山西省长治市第二中学2019-2020学年高二数学12月月考试题文【含答案】

2020～2021学年度山西省长治市第二中学校高二第一学期第一次月考数学(理)试题一、单选题1.如图所示的组合体,其结构特征是()A.左边是三棱台,右边是圆柱B.左边是三棱柱,右边是圆柱C.左边是三棱台,右边是长方体D.左边是三棱柱,右边是长方体【参考答案】D【试题解析】由已知图形,结合棱柱定义,即可得出结论.根据三棱柱和长方体的结构特征,可知此组合体左边是三棱柱,右边是长方体.故选:D.本题考查几何体的识别,掌握定义是解题的关键,属于基础题.2.给出下列四个说法,其中正确的是()A.线段AB在平面α内,则直线AB不在平面α内;B.三条平行直线共面;C.两平面有一个公共点,则一定有无数个公共点;D.空间三点确定一个平面.【参考答案】C【试题解析】用立体几何中的公理及公理的推论对每个选项进行判别,可得到答案.对A:根据立体几何公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.显然,A中的直线AB在平面α内,故A不正确;对B:三条平行直线,可以共面,也可以是其中一条直线平行于其它两条直线确定的平面,故B不正确;对C:根据立体几何公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.显然,如果两平面有一个公共点,则一定有无数个公共点,故C正确;对D:根据立体几何公理2:过不在同一直线上的三点,有且只有一个平面.显然,任意三点,不一定确定一个平面.故D不正确;综上所述,只有C正确.故答案为:C.本题考查立体几何中点、线、面位置关系中的三个公理,属于基础题.3.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.272B.92C.212D.292【参考答案】B【试题解析】根据三视图特征,在棱长为3的正方体中截取出符合题意的立体图形,该几何体为三棱锥A BCD-,求出三棱锥的体积即可.根据三视图特征,在棱长为3的正方体中截取出符合题意的立体图形,该几何体为三棱锥A BCD-,所以11193333322 A BCD BCDV S AC-=⋅=⨯⨯⨯⨯=.故选:B.本题主要考查了根据三视图求立体图形的体积,解题关键是根据三视图画出立体图形,考查学生的空间想象能力与分析解决问题的能力,属于基础题.4.设α、β、γ是三个不同平面,l 是一条直线,下列各组条件中可以推出//αβ的有( )①l α⊥,l β⊥ ②//l α,l β// ③//αγ,//βγ ④αγβγ⊥⊥， A.①③ B.①④C.②③D.②④【参考答案】A【试题解析】根据线面垂直的性质,面面平行的判断定理及性质,以及空间中平面间的位置关系,即可得出结论.①垂直于同一条直线的两个平面平行;因为l α⊥,l β⊥,所以//αβ;故①正确; ②因为//l α,l β//,所以α与β可能平行或相交;故②错;③平行于同一个平面的两个平面平行;因为//αγ,//βγ,所以//αβ;故③正确; ④因为αγβγ⊥⊥，,则α与β可能平行或相交;故④错; 故选:A.本题主要考查判断面面平行,熟记面面平行的判定定理及性质,以及线面垂直的性质即可,属于常考题型.5.直线l 与平面α内的两条直线都垂直,则直线l 与平面α的位置关系是( ) A.平行 B.垂直C.在平面α内D.无法确定【参考答案】D【试题解析】作出正方体1111ABCD A B C D -,以平面ABCD 为平面α,对直线l 分别为AB 、1AA 、11A B 、1AB 进行分类讨论,可得出结论.如下图所示:在正方体1111ABCD A B C D -中,以平面ABCD 为平面α. ①以直线AB 为直线l ,则l AD ⊥,l BC ⊥,此时l α⊂; ②以直线11A B 为直线l ,//l AB ,AB AD ⊥,则l AD ⊥,同理可得l BC ⊥,此时//l α;③以直线1AA 为直线l ,则l AD ⊥,l BC ⊥,此时l α⊥; ④以直线1AB 为直线l ,AD ⊥平面11AA B B ,l ⊂平面11AA B B ,则l AD ⊥,同理可得l BC ⊥,此时直线l 与平面α斜交.因此,直线l 与平面α的位置关系不确定. 故选:D.本题考查直线与平面位置关系的判断,属于基础题.6.如果一个水平放置的图形的斜二测直观图是一个底角为45°,腰和上底均为1的等腰梯形,那么原平面图形的面积是( ) A.22+ B.122C.222D.12【参考答案】A【试题解析】根据斜二测直观图的特点可知原图形为一直角梯形,根据梯形面积公式即可求解.如图,恢复后的原图形为一直角梯形,所以1(121)2222S =++⨯=+. 故选:A.本题考查斜二测直观图的特点,属于基础题.7.在正方体1111ABCD A B C D -中,,E F 分别是11,AD C D 的中点,O 为正方形ABCD 的中心,则( )A.直线1,EF OD 是异面直线,且1EF OD =B.直线11,OD B B 是异面直线且11OD B B ≠C.直线1,EF OD 是相交直线,且1EF OD =D.直线11,OD B B 是相交直线且11OD B B =【参考答案】C【试题解析】根据题意画出图像,再判断EF 和1OD 的位置关系和长度,1OD 和1B B 的位置关系和长度即可得到答案.根据题意画出图像如图所示,由图像易知,1OD 和1B B 在矩形11BB D D 上,1OD 和1B B 是相交直线,且11OD B B ≠,故选项B 、D 错误;O 为正方形ABCD 的中心,E 为AD 的中点,所以//OE CD ,且12OE CD =, 又点F 为11C D 的中点,所以1//D F CD ,且112D F CD =, 所以1//OE D F ,且1OE D F =,四边形1OED F 是平行四边形, 则EF 和1OD 是1OED F 的两条对角线, 所以EF 和1OD 是相交直线,且1EF OD =; 故选项A 错误,C 正确. 故选:C本题主要考查空间两直线的位置关系,考查学生数形结合的能力,属于基础题. 8.一个透明封闭的正四面体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正四面体,则水面在容器中的形状可能是:①正三角形②直角三形③正方形⑤梯形,其中正确的个数有( ) A.1个 B.2个C.3个D.4个【参考答案】C【试题解析】根据已知,任意转动这个正四面体,则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分,根据截面性质作图即可得到答案.解:根据已知,任意转动这个正四面体,则水面在容器中的形状即为作一截面将正四面体截成体积相等的两部分,根据对称性和截面性质作图如下: 观察可知截面不可能出现直角三角形. 故选:C本题考查的知识点是棱锥的结构特征,本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依托,反映现实生活的一道综合能力题.解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力.9.已知圆锥的顶点为P ,母线长为2,底面半径为3,A ,B 为底面圆周上两个动点,则下列说法不一定正确的是( ) A.圆锥的高为1B.三角形PAB 为等边三角形C.三角形PAB 面积的最大值为2D.直线PA 与圆锥底面所成角的大小为6π 【参考答案】B【试题解析】直接利用勾股定理的应用求出圆锥的高,进一步判定三角形的形状和直线与平面的夹角.解:圆锥的顶点为P ,母线长为2,底面半径为3, 如图所示:所以圆锥的高为()22231h =-=.故选项A 一定正确;由于A 和B 为底面圆周上两个动点,由于满足P A ＝PB ,所以△P AB 为等腰三角形,故选项B 不一定正确.由于122sin 2PABSAPB =⨯⨯⨯∠, 当sin 1APB ∠=时,即22AB =(因为直径长为23,22AB =必能取到)时,三角形P AB 面积的最大值为2.故选项C 一定正确;直线P A 与圆锥底面所成角为直线P A 和AO 所成的角,即∠P AO , 在△APO 中,1sin 2PO PAO AP ∠==, 所以6PAO π∠=,故选项D 一定正确.故选:B .本题考查的知识要点:圆锥的性质的应用,直线与平面所成角的求解,主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力,属于基础题型.10.如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则此几何体的表面积为( )A.()6223++B.()6225++C.10D.12【参考答案】B【试题解析】作出多面体的直观图,将各面的面积相加可得出该多面积的表面积.由三视图得知该几何体的直观图如下图所示:由直观图可知,底面ABCD 是边长为2的正方形,其面积为224=;侧面PCD 是等腰三角形,且底边长2CD =,底边上的高为2,其面积为12222⨯⨯=, 且22125PC PD ==+=;侧面PAD 是直角三角形,且PDA ∠为直角,5PD =,2AD =,其面积为12552⨯⨯=,PBC PAD ∆≅∆,PBC ∆的面积为5; 侧面积PAB 为等腰三角形,底边长2AB =,223PA PB PD AD ==+=,底边上的高为22222AD h PA ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭,其面积为1222222⨯⨯=. 因此,该几何体的表面积为()4255226225++++=++,故选B.本题考查几何体的三视图以及几何体表面积的计算,再利用三视图求几何体的表面积时,要将几何体的直观图还原,并判断出各个面的形状,结合图中数据进行计算,考查空间想象能力与计算能力,属于中等题.11.如图,矩形ABCD 中,AB ＝2AD ,E 为边AB 的中点,将△ADE 沿直线DE 翻折成△A 1DE .若M 为线段A 1C 的中点,则在△ADE 翻折过程中,下面四个命题中不正确的是( )A.线段BM 的长度是定值B.点M 在某个球面上运动C.存在某个位置,使DE ⊥A 1CD.存在某个位置,使MB 平面A 1DE 【参考答案】C【试题解析】取CD 中点N ,连接MN ,BN ,利用线面平行的判定定理和性质定理可以证明MB 平面A 1DE 恒成立,从而判定D 正确;利用三角形MNB 中的边角定值分析可得BM 是定值,从而判定A 、B 正确;根据排除法,或者利用面面垂直的判定定理与性质,证明OC 与DE 不垂直.从而判定C 不正确.解:取CD 中点N ,连接MN ,BN ,则MN DA 1,BN DE ,所以平面MBN 平面A 1DE ,所以MB 平面A 1DE ,故D 正确; 由∠A 1DE ＝∠MNB ,MN ＝12A 1D ＝定值,NB ＝DE ＝定值, 由余弦定理可得2222?·MB MN NB MN NB cos MNB =+-∠, 所以MB 是定值,故A 正确;因为B 是定点,所以M 是在以B 为圆心,MB 为半径的球上,故B 正确; 连接AN,EN,设AN,DE 交点为F ,连接1A F ,易知ADNE 为正方形,,BD AN ∴⊥ 又在折叠过程中1A F DE ⊥始终不变,∴直线DE ⊥平面1A AN ,∴平面1A AN ⊥平面ABCD ,根据面面垂直的性质定理可得A 1在平面ABCD 中的射影O 在线段AN 上, A 1C 在平面ABCD 中的射影为OC ,由于CFD ∠是直角,所以OC 与DE 不垂直,∴DE ⊥A 1C 不可能,可得C 不正确.故选:C.本题考查线面、面面垂直、平行关系的判定与应用,属中高档题,难度较大.12.如图,已知直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形,侧棱长为2.E ,F 分别是侧面11ACC A 和侧面11ABB A 上的动点,满足二面角1A EF A --为直二面角.若点P 在线段EF 上,且AP EF ⊥,则点P 的轨迹的面积是 ( )A.3π B.23π C.43π D.83π 【参考答案】B【试题解析】根据已知条件得P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面,再根据球的面积公式求解即可.解:∵ 二面角1A EF A --为直二面角 ∴ 平面AEF ⊥平面1EFA ,又∵ 点P 在线段EF 上,且AP EF ⊥,AP ⊂平面AEF ,平面AEF平面1EFA EF =∴ AP ⊥平面1EFA ,连接1A P ,∴ AP ⊥1A P ,∴ P 在以1AA 为直径的球上,且P 在三棱柱111ABC A B C -内部, ∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球在三棱柱111ABC A B C -内部的曲面, 又∵ 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱,∴ P 的轨迹为以1AA 为直径的球面,占球面的16, ∴ 点P 的轨迹的面积是12463S ππ=⨯=. 故选:B.本题考查立体几何面面垂直的性质定理,考查空间想象能力,是中档题.二、填空题13.已知正四棱锥的底面边长为2,高为3,则此四棱锥的侧棱与底面所成角的弧度数为______. 【参考答案】3π 【试题解析】由已知正四棱锥的底面边长为2,可以求出底面正方形对角线的一半,再利用高为3,从而可以求出它的侧棱与底面所成角.如图正四棱锥P ABCD -中,2AB =,3PO =PO ⊥底面ABCD ,所以2AC =,1AO =,PAO ∠即为侧棱PA 与底面ABCD 所成角, 在APO △中,3tan 1PO PAO AO ∠==, 所以3PAO π∠=.故答案为:3π本题主要考查了求线面角,以及正四棱锥的性质,属于中档题. 14.如图所示,在圆锥SO 中,AB CD ，为底面圆的两条直径,ABCD O =,且AB CD ⊥,2SO OB ==,P 为SB 的中点,则异面直线SA 与PD 所成角的正切值为__________.2【试题解析】由于SA 与PD 是异面直线,所以需要平移为相交直线才能找到异面直线SA 与PD 所成角,由此连接OP 再利用中位线的性质得到异面直线SA 与PD 所成角为OPD ∠ ,并求出其正切值.连接PO ,则PO SA ,OPD ∴∠即为异面直线SA 与PD 所成的角,又SO CD ⊥,AB CD ⊥,SOAB O =,CD 平面SAB ,CD OP ∴⊥,即DO OP ⊥,OPD ∴为直角三角形, tan 22OD OPD OP ∴∠===本题考查了异面直线所成角的计算,关键是利用三角形中位线的性质使异面直线平移为相交直线.15.四面体ABCD 的四个顶点都在球O 的表面上,AB ＝2,BC ＝CD ＝1,∠BCD ＝60°,AB ⊥平面BCD ,则球O 的表面积为_______. 【参考答案】163π 【试题解析】画出几何体的图像,通过底面外心的且垂直于底面的垂线以及AB 的垂直平分线,确定球心的位置,计算出球的半径,由此求得球的表面积.画出几何体的图像如下图所示,由于,60BC CD BCD =∠=,所以三角形BCD 为等边三角形,设其外心为1O ,则球心是过1O 且垂直于底面BCD 的直线与线段AB 的垂直平分线的交点处,如图所示.其中1131,132O B OO AB ===,故外接球的半径22223413R OB ⎛⎫==+= ⎪ ⎪⎝⎭,外接球的表面积为216π4π3R =.本小题主要考查三棱锥的外接球表面积,考查了外接球如何确定球心的知识,考查了等边三角形的几何性质.要找到一个几何体外接球的球心,先在一个面上找到这个面的外心,球心就在这个外心的正上方,再结合另一个面的外心或者中垂线,由此确定外接球球心所在的位置.属于中档题.16.如图是一座山的示意图,山呈圆锥形,圆锥的底面半径为10公里,母线长为40公里,B 是母线SA 上一点,且10AB =公里.为了发展旅游业,要建设一条最短的从A 绕山一周到B 的观光铁路.这条铁路从A 出发后首先上坡,随后下坡,则下坡段铁路的长度为______________公里.【参考答案】18【试题解析】先展开圆锥的侧面,确定观光铁路路线,再根据实际意义确定下坡段的铁路路线,最后解三角形得结果.如图,展开圆锥的侧面,过点S 作A B '的垂线,垂足为H ,记点P 为A B '上任意一点,联结PS ,402102A A A SA SA A SA A SA ππ''''=∠⋅∴∠=⋅∴∠=,由两点之间线段最短,知观光铁路为图中的A B ',2222403050A B SA SB ''++=, 上坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越小,下坡即P 到山顶S 的距离PS 越来越大, ∴下坡段的铁路,即图中的HB ,由Rt Rt SA B H SB '△∽△,得22301850SB HB A B ==='. 故答案为:18本题考查圆锥侧面展开图、解三角形,考查等价转化思想方法以及基本分析求解能力,属基础题.三、解答题17.(1)用与球心距离为1的平面去截球,所得的截面面积为4π,求球的表面积(2)正三棱台的高为3,上、下底面边长分别为2和4,求这个棱台的侧棱长和斜高【参考答案】(1)S 20π=球(2)侧棱长933;斜高2213【试题解析】(1)截面圆的半径r ＝2,球半径R ＝22125+=,得到球表面积. (2)如图所示:计算433OA =,11233O A =,233OE =,1133O E =,根据勾股定理计算得到答案.(1)截面圆的半径r ＝2,球半径R ＝22125+=,2S 4R 20ππ==球 (2)正三棱台111-ABC A B C 中,高13OO =,底面边长为112A B =,4AB =, 故3433OA AB ==,11113233O A A B ==, 侧棱长1AA ＝22429333333+-=（）, 又23OE =,113O E =,斜高1EE ＝222323321333+-=（）.本题考查了球的表面积,三棱台的相关计算,意在考查学生的计算能力和空间想象能力. 18.如图,在直棱柱111ABC A B C -中,BC AC ⊥,1AC CC =,D ,E 分别是棱AB ,AC 上的点,且//BC 平面1A DE .(1)证明:DE //11B C ; (2)求证:11AC A B ⊥.【参考答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析.【试题解析】(1)利用线面平行的性质定理可得//BC DE ,从而得到11//B C DE . (2)连接1A C ,可证1AC ⊥平面1A BC ,从而得到11AC A B ⊥.(1)因为//BC 平面1A DE ,BC ⊂平面ABC ,平面ABC 平面1A DE DE =,所以//BC DE .又在直棱柱111ABC A B C -中,有11//BC B C ,所以11//B C DE .(2)连接1A C ,因为棱柱111ABC A B C -为直棱柱,所以1CC ⊥平面ABC , 又BC ⊂平面ABC ,所以1BC CC ⊥.又因为BC AC ⊥,AC ⊂平面11ACC A ,1CC ⊂平面11ACC A ,1ACCC C =,所以BC ⊥平面11ACC A .又1AC ⊂平面11ACC A ,所以1BC AC ⊥. 在直棱柱111ABC A B C -中,有四边形11AAC C 为平行四边形. 又因为1AC CC =,所以四边形11AAC C 为菱形,所以11AC AC ⊥. 又1BCAC C =,BC ⊂平面1A BC ,1AC ⊂平面1A BC , 所以1AC ⊥平面1A BC ,又1A B ⊂平面1A BC ,所以11AC A B ⊥.线线平行的证明,有如下途径:(1)利用平面几何的知识,如三角形的中位线、梯形的中位线等;(2)线面平行的性质定理;(3)面面平行的性质定理;(4)线面垂直的性质定理(同垂直一个平面的两条直线平行).而线线垂直的证明,有如下途径:(1)利用平面几何的知识,如勾股定理等;(2)异面直线所成的角为2π;(3)线面垂直的性质定理; 19.如图,在四棱锥P ABCD -中,PA ⊥平面ABCD ,E 为PA 的中点,F 为BC 的中点,底面ABCD 是菱形,对角线AC ,BD 交于点O .求证:(1)平面//EFO 平面PCD ; (2)平面PAC ⊥平面PBD . 【参考答案】(1)见解析(2)见解析 【试题解析】(1)因为E 为PA 的中点,O 为AC 的中点,所以//EO PC 又EO ⊄平面PCD ,PC ⊂平面PCD ,所以//EO 平面PCD 同理可证,//FO 平面PCD ,又EO FO O =所以,平面//EFO 平面PCD .(2)因为PA ⊥平面ABCD ,BD ⊂平面ABCD ,所以PA BD ⊥ 因为底面ABCD 是菱形,所以AC BD ⊥,又PA AC A =所以BD ⊥平面PAC又BD ⊂平面PBD ,所以平面PAC ⊥平面PBD .20.如图所示,在正四棱柱1111ABCD A B C D -中,1AB =,点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点.(1)求证:BD ∥平面1EFC ;(2)若13AA =,求直线11A C 与平面1EFC 所成角的正弦值. 【参考答案】(1)见解析;(226 【试题解析】(1)由点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点,则EF ∥BD ,可得证.(2) 以D 为原点,1,,DA DC DD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系,用向量法求出平面1EFC 的一个法向量,然后即可求线面角.证明:(1)∵点E 、F 分别是棱BC 、DC 的中点,∴EF ∥BD . 又EF ⊂平面1,EFC BD ⊄平面1EFC ,BD ∴∥平面1EFC .(2)以D 为原点,1,,DA DC DD 所在直线为x 轴,y 轴,z 轴建立空间直角坐标系则1111(0,,0),(,1,0),22A F E C1111(,,0),(222FE EC ==-设平面1EFC 的一个法向量为(,,)n x y z = 由10,0n FE n EC ⋅=⋅=可得110221302x y y x x x z ⎧+=⎪=-⎧⎪⎪⇒⎨⎨=⎪⎩⎪-+=⎪⎩ 令1z =(23,n ∴=-11(1,1,0)AC =- 111112cos ,65AC n A F n AC n⋅∴==⋅ ∴直线1A F 与平面1EFC 所成角的正弦值为.本题考查线面平面的证明和线面角的求解,属于中档题.21.已知四棱锥P ABCD-,底面ABCD 是边长为2的菱形,0=60ABC ∠,E 为AB 的中点,PA ⊥平面ABCD ,PC 与平面PAD 所成角的正弦值为4(1)在棱PD 上求一点F ,使//AF 平面PEC ; (2)求二面角D PE A --的余弦值. 【参考答案】(1)F 为PD 中点;(243131【试题解析】(1)如图,建立空间直角坐标系,设()0,1,P m ,求出平面PAD 的法向量,由PC 与平面PAD 所成角的正弦值为64求出m 得值,设PF PD λ=,利用=AF AP PF +可得AF 的坐标,求出平面PEC 的法向量m ,利用0m AF ⋅=,即可求出λ得值,可得F 为PD 中点;(2)分别求出平面PEA 的法向量与平面PED 的法向量,再利用向量的夹角公式求解即可.(1)以BD 为x 轴,CA 为y 轴,AC 与BD 的交点为O ,过O 作平面ABCD 的垂线为z 轴,建立空间直角坐标系. 其中:()0,1,0A ,()3,0,0B -,()0,1,0C -,()3,0,0D,()0,1,P m ,31,,022E ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭,()0,2,PC m =--.设平面PAD 的法向量(),,n x y z =,()0,0,AP m =,()3,1,0AD =-.所以030mz x y =⎧⎪-=,所以()3,3,0n =所以266cos ,4412PC n m -==+⨯,因此2m =,故()0,1,2P 设PF PD λ=,()=0,0,2AP ,()3,1,2PD =--,则()==3,,22AF AP PF λλλ+--.设平面PEC 的法向量为(),,m x y z=,31=,,22EP ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭,()0,2,2PC =--所以312022220x y z y z ⎧++=⎪⎨⎪--=⎩,故()3,1,1m =--. 0m AF ⋅=,所以322=0λλλ-++-,因此1=2λ,所以F 为PD 中点.(2)平面PEA 的法向量()1=3,3,0n -,平面PED 的法向量()2=3,9,3n -,124cos ,31311293n n ==-⨯由二面角D PE A --为锐二面角,因此,二面角D PE A --的余弦值为43131.本题主要考查了利用空间向量补全线面平行的条件,以及求二面角,涉及线面角,线面垂直的性质,属于中档题.22.如图,为正六棱柱111111ABCDEF A B C D E F -,底面边长AB a ,高1AA h =.(1)若a h =,求异面直线1BD 和1CF 所成角的余弦值;(2)计算四面体11BCD F 的体积(用a 、h 来表示);(3)若正六棱柱底面边长a 和高h 满足:23h a k +=(k 为定值),则当底面边长a 和高h 分别取得何值时,正六棱柱的表面积与体积之比最小？【参考答案】(1)510;(2)2312a h ;(3)4k h =,36a k =.【试题解析】(1)建立分别以FB 、FE 、1FF 为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系,利用空间向量法可求得异面直线1BD 和1CF 所成角的余弦值;(2)利用空间向量法计算出点1D 到平面1BF C 的距离d ,并计算出1BFC △的面积,利用锥体的体积公式可求得四面体11BCD F 的体积;(3)计算出正六棱柱的表面积与体积之比的表达式,结合条件23h a k +=可得出21416V k kh S k ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭,利用二次函数的基本性质可求得V S 的最大值及其对应的h 与k 的比值,即可得解.(1)如图,建立分别以FB 、FE 、1FF 为x 、y 、z 轴的空间直角坐标系,则点()3,0,0Ba 、)3,,0Ca a 、133,,22a a D a ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭、()10,0,F a ,133,,22a a BD a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭,()13,,CF a a a =--,2222113322a a BD CF a a ⋅=-+=,12BD a ⎛=-=,15CF a =,所以,2111111cos ,102BD CF BD CFa BD CF ⋅<>===⋅, 所以,异面直线1BD 和1CF (2)易知点),0,0B、),,0Ca 、13,2a Dh ⎫⎪⎪⎝⎭、()10,0,F h ,()0,,0C a B =,()1,0,BF h =-,1,,22a CD h ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭, 设平面1BF C 法向量为(),,n x y z=,由100n BC n BF ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,得0ay hz =⎧⎪⎨+=⎪⎩,令x h =,则z =,0y =,(),0,3n ha ∴=, 所以1D 到平面1BF C的距离102ah h n CD d n-⨯+⨯+⋅===又2214FCa h ,BC a =,2213BF a h ,22211BCBF F C ∴+=,则111122BF C S BC BF =⋅=△111211133212D BF C BF C V S d h -=⨯=⨯=△;(3)由题知,正六棱柱的表面积221626sin 606332Sha a ha a ,正六棱柱的体积221336sin 6022V a ha h , 2222332633423423h V a h ah Sha a ha a h a, 又2h k =,2222122416V hk h h h k kh S k k k -⎛⎫∴==-=--+ ⎪⎝⎭,所以当4k h =时,V S 有最大值,也即S V 取得最小值,此时4k h =,6a k =.本题考查利用空间向量法计算异面直线所成的角、三棱锥的体积,同时也考查了柱体体积与表面积比值的最值的求解,考查了二次函数基本性质的应用,考查计算能力,属于中等题.。

