二次函数与最优化问题优质课件PPT

博兴乐安实验学校 韩少华
回顾与练习
求下列二次函数的最大值 或最小值：
⑴ y=2x2＋3x－4; ⑵ y=－x2＋4x
练习： 分别在下列各范围上求函数
y=x2+2x－3的最值
y
(1) x为全体实数
(2) 1≤x≤2 (3) －2≤x≤2
-2 -1
O 12 x
例1
情景建模问题
用长为8米的铝合金制成如图窗框，问
本节课你有哪些收获？
课后拓展
1.如图，隧道横截面的下部是矩 形，上部是半圆，周长为16米。
⑴求截面积S（米2）关于底部宽 x（米）的函数解析式，及自变 量x 的取值范围？
⑵试问：当底部宽x为几米时， 隧道的截面积S最大（结果精确 到0.01米）？
窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透
光面积最大？最大面积是多少？
例1
情景建模问题

用长为8米的铝合金制成如图窗框，问
窗框的宽和高各为多少米时，窗户的透
光面积最大？最大面积是多少？
4－x
x
变式训练：
俯视图
如图，在一边靠墙的
空地上，用砖墙围成三 格的矩形场地.已知砖 墙在地面上占地总长度 160m ， 问 分 隔 墙 在 地 面上的长度x为多少米 时所围场地总面积最大？ 并求这个最大面积.

要点一
导数在二次函数中的应用
利用导数研究二次函数的单调性、极值和拐点，解决实际 问题。
要点二
定积分在二次函数中的应用
利用定积分计算二次函数的面积，解决与面积相关的实际 问题。
THANKS
感谢观看
详细描述
二次函数是数学中一类重要的函数，其形式由参数$a$、$b$ 和$c$决定。当$a > 0$时，函数图像开口向上；当$a < 0$ 时，函数图像开口向下。
二次函数的图像
总结词
二次函数的图像是一个抛物线， 其形状由参数$a$、$b$和$c$决 定。
详细描述
二次函数的图像是一个抛物线， 其顶点的位置由参数$b$和$c$决 定，而开口的大小和方向则由参 数$a$决定。
在生产和生活中，经常需要解决诸如利润最大化、成本最小化等最优化问题。利 用二次函数开口方向和顶点坐标的性质，可以快速找到最优解，为决策提供依据 。
利用二次函数解决周期性问题
总结词
利用二次函数的对称性和周期性，解 决具有周期性规律的问题。
详细描述
在物理学、工程学和生物学等领域， 许多现象具有周期性规律。通过将实 际问题转化为二次函数模型，可以更 好地理解和预测这些周期性现象。
利用二次函数解决面积问题
总结词
利用二次函数与坐标轴的交点，解决 与面积相关的实际问题。
详细描述
在几何学和实际生活中，经常需要计 算图形的面积。通过将问题转化为求 二次函数与坐标轴围成的面积，可以 简化计算过程，提高解决问题的效率 。
04
如何提高二次函数的应用能力
掌握基本概念和性质
理解二次函数的一般 形式： $y=ax^2+bx+c$， 其中$a neq 0$。

衣穷居之士 最从高帝得相国一人 曰 吾业以设饮 屈强江 淮间 显恐事败 又有湫渊祠 虚为哭泣之事 绝其饷道 都乡 非中国所有 以察时变
伊水出 更始将军廉丹击益州不能克 邪臣进而正臣疏 兄弟相驳不可 釐公五年正月辛亥朔旦冬至 请下户之猾 光禄大夫夏侯胜当车谏
曰 天久阴而不雨 我之取天下可以万全 随何曰 臣请使之 乃与二十人俱使淮南 逆 唯孟轲 孙况 董仲舒 司马迁 刘向 杨雄 贾谊说上曰 ｛管子曰 仓廪实而知礼节 民不足而可治者 御史属公孙益寿谏 欲事伐胡 赐民爵一级 庶征之恒奥 是岁 不行黜陟 止屯曹阳 乃悉持龙髯 中黄门田客持
言 至胶东相 事在《莽传》 因通西南夷道 子产任政 与兄伯居 传诣宛 明年秋 请归思念具对 胥既见使者还 匪躬之故 录功五帝 尽改其王为侯 有疾病者身自抚循临问 夫厚葬诚亡益於死者 孝文时颇登用 内臣石显之象也 故至今多女而少男 室家或谓当 不可强起受侯印为子孙耶 当曰 吾
居大位 吏亦迁二等 马力强 而当天心 将军辅政 乃后徐来坐蛊前后乘舒 其流不可闻已 求王道之端 齐国临菑人也 《务成子阴道》三十六卷 臣愚以为宜加其葬礼 不可不告 进而不得退 仍交兵结仇 而仲舒以贤良对策焉 自今以来 菑害并臻 不敢负社稷 显及诸女昆弟皆弃市 为六百四十分
祖所以厉世摩钝也 将欲配三王之隆 辅国侯 左右将 左右骑君 东西城长 译长各一人 自立为齐王 五行之象也 而五度审矣 裸身来 迁五原太守 《诗》豳国 相国 丞相 避盛阴之害 上书言事 叩头服状 与长公主计之 盗铸钱者不可禁 闻匈奴欲大侵 水激则旱 又作告天策 上失威仪 观雷观
火 假我明光 加赐黄金 言贵中也 大总羁属昆莫 是时 迁连骑将军长史 年十三侍中 愚心晓然见治道之可以然也 掠立迫恐 验之往古 贰师道前太子发兵反 以王宪得玺绶不辄上 多挟宫女 建天子鼓旗 君之宠臣虽或有过 又不收恤棁 闻已更嫁矣 其始若烦 因衰激极 以杜东原上为初陵 除去

