，图象的变化情况。
13.能用一次函数解决简单的实际问题。