山西省长治市第二中学2019-2020学年高二数学12月月考试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知双曲线的标准方程是，其渐近线方程是（）A．y＝±3x B．y＝±4x C．x＝±4y D．x＝±3y2．下列命题中的假命题是（）A．质数都是奇数B．函数y＝sin x是周期函数C．112能被7整除D．奇函数的图象关于坐标原点对称3．设m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n C．若m∥n，n⊥β，则m⊥βD．若m⊥β，α⊥β，则m∥α4．椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．5．椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则m的值为（）A．1 B．C．2 D．36．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．37．已知圆C与直线x﹣y＝0及x﹣y﹣4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y+1）2＝28．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（2，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为（）A．（﹣2，2）B．（1，）C．（1，2）D．（1，﹣2）9．设a，b∈R，ab≠0，则直线ax﹣y+b＝0和曲线bx2+ay2＝ab的大致图形是（）A．B．C．D．10．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2 cm3B．cm3C．3cm3D．3 cm311．已知A（﹣1，0），M是圆B：x2﹣2x+y2﹣7＝0（B为圆心）上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，则点P的轨迹方程是（）A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝112．已知x，y满足，如果目标函数z＝的取值范围为[0，2），则实数m 的取值范围为（）A．[0，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，）D．（﹣∞，0] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．“若X＞5，则X2＞25”的逆否命题是．14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则＝．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BA1与平面A1B1CD所成的角是．16．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：3，则实数a的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知双曲线C的焦点坐标为F1（，0），F2（，0），实轴长为6．（1）求双曲线C标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．18．某抛物线型拱桥水面宽度20m，拱顶离水面4m，现有一船宽9m，船在水面上高3m．（1）建立适当平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线标准方程；（2）计算这条船能否从桥下通过．19．已知点P（4，0），点Q在曲线C：y2＝4x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|＝4，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．20．如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AE＝AF＝2，M为BC 边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF，折到DEF的位置，使．（1）证明DO⊥平面EFCB；（2）试在BC边上确定一点N，使EN∥平面DOC，并求的值．21．已知焦点在x轴上的双曲线C过点，且其渐近线方程为．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线y＝ax+1与双曲线C的右支交于A，B两点，求实数a的取值范围．22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y＝kx（k≠0）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ 分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．2019-2020学年山西省长治二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知双曲线的标准方程是，其渐近线方程是（）A．y＝±3x B．y＝±4x C．x＝±4y D．x＝±3y【解答】解：双曲线的标准方程是，可得a＝1，b＝3，由于渐近线方程为y＝±3x，即为y＝±3x．故选：A．2．下列命题中的假命题是（）A．质数都是奇数B．函数y＝sin x是周期函数C．112能被7整除D．奇函数的图象关于坐标原点对称【解答】解：2是质数，也是偶数，所以A不正确；函数y＝sin x是周期函数，正确；112÷7＝16，所以112能被7整除，正确；奇函数的图象关于坐标原点对称，正确；故选：A．3．设m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n C．若m∥n，n⊥β，则m⊥βD．若m⊥β，α⊥β，则m∥α【解答】解：A，m，n也可能异面，故错误；B，m，n存在多种位置关系，不一定垂直，故错误；C，平行线中的一条垂直一个平面．则另一条也垂直该平面，故正确；D，存在m⊂α的情况，故错误．故选：C．4．椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的焦点（5，0），（﹣5，0）是椭圆的顶点，则所求椭圆方程中的长半轴a＝5．双曲线的顶点为（4，0），（﹣4，0）是椭圆的焦点，则椭圆的半焦距c＝4，则b＝3．椭圆的标准方程为．故选：A．5．椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则m的值为（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：椭圆＝1得∴c1＝，∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），双曲线＝1的焦点必在x轴上，则半焦距c2＝∴＝解得实数m＝1．故选：A．6．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的离心率为，可得，即：，可得，在则双曲线中，由，即，可得，∴e＝．故选：C．7．已知圆C与直线x﹣y＝0及x﹣y﹣4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y+1）2＝2【解答】解：圆心在x+y＝0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y＝0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4＝0的距离是．故A错误．故选：B．8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（2，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为（）A．（﹣2，2）B．（1，）C．（1，2）D．（1，﹣2）【解答】解：根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，设点P到准线l：x＝﹣1的距离为PQ，则所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；根据平面几何知识，可得当P、A、Q三点共线时|PA|+|PQ|最小，∴|PA|+|PQ|的最小值为A到准线l的距离；此时P的纵坐标为2，代入抛物线方程得P的横坐标为1，得P（ 1，2）故选：C．9．设a，b∈R，ab≠0，则直线ax﹣y+b＝0和曲线bx2+ay2＝ab的大致图形是（）A．B．C．D．【解答】解：整理曲线的方程得＝1，整理直线方程得y＝ax+b对于A选项观察直线图象可知斜率小于0即，a＜0，b＞0则曲线的方程的图象一定是双曲线，故A不符合．B，D选项中，直线的斜率a＞0，截距b＜0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故B 正确，D错误．C项中直线斜率a＜0，则曲线一定不是椭圆，故C项错误．故选：B．10．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2 cm3B．cm3C．3cm3D．3 cm3【解答】解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥P﹣ABCD，且侧面PCD ⊥底面ABCD，画出它的直观图，如图所示；则底面为直角梯形，面积为S梯形ABCD＝×（1+2）×2＝3，四棱锥的高为h＝×2＝，所以四棱锥的体积为V＝S梯形ABCD•h＝×3×＝（cm3）．故选：B．11．已知A（﹣1，0），M是圆B：x2﹣2x+y2﹣7＝0（B为圆心）上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，则点P的轨迹方程是（）A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝1【解答】解：由题意得圆心B（1，0），半径等于2，|PA|＝|PB|，∴|PB|+|PM|＝|PB|+|PA|＝|BM|＝2＞|AB|，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，2a＝2，c＝1，∴b＝1，∴椭圆的方程为：＝1．故选：A．12．已知x，y满足，如果目标函数z＝的取值范围为[0，2），则实数m 的取值范围为（）A．[0，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，）D．（﹣∞，0] 【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：目标函数z＝的取值范围为[0，2），说明可行域内的点与（m，﹣1）的连线的斜率的范围是[0，2），直线2x﹣y﹣2＝0的斜率为2；由图形可知（m，﹣1）在直线BA上，且在A的左侧，∴m＜，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．“若X＞5，则X2＞25”的逆否命题是如果X2≤25，则X≤5 ．【解答】解：“若X＞5，则X2＞25”的逆否命题是：若X2≤25，则X≤5．故答案为：若X2≤25，则X≤5．14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则＝．【解答】解：由题意B、C分别是双曲线的左、右焦点，则|CB|＝2c＝10，顶点A在双曲线的右支上，又可得|AB|﹣|AC|＝2a＝6，＝＝．故答案为：．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BA1与平面A1B1CD所成的角是30°（或）．【解答】解：连接BC1，交B1C于点O，再连接A1O，因为是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，所以BO⊥平面A1B1CD，所以∠BA1O是直线A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1，所以在△A1BO中，A1B＝，OB＝，所以sin∠BA1O＝，所以直线A1B与平面A1B1CD所成的角的大小等于30°．故答案为：30°（或）．16．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：3，则实数a的值为．【解答】解：依题意得焦点F的坐标为：（，0），设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，因为|FM|：|MN|＝1：3，所以|KN|：|KM|＝2：1，又k FN＝＝，k FN＝﹣＝﹣2，所以＝2，解得a＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知双曲线C的焦点坐标为F1（，0），F2（，0），实轴长为6．（1）求双曲线C标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．【解答】解：（1）由条件得c＝，2a＝6，a＝3，∴b＝1，∴双曲线方程为：．（2）由双曲线定义知|PF1﹣PF2|＝6且PF12+PF22＝（）2，联立解得PF1•PF2＝2，∴△PF1F2的面积为：PF1•PF2＝1．18．某抛物线型拱桥水面宽度20m，拱顶离水面4m，现有一船宽9m，船在水面上高3m．（1）建立适当平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线标准方程；（2）计算这条船能否从桥下通过．【解答】解：（1）以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴（向上），建立直角坐标系．设拱桥所在抛物线的方程为x2＝﹣2py，则点（10，﹣4）在抛物线上，所以有102＝﹣2p （﹣4），解得p＝，所以拱桥所在抛物线标准方程为：x2＝﹣25y．（2）当x＝时，y＝﹣，所以此时限高为4﹣＝，所以，能通过．19．已知点P（4，0），点Q在曲线C：y2＝4x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|＝4，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）设．由题意得，解得y＝4．∴点Q的坐标为（4，4）．（2）|PQ|＝＝，当y2＝8时，|PQ|取到最小值．因此，|PQ|的最小值为．20．如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AE＝AF＝2，M为BC 边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF，折到DEF的位置，使．（1）证明DO⊥平面EFCB；（2）试在BC边上确定一点N，使EN∥平面DOC，并求的值．【解答】解：（1）证明：在△DOM中，易得DO＝，OM＝，DM＝，由DM2＝DO2+OM2，得DO⊥OM，又∵AE＝AF＝2，AB＝AC＝3，∴EF∥BC，又M为BC中点，∴AM⊥BC，∴DO⊥EF，EF∩OM＝O，∴DO⊥平面EBCF；（2）连接OC，过E作EN∥OC交BC于N，则EN∥平面DOC，又OE∥CN，∴四边形OENC为平行四边形，∴OE＝NC，，∴，∴．21．已知焦点在x轴上的双曲线C过点，且其渐近线方程为．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线y＝ax+1与双曲线C的右支交于A，B两点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题知，即b＝a所以可设双曲线方程为﹣＝1，将点M（1，）代入，得﹣＝1，解得a＝，因此，双曲线C的方程为3x2﹣y2＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y，得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，由题可得，解得a的取值范围是﹣＜a＜﹣．22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y＝kx（k≠0）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ 分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，则，解得：a2＝8，b2＝4．∴椭圆C的方程为；（2）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则，A（﹣，0），AF所在直线方程，取x＝0，得，∴N（0，），AE所在直线方程为，取x＝0，得y＝，∴M（0，）．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r＝，圆的方程为＝，即＝．取y＝0，得x＝±2．∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．。