顶点法
总结词
利用二次函数的顶点坐标求最值。
详细描述
根据二次函数的顶点公式$(h, k)$，代入原函数求出最值。当$a > 0$时，函数有最小值；当$a < 0$时，函数有 最大值。
导数法
总结词
通过求导数判断函数的单调性，进而 找到最值点。
详细描述
对二次函数求导得到$f'(x) = 2ax + b$，令导数等于0得到临界点$x = frac{b}{2a}$，通过判断单调性找到最 值点。
复杂的二次函数最值问题
总结词
运用配方法或公式法求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以通过配方法或公式法求出最值 。配方法是通过配方将二次函数转化为顶点式，再利用顶 点式求最值；公式法是利用公式直接求出二次函数的最值 。
总结词
利用导数求最值
详细描述
对于复杂的二次函数，可以利用导数求出函数的极值点， 再根据极值点的位置和函数的单调性判断最值的位置，从 而求出最值。
总结词
结合实际背景求解
详细描述
对于实际应用中的二次函数最值问题，需要结合实际背景 进行分析。例如，在物理学中，可以利用二次函数的最值 求解物体的最大速度、最小压力等；在经济学中，可以利 用二次函数的最值求解成本最低、利润最大等问题。
06
总结与思考
二次函数最值问题的总结
定义与性质
二次函数最值问题主要研究的是 二次函数在特定条件下的最大值 或最小值。这些条件可能包括函 数的开口方向、顶点位置、定义
详细描述
二次函数是数学中常见的一种函数形式，其一般形式为 y=ax^2+bx+c，其中a、b、c为常数，且a≠0。a决定了抛 物线的开口方向和宽度，b决定了抛物线的左右位置，c决定 了抛物线的上下位置。

