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高代与解几第二章自测题（一）——行列式一、 判断题1. 一个排列施行一次对换后，其逆序数改变1.（ × ）2. 一个排列施行一次对换后，其奇偶性改变.（ √ ）3. 2≥n 时，n 级的奇排列共2!n 个. （ √ ） 二、填空题1. 排列)15342( 的逆序数是 5 ，它是一个 奇 排列. 排列 2)22)(2)(12(13 --n n n 的逆序数是 n (n －1) .2. 设行列式ijn nD a ⨯=,则n n A a A a A a 1112121111...+++= D ，n n A a A a A a 5152125111...+++= 0 .3. 行列式D ＝x x x x x x 2213321232321--的展开式中4x 的系数是 -4 ，常数项是 -18 .4. 排列821j j j 的逆序数是9，则排列 178j j j 的逆序数是 19 .5. 设82718491423123267----=D ，则14131211M M M M -+-= 240 .二、证明题3. nn D n 20012000302202002210002----=（提示：逐行向下叠加得上三角形行列式）4. nD n 222232222222221=（提示：爪型行列式）高代与解几第二章自测题（二）——矩阵，线性方程组一、 判断题1. 如果矩阵A 有r 阶子式大于零,那么r A rank >)(.（ ×）2. 如果矩阵A 没有非零子式，那么0)(=A rank .（√ ）3. 如果矩阵A 的r 阶子式都等于零,那么r A rank <)(.（ √）4. 初等变换不改变矩阵的秩.（√ ）5. 若n 元线性方程组有2个解，则其增广矩阵的秩小于n .（√ ） 三、填空题1. 54⨯矩阵A 的秩为2， 则A 的标准形为___⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000000001000001____________. 2 若n 元线性齐次方程组仅有零解，则其系数矩阵的秩为 n .三、计算与证明题1. 求齐次线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++++=-++=++++04523,05734,03,02543254321543154321x x x x x x x x x x x x x x x x x x 的一般解. 解：对这个齐次线性方程组的系数矩阵施行行初等变换，得A ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-45230573411110312111→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----45230452304523012111→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛00000000343532103131310100000000004523012111 取543,,x x x 为自由未知量，得其一般解为：……2. 解线性方程组12341234123421,4222,2 1.x x x x x x x x x x x x +-+=⎧⎪+-+=⎨⎪+--=⎩解 方程组的增广矩阵为：B =⎢⎢⎢⎣⎡112224112--- 111- 121⎥⎥⎥⎦⎤，….……………………………….. 2分 对B 做行初等变换：B =⎢⎢⎢⎣⎡211000010000- 100⎥⎥⎥⎦⎤，…………………………….....…… 6分 从而得方程组的解为……3. 设n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数，n b b b ,,,21 是数域K 中任一组给定的数，证明：有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =,.,...,2,1n i =证明:要证有唯一的数域K 上的多项式()112210--++++=n n x c x c x c c x f 使()i i b a f =()n i ,,2,1 =,即要证有唯的一组数1210,...,,,-n c c c c ,使得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++==++++==++++=------n n n n n n n n n n n b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f b a c a c a c c a f 112210212122221021111221101...)(......)(...)(1 …… (2分)即证方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++++=++++=++++------n n n n n n n n n n b x a x a x a x b x a x a x a x b x a x a x a x 1122102112222120111122110............1 …… (4分) 有唯一一组解.而此方程组的方程个数与未知数个数相等.其系数行列式121323312222112111111----=n nn nn n n a a a a a a a a a a a a D……(5分) T D 是范德蒙德行列式,由范德蒙德行列式的结论知,∑≤<≤-==nj i i jT a aD D 1)( ……(7分)又n a a a ,,,21 是数域K 中互不相同的数,故0≠D ,由克莱姆法则知,上述方程组有唯一一组解.得证. …… (10分)4. 设n a a a ,...,,21是互不相同的数，b 是任意数，证明线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=+++=+++----11212111221121......1...n n n n n n n n n bx a x a x a b x a x a x a x x x 只有唯一解，并求出这个解.证明:观察知此方程组的未知量个数与方程个数相等，其系数行列式D =1121121111---n nn n na a a a a a是n 阶范德蒙德行列式 …… (4分) 因此，D =∏≤<≤-ni j j ia a1)(，由于n a a a ,...,,21是互不相同的数，所以0≠D ，根据克莱姆法则知此线性方程组只有唯一解, n k DD x kk ,...,2,1,==,其中k D 是将系数行列式D 的第k 列换成 T n b b b ),...,,,1(12-， …… (7分)显然k D 依然是n 阶范德蒙德行列式，且k D 的值只是将D 的值中k a 的地方换成b ，因此n k a a a a a a a a a b a b b a b a x k k k k k k n k k n k ,...,2,1,))...()()...(())...()()...((111111=--------=-+-+ (10分)5. 假设有齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=++=++=++,0,02,0321321321 x x x p x x x x x x当p 为何值时，方程组仅有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其一般解。