2019-2020学年山西省长治市潞州区长治市第二中学校高二上学期期末数学（文）试题一、单选题1．椭圆22143x y +=的离心率是（ ）A ．17B ．14C ．13D ．12【答案】D【解析】由椭圆方程知224,3a b ==，求出c ，代入椭圆离心率公式即可. 【详解】222431c a b =-=-=，1c =，则12e =. 故选：D 【点睛】本题考查椭圆的离心率，属于基础题.2．一物体按规律()22s t t =运动，则在3t =时的瞬时速度是（ ）A ．4B ．12C ．16D ．18【答案】B【解析】物体在3t =时的瞬时速度为22000()()2(3)23lim lim limt t t s s t t s t t t t t∆→∆→∆→∆∆+∆-∆⨯+∆-⨯==∆∆∆，计算上式即可得解. 【详解】此物体在3t =时的瞬时速度为22000()()2(3)23lim lim limt t t s s t t s t t t t t ∆→∆→∆→∆∆+∆-∆⨯+∆-⨯==∆∆∆ 200212lim lim(212)12t t t t t t∆→∆→∆+∆==∆+=∆ 故选：B 【点睛】本题考查导数的变化率，属于基础题.3．双曲线2214y x -=的焦点到渐近线的距离是（ ）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】A【解析】求出双曲线的焦点坐标，渐近线方程，利用点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由方程知1,2a b ==，c =，双曲线的焦点为1F ，2(F ，渐进线为20x y -=，20x y +=，1F 到直线20x y -=的距离为：2d ==，由对称性知双曲线2214y x -=的焦点到渐近线的距离为2.故选：A 【点睛】本题考查双曲线的简单性质，涉及点到直线的距离公式，属于基础题.4．1a =“”是“直线210a x y -+=与直线0x y +=互相垂直”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由题意可得210a -=，解出a 即可判断. 【详解】因为直线210a x y -+=与直线0x y +=互相垂直，所以210a -=，解得1a =±，1a =“”是“1a =±”的充分而不必要条件. 故选：A 【点睛】本题考查两直垂直的充要条件，属于基础题.5．已知a 为函数()327f x x x =-的极小值点，则a =（ ）A ．3-B ．3C ．9-D ．9【答案】B【解析】求出导数2()327f x x '=-，判断函数的单调性从而找出极小值点.【详解】2()327f x x '=-，令()0f x '>，解得3x <-或3x >，所以函数()f x 在(,3),(3,)-∞-+∞上单调递增，在()3,3-上单调递减，3为函数()f x 的极小值点，所以3a = 故选：B 【点睛】本题考查导数在研究函数中的应用，属于基础题.6．已知命题:,sin 1p x R x ∀∈≤，命题2:q y x x =-在区间[)0+∞，上单调递增．则下列命题中为真命题的是（ ） A ．()()p q ⌝∧⌝ B ．()p q ⌝∨C ．p q ∨D ．p q ∧【答案】C【解析】由三角函数的值域知p 为真命题，由二次函数的单调性知q 为假命题，根据带有简单逻辑连接词的命题真假判断规则判断各选项的真假. 【详解】P 为真命题，函数2y x x =-在1(,)2-∞上单调递减，在1[,)2+∞上单调递增，q 为假命题.所以p q ∨为真命题，其余选项均为假命题. 故选：C 【点睛】本题考查简单的逻辑连接词，判断命题的真假，属于基础题.7．某几何体的三视图如图，已知正视图和侧视图均为直角边为3的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．6B ．9C ．18D ．27【答案】B【解析】根据三视图知几何体为底面是正方形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，结合三视图中的数据求出四棱锥的体积. 【详解】观察三视图可得几何体的图形如下：底面为正方形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥， 所以该几何体的体积为：133393V =⨯⨯⨯=. 故选：B 【点睛】本题考查三视图还原几何体，锥体的体积，属于基础题.8．已知R 上可导函数()f x 的图象如图，则不等式()0f x '＞的解集是（ ）A ．()()2,02,-+∞UB ．()(),22,-∞-+∞UC ．()()2,11,2--⋃D ．()(),11,-∞-+∞U【答案】D【解析】()0f x '＞则函数单调递增，所以从图中确定单调递增区间即可得解. 【详解】由图可知()f x 在()(),1,1,-∞-+∞上单调递增，所以()0f x '＞的解集为()(),11,-∞-+∞U .故选：D 【点睛】本题考查导数的符号与函数单调性的关系，属于基础题.9．O 为坐标原点，F 为抛物线22C y x =：的焦点，P 为C 上一点，若2PF =，则POF V 的面积是（ ）A ．B ．4CD ．2【答案】A【解析】求出抛物线的焦点与准线，由抛物线的定义求出点P 的坐标，从而求出POF V 的面积. 【详解】焦点为1(,0)2F ，准线为12x =-，由抛物线的定义知122p PF x =+=，32p x =，因为点P 在抛物线上，所以p y =，111222p POF S OF y =⋅=⨯=V 故选：A 【点睛】本题考查抛物线的图像与性质，属于基础题.10．函数32y ax ax x =-+在R 上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ） A ．(]0,3 B ．[)0,3 C ．[]0,3 D ．()0,3【答案】C【解析】求出函数的导数，利用0y '≥即可求出a 的取值范围.【详解】函数的导数为2321y ax ax '=-+，若函数32y ax ax x =-+在R 上单调递增，则等价于0y '≥恒成立，若0a =，则10y '=≥，满足条件；若0a ≠，要使0y '≥恒成立，则24120a a a >⎧⎨∆=-≤⎩，解得03a <≤， 综上03a ≤≤. 故选：C【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，一元二次不等式恒成立问题，属于中档题. 11．已知双曲线的左、右焦点分别是，正三角形的一边与双曲线左支交于点B，且，则双曲线C的离心率的值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由三角形为正三角形可得的坐标，过点B作x轴的垂线，由三角形相似可得点B的坐标，代入双曲线方程化解求离心率的值.【详解】过点B作x轴垂线，垂足是C，如图所示：，点B的坐标点B在双曲线上则化解得解得故选B【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，属于中档题，解题的关键是利用题目中的几何关系得到关于a 、b 、c 的齐次式，再将b 消去后通过化解得到关于e 的方程.12．已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，()(),x R f x f x '∀∈＜恒成立，则（ ） A ．()()220f e f ＞B ．()()220f e f ≤C ．()()220f e f ≥D ．()()220f e f ＜【答案】D【解析】根据()(),x R f x f x '∀∈＜，求导，判断函数单调性，比较(2),(0)F F 的大小. 【详解】设()()x f x F x e=，则22()()(()())()0()()x x x x x f x e f x e e f x f x F x e e ''⋅-⋅-'==<， 所以函数()F x 在R 上单调递减，所以(2)(0)F F <，20(2)(0)f f e e <即()()220f e f ＜. 故选：D 【点睛】本题考查利用导数判断函数单调性，属于基础题.二、填空题13．命题“2,0x R x ex ∀∈-≥”的否定是_____________.【答案】2000,0x R x ex ∃∈-＜【解析】全称命题的否定是特称命题，易得到答案.【详解】命题“2,0x R x ex ∀∈-≥”的否定是2000,0x R x ex ∃∈-＜ 故答案为：2000,0x R x ex ∃∈-＜【点睛】本题考查全称命题的否定，属于基础题.14．曲线x y xe =在点()0,0处的切线方程为______． 【答案】y x =【解析】利用导数求出曲线x y xe =在点()0,0处的切线的斜率，然后利用点斜式可写出所求切线的方程. 【详解】依题意得xxy e xe '=+，因此曲线xy xe =在0x =处的切线的斜率等于1，所以函数xy xe =在点()0,0处的切线方程为y x =.故答案为：y x =． 【点睛】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力．属于基础题．15．设12,F F 是双曲线22143x y C -=：的两个焦点，点P 在双曲线上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则12PF PF 的值是__________.【答案】113【解析】根据方程求出焦点坐标，由线段1PF 的中点在y轴上求出p x线方程得3)2P ，分别求出1PF ，2PF 即可得解. 【详解】由双曲线方程22143x y -=知2a =，b =c ==设1(F，2F ，线段1PF 的中点在y 轴上，则(02p x +=，解得p x =因为点P在双曲线上，满足双曲线方程，即27143py-=，32py=±，设3(7,)2P，则221311(27)()22PF=+=，232PF=，所以12113PFPF=故答案为：113【点睛】本题考查双曲线的几何性质，直线与双曲线的综合应用，属于中档题.16．已知三棱锥P ABC-的各顶点都在以O为球心的球面上，且,,PA PB PC两两垂直，2PA PB PC===，则球心O到平面ABC的距离是______.【答案】3【解析】设过A，B，C的截面圆的圆心为O'，半径为r，球心O到该截面的距离为d，利用,,PA PB PC两两垂直，O'为ABCV的中心，求出截面圆的半径，通过球的半径、截面圆的半径、球心与截面的距离之间的关系求出球的半径，即可求出球心O带平面ABC的距离.【详解】如图，设过A，B，C的截面圆的圆心为O'，半径为r，球心O到该截面的距离为d，因为,,PA PB PC两两垂直，且2PA PB PC===，所以22AB BC CA===且O'为ABCV222r=，解得26r=又22343PO r'=-=，22233OO R d R r'=-==-3R=故23333d R=-=.【点睛】本题考查多面体与球内接外切问题，侧棱两两垂直且相等的三棱锥的几何特征，考查空间想象能力，属于中档题.三、解答题17．设函数()32241f x x x x =+-+．（1）写出函数()f x 的递减区间；（2）求函数()f x 在区间[]3,3-上的最大值． 【答案】（1）22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）34 【解析】(1)求出导数，由导数的符号判断函数单调性从而求得单调递减区间；(2)由函数在[]3,3-上的单调性判断出最大值有可能在2x =-或3x =处取到，求出()()29,334f f -==比较即可得到最大值.【详解】解：（1）()2344f x x x '=+-.令()20,23f x x x =='-=得或.. 当()()20,x f x f x '-＜时，＞单调递增；()()220,3x f x f x '-当＜＜时，＜单调递减，()()20,3x f x f x '＞时，＞单调递增.因此，函数()f x 的递减区间为22,3⎛⎫- ⎪⎝⎭（2）由（1）知，函数()[]3,3f x -在上的最大值有可能在23x x =-=或者处取到， ()()29,334f f -==.因此函数()[]3,3f x -在上的最大值为()334f = 【点睛】本题考查导数在研究函数中的作用，通过导数判断函数单调性与求函数最值，属于基础题.18．设命题p ：实数x 满足()()()200x a x a a +-＜＞，命题2:03x q x -+＜． （1）若p 是q 的充分而不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若2a =，p q ∧为假命题，p q ∨为真命题，求x 的取值范围． 【答案】（1）1a ≤（2）(][)3,22,4--⋃【解析】(1)分别求出能使命题p ，q 为真的x 的取值范围的集合A ，B ，由p 是q 的充分而不必要条件知A B ⊆，从而求出a 的取值范围；(2)由题意知命题p ，q 一真一假，对两命题的真假进行分类讨论即可求得x 的取值范围. 【详解】（1）使命题p 为真的x 的范围为集合(),2A a a =- 使命题q 为真的x 的范围为集合()3,2B =-由题知A B ⊆,即322a a -≥-⎧⎨≤⎩，解得1a ≤（2）当2a =时，集合()2,4A =-，由题知，命题p ，q 一真一假若p 真q 假，则2432x x x -⎧⎨≤-≥⎩＜＜或，解得24x ≤＜若p 假q 真，则3224x x x -⎧⎨≤-≥⎩＜＜或，解得32x -<≤-综上所述，x 的取值范围是(][)3,22,4--⋃ 【点睛】本题考查简单逻辑的判定，一元二次不等式、分式不等式的解法，由集合的包含关系求参数，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.19．已知抛物线()220C y px p =：＞过点()1,2，直线l 与C 交于,A B 两点．（1）求抛物线方程；（2）若线段AB 中点为()4,1Q ，求直线l 的方程． 【答案】（1）24y x =（2）270x y --=【解析】(1)点的坐标代入抛物线方程即可求出p ；(2) 设点()()1122,,,A x y B x y ，由A ，B 在抛物线上知21122244y x y x ⎧=⎨=⎩①②，则()()()1212124y y y y x x +-=-，利用Q 为中点解得12122y y k x x -==-，即可列出直线的点斜式方程.【详解】（1）将点()21,22y px =代入，得2p =因此，抛物线方程为24y x = （2）设点()()1122,,,A x y B x y ，则21122244y x y x ⎧=⎨=⎩①②-①②得，()()()1212124y y y y x x +-=- ③ 由121282x x AB Q y y +=⎧⎨+=⎩的中点为知代入③得12122y y k x x -==-因此直线l 的方程为()124y x -=-，整理得270x y --=. 【点睛】本题考查抛物线的方程，直线与抛物线的位置关系，中点坐标公式，直线点斜式方程，属于基础题.20．在多面体ABCDEFG 中，四边形ABCD 与CDEF 是边长均为4正方形，,CF ABCD BG ⊥⊥平面ABCD ，且24AB BG BH ==．（1）求证：GH ⊥平面EFG ； （2）求三棱锥G ADE -的体积． 【答案】（1）证明见解析；（2）323【解析】试题分析：（1）连结FH ，由题意推出,,,CD CF CD GH EF GH GH FG ⊥⊥⊥⊥，即可证明GH ⊥平面EFG ；（2）因为CF ⊥平面,ABCD BG ⊥平面ABCD ，∴//CF BG ，又∵//ED CF ，∴//BG ED ，∴//BG 平面ADE ，则G ADE B ADE V V --=，即可求解三棱锥G ADE -的体积． 试题解析：（1）连接FH ，由题意，知,CD BC CD CF ⊥⊥，∴CD ⊥平面BCFG ． 又∵GH ⊂平面BCFG ，∴CD GH ⊥． 又∵//EF CD ，∴EF GH ⊥ 由题意，得131,,BG 442BH a CH a a ===，∴2222516GH BG BH a =+=， ()22222222525,416FG CF BG BC a FH CF CH a =-+==+=，则222FH FG GH =+，∴GH FG ⊥， 又∵,EF FG F GH =⊥I 平面EFG∵GH ⊂平面AGH ，∴平面AGH ⊥平面EFG（2）因为CF ⊥平面,ABCD BG ⊥平面ABCD ，∴//CF BG 又∵//ED CF ，∴//BG ED ， ∴//BG 平面ADE ，则G ADE B ADE V V --= 又,CD AD CD DE ⊥⊥，∴CD ⊥平面ADE ， 而//AB CD ，所以AB ⊥平面ADE ， ∴11113244432323G ADE B ADE V V AD DE AB --==⨯=⨯⨯⨯⨯=g g 【考点】线面位置关系的判定与证明；三棱锥体积的计算．21．设椭圆22221x y C a b+=：()0a b ＞＞的左右焦点分别为12F F ，，离心率为13，点P 在椭圆上，且12PF F △的面积的最大值为22 （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线()20l y kx k =+：＞与椭圆C 交于不同的两点,A B 两点，若在x 轴上存在点G ，使得GA GB =，求点G 的横坐标的取值范围．【答案】（1）22198x y +=（2）012m -≤＜【解析】(1)根据题意列出方程组，解出a ，b ，c 即可得到椭圆的方程；(2) 设()()1122,,,,A x y B x y AB 的中点为()()00,,,0E x y G m ，联立直线与椭圆的方程从而求出点E 的坐标，又GE AB ⊥，则221601981898GEk k k k m k -+==---+，m 表示成关于k 的函数，再由k 的范围求出m 的范围. 【详解】（1）当P 点位于上下定点时12PF F △的面积取最大值，由已知得22213122c a c b a b c ⎧=⎪⎪⎪⋅⋅=⎨⎪=+⎪⎪⎩解得222981a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩因此，椭圆C 的方程为22198x y +=（2）设()()1122,,,,A x y B x y AB 的中点为()()00,,,0E x y G m ，,GA GB GE AB =∴⊥Q由()222228936360198y kx k x kx x y =+⎧⎪++-=⎨+=⎪⎩得 0,k R ∆∈由＞得，1223698k x x k +=-+，000221816,29898k x y kx k k -∴==+=++ 22160198,1898GEk GE AB k k k m k -+⊥∴==---+Q ， 2228989k m k k k --∴==++80,9k k k +≥=Q ＞0m ≤＜ 【点睛】本题考查椭圆的几何性质，直线与椭圆位置关系的应用，涉及均值不等式，两直线垂直斜率之间的关系，属于中档题.22．设函数()xf x e ax b =++在点()()0,0f 处的切线方程为10x y ++=.（1）求,a b 的值，并求()f x 的单调区间； （2）证明：当0x ≥时，()24f x x >-.【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】（1）先利用导数的几何意义求出a,b 的值,再利用导数求函数的单调区间.(2)转化为2221x x x e +-<，再构造函数222()xx x g x e+-=证明其最大值小于1即得证. 【详解】⑴()x f x e a '=+，由已知，(0)1,(0)1f f =-=-'，故a=-2,b=-2.()2x f x e '=-，当(,ln 2)x ∈-∞时，()0f x '<，当x (ln 2,)∈+∞时，()0f x '>，故f(x)在(,ln 2)x ∈-∞单调递减，在x (ln 2,)∈+∞单调递减；⑵24()f x x >-，即2221x x x e +-<，设22224(),()x xx x x g x g x e e+-=='-∴， [0,2)()0,(2,)()0x g x x g x ''∈>∈+∞<时，时，，所以g(x)在[0,2)递增，在(2,)+∞递减，当x≥0时，()24f x x >-.【点睛】(1)本题主要考查导数的几何意义，考查利用导数求函数的单调区间，考查利用导数证明恒等式，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是转化为证明2221xx x e+-<.。