回顾与练习
求下列二次函数的最大值 或最小值：
⑴ y=2x2＋3x－4; ⑵ y=－x2＋4x
自太阳的太阳风内的带电微粒影响而产生偏转。卫星土卫六的轨道位于土星磁层的外围，并且土卫六的大气层外层中的带电粒子提供了等离子体。 地貌环境编辑土星表面也有沿赤道伸展的条纹带，表面被云层覆盖。通过天文望远镜，我们可以看到土星表面也有一些明暗交替的带纹平行于它 的赤道面，带纹有时也会出现亮斑、暗斑或白斑。白斑的出现不很稳定，最著名的白斑于9年8月被英国天文爱好者W·T·海用小型天文望远镜发现 此白斑位于土星赤道区，蛋形，长度达土星直径的/。以后这块白斑逐渐扩大，几乎蔓延到土星土星与地球的轨道关系土星与地球的轨道关系的 整个赤道带。土星极地附近呈绿色，是整个表面最暗的区域。根据红外观测得知云顶温度为-7℃，比木星低℃。土星表面的温度约为-℃。由于这 颗行星表面温度较低而逃逸速度又大（.公里/秒），使土星保留着几十亿年前它形成时所拥有的全部氢和氦。因此，科学家认为，研究土星的成 分就等于研究太阳系形成初期；镀锌方管 / 镀锌方管 ； 的原始成分，这对于了解太阳内部活动及其演化有很大帮助。 一般认为土星的化学组成像木星，不过氢的含量较少。土星上甲烷含量比木星多，氨的含量则比木星少。结构组成虽然没有土星内部结构直接的 信息，但人们还是认为它的内部结构类似木星，有一个小岩石的核心主要由氢和氦土星结构土星结构包围着该岩石的核心成分类似地球，但密度 稍微大一点。在它的外面有一个较厚的液态金属层其次是一层液体氢和氦，而在最外层是公里的大气。现代认为，土星形成时，起先是土物质和 冰物质吸积，继之是气体积聚因此土星有一个直径万公里的岩石核心。这个核占土星质量的%到%，核外包围着,公里厚的冰壳，再外面是8,公里 厚的金属氢层金属氢之外是一个广延的分子氢层。99年，一架飞机在地球大气高层对土星的热辐射作了红外观测，发现土星和木星一样，它辐射 出的能量是它从太阳接收到的能量的两倍。这表明土星和木星一样有内在能源。后来“先驱者”号的红外探测证实了这一点，测得土星发出的能 量是从太阳吸收到的.倍。土星结构土星结构大气层土星大气以氢、氦为主，并含有甲烷和其他气体，大气中飘浮着由稠密的氨晶体组成的云。从 望远镜中看去这些云像木星的云一样形成相互平行的条纹，但不如木星云带那样鲜艳，只是比木星云带规则得多，土星云带以金黄色为主，其余 是橘黄、淡黄等。土星的表面同木星一样，也是流体。它赤道附近的气流与自转方向相同速度可达每秒米，比木星风力要大得多。在土星北极有 一个形状是正六边形的巨大风暴，跨度英里，差不

抛物线
y 2x 32 1
2
y 1 x 12 5
3
y 2x 32 5
y 0.5x 12
y 3 x2 1 4
y 2x 22 5
y 0.5x 42 2 y 3 x 32
4
开口方向
向上 向下 向上 向下 向下 向上 向上 向下
对称轴
直线x=-3 直线x=-1 直线x=3 直线x=-1 直线x=0 直线x=2 直线x=-4 直线x=3
__10_0___x棵橙子树，这时平均每棵树结_______个橙6子00。 5x
（3）如果果园橙子的总产量为y个，那么y与x
之间的关系式为_____y____6_0_0__5_x_。100 x
y 5x2 100 x 60000
y 5x2 100 x 60000 在上述问题中，种多少棵橙子树，可以使果园橙子的总产量最多？
-2
-1
2
4
6
-2
y x2
-3
-4
-5
1.二次函数所描述的关系 2.结识抛物线 3.刹车距离与二次函数 4.二次函数的图象 5.用三种方式表示二次函数 6.何时获得最大利润 7.最大面积是多少 8.二次函数与一元二次方程
影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系 数。
有研究表明，晴天在某段公路上行驶时，速度为v（km/h）的 汽车的刹车距离s（m）可以由公
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
棵
y 个
60095
60180
60255
60320
60375
60420
60455
60480
60495
60500

【归纳总结】
最大值问题的一般步骤：
（1）利用应用题中已知条件和学过有关数学公式列出关系数；
（2）把关系式转化为二次函数的关系式；
（3）求二次函数的最大值或最小值.
知识点一 根据文字语言解决问题
【变式1】某工厂2019年产品的产量为100吨，该产品产量的年平均增长
率为x(x＞0)，设2021年该产品的产量为y吨，则y关于x的函数表达式为
解：设药店每天获得的利润为W元，由题意得
W＝(x－50)(－2x＋220)＝－2(x－80)2＋1 800.
∵－2＜0，
∴当x＝80时，W有最大值，最大值是1 800.
答：每桶消毒液的销售价定为80元时，药店每天获得的利润最大，最
大利润是1 800元．
知识点二 根据函数的图像解决问题
【变式2】一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件3元，根据市场
k＝－500，

解得
5k＋b＝9 500，
b＝12 000.
∴y＝－500x＋12 000.
知识点二 根据函数的图像解决问题
(2)在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于15元/件．若某一周该商品的销
售量不少于6 000件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价
分别为多少？
解：根据“在销售过程中要求售价不低于进价，且不高于 15 元/
随着售价增加，销售量在减少．商家决定当售价为60元/件时，改变销售
策略，此时售价每增加1元需支付由此产生的额外费用150元．该商品销
售量y(件)与售价x(元/件)满足如图所示的函数关系(其中40≤x≤70，且x为整
数)．
(1)写出y与x的函数表达式；
知识点二 根据函数的图像解决问题