第一章 向量代数习题1.11. 试证向量加法的结合律，即对任意向量,,a b c 成立()().a b c a b c ++=++证明：作向量,,AB a BC b CD c ===（如下图），则 ()(),a b c AB BC CD AC CD AD ++=++=+=()(),a b c AB BC CD AB BD AD ++=++=+=故()().a b c a b c ++=++2. 设,,a b c 两两不共线，试证顺次将它们的终点与始点相连而成一个三角形的充要条件是0.a b c ++=证明：必要性，设,,a b c 的终点与始点相连而成一个三角形ABC ∆，则0.a b c AB BC CA AC CA AA ++=++=+== 充分性，作向量,,AB a BC b CD c ===，由于ABCabcABCDabca b +b c +0,a b c AB BC CD AC CD AD =++=++=+=所以点A 与D 重合，即三向量,,a b c 的终点与始点相连构成一个三角形。
3. 试证三角形的三中线可以构成一个三角形。
证明：设三角形ABC ∆三边,,AB BC CA 的中点分别是,,D E F （如下图），并且记,,a AB b BC c CA ===，则根据书中例 1.1.1，三条中线表示的向量分别是111(),(),(),222CD c b AE a c BF b a =-=-=- 所以，111()()()0,222CD AE BF c b a c b a ++=-+-+-=故由上题结论得三角形的三中线,,CD AE BF 可以构成一个三角形。
4. 用向量法证明梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
证明：如下图，梯形ABCD 两腰,BC AD 中点分别为,E F ，记向量,AB a FA b ==，则,DF b =而向量DC 与AB 共线且同向，所以存在实数0,λ>使得.DC AB λ=现在,FB b a =+,FC b a λ=-+由于E 是BC 的中点，所以1111()()(1)(1).2222FE FB FC b a a b a AB λλλ=+=++-=+=+且A BabcE FD C111(1)()().222FE AB AB AB AB DC λλ=+=+=+ 故梯形两腰中点连线平行于上、下底且等于它们长度和的一半。
高等数学几何教材答案第一章：平面几何1. 直线与点的关系考虑直线L和点P，有以下几种情况：(1) P在L上：可以由坐标求解，若点的坐标满足直线的方程，则P 在L上；(2) P在L的延长线上：将直线的方程带入坐标计算，若方程成立，则P在L的延长线上；(3) P在L的两侧：利用点到直线的距离公式，计算出P到L的距离d，若d>0，则P在L的两侧。
2. 直线与直线的位置关系两条直线L1和L2可以有以下几种位置关系：(1) 相交：两直线有且只有一个交点；(2) 平行：两直线没有交点，方程也无解；(3) 重合：两直线完全重合，方程有无数解；(4) 相交于一点的延长线上：两直线有且只有一个交点，但该点在延长线上；(5) 相交于一点的中点上：两直线有且只有一个交点，且该点为两线段的中点。
3. 直线与平面的位置关系考虑直线L和平面P，有以下几种情况：(1) 相交：直线与平面有一个交点；(2) 平行：直线与平面没有交点，方程也无解；(3) 含于平面：直线完全位于平面上，方程有无数解。
第二章：空间几何1. 空间点和点线距离(1) 点P到直线L的距离：利用点到直线的距离公式，计算出P到L的距离；(2) 点P到平面的距离：利用点到平面的距离公式，计算出P到平面的距离；(3) 点P到点集合S的最近距离：计算出P到点集合S中所有点的距离，找出其中的最小值即为最近距离。
2. 线段相交判定法两条线段AB和CD相交的条件有以下几种：(1) AB与CD的延长线相交；(2) A、B在CD的异侧，且C、D在AB的异侧；(3) A、B、C、D四个点共线，且CD的某个端点在AB上；(4) A、B、C、D四个点共线，且AB的某个端点在CD上。
3. 空间直线与直线的位置关系考虑两条直线L1和L2，它们可以有以下几种位置关系：(1) 相交：两直线有且只有一个交点；(2) 零交：两直线没有交点，方程也无解；(3) 平行：两直线没有交点，但方程有解；(4) 共面：两直线在同一个平面内。
习题一 （1）向量的线性运算与空间直角坐标系一、填空题1. 1） 2,πβα=； 2） 0,=βα； 3）βαπβα≥=且,,； 4）0=βα，；5） 0≤αβαβ+=>−=2． 1） 线性相关； 2）线性无关；3）线性相关； 4） 线性无关。
3． )5,3,2(−−；(2,3,5)−−；(2,3,5)−；(2,3,0)−； (0,3,0)；2二、证明： ∵,+=与平行，∴可设λ−= 所以，λβαλλλλλ+−=+−=−−=−=)1()1()(.三、 解：因为 ,)()()(θαγγββα=−+−+− 所以向量αγγββα−−−,,共面。
----------想清楚共面与上面等式的关系四、解：设M 的坐标为),,(z y x ，则有),3,2,1(),3,2,1(z y x z y x −−−−=−−−=由条件，1233,5,2,3,(5,2,3)1232x y z x y z M x y z −−−===−∴=−==∴−−−−−。
五、解：设α的方向余弦为γβαcos ,cos ,cos ，则 ,353cos =α,355cos =β351cos −=γ。
平行的单位向量为±。
--有两个；单位向量实际上代表了向量的方向 （2）向量的内积与外积一、 判断题1． （ 错 ） ----------化简成()0αβγ⋅−=就明显了，2． （ 对 ） ----------注意一些命题的不同说法3． （ 错 ） ----------外积是一个向量4． （ 对 ）二、 填空题1． （1）6−；(2) 13；(3) 61−。
----------充分利用內积的运算性质：和数的加法、乘法没啥不同，交换律、结合律、分配律2．30±。
3．154。
---------- 外积可以用来求面积，是平行四边形的 三、解1）=×γω()()(1)λαβαβλαβ+×−=−+×，当ω与γ平行时，ω与γ平行时， θβαπβαγω≠×∴==×,32,,0∵，1λ=−。