2018-2019学年山西省长治市第二中学校高二下学期第二次月考数学（文）试题一、单选题1．已知全集{}1,2,3,4U =，若{}1,3A =，{}3B =，则()()U U C A C B ⋂等于( ) A ．{}1,2 B ．{}1,4C ．{}2,3D ．{}2,4【答案】D【解析】根据题意得到{} 2,4U C A =，U C B ={}1,2,4，故得到()()U U C A C B ⋂={} 2,4. 故答案为：D.2．在复平面内，复数1z 和2z 对应的点分别是(2,1)A 和(0,1)B ，则12z z =( ) A ．12i -- B ．12i -+C ．12i -D ．12i +【答案】C【解析】由复数1z 和2z 对应的点分别是()A 2,1和()B 0,1得：12z i =+，2i z =，故12212z i i z i+==-，故选C. 3．设p 、q 是简单命题，则""p q ∧为假是""p q ∨为假的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】利用复合命题的性质，结合充分条件与必要条件的定义可得结果. 【详解】若"p ∧q"假，则,p q 可以一真假，可得""p q ∨不一定为假，即充分性不成立； 若""p q ∨为假，,p q 都为假，可得""p q ∨一定为假，即必要性成立， 所以""p q ∧为假是""p q ∨为假的必要不充分条件， 故选：B 【点睛】充分、必要条件的三种判断方法．1．定义法：直接判断“若p 则q ”、“若q 则p ”的真假．并注意和图示相结合，例如“p ⇒q ”为真，则p 是q 的充分条件．2．等价法：利用p ⇒q 与非q ⇒非p ，q ⇒p 与非p ⇒非q ，p ⇔q 与非q ⇔非p 的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法．3．集合法：若A ⊆B ，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A ＝B ，则A 是B 的充要4．已知0.4 1.90.41.9,1 1.9,0.4a b og c ==＝，则（ ）A ．a b c >>B ．b c a >>C ．a c b >>D ．c a b >>【答案】C【解析】利用指数函数、对数函数的单调性，将a ，b ，c 分别与1和0比较，得到结论. 【详解】因为0.401.9 1.91,a >=＝0.40.41 1.9110,b og og =<= 1.9000.40.41,01c <<=∴<<所以a c b >> 故选：C 【点睛】本题主要考查指数函数、对数函数的单调性的应用，还考查了转化化归的思想和理解辨析的能力，属于基础题.5．下列函数中，既是偶函数又在区间(0，＋∞)上单调递增的是( ) A ．1y x=B ．1y x =-C ．lg y x =D ．12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭【答案】B【解析】先判断函数的奇偶性，再依据单调性进行选择． 【详解】1y x =为奇函数；lg y x =的定义域为(0，＋∞)，不具备奇偶性；12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭是偶函数但在(0，＋∞)上为减函数；1y x =-在(0，＋∞)上为增函数，且在定义域上为偶函数． 故选B 【点睛】本题主要考查函数的性质，奇偶性和单调性的应用．6．某大型超市开业天数x 与每天的销售额y 的情况如下表所示： 开业天数 10 2030 40 50 销售额/天(万元) 62758189根据上表提供的数据，求得y 关于x 的线性回归方程为ˆ0.6754.9yx =+，由于表中有一个数据模糊看不清，请你推断出该数据的值为（ ） A ．67 B ．68 C ．68.3 D ．71【答案】B【解析】设该数为m ，再求,x y ，然后根据点(),x y 在回归直线上求解. 【详解】 设该数为m ，()()()111102030405030,62758189307555x y m m =++++==++++=+， 因为点(),x y 在回归直线上， 所以()13070.673054.95m +=⨯+， 解得：m =68. 故选：B 【点睛】本题主要考查线性回归方程的应用，还考查了理解辨析和数据处理的能力，属于基础题. 7．执行如图所示的程序框图，若输入n 的值为13，输出S 的值是46，则a 的取值范围是（ ）A ．910a ≤<B ．910a <≤C ．1011a <≤D ．89a <≤【答案】B【解析】分析：模拟执行程序框图，只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出46S =，即可得到输出条件. 详解：输入13,0n S ==， 第一次循环13,12S n ==； 第二次循环25,11S n ==； 第三次循环36,10S n ==； 第四次循环46,9S n ==，输出46S =，此时应满足退出循环的条件， 故a 的取值范围是9010<≤，故选B.点睛：本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.8．函数()e 1()e 1x xf x x +=-（其中e 为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对比函数和选项图像的定义域、奇偶性，即可排除错误答案，即可得解. 【详解】由题意得函数()f x 的定义域为(,0)(0,)-∞+∞U ，可排除B 、C ，∵()()()11()()1111x x x x x xe e ef x f x x e x e x e --++-==-==--+--， ∴函数()f x 为偶函数，可排除选项A. 故选：D. 【点睛】本题考查了函数图像的识别，属于基础题.9．已知()f x 为定义在R 上周期为2的奇函数，当10x -≤<时，()()1f x x ax =+，若512f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，则a =（ ） A ．6 B ．4C ．1425-D ．6-【答案】A【解析】利用已知条件，将函数的自变量变到[)1,0-内，再求出函数值，由512f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭求出a 的值。

2019-2020学年山西省长治市第二中学高二上学期第一次月考数学（理）试题一、单选题1．下列命题正确的是（ ） A ．棱柱的侧面都是长方形 B ．棱柱的所有面都是四边形 C ．棱柱的侧棱不一定相等 D ．—个棱柱至少有五个面【答案】D 【解析】【详解】A 不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形；B 不对，三棱柱的底面是三角形C 不对，棱柱的侧棱一定相等D 对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面,故选D. 2．下列推理错误的是（ ）A ．,,,A l AB l B l ααα∈∈∈∈⇒⊆ B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C ．lα，A l A α∈⇒∉D ．,A l l A αα∈⊆⇒∈ 【答案】C 【解析】【详解】A 、B 分别是公理1、2的符号表示，故它们都是正确的；对于C ，l α有两种可能， //l α，与相交；若交点为，则且．故错；D 是公理1的性质，正确,故选C ． 【考点】平面的基本性质及推论． 【易错点晴】本题主要考查了平面的基本性质及推论，属于基础题，亦属于易错题．利用集合的符号语言来描述平面几何中点、线、面的位置关系，学生在理解上存在着差异，点相当于元素，而线与平面看成是点的集合，所以点与线面的关系是属不属于的关系，而直线与平面之间是含与不含的关系,线与面之间当然也可以进行交运算．3．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =,E 为1AA 的中点，则异面直线BE和1CD 所成角的余弦值为()ABC ．15D ．35【答案】B【解析】取1DD 中点F ，连接,CF EF ，易证得四边形BCFE 为平行四边形，从而可知所求角即为1FCD ∠；分别求解出11,,CF CD D F 的长，利用余弦定理求得结果. 【详解】取1DD 中点F ，连接,CF EF////EF AD BC ∴四边形BCFE 为平行四边形 //BE CF ∴ ∴异面直线BE 与1CD 所成角即为CF 与1CD 所成角：1FCD ∠设AB a =，则12AA a =CF ∴=，1CD ==，1D F a =2222221111cos 2CD CF FD FCD CD CF +-∴∠===⋅ 本题正确选项：B 【点睛】本题考查异面直线所成角的求解，关键是能够通过平行关系将异面直线所成角转化为相交直线所成角，放入三角形中，利用余弦定理求得结果.4．已知ABC ∆在斜二测画法下的平面直观图,A B C A B C ∆∆''''''是边长为a 的正三角形，那么在原ABC ∆的面积为（ ） A．2B2 C2 D2【答案】C 【解析】【详解】直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形,故面积为24a ，而原图和直观图面积之间的关系S S =直观图原图，那么原△ABC 2， 故选C.点睛：本题主要考查平面图形的直观图和原图的转化原则的应用，要求熟练掌握斜二测4.掌握两个图象的变换原则，原图象转直观图时，平行于x 轴或者和轴重合的长度不变，平行于y 轴或者和轴重合的线段减半，原图转直观图时正好反过来，即可.5．如果三点()1,5,2A -，()2,4,1B ，(),3,2C a b +在同一条直线上，则() A ．3,2a b == B ．6,1a b ==- C ．3,3a b ==- D ．2,1a b =-=【答案】A【解析】由三点共线可知,AB AC 为共线向量，根据向量共线的坐标运算可构造方程求得结果. 【详解】,,A B C 三点共线 ,AB AC ∴为共线向量又()1,1,3AB =-，()1,2,4AC a b =--+124113a b --+∴==-，解得：3a =，2b = 本题正确选项：A 【点睛】本题考查利用共线向量解决三点共线的问题，关键是能够明确三点共线与共线向量之间的关系.6．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面：①//,m n m n αα⊥⇒⊥；②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒；③//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥；④若,m n αγβγ==,//m n ，则//αβ，则以上说法中正确的有( )个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】【详解】由m n ，是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，知：对于①，//m n ，m ⊥ α，由线面垂直的判定定理得n ⊥ α，故①正确； 对于②，α // β，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故②错误； 对于③，α //β，//m n ，m ⊥ α，由线面垂直的判定定理得n ⊥β，故③正确；对于④，若αγ⋂ m =，βγ⋂ n =，//m n ，则α与β相交或平行，故④错误，故选B.7．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，BC =则棱锥O ABCD -的体积为()A ．B ．6C ．D ．8【答案】A【解析】根据球的性质可知，球心与矩形外接圆圆心连线垂直于矩形所在平面；根据长度关系计算可得四棱锥底面积和高，代入棱锥体积公式可求得结果. 【详解】四边形ABCD 为矩形 ∴矩形ABCD 外接圆圆心为其对角线交点O ' 由球的性质可知：OO '⊥平面ABCD6AB =，BC = 1A B C DSA B B C ∴=⋅=2AO '==2OO '∴== 13O ABCDABCDV S OO -'∴=⋅=本题正确选项：A 【点睛】本题考查棱锥体积的求解问题，关键是能够灵活应用球的性质得到线面垂直关系，属于基础题.8．圆台的两个底面面积之比为4:9，母线与底面的夹角是60，轴截面的面积为l =()A．B ．C ．D ．12【答案】D【解析】设圆台的上底面半径为2r ，根据面积比可知下底面半径为3r ；利用圆台的轴截面面积构造关于r 的方程，求得r 后，利用2AD AE =即可得到结果. 【详解】设圆台的上底面半径为2r ，则其下底面半径为3r 可作圆台的轴截面如下图所示：其中DE AB ⊥，CF AB ⊥，60DAE CBF ∠=∠=DE CF ∴==，AE BF r ==，4EF r =∴轴截面面积4EFDCADE BFC S SS S r r ∆∆=++=+=解得：6r = ∴母线长2212l AD AE r ==== 本题正确选项：D 【点睛】本题考查圆台母线长的求解问题，关键是能够利用圆台轴截面面积构造方程求出上下底面半径，属于基础题. 9．已知平面α⊥平面β，l αβ=，点,A A l α∈∉，直线//AB l ，直线AC l ⊥，直线//,//m m αβ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是() A ．//AB m B ．AC β⊥ C ．//AB β D ．AC m ⊥【答案】B【解析】根据线面平行的性质可证得//m l ，从而得到//AB m ，A 成立；由AC l ⊥知AC m ⊥，D 成立；根据线面平行的判定定理可证得//AB β，C 成立；存在//AC β的情况，B 不成立. 【详解】//m α，//m β，l αβ= //m l ∴又//AB l //AB m ∴，则A 成立 AC l ⊥，//m l A C m∴⊥，则D 成立 //AB l ，AB β⊄，l β⊂ //AB β∴，则C 成立若C α∉且AC α⊥l α⊂ A C l∴⊥ 平面α⊥平面β //AC β∴，则B 不成立 本题正确选项：B 【点睛】本题考查立体几何中直线与平面、平面与平面位置关系相关命题的判定，涉及到线面平行的判定与性质、面面垂直的性质等知识.10．某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是（ ）A ．283π B ．323π C ．523π D ．563π 【答案】A 【解析】【详解】该几何体是半个圆柱和半个圆锥组合而成，其中圆柱的底面半径为2，高为4，圆锥的底面半径和高均为2，所以其体积为111284442.2233V πππ=⨯⨯+⨯⨯⨯= 故选A.点睛：本题主要考查三视图还原为几何体原图，考查组合体的体积的计算,属于基础题.11．如图，在正三棱柱111ABC A BC -中，2AB =,1AA =D ，F 分别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF ∆的周长的最小值为()A ．2B ．2C 2D 2【答案】D【解析】根据正三棱柱的特征可知ABC ∆为等边三角形且1AA ⊥平面ABC ，根据1AA AD ⊥可利用勾股定理求得2DF =；把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，可知当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值；在ADF ∆中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果. 【详解】三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ABC ∆∴为等边三角形且1AA ⊥平面ABCAD ⊂Q 平面ABC 1A A A D ∴⊥ 2DF ∴== 把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，如下图所示：当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值又150FAD ∠=，AF =1AD =()min DE EF ∴+===DEF ∴∆2本题正确选项：D 【点睛】本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.12．如图，已知矩形ABCD 中，2AB AD =,E 为边AB 的中点，将ADE ∆沿直线DE 翻折成1A DE ∆，若M 是线段1A C 的中点，则ADE ∆在翻折过程中，下列命题：①线段BM 的长是定值； ②存在某个位置，使1DE A C ⊥; ③点M 的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，使得MB ⊥面1A DE ． 正确的个数是() A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】取CD 中点F ，连接,BF MF ，根据面面平行的判定定理可证得平面//BFM 平面1A DE ，由面面平行性质定理可知//MB 平面1A DE ，排除④；利用余弦定理可证得BM a =为定值，则①正确；由圆的定义可知③正确；假设1DE A C ⊥，由线面垂直判定定理可证得DE ⊥平面1A CE ，由线面垂直性质知1DE A E ⊥，与已知矛盾，则假设错误，可排除②. 【详解】取CD 中点F ，连接,BF MF,M F 分别为1,A C CD 中点 1//MF A D ∴1A D ⊂Q 平面1A DE ，MF ⊄平面1A DE //MF ∴平面1A DE //DF BE ∴四边形BEDF 为平行四边形 //BF DE ∴DE ⊂平面1A DE ，BF ⊄平面1A DE //BF ∴平面1A DE又BFMF F =，,BF MF ⊂平面BMF ∴平面//BMF 平面1A DEBM ⊂平面BMF //BM ∴平面1A DE ，则④错误设22AB AD a ==112MF A D a ==，BF DE ==，145A DE MFB ∠=∠=BM a ∴==，即BM 为定值，则①正确∴点M 的轨迹是以B 为圆心，a 为半径的圆，则③正确DE CE ==，2CD AB a == 222D E C EC D ∴+= D E C E ∴⊥ 设1DE A C ⊥1,AC CE ⊂平面1A CE ，1AC CE C = DE ∴⊥平面1A CE1A E ⊂平面1A CE 1D E A E∴⊥，与11DA A E ⊥矛盾，可知假设不成立，则②错误综上所述：①③正确 本题正确选项：B 【点睛】本题考查立体几何中的翻折问题，涉及到线段长度的求解、直线与平面位置关系的判定、点的轨迹的求解、反证法的应用等知识；对于学生的空间想象能力有一定的要求，属于中档题.二、填空题13．一个几何体的表面展开平面图如图，该几何体中的与“数”字面相对的是“__________”字面.【答案】学【解析】【详解】把平面图还原是一个三棱台，两个三角形分别为上下底面， 所以与数对应的是学, 故答案为 学.14．《九章算术》卷5 《商功》记载一个问题“今有圆堡壔（dǎo ），周四丈八尺，高一丈—尺，文积几何？意思是:今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是__________立方尺. (取 3.1π=，1丈=10尺） 【答案】2112 【解析】【详解】设圆柱体底面半径为R ，高为h ，周长为C ，因2C R π=，故2CR π=， 则所求体积为22222481121124412C C h R h h ππππ⨯====(立方尺)，故答案为2112.15．已知平面α外两点,A B 到平面α和,A B 在平面α内的射，则线段AB 的长度为__________．【答案】或【解析】【详解】 考虑两种情况：当A 、B 两点有平面α的同侧时，线段AB =当A 、B 两点有平面α的异侧时，线段AB =；则线段AB 的长为故答案为点睛：点在平面外要分两点在面的同侧还是异侧，这样的题目容易漏情况.16．在正三棱锥S ABC -中，点M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长AB =则正三棱锥S ABC -的外接球的表面积为____________【答案】12π【解析】取AC 中点N ，连接,SN BN ；根据等腰三角形三线合一和线面垂直的判定定理可证得AC ⊥平面SBN ，从而得到AC SB ⊥；根据线面垂直的判定定理知SB ⊥平面SAC ，根据线面垂直性质知SB SA ⊥，SB SC ⊥；由正三棱锥的结构特征知,,SA SB SC 两两互相垂直，从而可将所求外接球转化为正方体的外接球；根据正方体外接球半径为体对角线的一半可求得半径，进而得到所求表面积.【详解】取AC 中点N ，连接,SN BN三棱锥S ABC -为正三棱锥 SA SC ∴=，AB BC = SN AC ∴⊥，BN AC ⊥,SN BN ⊂平面SBN ，SN BN N = AC ∴⊥平面SBNSB ⊂平面SBN A C S B∴⊥ 又AM SB ⊥，,AC AM ⊂平面SAC ，AC AM A ⋂= SB ∴⊥平面SAC ,SA SC ⊂平面SAC S B S A ∴⊥，SB SC ⊥由正棱锥侧面全等可知：SA SC ⊥，即,,SA SB SC 两两互相垂直∴可将三棱锥S ABC -放入如下图所示的正方体中，其中AB AC BC ===则三棱锥S ABC -的外接球即为正方体的外接球2SA ∴= ∴正方体外接球半径：R ==∴所求外接球的表面积：2412S R ππ==本题正确结果：12π【点睛】本题考查几何体外接球表面积的求解问题，关键是能够根据线面垂直的关系找到三条棱两两互相垂直的关系，从而将问题转化为正方体外接球表面积的求解问题.三、解答题17．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，底面边长为a ，E 是PC 的中点．(1)求证：PA// 平面BDE ；(2)求证：平面PAC ⊥平面BDE ．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【解析】(1) 连结OE ，证明OE ∥PA ，即证PA ∥平面BDE.(2)先证明BD ⊥平面PAC ，再证明平面PAC ⊥平面BDE ．【详解】(1)证明：连结OE ，如图所示．∵O ，E 分别为AC ，PC 的中点，∴OE ∥PA.∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ，∴PA ∥平面BDE.(2)证明：∵P O ⊥平面ABCD ，∴PO ⊥BD.在正方形ABCD 中，BD ⊥AC.又∵PO∩AC ＝O ，∴BD ⊥平面PAC.又∵BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE.【点睛】本题主要考查空间几何元素的位置关系的证明，意在考查学生对这些知识的理解能力掌握水平和空间想象转化能力.18．如图，三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为4的正三角形，PA PC =，4PB =，面PAC ⊥面ABC 。