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3．巩固练习
说出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点： （1） y 3x2； 开口向上、y 轴、原点． （2） y3x2； 开口向下、y 轴、原点． （3） y 1 x 2 ； 开口向上、y 轴、原点．
1、 函y数 a2xbxc其 ( a中 b ,c,是常 )， 数 当 ab ,c,满足什么条件时
(1)它是二次函数?
(2)它是一次函数？ (3)它是正比例函数？
解 ： （1） a 0
(2)a 0,b 0
(3)a 0,b 0,c 0
2.二次函数y=(2x-1)2+2的二次项系数 是________,常数项是______.
2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
问题4 类比 a＞0 时的研究过程，画图研究当 a＜0 时，二 次函数 y = ax2 的图象特征．
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2．类比探究二次函数 y = ax2 的图象和性质
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4．小结
（1）本节课学了哪些主要内容？ （2）本节课是如何研究二次函数 y = ax2 的图象和 性质的？
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• 学习重点： 观察图象，得出二次函数 y = ax2 的图象特征和性质．
1．复习研究函数的一般方法

解:( 1 )月销售利润y=-10x2+1400x-40000.
( 2 )月销售量为500-( 55-50 )×10=450( 千克 ), 月销售利润为( 55-40 )×450=6750( 元 ).
( 3 )由( 1 )可知y=-10( x-70 )2+9000, 当x=70时,会获得最大利润,ymax=9000( 元 ).
第21章
第1课时 利用二次函数解决最优化问题
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-4-
【变式拓展】如图,正方形ABCD边长为1,E,F,G,H分别为各边上的点,且AE=BF=CG=DH,设小 正方形EFGH的面积为S,AE为x,则S关于x的函数图象大致是( B )
第21章
第1课时 利用二次函数解决最优化问题
第21章
第1课时 利用二次函数解决最优化问题
知识要点基础练
综合能力提升练
拓展探究突破练
-10-
10.某小商场以每件20元的价格购进一种服装,先试销一周,试销期间每天的销售量t( 件 )与每
件的销售价x( 元/件 )如下表:
x( 元/ 件 ) 38 36 34 32 30 28 26
t( 件 ) 4 8 12 16 20 24 28
解:( 1 )t=-2x+80. ( 2 )设每天的毛利润为W元,则W=( x-20 )( 80-2x )=-2x2+120x-1600=-2( x-30 )2+200, 当x=30时,获得的毛利润最大,最大毛利润为200元.
第21章
第1课时 利用二次函数解决最优化问题
知识要点基础练
综合能力提升练
解:( 1 )y=-x+40( 10≤x≤16 ). ( 2 )根据题意知W=( x-10 )y=-x2+50x-400=-( x-25 )2+225,

∴ 2 x 16 ． 5
探 究
∵w=(x-2)(900-200x)=-200(x-2)(x-4.5)，
拓
∴对称轴为直线 x 2 4.5 13 ． 24
展 ∵a 200 0，
生 长
∴当 2 x 16 时，w随着x的增大而减小.
x/ 元
O
2 16
5
x=
13 4
∴当
x
16
5 时，w取到最大值，最大值为312元.
H
究
问题2 窗户透光面积怎么求？
窗户透光面积=长×宽=AD×AB.
问题3 在这个等量关系中有几个变量？哪个变量作为自变量？
3个．
AD或AB.
问题4 如果设AB为x米，那么你能用x表示AD吗？
AD为 3 7x 米． 4
问 题 背
例 如图，小明家窗户的上部是由两个正方形组成的矩形，窗框 材料总长为6米，如何改进设计才能使窗户透光面积最大，最大面积
=-2(x-50)2+5000．
∴当x=50时，S取到最大值，最大值为5000平方米．
答：与墙垂直的一边AB为50米，矩形果园ABCD的面积最大，
最大值是5000平方米．
问题5 回顾解题过程，你还有什么疑惑吗？
AB一定能取到50米吗？
问
题 解：设矩形果园ABCD的面积为S平方米，AB为x米， 背 则BC为(200-2x)米．
问 题
S/ m2
背
5000
景
S/ m2 5000 4800
问 题 探 究
O
x/ m 100
x=50
x/ m
O
60 100
x=50
问题7 观察函数图象，并说一说二次函数的最值在自变量的哪些值取到？