2019-2020学年山西省长治市第二中学校高二上学期12月月考数学（理）试题一、单选题1．已知椭圆的方程为22143x y +=，则此椭圆的焦距为（ ）A ．1B ．2C ．4D【答案】B【解析】根据椭圆方程得到a ，b ，c 的值，然后求解焦距即可． 【详解】因为椭圆的方程为22143x y +=，所以2a =，b =由222c a b =-得：1c =， 所以椭圆的焦距为2． 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的方程及简单性质的应用，属于基础题． 2．双曲线222x y -=的渐近线方程为（ ）A ．2y x =±B ．2y x =±C ．y =D ．y x =±【答案】D【解析】令双曲线222x y -=的2为0，从而得到方程220x y -=，化简后即得渐近线方程． 【详解】令220x y -=，整理得y x =±，所以双曲线的渐近线方程为y x =±. 故选：D 【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，考查基本运算求解能力．3．已知直线l ⊥平面α，直线m ∥平面β，若αβ⊥，则下列结论正确的是 A ．l β∥或l β⊂ B ．//l m C ．m α⊥ D ．l m ⊥【答案】A【解析】选项A 中l 与β位置是平行或在平面内，选项B 中l 与m 可能共面或异面，选项C 中m 与α的位置不确定，选项D 中l 与m 的位置关系不确定． 【详解】对于A ，直线l ⊥平面α，αβ⊥，则l β//或l β⊂，A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴B 错误；对于C ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则m α⊥或m 与α相交或m α⊂或//m α，∴C 错误；对于D ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，且αβ⊥，则//l m 或l 与m 相交或l 与m 异面，∴D 错误．故选：A ． 【点睛】本题考查了空间平面与平面关系的判定及直线与直线关系的确定问题，也考查了几何符号语言的应用问题，是基础题．4．双曲线22184x y -=的一个焦点到一条渐近线的距离为（ ）A ．4B ．5C ．2D 【答案】C【解析】求得双曲线的a ，b ，c ，可设一个焦点和一条渐近线方程，由点到直线的距离公式，可得所求值． 【详解】双曲线22184x y -=的a =2b =，c =，一个焦点设为0)，一条渐近线设为0x -=，可得一个焦点到一条渐近线的距离为2d ==. 故选：C. 【点睛】本题考查双曲线的方程和性质、渐近线方程、点到直线的距离公式，考查化简运算能力，属于基础题．5．以椭圆2212x y +=的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是（ ）A ．2212x y -=B ．221x y -=C ．221y x -=D ．2212y x -=【答案】B【解析】求得椭圆的焦点和左右顶点，可设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，求得a ，c ，可得b ，进而求得双曲线的方程． 【详解】椭圆2212x y +=的焦点为(1,0)±，左右顶点为(0)，可设双曲线的方程为22221(0,0)x y a b a b-=>>，由题意可得1a =，c =1b ==，则双曲线的方程为221x y -=． 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程及性质，考查待定系数法和方程思想，运算能力，属于基础题．6．已知点P 是椭圆22154x y +=上的一点，1F ，2F 是椭圆的两个焦点，且1260F PF ∠=︒，则12F PF △的面积为（ ）A ．B ．43C D ．(82【答案】C【解析】根据题意，由椭圆的标准方程可得a 、b 的值，计算可得c 的值，由椭圆的定义分析可得12||||2PF PF a +==221212||||2||||20PF PF PF PF ++=，利用余弦定理可得2221212||||||||cos 60(2)42PF PF PF PF c +=-⋅=，两式相减可得12||||PF PF 的值，进而由三角形面积公式计算可得答案． 【详解】根据题意，椭圆的方程为22154x y +=，其中a =，2b =，则1c ==，因为P 是椭圆上的一点，则有12||||2PF PF a +== 变形可得221212||||2||||20PF PF PF PF ++=，①又由1260F PF ∠=︒，则2221212||||||||cos 60(2)42PF PF PF PF c +=-⋅=，②①-②可得：123||||16PF PF =，即1216||||3PF PF =，则△12F PF 的面积121116||||sin 6022323S PF PF ==⋅⋅=. 故选：C. 【点睛】本题考查椭圆的定义、三角形面积公式、余弦定理、焦点三角形的性质，考查方程思想的运用，求解关键是分析12||||PF PF 的值．7．若直线(3)y k x =-与双曲线22194x y -=只有一个公共点，则满足条件的直线有（ ） A ．1条 B ．2条C ．3条D ．4条【答案】B【解析】由题意可得直线经过点(3,0)，即为双曲线的右顶点，求得渐近线方程，考虑与渐近线平行的直线，即可得到所求条数． 【详解】直线(3)y k x =-经过点(3,0)，即为双曲线的右顶点， 由于直线的斜率为k ，故直线3x =不成立，而双曲线22194x y -=的渐近线方程为23y x =±，可得经过点(3,0)与渐近线平行的直线，与双曲线只有一个公共点，故满足条件的直线有两条． 故选：B. 【点睛】本题考查直线和双曲线的位置关系、双曲线的性质、渐近线方程，考查分类讨论思想，属于基础题．8．已知圆22(2)(1)1x y -+-=，由直线:10l x y ++=上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（ ）A ．2BC ．D ．7【答案】B【解析】如图利用几何性质求出最小的BC ，再求出BA 的最小值． 【详解】如图，切线长222BA BC AC =-，当BC 最小时，BA 最小，BC 最小值为C 到直线10x y ++=的距离d ==故BA =， 故选：B.【点睛】本题考查直线与圆的相切问题，考查数形结合思想的运用，求解时要会借助图形进行分析与求解，考查基本运算求解能力．9．过点()1,1P -作直线与椭圆22124x y +=交于,A B 两点，若线段AB 的中点恰好为P点，则AB 所在直线方程是（ ） A ．210x y +-= B ．230x y -+=C ．210x y -+=D ．230x y -+=【答案】D【解析】利用“设而不求点差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 【详解】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则221124x y +=，222224x y +=121212122()()()()0x x x x y y y y ∴+-++-=．(1,1)P -恰为线段AB 的中点， 12122()()0x x y y ∴--+-=， ∴直线AB 的斜率为：2，∴直线AB 的方程为12(1)y x -=+，即230x y -+=．故选：D. 【点睛】本题考查“设而不求点差法”的运用、线段中点坐标公式、斜率计算公式，考查基本运算求解能力，求解时要注意体会点差法是联系弦的斜率与弦的中点的桥梁作用，属于中档题．10．已知F 是椭圆的左焦点，P 为椭圆C 上任意一点，点，则的最大值为 A ．B ．C ．D ．【答案】A【解析】由题意，设椭圆C 的右焦点为，由已知条件推导出，利用Q ，，P 共线，可得取最大值．【详解】由题意，点F 为椭圆的左焦点，，点P 为椭圆C 上任意一点，点Q 的坐标为，设椭圆C 的右焦点为，，，，即最大值为5，此时Q ，，P 共线，故选：A ．【点睛】本题主要考查了椭圆的标准方程、定义及其简单的几何性质的应用，其中解答中熟记椭圆的标准方程、定义和简单的几何性质，合理应用是解答的关键，着重考查了转化思想以及推理与运算能力。

山西省长治市第二中学2019—2020学年第一学期高二第一次月考数学试题（文科）【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．下列命题正确的是( )A ．棱柱的侧面都是长方形B ．棱柱的所有面都是四边形C ．棱柱的侧棱不一定相等D ．一个棱柱至少有五个面 2．下列推理错误的是( )A ．,,,A l AB l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C ．,l A l A αα⊄∈⇒∉D ．,A l l A αα∈⊂⇒∈ 3．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =,E 为1AA 的中点，则异面直线BE 和1CD 所成角的余弦值为( )A ．10B ．10C ．15D ．354．已知ABC ∆的平面直观图'''A B C ∆是边长为a 的正三角形，那么原ABC ∆的面积为( )A 2B 2C 2D 25．已知三角形三个顶点()()()5,03,30,2A B C --，则BC 边上中线所在直线方程是（ ）A ．1350x y -+=B ．1350x y --=C ．1350x y ++=D ．130x y +=6．已知直线1l 过点()()2,,4A m B m -和点，直线2:210l x y +-=，直线3:10l x ny ++=.若1223,l l l l ∥⊥，则实数m n +的值为（ ）A ．10-B ．2-C ．0D ．87．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面：①//,m n m n αα⊥⇒⊥；②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒③//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥；④若,,//m n m n αγβγ==，则//αβ.则以上说法中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．48．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，23BC =，则棱锥O ABCD -的体积为( )A ．83B ． 6C ． 43D ．89．圆台的两个底面面积之比为4:9，母线与底面的夹角是60，轴截面的面积为1803，则圆台的母线长l =( )A ．63B ．62C ． 123D ． 1210．已知平面α⊥平面β，l αβ=，点,A A l α∈∉，直线//AB l ，直线AC l ⊥，直线//,//m m αβ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．//AB m B ．AC β⊥ C ．//AB βD ．AC m ⊥11．某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．28π3B ．32π3C ．52π3D ．56π312．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =,123AA =，D ，F 分别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF ∆的周长的最小值为( )A．2 B．2 C2 D2第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。

山西省长治市第二中学2021-2022高二数学12月月考试题文（含解析）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知双曲线的标准方程是，其渐近线方程是（）A．y＝±3x B．y＝±4x C．x＝±4y D．x＝±3y2．下列命题中的假命题是（）A．质数都是奇数B．函数y＝sin x是周期函数C．112能被7整除D．奇函数的图象关于坐标原点对称3．设m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n C．若m∥n，n⊥β，则m⊥βD．若m⊥β，α⊥β，则m∥α4．椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．5．椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则m的值为（）A．1 B．C．2 D．36．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．37．已知圆C与直线x﹣y＝0及x﹣y﹣4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y+1）2＝28．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（2，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为（）A．（﹣2，2）B．（1，）C．（1，2）D．（1，﹣2）9．设a，b∈R，ab≠0，则直线ax﹣y+b＝0和曲线bx2+ay2＝ab的大致图形是（）A．B．C．D．10．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2 cm3B．cm3C．3cm3D．3 cm311．已知A（﹣1，0），M是圆B：x2﹣2x+y2﹣7＝0（B为圆心）上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，则点P的轨迹方程是（）A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝112．已知x，y满足，如果目标函数z＝的取值范围为[0，2），则实数m 的取值范围为（）A．[0，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，）D．（﹣∞，0] 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．“若X＞5，则X2＞25”的逆否命题是．14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则＝．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BA1与平面A1B1CD所成的角是．16．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：3，则实数a的值为．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知双曲线C的焦点坐标为F1（，0），F2（，0），实轴长为6．（1）求双曲线C标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．18．某抛物线型拱桥水面宽度20m，拱顶离水面4m，现有一船宽9m，船在水面上高3m．（1）建立适当平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线标准方程；（2）计算这条船能否从桥下通过．19．已知点P（4，0），点Q在曲线C：y2＝4x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|＝4，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．20．如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AE＝AF＝2，M为BC 边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF，折到DEF的位置，使．（1）证明DO⊥平面EFCB；（2）试在BC边上确定一点N，使EN∥平面DOC，并求的值．21．已知焦点在x轴上的双曲线C过点，且其渐近线方程为．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线y＝ax+1与双曲线C的右支交于A，B两点，求实数a的取值范围．22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y＝kx（k≠0）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ 分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．2021-2022山西省长治二中高二（上）12月月考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知双曲线的标准方程是，其渐近线方程是（）A．y＝±3x B．y＝±4x C．x＝±4y D．x＝±3y【解答】解：双曲线的标准方程是，可得a＝1，b＝3，由于渐近线方程为y＝±3x，即为y＝±3x．故选：A．2．下列命题中的假命题是（）A．质数都是奇数B．函数y＝sin x是周期函数C．112能被7整除D．奇函数的图象关于坐标原点对称【解答】解：2是质数，也是偶数，所以A不正确；函数y＝sin x是周期函数，正确；112÷7＝16，所以112能被7整除，正确；奇函数的图象关于坐标原点对称，正确；故选：A．3．设m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若m∥α，n⊂α，则m∥n B．若m⊂α，n⊂β，α⊥β，则m⊥n C．若m∥n，n⊥β，则m⊥βD．若m⊥β，α⊥β，则m∥α【解答】解：A，m，n也可能异面，故错误；B，m，n存在多种位置关系，不一定垂直，故错误；C，平行线中的一条垂直一个平面．则另一条也垂直该平面，故正确；D，存在m⊂α的情况，故错误．故选：C．4．椭圆以双曲线的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（）A．B．C．D．【解答】解：双曲线的焦点（5，0），（﹣5，0）是椭圆的顶点，则所求椭圆方程中的长半轴a＝5．双曲线的顶点为（4，0），（﹣4，0）是椭圆的焦点，则椭圆的半焦距c＝4，则b＝3．椭圆的标准方程为．故选：A．5．椭圆＝1与双曲线＝1有相同的焦点，则m的值为（）A．1 B．C．2 D．3【解答】解：椭圆＝1得∴c1＝，∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），双曲线＝1的焦点必在x轴上，则半焦距c2＝∴＝解得实数m＝1．故选：A．6．若椭圆（a＞b＞0）的离心率为，则双曲线的离心率是（）A．2 B．C．D．3【解答】解：椭圆（a＞b＞0）的离心率为，可得，即：，可得，在则双曲线中，由，即，可得，∴e＝．故选：C．7．已知圆C与直线x﹣y＝0及x﹣y﹣4＝0都相切，圆心在直线x+y＝0上，则圆C的方程为（）A．（x+1）2+（y﹣1）2＝2 B．（x﹣1）2+（y+1）2＝2C．（x﹣1）2+（y﹣1）2＝2 D．（x+1）2+（y+1）2＝2【解答】解：圆心在x+y＝0上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C、D；验证：A中圆心（﹣1，1）到两直线x﹣y＝0的距离是；圆心（﹣1，1）到直线x﹣y﹣4＝0的距离是．故A错误．故选：B．8．已知抛物线y2＝4x的焦点为F，定点A（2，2），在此抛物线上求一点P，使|PA|+|PF|最小，则P点坐标为（）A．（﹣2，2）B．（1，）C．（1，2）D．（1，﹣2）【解答】解：根据抛物线的定义，点P到焦点F的距离等于它到准线l的距离，设点P到准线l：x＝﹣1的距离为PQ，则所求的|PA|+|PF|最小值，即|PA|+|PQ|的最小值；根据平面几何知识，可得当P、A、Q三点共线时|PA|+|PQ|最小，∴|PA|+|PQ|的最小值为A到准线l的距离；此时P的纵坐标为2，代入抛物线方程得P的横坐标为1，得P（ 1，2）故选：C．9．设a，b∈R，ab≠0，则直线ax﹣y+b＝0和曲线bx2+ay2＝ab的大致图形是（）A．B．C．D．【解答】解：整理曲线的方程得＝1，整理直线方程得y＝ax+b对于A选项观察直线图象可知斜率小于0即，a＜0，b＞0则曲线的方程的图象一定是双曲线，故A不符合．B，D选项中，直线的斜率a＞0，截距b＜0，则曲线方程为双曲线，焦点在x轴，故B 正确，D错误．C项中直线斜率a＜0，则曲线一定不是椭圆，故C项错误．故选：B．10．某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（）A．2 cm3B．cm3C．3cm3D．3 cm3【解答】解：根据三视图知，该几何体是以俯视图为底面的四棱锥P﹣ABCD，且侧面PCD ⊥底面ABCD，画出它的直观图，如图所示；则底面为直角梯形，面积为S梯形ABCD＝×（1+2）×2＝3，四棱锥的高为h＝×2＝，所以四棱锥的体积为V＝S梯形ABCD•h＝×3×＝（cm3）．故选：B．11．已知A（﹣1，0），M是圆B：x2﹣2x+y2﹣7＝0（B为圆心）上一动点，线段AM的垂直平分线交MB于P，则点P的轨迹方程是（）A．＝1 B．＝1C．＝1 D．＝1【解答】解：由题意得圆心B（1，0），半径等于2，|PA|＝|PB|，∴|PB|+|PM|＝|PB|+|PA|＝|BM|＝2＞|AB|，故点P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，2a＝2，c＝1，∴b＝1，∴椭圆的方程为：＝1．故选：A．12．已知x，y满足，如果目标函数z＝的取值范围为[0，2），则实数m 的取值范围为（）A．[0，] B．（﹣∞，] C．（﹣∞，）D．（﹣∞，0] 【解答】解：x、y满足约束条件的可行域如图：目标函数z＝的取值范围为[0，2），说明可行域内的点与（m，﹣1）的连线的斜率的范围是[0，2），直线2x﹣y﹣2＝0的斜率为2；由图形可知（m，﹣1）在直线BA上，且在A的左侧，∴m＜，故选：C．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．“若X＞5，则X2＞25”的逆否命题是如果X2≤25，则X≤5 ．【解答】解：“若X＞5，则X2＞25”的逆否命题是：若X2≤25，则X≤5．故答案为：若X2≤25，则X≤5．14．在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点B（﹣5，0）和C（5，0），顶点A在双曲线的右支上，则＝．【解答】解：由题意B、C分别是双曲线的左、右焦点，则|CB|＝2c＝10，顶点A在双曲线的右支上，又可得|AB|﹣|AC|＝2a＝6，＝＝．故答案为：．15．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，直线BA1与平面A1B1CD所成的角是30°（或）．【解答】解：连接BC1，交B1C于点O，再连接A1O，因为是在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，所以BO⊥平面A1B1CD，所以∠BA1O是直线A1B与平面A1B1CD所成的角．设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的边长为1，所以在△A1BO中，A1B＝，OB＝，所以sin∠BA1O＝，所以直线A1B与平面A1B1CD所成的角的大小等于30°．故答案为：30°（或）．16．已知点A（0，1），抛物线C：y2＝ax（a＞0）的焦点为F，连接FA，与抛物线C相交于点M，延长FA，与抛物线C的准线相交于点N，若|FM|：|MN|＝1：3，则实数a的值为．【解答】解：依题意得焦点F的坐标为：（，0），设M在抛物线的准线上的射影为K，连接MK，由抛物线的定义知|MF|＝|MK|，因为|FM|：|MN|＝1：3，所以|KN|：|KM|＝2：1，又k FN＝＝，k FN＝﹣＝﹣2，所以＝2，解得a＝．故答案为：．三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知双曲线C的焦点坐标为F1（，0），F2（，0），实轴长为6．（1）求双曲线C标准方程；（2）若双曲线C上存在一点P使得PF1⊥PF2，求△PF1F2的面积．【解答】解：（1）由条件得c＝，2a＝6，a＝3，∴b＝1，∴双曲线方程为：．（2）由双曲线定义知|PF1﹣PF2|＝6且PF12+PF22＝（）2，联立解得PF1•PF2＝2，∴△PF1F2的面积为：PF1•PF2＝1．18．某抛物线型拱桥水面宽度20m，拱顶离水面4m，现有一船宽9m，船在水面上高3m．（1）建立适当平面直角坐标系，求拱桥所在抛物线标准方程；（2）计算这条船能否从桥下通过．【解答】解：（1）以拱顶为原点，拱高所在直线为y轴（向上），建立直角坐标系．设拱桥所在抛物线的方程为x2＝﹣2py，则点（10，﹣4）在抛物线上，所以有102＝﹣2p （﹣4），解得p＝，所以拱桥所在抛物线标准方程为：x2＝﹣25y．（2）当x＝时，y＝﹣，所以此时限高为4﹣＝，所以，能通过．19．已知点P（4，0），点Q在曲线C：y2＝4x上．（1）若点Q在第一象限内，且|PQ|＝4，求点Q的坐标；（2）求|PQ|的最小值．【解答】解：（1）设．由题意得，解得y＝4．∴点Q的坐标为（4，4）．（2）|PQ|＝＝，当y2＝8时，|PQ|取到最小值．因此，|PQ|的最小值为．20．如图，边长为3的等边三角形ABC，E，F分别在边AB，AC上，且AE＝AF＝2，M为BC 边的中点，AM交EF于点O，沿EF将△AEF，折到DEF的位置，使．（1）证明DO⊥平面EFCB；（2）试在BC边上确定一点N，使EN∥平面DOC，并求的值．【解答】解：（1）证明：在△DOM中，易得DO＝，OM＝，DM＝，由DM2＝DO2+OM2，得DO⊥OM，又∵AE＝AF＝2，AB＝AC＝3，∴EF∥BC，又M为BC中点，∴AM⊥BC，∴DO⊥EF，EF∩OM＝O，∴DO⊥平面EBCF；（2）连接OC，过E作EN∥OC交BC于N，则EN∥平面DOC，又OE∥CN，∴四边形OENC为平行四边形，∴OE＝NC，，∴，∴．21．已知焦点在x轴上的双曲线C过点，且其渐近线方程为．（1）求双曲线C的标准方程；（2）若直线y＝ax+1与双曲线C的右支交于A，B两点，求实数a的取值范围．【解答】解：（1）由题知，即b＝a所以可设双曲线方程为﹣＝1，将点M（1，）代入，得﹣＝1，解得a＝，因此，双曲线C的方程为3x2﹣y2＝1．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，消去y，得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2＝0，则x1+x2＝，x1x2＝，由题可得，解得a的取值范围是﹣＜a＜﹣．22．已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A，左焦点为F1（﹣2，0），点B（2，）在椭圆C上，直线y＝kx（k≠0）与椭圆C交于P，Q两点，直线AP，AQ 分别与y轴交于点M，N（Ⅰ）求椭圆C的方程（Ⅱ）以MN为直径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的坐标；若不经过，请说明理由．【解答】解：（1）由题意可设椭圆方程为，则，解得：a2＝8，b2＝4．∴椭圆C的方程为；（2）如图，设F（x0，y0），E（﹣x0，﹣y0），则，A（﹣，0），AF所在直线方程，取x＝0，得，∴N（0，），AE所在直线方程为，取x＝0，得y＝，∴M（0，）．则以MN为直径的圆的圆心坐标为（0，），半径r＝，圆的方程为＝，即＝．取y＝0，得x＝±2．∴以MN为直径的圆经过定点（±2，0）．。

2019-2020学年山西省长治市第二中学高二上学期12月月考数学（文）试题一、单选题1．已知双曲线的标准方程是2219y x -=，其渐近线方程是（ ）A ．3y x =±B ．4y x =±C ．4x y =±D ．3x y =±【答案】A【解析】由标准方程求出,a b ，即可求解 【详解】双曲线的标准方程是2219y x -=，可得1a =，3b =，由于渐近线方程为3y x =±，即为3y x =±． 故选：A ． 【点睛】本题考查双曲线渐近线方程的求法，需要注意焦点是在x 轴还是y 轴上，属于基础题 2．下列命题中的假命题是（ ） A ．质数都是奇数 B ．函数sin y x =是周期函数 C ．112能被7整除 D ．奇函数的图像关于坐标原点对称【答案】A【解析】直接可判断A 错误，质数表中2不是奇数 【详解】2是质数，也是偶数，所以A 不正确；函数sin y x ＝是周期函数，正确；112716÷＝，所以112能被7整除，正确；奇函数的图像关于坐标原点对称，正确；故选：A ． 【点睛】本题考查假命题的判断，属于基础题3．设m ，n 是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A ．若//m α，n ⊂α，则//m n B ．若m α⊂，n β⊂，αβ⊥，则m n ⊥C ．若//m n ，n β⊥，则m β⊥D ．若m β⊥，αβ⊥，则//m α【答案】C【解析】可初步判断A中平行于同一平面的两直线有可能相交，也可能异面；B中两平面垂直，两平面中的直线不一定垂直；C中垂直于同一平面的两直线平行；D中存在mα⊂的情况【详解】A，m，n也可能异面，故错误；B，m，n存在多种位置关系，不一定垂直，故错误；C，平行线中的一条垂直一个平面．则另一条也垂直该平面，故正确；D，存在mα⊂的情况，故错误．故选：C．【点睛】本题考查线面、面面位置关系的判断，属于基础题4．椭圆以双曲线221169x y-=的焦点为顶点，以双曲线顶点为焦点，则椭圆的标准方程为（）A．221259y x+=B．221259x y+=C．2212516y x+=D．2212516x y+=【答案】B【解析】求出双曲线的焦点和顶点，分别作为椭圆的顶点和焦点，即可求出椭圆的标准方程【详解】双曲线221169x y-=的一个焦点(5)0，，则(5)0，是椭圆的一个顶点，则所求椭圆方程中的长半轴5a=．双曲线221169x y-=的一个顶点为40（，），则(40)，是椭圆的一个焦点，则椭圆的半焦距4c＝，则3b=．椭圆的标准方程为221 259x y+=故选：B．【点睛】本题考查椭圆标准方程的求法，属于基础题5．椭圆2216x y m +=与双曲线2214x y m -=有相同的焦点，则m 的值为（ ）A ．1 BC ．2D ．3【答案】A【解析】，)，=，即可求解【详解】椭圆2216x y m+=，∴1c =∴椭圆的一个焦点坐标为，双曲线2214x y m -=的焦点必在x 轴上，则半焦距2c ==解得实数1m = 故选：A ． 【点睛】本题考查椭圆与双曲线共焦点的计算，属于基础题6．若椭圆22221(0)x y a b a b +=>>的离心率为12，则双曲线22221x y a b+=的离心率是（ ）A ．2BC ．2D ．3【答案】C【解析】由椭圆的离心率为12，推出22214a b a -=，可求出2234b a =，再结合双曲线离心率的表达式特点，将22b a表示成22234c a a -=，进而求得2e ，即可求解 【详解】椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的离心率为12，可得12c a =，即：22214a b a -=，可得2234b a =，在则双曲线22221x y a b +=中，由2234b a =，即22234c a a -=，可得2274c a =，∴2e =． 故选：C ． 【点睛】本题考查椭圆离心率与双曲线离心率的判别与计算，在处理离心率问题中，利用平方式往往能简化运算，属于中档题7．已知圆C 与直线0x y -=及40x y --=都相切，圆心在直线0x y +=上，则圆C 的方程为（ ） A ．22(1)(1)2x y ++-= B ．22(1)(1)2x y -++= C ．22(1)(1)2x y -+-= D ．22(1)(1)2x y +++=【答案】B【解析】可用排除法快速选出答案，先由圆心特点快速排除C ，D ，再结合圆心到两切线距离相等排除A ，最终选择出B 项 【详解】圆心在0x y +＝上，圆心的纵横坐标值相反，显然能排除C 、D ；验证：A 中圆心(11)-，到两直线0x y -==；圆心(11)-，到直线40x y --==≠A 错误． 故选：B ． 【点睛】本题考查圆的标准方程的判断，对于处理小题，采用排除法也不失为一种选择，属于中档题8．已知抛物线24y x =的焦点为F ，定点()2,2A ，在此抛物线上求一点P ，使||||PA PF +最小，则P 点坐标为（ ）A ．(22)-，B ．C ．(1,2)D ．12(,-)【答案】C【解析】采用数形结合法画出图形，由图可知当,,Q P A 三点在平行于x 轴的直线时，||||PA PF +距离最小，再由P 点纵坐标和A 点相同，代入抛物线方程即可求解【详解】根据抛物线的定义，点P 到焦点F 的距离等于它到准线l 的距离， 设点P 到准线l ：1x =-的距离为PQ ，||||PA PF +最小值，即||||PA PQ +的最小值；根据平面几何知识，可得当P 、A 、Q 三点共线时||||PA PQ +最小， ∴||||PA PQ +的最小值为A 到准线l 的距离；此时P 的纵坐标为2，代入抛物线方程得P 的横坐标为1，得()1,2P故选：C ． 【点睛】本题考查抛物线上的点到定点和定直线距离的最小值，抛物线第一定义的应用，属于基础题9．设a ，b ∈R ，ab≠0，那么直线ax －y ＋b ＝0和曲线bx 2＋ay 2＝ab 的图形是( )A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】对于A:由直线知：0,0;a b 表示双曲线；所以A 错误；对于B: 由直线知：0,0;a b ><即22 1.x y a b-=表示焦点在x 轴上的双曲线．B 正确；对于C:由直线知：0,0;a b <<表示焦点在x 轴或y 轴上的椭圆；C 错误；对于D: 由直线知：0,0;a b ><即22 1.x y a b-=表示焦点在x 轴上的双曲线． D 错误.故选B10．某几何体的三视图（单位：cm)如图所示，其中侧视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．333cmB ．33cmC ．32cmD ．33cm【答案】D【解析】由题设中提供的三视图中的图形信息与数据信息可知该几何体是底面为上底为1，下底为2，高为23棱锥的体积11(12)23332V =⨯+⨯=D 。

2019-2020学年山西省长治市第二中学校高二上学期第一次月考数学（文）试题一、单选题1．下列命题正确的是（ ） A ．棱柱的侧面都是长方形 B ．棱柱的所有面都是四边形 C ．棱柱的侧棱不一定相等 D ．—个棱柱至少有五个面【答案】D 【解析】【详解】A 不对，侧面都是平行四边形，不一定都是长方形；B 不对，三棱柱的底面是三角形C 不对，棱柱的侧棱一定相等D 对，三棱柱的面最少，三个侧面两个底面共5个面，其他棱柱都多余5个面,故选D. 2．下列推理错误的是（ ） A ．A ∈l ，A ∈α，B ∈l ，B ∈α⇒l ≠⊂α B ．A ∈α，A ∈β，B ∈α，B ∈β⇒α∩β＝AB C ．lα，A ∈l ⇒A ∉αD ．A ∈l ，l ≠⊂α⇒A ∈α 【答案】C【解析】【分析】试题分析：A 项描述的是一条直线上两个点在平面内，则直线在平面内，该结论正确；B 中描述的是两平面有公共点则有公共直线，结论正确；C 项中直线不在平面内，直线与平面可能相交，则直线上的点可能在平面内，结论错误；D 项中点在直线上，直线在平面内可得到点在平面内，选C. 【考点】空间点线面的位置关系 【详解】请在此输入详解！3．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =，E 为1AA 中点，则异面直线BE 与1CD 所成角的余弦值为( )A ．10B ．15C D ．35【答案】C 【解析】【详解】平移成三角形用余弦定理解，或建立坐标系解，注意线线角不大于090,故选C.取DD 1中点F ，则1FCD ∠为所求角, 21cos 10FCD ∠==，选C. 4．已知ABC ∆在斜二测画法下的平面直观图,A B C A B C ∆∆''''''是边长为a 的正三角形，那么在原ABC ∆的面积为（ ）A ．2B 2C 2D 2【答案】C 【解析】【详解】直观图△A ′B ′C ′是边长为a 的正三角形,故面积为24a ，而原图和直观图面积之间的关系S S =直观图原图，那么原△ABC 2， 故选C.点睛：本题主要考查平面图形的直观图和原图的转化原则的应用，要求熟练掌握斜二测4.掌握两个图象的变换原则，原图象转直观图时，平行于x 轴或者和轴重合的长度不变，平行于y 轴或者和轴重合的线段减半，原图转直观图时正好反过来，即可.5．已知三角形三个顶点()()()5,0,3,3,0,2A B C --，则BC 边上中线所在直线方程是（）A ．1350x y -+=B ．1350x y --=C ．1350x y ++=D ．130x y +=【答案】C【解析】根据题意可知，BC 边上的中线所在的直线应该过A 点和BC 边上的中点, 已知B 、C 两点的坐标，根据线段中点坐标计算公式可知BC 中点的坐标，再利用直线的两点式可得直线的方程.【详解】()()3,3,0,2B C -Q ,BC ∴中点的坐标为（032+，232-），即（32，12-）. 则BC 边上的中线应过()315,0,,22A ⎛⎫--⎪⎝⎭两点， 由两点式得：5130522yx +=+--，整理，得1350.x y ++= 故选：C . 【点睛】本题考查了求两点的中点和求直线方程，属于基础题.6．已知过点(2,)A m -和点(,4)B m 的直线为1l ，2:210l x y +-=，3:10l x ny ++=．若12l l //，23l l ⊥，则m n +的值为（ ）A ．10-B ．2-C ．0D ．8【答案】A【解析】利用直线平行垂直与斜率的关系即可得出． 【详解】∵l 1∥l 2，∴k AB ＝42mm -+＝－2，解得m ＝－8． 又∵l 2⊥l 3，∴1n-×(－2)＝－1，解得n ＝－2，∴m ＋n ＝－10．故选:A ． 【点睛】本题考查了直线平行垂直与斜率的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 7．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面：①//,m n m n αα⊥⇒⊥；②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒；③//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥；④若,m n αγβγ==I I ,//m n ，则//αβ，则以上说法中正确的有( )个A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B 【解析】【详解】由m n ，是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面，知：对于①，//m n ，m ⊥ α，由线面垂直的判定定理得n ⊥ α，故①正确； 对于②，α // β，m α⊂，n β⊂，则m 与n 平行或异面，故②错误；对于③，α // β，//m n ，m ⊥ α，由线面垂直的判定定理得n ⊥β，故③正确；对于④，若αγ⋂ m =，βγ⋂ n =，//m n ，则α与β相交或平行，故④错误，故选B.8．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球面上，且6AB ＝，BC =O ABCD -的体积为（ ）A ．B ．C ．D ．12【答案】A【解析】由题意求出矩形的对角线的长，结合球的半径，球心到矩形的距离，满足勾股定理，求出棱锥的高，即可求出棱锥的体积． 【详解】解：∵矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球面上，且6AB ＝，BC =∴=，∴2=，所以棱锥O ABCD -的体积为：1623O ABCD V -=⨯⨯=． 故选：A ． 【点睛】本题考查球内几何体的体积的计算，考查计算能力，空间想象能力，属于基础题． 9．圆台的两个底面面积之比为4:9，母线与底面的夹角是60o ，轴截面的面积为l =()A ．B ．C ．D ．12【答案】D【解析】设圆台的上底面半径为2r ，根据面积比可知下底面半径为3r ；利用圆台的轴截面面积构造关于r 的方程，求得r 后，利用2AD AE =即可得到结果. 【详解】设圆台的上底面半径为2r ，则其下底面半径为3r 可作圆台的轴截面如下图所示：其中DE AB ⊥，CF AB ⊥，60DAE CBF ∠=∠=o3DE CF r ∴==，AE BF r ==，4EF r =∴轴截面面积4331803EFDC ADE BFC S S S S r r r r ∆∆=++=⋅+⋅=Y解得：6r = ∴母线长2212l AD AE r ==== 本题正确选项：D 【点睛】本题考查圆台母线长的求解问题，关键是能够利用圆台轴截面面积构造方程求出上下底面半径，属于基础题.10．已知平面α⊥平面β，n αβ=I ，点A α∈，A n ∉，直线AB n P ，直线AC n ⊥，直线m αP ，m βP ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是（ ） A ．AB m ∥ B ．AC m ⊥C ．AB β∥D ．AC β⊥【答案】D【解析】平面外的一条直线平行平面内的一条直线则这条直线平行平面，若两平面垂直则一个平面内垂直于交线的直线垂直另一个平面，主要依据这两个定理进行判断即可得到答案． 【详解】 如图所示：由于//m α，//m β，n αβ=I ，所以//m n ，又因为//AB n ，所以//AB m ，故A 正确，由于AC n ⊥，//m n ，所以AC m ⊥，故B 正确，由于//AB n ，n β⊂，AB 在β外，所以//AB β，故C 正确；对于D ，虽然AC n ⊥，当AC 不一定在平面α内，故它可以与平面β相交、平行，不一定垂直，所以D 不正确； 故答案选D 【点睛】本题考查线面平行、线面垂直、面面垂直的判断以及性质应用，要求熟练掌握定理是解题的关键．11．某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．283πB ．323πC ．523πD ．563π【答案】A【解析】由三视图得出原几何体是由半个圆锥与半个圆柱组成的组合体，并且由三视图得出圆柱和圆锥的底面半径，圆锥的高，圆柱的高，再由圆柱和圆锥的体积公式得解. 【详解】由三视图可知，几何体是由半个圆锥与半个圆柱组成的组合体， 其中圆柱和圆锥的底面半径2r =， 圆锥的高2h =，圆柱的高4h =所以圆柱的体积2112482V ππ=⨯⨯⨯=， 圆锥的体积2211422323V ππ=⨯⨯⨯⨯=，所以组合体的体积12428833V V V πππ=+=+=． 故选B ． 【点睛】本题主要考查空间几何体的三视图和空间几何体圆柱和圆锥的体积，属于基础题． 12．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =,123AA =D ，F 分别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF ∆的周长的最小值为()A ．222+B ．232+C ．62+D ．72+【答案】D【解析】根据正三棱柱的特征可知ABC ∆为等边三角形且1AA ⊥平面ABC ，根据1AA AD ⊥可利用勾股定理求得2DF =；把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，可知当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值；在ADF ∆中利用余弦定理可求得最小值，加和得到结果. 【详解】Q 三棱柱111ABC A B C -为正三棱柱 ABC ∆∴为等边三角形且1AA ⊥平面ABCAD ⊂Q 平面ABC 1AA AD ∴⊥ 132DF ∴=+=把底面ABC 与侧面11ACC A 在同一平面展开，如下图所示：当,,D E F 三点共线时，DE EF +取得最小值 又150FAD ∠=o ，3AF =1AD =()22min32cos 42372DE EF AF AD AF AD FAD ⎛⎫∴+=+-⋅∠=-⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭DEF ∴∆周长的最小值为：72+本题正确选项：D 【点睛】本题考查立体几何中三角形周长最值的求解问题，关键是能够将问题转化为侧面上两点间最短距离的求解问题，利用侧面展开图可知三点共线时距离最短.二、填空题13．过点P （3，2），且在坐标轴上截得的截距相等的直线方程是 ． 【答案】y=x 或 x+y ﹣5=0【解析】解：当直线过原点时，斜率等于，故直线的方程为y=x ．当直线不过原点时，设直线的方程为 x+y+m=0，把P （3，2）代入直线的方程得 m=﹣5，故求得的直线方程为 x+y ﹣5=0，综上，满足条件的直线方程为 y=x 或 x+y ﹣5=0． 故答案为y=x 或 x+y ﹣5=0．【点评】本题考查求直线方程的方法，待定系数法求直线的方程是一种常用的方法，体现了分类讨论的数学思想．14．《九章算术》卷5 《商功》记载一个问题“今有圆堡壔（dǎo ），周四丈八尺，高一丈—尺，文积几何？意思是:今有圆柱形土筑小城堡，底面周长为4丈8尺，高1丈1尺，问它的体积是__________立方尺. (取 3.1π=，1丈=10尺） 【答案】2112 【解析】【详解】设圆柱体底面半径为R ，高为h ，周长为C ，因2C R π=，故2CR π=， 则所求体积为22222481121124412C C h R h h ππππ⨯====(立方尺)，故答案为2112. 15．在正三棱锥S ABC -中，M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，底面边长22AB =则正三棱锥S ABC -的体积为__________，其外接球的表面积为__________．【答案】83，12π【解析】试题分析：因为M 是SC 的中点，且AM SB ⊥，所以SA AC ⊥,因此正三棱锥S ABC -为正四面体，其体积为233163228(22)33412123a a a ⨯⨯==⨯=，外接球直径为3232a=，表面积为24(3)12.ππ= 【考点】正四面体体积及外接球表面积【方法点睛】(1)求锥体的体积要充分利用多面体的截面和旋转体的轴截面，将空间问题转化为平面问题求解，注意求体积的一些特殊方法——分割法、补形法、等体积法. (2)涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.16．如图，在直角梯形ABCD 中，BC DC ⊥，AE DC ⊥，M 、N 分别是AD 、BE 的中点，将三角形ADE 沿AE 折起，则下列说法正确的是______________.（1）不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN 平面DEC ； （2）不论D 折至何位置，都有MN AE ⊥；（3）不论D 折至何位置（不在平面ABC 内），都有//MN AB ； （4）在折起过程中，一定存在某个位置，使EC AD ⊥. 【答案】（1）（2）（4）【解析】折叠后根据线面位置关系对每个结论给出证明． 【详解】折叠后如图，分别取,EC ED 中点,P Q ，连接,,NP PQ QM ，易知N 是,AC BE 的交点，因此N 也是AC 中点，而M 别是AD 的中点， ∴////NP AE MQ ，12NP AE MQ ==，∴MNPQ 是平行四边形，∴//MN PQ ， MN ⊄平面DEC ，PQ ⊂平面DEC ，∴//MN 平面DEC ．（1）正确； 折叠过程中,AE ED AE EC ⊥⊥保持不变，又ED EC E =I ，所以AE ⊥平面DEC ，从而AE PQ ⊥，所以AE MN ⊥，（2）正确；若//MN AB ，则,MN AB 共面，即,,,M N P Q 共面，从而直线,AM BN 共面，这样MN 在平面ABN 也即在平面ABC 内，矛盾，（3）错误；当ED EC ⊥时，又EC EA ⊥，而ED EA E =I ，∴EC ⊥平面ADE ，AD ⊂平面ADE ，所以EC AD ⊥．（4）正确． 故答案为：（1）（2）（4）． 【点睛】本题考查空间直线、平面间的位置关系，平面图形折叠成空间图形过程中，有些位置关系保持不变，有些会发生变化，而在空间图形中的位置关系一般要给予证明才能确定．三、解答题17．已知两条直线：()212:230;:30l m x y l x my m ---=--=，m 为何值时，1l 与2l ：（1）垂直； （2）平行 【答案】（1）32m =（2）1m =- 【解析】先考虑x 和y 的系数为0时，1l 与2l 直线的方程，得出两直线是否平行或垂直，再考虑x 和y 的系数不为0时，两直线的斜率，根据两直线平行或垂直的条件，列出方程求解m ，注意验证两直线是否重合.【详解】当0m =时，12:230;:0l x y l x ++==，此时1l 与2l 不平行也不垂直，当0m ≠时，直线1l 的斜率12k m =-，直线2l 的斜率23k m = （1）由12l l ⊥得()12321k k m m ⋅=-⋅=-，所以32m = （2）由12l l P 得12k k =，即32m m-=，所以3m =或1-， 当3m =时12:30,:3390l x y l x y --=--=，此时1l 与2l 重合，不符，舍去； 当1m =-时，12:330,:310l x y l x y ++=+-=，此时12l l P ，符合综上所述，1m =-.【点睛】本题考查两直线平行和垂直的判断条件，注意先需考虑x 和y 的系数为0的情况，属于基础题.18．如图，ABCD 是正方形，O 是正方形的中心，PO ⊥底面ABCD ，E 是PC 的中点．求证：（1）//PA 平面BDE ；（2）平面PAC ⊥平面BDE ．【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】（1）连接OE ，//OE PA ，由直线与平面平行的判定定理，可证得//PA 平面BDE ；（2）由PO ⊥底面ABCD ，可得PO BD ⊥；底面为正方形，可得BD AC ⊥，由直线和平面垂直的判定定理，可得BD ⊥平面PAC ，由面面垂直的判定定理，可证得平面PAC ⊥平面BDE ；【详解】证明：（1）证明：连接AC 、OE ，AC BD O =I ，在PAC ∆中，O 是AC 的中点，E 是PC 的中点，∴//OE AP ，又∵OE ⊂平面BDE ，PA ⊄平面BDE ．∴//PA 平面BDE ．（2）∵PO ⊥底面ABCD ，BD ⊂底面ABCDPO BD ∴⊥，又∵AC BD ⊥，且AC PO O ⋂＝，AC ⊂平面PAC ，PO ⊂平面PAC ∴BD ⊥平面PAC ，而BD ⊂平面BDE ，∴平面PAC ⊥平面BDE【点睛】本题主要考查了直线与平面平行的判定定理、直线和平面垂直的性质、直线和平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．19．如图，三棱锥P ABC -中，底面ABC 是边长为4的正三角形，PA PC =，4PB =，面PAC ⊥面ABC ．（1）求证：AC PB ⊥；（2）求三棱锥A PBC -的体积．【答案】（1）详见解析（2）833【解析】（1）取AC 中点D ，连接,PD BD ，由等腰三角形三线合一性质和线面垂直判定定理可证得AC ⊥平面PBD ；由线面垂直性质可证得结论；（2）利用面面垂直和线面垂直性质可证得PD BD ⊥，利用勾股定理可求得PD ，进而得到PDB S ∆，根据13A PBC PBD V S AC -∆=⋅可求得结果. 【详解】（1）取AC 中点D ，连接,PD BDPA AC =Q ，AB BC =，D 为AC 中点 AC PD ∴⊥，AC BD ⊥,PD BD ⊂Q 平面PBD ，PD BD D ⋂= AC ∴⊥平面PBDPB ⊂Q 平面PBD AC PB ∴⊥（2）Q 平面PAC ⊥平面ABC ，平面PAC I 平面ABC AC =，PD AC ⊥，PD ⊂平面PAC PD ∴⊥平面ABC又BD ⊂平面ABC PD BD ∴⊥ 又16423BD =-=4PB = 16122PD ∴=-=1232PDB S BD PD ∆∴=⋅=由（1）知，AC ⊥平面PBD1183234333A PBC A PBD C PBD PBD V V V S AC ---∆∴=+=⋅=⨯= 【点睛】本题考查立体几何中线线垂直关系的证明、三棱锥体积的求解；涉及到线面垂直的判定和性质定理、面面垂直的性质定理等知识的应用；立体几何中证明线线垂直关系的常用方法是通过证明线面垂直关系，利用线面垂直的性质证得结论.20．如图，长方体1111ABCD A B C D -中,116,10,8AB BC AA ===，点,E F 分别在1111,A B D C 上，114A E D F ==，过点,E F 的平面α与此长方体的面相交，交线围成一个正方形．（1）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）；（2）求平面α把该长方体分成的两部分体积的比值．【答案】（1）见解析；（2）97或79. 【解析】（1）分别在,AB CD 上取H,G ,使10AH DG ==；(2)长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱,可求得其体积比值为97或79【详解】（1）交线围成的正方形EHGF 如图：（2）作垂足为M,则18EM AA ==,,,因为EHGF 是正方形,所以, 于是 因为长方体被平面α分成两个高为10的直棱柱，其底面积之比为9：7,所以其体积比值为97（79也正确）. 【考点】本题主要考查几何体中的截面问题及几何体的体积的计算.21．已知斜三棱柱111-ABC A B C 的侧面11A ACC 与底面ABC 垂直，90ABC ∠︒＝，2BC ＝，3AC ＝11AA A C ⊥，11AA AC ＝．（1）求侧面11A ABB 与底面ABC 所成锐二面角的大小；（2）求顶点C 到侧面11A ABB 的距离．【答案】（1）60°（23【解析】（1）利用三垂线定理作出角，即作DE AB ⊥，垂足为E ，连1A E ，则由1A D ⊥面ABC ，得1A E AB ⊥，所以1A ED ∠是面11A ABB 与面ABC 所成二面角的平面角； （2）求顶点C 到侧面11A ABB 的距离，直接作出距离解三角形即可．【详解】解：（1）作1A D AC ⊥，垂足为D ，由面11A ACC ⊥面ABC ，得1A D ⊥面ABC ， 作DE AB ⊥，垂足为E ，连1A E ，则由1A D ⊥面ABC ，得1A E AB ⊥．所以1A ED ∠是面11A ABB 与面ABC 所成二面角的平面角．由已知，AB BC ⊥，得//ED BC ．又D 是AC 的中点，2,23BC AC ==所以1DE =，13AD A D =， ∴11tan 3A D A ED DE∠== 故160A ED ∠︒＝为所求．（2）由点C 作平面11A ABB 的垂线，垂足为H ，则CH 的长是C 到平面11A ABB 的距离．连接HB ，由于AB BC ⊥，得AB HB ⊥．又1A E AB ⊥，知1//HB A E ，且//BC ED ，所以160HBC A ED ∠∠︒＝＝, 所以sin 603CH BC ︒==【点睛】本题主要考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，棱柱的性质，空间的角和距离的概念，逻辑思维能力、空间想象能力及运算能力，属于中档题． 22．如图，在正方体1111ABCD A B C D -中，,,E F G 分别是1,,AB CC AD 的中点。

2019-2020学年长治市二中高二上学期第一次月考数学（理）试卷【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题：本大题共12小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1．下列命题正确的是( )A ．棱柱的侧面都是长方形B ．棱柱的所有面都是四边形C ．棱柱的侧棱不一定相等D ．一个棱柱至少有五个面 2．下列推理错误的是( )A ．,,,A l AB l B l ααα∈∈∈∈⇒⊂B ．,,,A A B B AB αβαβαβ∈∈∈∈⇒=C ．,l A l A αα⊄∈⇒∉D ．,A l l A αα∈⊂⇒∈3．已知正四棱柱1111ABCD A B C D -中，12AA AB =,E 为1AA 的中点，则异面直线BE 和1CD 所成角的余弦值为( )A ．10B ．10C ．15D ．354．已知ABC ∆的平面直观图'''A B C ∆是边长为a 的正三角形，那么原ABC ∆的面积为( )A ．22aB ．24aC ．22aD 25．如果三点()1,5,2A -，()2,4,1B ，(),3,2C a b +在同一条直线上，则( )A ．3,2a b ==B ．6,1a b ==-C ．3,3a b ==-D ．2,1a b =-=6．若,m n 是两条不同的直线，,,αβγ是三个不同的平面：①//,m n m n αα⊥⇒⊥；②//,,//m n m n αβαβ⊂⊂⇒③//,//,m n m n αβαβ⊥⇒⊥；④若,,//m n m n αγβγ==，则//αβ.则以上说法中正确的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．47．已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB =，BC =，则棱锥O ABCD -的体积为( )A ．B ． 6C ．D ．88．圆台的两个底面面积之比为4:9，母线与底面的夹角是60，轴截面的面积为l =( )A ．B ．C ．D ．129．已知平面α⊥平面β，l αβ=，点,A A l α∈∉，直线//AB l ，直线AC l ⊥，直线//,//m m αβ，则下列四种位置关系中，不一定成立的是( )A ．//AB mB ．AC β⊥ C ．//AB βD ．AC m ⊥10．某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是( )A ．28π3 B ．32π3 C ．52π3 D ．56π311．如图，在正三棱柱111ABC A B C -中，2AB =,1AA =D ，F 分别是棱AB ，1AA 的中点，E 为棱AC 上的动点，则DEF ∆的周长的最小值为( )。

山西省长治市第二中学2019-2020学年高二数学上学期期末考试试题 文【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．椭圆13422=+y x 的离心率是（ ） A ．71 B ．41 C ．31 D ．21 2．一物体按规律()22t t s =运动，则在3=t 时的瞬时速度是（ ）A ．4B ．12C ．16D ．18 3．双曲线1422=-y x 的焦点到渐近线的距离是（ ） A ．2 B ．3C ．4D ． 5 4．互相垂直”的与直线”是“直线“00112=+=+-=y x y x a a （ ） A ． 充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件 5．已知a 为函数()x x x f 273-=的极小值点，则a =（ ）A ．3-B ．3C ．9-D ．9 6．已知命题1sin ,:≤∈∀x R x p ，命题x x q -2:在区间[)∞+，0上单调递增．则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()()q p ⌝∧⌝B ．()q p ∨⌝C ．q p ∨D ．qp ∧7．某几何体的三视图如右图，已知正视图和侧视图均为直角边为3的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．6B ．9C ．18D ．278．已知R 上可导函数()x f 的图象如右图，则不等式()0＞x f '的解集是（ ）A ．()()+∞⋃-,20,2B ． ()()+∞⋃-∞-,22,C ．()()2,11,2⋃--D ．()()+∞⋃-∞-,11,9．O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 22=：的焦点，P 为C 上一点，若2=PF ，则POF△的面积是（ ）A ．43 B ．4 C ．23 D ．2 10．函数R x ax ax y 在+-=23上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]3,0B ．[)3,0C ．[]3,0D ．()3,0 11．已知双曲线()0,012222＞＞：b a by a x C =-的左右焦点分别为21F F ，，正三角形21F AF 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF →→= ，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．123+B ．1313+C ．3113+D ．213+12．已知定义在R 上的函数()x f 的导函数为()x f '，()()x f x f R x ＜'∈∀,恒成立，则（）A ．()()022f e f ＞B ． ()()022f e f ≤C ．()()022f e f ≥D ．()()022f e f ＜第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置．13．命题”“0,2≥-∈∀ex x R x 的否定是______________________.14．曲线()x e x x f ⋅=在点()0,0处的切线方程是_____________________. 15．设21,F F 是双曲线13422=-y x C ：的两个焦点，点P 在双曲线上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值是____________________.。

长治市第二中学2019-2020学年上学期高二数学12月月考试题含解析班级__________ 姓名__________ 分数__________一、选择题1．线段AB在平面α内，则直线AB与平面α的位置关系是（）A．AB⊂αB．AB⊄αC．由线段AB的长短而定D．以上都不对2．过点（0，﹣2）的直线l与圆x2+y2=1有公共点，则直线l的倾斜角的取值范围是（）A．B．C．D．3．函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示，则函数y=f（x）对应的解析式为（）A．B． C．D．4．已知PD⊥矩形ABCD所在的平面，图中相互垂直的平面有（）A．2对B．3对C．4对D．5对5．抛物线x=﹣4y2的准线方程为（）A．y=1 B．y=C．x=1 D．x=6．设m，n表示两条不同的直线，α、β表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）A．m⊥α，m⊥β，则α∥βB．m∥n，m⊥α，则n⊥αC．m⊥α，n⊥α，则m∥n D．m∥α，α∩β=n，则m∥n7．已知偶函数f（x）=log a|x﹣b|在（﹣∞，0）上单调递增，则f（a+1）与f（b+2）的大小关系是（）A ．f （a+1）≥f （b+2）B ．f （a+1）＞f （b+2）C ．f （a+1）≤f （b+2）D ．f （a+1）＜f （b+2）8． 在中，角、、所对应的边分别为、、，若角、、依次成等差数列，且，,则等于（ ） A ． B ． C ． D ．29． 复数z=在复平面上对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 10．如图，长方形ABCD 中，AB=2，BC=1，半圆的直径为AB ．在长方形ABCD 内随机取一点，则该点取自阴影部分的概率是（ ）A ．B ．1﹣C ．D ．1﹣11．对一切实数x ，不等式x 2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．（﹣∞，﹣2）B ． D ．上是减函数，那么b+c （ ）A ．有最大值B ．有最大值﹣C ．有最小值D ．有最小值﹣ 12．已知集合{2,1,0,1,2,3}A =--，{|||3,}B y y x x A ==-∈，则AB =（ ） A ．{2,1,0}-- B ．{1,0,1,2}-C ．{2,1,0}--D ．{1,,0,1}-【命题意图】本题考查集合的交集运算，意在考查计算能力． 二、填空题13．设A={x|x ≤1或x ≥3}，B={x|a ≤x ≤a+1}，A ∩B=B ，则a 的取值范围是 ． 14．设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知数列{S n }是首项和公比都是3的等比数列，则{a n }的通项公式a n = ．15．幂函数1222)33)(+-+-=m m xm m x f （在区间()+∞,0上是增函数，则=m ． 16．经过A （﹣3，1），且平行于y 轴的直线方程为 ． 17．不等式()2110ax a x +++≥恒成立，则实数的值是__________.18．当时，4x ＜log a x ，则a 的取值范围 ．三、解答题19．设数列的前项和为，且满足，数列满足，且。

山西省长治市第二中学2019-2020学年高二数学12月月考试题理【满分150分，考试时间120分钟】一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.22yx??1，则此椭圆的焦距为( ) 1．已知椭圆的方程为43． D．2 C．A．1 B7422( ) ．双曲线的渐近线方程为22x??y2x??yy??2xy????2xxy． D．AB．． C2??m?l??，则下列结论正确的是，直线( ) 3．己知直线∥平面，若平面?m??m?l?lml?l? B．．A．∥∥或 C． D22yx??1的一个焦点到一条渐近线的距离为( ) 4．双曲线8415524．2 DA．4B． C．552x2?y1?的焦点为顶点，顶点为焦点的双曲线方程是( ) 5．以椭圆222yx222222?y?1x??11?y?y?1?xx A D． C B．．．2222yx??1F，F P=60PF?F是椭圆．已知点是椭圆的两个焦点，且上的一点，，则6212154?FPF的面积为( )214348(2?3)34 B．． C．A． D3322yx??1y?k(x?3)与双曲线7．若直线只有一个公共点，则满足条件的直线有( )94A．1条 B．2条 C．3条 D．4条22l:x?y?1?01?1)?2)(y?(x?上的一点向圆引切线，则切线长的最，由直线8．已知圆小值为( )27272 C D．A．． B．22yx??1ABABPP(-1，．过点1)作直线与椭圆9交于，两点，若线段的中点恰好为点，24- 1 -AB所在直线方程是则( )x?2y?1?0x?2y?3?0x?2y?1?02x?y?3?0．．A． B ． D C2x2(4,3)QPFC1?C:?y，则10．已知为椭圆是椭圆上任意一点，点的左焦点，的坐标为2|PQ|?|PF|的最大值为( )42252343 A C． D． B．．22yx??1(a?0,b?0)FFF,F?MFF，的两个焦点，以线段．已知是双曲线为边作正1122221121ab MF的中点在双曲线上，则双曲线的离心率为( ) 若边14?2?2333?13+14． A．． CD． B ABCD?ABCDAA,BC N,M上的动点，若．如图，已知正方体，分别是棱的棱长为11211111MNP2=MN的轨迹是的中点，则线段( )A．一条线段 B．一段圆弧D．两条平行线段 C．一个球面区域二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.22yx??1的焦点坐标为． 13．椭圆2422yx??1y?kx?k?1与椭圆．直线． 14的位置关系为942a a?x?ax?x?2的取值范围是．已知不等式 15恒成立，则实数．2222yxxyC:??1(a?b?0)C:??1(a?0,b?0)有相同的焦16．已知椭圆与双曲线2112212222abab2121C|FF|=2|PF|CC P CFF,的离心率分是设与在第一象限内的交点,若点,且与点,212212112e,e e?e的取值范围是别为．,则2112三、解答题：本大题共70分22l:x?y?2?0C:(x?1)?(y?2)?4．本题满(17．已知直线) 分10 及圆- 2 -lC的位置关系；判断直线与圆(1)C的切线方程．，1)的圆(2) 求过点(32222C:x?y?2y?3?0C:x?y?4x?2y?1?0．和1218．(本题满分分) 已知两圆21(1) 判断两圆的位置关系；(2) 求两圆公共弦所在的直线方程及公共弦的长．22yx0)??0,b??1(a的虚轴长为，且离心率为已知双曲线．19(本题满分12分) 6222ab 3．(1) 求双曲线的方程；FA,B，(2) 经过双曲线右焦点的直线，直线与双曲线交于不同的两点作倾斜角为302|AB|．求P?ABCDABCDPB?BC，如图四棱锥中，底面是正方形，) (20．本题满分12分PA=AB CDPD?EPD 中点．，，且为PA?ABCD；平面(1) 求证：A?BE?C的余弦值．(2) 求二面角- 3 -EBEABAE，且，12(本题满分分) 已知点，直线，相交于点，的坐标为21．2,0)2,0)?((1它们的斜率之积是．?2E (1) 求点的轨迹方程；l NEFMO的(-1,0)的直线两点，求为坐标原点，过点与点，(2) 设的轨迹交于MON?面积的最大值．??C xOy1b?1?a??的离心中，已知椭圆:12．(本题满分分) 在平面直角坐标系2222yx??4CNC???e的直线交椭圆到，过点，且椭圆上一点率距离的最大值为0,322ba3Q3,0M2BA，．于点C求椭圆的方程；(1)O3?AB P tOPOBOA??求实(2) 设为椭圆上一点，且满足, (为坐标原点)时，当t数的取值范围．- 4 -理科数学参考答案1---12 BDACB CBBDA CB31 16. 13. 14. 相交 15. (，+?))，+[?2)(0,?23解法一：代数法）解: （117x?y?2?0??消去y，整理得2242)?x?1)?(y?(?2.............................................2分0?32x??2x2其中0?3)?324?2?(??(?2)??解法二：几何法|1?2?2|2的距离为圆心 (1,2)到直线0?y?2x+2?d??22211?所以，直线与圆相............................................................................交。

数学试题（文科）【本试卷满分150分，考试时间为120分钟】第Ⅰ卷（选择题 60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1．椭圆13422=+y x 的离心率是（ ） A ．71 B ．41 C ．31 D ．21 2．一物体按规律()22t t s =运动，则在3=t 时的瞬时速度是（ ） A ．4B ．12C ．16D ．183．双曲线1422=-y x 的焦点到渐近线的距离是（ ） A ．2B ．3C ．4D ． 54．互相垂直”的与直线”是“直线“00112=+=+-=y x y x a a （ ） A ． 充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ． 充要条件D ．既不充分也不必要条件5．已知a 为函数()x x x f 273-=的极小值点，则a =（ ） A ．3-B ．3C ．9-D ．96．已知命题1sin ,:≤∈∀x R x p ，命题x x q -2:在区间[)∞+，0上单调递增．则下列命题中为真命题的是（ ）A ．()()q p ⌝∧⌝ B ．()q p ∨⌝C ．q p ∨D ．qp ∧ 7．某几何体的三视图如右图，已知正视图和侧视图均为直角边为3的等腰直角三角形，则这个几何体的体积是（ ）A ．6B ．9C ．18D ．278．已知R 上可导函数()x f 的图象如右图，则不等式()0＞x f '的解集是（ ）A ．()()+∞⋃-,20,2B ． ()()+∞⋃-∞-,22,C ．()()2,11,2⋃--D ．()()+∞⋃-∞-,11,9．O 为坐标原点，F 为抛物线x y C 22=：的焦点，P 为C 上一点，若2=PF ，则POF △的面积是（ ） A ．43B ．4C ．23D ．210．函数R x ax ax y 在+-=23上单调递增，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(]3,0B ．[)3,0C ．[]3,0D ．()3,011．已知双曲线()0,012222＞＞：b a by a x C =-的左右焦点分别为21F F ，，正三角形21F AF 的一边1AF 与双曲线左支交于点B ，且114AF BF →→= ，则双曲线C 的离心率的值是（ ）A ．123+ B ．1313+ C ．3113+ D ．213+12．已知定义在R 上的函数()x f 的导函数为()x f '，()()x f x f R x ＜'∈∀,恒成立，则（）A ．()()022f e f ＞ B ． ()()022f e f ≤C ．()()022f e f ≥D ．()()022f e f ＜第Ⅱ卷（非选择题 90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答卷的相应位置．13．命题”“0,2≥-∈∀ex x R x 的否定是______________________.14．曲线()xe x xf ⋅=在点()0,0处的切线方程是_____________________.15．设21,F F 是双曲线13422=-y x C ：的两个焦点，点P 在双曲线上，若线段1PF 的中点在y 轴上，则21PF PF 的值是____________________.16．已知三棱锥ABC P -的各顶点都在以O 为球心的球面上，且PC PB PA ,,两两垂直，2===PC PB PA ，则球心O 到平面ABC 的距离是____________.三、解答题:本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．（10分）设函数()14223+-+=x x x x f ．（1）写出函数()x f 的递减区间；（2）求函数()x f 在区间[]3,3-上的最大值．18．（12分）设命题()()()002＞＜满足：实数a a x a x x p -+，命题032:＜+-x x q ． （1）若p 是q 的充分而不必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若2=a ，q p ∧为假命题，q p ∨为真命题，求x 的取值范围．19．（12分）已知抛物线()022＞：p px y C =过点()2,1，直线l 与C 交于B A ,两点．（1）求抛物线方程；（2）若线段AB 中点为()1,4Q ，求直线l 的方程．20．（12分）如图，在多面体ABCDEF 中，四边形ABCD 与CDEF 是边长均为4的正方形，ABCD BG ABCD CF 平面，平面⊥⊥，且BH BG AB 42==．（1）求证：EFG GH 平面⊥; （2）求三棱锥ADE G -的体积．21．（12分）设椭圆12222=+b y a x C ：()0＞＞b a 的左右焦点分别为21F F ，，离心率为31，点P在椭圆上，且21F PF △的面积的最大值为22． （1）求椭圆C 的方程；（2）已知直线()02＞：k kx y l +=与椭圆C 交于不同的两点B A ,两点，若在x 轴上存在点G ，使得GA GB =，求点G 的横坐标的取值范围．22．（12分）设函数()b ax e x f x++=在点()()00f ，处的切线方程为01=++y x ．（1）求b a ,的值，并求()x f 的单调区间； （2）证明：当0≥x 时，()42-x x f ＞．数学答案（文科）1~5、DBAAB6~10、CBDAC 11~12、CD13、0,0200＜ex x R x -∈∃14、0=-y x 15、311 16、33 17、解：（1）()4432-+='x x x f ......................................1分令()322,0=-=='x x x f 或得......................................2分 当()()x f x f x ,02＞时，＜'-单调递增；()()x f x f x ,0322＜时，＜＜当'-单调递减，()()x f x f x ,032＞时，＞'单调递增.....................................4分因此，函数()x f 的递增区间为⎪⎭⎫ ⎝⎛-32,2.....................................5分（2）由（1）知，函数()[]3,3-在x f 上的最大值有可能在32=-=x x 或者处取到，()()343,92==-f f .....................................9分因此函数()[]3,3-在x f 上的最大值为()343=f .....................................10分 18、解：（1）使命题p 为真的x 的范围为集合()a a A 2,-=.................................1分 使命题q 为真的x 的范围为集合()2,3-=B .................................2分由题知B A ⊆..................3分，,即⎩⎨⎧≤-≥-223a a ............4分，解得1≤a ................................6分（2）当2=a 时，集合()4,2-=A ，由题知，命题q p 和一真一假...............................7分若假真q p ，则⎩⎨⎧≥-≤-2342x x x 或＜＜...............................8分，解得42＜x ≤..........................9分若真假q p ，则⎩⎨⎧≥-≤-4223x x x 或＜＜............................10分，解得23-≤-＜x ....................11分综上所述，x 的取值范围是(][)4,22,3⋃--...............................12分 19、解：（1）将点()px y 22,12=代入，得2=p .....................3分因此，抛物线方程为x y 42=.....................4分 （2）设点()()2211,,,y x B y x A ，则⎩⎨⎧==②①22212144x y x y ....................6分 ②①-得，()()()2121214x x y y y y -=-+ ③....................8分由⎩⎨⎧=+=+282121y y x x Q AB 知的中点为....................9分代入③得22121=--=x x y y k ....................10分 因此直线l 的方程为()421-=-x y ，整理得072=--y x ....................12分20、解：（1）证明：;,,BCFG CD CF CD BC CD 平面⊥∴⊥⊥Θ..................1分又GH EF BCFG EF CD EF ⊥∴⊥∴,//平面，..................2分 且,5,52,5===HF GF GH FG GH GH FG FH ⊥∴+=∴222..................4分 又EFG GH F FG EF 平面⊥∴=⋂,..................5分 （2）ADE BG DE CF BG 平面//,////∴ΘADE B ADE G V V --=∴....................7分ADE AB CD AB ADE CD 平面平面⊥∴⊥,//,Θ....................9分∴33261=⋅⋅==∴--AB DE AD V V ADE B ADE G ....................12分21、解：（1）由已知得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+==⋅⋅=2222222131c b a b c a c ....................3分解得⎪⎩⎪⎨⎧===189222c b a ....................4分因此，椭圆C 的方程为18922=+y x ....................5分 （2）设()()MN y x N y x M ,,,,2211的中点为()()0,,,00m G y x E ，MN GE GN GM ⊥∴=,Θ....................6分由()036369818922222=-++⎪⎩⎪⎨⎧=++=kx x k y x kx y 得....................7分 R k ∈∆得＞由,0，8936221+-=+k k x x ，89162,891820020+=+=+-=∴k kx y k k x ..........8分 k m k k k k MN GE GE1891808916,22-=-+--+=∴⊥Θ，.............9分k k k k m 8928922+-=+-=∴..........10分 21289289,0=⨯≥+kk k ＞Θ，所以0122＜m ≤-....................12分 22、解：（1）()a e x f x+=' ......1分，由已知得()()⎩⎨⎧-=+=-=+='110110b f a f ，∴⎩⎨⎧-=-=22b a .......2.分∴()()222-='--=xxe xf x e x f ，....................3分当()()()()单调递增，＞时，＞单调递减，＜时，＜x f x f x x f x f x 02ln ,02ln '' 因此()()()()+∞∞-,2ln ,2ln ,的单调递增区间为的单调递减区间是x f x f .............5分 （2）证明，设()()22422+--=+-=x x e x x f x g x，()22--='x e x g x..................6分()()22ln 0,062,0102＜＜＞＜-='-='e g g ..................7分所以()[)只有一个零点，在∞+'0x g ()022,2,0,0000=--∈x e x x x 且..................9分()()()()单调递增，＞＞单调递减；＜＜x g x g x x x g x g x x 0,,0,000''≤..................10分因此，()()042202002000＞时，当+-=+--=≥≥x x x e x g x g x x，得证..............12分。